Hulgad, tehted hulkadega. Hulga elementide loendamine

Millised eelteadmised on vajalikud? 

Hulga elementide loendamine 

HULGATEOORIA ELEMENTE 

Teema 2 

Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria



Loengu kava 

1 Millised eelteadmised on vajalikud? 

(Naiivne) hulgateooria 

Tehted hulkadega 

2 Hulga elementide loendamine 

Hulga võimsus 

Astmehulga võimsus 


Järgmine punkt 









Hulgateooria 






Definitsioon 



"Hulk on selline kindlate ja omavahel 

erinevate meie mõttes või kaemuses asuvate 

objektide kogum, millest saab mõelda kui 

tervikust. Neid objekte nimetatakse hulga 

elementideks." 

Georg Cantor 

(1845–1918) 







1870. aastad: nn naiivne hulgateooria, G. Cantor. 

1899–1902: paradoksid hulgateoorias (nt Russelli paradoks). 

1908: aksiomaatiline hulgateooria, E. Zermelo 

1922–1930: hulgateooria aksiomaatika täiustamine (ZF ja ZFC), 

A. Fraenkel 

1937: "Matemaatika "uute aluste" (NF) aksiomaatika, W.V.O. Quine 

1969: NF aksiomaatika täiustamine (NFU), R.B. Jensen 

– Paljudes matemaatika harudes kasutatakse siiamaani 

naiivset hulgateooriat, ka meie vaatleme seda. 

– Aksiomaatilist hulgateooriat kasutatakse seal, kus on 

oluline vältida hulgateoreetilisi paradokse või uurida 

teatavate matemaatiliste probleemide põhimõttelist 

lahenduvust/mittelahenduvust. 











A. Fraenkel 



















A. Fraenkel 














Hulgateoorias kasutatava tähistused 

Hulki tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega A,B,C 

jne, hulga elemente aga väikeste ladina tähtedega a,b,c jne. 

Kui element a kuulub hulka A, siis kirjutame a ∈ A, vastasel 

korral a /∈ A. 

Hulki kirjeldatakse tavaliselt kas elementide loeteluna kujul 

{a,b,...} 

elemente iseloomustava tingimuse või moodustamise eeskirja 

kaudu kujul 

{x|P(x)} 












{a,b,...} 


kaudu kujul 

{x|P(x)} 












{a,b,...} 


kaudu kujul 

{x|P(x)} 


Hulkade näiteid 





Hulk elementidega a,b on {a,b}. 

Arvuhulgad: 

naturaalarvude hulk N = {0,1,2,...} 

täisarvude hulk Z = {...,−2,−1,0,1,2,...} 

ratsionaalarvude hulk Q = {q|q = m 

n ,m ∈ Z,n ∈ {1,2,3,...}} 

reaalarvude hulk R 

kompleksarvude hulk C = {z|z = x + iy,x,y ∈ R,i 2 = −1} 

Intervallid: 

lõik [a,b] = {x|x ∈ R,a x b} 

vahemik (a,b) = {x|x ∈ R,a < x < b} 

poollõik [a,b) = {x|x ∈ R,a x < b} 

poollõik (a,b] = {x|x ∈ R,a < x b} 

Tühi hulk /0: hulk, milles pole ühtegi elementi. 

Kas kõigi hulkade hulk on hulk? 








Arvuhulgad: 




n ,m ∈ Z,n ∈ {1,2,3,...}} 



Intervallid: 














Arvuhulgad: 




n ,m ∈ Z,n ∈ {1,2,3,...}} 



Intervallid: 














Arvuhulgad: 




n ,m ∈ Z,n ∈ {1,2,3,...}} 



Intervallid: 














Arvuhulgad: 




n ,m ∈ Z,n ∈ {1,2,3,...}} 



Intervallid: 














Arvuhulgad: 




n ,m ∈ Z,n ∈ {1,2,3,...}} 



Intervallid: 














Arvuhulgad: 




n ,m ∈ Z,n ∈ {1,2,3,...}} 



Intervallid: 














Arvuhulgad: 




n ,m ∈ Z,n ∈ {1,2,3,...}} 



Intervallid: 














Arvuhulgad: 




n ,m ∈ Z,n ∈ {1,2,3,...}} 



Intervallid: 














Arvuhulgad: 




n ,m ∈ Z,n ∈ {1,2,3,...}} 



Intervallid: 














Arvuhulgad: 




n ,m ∈ Z,n ∈ {1,2,3,...}} 



Intervallid: 














Arvuhulgad: 




n ,m ∈ Z,n ∈ {1,2,3,...}} 



Intervallid: 








Alamhulgad 

Definitsioon 





Kahte hulka loeme võrdseteks, kui nad koosnevad samadest 

elementidest. Elementide järjestus ega muud elementide 

omavahelised vahekorrad olulised ei ole. 

Definitsioon 

Hulka A nimetatakse hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks, kui kõik 

hulga A elemendid kuuluvad ka hulka B. Hulka B nimetatakse 

hulga A ülemhulgaks. 

Tähistused: A ⊆ B või A ⊂ B või B ⊇ A või B ⊃ A. 

Definitsioon 

Hulka A nimetatakse hulga B pärisalamhulgaks (tähistus A ⊂ B või 

A B), kui hulk A on hulga B alamhulk ja A = B. 


Alamhulgad 

Definitsioon 








Definitsioon 





Definitsioon 




Alamhulgad 

Definitsioon 








Definitsioon 





Definitsioon 






Alamhulkade näiteid 



Hulgal {a} on järgmised alamhulgad: /0,{a}. 

Hulgal {a,b} on järgmised alamhulgad: /0,{a},{b},{a,b}. 

Tühi hulk /0 on iga hulga alamhulk (sealhulgas ka tühja hulga 

enda). 

Arvuhulkade vahel kehtivad sisalduvused N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. 




Hulkade sisalduvusseose omadusi 



1 Refleksiivsus: iga hulga A korral A ⊆ A 

2 Antisümmeetrilisus: kui A ⊆ B ja B ⊆ A, siis A = B 

3 Transitiivsus: kui A ⊆ B ja B ⊆ C, siis A ⊆ C 

Antisümmeetrilisuse omadust kasutatakse sageli siis, kui on vaja 

tõestada, et kaks hulka on võrdsed. 














Ühend 





Kahe hulga A ja B ühendiks nimetatakse hulka A ∪ B, mis 

koosneb nii hulga A kui ka hulga B elementidest: 

A ∪ B = {x|x ∈ A või x ∈ B} 

Mitme hulga Ai, kus i ∈ I , ühend 

 

koosneb kõigist niisugustest elementidest, mis kuuluvad 

vähemalt ühte hulkadest Ai. 

Venni diagramm 

i∈I 

Ai 

A B 


Ühend 







A ∪ B = {x|x ∈ A või x ∈ B} 


 




i∈I 

Ai 

A B 


Ühend 







A ∪ B = {x|x ∈ A või x ∈ B} 


 




i∈I 

Ai 

A B 




Näiteid hulkade ühendamisest 



Kui A = {1,2,3,4} ja B = {1,3,5,7}, siis 

A ∪ B = {1,2,3,4,5,7}. 

Kui Ai = [i − 1 1 

2 ,i + 2 ], kus i ∈ Z, siis 

 

Ai = R 

i∈Z 

. 

Kui Aa,b = (a,b), kus a,b ∈ Q, siis 

 

Aa,b = R 

a,b∈Q 

. 

Kõikide hulkade A ja B korral A ⊆ A ∪ B ja B ⊆ A ∪ B. 

Iga hulga A korral 

{a} = A 

. 

a∈A 







Kui A = {1,2,3,4} ja B = {1,3,5,7}, siis 

A ∪ B = {1,2,3,4,5,7}. 

Kui Ai = [i − 1 1 

2 ,i + 2 ], kus i ∈ Z, siis 

 

Ai = R 

i∈Z 

. 


 

Aa,b = R 

a,b∈Q 

. 



{a} = A 

. 

a∈A 







Kui A = {1,2,3,4} ja B = {1,3,5,7}, siis 

A ∪ B = {1,2,3,4,5,7}. 

Kui Ai = [i − 1 1 

2 ,i + 2 ], kus i ∈ Z, siis 

 

Ai = R 

i∈Z 

. 


 

Aa,b = R 

a,b∈Q 

. 



{a} = A 

. 

a∈A 







Kui A = {1,2,3,4} ja B = {1,3,5,7}, siis 

A ∪ B = {1,2,3,4,5,7}. 

Kui Ai = [i − 1 1 

2 ,i + 2 ], kus i ∈ Z, siis 

 

Ai = R 

i∈Z 

. 


 

Aa,b = R 

a,b∈Q 

. 



{a} = A 

. 

a∈A 







Kui A = {1,2,3,4} ja B = {1,3,5,7}, siis 

A ∪ B = {1,2,3,4,5,7}. 

Kui Ai = [i − 1 1 

2 ,i + 2 ], kus i ∈ Z, siis 

 

Ai = R 

i∈Z 

. 


 

Aa,b = R 

a,b∈Q 

. 



{a} = A 

. 

a∈A 


Ühisosa 





Kahe hulga A ja B ühisosaks nimetatakse hulka A ∩ B, mis 

koosneb hulkade A ja B ühistest elementidest: 

A ∩ B = {x|x ∈ A ja x ∈ B} 

Mitme hulga Ai, kus i ∈ I , ühisosa 

 

i∈I 

koosneb kõigist niisugustest elementidest, mis kuuluvad igasse 

hulka Ai. 


Ai 

A B 


Ühisosa 





Kahe hulga A ja B ühisosaks nimetatakse hulka A ∩ B, mis 

koosneb hulkade A ja B ühistest elementidest: 

A ∩ B = {x|x ∈ A ja x ∈ B} 

Mitme hulga Ai, kus i ∈ I , ühisosa 

 

i∈I 

koosneb kõigist niisugustest elementidest, mis kuuluvad igasse 

hulka Ai. 


Ai 

A B 




Näiteid hulkade ühisosa võtmisest 



Kui A = {1,2,3,4} ja B = {1,3,5,7}, siis A ∩ B = {1,3}. 

Kui An = (− 1 1 

n+1 , n+1 ), kus n ∈ N, siis 

 

. 

n∈N 

An = {0} 

Kui An = (0, 1 

n+1 ), kus n ∈ N, siis 

 

An = /0 

. 

n∈N 

Kõikide hulkade A ja B korral A ∩ B ⊆ A ja A ∩ B ⊆ B. 








Kui An = (− 1 1 

n+1 , n+1 ), kus n ∈ N, siis 

 

. 

n∈N 

An = {0} 

Kui An = (0, 1 


 

An = /0 

. 

n∈N 









Kui An = (− 1 1 

n+1 , n+1 ), kus n ∈ N, siis 

 

. 

n∈N 

An = {0} 

Kui An = (0, 1 


 

An = /0 

. 

n∈N 









Kui An = (− 1 1 

n+1 , n+1 ), kus n ∈ N, siis 

 

. 

n∈N 

An = {0} 

Kui An = (0, 1 


 

An = /0 

. 

n∈N 





Ühendi ja ühisosa omadused 

Idempotentsus: 

Kommutatiivsus: 

Assotsiatiivsus 



A ∪ A = A, A ∩ A = A 

A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A 

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 

Distributiivsus 

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 

Neelduvus 

A ∪ (A ∩ B) = A, A ∩ (A ∪ B) = A 










A ∪ A = A, A ∩ A = A 

A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A 

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 




A ∪ (A ∩ B) = A, A ∩ (A ∪ B) = A 










A ∪ A = A, A ∩ A = A 

A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A 

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 




A ∪ (A ∩ B) = A, A ∩ (A ∪ B) = A 










A ∪ A = A, A ∩ A = A 

A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A 

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 




A ∪ (A ∩ B) = A, A ∩ (A ∪ B) = A 










A ∪ A = A, A ∩ A = A 

A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A 

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 




A ∪ (A ∩ B) = A, A ∩ (A ∪ B) = A 


Täiend 





Tihti on käsitluses fikseeritud teatav hulk X ja kõik 

vaadeldavad hulgad on selle hulga alamhulgad. Sellisel juhul 

nimetatakse hulka X universaalseks. Nt võib universaalse 

hulga rollis olla kõigi reaalarvude hulk, tasandi kõigi punktide 

hulk jne. 

Olgu fikseeritud teatav universaalhulk X . Hulga A täiendiks 

nimetatakse kõigi nende hulga X elementide hulka A ′ , mis ei 

kuulu hulka A: 

A ′ = {x|x = A}. 


Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 

A

Täiendi omadusi 



De Morgani seadused 



(A ∪ B) ′ = A ′ ∩ B ′ , (A ∩ B) ′ = A ′ ∪ B ′ 

Kahekordse täiendi seadus 

A ′′ = A 

Universaalse hulga ja tühja hulga reeglid 

/0 ′ = X , X ′ = /0, 

A ∪ A ′ = X , A ∩ A ′ = /0 


Hulkade vahe 





Kahe hulga A ja B vaheks nimetatakse hulka A \ B, mis 

koosneb kõigist niisugustest elementidest, mis kuuluvad hulka 

A, aga ei kuulu hulka B: 


A \ B = {x|x ∈ A ja x /∈ B} 

A B 




Hulkade sümmeetriline vahe 



Kahe hulga A ja B sümmeetriliseks vaheks nimetatakse hulka 

A△B, mis koosneb kõigist niisugustest elementidest, mis 

kuuluvad hulka A, aga ei kuulu hulka B, aga mitte mõlemasse 

korraga: 

A△B = {x|(x ∈ A ja x /∈ B) või (x /∈ A ja x ∈ B)} 


= {x|x ∈ A \ B või x ∈ B \ A)} 

A B 




Sümmeetrilise vahe omadusi 

Kommutatiivsus 


Distributiivsus ühisosaga 

Seos teiste tehetega 



A△B = B△A 

(A△B)△C = A△(B△C) 

A ∩ (B△C) = (A ∩ B)△(A ∩ C) 

A△B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) 




Hulkade otsekorrutis 



Kahe hulga A ja B otsekorrutiseks nimetatakse hulka A × B, 

mis koosneb kõigist järjestatud paaridest (x,y), kus x ∈ A ja 

y ∈ B: 

A × B = {(x,y)|x ∈ A ja y ∈ B} 

Paarides on elementide järjekord oluline. 

Lõpliku arvu hulkade A1,...,An otsekorrutis 

A1 × ... × An 

koosneb kõigist järjestatud n-elemendilistest komplektidest 

(x1,...,xn), kus x1 ∈ A1,...,xn ∈ An. 

Järjestatud n-elemendilisi komplekte nimetatakse korteežideks 

või vektoriteks. 









y ∈ B: 

A × B = {(x,y)|x ∈ A ja y ∈ B} 



A1 × ... × An 


(x1,...,xn), kus x1 ∈ A1,...,xn ∈ An. 











y ∈ B: 

A × B = {(x,y)|x ∈ A ja y ∈ B} 



A1 × ... × An 


(x1,...,xn), kus x1 ∈ A1,...,xn ∈ An. 











y ∈ B: 

A × B = {(x,y)|x ∈ A ja y ∈ B} 



A1 × ... × An 


(x1,...,xn), kus x1 ∈ A1,...,xn ∈ An. 




Näited 



Kui A = {1,2,3} ja B = {a,b}, siis 



A × B = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} . 

Kui A = B = [0,1], siis otsekorrutist A × B võib kujutada 

tasandi ühikruuduna. 

Kui A = {a,b,c,d,e,f ,g,h} ja B = {1,2,3,4,5,6,7,8}, siis 

otsekorrutist A × B võib vaadelda kui malelaua ruutude hulka. 


Näited 






A × B = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} . 






Näited 






A × B = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} . 






Otseaste 

Näiteks: 





Otsekorrutist A × A nimetatakse hulga A otseruuduks ja 

tähistatakse A 2 . 

üldiselt, otsekorrutist A × ... × A, kus hulk A esineb n korda, 

nimetatakse hulga A n-daks otseastmeks ja tähistatakse A n . 

R 2 = R × R esitab tasandi kõigi punktide hulka 

R 3 = R × R × R esitab ruumi kõigi punktide hulka 

R n esitab n-mõõtmelise ruumi kõigi punktide hulka 


Otseaste 

Näiteks: 





Otsekorrutist A × A nimetatakse hulga A otseruuduks ja 

tähistatakse A 2 . 

üldiselt, otsekorrutist A × ... × A, kus hulk A esineb n korda, 

nimetatakse hulga A n-daks otseastmeks ja tähistatakse A n . 

R 2 = R × R esitab tasandi kõigi punktide hulka 

R 3 = R × R × R esitab ruumi kõigi punktide hulka 

R n esitab n-mõõtmelise ruumi kõigi punktide hulka 




Otsekorrutise omadusi 

Otsekorrutis tühja hulgaga: 

Distributiivsus: 



A × /0 = /0, /0 × A = /0 

A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) 

A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) 

A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C) 



















Hulga elemente ja nende erinevaid kombinatsioone on tarvis osata 

kokku lugeda, selleks et 

... osata ennustada teatud sündmuse esinemise 

tõenäosust; 

... hinnata ülesande lahendite ja lahendusteede arvu; 

... hinnata algoritmi või programmi keerukust 

(ressursivajadust); 

... otsustada teatud algoritmide (nt krüptograafiliste, 

kodeerimis- jne algoritmide) korrektsuse üle; 

... 



Definitsioon 





Hulki A ja B nimetatakse võrdvõimsateks (tähistus |A| = |B| või 

A ∼ B), kui nende elementide vahel saab korraldada üksühese 

vastavuse. 

Definitsioon 

Hulga võimsus on võrdvõimsate hulkade ekvivalentsiklass, kuhu 

kuulub vaadeldav hulk. 

Definitsioon 

Hulga võimsus tähistavat sümbolit nimetatakse kardinaalarvuks. 

Lõpliku hulga kardinaalarvuks on selle hulga elementide arv: 

|{a1,...,an}| = n; lõpmatute hulkade kardinaalarvude korral 

kasutatatakse eritähiseid, nt ℵ0 tähistab loenduvat võimsust ja ℵ1 

kontiinumi võimsust. 



Definitsioon 







vastavuse. 

Definitsioon 



Definitsioon 








Definitsioon 







vastavuse. 

Definitsioon 



Definitsioon 









Lõpliku hulga võimsus 

A 

5 

2 

77 

50 

14 

B 

3 

12 

15 

0 

6 



|A| = |B| = 5 





A 

5 

2 

77 

50 

14 

B 

3 

12 

15 

0 

6 



|A| = |B| = 5 

f : A → B 

b = f (a) = 3(a − 2) 





A 

5 

2 

77 

50 

14 

B 

3 

12 

15 

0 

6 

3 

2 

C 

0 



|A| = |B| = 5 

f : A → B 

b = f (a) = 3(a − 2) 

|A| = |B| > |C| = 3 

g : B → C 

c = g(b) = b MOD 4 





A 

5 

2 

77 

50 

14 

D 

varblane 

vares 

kurg 

jaanalind 

B 

3 

12 

15 

0 

6 

3 

2 

C 

0 



|A| = |B| = 5 

f : A → B 

b = f (a) = 3(a − 2) 

|A| = |B| > |C| = 3 

g : B → C 

c = g(b) = b MOD 4 

Hulgal D olgu defineeritud järjestus: 

varblane < vares < kurg < jaanalind 

|| || || || 

D = { d1 < d2 < d3 < d4 } 

h : D → C 

c = h(d) = i − 1, kui d = di ja i = 2 

|A| = |B| > |D| = 4 > |C| 





A 

5 

2 

77 

50 

14 

D 

varblane 

vares 

kurg 

jaanalind 

B 

3 

12 

15 

0 

6 

3 

2 

C 

0 

1 

C 1 



|A| = |B| = 5 

f : A → B 

b = f (a) = 3(a − 2) 

|A| = |B| > |C| = 3 

g : B → C 

c = g(b) = b MOD 4 

Hulgal D olgu defineeritud järjestus: 

varblane < vares < kurg < jaanalind 

|| || || || 

D = { d1 < d2 < d3 < d4 } 

h : D → C ′ ⊃ C 

c = h(d) = i − 1, kui d = di 

|A| = |B| > |D| = |C ′ | 





Omadus 



Kui A on lõpliku hulga B pärisalamhulk (A B), siis 

NB! 

|A| < |B| 

See omadus ei kehti lõpmatute hulkade korral! 





Omadus 



Kui A on lõpliku hulga B pärisalamhulk (A B), siis 

NB! 

|A| < |B| 

See omadus ei kehti lõpmatute hulkade korral! 




Lõpmatu hulga võimsus 

Definitsioon 



Hulka, mis on sama võimsusega nagu naturaalarvude hulk, 

nimetatakse loenduvaks hulgaks. 

Loenduvad on parajasti need hulgad, mis on esitatavad 

lõpmatu jadana A = {a0,a1,a2,...}. 

Iga lõpmatu hulk sisaldab loenduvat alamhulka. 

Loenduva hulga iga lõpmatu alamhulk on samuti loenduv. 





Definitsioon 













Definitsioon 













Loenduvate hulkade omadusi: 



1 Loenduva hulga ja lõpliku hulga ühend on loenduv. 

2 Kahe loenduva hulga ühend on loenduv. 

3 Lõpliku hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 

4 Loenduva hulga paarikaupa erinevate lõplike hulkade ühend on 

loenduv. 

5 Loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv. 

6 Ratsionaalarvude hulk on loenduv. 

7 Kahe-, kolme jne mõõtmelise ruumi ratsionaalarvuliste 

koordinaatidega punktide hulk on loenduv 












loenduv. 
















loenduv. 
















loenduv. 
















loenduv. 
















loenduv. 
















loenduv. 









Teoreem 



Hulgad N ja (0,1) ei ole sama võimsusega. 

Tõestuse idee (Cantori diagonaliseerimise meetod – 1891). Valime hulga 

(0,1) elementidest lõpmatu jada r1,r2,..., millest igaühte saab esitada 

kümnendsüsteemis lõpmatu numbrite jadana: 

r1 = 0,α11α12 ...α1j ... 

r2 = 0,α21α22 ...α2j ... 

. . . . . . . . . . . . . 

ri = 0,αi1αi2 ...αij ... 

. . . . . . . . . . . . . 

Moodustame arvu r0 = 0,β1β2 ..., valides kümnendkohad selliselt, et 

β1 = α11,β2 = α22,...,βj = αjj .... See arv kuulub vahemikku (0,1), kuid 

on erinev jada r1,r2,... igast elemendist. m.o.t.t. 





Järeldus 1 



Reaalarvude vahemikud (0,1) ja (a,b) on sama võimsusega iga 

a 

Vahemike elementide x ∈ (0,1) ja y ∈ (a,b) vahelise üksühese vastavuse 

saab korraldada näiteks lineaarteisendusega 

y = a + (b − a)x 





Järeldus 2 



Reaalarvude hulk R ja vahemik (0,1) on sama võimsusega. 

Järelduse 1 põhjal on vahemikud (0,1) ja (−1,1) sama võimsusega. 

üksühene vastavus x ∈ (−1,1) ja r ∈ R tuleneb seosest 

 

x/(1 − x), kui x ∈ [0,1); 

r = 

x/(1 + x), kui x ∈ (−1,0). 

Geomeetriline interpretatsioon: 

(−1,1) 

x 

(1,1) 

x r 


r




Järeldus 2 




Järelduse 1 põhjal on vahemikud (0,1) ja (−1,1) sama võimsusega. 

üksühene vastavus x ∈ (−1,1) ja r ∈ R tuleneb seosest 

 

x/(1 − x), kui x ∈ [0,1); 

r = 

x/(1 + x), kui x ∈ (−1,0). 

Geomeetriline interpretatsioon: 

x 


r




Järeldus 2 




Alternatiivne vastavus: 

x 

r 

r = tan π 2 x 





Definitsioon 



Hulka, mis on sama võimsusega nagu reaalarvude hulk, nimetatakse 

kontiinumi võimsusega hulgaks. 

Kontiinumi võimsuse tähiseks on ℵ1. 

Kontiinumi võimsusega hulkade näited: 

Vahemik (a,b) ja lõik [a,b]; 

Samuti poollõigud (a,b] ja [a,b); 

Hulgad R n , kus n = 1,2,3,...; 

Kompleksarvude hulk C. 





Definitsioon 



Hulka, mis on sama võimsusega nagu reaalarvude hulk, nimetatakse 

kontiinumi võimsusega hulgaks. 

Kontiinumi võimsuse tähiseks on ℵ1. 

Kontiinumi võimsusega hulkade näited: 

Vahemik (a,b) ja lõik [a,b]; 

Samuti poollõigud (a,b] ja [a,b); 

Hulgad R n , kus n = 1,2,3,...; 

Kompleksarvude hulk C. 


Omadus 





Kui A on (lõpmatu) hulga B pärisalamhulk (A B), siis 

Omadus 

|A| |B| 

ℵ0 < ℵ1 ehk |N| < |R| 














Definitsioon 





Hulga A astmehulgaks nimetatakse tema kõigi 

alamhulkade hulka P(A) 


Lõpliku n-elemendilise hulga astmehulga võimsus on 2 n 

Tõestuse idee 1: astmehulga moodustamiseks elementide valimise 

täielik otsustuspuu on n tasemega kahendpuu. Igal 

tasemel tehtavad otsustused on sõltumatud. Vt 

otsustuspuu näidet järgmisel slaidil. 

Tõestuse idee 2: alamhulkade sobiv loendamine (kodeerimine, 

indekseerimine, järjestamine) näitab, et alamhulkade 

arv on võrdne n-kohaliste kahendarvude hulga 

võimsusega. 






Otsustuspuu hulga A = {a,b,c} astmehulga 

moodustamiseks 

+ 

{a,b,c} 

c ∈ S 

+ 

− 

{a,b} 

b ∈ S 

− 

+ 

{a,c} 

+ 

c ∈ S 

− 

{a} 

a ∈ S 

+ 

{b,c} 

c ∈ S 

+ 

− 

{b} 

b ∈ S 

+ 

{c} 

c ∈ S 


− 

− 

− 

/0



Alamhulkade järjestamise viise 

1 Võimsuse järgi osaline järjstamine: 



/0,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 

2 Leksikograafiline järjestamine: 

ε,a,ab,abc,ac,b,bc,c 

3 Kodeerimine kahendarvudega / karakteristliku funktsioniga: 

Alamhulk Kahendkood Kümnendkood / indeks 

ε 000 0 

c 001 1 

b 010 2 

bc 011 3 

a 100 4 

ac 101 5 

ab 110 6 

abc 111 7 




Hulga ja astmehulga võimsused 




Hulga P(A) võimsus on suurem kui hulga A võimsus. 

Tõestuse idee. Kui leiduks üksühene vastavus f : A → P(A), siis 

defineeriksme hulga 

B = {x|x /∈ f (x)} 

Olgu b selline element, et f (b) = B. 

Kui eeldada, et b ∈ B, siis b /∈ f (b) ehk b /∈ B. 

Kui eeldada, et b /∈ B, siis b ∈ f (b) ehk b ∈ B. 

Mõlemal juhul vastuolu. m.o.t.t. 




Naturaalarvude astmehulga võimsus 




Naturaalarvude hulga alamhulkade hulk on sama võimsusega nagu 

reaalarvude hulk, st P(N) ∼ R. 

Tõestuse idee. Piisab tõestada, et P(N) ∼ [0,1). 

Naturaalarvude hulga igale alamhulgale A seame 

vastavusse reaalarvu 0, i0i1i2 ..., kus ik = 1 või 

ik = 0 vastavalt sellele, kas k ∈ A või k /∈ A. 

Reaalarvule x ∈ [0,1) seame vastavusse 

alamhulga, mis sisaldab või ei sisalda elementi k 

vastavalt sellele, kas lõigu [0,1) k-ndal 

pooleksjagamisel jääb arv x esimesse või teise 

poolde. m.o.t.t. 




Võimsuste hierarhia 



Vastavalt Cantori teoreemile on hulgad 

N,P(N),P(P(N)),... järjest suurenevate võimsustega 

hulgad. 

Nende hulkade ühend 

M = N P(N) P(P(N)) ... 

on veelgi suurema võimsusega. 

Hulgad M,P(M),P(P(M)),... on jällegi järjest suurenevate 

võimsustega hulgad jne. 









hulgad. 


M = N P(N) P(P(N)) ... 












hulgad. 


M = N P(N) P(P(N)) ... 







Kontiinumihüpotees (G. Cantor, 1877) 



Ei leidu hulka, mis oleks võimsam kui N, kuid vähem võimas kui R. 

1939. a tõestas Austria matemaatik 

Kurt Gödel, et kontiinumihüpoteesi 

eitus (vahepealsete võimsuste 

olemasolu) ei järeldu hulgateooria 

aksioomidest (Zermelo-Fraenkeli 

aksioomid + valikuaksioom). 

Kurt Gödel Paul Cohen 

(1906–1978) (1934–2007) 

1963. a tõestas Ameerika matemaatik Paul Cohen, et 

kontiinumihüpotees (vahepealsete võimsuste puudumine) ei 

järeldu hulgateooria aksioomidest. Seega kontiinumihüpotees 

on hulgateooria muudest aksioomidest sõltumatu. 




Üldistatud kontiinumihüpotees 



Ühegi hulgast S võimsama hulga võimsus ei ole väiksem kui P(S). 

Järeldus 

Kui kontiinumihüpotees kehtib, siis ℵ1 = 2 ℵ0 . 




Üldistatud kontiinumihüpotees 



Ühegi hulgast S võimsama hulga võimsus ei ole väiksem kui P(S). 

Järeldus 

Kui kontiinumihüpotees kehtib, siis ℵ1 = 2 ℵ0 .

Hulgad, tehted hulkadega. Hulga elementide loendamine - Cs.ioc.ee

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

Hulgad, tehted hulkadega. Hulga elementide loendamine - Cs.ioc.ee

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

Delete template?

Save as template ?