GRAAFITEOORIA

Graafi definitsioon ja lihtsamad omadused 

Teed, tsüklid ja sidusus 

Euleri graafid 

Hamlitoni graafid 

GRAAFITEOORIA 

Teema 7 

Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Graafiteooria





Loengu kava 

1 Graafi definitsioon ja lihtsamad omadused 

2 Teed, tsüklid ja sidusus 

3 Euleri graafid 

4 Hamlitoni graafid 






Graafi definitsioone 

Definitsioon A 

Graaf G on struktuur G = (V ,E), kus 

V = V (G) on tippude hulk; 

E = E(G) ⊆ V × V on servade hulk. 

Definitsioon B 

Graaf G on struktuur G = (V ,E,E ), kus 

Märkus 


E = E(G) on servade hulk; 

E : E → P(V ) on intsidentsusfunktsioon, nii et iga e ∈ E korral |E (e)| = 1 või 

|E (e)| = 2. 

Käesolevas kursuses vaatleme üldiselt graafe, kus V ja E on lõplikud hulgad. 













Märkus 




|E (e)| = 2. 














Märkus 




|E (e)| = 2. 







Graafi näide 

Olgu V = {v1,v2,v3,v4} ja E = {e1,e2,e3,e4,e5,e6} 

e E (e) 

e1 {v1,v2} 

e2 {v2,v3} 

e3 {v2,v4} 

e4 {v3,v4} 

e5 {v3,v4} 

{v2} 

e6 

Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Graafiteooria 

v1 

v4 

e1 

e3 

e4 

e5 

e6 

v2 

e2 

v3





Graafi näide 

Peterseni graaf: 

Balabani graaf: 






Servad 

Kui E (e) = {u,v}, siis tippe u ja v nimetatakse serva e otstippudeks. 

Tähistame ka u e 

−− v või ka lihtsalt uv. 

e ∈ E on kordne serv, kui leidub serv e ′ ∈ E \ {e}, nii et E (e) = E (e ′ ). 

e ∈ E on silmus, kui |E (e)| = 1. 

Lihtgraaf on graaf ilma kordsete servade ja silmusteta. 

Olgu mingil hulgal V määratud sümmeetriline binaarne relatsioon ρ ⊆ V × V , nii 

et (x,x) = ρ ühegi x ∈ V korral, määrab ρ lihtgraafi tippude hulgaga V ja 

servade hulgaga 

E = {(x,y)|x,y ∈ V ,xρy} 

. 

(Suunamata) lihtgraafis vastab servale e ∈ E, kus E (e) = {u,v}, 

alamhulk{(u,v),(v,u)} ⊆ V × V . 

Kui lihtgraafi servale e ∈ E, kus E (e) = {u,v} on vastavusse seatud paar 

(u,v) ∈ V × V , nimetatakse serva e suunatud servaks ehk kaareks. 

Kui graafi G servade hulk E(G) koosneb ainult kaartest, nimetatakse graafi 

suunatud graafiks ehk orienteeritud graafiks ehk o-graafiks. 






Servad 










E = {(x,y)|x,y ∈ V ,xρy} 

. 












Servad 










E = {(x,y)|x,y ∈ V ,xρy} 

. 












Servad 










E = {(x,y)|x,y ∈ V ,xρy} 

. 












Servad 










E = {(x,y)|x,y ∈ V ,xρy} 

. 












Servad 










E = {(x,y)|x,y ∈ V ,xρy} 

. 












Servad 










E = {(x,y)|x,y ∈ V ,xρy} 

. 












Servad 










E = {(x,y)|x,y ∈ V ,xρy} 

. 












Naabrusmaatriks 

Olgu G = (V ,E) mittesuunatud lihtgraaf tippudega V = {v1,...,v1,. . . ,vn}. 

Definitsioon 

Graafi G naabrusmaatriksiks on n × n maatriks A = 

aij , kus 

 

1, kui (vi ,vj ) ∈ E 

aij = 

0, kui (vi ,vj ) /∈ E 

Kui aij = 1, nimetame tippe vi ja vj naabriteks. 

Tipu v ∈ V naabrite arvu deg(v) nimetatakse tema astmeks ehk valentsiks. 

Naabrusmaatriks on sümmeetriline ja peadiagonaalil on nullid. 

v1 

v4 

e1 

e3 

e4 

v2 

e2 

v3 

1 2 3 4 

1 0 1 0 0 

2 1 0 1 1 

3 0 1 0 1 

4 0 1 1 0 






Graafi paarituvalentsete tippude arv 

Teoreem 7.1.1. 

Mittesuunatud lihtgraafis on paarisarv paaritu astmega tippe. 

Tõestuse idee. Induktsioon servade arvu järgi, vt illustreerivat näidet, mustad tipud 

on paarisarvulise astmega. 






Teed, tsüklid ja sidusus: mõisted 

Tee ehk ahel graafis G = (V ,E) (tipust x tipuni y) on jada 

P : x = x0 e1 −− x1 e2 −− x2 e3 −− x3 e4 ek−1 −− ··· −− xk−1 ek −− xk = y. 

Arvu k nimetatakse tee P pikkuseks ja tähistatakse |P|. 

Seda, et P on tee tipust x tipuni y, tähistame x P y. 

Teed, kus tipud on kõik erinevad (erandina võivad x0 ja xk võrdsed 

olla), nimetame lihtteeks. 

Teed, kus x0 = xk, nimetame kinniseks teeks. 

Kinnist lihtteed nimetame tsükliks. 

Graaf on sidus, kui tema iga kahe tipu vahel leidub tee. 

Kauguseks d(u,v) tippude u,v ∈ V vahel nimetatakse neid 

ühendava lühima lihtahela pikkust. 






Tsükli leidumine 

Teoreem 

Graafis G = (V ,E), mille iga tipu v ∈ V aste deg(v) 2, leidub 

tsükkel. 

Tõestus. 

Silmus on tsükkel ning kordsed servad annavad tsükli pikkusega 2. 

Oletame väitevastaselt, et G on tsüklivaba lihtgraaf ja v1 ∈ V tema tipp. Kuna 

tipu v1 astak on vähemalt 2, siis leidub v2 ∈ V , nii et v1 −− v2. Kuna ka 

deg(v2) 2, siis saab leida tipu v3, nii et v1 −− v2 −− v3. 

Analoogiliselt saab iga k korral lihtahelat v1 −− v2 −− ··· −− vk pikendada tipuni 

vk+1. 

Lihtahela pikkus on aga piiratud hulga V võimsusega ning varem või hiljem 

peab tekkima tsükkel. 


m.o.t.t.





Alamgraafid 

Näide 

Graafi G = (V ,E) alamgraafiks nimetame graafi G ′ = (V ′ ,E ′ ), kui 

V ′ ⊆ V ja E ′ ⊆ E ning iga e ∈ E ′ jaoks kehtib E (e) ⊆ V ′ . 

Alamgraafi (V ′ ,E ′ ) nimetame industeerituks (hulga V ′ poolt), kui 

hulk E ′ on V ′ jaoks suurim võimalik, s.t. iga e ∈ E jaoks kehtib 

E (e) ⊆ V ′ ⇒ e ∈ E ′ . 

v1 

v4 

v2 v1 

v3 

v2 v1 

Graafi G sidususkomponentideks nimetatakse tema maksimaalseid 

sidusaid alamgraafe. 


v3 

v2 

v3





Alamgraafid 

Näide 

Graafi G = (V ,E) alamgraafiks nimetame graafi G ′ = (V ′ ,E ′ ), kui 

V ′ ⊆ V ja E ′ ⊆ E ning iga e ∈ E ′ jaoks kehtib E (e) ⊆ V ′ . 

Alamgraafi (V ′ ,E ′ ) nimetame industeerituks (hulga V ′ poolt), kui 

hulk E ′ on V ′ jaoks suurim võimalik, s.t. iga e ∈ E jaoks kehtib 

E (e) ⊆ V ′ ⇒ e ∈ E ′ . 

v1 

v4 

v2 v1 

v3 

v2 v1 

Graafi G sidususkomponentideks nimetatakse tema maksimaalseid 

sidusaid alamgraafe. 


v3 

v2 

v3





Graafide homomorfism 

Definitsioon 

Homomorfism graafist G1 = (V1,E1) graafi G2 = (V2,E2) on kujutus f : V1 → V2, nii 

et tipud x,y ∈ V1on naabrid parajasti siis, kui tipud f (x),f (y) ∈ V2 on naabrid. 

Näide 

v1 

v4 

v2 

v3 

v ′ 

1 

Homomorfismide kompositsioon on homomorfism. 

Homomorfism f on monomorfism, kui ta on üksühene. 

Homomorfism f on isomorfism, kui ta on bijektsioon. 

Graafid G1 ja G2 on isomorfsed (tähist. G1 ∼ = G2), kui nende vahel leidub 

isomorfism. 


v ′ 

2 

v ′ 

3





Graafide homomorfism 

Definitsioon 

Homomorfism graafist G1 = (V1,E1) graafi G2 = (V2,E2) on kujutus f : V1 → V2, nii 

et tipud x,y ∈ V1on naabrid parajasti siis, kui tipud f (x),f (y) ∈ V2 on naabrid. 

Näide 

v1 

v4 

v2 

v3 

v ′ 

1 

Homomorfismide kompositsioon on homomorfism. 

Homomorfism f on monomorfism, kui ta on üksühene. 

Homomorfism f on isomorfism, kui ta on bijektsioon. 

Graafid G1 ja G2 on isomorfsed (tähist. G1 ∼ = G2), kui nende vahel leidub 

isomorfism. 


v ′ 

2 

v ′ 

3





Null- ja täisgraaf 

Definitsioon 

Täisgraafiks nimetatakse graafi, kus iga kahe erineva tipu vahel on üks serv. n-tipulist 

täisgraafi tähistatakse Kn. 

Definitsioon 

Nullgraafiks nimetatakse graafi, milles pole servi. n-tipulist nullgraafi tähistatakse On 

või Nn. 

Näide; graafid K5 ja O5 

Omadus. Graafis Kn on n(n − 1)/2 serva. 

Tõestuse idee. Induktsiooniga tippude arvu n järgi. 






Kahealuselised graafid 

Definitsioon 

Graaf G = (V ,E) on kahealuseline, kui V on tükeldatav kaheks hulgaks (aluseks) V1 

ja V2 (s.t. V1 ∪ V2 = V ja V1 ∩ V2 = /0) nii, et ühegi serva mõlemad otstipud ei kuulu 

samasse alusesse. 

Näide 

Kui ρ on relatsioon hulkade X ja Y (kus X ∩ Y = /0) vahel, siis lihtgraaf tipuhulgaga 

V = X ∪ Y ja servahulgaga 

on kahealuseline graaf alustega X ja Y . 

E = {(x,y),(y,x)|x ∈ X ,y ∈ Y ,xρy} 

Kahealuseline lihtgraaf alustega V1 ja V2 on täielik kahealuseline graaf, kui iga 

v1 ∈ V1 ja v2 ∈ V2 vahel leidub serv. Täielikku kahealuselist graafi, kus |V1| = m ja 

|V2| = n, tähistatakse Km,n. 

Omadus 

Graafis Km,n on mn serva. 






Kahealuselise graafi tsüklid 


Graaf on kahealuseline parajasti siis, kui kõik tema tsüklid on paarisarvulise pikkusega. 

Tarvilikkuse tõestus. 

Tsüklis on mingi arv samme esimesest alusest teise ja samapalju samme teisest alusest 

esimesse. 

Piisavuse tõestus. 

Eeldame, et graaf G = (V ,E) on sidus. Vastasel korral viime järgneva operatsiooni 

läbi iga sidususkomponendiga. 

Värvimeme graafi G tippe mustaks ja valgeks: 

Valime mingi tipu v0 ∈ V ja värvime ta valgeks. 

Olgu u mingi värvitud tipp, millel on värvimata naabreid. Olgu v üks tema 

värvimata naabertippudest, mille värvime teist värvi, kui u. Jätame meelde, et 

v-d värvides lähtusime u värvist, tähistades v c −→ u. 

Kordame eelmist punkti, kuni tekivad sama värvi naabertipud x ja y, või kuni 

tipud saavad otsa. vt. järgmine slaid ... 






Kahealuselise graafi tsüklid (2) 

Tõestus jätkub .... 

Kui tekivad sellised tipud x ja y, siis on meil paarituarvulise pikkusega tsükkel 

x −− ··· −− v ′ −− ··· −− y −− x. 

y c 

x 

c 

c 

c 

c 

c 

Selline situatsioon on vastuolus eeldusega ning ei saa tekkida. Sellisel juhul saab aga 

moodustada valgetest tippudest ühe ja mustadest teise aluse. m.o.t.t. 

v ′ 

c 


c 

c 

v0






Euleri ahelaks graafis G = (V ,E) nimetatakse 

kinnist ahelat, mis läbib selle graafi iga serva 

täpselt üks kord. 

Euleri graafiks nimetatakse graafi, milles leidub 

Euleri ahel. 

Graafi, milles leidub lahtine ahel, mis läbib selle 

graafi iga serva täpselt üks kord, nimetatakse 

Euleri semigraafiks. 

Leonhard Euler 

(1707–1783) 






Euleri ahela näide 






Veel Euleri ahela näiteid 

Levinud ajaviiteülesanne: joonistada etteantud kujund pliiatsit 

paberilt tõstmata ja ühtegi joont mitu korda tõmbamata. 






Euleri graafi põhiomadus 


Olgu G = (V ,E) sidus graaf. Järgmised kolm väidet on samaväärsed: 

(a) G on Euleri graaf; 

(b) kõigi tippude aste on paarisarv; 

(c) E esitub paarikaupa lõikumatute tsüklite ühendina. 

Tõestus. 

(a)⇒(b). Olgu P graafi G mingi Euleri ahel. Ahel P läbib iga tipuga v ∈ V 

intsidentset serva ühel korral ning siseneb tippu v sama arv kordi kui ta sealt väljub. 

Seega on tipu v aste paarisarv. 

(b)⇒(c). Induktsion servade arvu järgi. 

Baas. kui |E| = 0, siis on tinginmus triviaalselt täidetud. 

Samm. Vastavalt eeldusele on kõigi tippude aste vähemalt kaks ning tsükli leidumise 

teoreemi kohaselt peab graafis G sisalduna vähemalt üks tsükkel C. Moodustame 

graafi G ′ sellel teel, et kustutame graafis G leitud tsükli C servad. Graafi G ′ tipud on 

endiselt paarisarvulise astakuga ning induktsiooni eelduse kohaselt iga siduskomponendi 

servade hulk avaldub paarikaupa lõikumatute tsüklite servade hulkade ühendiga. 

Sellisel juhul saab graafi G servade hulga esitada G ′ tsüklite ja C kaarte ühendina. 






Euleri graafi põhiomadus (tõestuse jätk ...) 

(c)⇒(a). Olgu E = C1 ˙∪C2 ˙∪... ˙∪Cn,kus C1,...,Cn on tsüklid. 

Üldisust kitsendamata eeldame, et tsüklitel Ci ja Cj , kus 0 j < i,on ühiseid tippe. 

Konstrueerime kinnised ahelad P1,...,Pn. Konstruktsioon tagab, et Pi läbib tsüklite 

C1,...,Ci iga serva täpselt üks kord ning ei läbi ühtegi ülejäänud serva. 

Ahelaks P1 võtame tsükli C1. 

Ahela Pi saame ahelast Pi−1 järgmisel viisil. 

Liigume ahelas Pi−1 senikaua, kuni jõuame mingi tipuni v, mis 

esineb ka tsüklis Ci. 

Läbime tsükli Ci, alustades ja lõpetades tipus v. 

Läbime ülejäänud osa ahelast Pi−1. 

Ahel Pn on Euleri ahel graafis G. m.o.t.t. 






Euleri ahela leidmise näide 

Tõestus annab algoritmi Euleri ahela leidmiseks graafis G: 

a) eraldada G servade hulgast tsüklid; 

b) panna tsüklitest kokku Euleri ahel. 

Järgnevatel slaididel on demonstreeritud algoritmi tööd näite varal. 






Euleri ahela leidmise näide (2) 

a b 

e f g h 

c d 







a b 

e f g h 

c d 







a b 

e f g h 

c d 







a b 

e f g h 

c d 







a b 

e f g h 

c d 







a b 

e f g h 

c d 


e 

a 

c






a b 

e f g h 

c d 


e 

a 

c






a b 

e f g h 

c d 

a b 

c 

f 

d 


e 

a 

c






a b 

e f g h 

c d 

a b 

c 

f 

d 


e 

a 

c






a b 

e f g h 

c d 

a b 

c 

f 

d 

e 

a 

c 

b 

g h 


d






a b 

e f g h 

c d 

a b 

c 

f 

d 

e 

a 

c 

b 

g h 


d






1 

a b 

e 2 f g h 

3 

c d 

a b 

c 

f 

d 

e 

a 

c 

b 

g h 


d






1 

a 2 b 

e 7 f g 3 h 

8 

6 

5 

c 4 d 

a b 

c 

f 

d 

e 

a 

c 

b 

g h 


d






1 

a 2 b 

e 11 f g 7 h 

12 

10 

9 

c 8 d 

a b 

c 

f 

6 

5 

d 

3 

4 

e 

a 

c 

b 

g h 


d





Euleri semigraafid 

Järeldus 

Sidus graaf G on Euleri semigraaf parajasti siis, kui graafis G on täpselt kaks 

paarituarvulise astmega tippu. 

Tõestus. 

⇒ Olgu x P y ahel graafis G, mis läbib G iga serva täselt ühe korra. Lisame G-le 

täiendava serva e, nii et E (e) = {x,y}. Saadud graaf on Euleri graaf (x P y e 

−− x on 

Euleri ahel), seega on seal kõigi tippude aste paarisarvuline. Järelikult esialgses graafis 

on x ja y paarituarvulise ning ülejäänud tipud paarisarvulise astmega. 

⇐ Olgu x ja y graafi G paarituarvulise astmega tipud. Lisame G-le täiendava serva e, 

nii et E (e) = {x,y}. Saadud graafis on kõigi tippude aste paarisarvuline, seega leidub 

seal Euleri ahel P. Üldisust kitsendamata eeldame, et viimane serv ahelas P on e. 

Ahel P ilma servata e on ahel, mis läbib graafi G iga serva täpselt ühe korra. m.o.t.t. 






Kokkuvõtteks Euleri graafidest 

Teoreem 7.3.1 

Olgu G sidus graaf. 

(a) Kui graafil G on rohkem kui kaks paaritu astmega tippu, siis 

tal puudub Euleri ahel; 

(b) Kui graafil G on täpselt kaks paaritu astmega tippu. siis on tal 

lahtine Euleri ahel, mis algab ühest ja lõpeb teises paaritu 

astmega tipus; 

(c) Kui graafil G puuduvad paaritu astmega tipud, siis tal on 

kinnine Euleri ahel (e. G on Euleri graaf). 






Hamiltoni graafid 

Hamiltoni tsükliks graafis G = (V ,E) nimetatakse 

tsüklit, mis läbib selle graafi kõik tipud täpselt 

üks kord. 

Hamiltoni ahelaks graafis G = (V ,E) nimetatakse 

lahtist lihtahelat, mis läbib selle graafi kõik tipud 

täpselt üks kord. 

Hamiltoni graafiks nimetatakse graafi, milles 

leidub Hamiltoni tsükkel. 

Graafi, milles ei leidu Hamiltoni tsüklit, kuid 

leidub Hamiltoni ahel, nimetatakse Hamiltoni 

semigraafiks. 

William R. Hamilton 

(1805–1865) 

Kontrollimine, kas graafis leidub Hamiltoni tsükkel, on NP-keerukas ülesanne. 

Ei ole teada (mittetriviaalseid) tingimusi, mis oleksid tarvilikud ja piisavad 

graafis Hamiltoni tsükli või ahela leidumiseks. 






Näited Hamiltoni ahela või tsükli leidmisest: 

Allikas: wikipedia.org, c○Christoph Sommer, GFDL / cc-by-sa; c○Claudio Rocchini 






Teoreem (Ore, 1960) 

Olgu G = (V ,E) lihtgraaf, kus |V | = n 3. Kui iga kahe tipu 

u,w ∈ V jaoks kehtib implikatsioon 

(u,w) /∈ E ⇒ deg(u) + deg(w) n, 

siis leidub graafis G Hamiltoni tsükkel. 

Järeldus (Dirac,1952) 

Kui G = (V ,E) on n-tipuline lihtgraaf, kus iga tipu v ∈ V jaoks 

kehtib deg(v) n/2, siis on G Hamiltoni graaf.

GRAAFITEOORIA - Cs.ioc.ee

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

GRAAFITEOORIA - Cs.ioc.ee

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

Delete template?

Save as template ?