Sissejuhatus fraktaalsesse muusikasse

Sissejuhatus fraktaalsesse muusikasse 

Dmitri Kartofelev, Jüri Engelbrecht 

Tallinna Tehnikaülikool, Küberneetika Instituut, CENS 

19. märts 2012 

Dmitri Kartofelev, Jüri Engelbrecht (CENS) Mittelineaarne dünaamika 19. märts 2012 1 / 56

Loengu kava 

1 Ajaloost 

2 Sissejuhatus, kasutatavad mõisted 

3 Musikaalsed fraktalid, kujutised, jadad, jne. 

4 Erinevused mida ekspluateerida 

5 Muusikapala kokkupanek: põhiidee 

6 Kokkuvõte ja järeldused 


Ajaloost 

570s e.m.a Pythagoras uskus, et muusika on seotud 

numbritega (formalism: numbrid kui muusika 

allikas) 

90s m.a.j Ptolemy uskus, et astronoomia ja muusika on 

seotud numbritega. Muusikat saab kirjeldada 

matemaatiliste võrranditega 

1026 Guido d’Arezzo lõi algoritmilist muusikat 

liturgiliste tekstistide alusel (oma aja nõutuim 

helilooja) 

15 saj. Kanoonilise muusika esitamine kloostrites 


Ajaloost 

1756 Mozart Musikalisches Wurfelspiel - 

muusikaline täringumäng 

1815s Ada Lovelace (esimene programeerija, töötas 

koos Charles Babbage’ga programeeritava 

arvuti loojaga) 

”Supposing, for instance, that the fundamental relations of pitched 

sound in the signs of harmony and of musical composition were 

susceptible of such expression and adaptations, the engine might 

compose elaborate and scientific pieces of music of any degree of 

complexity or extent.” – Ada Lovelace 


Ajaloost 

Joonis: Ada Lovelace ja Charles Babbage’i Analytical Engine 


Ajaloost 

1945 Dodekafoonia, seriaalne muusika, serialistlik 

meetod, looja: Arnold Schoenberg 

1950 Esimene arvuti (CSIRAC) mis programeeriti 

esitama muusikat 

1955 - 57 Arvuti ILLIAC loob algoritmilist muusikat 

(tulemus anti muusikutele esitada) 

1990 Personaalrvutid suudavad reaalajas 

genereerida ning esitada keerulisi algoritme 

2000 Nutitelefonid suudavad reaalajas genereerida 

ning esitada keerulisi algoritme 


Ajaloost 

Joonis: CSIRAC (Council for Scientific and Industrial Research 

Automatic Computer) või CSIR Mk 1 


Sissejuhatus 

Masingenereeritud muusika on mahukas teema 

Fraktaalne muusika (≡ fraktal) kuulub 

masingenereeritud muusika alamhulka 

Tutvustame lihtsamaid võtteid mida on mugav 

personaalarvutis kasutada, laskumata tehnilistesse 

peensustesse 


Mõiste: fraktal 

Fraktalit iseloomustab enesesarnasus igas mõõtkavas 

Joonis: Juulia hulk zn+1 = 2−5z3 n 

6z 2 n −6zn−1 


Mõisted: kujutus ja kujutis 

Kujutus on reegel või eeskiri mille alusel ühe hulga 

elemendid seotakse teise hulga elementidega 

Joonis: Kujutus ja kujutuse kujutis 


Mõiste: kuldlõige 

a + b 

a 

= a 

b 

= ϕ ≈ 1.61803 (1) 

Joonis: Kuldlõige Fibonacci spiraalis 


Graafilised meetodid 

Fraktalit kujutavas graafikas on võimalik ära kasutada 

muusika tegemiseks. Taoline võte pole meile sobilik. 

Joonis: Hilberti kõver ja selle tõlgendamine 


Logistiline kujutis 

Logistiline kujutis on esitatav kujul 

yn+1 = ryn(1 − yn) (2) 

kus r on kontrollparameeter vahemikus (0, 4] 


Logistiline kujutis 

Muusikapala mis on tehtud kasutades logistilist kujutist 

Esita (20 s) 

Joonis: Logistiline kujutis kus y0 = 0.1 ja r = 3.71 


1/f müra generaator 

1/f müra generaator on esitatav kujul 

yn+1 = myn + k 1 − m 2 (3) 

m on vahemikus [0, 1] ja k on juhuslikult gen. arv 

muusika tegemisel asendatakse k väärtused 

logistilise kujutise väärtustega kusjuures r = 4 


1/f müra generaator 

Muusikapala mis on tehtud kasutades 1/f müra 

Esita (20 s) 

Joonis: 1/f müra kus x0 = 0.1 ja m = 0.7 


Lorenzi fraktal 

Lorenzi fraktal on esitatav kujul 

yn+1 = a(3yn − 4y 3 n) (4) 

parameeter a on määratud vahemikus [0, 1] 

muusika tegemisel sobib paremini vahemik [0.65, 1] 


Lorenzi fraktal 

Muusikapala mis on tehtud kasutades Lorenzi fraktalit 

Esita (20 s) 

Joonis: Lorenzi fraktal kus a = 0.97 ja y0 = 0.1 


Henoni fraktal 

Henoni fraktal on esitatav kujul 

 

xn+1 = 1 + yn − ax 2 n 

yn+1 = bxn 

Muusika tegemiseks valime 

a = 1.4 ja b = 0.3 

Muusikapala mis on tehtud 

kasutades Henoni fraktalit 

Esita (20 s) 

(5) 

Joonis: Henoni fraktal kus 

a = 1.4, b = 0.3, 

x0 = y0 = 1, 10 4 

iteratsiooni (suured 

väärtused hüljatud) 


Hopalongi fraktal 

Hopalongi fraktal on esitatav kujul 

 

 

xn+1 = yn − sgn xn |bxn − c| 

yn+1 = a − xn 

(6) 

kus a, b ja c on kontroll parameetrid 

Muusikapala mis on tehtud kasutades 

Hopalongi fraktalit 

Esita (20 s) 

Joonis: 

Hopalongi fraktal 

kus a = −55, 

b = 17, c = −21, 

x0 = y0 = 0, 

5 · 10 4 it.-i 


Piparkoogimehike 

Piparkoogimehikese fraktal on 

esitatav kujul 

 

xn+1 = 1 − yn + |xn| 

(7) 

yn+1 = xn 

muusika tegemiseks määrame 

x0 = −0.1 ja y0 = 0 

Muusikapala mis on tehtud 

kasutades piparkoogimehikese 

fraktalit 

Esita (20 s) 

Joonis: Piparkoogihehike 

kus x0 = −0.1, y0 = 0 ja 

5 · 10 4 it.-i 


Morse-Thue jada 

Morse-Thue jada moodustamine (lihtsaim juht) 

Detsimaalne Binaarne Bin el. summa 

1 0001 1 

2 0010 1 

3 0011 2 

4 0100 1 

5 0101 2 

6 0110 2 

7 0111 3 

8 1000 1 

9 1001 2 


Morse-Thue jada 

Muusikapala mis on tehtud kasutades Morse-Thue jada 

Esita (20 s) 

Joonis: Morse-Thue jada 


L-süsteemid (Lindenmayeri süsteemid) 

Kõige olulisem meetod mida kasutatakse muusika 

genereerimiseks. Meetodi looja oli Lindenmayer. Algselt 

kasutatud bioloogias. 

Joonis: L-süsteemid, fraktaalsed taimed 


L-süsteemid 

L-süsteemide kategooriad: 

Konteksti vabad (OL) ja konteksti tundlikud (IL: 0L, 

1L, 2L, jne.) 

Deterministlikud (DL) ja stohastilised 

Sulustatud 

Paljundavad (PL) ja mitte-paljundavad 

Tabel L-süsteemid (TL) 

Parameetrilised L-süsteemid 

Laiendatud L-süsteemid 


L-süsteemid 

Muusikapala mis on tehtud kasutades L-süsteemi 

Reeglid: P1: a → ab 

P2: b → a 

Aksioom: b 

n = 0 : b 

n = 1 : a 

n = 2 : ab 

n = 3 : aba 

n = 4 : abaab 

n = 5 : abaababa 

Esita (20 s) 

Joonis: Tõlgendame: a = 0.2 

ja b = −0.2 


Rahetera numbrid 

3n + 1 numbrid (rahetera numbrid) 

Võta üks 1-st suurem täisarv 

Kui see arv on paaris jaga see 2-ga 

Kui paaritu korruta 3-ga ja liida 1 

Rahetera numbrid alustades nr. 7-st 

7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 

4, 2, 1, 4, 2, 1, lõpeta või alusta uuesti 


Rahetera numbrid 

Pikima jada saab siis kui alustada nr. 27-st 

Joonis: Rahetera nr.-d, y0 = 27, teostatakse 111 sammu 


Muid fraktaleid mida kasutada 

Popcorni fraktal 

 

xn+1 = xn − h sin(yn + tan 3yn) 

yn+1 = yn − h sin(xn + tan 3xn) 

Joonis: Popcorni fraktal kus h = 0.05, x0 = −0.1, y0 = 0 ja 5 · 10 4 

it.-i 



Puu aastaringide fraktal 

 

xn+1 = yn − sgn xn| sin xn cos b + c − xn sin(a + b + c)| 

yn+1 = a − xn 

Joonis: Puu aastaringide fraktal kus a = −50, b = −1, c = −45, 

x0 = y0 = 1 ja 5 · 10 4 it.-i 



Quadrup-Two fraktal 

 

xn+1 = yn − sgn xn sin(ln |b(xn − c)|) tan −1 |c(xn − b)| 2 

yn+1 = a − xn 

Joonis: Quadrup-Two fraktal kus a = −50, b = −1, c = −41, 

x0 = −1, y0 = 1 ja 5 · 10 4 it.-i 



Mira fraktal 

xn+1 = byn + axn + 2(1−a)x2 n 

1+x 2 n 

yn+1 = −xn + axn+1 + 2(1−a)x2 n+1 

1+x 2 n+1 

Joonis: Mira fraktal kus a = 0.31, b = 1, x0 = 12, y0 = 0 ja 5 · 10 4 

it.-i 



Martini fraktal 

xn+1 = yn − sin xn 

yn+1 = a − xn 

Joonis: Martini fraktal kus a = 0.31, x0 = y0 = 0 ja 5 · 10 4 it.-i 



Hopalong 2 fraktal 

 

 

xn+1 = yn + sgn xn |bxn − c| 

yn+1 = a − xn 

Joonis: Hopalong 2 fraktal kus a = −55, b = 17, c = −21, 

x0 = y0 = 0 ja 5 · 10 4 it.-i 




 

 

xn+1 = yn − sgn xn |bx2 n − c| 

yn+1 = a − xn 

Joonis: Hopalong 3 fraktal kus a = −55, b = −1, c = −41, 

x0 = y0 = 0 ja 5 · 10 4 it.-i 




 

xn+1 = yn + sgn xn|bxn − c| 

yn+1 = a − xn 

Joonis: Hopalong 4 fraktal kus a = 0.6, b = 1.5, c = −2.5, 

x0 = y0 = 1 ja 5 · 10 4 it.-i 




 

xn+1 = yn − sgn xn cos |bxn − c| 

yn+1 = a − xn 


x0 = y0 = 0 ja 5 · 10 4 it.-i 




 

xn+1 = yn − sgn xn log |bxn − c| 

yn+1 = a − xn 


x0 = y0 = 0 ja 5 · 10 4 it.-i 




 

 

xn+1 = yn − sgn xn |xn sin a − cos a| 

yn+1 = a − xn 

Joonis: Hopalong 7 fraktal kus a = −26, x0 = y0 = 0 ja 5 · 10 4 it.-i 



jne, jne, jne. 


Erinevad omadused mida ekspluateerida 

Fraktali sisesed erinevused 

Tugev sõltuvus kontrollparameetrite valikust 

Tugev sõltuvus algtingimuste valikust 

Joonis: Mira fraktal kus a = 0.7, b = 0.9998, x0 = 9, y0 = 0 ja 

5 · 10 4 it.-i, muutus algtingimuses ∆y0 = 10 −4 



Fraktalite vahelised erinevused 

Erinevad fraktalid on erineva käitumisega 

Erinevused tihedus spektrites 

Joonis: Logistiline kujutis kus y0 = 0.1, r = 3.71 vs. Morse-Thue 

jada 



Fraktali vahelised erinevused 

Aegrea pikkus, näiteks rahetera nr.id, L-süsteemid 

Aegrea kuju, kui järsud on muutused ühes 

iteratsioonis 

Suurem või väiksem näiline kaotilisus (võrdle arv 

π-ga) 

Enesesarnasus, reskaleerimisega esile kutsutud 

muutus 


Muusikapala kokkupanek: põhiidee 

Helikõrguste diapasooni 

valik 

Helikõrguste sammu 

valik (∆f = fn+1 − fn) 

Normeerime valitud 

fraktali aegrea valitud 

vahemikku 

 

f0 = 27.5[Hz] 

fn+1 = fn 12√ 2 

(8) 



Muusikariista tämber ehk kõla 






















Erivevate motiivide (pala osade) vaheldumine on 

soovitatav siduda kuldlõikega (kuldlõige meeldib meie 

ajule) 





ajule) 





ajule) 





ajule) 





ajule) 





ajule) 


Tarkvara 

cgMusic 

FractalMus 

(linux) 

Fractal Tune 

Smithy 

Fractal Music 

Composer 


Muusikalised näited 

Muusikapala nr. 1 

Esita (50 s) 


Esita (50 s) 


Esita (50 s) 


Kokkuvõte ja järeldused 

Spektraaltiheduste graafikud: valge ja roosa müra ning 

Brown’i liikumine 

Joonis: Erinevad mürad 



Erinevate kultuuride muusika spektraaltihedused 

Joonis: Vasak: a) Ba-Benzele pügmeed b) Jaapani tradits. c) India klas. d) Vene folk. e) USA bluus Parem: a) Keskaja 

muusika b) Beethoven’i 3-s süm. c) Debussey klaver d) Strauss, Ein Heldenleben e) The Beatles, Sgt. Pepper 



Linnulaulu helikõrguste vahemik 2 - 6 kHz. Kasutavad 

vähem noote kui meie 



Musikaalsus ja inimloode, sisemine kell, perioodilisus 

looduses 



Fraktaalsus igas mõõtkavas, sotsaalne käitumine 

Joonis: Küla Aafrikas 


Kokkuvõte 

Mõisted: fraktal, kujutis, enesesarnane jada, 

kuldlõige 

Tutvusime fraktaalse muusikapala koostamise 

põhiideedega 

Q & A 


Viited ja lisalugemist 

A. Alpern (1995), Techniques for algorithmic composition of 

music. Hampshire College. 

Grout, Donald Jay & Claude V. Palisca (1996), A History of 

Western Music. 5th ed. W. W. Norton and Company: New 

York 

P. Prusinkiewicz (1986) Score Generation with L-systems. 

Proc. Intl. Computer Music Conf ’86, 455-457 

Stelios Manousakis (2006,) Musical L-systems MSc thesis - 

sonology, The Royal Conservatory, The Hague 

John A. Maurer IV (1999), A Brief History of Algorithmic 

Composition 

A.J. Crilly, Rae A. Earnshaw, Huw Jones (Editors) (1993), 

Applications of Fractals and Chaos: The Shape of Things, 

Springer

Sissejuhatus fraktaalsesse muusikasse - Cs.ioc.ee

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

Sissejuhatus fraktaalsesse muusikasse - Cs.ioc.ee

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

Delete template?

Save as template ?