PUUDE LOENDAMINE

Märgendatud ja märgendamata puud 

Puude esitamine arvuti mälus 

Prüferi kood 

Märgendamata puude loendamine 

PUUDE LOENDAMINE 

Teema 9 

Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine



Prüferi kood 


Loengu kava 

1 Märgendatud ja märgendamata puud 

2 Puude esitamine arvuti mälus 

3 Prüferi kood 

4 Märgendamata puude loendamine 




Prüferi kood 


Märgendatud graaf 

Olgu M ⊆ N lõplik hulk. Märgendatud graaf märgendite hulgaga M 

on kolmik GM = (V ,E, µ), kus 

G = (V ,E) on graaf 

µ : V → M on bijektiivne kujutus. 

Märgendatud graaf märgendite hulgaga {2,4,5,6} 

2 4 

5 

Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Puude loendamine 

6



Prüferi kood 


(Märgendamata) graafide isomorfism 

Graafid G ja H on isomorfsed (tähist. G ∼ = H), kui nende tipuhulkade 

vahel leidub selline bijektsioon 

f : V (G) → V (H), 

et tipud u ja v on naabrid graafis G parajasti siis, kui tipud f (u) ja f (v) 

on naabrid graafis H. 

Näide: isomorfsed graafid Näide: mitte-isomorfsed graafid 




Prüferi kood 


Märgendatud graafide isomorfism 

Märgendatud graafid GM = (V1,E1, µ1) ja HM = (V2,E2, µ2) on 

isomorfsed (tähist. GM ∼ = HM), kui leidub kujutus ϕ : V1 → V2, nii 

et 

ϕ on graafide G = (V1,E1) ja H = (V2,E2) isomorfism; 

iga v ∈ V1 korral µ1(v) = µ2(ϕ(v)). 

Näide: mitte-isomorfsed kolmetipulised märgendatud puud 

1 2 3 2 1 3 1 3 2 

Kui palju on neljatipulisi puid ja märgendatud puid (märgenditega 

{1,2,3,4})? 




Prüferi kood 



A. Naabrusmaatriksina 

Näide (üldine meetod kõigi graafide jaoks) 

1 

4 

2 

3 

Näide: leida etteantud pikkusega teed 

1 

4 

2 

3 

⎛ 

A 2 ⎜ 

= ⎜ 

⎝ 

0 1 1 0 

1 0 1 1 

1 1 0 0 

0 1 0 0 

⎞⎛ 

⎟⎜ 

⎟⎜ 

⎠⎝ 

⎛ 

⎜ 

A = ⎜ 

⎝ 

0 1 1 0 

1 0 1 1 

1 1 0 0 

0 1 0 0 

0 1 1 0 

1 0 1 1 

1 1 0 0 

0 1 0 0 

⎞ 

⎛ 

⎟ 

⎠ = 

⎜ 

⎝ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 1 1 1 

1 3 1 0 

1 1 2 1 

1 0 1 1 

C = A · B ⇋ cij = ∑ aik bkj või cij = 

k 

 

aik ∧ bkj 

k 


⎞ 

⎟ 

⎠



Prüferi kood 



A. Naabrusmaatriksina 

Näide (üldine meetod kõigi graafide jaoks) 

1 

4 

2 

3 

Näide: leida etteantud pikkusega teed 

1 

4 

2 

3 

⎛ 

A 2 ⎜ 

= ⎜ 

⎝ 

0 1 1 0 

1 0 1 1 

1 1 0 0 

0 1 0 0 

⎞⎛ 

⎟⎜ 

⎟⎜ 

⎠⎝ 

⎛ 

⎜ 

A = ⎜ 

⎝ 

0 1 1 0 

1 0 1 1 

1 1 0 0 

0 1 0 0 

0 1 1 0 

1 0 1 1 

1 1 0 0 

0 1 0 0 

⎞ 

⎛ 

⎟ 

⎠ = 

⎜ 

⎝ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 1 1 1 

1 3 1 0 

1 1 2 1 

1 0 1 1 

C = A · B ⇋ cij = ∑ aik bkj või cij = 

k 

 

aik ∧ bkj 

k 


⎞ 

⎟ 

⎠



Prüferi kood 



B. Servade loendina 

Näide 

Vajadus mälu järele: 

2n log 2 n (servade loendi korral) 

7 8 

9 

3 0 2 6 

7 8 9 6 3 0 2 6 6 

9 9 2 2 0 2 4 1 5 

(n 2 − n)/2 (naabrusmaatriksi korral) 

4 


1 

5



Prüferi kood 



C. Alluvussuhtena 

Näide 

Vajadus mälu järele: (n − 1)⌈log 2 n⌉ 

7 8 

9 

3 0 2 6 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 

6 0 0 2 6 2 9 9 2 

4 

ehk lihtsamalt 

6 0 0 2 6 2 9 9 2 


1 

5



Prüferi kood 



D. Prüferi koodina 

1 Panna kirja (analoogiliselt alluvussuhte esitusega) vähima positiivse märgendiga 

lehega intsidentne serv ning kustutada nii leht kui serv graafist; 

2 Korrata eelmist punkti, kuni puu kõik servad on kustutatud; 

3 Kustutada puu esituse esimene rida (teine rida ongi puu Prüferi kood 

4 Kustutada ka koodi viimane element (kuna see on alati 0) 

Näide 

3 0 2 6 

Vahetulemus ehk Prüferi laiendatud kood: 

7 8 

9 

1 3 4 5 6 7 8 9 2 

6 0 2 6 2 9 9 2 0 

Puu esitus Prüferi koodina: 6 0 2 6 2 9 9 2 

4 


1 

5



Prüferi kood 


Formaalne definitsioon 

Definitsioon 

Olgu T = (V ,E, µ) märgendatud puu märgendite hulgaga M. 

Tema Prüferi kood P(T ) on märgendite järjend, mis rahuldab 

järgmisi tingimusi: 

Kui |V | = 2, siis P(T ) = [ ] (tühi järjend). 

Kui |V | > 2, siis P(T ) = µ(w) · P(T ′ ), kus 

w on vähima märgendiga lehe v ∈ V naabertipp; 

T ′ = (V \ {v},E \ {(v,w)}, µ| V \{v}) märgendatud puu 

märgendite hulgaga M \ {µ(v)} 




Prüferi kood 


Näide: Prüferi koodi genereerimine (1) c○Peeter Laud 

Kood: 

6 

8 

2 

10 

11 

9 

1 

3 

7 4 


5



Prüferi kood 



Kood: 

6 

8 

2 

10 

11 

9 

1 

3 

7 4 


5



Prüferi kood 



Kood: 9 

6 

8 

2 

10 

11 

9 

1 

3 

7 4 


5



Prüferi kood 



Kood: 93 

6 

8 

2 

10 

11 

9 

3 

1 7 4 


5



Prüferi kood 



Kood: 933 

6 

8 

22 

10 

11 

9 

3 

11 7 4 


5



Prüferi kood 



Kood: 9332 

6 

8 

2 

10 

11 

9 

3 

1 7 

4 


5



Prüferi kood 



Kood: 93323 

6 

8 

2 

10 

11 

9 3 

1 7 

4 


5



Prüferi kood 



Kood: 933239 

6 

8 

2 

10 

11 

9 

3 

1 7 

4 


5



Prüferi kood 



Kood: 9332392 

6 

8 

2 

10 10 

11 

99 

3 

11 77 

44 


5



Prüferi kood 



Kood: 93323929 

6 

88 

2 

10 10 

11 

9 

3 

11 77 

44 


5



Prüferi kood 



Kood: 933239292 

6 

8 

2 

10 10 

11 

9 

3 

11 77 

44 


55



Prüferi kood 


Näide: Prüferi koodi genereerimine (tulemus) c○Peeter Laud 

Kood: 933239292 

6 

8 

2 

10 

11 

9 

1 

3 

7 4 


5



Prüferi kood 


Märgendite esinemine Prüferi koodis 

Lemma 

Märgendatud puu T = (V ,E, µ) tipu v ∈ V märgend µ(v) esineb koodis P(T ) täpselt 

deg(v) − 1 korda. 

Tõestus. 

Induktsioon üle tippude arvu. 

Baas. Olgu |V | = 2. Siis on kummagi tipu aste 1 ning kummagi tipu märgend esineb 

koodis P(T ) null korda. 

Samm. Olgu |V | = n ja P(T ) = [m1m2 ...mn−2]. Olgu u ∈ V vähima märgendiga leht 

puus T . Olgu w tema naabertipp. Olgu T ′ saadud puust T , tipu u eemaldamise 

tulemusena (tähistame T ′ = T − u). 

T ′ on (n − 1)-tipuline märgendatud puu märgendite hulgaga M \ {µ(u)}. Tema Prüferi 

kood on [m2 ...mn−2]. Induktsiooni eelduse järgi esineb suvalise tipu v ∈ V \ {u} 

märgend selles koodis deg T ′(v) − 1 korda. 




Prüferi kood 


Märgendite esinemine Prüferi koodis (2) 

Tõestuse jätk 

Olgu v ∈ V . Vaatame kolme varianti: 

v = u. Siis deg T (v) = 1. Märgend µ(u) ei esine koodis P(T ′ ) ning m1 = µ(w). 

Seega ei esine µ(u) koodis P(T ). 

v = w. Siis deg T (v) = deg T ′(v) + 1. Märgend µ(w) esneb koodis P(T ) üks kord 

rohkem kui koodis P(T ′ ), sest m1 = µ(w). 

v on mingi muu tipp. Siis deg T (v) = deg T ′(v). Ka v märgendi esinemiste arv 

koodides P(T ) ja P(T ′ ) on sama. 

m.o.t.t. 




Prüferi kood 


Prüferi koodi ühesus 

Teoreem 

Olgu T1 = (V1,E1, µ1) ja T2 = (V2,E2, µ2) märgendatud puud märgendite hulgaga M. 

Kui P(T1) = P(T2), siis T1 ∼ = T2. 

Tõestus. 

Induktsioon üle tippude arvu. 

Baas. Olgu |V | = 2. Siis leidub ainult üks kahetipuline märgendatud puu märgendite 

hulgaga M = {m1,m2}: m1 m2 

Samm. Olgu |V | = n ja P(T1) = P(T2) = [m1m2 ...mn−2]. P(Ti ) analüüsimise 

tulemusena saab kindlaks teha puu Ti lehtede märgendid – eelmise Lemma põhjal on 

need märgendid, mis P(Ti )-s ei esine. Seega on puude T1 ja T2 lehtede märgendite 

hulgad võrdsed. 

Olgu m ∈ M vähim lehe märgend. Olgu v1 ∈ V1 ja v2 ∈ V2 sellised, et 

µ1(v1) = µ2(v2) = m. Olgu T ′ 1 = T1 − v1 ja T ′ 2 = T2 − v2. Vastavalt Prüferi koodi 

konstruktsioonile P(T ′ 1 ) = P(T ′ 2 ) = [m2 ...mn−2]. Induktsiooni eelduse järgi T ′ 1 ∼ = T ′ 2 . 

Olgu ϕ : V1 \ {v1} → V2 \ {v2} nendevaheline isomorfism. 




Prüferi kood 


Prüferi koodi ühesus (2) 


Näitame, et kui me täiendavalt defineerime ϕ(v1) = v2, siis on ϕ märgendatud puude 

T1 ja T2 vaheline isomorfism. 

ϕ jätab märgendid paika: µ(v1) = µ(v2). 

Tuleb veel näidata, et ϕ on puude T1 ja T2 vaheline isomorfism, selleks näitame, 

et u,u ′ ∈ V1 korral on u ja u ′ naabrid parajasti siis, kui ϕ(u) ja ϕ(u ′ ) on naabrid. 

Kui u = v1 ja u ′ = v1, siis järeldub viimane väide asjaolust, et ϕ on T ′ 1 ja T ′ 2 vaheline 

isomorfism. 

Olgu u = v1. Tipud v1 ja v2 on lehed. Olgu w1 ∈ V1 ja w2 ∈ V2 tippude v1 ja v2 ainsad 

naabrid. Vastavalt Prüferi koodi konstruktsioonile µ1(w1) = µ2(w2) = m1. Kuna ϕ on 

märgendatud puude T ′ 1 ja T ′ 2 vaheline isomorfism, siis ϕ(w1) = w2. Seega on u ′ tipu 

u = v1 naabertipp parajasti siis, kui ϕ(u ′ ) on tipu ϕ(u) = v2 naabertipp. m.o.t.t. 




Prüferi kood 


Prüferi koodi üldisus 

Teoreem 

Olgu M ⊂ N, nii et n = |M| 2 ja M = [m1m2 ...mn−2], kus m1,...,mn−2 ∈ M. Siis 

leidub n-tipuline märgendatud puu T = (V ,E, µ) märgendite hulgaga M, nii et 

P(T ) = M . 

Tõestus. 

Induktsioon üle tippude arvu n. 

Baas. n = 2. SiisM = [ ]. Kui M = {m1,m2}, siis võtame T -ks puu m1 

Samm. Olgu m ∈ M vähim selline element, mis ei esine järjendis M . Olgu 

M ′ = M \ {m} ja M ′ = [m2 ...mn−2]. Vastavalt induktsiooni eeldusele leidub 

märgendatud puu T ′ = (V ′ ,E ′ , µ ′ ) märgendite hulgaga M ′ , nii et P(T ′ ) = M ′ 


m2



Prüferi kood 


Prüferi koodi üldisus (2) 


Olgu w ∈ V ′ selline, et µ ′ (w) = m1 ja 

V = V ′ {v} 

E = E ′ ∪ {(v,w)} 

µ = µ ′ [v ↦−→ m] 

ja olgu T = (V ,E, µ). Siis T on märgendatud puu märgendite hulgaga M. 

Leiame P(T ). Meil on tarvis leida vähima märgendiga leht puus T . Puu T lehtede 

märgendid on täpselt need M-i elemendid, mis ei kuulu M -i. Vastavalt m-i 

definitsioonile on m vähim nende seas. Seega on vastavalt µ definitsioonile v vähima 

märgendiga leht puus T . 

Tipu v naabriks puus T on w, mille märgend on vastavalt tema definitsioonile m1. 

Eemaldades puust T tipu v saame puu T ′ märgenditega hulgast M ′ 

Seega P(T ) = µ(w) · P(T ′ ) = [m1m2 ...mn−2] = M . m.o.t.t. 




Prüferi kood 


Märgendatud puu konstrueerimine Prüferi koodi järgi 

Meetod tuleneb eelmisest tõestusest. 

Olgu antud M = [m1m2 ...mn−2] 

1 Iga i ∈ {1,...,n − 2} jaoks leiame järjendile [mi ...mn−2] vastava vähima lehe 

märgendi li hulgast M \ {l1,...,li−1}, nii et see erineks elementidest mi ,...,mn−2. 

2 Loome kahetipulise märgendatud puu märgenditega hulgast M \ {l1,...,ln−2}. 

3 Iga i ∈ {1,...,n − 2} jaoks (kahanevalt): 

Lisame puule uue tipu, märgendame ta li-ga. 

Ühendame selle tipu tipuga, mis on märgendatud mi-ga. 




Prüferi kood 


Näide: puu genereerimine 

M = {1,2,...,10}, 

kood 7 7 7 4 5 7 4 4 




Prüferi kood 


Näide: puu genereerimine (2) 

M = {1,2,...,10}, 

Vähima märgendiga leht: 1 

Kood: 7 7 7 4 5 7 4 4 




Prüferi kood 



M = {1,2,...,10}, 

Vähima märgendiga leht: 1 2 

Kood: 7 7 7 4 5 7 4 4 




Prüferi kood 



M = {1,2,...,10}, 

Vähima märgendiga leht: 1 2 3 

Kood: 7 7 7 4 5 7 4 4 




Prüferi kood 



M = {1,2,...,10}, 

Vähima märgendiga leht: 1 2 3 6 

Kood: 7 7 7 4 5 7 4 4 




Prüferi kood 



M = {1,2,...,10}, 

Vähima märgendiga leht: 1 2 3 6 8 

Kood: 7 7 7 4 5 7 4 4 




Prüferi kood 



M = {1,2,...,10}, 

Vähima märgendiga leht: 1 2 3 6 8 5 

Kood: 7 7 7 4 5 7 4 4 




Prüferi kood 



M = {1,2,...,10}, 

Vähima märgendiga leht: 1 2 3 6 8 5 7 

Kood: 7 7 7 4 5 7 4 4 




Prüferi kood 



M = {1,2,...,10}, 

Vähima märgendiga leht: 1 2 3 6 8 5 7 9 

Kood: 7 7 7 4 5 7 4 4 




Prüferi kood 



M = {1,2,...,10}, 


Kood: 7 7 7 4 5 7 4 4 


4 

10



Prüferi kood 



M = {1,2,...,10}, 


Kood: 7 7 7 4 5 7 4 4 


4 

9 

10



Prüferi kood 



M = {1,2,...,10}, 


Kood: 7 7 7 4 5 7 4 4 


7 

4 

9 

10



Prüferi kood 



M = {1,2,...,10}, 


Kood: 7 7 7 4 5 7 4 4 


5 

7 

4 

9 

10



Prüferi kood 



M = {1,2,...,10}, 


Kood: 7 7 7 4 5 7 4 4 


8 

5 

7 

4 

9 

10



Prüferi kood 



M = {1,2,...,10}, 


Kood: 7 7 7 4 5 7 4 4 


8 

5 

7 

4 

6 

9 

10



Prüferi kood 



M = {1,2,...,10}, 


Kood: 7 7 7 4 5 7 4 4 


8 

5 

7 

3 

4 

6 

9 

10



Prüferi kood 



M = {1,2,...,10}, 


Kood: 7 7 7 4 5 7 4 4 


8 

5 

7 

2 

3 

4 

6 

9 

10



Prüferi kood 



M = {1,2,...,10}, 


Kood: 7 7 7 4 5 7 4 4 


8 

5 

1 

7 

2 

3 

4 

6 

9 

10



Prüferi kood 


Märgendatud puude arv 

Teoreem 8.3.2 (Cayley teoreem) 

n-tipuliste märgendatud puude arv on n n−2 . 

Jäeldus Prüferi koodi kohta tõestatud teoreemidest. 




Prüferi kood 


Märgendamata puud 

Teoreem 8.5.1 

Märgendamata n-tipuliste puude arv Tn rahuldab võrratust 

n n−2 

n! Tn 4 n−1 

Alumine tõke tuleneb sellest, et iga n-tipulist puud saab erinevate märgenditega 

märgendada n! viisil: 

Ülemise tõkke saab tuletada juurega puude võimalike planaarkoodide arvust. 

n-tipulise juurega puu planaarkood on Dycki keel 2n-täheline sõna. Näiteks puu 

planaarkood on sõna 1111100100011011010000. 




Prüferi kood 



Teoreem 8.5.1 

Märgendamata n-tipuliste puude arv Tn rahuldab võrratust 

n n−2 

n! Tn 4 n−1 

Alumine tõke tuleneb sellest, et iga n-tipulist puud saab erinevate märgenditega 

märgendada n! viisil: 

Ülemise tõkke saab tuletada juurega puude võimalike planaarkoodide arvust. 

n-tipulise juurega puu planaarkood on Dycki keel 2n-täheline sõna. Näiteks puu 

planaarkood on sõna 1111100100011011010000. 




Prüferi kood 



Dycki keel 2n-täheliste sünade arv võrdub Catalani arvuga 

Cn = 1 

 

2n 

n + 1 n 

Seega võiks Teoreemi 8.5.1 tingimuse anda ka täpsemalt: 

nn−2 n! Tn 1 

 

2n 

n + 1 n 

Kui n > 30, siis n n−2 on suurem kui n!2 n . Seega võib Teoreemi 8.5.1 tingimuse 

anda paremini meelde jääval kujul: 

2 n Tn 4 n 




Prüferi kood 


Märgendamata puude arv 

Teoreem (Otter, 1948) 

Märgendamata puu tippude arvu n piiramatu kasvu korral kehtib 

tingimus: 

Cα 

lim 

n→∞ 

nn−5/2 = 1, 

Tn 

kus C = 0,53495... ja α = 2.95576....

PUUDE LOENDAMINE - Cs.ioc.ee

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

PUUDE LOENDAMINE - Cs.ioc.ee

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

Delete template?

Save as template ?