KOMBINATOORNE TÕENÄOSUS

Sissejuhatus 

Teoreetiline ja statistiline tõenäosus 

Sõltuvad ja sõltumatud sündmused 

Bernoulli valem 

KOMBINATOORNE TÕENÄOSUS 

Teema 5 

Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Rekurrentsed arvujadad

Sissejuhatus 




Loengu kava 

1 Sissejuhatus 

2 Teoreetiline ja statistiline tõenäosus 

Sündmused ja tõenäosus 

Suurte arvude seadus 

3 Sõltuvad ja sõltumatud sündmused 

Sündmuste summa ja korrutis 

Sõltuvad sündmused 

Täistõenäosus 

Ennustamine ja Bayesi reegel 

4 Bernoulli valem 


Sissejuhatus 




Probleem ... 


Sissejuhatus 






Sissejuhatus 






Sissejuhatus 




... ja lahendus: 

Tüdruk viskab kulli-kirja seni, kuni tuleb kiri, kui kiri tuleb 

paarisarvulisel viskel, siis saab ta jäätise endale, vastasel korral 

läheb viskeõigus prillidega poisile; 

Prillidega poiss viskab kulli-kirja, kuni tuleb kiri ja kui see 

juhtus tema paarisarvulisel viskel saab ta jätise omale, muidu 

saab jäätise punapea. 

Kas tulemus on õiglane? 


Sissejuhatus 




... ja lahendus: 

Tüdruk viskab kulli-kirja seni, kuni tuleb kiri, kui kiri tuleb 

paarisarvulisel viskel, siis saab ta jäätise endale, vastasel korral 

läheb viskeõigus prillidega poisile; 

Prillidega poiss viskab kulli-kirja, kuni tuleb kiri ja kui see 

juhtus tema paarisarvulisel viskel saab ta jätise omale, muidu 

saab jäätise punapea. 

Kas tulemus on õiglane? 


Järgmine punkt 


Sissejuhatus 
















Sissejuhatus 







Kindel sündmus – sündmus, mis antud vaatluse või katse korral 

alati toimub. 

Võimatu sündmus – sündmus, mis antud vaatluse või katse korral 

kunagi ei toimu. 

Juhuslik sündmus – sündmus, mis antud vaatluse või katse korral 

võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda. 

Definitsioon 

Sündmuse A toimumise tõenäosuseks nimetatakse selle sündmuse 

esinemiseks soodsate võimaluste arvu m ja kõigi võimaluste n arvu 

suhet p(A) = m 

n . 


Sissejuhatus 







Kindel sündmus – sündmus, mis antud vaatluse või katse korral 

alati toimub. 

Võimatu sündmus – sündmus, mis antud vaatluse või katse korral 

kunagi ei toimu. 

Juhuslik sündmus – sündmus, mis antud vaatluse või katse korral 

võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda. 

Definitsioon 

Sündmuse A toimumise tõenäosuseks nimetatakse selle sündmuse 

esinemiseks soodsate võimaluste arvu m ja kõigi võimaluste n arvu 

suhet p(A) = m 

n . 


Sündmused 

Sissejuhatus 






Sündmusi tähistatakse suurte ladina tähtedega A,B,C,... . 

Kindlat sündmust tähistatakse tähega Ω ja võimatu 

sündmuse tähistamiseks kasutatakse tühja hulga märki /0. 

Sündmused on võrdvõimalikud, kui nende esiletuleku 

(toimumise) võimalused (tõenäosused) on ühesugused. 

Juhuslikke sündmusi nimetatakse üksteist välistavateks, kui 

nad ei saa korraga toimuda. 

Sündmuse A vastandsündmuseks on sündmus Ā, mis "toimub" 

siis, kui sündmus A ei toimu. 

p(Ω) = 1 ja p(/0) = 0. 


Sündmused 

Sissejuhatus 















p(Ω) = 1 ja p(/0) = 0. 


Sündmused 

Sissejuhatus 















p(Ω) = 1 ja p(/0) = 0. 


Sündmused 

Sissejuhatus 















p(Ω) = 1 ja p(/0) = 0. 


Sündmused 

Sissejuhatus 















p(Ω) = 1 ja p(/0) = 0. 


Sissejuhatus 





Definitsioon 



Kahe sündmuse A ja B summaks A ∪ B nimetatakse sündmust, 

mille toimumine seisneb kas sündmuse A või B või mõlema 

toimumises. 

Kahe sündmuse A ja B korrutiseks A ∩ B nimetatakse sündmust, 

mille toimumine seisneb sündmuse A ja B toimumises. 

A B A B 

Sündmus A olgu täringul nelja silma tulek ja sündmus B paarisarvuline silmade tulek. 

summa: A ∪ B = {2,4,6} 

korrutis: A ∩ B = {4} 




Sissejuhatus 
















Sissejuhatus 






Sõltumatute eksperimentide kordamine 

Sündmuste esinemise suhteline sagedus (n–katsete koguarv, 

m – sündmuse esinemiste arv katsete käigus (absoluutne sagedus)) 

Sündmuse A suhteline sagedus s(A) on ratsionaalarv lõigul [0,1]. 

Sündmuse A suhteline sagedus s(A) = 1 parajasti siis kui m = n. 

Sündmuse A suhteline sagedus s(A) = 0 parajasti siis kui m = 0. 

Definitsioon 

Sündmuse A statistiliseks tõenäosuseks nimetatakse piirväärtust p, millele 

läheneb sündmuse suhteline sagedus s(A) = m 

n katsete arvu piiramatul 

kasvamisel: 

m 

p = lim 

n→∞ n 


Sissejuhatus 




Bernoulli suurte arvude seadus 

Hüpotees 

Külalt pika katseseeria korral on sündmuse 

suhteline sagedus ligikaudselt võrdne 

sündmuse tõenäosusega ühel katsel: 

s(A) ≈ p(A). 

Erijuhul saab tõestada: 

Teoreem 5.3.1 



Jacob Bernoulli 

(1654–1705) 

Fikseerime kuitahes väikese arvu ε. Kulli-kirja viskamise visete arvu 

n piiramatul kasvamisel läheneb ühele tõenäosus, et kirja esinemise 

sagedus jääb arvude 0,5 − ε ja 0,5 + ε vahele. 


Sissejuhatus 




Bernoulli suurte arvude seadus 

Hüpotees 

Külalt pika katseseeria korral on sündmuse 

suhteline sagedus ligikaudselt võrdne 

sündmuse tõenäosusega ühel katsel: 

s(A) ≈ p(A). 

Erijuhul saab tõestada: 

Teoreem 5.3.1 



Jacob Bernoulli 

(1654–1705) 

Fikseerime kuitahes väikese arvu ε. Kulli-kirja viskamise visete arvu 

n piiramatul kasvamisel läheneb ühele tõenäosus, et kirja esinemise 

sagedus jääb arvude 0,5 − ε ja 0,5 + ε vahele. 




Sissejuhatus 


















Sissejuhatus 




Sündmuste summa 

Teoreem 





Kahe teinenteist välistavate sündmuste summa tõenäosus võrdub 

nende sündmuste tõenäosuste summaga: 

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) 

Näide: Urnis on 3 punast, 5 sinist ja 2 valget kuuli. Milline on 

tõenäosus, et juhuslikult võetud kuul on kas sinine või punane. 

Sündmus A olgu punase kuuli võtmine: p(A) = 3 

10 . 

Sündmus B olgu sinise kuuli võtmine: p(B) = 5 1 

10 = 2 . 

Kuna A ja B on teineteist välistavad, siis tõenäosus, et võetud kuul 

on kas punane või sinine avaldub valemiga: 

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) = 3 1 4 

+ = 

10 2 5 


Sissejuhatus 




Sõltumatute sündmuste korrutis 






Kahe sõltumatu sündmuse korrutise tõenäosus võrdub nende sündmuste 

tõenäosuste korrutisega: 

p(A ∩ B) = p(A) · p(B) 

Näide: Ühes urnis on 5 musta ja 3 valget kuuli ning teises urnis 4 musta 

ja 6 valget kuuli. Kummastki urnist võetakse üks kuul, milline on 

tõenäosus, et mõlemad kuulid on mustad? 

Sündmus A olgu musta kuuli võtmine esimesest urnist p(A) = 5 

8 . 

Sündmus B olgu musta kuuli võtmine teisest urnist: p(B) = 4 

10 

= 2 

5 . 

Kuna A ja B on teineteist sõltumatud, siis tõenäosus, et mõlemad kuulid 

oleks mustad avaldub valemiga: 

p(A ∩ B) = p(A) · p(B) = 5 2 2 1 

· = = 

8 5 8 4 




Sissejuhatus 


















Sissejuhatus 




Sündmuste sõltuvus 

Definitsioon 





Sündmust B nimetatakse sõltuvaks sündmusest A, kui sündmuse B 

tõenäosus sõltub sellest, kas sündmus A toimus või ei. 

Näide 

Olgu urnis 4 valget ja 6 musta kuuli. Võtame alguses urnist ühe 

kuuli ning tagasi seda ei pane. Seejärel uuesti urnist kuuli võtmisel 

sõltub tulemus esimesena saadud kuuli värvist. Kui esimesel korral 

saime valge kuuli (sündmus A, tõenäosus p(A) = 4 2 = ), on ka 

teisel juhul valge kuuli saamise (sündmus B) tõenäosus 

P(B|A) = 3 1 

9 = 3 . 

Kui esimesel korral saime musta kuuli (sündmus A 

vastandsündmus), on teisel korral valge kuuli saamise tõenäosus 

P(B|Ā) = 4 

9 . 

Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Rekurrentsed arvujadad 

10 

5

Sissejuhatus 




Sõltuvate sündmuste summa 






Kahe teinenteist mittevälistavate sündmuste summa tõenäosus 

võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, millest on 

lahutatud nende sündmuste koosesinemise ehk korrutise tõenäosus: 

Näide 

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) 

Veeretatakse kaht täringut. Sündmus 

A = "vähemalt ühel täringul tuleb 2 silma" ja 

B = "silmade summa on 5". Saame 

p(A) = 11 

36 

p(B) = 4 1 

= 

36 9 

p(A ∪ B) = 13 

36 

p(A ∩ B) = 2 1 

= 

36 18 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

1 2 3 4 5 6 


Sissejuhatus 




Sõltuvate sündmuste korrutis 






Kui sündmus B sõltub sündmusst A (st p(B|A) = p(B)), siis nende 

sündmuste korrutise tõenäosus võrdub sündmuse A tõenäosuse ja 

sündmuse B tingliku tõenäosuse korrutisega 

p(A ∩ B) = p(A) · p(B|A) 

Näide: Loosirattas olevast 100 piletist võidavad 10. Kui tõenäone 

on kolme pileti järjestikusel võtmisel ainult võitude saamine?. 

Olgu sündmused A,B ja C vastavalt võitmine 1., 2. ja 3. piletiga. Siis: 

p(A ∩ B ∩ C) = p(A) · p(B|A) · p(C|(A ∩ B)) = 10 9 8 

· · ≈ 0,000742 

100 99 98 




Sissejuhatus 


















Sissejuhatus 




Täistõenäosuse valem 






Moodustagu sündmused B1,...,Bn (hüpoteesid) täieliku sündmuste 

süsteemi tõenäosustega p(B1),...,p(Bn). Mõnega (või kõigiga) 

sündmustest Bi kaasneb sündmus A, kusjuures A tinglik tõenäosus 

tingimusel Bi on p(A|Bi). Siis 

p(A) = 

n 

∑ 

j=1 

p(Bi)p(A|Bi). 


Sissejuhatus 








Näide täistõenäosuse valemi rakendamisest 

Eksamile tuleb üliõpilasi kolmest grupist. 1. grupis on 7, teises 6 ja 

kolmandas 8 tudengit. Esimese grupi tudeng sooritab eksami 

tõenäosusega 0,9, teise grupi tudeng tõenäosusega 0,8 ja kolmanda 

grupi tudeng tõenäosusega 0,95. Millise tõenäosusega sooritab 

eksami juhuslikult sisseastunud tudeng? 

Tähistame sündmused järgnevalt: A – juhuslik tudeng sooritab eksami; B1 – tudeng 

on 1. grupist; B2 – tudeng on 2. grupist; B3 – tudeng on 3. grupist. Kuna sündmus A 

saab kaasneda suvalisega sündmustest B1,B2,B3 (tudengid saavad olla vaid nimetatud 

kolmest grupist), siis saame 

p(A) = p(B1) · p(A|B1) + p(B2) · p(A|B2) + p(B3) · p(A|B3) = 

= 7 6 8 

· 0,9 + · 0,8 + · 0,95 ≈ 0,89 

21 21 21 




Sissejuhatus 


















Sissejuhatus 




Bayesi reegel (1763) 

p(h|D) = p(D|h)p(h) 

p(D) 





p(h) – aprioorne (kogemusele eelnev) hüpoteesi h tõenäosus; 

p(D) – aprioorne katseandmete D tõenäosus; 

p(h|D) – aposterioorne (kogemusest tulenev) hüpoteesi h 

tõenäosus tingimusel, et katse tulemusena juhtus sündmus D; 

p(D|h) – aposterioorne katsetulemuste D esinemise tõenäosus 

tingimusel, et ennustati hüpoteesi h paikapidamist. 


Sissejuhatus 








Näide: h1=“pilves”, h2=“päikesepaiste” 

Milline on tõenäosus õige ennustuse tegemiseks 

enne baromeetri vaatamist? 

pärast baromeetri vaatamist? 

Eeldame, et keskmiselt on meil 40% ajast pilves pilves ja 60% ajast paistab 

päike, seega 

Sündmus Di 

p(Di ) 

D1 (pilves) 0,40 

D2 (päikesepaiste) 0,60 

Kui ilm on tegelikult pilves, ennustab baromeeter 10% juhtudest päikesepaistet 

ja kui paistab päike ennustab baromeeter 30% juhtudest pilvi: 

h1: Baromeeter 

ennustab pilves 

ilma 

h2: Baromeeter 

ennustab päikesepaistet 

D1 (pilves) p(h1|D1) = 0,9 p(h2|D1) = 0,1 1,00 

D2 (päikesepaiste) p(h1|D2) = 0,3 p(h2|D2) = 07 1,00 

Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Rekurrentsed arvujadad 

∑

Sissejuhatus 








Näide: h1=“pilves”, h2=“päikesepaiste” (2) 

Tõenäosus selleks, et ilm on pilves ja baromeeter ennustas 

samuti pilvi juhtub 90% pilvistel päevadel: 

0,40 · 0,90 = 0,36 

p(D1)p(h1|D1) = p(D1 ∩ h1) 

Tõenäosus selleks, et päike paistab, kuid baromeeter ennustas 

pilves ilma: 

0,60 · 0,30 = 0,18 

p(D2)p(h1|D2) = p(D2 ∩ h1) 


Sissejuhatus 









Vastuste ruum: 

Tegelik ilm (D) 

0,6 · 0.3 = 0,18 

Ennustutus (h) 

0,4 · 0.9 = 0,36 Pilves (0,4) 

Päikesepaiste (0,6) 


Sissejuhatus 









Tõenäosus, et baromeeter ennustab pilvist ilma: 

p(h1) = p(D1 ∩ h1) + p(D2 ∩ h1) = 0,18 + 0,36 = 0,54 

Seosest p(D1 ∩ h1) = p(h1) ∗ p(D1|h1): 

p(D1|h1) = 0,36/0,54 = 0,67 

(tõenäosus, et baromeeter ennustab pilvist ilma õigesti) 

Seosest p(D2,h1) = p(h1) ∗ p(D2|h1) : 

p(D2|h1) = 0,18/0,54 = 0,33 

(tõenäosus, et baromeeter ennustab pilvist ilma valesti) 


Sissejuhatus 










p(h1) = p(D1 ∩ h1) + p(D2 ∩ h1) = 0,18 + 0,36 = 0,54 


p(D1|h1) = 0,36/0,54 = 0,67 



p(D2|h1) = 0,18/0,54 = 0,33 



Sissejuhatus 










p(h1) = p(D1 ∩ h1) + p(D2 ∩ h1) = 0,18 + 0,36 = 0,54 


p(D1|h1) = 0,36/0,54 = 0,67 



p(D2|h1) = 0,18/0,54 = 0,33 



Sissejuhatus 




Leida tõenäosus, et n sõltumatu katse korral esineb sündmus 

A täpselt m korda, kui igal katsel on sündmuse A tõenäosus 

P(A) = p. 

Sündmuse A vastandsündmuse tõenäosus P(Ā) = q = 1 − p. 

n katsest koosneva seeria korral on üheks võimaluseks sündmuse A 

m-kordseks esinemiseks järgmine tulemus: 

B = A ∩ A ∩ ... ∩ A ∩ Ā ∩ Ā ∩ ... ∩ Ā = A m Ā n−m 

Katsete sõltumatuse eelduse tõttu on sündmuse B tõenäosus: 

P(B) = P(A) · P(A) · ... · P(A) · P( Ā) · P(Ā) · ... · P(Ā) = pm q n−m 

Lisaks sündmusele B võime m katsetulemust A “kombineerida” n 

erinevale positsioonile n 

m erineval viisil. Tõenäosuste liitmislause 

põhjal saame Bernoulli valemi : 


Sissejuhatus 






Kui Pm,n on tõenäosus, et n katse korral esineb sündmus m korral, 

siis 

 

n 

Pm,n = p 

m 

m q n−m n! 

= 

m!(n − m)! pmq n−m 

Leida mündi 10-kordsel viskamisel kirja 4 korda esinemise 

tõenäosus. 

Siin p = q = 0,5 ja Bernoulli valemi põhjal 

P4,10 = 10! 

4!6! 

1 

2 

4 6 1 

≈ 0,205 

2 


Sissejuhatus 




Bernoulli valem (2) 

Testis on 40 küsimust, igal küsimusel neli vastusevarianti. Tudeg, 

kes ei ole ainet üldse õppinud, vastas kõikidele küsimustele täiesti 

juhuslikult. Kumb on tõenäosem - kas ta vastas kõikidele 

küsimustele õigesti või vastas kõikidele küsimustele valesti? 

Kõikidele küsimustele õigesti vastamise tõenäosus on 

P40,40 = 

40 40 1 

· = 0,25 

40 4 

40 

ja kõikidele küsimustele valesti vastamise tõenäosus on 

P0,40 = 

40 40 3 

· = 0,75 

0 4 

40 .

KOMBINATOORNE TÕENÄOSUS - Cs.ioc.ee

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

KOMBINATOORNE TÕENÄOSUS - Cs.ioc.ee

Transform your PDFs into Flipbooks and boost your revenue!

Delete template?

Save as template ?