關於三角函數

關於三角函數
三角函數(Trigonometric function)包含以下六個:
正弦函數:sine
餘弦函數:cosine
符號:sin
符號:cos
正切函數:tangent
符號:tan
正割函數:secant
符號:sec
餘切函數:cotangent
符號:cot
餘割函數:cosecant
符號:csc
銳角三角函數:
一直角三角形,鄰邊為 X,對邊為 Y,斜邊為 Z,斜邊和鄰邊夾角為θ ,如圖,則:
基本恆等式:
對邊 Y
sinθ
= =
斜邊 Z
鄰邊
cosθ
= =
斜邊
關於三角函數
紋的筆記-關於三角函數
X
Z
對邊 Y sinθ
tanθ
= = =
鄰邊 X cosθ
鄰邊 1 cosθ
cotθ
= = = =
對邊 tanθ sinθ
斜邊 1
secθ
= = =
鄰邊 cosθ
Z
X
斜邊 1 Z
cscθ
= = =
對邊 sinθ
Y
1
1
1
1、倒數關係: sinθ
= , cosθ
= , tanθ
=
cscθ
secθ
cotθ
1
1
1
cotθ
= , secθ
= , cscθ
=
tanθ
cosθ
sinθ
2 2
2、平方關係: sin θ + cos θ = 1
2 2
tan θ + 1 = sec θ
2 2
1+ cot θ = csc θ
證明:直角三角函數中,
2 2 2
X + Y =
Z
X
Y

2 2
【Note】一般習慣 (sin θ ) = sin θ
3 3
(sin θ ) = sin θ ……
−1 1
−1
但… (sin θ ) = ≠ sin θ
sinθ
X Y
Z Z
2 2
+ 2 = 1 2
2 2
sin θ + cos θ = 1
得証,以此類推
關於三角函數
3、商數關係: sinθ
tanθ
secθ
= tanθ
, = secθ
, cscθ
cosθ
sinθ
tanθ
=
cscθ
cotθ
cosθ
= cotθ
, = cosθ
, sinθ
secθ
cscθ
cotθ
=
sinθ
( )
tanθ 1
證明: = cosθ = = secθ
sinθ sinθ cosθ
得証,以此類推
0
0
4、餘角關係: sin(90 − θ ) = cosθ
, cos(90 − θ ) = sinθ
0
tan(90 ) cot
0
− θ = θ , cot(90 − θ ) = tanθ
0
sec(90 ) csc
正弦定理與餘弦定理
在△ABC 中,a、b、c 分別是∠A、∠B、∠C 的對邊,R 為△
1
ABC 的外接圓半徑,△為三角形的面積, S = ( a + b + c)
,如
2
圖,則:
一、兩邊夾角的三角形面積
1 1 1
Δ = bc sin A = ca sin B = ab sin C
2 2 2
=
S( S − a)(
S − b)(
S − c)
PS: Δ = S( S − a)(
S − b)(
S − c)
稱海龍(Heron)公式。
0
− θ = θ , csc(90 − θ ) = secθ
紋的筆記-關於三角函數

a b c
二、正弦定理: = = = 2R
sin A sin B sin C
(1) a : b : c = sin A:
sin B : sin C
a b c abc
(2) = = = 2R
=
sin A sin B sin C 2Δ
abc
(3) R =
4Δ
⎧a
⎪
三、餘弦定理: ⎨b
⎪
⎩c
2
2
2
= b
= c
= a
2
2
2
+ c
+ a
+ b
2
2
2
− 2bc
cos A
− 2ca
cos B
− 2abcosC
四、投影定理: a = b cos C + c cos B
b = a cos C + c cos A
c = a cos B + b cos A
即
2 2
⎧ b + c − a
⎪cos
A =
⎪
2bc
2 2
⎪ c + a − b
⎨cos
B =
⎪ 2ca
2 2
⎪ a + b − c
cosC
=
⎪
⎩ 2ab
五、平行四邊形定理:平行四邊形各邊的平方和,等於兩對角線的平方和
2
2
2
AB + BC + CD + DA = AC + BD
2
2
六、三角形中線定理:△ABC 中,假設 AM 為 BC 邊上的中線( BM = CM ),則
2
2
AB + AC = 2(
AM + BM ) ,即
2
2
m a
2
1
=
2
關於三角函數
紋的筆記-關於三角函數
2(
b
2
+ c
2
) − a
2
2
2
2

七、△ABC 中, ∠ BAT = ∠CAT
=
分角線長:
t a
2bc A
= cos
b + c 2
任意角的三角函數:假設某一任意角度為θ ,則
e − e
sinθ
=
2i
iθ−iθ iθ−iθ e + e
cosθ
=
2
iθ−iθ −ie ( −e)
tanθ
= iθ −iθ
e + e
A
2
iθ
證明: e = cosθ + isinθ…..(Why?高等數學再去證明吧!先用再說!)
三角函數間的關係:
平方和:
2 2
sin θ + cos θ =
1
− iθ
e = cosθ − isinθ
iθ −iθ
e − e = 2sin i θ
iθ−iθ e − e
∴ sinθ
= ……以此類推。
2i
關於三角函數
紋的筆記-關於三角函數

2 2
證明 1:勾股定理:對於一直角三角形,已知 X + Y = Z
X Y
∴sin θ + cos θ = ( ) + ( )
Z Z
2 2 2 2
X + Y
2 2 2
= 2
2
Z
Z
= = 1……得証#
Z
iθ−iθ iθ−iθ e − e
e + e
證明 2:已知sinθ
= , cosθ
=
2i
2
sin
iθ −iθ e − e
θ + cos θ = ( )
2i iθ −iθ
e + e
+ ( )
2
2 2 2 2
i2ϖ−i2θ i2θ −i2θ
e − 2× 1+ e e + 2× 1+
e
= ( ) + ( )
−4
4
4
= = 1……得証#
4
2 2
tan θ + 1 = sec θ
2 2
證明 1:勾股定理:對於一直角三角形,已知 X + Y = Z
2
2 2 Z 2 Y 2 Z − Y
∴sec θ − tan θ = ( ) −( ) = 2
X X X
2 2
∴ tan θ + 1 = sec θ ……得証#
關於三角函數
紋的筆記-關於三角函數
2
2
2
2
X
= = 1
2
X
2 2 1 2 sinθ2
證明 2: sec θ − tan θ = ( ) − ( )
cosθ cosθ
2 2
1−sin θ cos θ
= ( ) = = 1……得証#
2 2
cos θ cos θ
2 2
1+ cot θ = csc θ
證明:
2 2
證明 1:勾股定理:對於一直角三角形,已知 X + Y = Z
2
2 2 Z 2 X 2 Z − X
∴ csc θ − cot θ = ( ) −( )
2
Y Y Y
2 2
∴1+
cot θ = csc θ ……得証#
= 2
2
2
Y
= = 1
Y
2

2 2 1 2 cosθ2
證明 2: csc θ − cot θ = ( ) − ( )
sinθ sinθ
2 2
1−cos θ sin θ
= ( ) = = 1……得証#
2 2
sin θ sin θ
兩角和、兩角差:
sin( α ± β ) = sinα
cos β ± cosα
sin β
iα −iα
iβ
−iβ
iα
−iα
iβ
−iβ
e − e e + e e + e e − e
證明: sinα
cos β ± cosα
sin β = ( )( ) ± ( )( )
2i
2 2 2i
1 i(
α + β ) i(
β −α
) i(
α −β
) −i(
α + β ) i(
α + β ) i(
β −α
) i(
α −β
) −i(
α + β )
= [( e
4i
− e
2 )
+ e
i(
α ± β ) −i(
α ± β
= [ e − e ]
4i
= sin( α ± β ) ……得証#
cos( α ± β ) = cosα
cos β ∓ sinα
sin β
− e
) ± ( e
iα −iα
iβ
−iβ
iα
−iα
iβ
−iβ
e + e e + e e − e e − e
證明: cosα
cos β ∓ sinα
sin β = ( )( ) ∓ ( )( )
2 2 2i
2i
i + β ) i(
β −α
) i(
α −β
) −i(
α + β )
= {( e + e + e + e ) ∓[
−(
e
4
關於三角函數
紋的筆記-關於三角函數
+ e
1 ( α i(
α + β ) i(
β −α
) i(
α −β
) −i(
α + β )
= [( e
4
) ± ( e
− e
− e
− e
− e
+ e
1 i(
α + β ) i(
β −α
) i(
α −β
) −i(
α + β ) i(
α + β ) i(
β −α
) i(
α −β
) −i(
α + β )
+ e
2 )
tanα
± tan β
tan( α ± β ) =
1∓
tanα
tan β
+ e
i(
α ± β ) −i(
α ± β
= [ e + e ]
4
= cos( α ± β ) ……得証#
+ e
− e
sin( α ± β ) sinα
cos β ± cosα
sin β
證明: tan( α ± β ) =
=
cos( α ± β ) cosα
cos β ∓ sinα
sin β
sin α cos β cosα
sin β sin α sin β
±
±
cosα
cos β cosα
cos β cos α cos β
=
=
sin α sin β
sin α sin β
1∓
1 ∓
⋅
cosα
cos β
cos α cos β
− e
+ e
)]
)]
)]}

tanα
± tan β
= ……得証#
1 ∓ tanα
tan β
和差化積、積化和差:
α + β α − β
sinα
+ sin β = 2sin(
) cos( )
2 2
1
sinα cos β = [sin( α + β ) + sin( α − β )]
2
證明:已知 sin( α + β ) = sinα
cos β + cosα
sin β ……(1)
sin( α − β ) = sinα
cos β − cosα
sin β ……(2)
(1)+(2) → sin( α + β ) + sin( α − β ) = 2sinα
cos β
1
所以 sinα cos β = [sin( α + β ) + sin( α − β )] ……得証#
2
假設: α + β = A , α − β = B
A + B A − B
則 α = , β = ,代入式中
2 2
1
得 sinα cos β = [sin( α + β ) + sin( α − β )]
2
α + β α − β
sinα
− sin β = 2cos(
) sin( )
2 2
1
cosα sin β = [sin( α + β ) − sin( α − β )]
2
證明:
α + β α − β
cosα
+ cos β = 2cos(
) cos( )
2 2
1
cosα cos β = [cos( α + β ) + cos( α − β )]
2
證明:
關於三角函數
紋的筆記-關於三角函數

關於三角函數
紋的筆記-關於三角函數
)
2
sin(
)
2
sin(
2
cos
cos
β
α
β
α
β
α
−
+
−
=
−
)]
cos(
)
[cos(
2
1
sin
sin β
α
β
α
β
α −
−
+
−
=
證明:
倍角、半角關係:
α
α
α
α
α 2
tan
1
tan
2
cos
sin
2
2
sin
+
=
=
α
α
α
2
2
sin
cos
2
cos −
=
1
cos
2
2
−
= α
α
α
α 2
2
2
tan
1
tan
1
sin
2
1
+
−
=
−
=
α
α
α 2
tan
1
tan
2
2
tan
−
=
證明:已知
β
α
β
α
β
α
tan
tan
1
tan
tan
)
tan(
−
+
=
+
β
α = 代入得解#
α
α
α
cot
2
1
cot
2
cot
2 −
=
α
α
α
3
sin
4
sin
3
3
sin −
=
α
α
α cos
3
cos
4
3
cos
3 −
=
2
cos
1
2
sin
α
α −
±
=

α 1 + cosα
cos = ±
2 2
α
tan = ±
2
1 + cosα
1 − cosα
sinα
1 − cosα
= =
1 + cosα
sinα
其他(還要再確認!!)
sin x = x −
3
x
3!
+
for all values of x
cos x = 1 −
2
x
2!
+
or all values of x
5
x
5!
4
x
4!
3
x
tan x = x + +
3 15
−
−
7
x
7!
6
x
6!
+ ...
+ ...
3
5
7
x 1×
3×
x 1×
3×
5 × x
arcsin x = x + + +
…
6 2 × 4 × 5 2 × 4 × 6 × 7
for |x| £ 1
p
arccos x = − arcsin x
2
3 5 7
x x x
arctan x = x − + − + ... for |x| £ 1.
3 5 7
廣義三角函數:
關於三角函數
紋的筆記-關於三角函數

三角函數在複數上的應用
關於三角函數
一、假設 z = a + bi(
a, b∈
R ),在複數平面上表示為 P ( z)
= P(
a,
b)
,θ 為以OP 為終邊之有向
角,稱為 z 之輻角, 0≤ θ < 2π稱為
z 之主輻角,以 arg z = θ 表示。
2 2
假設 OP = z = a + b = r
a = rcosθ , b= rsinθ z = a+ bi = r(cosθ + isin
θ )
稱 r(cosθ + isin
θ ) 為 z 的極式。
二、複數的絕對值
2 2
定義:假設 z = a + bi ( a, b∈
R ),z 的絕對值以 z 表示。定義 z = a + b 。
性質:設 z z , z ∈C
1 , 2
1. z1 ⋅ z 2 = z1
⋅ z 2
n
n
2. z = z ( n ∈ N )
3.
三、共軛複數
z 1
=
z 2
z
z
1
2
4. z 1 − z 2 ≤ z1
+ z 2 ≤ z1
+ z 2
四、定理:
假設 z1 = r1(cosθ1+ isin
θ1)
z2 = r2(cosθ2 + isin
θ2)
( r 1,
r2
≥ 0 )
則 z1⋅ z2 = rr 1 2[cos( θ1+ θ2) + isin(
θ1+ θ2)]
z1 r1
= [cos( θ1− θ2) + i sin( θ1− θ2)]
,( 2 0
z r
≠ r )
2 2
紋的筆記-關於三角函數

z ⋅ z = rr[cos( θ + θ ) + isin(
θ + θ )]
1 2 1 2 1 2 1 2
證明: z1⋅ z2 = r1 θ1+ i θ1 r2 θ2 + i θ2
2 2
[ (cos sin )][ (cos sin )]
= rr[(cosθ cosθ − sinθ sin θ ) + i(sinθ
cosθ + cosθ sin θ )]
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
= rr[cos( θ + θ ) + isin(
θ + θ )] ……得証#
1 2 1 2 1 2
z1 r1
= [cos( θ1− θ2) + i sin( θ1− θ2)]
z r
證明:
五、棣美弗定理:
假設 z = r(cosθ + isin
θ ) , r ≥ 0 , n ∈ Z
n n
則 z = r (cos nθ+ isin nθ)
六、二項方程式:
定理:假設 x z
n = ( n ∈ N , z ∈ C ),其解為 x 1 , x 2 , x 3 ,……, x n 1 ,其中
xk= n
2kπ+ θ 2kπ
+ θ
z (cos + isin
)
n n
k = 0, 1,
2,
3,......,
n −1,
θ = arg z
n
特例: x = 1(
n ∈ N )
2π
2π
ω = cos + i sin
n n
2 3
n
此方程式的解為 1,
ω , ω , ω ,......, ω
三角函數的微分與積分
d
sinθ = cosθ
dθ
−1
iϑ
−iϑ
e − e
e
證明:已知 sinϑ
= , cosϑ
=
2i
1 d
sinϑ
=
( e
dϑ
2i
dϑ
d iϑ
−iϑ
− e
)
關於三角函數
紋的筆記-關於三角函數
iϑ
+ e
2
−iϑ
−

1 iϑ
−iϑ
= ( ie + ie )
2i
i
e + e
=
2
= cosϑ
ϑ −iϑ
d
cosθ =− sinθ
dθ
iϑ
−iϑ
e − e
e
證明:已知 sinϑ
= , cosϑ
=
2i
d 1 d iϑ
−iϑ
cosϑ
= ( e + e )
dϑ
2 dϑ
1 iϑ
−iϑ
= ( ie − ie )
2
i
e − e
= −
2i
= − sinϑ
ϑ −iϑ
關於三角函數
紋的筆記-關於三角函數
iϑ
+ e
2
d
2
tanθ = 1+ tan θ
dθ
d d sinϑ
證明: tanϑ
= ( )
dϑ
dϑ
cosϑ
d
−1
= (sinϑ
cos ϑ)
dϑ
d
−1
d −1
= ( sinϑ)
cos ϑ + sinϑ(
cos ϑ)
dϑ
dϑ
−1
−2
= cosϑ
cos ϑ + sinϑ
× ( −1)(cos
ϑ)(
− sinϑ)
d
cot 1 cot
dθ
2
θ =− − θ
證明:
sinϑ
cosϑ
= 1 + tan
2
= 1 + ( ) ϑ
2
−iϑ

d
secθ = tanθsecθ dθ
證明:
d
cscθ =− cotθcscθ dθ
證明:
......待續!
關於三角函數
紋的筆記-關於三角函數