TECHNIKA OBLICZENIOWA I SYMULACYJNA semestr letni r

TECHNIKA OBLICZENIOWA I SYMULACYJNA semestr letni r. a. 2009/2010
Reprezentacja liczb w maszynie cyfrowej, algorytm
1. Od czego zależy jakość obliczeń w maszynie cyfrowej?
2. Sposób zapisu liczb rzeczywistych w maszynie cyfrowej.
3. Podaj wartość liczby w systemie dziesiętnym odpowiadającej liczbie zapisanej w systemie
binarnym; mantysa 5 bitów, cecha 3 bity:
x = 1 | 1 0 0 1 | 0 | 1 1, ile wynosi błąd zaokrąglenia mantysy w tym zapisie
4. Podaj wzór na błąd względny i bezwzględny jaki wystąpi, gdy nie możemy dokładnie
zapisać w systemie binarnym liczby x, a tylko jej przybliżenie x’.
Dlaczego nie możemy zapisać wszystkich liczb rzeczywistych dokładnie w postaci
binarnej, np. gdy mantysę zapisujemy w postaci 6 bitów, a cechę 3 bitów.
5. Podaj zapis liczby w bitach stosowany w maszynach cyfrowych
6. Jaką maksymalną liczbę można zapisać w systemie dwójkowym, jeżeli:
– mantysa ma 5 bitów, a cecha 3.
7. Rodzaje błędów w obliczeniach numerycznych, jak powstają?
8. Co to jest algorytm?
Metody dokładne rozwiązywania układów równań liniowych
Metoda eliminacji Gaussa
1. Zaproponuj poprawny zapis układu równań umożliwiający zastosowanie metody
eliminacji Gaussa i rozwiąż:
x2 + 3x3 = 5
x1 + x2 = 3
2x1 + 3x3 = 5
2. Podaj kolejne etapy rozwiązywania układu n równań liniowych metodą eliminacji Gaussa.
Opisz algorytm pierwszego etapu.
3. Podaj kolejne etapy rozwiązywania układu n równań liniowych metodą eliminacji Gaussa.
Opisz algorytm drugiego etapu.
Metoda LU
1. Podaj ogólny algorytm rozwiązywania układu n równań liniowych metodą dekompozycji
LU. Podaj zalety metody dekompozycji LU.
2. Zapisz na wyrazach ogólnych macierz L i U macierz Q dla układu 4 równań liniowych.
Podaj kolejność obliczeń elementów macierzy Q.
1

3. Przytoczony poniżej układ równań rozwiąż metodą LU.
2x1 + x2 + x3 = 5
x1 + x2 + 3x3 = 6
2x1 +2x2 + x3 = 6
6. Dla przytoczonego poniżej układu n równań liniowych oblicz wektor y stosując algorytm
Crouta.
2x1 + x2 + x3 = 5
x1 + x2 + 2x3 = 6
2x1 +2x2 + x3 = 6
Rozwiązywanie układu równań liniowych metodami iteracyjnymi
1. Narysuj sieć działań rozwiązywania układu n równań liniowych metodami Jacobiego
(Gaussa-Seidla).
2. Opisz metodę Jacobiego (Gaussa-Seidla) rozwiązywania układu n równań liniowych.
3. Podaj warunki zbieżności metody Jacobiego (Gaussa-Seidla) rozwiązywania układu n
równań liniowych.
4. Sprawdź czy spełnione są warunki zbieżności umożliwiające zastosowanie metody
Jacobiego (Gaussa-Seidla) dla układu równań:
2x1 + 4x2 + x3 = 11
- x1 + 2x2 - x3 = 2
-2x1 – x2 + 3x3 = -3
5. Przedstaw dla niżej przytoczonego układ równań zapis reguły rekurencyjnej odpowiedniej
dla metody Jacobiego (Gaussa-Seidla). Podaj warunek zakończenia obliczeń.
10x1 - 8x2 + 2x3 = 4
- x1 + 5x2 - x3 = 3
-2x1 – 2x2 + 6x3 = 2
Rozwiązywanie równań nieliniowych
1. Zasady rozwiązywania równania nieliniowego metodami iteracyjnymi.
2. Narysuj sieć działań opisującą algorytm stosowany w metodzie bisekcji.
3. Metoda bisekcji – założenia, przepis na kolejne iteracje, warunki zakończenia iteracji.
4. Podaj regułę iteracyjną stosowaną w metodzie regula falsi (siecznych, stycznych, iteracji
prostej) do rozwiązywania równań nieliniowych f(x) = 0. Przytocz interpretację
geometryczną.
5. Wymień warunki jakie musi spełniać funkcja w wybranym przedziale [a,b], aby była
gwarancja znalezienia w tym przedziale pierwiastka. Podaj metody iteracyjne stosowane
do rozwiązywania równania nieliniowego.
2

6. Wymień kryteria zakończenia procesu poszukiwania rozwiązania w metodach
iteracyjnych w odniesieniu do metody bisekcji (regula falsi, siecznych, stycznych, iteracji
prostej).
7. Oblicz, stosując metodę bisekcji (regula falsi, siecznych, stycznych, iteracji prostej), dla
przedziału [0,6] trzy pierwsze przybliżenia pierwiastka równania:
x 3 – 2x –4 = 0
Sprawdź jaki jest błąd przybliżenia dla x(3)
8. Oblicz stosując metodę stycznych, zaczynając obliczenia od punktu x(0) = 6, trzy
pierwsze przybliżenia pierwiastka równania:
x 2 – x – 2 = 0
Wykreśl przebieg funkcji f(x) i stycznych dla obliczonych przybliżonych rozwiązań
równania.
9. Podaj zasady rozpoczynania obliczeń w metodzie stycznych (Newtona) i wymagania jakie
powinna spełniać funkcja f(x), żeby możliwe było znalezienie rozwiązania.
10. Narysuj sieć działań opisującą algorytm metody iteracji prostej rozwiązywania równania
f(x) = 0.
11. Stosując metodę iteracji prostej rozwiąż poniższe równanie, wymagana dokładność ε =
0.01. Należy przyjąć, że rozwiązanie znajduje się w przedziale [0,6].
x 3 – x – 2 = 0.
12. Stosując metodę iteracji prostej rozwiąż poniższe równanie, błąd przybliżenia δ =│f(x(k))
│≤ 0.01. Należy rozpocząć obliczenia od x(0) = 6.
x 3 – x – 2 = 0.
13. Stosując metodę iteracji prostej rozwiąż poniższe równanie, wymagana dokładność ε =
0.01. Należy przyjąć, że rozwiązanie znajduje się w przedziale [0,5].
x 3 – 2x – 4 = 0.
14. Dane jest równanie
x 3 – 4x – 2 = 0.
Sprawdź, czy któreś z proponowanych poniżej postaci tego równania spełnia warunki
zbieżności dla metody iteracji prostej w przedziale [0,5]
1 3 1
x = x −
4 2
3 x = 4 x + 2
Jeżeli któreś z równań spełnia warunki zbieżności, oblicz x(3). Wykreśl w układzie
współrzędnych kolejne iteracje na przebiegu obu funkcji.
3

Rozwiązywanie układu równań nieliniowych metodą Newtona-Raphsona.
1. Zgodnie z metodą Newtona-Raphsona układ równań przekształć do postaci iteracyjnej
(k=0) przyjmując, że funkcje są rozwijane w szereg Taylora w punkcie x1(0) = 2, x2(0) = 3.
x1 x2 + 2 x2 – 6 = 0
x1 + x2 2 - 5 = 0
2. Zgodnie z metodą Newtona-Raphsona zapisz Jacobian dla poniższego układu równań;
oblicz wartości funkcji i pochodnych dla rozwinięcia w szereg Taylora w punkcie x1(0) =
2, x2(0) = 3.
x1 x2 + 2 x2 – 6 = 0
x1 + x2 2 - 5 = 0
3. Opisz metodę Newtona-Raphsona rozwiązywania układu n równań nieliniowych.
Aproksymacja i interpolacja funkcji
1. Zaproponuj wielomian interpolacyjny Lagrange’a dla funkcji dyskretnej:
i 0 1 2
xi 0 1 2
yi -2 0 4
2. Podaj definicję funkcji interpolującej. Przytocz interpretację geometryczną. Podaj metody
obliczania wielomianów interpolujących.
3. Podaj definicję funkcji aproksymującej. Przytocz interpretację geometryczną.
4. Porównaj definicje funkcji interpolującej i aproksymującej dla tej samej funkcji
dyskretnej w danym przedziale [a,b].
4