Materiály k 5. přednášce - FBMI

fbmi.cvut.cz

Materiály k 5. přednášce - FBMI

Přednáška 5

Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

Odvození matic v pohybové rovnici, validace pohybové rovnice pomocí

energií systému.

Celková energie WC jakéhokoli konzervativního systému je konstantní, pokud do něj není

energie z vnějšku dodávána.

WC = WK

+ WP

= WKT

+ WKR

+ WP

= konst

(5.1)

kde WP značí energii potenciální a WK energii kinetickou, která má dvě složky, a to WKT

energii kinetickou translační a WKR kinetickou energii rotační. Tyto dvě složky kinetické

energie vyplývají z dvou druhů pohybů, které dělíme taktéž na translační a rotační.

Je nutno poznamenat, že WP v sobě zahrnuje pouze potenciální energii v tíhovém poli Země,

není zde tedy zahrnuta pružnost konstrukce, kterou můžeme zanedbat pokud uvažujeme

strukturu jako absolutně pevnou bez jakýchkoli deformací.

Translační složka kinetické energie celé soustavy je vzhledem k zobecněným souřadnicím

(nezávislé souřadnice vyjadřující pohyby kinematických dvojic, např šestice rot. kin. dvojic)

q = q , q , q , q , q , q )

( 1 2 3 4 5 6

T

(5.2)

dána součtem energií jednotlivých částí soustavy, respektive jejich těžišť následujícím

vztahem

W

KT

6 1 T ⎡

T ⎤

⋅ q&

⋅ ⎢ mi

⋅ J iT ( q)

⋅ J iT ( q)

⎥ ⋅ q&

2 ⎣ i 1


= ∑ =

(5.3)

kde JiT označuje jednotlivé transformační jakobiány daných těžišť segmentů, čili jedná se

pouze o první tři řádky (translační část) jakobiánu daného těžiště i- tého segmentu vzhledem k

rámu.

Všechny jakobiány nižšího stupně jsou odvozeny od celkového jakobiánu (J6) systému.

Všechny jakobiány mají stejný rozměr, a to 6 řádků a 6 sloupců. Ovšem liší se v obsazenosti

jednotlivých prvků, kdy se postupně nulují sloupce od šestého k prvnímu tak, jak se postupně

ubírají jednotlivé pohyby celkové struktury.

Rotační složka kinetické energie WKR se vypočítává dle vztahu

6


i=

1

T

T T

[ J ( q)

⋅ S ⋅ I ⋅ S ⋅ J ( q)

]

1 T

WKR = ⋅ q&

⋅ iR

0 i i 0i

iR ⋅ q&

2

(5.4)

kde JiR označuje jednotlivé rotační části jakobiánu daného segmentu, Ii matici tenzoru

setrvačnosti stejného segmentu jako jakobián a S0i submatici směrových kosinů téhož

segmentu vůči počátku souřadného systému (0).

Stránka 1 z 5


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

Jak vyplývá z předchozích vztahů, celkovou kinetickou energii robotické struktury můžeme

následně vyjádřit pomocí vztahu

W

T

T

T

1 T

[ m ⋅ J ( q)

⋅ J ( q)

+ J ( q)

⋅ S ⋅ I ⋅ S ⋅ J ( q)

] ⋅ q&

= ⋅ q&

⋅ D q&

6 1 T

⋅ q&

⋅ i iT

iT

iR

0i

i 0i

iR


2

2

K = ∑

i=

1

(5.5)

kde D značí matici dynamiky, kterou chceme získat pro pohybovou rovnici v maticové formě.

Matici D lze vyjádřit vztahem

6

T

T

T

( q)

= [ m ⋅ J ( q)

⋅ J ( q)

+ J ( q)

⋅ S ⋅ I ⋅ S ⋅ J ( q)

]


i=

1

D (5.6)

i

iT

Potenciální energie je určena dle vztahu

6

iT

iR

6

0 i

T

T

T

WP = ∑ mi

⋅ ( G ⋅ ρ 1iT

) = ∑ mi

⋅ ( G ⋅ S0i

⋅ r1iT

) = ( G ⋅∑

mi

⋅ S 0i

⋅ r1iT

) (5.7)

i=

1

i=

1

kde G T vyjadřuje vektor tíhového zrychlení

i

0i

T

( 0,

0,

g)

iR

6

i=

1

, S0i matici směrových kosinů počátku

soustavy souřadnic (zemské) vůči soustavě souřadnic i-tého elementu systému a r1iT průvodič

těžiště daného segmentu vůči počátku souřadného systému robotické struktury (rámu).

Pokud zajistíme, že počátek souřadného systému struktury (rám) nebude natočen vůči Zemi,

tudíž tíhové zrychlení bude mít stejný směr v obou soustavách, můžeme lehce odvodit, že

velikost potenciální energie bude závislá pouze na průvodiči daném v ose z, ve které je dáno i

tíhové zrychlení. Poté výraz (5.7) přejde do tvaru

W

P

= g ⋅

6


i=

1

m ⋅ z

i

1iT

(5.8)

Matici G obdržíme jako parciální derivaci potenciální energie podle jednotlivých

zobecněných souřadnic


( q)

= W ( q)

∂q

G P

(5.9)

Matici C můžeme sestavit na základě Christoffelových symbolů, které se přímo odvíjejí od

matice dynamiky následujícími vztahy

ch

ijk

=

1 ⎛ ∂d

⋅⎜

2 ⎜

⎝ ∂qi

jk

∂d

+

∂q

ki

j

∂d


∂q

ij

k




(6.1)

kde djk vyznačuje jednotlivé prvky matice dynamiky (systém se 6 zobecněnými proměnnými).

i=(1, 6), j=(1, 6) a k=(1, 6).

Matici C poté můžeme sestavit dle předpisu

Stránka 2 z 5


6


i=

1

Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

c = ch ( q)

q&

(6.2)

kj

ijk

i

Nyní již můžeme sestavit pohybovou rovnici v maticovém tvaru,

τ = D ( q)

⋅ q&

& + C(

q.

q&

) ⋅ q&

+ G(

q)

(6.2)

Experimentální ověření správnosti dynamického modelu pomocí WP a WK (programové

vybavení)

Pro sestavení dynamického modelu (ověření správnosti pohybové rovnice) musíme nejprve

formálně upravit pohybové rovnice do tvaru, kdy osamostatníme zobecněné souřadnice a

rychlosti.

Rovnici dynamiky (6.2) upravíme a formálně dvakrát integrujeme, abychom získali předpis

pro zobecněné souřadnice. Pokud bychom integrovali jen jednou, získáme předpis pro

zobecněné rychlosti. Vztahy pro výpočty zobecněných souřadnic a rychlostí jsou

∫∫

( τ − C(

q,

q&

) ⋅ q − G(

q)

)

1

q = D(

q)


& dt

− 2


( − C(

q,

q&

) ⋅ q&

− G(

q )

−1

q & = D(

q)

⋅ τ

) dt

(6.3)

(6.4)

Pomocí rovnic 6.3 a 6.4 sestavíme model v prostředí MatLab. Jeho struktura je znázorněna na

následujících schématech

Stránka 3 z 5


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

Obrázek Chyba! V dokumentu není žádný text v zadaném stylu..1 Základní schéma

modelu

Subsystém nazvaný manipulator je zde reprezentován

Obrázek Chyba! V dokumentu není žádný text v zadaném stylu..2 Subsystém manipulátor

A subsystém s názvem vypocet energie

Obrázek Chyba! V dokumentu není žádný text v zadaném stylu..3 Subsystém vypocet

energie

Verifikaci dynamického modelu provedeme na základě podmínky, že celková energie

konzervativní soustavy se v čase nemění, není buzena.

WC = WP

+ WK

=

konst.

(6.17)

To znamená, že celková energie zůstává konstantní, pokud pohony mají nulové momenty.

Pro nenulové počáteční podmínky vystavíme strukturu do pozice, kde potenciální energie

nenabývá svého minima. Matici C, nemusíme zahrnout do modelu, protože vyjadřuje vazebné

účinky, tudíž nekoná práci, a proto lze model ověřit i bez ní.

Graficky je ověření uvedeno na následujícím obrázku

Stránka 4 z 5


Inovace výuky předmětu Robotika v lékařství

Obrázek Chyba! V dokumentu není žádný text v zadaném stylu..4 Průběhy energií po

vychýlení o úhel 20°

kde žlutou barvou je znázorněna WK, fialovou WP a azurová je WC.

V případě úspěšné validace modelu by potenciální a kinetická energie měly být v protifázi a

netlumené, a jejich součet v každém časovém okamžiku simulace konstantní. Po ůspěšné

validaci lze pohybové rovnice použít pro konstrukci paradigmatu silového řízení paže.

Stránka 5 z 5

More magazines by this user
Similar magazines