IZJAVA

IZJAVA
Spodaj podpisani(a) izjavljam,
da sem naloge reševal(a) SAMOSTOJNO in s tem jamµcim, da sem
seznanjen(a) z vsemi posledicami, ki jih za plagiatorstvo predvideva
STATUT UM.
Podpis:
1

NAVODILO: Naloge ODDAJTE NAJKASNEJE do 24. 11. 2008
Obvezno podišite IZJAVO.
Pišite na bele prazne liste.
Naloge oddajte zloµzene PO VRSTI.
Številka naloge naj bo dobro opazna -
teµzite k temu, da se vsaka naloga zaµcne na svoji strani.
Listi naj bodo OŠTEVILµCENI.
Naloge naj bodo napisane PROSTOROµCNO.
IME PRIIMEK:
ŠT. INDEKSA:
Obkroµzajte na originalne liste (in ne na svoje priloµzene liste).
Naloge oddajte v PROZORNI MAPICI (’SRAJµCKI’).
1 Vektorske funkcije
1. Zapiši primer nelinearne funkcije
a) ~ F : R 2 ! R 3 , b) ~ F : R 3 ! R 2 , c) ~ F : R 4 ! R 3 , d) ~ F : R 2 ! R 4 :
2. Zapiši primer linearne funkcije
a) ~ F : R 2 ! R 3 , b) ~ F : R 3 ! R 2 , c) ~ F : R 4 ! R 3 , d) ~ F : R 2 ! R 4 :
3. µCe je pri ~ F : R m ! R n dimenzija m = 1, obiµcajno oznaµcimo ~r : R !
R n , ~r (t) = (x1 (t) ; x2 (t) ; :::; xn (t)). Ker je parameter t obiµcajno µcas,
tako funkcijo ~r (t) imenujemo tudi µcasovna funkcija. Njen graf je krivulja.
Zapis ~r (t) = (x1 (t) ; x2 (t) ; :::; xn (t)) skupaj z mejami parametra: npr.
t 2 [ ; ], imenujemo parametrizacija krivulje. Obkroµzi pravilne trditve.
a) Krivulja C; podana s parametrizacijo ~r : R ! R n ; je enodimenzionalni
objekt v R n
b) Krivulja v R n je zvezna, tudi, µce so funkcije xk (t) nezvezne
c) Odvod funkcije ~r (t) izraµcunamo tako, da odvajamo vsako komponento
posebej
d) Odvod funkcije ~r (t) izraµcunamo tako, da odvajamo prvo komponento
x1 (t) po µcasu, ostale komponente pustimo nespremenjene
e) geometrijski pomen odvoda ~r 0 (t) je normala na krivuljo
f) …zikalni pomen odvoda ~r 0 (t) je hitrost (delca)
g) funkcije ~r (t) ne moremo trikrat odvajati, lahko pa jo odvajamo dvakrat
h) drugi odvod funkcije ~r (t) je pospešek (delca)
e) hitrost in pospešek sta vektorja
2

4. Dokaµzi veljavnost formule
a) ~ f ~g 0
= ~ f 0 ~g + ~ f ~g 0
b) ~ f (h (t)) 0
= ~ f 0 (h (t)) h 0 (t)
5. a) Izraµcunaj hitrost in pospešek na vijaµcnici ~r (t) = (R cos !t; R sin !t; v0t)
ob poljubnem µcasu t.
b) Izraµcunaj skalarno hitrost (brzino) in velikost pospeška na vijaµcnici ob
poljubnem µcasu t.
c) Izraµcunaj tangencialni in radialni pospešek na vijaµcnici ob poljubnem
µcasu t.
6. Na primeru vijaµcnice demonstriraj, da ni nujno v 0 = a:
7. Obkroµzi pravilne odgovore
a) projekcija vektorja na vektor je povezana s skalarnim produktom
b) projekcija vektorja na vektor je povezana z vektorskim produktom
c) proj~ b ~a = ~a
c) proj~ b ~a = ~a ~ b
k ~ bk
d) proj~ b ~a = ~a ~ b
k ~ bk
e) proj~ b ~a = ~a
~ b
k ~ bk
~ b
k ~ bk
8. a) Izraµcunaj hitrost in pospešek na krivulji ~r (t) = 5t 3 45t; 3t + 9; 9 5t
ob µcasu t = 3.
b) Izraµcunaj skalarno hitrost (brzino) in velikost pospeška na vijaµcnici ob
µcasu t = 3.
c) Izraµcunaj tangencialni in radialni pospešek na vijaµcnici ob µcasu t = 3.
9. Obkroµzi pravilne odgovore
a) Središµce pritisnjene proµznice leµzi na rekti…kacijski ravnini
b) Središµce pritisnjene proµznice leµzi na oskulacijski (pritisnjeni) ravnini
c) Razdalja med dotikališµcem pritisnjene kroµznice s krivuljo in središµcem
pritisnjene kroµznice je 1
d) Razdalja med dotikališµcem pritisnjene kroµznice s krivuljo in središµcem
pritisnjene kroµznice je 1
e) Torzijska ukrivljenost meri odklon krivulje od ravne µcrte (µce je = 0,
je krivulja v bistvu premica)
f) Fleksijska ukrivljenost meri odklon krivulje od ravne µcrte (µce je = 0,
je krivulja v bistvu premica)
3

g) µCe je = 0, je krivulja ravninska (v celoti leµzi na ravnini)
h) µCe je = 0, je krivulja ravninska (v celoti leµzi na ravnini)
e) ~r 0 in ~r 00 vedno leµzita v pritisnjeni ravnini
f) normala pritisnjene ravnine je normala ~ N
g) normala pritisnjene ravnine je binormala ~ B
h) tangenta ~ T je vedno v pritisnjeni ravnini
e) tangenta ~ T je vedno pravokotna na pritisnjeno ravnino
10. Podana je krivulja x 2 + y 2 = 9, z = 5 arctan y
x .
a) zapiši vektorje ~ T , ~ N in ~ B v poljubni toµcki na krivulji.
b) doloµci središµce pritisnjene kroµznice v poljubni toµcki krivulje
c) numeriµcni izraµcun napravi za toµcko p 3; p 3; 5
7
11. Dokaµzi, da za vsak enotski vektor ~x velja ~x ~x 0 = 0. Namig odvajaj enaµcbo
k~xk = 1.
12. Obkroµzi pravilne odgovore
a) …zikalni pomen loµcne dolµzine je velikost hitrosti delca
b) …zikalni pomen loµcne dolµzine je hitrost delca
c) …zikalni pomen loµcne dolµzine je velikost pospeška delca
d) …zikalni pomen loµcne dolµzine je pospešek delca
e) dl = x 2 + y 2 + z 2 dt
f) dl = x2 + y2 1
2 2 + z dt
g) dl = _x 2 + _y 2 + _z 2 dt
h) dl = _x 2 + _y 2 3
2 2 + _z dt
e) dl = _x 2 + _y 2 1
2 2 + _z dt
13. Obkroµzi pravilne odgovore
a) v naravnem parametru je hitrost vedno enaka 1
b) v naravnem parametru je loµcna dolµzina enaka spremembi parametra
c) v naravnem parametru je vedno ~r 0 ? ~r
d) v naravnem parametru je vedno ~r 0 ? ~r 00
e) Frenetove formule veljajo samo v naravnem parametru
f) Frenetove formule veljajo v poljubnem parametru
14. Dokaµzi, da je s naravni parameter za spodnjo vijaµcnico
~r (s) = 3 cos
s
p 34 ; 3 sin s
p 34 ; 5s
p 34
4
.

15. Naravni parameter je de…niran tako, da je hitrost (vedno) enotski vektor.
Tedaj je ~a ? ~v. Kako je s tem v poljubnem parametru?
16. Zapiši enaµcbo tangente (premice) in pritisnjene ravnine na krivuljo ~r (t) =
5t 3 45t; 3t + 9; 9 5t ob µcasu t = 3. V kateri toµcki tangenta prebode
ravnino 9x + 10y 7z = 49?
17. Ali je krivulja
ravninska?
18. Ali je krivulja
2
~r (t) =
6
4
ravninska?
1
p 3
1
p 3
1
p 3
19. Ali je krivulja
2
~r (t) =
ravninska?
6
4
1
p 3
1
p 3
1
p 3
p1 2
p1 2
0
20. Podana je krivulja
p1 2
p1 2
0
2
~r (t) = 4
1
p 6
1
p 6
2
p6
1 9 9
0 5 45
7 49 0
3 2
1 0 0
7 6
5 4
1
p 6
1
p 6
2
p6
1 0 2
0 p 3
2
3 2
7
5 4
1 0 0
0 1 0
0 0 0
p
3
2
1
2
3 2
5
3 2
5 6
4
4 t2
t 3
t 7
3 2
7 6
5 4
1
p 3
1
p 2
1
p 6
3
5
1
p 3
1
p 2
1
p 6
~r(t) = 1
(sin 2t; cos 2t; 3); t > 0:
t
1
p 3
1
p 2
1
p 6
1
p 3
1
p 2
1
p 6
1
p 3
0
2
p 6
(a) Izraµcunaj skalarno hitrost po zelo velikem µcasu (t ! 1):
(b) Ali je pospešek kdaj pravokoten na hitrost?
21. Krivuljo
~r (t) = 9t 3
zapiši v bazi B =
81t 2
1
p 3
0
2
p 6
3 2
7
5
3 2
7
5 4
6t; 5t 3 + 54t 2 + 5t; 2t 3 + 27t 2 + 2t
2 5 2
3 ; 9 ; 9 ; ( 3; 2; 1) ; 1; 5
9 ; 2
9
4 t2
t 3
t 7
22. Vivianijeve krivulje so preseki med valjem (x 3) 2 + y 2 = 3 2 in sfero
x 2 + y 2 + z 2 = 43 2 .
a) Dokaµzi, da je njena parametriµcna enaµcba
~r (t) = 3 1 + cos t; sin t; 2 sin t
2
b) Izraµcunaj ‡eksijsko in torzijsko ukrivljenost pri t = 5
7 .
5
t 2
t 3
t 7
3
5
3
5

23. V splošnem je problem doloµcanja naravnega parametra lahko zelo zahteven,
saj je treba obiµcajno rešiti zahtevno integralsko enaµcbo R s p
k~r 0 (t)kdt =
0
t. Toda s pomoµcjo Frenet-Serretovih formul lahko za dovolj gladke krivulje
~r (t) dobimo Taylorjev pribliµzek parametrizacije v naravnem parametru s
(izraµzen tudi s koliµcinami , , ~ T , ~ N in ~ B).
a) Dokaµzi, da iz ~r (s) ~r (0) + ~ T s + 1
~T 00 = ~ T 0
0
= ( N) 0 in Frenetove formule, sledi
~r (s) ~r (0) + ~ T s + 1
2 ~ Ns 2 +
Vse vrednosti , 0 in so izraµcunane v toµcki s = 0.
2! ~ T 0s2 + 1
3! ~ T 00s3 ; upoštevajoµc ~ T = d~r
2 ~ T + 0 ~ N + ~ B s 3
6 :
b) S pomoµcjo zgornje formule zapiši kubiµcni Taylorjev pribliµzek krivulje
~r (t) = 3 sin 5t; e 5t ; 7t 2 v naravnem parametru.
c) Izraµcunaj µclen 1
4! ~ T 000 s 4
24. Dokaµzi, da v naravnem parametru s za krivuljo ~r (s) velja
a) ~ T 0 ~ B =
b) ~r 0 (s) ~r 000 (s) =
c) ~r 0 (s) ~r 0000 (s) = 3 0
ŠIFRA 17312357837372
2
6
ds ,