Analiza 2

1.4. VEKTORSKE FUNKCIJE 13
kjer je
o(h)
lim = 0.
h→0 h
To papomeni, da jemogočevektorskofunkcijoh ↦→ f(t0+h)−f(t0) pri majhnih
h dobro aproksimirati z linearno vektorsko funkcijo h ↦→ ˙
f(t0)h, t.j.
f(t0 +h)−f(t0) ≈ ˙
f(t0)h.
Dobro ” aproksimabilnost” vektorske funkcije h ↦→ f(t0 +h) −f(t0) z linearno
vektorsko funkcijo h ↦→ ˙
f(t0)h pa imenujemo diferenciabilnost.
Definicija 7 Vektorska funkcija f : I → R m je diferenciabilna v točki t0, če
obstaja linearna vektorska funkcija h ↦→ L(h), (L : R → R m ), da je
kjer je limh→0 o(h)
h
= 0.
f(t0 +h)−f(t0) = L(h)+o(h),
Opomba: Linearna vektorska funkcija L : R → R m je oblike L(h) = hA, kjer je
A nek vektor iz R m in h ∈ R.
Izrek 7 Naj bo t0 ∈ I, I ⊂ R. Vektorska funkcija f : I → R m je v točki t0
diferenciabilna natanko tedaj, ko je v točki t0 odvedljiva.
Dokaz: (⇒) Da iz odvedljivosti sledi diferenciabilnost smo ˇze pokazali.
(⇐) Naj bo sedaj vektorska funkcija f diferenciabilna v točki t0. Tedaj je
kjer je limh→0 o(h)
h
f(t0 +h)−f(t0) = L(h)+o(h),
= 0. Linearna vektorska funkcija L je oblike L(h) = hA,
kjer je A = (A1,...,Am) nek vektor iz R m . Sledi
f(t0 +h)−f(t0) = hA+o(h),
f(t0 +h)−f(t0)
h
= A+ o(h)
h ,
f(t0 +h)−f(t0)
−A =
h
o(h)
h ,
f(t0 +h)−f(t0)
lim −A = 0,
h→0 h