Analiza 2

1.5. PARCIALNIODVODI,DIFERENCIABILNOSTFUNKCIJVE ČSPREMENLJIVK25
saj je
od koder sledi, da je
Torej
kjer je limh→0 o(h1,h2)
h
|h|
√ < 1 in
h2 +k2 lim
(h,k)→0
o(h,k)
√ h 2 +k 2
|k|
√ < 1,
h2 +k2 = 0.
f (a,b)+(h1,h2) = f(a,b)+L(h1,h2)+o(h1,h2),
= 0. Torej je f diferenciabilna v točki (a,b).
Opomba: Od tod sledi, da so polinomi diferenciabilni v vsaki točki, saj so
njihovi parcialni odvodi spet polinomi, torej zvezni v vsaki točki.
1.5.1 Parcialni odvodi viˇsjega reda
Naj bo f funkcija, definirana na odprti mnoˇzici D in naj ima v vsaki točki iz D
definirane parcialne odvode
∂f
, j ∈ {1,2,...,n},
∂xj
ki so seveda spet funkcije. Če so te funkcije spet naprej odvedljive v vsaki točki,
potem lahko izračunamo
∂
∂xk
∂f
∂xj
, za j ∈ {1,2,...,n}, k ∈ {1,2,...,n}.
Če so te funkcije spet odvedljive, potem lahko izračunamo ...
Zgled: Parcialna odvoda funkcije f, ki je dana s predpisom
sta
f(x,y) = x 2 y 3 +3x 4 y 2 ,
∂f
∂x (x,y) = 2xy3 +12x 3 y 2
∂f
∂y (x,y) = 3x2 y 2 +6x 4 y.