Analiza 2

1.7. IZREK O INVERZNI PRESLIKAVI 41
Ker je (Dg)(0) = 0, so vsi parcialni odvodi vseh koordinatnih funkcij preslikave
g v točki 0 enaki 0. Ker so po predpostavki zvezni, lahko najdemo r > 0, da bo
∂gi
(x)
∂xj
< 1
2m za vsak x ∈ Rm , x < r
in za vsaka i ∈ {1,2,...,m}, j ∈ {1,2,...,m}. Če je torej x < r, y < r, je
tudi daljica s krajiˇsčema v točkah x in y vedno vsebovana v krogli B(0,r). Zato
1 m
∂gj
|gj(y)−gj(x)| = x+t(y −x) (yk −xk)dt
0 ∂xk
k=1
m
1
1
≤
2m |yk −xk|dt
k=1
0
= 1
m
|yk −xk|
2m
k=1
†
≤ 1
2m
m
(yk −xk) 2√m k=1
(† sledi iz Cauchy-Schwartzove neenakosti). Torej je
oziroma
Torej je
gj(y)−gj(x) 2 1
≤ (y −x)2
4m
g(y)−g(x) 2 =
za vsak j ∈ {1,2,...,m}
m
gj(y)−gj(x) 2 k=1
≤ 1
4m (y −x)2 m
= 1
4 (y −x)2 .
g(y)−g(x) ≤ 1
2 y−x
za vsaka x < r, y < r. Po potrebi r ˇse zmanjˇsamo, da je
• {x : x < r} ⊂ Ω
• (Df)(x) je izomorfizem za vsak x, x < r
• g(y)−g(x) ≤ 1
2y−x za vsak x < r in vsak y < r.