Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe

fuw.edu.pl

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe 1

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi

zwykłe

Ciągi zwykłe

Zadanie 1

Znaleźć granicę ciągu:

(1)

Wskazówka

Należy wykorzystać wzór: .

Rozwiązanie

Pomnożymy licznik i mianownik wzoru (1) przez wyrażenie:

(2)

Wykorzystując wzór:

(3)

gdzie przyjmiemy:

możemy przepisać wyrażenie na w formie:

(4)

Aby z kolei uprościć mianownik pomnożymy teraz licznik i mianownik przez

i ponownie wykorzystamy (3), przyjmując tym razem:

Otrzymujemy w ten sposób:

(5)

i w konsekwencji

(6)

Zadanie 2

Znaleźć granicę ciągu:

(7)

Wskazówka

Należy wykorzystać wzór: , bądź dwukrotnie wzór:

.


Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe 2

Rozwiązanie

Pomnożymy wyrażenie na przez jedynkę zapisaną w formie ułamka:

i wykorzystamy wzór: , przyjmując oraz

. Otrzymujemy w ten sposób:

Granica ciągu jest zatem równa:

Zadanie 3

Znaleźć granicę ciągu:

(8)

Wskazówka

Należy wyłączyć z licznika i mianownika wiodące wyrazy.

Rozwiązanie

Wyłączymy z licznika i mianownika wiodące wyrazy, jakimi są odpowiednio oraz . Otrzymujemy:

(9)

Na mocy kryterium Cauchy'ego zachodzi: . Mamy bowiem

(10)

Podobnie: , gdyż

(11)

W konsekwencji otrzymujemy

(12)


Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe 3

Zadanie 4

Znaleźć granicę ciągu:

(13)

Należy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.

Wskazówka

Rozwiązanie

Będziemy korzystać z twierdzenia o trzech ciągach, więc musimy dobrać takie dwa ciągi i , które spełniają

dla prawie wszystkich układ nierówności:

(14)

W tym celu zauważmy, że dla odpowiednio dużego i dla dowolnych dodatnich liczb i takich, że

oraz pewnych zachodzi:

(15)

gdyż liczba jest ustalona, a . Dzięki tej obserwacji wiemy, że prawie wszystkich

zachodzi nierówność:

(16)

Naturalnie prawdą jest także, iż

(17)

Można więc w następujący sposób wybrać ciągi i , potrzebne w (14):

(18)

W konsekwencji mamy:

Zadanie 5

Znaleźć granicę ciągu:

(19)

Należy skorzystać z kryterium d'Alemberta.

Zgodnie z treścią kryterium d'Alemberta obliczamy:

(20)

Granicę tego wyrażenia łatwo jest znaleźć:

(21)

Wskazówka

Rozwiązanie

Na mocy kryterium d'Alemberta wnosimy stąd, że .


Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe 4

Zadanie 6

Znaleźć granicę ciągu:

(22)

Należy skorzystać z kryterium d'Alemberta.

Zgodnie z kryterium d'Alemberta obliczamy:

(23)

Pamiętając, że

(24)

znajdujemy:

(25)

Wskazówka

Rozwiązanie

Na mocy kryterium d'Alemberta wnosimy stąd, że .

Zadanie 7

Znaleźć granicę ciągu:

(26)

Należy skorzystać z kryterium Cauchy'ego.

Zgodnie z treścią kryterium Cauchy'ego obliczamy:

(27)

Ponieważ

(28)

Wskazówka

Rozwiązanie

oraz (dla dużych ) mamy następujące oszacowanie dla :

(29)

więc z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że

(30)

Na mocy kryterium Cauchy'ego wnosimy stąd, że ciąg jest rozbieżny.


Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe 5

Zadanie 8

Znaleźć granicę ciągu:

(31)

Należy skorzystać z kryterium Stolza.

Wskazówka

Rozwiązanie

Wzór na wyraz ogólny ciągu ma postać ilorazu. W takiej sytuacji często możliwe jest skorzystanie z kryterium

Stolza. Oznaczmy:

(32)

gdzie:

(33)

Zgodnie z treścią kryterium Stolza policzymy:

(34)

Aby pozbyć się różnicy pierwiastków z mianownika pomnożymy licznik i mianownik przez sumę:

(35)

Otrzymamy w ten sposób

(36)

W konsekwencji

(37)

i na mocy kryterium Stolza tyle samo wynosi granica samego ciągu .

Zadanie 9

Znaleźć granicę ciągu:

(38)

Należy skorzystać z kryterium Stolza.

Wskazówka


Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe 6

Zgodnie z treścią kryterium Stolza oznaczmy:

(39)

gdzie:

(40)

i policzmy:

(41)

Rozwiązanie

Aby pozbyć się różnicy pierwiastków z mianownika pomnożymy licznik i mianownik przez

(42)

wykorzystując wzór (3). Otrzymamy w ten sposób

(43)

W efekcie

(44)

i na mocy zastosowanego kryterium tyle samo wynosi granica samego ciągu .

Zadanie 10

Znaleźć granicę ciągu:

(45)

Nalezy skorzystać z twierdzenia o granicy ciągu postaci:

(46)

Wiemy, że granicą ciągu postaci:

(47)

Wskazówka

Rozwiązanie

gdzie oraz w taki sposób, że , jest liczba . Wykorzystamy tę własność w

poniższym rozwiązaniu. W naszym przykładzie:

(48)

oraz

(49)


Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe 7

W konsekwencji mamy:

(50)

Zadanie 11

Znaleźć granicę ciągu:

(51)

gdzie .

Należy skorzystać z twierdzenia o granicy ciągu postaci:

(52)

Najpierw przepiszemy wzór na w formie:

(53)

Wskazówka

Rozwiązanie

a następnie skorzystamy z tego samego twierdzenia, co w poprzednim przykładzie, przyjmując:

(54)

Otrzymujemy:

(55)

W efekcie mamy:

(56)

Zadanie 12

Znaleźć granicę ciągu:

(57)

Wskazówka

Należy wyłączyć z licznika i mianownika wiodące wyrazy.

Rozwiązanie

Wyłączymy z licznika i mianownika wiodące wyrazy czyli . Otrzymujemy:

(58)

Korzystając z kryterium Cauchy'ego bądź d'Alemberta łatwo uzasadnić, że:

Analogicznie: . W konsekwencji:

(59)


Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe 8

Zadanie 13

Znaleźć granicę ciągu:

(60)

Wskazówka

Należy zauważyć, że ma postać , gdzie jest pewnym ciągiem, i zastosować do niego kryterium

d'Alemberta.

Wprowadźmy oznaczenie:

(61)

Rozwiązanie

Gdybyśmy badali zbieżność tego ciągu przy wykorzystaniu kryterium Cauchy'ego, to musielibyśmy obliczyć:

(62)

Załóżmy, że granica ta istnieje i równa się . Przedmiotem tego zadania jest właśnie znalezienie liczby . Wiemy,

że tę samą wartość otrzymalibyśmy, gdybyśmy do ciagu zastosowali, w miejsce kryterium Cauchy'ego,

kryterium d'Alemberta (jeśli tylko kryterium to zadziała). Możemy zatem napisać:

(63)

Zadanie 14

Znaleźć granicę ciągu:

(64)

Wskazówka

Należy uprościć wyrażenie poprzez sprowadzenie do wspólnego mianownika i wykorzystanie wzorów skróconego

mnożenia.

Rozwiązanie

Ze względu na to, że dla każdego dodatniego , granica (64) ma charakter . W takim przypadku

trzeba spróbować uprościć wyrażenie sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika w nadziei, że

nieskończonosci faktycznie "odejmą się". Tym wspólnym mianownkiem jest oczywiście: .

Korzystając ze wzoru: , gdzie oraz , otrzymujemy:

(65)

i w konsekwencji

(66)


Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe 9

Zadanie 15

Znaleźć granicę ciągu:

(67)

Należy skorzystać z kryterium d'Alemberta.

Jeśli przepisać wyrażenie (67)) w formie:

(68)

Wskazówka

Rozwiązanie

to stanie się jasne, z jakiego kryterium będzie najwygodniej skorzystać. Jest to naturalnie kryterium d'Alemberta,

które daje nadzieję na skasowanie się dużej liczby czynników obecnych w (68). Obliczamy zatem:

(69)

co oznacza, że ciąg jest rozbieżny.

Zadanie 16

Znaleźć granicę ciągu:

(70)

Wskazówka

Należy przepisać wyrażenie w formie umożliwiającej skrócenie identycznych czynników.

Rozwiązanie

Ponieważ , więc jeśli w każdym z nawiasów sprowadzić wyrażenie do wspólnego

mianownika, to wzorowi na nadać można postać:

(71)

Zauważmy, że każda z liczb: występuje w mianowniku dwukrotnie, a zatem w kwadracie, i dzięki

temu skróci się z analogicznym czynnikiem w liczniku. Natomiast liczby: nie powtarzają się i

wystąpią w mianowniku w pierwszych potęgach. Uwzględniając tę obserwację otrzymujemy:

(72)

i w rezultacie

(73)


Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe 10

Zadanie 17

Tak dobrać parametr , aby ciąg postaci:

(74)

był zbieżny do granicy różnej od zera. Znaleźć tę granicę.

Wskazówka

Należy skorzystać z twierdzenia o granicy ciągu postaci (por. zad. 10 i 11).

Rozwiązanie

Ponieważ wykładnik (równy ) dąży do nieskończoności, więc szanse na skończoną granicę mamy jedynie w

przypadku gdy:

(75)

Ponieważ

(76)

więc musimy mieć: . Przy tym założeniu napiszemy:

(77)

Oznaczmy teraz:

(78)

i policzmy granicę iloczynu .

(79)

Pierwszy ułamek dąży do , gdyż . Jeśli chodzi o pozostałe wyrażenie to przekształcimy je następująco:

(80)

Otrzymujemy zatem

(81)

i jak wiemy

(82)


Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe 11

Zadanie 18

Znaleźć granicę ciągu:

(83)

Wskazówka

Należy skorzystać z twierdzenia o granicy ciągu postaci (por. zad. 10 i 11).

Najpierw przepiszemy (83) w formie:

(84)

a następnie oznaczmy:

(85)

Policzmy teraz granicę iloczynu :

(86)

Rozwiązanie

Metodą analogiczną do tej z zadania 13 można wykazać, że

(87)

co pociąga za sobą wynik:

(88)

oraz

(89)

Zadanie 19

Znaleźć granicę ciągu:

(90)

Wskazówka

Należy skorzystać z faktu, że dla .

Rozwiązanie

Na początku, opierając się na wykorzystywanym w poprzednich zadaniach wzorze:

(91)

gdzie , oraz , uzasadnimy, że dla zachodzi

(92)

Napiszemy mianowicie:

(93)

Oznaczając:


Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe 12

(94)

oraz, przy wykorzystaniu (91) , (93) oraz dzięki różnowartościowości funkcji wykładniczej, otrzymujemy wynik:

.

Znalezienie granicy ciągu nie nastręcza teraz trudności. Wzór (90) przepiszemy w formie:

(95)

z której natychmiast wynika, iż

(96)

Zadanie 20

Zbadać zbieżność ciągu:

(97)

Wskazówka

Należy zbadać, czy jest możliwe wskazanie różnych podciągów zbieżnych do różnych granic.

Rozwiązanie

Ze względu na obecność we wzorze oscylującego czynnika wydaje się wskazane rozpatrzenie dwóch

podciągów: o wskaźnikach parzystych czyli oraz o wskaźnikach nieparzystych czyli , gdzie

Dla otrzymujemy:

(98)

.

skąd wynika, że podciąg ten jest zbieżny i

(99)

Dla ciągu o wskaźnikach nieparzystych mamy:

(100)

i w rezultacie

(101)

Ponieważ udało się wskazać dwa podciągi zbieżne do różnych granic, wynika stąd, że ciąg jest rozbieżny.


Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe 13

Zadanie 21

Zbadać zbieżność ciągu:

(102)

Wskazówka

Należy z argumentu funkcji sinus wydzielić człon wiodący przy .

Rozwiązanie

Gdy , to wiodący wyraz w argumencie funkcji sinus ma postać: . Poniżej postaramy się go wydzielić z

tego argumentu. Napiszemy:

(103)

Wyrażenie przekształcimy w znany nam już sposób:

(104)

Wyrażenie to dąży do zera gdy , a wraz z nim także . Zatem:

(105)

Zadanie 22

Zbadać zbieżność ciągu:

(106)

Wskazówka

Należy z argumentu funkcji cosinus wydzielić człon wiodący przy .

Rozwiązanie

Gdy , to wiodący wyraz w argumencie funkcji cosinus ma postać: . Poniżej wydzielimy go z tego

argumentu pisząc:

(107)

Zgodnie ze wzorem (104) otrzymanym w poprzednim zadaniu, argument funkcji cosinus dąży do zera gdy .

W konsekwencji:

(108)

Jeśli teraz wybierzemy dwa podciągi o wskaźnikach oraz , gdzie , to widzimy,

że

(109)

a zatem ciąg jest rozbieżny.


Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe 14

Zadanie 23

Zbadać zbieżność ciągu:

(110)

Wskazówka

Należy z argumentu funkcji sinus wydzielić człon wiodący przy .

Rozwiązanie

Dla dużych wartości argument zachowuje się jak . Napiszemy zatem

(111)

Rozpatrzmy najpierw podciąg :

(112)

Teraz rozważymy podciągi oraz :

(113)

(114)

Wskazaliśmy trzy podciągi zbieżne do różnych granic, co oznacza, że ciąg jest rozbieżny.


Źródła i autorzy artykułu 15

Źródła i autorzy artykułu

Matematyka:Matematyka I - ćwiczenia/Ciągi zwykłe Źródło: https://brain.fuw.edu.pl/edu-wiki/index.php5?oldid=8681 Autorzy: Torado

Licencja

Attribution-Share Alike 3.0 PL

http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/ pl

More magazines by this user
Similar magazines