Wykład 12

fuw.edu.pl

Wykład 12

Fizyka materii skondensowanej i struktur

półprzewodnikowych

Wykład 12

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 1


Plan wykładu 12

• Transport dyfuzyjny, równanie transportu Boltzmanna

− zjawiska galwanomagnetyczne – efekt Halla, magnetoopór, transport

wielonośnikowy

− zjawiska termoelektryczne – siła termoelektryczna, efekt Peltier

− zjawiska termomagnetyczne

• Zjawiska transportu w silnych polach elektrycznych – nasycanie się

prędkości unoszenia, efekt Gunna

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 2


Równanie (stacjonarne) transportu Boltzmanna

1 f1

v ⋅∇

f + F ⋅∇


r

f + = 0

k

τ ( E)

π

1

= ( k,

ϑ)

2

τ ( E)


∫ Θ

0



W ( k , k ')

= δ ( k − k'

) Θ(

k,

ϑ)

1 2

( 1−

cosϑ

) k sinϑ


2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 3


Równanie transportu Boltzmanna – zjawiska

galwanomagnetyczne

Nośniki w polach elektrycznym i magnetycznym –

zjawiska galwanomagnetyczne

• w obecności pól elektrycznego i magnetycznego w układzie jednorodnym

równanie Boltzmanna ma postać:


q [

gdzie standardowo przyjęto, że:

( ) ] v ⋅ X ( E)

ε + v × B ⋅∇

f + = 0


k


τ ( E)

f1(

k ) = v ⋅ X ( E)

• rozwiązanie (bez dowodu!) jest postaci:


(


)


(



)

2

X 0 + s X 0 × b + s b b ⋅ X 0

X =

(ćwiczenia !)

2



1+ s

B

gdzie: b =

– wersor w kierunku pola magnetycznego,

B

qτB

qτB

s =

q = ±e s = = ωcτ

m*

m *

⎛ ∂f0


X 0 = qτ

⎜−

⎟ε

– rozwiązanie bez pola magnetycznego

⎝ ∂E


2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 4


• Wektorowa funkcja X (E)

zależy więc od znanej, zależnej tylko od pola

elektrycznego funkcji , ale w polu magnetycznym kierunek wektora

jest różny od (a więc różny od )

gęstość prądu i natężenie pola elektrycznego nie są równoległe


0( ) E X

X (E)


X 0( E)


ε



j

ε


σˆ

Zjawiska galwanomagnetyczne, tensor przewodnictwa


j

σ ε


= ˆ

jest antysymetrycznym tensorem drugiego rzędu (tensorem

przewodnictwa); jeśli pole magnetyczne jest skierowane wzdłuż osi z, to:

2

e n τ

σ

⎡ σ xx σ xy 0

xx =


2

m * 1+

s

ˆ σ =




−σ

xy σ xx 0

2


e n sτ

σ xy =

2

⎢⎣

0 0 σ ⎥ zz ⎦

m * 1+

s

2

e n

σ zz = τ

m *

– może być dodatnie albo

ujemne !

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 5


qτB

• σxx i σxy zależą od pola magnetycznego (poprzez s = ), zaś σzz od B nie

zależy

m*

• w obszarze słabych pól magnetycznych |s| > 1:

σ

σ

xx

xy

Zjawiska galwanomagnetyczne, tensor przewodnictwa



2

e n

m *

2

e n

m*

τ

2

s

τ

s

=

=

nm

*

2

B

qn

B

1

τ


2

e B

m *

– główny człon niezależny od B

plus dodatek kwadratowy w B

– liniowe w B

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 6

2

2

3

τ




Zjawiska galwanomagnetyczne, efekt Halla

• Znajomość postaci tensora przewodnictwa pozwala wyjaśnić zjawisko Halla

czy magnetooporu poprzecznego i to zarówno w przypadku, kiedy w

transporcie biorą udział nośniki z jednego pasma czy też z kilku (np. elektrony

i dziury)

Efekt Halla

• Prostopadłościenna próbka, pole magnetyczne wzdłuż osi z, prąd przepływa

wzdłuż osi x:

y • napięcie wzdłuż kierunku

przepływu prądu Uxx x

• napięcie poprzeczne

(hallowskie) Uxy 2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 7


• wektor gęstości prądu:

⎡ j⎤


j =

⎢ ⎥


0


⎢⎣

0⎦⎥

• wektor natężenia pola elektrycznego znajdziemy za pomocą relacji:


ε = ˆ ρ j = σ

1

Zjawiska galwanomagnetyczne, efekt Halla


− ( ˆ ) j

gdzie – tensor oporności

⎡ σ −σ

xx

xy

⎢ 2 2 2 2


σ xx + σ xy σ xx + σ

⎡ ρ

xy

xx ρxy

0 ⎤


⎥ −1

⎢ σ xy σ xx

ˆ ρ =


− ρxy

ρxx

0


= ˆ σ = ⎢ 2 2 2 2

σ xx + σ xy σ xx + σ xy

⎢⎣

0 0 ρ ⎥⎦


zz


0 0




2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 8

ρˆ

0

0

1

σ

zz




⎥⎥⎥⎥⎥




oporność podłużna (zależna od pola magnetycznego B):

σ xx

ρ xx ≡ ρ(

B)

= 2 2

σ xx + σ xy

oporność hallowska:

σ xy

ρH

≡ RH

⋅ B =

σ + σ

gdzie RH jest współczynnikiem Halla

• współczynnik Halla w obszarze niskich pól magnetycznych B → 0:

1 σ xy

RH

≅ ≅

0 2

B σ

1

qn

2

τ

2

r

=

± en

r nazywa się hallowskim

czynnikiem rozproszeniowym

xx

• w przypadku silnej degeneracji τ → τ (EF) i r = 1

• w przypadku niezdegenerowanym, opisywalnym rozkładem Boltzmanna, po

zastosowaniu wprowadzonej wcześniej zależności czasu relaksacji od energii:

otrzymujemy:

Zjawiska galwanomagnetyczne, efekt Halla

2

xx

τ

2

xy

( ) ∝ p

τ E E

( −½

)

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 9




r H

Γ(

2 p + 3/

2)

⋅ Γ(

5/

2)

=

2

Γ ( p + 2)

x−1 −t

gdzie Γ(

x)

= t e dt jest funkcją gamma Eulera

• Jeśli:

Zjawiska galwanomagnetyczne, efekt Halla

0

– p = 0 (rozpraszanie na fononach, potencjał deformacyjny) r ≈ 1,18

– p = 1 (rozpraszanie na fononach optycznych, mechanizm polarny, rozpraszanie

na fononach akustycznych, mechanizm piezo) r ≈ 1,10

– p = 2 (rozpraszanie na zjonizowanych domieszkach) r ≈ 1,93

• mierząc współczynnik Halla w obszarze niskich pól B i przewodnictwo

elektryczne σ bez pola magnetycznego można z dokładnością do hallowskiego

czynnika rozproszeniowego wyznaczyć koncentrację i ruchliwość nośników:

n =

e

r

RH

µ =

R H σ

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 10

r


Zjawiska galwanomagnetyczne, magnetoopór

poprzeczny

• współczynnik Halla w obszarze wysokich pól magnetycznych |s| >> 1:

1 σ xy

RH

= 2 2

B σ xx + σ xy

1 1

⎯⎯

→ s>>

1

B σ xy

1

≈ = RH∞

qn

w ogóle nie zależy od mechanizmów rozpraszania nośników !

Magnetoopór poprzeczny – efekt Gaussa

• słowo „poprzeczny” odnosi się do sytuacji, kiedy przepływ prądu zachodzi w

kierunku prostopadłym do kierunku pola magnetycznego

• zjawiskiem magnetooporu nazywamy względną zmianę oporności ρxx w

funkcji pola magnetycznego:

∆ρ

ρ

( 0)

xx( B)

σ σ −σ

= −1

=

ρ ρ(

0)

σ + σ

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 11

xx

2

xx

2

xx

2

xy

−σ

2

xy


Zjawiska galwanomagnetyczne, magnetoopór

poprzeczny

• wystarczy teraz podstawić odpowiednie wyrażenia na składowe tensora

przewodnictwa…

• magnetoopór w obszarze niskich pól magnetycznych s


• magnetoopór w obszarze wysokich pól magnetycznych s >> 1:

ρ

ρ

∆ ∞

Zjawiska galwanomagnetyczne, magnetoopór

poprzeczny

σ ( 0)

σ xx 1

≈ −1

= τ −1

nasyca się na wartości zależnej

2

σ

τ

od mechanizmu rozpraszania

xy

Dla rozkładu Boltzmanna:

0,38 dla p = 0

2,98 dla p = 2

• dla pasma sferycznego magnetoopór podłużny nie pojawia się (na ładunek

poruszający się wzdłuż linii pola B nie działa siła). W przypadku pasma

niesferycznego przewodnictwo jest tensorowe nawet bez pola B i w tym

przypadku magnetoopór podłużny występuje

• efekt Halla – pierwszego rzędu w polu B

• efekt Gaussa – drugiego rzędu w polu B

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 13


Zjawiska galwanomagnetyczne, transport

wielonośnikowy

Przypadek udziału w przewodnictwie wielu rodzajów nośników

np.:

• półprzewodnik bliski samoistnemu – w transporcie biorą udział elektrony w

paśmie przewodnictwa i dziury w paśmie walencyjnym

• degeneracja kilku dolin jednego pasma – nośniki obsadzające różne doliny

mają różne koncentracje i ruchliwości

• heterostruktura w której występuje kilka warstw zawierających różne

swobodne nośniki

• Standardowym założeniem jest to, że każda i-ta „grupa” nośników czuje ten

sam rozkład pola elektrycznego oraz że nośniki w swoim ruchu sobie

nawzajem „nie przeszkadzają”. W takim przypadku, całkowita gęstość prądu

jest sumą gęstości prądu od poszczególnych grup nośników i:


tot

i

ˆ

σ = ˆ σ

i

tzn. tensor przewodnictwa jest addytywny

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 14


• elektrony:

• dziury:

Zjawiska galwanomagnetyczne, transport

wielonośnikowy

Przykład 1 – elektrony i dziury współuczestniczące w transporcie

σ

• całkowity tensor przewodnictwa:

e

xx

2

e n

=

m

e

*

e

p

τ e

1+ se

τ

2

• możemy teraz w standardowy sposób wyznaczyć współczynnik Halla

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 15

σ

e

xy

2

e n

=

m

*

e

seτ

1+ se

2

2

h

h

h e p shτ

h

σ xx = * 2

σ xy = * 2

mh

1+ sh

mh

1+ sh

σ = σ + σ

tot

xx

R

tot

H

e

xx

1

=


B

h

xx

( ) ( ) 2

2 tot tot

σ + σ

xx

σ

tot

xy

xy

σ = σ + σ

tot

xy

e

xy

h

xy

e

2


Zjawiska galwanomagnetyczne, transport

wielonośnikowy

• w obszarze niskich pól magnetycznych s e, s h > 1:

1

R∞

=

e p − n

( )

p − nb

1. w niskich polach magnetycznych dominujący wkład do współczynnika Halla

mogą mieć nośniki bardziej ruchliwe, nawet jeśli ich koncentracja jest istotnie

mniejsza!

2. w wysokich polach magnetycznych o znaku współczynnika Halla decydują

nośniki o większej koncentracji

3. z powyższego wynika, że znak współczynnika Halla może w funkcji pola B się

zmienić

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 16


2

gdzie

=

µ

e b

µ h


Zjawiska galwanomagnetyczne, transport

wielonośnikowy

Przykład 2 – widmo ruchliwości

• nie wiemy ile różnych rodzajów (grup) nośników bierze udział w transporcie

• staramy się opisać doświadczalną zależność składowych tensora

przewodnictwa od pola magnetycznego σ (B)

i σ

xx

xy(B)

jako złożenie

wielu różnych wkładów – kanałów przewodnictwa (w ogólności – dowolnie

wielu) pochodzących od grup nośników (numerowanych wskaźnikiem i)

charakteryzujących się daną masą efektywną mi*, ładunkiem qi (= ±e) oraz

czasem relaksacji τi • dla każdej z takich grup możemy napisać:

qiτ

i si = B ≡ µ iB

*

mi

( ) 2

2

i e ni

τ i σ 0i

σ 0i

σ xx(

B)

= = =

* 2

2

mi

1+

si

1+

si

1+

µ iB

i σ 0i

σ xy (

B) = ⋅ ( µ iB)

2

1+

µ B

( )

i

– gdzie µ i jest ujemne dla elektronów,

a dodatnie dla dziur

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 17


Zjawiska galwanomagnetyczne, transport

wielonośnikowy

• sumaryczny wkład od wszystkich kanałów przewodnictwa (grup nośników):

tot σ 0i

⎛ dσ

0(

µ ) ⎞ 1

σ xx ( B)

= ∑ =


( µ B)

∫⎜


2

2

1+

⎝ dµ

⎠1

+ ( µ B)

i i

tot σ 0i

µ iB

⎛ dσ

0(

µ ) ⎞ µ B

σ xy ( B)

∑ = ∫⎜


1+

⎝ ⎠ +

µ

= 2

2

i ( µ ) dµ

iB

µ 1 ( µ B)

• rozwiązanie problemu polega na takim dobraniu wkładów poszczególnych

kanałów przewodnictwa , aby zgodność pomiędzy wyliczonymi zależnościami

tot

σ (B)

i σ (B)

i doświadczeniem była jak najlepsza

tot

xx

xy

• można albo próbować dopasować sumę wkładów od kilku kanałów µ i – σ 0i

przewodnictwa, albo stosować kwaziciągły rozkład


widmo ruchliwości

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 18


d σ 0(

µ )


Zjawiska galwanomagnetyczne, transport

wielonośnikowy

Grafen (wyniki – dr Marta Gryglas-Borysiewicz)

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 19


ρ xx , ρ Hall [Ω·cm]

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0,00

-0,02

ρ xx

ρ Hall

Zjawiska galwanomagnetyczne, transport

wielonośnikowy

Sample E1053

Room temperature

-0,04

-30 -20 -10 0 10 20 30

Magnetic field [T]

InN:Mg (wyniki – L. Dmowski, M. Baj)

conductivity density [Ccm -3 ]

·

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

0,00

-2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500

mobility [cm 2 /Vs]

Maximum Entropy Mobility Spectrum Analysis wg.:

S. Kiatgamolchai et al., Physical Review E, 66, 036705 (2002)

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 20


Zjawiska termoelektryczne

Zjawiska termoelektryczne – siła termoelektryczna

• gradient temperatury i pole elektryczne, bez pola magnetycznego

• funkcja rozkładu musi zależeć od położenia (gradient temperatury!) , od

położenia będzie zależeć potencjał chemiczny

• Równanie Boltzmanna:

1 f1

v ⋅ ∇

r f + qε

⋅ ∇ f + = 0

k

τ ( E)

• w członie dryfowym pominiemy f1: 1 f1

v ⋅∇


r f0

+ qε

⋅∇

f0

+ = 0

k

τ ( E)

• człon dyfuzyjny – zawiera gradient f0 po współrzędnych przestrzennych:

∂f


0 ∇ = ∇ T

r f0 r

∂T

• f 0 zależy od temperatury poprzez zależność explicite

od T oraz poprzez zależność poziomu Fermiego od T:

f 0

E − ( T )

k T

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 21

=

1+

e

1 µ

B


Zjawiska termoelektryczne – siła termoelektryczna



E − µ

wprowadźmy zmienną: = ζ

kBT

wtedy: ∂f



0 ∂f0

E − µ 1 dµ

∂f0

⎛ E − µ dµ


= ⋅ ⎜

⎜−

− ⎟ = ⋅⎜

− −

2


∂T

∂ζ

⎝ kBT

kBT

dT ⎠ ∂E

⎝ T dT ⎠

• człon polowy:

1

qε ⋅∇ f k 0


1 ⎛ ∂f0

⎞ ⎛ ∂f



0

= ⎜ ⎟∇

E ⋅ qε

= q ⎜ ⎟ v ⋅

k

⎝ ∂E


⎝ ∂E


• stąd otrzymujemy rozwiązanie na funkcję f1: ⎛ ∂f0

⎞ ⎡ ⎛ E − µ ⎞ dµ

= τ ⎜−

⎟ v ⋅ ⎢qε

− ⎜ ⎟∇

T

− ∇

r T

⎝ ∂E

⎠ ⎣ ⎝ T ⎠ dT

f1 r

(1) (2) (3)

• następnym krokiem jest policzenie wektora gęstości prądu:


j


= ∫ qv

⋅f

SB

1


⋅ ρ(

k ) d k = j + j + j

3

1

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 22

2

3




ε





j1

już liczyliśmy:

2 e n τ

j 1 = ε

m *


dokładnie tak samo możemy postąpić z j2

(tym razem wprowadzając układ

współrzędnych sferycznych z osią biegunową skierowaną wzdłuż wektora

gradientu temperatury):

qnk

B j [ ]

2 = − ετ −η

τ ∇rT

m*

gdzie

E

ε =

kBT

µ

η =

kBT (uwaga na kolizję oznaczeń – zredukowana energia ε i natężenie pola

elektrycznego ε !)

• w członie (3) korzystamy z tego, że i otrzymujemy:


µ

r r µ T

d

∇ = ∇

dT


j

3

Zjawiska termoelektryczne – siła termoelektryczna

qn

τ

= −

m *



r

µ

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 23


• całkowita gęstość prądu:

2 e n τ ⎡ 1 k ⎛ ετ ⎞ ⎤

B

j = ⎢ε

− ∇ ⎜ ⎟

r µ −


−η



rT


m * ⎢⎣

q q ⎝ τ ⎠ ⎥⎦

• jeśli mierzymy pojawiającą się

na końcach próbki różnicę potencjałów przy

braku przepływu prądu, to j = 0 :

1 k ⎡ ετ ⎤

B

ε − ∇

r µ − ⎢ −η

⎥∇


rT

q q ⎣ τ ⎦

• Uwaga !

Zjawiska termoelektryczne – siła termoelektryczna

ε

=

zjawisko występowania pola

elektrycznego w materiale, wskutek

występowania gradientu temperatury

nazywa się zjawiskiem Seebecka (siłą

termoelektryczną)

Natężenie pola elektrycznego w powyższym wzorze nie jest wielkością,

którą się bezpośrednio mierzy poprzez dołączenie 2 kontaktów umieszczonych

na próbce wzdłuż gradientu temperatury i zmierzenie napięcia elektrycznego

między nimi! Istnieją dwie tego przyczyny:

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 24

0


Zjawiska termoelektryczne – siła termoelektryczna

1. poziom Fermiego w dołączonej elektrodzie (w punkcie A lub B) zrówna się

odpowiednio z qVTA lub qVTB , gdzie qVT = qV + EF i w pomiarze dałoby się

wyznaczyć UAB = qVTB – qVTA a nie qVB – qVA, gdyby nie to, że:

2. w materiale, z którego zrobione są kontakty także występuje zjawisko

Seebecka i co najwyżej możemy zmierzyć efekt różnicowy, a nie efekt

charakteryzujący dany materiał !

A B

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 25


• Gdybyśmy mierzyli napięcie generowane w próbce wzdłuż gradientu

temperatury za pomocą elektrod, w których efekt Seebecka nie występuje

(nadprzewodnik):



r

V

T

Zjawiska termoelektryczne – siła termoelektryczna

= ∇


r

V

1 1

+ ∇

r µ = −ε

+ ∇

r µ

q

q


k ⎡ ετ ⎤

B ∇

rVT

= −


rT

= T ∇

⎢ −η

⎥ α(

) rT

q ⎣ τ ⎦

Siła termoelektryczna, współczynnik Seebecka:

dV ⎡ ετ ⎤

T kB

α(

T ) = = − ⎢ −η


dT q ⎣ τ ⎦

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 26


• w rzeczywistości mamy do czynienia z dwoma materiałami: a i b

termopara

Zjawiska termoelektryczne – siła termoelektryczna

b

a

b

• podczas pomiarów należy jeden materiał uznać za wzorcowy, i badać siłę

termoelektryczną względem takiego wzorca (idealnie – względem

nadprzewodnika)

• znak siły termoelektrycznej zależy od rodzaju nośników: dla elektronów q < 0

i α > 0 (znak zimnego końca – ujemny) ⇒ metoda gorącej sondy


kB µ V

= 86

e K

– siły termoelektryczne niezdegenerowanych półprzewodników są

rzędu kilkuset µV/K

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 27

dV

dT

12

= α = α −α

2


ab

V = α

12

T

T

1

ab

a

( T ) dT

b


Zjawiska termoelektryczne – efekt Peltier

Efekt Peltier

• efekt odwrotny do efektu Seebecka – powstawanie różnicy temperatury

pomiędzy złączami a–b i b–a dwóch różnych materiałów przez które

przepuszczany jest prąd elektryczny:

efekt Seebecka

efekt Peltier

http://en.wikipedia.org/wiki/Thermoelectric_effect

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 28


Zjawiska termomagnetyczne

Zjawiska termomagnetyczne

• Istnieje szereg zjawisk termomagnetycznych (gradient temperatury, pole

elektryczne, pole magnetyczne ⇒ możliwe przepływy prądu i ciepła);

szczegóły – patrz np.: B.M. Askerov, „Electron transport phenomena in

semiconductors”, World Scientific 1994

• Przykład: poprzeczne i podłużne zjawisko Nernsta-Ettinghausena

magnetoopór i efekt Halla podłużny (zmiana siły termoelektrycznej

w polu B) i poprzeczny efekt Nernsta-

Ettinghausena

2013-05-14 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 12 29

T 1

T 2

More magazines by this user
Similar magazines