Wykład 4

Fizyka materii skondensowanej i struktur 

półprzewodnikowych 

Wykład 4 

2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 1

Plan wykładu 4 

Elementy mechaniki kwantowej w ciele stałym: 

– klasyczny model Drudego 

– przybliżenie Borna-Oppenheimera 

– wieloelektronowe równanie Schrödingera 

– przybliżenie jednoelektronowe Hartree 

– potencjał periodyczny (kryształ), twierdzenie Blocha, funkcja 

Blocha 

– strefy Brillouina 

– warunki periodyczności Borna-Karmana 

Struktura pasmowa stanów elektronowych: 

– model pustej sieci 

– model elektronów prawie swobodnych 


H 

= 

= 

∑ 

i 

i 

∑ 

gdzie : 

Przybliżenie Borna-Oppenheimera 

Pełny nierelatywistyczny hamiltonian układu jąder i elektronów: 

2 

pi 

+ 

2m 

2 

pi 

+ 

2m 

∑ 

2 

PN 

2M 

N N 

N 

2 

PN 

2M 

N 

1 

+ 

4πε 

0 

 

r = ( r , r , r ,....), 

∑ 

1 

2 

1 

+ 

4πε 

3 

0 

∑ 

2 

e 

 

r − r 

i< j i j 

∑ 

2 

e 

 

ri 

− r 

 

R = ( R 

i< j j 

1 

1 

− 

4πε 

 

+ V ( r, 

R) 

+ G( 

R) 

 

, R 

• współrzędne obu podukładów – elektronowego i jądrowego (jonowego) 

są nietrywialnie przemieszane, sugerując, że separacja zmiennych 

elektronowych i jądrowych jest niemożliwa 

• możliwe rozwiązanie: przybliżenie adiabatyczne Borna-Oppenheimera 

2013-03-12 Fizyka materii skondensowanej i struktur półprzewodnikowych - wykład 4 3 

2 

 

, R 

3 

0 

∑ 

i, N i N 

,....) 

Z N e 

 

r − R 

2 

1 

+ 

4πε 

0 

∑ 

Z 

 

R 

N 

Z K e 

 

− R 

2 

N < K N K 

=


1. Jony (sieć) drgają powoli w porównaniu z częstościami charakterystycznymi 

dla elektronów; można wobec tego przyjąć, że dla każdego chwilowego 

położenia jonów elektrony znajdują się w stanach kwantowych 

odpowiadających potencjałowi aktualnej konfiguracji jonów. 

2. „Zamrażamy” więc jony w ich chwilowych położeniach i rozwiązujemy 

elektronowe równanie Schrödingera: 

2 

2 

k ⎛ pi 

1 e ⎞ 

k 

k 

k 

H elψ 

el ( r; 

R) 

= ⎜ 

V ( r, 

R) 

⎟ 

ψ el ( r; 

R) 

= Eel 

( R) 

⋅ψ 

el ( r; 

R) 

⎜∑ 

+ ∑ + 

i 2m 

4πε 

0 i j ri 

r ⎟ 

< 

⎝ 

− j ⎠ 

 

( r; 

R) 

otrzymujemy wieloelektronowe funkcje falowe el zależne od 

położeń wszystkich elektronów, sparametryzowane chwilowymi 

położeniami wszystkich jąder (jonów) R . Wskaźnik k reprezentuje zbiór 

liczb kwantowych wieloelektronowego stanu kwantowego. Energie 

także zależą od parametrów . 

 

E k 

el 

R 


ψ 

k 

 

(R)


3. Rozwiązania dla pełnego hamiltonianu układu elektronów i jąder (jonów) 

poszukujemy teraz w postaci (ewentualnie w postaci kombinacji liniowej 

k 

takich rozwiązań odpowiadających różnym możliwym funkcjom ψ ( r; 

R) 

): 

 

k 

Ψ( 

r, 

R) 

= Φ( 

R) 

⋅ψ 

( r; 

R) 

4. Pamiętając, że operatory pędu dla jonów będą działały także na 

otrzymujemy: 

2 

⎛ PN 

HΨ( 

r, 

R) 

= 

⎜ 

⎜∑ 

⎝ N 2M 

N 

 

k ⎞ 

+ Eel 

( R) 

+ G( 

R) 

⎟ 

⎟Ψ( 

r, 

R) 

= 

⎠ 

2 

k ⎧ PN 

= ψ el ( r; 

R) 

⎨∑ 

⎩ N 2M 

N 

 

k ⎫ 

+ Eel 

( R) 

+ G( 

R) 

⎬Φ( 

R) 

+ 

⎭ 

2 

 

−∑ 

2M 

 

 

k 

2∇ 

Φ( 

R) 

⋅∇ 

ψ el ( r; 

R) 

+ Φ( 

R) 

∆ 

RN 

RN 

RN 

N N 


el 

ψ 

el 

k 

el 

 

( r; 

R) 

{ ( r; 

R) 

} 

k 

ψ 

el


5. Jeśli można zaniedbać drugą linijkę powyższego wzoru (różniczkowania 

wieloelektronowej funkcji falowej po współrzędnych jonów) – patrz J.M. 

Ziman, „Wstęp do teorii ciała stałego”, to otrzymujemy równanie na funkcję 

(R) w formie równania Schrödingera: 

 

Φ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎞ 

( R) 

+ G( 

R) 

⎟ 

⎟Φ( 

R) 

⎠ 

2 

PN k 

k 

+ Eel 

= E 

N 2M 

N 

∑ 

 

Φ( 

R) 

tzn. (R) ma sens funkcji falowej opisującej ruch jąder (jonów) w 

potencjale wzajemnego ich oddziaływania oraz adiabatycznego 

wkładu elektronów w energię ruchu jąder/jonów (energię sieci) 

 

Φ 

G(R) 

 

(R) 

6. Człony zaniedbane dają sprzężenie pomiędzy podukładami elektronów i 

jąder (jonów) – sprzężenie elektron-fonon 


E k 

el

Ruch jonów (drgania sieci), przybliżenie harmoniczne 

• Równowagowy układ położeń jąder/jonów (równowagowa wartość stałej 

sieci) odpowiada minimum efektywnego potencjału: 

U 

k 

eff 

 

k 

( R) 

= 

E ( R) 

+ G( 

R) 

el 

w którym poruszają się jądra (jony) 

• Rozwijając Ueff wokół położenia równowagi (człon liniowy zniknie) 

 

U eff ( R) 

= U eff 

 

( R 

R0 

( δR) 

 

otrzymujemy energię potencjalną sieci jako funkcję zawierającą człony co 

najmniej kwadratowe we względnych przesunięciach jonów R. Ograniczenie się do członów kwadratowych daje nam obraz drgań sieci jako 

zbioru sprzężonych oscylatorów harmonicznych; dołożenie wyższych 

członów rozwinięcia daje efekty anharmoniczne (np. rozszerzalność 

termiczną, oddziaływanie fonon-fonon) 

 

δ 


0 

) 

+ U 

'

H 

el 

Wieloelektronowe równanie Schrödingera 

2 

2 

k ⎛ pi 

1 e ⎞ 

k 

k 

ψ el ( r; 

R) 

= ⎜ 

V ( r, 

R) 

⎟ 

ψ el ( r; 

R) 

= Eel 

( R) 

⋅ψ 

⎜∑ 

+ ∑ + 

i 2m 

4πε 

0 i j ri 

r ⎟ 

< 

⎝ 

− j ⎠ 

Jak je rozwiązać? 

 

( r; 

R) 


k 

el

Ψ( 

r , 

1 


• Jedna z metod: LCAO-MO z przybliżeniem Hartree-Focka – 

metoda samouzgodniona (rozwiązania iteracyjne), n-elektronowa 

funkcja falowa w postaci pojedynczego wyznacznika Slatera, 

automatycznie zapewniającego antysymetryczność funkcji falowej 

ze względu na przestawienie dwóch dowolnych elektronów: 

sp 

sp 

sp 

ϕ1 

( r1 

, s1) 

ϕ1 

( r2 

, s2 

) ... ϕ1 

( rn 

, 

sp 

sp 

sp 

 

1 ϕ 2 ( r1 

, s1) 

ϕ 2 ( r2 

, s2 

) ... ϕ 2 ( rn 

, 

r2 

, r3 

,... rn 

, s1, 

s2 

, s3 

,... sn 

) = 

n! 

... ... ... ... 

sp 

sp 

sp 

( r , s ) ( r , s ) ... ( r , 

ϕ 

• każdy z jednoelektronowych spinorbitali i i musi być 

inny – dwa spinorbitale mogą np. mieć tę samą część orbitalną, ale 

wtedy muszą się różnić spinem: ⎡1⎤ 

ϕi 

( ri 

) ⋅ ⎢ ⎥ 

⎣0⎦ 

i 

⎡0⎤ 

ϕi 

( ri 

) ⋅ ⎢ ⎥ 

⎣1⎦ 


n 

1 

1 

ϕ 

ϕ 

n 

sp 

2 

2 

( r , si 

) 

 

ϕ 

n 

n 

s 

s 

s 

n 

n 

n 

) 

) 

)


• W metodzie „oddziaływania konfiguracji” poszukuje się rozwiązania 

zagadnienia wieloelektronowego w postaci kombinacji liniowej 

różnych możliwych wyznaczników Slatera (jeszcze trudniejsza 

rachunkowo) 

• Dla dużej liczby elektronów metody te są niewykonalne! 

• Sposób na efektywne zmniejszenie układów – np. metoda super-cell: 

relatywnie nieduży układ periodycznie powtarzany, co imituje układ 

duży i np. pozbywamy się w ten sposób wpływu „brzegów” (zerwane 

wiązania etc.) – rachunki defektów w kryształach, struktur pasmowych 

kryształów mieszanych etc. 


Metoda super-cell 

Rachunki energii tworzenia defektów w Al 2O 3 


Teoria funkcjonału gęstości – DFT 


Przybliżenie jednoelektronowe 


Przybliżenie Hartree (przybliżenie jednoelektronowe) 

• Poszukujemy rozwiązania w postaci: 

• Zakładamy, że na każdy elektron działa średni potencjał pochodzący 

od jonów i pozostałych elektronów: 

2 ⎛ pi ⎞ 

Vi 

( ri 

) ( r1 

, r2 

, r3 

,... 

i 2m 

⎟ 

⎜ 

⎜∑ 

+ ∑ Ψ 

⎝ 

i ⎠ 

 

rn 

) = Etot 

 

⋅ Ψ( 

r1 

, r2 

, r3 

,... 

 

rn 

) 

• Stąd mamy: 

2 ⎛ pi ⎜ 

⎝ 2m 

⎞ 

Vi 

( ri 

) ⎟ 

ϕ i ( ri 

) = Ei 

⋅ϕ 

i ( ri 

) 

⎠ 

∑ E i = E 

i 

• Jeśli każdy z potencjałów jest w przybliżeniu taki sam 

• to … 

 

Ψ( 

r1 

, r2 

, r3 

,... rn 

) = ϕ1 ( r1 

) ⋅ϕ 

2 ( r2 

) ⋅ϕ 

3 ( r3 

) ⋅..... 

⋅ϕ 

n ( rn 

) 

 

( r1 

) ≈ 

V2 

( r2 

) 

+ tot 

.... 

 

) = V ( r ) 


 

( r 

V1 ≈ ≈ Vn 

n

Jednoelektronowe równanie Schrödingera 

2 ⎛ p ⎞ 

⎜ 

 

+ V ( r ) ⎟ ϕ n ( r ) = En 

⋅ϕ 

n ( r ) 

⎜ 2m 

⎟ 

⎝ ⎠ 

Jednoelektronowe 

równanie Schrödingera 

gdzie n – zbiór liczb 

 

kwantowych numerujących jednocząstkowe stany 

kwantowe ϕ n (r ) o energiach En • stany jednocząstkowe mogą być obsadzane przez kolejne elektrony 

zgodnie z zasadą Pauliego 

• trzeba pamiętać, że jeśli np. zmienimy istotnie liczbę elektronów w 

danym paśmie, to możemy spodziewać się modyfikacji potencjału V (r ) 

i zmiany widma jednocząstkowego! (patrz np. renormalizacja przerwy 

energetycznej) 

 


Potencjał periodyczny (kryształ), 

twierdzenie Blocha 


Potencjał periodyczny (kryształ), twierdzenie Blocha 

• dla funkcji periodycznych z okresem sieci: 

gdzie: 

n a + n a 

 

+ n a n , n 

R s 

jest dowolnym wektorem sieci Bravais, 

dobrą bazą rozwinięcia na szereg Fouriera są funkcje postaci: 

gdzie: 

1 1 

– wektor sieci odwrotnej 

rzeczywiście: 

 

 

G( 

r + R ) = exp iGr 

⋅exp 

iGR 

= exp iGr 

⋅exp 

2πi 

⋅( 

n m 

 

( r + R ) = f ( r ) 

f s 

∈ Z 


, n 

= 1 1 2 2 3 3 1 2 3 

 

( r ) 

 

exp( iGr 

) 

 

G 

* 

m a 

* 

+ m a 

* 

+ m a m , m , m ∈ Z 

g = G 

= 2 2 3 3 1 2 3 

 

[ ] ( ) ( ) ( ) [ + n m + n m ) ] = exp( 

iGr 

) 

exp i s 

s 

1 1 2 2 3 3

• rozwinięcie potencjału: 

• rozwinięcie funkcji falowej: 

• równanie Schrödingera: 

∑ 

 

k 

2 

k 

2m 


2 

 

 

V ( r ) = V exp( iGr 

) 


∑ 

 

G 

 

 

ϕ( 

r ) = C exp( ikr 

) 

∑ 

 

 

C exp( ikr 

) + C 

'V 

exp 

k ∑ k G 

∑ 

 

' 

k , G 

 

k 

G 

k 

[ ] ' 

i ( k + G) 

r = E ⋅ C exp( ikr 

) 

 

k 

k


 

' 

• po przemianowaniu wskaźników sumowania k + G → k otrzymujemy: 

2 2 

⎡⎛ 

k ⎞ 

⎤ 

∑exp( ikr 

) ⋅ ⎢ ⎜ − E + ⎥ = 0 

⎣ 2 ⎟ 

⎟C 

 

k ∑V C 

 

G k −G 

k ⎝ m 

 

⎠ G ⎦ 

• skoro powyższe równanie ma być spełnione dla dowolnego , to: 

2 2 ⎛ k ⎞ 

⎜ − E + = 0 

2 ⎟ 

⎟C 

∑V C 

 

k k G k −G 

⎝ m 

 

⎠ G 

 

∀ 

k 

• A więc dla każdego z osobna będą istniały rozwiązania 

 

 

ϕ( 

r ) = C ∑ exp( ikr 

) 

k 

k 

zawierające współczynniki 

rozwinięcia różniące się od o dowolny wektor sieci odwrotnej. 

Oznacza to, że wektor k jest dobrą liczba kwantową, numerującą 

zarówno stany, jak ich energie. 

k C 

k 


r

• rozwiązanie numerowane „liczba kwantową” : 

odpowiadające energii własnej 

• każde jest równie dobre do numerowania stanów; wygodnie 

jest wybrać wektor najkrótszy (należący do pierwszej strefy Brillouina) 

• inaczej: 


 

 

ϕ ( r ) = ∑C exp[ i( 

k − G) 

⋅ r ] 

k k −G 

G 

 

E 

 

= E(k 

) 

k 

k − 

G 

⎡ 

⎤ 

ϕ ( r ) = C 

k ⎢∑ 

exp 

k −G ⎥ 

exp 

k 

⎣ G 

⎦ 

( − iG 

⋅ r ) ⋅ exp( 

ik 

⋅ r ) = u r ( ik 

r ) 

( ) ⋅ 

⋅ 


k

ϕ 

 

 

= u ( r ) ⋅exp 

Funkcja Blocha 

( ik 

r ) 

( r ) 

⋅ 

n, 

k n, 

k 

 

funkcja 

Blocha 

1. wektor falowy należy do pierwszej strefy Brillouina i jest dobrą 

liczba kwantową; n numeruje różne rozwiązania odpowiadające temu 

samemu (indeks pasm) 

k 

 

( ) 

u r , k 

Własności funkcji Blocha 

k 

2. funkcja (amplituda blochowska) jest funkcją periodyczną z 

n 

okresem sieci: 

u 

 

( r ) = un, 


 

 

( r 

+ 

n, 

k 

k 

 

R 

s 

)

ϕ ( ) = ϕ 

n, 

k G 

n, 

r k 

3. 

: 

ϕ 

+ 

 

n, 

k + G 

 

( r ) = 

= 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

∑ 

 

G'' 

 

G' 

∑ 

C 


 

( r ) 

C 

 

k + G−G 

' 

 

k −G'' 

 

( k ) = 

E ( k + G) 

En n 

exp 

exp 

( − iG'⋅r 

) ⋅exp[ 

i( 

k + G) 

⋅ r ] 

( − iG''⋅r 

) ⋅exp( 

ik 

⋅ r ) = ϕ ( r ) 

4. – wynika z punktu poprzedniego 


 

 

 

 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

 

 

 

 

n, 

k 

 

 

=


5. Z niezmienniczości hamiltonianu względem inwersji czasu (bez pola 

magnetycznego): 

 

( k ) = E ( −k 

) 

↓ 

En n 

↑ 

6. Jeśli operacja inwersji (przestrzennej) należy do grupy punktowej 

kryształu, to niezależnie od spinu: 

 

( k ) = 

E ( −k 

) 

En n 



Przypadek trywialny – stały potencjał (a więc także periodyczny!) 

⎛ 

⎜ 

⎜− 

⎝ 

2 

∆ 

2m 

+ V 

0 

⎞ 

⎟ ϕ ( r ) = E( 

k ) ⋅ 

k 

⎠ 

ϕ 

k 

 

( r ) 

rozwiązaniem są fale płaskie – też funkcje Blocha z = const: 

( 

 

r u r ik 

r ) A ( 

 

ϕ 

ik 

r ) 

( ) = ( ) ⋅ exp ⋅ = ⋅ exp ⋅ 

k 

k 

2 2 

k 

E ( k ) = + V0 

2m 

 

z widmem energii: 

W tym przypadku k jest wartością własną operatora pędu 

 

 


u k 

 

(r )

Pęd krystaliczny (kwazipęd) 

Czy zawsze funkcja Blocha opisuje elektron o dobrze określonym pędzie? 

 

pˆ 

= 

[ u ( ) ] [ ( ) ] 

( r ) ⋅ exp ik 

⋅ r = −i∇ 

u ( r ) ⋅ exp ik 

⋅ r = 

n, 

k 

n, 

k 

[ 

 

ku 

r i u r ] ( 

 

ik 

r ) 

p[ 

 

u r ( 

 

 

ik 

r ) ] 

( ) − ∇ ( ) ⋅ exp ⋅ ≠ ( ) ⋅ exp ⋅ 

• funkcja Blocha w ogólności nie opisuje elektronu o dobrze określonym 

pędzie – nie jest w ogólności wartością własną operatora pędu 

k 

 

 

( ) 

u r , k 

• wyjątkiem jest przypadek, kiedy jest funkcją stałą (a więc 

n 

funkcją okresową, dla której każdy okres jest dobry) 

k 

 

 

n, 

k 

 

 

n, 

k 

• nazywa się kwazipędem lub pędem krystalicznym 


 

 

n, 

k

Pęd krystaliczny (kwazipęd) 

• przy oddziaływaniu z innymi kwazicząstkami (elektrony, fonony, magnony 

etc.) uwięzionymi w krysztale i prawdziwymi cząstkami przenikającymi 

przez kryształ (np. fotony, neutrony) prawo zachowania pędu należy 

zastąpić prawem zachowania kwazipędu: 

∑ 

 

 

' ' 

ki pi 

= ki 

+ pi 

+ G 

+ ∑ ∑ ∑ 

• prawo zachowania energii nie ulega w krysztale zmianie: 

∑ Ei 

= 

∑ 

E 

' 

i 


Strefy Brillouina 


1. 

2. 


Przypomnienie – 2 ważne własności funkcji Blocha: 

ϕ 

 

) = ϕ ( r ) 

( r n, 

k + G 

n, 

k 

 

( k ) = E ( k + G) 

En n 

wystarczy więc, jeśli chodzi o zależność od wektora falowego k , 

ograniczyć się np. do obszaru najmniejszych co do długości wektorów 

, leżących wewnątrz komórki prymitywnej sieci odwrotnej. Taka 

komórka jest wystarczającym obszarem zmienności wektora falowego. 

 

k 

Komórka prymitywna w sieci odwrotnej skonstruowana w taki sam 

sposób, jak komórka Wignera-Seitza w sieci Bravais nazywa się 

pierwszą strefą Brillouina 



Pierwsza i druga strefa Brillouina w dwuwymiarowej, kwadratowej 

sieci odwrotnej 

http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/brillouin_zones/zone_construction.php 

Płaszczyzny (tutaj – linie) dzielące na pół 

odpowiednie wektory sieci odwrotnej 

wyznaczają obszary należące do 

kolejnych stref Brillouina. Każda strefa 

ma taką samą objętość (tutaj – 

powierzchnię). 



Wektor k g z granicy I strefy Brillouina: 

– z definicji strefy Brillouina 

 

 

k G G 

g ⋅ 

= 

G 2 

i dalej: 

2 2 

2k g ⋅G 

= G ⇒ k g − G = k g 

 

k g − G = k ' 

k g 

 

Wektor: leży po przeciwnej stronie I strefy Brillouina i jest 

równoważny wektorowi (w sensie własności funkcji Blocha). Dla wektorów 

tych spełniony jest warunek Lauego: 

 

k g 

 

− k '= 

∆k 

= G 

Stany z granicy I strefy Brillouina odpowiadają elektronowym falom stojącym 


2


Pierwsza strefa Brillouina dla struktury fcc - czternastościan 

Odległości: 


d ΓL 

= 

3π 

a 

d ΓX 

2π 

= 

a

Struktura bcc 

H. Ibach, H. Lüth, Solid-State Physics 


Struktura heksagonalna 


Warunki periodyczności Borna-Karmana 

• kryształy są skończonych rozmiarów – można wprowadzić warunki 

brzegowe znikania funkcji falowej na brzegach kryształu 

• prowadzi to jednak do tego, że wszystkie fale (elektronowe, 

sieciowe etc.) będą stojące, co w wielu wypadkach utrudnia opis 

• ponieważ w kryształach makroskopowych drogi swobodne 

elektronów są dużo mniejsze niż rozmiary kryształów, 

najwygodniejszym rozwiązaniem jest przyjęcie tzw. warunków 

periodyczności Borna-Karmana: 

 

Ψ( r + N ja 

j ) = Ψ( 

r ); j = 

a j 

 

N a = 

L 

gdzie są wektorami sieci Bravais, a j dużymi liczbami 

całkowitymi, takimi że jest rozmiaru całego 

j j j 

kryształu 


1, 

2, 

3 

N

Warunki periodyczności Borna-Karmana 

• w przypadku funkcji Blocha mamy: 

 

ϕ ( r + N ja 

j ) = u ( r + N 

k 

k 

ja 

j ) ⋅ exp 

 

u r ( 

 

ik 

r ) ( 

 

= 

iN ) 

( ) ⋅ exp ⋅ ⋅ exp 

k 

jk 

⋅ a j 

• żądanie, aby ( 

 

exp iN ) jk 

⋅ a j = 1 

prowadzi do: 

{ ik 

⋅ ( r + N a ) } 

• dozwolone wektory falowe stanowią dyskretną sieć punktów 

równomiernie rozłożoną w przestrzeni wektora falowego; komórkę 

elementarną sieci odwrotnej (strefę Brillouina) wypełnia 

N1 ⋅ N 2 ⋅ N 3 

takich punktów. Tyle też będzie stanów w każdym paśmie. 

N 

, N , N mogą być różne, ale najczęściej przyjmujemy takie same 

1 

2 

3 


 

n1 

* n2 

* n3 

* 

k = a1 

+ a2 

+ a3 

n1, 

n2 

, n3 

∈ Z 

N1 

N 2 N 3 

k 

 

j 

 

j 

=

Struktura pasmowa stanów elektronowych 

Model pustej sieci 



 

E( 

k ) = E( 

k + G) 

2 

 

E( 

k ) = E( 

k + G) 

= k + G 

2m 

Zależność , dla potencjału periodycznego, ale 

dążącego do zera daje: 

• w przypadku jednowymiarowym: 

H. Ibach, H. Lüth, Solid-State Physics 


2


P. Y. Yu, M. Cardona, Fundamentals of Semiconductors 



• w przypadku trójwymiarowym (struktura sc): 

Ch. Kittel, Wstęp do fizyki ciała stałego. 



W obrazie zredukowanym do I strefy Brillouina występuje wiele 

różnych zależności E(k ) i konieczne jest ich numerowanie (numer 

pasma): 

 

 

E n 

(k ) 

Funkcje Blocha (bez uwzględnienia spinu) są więc numerowane 

wektorem falowym oraz indeksem pasma n: 

ϕ 

 

k 

 

= u ( r ) ⋅ exp 

( ik 

r ) 

( r ) 

⋅ 

n, 

k 

n, 

k 


Nazewnictwo pasm, grupa wektora falowego 

Struktura diamentu 

pusta sieć rachunki metodą pseudopotencjału 




• Wektor k jest dobrą „liczbą” kwantową; dla każdego równoważnego 

funkcja Blocha jest taka sama 

• Co robią operacje symetrii z wektorem falowym ( a więc i z 

funkcjami falowymi)? Czy transformują go w równoważny mu 

czy też nie? 

• Zbiór tych operacji symetrii pełnej grupy punktowej kryształu, które 

transformują dany wektor falowy w równoważny mu 

stanowi grupę wektora falowego (i jest podgrupą pełnej grupy 

punktowej kryształu) 

• W zależności od tego, czy jest jakimś symetrycznym punktem 1BZ 

(np. Γ, X, L), czy leży na jakimś symetrycznym kierunku (np. Λ, ∆) 

czy też nie – grupa wektora falowego jest inna 

• Dla (punkt Γ strefy Brillouina) każda operacja grupy 

punktowej kryształu przeprowadza go w wektor mu równoważny, a 

więc grupa wektora falowego z punktu Γ równa się pełnej grupie 

punktowej kryształu 

 

 

k '= 

k + G 

k 

 

k '= 

k + G 

 

k k '= 

k + G 

 

k 

k 

k 

k = 0 

 



• Stany klasyfikujemy (nazywamy) nieprzywiedlnymi reprezentacjami 

odpowiednich grup wektora falowego. Przyjęło się w tym wypadku 

używać w nazwach reprezentacji nazw punktów (kierunków) w strefie 

Brillouina 

• Przykład: struktura blendy cynkowej, grupa punktowa Td. Reprezentacje 

nieprzywiedlne: A1 (1-wym.), A2 (1-wym.), E (2-wym.), T1 (3-wym.), T2 (3-wym.). Grupa wektora falowego z punktu Γ – też Td. Teraz jednak 

nazewnictwo inne: 

„BSW” Bouckaert, Smoluchowski, 

Wigner 

P. Y. Yu, M. Cardona, Fundamentals 

of Semiconductors 



– Wektor falowy z punktu L lub 

na kierunku Λ: operacje, które 

przeprowadzają taki wektor w 

równoważny mu tworzą grupę 

C 3v. Trzy nieprzywiedlne 

reprezentacje: A 1 (1-wym.), A 2 

(1-wym.), E (2-wym.) 

⇒ L 1, L 2, L 3 (Λ 1, Λ 2, Λ 3 ) 

– Podobnie z punktem X (grupa 

D 2d) czy z kierunkiem ∆ 

(grupa C 2v). Reprezentacje: 

X 1, X 2, X 3, X 4 (wszystkie 1wym.), 

X 5 (2-wym.) oraz ∆ 1, 

∆ 2, ∆ 3, ∆ 4 (wszystkie 1-wym.). 

P. Y. Yu, M. Cardona, Fundamentals 

of Semiconductors 



Uwzględnienie spinu 

• Mechanika kwantowa uczy, że obrót funkcji spinowej 

wokół wybranej osi (tutaj – z) o kąt φ daje wynik: 

α 

R 

• Dla kąta φ = 2π otrzymujemy: 

(!!!) 

• a więc obrót funkcji spinowej o kąt 2π nie jest operacją tożsamościową. 

Dodanie takiej operacji do grupy podwaja liczbę elementów grupy 

⇒ grupy podwójne 

α = c1 

↑ + c2 

⎛ iS zφ 

⎞ ⎛ iφ 

⎞ ⎛ iφ 

⎞ 

U ( R) 

α = exp⎜− 

⎟ α = exp⎜− 

⎟ c1 

↑ + exp⎜ 

⎟ c 

⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

= 2 

α −c 

↑ − c ↓ = − α 

= R 

1 2 


↓ 

↓





GaAs

Wykład 4

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?