Wyklad 13. - Koneksja w wiązce wektorowej, pochodna kowariantna

fuw.edu.pl

Wyklad 13. - Koneksja w wiązce wektorowej, pochodna kowariantna

GeometriaRóżniczkowaI

wykładtrzynasty

Napoprzednimwykładziezajmowaliśmysięróżniczkowaniempóltensorowychwzdłużpola

wektorowego,czylipochodnąLiegoLX.WartośćpochodnejLiegozależywsposóbbardzo

istotnyodpolawektorowegowzdłużktóregoróżniczkujemy.Zależnośćtajestpoważniejszaniż

tylkozależnośćodkierunkuiwartościpolawdanympunkcieq,alewogóleodtegojakiejest

polewotoczeniuq.ŻebysięotymprzekonaćwystarczyporównaćLXzLfXdlagładkiejfunkcji

f.Dotejporymnożyliśmyprzezfunkcjetylkoargumentpochodnej.DlapolawektorowegoY

otrzymaliśmy

adlaformyα

LX(fY)=[X,fY]=f[X,Y]+(Xf)Y=fLXY+(LXf)Y (1)

LX(fα)=(LXf)α+fLXα (2)

Obawzory(1)i(2)nazywaliśmyregułąLeibniza.Terazsprawdźmycosiędzieje,topoleX

pomnożymyprzezfunkcję.NajpierwpochodnaLiegopolawektorowego

potempochodnaformy

LfXY=[fX,Y]=f[X,Y]−(Yf)X=fLXY−〈df,Y〉X (3)

LfXα=ı(fX)dα+d(ı(fX)α)=fı(X)dα+d(fı(X)α)=

=fı(X)dα+df∧ı(X)α+fdı(X)α=fLXα+df∧ı(X)α

Wobuwzorach(3)i(4)pojawiasięróżniczkafunkcjif,cowskazujenazależnośćodwartości

polawotoczeniuq,aniejedyniewpunkcieq.Narozmaitościbezdodatkowejstrukturyjestto

nieuniknione.

Dzisiajzajmiemysięróżniczkowaniemwinnymsensie–wprowadzimydodatkowąstrukturę,

dziękiktórejróżniczkowaniezależnebędziejedynieodwektorawkierunkuktóregoróżniczkujemy.Różniczkowanietonazywasiępochodnąkowariantnąadodatkowastrukturaodktórejpochodzitokoneksjalubpowiązanie.Zaczniemyodwprowadzeniapowiązaniawwiązcewektorowejadopieropotemużyjemytegopojęciawszczególnejwiązcewektorowej:wiązcestycznej.Napierwszyrzutokamożesiętowydawaćtrudniejsze,wiązkęstycznąjużprzecieżdobrzeznamy,azdowolnymiwiązkamiwektorowymidotychczasniepracowaliśmy.Jednakwostatecznym

rozrachunkusądzę,żetakisposóbbędziejednakłatwiejszy!

Niechwięcζ:E→Mbędziewiązkąwektorową.PrzydadząnamsięteżwspółrzędnewE.

PonieważEjestwiązkąwektorowąwspółrzędnebędziemyokreślaćwζ −1 (O),gdzieOjest

dziedzinąukładuwspółrzędnych(x i )wM.WkażdymwłóknieEqdlaq∈Owybieramybazę

(e1(q),e2(q),...,en(q))wtakisposób,abykażdeeibyłonieznikającymcięciemwiązkiζ.Układ

cięć(ei)nazywaćbędziemybazącięć.WspółrzędneliniowewewłóknieEqzwiązanezwybraną

baząoznaczaćbędziemyy a .Indeksi∈1..mnumerujewspółrzędnewM,zaśindeksa∈1..n

1

(4)


współrzędnewewłóknie.Formalnierzeczbiorącwspółrzędne(x i )naMiwspółrzędne(x i )

stanowiąceczęśćukładu(x i ,y a )sąinne,gdyżtepierwszesąfunkcjaminaMatedrugiena

E.Niebędziemyichjednakodróżniać,gdyżwartośćtychdrugichzależyjedynieodrzutu

punktue∈EnaM.Rozróżnianieichwnotacjibyłobyniepotrzebnymmnożeniemoznaczeń.

PowiązaniejesttorozkładprzestrzenistycznejTeEwkażdympunkciee∈Enaczęśćpionową

ipoziomąwzględemrzutuζ.CzęśćpionowajestdanakanonicznieitworząjątewektoryzTeE,

któresąstycznedowłóknaEq(ζ(e)=q).Częśćhoryzontalnazatopodlegatejsamejdowolności

coprzestrzeńdpełniającadopodprzestrzeniwektorowejwdanejprzestrzeniwektorowej.Część

pionowąoznaczasięzazwyczajVeE.Ponieważtworząjąwektorystycznedowłókna,czyli

stycznedoprzestrzeniwektorowej,toistniejenaturalneutożsamienie

VeEEq.

PonieważdimTeE=n+madimVeE=dimEq=ntodopełniającaprzestrzeńpowinnabyć

wymiarum,oznaczmyjąHeE.IstnienierozkładuprzestrzeniwektorowejTeE=VeE⊕HeE

oznacza,żekażdywektorv ∈TeErozłożyćmożemyjednoznacznienaczęśćpionowąv v i

poziomąv h :

v=v v +v h .

PrzyjrzyjmysięrzutowistycznemuwektoravnaTM:

Tζ(v)=Tζ(v v +v h )=Tζ(v v )+Tζ(v h )=0+Tζ(v h )=Tζ(v h ).

SamwektorvijegoczęśćpoziomamajątakiesamerzutynaTqM,odwzorowanieTζobcięte

doHeEjestizomorfizmem.JakkolwiekwybórprzestrzenidopełniającejHEwjednympunkcie

jestdośćdowolny,jednakpowiązaniemusispełniaćpewnedodatkowewarunki:popierwsze

rozkładtenmusigładkozależećodpunktu,podrugiemusibyćzgodnyzestrukturąwiązki

liniowej.Obatewarunkinależyoczywiściedoprecyzować.Najpierwgładkość:zamiastmówić

orozkładzieprzestrzenistycznejmożemumówićorozkładziewektorównaskładowe.Rozkład

tenjestodwzorowaniem

TeE−→VeE×HeE

KorzystajączizomorfizmuHeETqMorazzfaktu,żeprzytakimrozkładziewektorstyczny

można„oddzielić”odjegopunktuzaczepienia,pozebraniurozkładówpunktpopunkciewE

otrzymujemyodwzorowanie

Γ:TE−→E×ME×MTM, v↦−→(τE(v),v v ,Tζ(v h )) (5)

Ponieważodwzorowanietopochodziodrozkładunaczęśćpionowąipoziomąnawektorachpionowychpowinnobyćidentycznością.Powiązaniejestgładkiejeślipowyższeodwzorowaniejestgładkie.Częśćniebieskatopunktzaczepieniawektora,częśćczerwonatowektorpionowyutożsamionyzestosownymelementemwłókna.Zwcześniejszychrozważańwynika,żepowiązanie

musizachowywaćrzutnaE(niebieskie),tznΓ◦pr1=τEorazrzutnaTM,czyliΓ◦pr3=Tζ.

Trochętrudniejjestwypowiedziećwarunekzgodnościzestrukturąwiązkiwektorowej(zgodność

tanazywanajestteżliniowościąpowiązania.

Zauważmy,żewiązkastycznajestwiązkąwektorowąnadwasposoby.Pierwszyznichjest

oczywisty:wektorystycznesąwektorami,tznwiązka

τE:TE→E

2


jestwiązkąwektorową.Okazujesięjednak,żetakże

Tζ:TE→TM

jestwiązkąwektorową.Okazujesię,żemożnadodaćdosiebiedwawektoryzaczepionewróżnych

punktachalemającetensamrzutstyczny.Niezbędnyjestobrazek:

E

ζ

M




v

v+w

w

Tζ(v)=Tζ(w)

Jeśliwektoryviwmajątensamrzutstyczny,toistniejątakiekrzyweγviγw,doktórych

tewektorysąstyczneiktóremająjednakowerzutynaM,tznζ◦γv=ζ◦γw.Dlakażdej

wartościparametrutpunktyγv(t)iγw(t)sąwtymsamymwłókniewiązkiζ,możnawięcje

dodaćkorzystajączwektorowejstrukturywłókienotrzymującnowąkrzywą

t↦−→γv(t)+γw(t).

WektorstycznydotejnowejkrzywejjestsumąwektorówstycznychdoEwzględemdrugiej

strukturywiązkiwektorowej.To„drugiedodawanie”oznaczaćbędziemy ˙+.Obejrzyjmyoba

dodawaniawewspółrzędnych.WTEmamywspółrzędnepochodząceodwspółrzędnychwE:

(x i ,y a ,˙x j ,˙y b ),czyliwektorstycznynapisaćmożemyjako

podobnie

v=˙x i (v) ∂

∂x i+˙ya (v) ∂

∂y a

w=˙x i (w) ∂

∂x i+˙ya (w) ∂

∂y a.

Jeśliviwzaczepionesąwtymsamympunkcietomożemyznaleźćv+wwzwykłymsensie,

comożnanapisać

v+w=(˙x i (v)+˙x i (w)) ∂

∂x i+(˙ya (v)+˙y a (w)) ∂

∂y a.

JeślizaśviwzaczepionesąwróżnychpunktachtegosamegowłóknaEqimajątensamrzut

naTqM,czyli˙x i (v)=˙x i (w),tomożnajedodaćwdrugimsensieotrzymującwektor

v˙+w=(˙x i (v)) ∂

∂x i+(˙ya (v)+˙y a (w)) ∂

∂y a

3


zaczepionywpunkciewłóknaEqbędącegosumąpunktówzaczepieniawektorówviw,czyli

y a (v˙+w)=y a (v)+y a (w).

Dodawaniezwykłeodbywasięwtrzeciejiczwartejwspółrzędnej,podczasgdypierwszaidruga

musząbyćrówne:

(x i ,y a ,˙x i ,˙y a ),

dodawaniewdrugimsensieodbywasięwdrugiejiczwartejwspółrzędnej,podczaskiedypierwszaitrzeciamusząbyćrówne:

(x i ,y a ,˙x i ,˙y a ).

Wobrazieodwzorowania(5)teżsądwiestrukturywiązkiwektorowej:jednanadE

adruganadTM

E×ME×MTM−→E

E×ME×MTM−→TM

PowiązanieΓ(patrz(5))jestliniowejeślijestizomorfizmemliniowymzewzględunaobie

strukturywiązkiwektorowej.Potejdośćdługiejdyskusjijesteśmywstaniesformułowaćw

sposóbkompletnydefinicjępowiązanialiniowegowwiązcewektorowej:

Definicja1Powiązaniemliniowymwwiązcewektorowejζ:E→Mnazywamyodwzorowanie

gładkieΓ

Γ:TE−→E×ME×MTM

zachowującerzutynaEiTMorazliniowezewzględunaobiestrukturywiązkiwektorowejoraz

identycznościowenawektorachpionowych.

Powyższadefinicjaoznaczamiędzyinnymi,żeprzemiennyjestdiagram

TE

τE

⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤





E TM

id

Γ E×ME×MTM


pr1 pr3


♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦


E

TM

ZapiszmyodwzorowanieΓwewspółrzędnych,uwzględniającidentycznościnaEiTM:

Γ(x i ,y a ,˙x j ,˙y b )=

x i ,y a ,F b (x i ,y a ,˙x i ,˙y a ),˙x i

LiniowośćzewzględunastrukturęwiązkinadEoznacza,żefunkcjeF b musząmiećpostać

F b (x i ,y a ,˙x i ,˙y a )=G b j (xi ,y a )˙x j +H b c (xi ,y a )˙y c

Dalej,liniowośćzewzględunastrukturęwiązkinadTM oznacza,żefunkcjeH b c niemogą

zależećody a ,zaśfunkcjeG b j(x i ,y a )˙x j musząmiećpostać

G b aj (xi )y a ˙x j .

4

id

(6)


Jeślidołączmywarunek,abynawektorachpionowych(˙x i =0)odwzorowaniebyłoidentycznościąotrzymamyH

b c =δb c iostatecznie

Γ(x i ,y a ,˙x i ,˙y a ),˙x i )=(x i ,y a ,G b aj (xi )y a ˙x j +˙y b ,˙x i )

TradycjakażefunkcjeG b aj oznaczaćraczejΓb aj inazywaćsymbolamiChristofela.

Pochodnakowariantna.Wwiązcewektorowejζ :E→MzpowiązaniemliniowymΓ

zdefiniowanajestpochodnakowariantnacięćwiązkiζ.Niechσ:M→Ebędziecięciemζ.Dla

v∈TqMdefiniujemy

(∇vσ)(q)=pr2(Γ(Tσ(v)))

Wzórwyglądabyćmożesdpodóbskomplikowany,aleproceduręwyznaczaniawartościpochodnejcięciawpunkcieqwkierunkuwektoravwypowiedziećmożnaprosto:wektorvpodnosimydowektorastycznegodoEwpunkcieσ(q)przypomocyodwzorowaniaTσanastępniebierzemyjegoczęśćpionowąwzględempowiązania.Częśćpionowajakostycznadowłóknamożebyć

utożsamionazelementemwłókna,tznwartośćpochodnejkowariannejcięciawpunkcieqjest

elementemEq.MającpolewektoroweXnaMmożemyobliczyćpochodnącięciaσwkażdym

punkcieotrzymującnowecięcie

∇Xσ:M→E.

Policzmypochodnąkowariantnąużywającwspółrzędnych.Niechσbędziedaneprzezfunkcje

σ a ,tzn

iwkońcu

σ(q)=σ a (q)ea

v=˙x i (v) ∂

∂xi Tσ(v)=˙x i (v) ∂

∂xi+∂σa ∂xk˙xk (v) ∂

∂ya (∇vσ)(q)=

∂σ a

Otopodstawowewłasnościpochodnejkowariantnej:

∂x k˙xk (v)+Γ a kb σb (q)˙x k (v)

Fakt1(1)Pochodnakowariantnajestliniowazewzględunav,tzn.

∇λvσ=λ∇vσ, ∇v+v ′σ=∇vσ+∇v ′σ; (7)

(2)Pochodnakowariantnajestróżniczkowaniem,tzn,jeślifjestfunkcjąnaMaσcięciem,to

∇v(fσ)=f∇vσ+(vf)σ. (8)

Działaniepochodnejkowariantnejnafunkcjachzadaćmożemywzorem


ea

∇vf=vf (9)

5


iwtedywzór(8)przyjmujepostać

∇v(fσ)=f∇vσ+(∇vf)σ.

Dowód:Wzory(7)wynikająwprostzdefinicjipochodnejkowariantnej:

∇v+v ′σ=pr2(Γ(Tσ(v+v ′ ))=

odwzorowaniestycznejestodwzorowaniemliniowym,więc

=pr2(Γ(Tσ(v)+Tσ(v ′ ))=

Γteżjestodwzorowaniemliniowym(używamytuzwykłejliniowościnadE)

=pr2(Γ(Tσ(v))+Γ(Tσ(v ′ ))=pr2(Γ(Tσ(v)))+pr2(Γ(Tσ(v ′ ))=∇vσ+∇v ′σ.

Wzorudotyczącegopochodnejwzględemλvdowodzimypodobnie.Wewzorze(8)podnosimywektordocięciaσpomnożonegoprzezfunkcjęf.Potrzebujemywięcinformacjinatemat

odwzorowaniaT(fσ):

T(fσ)(v)=f(q)Tσ(v)+(vf)(q)σ(q) vert

gdzieσ(q) vert jestpionowympodniesieniemelementuσ(q)dowektorastycznegodowłókna

Eqwpunkcieσ(q).Ogólniej,jeślie∈Eqtoe vert jestwektoremstycznymdokrzywejt↦→

e+te.WwykładziedotyczącympólwektorowychpodawaliśmyprzykładpolaEuleranawiązce

wektorowej.Jeszczeinaczejmożnapowiedzieć,żee vert jestwartościątegopolawpunkciee.

Terazmożemypoliczyć∇v(fσ)

∇v(fσ)=pr2(Γ(T(fσ)(v)))

=pr2(Γ(f(q)Tσ(v)+(vf)(q)σ(q) vert ))

=f(q)pr2(Γ(Tσ(v))+(vf)(q)pr2(Γ(σ(q) vert ))

Γnawektorachpionowychjestidentycznością,więc

=f(q)pr2(Γ(Tσ(v))+(vf)(q)σ(q)=f(q)∇σ+(vf)(q)σ(q)

Jeślizałożymy,żepochodnakowariantnaspełniaregułęLeibniza,możemyrozszerzyćjąna

cięciadowolnychwiązektensorowychzwiązanychzE.Wszczególnościnacięciawiązkidualnej

E ∗ →M.Wzórnapochodnąkowariantnącięciaαwiązkidualnejwyprowadzimyużywając

współrzędnych.Niech

σ=σ a ea, α=αaɛ a , v=˙x i∂

∂x i,

gdzieɛ a tocięciawiązkiE ∗ →Mtworzącewkażdympunkciebazędualnądo(ea).Ewaluacja

cięciaαnacięciuσjestfunkcjąnaM

Zgodniezzasadamipowinnowięcbyć:

〈α,σ〉=αaσ a ,

v〈α,σ〉=〈∇vα,σ(q)〉+〈α(q),∇vσ〉.

6


Liczymyużywającwspółrzędnych

v〈α,σ〉=˙x i∂

∂xi(αaσ a )=˙x i


∂αa

∂xiσa

+˙x i


∂σ

αa

a

∂xi

〈∇vα,σ(q)〉=(∇vα) b σ b

〈α(q),∇vσ〉=αa

∂σ b

Dodajemy(11)do(12)iporównujemyz(10)

˙x i


∂αb

∂xiσb

+˙x i


∂σ

αb

b

∂xi

wyznaczamyszukanąwielkość

(∇vα) b σ b =˙x i

ikorzytamyzdowolnościσ

∂x i˙xi +Γ b kc σc ˙x k


=(∇vα) b σ b +αb


∂αb

∂xiσb

−Γ b kcσc˙x k αb

(∇vα) b = ∂αb

∂x i˙xi −Γ a kb˙x k αa

∂σ b

∂x i˙xi +Γ b kc σc ˙x k

Noicodalej?Najczęściejpojawiającąsiękoneksjąjestkoneksjawwiązcestycznej,zwłaszcza

koneksjazwiązanazmetryką.Otymbędziewprzyszłymsemestrze!

7


,

(10)

(11)

(12)

More magazines by this user
Similar magazines