Wyklad 13. - Koneksja w wiązce wektorowej, pochodna kowariantna

GeometriaRóżniczkowaI
wykładtrzynasty
Napoprzednimwykładziezajmowaliśmysięróżniczkowaniempóltensorowychwzdłużpola
wektorowego,czylipochodnąLiegoLX.WartośćpochodnejLiegozależywsposóbbardzo
istotnyodpolawektorowegowzdłużktóregoróżniczkujemy.Zależnośćtajestpoważniejszaniż
tylkozależnośćodkierunkuiwartościpolawdanympunkcieq,alewogóleodtegojakiejest
polewotoczeniuq.ŻebysięotymprzekonaćwystarczyporównaćLXzLfXdlagładkiejfunkcji
f.Dotejporymnożyliśmyprzezfunkcjetylkoargumentpochodnej.DlapolawektorowegoY
otrzymaliśmy
adlaformyα
LX(fY)=[X,fY]=f[X,Y]+(Xf)Y=fLXY+(LXf)Y (1)
LX(fα)=(LXf)α+fLXα (2)
Obawzory(1)i(2)nazywaliśmyregułąLeibniza.Terazsprawdźmycosiędzieje,topoleX
pomnożymyprzezfunkcję.NajpierwpochodnaLiegopolawektorowego
potempochodnaformy
LfXY=[fX,Y]=f[X,Y]−(Yf)X=fLXY−〈df,Y〉X (3)
LfXα=ı(fX)dα+d(ı(fX)α)=fı(X)dα+d(fı(X)α)=
=fı(X)dα+df∧ı(X)α+fdı(X)α=fLXα+df∧ı(X)α
Wobuwzorach(3)i(4)pojawiasięróżniczkafunkcjif,cowskazujenazależnośćodwartości
polawotoczeniuq,aniejedyniewpunkcieq.Narozmaitościbezdodatkowejstrukturyjestto
nieuniknione.
Dzisiajzajmiemysięróżniczkowaniemwinnymsensie–wprowadzimydodatkowąstrukturę,
dziękiktórejróżniczkowaniezależnebędziejedynieodwektorawkierunkuktóregoróżniczkujemy.Różniczkowanietonazywasiępochodnąkowariantnąadodatkowastrukturaodktórejpochodzitokoneksjalubpowiązanie.Zaczniemyodwprowadzeniapowiązaniawwiązcewektorowejadopieropotemużyjemytegopojęciawszczególnejwiązcewektorowej:wiązcestycznej.Napierwszyrzutokamożesiętowydawaćtrudniejsze,wiązkęstycznąjużprzecieżdobrzeznamy,azdowolnymiwiązkamiwektorowymidotychczasniepracowaliśmy.Jednakwostatecznym
rozrachunkusądzę,żetakisposóbbędziejednakłatwiejszy!
Niechwięcζ:E→Mbędziewiązkąwektorową.PrzydadząnamsięteżwspółrzędnewE.
PonieważEjestwiązkąwektorowąwspółrzędnebędziemyokreślaćwζ −1 (O),gdzieOjest
dziedzinąukładuwspółrzędnych(x i )wM.WkażdymwłóknieEqdlaq∈Owybieramybazę
(e1(q),e2(q),...,en(q))wtakisposób,abykażdeeibyłonieznikającymcięciemwiązkiζ.Układ
cięć(ei)nazywaćbędziemybazącięć.WspółrzędneliniowewewłóknieEqzwiązanezwybraną
baząoznaczaćbędziemyy a .Indeksi∈1..mnumerujewspółrzędnewM,zaśindeksa∈1..n
1
(4)

współrzędnewewłóknie.Formalnierzeczbiorącwspółrzędne(x i )naMiwspółrzędne(x i )
stanowiąceczęśćukładu(x i ,y a )sąinne,gdyżtepierwszesąfunkcjaminaMatedrugiena
E.Niebędziemyichjednakodróżniać,gdyżwartośćtychdrugichzależyjedynieodrzutu
punktue∈EnaM.Rozróżnianieichwnotacjibyłobyniepotrzebnymmnożeniemoznaczeń.
PowiązaniejesttorozkładprzestrzenistycznejTeEwkażdympunkciee∈Enaczęśćpionową
ipoziomąwzględemrzutuζ.CzęśćpionowajestdanakanonicznieitworząjątewektoryzTeE,
któresąstycznedowłóknaEq(ζ(e)=q).Częśćhoryzontalnazatopodlegatejsamejdowolności
coprzestrzeńdpełniającadopodprzestrzeniwektorowejwdanejprzestrzeniwektorowej.Część
pionowąoznaczasięzazwyczajVeE.Ponieważtworząjąwektorystycznedowłókna,czyli
stycznedoprzestrzeniwektorowej,toistniejenaturalneutożsamienie
VeEEq.
PonieważdimTeE=n+madimVeE=dimEq=ntodopełniającaprzestrzeńpowinnabyć
wymiarum,oznaczmyjąHeE.IstnienierozkładuprzestrzeniwektorowejTeE=VeE⊕HeE
oznacza,żekażdywektorv ∈TeErozłożyćmożemyjednoznacznienaczęśćpionowąv v i
poziomąv h :
v=v v +v h .
PrzyjrzyjmysięrzutowistycznemuwektoravnaTM:
Tζ(v)=Tζ(v v +v h )=Tζ(v v )+Tζ(v h )=0+Tζ(v h )=Tζ(v h ).
SamwektorvijegoczęśćpoziomamajątakiesamerzutynaTqM,odwzorowanieTζobcięte
doHeEjestizomorfizmem.JakkolwiekwybórprzestrzenidopełniającejHEwjednympunkcie
jestdośćdowolny,jednakpowiązaniemusispełniaćpewnedodatkowewarunki:popierwsze
rozkładtenmusigładkozależećodpunktu,podrugiemusibyćzgodnyzestrukturąwiązki
liniowej.Obatewarunkinależyoczywiściedoprecyzować.Najpierwgładkość:zamiastmówić
orozkładzieprzestrzenistycznejmożemumówićorozkładziewektorównaskładowe.Rozkład
tenjestodwzorowaniem
TeE−→VeE×HeE
KorzystajączizomorfizmuHeETqMorazzfaktu,żeprzytakimrozkładziewektorstyczny
można„oddzielić”odjegopunktuzaczepienia,pozebraniurozkładówpunktpopunkciewE
otrzymujemyodwzorowanie
Γ:TE−→E×ME×MTM, v↦−→(τE(v),v v ,Tζ(v h )) (5)
Ponieważodwzorowanietopochodziodrozkładunaczęśćpionowąipoziomąnawektorachpionowychpowinnobyćidentycznością.Powiązaniejestgładkiejeślipowyższeodwzorowaniejestgładkie.Częśćniebieskatopunktzaczepieniawektora,częśćczerwonatowektorpionowyutożsamionyzestosownymelementemwłókna.Zwcześniejszychrozważańwynika,żepowiązanie
musizachowywaćrzutnaE(niebieskie),tznΓ◦pr1=τEorazrzutnaTM,czyliΓ◦pr3=Tζ.
Trochętrudniejjestwypowiedziećwarunekzgodnościzestrukturąwiązkiwektorowej(zgodność
tanazywanajestteżliniowościąpowiązania.
Zauważmy,żewiązkastycznajestwiązkąwektorowąnadwasposoby.Pierwszyznichjest
oczywisty:wektorystycznesąwektorami,tznwiązka
τE:TE→E
2

jestwiązkąwektorową.Okazujesięjednak,żetakże
Tζ:TE→TM
jestwiązkąwektorową.Okazujesię,żemożnadodaćdosiebiedwawektoryzaczepionewróżnych
punktachalemającetensamrzutstyczny.Niezbędnyjestobrazek:
E
ζ
M
v
v+w
w
Tζ(v)=Tζ(w)
Jeśliwektoryviwmajątensamrzutstyczny,toistniejątakiekrzyweγviγw,doktórych
tewektorysąstyczneiktóremająjednakowerzutynaM,tznζ◦γv=ζ◦γw.Dlakażdej
wartościparametrutpunktyγv(t)iγw(t)sąwtymsamymwłókniewiązkiζ,możnawięcje
dodaćkorzystajączwektorowejstrukturywłókienotrzymującnowąkrzywą
t↦−→γv(t)+γw(t).
WektorstycznydotejnowejkrzywejjestsumąwektorówstycznychdoEwzględemdrugiej
strukturywiązkiwektorowej.To„drugiedodawanie”oznaczaćbędziemy ˙+.Obejrzyjmyoba
dodawaniawewspółrzędnych.WTEmamywspółrzędnepochodząceodwspółrzędnychwE:
(x i ,y a ,˙x j ,˙y b ),czyliwektorstycznynapisaćmożemyjako
podobnie
v=˙x i (v) ∂
∂x i+˙ya (v) ∂
∂y a
w=˙x i (w) ∂
∂x i+˙ya (w) ∂
∂y a.
Jeśliviwzaczepionesąwtymsamympunkcietomożemyznaleźćv+wwzwykłymsensie,
comożnanapisać
v+w=(˙x i (v)+˙x i (w)) ∂
∂x i+(˙ya (v)+˙y a (w)) ∂
∂y a.
JeślizaśviwzaczepionesąwróżnychpunktachtegosamegowłóknaEqimajątensamrzut
naTqM,czyli˙x i (v)=˙x i (w),tomożnajedodaćwdrugimsensieotrzymującwektor
v˙+w=(˙x i (v)) ∂
∂x i+(˙ya (v)+˙y a (w)) ∂
∂y a
3

zaczepionywpunkciewłóknaEqbędącegosumąpunktówzaczepieniawektorówviw,czyli
y a (v˙+w)=y a (v)+y a (w).
Dodawaniezwykłeodbywasięwtrzeciejiczwartejwspółrzędnej,podczasgdypierwszaidruga
musząbyćrówne:
(x i ,y a ,˙x i ,˙y a ),
dodawaniewdrugimsensieodbywasięwdrugiejiczwartejwspółrzędnej,podczaskiedypierwszaitrzeciamusząbyćrówne:
(x i ,y a ,˙x i ,˙y a ).
Wobrazieodwzorowania(5)teżsądwiestrukturywiązkiwektorowej:jednanadE
adruganadTM
E×ME×MTM−→E
E×ME×MTM−→TM
PowiązanieΓ(patrz(5))jestliniowejeślijestizomorfizmemliniowymzewzględunaobie
strukturywiązkiwektorowej.Potejdośćdługiejdyskusjijesteśmywstaniesformułowaćw
sposóbkompletnydefinicjępowiązanialiniowegowwiązcewektorowej:
Definicja1Powiązaniemliniowymwwiązcewektorowejζ:E→Mnazywamyodwzorowanie
gładkieΓ
Γ:TE−→E×ME×MTM
zachowującerzutynaEiTMorazliniowezewzględunaobiestrukturywiązkiwektorowejoraz
identycznościowenawektorachpionowych.
Powyższadefinicjaoznaczamiędzyinnymi,żeprzemiennyjestdiagram
TE
τE
⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤
❊
Tζ
❊
E TM
id
Γ E×ME×MTM
pr1 pr3
♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦
E
TM
ZapiszmyodwzorowanieΓwewspółrzędnych,uwzględniającidentycznościnaEiTM:
Γ(x i ,y a ,˙x j ,˙y b )=
x i ,y a ,F b (x i ,y a ,˙x i ,˙y a ),˙x i
LiniowośćzewzględunastrukturęwiązkinadEoznacza,żefunkcjeF b musząmiećpostać
F b (x i ,y a ,˙x i ,˙y a )=G b j (xi ,y a )˙x j +H b c (xi ,y a )˙y c
Dalej,liniowośćzewzględunastrukturęwiązkinadTM oznacza,żefunkcjeH b c niemogą
zależećody a ,zaśfunkcjeG b j(x i ,y a )˙x j musząmiećpostać
G b aj (xi )y a ˙x j .
4
id
(6)

Jeślidołączmywarunek,abynawektorachpionowych(˙x i =0)odwzorowaniebyłoidentycznościąotrzymamyH
b c =δb c iostatecznie
Γ(x i ,y a ,˙x i ,˙y a ),˙x i )=(x i ,y a ,G b aj (xi )y a ˙x j +˙y b ,˙x i )
TradycjakażefunkcjeG b aj oznaczaćraczejΓb aj inazywaćsymbolamiChristofela.
Pochodnakowariantna.Wwiązcewektorowejζ :E→MzpowiązaniemliniowymΓ
zdefiniowanajestpochodnakowariantnacięćwiązkiζ.Niechσ:M→Ebędziecięciemζ.Dla
v∈TqMdefiniujemy
(∇vσ)(q)=pr2(Γ(Tσ(v)))
Wzórwyglądabyćmożesdpodóbskomplikowany,aleproceduręwyznaczaniawartościpochodnejcięciawpunkcieqwkierunkuwektoravwypowiedziećmożnaprosto:wektorvpodnosimydowektorastycznegodoEwpunkcieσ(q)przypomocyodwzorowaniaTσanastępniebierzemyjegoczęśćpionowąwzględempowiązania.Częśćpionowajakostycznadowłóknamożebyć
utożsamionazelementemwłókna,tznwartośćpochodnejkowariannejcięciawpunkcieqjest
elementemEq.MającpolewektoroweXnaMmożemyobliczyćpochodnącięciaσwkażdym
punkcieotrzymującnowecięcie
∇Xσ:M→E.
Policzmypochodnąkowariantnąużywającwspółrzędnych.Niechσbędziedaneprzezfunkcje
σ a ,tzn
iwkońcu
σ(q)=σ a (q)ea
v=˙x i (v) ∂
∂xi Tσ(v)=˙x i (v) ∂
∂xi+∂σa ∂xk˙xk (v) ∂
∂ya (∇vσ)(q)=
∂σ a
Otopodstawowewłasnościpochodnejkowariantnej:
∂x k˙xk (v)+Γ a kb σb (q)˙x k (v)
Fakt1(1)Pochodnakowariantnajestliniowazewzględunav,tzn.
∇λvσ=λ∇vσ, ∇v+v ′σ=∇vσ+∇v ′σ; (7)
(2)Pochodnakowariantnajestróżniczkowaniem,tzn,jeślifjestfunkcjąnaMaσcięciem,to
∇v(fσ)=f∇vσ+(vf)σ. (8)
Działaniepochodnejkowariantnejnafunkcjachzadaćmożemywzorem
ea
∇vf=vf (9)
5

iwtedywzór(8)przyjmujepostać
∇v(fσ)=f∇vσ+(∇vf)σ.
Dowód:Wzory(7)wynikająwprostzdefinicjipochodnejkowariantnej:
∇v+v ′σ=pr2(Γ(Tσ(v+v ′ ))=
odwzorowaniestycznejestodwzorowaniemliniowym,więc
=pr2(Γ(Tσ(v)+Tσ(v ′ ))=
Γteżjestodwzorowaniemliniowym(używamytuzwykłejliniowościnadE)
=pr2(Γ(Tσ(v))+Γ(Tσ(v ′ ))=pr2(Γ(Tσ(v)))+pr2(Γ(Tσ(v ′ ))=∇vσ+∇v ′σ.
Wzorudotyczącegopochodnejwzględemλvdowodzimypodobnie.Wewzorze(8)podnosimywektordocięciaσpomnożonegoprzezfunkcjęf.Potrzebujemywięcinformacjinatemat
odwzorowaniaT(fσ):
T(fσ)(v)=f(q)Tσ(v)+(vf)(q)σ(q) vert
gdzieσ(q) vert jestpionowympodniesieniemelementuσ(q)dowektorastycznegodowłókna
Eqwpunkcieσ(q).Ogólniej,jeślie∈Eqtoe vert jestwektoremstycznymdokrzywejt↦→
e+te.WwykładziedotyczącympólwektorowychpodawaliśmyprzykładpolaEuleranawiązce
wektorowej.Jeszczeinaczejmożnapowiedzieć,żee vert jestwartościątegopolawpunkciee.
Terazmożemypoliczyć∇v(fσ)
∇v(fσ)=pr2(Γ(T(fσ)(v)))
=pr2(Γ(f(q)Tσ(v)+(vf)(q)σ(q) vert ))
=f(q)pr2(Γ(Tσ(v))+(vf)(q)pr2(Γ(σ(q) vert ))
Γnawektorachpionowychjestidentycznością,więc
=f(q)pr2(Γ(Tσ(v))+(vf)(q)σ(q)=f(q)∇σ+(vf)(q)σ(q)
Jeślizałożymy,żepochodnakowariantnaspełniaregułęLeibniza,możemyrozszerzyćjąna
cięciadowolnychwiązektensorowychzwiązanychzE.Wszczególnościnacięciawiązkidualnej
E ∗ →M.Wzórnapochodnąkowariantnącięciaαwiązkidualnejwyprowadzimyużywając
współrzędnych.Niech
σ=σ a ea, α=αaɛ a , v=˙x i∂
∂x i,
gdzieɛ a tocięciawiązkiE ∗ →Mtworzącewkażdympunkciebazędualnądo(ea).Ewaluacja
cięciaαnacięciuσjestfunkcjąnaM
Zgodniezzasadamipowinnowięcbyć:
〈α,σ〉=αaσ a ,
v〈α,σ〉=〈∇vα,σ(q)〉+〈α(q),∇vσ〉.
6

Liczymyużywającwspółrzędnych
v〈α,σ〉=˙x i∂
∂xi(αaσ a )=˙x i
∂αa
∂xiσa
+˙x i
∂σ
αa
a
∂xi
〈∇vα,σ(q)〉=(∇vα) b σ b
〈α(q),∇vσ〉=αa
∂σ b
Dodajemy(11)do(12)iporównujemyz(10)
˙x i
∂αb
∂xiσb
+˙x i
∂σ
αb
b
∂xi
wyznaczamyszukanąwielkość
(∇vα) b σ b =˙x i
ikorzytamyzdowolnościσ
∂x i˙xi +Γ b kc σc ˙x k
=(∇vα) b σ b +αb
∂αb
∂xiσb
−Γ b kcσc˙x k αb
(∇vα) b = ∂αb
∂x i˙xi −Γ a kb˙x k αa
∂σ b
∂x i˙xi +Γ b kc σc ˙x k
Noicodalej?Najczęściejpojawiającąsiękoneksjąjestkoneksjawwiązcestycznej,zwłaszcza
koneksjazwiązanazmetryką.Otymbędziewprzyszłymsemestrze!
7
,
(10)
(11)
(12)