CAHIER DU LAMSADE 187 - Université Paris Dauphine

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CAHIER DU LAMSADE 187 - Université Paris Dauphine

Laboratoire d'Analyse et Modélisation de Systèmes pour

l'Aide à la Décision

CNRS UMR 7024

CAHIER DU LAMSADE

187

Janvier 2002

Polynomial approximation and graph coloring

Vangelis Th. Paschos


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A

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ΠÑÒÑÞØÓÒÔÖÓÐÑ

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δ A (I) =

WORST(I)

AÓÓÖΠ×Ò×

− OPT(I)

ØÖÒØйÔÔÖÓÜÑØÓÒÖØÓδ δ A = sup {r : δ A

ÓÓÖΠ×Ò×

(I) > r, I ∈ I}

Ø×ÝÑÔØÓØÖÒØйÔÔÖÓÜÑØÓÒÖØÓδ A ∞

{ }

WORST(I) −A(I)

δA ∞ = lim sup

k→∞ I WORST(I) − OPT(I)

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ΠÓÖΠ×Ò× ØÖÒØÐÔÔÖÓÜÑØÓÒÖØÓδ ØØØÓÙÐÙÖÒØÒÔÔÖÓÜÑØÓÒÖØÓØÒÒØÓ½º ÄØÙ×ÒÓØØØØ×ØÜÔØ×ÓÖØÚÓÖÓÒÔÔÖÓÜÑØÓÒÐÓÖØÑ×

δ Π = max {ρ A :ÈÌÓÖΠ}

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ΠÑÜÑÞØÓÒÔÖÓÐÑ

{ sup {r : ∃M, ρA (I) r, ∀I ∈ I M }

inf {r : ∃M, ρ A (I) r, ∀I ∈ I M }

ΠÑÜÑÞØÓÒÔÖÓÐÑ

ØÖÒØйÔÔÖÓÜÑØÓÒÖØÓδ A (I)ÓØÐÓÖØÑÓÒÒÒ×ØÒI∈

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G

G


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nºÌÓÐÐÓÛÒ

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´µ ´µ

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|A|


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´¿µ Á∆(G[A])

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j

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,j i

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´¾µ Á

B

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´¾µ ´¾µ Ç ÓÖÖØÐÓ×Ò×ÙÛÝØØÐÓ×ØÑÓ×ØÚÖØÜ

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ÒÓÑÑÓÒÛØØÐÓ×ÔÖÒØÒØÓÖÖÒ

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2

(x) 3

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1¸ÚØÓÖk¹ÓÐÓÖÒÓG×Ò

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jØÓØÔÖÓÙØÓ⃗v iÒ⃗v j×Ø××〈v i , v j 〉 −1/(k −

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i

i

i

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m ij σÓÖv ÊÑÖØظÝÒØÓÒÓØÑØÖÜÓÐÓÖÒÚÒÙ×ØÓÚÐÑѸØ×ÓÐÙØÓÒÓËÈ

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ÖÖÒÖÖÖÒ¿℄ºÁÒÒÝ׸ØÓÐÐÓÛÒÒ×ÓÛÒº ÌÒØÖ×Ø

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⎪⎨

SDP =

⎪⎩

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ØÒØÓÖÒдÖÒÓѵÓÒ׺ÇÒØÓØÖÒ¸ÓÖÔÓÒØ´µ¸ØÓÐÐÓÛÒÔÖÓÙÖ¸ØØ

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ÔÓÐÝÒÓÑÐÒk¸ÓÒÒÖÙÒØÓÖÐÐk∈ {2, . .

ËÓ¸ÒØÐØÓØÓÚ×ØØÐÑÒØ׸ÔÖÓÔÓ×ØÓÒ¿ÓÐ×ÓÖÒÝÖÔÒØÐÓÖØÑkº

ÐÑÖÙÒ×ÒØÖÑÒ×ØÔÓÐÝÒÓÑÐØѺ

ÛÝØØØÛÓÐÓÑÔÐÜØÝÓØÖÚÐÓÖØÑÛÐÐÑÙÐØÔÐÒÓØÝkÙØÝlog

ÞÝØÐÓÖØÑ×Ó¿℄¸ÖÒÓÑÞÝØÑØÓÓ℄¸ÒÜØÒ×Ó×ØÖÙÒ×

ÒÐÐݸÖÙÒÓØÐÓÖØÑ∆ÇÄÇÊÒØ×ÑÐØÒØÙÖÖÒØ×ØÓÒ´ÔÖÑØÖ¹

ÓÖÒÝÖÔÝØÖÑÖ×ØØÐÒÔÓÒØ´µÓÚµ¸ÒØÒÐÐÝØ×ØÓØ×ÓÐÙØÓÒ×

ÔÖÓÙºÌÒ¸ØÓÐÐÓÛÒÓÒÐÙÒØÓÖÑÓÐ׺

ÔÔÖÓÜÑØÓÒÖØÓ ÌÓÖѺ ÒÔÔÖÓÜÑØÐÝ×ÓÐÚÒÔÓÐÝÒÓÑÐØÑÒÒÒÝÖÔGÛØÒ

{ (

)}

∆(G)

ρ C min

χ(G) , O ∆(G) 1− k√ 2

ÌÖÝÓÐÓÖÒ¹ÐÓÖØÑ

log ∆(G)log n

.

χ(G)

º½ ÏÒÓÒØÖ×ØÓÔÔÖÓÜÑØÐÝ×ÓÐÚ¸ØÖ×ØÐÓÖØÑÓÑÒÒÑÒ×ØÖÝÓÒ

ÒÜÚØÓÒ×ÑÓÖÖÔ¹ÓÐÓÖÒ

ÁÆÈÆÆÌË̺ ×ÖÝØÓÐÐÓÛÒÜÚØÓÒ×ÑÜÙØÛØÔÖÑØÖ×GÒÒÁ˹ÐÓÖØÑ

ÁÆÎÌÁÇÆ

ÓÐÓÖØÚÖØ×ÓËÛØØ×ÑÒÓØÐÖÝÙ×ÓÐÓÖ

ÊÈÌS ← INDEPENDENTSET(G)

ÍÆÌÁÄÓÑ×ÑÔØÝ ÖÑÓÚËÖÓÑ

ƺÎÌÁÇÆ ÇÍÌÈÍÌØ×ØÓÙ×ÓÐÓÖ×

ÐÓÖØÑÎÌÁÇÆ×ØÛÓÒØÖ×ØÒÔÖÓÔÖØ׸ÜÔÖ××ÝØÑ×½Ò¾ÓÔÖÓÔÓ×ØÓÒ

ÐÓÛºÁØѽ×ÔÖÓÚÒ¿½℄¸ÙØ×ÒÑÔÐØÐÝÙ×Ò½½¸¿¸½℄ÒÜÔÐØÐÝÒ¿½℄º

Ò¾℄ÓÖØ×ÛÖS×ÒÝÒÔÒÒØ×غÀÖØ×ÑÒÐÝÙ×Ò×ØÓÒº

ÁØѾ×ÔÖÓÚÒ¿℄ÓÖØ×ÛÖS×ÑÜÑÙÑÒÔÒÒØ×ØÒ×ÒÖÐÞ

ÈÖÓÔÓ×ØÓÒº ½ºÒÝØÖØÚÔÔÐØÓÒÓÐÓÖØÑÁÆÈÆÆÌËÌØØÓÑÔÙØ×ÒÒÔÒÒØ×Ø

Ó×Þι k (G) = Θ(n 1/t )¸t > 1¸Òk¹ÓÐÓÖÐÖÔGÓÓÖÖn¸ÔÖÓÙ×ÓÐÓÖÒX

ÚÖÝÒ|X| 2n/ι k (G)º

¾ºρ EXCAVATION lnn/ρ INDEPENDENTSETº


º¾ ÒÒØÖ×ØÒÔÓÐÝÒÓÑÐÒ×ØÒØØÓÒÓØ×Ñ×ÖÓÚ¸ÛÖØÒÔÒÒØ

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ÒÓÙØÐÒÓÖÓØØÖÝÁ˹ÐÓÖØÑÒØÖݹÐÓÖØÑØØÒ×Ù׺

ÁÆÊÁË

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ƺÊÁË ÇÍÌÈÍÌË ÍÆÌÁÄV =

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ÓÐÓÖØÚÖØ×ÓËÛØØ×ÑÒÓÒÐÖÝÙ×ÓÐÓÖ

ÊÈÌS ←


ƺÊ

ÍÆÌÁÄV =

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ÇÍÌÈÍÌØ×ØX ØÊÈÌÐÓÓÔÓÐÓÖØÑʸ×ÙÐÐ×ØÖØÐÝÖ×ÒVºÀÒ¸ØÓÚÖÐÐ

ÛÓÖ×ع×ÓÑÔÐÜØÝÓÊ×O(n|E|)º

ØlØØÖØÓÒÓʺÌݹÔÓÒØÓÖØ×ØÙÝÓØ×ÔÔÖÓÜÑØÓÒÔÖÓÖÑÒ×Ø

(l)ØÚÖØܹ×ØÓØÙÖÖÒظ×ÙÖÚÚÒ¸ÖÔØØÒÒÒÓ

ÄØÙ×ÒÓØÝV ÓÐÓÖÙÖÒlØØÖØÓÒ´ºº¸ØÓÒ×ØÖÙØÑÜÑÐÒÔÒÒØ×ØÙÖÒØ×ØÖØÓÒµ

ÓÐÐÓÛÒºÁÖÔ×k¹ÓÐÓÖиØÒ¸ØØÖØÓÒlÓʸd j×ØÑÒÑÙѹÙÖÖÒعÖÚÖØÜÓ×ÒÝÊÁ˺ÌÖÓÖ¸ØÚÖØ×

|ºÌ×Ð×ØÓØÓÐÐÓÛÒÐÑѸÔÖÓÚÝÏÖ×ÓÒÒ½℄º


ÛÖv ÓÐÓÖ׺ ÄÑѺ ÛÐÐÓ×ÞØÐ×Ølog k |V

ÝÐÑѸØÔÔÖÓÜÑØÓÒÖØÓÓÐÓÖØÑÊÒχ(G)¹ÖÓÑØÖÔÓÑ×

´½℄µÐÓÖØÑÊÓÐÓÖ×ÒÝk¹ÓÐÓÖÐÖÔGÛØ|X J

´¾µ

ÐÒ×ÓØÓØÓÐÐÓÛÒÓÒÐÙÒØÓÖѺ ÌÓÖѺ ´¿℄µρ GREEDYC

S ← ∅

argmin vi ∈V{d ◦ i )}

S ← S ∪ {v}

V ← V \ ({v} ∪Γ(v))

G ← G[V]

GREEDYIS(G)

V ← V \S

G ← G[V]

ρ GREEDYC |X J|

χ(G) 1 3nlog χ(G)


χ(G) log n

nº n/log

½¼

n

log n

(v j ) |V |−⌈|V |/k⌉¸

| 3n/log k n


ÌÑÔÖÓÚÑÒØÓØÔÔÖÓÜÑØÓÒÖØÓÓ×ÖÑÒÓÔÒÓÖÝÖ×ÙÒØн¾ÛÒ

ÁÑÔÖÓÚÒØÖØÓÓÖÖÔ¹ÓÐÓÖÒ

ÏÖ×ÓÒ××ÓÛÒÒ½℄ÓÛØÓÓØÒØØÖÔÖÓÖÑÒÙÖÒØ׺À×ÑØÓ¸ÓÙØÐÒ

ÒÛØÓÐÐÓÛ׸××ÙÔÓÒØÓÐÐÓÛÒÓ×ÖÚØÓÒ×

¾º¾¹ÓÐÓÖÒ×ÔÓÐÝÒÓÑд××ØÓÒ¾µº

1)¹ÓÐÓÖÐ

½ºØÒÓÖÓÓÓÒÝÚÖØÜÒk¹ÓÐÓÖÐÖÔ×(k −

Ì×Ó×ÖÚØÓÒ×´Ø×ÓÒÒØÖÑÒØÓÒÓÒØÓҵи×ÛÛÐÐ׸ØÓÒ

ÖÙÖ×ÚÔÔÖÓÜÑØÓÒ×ØÖØÝÓÖº

ÏÖ×ØÔÖ×ÒØØÓÐÐÓÛÒÔÖÓÙÖ¸ÐÐÛØÔÖÑØÖ×kÒGÒi´ÛÖiÑÒ×

º½ ÓÐÓÖÒk¹ÓÐÓÖÐÖÔ×

.µ¸ØØÓÐÓÖ×k¹ÓÐÓÖÐÖÔÛØÖÐØÚÐÝ

ØØGÛÐÐÓÐÓÖÛØÓÐÓÖ×i,

ÁÆÇÄÇÊ

i + 1, . .

´½µ

ÛÓÐÓÖ׺ËظÓÖk=

ËÇ

2,

´¾µ ¾ÇÍÌÈÍ̾ÇÄÇÊ´µ

´¿µ log|G|ÓÐÓÖδµÛØ×ØÒØÓÐÓÖÔÖÚÖØÜ ÚÖØ×ÓÛÐÐÓÐÓÖÛØÓÐÓÖ×Ò·½

ÚÖØ×ÓÖ××ÒÓÐÓÖ׸·½¸ººº¸·¹½

´µ ´µ

k

´µ ´µ

k log|G|ÏÀÁÄ∆(G)

´µ

ÐØÚ×ÙØØd ÓÐÓÖÚÛØ·


´½¼µ ´µ

´½½µ ´½¾µ Ç

´½¿µ ´½µ kCØ×ØÓÙ×ÓÐÓÖ×

ƺÇÄÇÊ Ç ÇÍÌÈÍÌX ÁÒØÒØÐÖÔ¸ÐÓÖØÑ×ÐÐ×ÇÄÇÊ´¸¸½µº ÄÒ´½¾µÓÇÄÇÊÛÐÐ

ÐÓÖØÑÐÐÒÐÒ´¾µ×ØÓÒÒÖÔ×ÔÖØظÒÝ׸ÓÑÔÙØÒ

(|G|)⌉ÙÒÙ×ÓÐÓÖ׺ Ì

¾¹ÓÐÓÖÒÓØ×ÚÖØ׺

ÜÙØÓÒÖÔ×ÛØ∆(G) < ⌈f k (|G|)⌉¸Ù×Ò×ÓÐ××ØÒ⌈f

ÄÑѺ ⌉ÓÐÓÖ׺ |E|))¸ØÚÖØ×ÓÒÝk¹ÓÐÓÖÐÖÔ

º¾ ÜÔÒÒÇÄÇÊØÓÖÙÒÓÖÐÐÖÔ×

´½℄µÇÄÇÊ××Ò׸ÒO(k(n +

ÛØØÑÓ×Ø2k⌈f k (n)⌉ = 2k⌈n (1−(1/(k−1)))

×ÛÚÐÖÝÑÒØÓÒØØÒÓÔÖÖÔ¿º¾¸ÓÒÒÜÔÒÐÓÖØÑÇÄÇÊ

´×ØÒØØÓÓÐÓÖk¹ÓÐÓÖÐÖÔ×µØÓÖÙÒÓÖÒÝÖÔºÊÐÐØØ×»ÓÒÐÝ×ØÓ

ÔÖÓÙ××Ð×ÓÐÙØÓÒºÌ×ÒÑÔÐÑÒØ×ÓÐÐÓÛ׺

.n}ÒØ×ÓÖÖ¸Ò×ØÓÔØÓÖØÖ×ØkÓÖÛÔÖÓÙÖÇÄÇÊ

ÖÙÒØÓÖÐÐk∈{2, . .

½½

3, . . .¸f k (n) = n {1−(1/(k−1))}º

⌈f k (|G|)⌉Ç

(v) = ∆(G)

H ← G[Γ G (v)]

{i,i +1, . . . ,i +j−1} ← kCOLOR(k −1,H,i)

i ← i +j

G ← G[V \ (Γ G (v) ∪ {v})]

{i,i +1, . . . , } ← ∆COLOR(G)

k


ÁÆÇÄÇÊ ´½µ

´¿µ ´¾µ

´µ pÒÇÌÇ´µÁ

ÇÊp ←

´µ Ç

XÁ××ÐÌÀÆp ÓÖÛÇÄÇÊÔÖÓÙ×ÐÐÓÐÓÖÒ

0 ←

ƺÇÄÇÊ ´µ

ÔÔÐÝÒÖÝ×ÖÒ{2 p0−1 +1, . . .2 p 0

}ØÓÒØÐ×Øk ËÒ¸ÚÒÖÔG

ÇÍÌÈÍÌX E

´µG×ÐÛÝ×χ(G)¹ÓÐÓÖиÒ

χ(G)¸

´µØÜÙØÓÒÓÐÒ´¾µÓÐÓÖØÑÇÄÇÊÔÖÓÙ×ÐÐÓÐÓÖÒÓÖÐÐk

ØÓÐÐÓÛÒÐÑÑÓÐ׺

0×Ø×ÑÐÐ×ØkÓÖÛØÜÙØÓÒÓÐÒ´µÛÐÐÔÖÓÙ×ÐÓÐÓÖÒ¸

´µk ÓÑÒÒÐÑÑ×Ò¸ÛØØÓÐÐÓÛÒÓÒÐÙÒØÓÖÑÓÖØÔÔÖÓÜÑØÓÒ

ÄÑѺ ´½℄µk

ÌÓÖѺ ÔÖÓÖÑÒÓÐÓÖØÑÇÄÇʺ

0

χ(G))¸ØÚÖØ×ÓGÛØØ

º¿ ÌÛÓÐÑÔÖÓÚÑÒØ

´½℄µÇÄÇÊÓÐÓÖ׸ÒO((n + |E|)χ(G) log

⌉×ÒÖ×Ò

ÝØÓÖѸρ ÔÖÓÙØÓÐÐÓÛÒÒÐÐÓÖØѺ

EkCOLOR

n)×Ö×ÒÒxºÄØÙ×ÓÑÒØØÛÓÐÓÖØÑ×ØÓ

2⌈n (1−(1/(χ(G)−1))) ⌉ÒÙÒØÓÒf(x) 2⌈n (1−(1/(x−1)))

ÒxºÇÒØÓØÖÒ¸ÝÐÑÑÒÜÔÖ××ÓÒ´¾µ¸ρ GREEDYC ÒÙÒØÓÒg(x)

ÁÆÏÇÄÇÊ

= 3nlog x/(xlog

ƺÏÇÄÇÊ ÇÓÙÖ×ÐÓÖØÑÏÇÄÇÊÓÑÔÓ×ÝÔÓÐÝÒÓÑÐÓÑÔÓÒÒعÐÓÖØÑ××Ð×ÓÔÓÐÝÒÓÑк

ÇÍÌÈÍÌX ÐØØÐÐÖ×ÓÛ×ØØØÒØÖ×ØÓÒÔÓÒØÓØÙÖÚ×f(x)Òg(x)×ÒØ

W

ÒÓÖÓÓÓx = ⌈nlog log n/2log n⌉º ÐÓÖØÑÇÄÇÊ××ÙÔÖÓÖØÓÊÓÖ

nÊ×ÑÓÖÔÖÓÖÑÒØØÒ

ÒØÓÐÐÓÛÒØÓÖÑÓÒÐÙ×Ø×ØÓÒº

log n/log log

ÇÄÇʺÓÖχ(G)

ÌÓÖѺ

=

´½℄µρ WCOLOR

1ÌÇ⌈logn⌉Ç

← kCOLOR(2 ,G,1)

p

← kCOLOR(k 0 ,G,1)

χ(G)º

ÑÓ×Ø2χ(G)⌈n (1−(1/(χ(G)−1))) ⌉ÓÐÓÖ׺

X E ← EkCOLOR(G)

X J ← GREEDYC(G)

= argmin{|X E |, |X J |}


k 0

=

3nlog χ(G)/(χ(G) logn)

χ(G) log n/log log nÛиÓÖχ(G)

log n/log log n¸ÓØρ EkCOLORÒρ nº

GREEDYCÖÓO(nlog 2 log n/log 2 n)

3nlog 2 log n/log 2

½¾


ËÚÒÝÖ×ÐØÖ¸ÖÖÒÊÓÑÔиÙ×ÒØÓÙØÔÖÓ×××ÕÙØÐÓ×ØÓØÓÒ×ÓÔØ

ØØÖÔÔÖÓÜÑØÓÒÖØÓÓÖÓÐÓÖÒ

ÖÓÑØÒÙÑÖÓÛÐÓÒ×ØÓÖØÒÒØÖÚÐÓÚÐÙ׸ÒÒÜØÓÑÔÓ×ÒØ

Ò½℄´ºº¸ÓÐÓÖÒÖ×Øk¹ÓÐÓÖÐÖÔ׸ÜØÒÒØÖ×ÙÐØØÓÛÓÖÓÖÚÖÝÖÔ¸Ø

ÐÓÖØÑÔÖÓÙÛØÒÓØÖÛÐйÛÓÖÒÒÖÔ×ÛØÖÓÑعÒÙÑÖÚÐÙ×ÓÙØÓ

ØÒØÖÚÐÓÒ×Öµ¸ÔÖÓÖѸҽ½℄¸ÙÖØÖÒÓØÐÑÔÖÓÚÑÒØÓØÔÔÖÓÜÑØÓÒ

ÖØÓÓº

ÊÐÐØظ×ÛÚ×ÒÒ×ØÓÒ¸ÂÓÒ×ÓÒÓ×ÖÚØØG×k¹ÓÐÓÖиØÒØÖ

ÌݹÓ×ÖÚØÓÒÒ½½℄×ÒÓÖÒÑÒØÓØÖ×ÔØÚÓ×ÖÚØÓÒÓ¿℄º

|/k⌉Ø×Ó×ÖÚØÓÒÒÐѸÙ×ÒÐÓÖØÑÊÁ˸ØÓÒ

|/k⌉Ò¸ÓÒ×ÕÙÒØÐݸÒÝÒÓvÒØ××Ø

|)×ÑÐйÖÚÖØ×ØÓÛÚØ×ÑÓÐÓÖº Ì

Ü×Ø×ÒÒÔÒÒØ×ØÓ×ÞØÐ×Ø⌈|V ×d◦ (v) |V | −

|/k⌉ºÌ×ÐÐÓÛ×ØÑØÓ×ÓÑÛØÑÓÝÐÓÖØÑÊÁËØÓÓÓ×

′ÓSÚÖ×

⌈|V

ÒÒÔÒÒØ×ØSÓO(log k |V

|)×ÑÐйÖÚÖØ×ØØÖÒÔÒÒØÒ

ÖÒÑÒØÐÝÒØØÖØÓØÑØÓÔÖÓÔÓ×Ò½½℄×ØØÒÝ×Ù×ØS

|Γ(S

ÓÐÓÖº

]ÚÖØ×ÛØØ×Ñ

′ )| |V | − ⌈|V

Ø×ØÔ×Ø´Ò×ØÓÓÒµÓO(log

ÄØÙ×ÒÓÛÓÙØÐÒÓÛÖÖÒÊÓÑÔÐÔÖÓÙ×ÐÓÐÓÖÒ×ÓÖk¹ÓÐÓÖÐÖÔ׺

k |V

Ú×ÑÐÐÒÓÖÓÓºÌÝÖ×ÓÐØÓÐÐÐÝÓÐÓÖO[(log k |V |) 2

º½ ÁÑÔÖÓÚÒÊÒk¹ÓÐÓÖÐÖÔ×

ÏÓÒ×Ö¸ÛØÓÙØÐÓ××ÓÒÖÐØݸØØØÓÐÓÖ×ÖÖÛÒÖÓÑØ×Ø{1, 2,

ÖÔGºÌÖ×ØÓÒØÓÒÒÐÒ´½¼µÖÚ×ÌÊÍØ×ØS×ÒÒÔÒÒØ×ظÄË

ÓÒ×ÖØÓÐÐÓÛÒÐÓÖØÑÇÄÇÊÁÆÔÖÑØÖÞÝÒÒØÖk¸Üα>0Ò

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´¿µ ´¾µ 1

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m

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´µ


´µ kmÇ


´½¼µ ´µ

H×ÙØØËÑÇ

ÏÀÁÄ|U|

´½½µ

(|U|/k)ÌÀÆÇÌÇ´½¿µÁ

´½¾µ Ç

ÇÊS ⊆

´½¿µ ÇÍÌÈÍÌÒÓعÓÐÓÖÐ ÓÐÓÖËÛØÓÐÓÖ

ÁËÆ|Γ H (S)| |U| −

´½µ ´½µ

´½µ ´½µ Ç

´½µ ´½µ Ç ÓÐÓÖØÍÆÇÄÇʹÚÖØ×ÛØÓÐÓÖ׸ººº¸·ÍÆÇÄÇʹ½

c

´¾¼µ ÇÍÌÈÍÌØÓÐÓÖ×Ù× ××Ò×ÒÙÒÙ×ÓÐÓÖÔÖÍÆÇÄÇʹÚÖØÜ

ƺÇÄÇÊÁÆ

½¿

´µ ´µ

UNCOLORED

ÏÀÁÄ|UNCOLORED|

← ⌊αlog k n⌋

U ← UNCOLORED

H ← G[U]

U ← U \ [S ∪Γ H (S)]

UNCOLORED ← UNCOLORED \S

← c +1

. . .}º


ÊÑÖ½º ÄÒ´µÒÐÓÖØÑÇÄÇÊÁÆÒÑÔÐÑÒØÒØÓÐÐÓÛÒÛÝ

−1¸ÓÒØÒ×ÑÐÑÒØ×Ò ÔÖØØÓÒØÚÖØ×ÓÍÒØÓl =

B j¸j = 1, . . . , l

B lÓÒØÒ×ØÖÑÒÒÓÒ×´km mÇÇÌÇÐÒ´½¼µ

ÇÊj ← 1̼lÇÇÊS B j×ÙØØ|S| iÛÐÐÓÒØÒ×ØSÓ×ÞmÒØ××Ø

ÝØÔÓÒÓÐÔÖÒÔиØÐ×ØÓÒÓØ×Ø×B iºÓÒ×ÕÙÒØÐݸ

ÌÓÖѺ ÑÔÐÑÒØØÓÒÓÐÒ´µÓÐÓÖØÑÇÄÇÊÁÆÒÓÒÒÔÓÐÝÒÓÑÐØѺ

ÒÓÙÒÝÜÙ×ØÚÐÝ×ÖÒØC kαlog = O(n)×Ù×Ø×ÓB n)]¸Ø

´½½℄µÓÖÒÝα > 0¸ÐÓÖØÑÇÄÇÊÁÆÓÐÓÖ׸ÒO[n /(k log k

ÚÖØ×ÓÒÝk¹ÓÐÓÖÐÖÔÛØ2n/(α log 2

ÌÓÐÐÓÛÒÐÓÖØÑ´ÔÖÑØÖÞÝαÒGµÑÓ׸ÒØ×ÔÖØÓ½℄¸ÐÓÖØÑ

º¾ ÅÓÝÒÐÓÖØÑÇÄÇÊÁÆØÓÖÙÒÓÒÐÐÖÔ×

n)ÓÐÓÖ׺

k n) + O(n/log3 k

ÇÄÇÊÁÆØÓÛÓÖÓÒÒÝÖÔºÐÓÖØÑ×½ÇÄÇÊÒ¾ÇÄÇÊÐÐÝÇÄÇÊÁÆÖ

×Ò×ØÓÒ¾º ÁÆÇÄÇÊÁÆ ´½µ ´¾µ Á½ÇÄÇÊ´µ×ÐÌÀÆÇÍÌÈÍ̽ÇÄÇÊ´µÁ

´¿µ Á¾ÇÄÇÊ´µ×ÐÌÀÆÇÍÌÈÍ̾ÇÄÇÊ´µÁ

´µ ´µ

´µ pÒÇÌÇ´µÁ

ÇÊp ←

´µ Ç

XÁ××ÐÌÀÆp ÓÖÛÇÄÇÊÁÆÔÖÓÙ×ÐÐÓÐÓÖÒ

0 ←

ƺÇÄÇÊÁÆ ´µ

ÔÔÐÝÒÖÝ×ÖÒ{2 p0−1 +1, . . .2 p 0

}ØÓÒØÐ×Øk ÇÍÌÈÍÌX E

2ØÑ×

ØÓÐÓÖÒÔÖÓÙ×Ø××

ÌÓÑÔÐÜØÝÓÐÓÖØÑÇÄÇÊÁÆ×O(n 4+3α /log n)´ØÐÐ×ØÑÓ×Øn ÇÄÇÊÁƵºÅÓÖÓÚÖ¸ÛØØ×ÑÖÙÑÒØ××ØÓÒ×ÓÖÐÑѸk 0

´¿µ

)

º¿ ÌÛÓÐÑÔÖÓÚÑÒØ

log 3

⌉ÒØ×ÓÙÒ×ÒÖ×ÒÒχ(G)º

χ(G) n ÇÒ

ÊÐÐØØρ EkCOLOR 2⌈n (1−(1/(χ(G)−1)))

ØÓØÖÒ¸ÝØÓÖÑÒÜÔÖ××ÓÒ´¿µ¸ρ ÐÓÖØÑ×ÇÄÇÊÒÇÄÇÊÁÆÒØÓÒÐÓÖØÑ×ÑÓÖºÁØ×ÖÙÒÒÒØÑ×

n)ÒØ×Ð×ØÓÙÒ×Ö×ÒÒχ(G)º n)ºÌÓÐÐÓÛÒÐÓÖØѸÊÇÄÇʸÓÑÒ×

EkCOLORING

o(n/log 2 χ(G)

ÓØÓÙÒ×ÖØÑÓ×ØO(nlog 3 log n/log 3

ÁÆÊÇÄÇÊ

χ(G)})´½½℄µº ÓO(max{n (4+(21/η)) /log

0

n, (n + |E|)χ(G) log

ÜÐÖη >

ƺÊÇÄÇÊ

ÇÍÌÈÍÌX E

ÇÍÌÈÍÌX ′ ½

.,l¸×ÙØØ

⌊|U|/km⌋×Ø×B i¸i = 1, . .

|B l | < 2kmµ

⊆ =

1ÌÇ⌈logn⌉Ç

← kCOLORING(2 p , α,G)

← kCOLORING(k 0 , α,G)

k n

αlog k n

3+3α

(

2n

|X E |

α log 2 χ(G) n + O


n

k 0


χ(G)º ËÓ¸

2n/(αχ(G) log 2 χ(G) n) +

ÓÖχ(G) = O(⌈log n/log log n⌉)¸

← EkCOLORING(7/η,G)

E ← EkCOLOR(G)

ÇÍÌÈÍÌargmin{|X E |, |X E|}


ÌÓÖѺ nº

ÄØÙ×Ó×ÖÚØØÐÓÖØÑÊÇÄÇÊ×ÖÐÝ×ÖÓÙ×ÖÛ×ÒØ×ÜÙØÓÒØÑ

ÖÕÙÖÑÒØ×´ÒÔÓÐÝÒÓÑÐÒnÓÖÜηµ×ÜÔÓÒÒØÐÒηºÌ×ÑÒ×ØØØØØÖ

´½½℄µρ BRCOLOR ηnlog 3 log n/log 3

ØÔÔÖÓÜÑØÓÒÖØÓÚ¸ØÖØ×ÜÙØÓÒØѺ

ÁÒ½¿¸ÙÖØÖÑÔÖÓÚÑÒØÓÓÐÓÖÒ³×ÔÔÖÓÜÑØÓÒÖØÓ×ÒÔÙÐ×ÝÀÐÐÖ×¹

×ØÐÐØØÖÔÔÖÓÜÑØÓÒÖØÓÓÖÖÔ¹ÓÐÓÖÒ

×ÓÒÒ¿½℄ºÌ×ÔÖØÓØ×ÛÓÖ×ÕÙØ×ÑÐÖØÓØÔÖÚÓÙ×ÓÒ×´ÜÔØØÓÒÓ¾℄µ¸

ºº¸ÓÒÓÐÓÖ×ÖÔÝÜÚØÒÒÔÒÒØ×Ø׸ÙØØÙ×Á˹ÐÓÖØÑ×ÖÕÙØ

ÖÒØÖÓÑØÖÝÓÒÙ×ÙÒØÐØÒº ×ÒÓÔÔÖÓÜÑØÓÒÐÓÖØÑ×ØØÚÖÝÖÕÙÒØÐÝØÒÝÓÒÐÓÖØÑ×ØÖÓÒÐÝ ÁØ×ÛÐйÒÓÛÒØÓÔÓÔÐÛÓÖÒÓÒع

ÔÒ×ÓÒØÚÐÙÓØÓÔØÑÐ×ÓÐÙØÓÒÓÒÒ×ØÒº ×ÑÐÐÓÔØÑÐÚÐÙ׸ÛÐ×ÓÑÓØÖÓÒ×ÛÓÖØØÖÓÒÒ×ØÒ×ÛØÐÖÓÔØÑÐÚÐÙ׺ ËÓÑÐÓÖØÑ×ÛÓÖÛÐÐÓÖ

ÌÝÓ¿½℄×ØÓÓÑÒÒØÓÒÜÚØÓÒ×ÑØÛÓÁ˹ÐÓÖØÑ׸ÓÒÓØÑ

´ÇÈ̹ÄÁÉÍÊÅÇÎĵÚÒÒØÐÝÒÖÔ×ÛØ×ÑÐÐÖÓÑØÒÙÑÖ׸ÛÐØ

ÓØÖÓÒ´ÇÄÇÊÁ˵ÚÒÛÐÐÒÖÔ×ÛØÐÖÖÓÑØÒÙÑÖ׺ËÑÙÐØÒÓÙ×ÖÙÒ¹

ÒÒ¸ØØÖØÓÒÓØÜÚØÓÒ×ѸÓÓØÐÓÖØÑ×ÒÓÐÓÖÒÐÖ×ØÑÓÒ

ØÒÔÒÒØ×Ø×ÓÑÔÙØÛØÒÙÒÙ×ÓÐÓÖÐ×ØÓÒÑÔÖÓÚÖØÓÓÖÒÝÚÐÙ

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ÒÒÐÖÒÔÒÒØ×Ø׺ºº

ÓÖÜÚØÒÒÔÒÒØ×Ø׺

ÐÕÙ×ÓÖÛØ×ÑÐÐÐÕÙ×ÖÐÖÖØÒÒÔÒÒØ×Ø×ÒÒÖÐÖÔ׺ÙÖØÖÑÓÖ

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ÑÐÐÝÓÙÒØÖ´×ÓÖÜÑÔи¼℄¸ÛÖØÙØÓÖÐ×ÛØØÖÒйÖÖÔ×µº

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ÀÒ¸ÚÒÖÔG¸ÓÒÒÖÙØÝÖÑÓÚÒÐÕÙ×ÓÖØÒ×ÞlºÁÒØ×ÙÖÚÚÒ

ÔÔÐÝ×ÓÑÒØÐÓÖØÑÓÑÔÙØÒÐÖÒÔÒÒØ×غÜÚØÓÒÓ×ÙÐÖ

ÒÔÒÒØ×Ø××ÔÓ××Ð×ÐÓÒ×ØÒØÐÒØÓÒ×ÙØÚ´×ÙÖÚÚÒµÖÔ×ÓÒØÒ

Û×ÓÒØÐÕÙ׺ÇÓÙÖ׸ÐÖÒÔÒÒØ×Ø×ÖÜÚظÝØѽÓÔÖÓÔÓ×¹

ØÓÒ¸ØÖÔÒÓÐÓÖÛØÖÐØÚÐÝÛÓÐÓÖ׺ÇÒØÓØÖÒ¸ØÒØÐÖÔ

ÐÖºÁÒÓØ××ØÔÔÖÓÜÑØÓÒÖØÓÓÖÒ×ÓÑÔÖÓÚº

ÓÒØÒ×ÑÒÝ×ÓÒØÐÕÙ׸ØÒα(G)ÑÙ×Ø×ÑÐÐÒ¸ÝÜÔÖ××ÓÒ´½µ¸χ(G)ÑÙ×Ø

ÒÒÔÒÒØ×ØSÓÖØÒ×ÞÒØ×ØÙÒÓÒÓSÛØØÖ×ÙÐØÓØ×ÖÙÖ×Ú

ÐÓÖØÑÇÄÇÊÁËÓÖÒÐÐÝÓÔÖØ×Òk¹ÓÐÓÖÐÖÔ׺ÁÒÓÖÑÐÐݸØÖÙÖ×ÚÐÝÒ×

Ü×ÜØÖ×ÓÐtº××ÓÓÒ×ØÓÖÖÓØ×ÙÖÚÚÒÖÔÓÑ××ÑÐÐÖØÒt¸

ÖÙÒÒÒÓÒØÖÔG[S ∩ Γ(S)]º Ì××ÓÒ×ÐÓÒ×ØÓÖÖÓØ×ÙÖÚÚÒÖÔ

ÇÈ̹ÄÁÉÍÊÅÇÎÄ×ÐкÌÒÐÒÔÒÒØ×Ø×ØÙÒÓÒÓØÒÔÒÒØ×Ø×

ÖÙÖ×ÚÐÝÓÑÔÙØÝÇÄÇÊÁËØÓØÖÛØØÓÒÓÑÔÙØÝÇÈ̹ÄÁÉÍÊÅÇÎĺ

×ØØÐ×Ø×ÓÓ×ØÖ×ÙÐØÓØÜÙØÓÒCOLORIS(χ,G)¸ÒØÒÙ×ÒØѽÓ

ÊÙÒÒÒÇÄÇÊÁËÓÖÒÝÚÐÙÓkÒÖØÒÒØ×ØÖ×ÙÐظÓÒÒÓØÒÒÒÔÒÒØ

ÔÖÓÔÓ×ØÓÒ¸ÓÒÒÓÔØÓÓÑÔÙØ×ÑÐÐÓÐÓÖÒÓÖGº

Óχ(G)º

½


º½º½ ÏÖ×ØÔÖ×ÒØÒÒØÖÑØÐÓÖØѸÓÖÒÐÐÝÚ×Ò½℄¸ÒÙ׸ÖØÐÝÓÖ

ºººÝÖÑÓÚÒÐÕÙ×

ÙÒÖØÐݸÝÓØÇÈ̹ÄÁÉÍÊÅÇÎÄÒ¸ÇÄÇÊÁ˺ÁØ××ÙÔÓÒØÓÐÐÓÛÒÖ×ÙÐØ

ÙØÓÊÑ×ݺ ÌÓÖѽ¼º t)ÓÒØÖ׸ØÖ×ÒÒØÖnÓÖÛÚÖÝÖÔÓ

ÓÖÒÝÔÖ(s,

t)ØÑÒÑÐÚÐÙÓnÓÖÛØÓÚØÓÖÑÓÐ׸ØÒØ×Ø

s¸ÓÖÒÒÔÒÒØ×ØSÓ×Þtº

ÓÖÖnÓÒØÒ×ØÖÐÕÙK t)ÓÖÐÐÔÓ×ØÚÒØÖ×sÒt´ÝÓÒÚÒØÓÒ¸ÓÒÓsÒt×ÒØÚÓÖ ºÄØÙ××Ø

ÁÛÒÓØÝR(s, ÒÓÛÒÙÔÔÖÓÙÒÓÖR(s, t)¸ÙØÓÖ×ÒËÞÖ×´¾℄µ¸×R(s, ÐÓÖØÑÊÅË´ÔÖÑØÖÞÝÖÔGÒÒÒØÖsµÚÐÓÔÒ½℄Ò

= r(s,

t)´¾℄µÒ׸ÒØÑO(|E|)¸ØÖ

ÞÖÓ¸ØÒC t−1

s−t+2 = 1µ¸ÒÐØt ×ØÖÓÒÐÝÒ×ÔÖÝØÔÖÓÓÓØÙÔÔÖÓÙÒÓÖR(s, ÐÕÙKÓÓÖÖs¸ÓÖÒÒÔÒÒØ×ØSÓ×ÞtºÅÓÖÓÚÖ¸r(s,

ÁÆÊÅË ÓÖ×ÓÑÓÒ×ØÒØcº

t)

Ct−1

s−t+2

Ct−1

s−t+2

s (n) = min{t : r(s, t) n}º


nÒs.t c(log n) ∅ 1Ç

S ←

K ←

ÏÀÁÄ|V(G)| >

ÓÓ×v ∈ V(G)

t ← t s (n)

Á|Γ(v)| r(s −1,t)ÌÀÆK ← K ∪ {v}

G ← G[Γ(v)]

s ← s −1

ÄËS ← S ∪ {v}

Á

G ← G[V \ ({v} ∪Γ(v))]

Ç ÇÍÌÈÍÌK ← K ƺÊÅË ÇÍÌÈÍÌS ← S ∪V(G)

ÁØ×ÒÜØÓÑÒÛØÖÝÑÒ×ÑÓÐÕÙÖÑÓÚÐÒØÓÐÐÓÛÒÁ˹ÐÓÖØÑ

ÁÆÄÁÉÍÊÅÇÎÄ ´ÔÖÑØÖÞÝÖÔGÒÒÒØÖsµ×ÖÚÒ½℄º

←ÊÅË(G,s) sÇ

(S,K)

ÏÀÁÄ|K|

G ← G[V \K]

Ç ←ÊÅË(G,s)

ƺÄÁÉÍÊÅÇÎÄ ÇÍÌÈÍÌË

(S,K)

ÛØÔÔÖÓÜÑØÓÒÖØÓÓÐÓÖØÑÄÁÉÍÊÅÇÎÄ×Ø×ØÔÓ××дÒÓØÖÛÓÖ׸

ÁÒÓÖÖØØØÒÐÓÐÓÖÒ¹ÐÓÖØÑ×Ø×ØÔÓ××иÓÒÒ×ØÓÒØÚÐÙÓsÓÖ

ØÒÔÒÒØ×ØÓÑÔÙØ×ØÐÖ×ØÔÓ××еºÌÒ¸ÓÒÒÓÐÐÓÛØØÓÙØÔÖÓ××

ØÓÐÐÓÛÒÒÐÚÖ×ÓÒÓÄÁÉÍÊÅÇÎĸÐÐÇÈ̹ÄÁÉÍÊÅÇÎÄÒÔÖÑØÖÞ

ÓÖÒÐÐÝÔÖÓÔÓ×Ò½℄¸ºº¸ÓÒÒÙ×ÒÖÝ×ÖØÓÒÓÓsºÌ×Ð×ØÓ

½


ÄÁÉÍÊÅÇÎÄ´¸µº

iØÔÔÖÓÜÑØÓÒÖØÓÓ

ÝÖÔG¸ÓÓÑÔÐÜØÝO(|E|nlog

ÁÆÇÈ̹ÄÁÉÍÊÅÇÎÄ

n)¸ÛÖÛÒÓØÝρ Ù××Ò× (1/s)ÌÀÆÊÌÍÊÆËÁ Áρ s > (n/s 2 )

ÊÈÌÖÙÒÄÁÉÍÊÅÇÎÄ´¸ÔµÛØp =

ÍÆÌÁÄØÖ×Øl ← l 0ÓÖÛρ 0)

ƺÇÈ̹ÄÁÉÍÊÅÇÎÄ

ÊÈÌÔÔÐÝÒÖÝ×ÖÒ{2 l

ÍÆÌÁÄØÐ×Øp ← p 0ÓÖÛρ > (n/p 2 0) (1/p

ÄÑѽ¼º

ÇÍÌÈÍÌS ´¿½℄µÊÙÒÒÒÐÓÖØÑÇÈ̹ÄÁÉÍÊÅÇÎÄÓÒÖÔGÓÓÖÖnÛØ


º½º¾ ºººÁÒk¹ÓÐÓÖÐÖÔ×

α(G) tn¸t 1/log n¸ÖØÙÖÒ×ÒÒÔÒÒØ×ØÓ×ÞØÐ×Øe ÄØÙ×ÒÓÛÓÒ×ÖØ×ÓÒÁ˹ÐÓÖØÑ´ÔÖÑØÖÞÝÒÒØÖkÒÝÖÔGµ

ØÖ×ØÓÒØÓÒÒÐÒ´¿µÖÚ×ÌÊÍØ×ØS×ÒÒÔÒÒØ×ظÄËÓØÖÛ׺

ÔÖ×ÒØÒ¿½℄ÒÖÙÒÒÒÒk¹ÓÐÓÖÐÖÔ׺×ÓÖÐÓÖØÑÇÄÇÊÁÆÒ×ØÓÒ¸

ÁƹÇÄÇÊÁË

´¾µ 1ÌÀÆÇÍÌÈÍÌÎÁ

´¿µ ÁËÌÀÆ

=

´µ ´µ

ÇÊS ⊆ V×ÙØØ|S|

´µ ´µ

ÌÀÆÇÍÌÈÍÌS ∪¹ÇÄÇÊÁË(k,G[V \

´µ ´µ Á Á

ÄËI ←ÇÈ̹ÄÁÉÍÊÅÇÎÄ(G[V \

´½¼µ ´½½µ Ç

ƺ¹ÇÄÇÊÁË ÇÍÌÈÍÌÒÓعÓÐÓÖÐ

ÆÓØØØÖÑÖ½ÓÐ×Ð×ÓÓÖÐÓÖØѹÇÄÇÊÁ˺ÓÒ×ÕÙÒØÐݸØÜÙØÓÒÓØÇÊ

ÐÓÓÔÓÐÒ´¾µ×ÔÖÓÖÑÒÔÓÐÝÒÓÑÐØѺ

ØÓÐÐÓÛÒÁ˹ÐÓÖØÑ´ÔÖÑØÖÞÝGµÓÓÑÔÐÜØÝO(n|E|χ(G))ºÌÁ¹ÓÒØÓÒ

ÏÒÑÓÝÐÓÖØѹÇÄÇÊÁËØÓÛÓÖÓÖÐÐÖÔ×´ºº¸ÓÖÒÝkµÔÖÓÙÒ×Ó

ÁÆÇÄÇÊÁË

k×ÒÔÒÒغ ÒØ×ÐÓÖØÑÖÚ×ÌÊÍS ←¹ÇÄÇÊÁË(k,G) 1ÌÇÒÇ ÇÊk ←

S


k

ÁS kÌÀÆ×ØÓÖS k³××ØÓÖ

ƺÇÄÇÊÁË Ç ÇÍÌÈÍÌØ×ØÑÓÒØS ÄÑѽ½º ´¿½℄µÌÔÔÐØÓÒÓÐÓÖØÑÇÄÇÊÁËÒGÔÖÓÙ×ÒÒÔÒÒØ×Ø

Ó×ÞØÐ×Ølog χ(G)

½

´½µ Á|V|

S ← CLIQUEREMOVAL(G,s)

(1/p)

. 2 l¸l }

= ⌈logk⌉, . .

)

p > (n/p 2 ) 0−1 +1, . . .2 l 0

pO

CLIQUEREMOVAL(G,p 0

n /tº

t

−1

nÇ = log k

Á|G[V \ (S ∪Γ(S))]| nlogn/(2kloglogn)

(S ∪Γ(S))])

(S ∪Γ(S))]) ∪S

∪IÁ Á|I| (logn) 3 /(6loglogn)ÌÀÆÇÍÌÈÍÌS

nlog n/(2max{log(2χ(G) log log n/log n), 1})º


º¾ ÏÖÖÝÒÓÛØÓÓÙØÐÒØÓÚÖÐйÐÓÖØÑÓ¿½℄¸ØÛÓÖ×ع×ÓÑÔÐÜØÝÓÛ

ÌÓÚÖÐÐÓÐÓÖÒ¹ÐÓÖØÑ

ÁÆÀÇÄÇÊ

←ÇÈ̹ÄÁÉÍÊÅÇÎÄ(G) ÊÈÌSCR

ÓÐÓÖØÚÖØ×ÓËÛØØ×ÑÙÒÙ×ÓÐÓÖ


ƺÀÇÄÇÊ ÇÍÌÈÍÌØ×ØÓØÓÐÓÖ×Ù× ÍÆÌÁÄV =

ÙÖÒØ×ÒÒÔÒÒØ×ØÓ×Þn)ºÌÒ¸ÝÐÑѽ¼¸ÐÓÖØÑÇÈ̹ÄÁÉÍÊÅÇÎÄ

ËÙÔÔÓ×Ö×Øχ(G) log n/(2log log

×O(n 2 |E|)º

SCS ← COLORIS(G)

S ← argmax{|SCR|, |SCS|}

V ← V \S

G ← G[V \S]

1

ÝØѽÓÔÖÓÔÓ×ØÓÒ¸ÒÜÚØÓÒ×ÑÙ×ÒÇÈ̹ÄÁÉÍÊÅÇÎÄ´ÐÓÖØÑÀÇÄÇÊ

|SCR| e −1n χ(G)

1

= e −1 χ(G)n

χ(G).

1

×Ò×ØÒØØÓÒÓ×Ù×ѵÓÑÔÙØ×ÓÐÓÖÒÓ×Þ

χ(G)

( )

n

(n 1− 1

χ(G)

|X| = O

= O

ÒØ×ÒÒÔÒÒØ×ØÓ×Þ n)¸ØÒÝÐÑѽ½¸ÐÓÖØÑÇÄÇÊÁËÙÖ¹

e −1 χ(G)n 1

χ(G) χ(G)

ÇÒØÓØÖÒ¸χ(G) log n/(2log log

)

´µ

|SCS| log2 n

1

ÝØѽÓÔÖÓÔÓ×ØÓÒ¸ÐÓÖØÑÀÇÄÇÊ´Ù×ÒÇÄÇÊÁ˵ÛÐÐÔÖÓÙÓÐÓÖÒÛØ

{ ( ) }.

log χ(G) 2max log 2χ(G)log log n

log n

, 1


{ (

|X| = O ⎝ nlog χ(G) max log 2χ(G)log log n

´µ

) } ⎞

log n

, 1

ÌÓÖÖ×ÔÓÒÒÖØÓ×ÖØÖعÒ××ÓÜÔÖ××ÓÒ×´µÒ´µÚÝχ(G)¸Ø


log 2 n

n)¸Ø

Ø×ØÓÒº

n)ÒØÓÐÐÓÛÒØÓÖÑÓÒÐÙ×

ÓÖÑÖÒÖ×ÒÒØ×ÓÒÒÖ×ÒÒχ(G)ºÓÖχ(G) = log n/(2log log

ÚÐÙ×ÓØØÛÓÖØÓ×ÖÓØÓO(nlog

ÌÓÖѽ½º 2 log n/log 3

´¿½℄µρ HCOLOR = O(nlog 2 log n/log n)º

3

½


ÙÖØÖÑÔÖÓÚÑÒØÓØÔÖÓÖÑÒÙÖÒØÓÖØÔÔÖÓÜѹ

ÊÚ×ØÓÖÛÐÐÓÖØÑÇÈ̹ÄÁÉÍÊÅÇÎÄÓ×ØÓÒºÁÒ¾¿℄¸ØÓÐÐÓÛÒÔÖÓÔÓ×ØÓÒ

ØÓÒÓÖÔ¹ÓÐÓÖÒ

×ÔÖÓÚº

ÓÒ×ØÒØ×κÒK×ÙØØÐÓÖØÑÇÈ̹ÄÁÉÍÊÅÇÎÄÓÑÔÙØ׸ÓÖÚÖÝÖÔGÓÓÖ¹

ÈÖÓÔÓ×ØÓÒº ´¾¿℄µÓÖÚÖÝÙÒØÓÒl×ÙØظ∀x >

ÁÒÛØÓÐÐÓÛ׸ÛÒÓØÝÀÍË̸ÒÜÙ×ØÚ¹×ÖÐÓÖØÑÓÖºÏØÓÙØÐÓ××Ó

Ön>κ¸ÒÒÔÒÒØ×ØS×ÙØØα(G)

ÕÙÓØÔÖÓÔÓ×ØÓÒÓÚº

.ÅÓÖÓÚÖ¸ÐØKÒκ×ÒØ

ÁÆÇÄÇÊ

ÒÖÐØÝÛ×ÙÔÔÓ×ØØÚÖØ×ÖÓÐÓÖÛØ1, 2, . .

´¾µ ´½µ ←ÇÈ̹ÄÁÉÍÊÅÇÎÄ´µ

κÌÀÆÇÍÌÈÍÌÀÍËÌ´µÁ

´µ ´¿µ 1

Án



S

´µ ∅

i ←

^X

´µ


ÓÐÓÖËÛØÓÐÓÖ


´µ ´µ

ÏÀÁÄ|S|

´½¼µ

´½¾µ ´½½µ

^X

´½¿µ ∅ÌÀÆÇÍÌÈÍÌ^XÁ

i

´½µ ´½µ Ç ←ÇÈ̹ÄÁÉÍÊÅÇÎÄ´µ

GÁG =

´½µ ´½µ

S

ƺÇÄÇÊ

~X

ÌÓÖѽ¾º

ÇÍÌÈÍÌX ←

ÈÖÓÓºÇÚÓÙ×ÐݸÐÒ´½µÓÐÓÖØÑÇÄÇÊ×ÜÙظØÒØÖØÙÖÒ×ÑÒÑÙÑÓÐÓÖÒ

ρ

ÓÖGÒÔÓÐÝÒÓÑÐØѺ ÔÔÐØÓÒÓÎÌÁÇÆ´¸ÇÈ̹ÄÁÉÍÊÅÇÎĵºÇ×ÖÚÐ×ÓØظÓÖÚÖÝØÖØÓÒiÓ

ÌÏÀÁĹÐÓÓÔÓØÐÓÖØÑÓÚ´ÐÒ×´µØÓ´½µµ×Ò

Gµ¸ØÒ

ØÏÀÁĹÐÓÓÔ¸ÛÒÓØÝG iØÖÔG[V \ V (Ĝ)]´G 1 =

´µ

ÌÒÝØѾÓÔÖÓÔÓ×ØÓÒÒÝÜÔÖ××ÓÒ´µ

ρÇÈ̹ÄÁÉÍÊÅÇÎÄ(G i ) K logl(|G i|) |G i |

|G i |

´µ

½

´µ V(^G)

nÇ Klog l

V(^G) ← ∪S

^G ← G[V(^G)]

← ^X ∪ {i}

← i +1

← G[V \S]

← ∆COLOR(G)

^X ∪~X

)

ρ EXCAVATION


2n 2∆(G)l(n) log log n

C max{

k log l(n)−1 ,

n log n


ln∣Ĝ


=

K log

l(|Ĝ|)

|Ĝ|

|Ĝ|

x¸ØÖÜ×Ø


0¸0 < l(x) ≤ log log

l(n)nlog log n/log n¸ØÒ|S| K log l(n)


log ∣Ĝ ∣

log eK log

l(|Ĝ|)

|Ĝ|

|Ĝ|

}

.


∣Ĝ ∣

∣ k log l(|Ĝ|)−1 ∣ Ĝ∣


ÐÒ´½µµºÌÒ¸ÝÔÖÓÔÓ×ØÓÒÒÜÔÖ××ÓÒ´½µ¸ÔÔÐØÓÒÓ∆ÇÄÇÊÒ˜GÛÐÐÓÑÔÙØ

Ĝ)]´ÒÓØÖÛÓÖ׸˜G×Ø×ÙÖÔÓGÒÔÙØÓÐÓÖØÑ∆ÇÄÇÊÒ

×ؘXÓÓÐÓÖ×ÚÖÝÒ

ËؘG = G[V \ V (

´µ

ÌÓÐÐÓÛÒÓÐ×ÓÖØ×ØXÓÓÐÓÖ×ÓÑÔÙØÝÐÓÖØÑÇÄÇÊ

( )

ρ ∆COLOR ˜G =

∣ ˜X


)

χ(

˜G

( )

∆ ˜G

log| ˜G|

l(| ˜G|)log log| ˜G|

=

( )

∆ ˜G

)

∣∣ l(∣

˜G ∣ log log ∣ ˜G


log ∣ ˜G


|X| = ∣ ˆX

∣ + ∣ ˜X

) ) ( ) )

∣ ρ EXCAVATION

(Ĝ χ(Ĝ + ρ ∆COLOR ˜G χ(

˜G

´µ

{ ) ( )}( )

max ρ EXCAVATION

(Ĝ , ρ ∆COLOR χ(Ĝ + χ(

ÓÒØ×

˜G)Ö×ÑÐÐÖØÒχ(G)ºËÓ¸Ù×ÒÜÔÖ××ÓÒ×´µ¸´Ò´µ¸

˜G))

ÇÚÓÙ×ÐݸÓØχ(Ĝ)Òχ(


( )

)

ρ COLOR =

|X| ⎨


∣∣ 2∣Ĝ


max

χ(G) ⎩

∣ 2∆ ˜G l(∣

Ĝ∣

log log ∣ ˜G


∣⎬

k log l(|Ĝ|)−1 ,

∣ Ĝ∣

log ∣ ˜G



{

Ì×ÓÑÔÐØ×ØÔÖÓÓÓØØÓÖѺ

2n 2∆(G)l(n) log log n

max

k log l(n)−1 ,

×ÛÚÐÖÝ×Ò¸ ÒØÖÑ×ÓnØ×ØÒÓÛÒÔÔÖÓÜÑØÓÒÖØÓÓÖ

n log n

ÑÒØÓØ×ÖØÓÚÒÒÔÖØÙÐÖÐ×××ÓÖÔ׺ n)´×ØÓÒµÒØÚÖÝØØÒÐÝ××Ó¿½℄Ó×ÒÓØÐÐÓÛÑÔÖÓÚ¹ ÄØl>5Ò×ÙÔÔÓ×Ö×ØØØØ

×O(nlog 2 log n/log 3 n)ÒØÓÖѽ¾ÑÔÖÓÚ×

n)º ÌÒ¸ÓÖÖÔ×ÛØ

ÑÜÑÙÑÒÜÔÖ××ÓÒ´½¼µ×ÖÐÞÝØØÖÑO(n/log

ÊÚ×ØÒÓÛØÖØÓÒØÓÖÑÒÖÑÖØØØÖ×ØÙÒØÓÒ×Ö×ÒÒχ(G)¸

l−1

∆(G) = O(n/log l−2 n)¸×ÔÔÖÓÜÑÐÛØÒÖØÓO(n/log l−1

ØÖØÓÓ¿½℄ÝØÓÖΩ(log 2 log nlog n)º

l−4

∆(G)¸ØÖØÓÜÔÖ××ÓÒÒØÓÖÑØØÒ×Ø×ÑÒÑÙÑÚÐÙÛÒ

ÛÐØ×ÓÒÓÒ×ÒÖ×ÒÓÖχ(G) 2log ∆(G)ÒÖ×ÒÓÖχ(G) 2log ∆(G)º

n)ºÁÒØ×׸ØÑÒÑÙÑÒØÖÓÖØÚÐÙÓ n)¸ºº¸

•Áχ(G) 2log

ØØÛÓØÖÑ×ÖÕÙиÒÓØÖÛÓÖ×ÛÒ(∆(G)) 2/χ(G) = Θ( √ log ∆(G)log

ÛÒχ(G) = Θ(log ∆(G)/log log

ØÖØÓÙÖÒØÝØÜÔÖ××ÓÒÒØÓÖÑÓÑO(∆(G) log log n/log ∆(G))º

n)×ÐÛÝ×ÚÒÔÒÒØÐÝÓÒØÚÐÙ×Óχ(G)ºÀÒ¸ n))¸ØÖØÓ

∆(G)¸ØÖ×ÙÐØÓ¿℄´×ÓÒØÖÑÓØÖØÓ

ÇÒØÓØÖÒ¸ÝØÓÖѽ¾¸ÛÒ∆(G) = Ω(n/(log l−2 nlog log

O(∆(G) loglog n/log

ÓÖ∆(G) n/log l−2 nÒχ(G) 2log

ÒØÓÖѵ×ÑÔÖÓÚÝØÓÖlog n/log ∆(G)º

∆(G))¸ÛÐØÖØÓÓÇÄÇÊÖÑÒ×

nµ¸ØÒØÖØÓÓØÓÖÑ×ÓÙÒ

•Áχ(G)

ÓÑÒØ×ØÓÒÓØÓÖѺ n)ºÌÖÓÖ¸ÒØ××Ð×Ó¸ÐÓÖØÑÇÄÇÊ

2log ∆(G)´Ò∆(G) n/log l−2

ÓÚÝO((∆(G)) 1−(2/log ∆(G)) log n/ √ log

ÓÖÓÐÐÖݽº

ÓÙÒÓÚÝO(∆(G) loglog n/log

n

n)ÒÖÔ×ÛØÑÜÑÙÑÖØ

•ÓÖl1¸×ÔÔÖÓÜÑÐÛØÒO(n/log l−1

ÑÓ×Øn/log l−2 ¾¼

nlog log

}

´½¼µ


n)ÒÖÔ×ÛØÑÜÑÙÑÖØÐ×Ø

ÊÑÖÒÐÐÝØØÖØÓ∆(G)/χ(G)ÒÐÛÝ×ÚØÖØÖ×ØÐÒÓÇÄÇÊ

•×ÔÔÖÓÜÑÐÛØÒO(∆(G) log log n/log

ÐÓÖØÑ∆COLOR(G)×ÜÙØÒØÑÒÑÙÑØÛÒØ×ÓÐÙØÓÒÓÑÔÙØÝØ×

˜X×ÒÐÐÝÖØÒºÁÒØ×׸ØÖØÓÚ×

ÐÐÒØ×؈X ∪

º½ÁÒÔÔÖÓÜÑÐØÝÖ×ÙÐØ×

À×ØÓÖÐÐݸØÖ×ØÒØÚÔÔÖÓÜÑØÓÒÖ×ÙÐØÓÙØ×ØÓÒÖÑÒØØÒÓÈÌ

ÆØÚÖ×ÙÐØ×ÚÖÔ¹ØÓÖØÔØÒÕÙ×

ÒÙÖÒØÔÔÖÓÜÑØÓÒÖØÓ×ØÖØÐÝ×ÑÐÐÖØÒ»¿º ÔÔÐØÓÒÓØÓÐÐÓÛÒÑÓÖÒÖÐØÓÖѺ Ì×Ö×ÙÐØÒÓØÒÝ

ÌÓÖѽ¿º

κ ×ÆȹÓÑÔÐغ ÌÒ¸ÙÒÐ××ÈÆȸÒÓÈÌÓÖΠÒÙÖÒØ


´¾℄µÄØΠÑÒÑÞØÓÒÔÖÓÐÑÚÒÐÐ×ÓÐÙØÓÒÚÐÙ×ÒIN κÚÒÒÒ×ØÒIÓΠ¸

Ò×ÙÔÔÓ×ØظÓÖ×ÓÑÜκ ∈ IN +¸Ø×ÓÒ¹ÔÖÓÐÑΠ ×ÇÈÌ(I)

ÊÐÐݸÓÒ×ÖÔÖÓÐÑΠÚÖÝÒØÝÔÓØ××ÓØØÓÖÑÒ×ÙÔÔÓ×ØØØÖ

(1/κ)º×ÓÒ×ÕÙÒ¸ΠÒÒÓØ×ÓÐÚÝÈÌ˺


ρ A < 1 +

1)/κºÓÒ×ÖÐ×ÓØÝÔÐ

ÌÒ¸

Ü×Ø×ÈÌÙÖÒØÒ¸∀I¸ρ A (I) = A(I)/OPT(I) <

κÒÔÓÐÝÒÓÑÐØѺÏÖÙÒÓÒIº

(κ +

Ò×ØÒIÓΠºÏÛÐÐ×ÓÛÓÛÒÙ×ØÓ×ÓÐÚΠ A(I) > κ + 2¸ØÒÕÙÐØÝA(I) κ ÒÒ×ÛÖ×ÒÓÓÖΠ κ ÒØ××OPT(I) A(I) κÒÒ×ÛÖ×Ý×ÓÖΠ ÓÒ×ÕÙÒØÐݸÚÒA(I)´ÓØÒÒÔÓÐÝÒÓÑÐØÝÔÓÐÐÓÛÒØÝÔÓØ××ÓÒµ¸ÓÒÒ

= κ + 1¸ØÜÔÖ××ÓÒκ κº

κÒÔÓÐÝÒÓÑÐØѸÓÒØÖØÓÒº

Ò×ÛÖ×ÒÓÓÖΠ ¿¹ÖÓÑØ´ÒÓØØ×ÔÖÓÐÑÝ3µ×ÆȹÓÑÔÐظÒÒÓØÔÔÖÓÜÑØÛØÒ

ÌÖ×ÙÐØÓØÓÖѽ¿×ÖØÔÔÐØÓÒÒºÁÒظ×ÒÒÖÔ×

×ÓÐÚΠ ÖØÓ»¿¸ÙÒÐ××ÈÆÈ×Ó¸ÛØØÓÐÐÓÛÒÓÖÓÐÐÖݺ

ÓÒ×ÕÙÒØÐݸÒÒÓØ×ÓÐÚÝÈÌ˺ ÓÖÓÐÐÖݾº ÆÓÈÌÓÖÒÙÖÒØÖØÓ×ØÖØÐÝ×ÑÐÐÖØÒ»¿¸ÙÒÐ××È≠ÆȺ

ÐÛÝ×Ò¾℄¸ØÓÚÖ×ÙÐØ×ÙÖØÖ×ØÖÒØÒØÓÔÔÐÝÚÒØÓ×ÝÑÔØÓØÖØÓ×Ò

ØÓÐÐÓÛÒØÓÖÑÓÐ׺

ÌÔÖÓÓÓØÓÚØÓÖÑ××ÙÔÓÒÐ××ÐØÒÕÙ¸ØØÒ×Ò×ÔÓÐÝÒÓ¹

ÌÓÖѽº 4/3ÓÖ¸ÙÒÐ××ÈÆȺ

´¾℄µÆÓÈÌÓÖΠÒÙÖÒØρ∞ A <

ÝÒÐÓÖØѸØÒÔØÛÒØÚÐÙ×ÓA(I)ÛÓÙÐÐÐÓÛÙ×ØÓÓÖÖØÐÝÒ×ÛÖÝ×

′ØÓÔÖÓÐÑΠ¸×ØÐ×ÒØØΠ×ÓÒ×ØÒعÔÔÖÓÜÑÐ

′ºÓÖØ×ÓØÓÖѽ¸ØݹÓÖØÔÖÓÔÓ×

ÑÐÖÙØÓÒÓÔÖÓÐÑΠ ÓÖÒÓÓÙØØ×ÓÒ¹ÚÖ×ÓÒÓΠ ¾½

A(I) κ¸

n/log l−2 nlog log nº

min

{ ∆(G)

χ(G) , max {

O

(

n

log l−1 n

)

, O

( ∆(G)log log n

log n

)}}

.

< ((κ+1)/κ)OPT(I)Ð×ØÓOPT(I) > κ(κ+2)/(κ+1) > κ

κÒ

+ 1 = A(I) < ((κ + 1)/κ)OPT(I)Ú×OPT(I) >


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S ← {S i ∩C : S i ∈ S,S i ∩C ≠ ∅}

S 3 ← SLOPT21(S,C)

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S ← 6SC((S 6 ,V))

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χ DC (G) χ k+1 + (1 − δ) (n − (k + 1)χ k+1 ) + δχ(G)


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n − χ DC (G) δ (n − χ(G)) + χ k+1

δ¸ØØÓÒÐÙ×ØÔÖÓÓÓØ

(k − δ(k + 1)) δ (n − χ(G))

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WORST(G) = WORST (S k , V k ) + q(k + 1)

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χ((G k ) χ(G)

WORST(G) − χ DC (G)

WORST(S k, V k ) + q(k + 1) − (χ k + q)

WORST(G) − χ(G) WORST (S k , V k ) + q(k + 1) − χ(G k )

{ }

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WORST (S k , V k ) − χ k + qk

k

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min δ, .

WORST(S k , V k ) − χ(G k ) + q(k + 1) k + 1

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4

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2

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|WORST(I)

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Ö×ÙÐØ×ÖÙ×ØÓÔÖÓÙÔÔÖÓÜÑØÓÒÖØÓ×ÓÖØÒÖÐÓÐÓÖÒÔÖÓÐѺ

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(WORST(I) − OPT(I)) − c

WORST(I) − L(I)

WORST(I) − OPT(I) 1 − ǫ


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