Untitled - ieeetsu

ieeetsu.ge

Untitled - ieeetsu

øãâñèâIJîæãæ áæòâîâêùæŽèñîæ

àŽêðëèâIJâIJæ

èâóùæâIJæï çñîïæ


2

èâóùæŽ 1.

áæòâîâêùæŽèñîæ àŽêðëèâIJŽ âûëáâIJŽ åŽêŽòŽîáëIJŽï, îëéâèæù ŽéõŽîâIJï áŽéëçæáâIJñèâIJŽï

áŽéëñçæáâIJâè ùãèŽáâIJï, éŽå òñêóùæâIJïŽ áŽ Žé òñêóùæâIJæï ïýãŽáŽïý㎠îæàæï ûŽîéëâIJñèâIJï

öëîæï. ïýãŽêŽæîŽá áæòâîâêùæŽèñîæ àŽêðëèâIJŽ æïâåæ àŽêðëèâIJŽŽ, ïŽáŽù ñùêëIJæŽ òñêóùæâIJæ,

ŽéŽïåŽê àŽêðëèâIJŽöæ öâáæï ŽîŽ éŽîðë åãæåëê òñêóùæâIJæ, ŽîŽéâá éŽåæ ûŽîéëâIJñèâIJæù.

öâãæïûŽãèæå éýëèëá â.û. øãâñèâIJîæã áæòâîâêùæŽèñî àŽêðëèâIJâIJï. â.æ. æïâå áæòâîâêùæŽèñî

àŽêðëèâIJâIJï, ïŽáŽù ñùêëIJæ òñêóùæâIJæ âîåæ ùãèŽáæï òñêóùæâIJæŽ, àŽêïýãŽãâIJæå â.û. çâîúë

ûŽîéëâIJñèæŽêæ áæòâîâêùæŽèñîæ àŽêðëèâIJâIJæïŽàŽê, ïŽáŽù ïŽúæâIJâèæŽ éîŽãŽèæ ùãèŽáæï òñêóùæâIJæ

éŽå çâîúë ûŽîéëâIJñèâIJï öëîæï éëùâéñè åŽêŽòŽîáëIJæï éæýâáãæå.

ñéŽîðæãâïæ ïŽýæï áæò. àŽêðëèâIJâIJï øãâê ñçãâ öâãýãâáîæãŽîå æêðâàîŽèñîæ Žôîæùýãæï çñîïöæ.

âï Žîæï öâéáâàæ ïŽýæï àŽêðëèâIJŽ:

dx

= a(t), (1.1)

dt

ïŽáŽù t ∈ I ∈ R Ꭰa ∈ C(I). I Žîæï êŽéáãæè îæùýãåŽ îŽôŽù öñŽèâáæ - ôæŽ, øŽçâðæèæ,

ïŽïîñèæ Žê ñïŽïîñèë, ýëèë a ∈ C(I) êæöêŽãï, îëé a òñêóùæŽ ñûõãâðæŽ I öñŽèâáäâ.

øãâêæ ŽéëùŽêŽŽ ãæìëãëå I-äâ ñûõãâðŽá ûŽîéëâIJŽáæ x(t) òñêóùæŽ, îëéâèæù ŽçéŽõëòæèâIJï

(1.1) àŽêðëèâIJŽï.

îëàëîù æêðâàîŽèñîæ Žôîæùýãæï çñîïæáŽêŽŽ ùêëIJæèæ, (1.1) àŽêðëèâIJæï âîåâîåæ Žéëýïꎎ

∫ t

x(t) = a(τ) dτ, ïŽáŽù t 0 ∈ I êâIJæïéæâîæŽ, ýëèë õãâèŽ ïý㎠áŽêŽîøâêæ éæïàŽê àŽêïýãŽãáâIJŽ

t 0

éñáéæãæ öâïŽçîâIJæå. ŽéîæàŽá, (1.1) àŽêðëèâIJæï õãâèŽ ŽéëýïêŽ éëæùâéŽ

x(t) = c +

∫ t

t 0

a(τ) dτ, t ∈ I

òëîéñèæå. âï Žîæï â.û. (1.1) àŽêðëèâIJæï äëàŽáæ ŽéëêŽýïêæ. ŽéëýïêŽåŽ Žé ëþŽýæáŽê îëé

ŽéëãŽîøæëå îëéâèæéâ ŽéëýïêŽ, ïŽçéŽîæïæŽ ûŽêŽïûŽî áŽãŽòæóïæîëå ïŽúæâIJâèæ òñêóùææï éêæöãêâèëIJŽ

îëéâèæéâ ûâîðæèöæ. â.æ. áŽãïãŽå Žïâåæ ŽéëùŽêŽ:

ãæìëãëå (1.1) àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽ, îëéâèæù ŽçéŽõëòæèâIJï

x(t 0 ) = x 0 (1.2)

ïŽûõæï ìæîëIJâIJï. ŽéæïŽåãæï ïŽçéŽîæïæŽ äëàŽá ŽéëýïêŽöæ öâãæðŽêëå t = t 0 . Žéæå ùŽèïŽýŽá

àŽêæïŽäôãîâIJŽ éñáéæãæ c : c = x(t 0 ) = x 0 . ŽéîæàŽá (1.1), (1.2) ŽéëùŽêæï ŽéëêŽýïêæ éëæùâéŽ

x(t) = x 0 +

∫ t

t 0

a(τ) dτ (1.3)

òëîéñèæå. ŽéëùŽêŽ (1.1), (1.2) Žéæï öâéáâà Žïâ ŽôæêæöêâIJŽ: ŽéëùŽêŽ, îëéâèæù éáàëéŽîâëIJï

(1.1) àŽêðëèâIJæï æé x(t) ŽéëêŽýïêæï ìëãêŽöæ, îëéâèæù (1.2) ìæîëIJâIJï ŽçéŽõëòæèâIJï. âï ŽéëùŽêŽ

ùêëIJæèæŽ çëöæï ŽéëùŽêæï ïŽýâèûëáâIJæå. ñýâöŽá îëé ãåóãŽå, çëöæï ŽéëùŽêŽ Žîæï ŽéëùŽêŽ áæò.

àŽêðëèâIJæï ŽéëêŽýïêæï ìëãêæï öâïŽýâIJ éëùâéñè ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ.

àŽêãæýæèëå

dx

= a(t)x + b(t) (1.4)

dt

àŽêðëèâIJŽ, ïŽáŽù t ∈ I, a ∈ C(I), b ∈ C(I). (1.4) àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽ I öñŽèâáöæ âûëáâIJŽ

éŽïäâ àŽêïŽäôãîñè ñûõãâðŽá ûŽîéëâIJŽá x = x(t) òñêóùæŽï, îëéâèæù Žé öñŽèâáæï õëãâè

ûâîðæèöæ ŽçéŽõëòæèâIJï (1.4) àŽêðëèâIJŽï. (1.4) àŽêðëèâIJŽï âûëáâIJŽ ìæîãâèæ îæàæï ûîòæãæ

áæò. àŽêðëèâIJŽ.

ìæîãâèæ îæàæï âûëáâIJŽ æéæðëé, îëé éŽïöæ Žî öâáæï ñùêëIJæ òñêóùææï ìæîãâèäâ éŽôŽèæ

îæàæï ûŽîéëâIJñèæ, ýëèë ûîòæãæŽ æéæðëé, îëé ïŽúæâIJâèæ òñêóùæŽ áŽ éæïæ ûŽîéëâIJñèâIJæ (Žé

öâéåýãâãŽöæ ûŽîéëâIJñèæ) ìæîãâè ýŽîæïýöæŽ.


(1.4) àŽêðëèâIJæïåãæï áŽãïãŽå çëöæï ŽéëùŽêŽ: ãåóãŽå t 0 ∈ I, x 0 ∈ R. ãæìëãëå (1.4)

àŽêðëèâIJæï æïâåæ ŽéëýïêŽ, îëéâèæù ŽçéŽõëòæèâIJï (1.2) ïŽûõæï ìæîëIJŽï.

îëùŽ a(t) ≡ 0, éŽöæê (1.4) àŽêðëèâIJŽ àŽáŽæóùâ㎠(1.1) àŽêðëèâIJŽá. éëãŽýáæêëå öâéáâàæ

àŽîáŽóéêŽ:

∫ t

t a(τ)

x(t) = e

dτ 0 y(t). (1.5)

â.æ. öâéëãæôëå t ùãèŽáæï ŽýŽèæ y(t) òñêóùæŽ, îëéâèæù x(t)-åŽê áŽçŽãöæîâIJñèæŽ (1.5) ðëèë-

IJæå. åñ x(t) Žîæï (1.4)-æï ŽéëêŽýïêæ, éŽöæê (1.5)-ï åñ öâãæðŽêå (1.4)-öæ, éæãæôâIJå

∫ t

t a(τ)

a(t) e

dτ ∫ t

0 t a(τ) dτ dy(t)

y(t) + e 0

dt

∫ t

t a(τ)

= a(t) e

dτ 0 y(t) + b(t).

Žêñ

dy


dt = b(t) t

e− t a(τ) dτ 0 . (1.6)

ŽéîæàŽá, æéæïŽåãæï, îëé x(t) ûŽîéëŽáàâêáâï (1.4)-æï ŽéëýïêŽï, ŽñùæèâIJâèæŽ áŽ îëàëîù Žáãæèæ

öâïŽéøêâãæŽ, ïŽçéŽîæïæùŽŽ, îëé (1.5) ðëèëIJæå àŽêïŽäôãîñèæ y(t) òñêóùæŽ æõëï (1.6)-æï

ŽéëýïêŽ. ãêŽýëå îŽ éëñ㎠ïŽûõæï ìæîëIJâIJï (1.2). åñ (1.5)-öæ t-ï éŽàæãîŽá öâãæðŽêå t 0 -ï éæãæôâIJå

y(t 0 ) = x 0 . (1.2 ′ )

ŽéàãŽîŽá øãâêï éæâî áŽïéñèæ (1.4), (1.2) ŽéëùŽêŽ áŽãæᎠ(1.6), (1.2 ′ ) ŽéëùŽêŽäâ. áŽéŽçŽãöæîâ-

IJâèæ òëîéñ莎 (1.5). (1.6), (1.2 ′ ) ŽéëùŽêŽ çæ æàæãâŽ, îŽù (1.1), (1.2) ŽéëùŽêŽ ᎠŽéæðëé (1.3)

òëîéñèæå éëæùâéŽ éæïæ ŽéëýïêŽ

y(t) = x 0 +

∫ t

b(s) e − ∫ s

t 0

a(τ) dτ ds.

3

éŽöŽïŽáŽéâ (1.4), (1.2) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ éëæùâéŽ

t 0

[


∫ t

t

t a(τ) dτ

x(t) = e 0 x 0 +

]

b(s) e − ∫ s

t a(τ) dτ 0 ds

(1.7)

òëîéñèæå. îŽáàŽê (1.1), (1.2) ŽéëùŽêæï (1.3) ŽéëýïêŽ âîåŽáâîåæŽ, âï ŽéëýïêŽù æóêâIJŽ âîåŽáâîåæ.

(1.7) òëîéñèŽï äëàþâî Žïâåæ ïŽýæå æõâêâIJâê:

ŽéîæàŽá øãâê áŽãŽéðçæùâå öâéáâàæ

t 0


∫ t

t

t a(τ)

x(t) = x 0 e

dτ 0 +

t 0

b(s) e ∫ t

s a(τ) dτ ds. (1.7 ′ )

åâëîâéŽ 1.1. åñ a ∈ C(I) Ꭰb ∈ C(I), éŽöæê (1.4), (1.2) ŽéëùŽêŽï àŽŽøêæŽ éåèæŽêŽá I

öñŽèâáöæ àŽêïŽäôãîñèæ âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ áŽ âï ŽéëýïêŽ ûŽîéëáàâIJŽ (1.7) Žê (1.7 ′ ) òëîéñèæå.

ŽýèŽ àŽêãæýæèëå Žïâåæ éŽàŽèæåæ:

éŽàŽèæåæ. ãåóãŽå a ∈ C((0, 1]), b ∈ C([0, 1]), a(t) ≤ 0 îëùŽ t ∈ (0, 1]. ãŽøãâêëå, îëé Žé

öâéåýãâãŽöæ ŽîïâIJëIJï (1.4) àŽêðëèâIJæï âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ

ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ ᎠŽéëýïêŽ éëæùâéŽ

x(t) =

∫ t

0

x(0) = 0 (1.8)

b(s) e ∫ t

s a(τ) dτ ds (1.9)


4

òëîéñèæå. òëîéŽèñîŽá âï òëîéñèŽ éææôâIJŽ (1.7 ′ ) òëîéñèæáŽê åñ æó øŽãïãŽéå x 0 = 0, t 0 = 0,

éŽàîŽé Žó 1.1 åâëîâéæï ìæîëIJâIJæ Žî ïîñèáâIJŽ. öâæúèâIJŽ éëýáâï, îëé

∫ t

0

a(τ) dτ ïŽïîñèæ Žî

æõëï.

îŽù öââýâIJŽ (1.9) òëîéñèŽï, æàæ õëãâèåãæï àŽêïŽäôãîñèæŽ. éŽîåèŽù, åñ a(t) öâéëïŽäôãîñèæŽ,

ϕ(s) = e ∫ t

s a(τ) dτ b(s) òñêóùæŽ àŽêïŽäôãîñèæŽ êâIJæïéæâîæ s-åãæï [0, 1]-öæ, ýëèë åñ a(t)

öâéëñïŽäôãîâèæŽ îëùŽ s → 0, àãŽóãï

∫ t

s

a(τ) dτ → −∞ îŽáàŽê a(τ) ≤ 0, Ꭰϕ(s) → 0 îëùŽ ϕ(0) = 0.

Žéæðëé 0 ûâîðæèöæ ϕ(s)-ï éêæöãêâèëIJŽ öâæúèâIJŽ éæãæôëå 0-æï ðëèŽá Ꭰx(t) àŽêïŽäôãîñèæŽ

êâIJæïéæâî t ∈ [0, 1]-öæ.

öâãŽéëûéëå, îëé (1.9) Žîæï (1.4), (1.8) ŽéëùŽêæï ŽéëêŽýïêæ. (1.8) ìæîëIJŽ îëé ïîñèáâIJŽ

ùýŽáæŽ. ŽýèŽ ãåóãŽå a(t) öâéëïŽäôãîñèæŽ (0, 1]-äâ, éŽöæê.

∫ t

0

a(t) dt çîâIJŽáæŽ. âîåæ ïæðõãæå

ŽîïâIJëIJï âï æêðâàîŽèæ ïŽçñåîæãæ Žê ŽîŽïŽçñåîæãæ. îëàëîù ùêëIJæèæŽ Žé öâéåýãâãŽöæ õãâèŽ

æï åãæïâIJŽ, îëéâèæù äâéëå éïþâèëIJŽöæ àŽéëãæõâêâå úŽèŽöæ îøâIJŽ. Žïâ îëé åñ Žé éïþâèëIJŽï

àŽãæéâëîâIJå éæãŽèå (1.7 ′ ) òëîéñèŽéáâ. æó çæ åñ öâãæðŽêå t 0 = 0 Ꭰx 0 = 0 éæãæôâIJå

(1.9) òëîéñèŽï. âîåŽáâîåëIJŽù ŽóâáŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï. àŽêãæýæèëå àŽêðëèâIJŽ îëùŽ a(t)

öâéëñïŽäôãîâèæŽ

∫ 1

0

a(t) dt = −∞.

þâî öâãêæöêëå, îëé øãâê ãâúâIJå x(t) òñêóùæŽï, îëéâèæù ñûõãâðæŽ [0, 1]-äâ, ûŽîéëâIJŽáæŽ

(0, 1]-äâ ᎠŽçéŽõëòæèâIJï (1.4)-ï (0, 1]-äâ.

(1.9) òñêóùæŽ Žé ìæîëIJâIJï ŽçéŽõëòæèâIJï. éŽîåèŽù ñûõãâðëIJŽ ùýŽáæŽ. Žãæôëå t 0 ∈ (0, 1] áŽ

x(t) Žïâ àŽáŽãõâîëå


∫ t

t

t a(τ) dτ x(t) =e 0 ·

x ′ ∫ t

t a(τ) dτ

(t) =a(t) e 0

0

b(s) e − ∫ t

t 0

a(τ) dτ ds,

∫ t

0

â.æ.

b(s) e − ∫ t

t a(τ) dτ ∫ t

0 t a(τ)

ds + e

dτ 0 b(t) e − ∫ t

t a(τ) dτ 0 = a(t) x(t) + b(t).

ŽóâáŽê øŽêï, îëé þâî âîåæ x(t) ûŽîéëâIJŽáæŽ (0, 1]-äâ Ꭰéâîâù æàæ ŽçéŽõëòæèâIJï (1.4)-ï (0, 1]-

äâ.

âîåŽáâîåëIJæï áŽïŽéðçæùâIJèŽá æïâã Žãæôëå îŽæéâ t 0 ∈ (0, 1], x 0 ∈ R ᎠáŽãûâîëå (1.4)

àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽ (0, 1]-äâ x(t 0 ) = x 0 ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ

[

x ∗ ∫

∫ t

t

t a(τ) dτ

(t) = e 0 x 0 +

t 0

]

b(s) e − ∫ t

t a(τ) dτ 0 ds . (1.10)

ãåóãŽå x ∗ (t) Žîæï øãâêæ ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ. éŽöæê x ∗ (t) (0, 1]-äâ ñêᎠéëæùâéëáâï (1.10) òëîéñèæå,

îëéâèæôŽù t 0 Ꭰx 0 -åãæï. àŽêãæýæèëå éæïæ äôãŽîæ, îëùŽ t → 0. æàæ ñêᎠæõëï êñèæï

ðëèæ, îŽáàŽê x ∗ (t) ñûõãâðæŽ (0, 1]-äâ Ꭰx ∗ t a(τ)

(0) = 0, e

dτ 0 → e +∞ = +∞.

∫ t

b(s) e − ∫ ∫ 0

t

t ‘ 0 a(τ) dτ ds →

∫ t

b(s) e − ∫ s

t 0

a(τ) dτ = −

∫ t 0

∫ t

t a(τ)

b(s) e

dτ 0 ds = −x(t 0 ).

t 0

t 0

0


â.æ. æéæïŽåãæï, îëé x ∗ (t)-ï ßóëêáâï ïŽïîñèë äôãŽîæ, ŽñùæèâIJâèæŽ, îëé x 0 Ꭰt 0 ŽçéŽõëòæèâIJáâï

x(t 0 ) = x 0 ìæîëIJŽï. éŽàîŽé õãâèŽ Žïâåæ x 0 Ꭰt 0 -æï öâïŽIJŽéæïæ òñêóùæŽ Žîæï øãâêæ x(t)

òñêóùæŽ

x(t) =

∫ t

0

b(s) e ∫ t

s a(τ) dτ ds.

âýèŽ àŽêãæýæèëå çëöæï ŽéëùŽêŽ ûîòæã áæò. àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéæïŽåãæï. Žãæôëå áæò.

àŽêðëèâIJŽåŽ

dx i

n∑

dt = a ik (t)x k + b i (t) (i = 1, . . . , n) (1.11)

k=1

ïæïðâéŽ. âï Žîæï n-àŽêäëéæèâIJæŽêæ ûîòæã êëîéŽèñî àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéŽ. êëîéŽèñîæ âûëáâIJŽ

æéæðëé, îëé àŽêðëèâIJâIJæ ŽéëýïêæèæŽ ûŽîéëâIJñèâIJæï éæéŽîå. (1.11) ïæïðâéæï ŽéëýïêŽ îŽæéâ I

öñŽèâáöæ âûëáâIJŽ Žé öñŽèâáöæ ñûõãâðŽá ûŽîéëâIJŽá x 1 (t), x 2 (t), . . . , x n (t) òñêóùæŽåŽ âîåëIJèæëIJŽï,

îëéèâIJæù Žé öñŽèâáæï õëãâè ûâîðæèöæ ŽçéŽõëòæèâIJï (1.11) ïæïðâéæï åæåëâñè àŽêðëèâIJŽï.

çëöæï ŽéëùŽêŽ (1.11) ïæïðâéæïŽåãæï æïéæï Žïâ. ãåóãŽå a ik ∈ C(I), b i ∈ C(I), t 0 ∈ I,

x i0 ∈ R (i = 1, . . . , n, k = 1, . . . , n).

ïŽúæâIJâèæŽ I-öæ àŽêïŽäôãîñèæ (1.11) ïæïðâéæï ŽéëêŽýïêæ, îëéâèæù ŽçéŽõëòæèâIJï

x i (t 0 ) = x i0 (i = 1, . . . , n) (1.12)

ìæîëIJâIJï.

àŽáŽãæáâå ãâóðëîñè-éŽðîæùñè ŽôêæöãêâIJäâ. öâãåŽêýéáâå öâéáâà ŽôêæöãêâIJäâ:

x = ( ) n

x i Žîæï ïãâðæ ãâóðëîæ x i=1 i çëéìëêâêðâIJæå.

A = ( ) n

a ik Žîæï n × n çãŽáîŽðñèæ éŽðîæùæ.

i,k=1

åñ A Žîæï òñêóùæŽ éŽðîæùæ, éŽöæê

Žïâãâ

∫ b

A ′ (t) = ( a ′ i k

(t) ) n

i,k=1 ,

a

A(t) dt =

∫b

a

( ∫b

x(t) dt =

a

) n

a ik (t) dt .

i,k=1

( ∫b

àŽêãéŽîðëå ãâóðëîæïŽ áŽ éŽðîæùæï êëîéŽ:

n∑

‖x‖ = |x i |, ‖A‖ =

i=1

a

) n

x i (t) dt , x ′ (t) = ( x ′ n

i) . i=1

i=1

n∑

|a ik |.

i,k=1

Žáãæèæ öâïŽéëûéâIJâèæŽ, îëé êëîéŽï Žóãï öâéáâàæ åãæïâIJâIJæ:

‖Ax‖ ≤ ‖A‖ · ‖x‖,

‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖,

ŽýèŽ åñ öâéëãæôâIJå ŽôêæöãêŽï (æý. (1.11))

A(t) = ( a ik (t) ) n

i,k=1 ,

‖AB‖ ≤ ‖A‖ · ‖B‖,

‖A + B‖ ≤ ‖A‖ + ‖B‖.

x(t) =

(

x i (t) ) n

i=1 ,

b(t) = ( b i (t) ) n

i=1 , x 0 = ( x i0

) n

i=1 ,

éŽöæê (1.11) Ꭰ(1.12) Žïâ öâæúèâIJŽ àŽáŽæûâîëï

dx

dt = A(t)x + b(t), (1.11′ )

x(t 0 ) = x 0 . (1.12 ′ )

5


6

èâóùæŽ 2.

àŽêýæèñèæ æõë â.û. n-àŽêäëéæèâIJæŽêæ ûîòæã êëîéŽèñî àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéŽ, îëéèæï äëàŽáæ

ïŽýâ æõë

dx i

n∑

dt = a ik (t)x k + b i (t) (i = 1, . . . , n) (2.1)

ᎠŽé ïæïðâéæïŽåãæï áŽãïãæå çëöæï ŽéëùŽêŽ ïŽûõæïæ ìæîëIJâIJæå:

k=1

x i (t 0 ) = x i0 (i = 1, . . . , n). (2.2)

öâéáâà Žôãêæöêâå, îëé ãâóðëîñè-éŽðîæùñèæ ŽôêæöãêâIJöæ âï ŽéëùŽêŽ â.æ. (2.1), (2.1) ŽéëùŽêŽ

Žïâ öâæúèâIJŽ øŽæûâîëï

dx

dt = A(t)x + b(t), (2.1′ )

x(t 0 ) = x 0 . (2.2 ′ )

öâãåŽêýéáâå Žïâå ŽôêæöãêâIJäâ:

C(I) ŽôêæöêŽãï I-öæ ñûõãâð òñêóùæŽåŽ ïæéðŽãèâï, ýëèë C (k) (I) çæ k-þâî ñûõãâðŽá ûŽîéëâIJŽá

òñêóùæŽåŽ ïæéîŽãèâï I-öæ. C n (I) Žîæï I-öæ ñûõãâðŽá ûŽîéëâIJŽáæ n àŽêäëéæèâIJæŽêæ

ãâóðëî-òñêóùæŽåŽ ïæéîŽãèâ, ýëèë C (k) (I) çæ I-öæ k-þâî ñûõãâðŽá ûŽîéëâIJŽá ãâóðëî-òñêóùæ-

ŽåŽ ïæéîŽãèâ. C n×n (I) æõëï I-öæ ñûõãâðŽá ûŽîéëâIJŽáæ n×n àŽêäëéæèâIJæŽê éŽðîæùåŽ ïæéîŽãèâ.

ŽéîæàŽá (2.1 ′ ) ïæïðâéæï ŽéëýïêŽ I öñŽèâáöæ Žîæï x ∈ C ′ n(I) òñêóùæŽ, îëéâèæù ŽçéŽõëòæèâIJï

(2.1 ′ ) ïæïðâéŽï. åñ æàæ ŽçéŽõëòæèâIJï (2.2 ′ )-ï, éŽï ñûëáâIJâê (2.1 ′ ), (2.2 ′ ) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽï I

öñŽèâáöæ.

øãâêï éåŽãŽî éæäŽêï öâŽáàâêï áŽãŽéðçæùëå öâéáâàæ

åâëîâéŽ 2.1. åñ A ∈ C n×n (I), b ∈ C n (I), éŽöæê õëãâè x 0 ∈ R n Ꭰõëãâè t 0 ∈ I-åãæï (2.1 ′ ),

(2.2 ′ ) ŽéëùŽêŽï àŽŽøêæŽ I öñŽèâáöæ âîåŽáâîåæ ŽéëêŽýïêæ.

îëùŽ n = 1 âï áâIJñèâIJŽ øãâê áŽãŽïŽIJñåâå ìæîãâè èâóùæŽäâ. ñòîë éâðæù, øãâê öâãúâèæå

ùýŽáæ ïŽýæå àŽéëàãâýŽðŽ âï ŽéëýïêŽ àŽêðëèâIJæï çëâòæùæâêðâIJæïŽ áŽ ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ öâéŽãŽèæ

îæùýãâIJæï ïŽöñŽèâIJæå. îëùŽ n ≥ 2, ŽéëùŽêæï éëùâéŽ çãŽáîŽðâIJöæ Žî ýâîýáâIJŽ. øãâê áŽãŽéðçæùâIJå

éýëèëá ŽéëùŽêæï ŽîïâIJëIJŽï ᎠâîåŽáâîåëIJŽï, éŽàîŽé ŽéŽãâ áîëï áŽéðçæùâIJæï ìîëùâïæ

éæàãæåæåâIJï Žé ŽéëùŽêæï éæŽýèëâIJæå ìëãêæï àäŽäâ.

Žé åâëîâéæï áŽéðçæùâIJæïŽåãæï áŽàãüæîáâIJŽ ëîæ èâéŽ.

èâéŽ 2.2. ãåóãŽå I-öæ áŽùñèæŽ

0 ≤ v 0 (t) ≤ c 0 , 0 ≤ v k (t) ≤ c k +


∫ t

t 0

a(τ) v k−1 (τ) dτ

∣ (2.3)

ìæîëIJâIJæ t ∈ I-åãæï (k = 1, 2, . . . ). Žó v k ∈ C(I) (k = 0, 1, . . . ), a ∈ C(I) Ꭰa(t) ≥ 0, t ∈ I.

ŽéŽï àŽîáŽ, t 0 ∈ I Ꭰc k = const ≥ 0 (k = 1, 2, . . . ). éŽöæê Žáàæèæ Žóãï

v k (t) ≤

k∑

i=0

c k−i

i!


∫ t

t 0

a(τ) dτ


ñðëèëIJâIJï. Žó îëé Žáàæèæ Žî ßóëêáâï àŽñàâIJîëIJŽï (æêðâàîŽèæ öâæúèâIJŽ äëàæ t-åãæï êñèæ

æõëï ᎠîëùŽ i = 0 àãâóêâIJŽ 0 0 ), i = 0-æï öâïŽIJŽéæï öâïŽçîâIJï ùŽèçâ àŽéëõëòâê Ꭰûâîâê:

v k (t) ≤ c k +

k∑

i=1

c k−i

i!


∫ t

t 0

a(τ) dτ


i

i

(k = 1, 2, . . . ), t ∈ I. (2.4)


áŽéðçæùâIJŽ. åãæå èâéæï ïðîñóðñîŽ àãæøãâêâIJï, îëé æàæ áŽéðçæùâIJñèæ ñêᎠæõëï æêáñóùææå

k- éæéŽîå.

îëùŽ k = 1 (2.4) ùýŽáæŽ ïîñèáâIJŽ. éŽîåèŽù (2.3) àãŽúèâãï, îëé

v 1 (t) ≤ c 1 +


∫ t

t 0

a(τ) v 0 (τ) dτ

∣ .

éŽàîŽé 0 ≤ v 0 (τ) ≤ c 0 , a(τ) ≥ 0, Žéæðëé v 0 (τ)-ï éŽàæãîŽá öâàãæúèæŽ øŽãûâîëå c 0 ᎠàãâóêâIJŽ

∣ ∫ ∣∣∣

v 1 (t) ≤ c 1 + c 0

t 0

t

a(τ) dτ


îŽù ïûëîâá (2.4)-ï ûŽîéëŽáàâêï, îëùŽ k = 1.

ŽýèŽ ãåóãŽå (2.4) ïŽéŽîåèæŽêæŽ îŽæéâ k-åãæï. éŽöæê ñêᎠãŽøãâêëå, îëé (æêáñóùææï ûâïæ)

éŽàîŽé áŽöãâIJæï åŽêŽýéŽá àãŽóãï

Žéæðëé, îŽáàŽê a(τ) ≥ 0,


∫ t

t 0

v k+1 (t) ≤ c k+1 +

v k (t) ≤ c k +

∣ ∣∣∣

a(τ) v k (τ) dτ

∣ ≤

=

∣ c k

∫ t

t 0

∫t

t 0

a(τ) dτ

∣ +

∣ ∫t

∣∣∣ = c k a(τ) dτ

∣ +

t 0

∑k+1

i=1

k∑

i=1

c k+1−i

i!

c k−i

i!

[

a(τ) c k +

k∑

i=1

k∑

i=1

c k−i

i!

c k−i

i!


∫ τ

t 0

k∑


i=1

∣ ∫ t



t 0

∫ t

t 0

∫ t

t 0

i

a(τ) dτ

∣ .

i

a(s) ds

∣ .

c k−i

i!


∫ τ

a(τ)


a(τ)

t 0

∣ ∫ τ

t 0

[ τ

a(s) ds



t 0

i ]


∣ =

i

a(s) ds

∣ dτ

∣ =

] i a(s) ds dτ∣


ðëèëIJŽï Žáàæèæ Žóãï æéæðëé, îëé æêðâàîŽèæï êæöêæï óãâö éáàëéæ õãâèŽ öâïŽçîâIJï âîåæ áŽ

æàæãâ \áŽáâIJæåæ êæöŽêæ" Žóãå.

Žó éâ-2 æêðâàîŽèöæ öæᎠŽIJïëèñðñîæ éêæöãêâèëIJŽ éëãýïâêæå, îŽáàŽê a(τ) êæöŽêéñáéæãæŽ,

ýëèë τ æùãèâIJŽ t 0 -ïŽ áŽ t-ï öëîæï æïâãâ, îëàëîù s. åñ éŽàŽèæåŽá, t Žîæï t 0 -æï éŽîþãêæã,

τ õëãâèåãæï æóêâIJŽ t 0 -æï éŽîþãêæã. Žéæðëé öæàŽ æêðâàîŽèæ êæöŽêéñáéæãæŽ áŽ ŽIJïëèñðñîæ

éêæöãêâèëIJæï éëýïêŽ öâæúèâIJŽ. Žïâãâ, åñ t Žîæï t 0 -æï éŽîùýêæã. öæàŽ æêðâàîŽèï îëé ßóëêáâï

óãâᎠïŽäôãŽîæ, éŽà. t 1 < t 0 , éŽöæê t 1 , t 0 Ꭰt-ï Žïâåæ àŽêèŽàâIJæïŽï:

τ åŽãæïæ ùãèæèâIJæïŽï öâæúèâIJŽ Žôéëøêáâï îëàëîù t 1 -ï éŽîþãêæã,

æïâ éŽîùýêæã, Žïâ îëé s ŽôéëøêáâIJŽ îëàëîù t 1 -ï éŽîþãêæã æïâ éŽîùýêæã ᎠêæöŽêéñáéæãëIJŽ

áŽæîôãâãŽ. åñ ŽôãêæöêŽãå

F (τ) =

∫ τ

t 0

a(s) ds,

7


8

éŽöæê a(τ) dτ = dF (τ) áŽ

∫ t

t 0

[ ∫τ

a(τ)

â.æ. ïŽIJëèëëá àãŽóãï:

∣ ∫ ∣∣∣

v k+1 (t) ≤ c k+1 + c k

t 0

t

t 0

] i

a(s) ds dτ =

k+1

a(τ) dτ

∣ + ∑

i=2

[F (τ)]i+1

i + 1

c k+1−j

j!


∫ t

t 0

t

∣ = 1

t 0

i + 1

a(τ) dτ


j

( ∫t

t 0

= c k+1 +

) i+1

a(τ) dτ ,

∑k+1

i=1

c k+1−i

i!

âï çæ ïûëîâá Žîæï (2.4), îëùŽ k-ï éŽàæãîŽá Žîæï k + 1. èâéŽ áŽéðçæùâIJñèæŽ.

Žé èâéŽäâ áŽõîáêëIJæå áŽãŽéðçæùëå

èâéŽ 2.3 (àîëêñëè-IJâèéŽêæï èâéŽ). ãåóãŽå

0 ≤ v(t) ≤ c +


∫ t

t 0


∫ t

t 0

i

a(τ) dτ

∣ .

a(τ) v(τ) dτ

∣ , (2.5)

t ∈ I, ïŽáŽù v ∈ C(I), a ∈ C(I), a(t) ≥ 0, t ∈ I, c = const ≥ 0, t 0 ∈ I. éŽöæê Žáàæèæ Žóãï Žïâå

öâòŽïâIJŽï:

∣ ∫ t

t a(τ) dτ∣ v(t) ≤ c e 0 , t ∈ I. (2.6)

áŽéðçæùâIJŽ. ùýŽáæŽ (2.6) áŽéðçæùâIJñèæ æóêâIJŽ éåâè I-öæ åñ éŽï áŽãŽéðçæùâIJå õëãâè

ïŽïîñè áŽýñîñè I ∗ öñŽèâáæïåãæï, îëéâèæù öâáæï I-öæ Ꭰîëéâèæù öâæùŽãï t 0 -ï.

îŽáàŽê v ∈ C(I ∗ ), ŽîïâIJëIJï

c 0 = max { v(t) : t ∈ I ∗} . (2.7)

v k (t) æõëï v(t) õëãâèæ k = 0, 1, . . . -åãæï Ꭰc k æõëï ðëèæ c õëãâèæ k = 1, 2, . . . -åãæï. éŽöæê

îëàëîù Žáãæèæ öâïŽéøêâãæŽ (2.5) Ꭰ(2.7)-æï àŽéë èâéŽ 1-æï (2.3) ìæîëIJâIJæ ïîñèáâIJŽ. Žéæðëé

Žáàæèæ âóêâIJŽ (2.4) ñðëèëIJŽï, îëéâèæù øãâê öâéåýãâãŽöæ éææôâIJï ïŽýâï:

k−1

∑ 1

v(t) ≤ c + c

i! ∣

i=1

∫ t

t 0

a(τ) dτ


i

+ c 0

k!


∫ t

t 0

k

a(τ) dτ

∣ .

åñ àŽãæýïâêâIJå e x òñêóùææï àŽöèŽï ýŽîæïýëãŽê éûçîæãŽá, áŽãæêŽýŽãå, îëé ìæîãâèæ ëîæ öâïŽç-

∫ t


îâIJæ ûŽîéëŽáàâêï Žé éûçîæãæï çâîúë þŽéï, àŽéîŽãèâIJñèï c-äâ, îëùŽ x = ∣ a(τ) dτ∣. îŽáàŽê

t 0

ñçñàáâIJñèæ ûâãîâIJæ áŽáâIJæåæŽ, àãŽóãï

∣ ∫ t

v(t) ≤ c e

t 0

a(τ) dτ

∣ c 0

+ k! ∣

∫ t

t 0

k

a(τ) dτ

∣ .

âï ñðëèëIJŽ ïîñèáâIJŽ êâIJæïéæâîæ t ∈ I ∗ Ꭰk = 1, 2, . . . -åãæï. åñ áŽãŽòæóïæîâIJå t-ï áŽ

äôãŽîäâ àŽáŽãŽèå, îëùŽ k → +∞, éæãæôâIJå ïûëîâá (2.6) ñðëèëIJŽï, îŽáàŽê éâ-2 öâïŽçîâIJæï

äôãŽîæ êñèæŽ.


ŽýèŽ àŽáŽãæáâå åâëîâéæï áŽéðçæùâIJŽäâ.

åñ (2.1 ′ ), (2.2 ′ ) ŽéëùŽêŽï àŽŽøêæŽ x(t) ŽéëêŽýïêæ I-öæ, éŽöæê ùýŽáæŽ áŽŽçéŽõëòæèâIJï ðëèëIJŽï

x(t) = x 0 +

∫ t

t 0

[

A(τ) x(τ) + b(τ)

]

dτ. (2.8)


âï ðëèëIJŽ éææôâIJŽ (2.1 ′ )-àŽê t 0 -áŽê t-éáâ æêðâàîâIJæå Ꭰæéæï àŽåãŽèæïûæêâIJæå, îëé x(t 0 ) = x 0 .

ŽéîæàŽá (2.1 ′ ), (2.2 ′ ) ŽéëùŽêæï õëãâèæ ŽéëýïêŽ ûŽîéëŽáàâêï (2.8) àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽïŽù. âï

ùýŽáæŽ æêð. àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâ鎎. éŽï âûëáâIJŽ ãëèðâîæï ðæìæï æêð. àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâIJŽ.

Žé ïæïðâéæï Žéëýïêæï óãâö øãâê àãâïéæï æïâåæ x ∈ C n (I) òñêóùæŽ, îëéâèæù õãâèàŽê I-öæ ᎎçéŽõëòæèâIJï

Žé àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéŽï.

ãŽøãâêëå, îëé (2.8)-æï õãâèŽ ŽéëýïêŽ ŽéŽãâ áîëï (2.1 ′ ), (2.2 ′ ) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽùŽŽ. éŽîåèŽù,

ãåóãŽå x Žîæï (2.8)-æï ŽéëýïêŽ. â.æ. x ∈ C n (I) Ꭰ(2.8)-öæ éŽîþãêæã éáàëéæ æêðâàîŽèæ Žîæï

ñûõãâðŽá ûŽîéëâIJŽáæ òñêóùæŽ t-ïæ, îŽáàŽê æêðâàîŽèóãâöŽ òñêóùæŽ ñûõãâðæŽ. Žéæðëé (2.8)-æï

àŽéë x àŽéëáæï ñûõãâðŽá ûŽîéëâIJŽáæ, â.æ. x ∈ C ′ n(I).

Žéæï öâéáâà åñ àŽãŽûŽîéëâIJå (2.8)-æï ëîæãâ éýŽîâï, éæãæôâIJå îëé x ŽçéŽõëòæèâIJï (2.1 ′ )-ï,

ýëèë åñ (2.8)-öæ øŽãïãŽéå t-ï êŽùãèŽá t 0 -ï, éæãæôâIJå, îëé çéŽõëòæèáâIJŽ (2.2 ′ )-ù.

ŽéîæàŽá, (2.8) æêð. àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéŽ âçãæãŽèâêðñîæŽ (2.1 ′ ), (2.2 ′ ) ŽéëùŽêæï (ᎠŽîŽ

éýëèëá (2.1 ′ )). Žéæðëé åâëîâéæï áŽïŽéðçæùâIJèŽá ïŽçéŽîæïæŽ ãŽøãâêëå îëé (2.8) ïæïðâéŽï Žóãï

âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ.

èâóùæŽ 3.

îëàëîù ãêŽýâå (2.1 ′ ), (2.2 ′ ) ŽéëùŽêŽ âçãæãŽèâêðñîæŽ (2.8) æêð. àŽêðëèâIJæïŽ, Žéæðëé ïŽçéŽîæïæŽ

ŽîïâIJëIJŽ ᎠâîåŽáâîåëIJŽ ãŽøãâêëå (2.8)-åãæï.

þâî ãŽøãâêëå Žéëýïêæï ŽîïâIJëIJŽ. Žéæïåãæï ãæïŽîàâIJèëå â.û. éæéáâãîëIJæåæ éæŽýèëâIJæï (ìæçâîæï)

éâåëáæå. ŽéæïŽåãæï öâéëãæôëå ãâóðëî-òñêóùæâIJæ:

x 0 (t) = x 0 , x k (t) = x 0 +

∫ t

t 0

[

A(τ) xk−1 (τ) + b(τ) ] dτ, (k = 1, 2, . . . ). (3.1)

ùýŽáæŽ Žé éæéáâãîëIJæï õëãâèæ òñêóùæŽ ñûõãâðæŽ I-äâ. øãâêæ éæäŽêæŽ ãŽøãâêëå, îëé (3.1) éæéáâãîëIJŽ

åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáæŽ õëãâè I ∗ ⊂ I ïâàéâêðäâ (åñ I åãæåëê ûŽîéëŽáàâêï ïŽïîñè ïâàéŽêðï,

âï ùýŽáæŽ ŽôŽî áŽàãüæîáâIJŽ).

(3.1) éæéáâãîëIJæï åŽêŽIJîŽáçîâIJŽáëIJŽ âçãæãŽèâêðñîæŽ

x 0 +

+∞∑

k=1

[

xk (t) − x k−1 (t) ] (3.2)

éûçîæãæï åŽêŽIJîŽáçîâIJŽáëIJæïŽ. Žó àãŽóãï ãâóðëî-òñêóùæŽåŽ éæéáâãîëIJŽ (3.1) ᎠãâóðëîòñêóùæŽåŽ

éûçîæãæ (3.2). ùýŽáæŽ, îëùŽ øãâê ãŽéIJëIJå, îëé (3.2) éûçîæãæ åŽêŽIJîŽáçîâIJŽáæŽ,

øãâê ãàñèæïýéëIJå åŽêŽIJîŽáçîâIJŽáæ ãâóðëîâIJæï çëéìëêâêðâIJæïàŽê öâéáàŽî éûçîæãï. ùýŽáæŽ,

åñ éëãúâIJêâå éŽíëîŽêðñèæ éûçîæãæ +∞ ∑

∥ xk (t) − x k−1 (t) ∥ îæùýãæåæ éûçîæãæïåãæï, æàæ æóêâIJŽ

k=1

éŽíëîŽêðñèæ åæåëâñèæ çëéìëêâêðæïŽåãæï (3.2) éûçîæãæïŽ, îŽáàŽê ãâóðëîæï çëéìëêâêðâIJæï

ŽIJïëèñðñîæ éêæöãêâèëIJŽ Žî ŽôâéŽðâIJŽ éæï êëîéŽï. ïŽâîåëá, ãâóðëîñè éæéáâãîëIJŽöæ áŽ

éûçîæãâIJöæ ŽIJïëèñðñîæ éêæöãêâèëIJæï îëèï ŽïîñèâIJï êëîéŽ.

ïŽêŽé éŽíëîŽêðñè éûçîæãï ãæìëãêæáâå, éëãæõãŽêëå êëîéæï âîåæ åãæïâIJŽ:

åñ g(t) æêðâàîâIJŽáæ ãâóðëî-òñêóù掎, Žáàæèæ Žóãï

∫ b

∣ ∫b

∣∣∣ ∥ g(t) dt

∥ ≤ ‖g(t)‖ dt

∣ (3.3)

ñðëèëIJŽï.

éŽîåèŽù, ãåóãŽå g(t) = ( g i (t) ) n

. éŽöæê

i=1 ∫ b

n∑

∫ ∥ g(t) dt

∥ =

b

n∑

∣ g(t) dt

∣ ≤


a

i=1

a

a

i=1

∫ b

a

a

∣ ∣∣∣

n∑

|g i (t)| dt

∣ =

i=1

∫ b

a

∣ ∫b

∣∣∣

|g i (t)| dt

∣ = ‖g(t)‖ dt


a

9


10

(îŽáàŽê õãâèŽ öâïŽçîâIJæ âîåæ êæöêæ).

(3.1)-æï úŽèæå àãŽóãï

x k (t) − x k−1 (t) =

Žéæðëé (3.3)-æï àŽéë àãâóêâIJŽ

∫ t

∥ xk (t) − x k−1 (t) ∥ ∣ ∫ ∣∣∣


t 0

A(τ) [ x k−1 (τ) − x k−2 (τ) ] dτ (k = 2, 3, . . . ),

t

t 0

∥ ∥A(τ)

∥ ∥ ·


∥xk−1 (τ) − x k−2 (τ) ∥ ∥ dτ

∣ ∣∣∣

. (3.4)

îŽáàŽê I ∗ ïŽïîñèæ ïâàéâêðæŽ, ŽîïâIJëIJï c 0 = max { ‖x 1 (t) − x 0 ‖, t ∈ I ∗} , Ꭰâ.æ. àãŽóãï


∥x 1 (t) − x 0 (t) ∥ ∥ ≤ c 0 . (3.5)

åñ ŽôãêæöêŽãå v k (t) = ∥ ∥ xk+1 (t) − x k (t) ∥ ∥ (k = 0, 1, . . . ) éŽöæê (3.4) Ꭰ(3.5) ñðëèëIJâIJæ

àãæøãâêâIJâê, îëé v k (t) òñêóùæâIJæïŽåãæï I ∗ -öæ öâïîñèâIJñèæŽ ûæêŽ èâóùæŽäâ áŽéðçæùâIJñèæ ìæîãâèæ

èâéæï ìæîëIJâIJæ. îŽáàŽê Žé öâéåýãâãŽöæ c k = 0 (k = 1, 2, . . . ). Žé èâéæï åŽêŽýéŽá àãâóêâIJŽ

∥ xk (t) − x k−1 (t) ∥ ∥ = vk−1 (t) ≤

åñ ŽôãêæöêŽãå r = ∫ I ∗ ‖A(τ)‖ dτ, ùýŽáæŽ

ŽéîæàŽá (3.2) éûçîæãæï éŽíëîŽêðñèæ æóêâIJŽ

c 0

(k − 1)!


∫ t

∥ xk (t) − x k−1 (t) ∥ r k−1

≤ c0

(k − 1)! .

‖x 0 ‖ + c 0

+∞


k=1

t 0

r k−1

(k − 1)! = ‖x 0‖ + c 0 e r

‖A(τ)‖ dτ


éûçîæãæ. Žéæðëé ãŽæâîöðîŽïæï åâëîâéæï àŽéë (3.2) éûçîæãæ ᎠéŽïåŽê âîåŽá (3.1) éæéáâãîëIJŽù

åŽêŽIJîŽáçîâIJŽáæŽ I ∗ -öæ. îŽáàŽê I ∗ êâIJæïéæâîæ æõë, (3.1) éæéáâãîëIJŽ çîâIJŽáæŽ (ïŽäëàŽáëá

åŽêŽIJîŽá) éåâè I-öæ.

Žôãêæöêëå x(t) =

lim x k(t), t ∈ I.

k→+∞

àŽáŽãæáâå äôãŽîäâ (3.1) ðëèëIJŽöæ. ñçãâ áŽéðçæùâIJñèæï åŽêŽýéŽá ( x k (t) ) éæéáâãîëIJŽ

k≥1

åŽêŽIJîŽáçîâIJŽáæŽ [t 0 , t] öñŽèâáöæ, Žéæðëé éŽîþãâêŽ éýŽîæï æêðâàîŽèæï öæàêæå öâæúèâIJŽ äôãŽîäâ

àŽáŽïãèŽ

x(t) = x 0 +

∫ t

k−1

t 0

[

A(τ) x(τ) + b(τ)

]

dτ. (3.6)

ŽéîæàŽá øãâêï éæâî ŽàâIJñèæ x(t) òñêóùæŽ ŽçéŽõëòæèâIJï (2.8) àŽêðëèâIJŽï. Žéæðëé Žéëýïêæï

ŽîïâIJëIJŽ áŽéðçæùáŽ.

âîåŽáâîåëIJæï áŽïŽéðçæùâIJèŽá áŽãñöãŽå, îëé (2.8)-ï Žóãï çæáâã âîåæ ŽéëýïêŽ y(t). éŽöæê

(3.6) ðëèëIJŽïåŽê âîåŽá àãâóêâIJŽ

y(t) = x 0 +

∫ t

t 0

[

A(τ) y(τ) + b(τ)

]

dτ. (3.7)

.


åñ (3.6)-ï àŽéëãŽçèâIJå (3.7)-ï ᎠàŽáŽãŽèå êëîéâIJäâ, àãâóêâIJŽ

∣ ∫t

∥ ∣∣∣

∥ x(t) − y(t) ≤

t 0

∥ ∥A(τ)

∥ ∥ ·

∥ ∥x(τ) − y(τ)

∥ ∥ dτ

∣ ∣∣∣

. (3.8)

(3.8) ñðëèëIJŽ àãæøãâêâIJï, îëé v(t) = ∥ ∥x(t) − y(t) ∥ ∥ òñêóùææïŽåãæï ïîñèáâIJŽ àîëêñëè-

IJâèéŽêæï èâéæï ìæîëIJâIJæ ᎠîŽáàŽê Žó c = 0, èâéæï åŽêŽýéŽá àãâóêâIJŽ

0 ≤ ∥ ∥ x(t) − y(t)

∥ ∥ ≤ 0, t ∈ I, Ꭰâ.æ.

∥ ∥x(t) − y(t)

∥ ∥ ≡ 0, t ∈ I.

îŽáàŽê ãâóðëîæï êëîéŽ êñèæï ðëèæŽ éŽöæê Ꭰéýëèëá éŽöæê, îëùŽ ãâóðëîæ êñèæŽ, ŽóâáŽê

àŽéëéáæêŽîâëIJï, îëé x(t) = y(t). Žéæå åâëîâéŽ áŽéðçæùáŽ.


Žé åâëîâéŽïåŽê áŽçŽãöæîâIJæå àŽêãæýæèëå Žïâåæ

ŽéëùŽêŽ. ãåóãŽå A ∈ C n×n (]a; b[), b ∈ C n (]a; b[) (a Žê b öâæúèâIJŽ ∞-ù çæ æõëï), ŽéŽïåŽê

ŽîïâIJëIJï ïŽçñåîæãæ Žê ŽîŽïŽçñåîæãæ

∫ b

a

∥ A(t)

∥ ∥ dt = K < +∞,

∫b

a

∥ b(t)

∥ ∥ dt = L < +∞

æêðâàîŽèâIJæ. éŽöæê (2.1 ′ ) ïæïðâéæï êâIJæïéæâî ŽéëêŽýïêï àŽŽøêæŽ ïŽïîñèæ äôãîâIJæ

lim x(t) Ꭰlim x(t).

t→+a t→b−

ùýŽáæŽ (2.1 ′ ) ïæïðâéæï êâIJæïéæâîæ x ŽéëýïêŽ ŽçéŽõëòæèâIJï (3.6)-ï îëéâèæôŽù t 0 -åãæï ]a, b[-áŽê

Ꭰx 0 -åãæï R n -áŽê. (3.6)-áŽê àãŽóãï

∣ ∫t

∣ ∥ ∥ ∥ ∣∣∣ ∥ ∥ ∣∣∣

∥ x(t) ≤ ∥x0 + ∥A(τ) x(τ) + b(τ) dτ ≤ ∥ ∣ ∫t

∫t


∥ ∣∣∣ ∥ ∥ ∥ ∥ ∣∣∣ x0 + ∥A(τ) x(τ) dτ + ∥b(τ) dτ =

t 0 t 0 t 0

= ∥ ∣ ∫t

∣ ∫

∥ ∣∣∣ ∥ ∥ ∣∣∣ t


∥ ∥ ∣∣∣ x0 + ∥b(τ) dτ +

∥A(τ)

∣ x(τ) dτ ≤ ∥ ∣ ∫t


∥ ∣∣∣ ∥ ∥ ∥ ∥ ∣∣∣ x0 + L + ∥A(τ) · ∥x(τ) dτ .

t 0 t 0 t 0

Žéæðëé àîëêñëè-IJâèéŽêæï èâéæï úŽèæå

∥ (

∥ x(t) ≤ ‖x0 ‖ + L ) ∣

e

∣ ∫ t

t ‖A(τ)‖ dτ

0

∣ (

≤ ‖x0 ‖ + L ) e k .

ŽéîæàŽá x(t) êëîéæå öâéëïŽäôãîñèæŽ ]a, b[-äâ, ᎠùýŽáæŽ éæïæ çëéìëêâêðâIJæ öâéëïŽäôãîñèæ

æóêâIJŽ ]a, b[-äâ.

åñ îŽôŽù f(t) òñêóùæŽ ŽIJïëèñðñîŽá æêðâàîâIJŽáæŽ ]a, b[-äâ ïŽçñåîæã Žê ŽîŽïŽçñåîæã Žäîæå

ᎠéŽï àŽãŽéîŽãèâIJå öâéëïŽäôãîñè æêðâàîâIJŽá ϕ(t) òñêóùæŽäâ, éæôâIJñèæ f(t) ϕ(t) òñêóùæŽù

ŽIJïëèñðñîŽá æêðâàîâIJŽáæ æóêâIJŽ ]a, b[-äâ.

îŽáàŽê A(t) éŽðîæùæ êëîéæå æêðâàîâIJŽáæŽ éæïæ õëãâèæ çëéìëêâêðæ ŽIJïëèñðñîŽá æêðâàîâ-

IJŽáæŽ, Žéæðëé ùýŽáæŽ A(τ) x(τ) ãâóðëîæï õëãâèæ çëéìëêâêðæ Žêñ åãæå ãâóðëîæ ŽIJïëèñðñîŽá

æêðâàîâIJŽáæŽ ]a, b[-äâ. Žïâãâ b(t) ãâóðëîæù æêðâàîâIJŽáæŽ ]a, b[-äâ, Žéæðëé (3.6) ðëèëIJæï éŽîþãâêŽ

éýŽîâï ïŽïîñèæ äôãŽîæ Žóãï, îëùŽ t → a+ Žê t → b−. â.æ. øãâê x(t) òñêóùæŽïŽù ïŽïîñèæ

äôãŽîæ Žóãï îëùŽ t → a+ Žê t → b−.

ŽýèŽ øãâê àŽêãæýæèëå n-îæ îæàæï ûîòæãæ áæòâîâêùæŽèñîæ àŽêðëèâIJŽ. éæïæ äëàŽáæ ïŽýâ

ŽïâåæŽ:

n∑

u (n) = a k (t) u (k−1) + b(t). (3.9)

k=1

çëâòæùæâêðâIJæ àŽêïŽäôãîñèæ ŽîæŽê îŽôŽù I öñŽèâáöæ. (3.9) àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽ âûëáâIJŽ

u ∈ C n (I) òñêóùæŽï, îëéâèæù éŽï ŽçéŽõëòæèâIJï I öñŽèâáæï õëãâè ûâîðæèäâ.

11


12

çëöæï ŽéëùŽêŽ (3.9) àŽêðëèâIJæïŽåãæï æïéæï öâéáâàêŽæîŽá: ãåóãŽå t 0 ∈ I Ꭰx 10 , . . . , x n0 ∈ R.

ñêᎠãæìëãëå (3.9) àŽêðëèâIJæï æïâåæ ŽéëýïêŽ, îëéâèæù ŽçéŽõëòæèâIJï öâéáâà ïŽûõæï ìæîëIJâIJï:

ŽóŽù Žáàæèæ Žóãï ŽîïâIJëIJæïŽ áŽ âîåŽáâîåëIJæï åâëîâéŽï.

u (i−1) (t 0 ) = x i0 (i = 1, . . . , n). (3.10)

åâëîâéŽ 3.1. åñ a k ∈ C(I) (k = 1, . . . , n) Ꭰb ∈ C(I), éŽöæê îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï t 0 ∈ I

Ꭰx i0 ∈ R (i = 1, . . . , n), (3.9), (3.10) ŽéëùŽêŽï àŽŽøêæŽ âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ.

áŽéðçæùâIJŽ. âï åâëîâéŽ ûŽîéëŽáàâêï 2.1 åâëîâéæï öâáâàï. ãåóãŽå u Žîæï (3.9) àŽêðëèâIJæï

ŽéëýïêŽ. öâéëãæôëå x 1 , . . . , x n òñêóùæâIJæ öâéáâàêŽæîŽá:

éŽöæê ùýŽáæŽ

x 1 = u, x 2 = u ′ , . . . , x n = u (n−1) . (3.11)


dx 1

dt = x 2,

dx 2

⎪⎨ dt = x 3,

. . . . . . . . .

dx n−1

= x n ,

dt

dx n

n∑

⎪⎩ = a k (t) x k + b(t).

dt

ŽéîæàŽá, åñ u Žîæï (3.9) àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽ, (3.11) ðëèëIJæå àŽêïŽäôãîñèæ

( )

x1

ûŽîéëŽáàâêï (3.12) ïæïðâéæï ŽéëýïêŽï Ꭰìæîæóæå, åñ .

x n

ŽéëýïêŽï, éæïæ ìæîãâèæ x 1 çëéìëêâêðæ æóêâIJŽ (3.9) àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽ.

(3.11) àŽîáŽóéêâIJæï öâáâàŽá, (3.10) ïŽûõæïæ ìæîëIJâIJæ Žïâ àŽîáŽæóéêâIJŽ

k=1

(

x1

(3.12)

)

.

x . 2.

ãâóðëîæ

x n

ãâóðëîæ ûŽîéëŽáàâêï (3.12)-æï

x i (t 0 ) = x i0 (i = 1, 2, . . . , n). (3.13)

ŽéîæàŽá, (3.9), (3.10) ŽéëùŽêæï ŽéëïŽýïêâèŽá ïŽçéŽîæïæŽ ŽéëãýïêŽå (3.13), (3.13) ŽéëùŽêŽ. âï

ŽéëùŽêŽ çæ (2.1 ′ ), (2.2 ′ ) ŽéëùŽêæï çâîúë öâéåýãâ㎎. éŽîåèŽù, åñ öâéëãæôâIJå



0 1 0 · · · 0 0

0 0 1 · · · 0 0

A(t) = ⎜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


⎝ 0 0 0 · · · 0 1 ⎠

a 1 (t) a 2 (t) a 3 (t) · · · a n−1 (t) a n (t)

éŽðîæùŽï ᎠŽàîâåãâ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

x 1

0

⎛ ⎞

x 10

⎜x x = ⎝ 2 ⎟

⎠ , b = ⎜ ⎟

. ⎝

0. ⎠ , x ⎜x 0 = ⎝ 20 ⎟


.

x n b(t)

x n0

ãâóðëîâIJï, (3.12), (3.13) ŽéëùŽêŽ Žïâ øŽæûâîâIJŽ:

âï çæ (2.1 ′ ), (2.2 ′ ) ŽéëùŽêŽŽ.

dx

dt = A(t) x + b(t), (3.12′ )

x(t 0 ) = x 0 . (3.13 ′ )


A(t) Ꭰb(t) çëâòæùæâêðâIJæ ùýŽáæŽ ŽçéŽõëòæèâIJâê 2.1 åâëîâéæï ìæîëIJâIJï. Žéæðëé (3.12 ′ ),

(3.13 ′ ) ŽéëùŽêŽï â.æ. (3.9), (3.10) ŽéëùŽêŽïŽù Žóãï âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ, àŽêïŽäôãîñèæ I öñŽèâáöæ.


èâóùæŽ 4.

àŽêæýæèâIJŽ çëöæï ŽéëùŽêæï çëîâóðñèëIJæï ïŽçæåýæ. âï ïŽçæåýæ ûŽîéëæö㎠æéŽïåŽê áŽçŽãöæîâ-

IJæå, îëé áæò. àŽêðëèâIJâIJæ àŽéëæõâêâIJŽ IJñêâIJŽöæ éæéáæêŽîâ òæäæçñîæ ìîëùâïâIJæï ŽôïŽáàâêŽá

ᎠŽéæðëé áæò. àŽêðëèâIJâIJæï çëâòæùæâêðâIJæ, Žàîâåãâ çëöæï ŽéëùŽêæï ïŽûõæïæ ìæîëIJâIJæ ýöæîŽá

éëæúâIJêâIJŽ âóïìâîæéâêðæï ïŽöñŽèâIJæå Ꭰâ.æ. öâæùŽãï àŽîçãâñè ùáëéæèâIJŽï. ïûëîâá Žéæðëé

æïéæï ïŽçæåýæ àŽêðëèâIJâIJæï çëâòæùæâêðâIJæïŽ áŽ ïŽûõæïæ éêæöãêâèëIJâIJæï éùæîâ àŽáŽýîâIJæ àŽéëæûãâãï

åñ ŽîŽ çëöæï ŽéëùŽêæï Žéëýïêæï áæá ùãèæèâIJŽï. Žé ïŽçæåýï ñáæáâïæ éêæöãêâèëIJŽ Žóãï,

îŽáàŽê éŽïä⎠áŽéëçæáâIJñèæ, åñ îŽéáâêŽá àëêæãîñèŽá, çëîâóðñèŽá Žîæï áŽïéñèæ çëöæï

ŽéëùŽêŽ. éŽîåèŽù, âï îëé Žïâ Žî æõëï àŽéëãŽ, îëé æï éùæîâ ùáëéæèâIJŽ, îëéâèæù öâæúèâIJŽ

âóïìâîæéâêðæï áîëï áŽãñöãŽå, àŽéëæûãâãï ŽéëêŽýïêæï áæá ùãèæèâIJŽï ᎠéæãæôâIJå ŽéëýïêŽï,

îëéâèæù ïîñèæŽá Žî Žôûâîï ïŽúæâIJâè òæäæçñî ìîëùâïï.

çëöæï ŽéëùŽêæï çëîâóðñèëIJæï ïŽçæåýæ àŽêæýæèâIJŽ øãâñèâIJîæãæ ûîòæãæ ïæïðâéæïŽåãæï. Žáàæèæ

Žóãï Žïâå

åâëîâéŽ 4.1. ãåóãŽå àãŽóãï çëöæï ŽéëùŽêŽ:

dx

= A(t) x + b(t),

dt

(4.1)

x(t 0 ) = x 0 , (4.2)

ïŽáŽù A ∈ C n×n (I), b ∈ C n (I), t 0 ∈ I, x 0 ∈ R n (I ïŽïîñèæ ïâàéâêðæŽ). éŽöæê êâIJæïéæâîæ

ε > 0-åãæï ŽîïâIJëIJï æïâåæ δ > 0, îëé îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï t ∗ ∈ I, x ∗ ∈ R n , P ∈ C n×n (I),

q ∈ C n (I) åñ áŽùñèæŽ ìæîëIJŽ


∣ ∥ ∥

∣ t ∗ − t 0 + ∥x ∗ − x 0 +

I

[ ∥∥A(τ)

− P(τ)

∥ ∥ +

∥ ∥b(τ) − q(τ)

∥ ∥

]

dτ < δ, (4.3)

13

éŽöæê

∥ x(t) − y(t)

∥ ∥ < ε, t ∈ I, (4.4)

ïŽáŽù x(t) Žîæï (4.1), (4.2) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ, ýëèë y(t) çæ

ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ.

dy

dt = P(t) y + q(t), (4.1∗ )

y(t ∗ ) = x ∗ , (4.2 ∗ )

ñýâöŽá îëé ãåóãŽå, âï åâëîâéŽ àãâñIJêâIJŽ, îëé åñ çëöæï ŽéëùŽêæï ëîæ éëêŽùâéæ ïŽçéŽîæïŽá

ŽýèëŽ âîåéŽêâååŽê, öâïŽIJŽéæïæ ŽéëýïêâIJæù ïŽçéŽîæïŽá éùæîâá àŽêïýãŽãáâIJæŽê âîåéŽêâåæïŽàŽê.

öâãêæöêëå, îëé (4.3) ìæîëIJŽöæ øãâê éëãæåýëãâå òñêóùæâIJæï æêðâàîŽèñîæ ïæŽýèëãâ. öâàãâúèë

éëàãâåýë㎠ïæŽýèëãâ éŽóïæéñéæï éæýâáãæå. â.æ.

max ∥ ∥ A(τ) − P(τ)

∥ ∥ + max

∥ ∥b(τ) − q(τ)

∥ ∥ < δ.

ùýŽáæŽ, åñ òñêóùæâIJæ âîåéŽêâååŽê ŽýèëŽ éŽóïæéñéæï éæýâáãæå, æïæêæ æêðâàîŽèñîŽáŽù Žýèëï

æóêâIJæŽê âîåéŽêâååŽê. éŽàîŽé ìæîæóæå, âï Žïâ Žî Žîæï. ŽéŽï àãæøãâêâIJï

éŽàŽèæåæ. ãåóãŽå x k (t) éëùâéñèæ òñêóùæâIJæŽ [0, 1]-äâ Žïâåæ àîŽòæçæå


14

ýëèë x 0 ⎧(t) ≡ 0,

⎪⎨

1

0 îëùŽ

x k (t) =

k ≤ t ≤ 1,

⎪⎩ 1 − kt îëùŽ 0 ≤ t < 1 k = 1, 2, . . .

k .

éŽöæê ùýŽáæŽ

∫ 1

∣ x0 (t) − x k (t) ∣ 1 dt =

0

2k . â.æ. æêðâàîŽèñîŽá x k(t) îŽàæêá Žýèëï éæ㎠x 0 (t)-åŽê, éŽàîŽé


max ∣x k (t) − x 0 (t) ∣ = 1. ŽéîæàŽá øãâêæ éëåýëãêŽ ñòîë ïñïðæŽ áŽ â.æ. ñòîë äñïðæù.

0≤t≤1

áŽ

âýèŽ áŽãŽéðçæùëå åâëîâéŽ.

áŽéðçæùâIJŽ. îëàëîù èâóùæŽ 2-öæ ãêŽýâå, àãŽóãï

x(t) = x 0 +

y(t) = x ∗ 0 +

∫ t

t 0

∫ t

t ∗

[

A(τ) x(τ) + b(τ)

]

dτ,

[

P(τ) y(τ) + q(τ)

]


x(t) − y(t) = ( x 0 − x ∗) ∫ t∗

∫t

[ ] [ ]

+ A(τ) x(τ) + b(τ) dτ + b(τ) − q(τ) dτ+

t 0 t ∗

∫ t

∫t

[ ]

+ A(τ) − P(τ) x(τ) dτ + P(τ) [ x(τ) − y(τ) ] dτ.

t ∗ t ∗

åñ ŽôãêæöêŽãå c 0 = max { ‖x(t)‖, t ∈ I } , îëéâèæù ŽîïâIJëIJï, îŽáàŽê I øŽçâðæèæŽ, éæãæôâIJå

∣ ∥ ∥

∥ x(t) − y(t) ≤ ∥x0 − x ∗∥ ∫t ∣∣∣ ∗

[

∥ + c0 ‖A(τ)‖ + ‖b(τ)‖ ] ∫


∣ +

+ c 0


I

t 0

∣ ∫

∥ ∣∣∣

∥ A(τ) − P(τ) dτ +

t

I

∥ b(τ) − q(τ)

∥ ∥dτ+

t ∗ ‖P(τ)‖ · ∥∥ x(τ) − y(τ)

∥ ∥ dτ

∣ ∣∣∣

. (4.5)

Žôãêæöêëå c ∗ = max { c 0 ‖A(t)‖ + ‖b(t)‖ : t ∈ I } , îëéâèæù ŽîïâIJëIJï I-æï øŽçâðæèëIJæï áŽ

öâéëïŽäôãîñèëIJæï àŽéë. ùýŽáæŽ (4.3)-æï àŽåãŽèæïûæêâIJæå àãâóêâIJŽ


∫ t∗

t 0

[

c0 ‖A(τ)‖ + ‖b(τ)‖ ] ∣ ∫t ∣∣∣ ∗


∣ ≤ c∗ dτ

∣ = c∗ |t 0 − t ∗ | ≤ c ∗ δ. (4.6)

Žéæðëé (4.5)-áŽê çãèŽã (4.3)-æï àŽéëõâêâIJæå àãŽóãï

∥ x(t) − y(t)

∥ ∥ ≤ (1 + C0 + c ∗ )δ +


∫ t

t 0

t ∗ ∥ ∥P(τ)

∥ ∥ ·

∥ ∥x(τ) − y(τ)

∥ ∥ dτ

∣ ∣∣∣

,

ïŽáŽù C 0 = max{c 0 , 1}.

(4.6)-áŽê àîëêñëè-IJâèéŽêæï èâéæï àŽéëõâêâIJæå (æý. èâéŽ 2.3) àãŽóãï


∥x(t) − y(t) ∥ ∥ ≤ (1 + C 0 + c ∗ )δ e ∫ I ‖P(τ)‖dτ . (4.7)


15

(4.3) ìæîëIJæï àŽéë



‖P(τ)‖ dτ ≤



∥ P(τ) − A(τ) dτ +

‖A(τ)‖ dτ ≤ δ+

I

I


+


‖A(τ)‖ dτ ≤ 1 +

I

‖A(τ)‖ dτ. (4.8)

I

îŽáàŽê åŽãæáŽêãâ öâàãæúèæŽ ãæàñèæïýéëå, îëé δ ≤ 1.

åñ ŽôãêæöêŽãå ˜c = (1 + C 0 + c ∗ )δ e 1+∫ I ‖A(τ)‖dτ , (4.7) éëàãùâéï

∥ x(t) − y(t)

∥ ∥ ≤ ˜c δ. (4.9)

åñ öâãŽîøâãå δ-ï æïâ, îëé δ ≤ 1 Ꭰ˜c δ < ε, (4.9)-áŽê àŽéëáæï (4.4).

ãŽøãâêëå, îëé åâëîâéŽ 4.1 ïŽéŽîåèæŽêæ áŽîøâIJŽ æàæãâ ìæîëIJâIJöæ åñ I-ï ãæàñèæïýéâIJå

êâIJæïéæâî öñŽèâáŽá éýëèëá áŽéŽðâIJæå ãæàñèæïýéâIJå, îëé A Ꭰb òñêóùæâIJæ ŽIJïëèñðñîŽá

æêðâàîâIJŽáæŽ I öñŽèâáöæ. èâóùæŽ 3-öæ àŽêýæèñè ŽéëùŽêŽöæ ãŽøãâêëå, îëé Žé ìæîëIJâIJöæ x(t)

êëîéæå öâéëïŽäôãîñèæŽ. Žïâ îëé ‖x(t)‖ ≤ c 0 , t ∈ I. Žéæðëé (4.5) ñðëèëIJŽ çãèŽã úŽèŽöæ

áŽîøâIJŽ, åñ ïûëîâá Žé c 0 -ï ãæàñèæïýéâIJå. (4.8) ñðëèëIJŽ àãæøãâêâIJï, îëé P(t)-ù ŽIJïëèñðñîŽá

æêðâàîâIJŽáæŽ I-äâ. Žéæðëé æêðâàîâIJŽáæ æóêâIJŽ ‖A(t)−P(t)‖ Ꭰ‖b(t)−q(t)‖-ù. (4.5) ñðëèëIJŽöæ

∥ x0 − x ∗∥ ∫

∥ +

æïâã öâòŽïáâIJŽ (1 + c 0 )δ. Žôãêæöêëå

{∣ ∫t

∣∣∣

w(δ) = max

t 0

I



∥ b(τ) − q(τ) ∥dτ + c0

I

I

∥ A(τ) − P(τ)

∥ ∥ dτ

[

c0 ‖A(τ)‖ + ‖b(τ)‖ ] dτ

∣ : t ∈ [t 0 − δ, t 0 + δ] ∩ I

âï îæùýãæ ŽîïâIJëIJï, îŽáàŽê δ-ï öâéùæîâIJæï ýŽîþäâ õëãâèåãæï öâæúèâIJŽ éæãŽôûæëå æéŽï, îëé

âï åŽêŽçãâåŽ ïâàéâêðæ æõëï. ùýŽáæŽ lim w(δ) = 0, îŽáàŽê æêðâàîŽèæï éêæöãêâèëIJŽ t 0 -äâ êñèæŽ.

δ→0

Žéæðëé îŽáàŽê |t 0 − t ∗ | < δ, àãŽóãï


∫ t∗

t 0

[

c0 ‖A(τ)‖ + ‖b(τ)‖ ] dτ

∣ ≤ w(δ)

Žïâ îëé ïŽIJëèëëá àãâóêâIJŽ

∥ x(t) − y(t)

∥ ∥ ≤

[

(1 + c0 )δ + w(δ) ] e 1+∫ I ‖A(τ)‖dτ .

éŽîþãâêŽ éýŽîâ çæ δ-ï öâîøâãæï ýŽîþäâ îŽàæêá éùæîâ àŽýáâIJŽ. A Ꭰb òñêóùæâIJï ŽIJïëèñðñî

æêðâàîâIJŽáëIJæï ìæîëIJŽï åñ éëãýïêæå åâëîâéŽ ñçãâ Žî æóêâIJŽ ïûëîæ. éëãæõãŽêëå Žéæï ëîæ

éŽàŽèæåæ.

éŽàŽèæåæ. 1) ãåóãŽå I = (0, +∞) ᎠàãŽóãï dx

dt

ìæîëIJæå. (1.7 ′ )-æï úŽèæå Žé ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ Žîæï

∫ t dτ

t

x(t) = x 0 e 0 τ

= x 0 e ln t

t 0 = x 0

t 0

t.

}

.

= 1 t x àŽêðëèâIJŽ x(t 0) = x 0 ïŽûõæïæ

åñ öâãñùãèæå ïŽûõæï ìæîëIJâIJï y(t ∗ ) = x ∗ , éæãæôâIJå y(t) = x∗

t ŽéëýïêŽï. Žïâ, îëé

t∗ |x(t) − y(t)| = ∣ x∗

t − x ∣

0 ∣∣t. îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï x0 , t ∗ 0 , x ∗ , t ∗ , t-ï àŽäîáæï ýŽîþäâ ŽéŽï

t 0


16

êâIJæïéæâîŽá áæáï àŽãýáæå. ŽéîæàŽá éýëèëá ïŽûõæïæ ìæîëIJâIJæï öâùãèŽéŽù çæ àŽéëæûãæŽ ŽéëêŽýïêæï

áæáæ ùãèæèâIJŽ. õëãâèæãâ âï çæ æéæï àŽéë éëýáŽ, îëé 1 Žî Žîæï æêðâàîŽèæ (0, +∞)-äâ.

t

2) ãåóãŽå I ïŽïîñèæŽ. ãåóãŽå I = (0, 1) ᎠàãŽóãï çëöæï ŽéëùŽêŽ

æïâã (1.7 ′ )-æï úŽèæå

Žïâãâ y(t) = x ∗ e 1 t − 1

t ∗ , Žïâ, îëé

dx

dt = − 1 t 2 x, x(t 0) = x 0 .

∫ t

t −

x(t) = x 0 e


0 τ 2 = x 0 e 1 t − 1

t 0 .

|y(t) − x(t)| = ∣ ∣x 0 e − 1

t 0 − x ∗ e − 1

t ∗ ∣ ∣ e 1 t .

t-ï êñèåŽê éæŽýèëâIJæïŽï âï àŽéëïŽýñèâIJŽ îŽàæêá áæáæ öâæúèâIJŽ àŽãýŽáëå.

àŽêãæýæèëå æêðâàîŽèñî àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéŽ

x(t) = f(t) +

∫ t

t 0

K(t, τ) x(τ) dτ. (∗)

éŽï ñûëáâIJâê ãëèðâîŽï ðæìæï ûîòæã æêðâàîŽèñî àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéŽï. (2.8) ïæïðâéŽ éææôâ-

IJŽ, îëàëîù éæïæ çâîúë öâéåýãâãŽ. Žé ïæïðâéæïŽåãæï Žáàæèæ Žóãï ŽîïâIJëIJæïŽ áŽ âîåŽáâîåëIJæï

åâëîâéŽ. ãåóãŽå K ∈ C n×n (I ×I) Ꭰf ∈ C n (I), ïŽáŽù I êâIJæïéæâîæ öñŽèâáæŽ, (∗) ïæïðâéŽï

Žóãï âîåŽáâîåæ ñûõãâðæ ŽéëêŽýïêæ.

æïâãâ îëàëîù åâëîâéŽ 2.1-æï áŽéðçæùâIJæïŽï àŽêãæýæèëå ãâóðëî òñêóùæŽåŽ éæéáâãîëIJŽ

àãâóêâIJŽ

x 0 (t) ≡ f(t), x k (t) = f(t) +

∥ xk (t) − x k−1 (t) ∥ ∣ ∫ ∣∣∣


t

∫ t

t 0

K(t, τ) x k−1 (τ) dτ.

t 0

∥ ∥K(t, τ)

∥ ∥ ·


∥xk−1 (τ) − x k−2 (τ) ∥ ∥ dτ

∣ ∣∣∣

.

àŽêãæýæèëå êâIJæïéæâîæ I ∗ ⊂ I ïâàéâêðæ. îŽáàŽê k ñûõãâðæŽ, ‖k(t, τ)‖ ≤ M, ïŽáŽù t ∈ I ∗ ,

τ ∈ I ∗ â.æ.

∥ xk (t) − x k−1 (t) ∥ ∣ ∫t

∣∣∣

≤ M ∥ xk−1 (τ) − x k−2 (τ) ∥ ∣ ∣∣∣ dτ .

t 0

Žéæðëé èâéŽ 2.2-æï åŽêŽýéŽá àãŽóãï

∥ xk (t) − x k−1 (t) ∥ c 0 ≤

(k − 1)! rk−1 ,

ïŽáŽù r = ∫ I ∗ M dτ. áŽêŽîøâêæ éïþâèëIJŽ æàæãâ æóêâIJŽ, îŽù åâëîâéŽ 2.1-öæ. Žïâãâ áŽéðçæùáâIJŽ

âîåŽáâîåëIJŽù. (*) ïæïðâéæïŽåãæï Žáàæèæ Žóãï åâëîâéŽï çëîâóðñèëIJæï öâïŽýâIJ: åñ K ∈

C n×n (I × I) Ꭰf ∈ C n (I), ïŽáŽù I ïŽïîñèæ ïâàéâêðæŽ, éŽöæê êâIJæïéæâîæ ε > 0-åãæï ŽîïâIJëIJï

δ > 0, îëé îëùŽ |t 0 − t ∗ | < ε áŽ

{ ∫

∥∥f(t) ∗ ∥

max − f (t) +

I

∥ K(t, τ) − K ∗ (t, τ) ∥ ∥ dτ : t ∈ I

}

≤ δ,


17

éŽöæê ∥ ∥ x(t) − y(t)

∥ ∥ < ε îëùŽ t ∈ I, ïŽáŽù y(t) Žîæï

y(t) = f ∗ (t) +

∫ t

t ∗ K ∗ (t, τ) y(τ) dτ, (∗∗)

àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽ. æïâãâ îëàëîù åâëîâéŽ 4.1-öæ, ŽóŽù àãŽóãï c 0 = max { ‖x‖ : t ∈ I } ,

‖K(t, τ)‖ ≤ M, Žïâ îëé


∥x(t) − y(t) ∥ ∥ ≤ ∥ ∥f(t) − f ∗ (t) ∥ ∥ +


∫ t∗

t 0

‖K(t, τ)‖ · ‖x(τ)‖ dτ

∣ +

∫ t


+

∥K(t,

∣ τ) − K ∗ (t, τ) ∥ ∣ ∣∣∣ · ‖x(τ)‖ dτ +

t ∗ ∫ t

+

∣ ‖K ∗ (t, τ)‖ · ∥∥


∥ ∣∣∣

x(τ) − y(τ) dτ ≤

t ∗

∫ t

≤ δ + Mc 0 ‖t 0 − t ∗ | + c 0 δ +

∣ ‖K ∗ (t, τ)‖ · ∥∥


∥ ∣∣∣

x(τ) − y(τ) dτ ,

t ∗

‖K ∗ (t, τ)‖ ≤ ∥ ∥K ∗ (t, τ) − K(t, τ) ∥ + ‖K(t, τ)‖ ≤ δ + M < 1 + M.

îŽáàŽê öâàãæúèæŽ ãæàñèæïýéëå, îëé δ ≤ 1. â.æ. àîëêñëè-IJâèéŽêæï èâéæå ‖x(t) − y(t)‖ ≤

δ(1 + Mc 0 + c 0 )e ∫ I (1 M )dτ âï çæ êâIJæïéæâîŽá éùæîâ àŽýáâIJŽ îëùŽ δ → 0.

äëàŽáæ áâIJñèâIJâIJæ ûîòæã âîåàãŽîëãŽê ïæïðâéâIJæï öâïŽýâIJ

àŽêãæýæèëå ûîòæã âîåàãŽîëãŽê áæò. àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéŽ

dx

= A(t) x. (4.10)

dt

Žé ïæïðâéŽï âûëáâIJŽ âîåàãŽîëãŽê àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéŽ. ïŽýâèûëáâIJŽ \âîåàãŽîëãŽêæ" àŽéëûãâñèæŽ

æéæå, îëé éŽîþãâêŽ éýŽîâ ûŽîéëŽáàâêï x-æï éæéŽîå ûîòæã âîåàãŽîëãŽê òñêóùæŽï. øãâê

õëãâèåãæï ãæàñèæïýéâIJå, îëé A ∈ C n×n (I).

åâëîâéŽ 4.2. (4.10) ïæïðâéæï ŽéëýïêŽåŽ êâIJæïéæâîæ ûîòæãæ çëéIJæêŽùæŽ çãèŽã ûŽîéëŽáàâêï

(4.10) ïæïðâéæï ŽéëýïêŽï.

âï êæöêŽãï, îëé (4.10)-æï ŽéëýïêŽåŽ ïæéîŽãèâ Žîæï ûîòæãæ ïæãîùâ.

àŽêïŽäôãîâIJŽ. ãåóãŽå éëùâéñèæ x i (i = 1, . . . , k) Žîæï n-àŽêäëéæèâIJæŽêæ ãâóðëî òñêóùæâIJæ,

îëéèâIJæù I-ï ŽïŽýâãâê R n -öæ. øãâê ãæðõãæå, îëé âï òñêóùæâIJæ ŽîæŽê ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæ


I-öæ, åñ k c i x i (t) = 0 ðëèëIJŽï êâIJæïéæâîæ t ∈ I-åãæï Žáàæèæ Žóãï éýëèëá éŽöæê, îëùŽ c i = 0

i=1

(i = 1, . . . , k).

ùýŽáæŽ, îëé åñ òñêóùæŽåŽ ïæïðâéŽ ûîòæãŽá áŽéëçæáâIJñèæŽ I-öæ, æàæ ûîòæãŽá áŽéëçæáâIJñèæ

æóêâIJŽ êâIJæïéæâî ñòîë éùæîâ öñŽèâáöæù.

ìæîæóæå çæ Žïâ Žî Žîæï. ŽéŽï éëûéëIJï:

éŽàŽèæåæ.


18

ãåóãŽå x 1 (t) Ꭰx 2 (t) éëùâéñèæŽ àîŽòæçæå ([0, 1]-äâ ëîæãâ êñèæŽ). ùýŽáæŽ [0, 2]-äâ æïæêæ

ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæŽ. éŽàîŽé [0, 1]-äâ ŽîŽ.

äâéëå øãâê ãàñèæïýéëIJáæå, îëé òñêóùæŽåŽ k îŽëáâêëIJŽ ᎠéŽåæ n àŽêäëéæèâIJŽ ïýãŽáŽïýãŽ

îæùýãâIJæŽ. åñ æïæêæ ðëèæŽ, öâæúèâIJŽ öâãŽáàæêëå áâðâîéæêŽêðæ, îëéèæï ïãâðâIJæŽ x 1 , . . . , x n

ãâóðëî-òñêóùæâIJæ. ŽéŽï âûáâIJŽ éëùâéñèæ ïæïðâéæï ãîëêïçæï áâðâîéæêŽêðæ.

åâëîâéŽ 4.3. æéæïŽåãæï, îëé òñêóùæŽåŽ ïæïðâéŽ æõëï ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæ I-öæ,

ïŽçéŽîæïæŽ éæïæ ãîëêïçæï áâðâîéæêŽêðæ I öñŽèâáæï âîå ûŽîðæèäâ éŽæêù æõëï êñèæïŽàŽê àŽêïýãŽãâIJñèæ.

áŽéðçæùâIJŽ. ãåóãŽå âï ýáâIJŽ t 0 ∈ I ûâîðæèäâ. åñ t 0 -ï öâãæðŽêå ãîëêïçæï áâðâîéæêŽêðöæ,

éæãæôâIJå îæùýãæå áâðâîéæêŽêðï, îëéâèæù êñèæ Žî Žîæï. Žéæðëé éæïæ ïãâðâIJæ ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæ

æóêâIJŽ. â.æ. øãâêæ ïæïðâéŽ ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæŽ {t 0 } ïæéîŽãèâäâ. Žéæðëé æàæ

ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæ æóêâIJŽ éæï éëéùãâè I öñŽèâáäâù.


äâéëå áŽïŽýâèâIJñèæ ìæîëIJŽ Žî Žîæï ŽñùæèâIJâèæ. éŽîåèŽù,

∣ x

x2

1 x ∣ ≡ 0 éŽàîŽé éæïæ ïãâðâIJæ

ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæŽ.

èâóùæŽ 5.

ûæêŽ èâóùæŽäâ àŽêýæèñèæ æõë ûîòæã âîôàãŽîëãŽê áæò. àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéŽ

dx

= A(t) x. (5.1)

dt

åâëîâéŽ 4.3-öæ ãŽøãâêâå, îëé ãîëêïçæï áâðâîéæêŽêðæï êñèåŽê æàæãñîŽá ŽîŽðëèëIJŽ ïŽçéŽîæïæŽ,

éŽàîŽé ŽñùæèâIJâèæ Žî Žîæï òñêóùæŽåŽ ûîòæã áŽéëñçæáâIJèëIJæïŽåãæï. éáàëéŽîâëIJŽ æùãèâIJŽ

åñ òñêóùæŽåŽ ïæïðâéŽ öâáàâIJŽ (5.1) ïæïðâéæï ŽéëêŽýïêâIJæïŽàŽê.

åâëîâéŽ 5.1. åñ

x 1 (t), x 2 (t), . . . , x n (t) (5.2)

òñêóùæâIJæ ûŽîéëŽáàâêâê (5.1) àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéæï ŽéëêŽýïêâIJï, éŽöæê éŽåæ ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJèëIJæïŽåãæï

ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé éŽåæ ãîëêïçæï áâðâîéæêŽêðæ I öñŽèâáæï

êâIJæïéæâî ûâîðæèöæ æûëï êñèæïŽàŽê àŽêïýãŽãâIJñèæ

w(t) ≢ 0, t ∈ I. (5.3)

áŽéðçæùâIJŽ. Žé ìæîëIJæï ïŽçéŽîæïëIJŽ àŽéëáæï åâëîâéŽ 4.3-áŽê.

ŽñùæèâIJèëIJŽ. ïŽçéŽîæïæŽ ãŽøãâêëå, îëé åñ ãîëêïçæï áâðâîéëêŽêðæ âîå ûâîðæèöæ éŽæêù

êñèæŽ, (5.2) ïæïðâéŽ ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæŽ. ãåóãŽå W (t 0 ) = 0 îëéâèæôŽù t 0 ∈ I-åãæï.

àŽêãæýæèëå ûîòæã âîåàãŽîëãŽê ŽèàâIJîñè àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéŽ

n∑

c k x k (t 0 ) = o. (5.4)

k=1

éæïæ áâðâîéæêŽêðæ æóêâIJŽ is W (t 0 ) = 0, Žéæðëé (5.4) ïæïðâéŽï Žóãï ŽîŽðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ

c 1 , . . . , c n . àŽêãæýæèëå Žïâåæ òñêóùæŽ

n∑

x(t) = c k x k (t).

k=1

(5.4)-æï åŽêŽýéŽá àãŽóãï

x(t 0 ) = o. (5.5)

éâëîâï éýîæã åâëîâéŽ 4.2-æï úŽèæå x(t) Žîæï (5.1) ïæïðâéæï ŽéëêŽýïêæ Ꭰâ.æ. x(t) Žîæï (5.1.),

(5.5) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ. éâëîâï éýîæã, ŽéŽãâ ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ æàæãñîŽá êñèæŽ I-äâ. Žéæðëé

n∑

âîåŽáâîåëIJæï éâëîâéŽ 2.1-æï úŽèæå àãŽóãï x(t) ≡ 0 I-äâ, â.æ. c k x k (t) = 0 I-äâ ᎠïæïðâéŽ

ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæŽ.

k=1


Žé åâëîâéæáŽê öâàãæúèæŽ àŽãŽçâåëå

áŽïçãêŽ. åñ (5.2) ïæïðâéæï ãîëêïçæï áâðâîéæêŽêðæ âîå ûâîðæèöæ ñáîæï êñèï, éŽöæê æàæ

æàæãñîŽá êñèæ æóêâIJŽ. éŽîåèŽù, îŽáàŽê ãîëêïçæï áâðâîéæêŽêðæ âîå ûâîðæèöæ êñèæŽ, ïæïðâéŽ

ûîòæãŽá áŽéëçæáâIJñèæŽ áŽ ïý㎠îëéâèæéâ ûâîðæèöæ îëé êñèæïŽàŽê àŽêïýãŽãâIJñèæ æõëï ãîëêïçæï

áâðâîéæêŽêðæ åâëîâéŽ 4.3-æï àŽéë ïæïðâéŽ ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæ àŽéëãæáëáŽ. ŽéîæàŽá,

ûîòæãæ âîåàãŽîëãŽêæ áæò. àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéæï ŽéëêŽýïêâIJæïŽàŽê öâáàâêæèæ òñêóùæŽåŽ ïæïðâéæï

ãîëêïçæï áâðâîéæêŽêðæ Žê æàæãñîŽá êñèæŽ I-äâ, Žê I-æï õãâèŽ ûâîðæèöæ êñèæïŽàŽê àŽêïýãŽãâIJñèæŽ.

àŽêéŽîðâIJŽ. (5.1) ïæïðâéæï ŽéëýïêŽåŽ (5.2) ïæïðâéŽï âûëáâIJŽ òñêáŽéâêðñîæ, åñ æàæ ûîòæãŽá

áŽéëñçæáâIJâèæŽ, ýëèë éŽðîæùŽï, îëéèæï ïãâðâIJæ ŽîæŽê òñêáŽéâêðŽèñîæ ïæïðâéæï ŽéëêŽýïêâIJæ

âûëáâIJŽ (5.1) ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ.

åâëîâéŽ 5.2. (5.1) ïæïðâéæï ŽéëêŽýïêåŽ òñêáŽéâêðñîæ ïæïðâéŽ áŽ â.æ. òñêáŽéâêðñîæ

éŽîðæùŽù ŽîïâIJëIJï.

áŽéðçæùâIJŽ. e i -æå Žôãêæöêëå n-àŽêäëéæèâIJæŽêæ

⎛ ⎞

ãâóðëîæ, îëéèæï i-îæ çëéìëêâêðæ 1-æï

0.

0

ðëèæŽ, ýëèë áŽêŽîøâêâIJæ 0-æŽ. e i =

1

i. Žãæôëå êâIJæïéæâîæ t 0 ∈ I ᎠàŽêãæýæèëå çëöæï

⎜ ⎟


0.


0

ŽéëùŽêŽ (5.1),

x(t 0 ) = e i . (5.6)

õëãâèæ òæóïæîâIJñèæ i-åãæï, åâëîâéŽ 2.1-æï úŽèæå Žé ŽéëùŽêŽï Žóãï âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ x i (t).

åñ i àŽæîIJâêï éêæöãêâèëIJâIJï 1-áŽê n-éáâ, éæãæôâIJå (5.1) ïæïðâéæï ŽéëýïêŽåŽ

x 1 , . . . , x n (5.7)

ïæïðâéŽï. Žé ïæïðâéæïåãæï ùýŽáæŽ w(t 0 ) = 1 ≠ 0. Žéæðëé åâëîâéŽ 4.3-æï úŽèæå (5.7) ïæïðâéŽ

ûŽîéëŽáàâêï (5.1) ïæïðâéæï ŽéëêŽýïêåŽ òñêáŽéâêðñî ïæïðâéŽï.


öâãêæöêëå, îëé (5.1) àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùŽ àŽêïŽäôãîñèæŽ éñáéæã

àŽáŽñàãŽîâIJâè éŽðîæùñè éŽéîŽãèŽéáâ ïæäñïðæå. ñòîë äñïðŽá âï êæöêŽãï öâéáâàï:

åâëîâéŽ 5.3. ãåóãŽå X(t) Žîæï (5.1) ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ. éŽöæê Y (t) æóêâIJŽ

(5.1) ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ éŽöæê Ꭰéýëèëá éŽöæê, îëùŽ

ïŽáŽù C éñáéæãæ àŽáŽñàãŽîâIJâèæ éŽðîæùŽŽ.

Y (t) = X(t) C, (5.8)

áŽéðçæùâIJŽ. éŽîåèŽù, åñ Žáàæèæ Žóãï (5.8) ðëèëIJŽï, det[Y (t)] = det[X(t)] × det[C] ≠ 0

Žïâ îëé Y (t) òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùŽŽ, îŽáàŽê îëàëîù Žáãæèæ öâïŽéøêâãæŽ Y (t) éŽðîæùæï

ïãâðâIJæ X(t)-æï ïãâðâIJæï ûîòæãæ çëéIJæêŽù掎.

ìæîæóæå, îŽáàŽê X(t) òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùŽŽ, îëàëîù óãâéëå åâëîâéŽ 5.4-öæ ãêŽýŽãå,

(5.1) ïæïðâéæï õëãâèæ ŽéëýïêŽ Žîæï éæïæ ïãâðâIJæï ûîòæãæ çëéIJæêŽùæŽ. Žéæðëé ŽîïâIJëIJï C

éŽðîæùæ, æïâåæ, îëé Žáàæèæ Žóãï (5.8) ðëèëIJŽï. C-ï àŽáŽñàãŽîâIJèëãIJŽ çæ àŽéëéáæêŽîâëIJï

æóæáŽê, îëé Y (t)-ù òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùŽŽ.


åâëîâéŽ 5.4. åñ (5.2) ûŽîéëŽáàâêï (5.1) ïæïðâéæï ŽéëêŽýïêåŽ òñêáŽéâêðñî ïæïðâéŽï, éŽöæê

(5.1) ïæïðâéæï êâIJæïéæâîæ ŽéëýïêŽ ûŽîéëæáàæêâIJŽ îëàëîù (5.2) ïæïðâéæï ûîòæãæ çëéIJæêŽùæŽ.

çâîúëá, åñ X(t) Žîæï (5.1) ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ, éŽöæê (5.1) ïæïðâéæï êâIJæïéæâîæ

ŽéëýïêŽ x(t) ûŽîéëæáàæêâIJŽ öâéáâàæ ïŽýæå

x(t) = X(t) X −1 (t 0 ) x(t 0 ) (5.9)

(îŽáàŽê X òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæŽ, æàæ öâIJîñêâIJŽáæŽ õëãâè ûâîðæèöæ), ïŽáŽù t 0 Žîæï I

öñŽèâáæï êâIJæïéæâîæ ûâîðæèæ.

19


20

áŽéðçæùâIJŽ. åâëîâéŽ 4.2-æï úŽèæå ùýŽáæŽ, îëé òñêóùæŽ y(t) = X(t) X −1 (t 0 ) x(t 0 ) ûŽîéë-

Žáàâêï (5.1) ïæïðâéæï ŽéëýïêŽï, îŽáàŽê æàæ Žîæï òñêáŽéâêðñîæ ŽéëýïêâIJæï ûîòæãæ çëéIJæêŽùæŽ.

ŽéŽïåŽê,

y(t 0 ) = x(t 0 ). (5.10)

Žéæðëé y(t) Žîæï (5.1), (5.10) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ. ŽéŽãâ ŽéëùŽêæï Žéëýïꎎ x(t). Žéæðëé âîåŽáâîåëIJæï

åâëîâéŽ 2.1-æï åŽêŽýéŽá, àãŽóãï x(t) ≡ y(t) ᎠŽáàæèæ Žóãï (5.9) ðëèëIJŽï. □

àŽêéŽîðâIJŽ. ãåóãŽå X(t) Žîæï (5.1) ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ. éŽöæê

C(t, t 0 ) = X(t) X −1 (t 0 )

éŽðîæùï, îëéâèæù àŽêïŽäôãîñèæŽ I × I ïæéîŽãèâäâ âûëáâIJŽ (5.1) ïæïðâéæï çëöæï éŽðîæùæ.

æïéæï ïŽçæåýæ: áŽéëçæáâIJñèæŽ åñ ŽîŽ ïæïðâéæï çëöæï éŽðîæùæ òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæï

ŽîøâãŽäâ. åñîéâ ŽîŽ. éŽîåèŽù, ãåóãŽå Y (t) Žîæï (5.1) ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ. éŽöæê

åâëîâéŽ 5.3-æï úŽèæå Žáàæèæ Žóãï (5.8) ðëèëIJŽï áŽ

˜C(t, t 0 ) = Y (t) Y −1 (t 0 ) = X(t) C C −1 X −1 (t 0 ) = X(t) X −1 (t 0 ) = C(t, t 0 ).

ŽéîæàŽá (5.1) ïæïðâéŽï Žóãï âîåŽáâîåæ çëöæï éŽðîæùæ.

àŽêéŽîðâIJŽ. ãåóãŽå àãŽóãï A = ( ) k

a ik éŽðîæùæ. éŽöæê Žé éŽðîæùæï çãŽèæ âûëáâIJŽ éæïæ

i,k=1

áæŽàëêŽèñîæ âèâéâêðâIJæï þŽéï ᎠŽôæêæöêâIJŽ

n∑

Tr(A) = (Trace − ðîâæï).

i=1

a ii

åâëîâéŽ 5.5 (èæñãæè-ëïðîëàîŽáïçæï òëîéñèŽ). åñ X(t) Žîæï (5.1) ïæïðâéæï

ŽéëýïêŽåŽ òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ, éŽöæê

∫ t

t

det[X(t)] = det[X(t 0 )] e

Tr(A(τ))dτ 0 . (5.11)

áŽéðçæùâIJŽ. åñ X(t) Žî Žîæï ŽéëýïêŽåŽ òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ, (5.11) ðîæãæŽèñîæŽ,

îŽáàŽê ëîæãâ éýŽîâ êñèæŽ, Žéæðëé ãæàñèæïýéëå îëé X(t) òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæŽ. àãŽóãï

ïŽáŽù

X(t + ∆t) = X(t) + Z(t, ∆t)∆t,

lim Z(t, ∆t) =

∆t→0 X′ (t). (5.12)

âï Žïâ øŽãûâîëå X(t + ∆t) = [ E + ∆t Z(t, ∆t) X −1 (t) ] X(t). Žó ãïŽîàâIJèëIJå æéæå, îëé X

òñêáŽéâêðñîæŽ áŽ â.æ. àŽáŽñàãŽîâIJâèæŽ. åñ ŽôãêæöêŽãå

éæãæâIJå

det[X(t)] = W (t) (5.13)

W (t + ∆t) = W (t) det [ E + ∆t Z(t, ∆t) X −1 (t) ] =

= W (t) [ 1 + ∆t Tr(z(t, ∆t) X −1 (t)) + (∆t) 2 η(t, ∆t) ] ,

ïŽáŽù η(t, ∆t) öâéëïŽäôãîñèæŽ îëùŽ ∆t → 0.Žó øãâê àŽéëãæõâêâå æï òŽóðæ, îëé áâðâîéæêŽêðöæ

∆t-æï ìæîãâè ýŽîæïýï æúèâ㎠éýëèëá áæŽàëêŽèñîæ âèâéâêðâIJæï êŽéîŽãèæ. ŽóâáŽê

W (t + ∆t) − W (t)

= Tr ( z(t, ∆t) X −1 (t) ) W (t) + ∆t η(t, ∆t)W (t).

∆t

Žó åñ àŽáŽãŽèå äôãŽîäâ, îëùŽ ∆t → 0, (5.12)-æï àŽéë àãŽóãï

W ′ (t) = Tr ( X ′ (t) X −1 (t) ) W (t). (5.14)


îŽáàŽê X(t) öâáàâIJŽ (5.1) ïæïðâéæï ŽéëêŽýïêâIJæïŽàŽê, æàæ ŽçéŽõëòæèâIJï éŽðîæùñè áæò. àŽêðëèâIJŽï

X ′ (t) = A(t) X(t) X ′ (t) X −1 (t) = A(t). ŽóâáŽê X ′ (t) X −1 (t) = A(t). Žéæðëé (5.4) Žïâ

àŽáŽãûâîëå

W ′ (t) = Tr(A(t))W (t).

éæãæôâå ìæîãâèæ îæàæï ûîòæãæ àŽêðëèâIJŽ W (t)-ï éæéŽîå, Žéæðëé (1.7 ′ ) òëîéñèæå àãŽóãï

∫ t

t

W (t) = W (t 0 ) e

Tr(A(τ))dτ 0 . (5.15)

åñ àŽãæåãŽèæïûæêâIJå (5.13) ŽôêæöãêâIJï, áŽãæêŽýŽãå, îëé (5.15) æàæãâŽ, îŽù (5.11).

èâóùæŽ 6.

ãåóãŽå X(t) Žîæï éŽðîæùæ, îëéèæï ïãâðâIJæù ûŽîéëŽáàâêâê áæò. àŽêðëèâIJŽåŽ (5.1) âîåàãŽîëãŽêæ

ïæïðâéæï ŽéëêŽýïêâIJï. éŽöæê, îëàëîù ñçãâ öâãêæöêâå X(t) æóêâIJŽ éŽðîæùñè áæò.

àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽ

dX(t)

= A(t) X(t), (6.1)

dt

Ꭰìæîæóæå, åñ X(t) ûŽîéëŽáàâêï (6.1)-æï ŽéëýïêŽï, éæïæ ïãâðâIJæ æóêâIJŽ (5.1) ïæïðâéæï ŽéëêŽýïêâ-

IJæ. éŽîåèŽù, dX(t) = A(t) X(t) ðëèëIJŽï, îëéâèæù øŽûâîæèæŽ éŽðîæùñèŽá, åñ øŽãûâîå éŽðîæùñèŽá

ïãâðâIJæï éæýâáãæå, éæãæôâIJå dx i

dt

dt = A(t) x i(t), Žïâ îëé X(t) éŽðîæùæï ïãâðâIJæ ûŽîéëŽáàâêâê

(5.1)-æï ŽéëýïêâIJï. õëãâèæãâ äâéëåóéñèæï åŽêŽýéŽá, ŽîïâIJëIJæ ᎠâîåŽáâîåëIJæï

åâëîâéæáŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï, îëé îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï éñáéæãæ éŽðîæùæ C Ꭰt 0 ∈ I (6.1)

éŽðîæùñè áæò. àŽêðëèâIJŽï âóêâIJŽ âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ Žïâå ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ

X(t 0 ) = C. (6.2)

éŽîåèŽù, (6.1), (6.2) ŽéëùŽêŽ òŽóðæñîŽá Žîæï n ùŽèæ (2.1 ′ ), (2.2 ′ ) ŽéëùŽêæï ðæìæï ŽéëùŽêâIJæï

âîåëIJèæëIJŽ, ïŽáŽù áæò. àŽêðëèâIJâIJæ âîåæ ᎠæàæãâŽ, ëôëêá ïŽûõæïæ ìæîëIJâIJæ ïýãŽáŽïý㎎.

åæåëâñè ŽéëùŽêŽï Žóãï âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ áŽ âï ŽéëýïêâIJæ, îëàëîù ïãâðâIJæ, öâŽáàâêâê ïûëîâá

(6.1), (6.2) ŽéëùŽêæï ïŽúæâIJâè âîåŽáâîå ŽéëýïêŽï. çâîúëá, (5.1) ïæïðâéæï õëãâèæ òñêáŽéâêðñîæ

éŽðîæùæ ûŽîéëŽáàâêï (6.1), (6.2) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽï, ïŽáŽù C îŽæéâ éñáéæãæ àŽáŽñàãŽîâIJâèæ

éŽðîæùæŽ áŽ ìæîæóæå. åñ C àŽáŽñàãŽîâIJâèæ éŽðîæùæŽ, éŽöæê (6.1), (6.2) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ

æóêâIJŽ (5.1) ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ.

èâóùæŽ 5-öæ øãâê àŽêãéŽîðâå (5.1) ïæïðâéæï çëöæï éŽðîæùæ õëãâèæ òæóïæîâIJñèæ t 0 -åãæï.

çëöæï éŽðîæùæ ûŽîéëŽáàâêï (6.1)-æï ŽéëêŽýïêï Žïâå ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ

X(t 0 ) = E. (6.3)

éŽîåèŽù, Žé öâéåýãâãŽöæ X −1 (t 0 ) éñáéæãæ àŽáŽñàãŽîâIJâèæ éŽðîæùæŽ áŽ îëàëîù åâëîâéŽ

5.3-æï áŽéðçæùâIJæïŽï ãêŽýâå, X(t) X −1 (t 0 )-æù æóêâIJŽ (5.1) ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ

Ꭰâ.æ. (6.1)-æï ŽéëýïêŽ, ýëèë C(t 0 , t 0 ) = X(t 0 ) X −1 (t 0 ) = E. çëöæï éŽðîæùæï âï åãæïâIJŽ

öâæúèâIJŽ éæàãâôë çëöæï éŽðîæùæï àŽêéŽîðâIJŽá. çâîúëá C(t, t 0 ) éŽðîæùï, îëéâèæù õëãâèæ

òæóïæîâIJñè t 0 -åãæï ûŽîéëŽáàâêï (6.1), (6.3) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽï, âûëáâIJŽ çëöæï éŽðîæùæ. ŽóâáŽê

âîåŽáâîåëIJæï åâëîâéæï úŽèæå àŽéëãæáëᎠçëöæï éŽðîæùæï âîåŽáâîåëIJŽ.

ãŽøãâêëå, îëé Žé àŽêéŽîðâIJæáŽê àŽéëáæï úãâèæ àŽêéŽîðâIJŽ. Žãæôëå (5.1) ïæïðâéæï êâIJæïéæâîæ

òñêáŽéâêðñîæ ŽéëýïêŽ X(t). ùýŽáæŽ C(t, t 0 ) = X(t) U(t 0 ) îŽáàŽê C(t, t 0 ) Žîæï (6.1)-æï ŽéëêŽýïêæ.

éâëîâï éýîæã, C(t 0 , t 0 ) = X(t 0 ) U(t 0 ) = E õëãâèæ t 0 ∈ I-åãæï, Žéæðëé U(t 0 ) = X −1 (t 0 )

ᎠC(t, t 0 ) = X(t) X −1 (t 0 ) = E, îæï øãâêâIJŽù àãæêáëáŽ.

îëàëîù ñçãâ Žôãêæöêâå, àãóëêáŽ: åñ X(t) Žîæï (5.1)-æï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ, éŽöæê

det(X(t)) ≠ 0, t ∈ I. (6.4)

áŽãïãŽå ŽéëùŽêŽ öâIJîñêâIJæå. ãåóãŽå X ∈ C ′ n×n(0). îŽ ìæîëIJâIJï ñêᎠŽçéŽõëòæèâIJáâï æàæ

áŽéŽðâIJæå, îëé ûŽîéëŽáàâêáâï îŽæéâ ñûõãâð çëâòæùæâêðâIJæŽêæ âîåàãŽîëãŽêæ áæò. àŽêðëèâIJæï

21


22

òñêáŽéâêðñî éŽðîæùï. ŽéëïŽåãæï ùýŽáæŽ ŽñùæèâIJâèæŽ (6.4) ìæîëIJŽ. ãŽøãâêëå, îëé æàæ ïŽçéŽîæïæùŽŽ.

éŽîåèŽù àŽêãæýæèëå

A(t) = X ′ (t) X −1 (t). (6.5)

ùýŽáæŽ A(t) ∈ C n×n (I). àŽêãæýæèëå (5.1) ïæïðâéŽ, ïŽáŽù A àŽêïŽäôãîñèæŽ (6.5) òëîéñèæå.

(6.5)-áŽê ùýŽáæŽ, îëé X ûŽîéëŽáàâêï (6.1)-æï ŽéëýïêŽï ᎠîŽáàŽê æï ŽîŽàŽáŽàãŽîâIJñèæŽ, æàæ

æóêâIJŽ (5.1)-æï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ.

ŽéîæàŽá øãâê áŽãŽéðçæùâå öâéáâàæ

åâëîâéŽ 6.1. æéæïŽåãæï, îëé X ∈ C n×n (I) éŽðîæùæ ûŽîéëŽáàâêáâï îŽæéâ ñûõãâðçëâòæùæâêðâIJæŽê

ûîòæã âîåàãŽîëãŽê áæò. àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñî éŽðîæùï ŽñùæèâIJâèæ

ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé ïîñèáâIJëáâï (6.4) ìæîëIJŽ. ŽéŽïåŽê ïŽúæâIJâèæ ïæïðâéæï çëâòæùæâêðâIJæ

àŽêæïŽäôãîâIJŽ ùŽèïŽýŽá (6.5) òëîéñèæå.

äëàŽáæ áâIJñèâIJŽêæ n-îæ îæàæï ûîòæã âîåàãŽîëãŽê áæò. àŽêðëèâIJâIJæï öâïŽýâIJ

èâóùæŽ 3-öæ øãâê àŽêãæýæèâå n-îæ îæàæï ûîòæãæ áæò. àŽêðëèâIJâIJæ (æý. (3.9)). âîåàãŽîëãŽê

áæò. àŽêðëèâIJâIJï âóêâIJŽ Žïâåæ ïŽýâ

n∑

u (n) = p k (t) u (k−1) , (6.6)

ïŽáŽù p k ∈ C(I). øãâê Žôãêæöêâå, îëé (6.6) âçãæãŽèâêðñîæŽ öâéáâàæ ïæïðâéæï

ïŽáŽù A(t) Žîæï öâéáâàæ éŽðîæùæ


A(t) =

k=1

dx

dt = A(t) x, (6.6′ )

0 1 0 · · · 0

⎜ 0 0 1 · · · 0

⎜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


⎝ 0 0 0 · · · 1 ⎠ . (6.7)

p 1 (t) p 2 (t) p 3 (t) · · · p n (t)

âçãæãŽèâêðëIJŽ àãâïéæï öâéáâàæ Žäîæå: (6.6’)-æï õëãâèæ Žéëýïêæï ìæîãâèæ


çëéìëêâêðæ


ûŽîéëŽáàâêï

(6.6)-æï ŽéëýïêŽï, ýëèë åñ u Žîæï (6.6)-æï ŽéëýïêŽ, éŽöæê x = ⎜ u ′


u

⎝ . ⎠ æóêâIJŽ (6.6’)-æï

u (n−1)

ŽéëýïêŽ. àŽêãæýæèëå òñêóùæŽåŽ ïæïðâéŽ


u i (i = 1, . . . , n). (6.8)

Žé ïæïðâéæï ãîëêïçæï áâðâîéæêŽêðæ ãñûëáëå áâðâîéëêŽêðï

u 1 (t) · · · u n (t)

W (t) =

u ′ 1(t) · · · u ′ n(t)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

∣u (n−1)

1 (t) · · · u (n−1)

n (t) ∣

îëàëîù


Žáãæèæ


öâïŽéøêâãæŽ u i ïçŽèŽîñèæ òñêóùæŽåŽ ïæïðâéæï áâðâîéæêŽêðæ âï æàæã⎠îŽù

u i

x i = ⎜

u ′ i ⎟

⎝ . ⎠ (i = 1, . . . , n) ãâóðëî òñêóùæŽåŽ ïæïðâéæï ãîëêïçæï áâðâîéæêŽêðæ. ùýŽáæŽ, åñ

u (n−1)

i

x i ïæïðâéŽ ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæŽ, ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæ æóêâIJŽ (6.8) ïæïðâéŽù. ìæîæóæå,

åñ ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæŽ (6.8) ïæïðâéŽ, ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæ æóêâIJŽ x i ïæïðâéŽù. Žéæðëé

(6.8) ïæïðâéæï ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJèëIJæïŽåãæï I-öæ ïŽçéŽîæïæŽ I öñŽèâáæï âîå t 0 ûâîðæèöæ


éŽæêù W (t 0 ) ≠ 0 (åâëîâéŽ 4.3). éŽàîŽé ŽóŽù âï ìæîëIJŽ Žî Žîæï ŽñùæèâIJâèæ. éŽà. Žãæôëå

u 1 (t) = t 2 îëùŽ t ≥ 0 Ꭰu 1 (t) = 0 îëùŽ t < 0, ýëèë u 2 (t) = 0 îëùŽ t ≥ 0 Ꭰu 2 (t) = t 2

îëùŽ t < 0

ùýŽáæŽ

u 1 (t) =

u ′ 1(t) =

{

t 2 , t ≥ 0,

0, t < 0,

{

2t, t ≥ 0,

0, t < 0,

u 2 (t) =

u ′ 2(t) =

{

0, t ≥ 0,

t 2 , t < 0.

{

0, t ≥ 0,

2t, t < 0.

âï òñêóùæâIJæ ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæŽ. éŽàîŽé ãîëêïçæï áâðâîéæêŽêðæ æàæãñîŽá êñèæŽ. (6.6)-

æï ŽéëýïêŽåŽ ïæïðâéŽï

u 1 , u 2 , . . . , u n (6.9)

ãñûëáëå òñêáŽéâêðñîæ, åñ æàæ ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæŽ I-öæ. ùýŽáæŽ, îëé åñ (6.8) Žîæï

(6.6)-æï òñêáŽéâêðñîæ ïæïðâéŽ, éŽöæê

x i =




u i

u ′ i

.

u (n−1)

i




(i = 1, . . . , n) (6.10)

æóêâIJŽ (6.6 ′ ) ïæïðâéæï ŽéëýïêŽåŽ òñêáŽéâêðñîæ ïæïðâéŽ áŽ ìæîæóæå, (6.6’)-æï ŽéëýïêŽåŽ òñêáŽéâêðñîæ

ïæïðâéæï ìæîãâèæ çëéìëêâêðâIJæï âîåëIJèæëIJŽ óéêæï (6.6)-æï ŽéëýïêŽåŽ òñêáŽéâêðñî

ïæïðâéŽï. Žéæðëé âîåàãŽîëãŽê ûîòæã áæò. àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéâIJæïŽåãæï áŽéðçæùâIJñèæ åâëîâéâIJæáŽê

ñöñŽèëá àŽéëáæï öâéáâàæ åâëîâéâIJæ:

åâëîâéŽ 6.2. (6.6) áæò. àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽåŽ òñêáŽéâêðñîæ ïæïðâéŽ ŽîïâIJëIJï (æý. åâëîâéŽ

5.2).

åâëîâéŽ 6.3. æéæïŽåãæï, îëé (6.6) àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽåŽ âîåëIJèæëIJŽ ûŽîéëŽáàâêáâï

òñêáŽéâêðñîæ ïæïðâéŽï, ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé éæïæ ãîëêïçæï áâðâîéæêŽêðæ I öñŽèâáæï

åñêáŽù âîå ûâîðæèöæ àŽêïýãŽãáâIJëáâï êñèæïŽàŽê (æý. åâëîâéŽ 5.1).

åâëîâéŽ 6.4. (6.6) àŽêðëèâIJæï õãâèŽ ŽéëêŽýïêåŽ ïæéîŽãèâ ûŽîéëŽáàâêï ûîòæã ïæãîùâï,

îëéèæï IJŽäæïæŽ ŽéëýïêŽåŽ òñêáŽéâêðñîæ ïæïðâéŽ.

âï Žîæï ïý㎠ïæðõãâIJæå àŽéëåóéñèæ æï òŽóðæ, îëé òñêáŽéâêðñîæ ŽéëýïêŽåŽ ûîòæãæ çëéIJæêŽùæŽ

çãèŽã Žéëýïꎎ Ꭰõëãâèæ ŽéëýïêŽ ûŽîéëæáàæêâIJŽ òñêáŽéâêðñîæ ïæïðâéæï ŽéëýïêŽåŽ ûîòæãæ

çëéIJæêŽùææï ïŽýæå (æý. åâëîâéŽ 4.2 Ꭰ5.4).

åâëîâéŽ 6.5. åñ u 1 , u 2 , . . . , u n ûŽîéëŽáàâêï (6.6) àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêâIJï, ýëèë W (t) Žîæï

éŽåæ ãîëêïçæï áâðâîéæêŽêðæ, éŽöæê ïŽéŽîåèæŽêæŽ öâéáâàæ òëîéñèŽ

∫ t

t p

W (t) = W (t 0 ) e 0 n(τ) dτ . (6.11)

âï òëîéñèŽ ìæîáŽìæî àŽéëáæï (5.15) òëîéñèæáŽê, îŽáàŽê Žé öâéåýãâãŽöæ Tr(A(t)) = p n (t).

åâëîâéŽ 6.6. æéæïŽåãæï, îëé I öñŽèâáöæ n-þâî ñûõãâðŽá áæòâîâêùæîâIJŽá òñêóùæŽåŽ

âîåëIJèæëIJŽ ûŽîéëŽáàâêáâï îŽæéâ ñûõãâð çëâòæùæâêðâIJæŽêæ n-îæ îæàæï ûîòæã âîåàãŽîëãŽê

áæò. àŽêðëèâIJŽåŽ ŽéëýïêŽåŽ âîåëIJèæëIJŽï, ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé éæïæ ãîëêïçæï

áâðâîéæêŽêðæ I öñŽèâáöæ àŽêïýãŽãâIJñèæ æõëï êñèæïŽàŽê (æý. åâëîâéŽ 6.1).

öâéëãæôëå çëöæï òñêóùæŽåŽ ùêâIJŽ.

C òñêóùæŽï, îëéâèæù I × I ïæéîŽãèâï àŽáŽïŽýŽãï R-öæ âûëáâIJŽ (6.6) àŽêðëèâIJæï çëöæï

òñêóùæŽ, åñ õëãâèæ òæóïæîâIJñèæ t 0 -åãæï I-áŽê C(t, t 0 ) Žîæï (6.6) àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽ ïŽûõæï

ìæîëIJâIJöæ

u(t 0 ) = 0

23


24

u ′ (t 0 ) = 0

· · · · · · · ·

u (n−1) (t 0 ) = 1.

àŽêãæýæèëå Žïâåæ éâëîâ îæàæï ûîòæãæ âîåàãŽîëãŽêæ áæò. àŽêðëèâIJŽ

u ′′ = p 1 (t) u + p 2 (t) u ′ . (6.12)

ãåóãŽå øãâê ãæìëãâå Žé àŽêðëèâIJæï âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ u 1 (t), îëéâèæù ŽîïŽá îŽôŽù I 0 ⊂ I

öñŽèâáöæ Žî ýáâIJŽ êñèæ. éŽöæê I 0 öñŽèâáöæ öâàãæúèæŽ ŽãŽàëå (6.12) àŽêðëèâIJæï u 2 (t) ŽéëýïêŽ,

îëéâèæù ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæŽ u 1 (t)-åŽê Ꭰâ.æ. öâàãæúèæŽ ùýŽáæ ïŽýæå ŽãŽàëå (6.12)-æï

êâIJæïéæâîæ ŽéëýïêŽ. Žïâåæ u 2 (t) ŽîïâIJëIJï. Žôãêæöêëå W (t) =

u 1 (t) u 2 (t)

∣u ′ 1(t) u ′ ∣ . (6.11)-æï úŽèæå

2(t)

àãŽóãï

àãŽóãï

∫ t

t p

W (t) = W (t 0 ) e

2 (τ) dτ 0 , t 0 ∈ I.

u ′ 2(t) u 1 (t) − u ′ 2(t) u 2 (t)

u 2 1(t)

= W (t 0)

u 2 1(t) e ∫ t

t 0

p 2 (τ) dτ

Žêñ,

d

( u2 (t)

)

= W (t ∫

0)

dt u 1 (t) u 2 1(t) e t

t p 2 (τ) dτ

0

ãŽæêðâàîëå ëîæãâ éýŽîâ t 0 -áŽê t-éáâ ᎠàŽãŽéîŽãèëå u 1 (t)-äâ. éæãæôâIJå

u 2 (t) = u ∫

2(t 0 )

t


u 1 (t 0 ) u 1

1(t) + W (t 0 ) u 1 (t)

u 2 1(τ) e τ

t p 2 (s) ds 0 dτ.

t 0

åñ ãæàñèæïýéâIJå, îëé u 2 (t 0 ) = 0 Ꭰu ′ 1

2(t 0 ) =

u 1 (t 0 ) (Žïâåæ u 2 ŽîïâIJëIJï ŽîïâIJëIJæïŽ áŽ

âîåŽáâîåëIJæï åâëîâéæï úŽèæå), éæãæôâIJå, îëé W (t 0 ) = 1, â.æ.

∫ t


1

u 2 (t) = u 1 (t)

u 2 1(τ) e τ

t p 2 (s) ds 0 dτ.

t 0

Žáãæèæ öâïŽéøêâãæŽ, îëé u 1 (t) Ꭰu 2 (t) ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJèâIJæŽ I 0 -äâ, éŽîåèŽù, îëé æõëï

∫ t ∫

1

c 1 u 1 (t) + c 2 u 1 (t)

u 2 1(t) e t

t p 2 (s) ds 0 dτ ≡ 0,

t 0

ïŽáŽù c 1 Ꭰc 2 âîåáîëñèŽá êñèæ Žî Žîæï, ùýŽáæŽ ñêᎠæõëï c 2 ≠ 0 îŽáàŽê u 1 (t) ≢ 0 I 0 -äâ,

â.æ.


1

u 2 1(t) e t

t p 2 (s) ds 0 dτ ≡ − c 1

.

c 2

t 0

âï çæ öâñúèâIJâèæŽ. ŽéîæàŽá àãŽóãï Žïâåæ

∫ t

åâëîâéŽ 6.7. åñ u 1 (t) Žîæï (6.12) àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽ, îëéâèæù àŽêïýãŽãâIJñèæŽ êñèæïàŽê

I 0 -æï êâIJæïéæâî ûâîðæèöæ, éŽöæê Žé àŽêðëèâIJæï êâIJæïéæâîæ ŽéëýïêŽ Žôêæöêñè öñŽèâáöæ éëæùâéŽ

öâéáâàæ òëîéñèæå

∫ t ∫

1

u(t) = c 1 u 1 (t) + c 2 u 1 (t)

u 2 1(t) e t

t p 2 (s) ds 0 dτ. (6.13)

t 0


èâóùæŽ 7.

ŽîŽâîåàãŽîëãŽê ïæïðâéâIJæï ŽéëýïêŽ éñáéæãåŽ ãŽîæŽùææï éâåëáæå. çëöæï ŽéëùŽêŽ

àŽêãæýæèëå áæò. àŽêðëèâIJŽåŽ ûîòæãæ ŽîŽâîåàãŽîëãŽêæ ïæïðâéŽ

ᎠáŽãïãŽå çëöæï ŽéëùŽêŽ

dx

dt

= A(t) x + b(t) (7.1)

x(t 0 ) = x 0 . (7.2)

îëàëîù õëãâèåãæï øãâê ãàñèæïýéëIJå, îëé A ∈ C n×n (I), b ∈ C n (I), t 0 ∈ I, x 0 ∈ R n ŽîïâIJëIJæïŽ

ᎠâîåŽáâîåëIJæï åâëîâéŽ 2.1-æï úŽèæå, (7.1), (7.2) ŽéëùŽêŽï õëãâèåãæï àŽŽøêæŽ âîåŽáâîåæ

ŽéëýïêŽ. øãâêæ éæäŽêæŽ ãæìëãëå æàæ. îëùŽ n = 1, àãŽóãï ìæîãâèæ îæàæï ûîòæãæ áæò. àŽêðëèâIJŽ.

A(t) Ꭰb(t) Žé áîëï øãâñèâIJîæãæ òñêóùæâIJæŽ. îëàëîù (1.7 ′ ) òëîéñèŽ àãæøãâêâIJï (7.1), (7.2)

ŽéëùŽêŽï Žóãï öâéáâàæ ŽéëýïêŽ


∫ t

t

t A(τ)

x(t) = x 0 e

dτ 0 +

t 0

25

b(τ) e ∫ t

τ A(s) ds dτ. (7.3)

∫ t

t A(τ)

áŽãñçãæîáâå e

dτ 0 àŽéëïŽýñèâIJŽï. îëàëîù Žáãæèæ öâïŽéøêâãæŽ êâIJæïéæâîæ òæóïæîâIJñèæ t 0 -

åãæï æàæ ûŽîéëŽáàâêï (7.1)-æï öâïŽIJŽéæï âîåàãŽîëãŽê àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéæï (øãâêï öâéåýãâãŽöæ

àŽêðëèâIJæï)

dy

dt = A(t) y. (7.1 0)

ŽéëýïêŽï ïŽûõæïæ ìæîëIJæå y(t 0 ) = 1. Žéæðëé, îëàëîù èâóùæŽ 6-öæ ãêŽýâå, ŽóâáŽê àŽéëáæï,

∫ t

t A(τ)

îëé e

dτ 0 Žîæï (7.1 0 ) ïæïðâéæï (øãâêï öâéåýãâãŽöæ àŽêðëèâIJæï) çëöæï éŽðîæùæ (øãâêï n = 1

öâéåýãâãŽöæ òñêóùæŽ) C(t, t 0 ) Žïâ îëé (7.3) öâæúèâIJŽ Žïâ àŽáŽãûâîëå

x(t) = C(t, t 0 ) x 0 +

∫ t

t 0

C(t, τ) b(τ) dτ. (7.4)

àŽêïýãŽãâIJæå (7.3) òëîéñèæïŽàŽê (7.4) òëîéñèŽï Žäîæ Žóãï æé öâéåýãâãŽöæù, îëùŽ n > 1.

Žéæðëé IJñêâIJîæãŽá æïéæï çæåý㎠ïŽéŽîåèæŽêæŽ åñ ŽîŽ (7.4) òëîéñèŽ êâIJæïéæâîæ n-æï öâéåýãâãŽöæ,

ïŽáŽù C(t, t 0 ) Žîæï (7.1 0 ) ïæïðâéæï çëöæï éŽðîæùæ. åñ âï ãŽøãâêâå, éŽöæê ùýŽáæŽ, îëé

(7.1), (7.2) ŽéëùŽêæï ŽéëïŽýïêâèŽá ïŽçéŽîæïæ õëòæèŽ ãæìëãëå (7.1 0 ) ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ

ŽéëêŽýïêâIJæ Ꭰöâéáâà ìŽïñýæ éëæùâéŽ âîåæ çãŽáîŽðñîæå. éåâèæ ïæúêâèâ éëáæï öâïŽIJŽéæïæ

âîåàãŽîëãŽê àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñî ïæïðâéæï ŽàâIJŽäâ. (7.4) òëîéñèæï áŽéðçæùâIJæï

àäŽ ìæîãâèŽá áŽïŽýñè æóêŽ òîŽêàæ éâùêæâîæï èŽàîŽêíæï éæâî.

ãåóãŽå Y (t) Žîæï (7.1 0 )-æï êâIJæïéæâîæ òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ. éŽöæê åâëîâéŽ 5.4-æï úŽèæå

(7.1 0 ) ïæïðâéæï êâIJæïéæâîæ ŽéëýïêŽ ûŽîéëáàâIJŽ Žïâåæ ïŽýæå: y(t) = Y (t) c, ïŽáŽù c îëéâèæôŽù

éñáéæãæ ãâóðëîæŽ. èŽàîŽêíæï æá⎠æéŽöæ éáàëéŽîâëIJáŽ, îëé éŽê c éñáéæãæï êŽùãèŽá Žæôë

ùãèŽáæ ãâóðëîæ ᎠŽéëýïêæï úâIJêŽ áŽæûõë öâéáâàæ ïŽýæå:

x(t) = Y (t) z(t). (7.5)

òŽóðæñîŽá éëãŽýáæêâå ùãèŽáåŽ àŽîáŽóéêŽ æïâ, îëé éñáéæãæï Žáàæèæ áŽæüæîŽ òñêóùæŽé. Žéæðëé

Žé éâåëáï éñáéæãåŽ ãŽîæŽùææï éâåëáæ âûëáâIJŽ.

ãâúâIJëå z æïâ, îëé (7.5)-æå àŽêïŽäôãîñèéŽ x òñêóùæŽé ᎎçéŽõëòæèëï (7.1). àãŽóãï

öâãæðŽêëå âï (7.1)-öæ

x ′ (t) = Y ′ (t) z(t) + Y (t) z ′ (t).

Y ′ (t) z(t) + Y (t) z ′ (t) = A(t) Y (t) z(t) + b(t).


26

àŽãæýïâêëå, îëé Y ′ (t) = A(t) Y (t), ᎠöâãæðŽêëå âï ûæêŽ ðëèëIJŽöæ. éæãæôâIJå

Y (t) z ′ (t) = b(t) Žêñ z ′ (t) = Y −1 (t) b(t). (7.6)

ŽéàãŽîŽá (7.5) àŽîáŽóéêæå (7.1) ïæïðâéŽ éææõãŽêâIJŽ (7.6) ïŽýâäâ. ãêŽýëå, îëàëî àŽîáŽæóéêâIJŽ

ïŽûõæïæ ìæîëIJâIJæ (7.2) åñ (7.5)-öæ öâãæðŽêå t-ï êŽùãèŽá t 0 -ï ᎠàŽãæåãŽèæïûæêâIJå (7.2)-ï,

éæãæôâIJå

z(t 0 ) = Y −1 (t 0 ) x 0 . (7.7)

ŽéîæàŽá, åñ x(t) Žîæï (7.1), (7.2) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ, éŽöæê (7.5) ðëèëIJæå àŽêïŽäôãîñèæ z(t)

æóêâIJŽ (7.6), (7.7) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ, Ꭰìæîæóæå. (7.6), (7.7) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ çæ éëæùâéŽ Žïâ

z(t) = Y −1 (t 0 ) x 0 +

∫ t

t 0

Y −1 (τ) b(τ) dτ.

åñ ŽéŽï öâãæðŽêå (7.5)-öæ, éæãæôâIJå (7.1), (7.2)-æï ŽéëýïêŽï

z(t) = Y (t) Y −1 (t 0 )x 0 +

∫ t

t 0

Y (t) Y −1 (τ) b(τ) dτ

Ꭰåñ àŽãæåãŽèæïûæêâIJå, îëé Y (t) Y −1 (t 0 ) = C(t, τ), éæãæôâIJå ïûëîâá (7.4)-ï.

øãâê áŽãŽéðçæùâå öâéáâàæ åâëîâéŽ 7.1.

åâëîâéŽ 7.1. (7.1), (7.2) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ ûŽîéëáàâIJŽ (7.4) òëîéñèæå, ïŽáŽù C Žîæï

(7.1 0 ) ïæïðâéæï çëöæï éŽðîæùæ.

áŽéðçæùâIJŽ. îëàëîù (7.4)-áŽê øŽêï, ŽîŽâîåàãŽîëãŽêæ ïæïðâéæï êâIJæïéæâîæ ŽéëýïêŽ ûŽîéëáàâIJŽ,

îëàëîù éæïæãâ îŽæéâ çëêçîâðñèæ ŽéëýïêæïŽ áŽ öâïŽIJŽéæïæ âîåàãŽîëãŽêæ ïæïðâéæï

äëàŽáæ Žéëýïêæï þŽéæ.

éŽîåèŽù, ùýŽáæŽ (7.1) ïæïðâéæï õëãâèæ ŽéëýïêŽ éææôâIJŽ åñ t 0 -ï áŽãŽòæóïæîâIJå, ýëèë x 0 -ï

ãùãèæå. éâëîâ öâïŽçîâIJæ, îëéâèæù éææôâIJŽ åñ x 0 = 0 ûŽîéëŽáàâêï ïûëîâá (7.1) ïæïðâéæï

òæóïæîâIJñè ŽéëýïêŽï, ýëèë ìæîãâèæ öâïŽçîâIJæ, îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï x 0 (t), ûŽîéëŽáàâêï

(7.1 0 ) ïæïðâéæï äëàŽá ŽéëýïêŽï. îŽáàŽê C(t, t 0 ) éŽðîæùæ òæóïæîâIJñèæ t 0 -åãæï (7.1 0 )-æï òñêáŽéâêðñîæ

éŽðîæùæŽ. ŽéîæàŽá, åñ ùêëIJæèæŽ (7.1)-æï îŽæéâ ŽéëýïêŽ x 0 (t), éŽöæê éæïæ êâIJæïéæâîæ

ŽéëýïêŽ æóêâIJŽ x(t) = Y (t) c + x 0 (t), ïŽáŽù Y (t) Žîæï (7.1 0 )-ï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ, ýëèë c

æïâ ñêᎠöâãŽîøæëå, îëé x(t 0 ) = x 0 . âï òŽóðæ öâæúèâIJŽ ñöñŽèëáŽù öâàãâéøêæŽ.


áŽéðçæùâIJñèæ åâëîâéŽ àŽéëãæõâêëå n-ñîæ îæàæï áæò. àŽêðëèâIJæïåãæï. àŽêãæýæèëå n-ñîæ

îæàæï ûîòæãæ áæò. àŽêðëèâIJŽ

öâïŽIJŽéæï çëöæï ìæîëIJâIJöæ

n∑

u (n) = p k (t) u (k−1) + q(t) (7.8)

k=1

u (i−1) (t 0 ) = x 0i (i = 1, . . . , n). (7.9)

Žó p k ∈ C(I), t 0 ∈ J), x 0i ∈ R.

ìŽîŽèâèñîŽá éëàãæýáâIJŽ (7.8)-æï öâïŽIJŽéæïæ âîåàãŽîëãŽêæ àŽêðëèâIJæï àŽêýæèãŽ:

v (n) =

n∑

p k (t) v (k−1) . (7.8 0 )

k=1


îëàëîù Žôêæöêñèæ àãóëêᎠ(èâóùæŽ 3 Ꭰ6), (7.8), (7.9) âçãæãŽèâêðñîæŽ (7.1), (7.2)-æï,

ïŽáŽù



0 1 0 · · · 0

0 0 1 · · · 0

A(t) = ⎜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


⎝ 0 0 0 · · · 1 ⎠ ,

p 1 (t) p 2 (t) p 3 (t) . . . p n (t)

⎛ ⎞

0

b(t) = ⎜ ⎟


0. ⎠ , x 0 =

q(t)

( )

x01

.

x 0n

27

(7.10)

ŽéŽïåŽê âçãæãŽèâêðëIJŽ àãâïéæï àŽîçãâñèæ Žäîæå, îëéâèæù ñçãâ àŽêéŽîðâIJñèæ àãóëêáŽ. Žïâåæãâ

âçãæãŽèâêðëIJŽï Žáàæèæ Žóãï (7.1 0 ) Ꭰ(7.8 0 )-ï öëîæï. ãåóãŽå u(t) Žîæï (7.8), (7.9) ŽéëùŽêæï

⎛ ⎞

u(t)


ŽéëýïêŽ. éŽöæê, x(t) =

u


′ (t) ⎟

⎠-åãæï ïŽéŽîåèæŽêæŽ (7.4). àãŽæêðâîâïâIJï b-æï ìæîãâèæ çëéìëêâêðæ,

Žéæðëé (7.4)-öæ àŽáŽãæáâå ìæîãâè çëéìëêâêðâIJäâ ᎠàŽãæåãŽèæïûæêëå (7.10)-öæ b,

.

u (n−1) (t)

éæãæôâIJå

u(t) =

n∑

c i (t, t 0 ) x 0i +

i=1

∫ t

t 0

c n (t, τ) q(τ) dτ, (7.11)

ïŽáŽù c 1 , c 2 , . . . , c n ŽîæŽê C éŽðîæùæï ìæîãâèæ ïðîæóëêæï âèâéâêðâIJæ. C(t, τ) õëãâèæ òæóïæîâIJñèæ

τ-åãæï ûŽîéëŽáàâêï (7.1 0 )-æï òñêáŽéâêðñî éŽðîæùŽï, â.æ. éæïæ ïãâðâIJæ Žîæï (7.1 0 )-æï

ŽéëýïêâIJæ, ŽéŽïåŽê ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæ. Žéæðëé éŽåæ ìæîãâèæ âèâéâêðâIJæ c 1 (t, τ), . . . , c n (t, τ)

êâIJæïéæâîæ òæóïæîâIJñèæ τ-åãæï (7.8 0 )-ï ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæ ŽéëýïêâIJæŽ Žïâåæ ïŽûõæïæ ìæîëIJâIJæå.

îŽáàŽê C(τ, τ) = E, àãŽóãï

∂ j−1 c i (t, τ)

∂t j−1 ∣

∣∣∣t=τ

= δ ij (i, j = 1, n), (7.12)

δ ij =

{

0 îëùŽ i ≠ j

1 îëùŽ i = j

. â.æ. àãŽóãï Žïâåæ

åâëîâéŽ 7.2. (7.8), (7.9) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ éëæùâéŽ (7.11) òëîéñèæå, ïŽáŽù êâIJæïéæâîæ

òæóïæîâIJñèæ i-åãæï c i ûŽîéëŽáàâêï (7.8 0 ) àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽï (7.12) ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ.

îëàëîù øŽêï (7.11) òëîéñèŽöæ àŽêïŽçñåîâIJñèæ îëèæ âêæüâIJŽ C n (τ, τ) òñêóùæŽï, îëéâèæù

æêðâàîŽèæï óãâö Žîæï. îëàëîù (7.12) àãæøãâêâIJï, æàæ ûŽîéëŽáàâêï (7.8 0 ) àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽï

öâéáâà ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ (êâIJæïéæâîæ òæóïæîâIJñèæ τ-åãæï)

c n (τ, τ) = 0

∂c n (t, τ)

∣ = 0

∂t t=τ

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

∂ n−1 c n (t, τ)

∂t n−1 ∣

∣∣t=τ

= 1

(7.13)

èâóùæŽ 6-öæ Žé åãæïâIJæï éóëêâ òñêóùæŽï ãñûëáâå (7.8 0 ) àŽêðëèâIJæï çëöæï òñêóùæŽ. â.æ. c n (t, τ)

õëòæèŽ (7.8 0 ) àŽêðëèâIJæï çëöæï òñêóùæŽ. ãêŽýëå åñ îëàëî ŽæàâIJŽ ìîŽóðæçñèŽá çëöæï òñêóùæŽ.

ãåóãŽå v 1 (t), . . . , v n (t) Žîæï (7.8 0 )-æï ŽéëýïêŽåŽ òñêáŽéâêðñîæ ïæïðâéŽ. éŽöæê c n êâIJæïéæâîæ

òæóïæîâIJñèæ τ-ïåãæï ûŽîéëáàâIJŽ îëàëîù éŽåæ ûîòæãæ çëéIJæêŽùæŽ c n (t, τ) =

n ∑

i=1

α i (τ) v i (t).


28

α i -âIJæ æïâ ñêᎠöâæîøâï, îëé áŽçéŽõëòæèáâï (7.13) ìæîëIJâIJæ,

n∑

i=1

n∑

i=1

α i (τ) v (k−1)

i (τ) = 0 (k = 1, . . . , n − 1),

α i (τ) v (n−1)

i (τ) = 1.

(7.14)

(7.14) ûŽîéëŽáàâêï α-âIJæï éæéŽîå ûîòæã ŽèàâIJîñè àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéŽï, îëéèæï áâðâîéæêŽêðæ

Žîæï v 1 , . . . , v n -âIJæï ãîëêïçæï áâðâîéæêŽêðæ, îëéâèæù Žîùâîå ûâîðæèöæ Žî Žîæï êñèæ.

Žéæðëé çîŽéâîæï òëîéñèâIJæï åŽêŽýéŽá α i (τ) = w i(τ)

w(τ) , ïŽáŽù w i(τ) Žîæï w(τ) áâðâîéæêŽêðöæ

i-ñî ïãâðïŽ áŽ n-ñî ïðîæóëêöæ éáàëéæ âèâéâêðæï ŽèàâIJîñèæ áŽéŽðâIJŽ. ŽéîæàŽá çëöæï òñêóùææïŽåãæï

éæãæôâå öâéáâàæ òëîéñèŽ

àŽêãæýæèëå Žïâåæ ŽéëùŽêâIJæ:

C n (t, τ) =

n∑

i=1

èâóùæŽ 8.

ŽéëùŽêŽ 1. àŽêãæýæèëå àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéŽ

dx

dt

= A(t) x, A

w i (τ)

w(τ) v i(t). (7.15)

∈ C

( )

n×n [0; +∞) . (1)

ãåóãŽå Žé ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ öâéëïŽäôãîñèæŽ [0, +∞)-äâ, Žêñ îŽù æàæã⎠(1)

ïæïðâéæï õãâèŽ ŽéëýïêŽ öâéëïŽäôãîñèæŽ, îŽáàŽê (1)-æï êâIJæïéæâîæ ŽéëýïêŽ Žîæï òñêáŽéâêðñîæ

ïæïðâéæï ûîòæãæ çëéIJæêŽùæŽ. ŽéŽï àŽîáŽ

∫ t

0

Tr(A(τ)) dτ óãâéëáŽê öâéëïŽäôãîñèæŽ. ãŽøãâêëå,

îëé éŽöæê òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæï öâIJîñêâIJñèæù æóêâIJŽ öâéëïŽäôãîñèæ.

ãåóãŽå X(t) Žîæï (1) ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ. ãåóãŽå X(t) = ( x ik (t) ) n

áŽ

i,k=1

( x


‖X(t)‖ ≤ L, L > 0. éŽöæê |x ik (t)| ≤ L, X −1 (t) = ki n

, ïŽáŽù x

det[X(t)]) ∗ ki (t) Žîæï x k i

(t)-

k,i=1

æï ŽèàâIJîñèæ áŽéŽðâIJŽ. ãåóãŽå

∫ t

0

Tr(A(τ)) dτ ≥ M. éŽöæê (5.11)-æï úŽèæå àãŽóãï det[X(t)] =

k e ∫ t

0 Tr(A(τ)) dτ , ïŽáŽù K = det[X(0)], â.æ. | det[X(t)]| ≥ |k|e M . éâëîâï éýîæã, îŽáàŽê |x ik (t)| ≤ L

àãŽóãï |x ∗ ik (t)|≤(n−1)! x ∗

Ln−1 ki

Ꭰ∣

(t)

(n − 1)! Ln−1

∣ ≤ , ýëèë ‖X −1 (t)‖≤ n2 (n − 1)! L n−1

,

det[X(t)] |k| e M

|k| e M

â.æ. X −1 (t)-ù öâéëïŽäôãîñèæŽ.

ŽéëùŽêŽ 2. ãåóãŽå áŽùñèæŽ ŽéëùŽêŽ 1-æï ìæîëIJâIJæ. àŽîᎠŽéæïŽ,

∫+∞

( )


b ∈ C n [0; +∞) Ꭰ∥ b(τ) dt = H < +∞.

0

ãŽøãâêëå, îëé éŽöæê

dx

dt = A(t) x + b(t) (1′ )

ïæïðâéæï õëãâèæ ŽéëýïêŽ öâéëïŽäôãîñèæŽ [0, +∞) öñŽèâáöæ.

ãåóãŽå X(t) Žîæï (1)-æï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ. ìæîëIJæï úŽèæå ‖X(t)‖ ≤ L, ᎠŽéŽï

àŽîᎠŽéëùŽêŽ 1-æï àŽéë àãŽóãï ‖X −1 (t)‖ ≤ M. (7.4)-æå (1 ′ ) ïæïðâéæï êâIJæïéæâîæ ŽéëêŽýïêæ


29

Žïâ ûŽîéëáàâIJŽ

x(t) = X(t) X −1 (0)x 0 +

∫ t

X(t) X −1 (τ) b(τ) dτ.

ŽóâáŽê

∥ x(t)

∥ ∥ ≤

∥ ∥X(t)

∥ ∥ ·

∥ ∥X −1 (0) ∥ ∥ ·

∥ ∥x0

∥ ∥ +

0

∫t

∥ X(t)

∥ ∥ ·

∥ ∥X −1 (τ) ∥ ∥ ·

∥ ∥b(τ)

∥ ∥ dτ ≤

â.æ. x(t) öâéëïŽäôãîñèæŽ.

≤ ML ∥ ∫

∥ t


∥x 0 + ML ∥b(τ) ∥ ∥dτ ≤ ML ∥ ∥

∥x 0 + MLH,

0

ŽéëùŽêŽ 3. ãåóãŽå áŽùñèæŽ ŽéëùŽêŽ 2-æï ìæîëIJâIJæ ᎠàŽîᎠŽéæïŽ

∫+∞

( )


B ∈ C n×n [0; +∞) Ꭰ∥ B(t) dt = H < +∞.

éŽöæê

dx

dt = ( A(t) + B(t) ) x + b(t) (1 ′′ )

ïæïðâéæï õëãâèæ ŽéëýïêŽ öâéëïŽäôãîñèæŽ [0, +∞)-äâ.

ãåóãŽå x(t) Žîæï (1 ′′ )-æï ŽéëýïêŽ. æàæ ŽçéŽõëòæèâIJï ìæîëIJŽï

dx(t)

dt

0

0

= A(t)x(t) + B(t)x(t) + b(t).

ûŽîéëãæáàæêëå, îëé x(t) áŽòæóïæîâIJñèæŽ. éŽöæê, îëàëîù IJëèë ðëèëIJŽ àãæøãâêâIJï, æàæ

ûŽîéëŽáàâêï

dx

dt = A(t)x + ( B(t)x(t) + b(t) )

ïæïðâéæï ŽéëýïêŽï. Žéæðëé (7.4) çëöæï òëîéñèæï úŽèæå

x(t) = X(t) X −1 (0)x 0 +

∥ x(t)

∥ ∥ ≤ LM

∥ ∥x0

∥ ∥ +

∫t

0

∫ t

= LM ∥ ∫t

∥ x0 + LM

0

[

B(τ) x(τ) + b(τ)

]

X(t) X −1 (τ) dτ,

(∥ ∥B(τ)

∥ ∥ ·

∥ ∥x(τ)

∥ ∥ +

∥ ∥b(τ)

∥ ∥

)

ML dτ =

0

∥ b(τ)

∥ ∥dτ +

∫t

0

LM ∥ ∥ B(τ)

∥ ∥ ·

∥ ∥x(τ)

∥ ∥ dτ <

< ML ∥ ∫t

∥ x0 + LMH + LM ∥ ∥ ∥ ∥ B(τ) · ∥x(τ) dτ.

ŽóâáŽê àîëêñëè-IJâèéŽêæï èâéæï úŽèæå

0

‖x(t)‖ ≤ ( LM‖x 0 ‖ + LMH ) e LMH

â.æ. x(t) öâéëïŽäôãîñèæŽ.


30

ŽéëùŽêŽ 4. àŽêãæýæèëå Žïâåæ áæò. àŽêðëèâIJŽ

n∑

u (n) = p k (t) u (k−1) , p k ∈ C(I). (2)

k=1

áŽãŽéðçæùëå, îëé Žé àŽêðëèâIJæï êâIJæïéæâî ŽîŽðîæãæŽèñî ŽéëýïêŽï I 0 ⊂ I-áŽê Žóãï êñèâIJæï

ŽîŽñéâðâï ïŽïîñèæ îŽëáâêëIJŽ.

áŽãñöãŽå ïŽûæꎎôéáâàë. ãåóãŽå I 0 -æï ñïŽïîñèëá IJâãî ûâîðæèâIJöæ (2)-æï ŽéëýïêŽ u(t)

ýáâIJŽ êñèæï ðëèæ. îŽáàŽê I 0 çëéìŽóðñîæŽ I-öæ, Žé ïæéîŽãèæáŽê àŽéëæõëòŽ àŽêïýãŽãâIJñè

ûâîðæèåŽ çîâIJŽáæ éæéáâãîëIJŽ t k (k = 1, 2, . . . ). àãŽóãï u(t k ) = 0, lim t k = t 0 , t 0 ïŽäëàŽáëá

k→∞

I-öæŽ áŽ t k ∈ I 0 . Žéæðëé, îŽáàŽê u ñûõãâðæŽ I-äâ, àãŽóãï u(t 0 ) = 0. îŽáàŽê u(t k ) = u(t k+1 ),

îëèæï åâëîâéæï úŽèæå ŽîïâIJëIJï ξ k æïâåæ, îëé t k < ξ k < t k+1 Ꭰu ′ (ξ k ) = 0. ùýŽáæŽ ξ k → t 0 ,

Žéæðëé u ′ (t 0 ) = 0. ŽêŽèëàæñîŽá éæãæôâIJå, îëé u(t) õëòæèŽ (2) àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽ ïŽûõæï

ìæîëIJâIJöæ:

u (k−1) (t 0 ) = 0 (k = 1, . . . , n). (3)

éŽàîŽé (2), (3) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ Žàîâåãâ Žîæï æàæãñîŽá êñèæ I-äâ. Žéæðëé, âîåŽáâîåëIJæï

àŽéë u(t) ≡ 0, â.æ. u(t) Žî õëòæèŽ ŽîŽðîæãæŽèñîæ. éæãæôâå ûæꎎôéáâàëIJŽ.

ŽéëùŽêŽ 5. àŽêãæýæèëå àŽêðëèâIJŽ

u ′′ = p(t) u, p ∈ C ( [0, +∞) ) . (4)

ŽéŽïåŽê ŽîïâIJëIJï æïâåæ t ≥ 0 Ꭰ(4) àŽêðëèâIJæï ŽéëêŽýïêæ u 0 , îëé u 0 (t) ≠ 0 îëùŽ t ≥ t 0 .

ãŽøãâêëå, îëé Žé öâéåýãâãŽöæ (4) àŽêðëèâIJŽï âóêâIJŽ æïâåæ ëîæ u 1 (t) Ꭰu 2 (t) ŽéëêŽýïêæ, îëé

u i (t) ≠ 0, t ≥ t 0 (i = 1, 2) áŽ

â.æ.

∫+∞

t 0

∫+∞

dt

u 2 1(t) = +∞, dt

u 2 2(t) < +∞.

éæãéŽîåëå (6.13) òëîéñèŽï. îŽáàŽê Žó p 2 (t), (4)-æï êâIJæïéæâîæ ŽéëýïêæïŽåãæï àãŽóãï

Žôãêæöêëå

∫ t

t 0


u 2 0(τ)

≡ F (t) ᎠéëãŽýáæêëå ùãèŽáåŽ àŽîáŽóéêŽ x = F (t) (F éçŽùîŽá éëêëðëêñîæŽ).

àãâóêâIJŽ

∫+∞

t 0

t 0

∫t

u(t) = u 0 (t)

[c 1 + c 2

∫+∞

dt

u 2 (t) =

t 0

t 0

dt

]


.

u 2 0(τ)

u 2 0(t) [ c 1 + c 2

∫ t

t 0

]

dτ 2

.

u 2 0 (τ)

∫+∞

t 0

F

∫(∞)

dt

u 2 (t) = dx

(c 1 + c 2 x) . 2

Žáãæèæ öâïŽéøêâãæŽ, îëé åñ c 1 ≠ 0, c 2 ≠ 0 Ꭰc 1

t 0

c 2

> 0, éæñýâáŽãŽá æéæïŽ F (∞) ïŽïîñèæŽ åñ

ñïŽïîñèë, éâëîâ æêðâàîŽèæ çîâIJŽáæŽ áŽ â.æ. âîåŽá çîâIJŽáæŽ ìæîãâèæ æêðâàîŽèæù. ýëèë åñ

c 1 Ꭰc 2 -ï æïâ öâãŽîøâãå, îëé c 1

< 0 Ꭰ− c 1

< F (∞), éŽöæê (0, F (∞))-öæ éâëîâ æêðâàîŽèæï

c 2 c 2

éêæöãêâèï âóêâIJŽ òâïãæ − c 1

ᎠîŽáàŽê éæï éæáŽéëöæ æàæ éâëîâ îæàæ, æêðâàîŽèæ æóêâIJŽ +∞.

c 2

Žéæå áâIJñèâIJŽ áŽéðçæùâIJñèæŽ.


éñáéæãçëâòæùæâêðâIJæŽê ûîòæã âîåàãŽîëãŽê áæò. àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéâIJæ

èâóùæŽ 7-öæ áŽãŽéðçæùâå (7.4) çëöæï òëîéñèŽ, îëéèæï éæýâáãæåŽù æûâîâIJëᎠŽîŽâîåàãŽîëãŽê

áæò. àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéæï ŽêëýïêŽ öâïŽIJŽéæïæ âîåàãŽîëãŽêæ ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ

éŽðîæùæï ïŽöñŽèâIJæå. ŽéîæàŽá, éåâèæ ïæúêâèâ àŽáŽðŽêæèæŽ òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæï ŽàâIJŽäâ.

äëàŽá öâéåýãâãŽöæ Žé éŽðîæùæï ŽàâIJŽ Žî ýâîýáâIJŽ, éŽàîŽé ŽýèŽ øãâê àŽêãæýæèŽãå âîå çâîúë

öâéåýãâãŽï, îëùŽ âï ŽéëùŽêŽ ûŽîéŽðâIJæå ûõáâIJŽ. âï Žîæï éñáéæãçëâòæùæâêðâIJæŽêæ ïæïðâéâIJæ.

éñáéæãçëâòæùæâêðâIJæŽê ûîòæã âîåàãŽîëãŽê áæò. àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéŽï âóêâIJŽ Žïâåæ ïŽýâ:

dx

= Ax. (8.1)

dt

ïŽáŽù A îŽôŽù éñáéæãæ éŽðîæùŽŽ. áŽãæïŽýëå ŽéëùŽêŽá (8.1) ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæï

ŽàâIJŽ. ŽéæïŽåãæï àŽêãéŽîðëå éŽðîæùæï âóïìëêâêùæŽèñîæ òñêóùæŽ.

îëàëîù ùêëIJæèæŽ, êŽéáãæèæ Ꭰçëéìèâóïñîæ ùãèŽáæï âóïìëêâêùæŽèñîæ òñêóùæŽ e x àŽêæéŽîðâIJŽ

öâéáâàêŽæîŽá:

∞∑

e x x k

= 1 +

k! .

ŽêŽèëàæñîŽá, ãåóãŽå A Žîæï n × n-éŽðîæùæ. àŽêãéŽîðëå e x Žïâ:

∞∑

e x 1

= E +

k! Xk . (8.2)

k=1

k=1

éŽðîæùåŽ (8.2) éûçîæãæï çîâIJŽáëIJŽ òŽóðæñîŽá êæöêŽãï n 2 éûçîæãæï çëéìëêâêðâIJæïŽàŽê öâéáàŽîæ

éûçîæãâIJæï çîâIJŽáëIJŽï. Žáãæèæ éæïŽýãâáîæŽ, îëé õëãâè Žé éûçîæãï éŽíëîŽêðñè éûçîæãŽá Žóãï

∞∑ 1

k! ‖Xk ‖ éûçîæãæ, éŽàîŽé ‖X k ‖ ≤ ‖X‖ k . Žéæðëé ïŽIJëèëëá (8.2) éûçîæãæïŽåãæï éŽíëîŽêðŽ

k=1

∞∑ ‖X‖ k

õëòæèŽ , îëéâèæù ùýŽáæŽ çîâIJŽáæŽ. Žéæðëé e x àŽêïŽäôãîñèæŽ õëãâèæ X éŽðîæùæïåãæï.

ñòîë éâðæù, îëàëîù Žáãæèæ öâïŽéøêâãæŽ, õëãâèæ r > 0-åãæï (8.2) éûçîæãæ åŽêŽIJîŽá

k!

k=1

çîâIJŽáæŽ ‖X‖ < r-öæ. Žéæðëé öâæúèâIJŽ (8.2) éûçîæãæï ûâãî-ûâãîŽ æêðâàîâIJŽ. ŽýèŽ àŽêãæýæèëå

Žïâåæ éŽðîæù-òñêóùæŽ

Y (t) = e At . (8.3)

(8.2)-æï àŽéë àãŽóãï

k=1

Y (t) = E +

∞∑

k=1

31

t k

k! Ak . (8.4)

àŽãŽûŽîéëëå ûâãî-ûâãîŽá (8.4) ðëèëIJæï ëîæãâ éýŽîâ. éæãæôâIJå

∞∑

(

t k−1

∞∑

) (

t k−1

∞∑

)

t i

(k − 1)! Ak = A E +

(k − 1)! Ak−1 = A E +

i! Ai = A Y (t).

k=1

îëàëîù Žôãêæöêâå, ûŽîéëâIJñèâIJæïŽàŽê öâáàâêæèæ éûçîæãæ åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáæŽ, îëùŽ |t| ≤ r

êâIJæïéæâîæ r > 0-åãæï. Žéæðëé (8.4) ðëèëIJæï ûâãî-ûâãîŽá àŽûŽîéëâIJŽ öâæúèâIJŽ áŽ

éâëîâï éýîæã, Žáãæèæ öâïŽéøêâãæŽ, îëé

(8.5) Ꭰ(8.6) ðëèëIJâIJæ àãæøãâêâIJï, îëé

i=1

Y ′ (t) = A Y (t). (8.5)

Y (0) = E. (8.6)

Y (t) = e At (8.7)

éŽðîæùæ Žîæï (8.1) ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ. ŽéîæàŽá øãâê áŽãŽéðçæùâå Žïâåæ


32

åâëîâéŽ 8.1. (8.7) òëîéñèæå àŽêïŽäôãîñèæ Y (t) òñêóùæŽ ûŽîéëŽáàâêï (8.1) ïæïðâéæï

òñêáŽéâêðñî éŽðîæùï.

éŽàîŽé (8.7) òëîéñèŽ IJâãîï ŽîŽòâîï àãâñIJêâIJŽ Y (t)-æï ïðîñóðñîæï öâïŽýâIJ. øãâêæ éæäŽêæŽ

ãêŽýëå, îŽ ïŽýâ Žóãï e At -ï. ŽéæïŽåãæï áŽàãüæîáâIJŽ Žïâåæ

èâéŽ 8.2. åñ A ᎠB ŽîæŽê çëéñðŽðæñîæ n × n éŽîðæùâIJæ (AB = BA), éŽöæê Žáàæèæ Žóãï

ðëèëIJŽï.

e A+B = e A · e B (8.8)

áŽéðçæùâIJŽ. àŽêãæýæèëå Žïâåæ éŽðîæùæ z(t) = e At · e Bt . àŽãŽûŽîéëëå. (8.5)-æï àŽåãŽèæïûæêâIJæå

àãâóêâIJŽ

z ′ (t) = A e At e Bt + e At B e Bt . (8.9)

îŽáàŽê AB = BA, Žéæðëé

B A k = B · A · A · · · A = A · B · A · · · A = A · A · B · · · A = A k B.

ŽéàãŽîŽá, åñ (8.4) ðëèëIJŽï àŽãŽéîŽãèâIJå B-äâ þâî éŽîþãêæáŽê, ýëèë éâîâ éŽîùýêæáŽê,

éæãæôâIJå, îëé e At · B = B · e At . Žéæðëé (8.9)-áŽê àãŽóãï

z ′ (t) = (A + B) z(t). (8.10)

ŽéîæàŽá z(t) ûŽîéëŽáàâêï (8.10) éŽðîæùñè áæò. àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽï ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ:

z(0) = E. (8.11)

éŽàîŽé, îëàëîù äâéëå ãêŽýâå (æý. (8.5) Ꭰ(8.6)) e (A+B)t Žîæï ŽéŽãâ (8.10), (8.11) ŽéëùŽêæï

ŽéëýïêŽ. Žéæðëé èâóùæŽ 6-æï áŽïŽûõæïöæ êŽøãâêâIJæ âîåŽáâîåëIJæï àŽéë àãŽóãï (8.8) (ŽãæôâIJå

t = 1).


èâóùæŽ 9.

Žó øãâê áŽàãüæîáâIJŽ ŽèàâIJîæï çñîïæáŽê ùêëIJæèæ íëîáŽêæï åâëîâéæï éëõãŽêŽ. ŽéæïŽåãæï þâî

àŽãæýïâêëå äëàæâîåæ ùêâIJŽ.

Žôãêæöêëå


G 1 (λ) = λ, G k (λ) =



λ 1 · · · 0 0

0 λ · · · 0 0

· · · · · · · · · · · · · · ·

0 0 · · · λ 1

0} 0 ·{{ · · 0 λ}

k

éŽå âûëáâIJŽå íëîáŽêæï ñþîâIJæ.

öâéáâà àŽêãæýæèëå A éŽðîæùæï éŽýŽïæŽåâIJâèæ A − λE éŽðîæùæ ᎠD i (λ)-åæ Žôãêæöêëå

éæïæ i-ñîæ îæàæï éæêëîâIJæï ñáæáâïæ ïŽâîåë àŽéõëòæ. ŽéŽïåŽê ãàñèæïýéëIJå, îëé éæïæ ñòîëïæ

çëâòæùæâêðæ 1-æï ðëèëŽ. éðçæùáâIJŽ, îëé õëãâèæ D i (λ) æõëòŽ D i−1 (λ)-äâ.

Žôãêæöêëå

E 1 (λ) = D 1 (λ), . . . , E i (λ) =

D i(λ)

(i = 2, . . . , n).

D i−1 (λ)

Žé ìëèæêëéâIJï âûëáâIJŽå A − λE-æï æêãŽîæŽêðñèæ éŽéîŽãèâIJæ.

ãåóãŽå λ 1 , . . . , λ m ŽîæŽê

det(A − λE) = 0 (9.1)

àŽêðëèâIJæï âîåéŽêâåæïŽàŽê àŽêïýãŽãâIJñèæ òâïãâIJæ. (9.1) àŽêðëèâIJŽï âûëáâIJŽ (8.1) ïæïðâéæï

éŽýŽïæŽåâIJâèæ àŽêðëèâIJŽ, ýëèë òâïãâIJï A éŽðîæùæï éŽýŽïæŽåâIJâèæ îæùýãâIJæ. Žáãæèæ öâïŽéøêâãæŽ,

îëé E i (λ)-âIJï Žî öâæúèâIJŽ ßóëêáâï λ 1 , . . . , λ m -àŽê àŽêïýãŽããâIJñèæ òâïãâIJæ, Žéæðëé

E i (λ) = (λ − λ 1 ) n i1

· · · (λ − λ m ) n im

.




Žó åñ îëéâèæéâ òâïãæ Žî àãŽóãï, öâïŽIJŽéæïæ ýŽîæïýæï éŽøãâêâIJâèæ êñèæï ðëèæ æóêâIJŽ. õãâèŽ

Žïâå éŽéîŽãèï âûëáâIJŽ (A − λE)-æï âèâéâêðŽîñèæ àŽéõëòâIJæ. ïýãŽêŽæîŽá, (A − λE) éŽðîæùæï

âèâéâêðŽîñèæ àŽéõëòæ âï Žîæï (λ − λ k ) n ik åñ nik ≠ 0. ùýŽáæŽ, îëé ∑ n ik = n.

i,k

áŽñéðçæùâIJèŽá øŽéëãŽõŽèæIJâIJå

åâëîâéŽ 9.1 (íëîáŽêæï). ãåóãŽå (λ − λ 1 ) n 1

, . . . , (λ − λ m ) n m

Žîæï A − λE-æï âèâéâêðŽîñèæ

àŽéõëòâIJæ. éŽöæê ŽîïâIJëIJï æïâåæ àŽáŽñàãŽîâIJâèæ éŽðîæùæ S, îëé



G n1 (λ 1 ) 0

G

S −1 A S = G = ⎜

n2 (λ 2 )



.. .

⎠ (9.2)

0 G nm (λ m )

ŽéŽïåŽê áŽçŽãöæîâIJæå öâãêæöêëå, îëé Žó λ 1 , . . . , λ m àŽêïýãŽãâIJñèæ îæùýãâIJæ Žîù æõãêâê, ýëèë

n 1 + n 2 + · · · + n m = n. (9.2)-áŽê àãŽóãï A = S G S −1 .

Žáãæèæ öâïŽéøêâãæŽ, îëé A i = S G i S −1 (i = 1, . . . ). Žé ðëèëIJâIJæáŽê Ꭰ(8.4)-áŽê øŽêï, îëé

e At = S e Gt S −1 . (9.3)

åñ àŽãæýïâêâIJå, îŽï ûŽîéëŽáàâêï G ((9.2)), éŽöæê (8.4)-áŽê ŽáãæèŽá àŽéëáæï



e tG n 1 (λ 1 )

0

e Gt ⎜

= ⎝

. ..


⎠ (9.4)

0 e tG nm (λ m)

ŽéàãŽîŽá e λ t éŽðîæùæï ïðîñóðñîæï àŽîçãâãæï ïŽçæåýæ éææõãŽêâIJŽ e Gk(λ)t éŽðîæùæï ïðîñóðñîæï

àŽîçãâãŽäâ. ùýŽáæŽ, îëé G k (λ) = λ E k + z k , ïŽáŽù E k Žîæï k îæàæï âîåâñèëãŽêæ éŽðîæùæ,

ýëèë z 1 = 0 áŽ


z k =



0 1 0 · · · 0

0 0 1 · · · 0

· · · · · · · · · · · · · · ·

0 0 0 · · · 1

0} 0 0 {{ · · · 0}

k

îŽáàŽê λ E k êâIJæïéæâî éŽðîæùåŽê çëéñðŽðæñîæŽ, èâéŽ 8.2-æï úŽèæå àãŽóãï e G k(λ)t = e λ t E k ·e

t z k.

(8.4)-áŽê Žáãæèæ öâïŽéøêâãæŽ, îëé





e λt ⎞

0

e λtE k

= ⎝ .. . ⎠ = e λ t E k .

0 e λt

éâëîâï éýîæã, ñöñŽèëá öâéëûéâIJæå ŽáãæèŽá áŽãîûéñêáâIJæå, îëé


zk i =



i

{ }} {

0 0 · · · 0

k−i

{ }} {

1 0 · · · 0

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

0 0 · · · 0 0 0 · · · 1

0 0 · · · 0 0 0 · · · 0

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0

⎞⎫

⎪⎬

k − i

⎪⎭

⎟ }


i

33


34

îëùŽ i = 1, . . . , k − 1 Ꭰzk i = 0 îëùŽ i = k. Žéæðëé ùýŽáæŽ, îëé



t t 2 t k−1

1 · · ·

1! 2! (k − 1)!

∑k−1

e t z k

t i

t t k−1

= E k +

i! zi k =

1 · · ·

1! (k − 2)!

i=1 ⎜


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎟


O · · · 1

ïŽIJëèëëá



t t 2 t k−1

1 · · ·

1! 2! (k − 1)!

e G k(λ k )t = e λ kt

t t k−1

1 · · ·

1! (k − 2)!



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎟


O · · · 1

ŽéîæàŽá áŽãŽéðçæùâå Žïâåæ

åâëîâéŽ 9.2. åñ (λ−λ 1 ) n1 · · · (λ−λ m ) n m

ŽîæŽê A−λE éŽðîæùæï âèâéâêðŽîñèæ àŽéõëòâIJæ,

éŽöæê Žáàæèæ Žóãï ðëèëIJŽï:



e A t = S ⎜


e Gn 1 (λ 1)t

ïŽáŽù e G n i (λ i )t éëùâéñèæŽ (9.5) òëîéñèæå.

åâëîâéŽ 9.2-áŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï

O

e G n 2 (λ 2 )t

.. .

O

e Gn m(λ m)t

(9.5)


⎠ S−1 , (9.6)

öâáâàæ 9.3. åñ (λ−λ 1 ) n1 · · · (λ−λ m ) nm ŽîæŽê (A−λE) éŽðîæùæï âèâéâêðŽîñèæ àŽéõëòâIJæ,

éŽöæê (8.1) ïæïðâéŽï Žóãï öâéáâàæ ïŽýæï ŽéëýïêŽåŽ òñêáŽéâêðñîæ ïæïðâéŽ

e λ it p ik (t) (k = 1, . . . , n i ; i = 1, . . . , m), (9.7)

ïŽáŽù p ik êâIJæïéæâîæ i-åãæï ûŽîéëŽáàâêï n i − 1 ýŽîæïýæï ãâóðëî-ìëèæêëéâIJï.

áŽéðçæùâIJŽ. îëàëîù ãæùæå e At Žîæï (8.1) ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ. åñ éŽï éŽîþãêæáŽê

àŽãŽéîŽãèâIJå éñáéæã éŽðîæùäâ, çãèŽã éæãæôâIJå (8.1) ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñî éŽðîæùï,

â.æ. e At . S Žîæï Žàîâåãâ (8.1) ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ. åñ éæãéŽîåŽãå (9.6) Ꭰ(9.5)

òëîéñèâIJï, ŽáãæèŽá áŽãîûéñêáâIJæå, îëé Žé éŽðîæùæï ïãâðâIJï Žóãå ïûëîâá (9.7) ïŽýâ. □

öâêæöãêŽ 1. (8.1) ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæï ŽïŽàâIJŽá ñêᎠãæìëãëå (A − λE)-æï

õãâèŽ âèâéâêðŽîñèæ àŽéõëòæ. åñ âï àŽéõëòâIJæŽ (λ − λ 1 ) n1 · · · (λ − λ m ) n m

, õëãâèæ òæóïæîâIJñèæ

i-åãæï (8.1)-æï ŽéëýïêŽï ãâúâIJå e λit p(t) ïŽýæå, ïŽáŽù p(t) Žîæï n i îæàæï ãâóðëî-ìëèæêëéæ

àŽêñïŽäôãîâèæ çëâòæùæâêðâIJæå. âï çëâòæùæâêðâIJæ æïâ ñêᎠöâæîøâï îëé Žé ãâóðëî-òñêóùæŽé

ñêᎠᎎçéŽõëòæèëï (8.1). öâîøâ㎠öâæúèâIJŽ ŽîŽâîåæ àäæå ᎠöâàãæúèæŽ éæãæôëå (8.1)-æï n i

ùŽèæ ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæ ŽéëýïêŽ. åñ ŽéŽï àŽãŽçâåâIJå êâIJæïéæâîæ i-åãæï, éæãæôâIJå (8.1)-æï

ŽéëýïêŽåŽ òñêáŽéâêðñî ïæïðâéŽï.

çâîúëá, åñ A éŽðîæùï Žóãï àŽêïýãŽãâIJñèæ òâïãâIJæ λ 1 , . . . , λ n , éŽöæê òñêáŽéâêðñîæ ïæïðâéŽ

Žïâåæ æóêâIJŽ e λit p i (i = 1, . . . , n), ïŽáŽù p i éñáéæãæ ãâóîëðâIJæŽ. åñ ŽéŽï (8.1)-öæ øŽãïãŽéå,

e λit -äâ öâçãâùæï öâáâàŽá, éæãæôâIJå àŽêðëèâIJŽï A p i = λ i p i . Žêñ, (A − λ i E)p i = 0, ïŽæáŽêŽù

àŽêæïŽäôãîâIJŽ p i -âIJæ. p i -ï çëéìëêâêðâIJæï àŽêïŽäôãîŽ öâæúèâIJŽ æéæðëé, îëé áâðâîéæêŽêðæ êñèæŽ,

îŽáàŽê λ i Žîæï A-ï éŽýŽïæŽåâIJâèæ òâïãæ.


öâêæöãêŽ 2. äâéëå øŽðŽîâIJñè éïþâèëIJŽöæ øãâê åæåóëï ãàñèæïýéëIJáæå, îëé õãâèŽ λ i êŽéáãæèæŽ.

ïæêŽéáãæèâöæ çæ det(A−λE) = 0 àŽêðëèâIJŽï öâïŽúèâIJâèæŽ ßóëêáâï çëéìèâóïñîæ òâïãâIJæù.

Žéæðëé æïéæï çæåýãŽ, îŽ ñêᎠàãâïéëáâï e λt -ï óãâö, îëùŽ λ çëéìèâóïñîæŽ, åñ λ = α + iβ, éŽöæê

e λt àŽêæïŽäôãîâIJŽ öâéáâàêŽæîŽá

e λt = e αt (cos βt + i sin βt).

ñêᎠàŽãŽîçãæëå Žàîâåãâ, îŽ àãâïéæï (8.1) ïæïðâéæï çëéìèâóïñîæ Žéëýïêæï óãâö. (8.1)-æï çëéìèâóïñîæ

Žéëýïêæï óãâö àãâïéæï æïâåæ êŽéáãæèæ ùãèŽáæï çëéìèâóïñî òñêóùæŽåŽ âîåëIJèæëIJŽ,

îëéâèåŽ êŽéáãæèæ ᎠûŽîéëïŽýãæåæ êŽûæèâIJæ ŽçéŽõëòæèâIJâê éŽï. Žïâ, îëé ŽéëýïêŽåŽ òñêáŽéâêðñîæ

ïæïðâéŽ (9.7) ïŽäëàŽáëá çëéìèâóïñîæŽ. éŽàîŽé Žé ïæïðâéæáŽê öâæúèâIJŽ àŽáŽãæáâå

êŽéáãæè òñêáŽéâêðñî ïæïðâéŽäâ. éŽîåèŽù, îŽáàŽê A êŽéáãæèæŽ, åñ λ k éæïæ çëéìèâóïñîæ

éŽýŽïæŽåâIJâèæ îæùýãæŽ, éæïæ öâñôèâIJñèæù, ãåóãŽå λ j , éæïæ éŽýŽïŽåâIJâèæ îæùýãæ æóêâIJŽ. Žáãæèæ

öâïŽéøêâãæŽ, îëé λ k Ꭰλ j öâãèâê âîåæ Ꭰæàæãâ îæàæï òñêáŽéâêðñî àŽéõëòâIJöæ. Žéæðëé éŽå

öââïŽIJŽéâIJŽ 2n k ŽéëýïêŽ. éŽå êŽùãèŽá öâàãæúèæŽ Žãæôëå Žê λ k Žê λ j -æï öâïŽIJŽéæïæ ŽéëêŽýïêâIJæï

êŽéáãæèæ ᎠûŽîéëïŽýãæåæ êŽûæèâIJæ. Žïâ éæãæôâIJå 2n k êŽéáãæèæ ŽéëêŽýïêæïŽàŽê öâéáàŽî ïæïðâéŽï.

èâóùæŽ 10.

åâëîâéŽ 9.2 Ꭰöâáâàæ 9.3-áŽê àŽéëãæõãŽêëå Žïâåæ

öâáâàæ 10.1. åñ σ Žîæï A éŽðîæùæï éŽýŽïæŽåâIJâè îæùýãâIJæï éŽêáãæè îæùýãåŽ öëîæï

éŽûïæéŽèñîæ, ýëèë n 0 Žîæï A − λE éŽðîæùæï âèâéâêðŽîñè àŽéõëòâIJæï îæàâIJï öëîæï éŽóïæéŽèñîæ,

éŽöæê, (8.1) ïæïðâéæï çëöæï éŽðîæùæïŽåãæï ïŽéŽîåèæŽêæŽ öâéáâàæ öâòŽïâIJŽ

∥ C(t, τ)

∥ ∥ ≤ M0 (1 + t − τ) n 0−1 e σ(t−τ , (10.1)

îëùŽ t ≥ τ ≥ 0, ïŽáŽù M 0 éñáéæãæŽ.

áŽéðçæùâIJŽ éŽîåèŽù àãŽóãï C(t, τ) = Y (t) Y −1 (τ), ïŽáŽù Y (t) (8.1) ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ

éŽðîæùæŽ. øãâê ñçãâ ãŽøãâêâå, îëé öâæúèâIJŽ Žãæôëå Y (t) = e At . ãæìëãëå Y −1 (t).

ŽéæïŽåãæï Z(t) ≡ e −At . îŽáàŽê îëàëîù Žáãæèæ öâïŽéøêâãæŽ At Ꭰ−At çëéñðŽðæñîæ éŽðîæùâIJæŽ.

èâéŽ 8.2-æï úŽèæå àãŽóãï Y (t) Z(t) = e At−At = e O = E, Žïâ îëé z(t) = e −A(t) = Y −1 (t).

ïŽIJëèëëá àãŽóãï C(t, τ) = e At·e −Aτ = e A(t−τ) . ŽéîæàŽá éæãæôâå éâðŽá éêæöãêâèëãŽêæ òëîéñèŽ

(8.1) ïæïðâéæï çëöæï éŽðîæùæïŽåãæï

C(t, τ) = e A(t−τ) . (10.2)

àŽãæýïâêëå e At éŽðîæùæï ïðîñóðñîŽ. öâáâàæ 9.3-æï úŽèæå e At éŽðîæùæï âèâéâêðâIJæ ŽîæŽê


öâéáâàæ ïŽýæï çëéIJæêŽùæâIJæ m e λit p i (t), ïŽáŽù λ i -âIJæ ŽîæŽê A éŽðîæùæï éŽýŽïæŽåâIJâèæ îæùýãâIJæ,

i=1

ýëèë p i -âIJæ n i îæàæï ìëèæêëéâIJæ, ïŽáŽù n i ûŽîéëŽáàâêï λ i -ï öâïŽIJŽéæïæ âèâéâêðŽîñèæ àŽéõëòæï

îæàï. Žáãæèæ öâïŽéøêâãæŽ, îëé

|p i (t)| ≤ M(1 + t) n i−1 , t ≥ 0.

p i (t)

éæï áŽïŽéðçæùâIJèŽá ïŽçéŽîæïæŽ öâãêæöêëå, îëé

(1 + t) öâéëïŽäôãîñèæŽ. Žàîâåãâ n i−1 |eλit | =

e (Re n i)t

≤ e σt . Žé öâêæöãêæáŽê ᎠéŽðîæùæï êëîéæï àŽêéŽîðâIJæáŽê ŽáãæèŽá àŽéëáæï, îëé

‖e At ‖ = M 0 (1 + t) n0−1 e σt , ïŽáŽù M 0 éñáéæãæŽ. Žé ñðëèëIJæáŽê (10.2)-æï àŽéë àŽéëéáæêŽîâëIJï

(10.1). □

Žé öâáâàï áæáæ éêæöãêâèëIJŽ Žóãï éáàîŽáëIJæï åâëîæŽöæ. öâãêæöêëå, îëé ŽóâáŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï

Žïâåæ òŽóðæ: ãåóãŽå ŽôéëøêáŽ, îëé A éŽðîæùæï õãâèŽ éŽýŽïæŽåâIJâèæ îæùýãæï êŽéáãæèæ

êŽûæèæ ñŽîõëòæåæŽ. éŽöæê σ < 0 Ꭰ(7.4)-áŽê ìæîáŽìæî öâàãæúèæŽ ãåóãŽå, îëé (8.1) ïæïðâéæï

õëãâèæ ŽéëêŽýïêæ t éææïûîŽòæï êñèæïçâê, îëùŽ t → +∞ (Žó b(t) = 0).

35


36

n-ñîæ îæàæï ûîòæãæ éñáéæãçëâòæùæâêðâIJæŽêæ âîåàãŽîëãŽêæ áæò. àŽêðëèâIJâIJæ

Žôêæöêñèæ ðæìæï àŽêðëèâIJŽï Žóãï ïŽýâ

u (n) =

îëàëîù ŽîŽâîåýâè ŽàãæôêæöêŽãï, âï àŽêðëèâIJŽ âçãæãŽèâêðñîæŽ

ïæïðâéæï, ïŽáŽù

öâãŽáàæêëå A éŽðîæùæ

n∑

a k u (k−1) . (10.3)

k=1

dx

dt = A x (10.4)



0 1 0 · · · 0

0 0 1 · · · 0

A =

⎜. . . . . . . . . . . . . . . . . . .


⎝ 0 0 0 · · · 1 ⎠

a 1 a 2 a 3 · · · a n



−λ 1 0 · · · 0

A − λE = ⎜ 0 −λ 1 · · · 0


⎝. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎠

a 1 a 2 a 3 · · · a n − λ

ŽóŽù D i (λ) æõëï i-ñîæ îæàæï éæêëîâIJæï ñáæáâïæ ïŽâîåë àŽéõëòæ. àãŽóãï

n∑

D n (λ) = (−1) n det(A − λE) = λ n − a k λ k−1 .

ŽéŽöæ ŽáãæèŽá áŽãîûéñêáâIJæå, åñ Žé áâðâîéæêŽêðï áŽãöèæå ñçŽêŽïçêâèæ ïðîæóëêæï âèâéâêðâIJæï

éæýâáãæå. ŽéîæàŽá (10.4) ïæïðâéæï éŽýŽïæŽåâIJâèæ æóêâIJŽ

n∑

λ n = a k λ k−1 . (10.5)

k=1

éŽï âûëáâIJŽ (10.3) àŽêðëèâIJæï éŽýŽïæŽåâIJâèæ àŽêðëèâIJŽ. ãåóãŽå λ 1 , λ 2 , . . . , λ m (10.5)-æï

àŽêïýãŽãâIJñèæ òâïãâIJæŽ n 1 , . . . , n m þâîŽáëIJæå. ùýŽáæŽ D n (λ) = (λ − λ 1 ) n1 · · · (λ − λ m ) n m

. åñ

A − λE éŽðîæùöæ Žéëãöèæå ìæîãâè ïãâðï ᎠIJëèë ïðîæóëêï, éæãæôâIJå n − 1 îæàæï éæêëîï

îëéâèæù 1-æï ðëèæŽ. Žéæðëé D n−1 (λ) = · · · = D 1 (λ) = 1.

Žéæðëé A éŽðîæùæï æêãŽîæŽêðñèæ éŽéîŽãèâIJæ æóêâIJŽ E n (λ) = (λ−λ 1 ) n1 · · · (λ−λ m ) nm , ýëèë

E n−1 (λ) = · · · = E 1 (λ) = 1. ŽóâáŽê øŽêï, îëé A − λE éŽðîæùæï âèâéâêðŽîñèæ àŽéõëòâIJæŽ

(λ − λ 1 ) n 1

, (λ − λ 2 ) n 2

, . . . , (λ − λ m ) n m

Ꭰéýëèëá æïæêæ. Žéæðëé, åñ àŽéëãæõâêâIJå 9.3 öâáâàï

Ꭰ(10.4) ïæïðâéæáŽê àŽáŽãŽèå (10.3) àŽêðëèâIJŽäâ, éæãæôâIJå, îëé (10.3)-æï òñêáŽéâêðñîæ

ïæïðâéŽ ŽïâåæŽ

k=1

e λ it p ik (t) (k = 1, . . . , n i ; i = 1, . . . , m), (10.6)

ïŽáŽù õëãâèæ òæóïæîâIJñèæ i-åãæï p ik (t) ŽîæŽê n i − 1-ñîæ îæàæï ìëèæêëéâIJæ (k = 1, . . . , n i )).

ŽóâáŽê çæ åŽãæï éýîæã àŽéëáæï, îëé (10.3) àŽêðëèâIJŽï àŽŽøêæŽ öâéáâàæ ïŽýæï òñêáŽéâêðñîæ

ïæïðâéŽ

t k−1 e λ it

(k = 1, . . . , n i ; i = 1, . . . , m). (10.7)

éŽîåèŽù, ùýŽáæŽ þâî âîåæ âï ïæïðâéŽ ûîòñæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæŽ, ýëèë éâëîâï éýîæã, îŽáàŽê

(10.3)-æï õëãâèæ ŽéëêŽýïêæ ûîòæãŽá àŽéëæïŽýâIJŽ (10.6) ïæïðâéæå, ùýŽáæŽ æàæ ûîòæãŽá àŽéëæïŽýâIJŽ

(10.7) ïæïðâéæï ïŽöñŽèâIJæåŽù.

ŽéîæàŽá øãâê áŽãŽéðçæùâå Žïâåæ


åâëîâéŽ 10.2. åñ λ 1 , . . . , λ m ŽîæŽê (10.5) àŽêðëèâIJæï (10.3) éŽýŽïæŽåâIJâèæ àŽêðëèâIJæï

òâïãâIJæ n 1 , . . . , n m þâîŽáëIJâIJæå öâïŽIJŽéæïŽá, éŽöæê (10.3) àŽêðëèâIJŽï Žóãï (10.7) ïŽýæï ŽéëýïêŽåŽ

òñêáŽéâêðñîæ ïæïðâéŽ.

èâóùæŽ 10-æï áŽïŽïîñèï àŽêýæèñèæ æõë âîåæ ïŽýæï ùãŽèâIJŽáçëâòæùæâêðâIJæŽêæ âîåàãŽîëãŽêæ

áæò. àŽêðëèâIJŽ, îëéâèæù àŽîçãâñèæ àŽîáŽóéêæå áŽæõãŽêâIJŽ éñáéæãçëâòæùæâêðâIJæŽê àŽêðëèâ-

IJŽäâ

n∑

u (n) = a k t k−1−n u (k−1) . (10.8)

k=1

Žïâåæ ðæìæï àŽêðëèâIJŽï, ïŽáŽù a k (k = 1, . . . , n êâIJæïéæâîæ éñáéæãæŽ, âûëáâIJŽ âæèâîæï áæò.

àŽêðëèâIJŽ.

éëãŽýáæêëå Žïâåæ àŽîáŽóéêŽ:

àãŽóãï

du

dt = dv

ds · ds

dt = 1 dv

t ds ,

æêáñóùææå ŽáãæèŽá ãŽøãâêâIJå, îëé

d k−1 u

dt k−1

u(t) = v(s), ïŽáŽù s = ln t, (10.9)

d 2 u

dt = − 1 dv

2 t 2 ds + 1 d 2 v

t 2 ds = 1 ( d 2 v

2 t 2 ds − dv )

.

2 ds

[ d k−1

= v

t1−k

ds + ∑k−1

k−1

ïŽáŽù c ik îŽôŽù éñáéæãæŽ. éŽîåèŽù, áŽãñöãŽå (10.10) éŽîåâIJñèæŽ, éŽöæê

d k u

dt k

[ d k−1

= (1 − v

k)t−k ds + ∑k−1

k−1

= t −k [ d k v

ds k +

k∑

i=1

i=1

]

c ik+1 , di−1 v

,

ds i−1

i=1

37

]

d i−1 v

c ik . (10.10)

ds i−1

] [

d i−1 v d

c ik + t −k k v

ds i−1 ds + ∑k−1

k

i=1

c ik

d i v

ds i ]

=

ïŽáŽù c ik+1 (i = 1, . . . , k) îŽôŽù éñáéæãâIJæŽ. Žïâ îëé (10.10) áŽéðçæùâIJñèæŽ êâIJæïéæâîæ k-åãæï,

îŽáàŽê îëùŽ k = 2, 3 äâéëå öâãŽéëûéâå. åñ (10.10)-ï öâãæðŽêå (10.8)-öæ, îŽáàŽê ñéŽôèâïæ

îæàæï ûŽîéëâIJñèæï çëâòæùæâêðæ õëãâèåãæï 1-æŽ, (10.8) àŽêðëèâIJŽ áŽãŽ

d n u

n∑

dt = b n k v (k−1) (10.11)

k=1

ïŽýâäâ. ŽéîæàŽá âæèâîæï (10.8) àŽêðëèâIJŽ (10.9) àŽîáŽóéêæå áŽæõãŽêâIJŽ (10.11) éñáéæãçëâòæùæâêðâIJæŽê

àŽêðëèâIJŽäâ.

èâóùæŽ 11.

äëàæâîåæ çâîúë ïŽýæï ûîòæãæ ŽîŽâîåàãŽîëãŽêæ ïæïðâéæï Žéëýïêæï ŽàâIJŽ

îëàëîù èâóùæŽ 7-öæ ãêŽýâå, åñ ãæùæå ŽîŽâîåàãŽîëãŽêæ öâïŽIJŽéæïæ âîåàãŽîëãŽêæ ïæïðâéæï

òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ, éŽöæê Žê ïæïðâéæï êâIJæïéâîæ ŽéëýïêŽ ŽæàâIJŽ çëöæï (7.4) òëîéñèæå.

Žïâ îëé ïŽçæåýæ ŽîŽâîåàãŽîëãŽêæ ïæïðâéæï Žéëýïêæï öâïŽýâIJ ìîæêùæìñèŽá àŽáŽûõãâðæèæŽ.

éŽàîŽé äëàæâîå öâéåýãâãŽöæ éæäŽêöâûëêæèæŽ àãâîáæ ŽãñŽîëå çëöæï òëîéñèæï àŽéëõâêâIJŽï.

àŽêãæýæèëå Žïâåæ ïæïðâéŽ

dx

dt = A x + e tm e µt , (11.1)

ïŽáŽù m ∈ N Žê m = 0, e Žîæï éñáéæãæ ãâóðëîæ, ýëèë µ ∈ C ᎠA Žîæï éñáéæãæ éŽðîæùæ.

øãâê àãŽæêðâîâïâIJï ãæìëãëå (11.1) ïæïðâéæï îŽæéâ x 0 (t) çâîúë ŽéëýïêŽ. éŽöæê, îŽáàŽê e At Žîæï


38

öâïŽIJŽéæïæ âîåàãŽîëãŽêæ ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ, (11.1) ïæïðâéæï êâIJæïéæâîæ ŽéëýïêŽ

àŽéëæïŽýâIJŽ Žïâ:

x(t) = e At c + x 0 (t),

ïŽáŽù c êâIJæïéæâîæ éñáéæãæ ãâóðëîæŽ.

çëöæï (7.4) òëîéñèæï úŽèæå (11.1) ïæïðâéŽï Žóãï ŽéëýïêŽ

y(t) =

[ ∫t

0

]

e A(t−τ) τ m e µτ dτ e.

Žó øãâê àŽéëãæõâêâå âîåæï éýîæã (10.2) òëîéñèŽ, ýëèë éâëîâï éýîæã æï òŽóðæ, îëé îŽáàŽê

(11.1)-æï çëâòæùæâêðâIJæ àŽêïŽäôãîñèæŽ éåâè ôâîúäâ, (7.4)-öæ öâæúèâIJŽ Žãæôëå t 0 = 0 áŽ

x 0 = 0. åñ àŽãæýïâêâIJå, îëé e µτ E = e µτE , ñçŽêŽïçêâèæ òëîéñèŽ Žïâ àŽáŽæûâîâIJŽ

[ ∫t

]

y(t) = e At e (µE−A)τ τ m dτ e. (11.2)

0

øãâê àãŽæêðâîâïâIJï, îëàëîæ ïðîñóðñîæ y ãâóðëîæ. îëàëîù (11.2)-ᎠøŽêï, ïŽçæåýæ éææõãŽêâIJŽ

Žïâåæ ïŽýæï æêðâàîŽèæï àŽéëåãèŽäâ

ŽéæïŽåãæï áŽàãüæîáâIJŽ ëîæ èâéŽ.

∫ t

0

e Bτ τ m dτ, ïŽáŽù B îŽôŽù éñáéæãæ éŽðîæùæŽ.

èâéŽ 11.1. åñ B àŽáŽñàãŽîâIJâèæ éñáéæãæ éŽðîæùæŽ, éŽöæê ïŽéŽîåèæŽêæŽ öâéáâàæ òëîéñèŽ:

∫ t

0

e Bτ τ m dτ = e Bt P m (t) + P 0 , (11.3)

ïŽáŽù P m (t) Žîæï éŽðîæùæ, îëéèæï âèâéâêðâIJæŽ m-ñîæ îæàæï ìëèæêëéâIJæ, ýëèë P 0 éñáéæãæ

àŽáŽñàãŽîâIJâèæ éŽðîæùæŽ.

áŽãŽéðçæùëå, îëé çâîúëá Žáàæèæ Žóãï òëîéñèŽï

∫ t

0

e Bτ τ m dτ =

m∑

(−1) k m(m − 1) · · · (m − k + 1) t m−k e Bt B −k−1 + (−1) m+1 m! B −m−1 .

k=0

þâî ãŽøãâêëå Žé òëîéñèæï ïŽéŽîåèæŽêëIJŽ îëùŽ m = 0. àãŽóãï

∫ t

0

e Bτ dτ =

∞∑

k=0

(

∑ ∞

=


1

t

k!

i=0

0

B k τ k dτ =

1

i! Bi t i − E

∞∑

k=0

1

(k + 1)! Bk t k+1 =

)

B −1 = e Bt B −1 − B −1 .

âýèŽ ãåóãŽå âï òëîéñèŽ ïûëîæŽ. åñ àŽéëãæõâêâIJå êŽûæèëIJæå æêðâàîâIJæï òëîéñèŽï ᎠåŽê

àŽãæåãŽèæïûæêâIJå, îëé îëàëîù ŽýèŽýŽê ãêŽýâå e Bτ -ï âîåâîåæ ìæîãâèõëòæèæŽ e Bτ B −1 , éæãæôâIJå

∫ t

0

e Bτ τ m+1 dτ = e Bτ B −1 τ m+1 ∣ ∣∣

t


0

∫ t

− (m + 1)

0

e Bτ B −1 τ m dτ = e Bt B −1 t m+1 −

m∑

(−1) k (m + 1)m · · · (m − k + 1) t m−k e Bt B −k−2 + (−1) m+2 (m + 1)! B −m−2 =

k=0


m+1


= (−1) k (m + 1)m · · · (m − k + 2) t m−k+1 e Bt B −k−1 + (−1) m+2 B −m−2 (m + 1)!

k=0

áŽéîðçæùâIJŽ áŽéåŽãîâIJñèæŽ.

åñ B àŽáŽàãŽîâIJñèæŽ, éŽöæê (11.3) ðëèëIJŽï Žáàæèæ ŽôŽî Žóãï. øãâêæ éæäŽêæŽ àŽéëãæçãèæëå

∫ t

0

e Bτ τ m dτ îëùŽ B àŽáŽàãŽîâIJñèæŽ.

åñ B àŽáŽàãŽîâIJñèæŽ, éŽöæê êñèæ ûŽîéëŽáàâêï éæï éŽýŽïæŽåâIJâè îæùýãï, â.æ. B−λE éŽðîæùï

âóêâIJŽ λ k ïŽýæï âèâéâêðŽîñèæ àŽéõëòâIJæ.

Žôãêæöêëå õãâèŽ Žïâåæ âèâéâêðŽîñèæ àŽéõëòâIJæï îæàâIJï öëîæï éŽóïæéŽèñîæ k 0 -æå. àŽãæýïâêëå

(9.6) òëîéñèŽ (åâëîâéŽ 9.2). Žé òëîéñèæáŽê àãŽóãï



∫ t

0

e Bτ τ m dτ = S



∫ t

0

e Gn 1 (λ1)τ τ m dτ 0

. ..

S −1 . (11.4)

∫ t


0

e Gn 1 (λ1)τ τ m dτ⎠

øãâêæ áŽöãâIJæï åŽêŽýéŽá λ 1 , . . . , λ r îæùýãâIJï öëîæï îŽéáâêæéâ êñèæŽ. ùýŽáæŽ, îëé åñ îëéâèæéâ

λ k ≠ 0, öâïŽIJŽéæïæ G nk (λ k ) àŽáŽñàãŽîâIJâèæŽ, ýëèë åñ λ k = 0, éŽöæê G nk (λ k ) àŽáŽàãŽîâIJñèæŽ.

Žéæðëé (11.3)-æï àŽéë àãŽóãï

∫ t

0

0

e Gn k (λ k)τ τ m dτ = e Gn k (λ k)t Q (n k)

m (t) + Q (n k)

0 , (11.5)

åñ λ k ≠ 0, ïŽáŽù Q (n k)

m (t) Žîæï n k × n k àŽêäëéæèâIJæï éŽðîæùæ, îëéèæï âèâéâêðâIJæŽ m-ñîæ

îæàæï ìæèæêëéâIJæ, ýëèë Q (n k)

0 Žîæï ŽéŽãâ àŽêäëéæèâIJæï éñáéæãæ éŽðîæùæ.

ŽéîæàŽá øãâê àŽéëïŽåãèâèæ áŽàãüæîáâIJŽ (11.5)-æï éŽîùýâêŽ éýŽîâöæ éáàëéæ àŽéëïŽýñèâIJŽ,

îëùŽ λ k = 0. ùýŽáæŽ, îëé Žé öâéåýãâãŽöæ G nk (λ k ) æàæãâŽ, îŽù z nk (æý. èâóùæŽ 9). Žéæðëé,

îëàëîù ñçãâ ãêŽýâå,


τ τ 2 τ n ⎞

k−1

1 · · ·

1! 2! (n k − 1)!

e Gn k (0)τ τ τ n k−2

=

1 · · ·

1! (n k − 2)!


⎝. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎟


O · · · 1

Žéæðëé

∫ t

0



t m+1 t m+2

t m+n k

· · ·

m + 1 (m + 2) 1! (n k + m)(n k − 1)!

t m+1

t m+n k−1

e Gn k (0)τ τ m · · ·

dτ =

m + 1 (m + n k − 1)(n k − 2)!

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .




t

O m+1 ⎠

· · ·

m + 1

= e G n k (0)t Q (n k)

n k +m(t) + Q (n k)

0 (11.6)

39


40

ïŽáŽù Q (n k)

n k +m Žîæï n×n-àŽêäëéæèâIJæŽêæ éŽðîæùæ, îëéèæï âèâéâêðâIJæŽ n k +m îæàæï ìëèæêëéâIJæ

ᎠQ (n k)

0 Žîæï æéŽãâ n k îæàæï éñáéæãæ éŽðîæùæ. ñçŽêŽïçêâè ðëèëIJŽöæ ŽáãæèŽá áŽãîûéñêáâIJæå,

åñ öâãêæöêŽãå, îëé e −Gn k (0)t éŽðîæùï Žóãï ïŽýâ


1 − t t 2

· · · (−1) n t n ⎞

k−1

k−1 1! 2!

(n k − 1)!

1 − t · · · (−1) n t n k−2

k−2 e −G n (0)t k =

1!

(n k − 2)!

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



· · · − t ⎟


1!

O · · · 1

Žáãæèæ öâïŽéøêâãæŽ, îëé åñ Žé éŽðîæùï àŽãŽéîŽãèâIJå éŽîþãêæáŽê ûæêŽ éŽðîæùŽäâ, éæãæôâIJå

éŽðîæùŽï, îëéèæï âèâéâêðâIJæ æóêâIJŽ ŽîŽ ñéâðâï n k + m îæàæï ìëèæêëéâIJæ, ýëèë Q (n k)

0 Žé

öâéåýãâãŽöæ êñèæ æóêâIJŽ, éŽàîŽé áŽãûâîå æéæðëé, îëé öâàãâêŽîøñêâIJæêŽ (11.5)-áŽê éïàŽãïâIJŽ.

ŽéîæàŽá



öâéëãæðŽêëå ŽôêæöãêâIJæ

Žàîâåãâ

H k (t) =

n k +m(t) ≡ e G n k (0)t

m + 1 m + 2

⎜. . . . . . . . . . . . . . ⎟


t

O

n+1 ⎠ .

m + 1

Q (n k)


H(t) = ⎝ H 1(t)

t m+1

{

Q (n k)

m (t) îëùŽ λ k ≠ 0

Q (n k)

m+n k

(t) îëùŽ λ k = 0

O

. . .

O


⎠ , H 0 =

H r (t)

åñ àŽãæåãŽèæïûæêâIJå (11.5) Ꭰ(11.6)-ï, (11.4)-áŽê àãâóêâIJŽ

∫ t

0

e Bτ τ m dτ = S

= S

ŽéîæàŽá ïŽIJëèëëá àãŽóãï


t n+2

(k = 1, . . . , r).

. . .

O Q (n r)

0

⎝ Q(n 1)

0 O


⎠ .

( e

G n1

)

(λ 1 )t H 1 (t) + Q n 1

0 O

. ..

S −1 =

O

e Gn r (λ r)t H r (t) + Q n r

0

( e

G n1

)

(λ 1 )t

O

. ..

S −1 S H(t) S −1 + S H 0 S −1 .

∫ t

0

O

e Gn r (λ r)t

e Bτ τ m dτ = e Bt P m+k0 (t) + P 0 . (11.7)

îëùŽ B àŽáŽñàãŽîâIJâèæŽ, ãæàñèæïýéëå, îëé k 0 = 0. éŽöæê (11.7) éëæùŽãï (11.3)-ï. ŽéîæàŽá

àãŽóãï Žïâåæ èâéŽ, îëéâèæù éëæùŽãï èâéŽ 11.1-ï.

èâéŽ 11.2. åñ k 0 Žîæï B − λE éŽðîæùæï λ k ïŽýæï âèâéâêðŽîñè àŽéõëòâIJæï îæàâIJï öëîæï

éŽóïæéŽèñîæ, éŽöæê Žáàæèæ Žóãï (11.7)-ï, ïŽáŽù P m+k0 Žîæï n × n éŽðîæùæ m + k 0 îæàæï

ìëèæêëéâIJæå âèâéâêðâIJŽá, ýëèë P 0 éñáéæãæ éŽðîæùæŽ. åñ det B ≠ 0, éŽöæê ãåãèæå, îëé

k 0 = 0.


41

ŽýèŽ áŽãñIJîñêáâå øãâêï éæäŽêï. àŽãæýïâêëå (11.2) òëîéñèŽ. èâéŽ 11.2-æï àŽéë àãâóêâIJŽ

Y (t) = e At[ e (µe−A)t P m+k0 + P 0

]

e = e µt P m+k0 (t)e + e At P 0 e = e µt p m+k0 (t) + e At e ∗ ,

(îŽáàŽê At Ꭰ(µE − A)t çëéñðâðæñîæŽ), ïŽáŽù p m+k0 (t) Žîæï ãâóðëîæ âèâéâêðâIJæå m + k 0

îæàæï ìëèæêëéâIJæå, ýëèë e ∗ Žîæï éñáéæãæ ãâóðëîæ. Žó k 0 Žîæï µE −A−λE éŽðîæùæï λ k ïŽýæï

âèâéêðŽîñè àŽéõëòâIJæï îæàâIJï öëîæï ñáæáâïæ. éŽàîŽé µE − A − λE = −(A − (µ − λ)E), Žïâ

îëé, åñ λ k Žîæï Žé éŽðîæùæï âèâéâêðŽîñèæ àŽéõëòæ, A−λ 1 E éŽðîæùæï âèâéâêðŽîñèæ àŽéõëòæ

æóêâIJŽ (µ−λ 1 ) k Žêñ îŽù æàæã⎠(µ−λ = λ 1 ). Žïâ îëé k 0 õëòæèŽ A−λE éŽðîæùæï (λ−µ) k ïŽýæï

âèâéêðŽîñè àŽéõëòâIJåŽ îæàâIJï öëîæï éŽóïæéŽèñîæ. ñçŽêŽïçêâèæ òëîéñèæï éŽîþãâêŽ éýŽîâöæ

áàŽï ëîæ öâïŽçîâIJæ, îëéâèåŽàŽê éâëîâ e At e ûŽîéëŽáàâêï (11.1)-æï öâïŽIJŽéæïæ âîåàãŽîëãŽêæ

ïæïðâéæï ŽéëýïêŽï, Žéæðëé öâæúèâIJŽ øŽéëãŽöëîëå ᎠéæãæôâIJå, (11.1) ïæïðâéŽï Žóãï Žïâåæ çâîúë

ŽéëýïêŽ

x 0 (t) = e µt p m+k0 (t). (11.8)

ŽéîæàŽá øãâê áŽãŽéðçæùâå Žïâåæ

åâëîâéŽ 11.3. åñ k 0 ûŽîéëŽáàâêï (λ − µ) k éŽðîæùæï A − λE ïŽýæï âèâéêðŽîñè àŽéõëòåŽ

îæàâIJï öëîæï éŽóïæéŽèñîï, éŽöæê (11.1) ïæïðâéŽï àŽŽøêæŽ (11.8) ïŽýæï ŽéëýïêŽ, ïŽáŽù p m+k0 (t)

Žîæï ãâóðëîæ, îëéèæï âèâéâêðâIJæŽ m+k 0 îæàæï ìëèæêëéâIJæ (çâîúëá, åñ µ Žî Žîæï A éŽðîæùæï

éŽýŽïæŽåâIJâèæ òâïãæ, ãåãèæå, îëé k 0 = 0).

Žé åâëîâéŽï æï áæáæ éêæöãêâèëIJŽ Žóãï, îëé ŽýèŽ îëùŽ ñçãâ ãæùæå, åñ îŽ ïŽýâ Žóãï (11.1)-

æï âîåâîå çâîúë ŽéëýïêŽï, çëöæï òëîéñèŽï çæ ŽôŽî éæãéŽîåŽãå, ŽîŽéâá ìæîáŽìæî áŽãûâîå

(11.1)-æï ŽéëýïêŽï (11.8) ïŽýæå, ïŽáŽù p m+k0 (t) æóêâIJŽ àŽêñïŽäôãîâè çëâòæùæâêðâIJæŽêæ ãâóðëî

ìëèæêëéæ. öâéáâà ŽéŽï öâãæðŽêå (11.1)-öæ Ꭰãæìëãæå çëâòæùæâêðâIJï. çëâòæùæâêðâIJæ îëé éëæúâIJêâIJŽ

(ïŽäëàŽáëá ŽîŽ ùŽèïŽýŽá), Žéæï àŽîŽêðæŽï æúèâ㎠åâëîâéŽ 11.3.

öâêæöãêŽ 1. æàæãâ áâIJñèâIJŽï âóêâIJŽ Žáàæèæ Žïâåæ ïŽýæï ïæïðâéæïåãæïŽù:

dx

dt = A x + q m(t) e µt , (11.9)


ïŽáŽù q m (t) Žîæï m îæàæï ãâóðëî-ìëèæêëéæ. éŽîåèŽù, ãåóãŽå q m (t) = m e k t k . éŽöæê àŽêãæýæèëå

Žïâåæ ïæïðâéŽ

dx

dt = A x + e k t k e µt (k = 0, . . . , m).

åæåëâñèï àŽŽøêæŽ Žïâåæ ïŽýæï ŽéëêŽýïêæ e µt p k+k0 (t), ýëèë éŽåæ þŽéæ ùýŽáæŽ æóêâIJŽ (11.8) ïŽýæï.

Žó øãâê ãïŽîàâIJèëIJå æé òŽóðæå, îëé åñ éëùâéñèæ àãŽóãï dx

dt = A(t) x + b 1(t) + b 2 (t) ïæïðâéŽ

Ꭰx i (i = 1, 2) Žîæï dx

dt = A(t) x+b i(t) ïæïðâéæï îŽæéâ ŽéëêŽýïêæ, éŽöæê x 1 +x 2 æóêâIJŽ éëùâéñèæ

ïæïðâéæï ŽéëêŽýïêæ. âï ùýŽáæŽ.

öâêæöãêŽ 2. Žé ñçŽêŽïçêâèæ öâêæöãêæáŽê ùýŽáæŽ, îëé åñ àãŽóãï Žïâåæ ïæïðâéŽ

ñêᎠàŽêãæýæèëå ïæïðâéŽ

dx

dt = A x +

r∑

q mi

(t) e µ it .

i=1

dx

dt = A x + q m i

(t) e µ it

(i = 1, . . . , r),

îëéâèåŽ çâîúë Žéëýïêæï ìëãêŽ øãâê ãæùæå öâêæöãêŽ 1-æï åŽêŽýéŽá. Žé ŽéëýïêâIJæï þŽéæ éëàãùâéï

éëùâéñèæ ïæïðâéæï çâîúë ŽéëýïêŽï.

k=0


42

ãåóãŽå éëùâéñèæ àãŽóãï ïæïðâéŽ

èâóùæŽ 13.

dx

dt = A x + [ q 1m1 (t) sin αt + q 2m2 (t) cos αt ] e βt , (13.1)

ïŽáŽù A êŽéáãæèæ éŽðîæùæŽ, q 1m1 Ꭰq 2m2 ŽîæŽê öâïŽIJŽéæïŽá m 1 Ꭰm 2 îæàæï ìëèæêëéâIJæ, α

Ꭰβ êŽéáãæèæ îæùýãâIJæŽ.

Žôãêæöéëå µ = β + iα. îëàëîù ùêëIJæèæŽ,

sin αt = eiαt − e −iαt

= i (

e −iαt − e iαt) , cos αt = eiαt + e −iαt

.

2i 2

2

Žéæï àŽåãŽèæïûæêâIJæå (13.1)-æï éŽîþãâêŽ éýŽîâöæ ŽîŽâîåàãŽîëãŽêæ ûâãîæ öâæúèâIJŽ Žïâ àŽáŽãûâîëå

[

q1m1 (t) sin αt + q 2m2 (t) cos αt ] e βt = 1 [

q2m2 (t) − i q

2

1m1 (t) ] e µt +

+ 1 2[

q2m2 (t) + i q 1m1 (t) ] e µ∗t = g m (t) e µt + g ∗ m(t) e µ∗t ,

ïŽáŽù m max(m 1 , m 2 ), g m (t) = q 2m2 (t)−i q 1m1 (t) çëéìèâóïñîæ m-ñîæ îæàæï ãâóðëî-ìëèæêëéæŽ,

ýëèë îŽáàŽê äâéëáŽê àŽïéñèæ ýŽäæ ñçãâ áŽçŽãâIJñèæŽ, ãŽîïçãèŽãæå Žôãêæöêëå çëéìèâóïñî

öâñôèâIJñèäâ àŽáŽïãèæï ëìâîŽùæŽ. ŽéîæàŽá, (11.3) ïæïðâéŽ áŽæöèâIJŽ ëî ïæïðâéŽá

dx

dt = A x + g m(t) e µt , (13.2)

dx

dt = A x + g m(t) e µ∗t . (13.2 ∗ )

ãåóãŽå k 0 Žîæï (λ−µ) k éŽðîæùæï A−λε ïŽýæï âèâéâêðŽîñè àŽéõëòåŽ îæàâIJï öëîæï éŽóïæéŽèñîæ.

éŽöæê áŽéðçæùâIJñèæ åâëîâéŽ 11.3-æï öâêæöãêŽ 1-æï úŽèæå (13.2)-ï Žóãï Žïâåæ ïŽýæï ŽéëýïêŽ

x(t) = p m+k0 (t) e µt .

åñ ŽéŽï öâãæðŽêå (13.2)-öæ ᎠàŽáŽãŽèå ëîæãâ éýŽîâöæ öâñôèâIJñèäâ, îŽáàŽê A êŽéáãæèæŽ,

éæãæôâIJå, îëé x(t)-ï öâñôèâIJñèæ x ∗ (t) = p ∗ m+k 0

(t) e µ∗ t

æóêâIJŽ (13.2 ∗ )-æï âîåâîåæ ŽéëýïêŽ.

ŽéîæàŽá

x 0 (t) = x(t) + x ∗ (t) = p m+k0 (t) e µt + p ∗ m+k 0

(t) e µ∗ t

æóêâIJŽ (13.1)-æï êŽéáãæèæ ŽéëýïêŽ. éæãæôâå Žïâåæ öâáâàæ

öâáâàæ 13.1. åñ µ = β+iα Ꭰk 0 ûŽîéëŽáàâêï (A−λε) éŽðîæùæï (λ−µ) 2 ïŽýæï âèâéâêðŽîñè

àŽéõëòâIJæï îæàâIJï öëîæï éŽóïæéŽèñîï, éŽöæê (13.1)-ï Žóãï ŽéëýïêŽ

x 0 (t) = [ s 1,m+k0 (t) cos αt + s 2,m+k0 (t) sin αt ] e βt , (13.3)

ïŽáŽù m = max(m 1 , m 2 ), ýëèë s 1,m+k0 Ꭰs 2,m+k0 ŽîæŽê m + k 0 îæàæï ãâóðëî-ìëèæêëéâIJæ

(êŽéáãæèæ). öâãêæöêëå, îëé (13.1)-æï éŽîþãâêŽ éýŽîâöæ îëé àãóëêáâï éŽîðë sin Žê cos, (13.1)-

æï çâîúë ŽéëýïêŽ éŽæêù ñêᎠãâúâIJëå (13.3) òëîéæå.

àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéæïŽåãæï éæôâIJñè áâIJñèâIJæáŽê àŽéëãæõãŽêëå öâáâàâIJæ n-ñîæ îæàæï ûîòæãæ

àŽêðëèâIJæïŽåãæï

n∑

u (n) = a k u (k−1) + q m (t) e βt , (13.4)

k=1

ïŽáŽù q m Žîæï m îæàæï êŽéáãæèæ ìëèæêëéæ. öâãŽáàæêëå (13.4)-æï éŽýŽïæŽåâIJâèæ àŽêðëèâIJŽ

n∑

λ n = a k λ k−1 . (13.5)

k=1


ãåóãŽå µ Žîæï (13.5)-æï k 0 þâîŽáæ òâïãæ (åñ òâïãæ Žî Žîæï, ãåãèæå, îëé k 0 = 0). îëàëîù

èâóùæŽ 10-áŽê øŽêï (13.4) àŽêðëèâIJæï öâïŽIJŽéæïæ âîåàãŽîëãŽêæ ïæïðâéæï éŽýŽïæŽåâIJâè éŽðîæùŽï

Žóãï éýëèëá (λ − µ) k 0

âèâéâêðŽîñèæ àŽéõëòæ, îëéâèæù Žîæï (λ − µ) k ïŽýæï, Žïâ, îëé Žé ïŽýæï

âèâéâêðŽîñè àŽéõëòâIJæï îæàâIJï öëîæï éŽóïæéŽèñîæ æóêâIJŽ k 0 .

Žéæðëé, åâëîâéŽ 11.3-æï öâêæöãêŽ 1-áŽê àŽéëáæï, îëé (13.4)-ï Žïâåæ ïŽýæï ŽéëýïêŽ

p m+k0 (t) e µt = g k0 −1(t) e µt + t k 0

h m (t) e µt .

îëùŽ k 0 = 0, ãàñèæïýéëIJå, îëé g −1 = 0. Žó g k0 −1 Žîæï k 0 îæàæï ìëèæêëéæ, ýëèë h m çæ m

îæàæï. éŽàîŽé, îëàëîù åâëîâéŽ 10.2-áŽê øŽêï, åñ k 0 ≠ 0, g k0 −1(t) e µt ûŽîéëŽáàâêï (13.4)-

æï öâïŽIJŽéæïæ âîåàãŽîëãŽêæ àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽï. Žïâ, îëé (13.4) ïæïðâéŽï Žóãï Žïâåæ çâîúë

ŽéëýïêŽ

x 0 (t) = t k 0

h m (t) e µt . (13.6)

ŽéîæàŽá àãŽóãï Žïâåæ

öâáâàæ 13.2. åñ µ ûŽîéëŽáàâêï (13.5) ïæïðâéæï k 0 þâîŽá òâïãï, éŽöæê (13.4) àŽêðëèâIJŽï

Žóãï (13.6) ïŽýæï ŽéëýïêŽ.

ᎠIJëèëï àŽêãæýæèëå Žïâåæ àŽêðëèâIJŽ

n∑

u (n) = a k u (k−1) + [ q 1m1 (t) cos αt + q 2m2 (t) sin αt ] e βt , (13.7)

k=1

ïŽáŽù q 1m1 Ꭰq 2m2 ŽîæŽê öâïŽIJŽéæïŽá m 1 Ꭰm 2 îæàæï ìëèæêëéâIJæ.

öâáâàæ 13.1-áŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï

öâáâàæ 13.3. åñ β + iα ûŽîéëŽáàâêï (13.5) àŽêðëèâIJæï k 0 þâîŽá òâïãï, éŽöæê (13.7)-ï Žóãï

Žïâåæ ïŽýæï ŽéëýïêŽ

x 0 (t) = t k 0 [ h 1,m (t) cos αt + h 2,m (t) sin αt ] e βt ,

ïŽáŽù h 1,m Ꭰh 2,m ŽîæŽê m îæàæï ìëèæêëéâIJæ, ýëèë m = max(m 1 , m 2 ).

àŽêãæýæèëå Žïâåæ ŽéëùŽêŽ.

ãåóãŽå éëùâéñèæŽ ïæïðâéŽ

dx

= A(t) x + b(t), (1)

dt

ïŽáŽù A ñûõãâðæ éŽðîæùæŽ, b ñûõãâðæ ãâóðëîæ Ꭰëîæãâ ìâîæëáñèæŽ ω ìâîæëáæå. ãŽøãâêëå,

îëé Žé ïæïðâéŽï âóêâIJŽ âîåŽáâîåæ ìâîæëáñèæ ŽéëýïêŽ éŽöæê Ꭰéýëèëá éŽöæê, åñ öâïŽIJŽéæï

âîåàãŽîëãŽê ïæïðâéŽï Žî àŽŽøêæŽ ŽîŽðîæãæŽèñîæ ìâîæëáñèæ ŽéëýïêŽ ω ìâîæëáæå.

ìæîëIJæï ŽñùæèâIJèëIJŽ ŽöçŽîŽŽ. ãåóãŽå (1) ïæïðâéŽï Žóãï âîåŽáâîåæ ìâîæëáñèæ ŽéëýïêŽ x 0

ω-ìâîæëáæå ᎠãåóãŽå (1)-æï öâïŽIJŽéæïæ âîåàãŽîëãŽêæ ïæïðâéŽï

dx

= A(t) x (2)

dt

Žóãï ŽîŽðîæãæŽèñîæ ω ìâîæëáñèæ x 1 (t) ŽéëýïêŽ. éŽöæê (1) ïæïðâéŽï âóêâIJŽ Žïâåæ ω-ìâîæëáñèæ

ŽéëýïêŽ

x 2 (t) = x 0 (t) + x 1 (t)

îëéâèæù x 1 -æï ŽîŽðîæãæŽèñîëIJæï àŽéë àŽêïýãŽãâIJñèæŽ x 0 -ïàŽê. îŽù âûæꎎôéáâàâIJŽ æéŽï, îëé

x 0 (t) âîåŽáâîåæ æõë.

ïŽçéŽîæïëIJæï ïŽøãâêâIJèŽá éæãéŽîåëå (7.4)-ï. åñ Y (t) Žîæï (2)-æï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ,

àãŽóãï (t 0 = 0, Y −1 (0) x 0 = c)

∫ t

x(t) = Y (t) c + Y (t) Y −1 (τ) b(τ) dτ. (3)

0

43


44

ãŽøãâêëå, îëé

Y (t + ω) = Y (t) C, (4)

ïŽáŽù C îŽôŽù éñáéæãæ éŽðîæùæŽ. ŽéæïŽåãæï ïŽçéŽîæïæŽ ãŽøãâêëå, îëé [Y −1 (t) Y (t + ω)] ′ = 0.

îŽáàŽê Y (t) Y −1 (t) = E, àãŽóãï Y ′ (t) Y −1 (t) + Y (t)[Y −1 (t)] ′ = 0. Žïâ, îëé

Žéæï àŽéëõâêâIJæå àãŽóãï

Žïâ, îëé

[Y −1 (t)] ′ = −Y −1 (t) Y ′ (t) Y −1 (t).

[Y −1 (t) Y (t + ω)] ′ = −Y −1 (t) Y ′ (t) Y −1 (t) Y (t + ω) + Y (t) −1 Y ′ (t + ω),

[Y −1 (t) Y (t + ω)] ′ = −Y −1 (t) A(t) Y (t) Y −1 (t) Y (t + ω) + Y −1 (t) A(t) Y (t + ω) = 0.

Žéæå (4) áŽéðçæùâIJñèæŽ.

(4)-æï àŽéë (3)-áŽê àãŽóãï

x(t + ω) = Y (t) C c + Y (t) C

= Y (t) C c + T (t) c

∫ ω

0

∫ ω

0

∫ t

Y −1 (τ) b(τ) dτ + Y (t) c

∫ t

Y −1 (τ) b(τ, dτ + T (t)

0

o

C −1 Y −1 (τ) b(τ dτ =

Y −1 (τ) b(τ dτ.

æéæïŽåãæï, îëé x æõëï ìâîæëáñèæ ω ìâîæëáæå, ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé x(t) ≡ x(t+ω).

ω∫

ŽéæïŽåãæï çæ ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé C c + C Y −1 (τ) b(τ) dτ = c, Žêñ

(E − C)c = C

∫ ω

0

0

Y −1 (τ) b(τ) dτ. (5)

ãŽøãâêëå, îëé E − C àŽáŽñàãŽîâIJâèæŽ. ãåóãŽå E − C àŽáŽàãŽîâIJñèæŽ. éŽöæê (4)-áŽê àãŽóãï

ᎠîŽáàŽê det(C − E) = 0,

Y (t + ω) − Y (t) = Y (t)(C − E)

det(Y (t + ω) − Y (t)) ≡ 0. (6)

éŽàîŽé, îëàëîù (4)-áŽê øŽêï, Y (t + ω) − Y (t)-æï ïãâðâIJæ (2)-æï ŽéëêŽýïêâIJæŽ. Žéæðëé åâëîâéŽ

5.1-æï úŽèæå (6)-áŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï, îëé âï ïãâðâIJæ ûîòæãŽá áŽéëçæáâIJñèæŽ. â.æ. ŽîïâIJëIJï

æïâåæ ŽîŽêñèëãŽêæ ãâóðëîæ C ∗ , îëé Y (t + ω)c ∗ = Y (t) c ∗ . ŽéîæàŽá (2)-æŽ ŽéëýïêŽ Y (t) c ∗

õëòæèŽ ìâîæëáñèæ. îŽù øãâêï ìæîëIJâIJï âûæꎎôéáâàâIJŽ. Žáãæèæ öâïŽéøêâãæŽ, îëé ìæîæóæåŽù.

åñ (2)-ï Žóãï îŽôŽù ìâîæëáñèæ ŽéëêŽýïêæ Y (t) c ∗ ω-ìâîæëáæå, éŽöæê ŽóâáŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï,

îëé E − C àŽáŽàãŽîâIJñèæŽ.

ŽéîæàŽá, æéæïŽåãæï, îëé (5)-áŽê C ùŽèïŽýŽá àŽêæïŽäôãîëï Ꭰâ.æ. (1)-ï ßóëêáâï âîåŽáâîåæ

ω-ìâîæëáñèæ ŽéëýïêŽ, ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé (2)-ï Žî ßóëêáâï Žîùâîåæ ŽéëýïêŽ

(ŽîŽðîæãæŽèñîæ) ω-ìâîæëáæå.

àŽêãæýæèëå ïæïðâéŽ

ïŽáŽù A ∈ C n×n (I).

èâóùæŽ 14.

ûîòæãæ âîåàãŽîëãŽêæ ïæïðâéâIJæï îæàæï áŽûâãŽ

dx

df

= A(t) x, (14.1)


áŽãñöãŽå, îëé ãæùæå Žé ïæïðâéæï r ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæ ŽéëýïêŽ

x 1 (t), . . . , x r (t), r < n. (14.2)

æïéæï ïŽçæåýæ: öâàãæúèæŽ åñ ŽîŽ, ãæùæå îŽ (14.1) ïæïðâéæï r ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæ ŽéëýïêŽ

(14.2), áŽãæõãŽêëå (14.1) ïæïðâéŽ n − r îæàæï ïæïðâéŽäâ. âï ïŽçæåýæ áŽáâIJæåŽá ûõáâIJŽ, éŽàîŽé

ïŽäëàŽáëá ŽîŽ éåâèï I öñŽèâáöæ, ŽîŽéâá éæï îëéâèæôŽù I 0 ⊂ I óãâöñŽèâáöæ, îëéâèæù

öâæúèâIJŽ áŽâéåýãâï I-ï.

àŽêãæýæèëå éŽðîæùæ Y (t), îëéèæï ïãâðâIJæ æóêâIJŽ (14.2) ŽéëêŽýïêâIJæ. ŽáãæèŽá áŽãîûéñêáâ-

IJæå, îëé Y (t) éŽðîæùæï îŽêàæ I öñŽèâáæï êâIJæïéæâî ûâîðæèöæ Žîæï r. éŽîåèŽù, âîåæï éýîæã

îŽêàæ îëé Žî ŽôâéŽðâIJŽ r-ï ùýŽáæŽ, îŽáàŽê ïñè r ïãâðæŽ, ýëèë éâëîâï éýîæã, îëéâèæéâ

t 0 ∈ I-åãæï îëé îŽêàæ êŽçèâIJæ æõëï r-äâ, Y -æï ïãâðâIJæ Žé t 0 -ïåãæï àŽéëãæáëᎠûîòæãŽá

áŽéëçæáâIJñèæ, öâéáâà çæ åâëîâéŽ 5.1-æï ŽêŽèëàæñîŽá éæãæôâIJáæå, îëé (14.2) ïæïðâéŽ ûîòæãŽá

áŽéëçæáâIJñèæŽ I-äâ. îŽù öâñúèâIJâèæŽ.

Žãæôëå êâIJæïéæâîæ t 0 ∈ I. éëæúâIJêâIJŽ Y (t 0 ) éŽðîæùæï r îæàæï êñèæïŽàŽê àŽêïýãŽãâêñèæ

éæêëîæ. äëàŽáëIJæï áŽñîôãâãèŽá, öâæúèâIJŽ ãæàñèæïýéëå, îëé âï éæêëîæ éëåŽãïâIJñèæŽ äâáŽ

çñåýâöæ (ûæꎎôéáâà öâéåýãâãŽöæ êñéâîŽùæŽï öâãùãèæå) ᎠY (t) ûŽîéëãŽáàæêëå Žïâ

( )

Y1 (t)

Y (t) =

Y 2 (t)

ïŽáŽù Y 1 Žîæï r × r îæàæï éŽðîæùæ, ýëèë Y 2 çæ (n − r) × r îæàæï éŽðîæùæ. áŽöãâIJæï åŽêŽýéŽá,

det[Y 1 (t 0 )] ≠ 0. áâðâîéæêŽêðæï ñûõãâðëIJæï àŽéë ŽîïâIJëIJï t 0 -æï éëéùãâèæ öñŽèâáæ I 0 ⊂ I, îëé

àŽêãæýæèëå Žïâåæ éŽðîæùæ

det Y 1 (t) ≠ 0 îëùŽ t ∈ I 0 . (14.3)

Z(t) =

(

Y1 (t)

)

0

Y 2 (t) E

45

(14.4)

ïŽáŽù E Žîæï (n−r)×(n−r) îæàæï âîåâñèëãŽêæ éŽðîæùæ. ñöñŽèëá àŽáŽéîŽãèâIJæå

(

áŽãîûéñêáâIJæå,

îëé I 0 öñŽèâáöæ Z-æï öâIJîñêâIJñèæ æóêâIJŽ Žïâåæ éŽðîæùæ Z −1 Y1 −1 (t) 0

)

(t) =

−Y 2 (t) Y1 −1 .

(t) E

ŽýèŽ éëãŽýáæêëå (14.1) ïæïðâéæï öâéáâàæ àŽîáŽóéêŽ I 0 öñŽèâáöæ

x = Z(t) y(t). (14.5)

âï àŽîáŽóéêŽ öâIJîñêâIJŽáæŽ Žôêæöêñè öñŽèâáöæ, îŽáàŽê öâéîñêâIJŽáæŽ Z éŽðîæùæ. àŽîᎠŽéæïŽ

Z ñûõãâðŽá ûŽîéëâIJŽáæŽ. àãŽóãï x ′ (t) = Z ′ (t) y(t) + Z(t) y(t).

àŽãæýïâêëå, îëé x ′ (t) = A(t) x(t) = A(t) Z(t) y(t), Žïâ, îëé

Žêñ

z ′ (t) y(t) + Z(t) y(t) = A(t) Z(t) y(t),

Z(t) y ′ (t) = [ A(t) Z(t) − Z ′ (t) ] y(t). (14.6)

ùýŽáæŽ, îëé

( ) ( ) ( )

Y

Z ′ ′

(t) = 1(t) 0

Y 2(t) ′ = y

0

0

′ y1 (t) 0

(t)

0

= A(t)

y 2 (t) 0

îŽáàŽêŽù y ′ (t) = A(t) y(t). õëãâèæãâ Žéæï àŽéë

[( ) ( )]

A(t) Z(t) − Z ′ Y1 (t) 0 Y1 (t) 0

(t) = A(t)


=

Y 2 (t) E Y 2 (t) 0



( ) A

0 0

11 (t) . A 12 (t) ( ) ( )

= A(t) = ⎜

0 E ⎝ · · · . · · ·

⎟ 0 0 0 A12 (t)

⎠ =

0 E 0 A 22 (t)

A 21 (t) . A 22 (t)


46

Žó A 11 Žîæï r × r îæàæï, A 12 çæ r × n − r îæàæï éŽðîæùæ ᎠŽ.ö. ŽéàãŽîŽá (14.5) ïæïðâéŽ Žïâ

àŽáŽæûâîâIJŽ

( )

0

Z(t) y ′ A12 (t)

(t) =

y(t).

0 A 22 (t)

ŽóâáŽê åñ àŽãæåãŽèæïûæêâIJå Z −1 -æï ïŽýâï, àãŽóãï

( ) ( )

Y

y ′ −1

1 (t) 0 0 A12 (t)

(t) =

−Y 2 (t) y 1

′ −1

y(t).

E 0 A 22 (t)

( )

y1

ûŽîéëãŽáàæêëå y Žïâ y = , ïŽáŽù y

y 1 Žîæï r àŽêäëéæèâIJæŽêæ, ýëèë y 2 çæ n − r àŽêäëéæèâIJæŽêæ

ãâóðëîæ. àãŽóãï

2

( ) ( ) ( )

′ y1 0 Y

−1

1 A

′ =

12 (t)

y1

y 2 0 A 22 (t) − Y 2 (t) Y1 −1

.

(t) A 12 (t) y 2

Žêñ åñ áŽãûâîå öâïŽIJŽéæï ðëèëIJâIJï y 1 Ꭰy 2 -æï éæéŽîå, àãâóêâIJŽ

y 1 ′ = Y −1

1 A 12 (t) y 2 , (14.7 1 )

y 2

′ [ A 22 (t) − Y 2 (t) Y −1

1 A 12 (t) ] y 2 . (14.7 2 )

øãâêï éæâî áŽïéñèæ ŽéëùŽêŽ àŽáŽûõãâðæèæŽ. (14.1) ïæïðâéŽ áŽæõãŽêâIJŽ (14.7 1 ) Ꭰ(14.7 2 ) ïæïðâéŽåŽ

âîåëIJèæëIJŽäâ. éŽàîŽé Žó òŽóðæñîŽá ŽéëïŽýïêâèæŽ (14.7 2 ) n − r îæàæï ïæïðâéŽ. ýëèë

öâéáâà (14.7 1 )-áŽê ìæîáŽìæî àŽãæàâIJå Y 1-ï. ′ ŽéàãŽîŽá øãâê áŽãŽéðçæùâå öâéáâàæ

( )

Y1 (t)

åâëîâéŽ 14.1. åñ Y (t) = ûŽîéëŽáàâêï (14.1) ïæïðâéæï ŽéëýïêŽåŽ n × r éŽðîæùŽï

Y 2 (t)

ᎠY 1 (t) Žîæï r × r éŽðîæùæ, îëéèæï áâðâîéæêŽêðæ Žî ñáîæï êñèæï I 0 ⊂ I öñŽèâáöæ, éŽöæê

(14.5) àŽîáŽóéêŽ ŽéõŽîâIJï ñîåæâîåùŽèïŽýŽ åŽêŽáëIJŽï (14.1) Ꭰ(14.7 1 ), (14.7 2 ) ïæïðâéâIJæï

ŽéëýïêâIJï öëîæï. â.æ. òŽóðæñîŽá I 0 öñŽèâáöæ (14.1) éææõãŽêâIJŽ n − r îæàæï (14.7 2 ) ïæïðâéŽäâ.

èâóùæŽ 15.

ìâîæëáñè çëâòæùæâêðâIJæŽêæ ûîòæãæ âîåàãŽîëãŽêæ áæò. ïæïðâéâIJæ (òèëçâï

åâëîæŽ)

àŽêãæýæèëå ïæïðâéŽ

dx

= A(t) x, (15.1)

df

ïŽáŽù A ∈ C n×n (] − ∞, +∞[) ᎠŽéŽï àŽîᎠA ìâîæëáñèæŽ ω ìâîæëáæå. â.æ.

A(t + ω) = A(t), t ∈] − ∞, +∞[. (15.2)

åâëîâéŽ 15.1. åñ áŽùñèæŽ (15.2) ìæîëIJâIJæ, éŽöæê (15.1) ïæïðâéæï õëãâèæ òñêáŽéâêðñîæ

éŽðîæùæ X(t) ûŽîéëáàâIJŽ Žïâåæ ïŽýæå

X(t) = P (t) e Rt , t ∈] − ∞, +∞[, (15.3)

ïŽáŽù R Žîæï éñáéæãæ n × n éŽðîæùæ, ýëèë p ìâîæëáñèæŽ ω ìâîæëáæå,

Žé åâëîâéæï áŽïŽéðçæùâIJèŽá áŽàãüæîáâIJŽ Žïâåæ

P (t + ω) = P (t), t ∈] − ∞, +∞[. (15.4)

èâéŽ 15.2. åñ B Žîæï éñáéæãæ àŽáŽñàãŽîâIJâèæ éŽðîæùæ, éŽöæê ŽîïâIJëIJï æïâåæ C éŽðîæùæ,

îëé Žáàæèæ Žóãï e C = B ðëèëIJŽï. C-ï âûëáâIJŽ êŽðñîŽèñîæ èëàŽîæåéæ B-áŽê ᎠC = L n B.

æïâãâ îëàëîù çëéìèâóïñîæ îæùýãâIJæï öâéåýãâãŽöæ, C ŽîŽùŽèïŽýŽá àŽêæïŽäôãîâIJŽ ᎠL n B-æå

ŽôæêæöêâIJŽ õãâèŽ Žïâåæ c-ï âîåëIJèæëIJŽ.


áŽéðçæùâIJŽ. þâî àŽêãæýæèëå æï öâéåýãâãŽ, îëùŽ B Žîæï íëîáŽêæï ñþîŽ, ãåóãŽå B =

G m (λ), λ ≠ 0. îŽáàŽê B àŽáŽñàãŽîâIJâèæŽ, àãŽóãï (æý. èâóùæŽ 9)

[

B = λ E m + Z m = λ E m + 1 ]

λ Z m .

zm k = 0 îëùŽ k ≥ m. àŽêãæýæèëå Žïâåæ éŽðîæùæ

∞∑ (−1) k−1 ( 1

) k,

C = E m L n λ +

k λ Z m

(15.5)

k=1


ïŽáŽù, îëàëîù ãæùæå, L n λ = ln |λ|+i(arg λ+2kπ) (k = 0, ±1, . . . Ꭰln(1+z) = ∞ (−1) k−1

z k

k=1 k

îëùŽ |z| < 1. îŽáàŽê øŽçâðæè ûîâöæ, îëéâèæù éëåŽãïâIJñèæŽ |z| < 1-öæ âï éûçîæãæ åŽêŽIJîŽá

çîâIJŽáæŽ. àãŽóãï

∞∑

[

1 ∑ ∞ ]

(−1) k−1 j

z k = 1 + z, |z| < 1. (15.6)

j! k

j=0 k=1

åñ éŽîùýâêŽ éýŽîâöæ âîåæ Ꭰæàæãâ ýŽîæïýâIJï áŽãŽþàñòâIJå, éæãæôâIJå ýŽîæïýëãŽê éûçîæãï áŽ

îëàëîù âï ðëèëIJŽ àãæøãâêâIJï, Žé éûçîæãæï çëâòæùæâêðâIJæ z 2 -æï çëâòæùæâêðâIJæáŽê áŽûõâIJñèæ

êñèâIJæŽ.

(15.6) òëîéñèŽöæ òŽóðæñîŽá àãŽóãï ïŽïîñèæ þŽéæ

∞∑ (−1) k−1 ( m−1

1 k−1

m)

k λ Z ∑ (−1) k−1 ( 1 =

k λ Z m

k=1

k=1

) k−1.

Žéæðëé åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáëIJŽ àŽîŽêðæîâIJñèæ àãŽóãï. Žéæðëé (15.7) òëîéñèæï ŽêŽèëàææå, îŽáàŽê

éŽðîæùæï ýŽîæïýâIJæ âîåéŽêâåæï çëéñðŽðæñîæŽ, öâàãæúèæŽ áŽãûâîëå

( ) k

∑ ∞ (−1) k−1 1

k=1 k λ

e

Z m

= E m + 1 λ Z m.

îŽáàŽê L n λE çëéñðŽðæñîæŽ, (15.6)-áŽê àãŽóãï

(

e C = λ E m + 1 ) (

λ Z m = λ E m + 1 )

λ Z m = B.

èâéŽ áŽéðçæùâIJñèæŽ æé öâéåýãâãŽöæ, îëùŽ B íëîáŽêæï ñþîâáæŽ.

ŽýèŽ ãåóãŽå B Žîæï êâIJæïéæâîæ àŽáŽñàãŽîâIJâèæ éŽðîæùæ. éŽöæê íëîáŽêæï åâëîâéæï åŽêŽýéŽá

ŽîïâIJëIJï àŽáŽñàãŽîâIJâèæ éŽðîæùæ S, æïâåæ îëé



G n1 (λ 1 ) O

B = S −1 ⎝ .. . ⎠ S,

O G nm (λ m )

ïŽáŽù λ j

éŽðîæùæ

≠ 0 (j = 1, . . . , m) Žîæï B éŽðîæùæï éŽýŽïæŽåâIJâèæ îæùýãâIJæ. àŽêãæýæèëå Žïâåæ



L n G n1 (λ 1 ) O

C = S −1 ⎝

. ..

⎠ S.

O L n G nm (λ m )

åñ àŽãæýïâêâIJå èâóùæŽ 9-ï, áŽãæêŽýŽãå, îëé



e L nG n1 (λ 1 )

O

e c = S −1 ⎜


. .


.

⎠ S = B.

O e LnGn m(λ m)

èâéŽ áŽéðçæùâIJñèæŽ.

47


48

åâëîâéŽ 15.1-æï áŽéðçæùâIJŽ. àŽêãæýæèëå éŽðîæùæ Y (t) = X(t + ω), ïŽáŽù X(t) Žîæï

(15.1)-æï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ. ãŽøãâêëå, îëé Y (t) Žàîâåãâ ûŽîéëŽáàâêï (15.1)-æï òñêáŽéâêðñî

éŽðîæùï. ŽéæïŽåãæï ïŽçéŽîæïæŽ ãŽøãâêëå, îëé

dY (t)

= A(t) Y (t)

dt

îŽáàŽê det[Y (t)] îëé ŽîïŽá êñèæ Žî Žîæï. âï ùýŽáæŽ. àãŽóãï

Y ′ (t) = X ′ (t + ω) = A(t + ω) X(t + ω) = A(t) X(t + ω) = A(t) Y (t)

A-ï ìâîæëáñèëIJæï àŽéë. Žéæðëé åâëîâéŽ 5.3-æï úŽèæå àãŽóãï Y (t) = X(t) B, â.æ.

X(t + ω) = X(t) B, t ∈] − ∞, +∞[, (15.7)

ïŽáŽù B Žîæï éñáéæãæ àŽáŽñàãŽîâIJâèæ éŽðîæùæ. îŽáàŽê èâéŽ 15.2-æï àŽéë ŽîïâIJëIJï L n B.

Žãæôëå R = 1 ω L n B ᎠP (t) = X(t) e −Rt . åñ P (t)-ï Žïâ àŽêãïŽäôãîŽãå, (15.3) áŽçéŽõëòæèáâIJŽ.

ïŽøãâêâIJâèæ áŽàãîøŽ (15.4). àãŽóãï

P (t + ω) = X(t + ω) e −Rω) e−Rt =X(t+ω) e −L nB e −Rt =X(t) B e −L nB e − Rt = X(t) e −R(t) = P (t).

åâëîâéŽ áŽéðçæùáŽ.

åñ ŽãæôâIJå (15.7)-öæ t = 0, éæãæôâIJå

B = X −1 (0) X(ω).

B âûëáâIJŽ (15.1) ïæïðâéæï éëêëáîëéæï éŽðîæùæ. B áŽéëçæáâIJñèæŽ òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæï

ŽîøâãŽäâ. éŽàîŽé îëàëîù ŽáãæèŽá áŽãîûéñêáâIJæå, ïýãŽáŽïý㎠òñêáŽéâêðñîæ ïæïðâéæï öâïŽIJŽéæïæ

éëêëáîëéæï éŽðîæùâIJæ éïàŽãïæŽ. éŽîåèŽù, åñ Y (t) Žîæï (15.1) ïæïðâéæï ïý㎠òñêáŽéâêðñîæ

éŽðîæùæ, éŽöæê Y (t) = X(t) C, ïŽáŽù C Žîæï éñáéæãæ àŽáŽñàãŽîâIJâèæ éŽðîæùæ. â.æ. Y -ï

öâïŽIJŽéæïæ éëêëáîëéæï éŽðîæùæ. àãŽóãï ˜B = C −1 X −1 (0) X(ω)C = C −1 B C. ìæîæóæå, åñ B

Žîæï (15.1)-æï éëêëáîëéæï éŽðîæùæ, éŽöæê õëãâèæ éæïæ éïàŽãïæ éŽðîæùæ æóêâIJŽ Žàîâåãâ (15.1)-æï

éëêëáîëéæï éŽðîæùæ.

ŽéîæàŽá, (15.1) ïæïðâéæï éëêëáîëéæï éŽðîæùåŽ âîåëIJèæëIJŽ ñîåæâîåéïàŽãïæŽ. Žéæðëé õãâèŽ

éŽå Žóãå ïŽâîåë éŽýŽïæŽåâIJâèæ îæùïãâIJæ. éŽå âûëáâIJŽå Žé ïæïðâéæï éñèðæìèæçŽðëîâIJæ, ýëèë

R = 1 ω L n B éŽðîæùæï éŽýŽïæŽåâIJâè îæùýãâIJï, Žêñ ïŽçñåîæã éêæöãêâèëIJâIJï, ïŽáŽù B (15.1)-æï

éëêëáîëéæï éŽðîæùæŽ, âûëáâIJŽ (15.1) ïæïðâéæï éŽýŽïæŽåâIJâèæ éŽøãâêâIJèâIJæ.

ŽéîæàŽá (15.1)-ï Žóãï ùŽèïŽýŽá àŽêïŽäôãîñèæ éñèðæìèæçŽðëîâIJæ, îŽù öââýâIJŽ éŽýŽïæŽåâIJâè

éŽøãâêâIJèâIJï, îëàëîù èâéŽ 15.2-ï áŽéðçæùâIJŽöæ, L n B-æï ŽàâIJæáŽê øŽêï, éæïæ ïŽçñåîæãæ éêæöãêâèëIJâIJæ

ŽîæŽê B-ï ïŽçñåîæãæ éêæöãêâèëIJâIJæï èëàŽîæåéâIJæ ᎠŽéæðëé (15.1)-æï éŽýŽïæŽåâIJâèæ

éŽøãâêâIJèâIJæ àŽêæïŽäôãîâIJæŽê 2kπi öâïŽçîâIJæï ïæäñïðæå, îëéèâIJïŽù îëàëîù öâéáâàöæ ãêŽýŽãå,

ω

éáàîŽáëIJæï åâëîæŽöæ ŽîïâIJæåæ îëèæ Žóãå. îŽù öââýâIJŽ åâëîâéŽ 15.1-æï éêæöãêâèëIJæï àŽéë

(15.1)-æï ŽéëýïêŽåŽ õëòŽóùâ㎠ñïŽïîñèëIJŽöæ - éŽåæ öâéëïŽäôãîñèëIJŽ êñèæïŽçâê çîâIJŽáëIJŽ áŽ

Ž.ö. àŽêæïŽäôãîâIJŽ e Rt éŽéîŽãèæå, Žêñ îŽù æàæãâŽ, éæïæ éñèðæìèæçŽðëîâIJæå Žê éŽýŽïæŽåâIJâèæ

éŽøãâêâIJèâIJæå.

åâëîâéŽ 15.3. æéæïŽåãæï, îëé λ æõëï (15.1) ïæïðâéæï éñèðæìèæçŽðëîæ, ŽñùæèâIJâèæ áŽ

ïŽçéŽîæïæŽ, îëé (15.1) ïæïðâéŽï àŽŽøêáâï æïâåæ ŽîŽðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ x(t), îëé

x(t + ω) = λ x(t). (15.8)

áŽéðçæùâIJŽ. ãåóãŽå λ Žîæï (15.1) ïæïðâéæï éñèðæìèæçŽðëîæ, Žêñ îëéâèæéâ X(t) òñêáŽéâêðñîæ

éŽðîæùæï öâïŽIJŽéæïæ éëêëáîëéæï B éŽðîæùæï ïŽçñåîæãæ éêæöãêâèëIJŽ. Žéæðëé ŽîïâIJëIJï

æïâåæ x 0 ŽîŽêñèëãŽêæ ãâóðëîæ, îëé

B x 0 = λ x 0 . (15.9)


àŽêãæýæèëå (15.1) ïæïðâéæï Žïâåæ ŽéëýïêŽ x(t) = X(t) x 0 , îëéâèæù ŽîŽðîæãæŽèñîæŽ îŽáàŽê

x 0 ≠ 0. (15.8) Ꭰ(15.10)-æï àŽéë àãŽóãï

x(t + ω) = X(t + ω) x 0 = X(t) B x 0 = λ X(t) x = λ x(t).

æ.æ. (15.9) çéŽõëòæèáâIJŽ.

ìæîæóæå, åñ (15.9) ïîñèáâIJŽ, àãŽóãï

x = X(t) x, x 0 ≠ 0, x(t + ω) = λ X(t) x 0 ,

x(t + ω) = X(t + ω) x 0 = X(t) B x 0 .

Žêñ (15.9)-áŽê X(t) B x 0 = λ X(t) x 0 . åñ ëîæãâ éýŽîâï àŽãŽéîŽãèâIJå X −1 (t)-äâ, éæãæôâIJå

(15.10), â.æ. λ õëòæèŽ éñèðæìèæçŽðëîæ. □

Žé åâëîâéæáŽê ñöñŽèëá ùýŽáæŽ Žïâåæ

öâáâàæ 15.4. æéæïŽåãæï, îëé (15.1) ïæïðâéŽï ßóëêáâï ŽîŽðîæãæŽèñîæ ìâîæëáñèæ ŽéëýïêŽ

ìâîæëáæå ω, ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé éæïæ âîåâîåæ éñèðæìèæçŽðëîæ æõëï 1.

49

èâóùæŽ 16.

ûîòæãæ ïæïðâéâIJæï éáàîŽáëIJŽ èæŽìñêëãæï Žäîæå

àŽêãæýæèëå ïæïðâéŽ

dx

= A(t) x + f(t). (16.1)

dt

ïŽáŽù A ∈ C n×n ([0; +∞)), f ∈ C n ([0; +∞)). áŽãïãŽå çëöæï ŽéëùŽêŽ

x(t 0 ) = x 0 , t 0 ∈ [0, +∞), x 0 ∈ R n . (16.2)

îëàëîù èâóùæŽ 4-öæ ãêŽýâå, åñ A Ꭰf ŽIJïëèñðñîŽá æêðâàîâIJŽáæŽ [0, +∞)-öæ, éŽöæê ïŽûõæïæ

éêæöãêâèëIJâIJæï éùæîâá öâöòëåâIJŽ æûãâãï Žéëýïêæï éùæîá öâöòëåâIJŽï. çâîúëá, êâIJæïéæâîæ ε >

0-åãæï ŽîïâIJëIJï æïâåæ δ > 0, îëé îëàëîù çæ ‖x 1 − x 0 ‖ < δ, àãŽóãï

∥ x1 (t) − x 0 (t) ∥ ∥ < ε, t ≥ t0 ,

ïŽáŽù x 0 (t) Žîæï (16.1), (16.2) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ, ýëèë x 1 (t) çæ Žîæï (16.1)-æï ŽéëýïêŽ Žïâåæ

ïŽûõæïæ ìæîëIJâIJæå x(t 0 ) = x 1 .

àŽùæèâIJæå îåñèáâIJŽ ïŽçæåýæ, îëùŽ A Žî Žîæï ŽIJïëèñðñîŽá æêðâàîâIJŽáæ [0, +∞)-äâ áŽ

Žé öâéåýãâãŽöæ (16.1) ïæïðâéæï ŽéëýïêâIJæï ïŽûõæïæ éêæöãêâèëIJâIJæïŽàŽê áŽéëçæáâIJñèâIJæï ïŽçæåýæ

öâŽáàâêï ïûëîâá èæŽìñêëãæï éáàîŽáëIJæï åâëîææï ïŽàŽêï.

þâîþâîëIJæå ãæàñèæïýéëå, îëé A Ꭰf éýëèëá ñûõãâðæŽ [0, +∞)-äâ.

àŽêïŽäôãîâIJŽ 16.1. (16.1) ïæïðâéæï ŽéëýïêŽï x 0 (t) âûëáâIJŽ éáàîŽáæ èæŽìñêëãæï Žäîæå,

åñ êâIJæïéæâîæ ε > 0 Ꭰt 0 ≥ 0-åãæï ŽîïâIJëIJï æïâåæ δ = δ(ε, t 0 ) > 0, îëé îëàëîæù Žî ñêáŽ

æõëï (16.1) ïæïðâéæï ŽéëýïêŽ x(t), åñçæ ∥ ∥ x(t0 ) − x 0 (t 0 ) ∥ ∥ < δ, àãŽóãï

∥ x(t) − x0 (t) ∥ ∥ < ε, t ≥ t0 .

àŽêïŽäôãîâIJŽ 16.2. (16.1) ïæïðâéæï ŽéëýïêŽï x 0 (t) âûëáâIJŽ åŽêŽIJîŽá éáàîŽáæ, åñ êâIJæïéæâîæ

t 0 ≥ 0 Ꭰx(t) ŽéëýïêŽ, îëéâèæù ŽçéŽõëòæèâIJï ìæîëIJâIJï ∥ ∥x(t 0 ) − x 0 (t 0 ) ∥ ∥ < δ, àãŽóãï

∥ x(t) − x0 (t) ∥ ∥ < ε, t ≥ 0.

æïéæï ïŽçæåýæ, ýëé Žî Žîæï âï ëîæ àŽêéŽîðâIJŽ âçãæãŽèâêðñîæ. õëãâèæ åŽêŽIJîŽá éáàîŽáæ

ïæïðâéŽ îëé éáàîŽáæŽ èæŽìñêëãæï Žäîæå âï ùýŽáæŽ, éŽàîŽé ìæîæóæå âï Žïâ Žî Žîæï. ŽîïâIJëIJï

ïæïðâéŽ, îëéèæï ŽéëýïêŽ éáàîŽáæŽ èæŽìñêëãæï Žäîæå, éŽàîŽé Žî Žîæï åŽêŽIJîŽá éáàîŽáæ. øãâê

éëãæõãŽêå ñéŽîðæãâï éŽàŽèæåï.


50

éŽàŽèæåæ. àŽêãæýæèëå àŽêðëèâIJŽ

dx

dt = ( sin ln t + cos ln t − λ ) x,

(∗)

ïŽáŽù λ îŽôŽù ìŽîŽéâðîæŽ. Žáãæèæ öâïŽéøêâãæŽ, îëé Žé àŽêðëèâIJæï êâIJæïéæâîæ ŽéëýïêŽ Žïâ

éëæùâéŽ

x(t) = e t sin ln t−λt−t 0 sin ln t 0 +λt 0

x(t 0 ).

îëàëîù ŽóâáŽê øŽêï, îëùŽ λ > 1, (*) àŽêðëèâIJæï ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ éáàîŽáæŽ èæŽìñêëãæï

Žäîæå. éŽîåèŽù Žé öâéåýãâãŽöæ sin ln t − λ < γ < 0 ᎠàãŽóãï |x(t)| < e λt · e λt 0−t 0 sin ln t 0

|x(t 0 )|.

îŽáàŽê γ < 0, àãŽóãï e γt < 1 Ꭰéëùâéñèæ ε > 0-åãæï ïŽçéŽîæïæŽ Žãæôëå δ = ε e t 0 sin ln t 0 −λt 0

,

Žïâ îëé |x(t 0 )| ≤ δ-áŽê àŽéëãæáâï |x(t)| < ε. Žó îëàëîù ãýâáŽãå, δ áŽéëçæáâIJñèæŽ t 0 -äâ. ŽýèŽ

Žãæôëå

t 0 = e 2kπ Ꭰt = e (2k+1/2)π .

Žé öâéåýãâãŽöæ àãŽóãï

îŽáàŽê t 0

t = e− π 2 .

x(t) = e t−λt+λt0 · x(t 0 ) = e

åñ ãæàñèæïýéâIJå, îëé λ <

(1−λ+λ t 0

t

)

1

, àãâóêâIJŽ

1 − e−π/2 (

t x(t 0 ) = e

e −π/2 λ+1−λ

σ = e − π 2 λ + 1 − λ > 0 Ꭰ|x(t)| = e σt |x(t 0 )|.

)

t x(t 0 ),

ŽýèŽ ñçãâ ùýŽáæŽ, (*)-æï ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ ŽîŽŽ éáàîŽáæ åŽêŽIJîŽá, îŽáàŽê îëàëîæ δ-ù

Žî ñêᎠŽãæôëå, k-ï ïŽçéŽëá àŽäîáæï ýŽîþäâ, ŽîïâIJëIJï æïâåæ t 0 Ꭰt > t 0 , îëé |x(t 0 )| = δ,

1

éŽàîŽé |x(t)| > ε 0 , ïŽáŽù ε 0 òæóïæîâIJñèæ áŽáâIJæåæ îæùýãæŽ. ŽéàãŽîŽá, 1 < λ <

1 − e −π/2

éêæöãêâèëIJâIJæïŽåãæï (*)-æï ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ éáàîŽáæŽ èæŽìñêëãæï Žäîæå, éŽàîŽé ŽîŽŽ

åŽêŽIJîŽá éáàîŽáæ.

àŽêïŽäôãîâIJŽ 16.3. (6.1) ïæïðâéæï x 0 (t) ŽéëêŽýïêï âûëáâIJŽ ŽïæéìðëðñîŽá éáàîŽáæ, åñ

áŽùñèæŽ ëîæ ìæîëIJŽ:

1. x 0 (t) éáàîŽáæŽ èæŽìñêëãæï Žäîæå;

2. êâIJæïéæâîæ t 0 -åãæï ŽîïâIJëIJï æïâåæ ∆ = ∆(t 0 ), îëé îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï (6.1)-æï x(t)

ŽéëêŽýïêæ, åñ ∥ x0 (t 0 ) − x(t 0 ) ∥ < ∆ àãŽóãï lim ∥ x(t) − x0 (t) ∥ = 0.

t→+∞

îëàëîù ûæêŽ éŽàŽèæåæáŽê øŽêï, ŽéëýïïêŽ öâæúèâIJŽ æõëï ŽïæéìðëðñîŽá éáàîŽáæ, éŽàîŽé Žî

æõëï åŽêŽIJîŽá éáàîŽáæ. dx = 0 àŽêðëèâIJæï ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ åŽêŽIJîŽá éáàîŽáæŽ, éŽàîŽé

dt

Žî Žîæï ŽïæéìðëðñîŽá éáàîŽáæ.

ïŽïŽîàâIJèëŽ àŽãŽîçãæëå, åñ îŽï êæöêŽãï, îëé ïæïðâéæï ŽéëýïêŽ ŽîŽŽ éáàîŽáæ èæŽìñêëãæï

Žäîæå. (16.1)-æï x 0 (t) ŽéëýïêŽ æóêâIJŽ ŽîŽéáàîŽáæ èæŽìñêëãæï Žäîæå, åñ ŽîïâIJëIJï æïâåæ ε > 0

Ꭰt 0 ≥ 0, îëé îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï δ > 0, õëãâèåãæï ŽîïâIJëIJï(16.1) ïæïðâéæï x(t) ŽéëýïêŽ

æïâåæ, îëé ∥ x0 (t 0 ) − x(t 0 ) ∥ ∥ < δ, éŽàîŽé ∥x(t1 ) − x 0 (t 1 ) ∥ ≥ ε îŽæéâ t1 > t 0 -åãæï.

àŽêïŽäôãîâIJŽ 16.4. (16.1) ïæïðâéŽï ãñûëáëå éáàîŽáæ, åŽêŽIJîŽá éáàîŽáæ Žê ŽïæéìðëðñîŽá

éáàîŽáæ, åñçæ éæïæ õãâèŽ ŽéëýïêŽ ïŽåŽêŽáëá Žîæï éáàîŽáæ, åŽêŽIJîŽá éáàîŽáæ Žê

ŽïæéìðëðñîŽá éáàîŽáæ.

åâëîâéŽ 16.5. æéæïŽåãæï, îëé (16.1) æõëï éáàîŽáæ, åŽêŽIJîŽá éáàîŽáæ Žê ŽïæéìðëðñîŽá

éáàîŽáæ, ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé éæïæ öâïŽIJŽéæïæ âîåàãŽîëãŽêæ ïæïðâéæï

dx

dt = A(t) x (16.1 0)

ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ æõëï ïŽåŽêŽáëá éáàîŽáæ, åŽêŽIJîŽá éáàîŽáæ Žê ŽïæéìðëðñîŽá éáàîŽáæ.


Žé åâëîâéæï ïŽéŽîåèæŽêëIJŽöæ áŽïŽîûéñêâIJèŽá ïŽçéŽîæïæŽ Žôãêæöêëå, îëé åñ x 0 (t) Ꭰx(t)

ŽîæŽê (16.1)-æï ŽéëýïêâIJæ, éŽöæê y(t) = x 0 (t) − x(t) æóêâIJŽ (16.1 0 )-æï ŽéëýïêŽ.

Žé åâëîâéæáŽê øŽêï, îëé (16.1) ïæïðâéæï éáàîŽáëIJæï ïŽçæåýæ éææõãŽêâIJŽ (16.1 0 ) ïæïðâéæï

ðîæãæŽèñîæ Žéëýïêæï éáàîŽáëIJæï ïŽçæåýäâ. åãæå âîåàãŽîëãŽêæ ïæïðâéæï éáàîŽáëIJŽ ðëèòŽïæŽ

éæïæ ðîæãæŽèñîæ Žéëýïêæï éáàîŽáëIJæïŽ.

åâëîâéŽ 16.6. (16.1 0 ) ïæïðâéæï éáàîŽáëIJæïŽåãæï ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé Žé

ïæïðâéæï õëãâèæ ŽéëýïêŽ æõëï öâéëïŽäôãîñèæ îëùŽ t → +∞, ýëèë Žïæéìðëðñîæ éáàîŽáë-

IJæïŽåãæï ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé éæïæ õëãâèæ ŽéëýïêŽ éææïûîŽòëáâï êñèæïŽçâê îëùŽ

t → +∞.

áŽéðçæùâIJŽ. ïŽçéŽîæïëIJŽ. ãåóãŽå (16.1 0 )-æï õëãâèæ ŽéëýïêŽ öâéëïŽäôãîñèæŽ. éŽöæê c(t, t 0 )

õëãâèæ òæóïæîâIJñèæ t 0 -ïåãæï öâéëïŽäôãîñèæ æóêâIJŽ: ‖C(t, t 0 )‖ ≤ M(t 0 ) îëùŽ t ≥ t 0 . ŽéîæàŽá

õëãâèæ x(t) = C(t, t 0 )x(t) ŽéëýïêæïŽåãæï àãŽóãï ‖x(t)‖ ≤ M(t 0 ) ‖x(t 0 )‖, ïŽæáŽêŽù øŽêï, îëé

(16.1 0 )-æï ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ éáàîŽáæŽ.

ŽñùæèâIJèëIJŽ. áŽãñöãŽå ïŽûæꎎôéáâàë. ãåóãŽå, ŽîïâIJëIJï âîåæ éŽæêù öâéëñïŽäôãîâèæ ŽéëýïêŽ

x 0 (t). îŽáàŽê ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ éáàîŽáæŽ, ŽîïâIJëIJï æïâåæ δ, îëé îëàëîæù çæ ‖x(0)‖ = δ

éŽöæê ‖x(t)‖ < 1 (ε = 1) îëùŽ t ≥ 0. àŽêãæýæèëå (16.1 0 ) ïæïðâéæï Žïâåæ ŽéëýïêŽ

x 1 (t) =

δ

‖x 0 (0)‖ x 0(t).

ùýŽáæŽ ‖x 1 (0)‖ = δ ᎠŽéæðëé ñêᎠàãóëêáâï ‖x 1 (t)‖ < 1 îëùŽ t ≥ 0, âï çæ öâñúèâIJâèæŽ,

îŽáàŽê x 0 (t) öâéëñïŽäôãîâèæŽ x 0 (t)-åŽê âîåŽá.

ïŽçéŽîæïëIJŽ. ŽýèŽ áŽãŽéðçæùëå åâëîâéæï éâëîâ êŽûæèæ. ãåóãŽå (16.1 0 )-æï õëãâèæ ŽéëýïêŽ

éææïûîŽòæï êñèæïçâê, îëùŽ t → +∞. æïæêæ æóêâIJæŽê öâéëïŽäôãîñèæ Ꭰìæîãâèæ êŽûæèæï àŽéë

ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ æóêâIJŽ éáàîŽáæ, îŽù öââýâIJŽ ŽïæéìðëðñîŽá éáàîŽáëIJŽï, âï ùýŽáæŽ.

ãåóãŽå (16.1 0 ) ïæïðâéŽ ŽïæéìðëðñîŽá éáàîŽáæŽ. Žãæôëå êâIJæïéæâîæ éæïæ ŽéëýïêŽ x 0 (t).

ŽîïâIJëIJï æïâåæ ∆, îëé îëàëîù çæ ‖x(0)‖ ≤ ∆, éŽöæê lim ‖x(t)‖ = 0. àŽêãæýæèëå (16.1 0)-æï

t→+∞

ŽéëýïêŽ x 1 (t) =

éŽïåŽê âîåŽá


‖x 0 (0)‖ x 0(t) of (16.1 0 ). ùýŽáæŽ, ‖x 1 (0)‖ = ∆ ᎠŽéæðëé

lim ‖x 0(t)‖ = 0. åâëîâéŽ áŽéðçæùáŽ.

t→+∞

51

lim ‖x 1(t)‖ = 0 áŽ

t→+∞

åâëîâéŽ 16.7. æéæïŽåãæï, îëé (16.1 0 ) ïæïðâéŽ æõëï åŽêŽIJîŽá éáàîŽáæ, ŽñùæèâIJâèæ áŽ

ïŽçéŽîæïæŽ, îëé C(t, τ) çëöæï éŽðîæùæ æõëï öâéëïŽäôãîñèæ 0 ≤ τ ≤ t < +∞.

áŽéðçæùâIJŽ. ïŽçéŽîæïëIJŽ ùýŽáæŽ. éŽîåèŽù, àãŽóãï (16.1 0 )-æï êâIJæïéæâîæ x(t) ŽéëýïêæïŽåãæï

‖x(t)‖ = ‖C(t, t 0 ) x(t 0 )‖ ≤ M‖x(t 0 )‖ îëùŽ t ≥ t 0 . ŽóâáŽê ñöñŽèëá øŽêï ðîæãæŽèñîæ Žéëýïêæï

åŽêŽIJîŽá éáàîŽáëIJŽ.

ŽñùæèâIJèëIJŽ. àŽêãæýæèëå C(t, t 0 ) éŽðîæùæï êâIJæïéæâîæ ïãâðæ x 0 (t, t 0 ). ŽîïâIJëIJï æïâåæ δ,

îëé îëàëîù çæ ‖x(t 0 , t 0 )‖ ≤ δ, éŽöæê ‖x(t, t 0 )‖ ≤ 1 îëùŽ t ≥ t 0 . çëöæï éŽðîæùæï åãæïâIJâIJæï

àŽéë ‖x(t 0 , t 0 )‖ = 1, Žéæðëé ùýŽáæŽ, δ‖x 0 (t, t 0 )‖ < 1 îëùŽ t ≥ t 0 ≥ 0. åâëîâéŽ áŽéðçæùáŽ.



èâóùæŽ 17.

åâëîâéŽ 16.6 Ꭰ16.7-áŽê àŽéëãæõãŽêëå Žïâåæ öâáâàâIJæ:

öâáâàæ 17.1. åñ A Žîæï éñáéæãæ Žê ìâîæëáñèæ éŽðîæùæ Ꭰ(16.1 0 ) éáàîŽáæŽ, æàæ æóêâIJŽ

åŽêŽIJîŽá éáàîŽáæù. (ùýŽáæŽ, éñáéæãæ éŽðîæùâIJæ öâŽáàâêâê ìâîæëáñèæ éŽðîæùâIJæï çâîúë

öâéåýãâãŽï, éŽàîŽé éŽæêù éæäŽêöâûëêæèæŽ ùŽèçâ àŽéëãõëå âï öâéåýãâãŽ).

áŽéðçæùâIJŽ. ãåóãŽå A = const. (10.2) òëîéñèæï úŽèæå, (16.1 0 ) ïæïðâéæï çëöæï éŽðîæùæ

Žîæï Žïâåæ C(t, τ) = e A(t−τ) . åâëîâéŽ 16.6-æï úŽèæå (16.1 0 )-æï éáàîŽáëIJæáŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï

éæïæ òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæï öâéëïŽäôãîñèëIJŽ. éŽàîŽé åâëîâéŽ 8.1-öæ øãâê ãêŽýâå, îëé Žé


52

ïæïðâéæï âîåâîåæ òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ Žîæï e At . ŽéîæàŽá ‖e At ‖ ≤ M îëùŽ t ≥ 0 ᎠŽóâáŽê

çæ àŽéëáæï ‖C(t, τ)‖ = ‖e A(t−τ) ‖ ≤ M îëùŽ 0 ≤ τ ≤ t. åâëîâéŽ 16.7-æï úŽèæå àŽéëéáæêŽîâëIJï

(16.1 0 )-æï éáàîŽáëIJŽ.

åñ A ìâîæëáñèæŽ ω ìâîæëáæå, â.æ. A(t+ω) = A(t), éŽöæê àŽéëãæõâêëå òèëçâï åâëîâéŽ 15.1,

àãŽóãï X(t) = P (t) e Rt , ïŽáŽù X(t) Žîæï (16.1 0 )-æï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ, P ìâîæëáñèæŽ ω

ìâîæëáæå, ýëèë R éñáéæãæŽ. det[X(t)] æïâãâ îëàëîù det[e Rt ] êñèæïŽàŽê àŽêïýãŽãâIJñèæŽ éåâè

[0, +∞-öæ. Žéæðëé æàæãâ âýâIJŽ det[P (t)]-ïŽù. â.æ. éåâè [0, +∞-öæ ŽîïâIJëIJï P −1 (t). det[P (t)]

Žàîâåãâ ìâîæëáñèæŽ [0, +∞)-öæ, ñûõãâðæ ᎠöâéëïŽäôãîñèæ. ñòîë éâðæù, îŽáàŽê æàæ êñèæ

ŽîïŽá Žî ýáâIJŽ, éæïæ éëáñèæ óãâéëáŽê öâéëïŽäôãîñèæŽ áŽáâIJæåæ îæùýãæå. Žéæðëé åñ àŽãæåãŽèæïûæêâIJå

P −1 (t) éŽðîæùæï ïðîñóðñîŽï, éæãæôâIJå, îëé P −1 (t) öâéëïŽäôãîñèæŽ [0, +∞-öæ.

àãŽóãï

e Rt = P −1 (t) X(t).

Žïâ, îëé e Rt öâéëïŽäôãîñèæŽ îëùŽ t ≥ 0 îŽáàŽê X(t) öâéëïŽäôãîñèæŽ åâëîâéŽ 16.6-áŽê

(16.1 0 )-æï éáàîŽáëIJæï àŽéë. Žéæðëé çëöæï éŽðîæùæ

C(t, τ) = P (t) e R(t−τ) P −1 (τ)

öâéëïŽäôãîñèæŽ îëùŽ 0 ≤ τ ≤ t < +∞. åâëîâéŽ 16.7-æï úŽèæå àŽéëéáæêŽîâëIJï (16.1 0 )-æï

åŽêŽIJîŽá éáàîŽáëIJŽ.


ŽéîæàŽá ìâîæëáñèçëâòæùæâêðâIJæŽêæ ïæïðâéâIJæïŽåãæï éáàîŽáëIJŽ ᎠåŽêŽIJîŽá éáàîŽáëIJŽ

âîåæ Ꭰæàæãâ ùêâIJâIJæŽ.

éëãæõãŽêëå çæáâã âîåæ ðæìæï öâáâàæ, îëéâèæù ñçãâ êâIJæïéæâî ïæïðâéâIJï âýâIJŽ Ꭰîëéâèæù

àãæøãâêâIJï, åñ îëáæï æûãâãï éáàîŽáëIJŽ åŽêŽIJîŽá éáàîŽáëIJŽï.

öâáâàæ 17.2. ãåóãŽå (16.1 0 ) ïæïðâéŽ éáàîŽáæŽ áŽ öâïîñèâIJñèæŽ

∫ t

lim Tr(A(τ)) dτ > −∞

t→+∞

0

ìæîëIJŽ (Žêñ âï òñêóùæŽ óãâéëáŽê öâéëïŽäôãîñèæŽ [0, +∞)-äâ. éŽöæê (16.1 0 ) ïæïðâéŽ åŽêŽIJîŽá

éáàîŽáæŽ.

éŽîåèŽù, îëàëîù èâóùæŽ 8-öæ àŽêýæèñèæ 1 Ꭰ2 ŽéëùŽêâIJæ àãæøãâêâIJâê, çëöæï éŽðîæùæ Žé

ìæîëIJâIJöæ àŽéëáæï öâéëïŽäôãîñèæ ŽîŽ éŽîðë 0 ≤ τ ≤ t < +∞-öæ, ŽîŽéâá éåâè ìæîãâè

çãŽáîŽðöæù.

öâêæöãêŽ. éŽàîŽé ŽîŽ ìæîæóæå. îëàëîù öâéáâàöæ ñéŽîðæãâïæ éŽàŽèæåæ àãæøãâêâIJï, Žïâåæ

îŽé ïñèŽù Žî Žîæï ïŽãŽèáâIJñèë õëãâèåãæï àŽêýëîùæâèáâï. â.æ. öâæúèâIJŽ ïæïðâéŽ åŽêŽIJîŽá

éáàîŽáæ æõëï, éŽàîŽé éæïæ çëöæï éŽðîæùæ Žî æõëï öâéëïŽäôãîñèæ ìæîãâè çãŽáîŽðöæ. éŽîåèŽù,

dx

dt = ax (a < 0) çëöæï \éŽðîæùæŽ" ea(t−τ) , îëéâèæù êŽçèâIJæŽ Žê ðëèæ 1-æï, îëùŽ t ≥ τ, éŽàîŽé

öâéëñïŽäôãîâèæŽ, îëùŽ t < τ.

ŽýèŽ ãêŽýëå, îŽ ìæîëIJâIJöæŽ éáàîŽáæ (16.1 0 ) ïæïðâéŽ, îëùŽ A éñáéæãæ éŽðîæùæŽ.

åâëîâéŽ 17.3. ãåóãŽå A = const. éŽöæê (16.1 0 ) ïæïðâéæï éáàîŽáëIJæïŽåãæï ŽñùæèâIJâèæ áŽ

ïŽçéŽîæïæŽ, îëé Žé éŽðîæùæï õëãâèæ éŽýŽïæŽåâIJâèæ îæùýãæï êŽéáãæèæ êŽûæèæ Žî ŽôâéŽðâIJëáâï

êñèï, ŽéŽïåŽê æé éŽýŽïæŽåâIJâè îæùýãâIJï, îëéâèåŽ êŽéáãæèæ êŽûæèæ êñèæï ðëèæŽ, öââïŽIJŽéâIJëáâï

A − λE éŽðîæùæï éýëèëá éŽîðæãæ âèâéâêðŽîñèæ àŽéõëòâIJæ (â.æ. îëéâèåŽ ýŽîæïýæ 1-æŽ).

áŽéðçæùâIJŽ. àŽãæýïâêëå (16.1 0 )-æï òñêáŽéâêðñîæ e At éŽðîæùæï ïðîñóðñîŽ (åâæîâéŽ 9.2)

e At = S −1 e Gt S,

ïŽáŽù G Žîæï íëîáŽêæï éŽðîæùæ, îëéèæï ñþîâáâIJæŽ G nk (λ k ) (k = 1, . . . , m), ýëèë åæåëâñèæ

ñþîŽ öââïŽIJŽéâIJŽ A − λE éŽðîæùæï âèâéâêðŽîñè àŽéõëòï (λ − λ k ) n k . åâëîâéŽ 16.6-æï úŽèæå


(16.1 0 )-æï éáàîŽáëIJæïŽåãæï ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ e At -æï öâéëïŽäôãîñèëIJŽ, ýëèë îëàëîù

ñçŽêŽïçêâèæ ðëèëIJŽ àãæøãâêâIJï, ŽéæïŽåãæï ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé öâéëïŽäôãîñèæ

æõëï åæåëâñèæ éŽðîæùæ e t Gn k (λk) (k = 1, . . . , n). éŽàîŽé, îëàëîù ãæùæå (æý. (9.5))



t t n k−1

1 · · ·

1! (n − 1)!

e t Gn k (λk) = e λ kt

t n k−2

1 . . .

(n − 2)!


⎝. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎟


O · · · 1

Žïâ, îëé

ïŽáŽù

∥ e

t G nk (λ k ) ∥ ∥ = e

t Re λ k

∑n k

i=1

Υ ik t i−1 (k = 1, . . . , m), (17.1)

Υ ik > 0 (i = 1, . . . , n k ). (17.2)

(17.1)-áŽê øŽêï, îëé (17.2)-æï àŽéë e Gn k (λk)t éŽðîæùæï öâéëïŽäôãîñèëIJæïŽåãæï ŽñùæèâIJâèæ áŽ

ïŽçéŽîæïæŽ ïîñèáâIJëáâï âîåâîåæ öâéáâàæ ëîæ ìæîëIJæáŽê:

1) Re λ k < 0;

2) Re λ k = 0 éŽàîŽé n k = 1.

âï çæ ïûëîâá ûŽîéëŽáàâêï øãâêæ åâëîâéæï ìæîëIJŽï. åâëîâéŽ áŽéðçæùáŽ.


åâëîâéŽ 17.4. åñ A = const, éŽöæê (16.1 0 )-æï Žïæéìðëðñîæ éáàîŽáëIJæïŽåãæï ŽñùæèâIJâèæ

ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé A éŽðîæùæï õãâèŽ éŽýŽïæŽåâIJâèæ îæùýãæï êŽéáãæèæ êŽûæèæ æõëï ñŽîõëòæåæ.

âï åâëîâéŽ åâëîŽéŽ 17.3-æï ŽêŽèëàæñîŽá éðçæùáâIJŽ.

âýèŽ ãêŽýëå, åñ îëàëîæŽ ìâîæëáñèçëâòæùæâêðâIJæŽêæ ïæïðâéâIJæï éáàîŽáëIJæïŽ áŽ Žïæéìðëðñîæ

éáàîŽáëIJæï ìæîëIJâIJæ.

åâëîâéŽ 17.5. ãåóãŽå A Žîæï ìâîæëáñèæ éŽðîæùæ. éŽöæê

1) (16.1 0 ) ïæïðâéæï éáàîŽáëIJæïŽåãæï ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé Žé ïæïðâéæï éñèðæìèæçŽðëîâIJæ

éëáñèæå Žî ŽôâéŽðâIJëáâï âîåï, ŽéŽïåŽê åñ îëéâèæéâ éñèðæìèæçŽðëîæï éëáñèæ

âîåæŽ, éŽöæê éŽï ñêᎠöââïŽIJŽéâIJëáâï ïæïðâéæï éëêëáîëéæï éŽðîæùæï éŽîðæãæ âèâéâêðŽîñèæ

àŽéõëòæ.

2) (16.1 0 ) ïæïðâéæï Žïæéìðëðñîæ éáàîŽáëIJæïŽåãæï ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé éæïæ

õãâèŽ éñèðæìèæçŽðëîâIJæ éëáñèæå êŽçèâIJæ æõëï âîåäâ.

çãèŽã éæãéŽîåëå òèëçâï åâëîâéŽ 15.1-ï. àãŽóãï

X(t) = P(t) e Rt ,

ïŽáŽù P ñûõãâðæ ᎠìâîæëáñèæŽ áŽ öâéëïŽäôãîñèæŽ, Žéæðëé åâëîâéŽ 1.6-áŽê (16.1 0 )-æï

éáàîŽáëIJæïŽåãæï ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé e Rt æõëï öâéëïŽäôãîñèæ. ŽéæïŽåãæï çæ,

îëàëîù ãêŽýâå åâëîâéŽ 17.3-öæ ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé R-æï éŽýŽïæŽåâIJâèæ îæùýãâIJæï

Žêñ, (16.1 0 ) ïæïðâéæï éŽýŽïæŽåâIJâè éŽøãâêâIJèâIJæï êŽéáãæèæ êŽûæèæ Žî ŽôâéŽðâIJëáâï êñèï, ŽéŽïåŽê

êñèæï ðëèæ êŽéáãæèæ êŽûæèæï éóëêâ éŽýŽïæŽåâIJâè éŽøãâêâIJèâIJï ñêᎠöââïŽIJŽéâIJëáâï R−λε

éŽðîæùæï éŽîðæãæ âèâéâêðŽîñèæ àŽéõëòâIJæ.

åñ àŽãæýïâêâIJå çŽãöæîï éñèðæìèæçŽðëîâIJïŽ áŽ éŽýŽïæŽåâIJâè éŽøãâêâIJèâIJï öëîæï (éŽýŽïæŽåâIJâèææ

éŽøãâêâIJèâIJæ Žîæï éñèðæìèæçŽðëîâIJæï èëàŽîæåéâIJæ àŽõëòæèæ ω-äâ), éæãæôâIJå, îëé

éŽýŽïæŽåâIJâèæ éŽøãâêâIJèæï êŽéáãæèæ êŽûæèæ Žî ŽôâéŽðâIJŽ êñèï éŽöæê Ꭰéýëèëá éŽöæê, îëùŽ

öâïŽIJŽéæïæ éñèðæìèæçŽðëîæï éëáñèæ Žî ŽôâéŽðâIJŽ 1-ï (L n λ-æï êŽéáãæèæ êŽûæèæ Žîæï ln |λ|).

ŽóâáŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï åâëîâéæï ìæîãâèæ êŽûæèæï ïŽéŽîåèæŽêëIJŽ.

éâëîâ êŽûæèæù ŽêŽèëàæñîæ éïþâèëIJæå éææôâIJŽ.

53


54

èâóùæŽ 18.

àŽêãæýæèëå âîåæ çëêçîâðñèæ éŽàŽèæåæ, îëéâèæù àŽéëæçãèæŽ èæŽìñêëãéŽ áŽ îëéâèéŽù

éææõãŽêŽ æàæ éáàîŽáëIJæï åâëîæŽéáâ. ûæêŽïûŽî öâãêæöêëå, îëé n-ñîæ îæàæï ûîòæãæ àŽêðëèâIJæï

éáàîŽáëIJŽ àãâïéæï îëàëîù öâïŽIJŽéæïæ n-ñîæ îæàæï êŽéáãæèæ ïæïðâéæï éáàîŽáëIJŽ. çâîúëá

àŽêðëèâIJŽ

n∑

u (n) = a k (t) u (k−1)

k=1

éáàîŽáæŽ, åñ êâIJæïéæâîæ ε > 0 Ꭰt 0 ≥ 0-åãæï ŽîïâIJëIJï æïâåæ δ > 0, îëé åñ |u (k−1) (t 0 )| ≤ δ

(k = 1, . . . , n), ïŽáŽù u Žîæï Žé àŽêðëèâIJæï ŽéëêŽýïêæ, éŽöæê |u (k−1) (t)| < ε îëùŽ t ≥ t 0

(k = 1, . . . , n).

àŽêãæýæèëå éâëîâ îæàæï àŽêðëèâIJŽ

ïŽáŽù a Žîæï ñûõâðæ ìâîæëáñèæ òñêóùæŽ ω ìâîæëáæå.

åâëîâéŽ 18.1 (èæŽìñêëãæï). åñ

∫ ω

0

∫ ω

éŽöæê (18.1) àŽêðëèâIJŽ åŽIJêŽIJîŽá éáàîŽáæŽ.

0

u ′′ + a(t) u = 0, (18.1)

a(t) dt ≥ 0, a(t) ≢ 0, (18.2)

|a(t)| dt ≤ 4 ω . (18.3)

áŽéðçæùâIJŽ. (éëõãŽêæèæ áŽéðçæùâIJŽ âçñåãêæï IJëîàï). àŽáŽãæáâå (18.1)-æï öâïŽIJŽéæï ïæïðâéŽäâ

{

x ′ 1 = x 2 ,

(18.1 ′ )

x ′ 2 = −a(t) x 1 .

( )

0 1

Žé ïæïðâéæï éŽðîæùæŽ A(t) =

(15.8)-áŽê øŽêï, îëé ïæïðâéæï îëéâèæéâ éŽðîæùæï

−a(t) 0

éæïŽôâIJŽá ñêᎠŽãæôëå ïæïðâéæï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ, îëéèæï éêæöãêâèëIJŽ O ûâîðæèöæ

ðëèæŽ E-ï (Žïâåæ ŽîïâIJëIJï ᎠâîåŽáâîåæŽ) ᎠŽé éŽðîæùæï éêæöãêâèëIJŽ ω ûâîðæèöæ æóêâIJŽ

ïûëîâá Žé òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæï öâïŽIJŽéæïæ éëêëáîëéæï éŽðîæùæ.

ŽéîæàŽá, Žãæôëå (18.1) àŽêðëèâIJæï ëîæ ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæ ŽéëýïêŽ u 1 Ꭰu 2 æïâåæ,

îëé

( )

u1 (ω) u

M =

2 (ω)

u ′ 1(ω) u ′ 2(ω)

æõëï (18.1 ′ )-æï éëêëáîëéæï éŽðîæùæ. ùýŽáæŽ, îëé

( )

u1 (0) u

det

2 (0)

u ′ 1(0)(t) u ′ = 1.

2(0)

îŽáàŽê Tr(A(t)) = 0, èæñãæè-ëïðîëàîŽáïçæï (15.11) òëîéñèæáŽê ŽöçŽîŽŽ, îëé det M = 1

(ïŽäëàŽáëá áâðâîéæêŽêðæ éñáéæãæŽ). ŽéîæàŽá (18.1 ′ ) ïæïðâéæï éñèðæìèæçŽðëîâIJæ ŽîæŽê

∣ u 1(ω) − λ u 2 (ω)

u ′ 1(ω) u ′ 2(ω) − λ∣ = 0

àŽêðëèâIJæï òâïãâIJæ.

åñ àŽãæåãŽèæïûæêâIJå, îëé det M = 1, âï àŽêðëèâIJŽ Žïâ àŽáŽæûâîâIJŽ

λ 2 − [ u 1 (ω) + u ′ 2(ω) ] λ + 1 = 0. (18.4)


Žé àŽêðëèâIJæï λ 1 Ꭰλ 2 òâïãâIJæï êŽéîŽãèæ 1-æŽ. Žéæðëé öâæúèâIJŽ àãóëêáâï éýëèëá ëîæ öâéåýãâãŽ:

1) λ 1 Ꭰλ 2 ∈ R, |λ 1 | < 1, |λ 2 | > 1,

2) λ 1 Ꭰλ 2 ∈ R, |λ 1 | = |λ 2 | = 1,

3) λ 1 Ꭰλ 2 çëéìèâóïñîŽá öâñôèâIJñèâIJæŽ (Ꭰâ.æ. àŽêïýãŽãâIJñèâIJæŽ) ᎠŽéŽïŽê |λ 1 |=|λ 2 |=1.

åñ öâãýâáŽãå åâëîâéŽ 7.5-ï, áŽãæêŽýŽãå, îëé ìæîãâè öâéåýãâãŽöæ (18.1 ′ ) ŽîŽéáàîŽáæŽ, éâïŽéâ

öâéåýãâãŽöæ éáàîŽáæŽ (îŽáàŽê òâïãâIJæ àŽêïýãŽãâIJñèæŽ áŽ éýëèëá éŽîðæãæ âèâéâêðŽîñèæ

àŽéõëòâIJæ öââïŽIJŽéâIJŽ åæåëâñèï). îŽù öââýâIJŽ éâëîâ öâéåýãâãŽï, æó éáàëéŽîâëIJŽ êŽåâèæ Žî

Žîæï, îŽáàŽê öâæúèâIJŽ þâîŽáæ òâïãâIJæ àãóëêáâï. õëãâè öâéåýãâãŽöæ (18.1 ′ )-æï éáàîŽáëIJŽ,

â.æ. åŽêŽIJîŽáéáàîŽáëIJŽ àŽîŽêðæîâIJñèæ æóêâIJŽ, åñ çæ (18.4) àŽêðëèâIJŽï Žî âóêâIJŽ êŽéáãæèæ

òâïãâIJæ. ãŽøãâêëå îëé (18.2) Ꭰ(18.3) ìæîëIJâIJöæ (18.1 ′ ) ïæïðâéŽï Žî âóêâIJŽ êŽéáãæèæ éñèðæìèæçŽðëîæ.

áŽãñöãŽå, îëé (18.1 ′ )-ï Žóãï êŽéáãæèæ éñèðæìèæçŽðëîæ (λ ≠ 0 îŽáàŽê ïæïðâéŽï

ïŽâîåëá Žî öâæúèâIJŽ ßóëêáâï êñèæï ðëèæ éñèðæìèæçŽðëîæ éëêëáîëéæï éŽðîæùæï àŽáŽñàãŽîâIJèëIJæï

àŽéë). éŽöæê åâëîâéŽ 15.3-áŽê àãŽóãï, îëé (18.1) àŽêðëèâIJŽï Žóãï ŽîŽðîæãæŽèñîæ

ŽéëêŽýïêæ u(t), æïâåæ îëé

u(t + ω) ≡ λ u(t),

u ′ (t + ω) ≡ λ u ′ (t),

55

λ ≠ 0. (18.5)

(18.5)-áŽê ùýŽáæŽ, îëé u(t) ŽéëýïêŽï ïñè Žî Žóãï êñèæ, îëùŽ [0, ω]-öæ Žî Žóãï êñèâIJæ, Žê åñ

Žóãï ñïŽïîñèæ îŽëáâêëIJŽ. þâî àŽêãæýæèëå öâéåýãâãŽ, îëùŽ u-ï Žî Žóãï êñèâIJæ [0, ω]-öæ. éŽöæê

(18.1)-æï ëîæãâ éýŽîâ öâæúèâIJŽ àŽãõëå u(t)-äâ. éæãæôâIJå (æêðâàîâIJæï öâéáâà)

∫ ω

0

u ′′ ∫ω

(t)

u(t) dt +

0

a(t) dt = 0.

éëãŽýáæêëå ìæîãâè æêðâàîŽèöæ êŽûæèëIJæå æêðâàîâIJŽ

[ u ′ (t)

u(t)

] ω

0

+

∫ ω

0

u ′2 ∫ω

(t)

u 2 (t) dt +

0

a(t) dt = 0.

éŽàîŽé (18.5)-æï àŽéë u′ (t + ω)

u(t + ω) = u′ (t)

, Žïâ, îëé ìæîãâèæ øŽïéŽ êñèæŽ, Žéæðëé îŽáàŽê (18.2)-æï

u(t)

ω∫

ω∫

u

úŽèæå a(t) dt ≥ 0, àãŽóãï

′2 (t)

dt ≤ 0. âï çæ öâïŽúèâIJâèæŽ éýëèëá éŽöæê, îëùŽ u 2 (t) u′ (t) ≡ 0,

0

0

Žêñ u(t) = const [0, ω]-äâ Ꭰâ.æ. éåâèï [0, +∞)-äâ. (18.1) ïæïðâéŽï çæ éñáéæãæ ŽéëêŽýïêæ

(ŽîŽ ðîæãæŽèñîæ) âóêâIJŽ éýëèëá æé öâéåýãâãŽöæ, îëùŽ a(t) ≡ 0. îŽù àŽéëãîæùýâå. â.æ.

éæãæôâå ïŽûæꎎôéáâàë. àŽêïŽýæèãâèæ áŽîøŽ öâéåýãâãŽ, îëùŽ u-ï Žóãï êñèâIJæï ñïŽïîñèë

ïæéîŽãèâ. îëàëîù èâóùæŽ 7-öæ àŽêýæèñè éâ-4 ŽéëùŽêŽöæ ãêŽýâå, õëãâè çëéìŽóðñî öñŽèâáöæ u-

ï Žóãï êñèâIJæï ŽîŽ ñéâðâï ïŽïîñèæ îŽëáâêëIJŽ. Žéæðëé u-ï òâïãâIJæ æäëèæîâIJñèæŽ áŽ öâæúèâIJŽ

ãæèŽìŽîŽçëå éæï ëî éëéáâãêë òâïãæï öâïŽýâIJ. ãåóãŽå α Ꭰβ, α < β, Žîæï u-ï ëîæ éëéáâãêë

êñèæ, æïâ îëé,

u(α) = 0, u(β) = 0, u(t) > 0, α < t < β. (18.6)

ñçŽêŽïçêâèæ ñðëèëIJŽ æéæï àŽéë áŽãûâîâå, îëé îŽáàŽê u(t) êñèæ Žî ýáâIJŽ (α, β)-öæ, ñûõãâðëIJæï

àŽéë æàæ êæöŽêï æêŽîøñêâIJï ᎠäëàŽáëIJæï áŽñîôãâãèŽá öâàãæúèæŽ ãæàñèæïýéëå, îëé u(t) > 0.

ûæꎎôéáâà öâéåýãâãŽöæ àŽêãæýæèŽãáæå u-ï, îëéâèæù Žàîâåãâ ŽçéŽõëòæèâIJï

(18.6)-ï. (18.1)-áŽê àãŽóãï u′′ (t)

= −a(t), t ∈ (α, β). a-ï ñûõãâðëIJæáŽê øŽêï, îëé éŽîùýâêŽ

u(t)

éýŽîâöæ éáàëéæ âï òñêóùæŽ öâæúèâIJŽ Žàîâåãâ àŽêãïŽäôãîëå α Ꭰβ ûâîðæèâIJöæ, æïâ îëé æàæ


56

ñûõãâðæ àŽýáâï [α, β]-äâ. Žéæðëé àãŽóãï

(18.3)-æï àŽéë àãŽóãï

∫ β

α

|u ′′ ∫β

(t)|

u(t) dt =

∫ β

α

α

|a(t)| dt ≤

∫ ω

0

|a(t)| dt.

|u ′′ (t)|

u(t) dt ≤ 4 ω . (18.7)

ûæꎎôéáâàëIJæï éæïŽôâIJŽá öâãŽòŽïëå éŽîùýâêŽ éýŽîâ óãâéëáŽê. u [α, β]-ï îëéâèæéâ öæàŽ t 0

ûâîðæèäâ éæŽôûâãï éŽóïæéñéï. ùýŽáæŽ Žó u ′ (t) = 0. îŽáàŽê u éñáéæãæ Žî Žîæï [α, β]-äâ, Žéæðëé

àãŽóãï éçŽùîæ ñðëèëIJŽ

∫ β

α

|u ′′ (t)|

u(t) dt > 1 ∫ β

|u ′′ (t)| dt ≥ 1

u(t 0 )

u(t 0 )

α

max

t 1 ,t 2 ∈[α,β]


∣u ′ (t 1 ) − u ′ (t 2 ) ∣ ∣, (18.8)

ïŽáŽù α ≤ t 1 ≤ t 2 ≤ β.

èŽàîŽêíæï ïŽïîñèæ êŽäîáæï åâëîâéæï úŽèæå ŽîïâIJëIJï æïâåæ α < t 1 < t 0 Ꭰt 0 < t 2 < β,

îëé

u(t 0 ) − u(α) = u ′ (t 1 )(t 0 − α), u(β) − u(t 0 ) = u ′ (t 2 )(β − t 0 ).

ñçŽêŽïçêâèæ ðëèëIJŽ æéæï àŽéë àŽáŽãûâîâå, îëé


∣u ′ (t 1 ) − u ′ (t 2 )| =


∫ t 2

t 1

∫t 2

u ′′ (t) dt

∣ ≤ ∣ u ′′ (t) ∣ dt ≤

t 1

∫ β

α


∣u ′′ (t) ∣ ∣ dt.

l 1 ≡ t 0 − α, l 2 ≡ β − t 0 , éæãæôâIJå, îëé l 1 + l 2 = β − α. ŽéŽï àŽîᎠ(18.6)-æï àŽåãŽèæïûæêâIJæå,

àãŽóãï

u ′ (t 1 ) = u(t 0)

, u ′ (t 2 ) = − u(t 0)

.

l 1 l 2

u ′ (t 1 ) − u ′ (t 2 ) = u(t 0 ) l 1 + l 2

l 1 l 2

∫ β

α

. Žéæðëé (18.8)-áŽê àãâóêâIJŽ

|u ′′ (t)|

u(t) dt > 1

u(t 0 ) u(t 0) l 1 + l 2

l 1 l 2

= l 1 + l 2

l 1 l 2

.

éŽàîŽé l 1 l 2 ≤ (l 1+l 2 ) 2

4

. Žïâ, îëé l 1 + l 2 = β − α ýëèë β − α ≤ ω, (18.5)-æï àŽéë àãŽóãï

îŽù âûæꎎôéáâàâIJŽ (18.7)-ï.

∫ β

α

|u ′′ (t)|

u(t) dt > 4 ω ,

Žé åâëîâéæï áŽéðçæùâIJæïŽï àäŽáŽàäŽ áŽãŽéðçæùâå

èâéŽ 18.2 (èæŽìñêëãæï). ãåóãŽå u Žîæï [α, β]-öæ ëîþâî ñûõãâðŽá ûŽîéëâIJŽáæ òñêóùæŽ.

ŽéŽïåŽê u(α) = u(β) = 0 ýëèë u(t) ≠ 0 îëùŽ α < t < β. éŽöæê


∫ β

α

|u ′′ (t)|

u(t) dt > 4

β − α . (18.9)


âîåŽáâîåæ àŽêïýãŽãâIJŽ æï Žîæï, îëé Žó u′′ (t)

öâæúèâIJŽ öâéëñïŽäôãîâèæ Žôéëøêáâï, éŽàîŽé

u(t)

æêðâàîŽèæ éŽöæê +∞ æóêâIJŽ, Žïâ îëé (18.9) éŽæêù ïûëîæŽ.

èâóùæŽ 19.

åâëîâéŽ 19.1 (ãŽíâãïçæï). àŽêãæýæèëå ïæïðâéŽ

dx

= A(t) x (t ≥ 0). (19.1)

dt

ãåóãŽå

( )

A(t)x, x ≤ v(t)(x, x) = v(t)‖x‖

2

E , (19.2)

ïŽáŽù (x, y) ŽôêæöêŽãï ïçŽèŽîñè êŽéîŽãèï, ýëèë ‖x‖ E ãâóðëîæï âãçèæáâï êëîéŽï - òâïãæ éæïæ

ïçŽèŽîñèæ êŽéîŽãèæáŽê. éŽöæê ïŽéŽîåèæŽêæŽ öâòŽïâIJŽ

∫ t

t v(τ)

‖x(t)‖ E ≤ ‖x(t 0 )‖ E e

dτ 0 . (19.3)

áŽéðçæùâIJŽ. (19.1)-æï õëãâèæ x(t) Žéëýïêæïåãæï Žôãêæöêëå u(t) = ‖x(t)‖ 2 E = (x(t), x(t)).

àãŽóãï

du

dt = 2( x ′ (t), x(t) ) = 2 ( A(t)x(t), x(t) ) ≤ 2v(t)‖x(t)‖ 2 E = 2v(t) u(t)

(19.2)-æï àŽéë. Žéæðëé

u ′ (t) ≤ 2v(t) u(t), t ≥ 0. (19.4)

åñ x(t) ðîæãæŽèñîæ Žéëýïꎎ, (19.3) åŽãæïåŽãŽá öâïîñèâIJñèæŽ, ýëèë åñ æàæ ŽîŽðîæãæŽèñîæŽ,

âîåŽáâîåëIJæï åâëîâéæï úŽèæå u(t) ŽîïŽá Žî ýáâIJŽ êñèæ [0, +∞)-äâ, ŽéîæàŽá àãŽóãï

u(t) > 0 Ꭰ(19.4)-æï ëîæãâ éýŽîæï àŽõëòŽ öâàãæúèæŽ u(t)-äâ Ꭰöâéáâà ãŽæêðâàîëå t 0 -áŽê

t-éáâ (t 0 ∈ [0, +∞))

ŽóâáŽê

ln u(t)

u(t 0 ) ≤

∫t

t 0

v(τ) dτ, t ≥ t 0 .

u(t) ≤ u(t 0 ) e 2 ∫ t

t 0

v(τ) dτ .

ŽóâáŽê çãŽáîŽðñèæ òâïãæï ŽéëôâIJæå ãôâIJñèëIJå (19.3)-ï.

öâáâàæ 19.2. ãåóãŽå áŽùñèæŽ (19.2) ìæîëIJŽ ᎠŽéŽï àŽîáŽ

∫ t

lim

t→+∞

0

v(τ) dτ < +∞.

∫ t

éŽöæê (19.1) éáàîŽáæŽ. ýëèë åñ lim v(τ) dτ = −∞, éŽöæê (19.1) ŽïæéìðëðñîŽá éáàîŽáæŽ.

t→+∞ 0

âï õãâèŽòâîæ àŽéëáæï åâëîâéŽ 16.6-áŽê Ꭰ(19.3) öâòŽïâIJæáŽê.

ãåóãŽå (19.1) ïæïðâéŽ éáàîŽáæŽ ŽéŽ åñ æé Žäîæå. àŽêãæýæèëå ïæïðâéŽ

dy

dt = [ A(t) + B(t) ] y, (19.5)

îëéâèæù éææôâIJŽ (19.1) çëâòæùæâêðâIJæï öâöòëåâIJæå. æïéæï çæåýãŽ: ïæéùæîæï îëàëîæ ìæîëIJŽ

ñêᎠáŽãŽáëå B éŽðîæùï, îëé (19.5) ïæïðâéŽù Žàîâåãâ éáàîŽáæ Žôéëøêáâï ïŽåŽêŽáë Žäîæå.

åâëîâéŽ 19.3. åñ (19.1) åŽêŽIJîŽá éáàîŽáæŽ áŽ

∫+∞

‖B(τ)‖ dτ < +∞ (19.6)

éŽöæê (19.5) ïæïðâéŽù Žàîâåãâ åŽêŽIJîŽá éáàîŽáæŽ.

0

57


58

áŽéðçæùâIJŽ. åâëîâéŽ 16.7-æï úŽèæå (19.1)-æï åŽêŽIJîŽá éáàîŽáëIJŽ êæöêŽãï, îëé

∥ C(t, τ)

∥ ∥ ≤ M, t ≥ τ ≥ 0, (19.7)

ïŽáŽù C(t, τ) Žîæï (19.1)-æï çëöæï éŽðîæùæ.

ãæïŽîàâIJèëå çëöæï òëîéñèæå (7.4), ŽéŽïåŽê (19.5)-öæ B(t) y(t) ãæàñèæïýéëå ŽîŽâîåàãŽîëãŽê

ûâãîŽá. àãŽóãï

(19.8)-áŽê (19.7)-æï àŽéë àãŽóãï

y(t) = C(t, t 0 ) y(t 0 ) +

∥ y(t)

∥ ∥ ≤ M

∥ ∥y(t0 ) ∥ ∥ M

∫t

∫ t

t 0

C(t, τ) B(τ) y(τ) dτ. (19.8)

t 0

∥ ∥B(τ)

∥ ∥ ·

∥ ∥y(τ)

∥ ∥ dτ, t ≥ t0 .

ŽóâáŽê àîëêñëè-IJâèéŽêæï èâéæï úŽèæå


∥y(t) ∥ ≤ M ∥ ∥y(t 0 ) ∥ e M ∫ ∥ ∥

t ∥B(τ)

t dτ


0 < M 0 y(t 0 ) ∥ ∥,

ïŽáŽù M 0 = M e M ∫ +∞

0

éáàîŽáëIJŽ.


∥ B(τ) dτ

Žî Žîæï áŽéëçæáâIJñèæ t 0 -äâ. ŽóâáŽê àŽéëáæï (19.5)-æï åŽêŽIJîŽá


öâêæöãêŽ. åñ Žé åâëîâéæï îëàëîù ìæîëIJæáŽê æïâ áŽïçãêæáŽê éëãýïêæå ïæðõãŽï \åŽêŽIJîŽá",

åâëîâéŽ ïŽéŽîåèæŽêæ ŽôŽî áŽîøâIJŽ.

éŽàŽèæåŽá, àŽêãæýæèëå Žïâåæ ïæïðâéŽ


⎪⎨

dx 1

dt = −λ x 1,

dx ⎪⎩ 2

dt = e−λt x 1 + (sin ln t + cos ln t − 2λ) x 2 .

ìæîãâèæ àŽêðëèâIJæï Žéëýïꎎ x 1 = c 1 e −λt , îëéâèæù ùýŽáæŽ ñïŽïîñèëIJŽöæ öâéëïŽäôãîñèæŽ

êâIJæïéæâîæ λ > 0-åãæï. ýëèë îëàëîù èâóùæŽ 16-öæ ãêŽýâå, éâëîâ àŽêðëèâIJŽ îëùŽ λ > 1 2

éáàîŽáæŽ. éŽàîŽé 1 -åŽê ïŽçéŽëá Žýèë λ-âIJæïåãæï Žî Žîæï åŽêŽIJîŽá éáàîŽáæ. Žéæðëé éåâèæ

2

ïæïðâéŽù

( )

éáàîŽáæ æóêâIJŽ, éŽàîŽé Žî æóêâIJŽ åŽêŽIJîŽá éáàîŽáæ. B(t)-ï îëèöæ Žãæôëå éŽðîæùæ

0 0

e −λt . ùýŽáæŽ (19.6) ìæîëIJŽ öâïîñèâIJñèæŽ. öâöòëåâIJñèæ ïæïðâéŽ Žïâåæ æóêâIJŽ

0


⎪⎨

dx 1

dt = −λ x 1,

dx ⎪⎩ 2

dt = e−λt x 1 + (sin ln t + cos ln t − 2λ) x 2 .

ìæîãâèæáŽê àãŽóãï x 1 = c 1 e −λt . åñ öâãæðŽêå éâëîâöæ, éæãæôâIJå ŽîŽâîåàãŽîëãŽê ïæïðâéŽï áŽ

(7.4) òëîéñèæï àŽéë

x 2 (t) = e t sin ln t−2λt c 2 + c 1

∫t

(

= e t sin ln t−2λt c 2 + c 1

0

∫t

0

e t sin ln t−2λt−τ sin ln τ+2λτ e −2λτ dτ =

)

e −τ sin ln τ dτ .

àŽéëãæçãèæëå æêðâàîŽèóãâöŽ òñêóùæŽ. éæïæ ûŽîéëâIJñèâIJæå ŽáãæèŽá áŽãîûéñêáâIJæå, îëé éŽï

Žóãï éŽóïæéñéæ e −π/4+2πn ûâîðæèâIJöæ, ýëèë éæêæéñéæ e −π/4+(2n+1)π ûâîðæèâIJöæ. Žãæôëå t n =


e π/2+2πn . àãŽóãï e −π t n = e −π/2+2πn , e −2π/3 t n = e −π/6+2πn . Žé ëî ûâîðæèï öëîæï e −π/4+2πn

òñêóùæŽï Žóãï éŽóïæéñéæ. e −π t n -äâ òñêóùææï éêæöãêâèëIJŽŽ e tne−π , ýëèë e −2π/3 t n -äâ çæ e 1/2tne−2/3π .

ùýŽáæŽ, îëé éâëîâ ñòîë éâðæŽ, Žéæðëé îŽáàŽê æêðâàîŽèóãâöŽ òñêóùæŽ áŽáâIJæåæŽ

t n e

x 2 (t n ) > e t n(1−2λ)

(c −2pi/3 e−τ sin ln τ

∫ )

2 + c 1 dτ > e [ t n(1−2λ)

c 1 + c 2 t n (e −2π/3 − e −π ) × e e−π t n

]

.

t n e −π

Žó ãæàñèæïýéëå, îëé c 1 > 0, c 2 > 0. ùýŽáæŽ, îëé îëùŽ 1 − 2π + e −π > 0, Žêñ 1 < 2λ < 1 + e −π ,

éŽöæê x 2 (t) öâéëïŽäôãîñèæ ãâî æóêâIJŽ ᎠöâöòëåâIJñèæ ïæïðâéŽ Žî Žîæï éáàîŽáæ.

åñ éýâáãâèëIJŽöæ éæãæôâIJå 17.1 Ꭰ17.2 öâáâàâIJï, åâëîâéŽ19.3-áŽê öâæúèâIJŽ àŽéëãæõãŽêëå

Žïâåæ ùýŽáæ öâáâàâIJæ.

öâáâàæ 19.4. åñ (19.1) ïæïðâéŽ éáàîŽáæŽ áŽ A éŽðîæùæ éñáéæãæ Žê ìâîæëáñèæŽ, éŽöæê

(19.6) ìæîëIJæáŽê àŽéëáæï (19.5)-æï åŽêŽIJîŽá éáàîŽáëIJŽ.

öâáâàæ 19.5. åñ (19.1) éáàîŽáæŽ áŽ ŽéŽï àŽîáŽ

∫ t

lim Tr(A(τ)) dτ > −∞.

t→+∞

0

éŽöæê (19.6)-áŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï (19.5)-æï åŽêŽIJîŽá éáàîŽáëIJŽ.

åâëîâéŽ 19.6. ãåóãŽå ŽîïâIJëIJï æïâåæ éñáéæãæ M 0 Ꭰæïâåæ ñûõãâðæ v òñêóùæŽ, îëé (19.1)-

æï çëöæï éŽðîæùæïŽåãæï àãŽóãï


∥ C(t, τ) ≤ M0 e ∫ t

τ v(s) ds , t ≥ τ ≥ 0. (19.9)

éŽöæê (19.5) àŽêðëèâIJæï êâIJæïéæâîæ ŽéëýïêæïŽåãæï ïŽéŽîåèæŽêæŽ öâòŽïâIJŽ

∥ ∫ t

∥ y(t) ≤ M0 t [M

e

0 ‖B(τ)‖+v(τ)dτ 0 ‖y(t 0 )‖, t ≥ t 0 . (19.10)

ãæïŽîàâIJèëå (19.8) ûŽîéëáàâêæå. (19.9)-æï àŽéë


∥y(t) ∥ ∫ t

t

≤ M 0 e

∥ v(s)ds 0 ∥y(t) ∥ + M 0

∫t

e ∫ t

τ v(s)‖ ds∥ ∥B(τ) ∥ ∥ · ∥∥y(τ) ∥ ∥dτ.

59

ŽóâáŽê

e − ∫ t

t 0

v(s)ds ∥ ∥ y(t)

∥ ∥ ≤ M0

∥ ∥y(t0 ) ∥ ∥ +

∫t

t 0

M 0

∥ ∥B(τ)

∥ ∥∥e − ∫ τ

t 0

v(s) ds ∥ ∥ y(τ)

]dτ.

ŽóâáŽê çæ àîëêñëè-IJâèéŽêæï èâéæï åŽêŽýéŽá

t 0

e − ∫ t


t v(s)ds ∫ t

0 ‖y(t)‖ ≤ M ∥y(t0 t M

0 )‖e

0 ‖B(τ)‖ dτ 0 .

ŽóâáŽê çæ ìæîáŽìæî àŽéëáæï (19.10). öâãêæöêëå, îëé åâëîâéŽ 19.3-öæ éæôâIJñèæ öâòŽïâIJŽ Žéæï

çâîúë öâáâàæŽ. ïŽçéŽîæïæŽ Žãæôëå v ≡ 0.

öâáâàæ 19.7. åñ (19.1) ïæïðâéŽ ŽïæéìðëðñîŽá éáàîŽáæŽ, A éŽðîæùæ ìâîæëáñèæŽ (çâîúëá

éñáéæãæ) áŽ

∫ t

lim

‖B(τ)‖dτ

0

= 0. (19.11)

t→+∞ t

éŽöæê (19.5) ïæïðâéŽù ŽïæéìðëðñîŽá éáàîŽáæŽ.


60

éæãéŽîåëå åâëîâéŽ 15.1-ï. éæï åŽêŽýéŽá (19.1)-æï òñêáŽéâêðñîæ éŽðîæùæ X(t) = P (t) e Rt ,

ïŽáŽù P ìâîæëáñèæŽ æéŽãâ ìâîæëáæå, ýëèë R éñáéæãæŽ. (19.1)-æï ŽïæéìðëðñîŽá éáàîŽáëIJæáŽê

ᎠåâëîâéŽ 17.5-æï úŽèæå àŽéëáæï, îëé R-æï éŽýŽïæŽåâIJâèæ îæùýãâIJæï êŽéáãæèæ

êŽûæèâIJæ ñŽîõëòæåæŽ. åñ éŽå êŽûæèåŽ öëîæï éŽóïæéñéï ŽôãêæöêŽãå σ 0 -æå, ýëèë âèâéâêðŽîñèæ

àŽéõëòâIJæï îæàâIJï öëîæï éŽóïæéñéï n 0 -æå, îëàëîù öâáâàæ 10.1-æï áŽéðçæùâIJæïŽï ãêŽýâå, Žáàæèæ

Žóãï öâòŽïâIJŽï

∥ ∥ e

Rt ≤ M ∗ (1 + t) n0−1 e σ0t , t ≥ 0.

åñ ŽãæôâIJå σ-ï æïâ, îëé 0 < σ < −σ 0 , îŽáàŽê σ + σ 0 < 0, àãâóêâIJŽ

∥ e

Rt ∥ ∥ ≤ M ∗ (1 + t) n 0−1 e σ+σ 0)t e −σt ∈ M 0 e −σt

(îŽáàŽê (1 + t) n 0−1 e (σ−σ 0)t → 0 îëùŽ t → ∞. ãæêŽæáŽê e (σ−σ 0)t → 0 ñòîë ïûîŽòŽá ãæáîâ

(1 + t) n 0−1 ).

îŽáàŽê p(t) öâéëïŽäôãîñèæŽ, àãŽóãï (19.1)-æï çëöæï éŽðîæùæïŽåãæï

∥ C(t, τ)

∥ ∥ ≤ M0 e −σ(t−τ) , t ≥ τ ≥ 0.

Žïâ îëé áŽùñèæŽ åâëîâéŽ 19.6-æï ìæîëIJâIJæ. Žó àãŽóãï v(t) ≡ −σ. Žéæðëé Žé åâëîâéæï úŽèæå

àãâóêâIJŽ

∥ ∥

∥ y(t) ≤ ∥y(t0 ) ∥ ∫ t

M0 t M

e

0 ‖B(τ)‖dτ−σ(t−t 0

∥ ) 0 = M ∥y(t0 0 ) ∥ [

−t σ− e σt 0

t − 1 t M ∫ ]

t

t ‖B(τ)‖dτ

0 .

(19.11)-æï àŽéë, îëùŽ t ïŽçéŽëá áæáæŽ, σt 0

t

+ M

∫ t

t 0

‖B(τ)‖dτ

t

‖y(t)‖ ≤ M‖y(t 0 )‖ e −tσ/2 .

< σ . Žïâ, îëé

2

ŽéîæàŽá (19.5)-æï õãâèŽ ŽéëýïêŽ éææïûîŽòãæï êñèæïŽçâê, îëùŽ t → +∞, Žéæðëé åâëîâéŽ 16.6-æï

úŽèæå (19.5) ŽïæéìðëðñîŽá éáàîŽáæŽ.


èâóùæŽ 21.

ŽîŽûîòæãæ àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéâIJæ

ìæîãâèæ îæàæï øãâñèâIJîæã áæò. àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéŽï äëàŽá öâéåýãâãŽöæ Žóãï ïŽýâ:

dx

dt

= f(t, x), (21.1)

ïŽáŽù f Žîæï ñûõãâðæ ŽïŽý㎠I × D-ïŽ R n -öæ, D ⊂ R n ŽîâŽ, Žêñ ôæŽ IJéñèæ ïæéîŽãèâ, ýëèë I

êŽéáãæèæ ôâîúæï îŽæéâ öñŽèâáæ. ãåóãŽå t 0 ∈ I Ꭰx 0 ∈ D.

æïéæï ŽéëùŽêŽ: ãæìëãëå (21.1)-æï ŽéëýïêŽ Žïâå ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ

x(t 0 ) = x 0 . (21.2)

éŽàîŽé þâî ñêᎠáŽãŽäñïðëå, îŽ àãâïéæï (21.1) ïæïðâéæï Žéëýïêæï óãâö. I 0 öñŽèâáäâ àŽêïŽäôãîñèæ

ñûõãâðŽá áæòâîâêùæîâIJŽáæ x(t) ãâóðëî-òñêóùæŽï ãñûëáâIJå (21.1)-æï ŽéëýïêŽï I 0

öñŽèâáöæ, åñ þâî âîåæ x(t) ∈ D îëùŽ t ∈ I 0 Ꭰéâëîâù æàæ ŽçéŽõëòæèâIJï (21.1) ïæïðâéŽï Žé

öñŽèâáæï êâIJæïéæâî ûâîðæèöæ. çëöæï ŽéëùŽêŽ Žé ïæïðâéæïŽåãæï Žïâ øŽéëõŽèæIJáâIJŽ: éëùâéñè

t 0 ∈ I Ꭰx 0 ∈ D-åãæï ãæìëãëå æïâåæ I 0 öñŽèâáæ, îëé t 0 ∈ I 0 ⊂ I ᎠŽé öñŽèâáöæ

àŽêïŽäôãîñèæ (21.1)-æï æïâåæ ŽéëýïêŽ, îëéâèæù ŽçéŽõëòæèâIJï (21.2) ïŽûõæï ìæîëIJâIJï.

ŽéîæàŽá, àŽêïýãŽãâIJæå ûîòæãæ ïæïðâéâIJæïŽàŽê äëàŽá öâéåýãâãŽöæ çëöæï ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽï

ãâúâIJå éýëèëá t 0 -æï àŽîçãâñè éæáŽéëöæ éåâè I öñŽèâáöæ, îëàëîù ŽéŽï óãâéëå áŽãæêŽýŽãå,

éŽï öâæúèâIJŽ Žîù ßóëêáâï I öñŽèâáöæ àŽêïŽäôãîñèæ ŽéëýïêŽù.

Žáàæèæ Žóãï öâéáâà ŽîïâIJëIJæï åâëîâéâIJï, îëéâèåŽù øãâê þâî áŽñéðçæùâIJèŽá éëãæõãŽêå.

åâëîâéŽ 21.1 (çëöæ-ìâŽêëï). åñ f ∈ C n (I × D), éŽöæê (21.1), (21.2) ŽéëùŽêŽ ŽéëýïêŽáæŽ

(çëöæï ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽáæëIJŽ Žó àãâïéæï äâéëåéëõãŽêæèæ Žäîæå â.æ. èëçŽèñîŽá).


ãæáîâ Žé åâëîâéŽï áŽãŽéðçæùâIJáâå, éëãæõãŽêëå îŽéáâêæéâ éŽàŽèæåæ, ïŽáŽù Žéëýïêæï Žîïâ-

IJëIJŽ ñöñŽèëá öâæúèâIJŽ æóêâï êŽøãâêâIJæ. õãâèŽ éëõãŽêæè éŽàŽèæåöæ n = 1.

Žïâ âûëáâIJŽ öâéáâàæ ðæìæï àŽêðëèâIJŽï:

àŽêùŽèâIJŽá ùãèŽáâIJæŽêæ àŽêðëèâIJŽ

dx

= a(t) ϕ(x), (21.3)

dt

ïŽáŽù a ∈ C(I) Ꭰg ∈ C(]α, β[).

Žãæôëå t 0 ∈ I Ꭰx 0 ∈]α, β[ ᎠáŽãïãŽå çëöæï

x(t 0 ) = x 0 (21.4)

ŽéëùŽêŽ. ãæàñèæïýéëå, îëé

ϕ(x) ≠ 0 îëùŽ x ∈]α, β[ (21.5)

ãåóãŽå (21.3), (21.4) ŽéëùŽêŽï àŽŽøêæŽ ŽéëýïêŽ àŽêïŽäôãîñèæ t 0 -æï îŽôŽù I 0 éæáŽéëöæ áŽ

Žéëýïêæï éêæöãêâèëIJâIJæ Žî àŽéëáæŽê ]α, β[-áŽê. I 0 -öæ (21.3) Ꭰ(21.5)-æï àŽéë àãâóêâIJŽ Žé Žéëýïêæïåãæï

x ′ (t)

ϕ(x(t)) = a(t). ãŽæêðâàîëå t 0-áŽê to t-éáâ.

∫ t

t 0

x ′ (τ)

ϕ(x(τ)) dτ =

∫t

t 0

a(τ) dτ.

åñ éŽîùýêæã éëãŽýáâêå ùãèŽáæï àŽîáŽóéêŽï x(t) = s, éæãæôâIJå, îëé

∫x(t)

ds

ϕ(s) =

∫t

a(τ) dτ, t ∈ I 0 . (21.6)

x 0

t 0

x∫ ds

öâéëãæôëå òñêóùæŽ Φ(x) = àŽêïŽäôãîñèæ ]α, β[-öæ. âï òñêóùæŽ Žîæï ñûõãâðæ áŽ

x 0

ϕ(s)

éçŽùîŽá éëêëðëêñîæ ]α, β[-öæ îŽáàŽê (21.5)-æï àŽéë Φ ′ (x) ≠ 0. Žéæðëé ŽîïâIJëIJï äôãîâIJæ

ïŽïîñèæ Žê ñïŽïîñèë Φ(α+) ᎠΦ(β−). Žôãêæöêëå

A = min { Φ(α+), Φ(β−) } , B = max { Φ(α+), Φ(β−) } .

éŽöæê Φ-ï éêæöãêâèëIJŽåŽ Žîâ æóêâIJŽ ]A, B[ öñŽèâáæ. Žéæï öâéáâà (21.6) Žïâ àŽáŽãûâîëå

Φ[x(t)] =

∫ t

t 0

a(τ) dτ, t ∈ I 0 . (21.7)

ùýŽáæŽ A < 0 < B îŽáàŽê Φ(x 0 ) = 0. (21.7) ðëèëIJŽï, îëé Žäîæ ßóëêáâï ïŽüæîëŽ, îëé

áŽùñèæ æóêŽï ìæîëIJâIJæ

A <

∫ t

t 0

a(τ) dτ < B, t ∈ I 0 . (21.8)

Žéæï öâéáâà ïûëîâá ãæàñèæïýéëå, îëé I 0 öâîøâñèæŽ æïâ, îëé áŽùñèæ æõëï (21.8). Žïâåæ I 0

∫ t

îëé öâæîøâ㎠ùýŽáæŽ, îŽáàŽê a(τ) dτ = 0 ∈ [AB]. (21.8) ìæîëIJŽïŽ áŽ Φ òñêóùææï éçŽùîŽá

t 0

éëêëðëêñîëIJæï àŽéë àãŽóãï, îëé

[ ∫t

]

x(t) = Φ −1 a(τ) dτ < B, t ∈ I 0 . (21.9)

t 0

61


62

ŽéàãŽîŽá, åñ (21.3), (21.4) ŽéëùŽêŽï Žóãï ŽéëêŽýïêæ, æàæ âîåŽáâîåæŽ áŽ àŽéëæïŽýâIJŽ (21.9)-æå.

ñçñïãèæå ŽáãæèŽá áŽãîûéñêáâIJæå, îëé x(t) òñêóùæŽ, îëéâèæù àŽêïŽäôãîñèæŽ (21.9)-æå Žîæï

ïûëîâá (21.3), (21.4) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ. ŽéîæàŽá øãâê áŽãŽéðçæùâå

åâëîâéŽ 21.2. åñ a ∈ C(I), ϕ ∈ C(]α, β[) ᎠöâïîñèâIJñèæŽ (21.5) ìæîëIJŽ, éŽöæê

(21.3), (21.4) ŽéëùŽêŽï àŽŽøêæŽ âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ I 0 öñŽèâáöæ, îëéâèæù éëæùâéŽ (21.9)-æå.

I 0 öâîøâñèæŽ æïâ, îëé ïîñèáâIJëáâï (21.8).

áŽéðçæùâIJŽ. ãåóãŽå α = −∞, β = +∞, â.æ., ϕ Žîæï ] − ∞, +∞[-öæ àŽêïŽäôãîñèæ ñûõãâðæ

ᎠâîåŽáâîåæ (äëàŽáëIJæï áŽñîôãâãèŽá) òñêóùæŽ. éŽöæê øŽðŽîâIJñèæ éïþâèëIJæáŽê ùýŽáæŽ,

îëé ìæîëIJâIJæ

∫ 0 ∫+∞

ds

ϕ(s) = ds

ϕ(s) = +∞

−∞

0

ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé (21.3), (21.4) ŽéëùŽêŽï ßóëêáâï ŽéëýïêŽ éåèæŽêŽá I-öæ àŽêïŽäôãîñèæ

îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï x 0 ∈] − ∞, +∞[ Ꭰa ∈ C(I). éŽîåèŽù, Žé öâéåýãâãŽöæ

ùýŽáæŽ A = −∞ ᎠB = +∞ îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï x 0 Ꭰ(21.8) ìæîëIJâIJæ ŽãðëéŽðñîŽá

öâïîñèáâIJŽ éåâè I-öæ îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï a ∈ C(I). Žéæå ïŽçéŽîæïëIJŽ áŽéðçæùâIJñèæŽ.

îŽù öââýâIJŽ ŽñùæèâIJèëIJŽï, åñ éŽàŽèæåŽá A ïŽïîñèæŽ, ŽáãæèŽá öâæúèâIJŽ a-ï öâîøâ㎠æïâ,

îëé (21.8) ìæîëIJâIJæ Žî ïîñèáâIJëáâï.

IJëèëï éëãæõãŽêëå âîåæ éŽîðæãæ éŽàŽèæåæ, îëùŽ ŽéëýïêŽ Žî Žîæï éåâè öñŽèâáöæ àŽêïŽäôãîñèæ.

àŽêãæýæèëå Žïâåæ àŽêðëèâIJŽ dx

dt = 1 + x2 ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ x(0) = 0. åñ àŽãõëòå

]

ᎠãŽæêðâàîâIJå, éæãæôâIJå, îëé Žé ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ x(t) = tg t àŽêïŽäôãîñèæŽ − π 2 , π [

-öæ.

2


Žïâ âûëáâIJŽ öâéáâàæ ïŽýæï àŽêðëèâIJŽï

IJâîêñèæï àŽêðëèâIJŽ

dx

dt = a(t)x + b(t)xn , (21.10)

ïŽáŽù a ∈ C(I), b ∈ C(I), n ≠ 1, n ∈ R (åñ n = 1 àãŽóãï ûîòæãæ àŽêðëèâIJŽ). åñ (21.10)

-æï éŽîþãâêŽ éýŽîâï öâãêæöêŽãå, îëàëîù ëîæ ùãèŽáæï òñêóùæŽï, éæïæ àŽêïŽäôãîæï Žî⎠I ×

(0, +∞). Žãæôëå x 0 > 0 Ꭰt 0 ∈ I ᎠáŽãïãŽå çëöæï ŽéëùŽêŽ

éëãŽýáæêëå àŽîáŽóéêŽ

éŽöæê

x(t 0 ) = x 0 . (21.11)

y(t) = x 1−n (t). (21.12)

y ′ (t) = (1 − n)x −n (t) x ′ (t) = (1 − n)a(t)y(t) + (1 − n)b(t)

Ꭰøãâêæ çëöæï ŽéëùŽêŽ éææôâIJï ïŽýâï:

dy

dt = (1 − n)a(t)y + (1 − n)b(t), (21.10′ )

y(t 0 ) = x 1−n

0 . (21.11 ′ )

éŽàîŽé (21.10), (21.11) Ꭰ(21.10 ′ ), (21.11 ′ ) ŽéëùŽêâIJæ Žî Žîæï âçãæãŽèâêðñîæ. éŽîåèŽù, éâëîâï

ŽéëýïêŽ àŽêïŽäôãîñèæŽ éåèæŽêŽá I-öæ, éŽöæê îëùŽ ìæîãâèæï ŽéëýïêŽ éåèæŽêŽá I-öæ öâæúèâIJŽ

Žî æõëï àŽêïŽäôãîñèæ. ïŽóéâ æéŽöæŽ, îëé (21.12) àŽîáŽóéêŽ Žî Žîæï öâIJîñêâIJŽáæ éåâè I-öæ.


63

îëàëîù çñîïæï ìæîãâèæ èâóùææáŽê ãæùæå (21.10 ′ ), (21.11 ′ )-æï ŽéëýïêŽ éëæùâéŽ òëîéñèæå

[

y(t) = e (1−n) ∫ ∫ t

t

t a(τ) dτ

0 x 1−n

0 + (1 − n)

]

b(s) e (n−1) ∫ t

t a(s) ds 0 ds .

öâãŽîøæëå I 0 æïâ îëé

t 0

∫ t

x 1−n

0 + (1 − n)

t 0

b(s) e (n−1) ∫ t

t 0

a(τ) dτ ds > 0, îëùŽ t ∈ I 0 . (21.13)

âï öâïŽúèâIJâèæŽ, îŽáàŽê îëùŽ t = t 0 , éŽîùýâêŽ éýŽîâ ðëèæŽ x 1−n

0 > 0. àãâóêâIJŽ

â.æ. àãŽóãï Žïâåæ

[


∫ t

t

t a(τ) dτ

x(t) = e 0 x 1−n

0 + (1 − n)

t 0

]

s(s)e (n−1) ∫ 1

t

t a(τ) dτ 1−n

0 ds . (21.14)

åâëîâéŽ 21.3. åñ a ∈ C(I) Ꭰb ∈ C(I), éŽöæê õëãâèæ x 0 > 0 Ꭰt 0 ∈ I-åãæï (21.10),

(21.11) ŽéëùŽêŽï àŽŽøêæŽ âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ I 0 -öæ, îëéâèæù éëæùâéŽ (21.4) òëîéñèæå, ýëèë

I 0 æï⎠öâîøâñèæ, îëé öâïîñèáâï (21.13).

àŽêãæýæèëå Žïâåæ ïŽýæï àŽêðëèâIJŽ

àŽêðëèâIJâIJæ ïîñè áæòâîâêùæŽèâIJöæ

dx

dt

= −q(t,

x)

p(t, x) , (21.15)

ïŽáŽù p Ꭰq ñûõãâðæ òñêóùæâIJæŽ I×]α, β[ Žîâöæ ᎠŽîïŽá Žôêæöêñè Žîâöæ p ≠ 0. ãŽøãâêëå

öâéáâàæ ûæêŽáŽáâIJæï éŽîåâIJñèëIJŽ.

åâëîâéŽ 21.4. åñ áŽùñèæŽ äâéëå Žôêæöêñèæ ìæîëIJâIJæ, ŽéŽï àŽîáŽ

∂p(t, x)

∂t

=

∂q(t, x)

∂x

(21.16)

Ꭰëîæãâ ñûõãâðæŽ, éŽöæê îëàëîù Žî ñêᎠæõëï t 0 ∈ I Ꭰx 0 ∈]α, β[, (21.15) àŽêðëèâIJŽï

àŽŽøêæŽ âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ

Ꭰâï ŽéëýïêŽ àŽêæïŽäôãîâIJŽ ðëèëIJæáŽê

∫ t

t 0

q(τ, x 0 ) dτ +

x(t 0 ) = x 0 (21.17)

∫x(t)

x 0

p(t, ξ) dξ = 0. (21.18)

åñ áŽùñèæŽ (21.16), éŽöæê (21.15)-ï ñûëáâIJâê àŽêðëèâIJŽï ïîñè áæòâîâêùæŽèâIJöæ. âï ïŽýâèûëáâIJŽ

ûŽîéëáàâIJŽ æóæáŽê, îëé îëàëîù ŽêŽèæäæáŽê ùêëIJæèæŽ, åñ áŽùñèæŽ (21.6) ìæîëIJŽ,

éŽöæê ŽîïâIJëIJï ëîæ ùãèŽáæï ñûõãâðŽá áæòâîâêùæîâIJŽáæ òñêóùæŽ z(t, x), îëé dz(t, x) =

p(t, x)dx + q(t, x)dt. çâîúëá,

z(t, x) =

∫ t

t 0

q(τ, x 0 ) dτ +

∫ x

x 0

p(t, ξ) dξ.


64

éŽîåèŽù,

∂z(t, x)

∂x

= p(t, x) ýëèë

∂z(t, x)

∂t

∫ x

∂p(t, ξ)

∂q(t, ξ)

= q(t, x 0 ) + dξ = q(t, x 0 ) +

∂t

∂t

x 0 x 0

= q(t, x 0 ) + q(t, x) − q(t, x 0 ) = q(t, x).

åñ (21.15), (21.17)-ï àŽŽøêæŽ ŽéëêŽýïêæ, éŽöæê (21.15)-áŽê àãŽóãï p(t, x(t))dx(t)+q(t, x(t))dt ≡ 0,

t ∈ I 0 , âï çæ êæöêŽãï, îëé dz(t, x(t)) ≡ 0, t ∈ I 0 . âï æàæãâŽ, îŽù (21.18).

ŽéàãŽîŽá, åñ ŽîïâIJëIJï (21.15), (21.17) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ îŽôŽù I 0 öñŽèâáöæ, æàæ ŽçéŽõëòæèâIJï

(21.18) ðëèëIJŽï.

∫ x

dξ =

ãêŽýëå öâæúèâIJŽ åñ ŽîŽ ŽóâáŽê x(t)-æï àŽêïŽäôãîŽ. (21.18) ûŽîéëŽáàâêï z(t, x(t)) = 0

ðëèëIJŽï. z ñûõãâðŽá áæòâîâêùæîâIJŽáæŽ I×]α, β[-öæ, z(t 0 , x 0 ) = 0 ᎠŽéŽï àŽîáŽ

∂z(t 0 , x 0 )

= p(t 0 , x 0 ) ≠ 0.

∂x

Žéæðëé ŽîŽùýŽáæ òñêóùææï ŽîïâIJëIJæï åâëîâéæï úŽèæå t 0 -æï àŽîçãâñè I 0 éæáŽéëöæ (21.18)-

áŽê æï àŽêæïŽäôãîâIJŽ, îëàëîù t-ï ùŽèïŽýŽ ñûõãâðŽá áæòâîâêùæîâIJŽáæ òñêóùæŽ. åñ ñçŽê

áŽãIJîñêáâIJæå, éæãæôâIJå îëé x(t) æóêâIJŽ (21.15)-æï ŽéëýïêŽ (21.17) ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ.

åñ (21.15) Žî Žîæï ïîñè áæòâîâêùæŽèâIJöæ, éŽöæê ùáæèëIJâê æìëãëê â.û. éŽæêðâàîâIJâèæ

éŽéîŽãèæ, îëé Žé éŽéîŽãèäâ (21.15)-æï éŽîþãâêŽ éýŽîæï éêæöãêâèæïŽ áŽ éîæùýãâèæï àŽéîŽãèâIJæï

öâéáâà æàæ àŽýáâï ïîñè áæòâîâêùæŽèâIJöæ dx

dt

= −µ(t,

x) q(t, x)

µ(t, x) p(t, x) .

èâóùæŽ 22.

ŽýèŽ öâãñáàâå çëöæ-ìâŽêëï â.æ. 21.1 åâëîâéæï áŽéðçæùâIJŽï. Žó àãŽóãï ëîæ âðŽìæ: 1) ŽîùâèŽ-

Žïçëèæï èâéŽ; 2) åãæå åâëîâéæï áŽéðçæùâIJŽ áŽãæûõëå èâéæå.

àŽêéŽîðâIJŽ 1. ãæðõãæå, îëé x k ∈ C n (I) òñêóùæŽåŽ éæéáâãîëIJŽ Žîæï âîåëIJèæã öâéëïŽäôãîñèæ,

åñ ŽîïâIJëIJï æïâåæ M > 0, M = const, îëé ∥ ∥ xk (t) ∥ ∥ ≤ M, t ∈ I, k = 1, 2, . . . .

àŽêéŽîðâIJŽ 2. ãæðõãæå, îëé Žôêæöêñèæ éæéáâãîëIJŽ Žîæï âîåëIJèæã ñûõãâðæ, åñ êâIJæïéæâîæ

ε > 0-åãæï ŽîïâIJëIJï æïâåæ δ > 0, îëé ∥ ∥ xk (t) − x k (s) ∥ ∥ ≤ ε, îëùŽ |t − s| < δ Ꭰk = 1, 2, . . . .

âï ëîæ ùêâIJŽ âîåéŽêâåï Žî æûãâãï. éæéáâãîëIJŽ öâæúèâIJŽ æõëï âîåëIJèæã ñûõãâðæ, éŽàîŽé Žî

æõëï âîåëIJèæã öâéëïŽäôãîñèæ. îëàëîù éŽà. x k (t) = k [0, 1]-äâ. ìæîæóæå, åñ àŽêãæýæèŽãå

éæéáâãîëIJŽï x k (t) = t k , k = 1, 2, . . . , t ∈ [0, 1], æàæ âîåëIJèæã öâéëïŽäôãîñèæŽ, éŽàîŽé Žî Žîæï

âîåëIJèæã ñûõãâðæ, îŽáàŽê Žïâ îëé æõëï, ŽîùâèŽ-Žïçëèæï èâéæï úŽèæå, ŽóâáŽê àŽéëãæáëáŽ,

îëé Žé éæéáâãîëIJæáŽê ñêᎠàŽéëæõëï åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáæ óãâéæéáâãîëIJŽ, îŽù öâñúèâIJâèæŽ,

îŽáàŽê åãæå âï éæéáâãîëIJŽ Ꭰâ.æ. õëãâèæ éæïæ óãâéæéáâãîëIJŽ çîâIJŽáæŽ ŽîŽåŽêŽIJîŽá. éŽàîŽé

åñ òñêóùæŽåŽ éæéáâãîëIJŽ âîåëIJèæã ñûõãâðæŽ, öñŽèâáæ ïŽïîñèæŽ áŽ éæéáâãîëIJŽ éæï âîå

ûâîðæèöæ éŽæêù öâéëïŽäôãîñèæŽ, éŽöæê æàæ âîåëIJèæã öâéëïŽäôãîñèæŽ. éŽîåèŽù, ãåóãŽå

‖x k (t 0 )‖ ≤ M. Žãæôëå îŽæéâ ε. ŽîïâIJëIJï δ, îëéâèæù ŽçéŽõëòæèâIJï âîåëIJèæã ñûõãâðëIJæï

ìæîëIJŽï. ŽéîæàŽá t 0 -æï δ éæáŽéëöæ êâIJæïéæïîæ t-åãæï big‖x k (t) ∥ ∥ ≤ ∥ ∥x k (t)−x k (t 0 ) ∥ ∥+ ∥ ∥x k (t 0 ) ∥ ∥ ≤

M + ε ᎠŽ.ö. I öñŽèâáæï ïŽïîñèëIJæï àŽéë, ïŽïîñè îŽëáâêëIJŽ êŽIJæþâIJæï öâéáâà àŽáŽãŽèå

öñŽèâáæï IJëèëéáâ.

èâéŽ 22.1 (ŽîùâèŽ-Žïçëèæ). åñ I ïŽïîñèæ öñŽèâáæŽ, ýëèë { } ∞

x k Žîæï Žé öñŽèâáöæ

k=1

âîåëIJèæã öâéëïŽäôãîñèæ ᎠâîåëIJèæã ñûõãâðæ n àŽêäëéæèâIJæŽê ãâóðëî òñêóùæŽåŽ éæéáâãîëIJŽ,

éŽöæê éæïàŽê àŽéëæõëòŽ åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáæ óãâéæéáâãîëIJŽ I-öæ.

áŽéðçæùâIJŽ. Žôãêæöêëå I-ï öñŽ ûâîðæèæ t 1 -æå. éæãæôâIJå ëî çëêàîñâêðñè öñŽèâáï. éŽåæ

öñŽ ûâîðæèâIJæ Žôãêæöêëå t 2 Ꭰt 3 -æå, Ꭰâï ìîëùâïæ àŽãŽàîúâèëå ñïŽïîñèëá. õëãâèæ k-ñîæ

êŽIJæþæï öâéáâà àãâóêâIJŽ ûâîðæèâIJæ t 1 , t 2 , . . . , t 2 k −1. æïæêæ I öñŽèâáï õëòâê 2 k ðëè óãâöñŽèâáŽá


Ꭰåæåëâñèæï ïæàîúâ Žîæï |I|

2 . Žïâ ŽæàâIJŽ ûâîðæèåŽ éæéáâãîëIJŽ { } ∞

t k k , îëéâèæù ùýŽáæŽ

k=1

õãâèàŽê éçãîæãæŽ I-öæ. àŽêãæýæèëå n-àŽêäëéæèâIJæŽê ãâóðëîåŽ éæéáâãîëIJŽ { x k (t 1 ) } +∞

. âï k=1

éæéáâãîëIJŽ öâéëïŽäôãîñèæŽ áŽ Žéæðëé ŽóâáŽê àŽéëæõëòŽ çîâIJŽáæ óãâéæéáâãîëIJŽ { x 1k (t 1 ) } +∞

ŽéîæàŽá, òñêóùæŽåŽ éæéáâãîëIJŽ { x 1k (t 2 ) } +∞

. ŽóâáŽê ŽéëæçîæIJâIJŽ çîâIJŽáæ óãâéæéáâãîëIJŽ

{ k=1

x2k (t 2 ) } . ŽéîæàŽá òñêóùæŽåŽ éæéáâãîëIJŽ { x 2k (t) } çîâIJŽáæŽ t 1 Ꭰt 2 ûâîðæèâIJöæ. åñ Žé

ìîëùâïï ñïŽïîñèëá àŽãŽàîúâèâIJå éæãæôâIJå éæéáâãîëIJŽåŽ éæéáâãîëIJŽï { x 1k (t) } ⊃ { x 2k (t) } {


x3k (t) } ⊃ · · · ⊃ { x ik (t) } ⊃ { x i+1,k (t) } {

⊃ . . . æïâ îëé õëãâè òæóïæîâIJñè i-åãæï éæéáâãîëIJŽ

xik (t) } çîâIJŽáæŽ t 1 , . . . , t i ûâîðæèâIJöæ. éëïŽýâîýâIJâèæŽ âï éæéáâãîëIJâIJæ áŽãŽþŽéëå ñïŽïîñèë

éŽðîæùöæ

x 11 (t), x 12 (t), . . . , x 1n (t), . . .

x 21 (t), x 22 (t), . . . , x 2n (t), . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x n1 (t), x n2 (t), . . . , x nn (t), . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ꭰöâéáâà øŽãõãâå áæŽàëêŽèï. â.æ. àŽêãæýæèëå éæéáâãîëIJŽ y k (t) = x kk (t). ùýŽáæŽ, îëé {y k }

æóêâIJŽ {x k }-æï óãâéæéáâãîëIJŽ. ãŽøãâêëå, îëé {y k } Žîæï ïûëîâá æï óãâéæéáâãîëIJŽ, îëéâèæù

åâëîâéæï ìæîëIJâIJï ŽçéŽõëòæèâIJï. ùýŽáæŽ, îëé. {y k (t)} çîâIJŽáæŽ êâIJæïéæâî t k -äâ. Žãæôëå êâ-

IJæïéæâîæ ε > 0. ùýŽáæŽ {y k (t)} Žàîâåãâ âîåëIJèæã ñûõãâðæ ᎠâîåëIJèæã öâéëïŽäôãîñèæŽ.

Žéæðëé ε-åãæï ŽîïâIJëIJï æïâåæ δ, îëé


∥y k (t) − y k (s) ∥ < ε for |t − s| ≤ δ, k = 1, 2, . . . .

3

Žé δ-åãæï öâãŽîøæëå k 0 , æïâ îëé |I|

2 < δ ýëèë Žé k 0-åãæï öâãŽîøæëå k ∗ , æïâ îëé ∥ yk (t k i ) −

0

y m (t i ) ∥ < ε îëùŽ k > 3 k∗ Ꭰm > k ∗ , i = 1, 2, . . . , 2 k 0

− 1. ãåóãŽå ŽýèŽ k ≥ k ∗ Ꭰm ≥ k ∗ .

êâIJæïéæâîæ t-åãæï ŽîïâIJëIJï t i æïâ, îëé i ∈ {1, . . . , 2 k 0

− 1} Ꭰ|t − t i | < |I| ≤ δ. Žïâ, îëé

∥ yk (t) − y m (t) ∥ ∥ ≤

∥ ∥yk (t) − y k (t i ) ∥ ∥ +

∥ ∥yk (t i ) − y m (t i ) ∥ ∥ +

∥ ∥ym (t i ) − y m (t) ∥ ∥ <

ε

3 + ε 3 + ε 3 = ε.

ŽéîæàŽá êâIJæïéæâîŽá ŽôâIJñèæ ε > 0-åãæï ãæìëãâå k ∗ æïâ, îëé îëùŽ k > k ∗ Ꭰm > k ∗ , àãŽóãï

∥ yk (t) − y m (t) ∥ { } +∞

< ε õãâèŽ t ∈ I-åãæï. âï çæ êæöêŽãï ïûëîâá îëé yk éæéáâãîëIJŽ åŽêŽIJîŽá

k=1

çîâIJŽáæŽ. èâéŽ áŽéðçæùáŽ.


âýèŽ àŽáŽãæáâå åãæå çëöæ-ìâŽêëï åâëîâéæï áŽéðçæùâIJŽäâ. ñìæîãâèâï õëãèæïŽ öâãêæöêëå,

îëé æïâãâ îëàëîù èâóùæŽ 2-äâ 2.1 åâëîâéæï áŽéðçæùâIJæï áîëï ŽáãæèŽá áŽãîûéñêáâIJæå, îëé

(21.1), (21.2) ŽéëãŽêŽ âçãæãŽèâêðñîæŽ æêðâàîŽèñîæ àŽêðëèâIJŽåŽ Žïâåæ ïæïðâéæïŽ

x(t) = x 0 +

∫ t

2 k 0

65

k=1 .

t 0

f(τ, x(τ)) dτ. (22.1)

Žïâå ïæïðâéŽï âûëáâIJŽ ãëèðâîæï ðæìæï ŽîŽûîòæã æêðâàîŽèñî àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéŽ. éæï

ŽéëýïêŽï øãâê ãâúâIJå t 0 -æï àŽîçãâñè éæáŽéëöæ àŽêïŽäôãîñè ñûõãâð n àŽêäëéæèâIJæŽê ãâóðëîåŽ

òñêóùæŽåŽ çèŽïöæ.

îŽáàŽê D ô掎 Ꭰx 0 ∈ D, Žéæðëé ŽîïâIJëIJï æïâåæ r > 0, îëé ìŽîŽèâèâìæìâáæ D 0 = { x ∈

R n |, ‖x − x 0 ‖ ≤ r } ⊂ D (D 0 Žó éŽîåèŽù ìŽîŽèâèâìæìâáæŽ, îŽáàŽê øãâêæ êëîéŽ Žó âãçèæáñîæ

Žî Žîæï). ùýŽáæŽ õëãâèåãæï ŽîïâIJëIJï áŽýñîñèæ I ∗ öñŽèâáæ, îëé t 0 ∈ I ∗ ⊂ I (åñ I åãæåëê

áŽýñîñèæŽ, I ∗ -æï îëèöæ öâæúèâIJŽ åãæå æàæ Žãæôëå). I ∗ × D 0 øŽçâðæè ïæéîŽãèâäâ f òñêóùæŽ


66

öâéëïŽäôãîñèæŽ áŽ ŽîïâIJëIJï æïâåæ M, îëé

∥ f(t, x)

∥ ∥ ≤ M îëùŽ (t, x) ∈ I ∗ × D 0 . (22.2)

öâãŽîøæëå öñŽèâáæ [α, β], t 0 ∈ [α, β] ⊂ I ∗ æïâ, îëé

max{t 0 − α, β − t 0 } ≤ r M . (22.3)

øãâêæ éæäŽêæŽ ãŽøãâêëå, îëé (22.1)-ï àŽŽøêæŽ ŽéëýïêŽ C n ([α, β]) çèŽïæáŽê. ãåóãŽå β > t 0 áŽ

áŽãŽéðçæùëå Žéëýïêæï ŽîïâIJëIJŽ [t 0 , β] öñŽèâáöæ. áŽéðçæùâIJæï éâåëáæ Žèàëîæåéñèæ ýŽïæŽåæ.

â.æ. æàæ ŽîŽ éŽîðë ŽéðçæùâIJï Žéëýïêæï ŽîïâIJëIJŽï, ŽîŽéâá çæáâù éæñåæåâIJï éæïæ ìëãêæï

àäŽäâ. âï éâåëáæ éæâçñåãêâIJŽ æðŽèæâè ðëêâèæï.

õëãâèæ k ∈ N-åãæï x k àŽêãïŽäôãîëå Žïâ


x 0 îëùŽ t 0 ≤ t ≤ t 0 + δ ⎪⎨

k ,

t−

x(t) = ∫

δ k

x 0 + f(τ, x k (τ)) dτ îëùŽ t 0 + δ (22.4)

⎪⎩

k ≤ t ≤ β,

t 0

ïŽáŽù δ = β − t 0 .

x k òñêóùæŽ àŽêãïŽäôãîëå Žïâ: [t 0 , β] öñŽèâáï ãõëòå k-ï ðëè êŽûæèŽá Ꭰþâî òñêóùæŽï

[

ãïŽäôãîŽãå t 0 , t 0 + δ ]

öñŽèâáöæ (22.4)-æï ìæîãâèæ òëîéñèæï ïŽöñŽèâIJæå. öâéáâà éŽï ãïŽäôãîŽãå

t 0 + δ k , t 0 + 2δ ]

[

k

öñŽáâáöæ (22.4)-æï éâëîâ òëîéñèæå. âï öâïŽúèâIJâèæŽ, îŽáàŽê îëùŽ

[

k

t ∈ t 0 + δ k , t 0 + 2δ

[

], àãŽóãï t − δ k

k

∈ t 0 , t 0 + δ ]

ᎠŽó x k (t) ñçãâ àŽêïŽäôãîñèæ àãŽóãï. Žïâ

k

àŽãŽàîúâèâIJå, ïŽêŽé Žî éæãŽèå β IJëèëéáâ. Žáãæèæ öâïŽéøêâãæŽ, îëé x k (t) ñûõãâðæŽ [t 0 , β]-öæ

ᎠŽóŽù ŽçéŽõëòæèâIJï ìæîëIJŽï

∥ ∥

∥x k (t) − x 0 ≤ r. (22.5)

[

éŽîåèŽù, x k (t) îëé ñûõãâðæŽ áŽ (22.5)-ï ŽçéŽõëòæèâIJï t 0 , t 0 + δ ]

-öæ âï ùýŽáæŽ. âýèŽ áŽãñöãŽå,

[

k

îëé x k (t) ñûõãâðæŽ áŽ (22.5)-ï ŽçéŽõëòæèâIJï t 0 , t 0 + iδ ]

-öæ ᎠãŽøãâêëå, îëé æàæãâ ïŽéŽîåèæŽêæŽ

[

k

(i + 1)δ

]

t 0 , t 0 + -öæ. ñûõãâðëIJæï åãŽèïŽäîæïæå ïŽâüãëŽ éýëèëá àŽáŽIJéæï ûâîðæèöæ t 0 + iδ k

k .

éŽàîŽé îëàëîù Žáãæèæ áŽïŽêŽýæŽ, òñêóùææï éŽîþãâêŽ áŽ éŽîùýâêŽ äôãîâIJæ òñêóùææï éêæöãêâ-

[

t 0 + iδ [

k , t 0+

], éŽöæê t− δ ∈ t

k 0 +

èëIJæï ðëèæŽ. îŽù öââýâIJŽ (22.5)-ï, åñ t ∈


]

Ꭰ(22.2)-æï àŽéë àãŽóãï

k

(i + 1)δ

k

t−


δ k

∥ ∥

∥ xk (t) − x 0 ≤ ∥f(τ, xk (τ) ∥ (

dτ ≤ M t − δ )

k − t 0 < (β − t 0 ) ≤ M r M = r.

t 0

(i − 1)δ

, t 0 +

k

(Žó (22.2)-æï àŽéëõâêâIJæï ñòèâIJŽ æéæðëé àãóëêáŽ, îëé øãâêæ áŽöãâIJæï úŽèæå ûæêŽ öñŽèâáöæ

(22.5) ñçãâ ïîñèáâIJŽ). îëàëîù (22,5) àãæøãâêâIJï, {x k } éæéáâãîëIJŽ âîåëIJèæã öâéëïŽäôãîñèæŽ.

øãâêæ éæäŽêæŽ ãŽøãâêëå {x k } éæéáâãîëIJæï âîåëIJèæã ñûõãâðëIJŽ [t 0 , β]-äâ. Žãæôëå êâIJæïéæâîæ t

Ꭰs, t 0 ≤ s ≤ t ≤ β. öâïŽúèâIJâèæŽ Žáàæèæ ßóëêáâï âîåâîåï öâéáâàæ 3 öâéåýãâãæáŽê

1) t ∈ t 0 + δ k ,


67

2) s < t 0 + δ k < t,

3) t 0 + δ k ≤ s.

ìæîãâè öâéåýãâãŽöæ (22.1)-æï àŽéë àãŽóãï ∥ ∥ xk (t) − x k (s) ∥ ∥ = 0. éâëîâ öâéåýãâãŽöæ

∥ xk (t) − x k (s) ∥ ∥

t−


δ k

t−


δ k

∥∥∥ = f(τ, x k (τ))dτ

∥ ≤ ∥ ∥f(τ, xk (τ)) ∥ dτ ≤

≤ M

t 0

(

t − δ )

k − t 0

((22.2)-ïŽ áŽ (22.5)-æï àŽéë). éâïŽéâ öâéåýãâãŽöæ


∥x k (t) − x k (s) ∥ ∥ =

t−


δ k

t 0

[

= M t −

(

t 0 + δ )]

≤ M(t − s)

k


∥f(τ, x k (τ)) ∥ ∥ dτ ≤ M(t − s).

s− δ k

ŽéîæàŽá, îëàëîù Žî ñêᎠæõëï t, s ∈ [t 0 , β] Ꭰk = 1, 2, . . . Žáàæèæ Žóãï ∥ ∥x k (t) − x k (s) ∥ ≤

M(t − s). îŽáàŽê M k-äâ Žî Žîæï áŽéëçæáâIJñèæ, ŽóâáŽê àŽéëáæï {x k } éæéáâãîëIJæï âîåëIJèæã

ñûõãâðëIJŽ.

ŽéàãŽîŽá {x k } éæéáâãîëIJŽ ŽçéŽõëòæèâIJï ŽîùâèŽ-Žïçëèæï èâéŽ 22.1-æï ìæîëIJâIJï. Žé èâéæï

åŽêŽýéŽá {x k }-áŽê àŽéëæõëòŽ åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáæ óãâéæéáâãîëIJŽ {x ki }. x(t) ≡ lim x ki (t) ãŽøãâêëå,

îëé ïûëîâá x(t) ûŽîéëŽáàâêï (22.1) ïæïðâéæï ŽéëêŽýïêï.

i→∞

Žãæôëå t ∈ [t 0 , β]. îëàëîù (22.4)-áŽê øŽêï, ïŽçéŽîæïŽá áæáæ i-âIJæïåãæï àãŽóãï

x ki (t) = x 0 +

t− δ k

∫ i

t 0

f(τ, x ki (τ))dτ = x 0 +

∫ t

t 0

f(τ, x ki (τ))dτ +

t− δ k

∫ i

t

f(τ, x ki (τ))dτ. (22.6)

îŽáàŽê x ki ⇒ x, Žéæðëé f(τ, x ki (τ)) ⇒ f(τ, x(τ)) (⇒ êæöêŽãï åŽêŽIJîŽá éæïûîŽòâIJŽï). Žéæðëé

éâëîâ öâïŽçîâIJöæ äôãŽîäâ àŽáŽïãèŽ æêðâàîŽèæï êæöêæï óãâö öâæúèâIJŽ. îŽù öââýâIJŽ éâïŽéâ öâïŽçîâIJï,

éæïæ êëîéŽ Žî ŽôâéŽðâIJŽ Žïâå àŽéëïŽýñèâIJŽï M δ k i

îëéâèæù ùýŽáæŽ → 0, îëùŽ i → +∞,

Žïâ îëé åñ (22.6) àŽáŽãŽèå äôãŽîäâ, îëùŽ i → +∞, éæãæôâIJå

x(t) = x 0 +

∫ t

t 0

f(τ, x(τ))dτ. (22.7)

(22.7) ðëèëIJŽï Žáàæèæ Žóãï êâIJæïéæâîæ t ∈ (t 0 , β]-åãæï. îŽù öââýâIJŽ åãæå t 0 , Žó ëîæãâ éýŽîæï

éêæöãêâèëIJŽ x 0 -æï ðëèæŽ áŽ (22.7) ŽóŽù ïŽéŽîåèæŽêæŽ. ŽéîæàŽá, x(t) ûŽîéëŽáàâêï (22.1)-æï

ŽéëýïêŽï [t 0 , β] öñŽèâáöæ.

ŽêŽèëàæñîŽá ãŽøãâêëå, îëé (22.1) ïæïðâéŽï àŽŽøêæŽ y(t) ŽéëýïêŽ [α, t 0 ]-äâ åñ α < t 0 . Žáãæèæ

ïŽêŽýŽãæŽ, îëé òñêóùæŽ

z(t) =

{

y(t), α ≤ t ≤ t 0 ,

x(t), t 0 < t ≤ β

ûŽîéëŽáàâêï (22.1)-æï ŽéëýïêŽï [α, β] öñŽèâáöæ. åâëîâéŽ áŽéðçæùáŽ.

Žé åâëîâéæï áŽéðçæùâIJæïŽï ŽéëêŽýïêæï ŽïŽàâIJŽá éæãéŽîåëå ïîñèæŽá ïý㎠ýâîýï, ãæáîâ ûîòæãæ

ïæïðâéâIJæïåãæï ŽêŽèëàæñî åâëîâéæï áŽéðçæùâIJæïŽï, åñ øãâê ŽóŽù àŽéëãæõâêâIJå éæéáâãîëIJæå


68

éæŽýèëâIJæï éâåëáï {x k } éæéáâãîëIJæï ŽàâIJæïŽï (22.4)-æï êŽùãèŽá àãâóêâIJëᎠŽïâåæ îŽé

∫ t

x 0 (t) = x 0 , x k (t) = x 0 + f(τ, x k−1 (τ))dτ (k = 1, 2, . . . ).

t 0

öâéáâà çãèŽã áŽãŽéðçæùâIJå Žé éæéáâãîëIJæï âîåëIJèæã öâéëïŽäôãîñèëIJŽï ᎠâîåëIJèæã ñûõãâðëIJŽï

ᎠàŽéëãõëòáæå åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáëIJŽï {x ki } óãâéæéáâãîëIJæï. éŽàîŽé éŽöæê àñèöæ áŽàãüæîáâIJëáŽ

óãâéæéáâãîëIJŽ {x ki −1}, îëéèæï öâïŽýâIJŽù øãâê ŽîŽòâîæ Žî ãæùæå. ïûëîâá Žéæðëé

çëöæ-ìâŽêëï åâëîâéæï áŽéðçæùâIJæïŽï øãâê àãâîáæ ŽãñŽîâå éæéáâãîëIJæåæ éæŽýèëâIJæï éâåëáï.

èâóùæŽ 23.

ûæêŽ èâóùæŽäâ áŽéðçæùâIJñè çëöæ-ìâŽêëï åâëîâéŽ éæâçñåãêâIJŽ â.û. ŽîïâIJëIJæï åâëîâéâIJï.

â.æ. æó éðçæùáâIJŽ Žéëýïêæï ŽîïâIJëIJŽ, éŽàîŽé àŽêïýãŽãâIJæå ûîòæãæ ïæïðâéæïŽàŽê Žé åâëîâéŽöæ

ŽîŽòâîæŽ êŽåóãŽéæ Žéëýïêæï âîåŽáâîåëIJæï öâïŽýâIJ ᎠŽîù öâæúèâIJŽ îŽæéâ æõëï êŽåóãŽéæ, îŽáàŽê

îëàëîù óãâéëå áŽãîûéñêáâIJæå, äëàŽá öâéåýãâãŽöæ, îëùŽ (2.1) ïæïðâéŽöæ f-ï ñûõãâðëIJæï éâðæ

ŽîŽòâîæ éëâåýëãâIJŽ, âîåŽáâîåëIJŽï öâæúèâIJŽ Žáàæèæ ŽôŽî ßóëêáâï. ûæêŽ èâóùæŽäâ ŽàâIJñè

(22.4) éæéáâãîëIJæáŽê øãâê àŽéëãõŽãæå âîåæ åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáæ óãâéæéáâãîëIJŽ, îëéâèæù çîâIJŽáæ

ŽôéëøêᎠ(22.1), (22.2) ŽéëùŽêæï îëéâèæôŽù ŽéëýïêæïŽçâê, éŽàîŽé öâæúèâIJŽ (22.4) éæéáâãîëIJæáŽê

àŽéëæõëï ïý㎠åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáæ óãâéæéáâãîëIJŽ, îëéâèæù ùýŽáæŽ çãèŽã (22.1), (22.2) ŽéëùŽêæï

Žéëýïêæïçâê æóêâIJŽ çîâIJŽáæ, ᎠûæêŽïûŽî ŽîŽãæåŽîæ àŽîŽêðæŽ Žî àãŽóãï, îëé âï ŽéëýïêâIJæ

âîåéŽêâåï áŽâéåýãâãŽ.

âýèŽ àŽáŽãæáâå â.û. âîåŽáâîåëIJæï åâëîâéæï áŽéðçæùâIJŽäâ. çãèŽã ãæýæèŽãå çëöæï ŽéëùŽêŽï

dx

= f(t, x),

dt

(23.1)

x(t 0 ) = x 0 . (23.2)

ïŽáŽù f Žîæï ñûõãâðæ ŽïŽý㎠I × D → R n , I ⊂ R, D ⊂ R n , t 0 ∈ I, x 0 ∈ D.

øãâê àãŽæêðâîâïâIJï ñûõãâðëIJŽïåŽê âîåŽá îŽ ìæîëIJŽ ñêᎠáŽãŽáëå f òñêóùæŽï, îëé (23.1),

(23.2) çëöæï ŽéëùŽêŽï ßóëêáâï âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ (ŽîïâIJëIJŽ àŽîŽêðæîâIJñèæŽ çëöæ-ìâŽêëï

åâëîâéæå).

åâëîâéŽ 23.1 (ëïàñáæ). ãåóãŽå

ᎠI × D Žîâöæ ïîñèáâIJŽ ñðëèëIJŽ

∥ f(t, x) − f(t, y)

∥ ∥ ≤ ω

(

‖x − y‖

)

ïŽáŽù

ω ŽîŽçèâIJŽáæŽ áŽ

f ∈ C n (I × D) (23.3)

(23.4)

ω ∈ C([0, +∞)), ω(s) > 0 îëùŽ s > 0, ω(0) = 0, (23.5)

∫ 1

0

ds

ω(s)

éŽöæê (23.1), (23.2) ŽéëùŽêŽï Žóãï âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ.

= +∞. (23.6)

ïŽêŽé åâëîâéæï áŽéðçæùâIJŽï öâãñáàâIJëáâå, ãêŽýëå îŽï ûŽîéëŽáàâêï âï ìæîëIJŽ, îëéâèæù

øãâê f-ï áŽãŽáâå. (23.4) ìæîëIJŽï (23.5) Ꭰ(23.6)-æï åŽêŽýéŽá âûëáâIJŽ ëïàñèæï ìæîëIJŽ. ùýŽáæŽ

âï ìæîëIJŽ éëŽïûŽãâIJï f-æï ñûõãâðëIJŽï x-æï éæéŽîå åŽêŽIJîŽá t-ï éæéŽîå. îŽáàŽê ω ñûõãâðæŽ áŽ

ω(0) = 0, éŽàîŽé âï ìæîëIJŽ ñòîë éâðæŽ, ãæáîâ ñûõãâðëIJŽ. â.æ. öâæúèâIJŽ x-æï éæéŽîå ñûõãâðæ

òñêóùæŽ Žî ŽçéŽõëòæèâIJáâï ëïàñèæï ìæîëIJŽï. éŽàŽèæåæïŽåãæï éëãæõãŽêëå òñêóùæŽ f(x) = x 1/3

éýëèëá x ïçŽèŽîñè ŽîàñéâêðâIJäâ áŽéëçæáâIJñèæ. ãåóãŽå ω òñêóùææïŽåãæï

∣ ∣

∣ f(x) − f(y) = ∣x

1 1

( )

3 − y 3 ∣ ≤ ω |x − y| ,


îëùŽ y = 0, àãŽóãï |x| 1 3 ≤ ω(|x|), â.æ. s 1 3 ≥ ω(s) îëùŽ s > 0. ŽóâáŽê

∫ 1

0

∫1

ds

ω(s) ≤

0

ds

s 1 3

< +∞

îŽù âûæꎎôéáâàâIJŽ (23.6) ìæîëIJŽï. (öâãêæöêëå, îëé (23.6)-öæ äâᎠïŽäôãŽîæ 1 ŽîŽòâî öñŽöæŽ.

éæï éŽàæãîŽá öâàãâúèë Žàãâôë êâIJæïéæâîæ áŽáâIJæåæ δ. (23.6) ûŽîéëŽáàâêï ñIJîŽèëá ω-ï êñèæïçâê

éæïûîŽòâIJæï îæàäâ áŽáâIJñè ìæîëIJŽï).

ŽýèŽ àŽáŽãæáâå åâëîâéæï áŽéðçæùâIJŽäâ.

áŽéðçæùâIJŽ. Žéëýïêæï ŽîïâIJëIJŽ àŽéëáæï çëöæ-ìâŽêëï åâëîâéæáŽê. ãŽøãâêëå, îëé (23.1),

(23.2) ŽéëùŽêŽï Žî öâæúèâIJŽ ßóëêáâï ëîæ àŽêïýãŽãâIJñèæ ŽéëýïêŽ.

áŽãñöãŽå, îëé (23.1), (23.2) ŽéëùŽêŽï Žóãï ëîæ àŽêïýãŽãâIJñèæ ŽéëýïêŽ x Ꭰy, éŽåæ ïŽâîåë

àŽêïŽäôãîæï [α, β] öñŽèâáæå. âï æéŽï êæöêŽãï, îëé êâIJæïéæâîæ t ∗ ∈ [α, β], t ∗ ≠ t 0 (îŽáàŽê

x(t 0 ) = y(t 0 ) = x 0 ) îëé ‖x(t ∗ ) − y(t ∗ )‖ > 0. àŽîçãâñèëIJæïŽåãæï ãæàñèæïýéëå, îëé t ∗ > t 0 (åñ

t ∗ < t 0 , éïþâèëIJŽ ŽêŽèëàæñîŽá ûŽãŽ) Ꭰöâéëãæôëå òñêóùæŽ

u(t) = ‖x(t) − y(t)‖

u(t) ñûõãâðæŽ [t 0 , t ∗ ]-äâ u(t) ≥ 0 îëùŽ t ∈ [t 0 , t ∗ ]. àãŽóãï u(t ∗ ) > 0. Žéæðëé u(t) > 0 t ∗ -æï

àŽîçãâñè éŽýèëIJèëIJŽöæ. ŽéŽïåŽê, u(t 0 ) = 0. õëãâèæãâ ŽóâáŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï t 1 ∈ [t 0 , t ∗ )

ûâîðæèæï ŽîïâIJëIJŽ, îëé

u(t 1 ) = 0, (23.7)

u(t) > 0 îëùŽ t 1 < t ≤ t ∗ . (23.8)

69

(çâîúëá, t 1 öâæúèâIJŽ áŽâéåýãâï t 0 -ï, éŽàîŽé ŽîŽãæåŽî öâéåýãâãŽöæ t ∗ -ï). (23.7)-æï àŽéë x(t 1 ) =

y(t 1 ). Žéæðëé

éâëîâï éýîæã

y(t) = x(t 1 ) +

∫ t

t 1

f(τ, y(τ)) dτ, t ∈ [α, β].

∫ t

x(t) = x(t 1 ) + f(τ, x(τ)) dτ, t ∈ [α, β].

t 1

åñ Žé ðëèëIJâIJï âîåéŽêâåï àŽéëãŽçèâIJå, àŽáŽãŽèå êëîéâIJäâ ᎠàŽãæåãŽèæïûæêâIJå (23.4)

ìæîëIJŽï, éæãæôâIJå

u(t) ≤

∫ t

t 1

ω(u(τ)) dτ, t 1 < t ≤ t ∗ . (23.9)

îŽáàŽê Žîàñéâêðæï áŽáâIJæå éêæöãêâèëIJæïŽåãæï ω áŽáâIJæåæŽ éçŽùîŽá Ꭰ(23.8)-æï àŽéë (t 1 , t ∗ ]

öñŽèâáöæ

∫ t

t 1

ω(u(τ)) dτ > 0. (23.10)

(23.8)-áŽê u-ï ŽîŽçèâIJŽáëIJæï àŽéë àãŽóãï

( ∫t

ω(u(t)) ≤ ω

t 1

)

ω(u(τ)) dτ , t 1 < t ≤ t ∗ .


70

(23.10)-æï àŽéë Žé ñðëèëIJæï éŽîþãâêŽ éýŽîâ áŽáâIJæåæŽ îëùŽ t 1 < t ≤ t ∗ , ᎠŽéæðëé

ω(u(t))

ω [ ∫ t

t 1

ω(u(τ)) dτ ] ≤ 1.

ãåóãŽå ε > 0 æéáâêŽá éùæîâŽ, îëé t 1 + ε < t ∗ . ãŽæêðâàîëå ñçŽêŽïçêâèæ ðëèëIJæï ëîæãâ éýŽîâ

t 1 + ε-áŽê t ∗ -éáâ

∫ t∗

t 1 +ε

ω(u(t))dt

ω [ ∫ t

t 1

ω(u(τ)) dτ ] ≤ t∗ − t 1 − ε < t ∗ − t 1 .

éŽîùýâêŽ æêðâàîŽèöæ éëãŽýáæêëå ùãèŽáåŽ àŽîáŽóéêŽ ω(u(τ)) dτ = s. éŽöæê àãŽóãï

t 1

t 1 ∫+ε

∫ δ

ρ ε

∫ t

ds

ω(s) < t∗ − t 1 ,

∫t ∗

ïŽáŽù ρ ε = ω(u(τ)) dτ, ýëèë δ = ω(u(τ)) dτ > 0. îëùŽ ε → 0, ρ ε → 0 Žéæðëé åñ

t 1 t 1

ñçŽêŽïçêâè ðëèëIJŽöæ àŽáŽãŽèå äôãŽîäâ, îëùŽ ε → 0, éæãæôâIJå

∫ δ

0

ds

ω(s) ≤ t∗ − t 1 < +∞

îŽù âûæꎎôéáâàâIJŽ (23.6) ìæîëIJŽï. åâëîâéŽ áŽéðçæùáŽ.

æïéæï ïŽçæåýæ. ïŽüæîëŽ åñ ŽîŽ ëïàñèæï ìæîëIJŽ Žéëýïêæï âîåŽáâîåëIJæïŽåãæï. öâéáâàæ éŽàŽèæåæ

àãæøãâêâIJï, îëé éŽîðë (23.3) ìæîëIJŽ Žî Žîæï ïŽçéŽîæïæ Žéëýïêæï âîåŽáâîåëIJæïŽåãæï.

ãåóãŽå éëùâéñèæŽ àŽêðëèâIJŽ

dx

dt = ω(x),

(∗)

ïŽáŽù ω ∈ C(−∞; +∞), ω(0) = 0, ω(x) > 0 îëùŽ x ≠ 0 áŽ

∫ 1

0

∫0

ds

ω(s) < +∞,

−1

ds

ω(s) < +∞.

Žãæôëå t 0 ∈ (−∞, +∞) ᎠãŽøãâêëå, îëé àŽîᎠðîæãæèŽñîæ ŽéëýïêæïŽ ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ

x(t 0 ) = 0.

àŽêðëèâIJŽï (∗) Žóãï ïý㎠ŽéëýïêŽù àŽêïŽäôãîñèæ (−∞, +∞)-öæ. ãåóãŽå x(t) Žîæï (∗), (∗∗)

ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ, îëéâèæù ŽîïŽá t 0 ûâîðæèæï àŽîᎠêñèæ ŽîŽ îæï (−∞, +∞)-öæ. éŽöæê,

x ′ (t)

îëùŽ t ≠ t 0 , àãŽóãï

ω(x(t)) = 1.

éŽîùýêæã òñêóùæŽ öâæúèâIJŽ øŽãåãŽèëå ñûõãâðŽá (−∞, +∞)-äâ åñ 1-æï ðëèŽá éæãæôâIJå

t 0 -äâ. ãŽæêðâàîëå t 0 -áŽê t-éáâ

∫ t

t 0

x ′ (τ)

ω(x(τ)) dτ = t − t 0.

éŽîùýêæã éëãŽýáæêëå ùãèŽáæï àŽîáŽóéêŽ x(τ) = s (éææôãIJŽ ŽîŽïŽçñåîæãæ æêðâàîŽèæ, éŽàîŽé

àŽîáŽóéêŽ öâïŽúèâIJâèæŽ îŽáàŽê x(t) = 0 éýëèëá t 0 -äâ ᎠŽïâãâ æóêâIJŽ x ′ (t)-ù, â.æ. x(t) éçŽùîŽá

x(t)

∫ ds

x∫

éëêëðëêñîæŽ). àãŽóãï

0 ω(s) = t−t ds

0. åñ öâéëãæôâIJå òñêóùæŽï Φ(x) =

0 ω(s) àŽêïŽäôãîñèï

(−∞, +∞)-äâ. æï æóêâIJŽ éçŽùîŽá éëêëðëêñîæ Ꭰêñèæ àŽýáâIJŽ éýëèëá 0-öæ. Žéæðëé Žïâãâ


(∗∗)


æóêâIJŽ Φ −1 , t ∈ (−∞, +∞). àãŽóãï x(t) = Φ −1 (t−t 0 ). ìæîæóæåŽù ŽáãæèŽá áŽãîûéñêáâIJæå, îëé

Žïâ àŽêïŽäôãîñèæ x(t) ŽçéŽõëòæèâIJï (∗)-ï (∗∗) ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ.

ñòîë éâðæù. ñçãâ øŽêï, îëé (∗), (∗∗) ŽéëùŽêŽï Žóãï ñïŽïîñèëá

IJâãîæ ŽéëýïêŽ, îëéâèåŽ ïŽâîåë îŽëáâêëIJŽ çëêðæêæñéæŽ.

éŽàŽèæåŽá,


îëùŽ t 0 = 0, Žé ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ æóêâIJŽ (æý. êŽýŽäæ)

⎪⎨ Φ −1 (t) îëùŽ t ≤ 0,

x(t) 0 îëùŽ 0 ≤ t ≤ t 0 ,

⎪⎩

Φ −1 (t − t 0 ) îëùŽ t > t 0 .

Žàîâåãâ òñêóùæŽ.

åâëîâéŽ 23.1-áŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï

öâáâàæ 23.2. ãåóãŽå áŽùñèæŽ (23.3) ìæîëIJŽ ᎠI × D Žîâöæ ïîñèáâIJŽ ñðëèëIJŽ

∥ f(t, x) − f(t, y)

∥ ∥ ≤ L‖x − y‖, (23.4 ′ )

ïŽáŽù L > 0. éŽöæê (23.1), (23.2) ŽéëùŽêŽï Žóãï âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ.

âï öâáâàæ ùýŽáæ àŽýáâIJŽ åñ öâãêæöêŽãå, îëé øãâêï öâéåýãâãŽöæ ω(s) = L · s.

(23.4 ′ ) ìæîëIJŽï âûëáâIJŽ èæòöæùæï ìæîëIJŽ ñçŽêŽïçêâèæ n Žîàñéâêðæï éæéŽîå. îëàëîù Žáãæèæ

öâïŽéøêâãæŽ, æéæïŽåãæï, îëé f òñêóùæŽ ŽçéŽõëòæèâIJáâï èæòöæùæï ìæîëIJŽï ñçŽêŽïçêâèæ n Žîàñéâêðæï

éæéŽîå, ïŽçéŽîæïæŽ éŽï ßóëêáâï öâéëïŽäôãîñèæ çâîúë ûŽîéëâIJñèâIJæ I × R Žîâöæ

ñçŽêŽïçêâèæ n Žîàñéâêðæï éæéŽîå. öâæúèâIJŽ éëãæõãŽêëå éŽàŽèæåæ òñêóùææïŽ, îëéâèæù ŽçéŽõëòæèâIJï

ëïàñðæï ìæîëIJŽï, éŽàîŽé Žî ŽçéŽõëòæèâIJï èæòöæùæï ìæîëIJŽï. àŽêãæýæèëå òñêóùæŽ

x ln x. îëàëîù øŽêï ëïàñèæï ìæîëIJŽ èæòöæùæï ìæîëIJŽäâ úèæâîæŽ.

èæòöæùæï ìæîëIJæï çæáâã âîåæ àŽêäëàŽáâIJŽ ŽîïâIJëIJï, îëéâèïŽù öâéáâà âîåŽáâîåëIJæï åâëîâéŽöæ

éëãæõãŽêå.

åâëîâéŽ 23.3 (êŽàñéæï). ãåóãŽå áŽùñèæŽ (23.3) ìæîëIJŽ ᎠàŽîᎠŽéæïŽ I × D Žîâöæ

ïîñèáâIJŽ ñðëèëIJŽ

∥ f(t, x) − f(t, y)

∥ ∥ ≤

‖x − y‖

|t − t 0 | . (23.11)

éŽöæê (23.1), (23.2) ŽéëùŽêŽï àŽŽøêæŽ âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ.

(23.11) ìæîëIJŽï âûëáâIJŽ êŽàñéæ-ìâîæéæï ðæìæï ìæîëIJŽ åñ f òñêóùæŽ ŽçéŽõëòæèâIJï (24.4 ′ )

èæòöæùæï ìæîëIJŽï, éŽöæê îëàëîù Žáãæèæ öâïŽéøêâãæŽ, æàæ t 0 -ï ïŽçéŽëá éùæîâ éæáŽéëöæ ᎎçéŽõëòæèâIJï

(23.11) ìæîëIJŽïŽù.

áŽéðçæùâIJŽ. ŽóŽù, îëàëîù ûæêŽ åëîâéŽöæ, ïŽçéŽîæïæŽ ãŽøãâêëå éýëèëá Žéëýïêæï âîåŽáâîåëIJŽ.

ãåóãŽå x Ꭰy øãâêæ ŽéëùŽêæï ëîæ Žéëýïꎎ, îëéâèåŽ àŽêïŽäôãîæï ïŽâîåë öñŽèâáæŽ

[α, β], ᎠãåóãŽå t ∗ ∈ [α, β]-åãæï ∥ x(t ∗ ) − y(t ∗ ) ∥ > 0. àŽîçãâñèëIJæïŽåãæï ãæàñèæïýéëå, îëé

t ∗ > t 0 , öâéëãæôëå òñêóùæŽ v:


∥ x(t) − y(t) v(t) =

îëùŽ t 0 < t ≤ t ∗ , v(t 0 ) = 0.

t − t 0

æéæï ïŽøãâêâIJèŽá, îëé v ñûõãâðæŽ [t 0 , t ∗ ]-äâ, ïŽçéŽîæïæŽ ãŽøãâêëå, îëé

x(t) − y(t)

lim

= 0. éŽîùýêæã àãŽóãï 0

t→t 0 + t − t 0

0

àŽêñäôãîâèëIJŽ) ᎠàŽãýïêŽå èëìæðŽèæï ûâïæå:

x ′ (t) − y ′ (t)

lim

t→t 0 + 1

71

lim v(t) = 0, Žêñ,

t→t 0 +

ïŽýæï àŽêñäôãîâèëIJŽ (ñòîë ïûëîŽá n ùŽèæ Žïâåæ

[ ]

= lim f(t, x(t)) − f(t, y(t)) = f(t0 , x 0 ) − f(t 0 , y 0 ) = 0

t→t 0 +

f-æï ñûõãâðëIJæï úŽèæå. ŽéàãŽîŽá v ñûõãâðæŽ [t 0 , t ∗ ]-äâ, v(t 0 ) = 0, v(t ∗ ) > 0.


72

Žéæðëé æï ˜t ûâîðæèæ, ïŽáŽù v éŽóïæéñéï Žôûâãï, éâðæŽ t 0 -äâ

(öâæúèâIJŽ t ∗ -ï áŽâéåýãâï). àãŽóãï

∫t

∥ ∥ ∥

∥ x(t) − y(t) ≤ ∥f(τ, x(τ)) − f(τ, y(τ)) dτ

îŽù (23.11)-æïŽ áŽ øãâêæ Žôêæöãêæï úŽèæå êæöêŽãï, îëé

v(t) ≤ 1

t − t 0

∫t

t 0

t 0

v(τ) dτ, t 0 < t ≤ t ∗ . (23.12)

(Žé ñðëèëIJŽï t 0 ûâîðæèöæù Žóãï Žáàæèæ, îŽáàŽê éŽîþãâêŽ éýŽîæï äôãŽîæ êñèæŽ, éŽàîŽé âï Žî

àãüæîáâIJŽ, îŽáàŽê ˜t > t 0 ). (23.12)-öæ Žãæôëå t = ˜t Žàîâåãâ àŽãæåãŽèæïûæêëå, îëé v(t) ≤ v(˜t).

ᎠîŽáàŽê âîå t 0 -öæ éŽæêù v(t 0 ) < v(˜t), àãâóêâIJŽ éçŽùîæ ñðëèëIJŽ

v(˜t) ≤ 1

˜t − t 0

∫˜t

t 0

v(τ) dτ < 1

˜t − t 0

éæôâIJñèæ ûæꎎôééáâàëIJŽ ŽéðçæùâIJï åâëîâéŽï.

∫t

t 0

v(˜t) dτ = v(˜t).


èâóùæŽ 24.

çëöæï ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ éæéáâãîëIJæåæ éæŽýèëâIJæï éâåëáæå

àŽêãæýæèëå çëöæï ŽéëùŽêŽ

dx

= f(t, x),

dt

(24.1)

x(t 0 ) = x 0 . (24.2)

åâëîâéŽ 24.1 (ìæçŽî-èæêáâèëòæ). ãåóãŽå f ∈ C n (I × D) ᎠŽçéŽõëòæèâIJï x-æï éæéŽîå

èæòöæùæï ìæîëIJŽï


∥f(t, x) − f(t, y) ∥ ≤ L‖x − y‖. (24.3)

éŽöæê ŽîïâIJëIJï æïâåæ [α, β] öñŽèâáæ, îëé I ⊃ [α, β] ∋ t 0 ᎠŽé öñŽèâáöæ (24.1), (24.2) ŽéëùŽêŽï

àŽŽøêæŽ âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ áŽ âï ŽéëýïêŽ éëæùâéŽ îëàëîù öâéáâàæ éæéáâãîëIJæï åŽêŽIJŽîæ

äôãŽîæ

x 0 (t) ≡ x 0 , (24.4)

∫ t

x k (t) = x 0 + f(τ, x k−1 (τ)) dτ (k = 1, 2, . . . ).

t 0

áŽéðçæùâIJŽ. îŽáàŽê x 0 ∈ D ᎠD ô掎, éŽöæê ŽîïâIJëIJï æïâåæ r 0 > 0, îëé

D 0 = { x ∈ R n , ‖x − x 0 ‖ ≤ r 0

∥ ∥ ⊂ D.

äëàŽáëIJæï öâñäôñáŽãŽá ãæàñèæïýéëå, îëé I øŽçâðæèæŽ áŽ â.æ.


∥f(t, x ∥ ∥ ≤ M îëùŽ (t, x) ∈ I × D 0 . (24.5)

öâãŽîøæëå [α, β] æïâ, îëé I ⊃ [α, β] ∋ t 0 áŽ

max { t 0 − α, β − t 0

}


r 0

M . (24.6)

ãŽøãâêëå, îëé êâIJæïéæâîæ k ∈ N-åãæï (24.4) ðëèëIJâIJæ x k -ï àŽêïŽäôãîŽãï [α, β]-öæ îëàëîù

ñûõãâð n àŽêäëéæèâIJæŽê ãâóðëî-òñêóùæŽï ᎠŽéŽï àŽîᎠŽáàæèæ Žóãï ñðëèëIJŽï

∥ xk (t) − x 0

∥ ∥ ≤ r0 (k = 0, 1, . . . ).


âï æïâãâ áŽéðçæùáâIJŽ îëàëîù çëöæ-ìâŽêëï åâëîâéŽ. (24.4) éæéáâãîëIJæï åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáëIJŽ

âçãæãŽèâêðñîæŽ öâéáâàæ éûçîæãæï åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáëIJæïŽ

∞∑ [ ]

x 0 + xk (t) − x k−1 (24.7)

àãŽóãï

∥ xk (t) − x k−1 (t) ∥ ∣ ∫ ∣∣∣

∈ L

t

k=1

t 0


∥xk−1 (τ) − x k−2 (τ) ∥ ∥ dτ

∣ ∣∣∣

îëùŽ k = 2, 3, . . .

ýëèë îëùŽ k = 1, àãŽóãï ∥ ∥ x1 (t) − x 0 (t) ∥ ∥ ≤ r0 . Žéæðëé èâéŽ 2.1-æï úŽèæå àãŽóãï


∥x k (t) − x k−1 (t) ∥ ≤ r 0 L k−1 |t − t 0| k−1

, k = 1, 2, . . .

(k − 1)!

ŽóâáŽê øŽêï, îëé (24.7) éûçîæãæï éŽíëîŽêðæ æóêâIJŽ öâéáâàæ çîâIJŽáæ éûçîæãæ

∥ ∑+∞ ∥ x0 + r0

k=1

[L(β − α)] k−1

.

(k − 1)!

âýèŽ åñ àŽáŽãŽèå äôãŽîäâ (24.4) ðëèëIJŽöæ (æêðâàîŽèæï óãâö äôãŽîäâ àŽáŽïãèŽ öâæúèâIJŽ,

îŽáàŽê f(τ, x)-æï åŽêŽIJîŽá ñûõãâðëIJæï Ꭰx k−1 (τ)-æï åŽêŽIJîŽá çîŽIJŽáëIJæï àŽéë éæéáâãîëIJŽ

f(τ, x k−1 (τ)) åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáæŽ) éæãæôâIJå, îëé lim x k(t) = x(t) òñêóùæŽ ûŽîéëŽáàâêï

k→+∞

(24.1), (24.2) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽï. âîåŽáâîåëIJŽ àŽéëáæï 23.2 öâáâàæáŽê. □

æï òŽóðæ, îëé (24.3) ìæîëIJâIJöæ (24.1), (24.2) ŽéëùŽêŽï àŽŽøêæŽ âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ, øãâêåãæï

ŽýŽèæ Žî æõë. ŽéŽï àãâñIJêâIJëᎠïûëîâá 23.2 öâáâàæ. éŽàîŽé áŽéðçæùâIJñèæ åâëîâéæï éêæöãêâèë-

IJŽ æéŽöæ éáàëéŽîâëIJï, îëé æàæ ïŽöñŽèâIJŽï æúèâ㎠ŽéëýïêŽ éæŽýèëâIJæå ŽãŽàëå æïâåæ éŽîðæãæ áŽ

éëýâîýâIJñèæ éâåëáæå, îëàëîæù éæéáâãîëIJæå éæŽýèëâIJæï éâåëáæŽ. Žïâåæ îŽé õëãâèåãæï Žî

Žîæï öâïŽúèâIJâèæ. öâæúèâIJŽ (24.1), (24.2) ŽéëùŽêŽï ßóëêáâï âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ, éŽàîŽé (24.2)

éæéáâãîëIJŽ Žé ŽéëýïêŽï Žî æúèâëáâï, ñIJîŽèëá àŽêöèŽáæ æõëï, îŽáàŽê åñ åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáæŽ,

ŽñùæèâIJâèŽá Žé ŽéëùŽêæï ŽéëýïêæïŽçâê æóêâIJŽ çîâIJŽáæ.

ŽéŽïåŽê áŽçŽãöæîâIJæå ïŽæêðâîâïëŽ àŽãŽîçãæëå Žáàæèæ Žóãï åñ ŽîŽ 24.1 åâëîâéæï ŽêŽèëàæñî

åâëîâéâIJï ñòîë äëàŽáæ ëïàñèæïŽ áŽ êŽàñéæ-ìæîëêæï ìæîëIJâIJæï öâïîñèâIJæï öâéåýãâãŽöæ. ïŽêŽé

ãŽøãâêâIJáâå Žé òŽóðæï ïŽéŽîåèæŽêëIJŽï, àŽãŽçâåëå Žïâåæ

öâêæöãêŽ. ñìæîãâèâï õëãèæïŽ Žôãêæöêëå, îëé éæéáâãîëIJŽ (24.4) âîåëIJèæã öâéëïŽäôãîñèæŽ

(ŽéŽï àãæøãâêâIJï æï, îëé ∥ ∥ xk (t) − x 0

∥ ∥ ≤ r0 ). àŽîᎠŽéæïŽ âîåëIJèæã ñûõãâðæŽ. éŽîåèŽù

∥ xk (t) − x k (s) ∥ ∣ ∫s

∣∣∣ ≤ ∥ f(τ, xk−1 (τ)) ∥ ∣ ∣∣∣ dτ ≤ M(t − s)

t

êâIJæïéæâîæ t, s ∈ [α, β]-åãæï ([α, β] öâîøâñèæŽ æïâ, îëàëîù 24.1 åâëîâéŽöæ). îŽáàŽê M Žî

Žîæï áŽéëçæáâIJñèæ k-äâ, ŽóâáŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï (24.4) éæéáâãîëIJæï âîåëIJèæã ñûõãâðëIJŽ.

õëãâèæãâ Žéæï àŽéë (24.4) éæéáâãîëIJæï åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáëIJæï áŽïŽéðçæùâIJèŽá (24.1), (24.2)

ŽéëùŽêæï Žéëýïêæï âîåŽáâîåëIJæï ìæîëIJâIJöæ ïŽçéŽîæïæŽ ãŽøãâêëå, îëé

lim ∥ xk (t) − x k−1 (t) ∥ = 0 (24.8)

k→+∞

åñêáŽù ŽîŽåŽêŽIJîŽá. éŽîåèŽù, ŽóâáŽê âîåæï éýîæã àŽéëãŽ, îëé âï äôãŽîæ åŽêŽIJŽîæŽ, îŽáàŽê

îëàëîù ŽîùâèŽ-Žïçëèæï èâéæï áŽéðçæùâIJæáŽê øŽêï, âîåëIJèæã ñûõãâðæ ᎠâîåëIJèæã öâéëïŽäôãîñèæ

éæéáâãîëIJæï åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáëIJæïåãæï ïŽçéŽîæïæŽ æàæ çîâIJŽáæ æõëï [α, β] ïâàéâêðæï

õãâèàŽê éçãîæã åãèŽá óãâïæéîŽãèâäâ, Žó çæ éåâè [α, β]-ä⎠çîâIJŽáæ. éâëîâï éýîæã (24.4) éæéáâãîëIJŽ

îëé åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáæ Žî æõëï æóæáŽê àŽéëæõëòŽ åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáæ óãâéæéáâãîëIJŽ

x 0 n k

→ x(t). x(t) ùýŽáæŽ æóêâIJŽ øãâêæ ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ, îŽáàŽê (24.8)-æï àŽéë æéŽãâ x(t)-çâê

åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáæ æóêâIJŽ x nk −1(t) Ꭰåñ (24.4)-öæ äôãŽîäâ àŽáŽãŽèå éæãæôâIJå, îëé x(t)

73


74

Žîæï (24.1), (24.2) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ. öâãýâáëå x(t)-ï îëàëîù C n ([α, β]) éâðîæçñèæ ïæãîùæï

ûâîðæèï ᎠéŽï öâéëãŽãèëå îŽôŽù éæáŽéë. Žé éæáŽéëï àŽîâå áŽîøâIJŽ x k (t) éæéáâãîëIJæï

ûâãîåŽ ñïŽïîñèë îŽëáâêëIJŽ, îŽáàŽê ûæꎎôéáâà öâéåýãâãŽöæ åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáëIJŽ àŽéëãŽ

x(t)-çâê. Žé ñïŽïîñèë óãâéæéáâãîëIJæáŽê çãèŽã àŽéëæõëòŽ åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáæ óãâéæéáâãîëIJŽ,

îëéâèæù çîâIJŽáæ æóêâIJŽ x(t)-àŽê àŽêïýãŽãâIJñè y(t) òñêóùææïçâê, îëéâèæù Žàîâåãâ (24.10),

(24.2) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ æóêâIJŽ. âï çæ âûæꎎôéáâàâIJŽ âîåŽáâîåëIJŽï. (ŽêŽèëàæñîæ éïþâèëIJæå

áŽãŽéðçæùâIJå, îëé åñ çëöæï ŽéëùŽêŽï Žóãï âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ, çëöæ-ìâŽêëï åâëîâéæï áŽéðçæùâIJæïŽï

ŽàâIJñèæ (22.4) éæéáâãîëIJŽ åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáæŽ Žé ŽéëýïêæïŽçâê).

åâëîâéŽ 24.2. åñ f ∈ C n (I×D) ᎠŽçéŽõëòæèâIJï ëïàñèæï ìæîëIJŽï, éŽöæê (24.4) éæéáâãîëIJŽ

çîâIJŽáæŽ (24.1), (24.3) çëöæï ŽéëùŽêæï ŽéëýïêæïŽçâê.

áŽéðçæùâIJŽ. äâéëå àŽçâåâIJñèæ öâêæöãêæï àŽéë ïŽçéŽîæïæŽ ãŽøãâêëå (24.8)-æï ïŽéŽîåèæŽêëIJŽ.

Žôãêæöêëå v k (t) = ∥ ∥ xk (t) − x k−1 (t) ∥ ∥ (k = 1, 2, . . . ). àãŽóãï

v k (t) =




∫ t

t 0

∫ t

t 0

[

f(τ, xk−1 (τ)) − f(τ, x k−2 (τ)) ] dτ

∥ ≤

∥ ∥f(τ, xk−1 (τ)) − f(τ, x k−2 (τ)) ∥ ∣ ∣∣∣ dτ ≤


∫ t

t 0

ω(v k−1 (τ)) dτ

∣ .

Žôãêæöêëå v(t) = lim v k(t). îŽáàŽê v k âîåëIJèæã öâéëïŽäôãîñèæŽ, v(t) àŽêïŽäôãîñèæŽ

t→+∞

êâIJæïéæâîæ t ∈ [α, β]-åãæï. ãŽøãâêëå, îëé v(t) ñûõãâðæŽ. éŽîåèŽù, Žôãêæöêëå vk ∗ (t) = sup v i (t).

i≥k

}

éæéáâãîëIJŽ âî-

îëàëîù ùêëIJæèæŽ, v(t) = lim

k→+∞ v∗ k (t) àŽêéŽîðâIJæå. áŽãîûéñêáâå, îëé { vk


åëIJèæã ñûõãâðæŽ. Žãæôëå êâIJæïéæâîæ ε > 0. ŽîïâIJëIJï æïâåæ δ > 0, îëé îëùŽ |s − t| < δ, éŽöæê

|v i (t) − v i (s)| < ε, i = 1, 2, . . . , â.æ.


∣ v


k (t) − v ∗ k(s) ∣ ∣ =

∣ ∣ sup

i≥k

v i (t) − sup

i≥k

v i (s) ∣ ≤ sup ∣ vi (t) − v i (s) ∣ ≤ ε

i≥k

êâIJæïéæâîæ k = 1, 2, . . . -åãæï. ŽéàãŽîŽá vk ∗ (t) → v(t) v(t), âîåëIJèæã ñûõãâðæŽ áŽ õëãâè

ûâîðæèöæ öâéëïŽäôãîñèæŽ. Žéæðëé ŽîùâèŽ-Žïçëèæï èâéæï ûæê àŽçâåâIJñèæ öâêæöãêæï úŽèæå,

æï âîåëIJèæã öâéëïŽäôãîñèæù æóêâIJŽ ᎠîŽáàŽê õëãâè ûâîðæèöæ çîâIJŽáæŽ v(t)-çâê, v(t)-çâê

åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáæ æóêâIJŽ. âï çæ ŽéðçæùâIJï v(t)-ï ñûõãâðëIJŽï.

îŽáàŽê vk ∗(t) → v(t) åŽêŽIJîŽá, êâIJæïéæâîæ δ > 0-åãæï ŽîïâIJëIJï æïâåæ k 0, îëé îëùŽ k > k 0 ,

vk ∗ (t) < v(t) + δ êâIJæïéæâîæ t ∈ [α, β]-åãæï. Žéæðëé åñ ω-ï ŽîŽçèâIJŽáëIJŽï àŽãæåãŽèæïûæêâIJå,

ñçŽêŽïçêâèæ ñðëèëIJæáŽê àãŽóãï

v k (t) ≤


∫ t

t 0

ω(v(τ) + δ) dτ

∣ , k ≥ k 0 + 1.

Žé ñðëèëIJŽöæ äâᎠäôãŽîäâ àŽáŽïãèŽ îëùŽ k → +∞, éëàãùâéï

v(t) ≤


∫ t

t 0

ω(v(τ) + δ) dτ

∣ .

îŽáàŽê îëùŽ δ > 0, v(τ) + δ → v(τ) åŽêŽIJîŽá τ-ï éæéŽîå, ω åŽêŽIJîŽá ñûõãâðæŽ, Žéæðëé

æêðâàîŽèæï óãâö äôãŽîäâ àŽáŽïãèŽ öâæúèâIJŽ, îëùŽ δ → 0, ᎠàãŽóãï

v(t) ≤


∫ t

t 0

ω(v(τ)) dτ

∣ ,

t ∈ [α, β].


75

ãŽøãâêëå, îëé ŽóâáŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï v ≡ 0. àŽîçãâñèëIJæïŽåãæï ãæàñèæïýéëå, îëé t > t 0

ᎠáŽãñöãŽå, îëé v(t ∗ ) > 0 t ∗ > t 0 -åãæï. ùýŽáæŽ, îëé v(t 0 ) = 0, Žôãêæöêëå t 1 -æå [t 0 , t ∗ ]-æï

æïâåæ ûâîðæèæ, îëé îëùŽ t 0 ≤ t ≤ t 1 , v(t) = 0, ýëèë îëùŽ t 1 < t ≤ t 1 + ε, v(t) > 0. Žïâåæ

ûâîðæèæï ŽîïâIJëIJŽ ùýŽáæŽ. âï çæ æï ûâîðæèæŽ, ïŽáŽù v(t)-ï àîŽòæçæ ìæîãâèŽá éëûõáâIJŽ t

∫t 1

ôâîúï. çâîúëá, öâæúèâIJŽ éëýáâï, îëé t 1 = t 0 . ùýŽáæŽ ω(v(τ)) dτ = 0, ᎠŽéæðëé

t 0

∫ t

v(t) ≤ ω(v(τ)) dτ, t 1 ≤ t < t ∗ ,

t 1

( ∫t

)

ω(v(t)) ≤ ω ω(v(τ)) dτ , t 1 ≤ t ≤ t ∗ .

∫ t

Žáãæèæ öâïŽéøêâãæŽ, îëé ω(v(τ)) dτ > 0 îëùŽ t 1 < t ≤ t ∗ , Žéæðëé

t 1

t 1

ω(v(t))

ω [ ∫ t

t 1

ω(v(τ)) dτ ] ≤ 1, t 1 < t ≤ t ∗

öâéáâà ëïàñèæï 23.1 åâëîâéæï ŽêŽèëàæñîŽá éæãæôâIJå ûæꎎôéáâàëIJŽï. ŽéîæàŽá éæãæôâIJå, îëé

lim ∥ xk (t) − x k−1 (t) ∥ = 0.

t→+∞

âï çæ êæöêŽãï, îëé lim ∥ xk (t) − x k−1 (t) ∥ = 0, which îæï áŽéðçæùâêŽù àãæêáëáŽ. □

k→+∞

ŽýèŽ áŽãŽéðçæùëå ŽêŽèëàæñîæ åâëîâéŽ êŽàñéæ-ìâîëêæï ìæîëIJâIJæïåãæï.

åâëîâéŽ 24.3. åñ f ∈ C n (I × D) ᎠŽéŽï àŽîáŽ, Žé Žîâöæ f ŽçéŽõëòæèâIJï êŽàñéæ-ìâîëêæï

(23.11) ìæîëIJŽï, éŽöæê (24.1) éæéáâãîëIJŽ çîâIJŽáæŽ [α, β] öñŽèâáäâ (24.1), (24.2) ŽéëùŽêæï

âîåâîåæ ŽéëýïêæïŽçâê ([α, β] æàæãâŽ, îŽù 24.1 åâëîâéŽöæ.

àŽêãæýæèëå çëöæï ŽéëùŽêŽ

èâóùæŽ 25.

çëöæï ŽéëùŽêæï Žéëýïêæï àŽàîúâèâIJŽáëIJŽ

dx

= f(t, x),

dt

(25.1)

x(t 0 ) = x 0 , (25.2)

ïŽáŽù f ∈ C n (I × D), t 0 ∈ I, x 0 ∈ D, I Žîæï R ôâîúæï êâIJæïéæâîæ öñŽèâáæ, ýëèë D ⊂ R n

ŽîâŽ. öâéëãæðŽêëå Žïâåæ éêæöãêâèëãŽêæ àŽêïŽäôãîŽ

àŽêéŽîðâIJŽ. (α, β) ⊂ I öñŽèâáöæ àŽêïŽäôãîñèæ (25.1), (25.2) ŽéëùŽêæï x ŽéëêŽýïêï âûëáâIJŽ

àŽàîúâèâIJŽáæ éŽîþãêæã, åñ ŽîïâIJëIJï β ∗ > β Ꭰ(25.1), (25.2) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ x ∗ àŽêïŽäôãîñèæ

(α, β ∗ ) ((α, β ∗ ) ⊂ I) æïâåæ, îëé x ∗ (t) = x(t) îëùŽ t ∈ (α, β). ûæꎎôéáâà öâéåýãâãŽöæ

ŽéëùŽêŽï âûëáâIJŽ ŽîŽàŽàîúâèâIJŽáæ éŽîþãêæã.

ŽêŽèëàæñîŽá àŽêæéŽîðâIJŽ ŽéëêŽýïêæï àŽàîúâèâIJŽáëIJŽ ᎠŽîŽàŽàîúâèâIJŽáëIJŽ éŽîùýêæã.

öâéáâàæ åâëîâéŽ æúèâ㎠Žéëýïêæï éŽîþãêæã ŽîŽàŽàîúâèâIJŽáëIJæï ŽñùæèâIJâè ᎠïŽçéŽîæï

ìæîëIJâIJï.

åâëîâéŽ 25.1. æéæïŽåãæï îëé (25.1), (25.2) ŽéëùŽêæï x ŽéëýïêŽ àŽêïŽäôãîñèæ îŽæéâ (α, β) ⊂

I, æõëï ŽîŽàŽàîúâèâIJŽáæ éŽîþãêæã ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé ïîñèáâIJëáâï âîå-âîåæ

ïŽéæ ìæîëIJæáŽê:


76

1) β = sup I,

2) lim ‖x(t)‖ = +∞,

t→β−

3) lim ρ(x(t), Γ) = 0,

t→β−

ïŽáŽù Γ Žîæï D Žîæï ïŽäôãŽîæ, ýëèë ρ(x, Γ) = inf { ‖x − y‖, y ∈ Γ } êâIJæïéæâîæ x ∈ R n -åãæï.

áŽéðçæùâIJŽ. Žé ìæîëIJâIJæáŽê âîå-âîåæï ïŽçéŽîæïëIJŽ ùýŽáæŽ. éŽîåèŽù, åñ ïîñèáâIJŽ 1)

ìæîëIJŽ éŽîþãêæã àŽàîúâèáâIJŽ ŽîŽéùåñ îëàëîù øãâêæ ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ, ŽîŽéâá îëàëîù

ñûõãâðæ òñêóùæŽ, ýëèë åñ àãŽóãï 3) ãåóãŽå x àŽàîúâèâIJŽáæŽ éŽîþãêæã, éŽöæê éæïæ x ∗ àŽàîúâèâIJæï

éêæöãêâèëIJŽ β ûâîðæèöæ ñêᎠéëýãáâï D Žîæï ïŽäôãŽîäâ x ∗ -æï ñûõãâðëIJæïŽï áŽ

ïŽäôãîæï øŽçâðæèëIJæï àŽéë. âï çæ öâñúèâIJâèæŽ, îŽáàŽê ˜f òñêóùæŽ àŽêéŽîðâIJñèæ Žî àãŽóãï.

ŽýèŽ ãŽøãâêëå ŽñùæèâIJèëIJŽ. ŽéæïŽåãæï áŽãñöãŽå, îëé Žî ïîñèáâIJŽ 1)-3) ᎠáŽãŽéðçæùëå,

îëé éŽöæê x éŽîþãêæã àŽàîúâèâIJŽáæ àŽéëãŽ. îŽáàŽê 2) Žî ïîñèáâIJŽ, lim inf

t→β−

‖x(t)‖ < +∞,

âï æéŽï êæöêŽãï, îëé ŽîïâIJëIJï ûâîðæèåŽ éæéáâãîëIJŽ t k → β− îëé ‖x(t k )‖ öâéëïŽäôãîñèæŽ.

Žéæðëé ŽóâáŽê àŽéëæõëòŽ çîâIJŽáæ óãâéæéáâãîëIJŽ x(β k ) → x ∗ ᎠîŽáàŽê 3) Žî ïîñèáâIJŽ, t k

öâæúèâIJŽ æïâ öâæîøâï, îëé x ∗ ∈ D. îŽáàŽê x ∗ ∈ D, ŽîïâIJëIJï r ∗ > 0 æïâåæ, îëé

D ∗ = { x ∈ R n , ‖x − x ∗ ‖ ≤ r ∗} ⊂ D ≡ M = max { ‖f(t, x)‖ : (t, x) ∈ [t 0 , β] × D ∗} .

îŽáàŽê ‖x(β k )‖ → x ∗ , öâàãæúèæŽ Žãæôëå æéáâêŽá áæáæ k 0 , îëé

∥ x(βk0 ) − x ∗∥ ∥ <

r ∗

2 , (25.3)

M · (β − β k0 ) < r∗

2 . (25.4)

ãŽøãâêëå, îëé x(t) ∈ D ∗ îëùŽ t ∈ [β k0 , β). éŽîåèŽù (25.3)-áŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï, îëé β k0 -ï

ïŽçéŽëá éùæîâ éæáŽéëöæ ïîñèáâIJŽ ìæîëIJŽ ‖x − x ∗ ‖ < r ∗ , Žêñ x(t) ∈ D ∗ . åñ áŽãñöãâIJå,

îëé x(t) ∈ D ∗ ìæîëIJŽ Žî ïîñèáâIJŽ [β k0 , β)-öæ, æŽîïâIJâIJï ûâîðæèæ β ∗ ∈ [β k0 , β) x(t) ∈ D ∗ ,

t ∈ [β k0 , β ∗ ) áŽ

∥ x(β ∗ ) − x ∗∥ ∥ = r ∗ . (25.5)

ùýŽáæŽ, îëé

áŽ

x(β ∗ ) = x(β k0 ) +

∫ β∗

β k0

f(τ, x(τ)) dτ

∥ x(β ∗ ) − x ∗∥ ∥

∥ ≤ ∥x(βk0 ) − x ∗∥ ∫β ∗

∥ ∥

∥ + ∥f(τ, x(τ)) r ∗

dτ <

β k0

2 + M(β − β k 0

) < r∗

2 + r∗

2 = r∗

(25.3) Ꭰ(25.4)-æï àŽéæ, îŽù âûæꎎôéáâàâIJŽ (25.5)-ï.

ŽéîæàŽá àãŽóãï, îëé

x(t) ∈ D ∗ îëùŽ t ∈ [β k0 , β) (25.6)

ïŽçéŽîæïŽá áæáæ k-åãæï, β k > β k0 , Žéæðëé

x(t) − x(β k ) =

∫ t

β k

f(τ, x(τ)) dτ îëùŽ t ∈ [β k , β).

ŽóâáŽê (25.6)-æï àŽéë àãŽóãï ∥ ∥x(t) − x(β k ) ∥ ≤ M(β − β k ), t ∈ [β k0 , β) áŽ

lim ∥ x(t) − x(βk ) ∥ ≤ M(β − βk ). (25.7)

àãŽóãï

t→β−

∥ x(t) − x

∗ ∥ ∥ ≤

∥ ∥x(t) − x(βk ) ∥ ∥ +

∥ ∥x(βk ) − x ∗∥ ∥ .


åñ àŽáŽãŽèå äôãŽîäâ îëùŽ k → +∞, éæãæôâIJå, îëé lim ∥ ∥ x(t) − x

∗ ≤ 0. âï çæ êæöêŽãï îëé

lim x(t) = x ∗ . îŽáàŽê 1) áŽîôãâñèæŽ, àãŽóãï β < sup I and x ∗ ∈ D. (25.1) ïæïðâéæïŽåãæï

t→β−

áŽãïãŽå çëöæï ŽéëùŽêŽ

t→β−

x(β) = x ∗ . (25.8)

çëöæ-ìâŽêëï åâëîâéæï åŽêŽýéŽá (25.1), (25.8) ŽéëùŽêŽï β-ï ïŽçéŽîæïŽá éùæîâ éŽîþãâêŽ éæáŽéëöæ

[β, β 1 ], β 1 > β àŽŽøêæŽ y ŽéëýïêŽ.

àŽêãæýæèëå (α, β 1 ]-öæ àŽêïŽäôãîñèæ Žïâåæ òñêóùæŽ

{

x(t) îëùŽ t ∈ (α, β),

z(t) =

y(t) îëùŽ t ∈ [β, β 1 ).

ùýŽáæŽ, îëé z æóêâIJŽ (25.1), (25.2) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ. ŽéîæàŽá x ŽéëýïêŽ àŽàîúâèâIJŽáæ ŽôéëøêáŽ

éŽîþãêæã.


ŽêŽèëàæñî åâëîâéŽï Žáàæèæ Žóãï éŽîùýêæã àŽàîúâèâIJæï öâïŽýâIJ.

åâëîâéŽ 25.2. (25.1), (25.2) ŽéëùŽêŽï Žóãï ŽîŽàŽàîúâèâIJŽáæ ŽéëýïêŽ.

áŽéðçæùâIJŽ. ïŽçéŽîæïæŽ ãŽøãâêëå, îëé êâIJæïéæâîæ àŽàîúâèâIJŽáæ ŽéëýïêŽ Žé ŽéëýïêâIJæï àŽáŽIJéæå

(t 0 , x 0 ) ûâîðæèöæ éæãæôâIJå (25.1), (25.2)ŽéëùŽêæï ŽîŽàŽàîúâèâIJŽá ŽéëýïêŽï.

Γ-åæ Žôãêæëöêëå D Žîæï ïŽäôãŽîæ, ýëèë ρ(x, Γ)-åæ éŽêúæèæ R n ïæãîùæï êâIJæïéæâîæ x

{ ρ(x0 , Γ)

}

ûâîðæèæáŽê Γ-éáâ. öâéëãæôëå îæùýãæ r 0 = min , 1 . éæêæéñéï ãæôâIJå æéæðëé, îëé

2

öâïŽúèëŽ D Žîâ éåâè R n ïæãîùâï áŽâéåýãâï ᎠŽé öâéåýãâãŽöæ ρ(x 0 , Γ) ñïŽïîñèë æóêâIJŽ.

àŽêãæýæèëå äîáŽáæ éæéáâãîëIJŽ { } +∞

β k êŽéáãæèæ îæùýãâIJæïŽ, æïâåæ, îëé

k=0

β k > t 0 , β k < β k+1 Ꭰlim

k→+∞ β k = sup I. (25.9)

Žôãêæöêëå D 0 = { }

x : ‖x − x 0 ‖ ≤ r 0 . ùýŽáæŽ D0 ⊂ D. àŽîᎠŽéæïŽ Žôãêæöêëå

M 0 = max { }

{

‖f ∗ (t, x)‖, (t, x) ∈ [t 0 , β 0 ] × D 0 Ꭰδ 0 = min β 0 − t 0 , r }

0

.

M 0

åñ àŽãæýïâêâIJå çëöæ-ìâŽêëï åâëîâéæï áŽéðçæùâIJŽï, éŽöæê öâéëôâIJñ;èæ ŽôêæöãêâIJæï åŽêŽýéŽï

áŽãŽïçãêæå, îëé (25.1), (25.2) ŽéëùŽêŽï àŽŽøêæŽ [t 0 , t 0 + δ 0 ] öñŽèâáöæ àŽêïŽäôãîñèæ x 1 ŽéëýïêŽ

æïâåæ, îëé x 1 (t) ∈ D 0 îëùŽ t ∈ [t 0 , t 0 + δ 0 ]. Žãæôëå t 1 ≡ t 0 + δ 0 Ꭰ(25.1) àŽêðëèâIJæïåãæï

áŽãïãŽå çëöæï ŽéëùŽêŽ

x(t 1 ) = x 1 (t 1 ) (25.2 ′ )

ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ. åñ Žé ìîëùâïï àŽãŽàîúâèâIJå, ŽêŽèëàæñîŽá ŽãŽàâIJå îæùýãåŽ éæéáâãîëIJâIJï

{ ρ(xk (t k ), Γ)

}

t k = t k−1 + δ k−1 , x(t k ) = x k (t k ), r k = min

, 1 ,

{ }

2

D k x : ‖x − xk ‖ ≤ r k ⊂ D,

M k = max { }

‖f(t, x)‖ : (t, x) ∈ [t k , β k ] × D k ,

{

δ k = min β k − t k , r }

k

M k

Ꭰ[t k , t k+1 ] öñŽèâáöæ ïŽáŽù t k+1 = t k + δ k àŽêðëèâIJŽï àŽŽøêæŽ x k+1 (t) ŽéëýïêŽ Žïâå ïŽûõæï

ìæîëIJâIJöæ x(t k ) = x k (t k ). îŽáàŽê δ k < β k − t k àãŽóãï t k+1 = t k + δ k ≤ β k < sup I, Žïâ îëé

äôãŽîæ lim t k = t ∗ ∈ I. x òñêóùæŽ [t 0 , t ∗ ) öñŽèâáöæ x(t) = x k (t) îëùŽ t k−1 ≤ t ≤ t k . ùýŽáæŽ,

k→+∞

îëé x æóêâIJŽ (25.1), (25.2) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ [t 0 , t ∗ )-öæ. ãŽøãâêëå, îëéæàæ ŽîŽàŽàîúâèâIJŽáæŽ

éŽîþãêæã. áŽãñöãŽå ïŽûæꎎôéáâàæ. éŽöæê t ∗ < sup I ᎠŽîïâIJëIJï äôãŽîæ lim x(t) = x ∗ ∈ D.

t→t ∗ −

77


78

{ 3

}

ýëèë r ∗ ≡ min

4 ρ(x ∗ , Γ), 2 ᎠD ∗ ≡ { x : ‖x − x ∗ ‖ ≤ r ∗} ⊂ D. ãŽøãâêëå, îëé, àŽîçãâñèæ

ŽáàæèæáŽê áŽûõâIJñèæ õãâèæ D k ⊂ D ∗ .

M ∗ k ≡ max { ‖f(t, x)‖ : (t, x) ∈ [t k , t k+1 ] × D k

}

,

M ∗ = max { ‖f(t, x)‖ : (t, x) ∈ [t 0 , t ∗ ] × D } .

D k ⊂ D-ï àŽéë àãŽóãï Mk

∗ ≤ M ∗ . àŽîᎠŽéæïŽ, îŽáàŽê éŽêúæèæ x ∗ -áŽê D Žîæï ïŽäôãîŽéáâ

ŽáŽáâIJæåæŽ x k → x ∗ , Žáãæèæ áŽïŽêŽýæŽ, îëé r k > r 0 , ïŽáŽù r 0 îŽôŽù áŽáâIJæåæ îæùýãæŽ.

ïŽIJëèëëá δ k > η > 0, Žïâ îëé t k > t 0 + kη → +∞. éæãæôâå ïŽûæꎎôéáâàë ᎠåâëîâéŽ

áŽéðçæùâIJñèæŽ.


èâóùæŽ 26.

åâëîâéâIJæ áæòâîâêùæŽèñîæ ᎠæêðâàîŽèñîæ ñðëèëIJâIJæï öâïŽýâIJ

Žó àŽêãæýæèŽãå ïçŽèŽîñè áæò. àŽêðëèâIJŽï

dx

dt

f ∈ C(I × D), ïŽáŽù I öñŽèâáæŽ, ýëèë D æêðâîãŽèæ.

= f(t, x), (26.1)

åâëîâéŽ 26.1. ãåóãŽå x Žîæï (26.1) àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽ àŽêïŽäôãîñèæ [a, b) ⊂ I öñŽèâáöæ

x(a) = x 0 (26.2)

ïŽûõæïæ ìæîëIJæå, ýëèë y : [a, b] → D Žîæï ñûõãâðŽá ûŽîéëâIJŽáæ òñêóùæŽ. àŽîᎠŽéæïŽ ãåóãŽå

áŽùñèæŽ öâéáâàæ ìæîëIJâIJæ

y(a) ≤ x 0 , (26.3)

y ′ (t) < f(t, y(t)), a ≤ t < b. (26.4)

éŽöæê

y(t) < x(t), a < t < b. (26.5)

áŽéðçæùâIJŽ. ãåóãŽå u(t) ≡ x(t) − y(t). (26.2) Ꭰ(26.3)-æï àŽéë àãŽóãï u(a) ≥ 0. â.æ. àãŽóãï

ëîæ öâéåýãâãŽ.

1) u(a) > 0; 2) u(a) = 0.

ìæîãâè öâéåýãâãŽöæ a-ï àŽîçãâñè éŽîþãâêŽ éæáŽéëöæ u(t) > 0. éâëîâ öâéåýãâãŽöæ àãŽóãï

x(a) = y(a) Ꭰu ′ (a) = x ′ (a) − y ′ (a) = f(a, x 0 ) − y ′ (a) = f(a, y(a)) − y ′ (a) > 0 (26.4)-æï àŽéë.

îŽáàŽê u ′ (t) > 0, æàæ a-ï éŽîþãâêŽ éæáŽéëöæ éâðæ æóêâIJŽ êñèäâ, åñ t Žé éæáŽéëöæŽ, éŽöæê

u(t) =

∫ t

u ′ (τ) dτ > 0

(t ≠ a).

a

ŽéàãŽîŽá ëîæãâ öâéåýãâãŽöæ ŽîïâIJëIJï b 0 ∈ [a, b] æïâåæ, îëé u(t) > 0 îëùŽ a < t < b. áŽãñöãŽå,

îëé (26.5) ñðëèëIJŽ Žî Žîæï ïŽéŽîåèæŽêæ. éŽöæê äâéëå öâêæöêñèæï úŽèæå ŽîïâIJëIJï æïâåæ

t ∗ ∈ (a, b) ûâîðæèæ, îëé u(t) > 0 îëùŽ t ∈ (a, t ∗ ) Ꭰu(t ∗ ) = 0, Žêñ, x(t ∗ ) = y(t ∗ ). Žé

öâéåýãâãŽöæ çæ

u ′ (t ∗ ) = f(t ∗ , x(t ∗ )) − y ′ (t ∗ ) = f(t ∗ , y(t ∗ )) − y ′ (t ∗ ) > 0.

çãèŽã (26.4)-æï àŽéë. âï çæ àãŽúèâãï ïŽûæꎎôéáâàëï, îŽáàŽê u ′ (t) áŽáâIJæåæ àŽéë㎠t ∗ -ï éŽîùýâêŽ

éæáŽéëöæ, â.æ. u Žó äîáŽáæ ñêᎠæõëï ᎠîŽáàŽê éŽîùýâêŽ éæáŽéëöæ u áŽáâIJæåæŽ, t ∗ -äâ æàæ

êñèæï ðëèæ ãâî àŽýáâIJŽ.


çãèŽã ãæýæèŽãå ïçŽèŽîñè áæò. àŽêðëèâIJŽï

ïŽûõæïæ ìæîëIJæå

èâóùæŽ 27.

dx

dt

= f(t, x). (27.1)

x(a) = x 0 , (27.2)

ïŽáŽù f ∈ C(I × D), I öñŽèâáæŽ, ýëèë D æêðâîãŽèæ R-áŽê, a ∈ I, x 0 ∈ D Ꭰa < sup I.

àŽêéŽîðâIJŽ. (27.1), (27.2) ŽéëùŽêæï x ∗ ŽéëýïêŽ àŽêïŽäôãîñèï îŽæéâ [a, b) ⊂ I öñŽèâáöæ

âûëáâIJŽ (27.1), (27.2) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽï, åñ îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï b 0 > a Ꭰîëàëîæù Žî

ñêᎠæõëï Žé ŽéëùŽêæï x ŽéëýïêŽ àŽêïŽäôãîñèæ [a, b]-öæ éŽöæê Žáàæèæ Žóãï ñðëèëIJŽï

x(t) ≤ x ∗ (t), t ∈ [a, b] ∩ [a, b 0 ]. (27.3)

öâêæöãêŽ. äâéëå éëõãŽêæè àŽêéŽîðâIJŽöæ øãâê Žî éëãæåýëãå, îëé (27.3) ïîñèáâIJëáâï, éýëèëá

[a, b)-äâ àŽêïŽäôãîñè ŽéëýïêâIJæïåãæï. ïŽóéâ æéŽöæŽ, îëé öâæúèâIJŽ äëàæâîåæ ŽéëýïêŽ ãâî

àŽàîúâèáâï b ûâîðæèŽéáâ, (27.3) ñðëèëIJŽ çæ Žïâåæ ŽéëýïêâIJæïåãæïŽù ñêᎠöâïîñèáâï. àŽîáŽ

ŽéæïŽ, äâᎠàŽêéŽîðâIJŽöæ ïâàéâêðâIJæï éŽàæãîŽá öâæúèâIJŽ Žàãâôë [a, b) ïŽýæï êŽýâãŽîæêðâîãŽèâIJæ.

åâëîâéŽ 27.1. (27.1), (27.2) ŽéëùŽêŽï àŽŽøêæŽ äâᎠŽéëêŽýïêæ a-ï ïŽçéŽîæïŽá éùæîâ éŽîþãâêŽ

éæáŽéëöæ.

áŽéðçæùâIJŽ. îŽáàŽê D ô掎 Ꭰx 0 ∈ D, ŽîïâIJëIJï r 0 > 0 æïâåæ, îëé D 0 = { x : |x − x 0 | ≤

r 0

}

⊂ D. Žãæôëå k ∈ N ᎠàŽêãæýæèëå àŽêðëèâIJŽ

dx

dt = 1 + f(t, x). (27.4)

k

åñ ŽôãêæöêŽãå M = 1 + max { }

{

|f(t, x)|, (t, x) ∈ [a, b] × D 0 , ïŽáŽù [a, b] ⊂ I and δ =

min b − a, r }

0

, éŽöæê åñ àŽãæýïâêâIJå çëöæ-ìâŽêëï 21.1 åâëîâéæï áŽéðçæùâIJŽï, áŽãŽïçãêæå,

M

îëé (27.1), (27.2) ŽéëùŽêŽï àŽŽøêæŽ x k ŽéëýïêŽ àŽêïŽäôãîñèæ [a, a + δ] öñŽèâáöæ (öñŽèâáæ Žî

Žîæï áŽéëçæáâIJñèæ k-äâ). ŽéŽïåŽê ïîñèáâIJŽ ñðëèëIJŽ


∣ xk (t) − a 0 ≤ r0 , t ∈ [a, a + δ]. (27.5)

(27.5) àãŽøãâêâIJï, îëé { } +∞

x k éæéáâãîëIJŽ âîåëIJèæã öâéëïŽäôãîñèæŽ [a, a+δ]-äâ. ŽéŽïåŽê æïâã

k=1

(27.5) Ꭰ(27.4) àŽêðëèâIJæï àŽéë, àãŽóãï |x ′ k (t)| ≤ M îëùŽ t ∈ [a, a+δ], âï çæ îëàëîù Žáãæèæ

éæïŽýãâáîæŽ æûãâãï æéŽï, îëé { } +∞

x k éæéáâãîëIJŽ âîåëIJèæã ñûõãâðæŽ [a, a + δ]-äâ. Žéæðëé

k=1

ŽîùâèŽ-Žïçëèæï èâéæï úŽèæå Žé éæéáâãîëIJæáŽê àŽéëæõëòŽ çîâIJŽáæ óãâéæéáâãîëIJŽ { } +∞

x . ki i=1

àãŽóãï

∫ t [ 1

x ki (t) = x 0 + + f(τ, x ki (τ))]

dτ, t ∈ [a, a + δ]. (27.6)

k i

a

Žôãêæöêëå lim x ki = x ∗ . éŽöæê, åñ (27.6) ðëèëIJŽöæ àŽáŽãŽèå äôãŽîäâ æêðâàîŽèæï êæöêæï

i→∞

óãâö, îŽù öâïŽúèâIJâèæŽ åŽêŽIJŽîæ çîâIJŽáëIJæï àŽéë, éæãæôâIJå, îëé

x ∗ (t) = x 0 +

∫ t

a

f(τ, x ∗ (τ)) dτ, t ∈ [a, a + δ]

îŽù àãæøãâêâIJï, îëé x ∗ Žîæï (27.1), (27.2) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ [a, a + δ]-öæ. ãŽøãâêëå, îëé æàæ

ûŽîéëŽáàâêï Žé ŽéëùŽêæï äâᎠŽéëýïêŽï ŽéŽãâ öñŽèâáöæ. ãåóãŽå x Žîæï øãâêæ ŽéëùŽêæï êâIJæïéæâîæ

ŽéëýïêŽ, àŽêïŽäôãîñèæ îŽæéâ [a, β] öñŽèâáöæ. øãâêæ éæäŽêæŽ ãŽøãâêëå, îëé

x(t) ≤ x ∗ (t), t ∈ [a, β 0 ], (27.7)

79


80

ïŽáŽù β 0 = min{β, a + δ}. àãŽóãï x ′ (t) = f(t, x(t)) < 1 k i

+ f(τ, x ki (t)), Žéæðëé 26.1 åâëîâéæï

úŽèæå (Žó x Žîæï y-æï îëèöæ, ýëèë x ki Žîæï x-æï îëèöæ) àãâóêâIJŽ, îëé x(t) < x ki (t), t ∈ [a, β 0 ],

i = 1, 2, . . . . åñ Žé ñðëèëIJŽöæ àŽáŽãŽèå äôãŽîäâ, îëùŽ i → +∞, éæãæôâIJå (27.7) ñðëèëIJŽï.


äâᎠŽéëýïêæï ŽêŽèëàæñîŽá öâéë㎠óãâᎠŽéëýïêæï ùêâIJŽ ᎠŽé åâëîâéæï ŽêŽèëàæñîŽá

áŽéðçæùáâIJŽ, îëé (27.1), (27.2) ŽéëùŽêŽï Žóãï óãâᎠŽéëêŽýïêæ. a-ï ïŽçéŽîæïŽá éùæîâ éŽîþãâêŽ

éæáŽéëöæ ëôëêá (27.4)-æï êŽùãèŽá áŽàãüæîáâIJŽ

dx

dt = − 1 + f(t, x)

k

àŽêðëèâIJæï àŽêýæè㎠Ꭰ26.1 åâëîâéæï êŽùãèŽá éëàãæýáâIJŽ éæïæ ŽêŽèëàæñîæ åâëîâéæï àŽéëõâêâIJŽ,

îëéâèæù éæïàŽê éææôâIJŽ ñðëèëIJâIJæï Žäîæï öâùãèæå ᎠŽêŽèëàæñîŽáãâ éðçæùáâIJŽ.

äñïðŽá æïâãâŽ, îëàëîù 25.2 åâëîâéŽöæ, öâæúèâIJŽ êŽøãâêâIJæ æóêâï, îëé (27.1), (27.2) ŽéëùŽêŽï

Žóãï éŽîþãêæã ŽîŽàŽàîúâèâIJŽáæ äâᎠᎠóãâᎠŽéëêŽýïêâIJæ. ŽéæïŽåãæï àŽãæéâëîâIJå åâëîâéŽöæ

éëõãŽêæè ìîëùâïï, ëôëêá õëãâè öâéáâà êŽIJæþäâ êâIJæïéæâî ŽéëýïêŽï çæ Žî ãæôâIJå, ŽîŽéâá äâáŽ

(öâïŽIJŽéæïŽá óãâáŽ) ŽéëêŽýïêâIJï. ïŽIJëèëëá éæãæôâIJå îŽôŽù [a, t ∗ ) öñŽèâáöæ àŽêïŽäôãîñè

éŽîþãêæã àŽñàîúâèâIJŽá ŽéëýïêŽï, îëéâèæù äâᎠ(öâïŽIJŽéæïŽá óãâáŽ) ŽéëýïêŽ æóêâIJŽ Žé öñŽèâáöæ.

âï úŽèæŽê Žáãæèæ öâïŽéëûéâIJâèæŽ.

IJëèëï öâãêæöêëå, îëé îëùŽ (27.1), (27.2) ŽéëùŽêŽï Žóãï âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ, éŽöæê éæïæ äâáŽ

ᎠóãâᎠŽéëýïêâIJæ Žé ŽéëùŽêŽï âéåýãâãŽ.

åâëîâéŽ 27.2. ãåóãŽå (27.1), (27.2) ŽéëùŽêŽï àŽŽøêæŽ äâᎠŽéëýïêŽ x ∗ àŽêïŽäôãîñèæ

[a, b) ⊂ I-öæ, ýëèë y Žîæï ñûõãâðæ òñêóùæŽ, îëéâèæù [a, b]-ï D-öæ àŽáŽïŽýŽãï, éŽöæê

ñðëèëIJâIJæáŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï

y(a) ≤ x 0 , y ′ (t) ≤ f(t, y(t)), t ∈ [a, b) (27.8)

y(t) ≤ x ∗ (t), t ∈ [a, b). (27.9)

26.1 åâëîâéŽïåŽê öâáŽîâIJæå Žó (27.8)-öæ éçŽùîæ ñðëèëIJŽ öâæùãŽèŽ ŽîŽéçŽùîæå. Žéæðëé

öâïŽIJŽéæïŽá åâëîâéæï áŽïçãêŽöæ êâIJæïéæâîæ ŽéëýïêŽ öâæùãèâIJŽ äâᎠŽéëýïêæå. Žó Žîù öâæúèâIJëáŽ

(27.9) ñðëèëIJæï öâïîñèâIJæï éëåýëãêŽ êâIJæïéæâîæ x ŽéëýïêæïŽåãæï, îŽáàŽê (27.1), (27.2) ŽéëùŽêæï

Žéëýïêæï âîåŽáâîåëIJæï öâéåýãâãŽöæ Žé ŽéëùŽêæï êâIJæïéæâîæ Ꭰçâîúëá äâᎠx ∗ ŽéëýïêŽù

ᎎçéŽõëòæèâIJᎠ(27.8) ìæîëIJŽï ᎠåâëîâéŽ îëé êâIJæïéæâîæ x Žéëýïêæï öâéåýãâãŽöæ ïŽéŽîåèæŽêæ

õëòæèæõë éæãæôâIJáæå, îëé x ∗ ≤ x, îŽù öâñúèâIJâèæŽ, îŽáàŽê âîåŽáâîåëIJæï àŽéë æï

öâæúèâIJŽ x ∗ -àŽê àŽêïýãŽãâIJñèæ Žàãâôë.

áŽéðçæùâIJŽ. öâéëãæôëå òñêóùæŽ

{

f(t, x), x > y(t),

˜f(t, x) =

f(t, y), x ≤ y(t).

ŽéîæàŽá ˜f âéåýãâ㎠x = y(t) ûæîæï äâãæå f-ï, ýëèë Žé ûæîæï óãâéëå æàæ éñáéæãæŽ õëãâèæ

t-åãæï x-æï éæéŽîå. Žáãæèæ áŽïŽêŽýæŽ, îëé ˜f òñêóùæŽ ñûõãâðæŽ I × D-äâ. àŽêãæýæèëå Žïâåæ

áæò. àŽêðëèâIJŽ

dx

dt = ˜f(t, x). (27.10)

ãåóãŽå x Žîæï (27.10), (27.2) ŽéëùŽêæï îŽæéâ éŽîþãêæã ŽîŽàŽàîúâèâIJŽáæ ŽéëýïêŽ áŽ ãåóãŽå

éæïæ àŽêïŽäôãîæï öñŽèâáæŽ [α, β]. ãŽøãâêëå, îëé

y(t) ≤ x(t), t ∈ [a, b) ∩ [a, β). (27.11)

áŽãñöãŽå ïŽûæꎎôéáâàë. éŽöæê ŽîïâIJëIJï êâIJæïéæâîæ t ∗ ∈ [a, b) ∩ [a, β) æïâåæ, îëé y(t ∗ ) >

x(t ∗ ). îŽáàŽê (27.8)-æï àŽéë x(a) ≥ y(a), ŽóâáŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï æïâåæ t ∗ ∈ [a, t ∗ ) ûâîðæèæï

ŽîïâIJëIJŽ, îëé

x(t ∗ ) = y(t ∗ ), x(t) < y(t) îëùŽ t ∈ (t ∗ , t ∗ ] (27.12)


(öâïŽúèâIJâèæŽ, îëé t ∗ áŽâéåýãâï a-ï). Žôãêæöêëå u(t) = y(t) − x(t). éŽöæê ˜f-æï àŽêéŽîðâIJæï áŽ

(27.12) Ꭰ(27.8)-æï àŽéë àãŽóãï

u ′ (t) = y ′ (t) − x ′ (t) = y ′ (t) − ˜f(t, x(t)) = y ′ (t) − f(t, y(t)) ≤ 0 îëùŽ t ∈ [t ∗ , t ∗ ].

éâëîâï éýîæã, æïâã (27.12)-áŽê àãŽóãï, îëé u(t ∗ ) = 0 Ꭰu(t) > 0 îëùŽ t ∈ [t ∗ , t ∗ ] îŽù

âûæꎎôéáâàâIJŽ (27.12)-ï. éæôâIJñèæ ûæꎎôéáâàëIJŽ ŽéðçæùâIJï (27.11)-ï.

(27.11)-áŽê Ꭰ˜f-æï àŽêéŽîðâIJæï úŽèæå àŽéëéáæêŽîâëIJï, îëé x ûŽîéëŽáàâêï (27.1), (27.2)

ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽï [a, b] ∩ [a, β]-öæ. îŽáàŽê x-æï àîŽòæçæ éëåŽãïâIJñèæŽ y àîŽòæçæï äâéëå ᎠŽó

çæ ˜f Ꭰf âîåéŽêâåï âéåýãâãŽ. Žéæðëé äâᎠŽéëýïêæï àŽêéŽîðâIJæï úŽèæå x(t) ≤ x ∗ (t), â.æ.

y(t) ≤ x(t) ≤ x ∗ (t),

t ∈ [a, b] ∩ [a, β).

âï çæ âîåæï éýîæã ŽéðçæùâIJï (27.1) ñðëèëIJŽï, ýëèë éâëîâï éýîæã àãæøãâêâIJï, îëé [a, b] ∩

[a, β) = [a, b). éŽîåèŽù, îëé æõëï β < b, éŽöæê îŽáàŽê x õëãâèåãæï éëéûõãáâñèæŽ y Ꭰx ∗ -ï

öëîæï, 25.1 åâëîâéæï úŽèæå æàæ ãâî æóêâIJŽ ŽîŽàŽàîúâèâIJŽáæ.


èâóùæŽ 28.

âýèŽ àŽêãæýæèŽãå æêðâàîŽèñî ñðëèëIJâIJï. àŽêãæýæèëå ïçŽèŽîñèæ áæò. àŽêðëèâIJŽ

ïŽáŽù f ∈ C(I × D), a ∈ I, x ∈ D.

dx

= f(t, x),

dt

(28.1)

x(a) = x 0 , (28.2)

åâëîâéŽ 28.1. ãåóãŽå f ŽîŽçèâIJŽáæŽ éâëîâ Žîàñéâêðæï éæéŽîå Ꭰ(28.1), (28.2) ŽéëùŽêŽï

àŽŽøêæŽ [a, b) ⊂ I-öæ àŽêïŽäôãîñèæ äâᎠŽéëýïêŽ x ∗ , éŽöæê îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï ñûõãâðæ

òñêóùæŽ y : [a, b] → D, îëéâèæù [a, b)-ï D-öæ àŽáŽïŽýŽãï ñðëèëIJæáŽê

y(t) ≤ x 0 +

∫ t

f(τ, y(τ)) dτ, t ∈ [a, b), (28.3)

81

àŽéëáæï öâòŽïâIJŽ

áŽéðçæùâIJŽ. Žôãêæöêëå

a

y(t) ≤ x ∗ (t), t ∈ [a, b). (28.4)

z(t) = x 0 +

∫ t

f(τ, y(τ)) dτ,

t ∈ [a, b).

éŽöæê (28.3) Žïâ øŽãûâîëå

éâëîâï éýîæã

áŽ

a

y(t) ≤ z(t), t ∈ [a, b). (28.5)

z(a) = x 0 (28.6)

z ′ (t) = f(t, y(t)) ≤ f(t, z(t)), t ∈ [a, b) (28.7)

(28.5)-æï Ꭰf-æï ŽîŽçèâIJŽáëIJæï àŽéë éâëîâ Žîàñéâêðæï éæéŽîå. îëàëîù (28.6) Ꭰ(28.7)

àãæøãâêâIJï, z òñêóùæŽ ŽçéŽõëòæèâIJï 27.2 åâëîâéæï õãâèŽ ìæîëIJŽï ᎠŽéæðëé àãŽóãï z(t) ≤ x ∗ (t),

ïŽæáŽêŽù (28.5)-æï àŽéë àŽéëéáæêŽîâëIJï (28.4).


Žé åâëîâéæáŽê éŽîðæãŽá àŽéëáæï àîæêñëè-IJâèéŽêæï èâéŽ, îëéâèæù øãâê ïýãŽëIJâIJæå çñîïæï

áŽïŽûõæïöæ àãóëêᎠáŽéðçæùâIJñèæ.


82

öâáâàæ (àîæêñëè-IJâèéŽêæï èâéŽ). ãåóãŽå ϕ : [a, b) → [0, +∞) ñûõãâðæ ŽïŽý㎎, éŽöæê êâIJæïéæâîæ

x 0 ∈ R-åãæï Ꭰ[a, b)-ï õëãâèæ ñûõãâðæ y ŽïŽýãæïåãæï R-öæ

y(t) ≤ x 0 +

∫ t

ϕ(τ) y(τ)) dτ, t ∈ [a, b)

ñðëèëIJæáŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï

a

y(t) ≤ x 0 e ∫ t

a ϕ(τ) dτ ,

t ∈ [a, b).

éŽîåèŽù, øãâêï öâéåýãâãŽöæ (28.1), (28.2) ŽéëùŽêŽï âóêâIJŽ ïŽýâ

dx

dt = ϕ(t) x, x(a) = x 0,

îëéâèïŽù Žóãï âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ

x ∗ (t) = x 0 e ∫ b

a ϕ(τ) dτ ,

îëéâèæù æóêâIJŽ éæïæ îëàëîù äâáŽ, æïâ óãâᎠŽéëýïêŽ.

28.1 åâëîâéŽ ïŽöñŽèâIJŽï àãŽúèâãï éæãæôëå éîŽãŽèæ ŽêŽèëàæñîæ öâéåýãâãŽ. éŽàŽèæåŽá. åñ

+∞ ∫ dt

w : [0, +∞) → (0, +∞) ñûõãâðæŽ, ŽîŽçèâIJŽáæŽ áŽ = +∞ ýëèë ϕ : [a, b) → [0, +∞)

0 w(t)

ñûõãâðæŽ, éŽöæê

ñðëèëIJæáŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï

[ ∫t

y(t) ≤ Φ −1

a

y(t) ≤ x 0 +

∫ t

a

ϕ(τ) w[y(τ)] dτ, t ∈ [a, b)

]

∫ x

ϕ(τ) dτ , t ∈ [a, b), ïŽáŽù Φ(x) =

x 0


w(ρ) ,

x ∈ [0, +∞).

ŽéŽöæ áŽïŽîûéñêâIJèŽá ïŽçéŽîæïæŽ éæãéŽîåëå àŽêùŽèâIJŽá ùãèŽáâIJæŽê àŽêðëèâIJâIJï, ŽéŽïåŽê

∫ dt

t

w(t) = +∞ ñäîñêãâèõëòï æéŽï, îëé ∫

ϕ(τ) dτ éëýãáâï Φ −1 -æï àŽêïŽýôãîæï Žîâöæ.

+∞

x 0

a

åâëîâéŽ 28.2. ãåóãŽå f ∈ C(I × D) ŽîŽçèâIJŽáæŽ éâëîâ Žîàñéâêðæï éæéŽîå Ꭰ(28.1),

(28.2) ŽéëùŽêŽï Žóãï îŽæéâ ŽéëýïêŽ x àŽêïŽäôãîñèæ [a, b) ⊂ I öñŽèâáöæ. éŽöæê îëàëîæù Žî

ñêᎠæõëï ñûõãâðæ y = [a, b) → D ŽïŽý㎠D-öæ, ñðëèëIJæáŽê

y(t) ≤ x 0 +

∫ t

f(τ, y(τ)) dτ, t ∈ [a, b) (28.8)

àŽéëéáæêŽîâëIJï

a

y(t) < x(t), t ∈ [a, b). (28.9)

áŽéðçæùâIJŽ. îŽáàŽê y(a) < x(a), Žéæðëé a-ï ïŽçéŽîæïŽá éùæîâ éŽîþãâêŽ éæáŽéëöæ y(t) <

x(t) ñðëèëIJŽ öâïîñèâIJñèæŽ. áŽãñöãŽå ïŽûæꎎôéáâàë, îëé (28.9) Žî ïîñèáâIJŽ. éŽöæê Žîïâ-

IJëIJï êâIJæïéæâîæ b 0 ∈ [a, b), îëé

áŽ

y(t) < x(t), t ∈ [a, b 0 ) (28.10)

y(b 0 ) = x(b 0 ). (28.11)


83

àãŽóãï

x(t) = x 0 +

∫ t

f(τ, x(τ)) dτ,

t ∈ [a, b).

Žé ðëèëIJŽï àŽéëãŽçèëå (28.1) Ꭰt-ï éŽàæãîŽá öâãæðŽêëå b 0 . éæãæôâIJå

x(b 0 ) − y(b 0 ) >

a

∫ b 0

a

[

f(τ, x(τ)) − f(τ, y(τ))

]

dτ ≥ 0

(28.10)-æï Ꭰf-æï ŽîŽçèâIJŽáëIJæï àŽéë. âï çæ âûæꎎôéáâàâIJŽ (28.11)-ï.

áŽéðçæùâIJñèæ åâëîâéâIJæ àŽéëãæõâêëå âîåŽáâîåëIJæï âîåæ äëàŽáæ åâëîâéæï áŽïŽéðçæùâIJèŽá,

îëéèæïàŽêŽù ëïàñèæï 23.1 Žê êŽàñéë-ìâîëêæï 23.3 åâëîâéâIJæ àŽéëéáæêŽîâëIJï, îëàëîù

çâîúë öâáâàæ.

åâëîâéŽ 28.3. ãåóãŽå f ∈ C n ([a, b) × D), ïŽáŽù D ⊂ R n Žî⎠Ꭰf ŽçéŽõëòæèâIJï õãâèàŽê

Žé Žîâöæ ìæîëIJŽï


∥f(t, x) − f(t, y) ∥ ≤ ω ( t, ‖x − y‖ ) , (28.12)

ïŽáŽù ŽïŽý㎠ω = [a, b) × [0, +∞) → [0, +∞) ñûõãâðæŽ, ŽîŽçèâIJŽáæŽ éâëîâ Žîàñéâêðæï éæéŽîå

Ꭰω(t, 0) ≡ 0. ŽéŽïåŽê


= ω(t, ρ) (28.13)

dt

ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ

ρ(t)

lim

t→a+ t − a = 0 (28.14)

àŽŽøêæŽ éýëèëá ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ. éŽöæê îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï x 0 ∈ D ŽéëùŽêŽï

àŽŽøêæŽ âîåŽáâîåæ ŽéëïýïêŽ.

dx

= f(t, x),

dt

(28.15)

x(a) = x 0 (28.16)

áŽéðçæùâIJŽ. ãåóãŽå (28.15), (28.16) ŽéëùŽêŽï àŽŽøêæŽ ëîæ ŽéëýïêŽ x Ꭰy, îëéâèåŽ àŽêïŽäôãîæï

ïŽâîåë öñŽèâáæŽ [a, β) ⊂ [a, b]. éŽöæê ŽîïâIJëIJï êâIJæïéæâîæ b 0 ∈ [a, β) æïâåæ, îëé

‖x(b 0 ) − y(b 0 )‖ > 0. Žôãêæöêëå u(t) = ‖x(t) − y(t)‖. éŽöæê àãŽóãï u(b 0 ) > 0. (28.13) àŽêðëèâ-

IJæïåãæï àŽêãæýæèëå çëöæï ŽéëùŽêŽ

ρ(b 0 ) = u(b 0 ) (28.17)

Ꭰρ-åæ Žôãêæöêëå Žé ŽéëùŽêæï éŽîùýêæã ŽîŽàŽàîúâèâIJŽáæ ŽéëýïêŽ (ρ öâæúèâIJŽ Žîù æõëï

àŽêïŽäôãîñèæ a). ãŽøãâêëå, îëé ρ-ï àŽêïŽäôãîæï öñŽèâáöæ b 0 -æï éŽîùýêæã öâïîñèáâIJŽ ñðëèëIJŽ

ρ(t) ≤ u(t). (28.18)

áŽãñöãŽå ïŽûæꎎôéáâàë. ãåóãŽå îŽæéâ t 0 -åãæï ρ-ï àŽêïŽäôãîæï öñŽèâáæáŽê (t 0 < b 0 ) ïîñèáâIJŽ

ñðëèëIJŽ ρ(t 0 ) > u(t 0 ). (28.15)-áŽê [t 0 , b 0 ]-öæ àãŽóãï

∫ t

x(t) = x(t 0 ) + f(τ, x(τ)) dτ, y(t) = y(t 0 ) + f(τ, y(τ)) dτ.

t 0 t 0

ŽóâáŽê, åñ Žé àŽêðëèâIJâIJï âîåéŽêâåï àŽéëãŽçèâIJå, àŽáŽãŽèå êëîéâIJäâ ᎠàŽãæåãŽèæïûæêâIJå

(28.12)-ï, éæãæôâIJå

u(t) ≤ u(t 0 ) +

∫ t

∫ t

t 0

ω(τ, u(τ)) dτ, t ∈ [t 0 , b 0 ].


84

îŽáàŽê áŽöãâIJæï úŽèæå ρ(t 0 ) > u(t 0 ), àãŽóãï

u(t) < ρ(t 0 ) +

∫ t

t 0

ω(τ, u(τ)) dτ.

ŽóâáŽê 28.2 åâëîâéæï àŽéë, îŽáàŽê ω ŽîŽçèâIJŽáæŽ éâëîâ Žîàñéâêðæï éæéŽîå, àŽéëéáæêŽîâëIJï

u(t) < ρ(t) îëùŽ t ∈ [t 0 , b), îŽù âûæꎎôéáâàâIJŽ (28.17)-ï. (28.18) áŽéðçæùáŽ.


ãåóãŽå t ∗ Žîæï ìæîãâèæ ûâîðæèæ b 0 -æï éŽîùýêæã, îëéâèäâù ρ = 0. åñ t ∗ âéåýãâ㎠a-ï (åñ

(a, b 0 )-öæ ρ ŽîïŽá êñèæ Žî àŽýáŽ, éŽöæê éæïæ ñûõãâðëIJæï àŽéë ñêᎠæõëï ρ(a) ≥ 0, ýëèë

u(a) = 0 Ꭰ(28.12)-æï àŽéë ñêᎠæõëï ρ(a) ≤ 0, Žïâ îëé Žé öâéåýãâãŽöæ ρ êñèæ àŽýáâIJŽ a-äâ).

éŽöæê ρ æóêâIJŽ (28.13)-æï ŽéëýïêŽ àŽêïŽäôãîñè [a, b 0 ] Žîâöæ, îëéâèæù ŽçéŽõëòæèâIJï ìæîëIJŽï

0 ≤ ρ(t) ≤ u(t), a ≤ t ≤ b 0 (28.19)

ýëèë åñ t ∗ > a, éŽöæê ρ àŽãŽàîúâèëå t ∗ -æï éŽîùýêæã îëàëîù æàæãñîŽá êñèæ ᎠîŽáàŽê

(28.13)-åãæï æàæãñîŽá êñèæ ŽéëýïêŽï ûŽîéëŽáàâêï, Žïâ àŽàîúâèâIJñèæ ŽéëýïêŽ çãèŽã æóêâIJŽ

(28.13)-æï ŽéëýïêŽ, îëéâèæù (28.19) ìæîëIJŽï ŽçéŽõëòæèâIJï.

ãŽøãâêëå, îëé ρ ŽçéŽõëòæèâIJï (28.14) ìæîëIJŽï (28.19)-æï àŽéë. ŽéæïŽåãæï ïŽçéŽîæïæŽ ãŽøãâêëå,

îëé lim = 0. åñ àŽãæýïâêâIJå îŽï ŽôêæöêŽãï u, Žé ñçŽêŽïçêâèæ áŽéëçæáâIJñèâIJæï áŽïŽéðçæùâIJèŽá

ïŽçéŽîæïæŽ ãŽøãâêëå,

t − a

îëé

t→a+

u(t)

lim

t→a+

1 [ ]

x(t) − y(t) = 0.

t − a

âï çæ ùýŽáæŽ èëìæðŽèæï ûâïæå, îŽáàŽê x ′ (a) = y ′ (a) = f(a, x 0 ). ŽéîæàŽá øãâê ŽãŽàâå (28.13)

àŽêðëèâIJæï ŽîŽðîæãæŽèñîæ ŽéëêŽýïêæ ρ (ŽîŽðîæãæŽèñîæ, îŽáàŽê ρ(b 0 ) = u(b 0 ) > 0), îëéâèæù

ŽçéŽõëòæèâIJï (28.14) ìæîëIJŽï. âï çæ âûæꎎôéáâàâIJŽ åâëîâéæï ìæîëIJŽï.

åâëîâéŽ 28.4 (ëïàñèæï 23.3 ᎠêŽàñéë-ìâîëêæï 23.3 åâëîâéâIJæ). þâî àŽêãæýæèëå ëïàñèæï

åâëîâéæï öâéåýãâãŽ. Žé öâéåýãâãŽöæ (28.13) àŽêðëèâIJŽ éææôâIJï ïŽýâï


= ω(ρ). (28.20)

dt

âï àŽêðëèâIJŽ àŽêùŽèâIJŽá-ùãèŽáâIJæŽêæ àŽêðëèâIJŽŽ. åñ 23 ìñêóðï éæãéŽîåŽãå, (23.5) áŽ

(23.6) ìæîëIJâIJæï àŽåãŽèæïûæêâIJæå ŽáãæèŽá áŽãæêŽýŽãå, îëé ρ 0 > 0, éŽöæê (28.20)-ï ïŽûõæïæ

ìæîëIJæå ρ(a) = ρ 0 Žóãï âîåŽáâîåæ ŽîŽàŽîúâèâIJŽáæ ŽéëýïêŽ àŽêïŽäôãîñèæ (−∞, A) öñŽèâáäâ,

îëéâèæù éëæùâéŽ òëîéñèæå

ρ(t) = Φ −1 (t − a), (28.21)

ïŽáŽù

Φ(x) =

∫ x

ρ 0


ω(ρ)

(0 < x < +∞),

ýëèë A = Φ(+∞). ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ ρ(a) = 0 çæ (28.20)-ï Žóãï âîåŽáâî4åæ ðîæãæŽèñîæ

ŽéëýïêŽ. ùýŽáæŽ, îëé (28.20)-æï õãâèŽ ŽéëýïêŽ ŽéëæûñîâIJŽ. ŽýèŽ åñ (28.10)-ï Žóãï ŽîŽðîæãæ-

Žèñîæ ŽéëýïêŽ, îëé (28.14) ìæîëIJŽï ŽçéŽõëòæèâIJï, éŽöæê æàæ éëæùâéŽ (28.21)-æå îëéâèæôŽù

ρ 0 > 0-åãæï, â.æ. àãŽóãï

Φ −1 (t − a)

lim

= 0.

t→a+ t − a

éŽàîŽé lim Φ −1 (t − a) = Φ −1 (0) = ρ 0 > 0, Žïâ îëé ñçŽêŽïçêâèæ áŽéëçæáâIJñèâIJŽ öâñúèâIJâèæŽ.

t→a+

åñ àŽêãæýæèŽãå êŽàñéë-ìâîëêæï öâéåýãâãŽï, Žó ïŽóéâ ñòîë éŽîðæãæŽ. Žé öâéåýãâãŽöæ (28.13)

ôâIJñèëIJï ïŽýâï dρ

dt = ρ

t − a .


Žáãæèæ öâïŽéøãâãæŽ (âï çãèŽã àŽêùŽèâIJŽá-ùãèŽáâIJæŽêæ àŽêðëèâIJŽŽ), îëé êâIJæïéæâîæ ŽéëýïêŽ,

àŽêýŽäôãîñèæ a-ï éŽîþãêæã ûŽîéëáàâIJŽ Žïâ ρ(t) = c(t − a). ŽóâáŽê øŽêï, îëé (28.14) çéŽõëòæèáâIJŽ

éýëèëá éŽöæê, îëùŽ c = 0, Ꭰâ.æ., ρ ðîæãæŽèñîæŽ.

àŽêãæýæèëå çëöæï ŽéëùŽêŽ

èâóùæŽ 29.

ŽîïâIJëIJæï ŽîŽèëçŽèñðæ åâëîâéŽ

ïŽáŽù îëàëîù õëãâèåãæï f ∈ C n (I × R n ), ýëèë t 0 ∈ I ⊂ R.

dx

= f(t, x),

dt

(29.1)

x(t 0 ) = x 0 , (29.2)

åâëîâéŽ 29.1 (Ž. ñæêðâîæ). ãåóãŽå I × R n ïæêîŽãèâäâ ïîñèáâIJŽ

∥ f(t, x)

∥ ∥ ≤ g(t) · ω(‖x‖) (29.3)

ñðëèëIJŽ, ïŽáŽù g ∈ C(I), g : I → [0, +∞), ýëèë ω : [0, +∞) → (0, +∞) ŽîŽçèâIJŽáæ ñûõãâðæ

òñêóù掎 Ꭰg(t) áŽáâIJæåæŽ êâIJæïéæâîæ t ∈ I-åãæï,

∫+∞

0

ds

ω(s)

= +∞. (29.4)

éŽöæê îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï (t 0 , x 0 ) ∈ I × D, (29.1), (29.2) ŽéëùŽêæï êâIJæïéæâîæ ŽîŽàŽàîúâèâ-

IJŽáæ ŽéëýïêŽ àŽêïŽäôãîñèæŽ éåâèï I öñŽèâáöæ.

ûîòæãæ ïæïðâéâIJæï æï öâïŽêæöêŽãæ åãæïâIJŽ, îëé ŽéëýïêŽ àŽêïŽäôãîñèæŽ õãâèàŽê, ïŽáŽù çëâòæùæâêðâIJæï

àŽêïŽäôãîñèæ, Žé åâëîâéæï ïŽïñŽèâIJæå àŽáŽàãŽóãï êâIJæïéæâîæ ïæïðâéæï öâéåýãâãŽöæ.

ŽéîæàŽá, Žé åãæïâIJŽöæ éåŽãŽîæ ûîòæãëIJŽ çæ Žî õëòæèŽ, ŽîŽéâá æï, îëé îëùŽ ‖x‖ → +∞, f-æï

êëîéæï äîáæï îæàæ Žî ñêᎠæõëï ûîòæãäâ ñòîë éŽôŽèæ ((29.4) ìæîëIJŽ).

öâãêæöêëå, îëé åñ I çëéìŽóðñîæŽ, éŽöæê (29.3) ìæîëIJŽöæ g-ï áŽûâîŽï Žäîæ ŽôŽî âóêâIJëáŽ,

îŽáàŽêéæï éŽàæãîŽá áŽãûâîáæå éæï éŽóïæéñéï ᎠéŽï àŽãŽâîåæŽêâIJáæå ω-öæ. Žéæå ùýŽáæŽ ω-ï

åãæïâIJâIJæ, îëéèâIJæù øãâê àãŽæêðâîâïâIJï, Žî öâæùãèâIJëáŽ.

áŽéðçæùâIJŽ. åâëîâéæï áŽïŽéðçæùâIJèŽá áŽãñöãŽå ïŽûæꎎôéáâàë. ãåóãŽå, (29.1), (29.2)

ŽéëùŽêŽï Žóãï ŽîŽàŽàîúâèâIJŽáæ ŽéëýïêŽ x àŽêïŽäôãîñèæ I 0 ⊂ I öñŽèâáöæ, I 0 + I ⊂ I. îŽáàŽê

I 0 Žîæï I-ï ïŽçñåîæãæ óãâöñŽèâáæ, Žê sup I 0 < sup I Žê inf I 0 > inf I. äëàŽáëIJæï öâñäôñáŽãŽá

ãæàñèæïýéëå, îëé sup I 0 < sup I. éâëîâ öâéåýãâ㎠ŽêŽèëàæñîŽá àŽêæýæèâIJŽ. Žôãêæöêëå t∗ =

sup I 0 .

[t 0 , t ∗ ) öñŽèâáöæ àãŽóãï ðëèëIJŽ

åñ (29.3)-ï àŽéëãæõâêâIJå,

x(t) = x 0 +

∫ t

∥ x(t)

∥ ∥ ≤

∥ ∥x0

∥ ∥ +

t 0

f(τ, x(τ)) dτ, t ∈ [t 0 , t ∗ ),

∫t

t 0

g(τ) ω ( ‖x(τ)‖ ) dτ. (29.5)

îŽáàŽê ω ŽîŽçèâIJŽáæŽ, îëàëîù 28.1 åâëîâéæáŽê øŽêï, ‖x(t)‖ Žî ŽôâéŽðâIJŽ


dt = g(t) ω(ρ), ρ(t 0) = ‖x 0 ‖ (29.6)

85


86

ŽéëùŽêæï äâᎠŽéëýïêŽï. âï Žîæï àŽêðëèâIJŽ àŽêùŽèâIJŽáæ ùãèŽáâIJæå Ꭰîëàëîù èâóùæŽ 21-äâ

ãêŽýâå, Žé ŽéëùŽêæï âîåŽáâîåæ, â.æ. äâᎠŽéëýïêŽù éëæùâéŽ òëîéñèæå

ïŽáŽù

[ ∫

ρ ∗ (t) = Φ −1

Φ(x) =

∫ x

‖x 0 ‖

t 0

t

]

g(τ) dτ , t ∈ [t 0 , t ∗ ),

ds

ω(s) ,

x ∈ [0, +∞).

öâãêæöêëå, îëé Žó øãâê ãæïŽîàâIJèâå (29.4)-æå. éŽîåèŽù, Žé ìæîëIJæï úŽèæå Φ −1 -æï àŽêïŽäôãîæï

Žîâ æóêâIJŽ [A, +∞), ïŽáŽù A = Φ(0) ≤ 0, Žïâ, îëé àŽîŽêðæîâIJñèæ ãŽîå, îëé gτ) dτ

t 0

îëùŽ t ∈ [t 0 , t ∗ ), éëýãáâIJŽ Φ −1 -æï àŽêïŽäôãîæï Žîâöæ.

28.1 åâëîâéæï úŽèæå àãŽóãï, îëé ‖x(t)‖ ≤ ρ ∗ (t) îëùŽ t ∈ [t 0 , t ∗ ). ŽóâáŽê åñ àŽãæåãŽèæïûæêâIJå,

îëé ρ ∗ ñûõãâðæŽ [t 0 , t ∗ )-äâ, éæãæôâIJå

lim ‖x(t)‖ ≤

t→t ρ∗ (t ∗ ) < +∞. (29.7)


éŽàîŽé éâëîâï éýîæã, 25.1 åâëîâéæï ìæîëIJâIJæáŽê x-åãæï ìæîãâèæ ᎠéâïŽéâ Žî ïîñèáâIJŽ. Žéæðëé

Žé åâëîâéæï úŽèæå ñêᎠàãóëêáâï lim ‖x(t)‖ = +∞, îŽù âûæꎎôéáâàâIJŽ (29.7)-ï. áŽéðçæùâIJŽ

áŽéåŽãîáŽ.

t→t ∗

ûîòæãæ ïæïðâéæï öâéåýãâãŽöæ f(t, x) = A(t) x + b(t), Žïâ îëé, åñ ŽôãêæöêŽãå g(t) =

max { ‖A(t)‖, b(t) } , ùýŽáæŽ àãâóêâIJŽ ‖f(t, x)‖ ≤ g(t)(1 + ‖x‖). Žó ω(s) = 1 + ρ, Žïâ îëé ûîòæãæ

ïæïðâéæïŽåãæï øãâêåãæï çŽîàŽá ùêëIJæèæ òŽóðæ Žé åâëîâéæáŽê ðîæãæŽèñîŽá àŽéëéáæêŽîâëIJï.

àŽîᎠŽéæïŽ öâãêæöêëå, îëé åñ åâëîâéŽöæ éæåæåâIJñèæ ìæîëIJâIJæ Žî ïîñèáâIJŽ, ïŽäëàŽáëá

åâëîâéæï áŽõãŽêŽ ïŽéŽîåèæŽêæ Žî æóêâIJŽ. Žéæï éŽîðæã éŽàŽèæåŽá àŽéëáàâIJŽ çëöæï ŽéëùŽêŽ

dx

dt = 1 + x2 , x(0) = 0.

Žé ŽéëùŽêæï ŽîŽàŽàîúâèâIJŽá ŽéëýïêŽï ûŽîéëŽáàâêï x = tg t, îëéâèæù àŽêïŽäôãîñèæŽ

∫ t


(

− π 2 ; π )

2

öñŽèâáöæ, éŽöæê îëùŽ àŽêðëèâIJæï éŽîþãâêŽ éýŽîâ àŽêïŽäôãîñèæŽ êâIJæïéæâî êŽéáãæè t − 2πåãæï.

ᎠIJëèëï éëãæõãŽêëå 29.1 åâëîâéæï ñòîë äëàŽáæ ãŽîæŽêðæ, îëéâèæù áŽéðçæùâIJŽöæ ŽîŽãæåŽî

ïâîæëäñè ùãèæèâIJâIJï Žî éëæåýëãï.

åâëîâéŽ 29.2. ãåóãŽå I × R n -äâ ïîñèáâIJŽ ∥ ∥ f(t, x)

∥ ∥ ≤ ω(t, ‖x‖) ñðëèëIJŽ, ïŽáŽù ω :

I × [0, +∞) → [0, +∞) ñûõãâðæ ᎠŽîŽçèâIJŽáæŽ éâëîâ Žîàñéâêðæï éæéŽîå. ŽéŽïåŽê


dt = ω(t, ρ), ρ(t 0) = ‖x 0 ‖. (29.8)

ŽéëùŽêæï éŽîþãêæã ŽîŽàŽàîúâèâIJŽáæ äâᎠŽéëýïêŽ àŽêïŽäôãîñèæŽ [t 0 , sup I)-äâ, ýëèë


dt = −ω(t, ρ), ρ(t 0) = ‖x 0 ‖ (29.9)

ŽéëùŽêæï éŽîùýêæã ŽîŽàŽàîúâèâIJŽáæ äâᎠŽéëýïêŽ àŽêïŽäôãîñèæŽ (inf I, t 0 ] öñŽèâáöæ. éŽöæê

(29.1), (29.2) ŽéëùŽêæï êâIJæïéæâîæ ŽîŽàŽàîúâèâIJŽáæ ŽéëýïêŽ àŽêïŽäôãîñèæŽ éåâè I öñŽèâáöæ.

Žó øãâê öâãêæöêŽãå éýëèëá, îëé (29.8) ŽéëùŽêæï öâïŽýâIJ éëùâéñèæ ìæîëIJŽ àŽéëæõâêâIJŽ sup I 0 <

sup I öâéåýãâãæïåãæï (æý. åâëîâéŽ 29.1), ýëèë (29.9) ŽéëùŽêæï öâïŽýâIJ éëùâéñèæ ìæîëIJŽ çæ

inf I 0 > inf I öâéåýãâãæïŽãæï.


èâóùæŽ 30.

çëöæï ŽéëùŽêæï çëîâóðñèëIJŽ

çëöæï ŽéëùŽêæï çëîâóðñèëIJæï öâïŽýâIJ ïŽçæåýæ æéŽãâ éæäâäæï àŽéë ûŽéëæüîâIJŽ, îŽù ûîòæãæ

ïæïðâéâIJæï áîëï àãóëêáŽ. ëôëêá ïýãŽêŽæîæ ïŽýâ âúèâãŽ.

àŽêãæýæèëå çëöæï ŽéëùŽêŽ

àŽîᎠŽéæïŽ ìŽîŽèâèñîŽá àŽêãæýæèŽãå Žïâå çëöæï ŽéëùŽêâIJïŽù

dx

= f(t, x),

dt

(30.1)

x(t 0 ) = x 0 . (30.2)

dx

dt = f k(t, x), (30.3)

x(t k ) = x 0k . (30.4)

Žó ãàñèæïýéëIJå, îëé f, f k ∈ C n (I × D), (t 0 , x 0 ) ⊂ I × D, (t 0 , x k ) ∈ I × D, I ⊂ R, D ⊂ R n ,

k = 1, 2, . . . .

áŽãñöãŽå, îëé åŽêŽIJîŽá I × D-öæ

áŽ

lim f k(t, x) = f(t, x) (30.5)

k→+∞

lim t k = t 0 , lim x 0 k

= x 0 . (30.6)

k→+∞ k→+∞

éŽöæê æïéæï ïŽçæåýæ, îëé áæáæ k-âIJæïåãæï âóêâIJŽ åñ ŽîŽ Žýèëï âîåéŽêâååŽê (30.1), (30.2) áŽ

(30.3), (30.4) ŽéëùŽêâIJæï ŽéëýïêâIJæ. äñïðŽá çëîâóðñèëIJæï öâïŽýâIJ åâëîâéŽ Žïâ øŽéëõŽèæIJáâIJŽ

åâëîâéŽ 30.1. ãåóãŽå (30.1), (30.2) ŽéëùŽêŽï àŽŽøêæŽ âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ x àŽêïŽäôãîñèæ

I 0 ⊂ I öñŽèâáöæ. éŽöæê (30.5) Ꭰ(30.6)-áŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï:

1) ŽîïâIJëIJï æïâåæ k 0 , îëé îëùŽ k > k 0 , (30.3), (30.4) ŽéëùŽêæï êâIJæïéæâîæ ŽîŽàŽàîúâèâIJŽáæ

Žéëýïêæï àŽêïŽäôãîæï öñŽèâáæ éëæùŽãï Žê âéåýãâ㎠I 0 -ï.

2) åñ x k Žîæï (30.3), (30.4) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ, àŽêïŽäôãîñèæ I 0 -öæ, éŽöæê åŽêŽIJîŽá I 0 -öæ

lim x k(t) = x(t). (30.7)

k→+∞

öâãêæöêëå, îëé Žó ŽîŽòâîæ Žî Žîæï éëåýëãêæèæ (30.3), (30.4) ŽéëùŽêæï Žéëýïêæï âîåŽáâîåëIJæï

öâïŽýâIJ. âï æéŽï êæöêŽãï, îëé Žî ñêᎠöâãŽîøæëå ïýãŽáŽïý㎠k-âIJæïŽåãæï, (30.3), (30.4) ŽéëùŽêæï

ŽéëýïêâIJæ, âïâêæ éŽæêù x-çâê éææïûîŽòæŽê.

áŽéðçæùâIJŽ. îŽáàŽê x(t) ∈ D, îëùŽ t ∈ I 0 ᎠI 0 çëéìŽóðñîæŽ, ýëèë D ô掎, êâIJæïéæâîæ

r 0 > 0-åãæï ŽîïâIJëIJï

D t = { x; ‖x(t) − x‖ < r 0

}

⊂ D, t ∈ I0 (30.8)

(r 0 âîåæŽ õãâèŽ t-åãæï ïûëîâá æéæðëé, îëé I 0 çëéìŽóðñîæŽ). øãâêæ éæäŽêæŽ ãŽøãâêëå, îëé

êâIJæïéæâîæ ε > 0-åãæï ŽîïâIJëIJï æïâåæ k 0 , îëé îëùŽ k ≥ k 0 , (30.3), (30.4) ŽéëùŽêæï êâIJæïéæâîæ

ŽîŽàŽàîúâèâIJŽáæ x k Žéëýïêæï àŽêïŽäôãîæï öñŽèâáæ éëæùŽãï I-ï ᎠŽéŽïåŽê

∥ xk (t) − x(t) ∥ ∥ < ε, t ∈ I0 . (30.9)

áŽãñöãŽå ïŽûæꎎôéáâàë. éŽöæê ŽîïâIJëIJï ε ∈ (0, r 0 ), éæéáâãîëIJŽ {k i }, éæéáâãîëIJâIJæ {a i }, {b i },

a i < b i Žàîâåãâ (30.3), (30.4) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽåŽ éæéáâãîëIJŽ {x ki }, æïâåæ îëé

∥ xki (t) − x(t) ∥ ∥ < ε, t ∈ (ai , b i ). (30.10)

ŽéŽïåŽê t ki ∈ (a i , b i ) ⊂ I 0 .

max {∥ ∥ xki (a i ) − x(a i ) ∥ ∥ ,

∥ ∥xki (b i ) − x(b i ) ∥ ∥ } = ε, (30.11)

87


88

åæåëâñèæ x ki ñûõãâðŽá àŽãŽàîúâèëå [a i , b i ]-æï àŽîâå I 0 -öæ, æïâ îëé áŽêŽîøâê öñŽèâáâIJöæ

éñáéæãæ æõëï. (30.10) ùýŽáæŽ, îëé {x ki } éæéáâãîëIJŽ æóêâIJŽ âîåëIJèæã öâéëïŽäôãîñèæ I 0 -äâ.

ãŽøãâêëå, îëé âï éæéáâãîëIJŽ Žîæï âîåëIJèæã ñûõãâðæù I 0 -äâ. Žôãêæöêëå

M = max { ‖f(t, x)‖ x ∈ D t , t ∈ I 0

}

.

(30.5)-æï àŽéë äëàŽáëIJæï öâñäôñáŽãŽá öâæúèâIJŽ ãæàñèæïýéëå, îëé


∥f(t, x) − f ki

(t, x) ∥ ∥ < 1, îëùŽ (t, x) ∈ I × D. (30.12)

éŽöæê (30.10), (30.12)-áŽê ᎠæóæáŽê îëé ε < r 0 , àãŽóãï

∥ f ki

(t, x ki (t)) ∥ ∥ ≤

∥ ∥f

ki

(t, x ki (t)) − f(t, x ki (t)) ∥ ∥ +

∥ ∥f

ki

(t)) ∥ ∥ ≤ M + 1

îëùŽ t ki ∈ [a i , b i ], i = 1, 2, . . . .

Žéæðëé


∥x ′ k i

(t) ∥ ∥ < M + 1 îëùŽ t ki ∈ [a i , b i ]

(IJëèëâIJäâ æàñèæïýéâIJŽ ùŽèéýîæãæ ûŽîéëâIJñèâIJæ). îŽáàŽê [a i , b i ]-æï àŽîâå x ki éñáéæãæŽ, ŽóâáŽê

ùýŽáæŽ {x ki } éæéáâãîëIJæï âîåëIJèæã ñûõãâðëIJŽ.

Žéæðëé ŽîùëèŽ-Žïçëèæï èâéæï úŽèæå, äëàŽáëIJæï öâñäôñáŽãŽá öâàãæúèæŽ ãæàñèæïýéëå,

îëé {x ki } åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáæŽ I 0 -öæ. Žïâãâ äëàŽáëIJæï öâñäôñáŽãŽá öâàãæúèæŽ ãæàñèæïýéëå,

îëé a i Ꭰb i -âIJæù çîŽIJŽáæŽ (îŽáàŽê æïæêæ öâéëïŽäôãîñèæŽ). Žôãêæöêëå

lim

i→+∞ x k i

(t) = x 0 (t),

t ∈ I 0 , lim i→∞ a i = a 0 , lim i→∞ b i = b 0 . åñ áŽãñöãâIJå, îëé a 0 = b 0 , éŽöæê ùýŽáæŽ a 0 = t 0 = b 0

ᎠàãâóêâIJëáŽ, îëé

lim x k i

(a i ) = lim x k i

(b i ) = x 0 = x(t 0 )

i→+∞ i→+∞

Ꭰx 0 (t 0 ) = x 0 . éâëîâï éýîæã çæ (30.11)-áŽê àãŽóãï ‖x i (t 0 )−x(t 0 )‖ = ε. éæôâIJñèæ ûæꎎôéáâàëIJŽ

àãæøãâêâIJï, îëé a 0 ≠ b 0 . Žéæðëé, îŽáàŽê a 0 ≤ b 0 , àãŽóãï a 0 < b 0 .

Žé öâéåýãâãŽöæ îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï t ∈ (a 0 , b 0 ),

x ki (t) = x 0 ki +

åñ Žé ðëèëIJŽöæ àŽáŽãŽèå äôãŽîäâ éæãæôâIJå, îëé

x 0 (t) = x 0 +

∫ t

∫ t

t ki

f ki

(τ, x ki (τ)) dτ.

t 0

f ki

(τ, x 0 (τ)) dτ, t ∈ (a 0 , b 0 ).

åŽêŽIJîŽá çîâIJŽáëIJæï àŽéë ŽóâáŽê øŽêï, îëé x 0 öâäôñá㎠(a 0 , b 0 )-äâ ûŽîéëŽáàâêï (30.1), (30.2)

ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽï. éŽàîŽé ìæîëIJæŽ úŽèæå Žé ŽéëùŽêŽï âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ Žóãï. Žéæðëé

x 0 (t) = x(t) îëùŽ t ∈ [a 0 , b 0 ].

(30.11)-áŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï, îëé

{

max ‖x(t) − xi (t)‖ } = ε

t

îëùŽ t ∈ [a 0 , b 0 ].

éæôâIJñèæ ûæꎎôéáâàëIJŽ ŽéðçæùâIJï (30.9)-ï. ýëèë îŽù öââýâIJŽ ìæîãâè éðçæùâIJŽï æàæ àŽéëéáæêŽîâëIJï

Žé ñðëèëIJæáŽê Ꭰ25.1 åâëîâéæáŽê.


89

èâóùæŽ 31.

çëöæï ŽéëùŽêæï Žéëýïêæï Žéëýïêæï ûŽîéëâIJŽáëIJŽ ìŽîŽéâðîæï éæéŽîå

Žó øãâê àŽêãæýæèŽãå çëöæï ŽéëùŽêŽï, îëéèæï éŽîþãâêŽ éýŽîâ áŽéëçæáâIJñèæŽ µ ãâóðëîñè

ìŽîŽéŽðîäâ (Žêñ, îŽù æàæã⎠îŽéáâêæéâ ïçŽèŽîñè ìŽîŽéâðîäâ)

dx

= f(t, x, µ),

dt

(31.1)

x(t 0 ) = x 0 . (31.2)

åñ õëãâèæ òæóïæîâIJñèæ µ-åãæï (31.1), (31.2) ŽéëùŽêŽï Žóãï âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ àŽêïŽäôãîñèæ

îëéâèæôŽù I 0 öñŽèâáöæ (îëéâèæù ïŽâîåëŽ õãâèŽ µ-åãæï), éŽöæê (31.1), (31.2) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ

öâæúèâIJŽ àŽêãæýæèëå îëàëîù ŽïŽý㎠x : I 0 × H → R n , ïŽáŽù H Žîæï µ-ï ùãŽèâIJŽáëIJæï Žîâ.

øãâêæ éæäŽêæ æóêâIJŽ àŽãŽîçãæëå, îëé åñ f Žîæï ûŽîéëâIJŽáæ µ-ï éæéŽîå, âóêâIJŽ åñ ŽîŽ Žïâåæãâ

åãæïâIJŽ x ŽïŽýãŽï.

ïŽêŽé úæîæåŽá åâëîâéŽï áŽãŽéðçæùâIJáâå, éëãæõãŽêëå Žïâåæ

èâéŽ 31.1 (ŽáŽéŽîæ). ãåóãŽå ϕ Žîæï G 1 × G 2 ↛ R ŽïŽýãŽ, ïŽáŽù G 1 ⊂ R m 1

ᎠG 2 ⊂

R m 2

ŽîââIJæŽ, ŽéŽïåŽê G 1 ŽéëäêâóæèæŽ. åñ àŽîᎠŽéæïŽ, ϕ òñêóùæŽï àŽŽøêæŽ ñûõãâðæ çâîúë

ûŽîéëâIJñèâIJæ p îæàŽéáâ øŽåãèæå ìæîãâèæ m 1 Žîàñéâêðæï éæéŽîå. éŽöæê ïŽéŽîåèæŽêæŽ öâéáâàæ

ûŽîéëáàâêŽ

ϕ(x 1 , . . . , x m1 ; z 1 , . . . , z m2 ) − ϕ(y 1 , . . . , y m1 ; z 1 , . . . , z m2 ) =

m∑

= l k (x 1 , . . . , x m1 ; y 1 , . . . , y m1 ; z 1 , . . . , z m2 )(x k − y k ), (31.3)

k=1

ïŽáŽù õëãâèæ l k Žîæï ŽïŽý㎠G 1 × G 1 × G 2 → R áŽ àŽŽøêæŽ ñûõãâðæ çâîúë ûŽîéëâIJñèâIJæ p-ï

îæàŽéáâ øŽåãèæå ìæîãâèæ 2m 1 2 Žîàñéâêðæï éæéŽîå.

áŽéðçæùâIJŽ. àŽãæýïâêëå, îëé G 1 Žîæï ŽéëäêâóæèëIJŽ êæöêŽãï æéŽï, îëé êâIJæïéæâî ëî x, y ∈

G 1 ãâóðëîåŽê âîåŽá æàæ öâæùŽãï éŽå öâéŽâîåâIJâè éëêŽçãâåïŽù. â.æ. îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï

t ∈ [0, 1]

t x + (1 − t)y ∈ G k .

Žéæðëé öâàãæúèæŽ êæñðëê-èŽæIJêæùæï òëîéñèæï úŽèæå áŽãûâîëå

=

m∑

k=1

=

{ ∫1

Žêñ åñ ŽôãêæöêŽãå

0

∫ 1

0

ϕ(x 1 , . . . , x m1 ; z 1 , . . . , z m2 ) − ϕ(y 1 , . . . , y m1 ; z 1 , . . . , z m2 ) =


dt

[

tx1 + (1 − t)y 1 , . . . , tx m1 + (1 − t)y m1 ; z 1 , . . . , z m1

]

dt =

}

∂ϕ [ ]

tx1 + (1 − t)y 1 , . . . , tx m1 + (1 − t)y m1 ; z 1 , . . . , z m1 dt (x k − y k ).

∂x k

∫ 1

l k (x 1 , . . . , x m1 ; y 1 , . . . , y m1 ; z 1 , . . . , z m2 )=

0

∂ϕ

∂x k

[

tx1 +(1−t)y 1 , . . . , tx m1 +(1−t)y m1 ; z 1 , . . . , z m1

]

dt

éæãæôâIJå ïûëîâá (31.3)-ï. îŽáàŽê ϕ-ï Žóãï ñûõãâðæ çâîúë ûŽîéëâIJñèâIJæ p îæàŽéáâ øŽåãèæå

ìæîãâèæ m 1 Žîàñéâêðæï éæéŽîå, ùýŽáæŽ, îëé l k -ï âóêâIJŽ ñûõãâðæ çâîúë ûŽîéëâIJñèâIJæ p îæàŽéáâ

øŽåãèæå ïŽçéŽîæïæŽ àŽãæýïâêëå ìŽîŽéâðîäâ áŽéëçæáâIJñèæ æêðâàîŽèæï ìŽîŽéâðîæå àŽûŽîéëâIJŽ.


90

öâêæöãêŽ. (31.13) ûŽîéëáàâêæáŽê ùýŽáæŽ, îëé ϕ(x 1 , . . . , x k , . . . , x m1 ; z 1 , . . . , z m2 ) −

ϕ(x 1 , . . . , y k , . . . x m1 ; z 1 , . . . , z m2 ) = l k (x 1 + . . . , x m1 ; y 1 , . . . y k , . . . , x m1 ; z k , . . . , z m1 (x k − y k ). åñ

Žé ðëèëIJæï ëîæãâ éýŽîâï àŽãõëòå (x k −y k )-äâ ᎠàŽáŽãŽèå äôãŽîäâ, îëùŽ y k → x k , éæãæôâIJå

l k (x 1 , . . . , x m ; x 1 , . . . , x m1 , z 1 , . . . , z m2 ) = ∂ϕ(x 1, . . . , x m1 , z 1 , . . . , z m2 )

∂x k

.

ŽáŽéŽîæï èâéŽ öâæúèâIJŽ àŽêäëàŽááâï æé öâéåýãâãŽöæ, îëùŽ àãŽóãï ŽîŽ éŽæêáŽéŽæêù êŽéáãæèæ

òñêóùæŽ, ŽîŽéâá ŽïŽý㎠êâIJæïéæâî àŽêäëéæèâIJæïê âãçèæáâï ïæãîùâöæ ᎠŽóâáŽê çæ èâéŽ éææôâIJŽ

îëàëîù çâîúë öâéåýãâãŽ. åñ ŽáŽéŽîæï èâéŽï ᎠöâêæöãêŽï àŽãæåãŽèæïûæêâIJå, ŽáãæèŽá áŽãîûéñêáâIJæå

öâéáâàæ öâáâàæï ïŽéŽîåèæŽêëIJŽöæ (øãâê Žó àŽáŽãŽèå ñòîë éëýâîýâIJñè ãâóðëîñèéŽðîæùñè

øŽûâîŽäâ).

öâáâàæ 31.2. åñ ϕ : G 1 × G 2 → R m 0

îŽæéâ ŽïŽý㎎, ïŽáŽù G j ⊂ R m 1

, G 2 ⊂ R m 2

ᎠG 1

ŽéëäêâóæèæŽ, ŽéŽïåŽê åñ ϕ-ï àŽŽøêæŽ ñûõãâðæ çâîúë ûŽîéëâIJñèâIJæ p îæàŽéáâ øŽåãèæå ìæîãâèæ

m 1 ùãèŽáæï éæéŽîå, éŽöæê ïŽéŽîåèæŽêæŽ ûŽîéëáàâêŽ ϕ(x; z) − vf(y; z) = L(x; y; z)(x − y),

ïŽáŽù L Žîæï m 2 × m 1 éŽðîæùæ, îëéèæï âèâéâêðâIJïŽù öâïŽIJŽéæïæ åãæïâIJâIJæ Žóãå. ŽéŽïåŽê

L(x, x, z) = ∂ϕ (x − z),

∂x

ïŽáŽù

∂ϕ

( ∂ϕ

∂x = , ∂ϕ , . . . ,

∂x 1 ∂x 2

Žîæï ϕ òñêóùææï æŽçëIJæï éŽðîæùæ.

ŽýèŽ øŽéëãŽõŽèæIJëå úæîæåŽáæ åâëîâéŽ.

∂ϕ

)

∂x m1

åâëîâéŽ 31.3. ãåóãŽå f : I × D × H → R n ñûõãâðæ ᎠöâéëïŽäôãîñèæŽ îŽôŽù I ⊂ R

öñŽèâáöæ, D ⊂ R n ᎠH ⊂ R m ŽîââIJæŽ áŽ ñçŽêŽïçêâèæ n + m Žîàñéâêðæï éæéŽîå àŽŽøêæŽ

ñûõãâðæ çâîúë ûŽîéëâIJñèâIJæ p îæàŽéáâ øŽåãèæå. éŽöæê îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï (t 0 , x 0 ) ∈

I × D, ŽîïâIJëIJï öñŽèâáæ [a, b] ⊂ I, t 0 ∈ [a, b] æïâåæ, îëé µ ∈ H-åãæï (31.1), (31.) ŽéëùŽêŽï

àŽŽøêæŽ x(·; µ) ŽéëýïêŽ àŽêïŽäôãîñèæ [a, b]-öæ, ŽéŽïåŽê Žé ŽéëýïêŽï, îëàëîù [a, b] × H Žîâöæ

àŽêïŽäôãîñè òñêóùæŽï âóêâIJŽ ñûõãâðæ çâîúë ûŽîéëâIJñèâIJæ p îæàŽéáâ øŽåãèæå m Žîàñéâêðæï

éæéŽîå.

áŽéðçæùâIJŽ. f-æï öâéëïŽäôãîñèëIJæï àŽéë ŽîïâIJëIJï æïâåæ µ éñáéæãæ, îëé

∥ f(t, x, µ)

∥ ∥ ≤ µ. (31.4)

îŽáàŽê x 0 ∈ D, ŽîïâIJëIJï æïâåæ r, îëé

D 0 = { x : ‖x − x 0 ‖ ≤ r } ⊂ D.

öâãŽîøæëå a Ꭰb æïâ, îëé [a, b] ⊂ I Ꭰmax{t 0 − a, b − t 0 } ≤ r µ

. éŽöæê, îëàëîù çëöæ-ìâŽêëï

åâëîâéæï áŽéðçæùâIJæáŽê øŽêï, Žé ŽéëùŽêŽï àŽŽøêæŽ ŽéëýïêŽ àŽêïŽäôãîñèæ [a, b]-öæ îëàëîæù

Žî ñêᎠæõëï µ ∈ H ([0, 1] âîåæ õãâèŽ µ-åãæï). ŽéŽïåŽê Žé Žéëýïêæï éêæöãêâèëIJŽ õëãâèæ t ∈

[a, b]-åãæï éæâçñåãêâIJŽ D 0 -ï. éâëîâï éýîæã, îŽáàŽê f-ï àŽŽøêæŽ ñûõãâðæ çâîúë ûŽîéëâIJñèâIJæ

ñçŽêŽïçêâèæ n+m Žîàñéâêðæï éæéŽîå, D Žîæï õëãâèæ óãâçëéìŽóðäâ áŽùñèæŽ èæòöæùæï ìæîëIJŽ

öñŽ H Žîàñéâêðæï éæéŽîå. Žéæðëé Žé ŽéëùŽêŽï Žóãï âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ.

ŽéîæàŽá øãâê ãŽøãâêâå, îëé õëãâèæ µ-åãæï (31.10), (31.2) ŽéëùŽêŽï Žóãï ŽéëýïêŽ x(·; µ) :

[a, b] → R n áŽ

x(t; µ) ∈ D 0 , t ∈ [a, b]. (31.5)

åñ àŽãæýïâêâIJå 30.1 åâëîâéæï çëöæï ŽéëùŽêŽï çëîâóðñèëIJæï öâïŽýâIJ, ŽáãæèŽá áŽãîûéñêáâIJæå,

îëé x : [a, b] × H → R n æóêâIJŽ ñûõãâðæ òñêóùæŽ. éŽîåèŽù x ñûõãââðæŽ t-ï éæéŽîå ᎠŽéæï

àŽéë åâëîâéæï àŽéë ñûõãâðæŽ µ-æï éæéŽîå åŽêŽIJîŽá t-ï éæéŽîå. ŽóâáŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï x-æï

ñûõãâðëIJŽ õãâèŽ Žîàñéâêðæï éæéŽîå. âîåëIJèæã ûŽîéëâIJŽáëIJæï áŽïŽéðçæùâIJèŽá Žéæï öâéáâà


äëàŽáëIJæï öâñäôñáŽãŽá öâæúèâIJŽ ãæàñèæïýéëå, îëé H ⊂ R îŽæéâ æêðâîãŽèæŽ áŽ µ êŽùãèŽá

áŽãûâîå µ-ï, îŽáàŽê éŽæêù çâîúë ûŽîéëâIJñèâIJæ ñêᎠàŽêãæýæèëå Ꭰâîåæ ìŽîŽéâðîæï àŽîáŽ

áŽêŽîøâêæï áŽòæóïæîâIJŽ éëàãæýáâIJŽ.

ãŽøãâêëå, îëé ŽéëýïêŽ ûŽîéëâIJŽáæŽ µ-ï éæéŽîå. Žãæôëå êâIJæïéæâîæ µ òæóïæîâIJñèæ H-áŽê áŽ

Žãæôëå ∆µ æêáâêŽá éùæðâ, îëé µ + ∆µ ∈ H. Žôãêæöêëå

éŽöæê (31.1) Ꭰ(31.2)-áŽê ùýŽáæŽ, îëé

áŽ

∆x(t, ∆µ) = x(t, µ + ∆µ) − x(t, µ).

d

dt ∆x(t, ∆µ) = f( t, x(t, µ + ∆µ), µ + δµ ) − f ( t, x(t, µ), µ ) (31.6)

∆ x(t 0 , ∆ µ) = 0. (31.7)

åñ éýâáãâèëIJŽöæ éæãæôâIJå áŽéŽîæï èâéæï 31.2 öâáâàï, îŽáàŽê D 0 × H ŽéëäêâóæèæŽ I × D 0 × H

Žîâäâ, ïŽéŽîåèæŽêæŽ ûŽîéëáàâêŽ

f(t, x, µ + ∆µ) − f(t, y, µ) = f(t, x, µ + ∆µ) − f(t, y, µ + ∆µ) + f(t, x, µ + ∆µ)−

−f(t, y, µ) = L(t, x, y, µ + ∆µ)(x − y) + l(t, y, µ + ∆µ, µ)∆),

ïŽáŽù L Žîæï n×n éŽðîæùæ, îëéèæï âèâéâêðâIJæ ûŽîéëŽáàâêâê I ×D 2 0 ×H → R n ŽïŽýãâIJï, Žóãå

ñûõãâðæ çâîúë ûŽîéëâIJñèâIJæ p îæàŽéáâ øŽåãèæå ñçŽêŽïçêâèæ 2n + 1 Žîàñéâêðæï éæéŽîå, ýëèë

l Žîæï n àŽêäëéæèâIJæŽêæ ãâóðëîæ, îëéèæï âèâéâêðâIJæŽ I × D 0 × H 2 ŽïŽýãâIJæ ᎠîëéèâIJïŽù

Žóãå ñûõãâðæ çâîúë ûŽîéëâIJñèâIJæ ñçŽêŽïçêâèæ n + 2 Žîàñéâêðæï éæéŽîå.

åñ Žé ûŽîéëáàâêæå ãæïŽîàâIJèâIJå, (31.6) Žïâ öâæúèâIJŽ àŽáŽãûâîëå

d

dt ∆x(t + ∆µ) = L∗ (t + ∆µ) ∆x(t + ∆µ) + l ∗ (t + ∆µ) ∆µ, (31.8)

ïŽáŽù L ∗ (t+∆µ) = L(t, x(t, µ+∆µ), x(t, µ), µ+∆µ), ýëèë l ∗ (t+∆µ) = l(t, x(t, µ), µ+∆µ), µ).

îŽáàŽê x-æï ñûõãâðëIJŽ [a, b] × H-öæ ñçãâ áŽéðçæùâIJñèæ àãŽóãï, L ∗ æóêâIJŽ ñûõãâðæ éŽðîæùæ,

îëéèæï âèâéâêðâIJæŽ [a, b] × H 0 → R ŽïŽýãâIJæ, ïŽáŽù H 0 Žîæï µ-ï ïŽçéŽîæïŽá éùæîâ éæáŽéë.

Žïâåæãâ àŽîâéëâIJŽï Žóãï Žáàæèæ l ∗ ãâóðëîæïåãæïŽù.

∆x(t + ∆µ)

ãåóãŽå ∆µ ≠ 0 Ꭰ∆µ ∈ H 0 . éŽöæê (31.8)-áŽê ùýŽáæŽ, îëé æóêâIJŽ öâéáâàæ

∆µ

ûîòæãæ ïæïðâéæï ŽéëýïêŽ

dy

dt = L∗ (t + ∆µ)y + l ∗ (t + ∆µ) (31.9)

y(t 0 ) = o (31.10)

ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ (31.7)-æï àŽéë.

éŽàîŽé, îëàëîù ñçãâ ãæùæå ûîòæã ïæïðâéŽåŽ åâëîææáŽê (31.9), (30.10) ŽéëùŽêŽï àŽŽøêæŽ

âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ, àŽêïŽäôãîñèæ [a, b]-öæ

y(t, ∆µ) =

∆x(t, ∆µ)

∆µ

, ïŽáŽù ∆µ ≠ 0.

éŽàîŽé, àŽêïýãŽãâIJæå Žé ðëèëIJæï éŽîþãâêŽ éýŽîæïŽ, Žé ðëèëIJæï éŽîùýâêŽ éýŽîâï Žäîæ Žóãï

éŽöæêŽù, îëùŽ ∆µ = 0, îŽáàŽê (31.9) ïæïðâéŽ Žé öâéåýãâãŽöæù àŽêïŽäôãîñèæŽ, éâëîâï éýîæã,

ûîòæãæ ïæïðâéâIJæïŽåãæï çëöæï ŽéëùŽêæï çëîâóðñèëIJæáŽê, æïâãâ îëàëîù äâãæå, ùýŽáæŽ, îëé

y Žîæï ñûõãâðæ ŽïŽý㎠[a, b] × H 0 → R. éŽöŽïŽáŽéâ,

∆x(t, ∆µ)

lim

∆µ→0 ∆µ

= y(t, 0)

91


92

åŽêŽIJîŽá t-ï éæéŽîå. Žéæå ûŽîéëâIJŽáëIJŽ µ ìŽîŽéâðîæï éæéŽîå áŽéðçæùâIJñèæŽ. ŽéîæàŽá

∂x(t, µ)

Žîæï öâéáâàæ àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽ

∂µ

ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ

∂y

∂t = L∗ (t, 0)y + l ∗ (t, 0) (31.11)

y(t 0 ) = o. (31.12)

éŽàîŽé, îëàëîù L ∗ Ꭰl ∗ -æï àŽêéŽîðâIJæáŽê øŽêï, L ∗ (t, 0) = L(t, x(t, µ), x(t, µ), µ), ýëèë

l ∗ (t, 0) = l(t, x(t, µ)µ, µ). 31.2 öâáâàæï åŽêŽýéŽá àãŽóãï

ýëèë

L(t, x, x, µ) =

∂f(t, x, µ)

∂x

∂f(t, x, µ)

l(t, x, µ, µ) = .

∂x

Žïâ, îëé (31.11) àŽêðëèâIJŽ Žïâ öâæúèâIJŽ àŽáŽæûâîëï

ŽéîæàŽá

∂x(t, µ)

∂µ

∂y

∂t

=

∂f(t, x(t, µ), µ)

∂x

y +

∂f(t, x(t, µ), µ)

∂µ

. (31.13)

ûŽîéëŽáàâêï (31.13), (31.12) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽï. îŽáàŽê x(t, µ) åãæåëê ñûõãâðæŽ,

(31.13) àŽêðëèâIJæï çëâòæùæâêðâIJæù ñûõãâðæ æóêâIJŽ, Žïâ îëé éæïæ y(t, µ) =

∂x(t, µ)

∂µ

ŽéëýïêŽù ñûõãâðæ æóêâIJŽ. â.æ. x ñûõãâðŽá ûŽîéëâIJŽáæŽ µ ìŽîŽéâðîæï éæéŽîå.

ŽéîæàŽá øãâê åâëîâéŽ áŽãŽéðçæùâå, îëùŽ p = 1. êâIJæïéæâîæ p-åãæï åâëîâéŽ áŽéðçæùáâIJŽ

æêáñóùææå. éŽîåèŽù, ãåóãŽå áŽéðçæùâIJñèæŽ (p − 1)-åãæï. éŽöæê ∂x -åãæï çãèŽã ïŽéŽîåèæŽêæŽ

∂µ

(31.13) ûŽîéëáàâêŽ. îëàëîù Žáãæèæ éæïŽýãâáîæŽ, Žé àŽêðëèâIJæï éŽîþãâêŽ éýŽîâï y Ꭰµ-

ï éæéŽîå àŽŽøêæŽ p − 1 îæàŽéáâ øŽåãèæå ñûõãâðæ çâîúë ûŽîéëâIJñèâIJæ. Žïâ îëé, æêáñóùææï

áŽöãâIJæï úŽèæå ∂x -ï àŽŽøêæŽ p−1 îæàæï ñûõãâðæ ûŽîéëâIJñèæ µ-ï éæéŽîå. åâëîâéŽ áŽéðçæùáŽ.

∂µ


öâêæöãêŽ. øãâê àŽêãæýæèâå öâéåýãââŽ, îëùŽ ïŽûõæïæ éêæöãêâèëIJâIJæ áŽéëçæáâIJñèæ Žî Žîæï

ìŽîŽéâðîâIJäâ. öâéåýãâãŽ, îëùŽ ïŽûõæïæ éêæöãêâèëIJâIJæ áŽéëçæáâIJñèæŽ ìŽîŽéâðîâIJäâ, áŽæõãŽêâIJŽ

Žáîâ àŽêýæèñèäâ. éŽîåèŽù, ãåóãŽå àãŽóãï Žïâåæ ŽéëùŽêŽ

åñ éëãŽýáâêå àŽîáŽóéêŽï

dx

dt

éŽöæê øãâêæ ŽéëùŽêŽ éææôâIJï ïŽýâï

= f(t, x, µ), x(t

τ = t − t µ

y = x − x µ

0, µ) = x(µ).

dy

dτ = f( τ + tµ, y + xµ, µ ) , y(t 0 ) = o.

âï çæ àŽêýæèñèæ ðæìæï ŽéëùŽêŽŽ. Žïâ îëé, Žé öâéåýãâãŽöæù öâæúèâIJŽ 31.3 åâëîâéæï ïŽîàâIJèëIJŽ,

ëôëêá ùýŽáæŽ Žó áŽàãüæîáâIJŽ áŽéŽðâIJæåæ éëåýëãêâIJæ f-æï ûŽîéëâIJŽáëIJæï öâïŽýâIJ t-ï éæéŽîå

Ꭰt Ꭰx-ï µ-äâ áŽéëçæáâIJñèâIJæï öâïŽýâIJ.


àŽêãæýæèëå ŽéëùŽêŽ

èâóùæŽ 32.

çëöæï ŽéëùŽêæï éáàîŽáëIJŽ èæŽìñêëãæï Žäîæå

dx

= f(t, x),

dt

(32.1)

x(t 0 ) = c 0 , (32.2)

ïŽáŽù ãàñèæïýéëIJå, îëé f Žîæï ñûõãâðæ ŽïŽý㎠[t 0 , +∞) × D → R n , D ⊂ R n ŽîâŽ, c 0 ∈ D.

Žôãêæöêëå, îëé Žó éåŽãŽîæŽ ŽîŽ æï, îëé éŽîþãâêŽ äëèæ Žîæï +∞, ŽîŽéâá æï, îëé f-åãæï

åŽãæï àŽêïŽäôãîæï Žîæï öñŽèâáæï âîåâîå IJëèëäâ àŽŽøêæŽ àŽêïŽçñåîâIJñèëIJŽ áŽéëñçæáâIJâèæ

ùãèŽáæï éæéŽîå, â.æ. ñûõãâðëIJŽ æîôãâãŽ. âï àŽêïŽçñåîâIJñèëIJŽ çæ ùãèŽáæï àŽîáŽóéêæå öâàãæúèæŽ

+∞-öæ àŽáŽãæðŽêëå. ïýãŽêŽæîŽá îëé ãåóãŽå, èæŽìñêëãæï åâëîæŽ éáàîŽáëIJæï öâïŽýâIJ

âï Žîæï çëöæï ŽéëùŽêæï çëîâóðñèëIJŽ æé öâéåýãâãæïŽðãæï, îëùŽ öñŽèâáæï âîåâîå IJëèëöæ f-ï

Žóãï àŽêïŽçñåîâIJñèëIJŽ t-ï éæéŽîå.

àŽêïŽäôãîâIJŽ 32.1. ãåóãŽå x 0 Žîæï (32.1), (32.2) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ, àŽêïŽäôãîñèæ [t 0 , +∞)

öñŽèâáäâ. ãæðõãæå, îëé x ŽéëýïêŽ éáàîŽáæŽ èæŽìñêëãæï Žäîæå, åñ õëãâèæ áŽáâIJæåæ ε-åãæï

ŽîïâIJëIJï æïâåæ δ > 0, îëé îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï (32.1) ïæïðâéæï ŽéëýïêŽ x, éŽîþãêæã

ŽîŽàŽàîúâèâIJŽáæ, îëéâèæù ŽçéŽõëòæèâIJï ìæîëIJŽï ∥ ∥ x(t0 ) − x 0 (t 0 ) ∥ ∥ ≤ δ. Žéæïåãæï öâïîñèáâIJŽ

öâéáâàæ ëîæ ìæîëIJŽ

1) x àŽêïŽäôãîñèæ æóêâIJŽ éåèæŽêŽá [t 0 , +∞) öñŽèâáöæ,

2) ‖x(t) − x 0 (t)‖ ≤ ε îëùŽ t ≥ t 0 .

àŽêïŽäôãîâIJŽ 32.2. (32.1), (32.2) ŽéëùŽêæï x 0 ŽéëýïêŽï àŽêïŽäôãîñèï [0, +∞) öñŽèâáöæ,

âûëáâIJŽ ŽïæéìðëðñîŽá éáàîŽáæ, åñ æàæ éáàîŽáæŽ èæŽìñêëãæï Žäîæå ᎠŽéŽï àŽîᎠéæëúâIJêâIJŽ

æïâåæ η > 0, îëé (32.1) ïæïðâéæï õëãâèæ x ŽéëýïêæïŽåãæï îëéâèæù ŽçéŽõëòæèâIJï ìæîëIJŽï

‖x(t 0 ) − x 0 (t 0 )‖ ≤ η, ïîñèáâIJŽ öâéáâàæ ëîæ ìæîëIJŽ

1) x àŽêïŽäôãîñèæŽ [t 0 , +∞)-äâ,

2) lim

t→+∞ ‖x(t) − x 0(t)‖ = 0.

æïâãâ îëàëîù ûîòæãæ ïæïðâéæï öâéåýãâãŽöæ, ŽóŽù àŽêéŽîðâIJæå åŽêŽIJîŽá éáàîŽáëIJŽ âï

æïâåæ éáàîŽáëIJŽŽ, îëùŽ éëùâéñèæ ε-åãæï öâæúèâIJŽ öâæîøâï âîåæ Ꭰæàæãâ îëàëîæù Žî ñêáŽ

æõëï t ∗ > t 0 . êâIJæïéæâîæ Žéëýïêæï éáàîŽáëIJæï ïŽçæåýæ öâæúèâIJŽ áŽãæõãŽêëå îŽæéâ ïæïðâéæï

ðîæãæŽèñîæ Žéëýïêæï éáàîŽáëIJæï ïŽçæåýŽéáâ. éŽîåèŽù, åñ x 0 Žîæï (32.1)-æï ŽéëýïêŽ áŽ

éëãŽýáâêå àŽîáŽóéêŽï y = x − x 0 (t), éæãæôâIJå

dy

dt = f(t, x 0(t) + y) − x ′ 0(t), (32.1 ′ )

y(t 0 ) = 0. (32.2 ′ )

ŽéŽïáåŽê (32.1), (32.2) ŽéëùŽêæï x − 0 ŽéëýïêŽ àŽáŽãŽ (32.1 ′ ), (32.2 ′ ) ŽéëùŽêæï ðîæãæŽèñî

ŽéëýïêŽöæ, ýëèë Žé ïæïðâéæï öâïŽIJŽéæïæ ŽéëêŽýïêâIJï öëîæï ïýãŽëIJŽ âîåæ ᎠæàæãâŽ. Žïâ îëé,

øãâê åŽãæáŽêãâ öâàãæúèæŽ ãæàñèæïýéëå, îëé (32.1) ïæïðâéŽï àŽŽøêæŽ ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ áŽ

ãæèŽìŽîŽçëå éæï éáàîŽáëIJŽäâ ŽéŽ åñ æé Žäîæå. â.æ. ãæàñèæïýéëå, îëé f(t, o) = o îëùŽ t ≥ t 0 .

åñ áŽãñöãâIJå, îëé f Žîæï ñûõãâðŽá áæòâîâêùæîâIJŽáæ x-æï éæéŽîå, éŽöæê àãâóêâIJŽ Žïâåæ

ûŽîéëáàâêŽ,

f(tr, x) = P(t) x + q(t, x),

ïŽáŽù q êâIJæïéæâîæ òæóïæîâIJñèæ t-åãæï ᎎçéŽõëòæèâIJï

q(t, x)

lim

x→o ‖x‖ = 0

93


94

ìæîëIJŽï. Žéæðëé IJñêâIJîæãæŽ, îëé àŽêãæýæèëå Žïâåæ ïæïðâéâIJæ

dx

= P(t) x + q(t, x), (32.3)

dt

ïŽáŽù P Žîæï [t 0 , +∞)-öæ àŽêïŽäôãîñèæ n × n ñûõãâðæ éŽðîæùæ, ýëèë q Žîæï ñûõãâðæ ŽïŽýãŽ

[t 0 , +∞) × D → R n ïŽáŽù D-ï óãâö ãàñèæïýéëIJå D = {x ∈ R n : ‖x‖ ≤ r} Žîâï. ñìæîãâèâï

õëãèæïŽ àŽêãæýæèëå öâéåýãâãŽ, îëùŽ P éñáéæãæŽ.

dx

= P(t) x + q(t, x), (32.4)

dt

åâëîâéŽ 32.3. åñ P éŽðîæùæï ïŽçñåîæãæ éêæöãêâèëIJæï êŽéáãæèæ êŽûæèâIJæ ñŽîõëòæåâIJæŽ,

ýëèë q åŽêŽIJîŽá t-ï éæéŽîå ŽçéŽõëòæèâIJï ìæîëIJŽï

‖q(t, x)‖

lim

x→o ‖x‖

= 0. (32.5)

éŽöæê (32.4) ïæïðâéæï ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ ŽïæéìðëðñîŽá éáàîŽáæŽ èæŽìñêëãæï Žäîæå.

áŽéðçæùâIJŽ. ñìæîãâèâï õëãèæïŽ Žôãêæöêëå, îëé (32.5) ìæîëIJæï úŽèæå q(t, o) = o îëùŽ t ∈

[t 0 , +∞), Žïâ îëé (32.4) ïæðâéŽï Žóãï ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ. àŽêãæýæèëå ûîòæãæ âîåàãŽîëãŽêæ

ïæïðâéŽ

dy

= P y. (32.6)

dt

ãåóãŽå C(t, τ) Žé ïæïðâéæï çëöæï éŽðîæùæŽ, îŽáàŽê (32.6) éñáéæãçëâòæùæâêðâIJæŽêæŽ, ãæùæå,

îëé C(t, τ) = Y (t) ïŽáŽù Y Žîæï (32.6) ïæïðâéæï òñêáŽéâêðŽèñîæ éŽðîæùæ êëîéæîâIJñèæ

ìæîëIJæå Y (0) = E.

10.1 öâáâàöæ êŽøãâêâIJæ àãóëêáŽ, îëé ïŽéŽîåèæŽêæŽ öâòŽïâIJŽ

‖y(t)‖ ≤ c 0 (1 + t) n 0−1 e σt , t ≥ 0, (32.7)

ïŽáŽù c 0 = const, n 0 Žîæï P − λE éŽðîæùæï âèâéâêðŽîñèæ àŽéõëòâIJæï îæàâIJï öëîæï éŽóïæéŽèñîæ,

ýëèë σ çæ P éŽðîæùæï ïŽçñåîæãæ éêæöãêIJâèëIJâIJæï êŽéáãæè êŽûæèâIJï öëîæï éŽóïæéñéæ.

åâëîâéæï ìæîëIJæáŽê σ < 0, Žéæðëé (32.7)-áŽê ùýŽáæŽ æïâåæ σ ∗ -ï ŽîïâIJëIJŽ, îëé

‖y(t)‖ ≤ c ∗ e −σ∗t , t ≥ 0

ïŽáŽù c ∗ çãèŽã îŽôŽù áŽáâIJæåæ éñáéæãæŽ. çâîúëá öâæúèâIJŽ Žãæôëå σ ∗ = − σ . ŽóâáŽê ùýŽáæŽ

2

‖C(t, τ)‖ ≤ c ∗ e −σ∗ (t−τ) , t ≥ τ ≥ 0. (32.8)

(32.5)-æï åŽêŽýéŽá ŽîïâIJëIJï æïâåæ ε 0 ∈ (0, r), îëé


∥ q(t, x) σ ∗


‖x‖ (32.9)

2c∗ îëùŽ t ≥ t 0 Ꭰ‖x‖ ≤ ε 0 .

øãâêæ éæäŽêæŽ ãŽøãâêëå, îëé æàæ éáàîŽáæŽ. Žãæôëå êâIJæïéæâîæ ε ∈ (0, ε 0 ) ᎠãåóãŽå δ =

ε

. ãŽøãâêëå, îëé δ ŽçéŽõëòæèâIJï éáàîŽáëIJæï àŽêéŽîðâIJŽöæ éëùâéñè ìæîëIJâIJï. â.æ. ñêáŽ

2c∗ öâïîñèáâï öâéáâàæ ëîæ ìæîëIJŽ: îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï (32.4)-æï ŽéëýïêŽ x, æïâåæ, îëé

‖x(t 0 )‖ < δ

1) x àŽêïŽäôãîñèæ æóêâIJŽ [t 0 , +∞) öñŽèâáöæ,

2) ‖x(t)‖ < ε îëùŽ t ≥ t 0 .

áŽãñöãŽå ïŽûæꎎôéáâàë. â.æ. ãåóãŽå áŽîôãâñèæŽ 1) Žê 2) ìæîëIJŽ. éŽöæê àŽàîúâèâIJŽáëIJæï

öâïŽýâIJ 25.1 åâëîâéæï àŽéë ùýŽáæŽ, îëé ëîæãâ öâéåýãâãŽöæ ŽîïâIJëIJï æïâåæ t ε > t 0 Ꭰx,

àŽêïŽäôãîñèæ [t 0 , t ε ] öñŽèâáöæ, îëé

áŽ

‖x(t)‖ < ε îëùŽ t ∈ [t 0 , t ε ) (32.10)

‖x(t ε )‖ = ε. (32.11)


x òñêóùæŽ [t 0 , t ε ] öñŽèâáöæ ŽçéŽõëòæèâIJï ìæîëIJŽï x ′ (t) = P x(t) + q(t, x(t)), Žéæðëé çëöæï

òëîéñèæï àŽéë

x(t) = C(t, t 0 ) x(t 0 ) +

∫ t

t 0

C(t, τ) q(τ, x(τ)) dτ.

ŽóâáŽê (32.8) Ꭰ(32.9)-æï àŽéë Ꭰæéæï àŽéë, îëé ‖x(t 0 )‖ < δ (c ∗ æéáâêŽá áæáæ öâàãæúèæŽ

Žãæôëå, îëé àãóëêáâï δ =

ε < ε) àãŽóãï

2c∗ ŽóâáŽê çæ

‖x(t)‖ ≤ δc ∗ e −σ∗ (t−t 0 ) + σ∗

2

e σ∗ (t−t 0 ) ‖x(t)‖ ≤ δc ∗ + σ∗

2

∫ t

t 0

∫ t

t 0

e −σ∗ (t−τ) ‖x(τ)‖ dτ.

e σ∗ (τ−t 0 ) ‖x(τ)‖ dτ.

àîëêñëè-IJâèéŽêæï èâéæï àŽéë ‖x(t)‖ e σ∗ (t−t 0 ) ≤ δc ∗ e σ∗

2 (t−t 0) . Žêñ

‖x(t)‖ ≤ ε 2 e σ∗

2 (t−t 0) , t ∈ [t 0 , t ε ]. (32.12)

çâîúëá, ‖x(t ε )‖ < ε îŽù âûæꎎôéáâàâIJŽ (32.11)-ï. ŽéîæàŽá, (32.4) ïæïðâéæï ðîæãæŽèñîæ

2

ŽéëýïêŽ éáàîŽáæŽ. ŽïæéìðëðñîŽá éáàîŽáëIJæï áŽïŽéðçæùâIJèŽá ïŽçéŽîæïæŽ, îëé åñ ŽãæôâIJå

δ = ε 0

2c , äâéëåéëõãŽêæèæ éïþâèëIJæáŽê àŽéëéáæêŽîâëIJï, îëé åñ ‖x(t 0)‖ < δ, éŽöæê


‖x(t)‖ ≤ ε 2

e−

σ∗

2 (t−t 0)

ïŽæáŽêŽù lim ‖x(t)‖ = 0. áŽéðçæùâIJŽ áŽïîñèáŽ.


t→+∞

öâêæöãêŽ. ñêᎠŽôæêæöêëï, îëé øãâêæ åâëîâéæï ìæîëIJâIJöæ ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ åŽêŽIJîŽá

éáàîŽáæùŽŽ, îŽáàŽê éŽîåŽèæŽ (32.12) öâòŽïâIJŽöæ t 0 éëêŽûæèâëIJï, éŽàîŽé öâéáâà éåâè âóïìëêâêðŽï

ãùãèæå 1-æå Ꭰt 0 ŽîŽãæåŽî îëèï Žî åŽéŽöëIJï. ŽéŽïåŽê, δ-ù t 0 -äâ Žî Žîæï áŽéëçæáâIJñèæ.

Žáàæèæ Žóãï öâéáâà åâëîâéŽï ŽîŽéáàîŽáëIJæï öâïŽýâIJ.

åâëîâéŽ 32.4 (èæŽìñêëãæ). åñ P éŽðîæùæï ïŽçñåîæãæ éêæöãêâèëIJâIJæáŽê âîåæï éŽæêù

êŽéáãæèæ êŽûæèæ áŽáâIJæåæŽ áŽ åŽêŽIJîŽá t-ï éæéŽîå ïîñèáâIJŽ (32.5) ìæîëIJŽ, éŽöæê (32.4)

ïæïðâéæï ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ ŽîŽéáàîŽáæŽ èæŽìñêëãæï Žäîæå.

ŽéîæàŽá, îëàëîù 32.1 Ꭰ32.2 åâëîâéâIJæ àãæøãâêâIJâê, ïŽçæåýæ (32.6) ïæïðâéæï ðîæãæŽèñîæ

ŽéëêŽýïêæï éáàîŽáëIJæï öâïŽýâIJ ùŽèïŽýŽá àŽêæïŽäôãîâIJŽ (32.6( ïæïðâéæï éáàîŽáëIJæå Žê ŽîŽéáàîŽáëIJæå,

åñ P éŽðîæùæï éŽýŽïæŽåâIJâè îæùýãâIJæï êŽéáãæè êŽûæèâIJï öëîæï éŽóïæéñéæ Žî

Žîæï êñèæ. åñ êñèæï ðëèæŽ âï éŽóïæéñéæ, éŽöæê àãŽóãï ïŽâüãë öâéåýãâãŽ. ŽéŽï éëûéëIJï öâéáâàæ

éŽàŽèæåæ. ãåóãŽå n = 1. Žé öâéåýãâãŽöæ ùýŽáæŽ ñêᎠàãóëêáâï p = 0 ᎠàãâóêâIJŽ dx

dt = 0

àŽêðëèâIJŽ, îëéâèæù ùýŽáæŽ åŽêŽIJîŽá éáàîŽáæŽ. ŽýèŽ àŽêãæýæèëå dx

dt = x2 àŽêðëèâIJŽ.

ãåóãŽå t 0 > 0. Žé àŽêðëèâIJæï ŽîŽðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ x(t 0 ) = x 0 (x 0 ≠ 0)

éëæùâéŽ òëîéñèæå

1

x(t) =

1

x 0

+ t 0 − t .

95


96

ŽóâáŽê øŽêï, îëé åñ x 0 > 0, éŽöæê îŽëáâê éùæîâù Žî ñêᎠæõëï æàæ, ŽéëýïêŽ t 0 + 1 x 0

ûâîðæèäâ

ñïŽïîñèë ûõãâðŽï àŽêæùáæï ᎠõëãâèàãŽî éáàîŽáëIJŽäâ èŽìŽîŽçæ äâáéâðæŽ. ŽéŽïåŽê lim

x =

0.

ŽýèŽ áŽãñIJîñêáâå äëàŽá öâéåýãâãŽï. â.æ. (32.3) ïæïðâéŽï. ŽóŽù àŽêãæýæèëå éæïæ öâïŽIJŽéæïæ

âîåàãŽîëãŽêæ ïæïðâéŽ

dx

= P(t) x (32.13)

dt

ᎠC(t, τ)-æå Žôãêæöêëå éæïæ çëöæï éŽðîæùæ. 32.1 åâëîâéæï ŽêŽèëàæñîŽá áŽéðçæùáâIJŽ öâéáâàæ

x→0

x 2

åâëîâéŽ 32.5. ãåóãŽå ŽîïâIJëIJï æïâåæ áŽáâIJæåæ éñáéæãæ µ Ꭰñûõãâðæ òñêóùæŽ σ :

[t 0 , +∞) → (0, +∞), îëé (32.15) çëöæï éŽðîæùæïŽåãæï ïŽéŽîåèæŽêæëŽ öâòŽïâIJŽ


∥ C(t, τ) ≤ µ e

− ∫ t

τ σ(s)ds (32.14)

ᎠåŽêŽIJîŽá [t 0 , +∞)-öæ

‖q(t, x)‖

lim = 0. (32.15)

x→o σ(t)‖x‖

éŽöæê (32.3)-æï ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ åŽêŽIJîŽá éáàîŽáæŽ çæŽìñêëãæï Žäîæå, ýëèë Žéæï àŽîáŽ

∫+∞

t 0

σ(s) ds = +∞ (32.16)

éŽöæê ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ ŽïæéìðëðñîŽá éáàîŽáæ æóêâIJŽ.

Žôãêæöêëô, îëé âï åâëîâéŽ 32.1 åâëîâéæï àŽêäëàŽáëâIJŽï ûŽîéëŽáàâêï, îŽáàŽê æï éææôâIJŽ

îëùŽ σ(s) ≡ σ ∗ .

öâáâàæ 32.6. ãåóãŽå ŽîïâIJëIJï ñûõãâðæ σ : [t 0 , +∞) → (0, +∞) òñêóùæŽ æïâåæ, îëé

(

P(t) x, x

)

≤ −σ(t)(x, x), t ≥ t0

ᎠàŽîᎠŽéæïŽ åŽêŽIJîŽá [t 0 , +∞)-öæ áŽùñèæŽ (32.15) ìæîëIJŽ. éŽöæê ïŽéŽîåèæŽêæŽ 32.3-æï

áŽïçãêŽ.

áŽéðçæùâIJŽ. ïŽçéŽîæïæŽ ãŽøãâêëå (32.14) ìæîëIJæï öâïîñèâIJŽ. ŽéæïŽåãæï éæãéŽîåëå ãŽíâãïçæï

19.1 åâëîâéŽï. Žéåâëîâéæï úŽèæå (32.13) ïæïðâéæï êâIJæïéæâîæ ŽéëýïêæïŽåãæï


∥ x(t) ∥ε ≤ ∥ x(τ0 ) ∥ ε

e − ∫ t

τ σ(s)ds .

C(t, τ) çëöæï éŽðîæùæï ïãâðâIJæ Žôãêæöêëå C 1 (t, τ), . . . , C n (t, τ)-åæ. åæåëâñèæ éŽåàŽêæ (32.13)

ïãâðâIJæï Žéëýïꎎ êâIJæïéæâîæ òæóïæîâIJñèæ τ-åãæï. Žïâ îëé


n∑

∥ C(t, τ) ∥ε ≤ ∥ Ci (t, τ) ∥ n∑

∥ ε

≤ ∥ C(τ, τ) ∥ε e − ∫ t

τ σ(s)ds = e − ∫ t

i=1

i=1

τ σ(s)ds .

çëöæï éŽðîæùæï ùêëIJæèæ åãæïâIJæï àŽéë, îŽáàŽê êëîéâIJæ âçãæãŽèâêðñîæŽ, Žéæå áŽéðçæùâIJŽ

áŽïîñèáŽ.


èâóùæŽ 33.

ïŽïŽäôãîë ŽéëùŽêâIJæ ûîòæã áæòâîâêùæŽèñî àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéâIJæïŽåãæï

àŽêãæýæèëå ûîòæã áæòâîâêùæŽèñî àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéŽ

ïŽáŽù P ∈ C n×n (I), q ∈ C n (I).

dx

dt

= P(t) x + q(t), (33.1)


àŽêãæýæèëå Žïâåæ ŽïŽý㎠l : C n (I) → R n . Žé ŽïŽýãŽï ãñûëáëå ûîòæãæ ëìâîŽðëîæ, åñ

êâIJæïéæâîæ x, y ∈ C n (I)-åãæï Ꭰα, β êŽéáãæè îæùýãâIJæïŽåãæï ïŽéŽîåèæŽêæŽ ðëèëIJŽ

l(α x + β y) = α l(x) + β l(y).

ûîòæã ëìâîŽðëîåŽ éŽàŽèæåâIJæŽ

1) l(x) = A t 0 , ïŽáŽù t 0 ∈ I ýëèë A êâIJæïéæâîæ éñáéæãæ éŽðîæùŽŽ,

2) l(x) = x(t 0 ) − x(t 1 ), t 0 ∈ I, t 1 ∈ I,

3) l(x) = ∫ A(τ) x(τ) dτ.

I

(33.1) ïæïðâéæïŽåãæï ûîòæãæ ïŽïŽäôãîë ŽéëùŽêŽ æïéæï Žïâ: ãæìëãëå (33.1) ïæïðâéæï æïâåæ

ŽéëýïêŽ x, îëéâèæù ᎎçéŽõëòæèâIJï ìæîëIJŽï

l(x) = r, (33.2)

ïŽáŽù l ûîòæãæ ëìâîŽðëîæŽ, ýëèë r ∈ R n éñáéæãæŽ. æé çâîúë öâéåýãâãŽöæ, îëùŽ l(x) = x(t 0 ),

àãâóêâIJŽ çëöæï ŽéëùŽêŽ.

åâëîâéŽ 33.1. ãåóãŽå P ∈ C n×n (I). éŽöæê æéæïŽåãæï, îëé (33.1), (33.2) ŽéëùŽêŽ ùŽèïŽýŽá

ŽéëýïêŽáæ æõëï êâIJæïéæâîæ q ∈ C n (I) Ꭰr ∈ R n -åãæï ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé

âîåàãŽîëãŽê ŽéëùŽêŽï ßóëêáâï éýëèëá ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ.

dx

dt = P(t) x, (10 )

l(x) = 0 (2 0 )

áŽéðçæùâIJŽ. ãåóãŽå C Žîæï (33.1 0 ) çëöæï éŽðîæùæ. ãåóãŽå t 0 ∈ I ᎠX(t) = C(t, t 0 ).

ùýŽáæŽ, îëé îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï γ ∈ R n ãâóðëîæ, àãŽóãï X γ ∈ C n (I). Žéæðëé öâàãæúèæŽ

öâéëãæôëå ûîòæãæ ëìâîŽðëîæ ˜l : R n → R n , îëéâèæù àŽêïŽäôãîñèæ æóêâIJŽ öâéáâàêŽæîŽá

˜l(γ) = l(X γ), γ ∈ R n .

îëàëîù ùêëIJæèæŽ, õëãâèæ ûîòæãæ ëìâîŽðëîæ R n -áŽê R n -öæ ûŽîéëáàâIJŽ Žïâ ˜l(γ) = L γ,

γ ∈ R n , ïŽáŽù L Žîæï n × n éñáéæãæ éŽðîæùŽ. Žéæðëé Žáàæèæ Žóãï ûŽîéëáàâêŽï

l(X γ) = L γ. (33.3)

ŽýèŽ ãŽøãâêëå åâëîâéæï ìæîëIJæï ïŽçéŽîæïëIJŽ. ŽéæïŽåãæï þâî ãŽøãâêëå, îëé åñ (33.1 0 ), (33.2 0 )

ŽéëùŽêŽï Žóãï éýëèëá ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ, éŽöæê det L ≠ 0. éŽîåèŽù, ãåóãŽå det L ≡ 0. éŽöæê

ùýŽáæŽ êâIJæïéæâîæ γ ≠ 0 îëé L γ = 0.

àŽêãæýæèëå ãâóðëî òñêóùæŽ x(t) = X(t) γ.

âîåæï éýîæã æàæ (33.1 0 )-æï Žéëýïꎎ, éâëîâï éýîæã çæ (33.3)-æï àŽéë Ꭰγ-æï öâîøâãæï àŽéë

ŽçéŽõëòæèâIJï (33.2 0 ) ìæîëIJŽï. éæãæôâIJå, îëé (33.1 0 ), (33.2 0 ) ŽéëùŽêŽï Žóãï ŽîŽðîæãæŽèñîæ

ŽéëýïêŽ. îŽù öâñúèâIJâèæŽ. ŽéîæàŽá

det L ≠ 0. (33.4)

ŽýèŽ ãåóãŽå x Žîæï (33.1), (33.2)-ï êâIJæïéæâîæ ŽéëýïêŽ. çëöæï òëîéñèæï úŽèæå, àãŽóãï

x(t) = X(t) γ +

∫ t

t 0

C(t, τ) q(τ) dτ. (33.5)

Žïâ ûŽîéëáàâIJŽ (33.1)-æï êâIJæïéæâîæ ŽéëýïêŽ. ŽéëãýïêŽå ïŽïŽäôãîë ŽéëùŽêŽ. âï êæöêŽãï, îëé

γ öâãŽîøæëå æïâ, îëé (33.5)-æå àŽãïŽäôãîñèéŽ x òñêóùæŽé ᎎçéŽõëòæèëï (33.2). Žôãêæöêëå

∫ t

t 0

C(t, τ) q(τ) dτ = q 0 (t). ŽéîæàŽá x(t) = X(t) γ + q 0 (t). éëãáëå ëîæãâ éýŽîâï l ëìâîŽðëîæ.

(33.3)-æï àŽéë àãŽóãï

l(x) = L γ + l(q 0 ).

97


98

ŽéîæàŽá (33.1) (33.2)-æï ŽéëýïêŽáëIJæï ïŽçæåýæ ðëèòŽïæŽ öâéáâàæ

L γ + l(q) = r (33.6)

éŽðîæùñè-ãâóðëîñèæ àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽáëIJæï ïŽçæåýæïŽ. âï çæ ùŽèïŽýŽá ŽéëýïêŽáæŽ γ-æï

éæéŽîå (33.4) ìæîëIJæï àŽéë

γ = L −1 (r − l(q 0 )). (33.7)

ïŽçéŽîæïëIJŽ áŽéðçæùáŽ. ñòîë äñïðŽá øãâê ãŽøãâêâå, îëé îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï r Ꭰq ∈

C n (I), åñ (33.1 0 ), (33.2 0 ) Žóãå éýëèëá ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ, éŽöæê (33.1), (33.2)-ïŽù âóêâIJŽ

âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ, îëéâèæù éëæùâéŽ òëîéñèæå

x(t) = X(t) L −1 (r − l(q 0 )) +

∫ t

t 0

C(t, τ) q(τ) dτ, (33.8)

ïŽáŽù X, L, q 0 äâéëå àŽêïŽäôãîñèæŽ.

ŽñùæèâIJèëIJæï ïŽøãâêâIJèŽá öâãêæöêëå, îëé îëàëîù äâéëåéëõãŽêæèæ éïþâèëIJæáŽê øŽêï,

(33.1), (33.2)-æï ùŽèïŽýŽá ŽéëýïêŽáëIJæïŽåãæï ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ (33.6) àŽêðëèâIJæï

ùŽèïŽýŽá ŽéëýïêŽáëIJŽ, Žïâ îëé åñ (33.1 0 ), (33.2 0 )-ï Žóãï ŽîŽðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ y, æï Žïâ

ûŽîéëáàâIJŽ y(t) = X(t) γ ïŽáŽù γ ≠ 0. ŽóâáŽê çæ øŽêï îëé Lγ = o Ꭰâ.æ. det L = 0

îŽáàŽê γ ≠ 0. Žéæï àŽéë çæ r öâàãæúèæŽ æïâ öâãŽîøæëå, îëé (33.6)-ï ŽéëýïêŽ Žî ßóëêáâï.

â.æ. éæãæôâå, îëé (33.1), (33.2) ŽéëùŽêŽï r-æï àŽîçãâñèŽá öâîøâãæïŽï ŽéëýïêŽ Žî Žóãï. îŽù

ìæîëIJŽï âûæꎎôéáâàâIJŽ åâëîâéŽ áŽéðçæùáŽ.


àŽêãæýæèëå Žïâåæ àŽêðëèâIJŽ

èâóùæŽ 34.

ëîûâîðæèëãŽêæ ïŽïŽäôãîë ŽéëùŽêŽ éâëîâ îæàæï

ûîòæãæ áæòâîâêùæŽèñîæ àŽêðëèâIJæïŽåãæï

ᎠáŽãïãŽå ëîûâîðæèëãŽêæ ïŽïŽäôãîë ŽéëùŽêŽ

u ′′ + p 1 (t) u + p 2 (t) u ′ = q(t) (34.1)

u(a) = α, u(b) = β. (34.2)

ãæàñèæïýéëå, îëé p 1 , p 2 , q ∈ C([a, b]).

ñìæîãâèâï õëãèæïŽ öâãêæöêëå, îëé àŽêðëèâIJæïåãæï ïŽïŽäôãîë ŽéëùŽêŽ àãâïéæï îëàëîù

éæïæ öâïŽIJŽéæïæ ûîòæãæ ïæïðâéâIJæïŽåãæï áŽïéñèæ ïŽïŽäôãîë ŽéëùŽêŽ. áŽãîûéñêáâå, îëé øãâêæ

ŽéëùŽêŽ éŽîåèŽù ïŽïŽäôãîë ŽéëùŽêŽŽ. ŽéæïŽåãëæï ïŽçéŽîæïæŽ Žôãêæöêëå,

(

îëé

)

øãâêï

(

öâéåýãâãŽöæ

)

ûîòæã ëìâîŽðëîï, îëéâèæù C 2 ([a, b])-áŽê R 2 x1 x1 (a)

-öæ éëóéâáâIJï Žïâåæ ïŽýâ l = ýëèë

x 2 x 2 (b)

(

α

åãæå ŽéëùŽêŽ(34.1) àŽêðëèâIJæï öâïŽIJŽéæïæ ïæïðâéæïŽåãæï áŽæïéâIJŽ Žïâ lx) = .

β)

åñ l ëìâîŽðëîæï ïŽýâï àŽãæåãŽèæïûæêâIJå, ŽáãæèŽá àŽéëãæõãŽêå öâáâàï øãâêï çâîúë öâéåýãâãæïŽåãæï.

åâëîâéŽ 34.1. æéæïŽåãæï, îëé (34.1), (34.2) ŽéëùŽêŽ æõëï ùŽèáŽýŽá ŽéëýïêŽáæ êâIJæïéæâîæ

α, β ∈ R Ꭰq ∈ C([a, b])-åãæï ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé

ŽéëùŽêŽï ßóëêáâï éýëèëá ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ.

u ′′ + p 1 (t) u + p 2 (t) u ′ = 0, (34.1 0 )

u(a) = u(b) = 0 (34.2 0 )

áŽéðçæùâIJŽ. øãâêæ éæäŽêæ æóêâIJŽ àŽãŽîçãæëå îëàëîæ ïŽýâ âóêâIJŽ Žé öâéåýãâãŽöæ (34.1), (34.2)

ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽï.


ïŽçéŽîæïëIJŽ. ŽéîæàŽá øãâê ãàñèæïýéëIJå, îëé (34.1 0 ), (34.2 0 ) ŽéëùŽêŽï Žóãï éýëèëá ðîæãæ-

Žèñîæ ŽéëýïêŽ. u 1 -æå Žôãêæöêëå (34.1 0 )-æï ŽéëýïêŽ ïŽûõæïæ ìæîëIJâIJæå

ýëèë u 2 -æå ŽéŽãâ àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽ ïŽûõæïæ ìæîëIJâIJæå

u 1 (a) = 0, u ′ 1(a) = 1, (34.3)

u 2 (b) = 0 u ′ 2(b) = 1. (34.4)

îŽáàŽê âîåàãŽîëãŽê ŽéëùŽêŽï Žóãï éýëèëá ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ, Žéæðëé u 1 Ꭰu 2 ûîòæãŽá

áŽéëñçæáâIJâèæŽ. éŽîåèŽù, ûîòæãŽá áŽéëçæáâIJñèêæ îëé æõãêâê, àãâóêâIJëᎠãåóãŽå u 1 = λ u 2

ᎠîŽáàŽê u 2 (b) = 0 éæãæåâIJáæå, îëé u 1 (b) = 0, â.æ. éæãæôâIJáæå (34.1 0 ), (34.2 0 ) u 1 ŽéëùŽêŽï

Žóãï ŽîŽðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ. ŽéîæàŽá u 1 Ꭰu 2 óéêæŽê (34.1 0 )-æï ŽéëýïêŽåŽ òñêáŽéâêðŽèñî

ïæïðâéŽï. ãŽøãâêëå, îëé (34.1 0 ) çëöæï òñêóùæŽ Žïâ ûŽîéëáàâIJŽ

c(t, τ) = u 1(t) u 2 (τ) − u 2 (t) u 1 (τ)

u 2 (a)

e ∫ τ

a p 2(s) ds

(Žó ãæõâêâIJå æéŽï, îëé u 2 (a) ≠ 0, (34.1 0 ), (34.2 0 ) ŽéëùŽêæï Žéëýïêæï âîåŽáâîåëIJæï àŽéë).

∂c(τ, τ)

ŽêæïŽåãæï ñêᎠãŽøãâêëå, îëé c(τ, τ) = 0, îŽù ùýŽáæŽ áŽ = 1. éŽàîŽé

∂t

∂c(τ, τ)

∂t

= u′ 1(τ) u 2 (τ) − u ′ 2(τ) u 1 (τ)

u 2 (a)

e ∫ τ

a p 2(s) ds = − w(τ)

u 2 (a) e∫ τ

a p 2(s) ds ,

99

(34.5)

ïŽáŽù w Žîæï u 1 , u 2 òñêóùæâIJæï ãîëêïçæï áâðâîéæêŽêðæ. èæñãæè-ëïðîëàîŽáïçæï òëîéñèæå

Žïâ îëé

w(τ) = w(a) e − ∫ τ

a p 2(s) ds ,

∂c(τ, τ)

∂t

= − w(a)

u 2 (a) .

éŽàîŽé (34.3) ìæîëIJâIJæï àŽéë w(a) = −u 2 (a), Žïâ îëé ∂c (τ, τ) = 1. (34.5) áŽéðçæùáŽ.

∂t

îëàëîù ùêëIJæèæŽ (34.1) àŽêðëèâIJæï êâIJæïéæâîæ ŽéëýïêŽ Žïâ ûŽîéëáàâIJŽ

u(t) = λ u 1 (t) + β u 2 (t) +

∫ t

a

c(t, τ) q(τ) dτ, (34.6)

ïŽáŽù λ Ꭰβ êâIJæïéæâîæ éñáéæãâIJæŽ. λ Ꭰβ àŽêæïŽäôãîâIJŽ (34.2)-áŽê. çâîúëá (34.6)-öæ öâãæðŽêå

þâî a-ï, öâéáâà b-ï. éæãæôâIJå

β =

α

u 2 (a) , Ꭰλ = β

u 1 (b) − intb ac(b, τ) q(τ) dτ

.

u 1 (b)

æéæïŽåãæï îëé u-é ᎎçéŽõëòæèëï (34.2), ŽñùæèâIJâèæ ᎠïŽçéŽîæïæŽ, îëé β Ꭰγ àŽêæïŽäôãîëï

Žïâ. â.æ. (34.1), (34.2) ïŽïŽäôãîë ŽéëùŽêŽï àŽŽøêæŽ âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ áŽ éëùâéñèæŽ (34.6)-æå.

Žïâ îëé (34.6) Žïâ öâàãæúèæŽ àŽáŽãûâîëå

ïŽáŽù

u(t) =

β

u 1 (b) u 1(t) +

α ∫ b

u 2 (a) u 2(t) + G(t, τ) q(τ) dτ, (34.7)

a


⎪⎨ c(t, τ) − c(b, τ) u 1(t)

, τ ≤ t,

G(t, τ) =

u 1 (b)

⎪⎩ −c(b, τ) u (34.8)

1(t)

u 1 (b) , τ > t.


100

τ Ꭰt æùãèâIJæŽê [a, b] ïâàéâêðäâ. (34.7)-ï ïŽéŽîåèæŽêëIJŽöæ áŽïŽîûéñêâIJèŽá ïŽçéŽîæïæŽ öâãêæöêëå,

îëé

∫ b

a

G(t, τ) q(τ) dτ =

=

=

∫ t

a

∫ t

a

∫ t

a

G(t, τ) q(τ) dτ +

c(t, τ) q(τ) dτ −

∫ b

t

∫ b

∫ b

c(t, τ) q(τ) dτ − u 1 (t)

a

G(t, τ) q(τ) dτ =

c(b, τ) u 1 (t) q(τ)

u 1 (b)

a

c(b, τ) q(τ) dτ

u 1 (b)

dτ −

.

∫ b

t

c(b, τ) u 1 (t) q(τ)

u 1 (b)

dτ =

åñ áŽãŽçãæîáâIJæå, áŽãæêŽýŽãå, îëé λ Ꭰβ-æï éêæöãêâèëIJŽåŽ (34.6)-öæ øŽïéæï öâáâàŽá ïûëîâá

Žïâåæ àŽéëïŽýñèâIJŽ éææôâIJŽ. G-ï âûëáâIJŽ (34.1 0 ), (34.2 0 ) ŽéëùŽêæï àîæêæï òñêóùæŽ. (34.5)-áŽê

ùýŽáæŽ, îëé

C(b, τ) = u 1(b) u 2 (τ)

e ∫ τ

a p 2(s) ds .

u 2 (a)

Žéæï àŽåãŽèæïûæêâIJæå, (34.8) Žïâ àŽáŽæûâîâIJŽ


⎪⎨ − u 1(τ) u 2 (t)

e ∫ τ

a p2(s)ds , τ ≤ t,

u 1 (a)

G(t, τ) =

⎪⎩ − u 2(τ) u 1 (t)

u 2 (a)

e ∫ τ

a p 2(s)ds , τ > t.

(34.9)

(34.9)-áŽê ùýŽáæŽ, îëé àîæêæï òñêóùæŽï Žóãï åãæïâIJâIJæ:

1) õëãâèæ òæóïæîâIJñèæ τ-åãæï (a, b)-áŽê æàæ ûŽîéëŽáàâêï (34.1 0 )-æï ŽéëýïêŽï [a, τ] Ꭰ[τ, b]

öñŽèâáöæ Žïâå ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ

G(b, τ) = G(a, τ) = 0. (34.10)

2) G ñûõãâðæŽ [ab] × [ab] çãŽáîŽðöæ. éŽï Žóãï ñûõãâðæ çâîúë ûŽîéëâIJñèæ t-åæ õãâèàŽê àŽîáŽ

çãŽáîŽðæï áæŽàëêŽèæïŽ áŽ ŽçéŽõëòæèâIJï ìæîëIJŽï

∂G ∂G

(τ+, τ) −

∂t ∂t (τ−, τ) = u′ 1(τ) u 2 (τ) − u 1 (τ) u ′ 2(τ)

e ∫ τ

a p 2(s) ds = 1. (34.11)

u 2 (a)

öâãêæöêëå, îëé 1) Ꭰ2) åãæïâIJâIJæ ùŽèïŽýŽá àŽêïŽäôãîŽãï àîæêæï òñêóùæŽï. â.æ. öâàãâúèë

åŽãæáŽêãâ éæï àŽêéŽîðâIJŽá âï åãæïâIJâIJæ éæàãâôë. éŽîåèŽù, ãåóãŽå G ŽçéŽõëòæèâIJï Žé ëî

ìæîëIJŽï. éŽöæê 1) åãæïâIJæï úŽèæå æàæ Žïâ ûŽîéëáàâIJŽ

{

a 1 (τ) u 1 (t) + a 2 (τ) u 2 (t), t ≥ τ,

G(t, τ) =

b 1 (τ) u 1 (t) + b 2 (τ) u 2 (t), t < τ.

åñ a 1 , a 2 , b 1 , b 2 çëâòæùæâêðâIJï àŽêãïŽäôãîŽãå (34.10), (34.11) ìæîëIJâIJæï àŽåãŽèæïûæêâIJæå éæãæôâIJå

ïûëîâá (34.9) òëîéñèŽï. éŽîåèŽù, (34.10) àãŽúèâãï a 1 (τ) = b 1 (τ) = 0-ï ñûõãâðëIJæï

àŽéë Ꭰ(34.11)-æï úŽèæå àãŽóãï

b 1 (τ) u 1 (τ) + a 2 (τ) u 2 (τ) = 0,

b 1 (τ) u ′ 1(τ) + a 2 (τ) u ′ 2(τ) = −1.

Žé ïæïðâéæï áâðâîéæêŽêðæŽ −w(τ) = u 2 (a) e − ∫ τ

a p 2(s) ds ïŽæáŽêŽù çîŽéâîæï òëîéñèâIJæå éæãæôâIJå

b 1 (τ) = −u 2(τ)

u 2 (a) e∫ τ

a p 2(s) ds ,

a 2 (τ) = −u 1(τ)

u 2 (a) e∫ τ

a p 2(s) ds .


îŽù ïûëîâá (34.9) òëîéñèâIJï àãŽúèâãï.

ŽéàãŽîŽá øãâê áŽãŽéðçæùâå

åâëîâéŽ 34.2. åñ (34.1 0 ), (34.2 0 ) ŽéëùŽêŽï Žóãï éýëèëá ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ, éŽöæê

êâIJæïéæâîæ α, β ∈ R Ꭰq ∈ C([a, b])-åãæï (34.1), (34.2) ŽéëùŽêŽï Žóãï âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ,

îëéâèæëù éëæùâéŽ (34.7)-æå, ïŽáŽù G Žîæï (34.1 0 ), (34.2 0 ) ŽéëùŽêæï àîæêæï òñêóùæŽ. àîæêæï

òñêóùæŽ ûŽîéëáàâIJŽ (34.9) òëîéñèæå ᎠùŽèïŽýŽá àŽêæïŽäôãîâIJŽ äâéëåøŽéëåãèæèæ ëîæ

ìæîëIJŽ.

ŽéàãŽîŽá, åñ (34.2 0 ), (34.2 0 ) ŽéëùŽêŽï Žóãï éýëèëá ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ, ãæùæå (34.1),

(34.2) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ. âýèŽ æïéæï ïŽçæåýæ, îëé ãæìëãëå âòâóðñîæ ìæîëIJâIJæ âîåàãŽîëãŽêæ

ïŽïŽäôãîë ŽéëùŽêæï ùŽèïŽýŽá ŽéëýïêŽáëIJæïŽåãæï. äëàŽáëIJæï öâñäôñáŽãŽá öâàãæúèæŽ ãæàñèæïýéëå,

îëé àŽêðëèâIJŽ Žî öâæùŽãï ûŽîéëâIJñèï. éŽîåèŽù àŽéëåãèâIJæå ŽáãæèŽá áŽãîûéñêáâIJæå,

îëé àŽîáŽóéêŽ

u(t) = v(t) e − 1 ∫ t

2 a p 2(τ) dτ

(34.1 0 )-ï éææõãŽêï ïŽýâäâ

(

v ′′ + p 1 (t) − 1 2 p′ 2(t) − p2 (t)

)

v = 0.

−1

ëôëêá Žó ùýŽáæŽ æàñèæïýéâIJŽ, îëé p 2 ñûõãâðŽá ûŽîéëâIJŽáæŽ. Žïâ, îëé öâàãæúèæŽ öâéëãæòŽîàèëå

u ′′ + g(t) u = 0 (34.12)

ïŽýæï àŽêðëèâIJâIJæå, ïŽáŽù ãàñèæïýéëIJå, îëé g ∈ C([a, b]). àŽîᎠŽéæïŽ (34.12)-åãæï àãŽóãï

ïŽïŽäôãîë ŽéëùŽêŽ

u(a) = u(b) = 0. (34.13)

Žáàæèæ Žóãï éêæöãêâèëãŽê åâëîâéŽï

åâëîâéŽ 34.3 (öðñîéæ). ãåóãŽå

h ∈ C([a, b]) Ꭰh(t) ≥ g(t), t ∈ [a, b]. (34.14)

ãåóãŽå, àŽîᎠŽéæïŽ u Žîæï (34.12)-æï ŽîŽðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ áŽ

u(t 1 ) = u(t 2 ) = 0, t 1 < t 2 . (34.15)

éŽöæê îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï

v ′′ + h(t) v = 0 (34.16)

àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽ v, öâïîñèáâIJŽ âîåâîåæ öâéáâàæ ëîæ ìæîëIJæáŽê

1) v(t 1 ) = v(t 2 ) = 0,

2) ŽîïâIJëIJï æïâåæ t 0 ∈ (t 1 , t 2 ), îëé v(t 0 ) = 0.

ŽéŽïåŽê åñ (34.14) ñðëèëIJŽ âîå ûâîðæèöæ éŽæêù ïîñèáâIJŽ éçŽùîŽá, éŽöæê ŽñùæèâIJèŽá

öâïîñèáâIJŽ éâëîâ (åñéùŽ ìæîãâèæ Žî Žîæï àŽéëîæùýñèæ).

áŽéðçæùâIJŽ. äëàŽáëIJæï öâñäôñáŽãŽá öâæúèâIJŽ ãæàñèæïýéëå, îëé t 1 Ꭰt 2 ŽîæŽê u-ï éâäë-

IJâèæ êñèâIJæ áŽ

u(t) > 0 îëùŽ t 1 < t < t 2 . (34.17)

áŽãñöãŽå, îëé åâëîâéŽ Žî Žîæï ïŽéŽîåèæŽêæ, éŽöæê ŽîïâIJëIJï (34.18)-æï ŽéëýïêŽ v æïâåæ, îëé

u(t) > 0 îëùŽ t ∈ (t 1 , t 2 ) (34.18)

Ꭰv(t 1 ) + v(t 2 ) > 0.

äëàŽáëIJæï öâñäôñáŽãŽá ãæàñèæïýéëå, îëé v(t 1 ) > 0. (34.16)-æï ëîæãâ éýŽîâ àŽãŽéîŽãèëå

u-äâ, (34.12)-æï çæ v ᎠàŽéëãŽçèëå âîåéŽêâåï. éŽöæê

Žêñ

v ′′ (t) u(t) − u ′′ (t) v(t) + [h(t) − g(t)]u(t) v(t) = 0,

d [

v ′ (t) u(t) − u ′ (t) v(t) ] + [ h(t) − g(t) ] u(t) v(t) = 0.

dt

101


102

ãŽæêðâàîëå Žé ðëèëIJæï ëîæãâ éýŽîâ t 1 -áŽê t 2 -éáâ ᎠàŽãæåãŽèæïûæêëå (34.15), éæãæôâIJå

u ′ (t 1 ) v(t 1 ) − u ′ (t 2 ) v(t 2 ) +

∫ t 2

t 1

[h(t) − g(t)]u(t) v(t) dt = 0. (34.19)

(34.19)-öæ æêðâàîŽèñîæ ûâãîæ ŽîŽñŽîõëòæåæŽ (34.14), (34.17) Ꭰ(34.18)-æï àŽéë. (34.15) áŽ

(34.17)-áŽê àŽéëáæï, îëé

u ′ (t 1 ) > 0, u ′ (t 2 ) < 0. (34.20)

éŽîåèŽù, âîåæï éýîæã ùýŽáæŽ, îëé u ′ (t 1 ) ≥ 0, ýëèë u ′ (t 1 ) = 0 Žî öâæúèâIJŽ îŽáàŽê u(t 0 ) = 0

ìæîëIJæïŽ áŽ âîåŽáâîåëIJæï àŽéë u ðîæãæŽèñîæ àŽéëãæáëáŽ, îŽù âûæꎎôéáâàâIJŽ ìæîëIJŽï.

ŽêŽèëàæñîŽá áŽéðçæùáâIJŽ, îëé u ′ (t 2 ) < 0. ŽéŽï àŽîáŽ, u(t 2 ) ≥ 0, ýëèë v(t 1 ) > 0 áŽöãâIJæï

àŽéëõëãâèæãâ ŽóâáŽê Ꭰ(34.20)-áŽê øŽêï, îëé (34.19)-öæ éŽîùýêæã àãŽóãï áŽáâIJæåæ îæùýãæ,

ýëèë éŽîþãêæã êñèæ. éæãæôâå ûæꎎôéáâàëIJŽ.

ŽýèŽ áŽãŽéðçëùëå åâëîâéæï éâëîâ êŽûæèæ. ãåóãŽå (34.14) âîå ûâîðæèöæ éŽæêù éçŽùîŽá

ïîñèáâIJŽ, ᎠáŽãñöãŽå, îëé åâëîâéæï éâëîâ áŽïçãêŽï Žáàæèæ Žî Žóãï. éŽöæê àãâóêâIJŽ v(t) > 0

îëùŽ t ∈ (t 1 , t 2 ), v(t 1 ) ≥ 0, v(t 2 ) ≥ 0, Ꭰ(34.19)-öæéŽîþãâêŽ éýŽîâ áŽáâIJæåæ àŽéë㎠ñçãâ

æêðâàîŽèñîæ ûâãîæï éçŽùîŽá áŽáâIJæåëIJæï ýŽîþäâ. éæãæôâå ûæꎎôéáâàëIJŽ.


Žé åâëîâéæáŽê àŽéëáæï ïŽæêðâîâïë

öâáâàæ 34.4. åñ u 1 Ꭰu 2 ŽîæŽê (34.12) àŽêðëèâIJæï ûîòæãŽá áŽéëñçæáâIJâèæ ŽéëêŽýïêâIJæ,

éŽöæê u 1 -æï ëî éâäëIJâè êñèï öëîæï éëåŽãïáâIJŽ u 2 -æï äñïðŽá âîåæ êñèæ.

áŽéðçæùâIJŽ. éŽîåèŽù, Žãæôëå 34.3 åâëîâéŽöæ h(t) ≡ g(t). éŽöæê åâëîâéæï úŽèæåñêáŽ

éëýáâï ëîöæ âîåæ. u 1 Ꭰu 2 -ï Žé ûâîðæèâIJöæ ïŽâîåë êñèâIJæ ñêᎠŽôéëŽøêáâï, Žê u 2 -ï ñêáŽ

ßóëêáâï êñèæ u 1 -æï êñèâIJæï öæàêæå. â.æ. éçŽùîŽá æêðâîãŽèöæ. ìæîãâèæ öâéåýãâ㎠àŽéëîæùýñèæŽ,

îŽáàŽê Žé öâéåýãâãŽöæ u 1 Ꭰu 2 -æï ãîëêïçæï áâðâîéæêŽêðæ âîå ûâîðæèöæ êñèæï ðëèæ àŽéëãæáŽ,

îŽù âûæꎎôéáâàâIJŽ u 1 Ꭰu 2 -æï ûîòæã áŽéëñçæáâIJèëIJŽï. ŽéàãŽîŽá, u 1 -æï ëî éâäëIJâè êñèï

öëîæï éëåŽãïáâIJŽ u 2 -æï âîåæ éŽæêù êñèæ. Žïâåæ êñèæ îëé ëîæ æõëï, éŽöæê ìæîæóæå, éŽå öëîæï

ñêᎠéëåŽãïáâï u 1 -ï êñèæ. îŽù öâñúèâIJâèæŽ, îŽáàŽê åŽãæáŽê u 1 -ï éâäëIJâèæ êñèâIJæ Žãæôâå.


öðñîéæï åâëîâéŽ æúèâ㎠(34.12), 34.13) ŽéëùŽêæï ùŽèïŽýŽá ŽéëýïêŽáëIJæï âîå âòâóðñî

ïŽçéŽîæï ìæîëIJŽï..

åâëîâéŽ 34.5. ãåóãŽå

g(t) ≤

π2

, t ∈ [a, b], (34.21)

(b − a)

2

k 2 π 2

(b − a) ≤ g(t) ≤ (k + 1)2 π 2

, t ∈ [a, b], (34.22)

2 (b − a) 2

ïŽáŽù k âîåâîåæŽ 1, 2, . . . îæùýãâIJæáŽê. ŽéŽïåŽê õãâèàŽê âîå ûâîðæèöæ éŽæêù àãŽóãï éçŽùîæ

ñðëèëIJŽ. éŽöæê (34.12), (34.13) ŽéëùŽêŽï Žóãï éýëèëá ðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ.

áŽéðçæùâIJŽ. I. éŽîåèŽù, ãåóãŽå þâî áŽùñèæŽ (34.21) ìæîëIJŽ. áŽãñöãŽå îëé (34.12),

(34.13) ŽéëùŽêŽï Žóãï ŽîŽðîæãæŽèñîæ ŽéëýïêŽ u j . àŽêãæýæèëå àŽêðëèâIJŽ

u ′′ +

π2

(b − a) 2 u = 0.

π(t − a)

Žé àŽêðëèâIJŽï àŽŽøêæŽ Žïâåæ ŽéëýïêŽ u 0 (t) = sin . îŽáàŽê u(a) = u(b) = 0, öðñîéæï

b − a

åâëîâéæï úŽèæå u 0 -ï (a, b) æêðâîãŽèöæ ñêᎠßóëêáâï êñèæ, îŽù îëàëîù Žáãæèæ öâïŽéëûéâIJâèæŽ,

Žïâ Žî Žîæï.


II. ŽýèŽ ãåóãŽå ïîñèáâIJŽ (34.22). áŽãñöãŽå ŽîŽðîãæŽèñîæ u Žéëýïêæï ŽîïâIJëIJŽ. àŽêãæýæèëå

àŽêðëèâIJâIJæ

u ′′ + k2 π 2

(b − a) u = 0 (34.23)

2

áŽ

u ′′ + (k + 1)2 π 2

u = 0. (34.24)

(b − a) 2

kπ(t − a)

(34.23)-ï Žóãï ŽéëýïêŽ u 1 (t) = sin

b − a , ýëèë (34.24)-ï ŽéëýïêŽ u (k + 1)π(t − a)

2(t) = sin .

b − a

u 1 -ï [a, b] ïâàéâêðäâ Žóãï (k + 1) êñèæ c i = a + i(b−a) ûâîðæèâIJöæ (i = 0, . . . , k), ýëèë u

k

2 -ï Žóãï

k + 2 êñèæ d i = a + i(b−a) (i = 0, . . . , k + 1) ûâîðæèâIJöæ. àîŽòæçñèŽá Žïâåæ ïæðñŽù掎

k+1

103

Žó ŽôâIJñèæŽ k = 4.

(

öðñîéæï åâëîâéæï àŽéë a, a + b − a )

æêðâîãŽèöæ u-ï ñêᎠßóëêáâï êñèæ, éŽàîŽé âï êñèæ

(

k

Žî öâæúèâIJŽ éëýãáâï a, a + b − a ]

öñŽèâáöæ, îŽáàŽê ûæꎎôéáâà öâéåýãâãŽöæ æïâã öðñîéæï

k + 1

(

åâëîâéæï úŽèæå u 2 -ï ñêᎠßóëêáâï êñèæ a, a + b − a )

æêðâîãŽèöæ, îŽù Žïâ Žî Žîæï. ŽéîæàŽá

(

k + 1

a + b − a

k + 1 , a + b − a )

æêðâîãŽèöæ u-ï Žóãï êñèæ. åñ Žïâ àŽãõãâIJæå éŽîþãêæã, éæãæôâIJå, îëé

k

u-ï ñêᎠßóëêáâï êñèæ

(

k(b − a)

)

a +

k + 1 , b æêðâîãŽèöæ. éŽàîŽé îŽáàŽê u(b) = 0, Žéëðëél

k(b − a)

)

k + 1 , b æêðâîãŽèöæ u 2 -ï ñêᎠßóëêáâï êñèæ. âï çæ Žïâ Žî Žîæï.

êŽýŽääâ ãâîðæçŽèñîæ ýŽäâIJæå êŽøãâêâIJæŽ æï æêðâîãŽèæ, ïŽáŽù u-ï ñêᎠßóëêáâï êñèâIJæ.

èâóùæŽ 35.

çëöæï ŽéëùŽêŽ I îæàæï ëîùãèŽáæŽêæ çãŽäæûîòæãæ

çâîúëûŽîéëâIJñèæŽêæ áæòâîâêùæŽèñîæ àŽêðëèâIJæïŽåãæï

(

a +

I îæàæï ëîùãèŽáæŽê çãŽäæûîòæã çâîúëûŽîéëâIJñèæŽê áæòâîâêùæŽèñî àŽêðëèâIJŽï Žóãï ïŽýâ

a(x, y) ∂z + b(x, y)∂z + c(x, y, z) = 0, (35.1)

∂x ∂y

ïŽáŽù a Ꭰb ŽîæŽê ñûõãâðŽá áæòâîâêùæîâIJŽáæ ŽïŽýãâIJæ

a : G → R

b : G → R , G ⊂ R2 ŽîâŽ.

Žôãêæöêëå ˜G = {(x, y, z) : (x, y) ∈ G, |Z| ≤ M}. óãâéëå ãæàñèæïýéëå, îëé c : ˜G → R Žîæï

ñûõãâðŽá áæòâîâêùæîâIJŽáæ ŽïŽýãŽ. öâéáàëéöæ õëãâèåãæï IJŽàñèæïýéâIJæ æóêâIJŽ, îëé

a 2 (x, y) + b 2 (x, y) ≠ 0, (x, y) ∈ G. (35.2)

â.æ. ëîæãâ âîåáîëñèŽá êñèæ Žî Žîæï.

(35.1) àŽêðëèâIJæï Žéëýïêæï óãâö àãâïéæï îŽôŽù G 0 ⊂ G Žîâöæ àŽêïŽäôãîñèæ ñûõãâîŽá

áæòâîâêùæîâIJŽáæ òñêóùæŽ, îëéâèæù õãâèàŽê G 0 -öæ ŽçéŽõëòæèâIJï (35.1) àŽêðëèâIJŽï.


104

çëöæï ŽéëùŽêŽ (35.1) àŽêðëèâIJæïåãæï æïéæï Žïâ: ãåóãŽå G Žîâöæ éëùâéñèæ àãŽóãï îŽôŽù L

ûæîæ ᎠŽé ûæîäâ éëùâéñèæŽ òñêóùæŽ f = L → R. îëé ãæìëãëåG 0 Žîâ æïâåæ, îëé L ⊂ G 0 ⊂ G

ᎠŽé Žîâöæ àŽêïŽäôãîñèæ (35.1) àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽ z ∣ ∣

L

= f (z ∣ ∣

L

Žîæï z-æï öâäôñá㎠L-äâ).

åñ àŽêãæýæèŽãå ûæîï ïŽéàŽêäëéæèâIJæŽê ïæãîùâöæ ˜L =

{(x, y, f(x, y)) : (x, y) ∈ L} àâëéâðîæñèŽá çëöæï ŽéëùŽêæï

ŽéëýïêŽ êæöêŽãï îëé ãæìëãëå (35.2)-æï æïâåæ æêðâîãŽèñîæ

òŽîåâñèæ, îëéâèæù àŽæãèæï ˜L-äâ.

(35.1)-æï ìŽîŽèâèñîŽá éëàãæýáâIJŽ Žïâåæ ïæïðâéæï àŽêýæèãŽ


dx

⎪⎨

ds = a(x, y)


a2 (x, y) + b 2 (x, y) ,

dy

⎪⎩

ds = b(x, y)

(35.3)


a2 (x, y) + b 2 (x, y) .

Žé ïæïðâéæï éŽîþãâêŽ éýŽîââIJæ ûŽîéëŽáàâêâê ñûõãâðŽá áæòâîâêùæîâIJŽá òñêóùæâIJï G Žîâöæ.

Žéæðëé ŽîïâIJëIJæïŽ áŽ âîåŽáâîåëIJæï åâëîâéæï åŽêŽýéŽá êâIJæïéæâîæ êŽéáãæèæ s 0 Ꭰ(x 0 , y 0 ) ∈

D-åãæï ŽîïâIJëIJï (35.3) ïæïðâéæï ŽéëýïêŽ x(s 0 ) = x 0 , y(s 0 ) = y 0 ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ.

åñ (x, y) Žîæï (35.3)-æï ŽéëýïêŽ I 0 öñŽèâáöæ, éŽöæê ûâîðæèåŽ âîåëIJèæëIJŽ (x(s), y(s), s ∈ I 0

àãŽúèâãï ûæîï G Žîâöæ. Žé ûæîâIJï âûëáâIJŽ (35.1) àŽêðëèâIJæï éŽýŽïæŽåâIJâèæ ûæîâIJæ.

Žôãêæöêëå, îëé (35.3) ïæïðâéŽï Žóãï âîåæ àŽêïŽçñåîâIJñèæ åãæïâIJŽ. éæïæ éŽîþãâêŽ éýŽîâ Žî

Žîæï áŽéëçæáâIJñèæ s-äâ. Žïâå ïæïðâéâIJï Žãðëêëéæñîï ñûëáâIJâê. Žãðëêëéæñî ïæïðâéâIJï Žóãå

ïŽâîåëá Žïâåæ éêæöãêâèëãŽêæ åãæïâIJŽ: åñ x Žîæï dx = p(x) Žãðëêëéæñîæ ïæïðâéæï ŽéëýïêŽ,

dt

éŽöæê y òñêóùæŽ, îëéâèæù àŽêïŽäôãîñèæŽ y(t) = x(t + ε) ðëèëIJæå (ëôëêá àŽêïŽäôãîæï

ŽîæáŽê Žî ñêᎠàŽéëæõãŽêëï), ïŽáŽù ε îæùýãæŽ Žàîâåãâ ûŽîéëŽáàâêï Žé ïæïðâéæï ŽéëýïêŽï.

G Žîæï êâIJæïéæâî ûâîðæèäâ àŽæãèæï (35.1)-æï âîåŽáâîåæ éŽýŽïæŽåâIJâèæ ûæîæ. éŽîåèŽù,

ãåóãŽå (x, y) Ꭰ(˜x, ỹ) (35.3)-æï ëîæ Žéëýïꎎ æïâåæ, îëé

x(s 0 ) = x 0 , ˜x(˜s 0 ) = x 0

y(s 0 ) = y 0 , ỹ(˜s 0 ) = y 0

(x 0 , y 0 ) ∈ G.

éŽöæê äâéëå àŽçâåâIJñèæ öâêæöãêâIJæáŽê ᎠâîåŽáâîåëIJæï åâëîâéæáŽê ùýŽáæŽ, îëé

˜x(s) = x(s + s 0 − ˜s 0 ), ỹ(s) = y(s + s 0 − ˜s 0 ).

ŽéàãŽîŽá, ëîæãâ ŽéëýïêŽ âîåæáŽæàæãâ ûæîï àŽêïŽäôãîŽãï. ïýãŽêŽæîŽá îëé ãåóãŽå, æïæêæ æúèâãæŽê

âîåæáŽæàæãâ ûæîæï ïýãŽáŽïý㎠ìŽîŽéâðîñè ûŽîéëáàâêŽï.

öâéëãæðŽêëå öâéáâàæ ŽôêæöãêâIJæ:

ϕ(·; x 0 , y 0 ), ψ(·; x 0 , y 0 ) æõëï (35.1)-æï ŽéëýïêŽ ïŽûõæï ìæîëIJâIJöæ

àŽîᎠŽéæïŽ

ϕ(0t; x 0 , y 0 ) = x 0 , ψ(0t; x 0 , y 0 ) = y 0 . (35.4)

c(x, y, z)

χ(s, z, x 0 , y 0 ) = −√ ∣

a2 (x, y) + b 2 (x, y)

ŽéŽï àŽîᎠéëàãæýáâIJŽ çëöæï ŽéëùŽêæï àŽêýæèãŽ

Žó øãâêæ úæîæåŽáæ åâëîâéŽ æóêâIJŽ öâéáâàæ:

∣ x=ϕ(s,x0 ,y 0 )

y=ψ(s,x 0 ,y 0 )

. (35.5)

du

ds = χ(s, u, x 0, y 0 ), (35.6)

u(0) = f(x 0 , y 0 ). (35.7)

åâëîâéŽ 35.1. ãåóãŽå L Žîæï àèñãæ ûæîæ ñûõãâðæ éýâIJæå, îëéâèæù Žîù âîå ûâîðæèöæ

Žî âýâIJŽ éŽýŽïæŽåâIJâè ûæîï. f òñêóùæŽ L ûæîæï êâIJæïéæâîæ ûâîðæèæï éæáŽéëöæ öâæúèâIJŽ ûŽîéëáàâêæèæ

æóêŽï x-æï Žê y-æï ñûõãâðŽá áæòâîâêùæîâIJŽáæ òñêóùææï ïŽýæå (éŽï öâéáâà, îŽù Žé


ñçŽêŽïçêâèï Žéëãýïêæå ûæîæï àŽêðëèâIJæáŽê ᎠöâãæðŽêå f-öæ) ᎠL ûæîæï àŽïûãîæã, |f(x, y)| ≤

M.

áŽéðçæùâIJŽ. ãåóãŽå ŽîïâIJëIJï G 0 ⊂ Žîâ, L ⊂ G 0 æïâåæ, îëé Žé Žîæï õëãâè ûâîðæèäâ

àŽæãèæï éŽýŽïæŽåâIJâèæ ûæîæï âîåŽáâîåæ îçŽèæ, îëéâèæù G 0 -áŽê àŽéëñïãèâèŽá âîåýâè éŽæêù

àŽáŽçãâåï L-ï, ŽéŽïåŽê îëàëîæù Žî ñêᎠæõëï (x 0 , y 0 ) ∈ L, (35.6), (35.7)-æï ŽéëýïêŽ àŽêïŽäôãîñèæŽ

éåèæŽêŽá (x 0 , y 0 )-äâ àŽéŽãŽèæ éŽýŽïæŽåâIJâèæ ûæîæï àŽïûãîæã (G 0 Žîæï òŽîàèâIJöæ).

105

éŽöëæê øãâêï ŽéëùŽêŽï àŽŽøêæŽ âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ

àŽêïŽäôãîñèæ G 0 Žîâöæ. áŽãŽäñïðëå åâëîâéâIJöæ

éæôâIJñèæ äëàæâîåæ àŽéëêŽåóãŽéæ. G 0 Žîâäâ áŽáâIJñèæ

ìæîëIJŽ êæöêŽãï öâéáâàï: îëàëîù Žôãêæöêâå, Žé Žîæï õëãâè

ûâîðæèäâ àŽáæï âîåŽáâîåæ éŽýŽïæŽåâIJâèæ ûæîæ, éŽàîŽé

öâæúèâIJŽ éëýáâï , îëé ŽïâåéŽ ûæîéŽ âîåýâè àŽáŽçãâåëï

îŽ øãâêæ L ûæîæ, éëñýãæëï ᎠG 0 ŽîæáŽê àŽéëñïãèâèŽá

çãèŽã àŽáŽçãâåëï âï ûæîæ. ïûëîâá Žïâå öâéåýãâãŽï

àŽéëãîæùýŽãå øãâê.

öâéáâà, àŽéëêŽåóãŽéöæ ŽéëýïêŽ àŽêïŽäôãîñèæ éåèæŽêŽá G 0 Žîæï òŽîàèâIJöæ éæåŽãïâIJñèæ

éŽýŽïæŽåâIJâèæ ûæîæï àŽïûãîæã, øãâê àãâïéæï öâéáâàæ îŽé: éŽýŽïæŽåâIJâèæ ûæîæï âï éëêŽçãâåæ

àŽêæïŽäôãîâIJŽ s ìŽîŽéâðîæï ùãèæå àŽîçãâñè I 0 öñŽèâáöæ. ŽéŽïåŽê õëãâèêŽæî öâïŽúèë ìŽîŽéâðîñèæ

ûŽîéëáàâêâIJæáŽê, îëéâèæù öâåŽêýéâIJñèæŽ (35.3) ïæïðâéŽïåŽê, (34.4)-æï úŽèæå ŽéëãŽîøæâå

õëãâèåãæï âîåæ, çâîúëá æï, îëéâèæù L ûæîåŽê éŽýŽïæŽåâIJâè ûæîæï àŽáŽçãâåæï

ûâîðæèæï ìŽîŽéâðîæï êñèëãŽê éêæöãêâèëIJŽï ñåŽêŽáâIJï. äâéëåéëõãŽêæèæ àŽéëåóéæï óãâö øãâê

àãâïéæï, îëé (35.6), (35.7) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ, îëéâèæù s-æï òñêóù掎, öâæúèâIJŽ àŽàîúâèâIJñèæ

æóêŽï éåâè I 0 öñŽèâáöæ.

ïŽêŽé áŽéðçæãâIJŽï öâãñáàâIJëáâå, Žôãêæöêëå, îëé åâëîâéŽöæ éæôâIJñèæŽ ìæîëIJŽ G 0 Žîæï

öâïŽýâIJ, åñ Žïâåæ Žîâ ŽîïâIJëIJï. Žéæðëé IJñêâIJîæãæŽ âüãæ, æóêâIJŽ ŽïâåæŽîâ Žîù ŽîïâIJëIJï áŽ

éŽöæê Žé åâëîâéŽï ŽîŽãæåŽîæ ôæîâIJñèâIJŽ Žî âóêâIJëáŽ. éŽàîŽé Žáãæèæ áŽïŽêŽýæŽ, îëé L ûæîäâ

áŽáâIJñèæ ìæîëIJŽ ŽéŽï ñäîñêãâèõëòï. éŽîåèŽù, L ûæîæï õëãâè ûâîðæèäâ àŽáæï âîåŽáâîåæ

éŽýŽïæŽåâIJâèæ ûæîæ ᎠîŽáàŽê æàæ L ûæîï Žî âýâIJŽ,Žéæðëé æàæ L ûæîæï âîåæ éýîæáŽê éâëîâäâ

àŽáŽáæï. Žãæôëå Žé ûæîæï ïŽçéŽîæïŽá éùæîâ éëêŽçãâåæ æïâ, îëé æàæ L ûæîï éâðï ŽôŽî àŽáŽçãâåï

(âï öâïŽúèâIJâèæŽ), Žïâ îëé G 0 Žîâ öâæúèâIJŽ ûŽîéëãŽáàæêëå îëàëîù éŽýŽïæŽåâIJâèæ ûæîâIJæï

Žïâåæ éùæîâ éëêŽçãâåâIJæïŽàŽê öâéáàŽîæ. ŽéŽïåŽê, âï éëêŽçãâåâIJæ öâæúèâIJŽ æéáâêŽá éùæîâ Žãæôëå,

îëé (35.6), (35.7) ŽéëùŽêæï ŽéëýïêŽ éåâèï Žé éëêŽçãâåäâ æõëï àŽêïŽäôãîñèæ. ŽéîæàŽá, øãâêæ

åâæîâéŽ L ûæîäâ Ꭰf òñêóùæŽäâ äâéëå áŽáâIJñèæ ìæîëIJâIJöæ ñäîñêãâèõëòï çëöæï ŽéëùŽêæï

ŽéëýïêŽáëIJŽï ùŽèïŽýŽá L ûæîæï ïŽçéŽîæïŽá \ûãîæè" éæáŽéëöæ.

àŽáŽãæáâå åâëîâéæï áŽéðçæùâIJŽäâ. Žãæôëå êâIJæïéæâîæ (x, y) ∈ L. åâëîâéæï ìæîëIJæï úŽèæå

ŽîïâIJëIJï âîåŽáâîåæ s Ꭰ(x 0 , y 0 ) ∈ L æïâåæ, îëé

ϕ(s, x 0 , y 0 ) = x, ψ(s, x 0 , y 0 ) = y. (35.8)

éŽîåèŽù (x, y) ûâîðæèäâ àŽáæï âîåŽáâîåæ éŽýŽïŽåâIJâèæ ûæîæ, îëéâèæù åâëîâéæï ìæîëIJæï

àŽéë L ûæîï âîåŽáâîå (x 0 , y 0 ) ûâîðæèöæ çãâåï (æý. êŽýŽäæ) ᎠîŽáàŽê (35.4)-æï úŽèæå éŽýŽïæŽåâIJâè

ûæîâIJäâ øãâê ïŽãïâIJæå çëêçîâðñèæ s ìŽîŽéâðîæäŽùæŽ Žãæîøæâå (x, y) ûâîðæèæï

ööâïŽIJŽéæïæ ìŽîŽéâðîæï éêæöãêâèëIJŽ æóêâIJŽ ïûëîâá s.

åâëîâéæï ìæîëIJæï úŽèæå (35.6), (35.7) çëöæï ŽéëùŽêŽï, ïŽáŽù ãàñèæïýéëIJå, îëé x 0 áŽ

y 0 øãâêï éæâî äâéëå Žîæï àŽêïŽäôãîñèæ, Žóãï ŽéëýïêŽ u(·, x 0 , y 0 ), îëéâèæù àŽêïŽäôãîñèæŽ

éŽýŽïæŽåâIJâèæ ûæîæï àŽïûãîæã. Žôãêæöêëå z(x, y) = u(s 0 , x 0 , y 0 ).

ŽéîæàŽá, I 0 Žîæï êâIJæïéæâî (x, y) ûâîðæèï øãâê àŽîçãâñèæ ûæîæå öâãñïŽIJŽéâå z(x, y) îæùýãæ

((35.6), (35.7) ŽéëùŽêŽï âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ Žóãï). ŽéîæàŽá éæãæôâIJå G 0 Žîâäâ àŽêïŽäôãîæèæ z

òñêóùæŽ. ãŽøãâêëå, îëé z ñûõãâðŽá áæòâîâêùæîâIJŽáæŽ G 0 Žîâöæ. Žãæôëå G 0 Žîâöæ òæóïæîâIJæèæ

(x ∗ , y ∗ ) ûâîðæèæ ᎠãåóãŽå äâéëåŽôêæöêñèæ ûâïæå L ûæîäâ éŽï öââïŽIJŽéâIJŽ (x ∗ 0, y0), ∗ îŽáàŽê

L ûæîæ àèñãæŽ, äëàŽáëIJæï áŽñîôãâãèŽá öâàãæúèæŽ ãæàñèæïýéëå, îëé (x ∗ 0, y0)-æï ∗ éæáŽéëöæ L


106

ûæîæï àŽêðëèâIJŽ øŽæûâîâIJŽ, îëàëîù

y 0 = F (x 0 ), (35.9)

ïŽáŽù F Žîæï ñûõãâðŽá ûŽîéëâIJŽáæ (Žó y 0 Ꭰx 0 éæéáæêŽîâ çëëîáæêŽðâIJï êæöêŽãï). Žôãêæöêëå

éŽöæê (35.4)-æï åŽêŽýéŽá

˜ϕ(s, x 0 ) = ϕ(s, x 0 , F (x 0 )), ˜ψ(s, x0 ) = ψ(s, x 0 , F (x 0 )).

˜ϕ(0, x 0 ) = x 0 , ˜ψ(0, x0 ) = F (x 0 ). (35.10)

åñ àŽãæýïâêâIJå 31.3 åâëîâéŽï ìŽîŽéâðîæï éæéŽîå ûŽîéëâIJŽáëIJæï öâïŽýâIJ, ñòîë ïûëîâá éæï

öâêæöãêŽï, éŽöæê (35.2)-æï éŽîþãâêŽ éýŽîæï ñûõãâðŽá ûŽîéëâIJŽáëIJæï àŽéë áŽãŽïçãêæå, îëé ˜ϕ

Ꭰ˜ψ ûŽîéëâáàâêâê ëîëùãèâáæï ñûõãâðŽá áæòâîâêùæîâIJŽá òñêóùæâIJï.

éëùâéñèæ (x, y) ∈ G-åãæï s, x 0 , y 0 (35.8)-áŽê àŽêæïŽäôãîâIJæŽê. x 0 Ꭰy 0 -ï öëîæï (x ∗ 0, y ∗ 0)-æï

éæáŽéëöæ (35.9) òñêóùæëêŽèñîæ áŽéëçæáâIJñèâIJæï àŽéë (x ∗ , y ∗ ) ûâîðæèæï éæáŽéëöæ âï ïæïðâéŽ

öâéáâàæ ïæïðâéæï ðëèòŽïæŽ

˜ϕ(s, x 0 ) = x, ˜ψ(s, x0 ) = y. (35.11)

îëùŽ x = x ∗ , y = y ∗ , éŽöæê (35.10) ïæïðâéŽï Žóãï âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ s ∗ Ꭰx ∗ 0. ãŽøãâêëå, îëé

(x ∗ , y ∗ ) ûâîðæèæï éæáŽéëöæ s Ꭰx 0 àŽêæïŽäôãîâIJŽ îëàëîù ñûõãâðæ x Ꭰy-Ꭰ(s, x 0 Ꭰy 0

îëé x Ꭰy òñêóùæâIJæ ŽîæŽê âï ùýŽáæŽ, ïýãŽêŽæîŽá z òñêóùæŽï ãâîù ŽãŽàâIJáæå. Žó éåŽãŽîæŽ

ñûõãâðŽá áæòâîâêùæîâIJŽáëIJŽ). ŽéæïŽåãæï, îëàëîù ùêëIJæèæŽ, ïŽçéŽîæïæŽ ãŽøãâêëå, îëé ˜ϕ áŽ

˜ψ òñêóùæâIJæï æŽçëIJæŽêæ (s ∗ , x ∗ ) ûâîðæèöæ Žî ñáîæï êñèï. öâéëãæôëå ŽôêæöãêŽ

A(x, y) =

a(x, y)


a2 (x, y) + y 2 (x, y) , B(x, y) = b(x, y)


a2 (x, y) + y 2 (x, y)

ᎠàŽîᎠŽéæïŽ ∂A

∂x = A 1, ∂A

∂y = A 2, ∂B

∂x = B 1, ∂B

∂y = B 2. Žé ŽôêæöãêâIJæïŽ áŽ ϕ Ꭰψ-æï

àŽêéŽîðâIJæï ïŽòñúãâèäâ àãŽóãï


∂s ˜ϕ(s, x 0) = A (˜ϕ(s, x 0 ), ˜ψ(s, x 0 ) ) ,

åñ öâéëãæôâIJå ïæéIJëèñî ëìâîŽðëîâIJï D 1 = ∂ ∂s , D 2 =

s-æå, öâéáâà çæ x 0 -æå, éæãæôâIJå


∂s ˜ψ(s, x 0 ) = B ( ˜ϕ(s, x 0 ), ˜ψ(s, x 0 ) ) . (35.12)


∂x 0

ᎠŽé ðëèëIJæï àŽûŽîéëâIJæå þâî


∂s D k ˜ϕ = A 1 (˜ϕ, ˜ψ)D k ˜ϕ + A 2 (˜ϕ, ˜ψ)D k ˜ψ,


∂s D k ˜ψ = B 1 (˜ϕ, ˜ψ)D k ˜ϕ + B 2 (˜ϕ, ˜ψ)D k ˜ψ.

(35.13)

Žó ŽîàñéâêðŽá æàñèæïýéâIJŽ s Ꭰx 0 . Žó ãæïŽîàâIJèâå þâî âîåæ æéæå, îëé îŽáàŽê (35.12)-

æï éŽîþãâêŽ éýŽîâöæ éëåŽãïâIJñèæ òñêóùæâIJæ ìæîëIJæïŽ áŽ äâéëå àŽçâåâIJñèæ öâêæöãêæï úŽèæå

ñûõãâðŽá áæòâîâêùæîâIJŽáæŽ, æàæãâ åãæïâIJŽ âóêâIJŽ éŽîùýâêŽ éýŽîââIJï ᎠàŽîᎠŽéæïŽ öãŽîùæï

åâëîâéæï úŽèæå öâæúèâIJŽ àŽûŽîéëâIJæï îæàæï öâùãèŽ. îëàëîù (35.12) ðëèëIJâIJæ àãæøãâêâIJâê,

( ) ( )

D1 ˜ϕ D2 ˜ϕ

Ꭰ˜ψ

˜ψ

D 1

ãâóðëîâIJæ öâàãæúèæŽ àŽêãæýæèëå îëàëîù àŽîçãâñèæ ûîòæãæ âîåàãŽîëãŽê áæòâîâêùæŽèñî

àŽêðëèâIJŽåŽ ïæïðâéæï ŽéëýïêŽ. Žé ëîæ ãâóðëîæï ãîëêïçæï áâðâîéæêŽêðæ Žîæï ïûëîâá ˜ϕ Ꭰ˜ψ

òñêóùæâIJæï æŽèëIJæŽêæ. ãîëêïçæï áâðâîéæêŽêðæï ùêëIJæèæ åãæïâIJæï úŽèæå çæ ïŽçéŽîæïæŽ ãŽøãâêëå,

D 2


îëé æàæ êñèæïŽàŽê àŽêïýãŽãâIJñèæŽ âîå ûâîðæèöæ éŽæêù, çâîúëá, s = 0. Žé öâéåýãâãŽöæ âï

áâðâîéæêŽêðæ éææôâIJï ïŽýâï

∂ ˜ϕ

∂s (0, x 0) 1

∂ ˜ψ

(35.14)


∂s (0, x 0) F ′ (x 0 ) ∣

éŽîåèŽù, (35.4)-æï àŽéë

áŽ

∂ ˜ϕ

(0, x 0 ) = ∂ϕ (0, x 0 , F (x 0 )) + ∂ϕ (0, x 0 , F (x 0 ))F ′ (x 0 ) = 1

∂x 0 ∂x 0 ∂y 0

∂ ˜ψ = ∂ψ (0, x 0 , F (x 0 )) + ∂ψ (0, x 0 , F (x 0 ))F ′ (x 0 ) = F ′ (x 0 ).

∂x 0 ∂x 0 ∂y 0

Žó x 0 æùãèâIJŽ x ∗ 0-æï ïŽçéŽëá éùæîâ éæáŽéëöæ. (3.19) ìæîëIJæï àŽéë

( ∂ ˜ϕ

∂s (0, x 0), ∂ ˜ψ )

∂s (0, x 0) ãâóðëîæ ûŽîéëŽáàâêï (˜ϕ, ˜ψ) éŽý-æï éýâIJ ãâóðëîï (x 0 , F (x 0 )) ûâîðæèöæ,

ýëèë (1, F ′ (x 0 )) ãâóðëîæ ùýŽáæŽ ûŽîéëŽáàâêï L ûæîæï éýâIJ ãâóðëîï ŽéŽãâ ûâîðæèöæ. îŽáàŽê

L ûæîæ Žîùâîå ûâîðæèöæ Žî âýâIJŽ éŽýŽïæŽåâIJâèï, âï ãâóðëîâIJæ ŽîŽìŽîŽèâèñîæŽ, ïŽæáŽêŽù

àŽéëáæï (35.14) áâðâîéæêŽêðæ ≠ 0. ŽéîæàŽá, ãŽøãâêâå, îëé x ∗ , y ∗ ûâîðæèæï àŽîçãâñè éæáŽéëöæ

(35.11) ïæïðâéæáŽê s Ꭰx 0 àŽêæïŽäôãîâIJŽ îëàëîù x Ꭰy-æï ñûõãâðŽá áæòâîâêùæîâIJŽáæ

òñêóùæâIJæ s = s(x, y), x 0 = x 0 (x, y).

øãâêæ àŽêïŽäôãîæï úŽèæå, ŽéŽãâ éæáŽéëöæ

z(x, y) = u(s, x 0 , y 0 ) = u ( s(x, y), x 0 (x, y), F (x 0 (x, y)) ) . (35.15)

u ùýŽáæŽ Žîæï ïŽéæ ùãèŽáæï ñûõãâðŽá áæòâîâêùæîâIJŽáæ òñêóùæŽ (åâëîâéŽ 31.3). Žéæðëé

îŽáàŽê õãâèŽ áŽêŽîøâêæ òñêóùæâIJæ ñûõãâðŽá áæòâîâêùæîâIJŽáæŽ, z-æù àŽéë㎠ñûõãâðŽá áæòâîâêùæîâIJŽáæ.

îŽáàŽê (x ∗ , y ∗ ) ûâîðæèæ êâIJæïéæâîŽá æõë ŽôâIJñèæ G 0 -öæ, z æóêâIJŽ ñûõãâðŽá

áæòâîâêùæîâIJŽáæ G 0 -öæ.

åñ (x, y) ∈ L, ùýŽáæŽ éŽöæê s = 0, x = x 0 , y = y 0 . éŽàîŽé îŽáàŽê (35.7)-æï àŽéë u(0, x 0 , y 0 ) =

f(x 0 , y 0 ), ùýŽáæŽ, îëé z(x, y) = f(x, y). ŽéîæàŽá z ŽçéŽõëòæèâIJï ïŽïŽäôãîë ìæîëIJŽï. áŽ

IJëèëï ãŽøãâêëå, îëé z Žîæï (35.1) àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽ. ŽéæïŽåãæï ïŽçéŽîæïæŽ ãŽøãâêëå, îëé æàæ

Žé àŽêðëèâIJŽï ŽçéŽõëòæèâIJï êâIJæïéæâîæ éŽýŽïæŽåâIJâèæ ûæîæï àŽïûãîæã, îŽáàŽê éŽýŽïæŽåâIJâèæ

ûæîâIJæ éåèæŽêŽá ŽéëûñîŽãâê G 0 Žîâï. éŽàîŽé éŽýŽïæŽåâIJâèæ ûæîæï àŽïûãîæã x Ꭰy ŽîæŽê s-æï

òñêóùæâIJæ, çâîúëá, x = ϕ(s, x 0 , y 0 ), y = ψ(s, x 0 , y 0 ) ᎠŽéŽï àŽîᎠu(s, x 0 , y) = z(x, y) =

a(ϕ(s, x 0 , y 0 ), ψ(s, x 0 , y 0 )).

åñ ëîæãâ éýŽîâï àŽãŽûŽîéëâIJå s-æå, éæãæôâIJå

du

ds = ∂z dx

∂x ds + ∂z

∂y

(x 0 Ꭰy 0 òæóïæîâIJñèæŽ).

åñ Žó öâãæðŽêå ïŽåŽêŽáë éêæöãêâèëIJâIJï (35.3), (35.5) Ꭰ(35.6)-æï àŽåãŽèæïûæêâIJæå, éæãæôâIJå,

îëé z ŽçéŽõëòæèâIJï (35.1) àŽêðëèâIJŽï. Žéæå ŽîïâIJëIJŽ áŽéðçæùáŽ.

âîåŽáâîåëIJæï áŽïŽéðçæùâIJèŽá ïŽçéŽîæïæŽ ãŽøãâêëå îëé (35.1) àŽêðëèâIJæï êâIJæïéæâîæ z

ŽéëêŽýïêæï éêæöãêâèëIJŽ îŽæéâ éŽýŽïæŽåâIJâèæ ûæîæï àŽïûãîæã ïŽãïâIJæå àŽêæïŽäôãîâIJŽ éæïæ éêæöãêâèëIJæå

Žé ûæîæï îëéâèæéâ ûâîðæèöæ. éŽîåèŽù ãåóãŽå z Žîæï (35.21)-æï îŽæéâ ŽéëýïêŽ. éŽöæê

æàæ ŽçéŽõëòæèâIJï Žé àŽêðëèâIJŽï. àŽãõëå (35.1)-æï ëîæãâ éýŽîâ √ a 2 + b 2 -äâ. àãŽóãï

∂z

∂x

a(x, y)


a2 (x, y) + b 2 (x, y) + ∂z

∂y

dy

ds

107

b(x, y)


a2 (x, y) + b 2 (x, y) = − c(x, y, z)


a2 (x, y) + b 2 (x, y) . (35.16)


108

àŽêãæýæèëå îŽæéâ éŽýŽïæŽåâIJâèæ ûæîæ (x, y) = ( ϕ(s, x 0 , y 0 ), ψ(s, x 0 , y 0 ) ) . Žé ûæîæï àŽïûãîæã

(35.3) Ꭰ(35.5)-æï àŽéë (35.6)-ï éææôâIJï Žïâå ïŽýâï

∂z dx

∂x ds + ∂z

∂y

dy

ds = −χ(s, z, x 0, y 0 ).

âï çæ êæöêŽãï, îëé u(s, x 0 , y 0 ) = z ( ϕ(s, x 0 , y 0 ), ψ(s, x 0 , y 0 ) ) òñêóùæŽ ŽçéŽõëòæèâIJï (35.6)-ï. Žé

àŽêðëèâIJæï ŽéëêŽýïêæ çæ ùŽèïŽýŽá àŽêæïŽäôãîâIJŽ éæïæ éêæöãêâèëIJâIJæå âîå îëéâèæéâ ûâîðæèöæ

(âîåŽáâîåëIJæï àŽéë). Žéæðëé z-æï éêæöãêâèëIJâIJæù ùŽèïŽýŽá àŽêæïŽäôãîâIJŽ éæïæ éêæöãêâèë-

IJâIJæå L ûæîæï àŽïûãîæã, îŽù ïûëîâá êæöêŽãï, îëé çëöæï ŽéëùŽêŽï Žóãï âîåŽáâîåæ ŽéëýïêŽ

åâëîâéŽ éåèæŽêŽá áŽéðçæùáŽ.


öâêæöãêŽ. öâæúèâIJŽ àãâàëêëï, îëé øãâñèâIJîæã áæòâîâêùæŽèñî àŽêðëèâIJŽïåŽê ŽêŽèëàææå

(35.1) àŽêðëèâIJæï ŽéëýïêŽáëIJæïŽåãæï ïŽçéŽîæïæŽ éëãæåýëãëå éæïæ çëâòæùæâêðâIJæï éýëèëá

ñûõãâðëIJŽ.

âï îëé Žïâ Žî Žîæï ŽéŽï àãæøãâêâIJï öâéáâàæ éŽàŽèæåæ.

éŽàŽèæåæ. (àæñêðâîæï) àŽêãæýæèëå àŽêðëèâIJŽ

∂z

∂x + ∂z = b(x − y),

∂y

ïŽáŽù b Žîæï R-äâ àŽêïŽäôãîñèæ ñûõãâðæ òñêóùæŽ, îëéâèïŽù Žîù Žîå ûâîðæèöæ Žî Žóãï

ûŽîéëâIJñèæ. ïæIJîðõæï Žîù âîå Žîâöæ Žé àŽêðëèâIJŽï Žî âóêâIJŽ ñûõãâðŽá áæòâîâêùæîâIJŽáæ

ŽééëýïêŽ. éŽîåèŽù, ãåóãŽå z Žé àŽêðëèâIJæï Žéëýïꎎ. x − y = t, x + y = τ, z(x, y) = u(t, τ)

àŽîáŽóéêæå øãâêæ àŽêðëèâIJŽ éææõãŽêâIJŽ 2 ∂u

b(t)

= b(t) ïŽýâäâ, ïŽæáŽêŽù u(t, τ) =

∂τ 2 τ + l(t),

ïŽáŽù l êâIJæïéæâîæ òñêóù掎n. Žêñ,

b(x − y)

z(x, y) = (x + y) + l(x − y).

2

b(x − y)

ŽéŽï àŽîᎠz(x + ε, y + ε) = (x + y + 2ε) + l(x − y). åñ Žé ëî ðëèëIJŽï âîåéŽêâåï

2

àŽéëãŽçèâIJå, éæãæôâIJå z(x + ε, y + ε) − z(x, y) = ε b(x − y). éŽîùýêæã àãŽóãï áæòâîâêùæîâIJŽáæ

òñêóùæŽ, éŽîþãêæã çæ ŽîŽ. éæãæôâå ûæꎎôéáâàëIJŽ.

More magazines by this user
Similar magazines