Tytuł: Badanie efektywności liczników w bliskim detektorze ...

neutrino.fuw.edu.pl

Tytuł: Badanie efektywności liczników w bliskim detektorze ...

Uniwersytet Warszawski

Wydział Fizyki

Aleksander Kiliński

Nr albumu: 249710

Tytuł: Badanie efektywności liczników w bliskim

detektorze eksperymentu T2K przy użyciu

mionów atmosferycznych.

Praca magisterska

na kierunku fizyka

w zakresie fizyka cząstek elementarnych

i oddziaływań fundamentalnych

Praca wykonana pod kierunkiem

prof. Danuty Kiełczewskiej

Uniwersytet Warszawski

Warszawa, październik 2011

1


Streszczenie

Głównym tematem pracy są efektywności liczników detektora SMRD, które

zostały wyznaczone przy użyciu trzech metod. W analizie statystycznej porównano

również podejście klasyczne z Bayesowskim. Zbadano hipotezę o jednakowej

efektywności wszystkich badanych liczników. Sprawdzono czy efektywności

liczników są jednakowe w różnych okresach zbierania danych. Zbadano zależność

efektywność od pozycji przejścia mionu przez licznik. Przeanalizowano różne

wkłady przyczyniające się do nieefektywności liczników wskazując największy.

Słowa klucze

liczniki scyntylacyjne, efektywności, metoda klasyczna, metoda Bayesowska,

przyczyny nieefektywności liczników

13.2 Fizyka

Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus):

Tytuł pracy w tłumaczeniu na język angielski:

Analysis of the efficiency of counters in the T2K near detector

with atmospheric muons

Wersja druga

2


Spis treści

1 Wstęp do pracy..................................................................................................................................4

1.1 Historia neutrina w skrócie........................................................................................................4

1.2 Eksperyment T2K - Tokai to Kanioka.......................................................................................4

1.3 Detektor SMRD i miony atmosferyczne...................................................................................6

1.4 Podstawy statystyczne...............................................................................................................9

2 Wyznaczanie efektywności liczników SMRD przy użyciu mionów atmosferycznych..................12

2.1 Dane z eksperymentu...............................................................................................................12

2.2 Metoda wewnętrznych liczników ...........................................................................................12

2.3 Metoda używająca rekonstrukcji mionów...............................................................................15

2.4 Metoda używająca rekonstrukcji mionów z cięciami .............................................................19

2.5 Wnioski z porównania metod..................................................................................................24

2.6 Możliwe przyczyny nieefektywności liczników......................................................................26

2.7 Próba odtworzenia rozkładu efektywności..............................................................................26

3 Wynik dla symulacji wyznaczania efektywności liczników...........................................................29

3.1 Wiadomości wstępne...............................................................................................................29

3.2 Metoda wewnętrznych liczników............................................................................................29

3.3 Metoda używająca rekonstrukcji mionów ..............................................................................30

3.4 Podsumowanie wyników dla powyższych metod...................................................................31

4 Zaawansowana analiza efektywności przy użyciu rekonstrukcji na zbiorze danych......................32

4.1 Podstawowe informacje...........................................................................................................32

4.2 Efektywność dla liczników w funkcji szerokości i długości...................................................32

4.3 Stabilność efektywności liczników w funkcji czasu................................................................35

4.4 Efektywność dla liczników poziomych w funkcji okna czasowego używanego do

rekonstrukcji podwójnych zliczeń.................................................................................................38

4.5 Wnioski....................................................................................................................................39

5 Analiza czasów otrzymania sygnału................................................................................................41

5.1 Wstęp do analizy czasów otrzymania sygnału.........................................................................41

5.2 Analiza okna czasowego..........................................................................................................42

5.3 Efektywność w funkcji ocenianej wartości długości z............................................................45

5.4 Podsumowanie analizy czasów dotarcie sygnałów.................................................................48

6 Podsumowanie pracy.......................................................................................................................49

3


1 Wstęp do pracy

1.1 Historia neutrina w skrócie

Neutrino to cząstka elementarna zaliczana do grupy leptonów. Pierwszy raz została

zaproponowana przez Wolfganga Pauliego w 1930 jako wyjaśnienie ciągłego spektrum energii

elektronu w rozpadzie beta, charakterystycznego dla rozpadu trójciałowego. Wówczas spodziewano

się widma charakterystycznego dla rozpadu dwuciałowego, gdyż obserwowano jedynie jądro i

elektron. Na bezpośrednie odkrycie neutrina trzeba było poczekać do roku 1956, odkrycia tego

dokonali Reines i Cowan [1]. W 1962 Leon M. Lederman, Melvin Schwartz i Jack Steinberger

odkryli neutrino o zapachu mionowym. Trzeci zapach neutrina został odkryty w 2000 przez

kolaboracje DONUT w Fermilabie. Z pośrednich pomiarów, takich jak rozpad bozonu Z, można

spodziewać się 3 zapachów neutrin o masie poniżej 45 GeV.

Neutrina oddziałują [2] słabo oraz grawitacyjnie, chociaż w teorii cząstek elementarnych można

pominąć oddziaływania grawitacyjne jako zaniedbywalnie małe. Żeby uświadomić sobie fakt jak

małe jest oddziaływanie neutrina z materią, warto zaznaczyć, iż średnia droga swobodna dla nisko

energetycznego neutrina o energii kilku MeV w wodzie przekracza rok świetlny.

Niezerową masę neutrina udowodniono na podstawie zachodzenia zjawiska oscylacji. Pierwszą

obserwacją wskazującą na istnienie oscylacji neutrin był deficyt strumienia neutrin słonecznych

pochodzących z reakcji jądrowych w Słońcu, zmierzony w eksperymencie Homestake[3],

zbierającym dane od 1968 r. Jednak do potwierdzenia hipotezy należało poczekać na eksperyment

SNO pozwalający na bezpośrednie zmierzenie zarówno strumienia wszystkich neutrin, jak i

strumienia neutrin elektronowych[4]. Równie istotny przy weryfikacji hipotezy okazał się pomiar

przy użyciu detektora Super-Kamiokande[5]. Fakt oscylacji neutrin implikuje posiadania przez nie

masy, jednak ze względu na bardzo małą jej wartość do dnia dzisiejszego nie udało się dokonać

bezpośredniego pomiaru masy neutrina ani ustalić hierarchii mas w rodzinie neutrin.

1.2 Eksperyment T2K - Tokai to Kanioka

1.2.1 Cele eksperymentu

Największą zagadką teorii oscylacji jest wartość kąta θ 13. W przypadku gdyby okazało się, iż

jego wartość jest różna od zera, powstaje dodatkowe pytanie o łamanie symetrii CP w sektorze

neutrin. Oczywiście istotne jest również dokładniejsze zmierzenie znanych parametrów oscylacji

neutrin. Przy okazji można również zbadać niektóre bardziej egzotyczne teorie jak istnienie

czwartego zapachu neutrina.

Od eksperymentu T2K [6] należy oczekiwać odpowiedzi na powyższe pytania. Zalicza się on do

eksperymentów akceleratorowych z długą bazą. Najważniejsze jego części to: źródło neutrin, w tym

przypadku odpowiada za to kompleks akceleratorowy J-PARC, bliski detektor nazwany przez

kolaborację detektorem ND280 oraz daleki detektor, którego rolę pełni detektor Super-Kamiokande.

1.2.2 Wiązka neutrin

Wiązkę do eksperymentu T2K wytwarza się w kompleksie akceleratorowym J-PARC.

Wytwarzanie wiązki neutrinowej przebiega w kilku etapach. Pierwszym jest wytworzenie wiązki

protonowej. Idea przyspieszania polega na wykorzystaniu pola elektrycznego do przekazania

energii wiązce cząstek naładowanych, w tym przypadku protonów. Następnie korzystając z pola

magnetycznego nadaje się wiązce pożądany kierunek. W akceleratorze wykorzystywanym przez

4


eksperyment T2K wiązka ma nominalną energię po przyśpieszeniu równą 30 GeV. Następnie tak

otrzymaną wiązkę protonów należy skierować na tarczę. W przypadku eksperymentu T2K

wykorzystuje się tarczę grafitową. Ponieważ zarówno materia tarczy, jak i wysokoenergetyczny

proton są hadronami, w zderzeniu dominującą rolę będą odgrywać oddziaływania silne. Jako wynik

zderzenia protonu z tarczą powstają różne cząstki, jednak najistotniejsze dla eksperymentu będą

mezony. Jako, że układ tarcza-proton ma sumaryczny pęd w kierunku wiązki protonowej, produkty

oddziaływania będą preferowały zachowania kierunku wiązki. Kolejną fazą jest wybranie

interesujących produktów oddziaływania, w tym celu stosuje się rogi magnetyczne. Cząstka w

zależności od posiadanego pędu oraz ładunku jest rozpraszana lub ogniskowana do tunelu

rozpadowego. Ten etap jest szczególnie ważny, gdyż zależy nam na jak największej czystości

wiązki. W wytwarzaniu wiązki neutrinowej rogi magnetyczne ustawia się tak, aby do tunelu

rozpadowego wleciało jak najwięcej pionów naładowanych dodatnio. Piony naładowane dodatnio

rozpadają się na dodatnio naładowane leptony oraz neutrina im odpowiadające. Dominującym

kanałem tej reakcji jest pion rozpadający się na anty-mion i neutrino mionowe, reszta stanowi

niechciane tło. Ponieważ eksperyment chce dokładnie zmierzyć zarówno znikanie neutrin

mionowych jak i pojawianie się neutrin elektronowych, które są jednym z produktów rozpadu

mionu, należy zadbać o odpowiednią czystość wiązki. Im większa jest długość tunelu rozpadowego,

tym więcej mezonów się rozpadnie, ale też zwiększa się prawdopodobieństwo rozpadu powstałego

mionu i tym samym zmniejszenia czystości wiązki.

1.2.3 Rola detektora ND280

Główna rola detektora ND280 polega na jak najdokładniejszym zbadaniu stworzonej wiązki

zanim jeszcze zdążą zajść oscylacje. W tym celu zostały zbudowane różne układy detektorów. W

skład bliskiej stacji wchodzą: detektor znajdujący się na osi wiązki INGRID oraz detektor poza

osiowy, w skład którego wchodzi detektor SMRD, znajdujący się kilka stopni poza osią wiązki

(2,5 o ) takim samym, jak daleki detektor Super-Kaniokande. Detektor INGRID służy do bezpośredniego

monitorowania wytwarzanej wiązki neutrin, ze względu na natężenie padającego na

niego strumienia jako pierwszy powinien zauważyć nawet minimalne zmiany kąta padania wiązki

czy też jej natężenia. Detektor SMRD zostanie dokładniej omówiony później, przy okazji

omawiania mionów atmosferycznych.

1.2.4 Budowa i rola detektora Super-Kamiokande

Detektor Super-Kamiokande ma za zadanie dokładne zmierzenie strumienia neutrin, który do

niego doleciał. Ponieważ detektor jest ustawiony w odległości 295 km, bada wiązkę po zajściu

oscylacji. Jest to wielki detektor wykorzystujący promieniowanie Czerenkowa. Został on

przedstawiony na rys. 1. Główną częścią detektora jest olbrzymi zbiornik z bardzo czystą wodą

otoczony fotopowielaczami. Pomimo swoich dużych rozmiarów ilość przypadków jakie jest on w stanie

zarejestrować z eksperymentu jest niewielka ze względu na dużą odległość od źródła neutrin. Głównym

kryterium rozróżniającym przypadki z eksperymentu od tła jest okno czasowe dopasowane do

impulsowego charakteru wiązki.

5


ys. 1 Szkic budowy detektora Super-Kamiokande.

1.3 Detektor SMRD i miony atmosferyczne

1.3.1 Budowa detektora SMRD

Jest to detektor wchodzący w skład układów detektorów pozaosiowych ND280, który został

przedstawiony na schemacie na rys. 2. SMRD składa się z ośmiu pierścieni, każdy z pierścieni

składa się z czterech ścian po cztery wieże w każdej z nich. Taka wieża posiada w zależności od

pierścienia od trzech do sześciu warstw. Pojedyncza warstwa składa się z czterech lub pięciu

ułożonych obok siebie liczników scyntylacyjnych. Szczegółowe informacje z podziałem na

pierścienie zawiera Tabela 1. Długość licznika jest zawsze taka sama i wynosi 870 mm. Widok

pojedynczego elementu przedstawia rys. 3. Jak widać, składa on się z licznika wypełnionego

scyntylatorem, wewnątrz którego przeprowadzony jest światłowód. Natomiast do obu końców

światłowodu został przymocowany moduł zbierający sygnał w postaci fotodiod MPPC.

pierścień

Liczba

warstw w

wieży

Poziome (8 wież)

Liczba

liczników w

warstwie

1 - 5 3 4

szerokość

Liczba

warstw

Pionowe (8 wież)

Liczba

liczników w

warstwie

3 5

6 3 4 4 5

7 3 4 180 mm 6 5

8 3 4 6 5

Suma 24 31

szerokość

170 mm

Tabela 1.

Ilość liczników w poszczególnych warstwach wewnątrz danego pierścienia.

6


ys. 2 Schemat układu detektorów pozaosiowych ND280 z lewej. Po prawej natomiast widać

dokładniej pojedynczy półpierścień magnesu. Z podziałem na wieże wewnątrz pierścienia.

rys. 3 Budowa pojedynczego licznika scyntylacyjnego dla detektora SMRD (po lewej) oraz

element MPPC służący do sczytywania sygnały z licznika (po prawej).

1.3.2 Powstawanie mionów atmosferycznych.

Nasza planeta jest nieustannie bombardowana przez promieniowanie kosmiczne. Jego pierwotny

skład stanowią protony w 90 %, cząstki alfa w 9 %, elektrony w 1 % oraz inne cząstki, których

wkład procentowy można pominąć. Promieniowanie kosmiczne dzielimy na wtórne oraz pierwotne.

Promieniowanie pierwotne jest zdefiniowane jako te cząstki, które powstały daleko poza Ziemią,

natomiast promieniowanie wtórne to cząstki, które powstały wskutek oddziaływań cząstek

promieniowania pierwotnego w atmosferze Ziemi. Termin miony atmosferyczne dotyczy mionów,

które powstały w atmosferze i z tego powodu zaliczają się do cząstek promieniowania wtórnego. Ze

7


względu na produkcję mionów atmosferycznych najważniejszym źródłem są rozpady naładowanych

pionów powstałych z oddziaływań wysoko energetycznych hadronów, głównie protonów

z promieniowania pierwotnego w atmosferze. Takie hadrony powstają w jądrach aktywnych

galaktyk, wybuchach supernowych oraz innych procesach. Kiedy wysokoenergetyczny proton

zderzy się z cząstkami w atmosferze, w wyniku oddziaływań silnych powstaje dużo cząstek

wtórnych, głównie mezonów, w szczególności naładowanych pionów. Jak wiadomo, naładowany

pion jest cząstką niestabilną o stosunkowo krótkim czasie życia. Dodatnio naładowany pion

rozpada się na anty-mion i neutrino mionowe, inne rozpady stanowią tylko 0,3 procent. Natomiast

ujemnie naładowany pion rozpada się analogicznie na mion i anty-neutrino mionowe. Miony mogą

powstawać również z rozpadów innych cząstek, jak na przykład naładowane kaony, jednak wkład

do widma mionów [7] od tego typu procesów jest mniejszy.

Mion jest również cząstką niestabilną, jednak mającą stosunkowo długi czas życia wynoszący

2,2 μs. Ponieważ typowe miony mają energie kilku GeV, w układzie związanym z Ziemią poruszają

się z prędkością bliską prędkości światła. Gdyby zaniedbać dylatację czasu, która jest efektem

szczególnej teorii względności, mion przed rozpadem przeleciałby średnio tylko 660 m. Dla

przykładu dla mionu o energii 1 GeV wskutek dylatacji średnia droga, jaką przebędzie przed

rozpadem wzrasta do około 6 km. Tak więc wysokoenergetyczny mion może być uznawany za

cząstkę quasi-stabilną, czyli cząstkę, dla której można zaniedbać prawdopodobieństwo rozpadu w

detektorze.

1.3.3 Rola mionów atmosferycznych dla eksperymentu w detektorze

ND280

W detektorze SMRD miony kosmiczne mogą pełnić bardzo ważną funkcję służącą

precyzyjnemu badaniu odpowiedzi poszczególnych elementów detektora i to nie tylko tych

wchodzących w skład układu SMRD [8].

Miony atmosferyczne jako cząstki naładowane są bardzo łatwe do zarejestrowania przez

detektory eksperymentu. Ponadto są bardzo podobne do mionów pochodzących z oddziaływań

neutrin mionowych z wymianą prądów naładowanych. Ponieważ typowa droga swobodna mionu,

liczona jako średni czas życia w układzie własnym pomnożony przez prędkość światła w próżni

.jest ponad 100 razy większa od wysokości detektora, to szansa zaobserwowania mionów, które się

rozpadną w detektorze, jest bliska zeru. Dla wysokoenergetycznych mionów można ją oszacować z

góry na mniejszą niż 0,6 %, natomiast dokładna wartość zależy od kąta oraz energii mionu. Dla

pionowego mionu o energii 1 GeV wynosi ono około 0,09 % i wartość ta maleje wraz ze wzrostem

energii. Kolejną zaletą mionów atmosferycznych jest fakt, iż są do dyspozycji w szerokim

rozkładzie kątowym, co umożliwia dość dobre badanie wszystkich liczników. Jednak podczas

trwania impulsu wiązki oddziaływania mionów kosmicznych będą tłem. Innym ciekawym

zastosowaniem dla mionów kosmicznych jest możliwość badania jak zmienia się efektywność

pomiędzy różnymi okresami zbierania danych. Daje to możliwość kontrolowania wpływu

zmęczenia materiału oraz zmian związanych z porami roku.

1.3.4 Tryger kosmiczny detektora ND280

System wyzwalania detektora ND280 ma wiele kombinacji. Najważniejszy jest podział na tryger

wiązki oraz tryger kosmiczny. Główną cechą pierwszego z nich jest korelacja czasowa z impulsem

wiązki, nie jest on jednak istotny z punktu badania mionów atmosferycznych. Do tego celu został

specjalnie przygotowany drugi rodzaj trygera. Wieża SMRD daje sygnał, jeżeli w co najmniej

dwóch warstwach mamy przekroczony próg w dwóch końcach licznika scyntylacyjnego, takie

zdarzenie uważamy też za równoznaczne z pozytywnym sygnałem od ściany jej odpowiadającej. W

8


zależności od ustawienia trygera żądamy koincydencji dowolnych dwóch ścian lub konkretnych.

Do najpopularniejszych należą ustawienie trygera na ściany górą i dolną oraz na ściany boczne. W

tym konkretnym przypadku żąda się, aby mion przeleciał przez dwie przeciwległe ściany i dał

sygnał w każdej z nich w co najmniej dwóch licznikach scyntylacyjnych znajdujących się w

różnych warstwach.

1.4 Podstawy statystyczne

1.4.1 Podstawy teorii estymacji i testów zgodności

Na pytanie o zgodność z teorią odpowiada test chi kwadrat. Tu kluczowym elementem jest

niepewność pomiarowa. W przypadku tej pracy mogę się ograniczyć do testu na zgodność dwóch

rozkładów. Procedura ta wygląda następująco: Najpierw badany przedział zakresu zmiennej dzieli

się na odcinki tak, żeby w każdym z nich były jakieś przypadki spodziewane przez teorię lub z

wyniku eksperymentu. W mojej pracy przyjąłem, że musi być co najmniej pięć przypadków

spodziewanych przez teorię. Za niepewność pomiarową dla histogramów uznaje się pierwiastek z

liczby zliczeń. Następnie dla każdego z nich bierze się różnicę pomiędzy wartością otrzymaną, a

przewidywaną przez teorię podzieloną przez niepewność pomiarową. Suma kwadratów tych

wielkości to wynik w teście chi kwadrat. Liczba stopni swobody to ilość przedziałów minus jeden.

Jeśli prawdopodobieństwo otrzymania gorszego wyniku dla danej teorii jest niższe niż 0,3 % uznaje

wynik za niezgodny z teorią. Wartość ta odpowiada w przybliżeniu prawdopodobieństwu

wylosowania liczby co do modułu większej niż trzy sigma z unormowanego rozkładu Gausa. Ten

poziom ufności odpowiada temu stosowanemu w teście trzy sigma.

Kolejną kwestią są zgodności dwóch liczb ze sobą. Dla zachowania konwencji uznaję ją za

zgodne jeżeli ich różnica jest mniejsza co do licznika niż trzykrotność jej niepewności.

Głównym celem dowolnego eksperymentu fizycznego jest określenie parametrów teorii lub

ewentualnie stwierdzeniu braku zgodności z nią. Na pytanie o parametry odpowiada teoria

estymacji. Dane z pomiaru traktujemy jako próbę z rozkładu, który jest wynikiem złożenia efektów

pomiarowych oraz własności fizycznych opisywanego zjawiska. Funkcję z próby rozkładu w

przestrzeń parametrów rozkładu nazywamy estymacją lub oceną, w przypadku gdy dotyczy

pojedynczej wielkości. Z fizycznego punktu widzenia równie ważna jest niepewność oceny.

Niestety podejście analityczne jest w stanie wyznaczyć ją tylko dla danych parametrów rozkładu,

które w realnym eksperymencie pozostają niewiadomą. W związku z tym możemy uzyskać jedynie

ocenę niepewności.

W przypadku mojej pracy najważniejsza będzie ocena efektywności badanych elementów. Jest to

prawdopodobieństwo zarejestrowania cząstki i otrzymania zliczenia, dla cząstki, która przelatuje

przez dany element. Rozkład liczby oczekiwanych zliczeń dany jest poprzez rozkład dwumianowy:

P (s , n| p) =( n s) ps

(1− p) (n−s) ,dla s ∈ {0,1.. n}

p – efektywność detekcji cząstki

s – liczba zliczeń

n – ilość cząstek przechodzących przez dany element

W mojej pracy ograniczam się do odpowiedzi na pytanie o prawdopodobieństwo

zarejestrowania mionu. Tu również będzie ważna niepewność jej wyznaczenia. Te dwie wielkości

można ocenić w dwóch alternatywnych podejściach.

9


1.4.2 Ocenianie wielkości w podejściu klasycznym

Najważniejszym aspektem, z punktu widzenia tej pracy, jest ocenianie wartości efektywności

oraz niepewności jej wyznaczenia. Do tego celu używam przede wszystkim metody klasycznej,

którą tutaj omówię. Droga rozumowania w tym podejściu jest stosunkowo prosta. Ponieważ średnia

oczekiwana liczby zarejestrowanych sygnałów to iloczyn efektywności oraz liczby cząstek, które

przeszły przez dany element, naturalne wydaje się ocenienie efektywności jako stosunek

zarejestrowanych cząstek do wszystkich, które przez niego przeleciały. Na potrzeby wyznaczenia

niepewności przyjmuje się, że wyznaczona w ten sposób efektywność wystarczająco przybliża

wartość rzeczywistą. Stąd dla niej można wyznaczyć niepewność pomiarową dla opisanej wyżej

procedury.

Oszacowanie efektywności oraz niepewności pomiarowych jej wyznaczenia w metodzie

klasycznej wyrażają się wzorami:

P est

= s n

σ p 2 = P est ∗(1− P est )

n

Pest – estymacja efektywności dla metody klasycznej

s – liczba zarejestrowanych przypadków

n – liczba możliwych do zarejestrowania przypadków

Bardzo często w mojej pracy pojawiają się różne histogramy dla danych wartości. Przy

szacowaniu niepewności wyznaczenia średniej rozkładu wygodnie posłużyć się rozmyciem

statystycznym. Wówczas wyraża się ona wzorem:

σ 2 =

V

n−1

V – wariacja rozkładu

n – liczba wejść w histogramie

To uproszczone podejście, którego będę używał zakłada, iż dominujące są błędy statystyczne.

Wartom dodać, że błędy systematyczne wyznaczenia średniej są równe temu błędowi dla

pojedynczego pomiaru przy tego typu jej wyznaczania.

1.4.3 Ocenianie wielkości w podejściu Bayesowskim

Pomocniczo używam też w pracy alternatywnej metody. Metoda Bayesowska [9] polega na

probabilistycznym podejściu do pomiaru. Do omówienia tej teorii wygodnie jest przyjąć założenie,

iż mierzona wielkość A jest zmienną losową o jakimś rozkładzie P(A). Wówczas zasadne jest

pytanie o jej rozkład, jeżeli dana jest zbiór obserwacji B. Na powyższe pytanie można otrzymać

odpowiedź stosując wzór na prawdopodobieństwo warunkowe:

P ( A| B) =

P (B | A)⋅P (A)

P ( B)

=

P (B | A)⋅P (A)

∑ i

P (B | A i

)⋅P (A i

)

P(B|A) jest dane przez teorię, natomiast P(A) jest nieznanym rozkładem wielkości mierzonej.

Głównym założeniem przy tej metodzie jest rozkład P(A). Z teoretycznego punktu widzenia

każdy dający się unormować rozkład P(A) jest dobry. Najczęściej jednak za P(A) przyjmuje się

rozkład jednostajny na ograniczonym przedziale. W moim przypadku, jako iż efektywność mieści

się w przedziale od 0 do 1, naturalnym założeniem jest rozkład jednostajny na przedziale od 0 do 1.

10


Natomiast obserwablą B jest zbiór s sukcesów przy n próbach dany przez rozkład dwu-mianowy:

P (s , n| p) =( n s) ps

(1− p) (n−s) ,dla s ∈ {0,1.. n}

Wówczas otrzymujemy rozkład ciągły dany wzorem:

p s (n− s)

(1− p)

P ( p| s , n) =

1

∫ s pi 0

(1− p i

) (n−s) dp i

Na tej postawie tego rozkładu wyznacza się wynik. Aby to zrobić, trzeba przyjąć jakieś

kryterium oceniające jakość zwróconego wyniku. Analogicznie do testu chi kwadrat, zwykle jest to

średnia wartość kwadratu błędu pomiędzy wartością zwracaną przez estymator, a rzeczywistą,

następnie zażądać jej minimalizację. Wartość niepewności estymacji uzyskuje się poprzez

wymaganie, aby wartość oczekiwana kwadratu różnicy po podzieleniu przez niepewność wyniku

wynosiła 1. Wówczas jako wynik pomiaru otrzymujemy średnią rozkładu P(A), a jej niepewność

wyraża się jako wariancja tego rozkładu. W moim przypadku otrzymane w ten sposób wzory będą

się wyrażać przez funkcje beta (całki Eulera pierwszego rodzaju), które po uproszczeniu

sprowadzają się do gotowych do użycia wzorów:

P est

= s+1

n+2

σ p 2 = P est

(1− P est

)

n+3

Co ciekawe, Pest jest równoważne z estymatorem klasycznym po dodaniu jednego sukcesu i

porażki do próby. Również estymacja niepewności wygląda podobnie.

1.4.4 Porównanie obu podejść

Metoda klasyczna nie sprawdza się przy bardzo wysokich lub niskich efektywnościach, głównie

za sprawą zwracania bardzo małego błędu. W skrajnych przypadkach np: same sukcesy z n prób,

dostajemy oszacowanie efektywności na poziomie 100 % z zerowym błędem, niezależnym od

liczby n. Niewątpliwie wynik ten nie jest w żaden sposób miarodajny. Natomiast metoda

Bayesowska zawsze zwraca niezerowe oszacowanie na błąd wyznaczenia efektywności.

Niestety średnia oczekiwana estymatora efektywności dla metody Bayesowskiej nie jest równa

parametrowi rozkładu dwumianowego, jak to ma miejsce w podejściu klasycznym.

W metodzie Bayesowskiej bardzo istotne jest założenie o początkowym rozkładzie wartości

mierzonej, który należy wyznaczyć jeszcze zanim się dokona pomiarów. W zależności od niego

można uzyskać różne wyniki dla tego samego zbioru danych.

Nietrywialny jest fakt, iż przy standardowych założeniach, jakie czyni się w metodzie

bayesowskiej, wyniki zwracane przez obie metody są ze sobą zgodne w ramach wyznaczonych

przez siebie błędów. Przy próbie z rozkładu dwumianowego dążącej do nieskończoności wyniki

obu metod są sobie równe.

Podsumowując, metoda Bayesowska ma przewagę w wyznaczaniu wartości niepewności.

Natomiast z drugiej strony w podejściu klasycznym jest lepsza kontrola nad estymacją

efektywności oraz nie wymaga ona dodatkowych założeń.

11


2 Wyznaczanie efektywności liczników SMRD przy użyciu

mionów atmosferycznych

2.1 Dane z eksperymentu

Pojedynczy licznik scyntylacyjny składa się z scyntylatora, wewnątrz którego przeprowadzony

jest światłowód. Na jego końcach po obu stronach zamieszczono fotodiody MPPC. W przypadku,

gdy tryger kosmiczny zaakceptuje przypadek, każdy zarejestrowany przez MPPC sygnał, który

przekroczył próg wyzwalania, zostaje zapisany wraz z informacją o czasie oraz amplitudzie. Do

tego sygnału można też jednoznacznie przypisać element detektora, z którego on pochodził. Jest to

pojedyncze zliczenie, którego umowne współrzędne przestrzenne odpowiadają środkowi elementu

detektora. Pozycja elementu danego licznika w przestrzeni jest przyjmowana na podstawie

planowanego rozmieszczenia, czyli zakłada idealne pozycjonowanie elementów.

Program SMRDCalib łączy w pary pojedynczych zliczeń z dwóch końców licznika scyntylacyjnego

w oknie czasowym o szerokości 46 ns. Następnie na podstawie różnicy czasów dojścia

sygnału do końców licznika scyntylacyjnego i położenia elementu detektora odpowiedni algorytm

stara się określić położenie takiego sparowanego sygnału, wewnątrz licznika scyntylacyjnego. Taki

sygnał nazywam dalej podwójnym zliczeniem. Z różnicy czasu można zrekonstruować tylko jedną

współrzędną na osi z za pozostałe dwie przyjmuje się środek licznika.

Do tej analizy używam danych zebranych w kwietniu 2010r. W tym okresie zbierania danych

liczba przypadków dla trygera góra-dół jest porównywalna z tą dla trygera bok-bok. Uzyskuje w ten

sposób po 40 tys. przypadków dla każdego z dwóch ustawień trygera.

2.2 Metoda wewnętrznych liczników

2.2.1 Opis metody wewnętrznych liczników

Metoda ta jest wyjątkowo prosta. Dana wieża licznika SMRD składa się z 3-6 warstw

scyntylatorów. Zostało to szerzej omówione w rozdziale 1.3.1 na stronie 6. Liczniki scyntylacyjne

można połączyć w mniejsze wieże złożone z kilku scyntylatorów znajdujących się jeden nad

drugim. Oczekuję zliczenia w danym scyntylatorze, jeżeli otrzymałem sygnał od jego dwóch

odpowiedników (najbliższych) z takiej mniejszej wieży nad i pod danym licznikiem. Na rys. 4

przedstawiono schemat takiego postępowania. Kolorem czerwonym i pomarańczowym zaznaczono

liczniki scyntylacyjne wchodzące w skład takiej mniejszej wieży. W tym przykładzie spodziewam

się sygnału w zaznaczonym na pomarańczowo liczniku scyntylacyjnym, jeżeli był sygnał w tych

oznaczonych na czerwono. W przypadku większej ilości warstw biorę pod uwagę kolejne trzy

warstwy, dla przykładu oznaczone numerami 2,3,4. W kontekście tej metody liczniki można

podzielić na zewnętrzne, należące do skrajnych warstw i wewnętrzne, czyli nienależące do

pierwszej lub ostatniej warstwy. Metoda ta pozwala wyznaczyć efektywność tylko dla liczników

wewnętrznych.

12


ys. 4 Schemat poglądowy ilustrujący metodę wewnętrznych liczników. Na rysunku

zamieszczono trzy kolejne warstwy. Kolorem czerwonym oznaczono liczniki scyntylacyjne, w

których pojawił się sygnał - warstwy trygerujące A i B. Natomiast kolorem pomarańczowym

zaznaczony jest licznik, w którym oczekujemy pojawienia się sygnału, znajdujący się w warstwie T.

Na niebiesko zaznaczono pozostałe liczniki, natomiast kolorem ciemniejszym zaznaczono te

należące do badanej warstwy.

2.2.2 Zalety i wady dla metody wewnętrznych liczników

Metoda ta z definicji może zostać użyta tylko dla wewnętrznych liczników, to znaczy

nienależących do pierwszej i ostatniej warstwy.

Metoda jest niewrażliwa na ewentualne błędy rekonstrukcji, ponieważ w żaden sposób nie

używa ona rekonstrukcji.

Metoda ta zakłada, iż każdy mion, który przeleciał przez licznik nad i pod danym licznikiem,

musiał także przelecieć przez niego samego. W związku z tym nie uwzględnia ewentualnej

krzywizny toru, co dla odległości rzędu 65 mm między warstwami jest bardzo dobrym

przybliżeniem. Żeby mion został uwzględniony, musi przejść przez liczniki scyntylacyjne

oznaczone na czerwono, co sprawia, iż nie wykorzystuję w niej mionów z pełnego zakresu kątowego.

Najlepiej to widać na schemacie tej metody, który został przedstawiony on został na rys. 4

na stronie 13.

Metoda ta liczy efektywność na całej powierzchni licznika.

Podsumowując, główną wadą metody jest fakt, iż może ona zostać użyta tylko na specyficznej

podpróbce liczników.

W związku z powyższym metoda nie pozwala na kontrolowanie wszystkich liczników. W

zamian za to może ona bardzo dobrze pełnić funkcje metody odniesienia.

13


2.2.3 Otrzymane wyniki dla metody wewnętrznych liczników

Otrzymane wyniki wyznaczenia efektywności przedstawione są na rys. 5, jako rozkład wartości

efektywności poszczególnych liczników. Tę metodę można zastosować do 856 liczników.

Na histogramie efektywności widać maksimum dla wartości 100 % . Jest to wynikiem złożenia

dwóch efektów: wysokiej efektywności oraz stosunkowo małej liczby przypadków na podstawie

których jest ona wyznaczana. W rezultacie daje to dużą szansę na estymację wartości 100 %. Na

histogramie na rys. 6 przedstawiono ile razy oczekiwano sygnału z środkowego licznika.

Dla powyższej metody otrzymano średnią efektywność 96,61±0,12 %.

rys. 5 Histogram otrzymanej efektywności dla metody wewnętrznych liczników, każde wejście

oznacza jeden licznik. Na osi poziomej odłożono wyznaczoną efektywność (Eff cent ). Histogram

zawiera 856 wejść.

rys. 6 Histogram liczby oczekiwanych zliczeń dla metody wewnętrznych liczników. Każde

wejście to jeden licznik. Na osi poziomej odłożono liczbę oczekiwanych zliczeń (stat cent ). Histogram

zawiera 856 wejść.

14


2.3 Metoda używająca rekonstrukcji mionów

2.3.1 Rekonstrukcja prostej poprzez algorytm PCA

Wyznaczenie efektywności dla wszystkich liczników wymaga wykorzystania rekonstrukcji, bo

tylko wtedy można na podstawie wyznaczonego toru oczekiwać sygnału od liczników znajdujących

się w pierwszej i ostatniej warstwie.

Rekonstrukcja mionów w SMRDCalib dopasowuje prostą do zbioru punktów, które odpowiadają

współrzędnym podwójnych zliczeń. Wynik zwracany jest w postaci dwóch punktów, zdefiniowanych

jako dwa najbardziej odlegle rzuty prostopadłe współrzędnych podwójnych zliczeń na

dopasowaną prostą. Jako wynik działania rekonstrukcji można otrzymać albo dwa punkty, albo

zbiór pusty. Ta druga możliwość oznacza brak dopasowania lub błąd algorytmu. W rekonstrukcji do

znalezienia prostej używa się powszechnie stosowanego algorytmu PCA, którego pełna nazwa

angielska brzmi Principal Component Analysis. [10]

2.3.2 Opis metody używającej rekonstrukcji bez cięć

Z dwóch punktów będących wynikiem rekonstrukcji odtwarzam prostą którą identyfikuję jako

tor mionu. Następnie wyznaczam miejsce przecięcia otrzymanej prostej z płaszczyzną licznika.

Obszar aktywny definiuję jako cały obszar licznika. Jeżeli punkt przecięcia prostej jest wewnątrz

obszaru aktywnego dla danego licznika, to spodziewam się w nim podwójnego zliczenia, nie

nakładam również żadnego kryterium na miejsce w liczniku, w którym ma się ono pojawić.

Schemat tej metody przedstawia rys. 7. Pozycję licznika wyznaczam zakładając idealne

pozycjonowanie i nominalne wymiary.

rys. 7 Schemat poglądowy dla metody z użyciem rekonstrukcji bez cięć. Kolorem niebieskim

zaznaczono obszar licznika, który zawiera się w ustalonej płaszczyźnie. Tor mionu jest

reprezentowany przez brązową linię, a punkt przecięcia jest zaznaczony na czerwono.

2.3.3 Zalety i wady dla metody rekonstrukcji bez dodatkowych cięć

Główną zaletą jest to, iż metoda ta działa na całym obszarze licznika, w związku z tym można

próbować zobaczyć, jak się zmienia efektywność na brzegach licznika. Ponadto ta metoda będzie

się charakteryzować dużą liczbą, trochę większą niż w poprzedniej metodzie, spodziewanych

zliczeń w danym liczniku. Dzieje się tak, ponieważ nie jest wymagany warunek przejścia przez dwa

liczniki znajdujące się w danej mniejszej wieży, jak to ma miejsce w metodzie wewnętrznych

15


liczników. Kolejnym plusem tej metody jest fakt, iż może ona posłużyć do wyznaczenia

efektywności wszystkich liczników. Niestety posiada też poważne wady, mianowicie jest bardzo

czuła na wszelkie niepewności rekonstrukcji. Ponadto zakłada ona przybliżenie, iż tor mionu jest

prostą, pomija na przykład zagięcie toru w polu magnetycznym, jednak jest to dobre przybliżenie

dla mionów atmosferycznych.

Podsumowując, jest to dobra metoda do próby oszacowania efektywności wewnątrz licznika,

chociaż przy interpretacji wyników trzeba zachować szczególną ostrożność ze względu na

niedoskonałości rekonstrukcji.

2.3.4 Otrzymane wyniki dla metody z użyciem rekonstrukcji bez cięć

Otrzymane wyniki przedstawione są na rys. 8, jako rozkład wartości efektywności

poszczególnych liczników. Na histogramie widać klasyczny ciągły rozkład z maksimum na

wartości około 87 %, natomiast powstałe mniejsze struktury są wynikiem fluktuacji statystycznych.

W porównaniu z poprzednim wynikiem nie ma maksimum dla wartości 100 %. Dzieje się tak z powodu

statystyki wystarczającej do zauważenia różnicy na poziomie kilkunastu procent. Liczbę

oczekiwanych zliczeń przedstawia histogram na rys. 9.

Dla powyższej metody otrzymano średnią efektywność 88,06±0,14 %. Otrzymałem efektywność

wyraźnie niższą od tej dla poprzedniej metody, co omówię oraz przeanalizuję dokładniej później

przy porównaniu obu metod.

rys. 8 Histogram otrzymanej efektywności dla metody używającej rekonstrukcji (Eff rec ), na

każde wejście przypada jeden licznik. Histogram zawiera 2007 wejść. Dodatkowo znaleziony został

jeden licznik z zerową efektywnością.

16


ys. 9 Histogram liczby oczekiwanych zliczeń dla metody używającej rekonstrukcji (stat rec ),

gdzie jedno wejście odpowiada jednemu licznikowi dla metody używającej rekonstrukcji. Histogram

zawiera 2008 wejść.

2.3.5 Porównanie metody z użyciem rekonstrukcji bez cięć z metodą

wewnętrznych liczników

Aby zrobić porównanie pomiędzy metodami, należy ograniczyć się do podpróbki wewnętrznych

liczników, w której skład wchodzi 856 liczników. Jeśli popatrzy na histogram różnicy pomiędzy

wyliczonymi efektywnościami zamieszczony na rys. 10, pierwszą rzucającą się różnicą jest fakt, iż

metoda wewnętrznych daje wynik średnio 5,8±0,2 % wyższy od metody bez ograniczania obszaru

aktywnego .

rys. 10 Histogram różnicy między wartością zwracaną przez metodę z użyciem rekonstrukcji

(Eff rec ) bez cięcia na obszar aktywny z metodą wewnętrznych liczników (Eff cent ) dla wewnętrznych

scyntylatorów. Histogram zawiera 856 wejść.

Jeśli popatrzeć na korelacje wyników z rys. 11 można otrzymać te same wnioski co dla

poprzedniego porównania. Ostatecznie otrzymuję wniosek, że metoda bez ograniczania obszaru

aktywnego zaniża efektywność o 6 % na podpróbce liczników wewnętrznych.

17


ys. 11 Histogram obrazujący zależność wartości efektywności zwracanej przez metodę

wewnętrznych liczników (Eff cent ) od wyniku metody bez cięć na obszar aktywny licznika (Eff rec ),

jednemu wejściu odpowiada jeden licznik. Histogram zawiera 856 wejść.

Ponieważ, wyniki obu metod są różne, to zachodzi podejrzenie, iż metoda bez cięć zaniża wynik

pomiaru, co może być spowodowane:

• Niepewnościami rekonstrukcji. Do tej grupy zalicza się sytuację, w której mion przechodzi

przez dany licznik, natomiast jego zrekonstruowany tor go omija celując w inny licznik. Ponadto

dodatkowym czynnikiem jest zakładaniem środka licznika jako miejsca pojawienia się sygnału na

osi szerokości licznika. Ponieważ te punkty wchodzą później do dopasowania, to uzyskany efekt

może dawać wpływ analogiczny do niepewności rekonstrukcji.

• Trochę innym rozkładem kątowym mionów, których używamy do wyznaczenia efektywności.

Efektywność może zależeć od kąta pod jakim mion przecina dany licznik. Wówczas z powodu

cięcia na kąt mionu w metodzie wewnętrznych liczników możemy się spodziewać innej efektywności.

Ten efekt nie powinien jednak stanowić istotnego wkładu, gdyż rozkłady kątowe są do

siebie zbliżone. Nie można jednak w ten sposób wyjaśnić aż 6 % różnicy w wynikach.

• Niepewność pozycjonowania liczników. Położenie liczników może się różnić od

rzeczywistego, wówczas mion może przelecieć przez obszar zakładany lecz nierzeczywisty,

wskutek czego spodziewamy się sygnału w liczniku, przez który nie przeleciał mion. Ten efekt nie

powinien być istotny, ponieważ w obu metodach powinien mieć zbliżony wkład do wyniku.

Jeśli przyczyną jest niepewność rekonstrukcji lub pozycjonowania liczników, można ograniczyć

obszar uznawany przez metodę liczenia efektywności za aktywny. Tak zmodyfikowaną metodę

można wówczas porównać z metodą bez cięć oraz metodą wewnętrznych liczników. Jeżeli ta

hipoteza jest słuszna, to zmodyfikowana metoda będzie dawała takie same rezultaty na podpróbce

liczników wewnętrznych jak metoda bez użycia rekonstrukcji. Ponadto z porównania obu metod

używających rekonstrukcji będzie można oszacować wpływ niepewności rekonstrukcji.

18


2.4 Metoda używająca rekonstrukcji mionów z cięciami

2.4.1 Opis metody używającej rekonstrukcji mionów z ograniczonym

obszarem aktywnym

Postępuję analogicznie jak w pierwszej metodzie wykorzystującej rekonstrukcje, z tą różnicą, iż

inaczej definiuję obszar aktywny. Poprzednia metoda została opisana punkcie w 2.3.2 na

stronie 15. Obszar aktywny definiuję jako wewnętrzny obszar licznika o tym samym środku co środek

licznika oraz symetryczny wzdłuż oraz w poprzek licznika scyntylacyjnego, co obrazuje schemat

tej metody na rys. 12. Jeżeli punkt przecięcia prostej jest wewnątrz obszaru aktywnego dla danego

licznika, to spodziewam się w nim sygnału podwójnego zliczenia. nie nakładam natomiast

żadnego kryterium na miejsce w liczniku, w którym powinien się pojawić prawdziwy sygnał (może

się on pojawić poza obszarem aktywnym licznika). W tej metodzie obszar aktywny zdefiniowano

jako obszar dwa razy mniejszy od faktycznych rozmiarów licznika. Pozycję środka licznika wyznaczam

analogicznie do poprzedniej metody.

rys. 12 Schemat poglądowy dla metody z ograniczonym obszarem aktywnym. Kolorem

niebieskim zaznaczono obszar licznika. Kontur wewnątrz odpowiada krawędzią obszaru

aktywnego, który się zawiera wewnątrz niego. Punkt przecięcia oznaczono kolorem czerwonym,

natomiast sam tor lotu mionu jest reprezentowany przez brązową linię.

2.4.2 Zalety i wady dla metody używającej rekonstrukcji mionów z

ograniczonym obszarem aktywnym

Wadą jest to, iż metoda ta nie działa na całym obszarze licznika, w związku z tym nie można

zobaczyć jak się zmienia efektywność na brzegach licznika. Ponadto ta metoda będzie się

charakteryzować mniejszą liczbą spodziewanych zliczeń w danym liczniku ze względu na

zawężenie obszaru aktywnego wewnątrz licznika. Zaletą tej metody jest fakt, iż może ona posłużyć

do wyznaczenia efektywności wszystkich liczników. Dzięki cięciu na obszar aktywny zmniejsza się

niepewność wynikająca z rekonstrukcji. Tak jak w poprzedniej metodzie, również w tym przypadku

19


przyjmuje ona przybliżenie, iż tor mionu jest prostą, pomijając niewielkie zagięcie toru w polu

magnetycznym. Niestety z powodu cięcia na obszar aktywny zaniedbuje ona efekty związane ze

spadkiem efektywności na brzegach liczników. Podsumowując, metoda ta jest bardzo dobra do

wyznaczania ogólnej efektywności liczników, gdyż w tym przypadku efektywności na brzegach

liczników dają do niej niewielki wkład.

2.4.3 Wyznaczenie optymalnego obszaru cięcia

Na rys. 13 przedstawiono jak zmienia się efektywność wraz ze zmianą obszaru aktywnego oraz

jaka jest niepewność jej wyznaczenia dla przeciętnego licznika. Przeciętny licznik definiuję jako

licznik mający efektywność równą średniej dla danego cięcia oraz liczbę oczekiwanych zliczeń

równą średniej tej wielkości, która powstaje w skutek zastosowania cięcia. Na wykresie odłożono

czterech punkty obrazujące różne cięcia: 25 %, 50 %, 75 % oraz 100 %. Procent cięcia mówi jaki

odsetek procentowy osi stanowi obszar aktywny licznika. Odsetek ten jest taki sam zarówno dla osi

długości jak i szerokości badanego licznika. Jak widać, efektywność rośnie wraz z kurczeniem się

obszaru aktywnego, jednak poniżej 50 % ten wzrost jest mniejszy niż wzrost niepewności jej

wyznaczenia dla przeciętnego licznika. W związku z powyższym przyjąłem cięcie na poziomie

50 % dla każdej współrzędnej. Aby zobaczyć, czy otrzymane w ten sposób wyniki są miarodajne,

warto je później porównać z metodą wewnętrznych liczników.

rys. 13 Zależność otrzymanej efektywności (Eff) od selekcji obszaru aktywnego. Słupki błędów

oznaczają niepewności wyznaczenia efektywności dla przeciętnego licznika. Na osi pionowej

odłożono efektywność, natomiast dla osi poziomej procent używanej współrzędnej. 100 %

symbolizuje cały licznik, natomiast 50 % oznacza jego pomniejszenie do połowy nominalnych

wartości w każdym wymiarze.

2.4.4 Wyniki dla metody używającej rekonstrukcji z cięciami

Otrzymane wyniki przedstawione są na rys. 14, jako rozkład wartości efektywności

poszczególnych liczników. Widać na nim wyraźne maksimum dla wartości 97 %. Jest to mniej

więcej wartość średnia rozkładu dla metody wewnętrznych liczników, zamieszczonego w punkcie

2.2.3 na stronie 14. Liczba oczekiwanych zliczeń została przedstawiona na histogramie na rys. 15.

Dla powyższej metody otrzymano średnią efektywność 95,15±0,10 %. Jest ona wyraźnie wyższa

od tej uzyskanej dla metody bez cięć, o jakieś 7 %. Dokładniejszą analizę przedstawię później.

20


ys. 14 Histogram otrzymanej efektywności dla metody z ograniczonym obszarem aktywnym

(Eff cut ), gdzie jedno wejście to jeden licznik. Histogram zawiera 2007 wejść. Dodatkowo znaleziony

został jeden licznik z zerową efektywnością.

rys. 15 Histogram liczby oczekiwanych zliczeń dla metody z ograniczonym obszarem aktywnym

(stat cut ). Tu również na jedno wejście przypada jeden licznik. Histogram zawiera 2008 wejść.

2.4.5 Porównanie metody z cięciami z metodą wewnętrznych

liczników

Wyniki wyliczonych różnic zostały odłożone na histogramie na rys. 16. Pierwszą rzucającą się w

oczy różnicą w stosunku do metody bez cięć jest fakt, iż metoda wewnętrznych liczników daje

wynik zgodny z metodą wewnętrznych liczników. Średnia różnica pomiędzy metodą z

ograniczonym obszarem aktywnym a metodą wewnętrznych liczników wynosi tylko 0,33±0,11 %,

co jest zgodne z hipotezą zgodności obu metod na badanej podpróbce liczników. Ponadto wykres

jest symetryczny wokół zera zgodnie z oczekiwaniem. Dla lepszej analizy należy sprawdzić

histogram korelacji przedstawiony na rys. 17. Powstaje dodatkowy mały pik dla wartości równej

zero. Jest on spowodowany sytuacją, w której obie metody estymują wartość efektywności równą

100 %, jest to bin w prawym górnym rogu. Jeśli spróbować dokładniej przeanalizować ten

histogram, to otrzymujemy wniosek, że jeśli metoda używająca rekonstrukcji mionów z

ograniczonym obszarem aktywnym dała mniejszy wynik niż 100 %, to również metoda

wewnętrznych liczników daje chętniej niższy wynik, co świadczy o korelacji obu metod. Istnieje

również mała grupa liczników, dla których wynik z metody wewnętrznych liczników jest wyższy

od tego z metody z cięciami, jednak różnica ta mieści się w granicach trzech sigma.

Podsumowując, metody są ze sobą skorelowane zgodnie z oczekiwaniem. Ponadto wyniki obu

metod są ze sobą zgodne w ramach testu trzy sigma.

21


ys. 16 Rozkład różnic w pomiarze efektywności pomiędzy metodami. Histogram przedstawia

różnicę pomiędzy wartością zwracaną przez metodę z użyciem rekonstrukcji z dodatkowo

nałożonym cięciem na obszar aktywny (Eff cut ), a z metodą wewnętrznych liczników (Eff cent ) dla

wewnętrznych scyntylatorów. Na jedno wejście przypada jeden licznik. Histogram zawiera 856

wejść.

rys. 17 Histogram korelacji pomiędzy metodą wewnętrznych liczników (Eff cent ), a metodą z

ograniczonym obszarem aktywnym (Eff cut ), obrazujący zależność wyniku jednej metody od drugiej.

Histogram zawiera 856 wejść. Jedno wejście to jeden licznik.

2.4.6 Porównanie pomiędzy dwoma metodami wykorzystujących

rekonstrukcje torów

Wyniki różnicy efektywności pomiędzy dwoma metodami przedstawiono na histogramie na

rys. 18 dla wszystkich liczników. Pierwszym wnioskiem jest fakt, iż metoda z wykorzystaniem cięć

na obszar aktywny licznika daje wynik średnio 7,09±0,11 % wyższy od metody bez ograniczania

obszaru aktywnego. Różnica między wynikami metod wyraźnie nie jest fluktuacją statystyczną, co

bardzo dobrze widać z rozmycia statystycznego oraz kształtu wykresu. Histogram różnicy jest

niesymetryczny oraz ma przesuniętą wartość średnią w kierunku wartości dodatnich, co oznacza, że

metoda z cięciami daje wyższy wynik pomiaru efektywności. Mam co prawda też małą grupę

liczników, dla których wyższy wynik daje metoda bez ograniczania obszaru aktywnego, jednak

wynika to najprawdopodobniej z fluktuacji statystycznych. Największa różnica na tej pod-próbce

wynosi ledwie 7 %, przy błędzie oszacowanym z wariacji rozkładu na poziomie 4,9 % jako błąd

pojedynczego pomiaru.

22


ys. 18 Histogram różnicy między wartością zwracaną przez metody z rekonstrukcji mionów.

Używającej cięcia na obszar aktywny, który jest dwa razy mniejszy od rzeczywistych rozmiarów

licznika (Eff cut ) oraz bez tego cięcia (Eff rec ). Jedno wejście to jeden licznik. Histogram zawiera

2008 wejść.

Nadal jednak otwarte pozostaje pytanie, jaki charakter ma wyznaczona różnica. Najważniejsza

jest zależność od wyznaczonej efektywności przez jedną z metod. Takie dokładniejsze porównanie

można przeprowadzić patrząc na korelacje wyników pomiędzy metodami na pokazaną rys. 19.

Dodatkowa informacja, jaką można otrzymać patrząc na korelacje wyników, jest fakt, iż są one

skorelowane zgodnie z oczekiwaniem, czyli widać liniową zależność pomiędzy metodami. W

przypadku metody z cięciami liczę efektywność używając pewnego podzbioru oczekiwanych

zliczeń z metody bez cięć, ponadto nie widać zależności różnicy od wyliczonej efektywności.

Podsumowując, mogę stwierdzić, iż efektywność wyliczona metodą bez cięć jest średnio niższa

o 7 % na próbce wszystkich liczników oraz o 5,5 % na podpróbce liczników wewnętrznych. Dla

podpróbki otrzymuje się analogiczne wykresy, tylko z mniejszą statystyką, więc ich nie

zamieszczam.

rys. 19 Histogram, w którym każde wejście to jeden licznik obrazuje zależność wyniku z jednej

metod od drugiej. Na osi pionowej odłożony jest wynik z metody, w której ograniczono obszar

aktywny (Eff cut ), natomiast na osi poziomej jest metoda bez ograniczania obszaru aktywnego

(Eff rec ). Histogram zawiera 2007 wejść. Dodatkowo dla obu metod został znaleziony licznik z

zerową efektywnością.

23


2.5 Wnioski z porównania metod

2.5.1 Podsumowanie wyników dla użytych metod

Dla zbioru danych było zapisane ponad 80 tysięcy przypadków wyzwolenia trygera, w

większości rekonstrukcja mionów zwraca dopasowaną prostą, nie otrzymałem toru jedynie w

niecałych 400 przypadkach. Szczegółowe dane zawiera Tabela 2.

Nazwa metody

wewnętrznych

liczników

z rekonstrukcją

bez cięć

Liczba

spodziewanych

zliczeń (ogólnie)

Średnio

spodziewanych

zliczeń na licznik

Liczba badanych

liczników

Otrzymana

efektywność

(średnia)

135 tysięcy 158 856 96,61±0,13 %

536 tysięcy 256 2008 88,06±0,14 %

z rekonstrukcją z

209 tysięcy 104 2008 95,03±0,11 %

cięciem

Tabela 2. Zestawienie wyników otrzymanych różnymi metodami metod.

Dla metod z użyciem rekonstrukcji został znaleziony licznik z zerową efektywnością, którego

położenie jest zgodne z tym, co wiem z innych źródeł. Jego współrzędne to pierścień nr 5, wieża nr

6, warstwa nr 1.

Ponieważ wyniki się różnią, postanowiłem przeprowadzić analizę różnic używając symulacji,

aby lepiej poznać przyczynę owych różnic. W przypadku metody liczników wewnętrznych różnice

mogą być spowodowane różną pod-próbką badanych liczników. W rzeczywistości każdy licznik

może mieć różną efektywność, stąd średnie dla wybranej podpróbki i całej próbki liczników nie

muszą być sobie równe. Dla metody wewnętrznych liczników mam do dyspozycji tylko

wewnętrzne liczniki, natomiast w pozostałych metodach mogę uzyskać estymacje efektywności dla

wszystkich scyntylatorów. Rekonstrukcja może dawać lepsze lub gorsze efekty na licznikach

wewnętrznych w stosunku do wszystkich scyntylatorów. Jak widać z porównania pomiędzy

wartościami średnimi dla rozkładów pomiędzy metodą wewnętrznych liczników a używającą

rekonstrukcji z cięciami, jest to efekt na poziomie 1 %. Najprawdopodobniej jest to spowodowane

obecnością dodatkowego licznika przed i po dla liczników w warstwach wewnętrznych.

W przypadku metod używających rekonstrukcji istotny wkład może wynikać z niepewności

rekonstrukcji oraz nieuwzględniania efektów brzegowych. Z testów przeprowadzonych w

warunkach laboratoryjnych spodziewam się spadku efektywności na końcach liczników

scyntylacyjnych. W przypadku rekonstrukcji natomiast mamy mniejsze prawdopodobieństwo, iż

mion faktycznie przeszedł przez dany licznik, jeżeli zrekonstruowany tor przecina licznik na jego

brzegu, dodatkowo mamy również pewien błąd w wyznaczeniu pozycji licznika. Najprawdopodobniej

mam do czynienia ze złożeniem tych dwóch efektów.

24


2.5.2 Porównanie użytych metod

Każda z użytych metod ma swoje mocne i słabe strony. Ich zestawienie pokazuje Tabela 3.

Zacznę od podatności na niepewność rekonstrukcji. W tym aspekcie oczywistą przewagę ma

metoda niewykorzystująca rekonstrukcji . Natomiast przy metodzie z cięciem jest ona zmniejszona

dzięki zredukowaniu obszaru aktywnego. Kolejnym aspektem jest wykorzystanie zakresu kątowego

mionów, tutaj jedynie metoda wewnętrznych liczników nie wykorzystuje pełnego zakresu. Dzieje

się tak z powodu wymagania, aby był sygnał w liczniku scyntylacyjnym znajdującym się nad i pod

testowanym licznikiem w tej samej mini wieży. Z tego samego powodu ta metoda nie działa

również dla wszystkich liczników, tylko dla wewnętrznych. Jednak nie spodziewam się, iż to małe

cięcie w zakresie kątowym mionów istotnie wpłynie na wyznaczoną efektywność liczników. W

przypadku metody z użyciem rekonstrukcji z cięciem, jego wprowadzenie zmniejsza zarówno

wpływ niepewności rekonstrukcji jak i wpływ efektów brzegowych. Wpływ efektów brzegowych

przy wyznaczaniu może mieć znaczenie, gdyż spodziewam się zmniejszenia efektywności na

brzegu licznika scyntylacyjnego. Sygnał, który dotarł do dalszego końca mógł być zbyt słaby aby

przekroczyć próg, w efekcie czego nie odtworzy się poprawnie jako podwójne zliczenie. Warto

jeszcze pamiętać, iż do wyznaczenia obszaru aktywnego potrzebuję dwóch parametrów: szerokości

oraz długości.

Podsumowując, dla liczników wewnętrznych spodziewam się, iż najlepszą ocenę efektywności

uzyskam z metody liczników wewnętrznych i w związku z tym będzie można ją stosować jako

metodę odniesienia przy porównaniach. Natomiast dla wszystkich liczników scyntylacyjnych

najlepsza powinna się okazać metoda z użyciem rekonstrukcji z cięciem z ewentualnie odpowiednio

zmienionymi parametrami. Aby potwierdzić przypuszczenia, przetestowałem je na symulacji

Monte-Carlo, w której efektywność liczników wynosi 100 %.

Czułość na niepewność

rekonstrukcji

Metoda wewnętrznych

liczników

Metoda z użyciem

rekonstrukcji bez cięć

Brak Duża Mała

Zakres kątowy mionów Małe cięcie Pełny Pełny

Działanie na licznikach

scyntylacyjnych

Metoda z użyciem

rekonstrukcji z cięciem

Tylko na wewnętrznych Na wszystkich Na wszystkich

Efekty brzegowe Uwzględnia Uwzględnia Nie uwzględnia

Ilość użytych mionów

na dany licznik

Dodatkowe parametry

w metodzie

Tabela 3.

Średnia (~160) Duża (~260) Mała (~100)

Brak

Brak

Porównanie metod użytych do wyznaczania efektywności.

2 związane z

wyznaczeniem obszaru

aktywnego

25


2.6 Możliwe przyczyny nieefektywności liczników

Ponieważ widać wyraźnie, iż wyliczone efektywności pokazują 5-6 % nieefektywność, warto

zastanowić się nad możliwymi przyczynami. Pierwszą i najprostszą mogą być efekty brzegowe. Tę

możliwość postaram się lepiej rozważyć przy okazji analizy przyjętego obszaru aktywnego, jednak

już teraz na podstawie wyników z metody wewnętrznych liczników i używającej rekonstrukcji

mionów z ograniczonym obszarem aktywnym można powiedzieć, iż ten efekt nie będzie

dominujący. Drugą możliwością jest gubienie sygnału na drodze algorytmów poprzez zbyt

rygorystyczne okna czasowe. Tę możliwość można stosunkowo łatwo sprawdzić poprzez

rozszerzenie lub zawężenie tego okna. Ostatnią możliwością, jaką należałoby rozważyć, jest

faktyczna nieefektywność liczników. Ten wariant zostanie lepiej rozpatrzony przy analizie czasów

otrzymania sygnału.

2.7 Próba odtworzenia rozkładu efektywności.

2.7.1 Podstawy teoretyczne

Dla pojedynczego licznika przy ustalonej liczbie mionów, które przez niego przeleciały

prawdopodobieństwo otrzymania danej efektywności jest opisywane przez rozkład dwumianowy.

Liczba mionów z kolei podlega rozkładowi Poissona, którego parametr jest złożeniem wielu

efektów, w tym: użyta kombinacja układu wyzwalania, czas zbierania danych oraz położenie

wewnątrz detektora.

Omówiona metoda jest akademickim modelem opisującym, jakie wyniki można uzyskać przy

liczeniu efektywności danego układu. Model ten powstał w celu wyjaśnienia skąd biorą się

charakterystyczne struktury dwóch maksimów w moich wynikach liczenia efektywności dla

mniejszych statystyk. Efekt ten obecnie występuje tylko dla przypadku liczenie efektywności dla

symulacji, natomiast dla danych w wyniku zwiększenia statystyki już go nie obserwuję.

Jak w każdym modelu, i tu trzeba przyjąć jakieś założenia. Przyjęto więc, iż liczba przypadku do

wyznaczania efektywności dana jest rozkładem Poissona z zadanym parametrem N oraz prawdziwa

efektywność układu wynosi p. Otrzymany wynik jest analityczny (nie uwzględniając błędów

numerycznych) i ma interpretację prawdopodobieństwa wyznaczenia danej efektywności wyrażonej

w procentach. Model ten zakłada, iż efektywność będzie oceniania używając metody klasycznej.

2.7.2 Metoda postępowania

Program korzysta z klasy TH1F zdefiniowanej w pakiecie ROOT.

Na początku liczę prawdopodobieństwo uzyskania wartości n z rozkładu Poissona, wyrażone w

procentach. Jeżeli n jest równe 0, to je pomijam i przechodzę do wyższego n, bo nie można

wyznaczyć efektywności. Rozkład Poissona wyraża się wzorem:

P (n ; N ) = 100 %⋅e−N N n

n !

Następnie liczę prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów korzystając z rozkładu dwumianowego

przy zadanym n. Rozkład ten dany jest wzorem:

P (k , n ; p) =( n s) pk (1− p) n −k , k∈{0,1... n}

26


Następnie do histogramu reprezentującego wynik wpisuję wyznaczoną wartość efektywności

metodą klasyczną z wagą równą prawdopodobieństwu wyrażonemu w procentach jej uzyskania,

równemu iloczynowi powyższych prawdopodobieństw. Czynność tę powtarzam dla wszystkich

możliwych wartości k.

Dodatkowo, ponieważ rozkład Poissona jest nieskończony, należy wprowadzić dodatkowy

parametr odpowiedzialny za ucięcie rozkładu. Nie ma on większego wpływu, ponieważ dla jego

domyślnej wartości otrzymuję wkład do błędu numerycznego niższy od błędów związanych z

wykonywaniem obliczeń na liczbach typu double.

2.7.3 Przykładowe wyniki dla rozkładu dwumianowego

Przykładowy wynik tej procedury przedstawia rys. 20. Jak widać na rysunku, odtwarzam w ten

sposób strukturę dwóch maksimów, charakterystyczną dla symulacji. Jednak należy pamiętać, iż ten

obrazek ma charakter ilościowy, a nie jakościowy, gdyż założenie, iż n podlega rozkładowi

Poissona dla grupy liczników pionowych i poziomych jest zbytnim uproszczeniem.

rys. 20 Prawdopodobieństwo otrzymania danej efektywności dla rozkładu dwumianowego i

ustalonej efektywności i ustalonej liczbie prób, na podstawie których się ją wyznacza. Na osi

poziomej odłożono otrzymaną efektywność, natomiast na osi pionowej prawdopodobieństwo

uzyskania danej efektywności wyrażone w procentach. Histogram po sumowaniu daje 100%.

2.7.4 Uogólnienie powyższej metody dla dowolnego rozkładu P(n).

Rzeczywista liczba przypadków nie jest dana rozkładem Poissona, więc wprowadziłem

modyfikacje powyższej metody postępowania na przypadek dowolnego rozkładu. Różnica polega

na tym, iż wartość P(n) odczytuje się z zadanego histogramu. Aby uzyskać opis ilościowy dla

danych, należy wziąć jako wejście rozkład n uzyskany dla danych. Ponieważ mam nadzieję, iż

wszystkie liczniki można opisać za pomocą jednej efektywności, zwanej dalej efektywnością

globalną, zakładam iż efektywność jest taka sama dla każdego z liczników i wynosi p. Następnie

dokonam dopasowania parametru p, tak aby wyznaczony histogram efektywności na danych

zgadzał się jak najlepiej z tym uzyskanym przez powyższą procedurę. Funkcję minimalizującą

wynik testu chi kwadrat wziąłem z pakietu ROOT.

27


2.7.5 Wynik na danych

Jeżeli dane liczniki scyntylacyjne można opisać za pomocą jednej globalnej efektywności, to

jeżeli mamy również ile razy spodziewaliśmy się sygnału, można spróbować odtworzyć uzyskany

rozkład efektywności. Dla lepszego dopasowania do danych można przyjąć dodatkowy podział na

dwie klasy liczników: pionowe i poziome. Różnią się one nieznacznie rozmiarami. Otrzymany

wynik przedstawia rys. 21. Niestety okazuje się, iż model nie sprawdza się do dokładniejszego

opisu rozkładu wyznaczonej efektywności. Wynik testu chi kwadrat wynosi 780 przy 16 stopniach

swobody.

rys. 21 Próba dopasowania modelu do danych z kwietnia 2011r. Model zakłada, iż liczniki

można opisać za pomocą globalnej efektywności, która jest dopasowywanym parametrem. Na osi

poziomej odłożono wyznaczoną efektywność zmierzoną przy użyciu rekonstrukcji bez cięć na obszar

aktywny wewnątrz licznika, natomiast oś pionowa reprezentuje liczbę przypadków dla liczników

poziomych. Kolorem czerwonym oznaczono przewidywanie modelu. Dla danych otrzymujemy 856

wejść, model z konstrukcji ma też taką samą sumę.

2.7.6 Wnioski

Niestety okazuje się, że liczników w detektorze SMRD nie da się opisać za pomocą jednej

globalnej efektywności. Może to być spowodowane:

● Rozkładem kątowym. W tym przypadku należy podzielić zbiór liczników na mniejsze klasy,

w których jest podobny rozkład kątowy mionów.

● Rzeczywistym rozkładem efektywności. W tym przypadku dyspersja rozkładu nie powinna

zależeć od liczby przypadków na podstawie której wyznacza się efektywność.

● Fluktuacją statystyczną. Wynik 780 przy 16 stopniach swobody, co pozwala z dużym

prawdopodobieństwem odrzucić tą hipotezę.

Przyjęty model w stopniu zadowalającym opisuje dane w sposób jakościowy. Do

dokładniejszego zbadania wpływu rozkładu kątowego mionów należałoby dokonać drobniejszego

podziału na klasy liczników, co jest niemożliwe z powodu zbyt małej liczby liczników. Natomiast

do zbadania rzeczywistego rozmycia efektywności w licznikach należy zebrać większą liczbę

mionów na licznik, którą również nie dysponuję.

28


3 Wynik dla symulacji wyznaczania efektywności liczników

3.1 Wiadomości wstępne

W symulacji wykorzystuję tylko te miony, w które przeszły przez tryger w ustawieniu góra- dól,

ponieważ inne ustawienia w szczególności bok- bok nie mają dostatecznej liczby przypadków. W

przypadku ustawienia góra-dół dostaje 1500 mionów, natomiast dla ustawienia bok- bok ledwie

kilkadziesiąt przypadków trygera. W związku z tym analizę efektywności można przeprowadzić

jedynie na licznikach poziomych, których jest 768.

W symulacji są zakładane 100 % efektywności liczników. W wyniku dalszego przetwarzania

pojedynczych zliczeń do podwójnych można nieznacznie zaniżyć efektywność z powodu tego, iż

sygnał na drugim końcu scyntylatora był ma zbyt niską amplitudę, aby przekroczyć ustalony próg i

związku z tym żądanie koincydencji na obu końcach licznika scyntylacyjnego nie odtworzy nam

sygnału podwójnego zliczenia.

Do wyliczenia efektywności używam estymatora najwyższej wiarygodności dla rozkładu

dwumianowego, czyli liczbą otrzymanych zliczeń wystąpienia podwójnego zliczenia, gdy się tego

spodziewam, podzieloną przez całkowitą liczbę spodziewanych zliczeń.

Do wyliczenia niepewności średniej efektywności badanej próbki liczników używam rozmycia

statystycznego wyników efektywności. Niepewność wyraża się wtedy jako pierwiastek z wariancji

podzielonej przez liczbę liczników.

3.2 Metoda wewnętrznych liczników

Histogram wyznaczonej efektywności pokazuje efektywność liczników scyntylacyjnych

poziomych na rys. 22 po lewej. Widać wyraźne maksimum dla wartości 100 % oraz pojedyncze

przypadki poza nim, jest on wynikiem niemal 100 % efektywności liczników. Efektywność poniżej

1 jest dla 5 przypadków. W każdym z nich brakuje tylko jednego sygnału. Są to prawdopodobnie

przypadki, w których pojedyncze zliczenia nie zostały poprawnie odtworzone do podwójnego

zliczenia, więcej w rozdziale 3.1 na stronie 29. Na histogramie po prawej przedstawiono liczbę

przypadków użytą do wyznaczenia efektywności. Mała liczba przypadków wyjaśnia fakt, iż

niektóre liczniki mają wyliczone dość niskie efektywności, gdyż nieudane zarejestrowanie nawet

pojedynczego przypadku w próbie przez licznik skutkuje spadkiem efektywności o ponad

kilkanaście procent.

Dla powyższej metody otrzymano średnią efektywność 99,73±0,13 %. Zgodnie z

przewidywaniami ta metoda daje poprawny wynik i może być użyta jako punkt odniesienia przy

porównywaniu metod, gdyż wynik mniejszy od 100 % jest tylko dla paru przypadków, w których

zostało tylko pojedyncze zliczenie nie sparowane z do podwójnego. Jest to zgodne z tym, iż

spodziewamy się odtworzenia prawie 100 % efektywności dla tej metody. Więcej na temat zalet i

wad metody w rozdziale 2.2.2 na stronie 13. Metoda ta może zostać użyta dla 256 liczników

poziomych.

29


ys. 22 Po lewej histogram otrzymanej efektywności (Eff cent ) dla ściany górnej i dolnej. Wynik

ten został otrzymany dla symulacji, przy użyciu metody wewnętrznych liczników. Natomiast po

prawej widzimy ilość oczekiwanych zliczeń (stat cent ). Każde wejście to jeden licznik. Oba

histogramy zawierają po 256 liczników.

3.3 Metoda używająca rekonstrukcji mionów

Na Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania przedstawiono rozkład obliczonej efektywności dla

wszystkich 768 liczników. Widać tutaj charakterystyczną strukturę dwóch maksimów. Jedno dla

wartości 100 %, natomiast drugie przy wartości około 94 %. Jest to wynikiem złożenia dwóch

efektów wysokiej efektywności i małej liczby przypadków, na podstawie których jest ona

wyznaczana (Błąd: Nie znaleziono źródła odwołania po prawej). Mam dużą szanse na estymację

wartości 100 % dla małej liczby przypadków, która maleje przy większej statystyce. Ponieważ jest

wyraźna grupa liczników o spodziewanej liczbie zliczeń poniżej 20, to należy się spodziewać, iż

powstanie pomiędzy wartościami 95 % oraz 99 % przy liczeniu efektywności, gdyż nie można

uzyskać takiej efektywności dzieląc przez siebie dwie liczby naturalne poniżej 20. Analogiczny

efekt został przeze mnie odtworzony przy próbie modelowania rozkładu efektywności w rozdziale

2.7.3 na stronie 27.

Dla powyższej metody otrzymano średnią efektywność 93,86±0,16 %, co jest niezgodne ze

efektywnością zakładaną w symulacji około 100 %, więcej w 3.1 na stronie 29. Na podstawie tego

wyniku można oszacować, iż efektywność jest zaniżana o 6 % w stosunku do rzeczywistej w

wyniku niepewności rekonstrukcji.

30


ys. 23 Po lewej histogram otrzymanej efektywności dla metody używającej rekonstrukcji

(Eff rec ), jedno wejście odpowiada jednemu licznikowi. Natomiast po prawej widać liczbę

oczekiwanych zliczeń(stat rec ). Wynik ten otrzymano na symulacji, na każde wejście przypada jeden

licznik.

3.4 Podsumowanie wyników dla powyższych metod

Dla zbioru danych było zapisane 1 513 przypadków wyzwolenia trygera, dla wszystkich

przypadków rekonstrukcja mionów zwraca dopasowaną prostą. Na podstawie analizy danych

spodziewam się około 8 przypadków, gdy nie dostanę zrekonstruowanego toru. Ten wynik jest

zgodny z symulacją, jeżeli uwzględni się niepewność, jaką powinien się charakteryzować ten

pomiar. Wynosi ona około 3 przypadków.

Nazwa metody

wewnętrznych

liczników

Z rekonstrukcją

bez cięć

Liczba

spodziewanych

zliczeń (ogólnie)

Średnio

spodziewanych

zliczeń na licznik

Liczba liczników

dla których

metoda działa

Otrzymana

efektywność

(średnia)

2,4 tysięcy 9,6 256 99,73±0,13 %

9,0 tysięcy 12 768 93,98±0,16 %

Z rekonstrukcją 4,4 tysięcy 5,7 765 97,7±0,3 %

z cięciem

Tabela 4. Porównanie wyników z użytych metod na symulacji detektora.

Wynik dla metody wewnętrznych liczników potwierdza, iż jest to miarodajna metoda dla

wewnętrznych liczników. Z symulacji wynika, że metoda używająca rekonstrukcji bez cięć zaniża

efektywność o 6 %. Wynik ten jest zgodny z analogicznym szacowanym na danych. Dla metoda z

cięciem na obszar dysponuję zbyt małą statystyką. Wobec powyższego nie mam podstaw sądzić, iż

wynik metody używającej rekonstrukcji mionów z ograniczonym obszarem aktywnym jest

zaniżony.

31


4 Zaawansowana analiza efektywności przy użyciu rekonstrukcji

na zbiorze danych

4.1 Podstawowe informacje

Do tej analizy używam danych z kwietnia 2010r. W tym okresie zbierania danych liczba

przypadków dla trygera góra-dół jest porównywalna z tą dla trygera bok-bok. Daje to w sumie 80

tys przypadków trygera.

Ponieważ mam do dyspozycji ograniczoną liczbę przypadków, dla zwiększenia statystyki

liczniki zostały podzielone na dwie grupy: poziome i pionowe, zamiast dotychczasowego podziału

na poszczególne liczniki. Analizę przeprowadzam dla tych grup liczników zamiast każdego z

osobna. Główną motywacją takiego podziału są różne wymiary liczników z tych grup, dodatkowo

mam też różną liczbę warstw w ścianach, więc można podejrzewać, iż rekonstrukcja działa inaczej

na każdej grupie liczników. Szczegółowe informacje zawiera Tabela 1. na stronie 6.

Do wyliczenia efektywności oraz jej niepewności używam estymatorów dla rozkładu dwumianowego

w podejściu klasycznym. Odpowiednie wzory znajdują się w 1.4.2 na stronie 10.

4.2 Efektywność dla liczników w funkcji szerokości i długości

4.2.1 Efektywność dla liczników poziomych w funkcji szerokości i

długości badanego licznika.

Histogram na rys. 24 przedstawia zależność wyliczonej efektywności w zależności od miejsca,

w którym spodziewamy się zliczenia na podstawie dopasowanego toru. Prawy wykres przedstawia

efektywność w funkcji na powierzchni licznika, natomiast lewy tylko w funkcji długości licznika

poziomego. Na obu wykresach widać spadek efektywności wraz ze zbliżaniem się do brzegów

licznika. Obszar z wysoką efektywnością ma szerokość 80 mm oraz długość 740 mm.

Prawdopodobnie jest to związane z rzeczywistym spadkiem efektywności w badanych licznikach,

jednak nie można wykluczyć, iż jest to skutek wyłącznie niepewności rekonstrukcji. W pierwszym

wypadku nie należy się spodziewać istotnych różnic pomiędzy licznikami poziomymi oraz

pionowymi, natomiast dla rekonstrukcji może to mieć istotne znaczenie. Dlatego należy zrobić

porównanie tych dwóch klas liczników.

32


ys. 24 Rozkład wyliczonej efektywności (Eff) dla liczników pionowych dla metody z użyciem

rekonstrukcji. Po prawej w funkcji szerokości (u) oraz długości (z) względem środka licznika,

natomiast po lewej w funkcji długości (z).

4.2.2 Efektywność dla liczników pionowych jako funkcja szerokości i

długości.

Histogram na rys. 25 przedstawia zależność efektywności w funkcji pozycji wewnątrz licznika

scyntylacyjnego. Po lewej uwzględniono jedynie długość, natomiast po prawej dodano jako

dodatkowy wymiar szerokość. Pierwszą rzucającą się w oczy różnicą w stosunku do liczników

poziomych jest większy obszar z wysoką efektywnością, który uwidacznia się we współrzędnej

szerokości. Obszar ten ma rozmiar około 160 mm we współrzędnej szerokości oraz około 760 mm

we współrzędnej długości. W porównaniu do poprzedniego rozkładu obszar na osi szerokości

wzrósł dwukrotnie, natomiast na osi długości pozostał bez większych zmian, porównaj z rozkładem

dla liczników poziomych na rys. 24. Natomiast biorąc pod uwagę tylko długość licznika nie widać

wyraźnych różnic. Z tego można wnioskować, iż różnice pomiędzy licznikami nie wynikają z

rzeczywistych własności, a jedynie są wynikiem niedoskonałości algorytmów używanych w

rekonstrukcji.

rys. 25 Rozkład wyliczonej efektywności (Eff) dla liczników pionowych dla metody z użyciem

rekonstrukcji. Po prawej w funkcji szerokości (u) oraz długości (z) względem środka licznika,

natomiast po lewej w funkcji długości (z).

33


4.2.3 Podsumowanie różnic pomiędzy licznikami

Z dotychczasowego porównania pomiędzy licznikami można wnioskować o niedoskonałości

algorytmów. Pierwszym i najbardziej prawdopodobnym podejrzanym jest rekonstrukcja.

Największe różnice pomiędzy klasami liczników widać w rozkładzie liczby spodziewanych zliczeń

wewnątrz badanego licznika przedstawionym na rys. 26. Widać na nim złożenie dwóch efektów.

Pierwszym z nich jest nierównomierny rozkład na osi długości, wydaje się on być taki sam dla obu

klas badanych liczników. Ten efekt jest skutkiem niedoskonałego odtwarzania pozycji miejsca

zliczenia na podstawie różnicy czasów. Bardziej jednak ciekawy jest drugi efekt, powstały na osi

szerokości, gdyż rozróżnia liczniki scyntylacyjne pionowe od poziomych. Mimo jednak swojego

ciekawego wyglądu i pozornie różnego charakteru jego wytłumaczenie jest bardzo proste,

mianowicie na osi szerokości pozycja mionu jest oceniana w sposób trywialny poprzez podanie

współrzędnej środka licznika. Jeżeli dodamy do tego, iż dla liczników poziomych najczęściej

rejestrowane są miony pionowe ze względu na rozkład kątowy mionów atmosferycznych

otrzymujemy wręcz banalne wytłumaczenie dużego nagromadzenia się przypadków w okolicy zera

dla klasy liczników poziomych. Mianowicie jeżeli mion przeszedł przez trzy leżące nad sobą

liczniki i w każdym z nich za pozycje jego przejścia uznamy środek tego licznika, a następnie

dopasujemy do tego prostą to ona również zawsze będzie przechodzić przez środek tych liczników.

Tutaj znaczenie ma rozkład kątowy, gdyż mionów prostopadłych do licznika jest zdecydowanie

mniej dla liczników pionowych. Dodatkowo w tą samą stronę działa również fakt, iż w tych

ścianach czasami mamy też więcej warstw liczników. Ten efekt tłumaczy również pozornie lepszą

efektywność dla liczników pionowych w współrzędnej szerokości licznika.

rys. 26 Histogram liczby oczekiwanych zliczeń wewnątrz licznika scyntylacyjnego w funkcji

pozycji oczekiwanego sygnału. Po lewej zamieszczono rozkład dla liczników pionowych natomiast

po prawej dla liczników poziomych. Oś pionowa symbolizuje wymiar w poprzek licznika, natomiast

oś pozioma wzdłuż. Histogram ten zawiera 280 tys wejść. Histogram po lewej przedstawia

analogiczny rozkład dla liczników pionowych. Histogram zawiera 240 tys wejść.

Ponieważ można zauważyć niedoskonałości związane z algorytmami używanymi w

rekonstrukcji, należy przeprowadzić analizę również czasów sygnału. Dopiero wtedy będzie można

pokazać oraz przeanalizować ewentualny spadek efektywności na brzegach licznika. Jest to kolejny

argument za lepszym przyjrzeniem się czasowi otrzymanych sygnałów. Czy zajmie się w rozdziale

5 na stronie 41.

34


4.3 Stabilność efektywności liczników w funkcji czasu.

4.3.1 Wstęp

Do wyznaczenia efektywności użyto danych zebranych w różnym czasie: luty, kwiecień,

czerwiec oraz listopad roku 2010. Głównym celem analizy jest sprawdzenie czy nie występują

efekty takie jak starzenie się materiału lub wpływ różnicy temperatur. Na wykresach przedstawiono

tylko wyniki dla metody z użyciem ograniczonego obszaru aktywnego, gdyż jak widać z

poprzednich analiz jest ona do tego najlepsza. Pozostałe dwie metody dają analogiczne rezultaty z

uwzględnieniem różnic opisanych wcześniej w rozdziale 2 na stronie 12. Najlepszą statystykę mają

okresy zbierania danych w kwietniu i listopadzie. Natomiast najgorszą ma okres zbierania danych w

czerwcu.

4.3.2 Efektywność w czasie dla liczników poziomych

Na rys. 27 przedstawiono zmienność efektywności w czasie w roku 2010. Rozkładu

efektywności liczników detektora nie można opisać za pomocą jednej globalnej sprawności i

dlatego opisuje je przez średnią i odchylenie standardowe rozkładu. Więcej na ten temat próby

odtworzenia rozkładu efektywności w rozdziale 2.7 na stronie 26. Gdyby niepewność wyznaczenia

średniej oszacować na podstawie dyspersji rozkładu, to wyznaczone w ten sposób błędy byłyby

wielkości punktów na wykresie. Ponieważ średnia rozkładów wyraźnie się zmienia, należy lepiej ją

zbadać. Aby w rozkładzie nie uwzględniać liczników, które mają dużą niepewność wyznaczenia

średniej, należy odrzucić przypadki z małą liczbą spodziewanych zliczeń. Ponieważ dla liczników

poziomych mam do dyspozycji dużą liczbę oczekiwanych zliczeń, postanowiłem do porównania

zrobić cięcie na 50 przypadkach. Cięcia to odrzuca jedynie część liczników dla próbki zbieranej w

czerwcu. Liczba liczników w rozkładzie efektywności po uwzględnieniu cięć zmienia się z 768 do

70, podczas gdy dla pozostałych okresów zawsze wynosi ona 768. Na rys. 27 po prawej jest

przedstawiony w analogiczny sposób rozkład efektywności liczników. W tym przypadku dyspersja

rozkładu w czerwcu zmalała, jednak nadal pozostają różnice w rozkładach pomiędzy okresami

zbierania danych. Aby lepiej zrozumieć różnice tych rozkładów przeprowadziłem analizę różnic

licznik po liczniku dla dwóch pozornie najbardziej różniących się okresów zbierania danych, której

wynik zamieszczony jest na rys. 28. Z niego wyraźnie widać, iż owa różnica nie jest systematyczna

oraz niezgodność średniej z zerem. Średnia rozkładu wynosi 3,0±0,2 %. Jednak taka prosta analiza

nie uwzględnia niepewności, jej dokładniejszą wersję zamieszczę później. Poza najprostszym

wyjaśnieniem w postaci różnej efektywności, istnieje możliwość, że za zmiany odpowiada różna

statystyka w badanych okresach. Z tego powodu należy wstrzymać się z wnioskami.

35


ys. 27 Efektywność w różnych przedziałach czasu w roku 2010 dla liczników poziomych. Na osi

poziomej odłożono numer miesiąca, w którym zebrano dane, natomiast na osi pionowej odłożono

wyznaczoną średnią efektywność metodą z ograniczonym obszarem aktywnym. Słupki symbolizują

dyspersje wyznaczonych rozkładów. Po prawej jest wykres dla rozkładów z cięciem na liczbę

oczekiwanych zliczeń większą od 50.

rys. 28 Różnica pomiędzy efektywnością uzyskaną dla danego licznika w lutym (Eff lut ) i w

czerwcu (Eff cze ) 2010.

4.3.3 Efektywność w czasie dla liczników pionowych

Analogiczną analizę jak dla liczników poziomych można również przeprowadzić dla liczników

pionowych, co przedstawiono na rys. 29. Niestety z powodu zebranej małej liczby przypadków

ciężko jest przeprowadzić znaczącą analizę szczególnie z próbek z lutego i czerwca. Dla przykładu

w próbce czerwcowej nie było ani jednego licznika z oczekiwaną liczbą zliczeń większą od 20,

natomiast dla lutego takich elementów znalazło się ich zaledwie kilka. Ponieważ dla liczników

pionowych jest mała statystyka to uważam, że cięcie na 20 przypadkach jest rozsądne. Jeśli

porównany wykresy z dodatkowym założeniem liczby oczekiwanych przypadków większej od 20 z

tym bez dodatkowego cięcia na liczbę oczekiwanych zliczeń widać wyraźnie, iż nie można

twierdzić o żadnej zmienności w czasie dla tych liczników. Tu jednak po dokonaniu cięcia na

minimalną liczbą oczekiwanych zliczeń nie widać żadnej zmienności, trochę niepokoi fakt niższej

dyspersji w lutym. Jest to spowodowane małą liczbą liczników, które przeszły cięcie. Dla próbek

zebranych w lutym liczba liczników wchodzących w skład rozkładu efektywności zmalała wskutek

tego cięcia z 1238 do 9. W pozostałych okresach cięcie to odrzuca mniej niż 10 liczników, czego

nie sposób zauważyć na tego typu wykresach.

36


ys. 29 Efektywność w różnych przedziałach czasu w roku 2010 dla liczników pionowych. Na osi

poziomej odłożono numer miesiąca, w którym zebrano dane, natomiast na osi pionowej odłożono

efektywność wyznaczoną z metody z ograniczonym obszarem aktywnym. Słupki symbolizują dyspersje

wyznaczonych rozkładów. Po prawej analogiczny wykres dla rozkładów z dodatkowym wymaganiem

na minimalną liczbę oczekiwanych torów w obszarze aktywnym większą od 20.

4.3.4 Dokładniejsza analiza zmienności w czasie poszczególnych

liczników detektora SMRD

Z poprzednich rozważań można wysnuć podejrzenie, iż efektywności są zmienne w czasie. W

związku z tym należy przeprowadzić dokładniejszą analizę. W tym celu najlepiej się posłużyć

rozkładem unormowanej różnicy, czyli różnicy podzielonej przez jej niepewność. Jeżeli nie ma

rzeczywistych różnic, średnia takiego rozkładu powinna być w okolicy zera. Ponadto jeżeli

niepewności pomiarowe są dobrze wyznaczone, to dyspersja rozkładu wynosi jeden. Stąd po

uwzględnieniu liczby liczników, która w tym przypadku powinna wynosić około 768, można

wyliczyć, iż niepewność wyznaczenia średniej rozkładu z rozmycia statystycznego powinna

wynosić 0,04. Zbyt duża dyspersja otrzymanego w ten sposób rozkładu świadczy o niedoszacowaniu

błędów, natomiast zbyt mała o ich przeszacowaniu. Żeby nie dzielić przez zero oraz nie

obciążać sztucznie rozkładu należy odrzucić takie przypadki, w których oceniana niepewność

pomiarowa w obu okresach wynosi 0. Problem ten dotyczy ledwie 4 przypadków dla okresu luty i

czerwiec, którym się dalej zajmę.

Wykres na rys. 30 po lewej stronie przedstawia rozkład o którym jest mowa. Jego średnia wynosi

0,16. Rozkład ten charakteryzuje się większą niż spodziewana dyspersją wynoszącą 1,4 , co

sygnalizuje, iż niepewności są niedoszacowane. Najprostszą rzeczą jaką można zrobić jest liniowe

zwiększenie teoretycznej niepewności rozkładu, równej 0,04 o 40 %. Wówczas wynik średniej

rozkładu jest zgodny z zerem w ramach testu trzy sigma. Niepokojące jest jednak skąd bierze się

owe niedoszacowanie. Jeżeli dobrze się rozumie filozofię, jaka stoi za podejściem klasycznym, to

za niedoszacowanie powinna głównie odpowiadać sytuacja, kiedy efektywność jest równa 1. Wtedy

to w podejściu klasycznym estymacja niepewności wynosi 0 niezależnie od liczby oczekiwanych

zliczeń, co jest wartością bez wątpienia niewiarygodną. Jeżeli z histogramu odrzuci się liczniki, w

których dla jednego z okresów wyznaczania efektywności oceniana wartość niepewności wynosi

zero otrzyma się histogram zamieszczony na rys. 30 po prawej. Zostaje wtedy 610 liczników do

porównania. Dla tego rozkładu dyspersja wynosi 0,9, co jest już bliskie teoretycznej jedynce. Stąd

wynika, iż sytuacja, w której estymuje się efektywność równą 1, jest przyczyną niedoszacowania

niepewności. Jednak średnia wzrosła do 0,72. Ten fakt jest łatwo wytłumaczyć gdyż w próbce

czerwcowej liczba oczekiwanych zliczeń, która przypada na jeden licznik była mniejsza. W

37


związku z tym więcej było liczników z ocenianą wartością efektywności równą 100 % niż w lutym

i prawie wszystkie odrzucone liczniki dotyczą właśnie tej sytuacji. Takie liczniki mają zawsze nie

większy wynik w czerwcu niż w lutym, w związku z tym ich odrzucenie spowodowało przesunięcie

się średniej. To również dowodzi czułości przyjętej metody, gdyż w drugim przypadku średnia

rozkładu nie jest zgodna z zerem w ramach testu trzy sigma.

Analizę efektywności przeprowadzono dla czterech różnych okresów czasu z dodatkowym

podziałem na dwie klasy liczników. Daje to w sumie 12 kombinacji do porównania, ponieważ

procedura w każdym przypadku jest niemal identyczna, przedstawiłem porównanie tylko dwóch

najbardziej pozornie różniących się okresów, czyli lutego i czerwca dla liczników poziomych. W

każdym innym z tych przypadków jako końcowy wniosek otrzymuję się wniosek o braku

zmienności w czasie.

rys. 30 Rozkład różnic pomiędzy efektywnością wyznaczoną metodą z ograniczonym obszarem

aktywnym podzielony przez niepewność tej różnicy. Dla podpróbki liczników góra dół pomiędzy

lutym (Eff lut ), a czerwcem (Eff cze ) 2010 r. Po lewej stronie dla wszystkich liczników, dla których

wyznaczona niepewność różnicy jest różna od zera. Natomiast po prawej tylko dla tych, w których

dla każdego okresu niepewność efektywności jest różna od zera.

4.4 Efektywność dla liczników poziomych w funkcji okna czasowego

używanego do rekonstrukcji podwójnych zliczeń.

W algorytmie odtwarzającym podwójne zliczenia z pojedynczych używane jest ograniczenie na

przedział czasowy, w którym są dopasowywane odpowiadające sobie pojedyncze zliczenia. Gdyby

uwzględnić, iż opóźnienie wynika tylko z prędkości rozchodzenia się fotonów w światłowodzie

należałoby przyjąć okno czasowe około 13 ns. Dla danych zostało przyjęte bezpieczniejsze okno o

rozmiarze 23 ns. Ponieważ wartość tą można stosunkowo łatwo podwyższyć i ponownie

przeprowadzić rekonstrukcje można oszacować jaki wpływ na błąd ma przyjęte okno, jednak ta

zmiana nie może być większa niż kilka ns. Takie graniczenie wynika z dopuszczalnych zakresów

wartości dla programów, których używam.

Do tego celu użyto zbioru danych z okresu kwiecień 2010. Następnie przepuszczono go przez

wszystkie programy rekonstrukcyjne, za każdym razem zmieniając tylko okno czasowe wymagane

w algorytmie parującym pojedyncze zliczenia na odpowiednio 23 ns oraz 32 ns. Ponieważ przy

tego typu operacji duża rolę mogą odegrać efekty brzegowe użyto dwóch metod: metody

wewnętrznych liczników oraz metody z ograniczonym obszarem aktywnym.

38


Jeśli odłożyć rozkład różnicy pomiędzy wartościami zwracanymi dla różnych okien czasowych,

otrzyma się histogram przedstawiony na rys. 31. Jak widać rozkład różnic nie jest symetryczny, co

dowodzi, iż uzyskana w ten sposób różnica nie jest efektem statystycznym. Średnie wynoszą

zaledwie 0,62±0,06 % dla metody wewnętrznych liczników oraz 0,52±0,03 % dla metody z

cięciami. Sam rozkład różnic można rozłożyć na dwa wkłady. Jeden z nich ma maksimum w

okolicy zera jest on spowodowany, iż liczba oczekiwanych zliczeń w danym liczniku nie zmienia

się. Natomiast drugi wkład wyraźnie przesunięte swoje ekstremum i w związku z tym odpowiada

on sytuacji, w której licznik nie dał poprawnie zrekonstruowanego podwójnego zliczenia z powodu

zbyt wąskiego okna na koincydencje dwóch sygnałów. Ponieważ dla obu z metod średnia liczba

oczekiwanych zliczeń jest niższa niż 200, pojawia się minimum rozdzielające oba wkłady. Nadmiar

przypadków z dodatnimi wartościami odpowiada sytuacji, w której poprzez poszerzenie okna

otrzymaliśmy dodatkowe podwójne zliczenia, które odpowiadają rzeczywistemu przypadkowi.

Natomiast niewielka grupa z ujemnymi odpowiada sytuacji, w której dodanie dodatkowych

podwójnych zliczeń spowodowało, że oczekiwaliśmy sygnału, gdzie nie było mionu.

Niestety nie można określić dokładniejszego charakteru uzyskanych przyrostów efektywności,

ponieważ różnica pomiędzy metodami jest bardzo mała. Uzyskany efekt jest zgodny dla obu metod

i wynosi około 0,5 %.

rys. 31 Rozkład różnicy pomiędzy efektywnością wyznaczoną dla okna czasowego 23 ns (Eff 23 )

oraz 32 ns (Eff 32 ). Rozkład został zrobiony dla metody z ograniczonym obszarem aktywnym po

lewej i dla metody wewnętrznych liczników po prawej.

4.5 Wnioski

Jeśli przeanalizować zmienność efektywności w różnych okresach zbierania danych to jest ona

stała w granicach błędu. Rozkład efektywności liczników zależy od statystyki w badanym okresie.

Dodatkowo z przeprowadzonej porównawczej dla dwóch okien czasowych 23 ns i 32 ns widać, iż

poszerzenie okna czasowego na rekonstrukcje podwójnego zliczenia na poziomie oprogramowania

podnosi efektywność badanych liczników o 0,5 %.

Widać wyraźnie spadek efektywności na brzegach licznika. W dalszej części skupie się bardziej

na długości licznika, ponieważ pozycji w szerokości licznika nie można poprawnie zrekonstruować.

Powstałe wskutek tego efekty, było widać wyraźnie na danych. Spadek efektywności może być

jednak spowodowany kilkoma czynnikami. Pierwszą i najprostszą są niepewności rekonstrukcji i

został on oszacowany na około 6 % przez porównanie z innymi metodami w rozdziale 2 na

stronie 12. Drugą hipotezą jest spadek realny efektywności na brzegach licznika.

39


Aby wyeliminować pierwszą możliwość i móc oszacować wpływ drugiego efektu należy

przeprowadzić analizę czasów sygnału oraz uniezależnić się od rekonstrukcji. Ponieważ w analizie

z użyciem rekonstrukcji nie widać różnic w zależności od warstwy, w której znajduje się licznik

można się ograniczyć do środkowej warstwy. Ponieważ takie warunki zachodzą przy liczeniu

metodą wewnętrznych liczników, należy lepiej się przyjrzeć czasowi otrzymanego sygnału.

40


5 Analiza czasów otrzymania sygnału

5.1 Wstęp do analizy czasów otrzymania sygnału

W eksperymencie są również zapisywane pojedyncze zliczenia z końców licznika

scyntylacyjnego, w sytuacji, gdy zadziałał system wyzwalania. W tej analizie używam następujące

wzory.

Używany wzór na ocenę czasu nadejścia sygnału:

t est

= t A1 +t A2 +t B1 +t B2

4

(t est ) – spodziewany czas przyjścia sygnału

t A1 , t A2 , t B1 , t B2 – czas przyjścia sygnałów do końców licznika A i B

Natomiast przyjęta przeze mnie ocena pozycji długości wewnątrz licznika wyraża się wzorem:

Δ A

+Δ B

2

≡ t A1 −t A2 +t B1 −t B2

2

Δ A, Δ B - różnica czasów w liczniku A i B.

Dalej używane będą również oznaczenia:

t true – czas przyjścia sygnału z końca licznika T

Δ T - różnica czasów przyjęcia sygnału pomiędzy pierwszym i drugim końcem licznika T.

QT – natężenie sygnału

W tej analizie używam metody wewnętrznych liczników, gdyż zależy mi na pozbyciu się

efektów rekonstrukcji. Ponadto wszystkie liczniki wewnętrzne dziele na dwa zbiory: poziome i

pionowe, ażeby uzyskać większą statystykę do analizy zamiast przeprowadzać ją dla każdego

licznika osobno. Ocenę pozycji przejścia mionu wzdłuż osi z wewnątrz licznika można uzyskać na

podstawie różnicy czasów. Zakres zmiennej, którą przyjmuję za ocenę położenia wzdłuż osi z

odpowiadającą rozmiarom licznika, wynosi około od -25 ns do 25 ns w zmiennej ( Δ A, +Δ B )/2.

W warstwach trygerujących dla mojej metody nadal wymagam zajścia podwójnych zliczeń.

Natomiast w testowanym liczniku badam, czy i kiedy były pojedyncze zliczenia. Pojedyncze

zliczenia charakteryzują się dużym szumem około 100 kHz, więc pierwszą rzeczą jaką trzeba zrobić

jest wyznaczenie okna czasowego, w którym się ich spodziewamy.

Do tej analizy używam danych z kwietnia 2010r. W tym okresie zbierania danych liczba

przypadków dla trygera góra-dół jest porównywalna z tą dla trygera bok-bok. Daje to w sumie 80

tys przypadków trygera.

41


5.2 Analiza okna czasowego.

5.2.1 Poprawność oceny oczekiwanego czasu sygnału.

Pierwszym nasuwającym się pytaniem jest czy moje bardzo proste przybliżenie o liniowym

charakterze różnicy czasów pomiędzy końcami daje właściwe rezultaty. W tym celu zrobiłem dwa

wykresy dla każdego z końców testowanego licznika zamieszczone są na rys. 32. Oba wykresy są w

dobrym przybliżeniu symetryczne ze średnią w okolicy zera. Również można powiedzieć, iż

wystarczy symetryczne okno 23 ns jak przy warunku na podwójne zliczenie. Jeżeli przeanalizujemy

oba rozkłady razem pod kątem zgodności, na podstawie błędu wyznaczonego z rozmycia

statystycznego otrzymamy średnią -0,07±0,02 ns dla jednego końca oraz -0,17±0,02 ns dla drugiego

końca licznika. To oznaczałoby, że sygnał jest trochę wcześniej niż się tego spodziewamy, jednak

należy pamiętać, iż błąd systematyczny związany z odczytem czasu wynosi 2,5 ns dla

pojedynczego pomiaru. Wobec tego ta różnica może wynikać z błędu systematycznego.

rys. 32 Różnica pomiędzy czasem przewidywanym przez metodę na podstawie czasów z warstw

trygerujących (t est ), a czasem rzeczywistym dla podwójnego zliczenia (t true ). Z lewej strony

znajduje się histogram dla pierwszego końca licznika testowanego, natomiast z prawej strony jest

histogram dla drugiego końca. Każdy z histogramów zawiera 130 tys. wejść.

5.2.2 Wyznaczanie okna czasowego

Z poprzedniego porównania dla hitów, które się składają do podwójnego zliczenia wynika, iż

można przyjąć symetryczne okno 23 ns, jednak ponieważ zachowanie różnych klas przypadków

może się różnic, w szczególności ze względu na wysokość sygnału. Ponieważ szumy elektroniczne

są rzędu 100 kHz szerokość okna czasowego jest najbardziej istotne dla pojedynczych zliczeń, które

nie składają się do podwójnego zliczenia i mogą zostać sztucznie wytworzone przez elektronikę.

Dlatego należy przeanalizować właśnie tę podpróbkę.

Zależność różnicy czasu od wysokości sygnału została przedstawiona w postaci histogramu na

rys. 33. Widać, że im silniejszy sygnał, tym mniejsze opóźnienie w jego zbieraniu, efekt ten zwany

jest time walk. Wykres jest wyraźnie niesymetryczny, czego się spodziewam, ze względu na te

opóźnienia. Ostatecznie przyjąłem dopuszczalny zakres 50 ns, . Na rys. 34 przedstawiono histogram

różnicy czasowej w przyjętym zakresie. Widać strukturę dwóch maksimów, jedno w okolicy zera i

drugie opóźnione o około 25 ns w stosunku do spodziewanego czasu. Mamy tu wyraźnie złożenie

dwóch sygnałów, aby lepiej zrozumieć skąd bierze się każdy z nich zrobiłem wykres zamieszczony

na rys. 35. Obrazuje on korelacje pomiędzy różnicą czasów, a wysokością sygnału. Z tego wykresu

wyraźnie widać charakter tych dwóch maksimów. Pierwsze maksimum to lekko przedwczesny

42


sygnał, który można zinterpretować jako sygnał o dużym natężeniu, co przekłada się na mniejsze

opóźnienie elektryczne. Te drugie maksimum pochodzi od sygnału, który jest bardzo opóźniony o

około 25 ns i o niskim natężeniu, co najprawdopodobniej przekłada się na duże opóźnienie

elektroniczne. Wiązane się ono z tym, iż sygnał o zdarzeniu zostaje wysłany dopiero po dotarciu

całego dostępnego światła ze światłowodu, gdyż wcześniej próg nie mógł zostać przekroczony.

Pozostaje jeszcze trzecia klasa sygnałów, która może dać sygnał bardzo opóźniony w stosunku do

przewidywanego, którą interpretuje jako sygnał o zbyt małym natężeniu, aby przekroczyć próg,

jednak z powodu dodania się szumów MPCC ich suma jest zdolna przekroczyć ustalony próg. Ze

względu na to, iż różnice czasów dla tej klasy są kolosalne nawet powyżej 200 ns, a ich wkład

niewielki, odrzucam je w przyjętym zakresie. Ta klasa jest widoczna na rys. 33 jako ogon rozkładu.

rys. 33 Zależność różnicy pomiędzy czasem rzeczywistym (t true ), a oczekiwanym (t est ) sygnału w

funkcji natężenia sygnału (QT) w jednostkach umownych. Na rysunku przedstawiono przypadki,

kiedy oczekiwaliśmy podwójnego zliczenia, natomiast otrzymaliśmy jedynie pojedyncze zliczenia.

Jedno wejście to jedno pojedyncze zliczenie. Histogram zawiera 6,4 tys. wejść.

43


ys. 34 Różnica pomiędzy oczekiwanym(t est ) i rzeczywistym(t true ) czasem nadejścia sygnału dla

wybranego okna czasowego 50 ns. Czas oczekiwany wyliczono jako średnią arytmetyczną czasu

przyjścia do końców z dwóch najbliższych nad i pod nim liczników scyntylacyjnych. Na wykresie

przedstawiono przypadki, kiedy oczekiwaliśmy podwójnego zliczenia, natomiast otrzymaliśmy

jedynie pojedyncze zliczenia. Jedno wejście to jedno pojedyncze zliczenie. Histogram zawiera 5,6

tys. wejść.

rys. 35 Zależność różnicy pomiędzy czasem oczekiwanym (t est ) a rzeczywistym (t true ) pojawienia

się sygnału wyrażonym w ns oraz wysokością sygnału (QT) w jednostkach umownych, dla

przyjętego przeze mnie symetrycznego okna czasowego 50 ns. Na wykresie przedstawiono

przypadki, kiedy spodziewaliśmy się podwójnego zliczenia, natomiast otrzymaliśmy jedynie

pojedyncze zliczenia. Jedno wejście to jedno pojedyncze zliczenie. Histogram zawiera 5,6 tys.

wejść.

44


5.2.3 Podsumowanie

Na podstawie wykresów różnicy czasu rzeczywistego, a oczekiwanego dla przypadków, które

zrekonstruowały się do podwójnego zliczenia, widać, iż estymacja czasu oczekiwanego jest dobrym

przybliżeniem. Przypadki, które nie rekonstruują się do podwójnego zliczenia można podzielić na

cztery klasy sygnału na podstawie różnicy oczekiwanego czasem przyjścia i rzeczywistego: silny,

słaby, poniżej progu oraz szum. W symetrycznym oknie czasowym 50 ns mam dwie pierwsze klasy.

Wyznaczone okno jest kompromisem pomiędzy efektywnością selekcji, a czystością próbki.

Ponadto warto zaznaczyć, iż przyjęta estymacja długości licznika nie jest w pełni liniowa, gdyż

nie uwzględnia przesunięć czasów związanych z wartością zebranego ładunku. W związku z tym

należy traktować ją tylko jako wartość szacunkową mogącą jednak posłużyć do potwierdzenia

istnienia efektów brzegowych.

5.3 Efektywność w funkcji ocenianej wartości długości z

5.3.1 Pokazanie poprawności przybliżania pozycji przecięcia mionu z

licznikiem poprzez różnice czasów.

Pierwszym nasuwającym się pytaniem jest czy taka prosta estymacja długości z jest poprawna.

Najprościej można to sprawdzić rysując zależność pomiędzy estymacją dla licznika testowanego, a

średnią arytmetyczną estymacji dla liczników trygerujących. Jeżeli nasza estymacja jest słuszna

powinna być widoczna duża korelacja pomiędzy tymi wielkościami. Zależność taka została

pokazana na rys. 36. Zgodnie ze wcześniejszymi oczekiwaniami widać na nim wyraźną korelacje,

co więcej większość punktów znajduję się na diagonali lub blisko niej. W związku z tym średnia

różnica czasów z warstw nad i pod licznikiem jest równoważne wzięciu różnicy czasów z

środkowej warstwy. Jak wiadomo różnica czasów z środkowej warstwy jest bezpośrednio związana

z miejscem, przez które przeleciał mion.

rys. 36 Rozkład różnicy czasów, które mają oceniać położenie sygnału wzdłuż osi długości

badanego licznika. Na osi pionowej odłożono różnice czasów z środkowego licznika, natomiast na

osi poziomej odłożono różnice średnią czasów z warstw nad i pod danym licznikiem. Na

histogramie pokazane są przypadki, tylko gdy wszystkie kolejne trzy warstwy z metody

wewnętrznych liczników dadzą podwójne zliczenie. Histogram zawiera 130 tysięcy wejść.

45


5.3.2 Efektywność dla podwójnych zliczeń

Najprostszą metodą zobaczenia ewentualnego efektu brzegowego jest wyznaczenie efektywności

we współrzędnej ocenianej długości licznika. Wykres ten został zamieszczony na rys. 37 dla

metody wewnętrznych liczników. Efekt ten lepiej widać na histogramie po prawej, gdyż został on

zrobiony w podejściu Bayesowskim, które w przeciwieństwie do metody klasycznej nigdy nie

estymuje się wartości niepewności równej zero, co często bywa mylące. Więcej na temat różnic

pomiędzy podejściami można znaleźć w rozdziale 1.4.4 na stronie 11. Zgodnie z oczekiwaniem

wraz ze wzrostem wartości bezwzględnej ( Δ A, +Δ B )/2 następuje spadek efektywności. Aby inaczej

pokazać słuszność istnienia efektu brzegowego oraz zrozumieć jego charakter, należy zbadać

rozkład dla pojedynczego końca.

rys. 37 Efektywność (Eff) w funkcji estymatora długości licznika na podstawie średniej różnicy

czasów (Δ A +Δ B )/2, po lewej stronie używając metody klasycznej, po prawej używając podejścia

Bayesowskiego.

5.3.3 Rozkład oczekiwanej różnicy czasów dla pojedynczych zliczeń

Jeśli hipoteza o występowaniu efektu brzegowego jest słuszna, to w rozkładzie funkcji

estymatora współrzędnej długości licznika powinno być widać dwa maksima mniej więcej

symetryczne po przeciwnych stronach licznika. Rozkład ten przedstawiono na rys. 38 po lewej.

Zgodnie z przewidywaniem widać wyraźną strukturę dwóch maksimów. Ponadto na rys. 38 po

prawej widać jak prawdopodobieństwo odtworzenia chociaż pojedynczego zliczenia, przy braku

zwykłego sygnału z obu końców licznika scyntylacyjnego rośnie wraz ze wzrostem wartości

bezwzględnej naszej funkcji estymującej. W sumie otrzymujemy 3,2 tysięcy przypadków, dla

których uzyskano pojedyncze zliczenie, gdy nie ma podwójnego zliczenia.

46


ys. 38 Wykres po lewej przedstawia rozkład oczekiwanej liczby zliczeń w funkcji ocenianej

współrzędnej długości licznika (Δ A +Δ B )/2 w sytuacji, kiedy w badanym module nie było

podwójnego zliczenia, ale zamiast tego było co najmniej jedno pojedyncze zliczenie w przyjętym

oknie czasowym 50 ns. Histogram z lewej zawiera 3,2 tys wejść. Wykres po prawej przedstawia

prawdopodobieństwo uzyskania pojedynczego zliczenia, jeśli nie było standardowego podwójnego

zliczenia. Prawdopodobieństwo policzono metodą klasyczną.

5.3.4 Wykresy dla braku sygnału (podwójnego zliczenia lub

pojedynczego zliczenia)

Niejako uzupełnieniem wszystkich powyższych histogramów jest histogram rozkładu wartości

różnicy czasów, w przypadku gdy nie otrzymano nawet pojedynczego zliczenia zamieszczonym na

rys. 39. Zgodnie z naszym oczekiwaniem jest on wyśrodkowany na zerze, jednak ze względu na

rozkład oczekiwanych zliczeń jest on trudniejszy do interpretacji.

Daje on nam ponadto informacje jakby wyglądał rozkład pojedynczych zliczeń, gdyby nie było

efektów brzegowych. Histogram ten zawiera aż tysiąc wejść. Natomiast analogiczny histogram dla

przypadku z pojedynczym zliczeniem zawiera ich aż 3,2 tysiąca przypadków. Stąd widać, iż aż w

76 % przypadków, gdy nie było podwójnego zliczenia, był ślad po mionie w postaci pojedynczego

zliczenia.

rys. 39 Na histogramie przedstawiono rozkład oczekiwanej liczby zliczeń w funkcji ocenianej

współrzędnej długości licznika (Δ A +Δ B )/2 w sytuacji, gdy nie było podwójnego zliczenia ani

żadnego pojedynczego zliczenia w danym oknie czasowym. Histogram zawiera 1,0 tys wejść.

47


5.4 Podsumowanie analizy czasów dotarcie sygnałów

Na podstawie czasów z warstw trygerujących dla metody wewnętrznych liczników można

ustalić dość dobre okno czasowe, w celu wybrania pojedynczych zliczeń, których można dalej

używać w celu poprawienia jakości algorytmów rekonstrukcji. Dla okna czasowego 50 ns w ten

sposób można zredukować nieefektywności w licznikach o czynnik cztery.

Zgodnie z oczekiwaniem widać efekt brzegowy. Jest on spowodowany tym, iż na skraju licznika

scyntylacyjnego więcej sygnału dochodzi do bliższego końca i dla małych amplitud gubimy sygnał

na drugim końcu. W takim przypadku mamy do dyspozycji jedynie pojedyncze zliczenie.

Widoczny staje się też efekt dużych opóźnień związany ze zbyt małą wysokością sygnału. Jest

on spowodowany najprawdopodobniej tym, iż po zebraniu niewystarczającego ładunku, próg jest

przekraczany dopiero w dodania się z szumem z elektroniki albo obserwowany sygnał jest

przypadkowy.

48


6 Podsumowanie pracy

Z porównania wyników trzech metod, najlepszą do badania efektywności okazała się metoda

używająca rekonstrukcji mionów z cięciem ograniczającym obszar aktywny. Natomiast na

podstawie porównania kilku możliwych cięć wybrałem cięcie na poziomie 50 % dla każdej

współrzędnej. Nie ograniczanie obszaru aktywnego zaniża nam wyznaczoną wartość efektywności

o 6 %. Wyniki te zgadzają się z symulacją.

Rozkład miejsca przecięcia prostej z rekonstrukcji z płaszczyzną licznika nie jest płaski. Na osi

szerokości jest to spowodowanie braniem środka licznika jako położenie sygnału w tej osi.

Natomiast dla osi długości mamy charakterystyczne dwa maksima na obu końcach licznika

scyntylacyjnego.

Średnia efektywność badanych liczników wynosi 95 %. Efektywność liczników nie zmienia się

w czasie. Rozkład wyznaczonej efektywności jest zależny od rozkładu liczby oczekiwanych

zliczeń.

Nieefektywności liczników są na poziomie 5 %. Poszczególne wkłady zawiera Tabela 5.

Przyczyny nieefektywności liczników scyntylacyjnych są dwie. Pierwsza z nich to zbyt małe okno

czasowe dla parowania pojedynczych zliczeń w algorytmach rekonstrukcji podwójnych zliczeń

SMRD. Daje ono wkład co najmniej na poziomie 0,5 punktu procentowego. Drugi i zarazem

najważniejszy wkład jest spowodowany tym, że dostajemy sygnał tylko z jednego końca licznika

scyntylacyjnego. Jeżeli ustalimy okno czasowe na poziomie 50 ns to ta sytuacja odpowiada za 76 %

wszystkich przypadków, w których nie było podwójnego zliczenia. Dokładniejsza analiza tego typu

przypadków pokazuje, iż opóźnienie sygnału rośnie wraz z maleniem jego wysokości.

Podobną analizę efektywności i wpływy na nią różnych czynników można przeprowadzić dla

innych elementów detektora ND280. Jest to potrzebne do oszacowania wkładu do błędu

systematycznego dla pomiarów strumienia neutrin w bliskim detektorze oraz przekrojów czynnych

wywołanego gubieniem przypadków w detektorze.

W marcu tego roku eksperyment T2K przerwał zbieranie danych z powodu silnego trzęsienia

ziemi. Eksperyment opublikował już pierwsze dane[11] z okresu przed trzęsieniem ziemi. Pod

koniec roku planowane jest wznowienie pracy laboratorium J-Parc, a na początku roku 2012

zbierania danych w eksperymencie T2K.

Efekt Wartość bezwzlędna Wkład procentowy

Nieefektywność dla metodu

wewnętrznych liczników

Zbyt małe okno czasowe do

parowania zliczeń

Dotarcie tylko jednego sygnału

o wystarczającej amplitudzie w ciągu 50 ns

5% 100%

0,5% 10%

4% 76%

Tabela 5.

Poszczególne wkłady do nieefektywności liczników.

49


Referencje:

[1] C.L Cowan Jr., F. Reines, F.B. Harrison, H.W. Kruse, A.D McGuire (July 20, 1956). "Detection of the

Free Neutrino: a Confirmation".

[2] Particle Data Group, „Review of Particle Physics”, Eur. Phys. J. C15(2000)344-377

[3] B. T. Cleveland et al (1998) "Measurement of the Solar Electron Neutrino Flux with the Homestake

Chlorine Detector"

[4] B. Aharmim et al., Phys. Rev. C72 (2005) 055502.

[5] Fukuda, Y., et al (1998). "Measurements of the Solar Neutrino Flux from Super-Kamiokande's First

300 Days". .

[6] K.Abe et al., Nucl. Inst. Meth. A, in press,10.1016/j.nima.2011.06.067.

[7] Peter K.F. Grieder, „Cosmic rays at Earth”

[8] T2K Collaboration (2011). "The T2K Experiment". ArXiv:1106 .1238.

[9] Giulio D'Agostini, „Probability and Measutrement Uncertainty in Physics - a Bayesian Primer”

[10] W. J. Krzanowski: Principles of Multivariate Analysis: A User's Perspective.

[11] K.Abe et al , phys.rev.lett 107(2011)0418001

50


Podziękowania

Niniejszym chciałbym podziękować swojej mamie, na którą zawsze mogę liczyć nawet w

najtrudniejszych chwilach.

Chciałbym również gorąco podziękować pani promotor prof. Danucie Kiełczewskiej, głównie za

ogrom dobrej woli i cierpliwości.

Ponadto Pani prof. Ewie Rondio za pomoc w redagowaniu pracy.

Również Pani dr Justynie Łagodzie, przede wszystkim za pomoc w oswojeniu softwar'u

używanego przez kolaboracje T2K.

Prof. Marii Szeptyckiej oraz dr Romanowi Nowakowi za podsunięte pomysły.

Jak również wszystkim innym, którzy mi pomogli.

51

More magazines by this user
Similar magazines