Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

Российская академия наук 

Российская ассоциация математического программирования 

Институт систем энергетики им. Л.А.Мелентьева СО РАН 

Иркутский государственный университет путей сообщения 

Иркутский государственный университет 

Институт динамики систем и теории управления СО РАН 

Иркутская государственная сельскохозяйственная академия 

Вычислительный центр РАН 

Российский фонд фундаментальных исследований 

XIV Байкальская международная 

школа-семинар 

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ 

И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 

ТРУДЫ ШКОЛЫ-СЕМИНАРА 

Том 3. Вычислительная математика 

2 – 8 июля 2008 г. 

Иркутск, Байкал 

Иркутск 

2008

УДК 517.518+517.983+517.63+519.642 

Вычислительная математика: Труды XIV Байкальской международной школысеминара 

"Методы оптимизации и их приложения", Иркутск, Байкал, 2 – 8 июля 2008 

года. Том 3: Иркутск, ИСЭМ СО РАН. – 2008. – 183 с. 

ISBN 978-5-93908-052-1 (т.3) 

В данном томе представлены работы, посвященные различным разделам вычислительной 

математики: жестким обыкновенным дифференциальным уравнениям, вырожденным 

интегро-дифференциальным уравнениям, дифференциальным уравнениям в частных производных 

и т.д. 

Для научных работников, студентов и аспирантов, специализирующихся в соответствующих 

областях прикладной математики. 

Труды подготовлены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных 

исследований (проект № 08-01-06058-г) 

Ответственные за выпуск: 

д.ф.-м.н. Булатов М.В. 

к.ф.-м.н. Чистякова Е.В. 

ISBN 978-5-93908-052-1 (т.3) 

c○Институт систем энергетики 

им. Л.А. Мелентьева СО РАН, 2008

Russian Academy of Sciences (RAS) 

Russian Association of Mathematical Programming 

Institute of Energy Systems, Siberian Branch of RAS 

Institute of System Dynamics and Control Theory, Siberian Branch of RAS 

Irkutsk State University 

Irkutsk State University of Railway Communications 

Irkutsk State Agricultural Academy 

Computer Center of RAS 

PROCEEDINGS OF 

XIV Baikal International 

School-seminar 

OPTIMIZATION METHODS 

AND THEIR APPLICATIONS 

Volume 3. Numerical Mathematics 

July, 2 – 8, 2008 

Irkutsk, Baikal 

Irkutsk 

2008

Numerical Mathematics: Proceedings of XIV Baikal International School-seminar 

"Optimization methods and their applications", July, 2 – 8, Irkutsk, Baikal, 2008. Vol. 3. 

Irkutsk: Melentiev Energy Systems Institute SB RAS. – 2008. – 183p. 

Publication of the proceedings are supported by Russian Foundation of Basic Research 

(project No 08-01-06058-г) 

c○Melentiev Energy Systems Institute SB RAS

СОДЕРЖАНИЕ 

Абдуллин Р.З.(Иркутск) Области притяжения неподвижных точек разрывного 

отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

Апарцин А.С.(Иркутск) О двух подходах к получению неулучшаемых оценок 

решений интегральных неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

Белоусова Л.Н., Гаранжа В.А. (Москва) Сравнение алгоритмов глобальной 

оптимизации расчетных сеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

Булатов М.В., Битхаева О.А. (Иркутск) Об одном классе вырожденных систем 

двумерных интегральных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

Бурлакова Л.А. (Иркутск) Условия d-устойчивости матриц пятого порядка . 32 

Булатов М.В., Чистяков В.Ф. (Иркутск) О свойствах конечномерных систем 

нелинейных уравнений с кратными решениями . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

Гаранжа В.А. (Москва) Вычисление дискретных кривизн многогранных аппроксимаций 

поверхностей на основе теории полярных многогранников . . . 57 

Горбунов В.К., Свиридов В.Ю. (Ульяновск) Метод нормальных сплайнов для 

численного обращения преобразования Лапласа в вещественной форме . . . 68 

Дикусар В.В., Старинец Д.В.(Москва) Методы интегрирования жестких систем 

явными схемами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 

Караулова И.В., Маркова Е.В. (Иркутск) О моделях развивающихся систем 86 

Келлер А.В. (Челябинск) Алгоритм численного решения задачи Шоуолтера- 

Сидорова для систем леонтьевского типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 

Коробова О.В. (Иркутск) Фундаментальная оператор-функция вырожденного 

дифференциального оператора высокого порядка в банаховых пространствах 103 

Кошкарева Л.В. (Иркутск) Численное решение одной задачи внутренней баллистики 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 

Красник А.В. (Иркутск) Исследование разрешимости задачи Коши-Дирихле 

для некоторых уравнений соболевского типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 

Луговая Н.А., Терентьев С.А. (Омск) Применение интегродифференциального 

граничного условия в задаче индукционного каротажа 126 

Новиков М.А.(Иркутск) О знакоопределенности форм двух переменных четвертого 

порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 

Новиков Е.А. (Красноярск) Алгоритм на неоднородных схемах второго порядка 

для решения жестких задач с небольшой точностью . . . . . . . . . . . . . . 142 

Пролубников А.В., Силицкий С.А. (Омск) О решении задачи распознавания 

числовых матриц по оценкам множеств решений интервальных линейных 

систем уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 

Сидоров Н.А., Леонтьев Р.Ю. (Иркутск) Теоремы о неявном операторе в секториальных 

квазиокрестностях и минимальные ветви решений нелинейных 

уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 

Ташлинский А.Г., Кавеев И.Н. (Ульяновск) Оптимизация псевдоградиента 

при рекуррентном оценивании параметров межкадровых геометрических 

деформаций изображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 

Фалалеев М.В. (Иркутск) Интегро-дифференциальные уравнения с вырождением 

в банаховых пространствах и их приложения . . . . . . . . . . . . . . . 172 

Чистякова Е.В. (Иркутск) О свойствах вырожденных интегродифференциальных 

уравнений индекса 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 

5

Шарый С.П. (Новосибирск) Ещё одна версия формального подхода к внешнему 

оцениванию множеств решений интервальных линейных систем . . . . . . . 186 

Шарая И.А.(Новосибирск) Допусковое множество решений интервальных линейных 

систем уравнений со связанными коэффициентами . . . . . . . . . . 196 

Dreglea A. (Irkutsk) Continuous solutions of boundary layer problem in melt 

spinning process modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 

Ming-Gong Lee, Rei-Wei Song, Yu-Hsang Hong (Тайвань) Computation of 

stability region of some block methods and their application to numerical 

solutions of odes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 

6

ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК РАЗРЫВНОГО 

ОТОБРАЖЕНИЯ 

Р.З. Абдуллин 

Байкальский государственный университет экономики и права 

Аннотация. Для итерационного процесса, задаваемого разрывной функцией, предлагается 

способ нахождения областей притяжения неподвижных точек при различном их расположении 

относительно точки разрыва и областей колебательных решений с бесконечным числом переходов 

через точку разрыва. 

Ключевые слова: неподвижная точка, итерационный процесс, область притяжения, колебательные 

решения. 

Введение 

Дискретные одномерные процессы, задаваемые рекуррентным соотношением x(n+1) = 

ϕ(x(n)) с непрерывной функцией ϕ(x), несмотря на простоту описания могут обладать 

достаточно сложным поведением [1]. Вопросы притяжения неподвижных точек и циклов, 

существования циклов различных периодов, бифуркации циклов, наличия перемешивающих 

аттракторов, хаотического режима для рекуррентного соотношения с непрерывной 

функцией достаточно глубоко исследованы в работах А.Н. Шарковского и его учеников 

[1], А.П. Шапиро и С.П. Луппова [2], Ю.М. Свирежева и Д.О. Логофета [2], М.В. Якобсона 

[4], T.-J Li и J.A. Yorke [5] и других авторов. Динамические свойства одномерных 

рекуррентных уравнений с разрывной функцией ϕ(x) изучены слабо. 

В данной работе для рекуррентного уравнения с функцией ϕ(x) имеющей одну точку 

разрыва определяются области притяжения неподвижных точек функций, задающих 

ϕ(x) слева и справа от точки разрыва, и области колебательных решений с бесконечным 

числом переходов через точку разрыва при различном расположении неподвижных точек 

относительно точки разрыва. 

1. Постановка задачи 

Рассмотрим итерационный процесс задаваемый на [a, b] ⊂ R соотношением 

x(n + 1) = 

{ 

f1 (x(n)), x(n) x p , 

f 2 (x(n)), x(n) > x p , 

(1) 

который удовлетворяет следующим условиям: функции f i (x) (i = 1, 2) непрерывны на 

[a, b] и f i [a, b] ⊂ (a, b); x p = const ∈ (a, b) и f 1 (x p ) ≠ f 2 (x p ); функции f i (x) имеют на 

(a, b) по одной неподвижной точке x ∗ i ; каждая из функций f i (x) на [a, b] удовлетворяет 

необходимым и достаточным условиям притяжения неподвижной точки x ∗ i [1], а именно, 

∀x ∈ [a, x ∗ i ) f 2 i (x) > x, ∀x ∈ (x ∗ i , b] f 2 i (x) < x. (2) 

Здесь и далее fi 

k – k-я итерация функции f i , т.е. fi 0 (x) = x и f j i (x) = f i(f j−1 

i (x)); fi k M – 

образ множества M при отображении fi k ; f −1 

i M = {x ∈ L : f i (x) ∈ M} – полный прообраз 

7

в L множества M ⊂ L при отображении f i ; f −k 

i M = f −1 

i M) – полный прообраз 

k-го порядка множества M в L при отображении f i , где для i = 1 L = [a, x p ], а для i = 2 

L = (x p , b]. 

В [1] показано, что выполнение условий (2) влечет неравенства 

(f −(k−1) 

i 

∀x ∈ [a, x ∗ i ) f i (x) > x, ∀x ∈ (x ∗ i , b] f i (x) < x. (3) 

Кроме того, из данного в [1] доказательства необходимых и достаточных условий притяжения 

неподвижной точки, следует, что при выполнении условий (2) для итерационного 

процесса x i (n + 1) = f i (x i (n)) областью притяжения неподвижной точки x ∗ i будет отрезок 

[a, b]. 

Для процесса (1) рассмотрим области притяжения P (x ∗ i ) неподвижных точек x ∗ i функций 

f i (x) и области решений с бесконечным числом переключений его правой части при 

различном расположении точек x ∗ i относительно точки разрыва (переключения правой 

части) x p . Для этого в [a, x p ] выделим множество W 0 точек перехода из [a, x p ] в (x p , b] за 

один шаг и множество W точек из [a, x p ], из которых итерационный процесс (1) по f 1 

попадает в (x p , b]: 

W 0 = {x ∈ [a, x p ] : f 1 (x) > x p }, W = ⋃ k0 

f −k 

1 W 0 . 

При этом S = [a, x p ] \ W – множество точек, из которых итерационный процесс (1) не 

покидает [a, x p ], т.е. остается в S. 

В промежутке (x p , b] выделим множество V 0 точек перехода из (x p , b] в [a, x p ] за одну 

итерацию и множество V точек, из которых процесс (1) по f 2 попадает в [a, x p ]: 

V 0 = {x ∈ (x p , b] : f 2 (x) x p }, V = ⋃ k0 

f −k 

2 V 0 ; 

тогда G = (x p , b] \ V – множество точек из (x p , b], из которых процесс (1) не покидает 

(x p , b], т.е. остается в G. 

Множество W разобьем на части W1 V и W1 G по переходам, которые происходят из W 0 , 

в V и G: 

W1,0 V = {x ∈ W 0 : f 1 (x) ∈ V }, W1 

V = ⋃ f1 −k W1,0; 

V 

k0 

W G 1,0 = {x ∈ W 0 : f 1 (x) ∈ G}, W G 1 

= ⋃ k0 

f −k 

1 W G 1,0. 

Множество V разобьем на части V W 

1 и V S 

1 по переходам из V 0 в W и S: 

V1,0 W = {x ∈ V 0 : f 2 (x) ∈ W }, V1 W = ⋃ f2 −k V1,0; 

W 

k0 

V1,0 S = {x ∈ V 0 : f 2 (x) ∈ S}, V1 S = ⋃ f2 −k V1,0. 

S 

k0 

Далее множество W1 V разобьем на части W2 V и W2 S по переходам в V1 W и V1 S , а множество 

V1 W на части V2 W и V2 G по переходам в W1 V и W1 G : 

W2,0 V = {x ∈ W1,0 V : f 1 (x) ∈ V1 W }, W2 V = ⋃ f1 −k W2,0; 

V 

k0 

8

W2,0 S = {x ∈ W1,0 V : f 1 (x) ∈ V1 S }, W2 S = ⋃ f1 −k W2,0; 

S 

k0 

V2,0 W = {x ∈ V1,0 W : f 2 (x) ∈ W1 V }, V2 W = ⋃ f2 −k V2,0; 

W 

k0 

V2,0 G = {x ∈ V1,0 W : f 2 (x) ∈ W1 G }, V2 G = ⋃ f2 −k V2,0. 

G 

k0 

Аналогичным образом продолжим разбиение множеств W V 

i 

по переходам соответственно в V W 

i 

= Wi 

G и V (S,G) 

i 

при i 2 определяются как 

W (S,G) 

i 

или V (S,G) 

i 

и W V 

i 

и V W 

i 

или W (S,G) 

i 

= V S 

i , а для i четных W (S,G) 

i = W S I и V (S,G) 

I 

W V 

i+1,0 = {x ∈ W V 

i,0 : f 1 (x) ∈ Vi 

W 

}, Wi+1 V = ⋃ f1 −k Wi+1,0; 

V 

k0 

при i 2 на части 

, где для i нечетных 

= Vi 

G . Эти разбиения 

W (S,G) 

i+1,0 = {x ∈ W i,0 V : f 1 (x) ∈ V (S,G) 

i }, W (S,G) 

i+1 = ⋃ f1 −k W (S,G) 

i+1,0 ; 

k0 

V W 

i+1,0 = {x ∈ V W 

i,0 : f 2 (x) ∈ Wi 

V 

}, Vi+1 W = ⋃ f2 −k Vi+1,0; 

W 

k0 

V (S,G) 

i+1,0 

= {x ∈ V i,0 W : f 2 (x) ∈ W (S,G) 

i }, V (S,G) 

i+1 = ⋃ k0 

f −k 

2 V (S,G) 

i+1,0 . 

По построенному разбиению промежутков [a, x p ] и (x p , b] следует: начинающийся в 

W (S,G) 

i процесс (1) при четном i попадает в S, а при нечетном i в G; процесс начинающийся 

в V (S,G) 

i при четном i попадает в G, а при нечетном i в S. Отрезок [a, b] является областью 

притяжения неподвижной точки x ∗ i для разностного уравнения x i (n + 1) = f i (x(n)), 

поэтому при x ∗ 1 ∈ S процесс (1) из S сходится к x ∗ 1, а при x ∗ 2 ∈ G процесс (1) из G 

сходится к x ∗ 2. Для итерационного процесса (1) рассмотрим области притяжения P (x ∗ i ) 

неподвижных точек x ∗ i при их различном расположении относительно точки разрыва x p . 

2. Случай x ∗ 1 < x p < x ∗ 2 

Пусть α 0 наибольшее на [a, x p ] решение уравнения f 1 (x) = x p , не являющееся точкой 

локального экстремума f 1 (x). Из (3) и f 1 (x ∗ 1) = x ∗ 1 < x p следует α 0 < x ∗ 1. Если такого 

решения нет, то примем α 0 = a, в этом случае W 0 = ∅, S = [a, x p ]. Через β 0 обозначим 

наименьшее на (x p , b] решение уравнения f 2 (x) = x p . В силу (3) и f 2 (x ∗ 2) = x ∗ 2 > x p 

имеем β 0 > x ∗ 2. Если такого решения нет, то примем β 0 = b, в этом случае V 0 = ∅, 

G = (x p , b]. Из условия (2) следует [α 0 , x p ] ⊂ S и (x p , β 0 ) ⊂ G. В силу x ∗ 1 ∈ (α 0 , x p ) и 

x ∗ 2 ∈ (x p , β 0 ) получаем S ⊂ P (x ∗ 1) , G ⊂ P (x ∗ 2). Кроме того, при α 0 ≠ a f 1 W 0 ∩ G ≠ ∅, 

а при β 0 ≠ b f 2 V 0 ∩ S ≠ ∅. Очевидно, что при W 0 = V 0 = ∅ имеет место P (x ∗ 1) = [a, x p ] 

и P (x ∗ 2) = (x p , b]. Поэтому интерес представляют случаи когда хотя бы одно из множеств 

W 0 и V 0 не пусто. Обозначим через α i наибольшее на [a, α i−1 ] решение уравнения 

f 1 (x) = β i−1 , а через β i – наименьшее на [β i−1 , b] решение уравнения f 2 (x) = α i−1 , i 1. Если 

таковых решений нет, то принимаем α i = a, β i = b. По построению α i < α i−1 и β i−1 < β i . 

9

Утверждение 1.Пусть для итерационного процесса (1) с x ∗ 1 < x p < x ∗ 2 при некотором 

k 0 выполняется неравенство 

Тогда Vk+1,0 W = ∅, W k+2,0 V = ∅, V k 

W 

при k нечетных 

α k < min 

[x p ,b] f 2(x) α k−1 . (4) 

= V (S,G) 

k+1 , W V k+1 = W (S,G) 

k+2 

и при k четных 

P (x ∗ 1) = S ∪ V S 

1 ∪ W S 2 ∪ . . . ∪ V S 

k−1 ∪ W S k ∪ V W 

k ∪ W V k+1, (5) 

P (x ∗ 2) = G ∪ W G 1 

∪ V2 G ∪ . . . ∪ Wk−1 G ∪ Vk 

G ∪ Wk+1; 

G 

P (x ∗ 1) = S ∪ V S 

1 ∪ W S 2 ∪ . . . ∪ V S 

k ∪ W S k+1, (6) 

P (x ∗ 2) = G ∪ W G 1 

∪ V G 

2 ∪ . . . ∪ V G 

k−1 ∪ W G k 

Если при некотором k 0 выполняется неравенство 

∪ V W 

k 

∪ W V k+1. 

β k−1 < max 

[a,x p] f 1(x) β k , (7) 

то W V k+1 = ∅, V W 

k+2 = ∅, W V k = W (S,G) 

k+1 , V W 

k+1 = V (S,G) 

k+2 

и при k четных 

при k нечетных 

P (x ∗ 1) = S ∪ V S 

1 ∪ W S 2 ∪ . . . ∪ V S 

k−1 ∪ W S k ∪ V S 

k+1, (8) 

P (x ∗ 2) = G ∪ W G 1 

∪ V G 

2 ∪ . . . ∪ W G k−1 ∪ V G 

k ∪ W V k ∪ V W 

k+1; 

P (x ∗ 1) = S ∪ V S 

1 ∪ W S 2 ∪ . . . ∪ W S k−1 ∪ V S 

k ∪ W V k ∪ V W 

k+1, (9) 

P (x ∗ 2) = G ∪ W G 1 

∪ V G 

2 ∪ . . . ∪ V G 

k−1 ∪ W G k 

∪ V W 

k 

∪ W V k+1. 

Доказательство. Пусть выполнено неравенство (4). Тогда β k+1 = b и существует β k < b. 

Отсюда и f 1 [a, b] ⊂ (a, b) следует α k+2 = a. На (x p , β k ) выполняется неравенство f 2 (x) > 

α k−1 , поэтому (x p , β k ) состоит только из подмножеств множеств G, V (S,G) 

1 , . . . , V (S,G) 

k 

. На 

промежутке [β k , b] по условиям (3) и (4) выполняется неравенство α k < f 2 (x) < x. Так как 

на (α k , x p ] f 1 (x) < β k−1 , то (α k , x p ] состоит только из подмножеств множеств S, W (S,G) 

1 , . . . , 

W (S,G) 

k−1 

, W (S,G) 

k 

. Следовательно, из [β k , b] возможны только переходы в эти подмножества, 

поэтому Vk+1,0 

W = ∅ и V k 

W = V (S,G) 

k+1 , а также W k+2 V = ∅ и W k+1 V = W (S,G) 

k+2 

. Отсюда, по 

построению множеств W (S,G) 

i и V (S,G) 

i , следует, что области притяжения P (x ∗ 1) и P (x ∗ 2) при k 

четных определяются соотношениями (5), а при k нечетных определяются соотношениями 

(6). При этом P (x ∗ 1) ∪ P (x ∗ 2) = [a, b]. Доказательство для случая выполнения неравенства 

(7) проводится аналогичным образом. 

Условие (4) связано с пересечениями f 2 V 0 с S и W (S,G) 

i 

f 1 W 0 с G и V (S,G) 

i . 

, а условие (7) с пересечениями 

Следствие 1. Пусть для итерационного процесса (1) с x ∗ 1 < x p < x ∗ 2 хотя бы одно из 

множеств W 0 , V 0 не пусто, тогда: 

10

при W 0 ≠ ∅ и f 1 W 0 ⊂ G 

P (x ∗ 1) = S ∪ V S 

1 , P (x ∗ 2) = G ∪ W ∪ V W 

1 ; 

при V 0 ≠ ∅ и f 2 V 0 ⊂ S P (x ∗ 1) = S ∪ V ∪ W V 1 , P (x ∗ 2) = G ∪ W G 1 ; 

при W 0 ≠ ∅, V 0 ≠ ∅, f 1 W 0 ⊂ G и f 2 V 0 ⊂ S P (x ∗ 1) = S ∪ V , P (x ∗ 2) = G ∪ W . 

Следствие 2. Если для итерационного процесса (1) с x ∗ 1 < x p < x ∗ 2 f 1 W 0 ∩ V 0 ≠ ∅ и 

f 2 V 0 ∩ W 0 ≠ ∅, то: 

при f 1 W V 1,0 ⊂ V S 

1,0 P (x ∗ 1) = S ∪ V S 

1 ∪ W V 1 ∪ V W 

2 , P (x ∗ 2) = G ∪ W G 1 ∪ V G 

2 ; 

при f 2 V W 

1,0 ⊂ W G 1,0 P (x ∗ 1) = S ∪ V S 

1 ∪ W S 2 , P (x ∗ 2) = G ∪ W G 1 ∪ V W 

1 ∪ W V 2 ; 

при f 1 W V 1,0 ⊂ V S 

1,0 и f 2 V W 

1,0 ⊂ W G 1,0 P (x ∗ 1) = S ∪ W V 1 ∪ V S 

1 , P (x ∗ 2) = G ∪ W G 1 ∪ V W 

1 . 

Наиболее простую структуру множества W (S,G) 

i , Wi 

V , V (S,G) 

i , Vi W , соответственно P (x ∗ 1) 

и P (x ∗ 2), имеют при монотонных f 1 (x) и f 2 (x). А именно. 

Для f 1 (x) возрастающей на [a, x ∗ 1] и f 2 (x) возрастающей на [x ∗ 2, b] имеет место W = V = ∅ 

и P (x ∗ 1) = [a, x p ], P (x ∗ 2) = (x p , b]. 

Для f 1 (x) убывающей на [a, x ∗ 1] и f 2 (x) возрастающей на [x ∗ 2, b] имеет место S = [α 0 , x p ], 

W1,0 G = W 0 = [a, α 0 ), G = (x p , b], V = ∅ и P (x ∗ 1) = [α 0 , x p ], P (x ∗ 2) = [a, α 0 ) ∪ (x p , b]. 

Для f 1 (x) возрастающей на [a, x ∗ 1] и f 2 (x) убывающей на [x ∗ 2, b] имеет место S = [a, x p ], 

W 0 = ∅, G = (x p , β 0 ), V 0 = V1,0 S = [β 0 , b] и P (x ∗ 1) = [a, x p ] ∪ [β 0 , b], P (x ∗ 2) = (x p , β 0 ). 

Для f 1 (x) убывающей на [a, x ∗ 1] и f 2 (x) убывающей на [x ∗ 2, b] имеет место S = [α 0 , x p ]; 

W 0 = [a, α 0 ); G = (x p , β 0 ); V 0 = [β 0 , b]; 

W (S,G) 

i 

V (S,G) 

i 

{ 

= W (S,G) [αi , α 

i,0 = 

i−1 ], при i четном, 

(α i , α i−1 ), при i нечетном; 

{ 

= V (S,G) [βi−1 , β 

i,0 = 

i ], при i нечетном, 

(β i−1 , β i ), при i четном. 

При выполнении условия (4) для четного k получаем 

P (x ∗ 1) = [α 0 , x p ] ∪ [β 0 , β 1 ] ∪ [α 2 , α 1 ] ∪ . . . ∪ [β k−2 , β k−1 ] ∪ [α k , α k−1 ] ∪ [β k , b] ∪ [a, α k+1 ], 

а для нечетного k 

P (x ∗ 2) = [a, b] \ P (x ∗ 1); 

P (x ∗ 1) = [α 0 , x p ] ∪ [β 0 , β 1 ] ∪ [α 2 , α 1 ] ∪ . . . ∪ [β k−1 , β k ] ∪ [α k+1 , α k ], P (x ∗ 2) = [a, b] \ P (x ∗ 1). 

При выполнении условия (7) из (8) и (9) для убывающих f 1 (x) и f 2 (x) области 

притяжения P (x ∗ 1) и P (x ∗ 2) также представляют объединения промежутков, граничными 

точками которых являются точки a, x p , α i , β i , b. 

3. Случаи x ∗ i < x p и x p < x ∗ i 

11

При x ∗ i < x p из условия (3) следует f 2 (x p ) < x p . Поэтому V = (x p , b], G = ∅ и P (x ∗ 2) = ∅. 

Отсюда, по определению множеств W (S,G) 

i и V (S,G) 

i , получаем при нечетных i 

а при четных i 

W (S,G) 

i 

W (S,G) 

i 

= ∅, V (S,G) 

i 

= Vi S , Wi 

V 

= Wi S , V (S,G) 

i = ∅, Wi 

V 

= Wi+1 V ∪ Wi+1, S Vi 

W 

= Wi+1, V Vi 

W 

= V W 

i+1; 

= V S 

i+1 ∪ V W 

i+1. 

Очевидно, что при W 0 = ∅ имеем S = [a, x p ], V W 

1 = ∅ и V = V S 

1 , поэтому в этом случае 

P (x ∗ 1) = [a, b]. 

Утверждение 2. Пусть для итерационного процесса (1) x ∗ i < x p (i = 1, 2). Тогда, если 

при некотором k > 1 Wk 

V = ∅ или V k 

W = ∅, то P (x ∗ 1) = [a, b]. Если при некотором четном 

k Wk S = ∅, то P (x ∗ 1) = S ∪ V1 S ∪ W2 S ∪ . . . ∪ Wk−2 S ∪ Vk−1, 

S 

а процессы начинающиеся в [a, b] \ P (x ∗ 1) = Wk−2 V ∪ V k−1 

W являются колебательными с 

бесконечным числом переключений правой части уравнения (1). 

Доказательство. Пусть Wk 

V = ∅. Доказательство проведем для четного k > 2. Для 

нечетных k оно сводится к случаю четных k в силу того, что Wk V = Wk−1 V . Из W k V = ∅ 

при четном k следует Vk+1 W = ∅ и V k 

W = Vk−1 

W = V k+1 S . Отсюда W k−2 V = W k−1 V = W k S, 

следовательно, Wk−3 V = W k−2 V ∪ W k−2 S = W k 

S ∪ W k−2 S (S,G) 

. Далее, с учетом W 

k−3 

= ∅, получаем 

Wk−4 V = W k−3 V = W k S ∪ W k−2 S , W k−5 V = W k−4 V ∪ W k−4 S . Продолжая таким же образом получаем 

W = Wk 

S ∪ W k−2 S ∪ . . . ∪ W 2 S . Следовательно, итерационный процесс (1), начинающийся в 

W , на некотором шаге попадает в S и далее сходится к x ∗ 1, т.е. [a, x p ] = W ∪ S ⊂ P (x ∗ 1). 

Отсюда следует V = (x p , b] ⊂ P (x ∗ 1). При Vk W = ∅ имеем Wk+1 V = ∅, поэтому, в силу 

предыдущего, также получаем P (x ∗ 1) = [a, b]. Вторая часть утверждения доказывается 

подобными рассуждениями. 

При x ∗ i > x p из условия (3) следует f 1 (x p ) > x p . Поэтому W = [a, x p ], S = ∅ и 

P (x ∗ 1) = ∅. Очевидно, что при V 0 = ∅ получаем G = (x p , b], W = W1 

G = [a, x p ], отсюда 

следует P (x ∗ 2) = [a, b]. Проводя такие же рассуждения как и для случая x ∗ i < x p легко 

показать справедливость следующего утверждения. 

Утверждение 3. Если для итерационного процесса (1) x ∗ i > x p (i = 1, 2) и при некотором 

k > 1 Wk 

V = ∅ или V k W = ∅, то P (x ∗ 2) = [a, b]. Если при некотором нечетном k Wk G = ∅, 

то 

P (x ∗ 2) = G ∪ W1 

G ∪ V2 G ∪ . . . ∪ Wk−2 G ∪ Vk−1, 

G 

а процессы начинающиеся в [a, b] \ P (x ∗ 2) = Wk−2 V ∪ V k−1 

W являются колебательными с 

бесконечным числом переключений правой части уравнения (1). 

При x ∗ 2 < x p < x ∗ 1 точки x ∗ i не являются стационарными для итерационного процесса 

(1), поэтому все его решения начинающиеся в [a, b] являются колебательными с бесконечным 

числом переходов через точку разрыва правой части уравнения (1). 

12

Список литературы 

[1] А.Н. Шарковский, Ю.Л. Майстренко, Е.Ю. Романенко Разностные уравнения и их 

приложения. Киев: Наук. думка, 1986, 280 с. 

[2] А.П. Шапиро, С.П. Луппов Рекуррентные уравнения в популяционной биологии. 

Москва: Наука, 1983, 134 с. 

[3] Ю.М. Свирежев, Д.О. Логофет Устойчивость биологических сообществ. Москва: Наука, 

1978, 352 с. 

[4] М.В. Якобсон О свойствах динамических систем, порождаемых отображениями вида 

x → Axe −x . – В кн.: Моделирование биологических сообществ. Владивосток: ДВНЦ 

АН СССР, 1975, с. 141-162. 

[5] T.-J. Li, J.A. Yorke Period three implies chaos. - Amer. Math. Monthly, 1975, V 82, N10, 

p. 982-985. 

13

ATTRACTION DOMAINS OF IMMOBILIZED POINTS OF DISCONTINUOUS 

MAPPING 

R.Z. Abdullin 

The Baikal State University of Economics and Law, Irkutsk 

e-mail: abdullin-rz@isea.ru 

Abstract. An iterative process given by a discontinuous function is considered. A technique of finding 

attraction domains of immobilized (fixed) points in case of their different positions with respect 

to both the point of discontinuity and domains of oscillatory solutions with an infinite number of 

transitions through the point of discontinuity is proposed for such an iterative process. 

Key words: fixed point; iterative process; attraction domain; oscillatory solutions. 

14

О ДВУХ ПОДХОДАХ К ПОЛУЧЕНИЮ НЕУЛУЧШАЕМЫХ ОЦЕНОК 

РЕШЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ 

А.С. Апарцин 

Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева, СО РАН, 

e-mail: apartsyn@isem.sei.irk.ru 

Аннотация. Изложена техника получения неулучшаемых оценок непрерывных решений некоторых 

классов линейных многомерных и нелинейных одномерных неравенств с операторами типа 

Вольтерра. 

Ключевые слова: интегральные неравенства, неулучшаемые оценки. 

1. Общеизвестна роль неравенства Гронуолла-Беллмана в исследованиях по устойчивости 

решений обыкновенных дифференциальных и одномерных интегральных уравнений 

типа Вольтерра. Приведем простейший вариант этого неравенства: 

если непрерывная функция ϕ(t) неотрицательна при t 0, то для c 0 и m 0 из 

неравенства 

∫ t 

ψ(t) c + m ψ(s)ds, t 0, (1) 

следует, что 

0 

ψ(t) c e mt , t 0. (2) 

Поскольку правая часть неравенства Гронуолла-Беллмана (2) является (единственным) 

решением уравнения, возникающего при замене в (1) знака на = , то оценка (2) неулучшаема. 

При исследовании линейных многомерных интегральных уравнений типа Вольтерра 

требуется оценивать непрерывные решения неравенств, являющихся многомерными обобщениями 

(1). Например, в двумерном случае таким неравенством является следующее: 

∫t 1 

ψ(t 1 , t 2 ) c + m 1 

∫t 2 

ψ(s, t 2 )ds + m 2 

∫t 1 

ψ(t 1 , s)ds + m 12 

∫ t 2 

ψ(s 1 s 2 )ds 1 ds 2 , (3) 

0 

0 

0 

0 

ψ(t), c, m 1 , m 2 , m 12 , t 1 , t 2 0. 

Для получения неулучшаемой оценки решений неравенства (3) требуется: 

а) обосновать мажорирующее свойство (единственного) решения уравнения, возникающего 

из (3) при замене знака на = ; 

б) найти это решение в явном виде. 

Первая проблема легко решается на базе теории изотонных операторов относительно 

конуса в частично упорядоченном банаховом пространстве (интегральные операторы в (3) 

изотонны относительно конуса C +[0,T ] неотрицательных непрерывных на [0, T ] функций, 

T < ∞. 

Для решения основной задачи б) достаточно использовать линейность оператора V , 

определяемого правой частью (3), из которой следует представление решения ψ ∗ (t 1 , t 2 ) 

15

уравнения 

∫t 1 

ψ(t 1 , t 2 ) = c + m 1 

∫t 2 

ψ(s, t 2 )ds + m 2 

∫t 1 

ψ(t 1 , s)ds + m 12 

∫ t 2 

ψ(s 1 s 2 )ds 1 ds 2 (4) 

0 

0 

0 

0 

в виде ряда Неймана 

∞∑ 

ψ ∗ (t 1 , t 2 ) = V k c, (5) 

и коммутативность образующих V изотонных операторов V 1 , V 2 и V 12 , так что 

k=0 

ψ ∗ (t 1 , t 2 ) = 

∞∑ 

k=0 

∑ 

i 1 +i 2 +i 12 =k 

k! 

i 1 !i 2 !i 12 ! V i 1 

1 V i 2 

2 V i 12 

12 c. (6) 

Таким образом, получение неулучшаемой оценки решений (3) сводится к подсчету значений 

степеней операторов, входящих в (6). В работах [1], [2] установлено, что (6) представимо 

в следующем виде: 

( 

ψ ∗ (t 1 , t 2 ) = c e m 1t 1 +m 2 t 2 

J 0 2i √ (m 1 m 2 + m 12 )t 1 t 2 

), (7) 

где J 0 — функция Бесселя нулевого порядка, i — мнимая единица. 

Нетрудно сравнить (7) с другими оценками . Например, для случая m 12 = 0 известны 

следующие оценки: 

ψ(t 1 , t 2 ) c e m 1t 1 +m 2 t 2 +m 1 m 2 t 1 t 2 

(8) 

(оценка Вендроффа [3]); 

(оценка из [4]); 

(оценка из [5]); 

ψ(t 1 , t 2 ) c e m 1t 1 +m 2 t 2 +2 √ m 1 m 2 t 1 t 2 

(9) 

ψ(t 1 , t 2 ) ≤ c e 2(m 1t 1 +m 2 t 2 ) 

ψ(t 1 , t 2 ) c e (m 1+m 2 )(t 1 +t 2 ) 

(оценка из [6]). 

Все оценки содержат множитель c e m 1t 1 +m 2 t 2 

, поэтому достаточно сравнить функцию 

J 0 (2i √ m 1 m 2 t 1 t 2 ) с соответствующими экспонентами из (8) – (11). Разлагая их в ряды 

Тейлора и учитывая представление J 0 (2i √ ∞∑ (m 1 m 2 t 1 t 2 ) k 

m 1 m 2 t 1 t 2 ) ≡ 

, убеждаемся, что, 

(k!) 2 

как следствие неулучшаемости (7), J 0 (2i √ m 1 m 2 t 1 t 2 ) минорирует остальные функции при 

любых m 1 , m 2 , t 1 , t 2 0. 

Обобщение изложенной техники с двумерного случая на n-мерный (при этом интегральное 

неравенство может содержать до 2 n − 1 линейных перестановочных изотонных 

операторов Вольтерра) детально рассмотрено в [7], [8]. Там же исследованы сеточные 

аналоги подобных неравенств, возникающие при обосновании сходимости численных 

методов решения линейных многомерных интегральных уравнений типа Вольтерра. 

k=0 

(10) 

(11) 

16

2. Ниже рассматриваются нелинейные неравенства вида 

ψ(t) c + 

N∑ 

m=1 

( ∫t 

L i 

0 

ψ(s)ds) i 

+ 

N∑ 

i=2 

( ∫t 

iM i ψ(t) 

0 

ψ(s)ds) i−1 

, t ∈ [0, T ], (12) 

ψ(t), c, M i > 0; L i 0, 

играющие важную роль при исследовании полилинейных (N-линейных) уравнений Вольтерра 

I рода 

N∑ 

∫ t 

m=1 

0 

∫ t 

· · · 

0 

K m (t, s 1 , . . . , s m ) 

m∏ 

x(s i )ds i = y(t), t ∈ [0, T ]. (13) 

i=1 

При N = 1 (13) — линейное уравнение Вольтерра I рода, а (12) переходит в неравенство 

типа (1). 

„Линейная“ техника получения неулучшаемых оценок, изложенная в пункте 1, теперь 

непригодна, так как и сам переход от неравенства к соответствующему уравнению нуждается 

в дополнительном обосновании, и, кроме того, операторы в (12) не являются перестановочными. 

Пусть 

так что 

ζ(t) = 

∫ t 

0 

ψ(s)ds, 

ψ(t) = ˙ζ(t) (14) 

и интегральное неравенство (12) переходит в следующее дифференциальное неравенство: 

˙ζ(t) 

∑ 

c + N L i ζ i (t) 

i=1 

∑ 

1 − N iM i ζ i−1 (t) 

i=2 

≡ G(ζ(t)), ζ(0) = 0, t ∈ [0, T ]. (15) 

Заменой в (15) знака на = введем (мажорантную) задачу Коши 

˙θ(t) = G(θ(t)), θ(0) = 0, t ∈ [0, T ]. (16) 

Лемма. При достаточно малом T > 0 справедливо неравенство 

ψ(t) ˙θ ∗ (t), t ∈ [0, T ], (17) 

где θ ∗ (t) — единственное решение задачи Коши (16). 

Доказательство. Отображение G(θ(t)) : C [0,T ] → C [0,T ] локально липшицнепрерывно, 

поэтому при достаточно малом T > 0 решение (16) существует и единственно. 

Согласно [9] (теорема 4.1 главы 3), 

ζ(t) θ ∗ (t), t ∈ [0, T ], 

17

а в силу изотонности G(θ(t)) относительно конуса C +[0,T ] 

G(ζ(t)) G(θ ∗ (t)), 

поэтому 

˙θ ∗ (t) − ˙ζ(t) G(θ ∗ (t)) − G(ζ(t)) 0 (18) 

и из (18) и (14) следует (17). 

Оценку (17) естественно считать неулучшаемой, если [0, T ] — максимальная область 

существования решения задачи Коши (16), т.е. T = T ∗ таково, что G(θ ∗ (T ∗ )) = ∞. 

Таким образом, получение неулучшаемой оценки решений неравенства (12) сводится к 

нахождению точного решения (16), и его дифференцированию и определению T ∗ . 

Далее приводится ряд неулучшаемых оценок, подробный вывод которых можно найти 

в [10] – [12]. 

Случай N = 2, L 1 = L 2 = 0. 

Утверждение 2.1. Если 

то 

ψ(t) 

Случай N = 3, L 1 = L 2 = L 3 = 0. 


∫ t 

ψ(t) c + 2M 2 ψ(t) 

0 

ψ(s)ds, 

ψ(t), t 0; c, M 2 > 0; 

c 

√ 1 − 4M2 ct , t ∈ [0, T ∗ ), T ∗ = 1 

4M 2 c . 

∫ t 

ψ(t) c + 2M 2 ψ(t) 

( ∫t 

ψ(s)ds + 3M 3 ψ(t) 

ψ(s)ds) 2 

, 

0 

0 

то 

ψ(t), t, M 2 0; M 3 > 0, 

{ 

( 

π 

ψ(t) √ 2 c cos − 1 arccos 3 √ √ )} 

3 

q(t) − 1 6 3 2 p 3 

√ 

, t ∈ [0, T ∗ ), 

3 pM 3 4 + 27q2 (t) 

p 3 

T ∗ = −9M 2M 3 − 2M2 3 + 2 √ 27M3 3 + 27M3 2 M2 2 + 9M 3 M2 4 + M2 

6 

27M3 2 c 

( 1 

p = − + M ) 

2 

2 , q(t) = M ( 

2 1 

+ 2 ) 

M2 

2 + ct . 

M 3 3M3 

2 3M 3 M 3 9 M3 

2 M 3 

, 

18

то 

Случай N = 2, L 1 > 0, L 2 = 0. 


ψ(t) c + L 1 

∫t 

0 

ψ(t) − L 1 

2M 2 

∫ t 

ψ(s)ds + 2M 2 ψ(t) 

( 

W − 

( 

1 + W 

T ∗ = L 1 + 2M 2 c 

L 2 1 

0 

ψ(s)ds, ψ(t), t 0; c, L 1 , M 2 > 0, 

2M 2c 

exp L2 1 t−2M 2c 

L 1 +2M 2 c L 1 +2M 2 c 

) , t ∈ [0, T ∗ ), 

− 

2M 2c 

exp L2 1 t−2M 2c 

L 1 +2M 2 c L 1 +2M 2 c 

( 

ln 1 + L ) 

1 

− 1 . 

2M 2 c L 1 

W (·) — главная вещественная ветвь функции Ламберта. 

Случай N = 2, L 1 > 0, L 2 > 0. 


ψ(t) c + L 1 

∫t 

( ∫t 

ψ(s)ds + L 2 

) 

2 ∫ 

ψ(s)ds) t 

+ 2M 2 ψ(t) 

ψ(s)ds, 

0 

0 

0 

то 

ψ(t), t 0; c, L 1 , L 2 , M 2 > 0, L 2 1 − 4L 2 c = 0, 

ψ(t) = a L 2 

1 

( 

2 M 2 

W −1, −a √ L 2 e − L 2 

) 

(b−t) 

2M 2 

T ∗ = b − 2M ( 

2 

1 + ln(a √ ) 

L 2 ) . 

L 2 

1 

( 

1 + W −1, −a √ L 2 e − L 2 (b−t) 

2M 2 

) , 

a = L 2 + L 1 M 2 

2M 2 L 2 

, b = M 2 

L 2 

ln c + 2L 2 + 2L 1 M 2 

L 1 L 2 

, 

W (−1, . . .) — вторая вещественная ветвь функции Ламберта. 

В более сложных случаях точное решение мажорантной задачи Коши (16) в аналитическом 

виде найти не удается. Ряд приемов, позволяющих получить оценки, близкие к 

неулучшаемым, разработан в [13]. 


[1] Апарцин А.С., Тен Мен Ян. О неулучшаемых оценках решений некоторых многомерных 

интегральных неравенств // Вопр. прикладной математики. – Новосибирск: 

Наука. Сиб. отд-ние, 1978. – С. 36-52. 

[2] А.С. Апарцин, Тен Мен Ян. О неулучшаемых оценках решений некоторых интегральных 

неравенств // СМЖ. – 1979, Т. 20, № 1. – C. 192-195. 

19

[3] Р. Беллман, Э. Беккенбах. Неравенства. – М.: Мир, 1965. – 276 с. 

[4] А.С. Апарцин, Тен Мен Ян. О корректности многомерных интегральных уравнений 

Вольтерра I рода // Вопр. прикладной математики. – Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 

1975. – С. 120-126. 

[5] В.П. Бурлаченко, Н.И. Сиденко. О приближении по методу В.П. Дзядыка решений 

задач для гиперболических уравнений // Дифференциальные уравнения. – 1976. – Т. 

12, № 5. – С. 857-864. 

[6] S. McKee, Tao Tang, and T. Diogo. An Euler method for two-dimensional Volterra integral 

equations of the first kind // IMA J. of Numerical Analysis, (2000), 20, P. 423-440. 

[7] А.С. Апарцин. Некоторые интегральные (разностные) неравенства и их приложения. 

– Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1988. – 41 с. 

[8] A.S. Apartsyn. Nonclassic linear Volterra integral equations of the first kind. // Inverse 

and ill-posed problems series. – VSP. – Netherlands. – 2003. – 163 p. 

[9] Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. – 720 с. 

[10] А.С. Апарцин. О билинейных уравнениях Вольтерра I рода // Оптимизация, управление, 

интеллект – 2004, - № 2(8). – С. 20-28. 

[11] А.С. Апарцин. О полилинейных уравнениях Вольтерра I рода // Автоматика и телемеханика. 

– 2004. – № 2. – С. 118-125. 

[12] А.С. Апарцин. Неулучшаемые оценки решений некоторых классов нелинейных интегральных 

неравенств // Тр. IX Междунар. Четаевской конф. „Аналитическая механика, 

устойчивость и управление движением“, посвященной 105-летию Н.Г. Четаева. 

– Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2007. – Т. 5. – С. 60-77. 

[13] Апарцин А.С. Неулучшаемые оценки решений некоторых классов интегральных 

неравенств // Inverse and Ill-Posed Problems. – 2008 (в печати). 

ABOUT TWO APPROACHES TO OBTAINING UNIMPROVABLE 

ESTIMATES FOR INTEGRAL INEQUALITY SOLUTIONS 

A.S. Apartsyn 

Melentiev Energy Systems Institute, SB RAS 

e-mail:apartsyn@isem.sei.irk.ru 

Abstract. The paper presents a technique for obtaining unimprovable estimates of continuous 

solutions to some classes of linear multidimensional and nonlinear one-dimensional inequalities with 

the Volterra type operators. 

Key words: integral inequalities, unimprovable estimates. 

20

СРАВНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ ГЛОБАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ РАСЧЕТ- 

НЫХ СЕТОК 1 

Л.Н. Белоусова, В.А. Гаранжа 

Московский физико-технический институт, Долгопрудный 

ВЦ РАН, Москва 

e-mail: arnir@rambler.ru, garan@ccas.ru 

Аннотация. Рассматриваются алгоритмы оптимизации треугольных расчетных сеток в неявно 

заданных двумерных областях. Критерием оптимальности является минимальность меры 

отклонения треугольников сетки от равносторонних, минимальность уклонения длины ребер 

от заданного распределения, а также минимальность меры нерегулярности сетки. Показано, 

что наименьшие значения целевой функции удается получить при помощи эвристического 

алгоритма, в котором расчетная сетка полагается упругой сетью, в которой внутренние ребра 

действуют как расталкивающие пружины, а на границе прилагается возвращающая сила. 

Ключевые слова: триангуляции Делоне, центроидальные разбиения Вороного, равновесие на 

сетях, оптимизация расчетных сеток 


Задача построения оптимальных расчетных сеток является важным этапом построения 

эффективных численных алгоритмов математической физики. Эта задача сводится к 

разбиению области на подобласти простой формы, например, на треугольники. В качестве 

целевой функции оптимизации рассматриваются комбинации мер уклонения формы треугольников 

от равносторонних, мер уклонения длины ребер от заданного распределения, 

а также мер нерегулярности сетки. Задача оптимизации является смешанной, т.е. непрерывной 

(оптимизация посредством движения вершин сетки) и дискретной (оптимизация 

посредством изменения топологии связей сетки). Размерность таких задач оптимизации 

может быть очень велика. Многолетний практический опыт показал неэффективность 

стандартных алгоритмов оптимизации применительно этому классу задач. Сетки с малым 

значением целевой фукнции строятся с использованием различных геометрических 

соображений, или используя механические аналогии, такие как сети, собранные из пружин. 

Триангуляция называется триангуляцией Делоне [1], если круг, описанный вокруг 

каждого треугольника, не содержит других вершин триангуляции. Разбиением, двойственным 

триангуляции Делоне, является разбиение Вороного [2], которое состоит областей 

Дирихле-Вороного, т.е. множеств точек, ближайших к заданной вершине триангуляции 

Делоне. Область Вороного внутренней точки триангуляции является ограниченных выпуклым 

многоугольником. 

Известно [3], что все плоские триангуляции заданной точечной системы связны относительно 

операции переключения ребер в паре смежных треугольников. Известно, что 

триангуляция Делоне обладает наименьшей средней мерой уклонения формы от равносторонней 

[4] среди всех триангуляций с фиксированным множеством вершин. Таким обра- 

1 Работа выполнена при поддержке Президиума РАН, проект П-14 

21

зом, за не более чем O(n 2 ) операций переключения ребер из произвольной триангуляции 

можно получить глобально оптимальную триангуляцию Делоне, где n - число вершин триангуляции. 

Трудность заключается в том, нужно еще найти и наилучшее размещение этих 

вершин на плоскости. Таким образом, задача минимизации сводится к движению вершин 

сетки и переключению ребер, приводящему текущую сетку к триангуляции Делоне. 

В настоящее время построены весьма эффективные алгоритмы подвижного фронта, 

которые создают сетку с очень малым значением целевой функции слой за слоем, начиная 

от внешних или внутренних границ. Однако наличие таких алгоритмов не снимает 

необходимости поиска корректной вариационной постановки и алгоритма минимизации 

для построения глобально оптимальных расчетных сеток. 

Сравнение алгоритмов. 

Таким образом, задача оптимизации сеток свелась к поиску оптимального расположения 

узлов триангуляции Делоне. При этом начальное приближение строится случайным 

образом и обладает весьма плохим качеством, что показано на рис. Можно выделить 

несколько известных алгоритмов решения этой задачи. 

В алгоритме Ллойда[5] вершины сетки размещаются таким 

образом, чтобы они оказались центрами тяжести областей 

Вороного. Пусть p - вершина триангуляции, а v i , i = 

1, . . . , n p - вершины области Вороного V (p). Точка v i есть 

центр круга, описанного вокруг треугольника T i , инцидентного 

точке p. Итерационная схема Ллойда очень проста: 

p k+1 = 1 ∑ 

vi k , (1) 

n p 

Рис. 1: Начальная триангуляция. 

где k обозначает номер итерации. После смещения всех вершин 

триангуляция Делоне восстанавливается путем переключения 

ребер. Эта простая схема пересчета повторяется до сходимости, 

или до тех пор, пока качество сетки не оказывается 

приемлемым. Обозначим через c(x) центр действия ячейки 

Вороного, в которую попала точка x, т.е. ближайшую к x вершину триангуляции Делоне. 

Сетка, к которой сходится алгоритм (1), доставляет минимум функционалу 

∫ 

|x − c(x)| 2 dx, (2) 

где интеграл берется по объединению конечных ячеек Вороного. Известно, что если устранить 

влияние граничных эффектов, то алгоритм Ллойда сходится к центрам наиплотнейшей 

упаковки равных кругов на плоскости. 

В некоторых случаях быстрее сходится алгоритм Ллойда с весами: 

p k+1 = 

∑ 

i 

∑ 

i 

v k i area(T k 

i ) 

i 

area(T k 

i ) (3) 

Оба эти алгоритма сталкиваются с серьезными трудностями около границы области. 

На рис. 2 а) показан результат работы алгоритма Ллойда, а на рис. 2 б) - результат работы 

взвешенного алгоритма Ллойда. 

22

Совершенно другой подход оптимизации сеток основан на идее подъема точек на параболоид. 

Известно [6], [7], что треугольники триангуляции Делоне - это проекции граней 

выпуклого многогранника, который получается, если поднять вершины на поверхность 

кругового параболоида 

x 3 = 1 2 (x2 1 + x 2 2) 

и построить для них нижнюю выпуклую оболочку. В качестве целевой функции можно 

использовать объем области между параболоидом и многогранником. Этот функционал 

выписан в явном виде в работе [8] 

ϕ = ∑ i 

area(T i )∆ i , (4) 

где ∆ i - сумма квадратов ребер треугольника T i . Таким образом, минимальной считается 

такая триангуляция Делоне, подъем которой на параболоид обеспечивает его наилучшую 

аппроксимацию выпуклым многогранником. 

а) б) 

Рис. 2. а) Результат работы алгоритма Ллойда, б) модифицированный метод Ллойда. 

Наконец, еще один алгоритм является эвристическим и основан на механической аналогии. 

В нем полагается, что каждое ребро сетки сделано из упругого материала, но при 

этом оно может лишь расталкивать вершины данного ребра [9]. Если же длина ребра превосходит 

заданный порог, то никаких сил на вершины не действует. Результатом такого 

расталкивания конечно же должно являться разбегание вершин друг от друга. Поскольку 

расчетная область задается неявно, как множество 

Ω = {x : f(x) < 0}, 

то для возвращения точки p, убегающей из области, решается нелинейная система 

f(p) = 0, (5) 

т.е. вершина p проектируется на границу области. В отличие от работы [9], где в качестве 

функции f предлагалось брать функцию расстояния до ∂Ω, вычислять которую весьма 

непросто, в данной работе используется простой градиентный метод решения уравнения 

(5) для граничных точек, при этом вместо точного градиента используется его разностное 

приближение, что позволяет применять алгоритм в случае негладкой функции f(x). По 

сути, вне области задается при этом бесконечный силовой барьер, удерживающий точки 

внутри области. 

23

Применяя итерационный метод, можно найти равновесное состояние системы вершин. 

а) б) 

Рис. 3. а) Минимизация функционала разности объемов, б) алгоритм расталкивания вершин. 

Результаты работы алгоритма минимизации объема и алгоритма расталкивания показаны 

на рис. 3 а) и б) соответственно. При этом оказалось, что алгоритм расталкивания 

является лучшим по всем показателям. Более того, он обеспечивает наименьшее значение 

функционалов (2) и (4). Этот результат является весьма парадоксальным и объясняется 

следующими полуэвристическими соображениями. Оптимизацию сеток можно уподобить 

поведению кристаллической решетки. Вершина сетки, число инцидентных ребер в которой 

не равно шести, является нерегулярной. Каждая нерегулярная вершина соответствует 

некоторой дислокации кристаллической решетки. Причем дислокации очень грубо можно 

называть положительными или отрицательными, в зависимости от того, больше или меньше 

шести валентность данного узла. В алгоритмах, основанных на отталкивании частиц, 

присутствует механизм аннигиляции положительных и отрицательных дислокаций, а также 

механизм выталкивания дислокаций за пределы границы области. С другой стороны, в 

алгоритм, основанный на на притягивании частиц должен обладать растягивающими силами 

на границе. К такому классу алгоритмов можно отнести минимизацию разности объемов. 

При этом механизм аннигиляции дислокаций выражен гораздо слабее, а их выталкивание 

за границу области напрочь отсутствует. Алгоритм Ллойда, по-видимому, следует 

отнести к классу нейтральных алгоритмов с точки зрения притягивания/отталкивания, и 

результаты его работы заметно хуже по сравнению с алгоритмом отталкивания. 

Алгоритм расталкивания весьма успешно работает и в том случае, когда расчетная 

сетка является адаптивной, т.е. ее размер достаточно резко варьируется в соответствии с 

заданным распределением. В качестве тестовой задачи рассмотрена задача с искривленным 

внутренним слоем, к которому необходимо сгустить сетку при сохранении качества 

треугольников и малой нерегулярности сетки. 

24

а) б) 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

−0.4 

−0.6 

−0.8 

−1 

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Рис. 4. Начальная сетка: триангуляция Делоне и разбиение Вороного. 

а) б) 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

−0.4 

−0.6 

−0.8 

−1 

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Рис. 5. Оптимальная сетка: триангуляция Делоне и разбиение Вороного. 

В результате численных экспериментов можно сделать вывод, что комбинация триангуляций 

Делоне и равновесной системы расталкивающих пружин позволяет строить 

расчетные сетки, близкие к глобальному оптимуму, причем этом решение зависит от начальных 

данных значительное слабее, по сравнению с другими алгоритмами. 


[1] (Delaunay B. Sur la sphére vide)Б.Н. Делоне. О пустоте сферы // Изв. АН СССР. 

1934. №4. С.793-800. 

[2] Voronoi G.F. Nouveles applications des parametres continus a la theorie de formes 

quadratiques. J Reine Angew Math 134: 198-287. 

[3] Lawson C.L. Transforming triangulations. Discrete Mathematics. 1972. v.3 p.365-372. 

[4] Musin O. Properties of the Delaunay triangulation. In Proc. of the 13th Annual Symposium 

on Compututational Geometry, 1997. ACM. New York. p. 424-426. 

[5] Lloyd S.P. Least Squares Quantization in PCM. IEEE Transactions on Information Theory, 

vol. 28, no. 2, pp. 129-137, 1982. 

25

[6] Вороной Г.Ф. Исследования о примитивных параллелоэдрах // Собр. соч. Т.2. Киев: 

Изд-во АН УССР, 1952. С. 239–368. 

[7] Edelsbrunner H. and Seidel R. Voronoi diagrams and arrangements. Discrete 

computational geometry. 1986. v.1, p.25-44. 

[8] Rajan V.T.Optimality of the Delaunay triangulation in R d . - Discrete Comput. Geom. 

1994. v.12, p. 189-202 

[9] P.-O. Persson, G. Strang A Simple Mesh Generator in MATLAB. - SIAM Review, Volume 

46 (2), pp. 329-345, June 2004. 

COMPARISON OF GLOBAL OPTIMIZATION ALGORITHMS FOR 

COMPUTING MESHES 

L.N. Belousova, V.A. Garanzha 

Moscow Institute of Physics and Technology 

Computing Center RAS e-mail:arnir@rambler.ru, garan@ccas.ru 

Abstract. Optimization algorithms for triangular computing meshes, given in explicitly defined 

two-dimensional domains, are considered. It has been shown that it is possible to obtain values of the 

criterion function using a specially developed heuristic method. 

Ключевые слова: Delaunay triangulation, mesh optimization, centroidal Voronoi tessellations. 

26

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ ДВУМЕРНЫХ ИНТЕ- 

ГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1 

М.В. Булатов, О.А. Битхаева 

Институт динамики систем и теории управления, Иркутск 

Межотраслевой центр оценки качества и профессиональной переподготовки, Иркутск 

e-mail: mvbul@icc.ru 

Аннотация. В статье рассмотрены системы линейных двумерных интегральных уравнений типа 

Вольтерра с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью. Сформулированы 

достаточные условия существования непрерывного решения таких задач. При выполнении этих 

условий предложен численый метод решения, основанный на кубатурных формулах правых 

прямоугольников. 

Ключевые слова: 

кубатурные формулы. 

системы двумерных интегральных уравнений, вырожденная матрица, 


В статье рассмотрены системы интегральных уравнений Вольтерра: 

в прямоугольной области 

A(t, x)u(t, x) + 

∫ t ∫ x 

0 

0 

K(t, x, τ, s)dsdτ = f(t, x) (1) 

Ω = {(t, x) : 0 t a, 0 x b}, 

где A(t, x), K(t, x, τ, s) − (n × n) матрицы, f(t, x) − заданная, u(t, x) − искомая n-мерные 

вектор-функции. 

Под решением исходной задачи здесь подразумевается любая непрерывная векторфункция 

u(t, x), которая обращает (1) в тождество. 

Предполагается, что входные данные A(t, x), f(t, x), K(t, x, τ, s) обладают той степенью 

гладкости, которая необходима для дальнейших рассуждений. 

Принята следующая классификация систем (1): 

а) если A(t, x) − тождественно нулевая матрица, то такие системы называют системами 

интегральных уравнений Вольтерра (СИУВ) I рода. 

б) если A(t, x) ≡ E− единичной матрице, или det A(t, x) ≠ 0 ∀(t, x) ∈ Ω, то - СИУВ II 

рода. 

1 Работа выполнена при поддержке проектов: РФФИ № 07-01-9000-Вьет, заказным междисциплинарным 

проектом №5 СО РАН и грантом президента РФ НШ-1676.2008.1 

27

в) если det A(t, x) вырождается в конечном числе точек (t, x) ∈ Ω, то СИУВ III рода. 

Точки, в которых происходит данное выраждение, называются особыми. 

В настоящей работе исследованы на предмет единственности решения задачи вида (1), 

у которых 

в области Ω и предложен алгоритм решения. 


det A(t, x) ≡ 0 (2) 

Перед тем, как формулировать условия существования единственного решения, 

приведем некоторые результаты и определения. 

Теорема 1. [1]. Система интегральных уравнений 

∫ t 

K 0 1(t, x, τ)u(τ, x)dτ + ∫ x 

K 0 2(t, x, s)u(t, s)ds + 

+ ∫ t ∫ x 

K 0 0 3(t, x, τ, s)u(τ, s)dτds = ψ(t, x), 

где K 1 (t, x, τ), K 2 (t, x, s), K 3 (t, x, τ, s) − матрицы с непрерывными в области 

0 τ t a, 0 s x b элементами и с непрерывной вектор-функцией 

ψ(t, x) имеет единственное непрерывное решение u(t, x). 

Определение. [2]. Пучок матриц λA(t, x) + B(t, x) удовлетворяет критерию "рангстепень"в 

области Ω, если rank A(t, x) = deg det(λA(t, x) + B(t, x)) = k = const. 

Здесь deg(·) означает операцию взятия степени полинома. Операция deg(0) не определена. 

Лемма. [1]. Пусть элементы матриц A(t, x), B(t, x) ∈ CΩ P и пучок λA(t, x) + B(t, x) 

удовлетворяет критерию "ранг-степень", тогда существует невырожденные для любых 

(t, x) ∈ Ω квадратные матрицы P (t, x), Q(t, x) с элементами из CΩ P такие, что 

( ) ( ) 

Ek 0 J(t, x) 0 

P (t, x) (λA(t, x) + B(t, x)) Q(t, x) = λ 

+ 

, (3) 

0 0 0 E n−k 

где J(t, x) − (k × k)− матрица, а 0 − нулевые блоки подходящей размерности. 

Теорема 2. Пусть для системы (1) выполнены условия: 

1. Элементы A(t, x), f(t, x) ∈ C 2 в области Ω. 

2. Элементы матрицы K(t, x, τ, s) ∈ C 2 в области 0 τ t a, 0 s x b. 

3. rank A(t, 0) = rank (A(t, 0) | f(t, 0)), 

rank A(0, x) = rank (A(0, x) | f(0, x)). 

28

4. Пучок матриц λA(t, x) + K(t, x, t, x) удовлетворяет критерию "ранг-степень". 

Тогда исходная задача имеет единственное непрерывное решение. 

Доказательство. Подставим в (1) значение t = 0. Получим систему линейных алгебраических 

уравнений 

A(0, x)u(0, x) = f(0, x) 

разрешимость которой нам гарантирует третье условие теоремы. Аналогично, при x = 0 

имеем систему: 

A(t, 0)u(t, 0) = f(t, 0) 

которая тоже разрешима по третьему условию теоремы. 

Умножим систему (1) на матрицу P (t, x) и произведем замену переменной 

u(t, x) = Q(t, x)v(t, x), где P (t, x), Q(t, x)− матрицы, приводящие пучок 

λA(t, x) + K(t, x, t, x) к виду (3). 

По лемме и по четвертому условию теоремы получим: 

( 

Ek 0 

0 0 

) ( 

v1 (t, x) 

v 2 (t, x) 

) 

+ 

∫ t 

0 

x∫ 

0 

( 

K11 (t, x, τ, s) K 12 (t, x, τ, s) 

K 21 (t, x, τ, s) K 22 (t, x, τ, s) 

( 

ψ1 (t, x) 

= 

ψ 2 (t, x) 

) ( 

v1 (τ, s) 

v 2 (τ, s) 

) 

dsdτ = 

) 

, (4) 

где K 11 (t, x, τ, s), K 12 (t, x, τ, s), K 21 (t, x, τ, s), K 22 (t, x, τ, s) − матрицы размерности (k × 

k), (k × n − k), (n − k × k), (n − k × n − k) соответственно; 

(v T 1 (t, x), v T 2 (t, x)) = v(t, x) = Q −1 (t, x)u(t, x); 

(ψ T 1 (t, x), ψ T 2 (t, x)) = P (t, x)f(t, x). 

Дифференцируя вторую блочную строку (4) по x и по t, в силу четвертого условия 

теоремы и леммы, получим: 

( ) ( ) ( 

) ( 

Ek 0 v1 (t, x) ∫ t 0 0 

v1 (τ, x) 

+ ∂ 

0 E n−k v 2 (t, x) 

0 

K ∂ 

∂t 21(t, x, τ, x) K ∂t 22(t, x, τ, x) v 2 (τ, x) 

( 

) ( 

x∫ 0 0 

v1 (t, s) 

∂ 

0 

K ∂ 

∂x 21(t, x, t, s) K ∂x 22(t, x, t, s) v 2 (t, s) 

( ) ( ) ( 

∫ t x∫ K11 (t, x, τ, s) K 12 (t, x, τ, s) v1 (τ, s) 

ψ1 (t, x) 

∂ 2 

0 0 K ∂ 

∂x∂t 21(t, x, τ, s) 2 

K dsdτ = ∂ 

∂x∂t 22(t, x, τ, s) v 2 (τ, s) 

2 

ψ ∂x∂t 2(t, x) 

) 

dτ+ 

) 

ds+ (5) 

Последняя система (5) по теореме и в силу первого и второго условий теоремы 

имеет единственное решение. Так как u(t, x) = Q(t, x)v(t, x), то и исходная задача имеет 

29 

) 

.

единственное непрерывное решение. Теорема доказана. 

Через точки, в которых нарушается третье условие теоремы, может проходить 

несколько решений. Эти точки будем называть сингулярными. 

Для n = 1 условия теоремы означают, что мы имеем интегральное уравнение типа 

Вольтерра I рода: 

с условиями 

∫ t ∫ x 

0 0 

K(t, x, τ, s)u(τ, s)dτds = f(t, x) (6) 

f(t, 0) = f(0, x) = 0, 

min |K(t, x, t, x)| = k ≠ 0. 

t,x∈Ω 

2. Численный метод 

Наложим на прямоугольник Ω равномерную сетку 

t i = ih, i = 1, 2, 3, ..., N, h = a/N, 

и обозначим 

x j = jq, j = 1, 2, 3, ..., M, q = b/M 

A ij = A(t i , x j ), f ij = f(t i , x j ), K ijlm = K(t i , x j , t l , x m ), t l t i , x m x j , 

u ij − приближенное значение u(t i , x j ). 

Применяя для интегрального слагаемого (1) кубатурную формулу правых прямоугольников, 

получим системы линейных алгебраических уравнений: 

A ij u ij + h 

i∑ 

l=1 

q 

j∑ 

m=1 

K ijlm u lm = f ij (7) 

i = 1, 2, ..., N, j = 1, 2, ..., M. 

Относительно сходимости метода (7) отметим следующее. Если элементы матрицы 

K(t, x, τ, s) ∈ C 3 в области 0 τ t a, 0 s x b и выполнены уcловия 1, 3 и 4 

теоремы, то справедлива оценка 

||u(t i , x j ) − u ij || = O(h + q) 

Доказательство этого факта основано на лемме и на неравенствах для двумерных 

ИУВ I рода [3]. 

30


[1] В.Ф. Чистяков. О сингулярных системах обыкновенных дифференциальных уравнений 

и их интегральных аналогах. Новоссибирск: Наука, 1987, 350 с. 

[2] В.В. Смирнов. Курс высшей математики. - IV том. Москва: Наука, 1974, 336 с. 

[3] Тен Мен Ян. Приближенное решение линейных иинтегральных уравнений Вольтерра 

I рода. Диссертация...к.ф.-м.н., Иркутск, 1985. 158 с. 

ABOUT ONE CLASS SINGULAR OF SYSTEMS TWO-DIMENSIONAL 

INTEGRAL EQUATIONS 

M.V. Bulatov, O.A. Bitkhaeva 

Institute of dynamics of systems and theories of management, Irkutsk 

e-mail: mvbul@icc.ru 

Abstract. In article systems of the linear two-dimensional Volterra integral equations are considered 

with a identically singular matrix before a body. Sufficient conditions of existence of the continuous 

solution of such tasks are formulated. At performance of these conditions it is offered the numerical 

method of the solution based on cubature formulas of the right rectangulars. Results of numerical 

calculations are resulted. 

Key words: systems of the two-dimensional integral equations, a singular matrix, cubature formulas. 

31

УСЛОВИЯ D-УСТОЙЧИВОСТИ МАТРИЦ ПЯТОГО ПОРЯДКА 1 

Л.А.Бурлакова 


e-mail: irteg@icc.ru 

Аннотация. Для свойства D-устойчивости матриц пятого порядка получены необходимые 

условия и достаточные условия в терминах элементов матриц. 

Ключевые слова: устойчивость, D-устойчивость, матрица, характеристическое уравнение. 

1. Введение 

Понятие D-устойчивости матриц появилось достаточно давно впервые в работах по 

математической экономике [1], в дальнейшем нашло применение в математических методах 

экологии [2]. При исследовании свойства D-устойчивости задача сводится к проверке 

положительности действительного полинома от n переменных всюду в положительном 

ортанте. Для матриц n × n общего вида известны лишь некоторые необходимые и некоторые 

достаточные условия ([3], [4], [5] и др.). В общем случае определение D-устойчивости 

затруднительно проверить за конечное число шагов (по определению работы [6] - 

конструктивно) с помощью алгоритмов исключения переменных из полиномиальных 

задач, так как трудоемкость алгоритмов исключения переменных в полиномиальных 

задачах оптимизации не позволяет применить их к достаточно сложным полиномам 

с большим числом и высокими степенями переменных [7]. Поэтому важна задача 

построения аналитических проверяемых условий в терминах элементов матрицы. Для 

матриц второго и третьего порядков давно известны необходимые и достаточные условия 

D-устойчивости [5], [8], а для четвертого порядка проблема построения конструктивного 

критерия (у нас в смысле получения аналитических выражений) до сих пор открыта [9]. 

Для матриц четвертого порядков в работе [6] изложен общий подход к решению задачи 

на основе использования критерия Рауса-Гурвица, и описан алгоритм полиномиального 

программирования для проверки численно достаточного условия и необходимого условия 

D-устойчивости произвольных матриц 4 × 4 , программно реализованный в частных 

случаях, когда матрица имеет не менее двух нулей на диагонали. Аналитические условия 

для матриц четвертого порядка обсуждаются в работах [12],[13]; показано, что в частном 

случае трех нулевых диагональных элементов в матрице полученные необходимые 

условия с точностью до границы являются достаточными. В представляемой работе 

получены необходимые условия D-устойчивости матрицы 5 × 5 в аналитическом виде 

через элементы матрицы A, что позволяет проводить параметрический анализ заданной 

системы; получены некоторые достаточные условия D-устойчивости матриц 5 × 5. 

2. Основные определения 

Пусть M n (R) - множество квадратных матриц размера n×n над полем R действительных 

чисел; σ(A)– спектр матрицы A ∈ M n (R); D n ⊂ M n (R) – класс диагональных матриц 

с положительными элементами на главной диагонали. 

1 Работа частично поддержана ИНТАС-СО РАН, грант номер 06-1000013-9019 

32

Определение 1. Матрица A называется устойчивой , если Re(λ) < 0 для любого 

λ ∈ σ(A). Матрица A ∈ M n (R) устойчива тогда и только тогда, когда выполнены условия 

Рауса- Гурвица для характеристического полинома 

det(λI − A) = λ n + a 1 λ n−1 + . . . + a n−1 λ + a n , 

где I- единичная матрица; a j = (−1) ∑ j 1i 1

Определители Гурвица представляют собой полиномы от пяти d i . Необходимыми условиями 

положительности полиномов в положительном ортанте являются требования 

неотрицательности коэффициентов при высших и нулевых степенях переменных. 

3.1. Определитель Гурвица второго порядка 

Определитель Гурвица второго порядка Γ 2 = a 1 a 2 − a 0 a 3 может быть записан в следующем 

виде: 

Γ 2 = ∑ ( ) ( ) 

d 2 i A2k,m,n d j (−ai,i ) + d i d j d k A3m,n − A 2i,m,n a i,i − A 2m,j,n a j,j − A 2m,n,k a k,k (3) 

(i ≠ j ≠ k ≠ m ≠ n, i + j + k + m + n = 15; i, j, k, m, n = 1, 5; здесь и везде индексы 

упорядочены по возрастанию). Форма (3) имеет общую степень по всем d i равную трем, по 

каждому d i не более двух. Как видно из формы (3), коэффициенты при вторых степенях 

любой переменной неотрицательны (коэффициент положителен по крайней мере по одной 

из переменных), если матрица (1) такова, что A ∈ (−P 0 ). Если дополнительно выполнены 

условия ( ) 

A3m,n − A 2i,m,n a i,i − A 2m,j,n a j,j − A 2m,n,k a k,k 0, 

(4) 

i ≠ j ≠ k ≠ m ≠ n, i + j + k + m + n = 15; i, j, k, m, n = 1, 5, 

то полином Γ 2 (3) положителен при любых d i > 0. Как показано будет ниже, условия (4) 

далеки от необходимых. Введем следующие обозначения: 

{ 

β12 = A 31,2 + (√ −A 21,2,3 a 3,3 + √ −A 21,2,4 a 4,4 + √ −A 21,2,5 a 5,5 

) 2, 

β 13 = A 31,3 + (√ −A 21,2,3 a 2,2 + √ −A 21,3,4 a 4,4 + √ −A 21,3,5 a 5,5 

) 2, 

β 14 = A 31,4 + (√ −A 21,2,4 a 2,2 + √ −A 21,3,4 a 3,3 + √ −A 21,4,5 a 5,5 

) 2, 

β 15 = A 31,5 + (√ −A 21,2,5 a 2,2 + √ −A 21,3,5 a 3,3 + √ −A 21,4,5 a 4,4 

) 2, 

β 23 = A 32,3 + (√ −A 21,2,3 a 1,1 + √ −A 22,3,4 a 4,4 + √ −A 22,3,5 a 5,5 

) 2, 

β 24 = A 32,4 + (√ −A 21,2,4 a 1,1 + √ −A 22,3,4 a 3,3 + √ ) 2, 

(5) 

−A 22,4,5 a 5,5 

β 25 = A 32,5 + (√ −A 21,2,5 a 1,1 + √ −A 22,3,5 a 3,3 + √ ) 2, 

−A 22,4,5 a 4,4 

β 34 = A 33,4 + (√ −A 21,3,4 a 1,1 + √ −A 22,3,4 a 2,2 + √ ) 2, 

−A 23,4,5 a 5,5 

β 35 = A 33,5 + (√ −A 21,3,5 a 1,1 + √ −A 22,3,5 a 2,2 + √ ) 2, 

−A 23,4,5 a 4,4 

β 45 = A 34,5 + (√ −A 21,4,5 a 1,1 + √ −A 22,4,5 a 2,2 + √ ) 2 } 

−A 23,4,5 a 3,3 . 

Выполним необходимые преобразования и приведем Γ 2 (3) к виду 

Γ 2 = 1/3( 

∑ 

i,j d kd m d n 

( 

2 

( 

A3i,j − A 2i,j,k a k,k − A 2i,j,m a m,m − A 2i,j,n a n,n 

) 

+ βi,j 

) 

+ 

∑ ∑ ( 

i i( d √ √ ) 2 

j,k 

d j −A2k,m,n a j,j − d k −A2j,m,n a k,k 

)), 

( 

i ≠ i ≠ k; i, j, k = 1, 5 

) 

. 

(6) 

В форме (6) для положительности выражения достаточно потребовать выполнение неравенств: 

( 

2 

(A 3i,j − ∑ ) ) 

k A 2 i,j,k 

a k,k + β i,j 0, ( i ≠ i ≠ k; i, j, k = 1, 5 ) . (7) 

34

Достаточные условия (7) более мягкие, чем условия (4). 

3.2. Определитель Гурвица четвертого порядка 

Определитель Гурвица четвертого порядка для матрицы DA пятого порядка 

Γ 4 = a 1 a 2 a 3 a 4 − a 0 a 2 3a 4 − a 2 1a 2 4 − a 1 a 2 2a 5 + a 0 a 2 a 3 a 5 + 2a 0 a 1 a 4 a 5 − a 2 0a 2 5 

представляет собой однородный многочлен пяти переменных d i общей степени 10, по каждой 

переменной d i степень не более 4. Полином содержит 291 слагаемое: 

Γ 4 = ∑ ) 

(b 1i1 2 i2 3 i3 4 i4 5 i5 

d i 1 

1 d i 2 

2 d i 3 

3 d i 4 

4 d i 5 

5 + b kjk m j m n jn s js dj k 

k 

d j m 

m d j n 

n d j s 

s 

k < m < n < s; k, m, n, s = 1, 5; i 1 + i 2 + i 3 + i 4 + i 5 = 10, j k + j m + j n + j s = 10, 

здесь обозначения для коэффициентов полинома введены таким образом, что в индексах 

указываются номера d i , в субиндексах степени соответствующих d i . В приложении 

даны значения коэффициентов, но в связи с тем , что выражения громоздки, коэффициенты 

разбиты на группы и в каждой группе выписаны только некоторые. В группу (A.8) 

входят коэффициенты, которые содержат четыре индекса, а субиндексы все неравные и 

принимают значения 1,2,3,4; каждый коэффициент равен произведению главных миноров 

порядка 1,2,3,4; список (A.8) содержит 120 элементов. Если выполнены условия (4), то коэффициенты 

группы (A.2) неотрицательны. Важно отметить,что коэффициенты группы 

(A.8) неотрицательны в силу требования A ∈ (−P 0 ). Это позволяет выполнить некоторые 

перестановки и преобразовать полином к виду 

Γ 4 = f 0 + d 4 1( 

d 

3 

2 f 12 + d 3 3f 13 + d 3 4f 14 + f 15 d 3 5 + f 1 

) 

+ 

) ( ) 

d2( 4 d 

3 

1 f 21 + d 3 3f 23 + d 3 4f 24 + f 25 d 3 5 + f 2 + d 

4 

3 d 

3 

1 f 31 + d 3 23f 32 + d 3 4f 34 + f 35 d 3 5 + f 3 + (8) 

( ) ( ) 

d 

3 

1 f 41 + d 3 2f 42 + d 3 3f 43 + f 45 d 3 5 + f 4 + d 

4 

5 d 

3 

1 f 51 + d 3 2f 52 + d 3 3f 53 + f 54 d 3 4 + f 5 , 

d 4 4 

где f 0 не содержит d i в четвертой степени, f j (j = 1, 5) не содержит d j , а все остальные d k 

входят в степени не более двух: 

f 0 = ∑ ( ) 

b kjk m jm n jn r jr 

d j k 

k 

d j m m d j n n d j r r + b 1i1 2 i2 3 i3 4 i4 5 i5 

d i 1 

1 d i 2 

2 d i 3 

3 d i 4 

4 d i 5 

5 , 

( 

i 1 + i 2 + i 3 + i 4 + i 5 = 10, ∑ 5 

p=1 i p = 10, k < m < n < r, 

) 

k = 1, 2; m = 2, 3; n = 3, 4; r = 4, 5; j k + j m + j n + j r = 10 ; 

(9) 

f 1 = b 14 2 2 3 2 4 2 

d 2 2d 2 3d 2 4 + b 14 2 2 3 2 4 1 5 1 

d 2 2d 2 3d 4 d 5 + b 14 2 2 3 1 4 2 5 1 

d 2 2d 3 d 2 4d 5 + b 14 2 1 3 2 4 2 5 1 

d 2 d 2 3d 2 4d 5 + 

b 14 2 2 3 2 5 2 

d 2 2d 2 3d 2 5 + b 14 2 2 3 1 4 1 5 2 

d 2 2d 3 d 4 d 2 5 + b 14 2 1 3 2 4 1 5 2 

d 2 d 2 3d 4 d 2 5 + b 14 2 2 4 2 5 2 

d 2 2d 2 4d 2 5+ 

b 14 2 1 3 1 4 2 5 2 

d 2 d 3 d 2 4d 2 5 + b 14 3 2 4 2 5 2 

d 2 3d 2 4d 2 5; 

√ √ ) 2 ( √ √ ) 2+ 

f 12 = 

(d 4 

(d 3 b14 2 3 3 2 4 1 

− d 5 b14 2 3 4 1 5 2 + d3 d 4 b14 2 3 3 1 4 2 

− d 5 b14 2 3 3 1 5 2 

d 5 

(d 3 

√ 

b14 2 3 3 2 5 1 

− d 4 

√ 

b14 2 3 4 2 5 1 

) 2 

+ µ21 d 3 d 4 d 5 ; 

(10) 

(11) 

35

f 13 = d 4 

( 

d 2 

√ 

b14 2 2 3 3 4 1 

− d 5 

√ 

b14 3 3 4 1 5 2 

) 2 

+ d2 

(d 4 

√ 

b14 2 1 3 3 4 2 

− d 5 

√ 

b14 2 1 3 3 5 2 

) 2+ 

d 5 

(d 2 

√ 

b14 2 2 3 3 5 1 

− d 4 

√ 

b14 3 3 4 2 5 1 

) 2 

+ µ31 d 2 d 4 d 5 ; 

f 14 = d 3 

( √b14 

2 2 3 1 4 3 

d 2 − √ b 14 3 1 4 3 5 2 

d 5 

) 2 

+ d2 

( √b14 

2 1 3 2 4 3 

d 3 − √ b 14 2 1 4 3 5 2 

d 5 

) 2+ 

d 5 

( √b14 

2 2 4 3 5 1 

d 2 − √ b 14 3 2 4 3 5 1 

d 3 

) 2 

+ µ41 d 2 d 3 d 5 ; 

f 15 = d 3 

( √b14 

2 2 3 1 5 3 

d 2 − √ b 14 3 1 4 2 5 3 

d 4 

) 2 

+ d2 

( √b14 

2 1 3 2 5 3 

d 3 − √ b 14 2 1 4 2 5 3 

d 4 

) 2+ 

d 4 

( √b14 

2 2 4 1 5 3 

d 2 − √ b 14 3 2 4 1 5 3 

d 3 

) 2 

+ µ51 d 2 d 3 d 4 . 

(12) 

(13) 

(14) 

Другие значения f j и f jk могут быть получены из (10)-(14) соответствующей перестановкой 

индексов и субиндексов.Значения µ ij приведены в приложении (A.9). В каждом коэффициенте 

при d 4 i в общем случае выбором d j > 0 можно обратить в ноль одновременно все 

три скобки, поэтому требования µ ij 0 являются необходимыми для положительности Γ 4 

при любых d j > 0. Таких условий 20: 

µ ij = ( − A 2k,m,n a j,j 

) 

δij 0, ( k < m < n; i ≠ j ≠ k ≠ m ≠ n; i, j, k, m, n = 1, 5; δ ij = δ ji 

) 

, 

но они сводятся к десяти неравенствам вида: 

δ 12 = (√ −A 45 A 33,4 + √ −A 44 A 33,5 + √ −A 43 A 34,5 

) 2 

+ A23,4,5 ∆ 5 0, 

δ 13 = (√ −A 45 A 32,4 + √ −A 44 A 32,5 + √ −A 42 A 34,5 

) 2 

+ A22,4,5 ∆ 5 0, 

δ 14 = (√ −A 45 A 32,3 + √ −A 43 A 32,5 + √ −A 42 A 33,5 

) 2 

+ A22,3,5 ∆ 5 0, 

δ 15 = (√ −A 44 A 32,3 + √ −A 43 A 32,4 + √ −A 42 A 33,4 

) 2 

+ A22,3,4 ∆ 5 0, 

δ 23 = (√ −A 45 A 31,4 + √ −A 44 A 31,5 + √ ) 2 

−A 41 A 34,5 + A21,4,5 ∆ 5 0, 

δ 24 = (√ −A 45 A 31,3 + √ −A 43 A 31,5 + √ ) 2 

−A 41 A 33,5 + A21,3,5 ∆ 5 0, 

δ 25 = (√ −A 44 A 31,3 + √ −A 43 A 31,4 + √ ) 2 

−A 41 A 33,4 + A21,3,4 ∆ 5 0, 

δ 34 = (√ −A 45 A 31,2 + √ −A 42 A 31,5 + √ ) 2 

−A 41 A 32,5 + A21,2,5 ∆ 5 0, 

δ 35 = (√ −A 44 A 31,2 + √ −A 42 A 31,4 + √ ) 2 

−A 41 A 32,4 + A21,2,4 ∆ 5 0, 

δ 45 = (√ −A 43 A 31,2 + √ −A 42 A 31,3 + √ ) 2 

−A 41 A 32,3 + A21,2,3 ∆ 5 0. 

(15) 

Если посмотреть на Γ 4 (8) как на полином по любому d i , у которого коэффициенты представляют 

собой полиномы по оставшимся d j , (i ≠ j = 1, 5), то необходимо обеспечить 

также неотрицательность коэффициентов при нулевой степени d j в коэффициенте при 

d 4 i и в слагаемом, не содержащем переменной d i . Таким способом получим как необходимые 

условия положительности Γ 4 в положительном ортанте еще две группы неравенств, 

которые в терминах главных миноров имеют вид: 

β ij 0, (i, j = 1, 5, β ij = β ji ) (16) 

γ ij = (√ −A 3n,i A 2k,m,i + √ −A 3k,i A 2m,n,i + √ −A 3m,i A 2k,n,i 

) 2 

+ A4i a j,j 0, 

( 

i ≠ j ≠ k ≠ m ≠ n; i, j, k, m, n = 1, 5 

) 

. 

(17) 

36

Список (17) содержит 20 элементов. Сопоставляя неравенства (16) и (17) с известными 

для матриц третьего [8] и четвертого порядков необходимыми условиями [13], отметим, 

что они с точностью до границы совпадают. Итогом приведенных рассуждений является 

теорема 

Теорема 1. Для D-устойчивости матрицы A ∈ M 5 (R) необходимо, чтобы A ∈ (−P 0 ) и 

были выполнены условия : (√ −A 3n,i A 2k,m,i + √ −A 3k,i A 2m,n,i + √ −A 3m,i A 2k,n,i 

) 2 

+ A4i a j,j 

0, 

( ∑ √ 

−A2k,i,j a k,k 

) 2 

+ A3i,j 0, (√ −A 4i A 3j,k + √ −A 4j A 3i,k + √ −A 4k A 3i,j 

) 2 

+ A2i,j,k ∆ 5 0, 

( 

i ≠ j ≠ k ≠ m ≠ n; i, j, k, m, n = 1, 5 

) 

3.3. О достаточных условиях D-устойчивости 

Как было отмечено, при выполнении условий A ∈ (−P 0 ) и (4) или (7) определитель 

Гурвица второго порядка положителен при любой матрице D ∈ D 5 . Пусть выполнены 

условия (4), тогда выполнены необходимые условия (16) и неотрицательны коэффициенты, 

входящие в группу (A.2). 

Пусть выполнены условия на коэффициенты из группы (A.4) b i4 j 2 k 2 m 2 

0 (i ≠ j ≠ k ≠ 

m; i, j, k, m = 1, 5), тогда выполнены необходимые условия (17). В таком случае можно 

преобразовать коэффициенты f i из (8) к виду: 

( ( ∑ 

f i = 1/3 d j d k d m d n j,k 

(3b i4 j 2 k 2 m 1 n 1 

+ 2 √ √ ) 

b i4 j 2 k 2 m 2 bi4 j 2 k 2 n 2 

)d j d k + 

( √bi4 

j 2 k 2 m 2 

d j d k d m + √ b 14 j 2 k 2 n 2 

d j d k d n − √ b i4 j 2 m 2 n 2 

d j d m d n − √ ) 2+ 

b i4 k 2 m 2 n 2 

d k d m d n 

( √bi4 

j 2 k 2 m 2 

d j d k d m − √ b 14 j 2 k 2 n 2 

d j d k d n + √ b i4 j 2 m 2 n 2 

d j d m d n − √ b i4 k 2 m 2 n 2 

d k d m d n 

) 2+ 

(18) 

( √bi4 

j 2 k 2 m 2 

d j d k d m − √ b 14 j 2 k 2 n 2 

d j d k d n − √ b i4 j 2 m 2 n 2 

d j d m d n + √ b i4 k 2 m 2 n 2 

d k d m d n 

) 2 ) 

. 

Из представления (18) следует, что для положительности коэффициентов при d 4 i в (8) 

достаточно выполнения следующих неравенств (всего двадцать неравенств): 

(3b i4 j 2 k 2 m 1 n 1 

+ 2 √ √ ) ( ) 

b i4 j 2 k 2 m 2 bi4 j 2 k 2 n 2 

0, i ≠ j ≠ k ≠ m ≠ n; i, j, k, m, n = 1, 5 (19) 

Теперь для положительности Γ 4 (8) в положительном ортанте достаточно положительности 

слагаемого f 0 : 

f 0 = ∑ b i3 j 3 k 2 m 2 

d 3 i d 3 jd 2 k d2 m + ∑ b i3 j 3 k 3 m 1 

d 3 i d 3 jd 3 k d m + ∑ b i3 j 3 k 2 m 1 n 1 

d 3 i d 3 jd 2 k d md n + 

∑ ( ) 

bi3 j 2 k 2 m 2 n 1 

d 3 i d 2 jd 2 k d2 md n + b 12 2 2 3 2 4 2 5 2 

d 2 1d 2 2d 2 3d 2 4d 2 5, i ≠ j ≠ k ≠ m ≠ n; i, j, k, m, n = 1, 5 

(20) 

Если b i3 j 3 k 3 m 1 

0, то форма ∑ b i3 j 3 k 2 m 2 

d 3 i d 3 jd 2 k d2 m + ∑ b i3 j 3 k 3 m 1 

d 3 i d 3 jd 3 k d m может быть преобразована 

к виду: 

∑ (( (( √bi3 

1 

d 

3 i d j d k d m j 1 k 3 m 3 

d i − √ ) 2d ) ( 

2 

b i1 j 3 k 3 m 3 

d j k d 2 m + 3b i2 j 2 k 3 m 3 

+ 

2 √ √ )) ( ) (21) 

b i3 j 1 k 3 m 3 bi1 j 3 k 3 m 3 

)d 3 i d 3 jd 2 k d2 m , i ≠ j ≠ k ≠ m ≠ n; i, j, k, m, n = 1, 5 

37

Из (21) следует, что для неотрицательности этой формы достаточно потребовать 

(3b i2 j 2 k 3 m 3 

+ 2 √ √ ) ( ) 

b i3 j 1 k 3 m 3 bi1 j 3 k 3 m 3 

0, i ≠ j ≠ k ≠ m ≠ n; i, j, k, m, n = 1, 5 

(22) 

Пусть b i3 j 1 k 2 m 2 n 2 

0, тогда форма ∑ b i3 j 2 k 2 m 2 n 1 

d 3 i d 2 jd 2 k d2 md n +b 12 2 2 3 2 4 2 5 2 

d 2 1d 2 2d 2 3d 2 4d 2 5 может быть 

записана в виде: 

∑ ( √ 

d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 bi3 j 1 k 2 m 2 n 2 

d i − √ ) 2dk ( 

b i1 j 3 k 2 m 2 n 2 

d j d m d n + b 12 2 2 3 2 4 2 5 2 

+ 

2 ∑ √ √ ( ) (23) 

b i3 j 1 k 2 m 2 n 2 bi1 j 3 k 2 m 2 n 2 

)d 2 1d 2 2d 2 3d 2 4d 2 5, i ≠ j ≠ k ≠ m ≠ n; i, j, k, m, n = 1, 5 

и для ее неотрицательности достаточно выполнение неравенства: 

(b 12 2 2 3 2 4 2 5 2 

+ 2 ∑ √ √ ) ( ) 

b i3 j 1 k 2 m 2 n 2 bi1 j 3 k 2 m 2 n 2 

0, i ≠ j ≠ k ≠ m ≠ n; i, j, k, m, n = 1, 5 . 

(24) 

При выполнении этих условий f 0 0 для всех D ∈ D 5 . Следовательно, имеет место 

следующая теорема 

Теорема 2. Матрица A ∈ M 5 (R) D-устойчива, если выполнены условия A ∈ (−P 0 ), 

δ ij 0, b i4 j 2 k 2 m 2 

0, b i3 j 1 k 2 m 2 n 2 

0, b i3 j 3 k 3 m 1 

0, 

(3b i4 j 2 k 2 m 1 n 1 

+ 2 √ √ ) 

b i4 j 2 k 2 m 2 bi4 j 2 k 2 n 2 

0, 

(b 12 2 2 3 2 4 2 5 2 

+ 2 ∑ √ √ ) 

b i3 j 1 k 2 m 2 n 2 bi1 j 3 k 2 m 2 n 2 

0, 

(3b i2 j 2 k 3 m 3 

+ 2 √ √ ) 

b i3 j 1 k 3 m 3 bi1 j 3 k 3 m 3 

0, 

( ) 

i ≠ j ≠ k ≠ m ≠ n; i, j, k, m, n = 1, 5 . Заметим,что случай, когда в условиях теоремы 

(3) все неравенства одновременно обращаются в равенства, требует дополнительного 

исследования. 


[1] K.J.Arrow , M.McManus A note of dynamic stability.- Econometrica. 1958, V.26, p.448- 

454. 

[2] Ю.М.Свирежев, Д.О. Логофет Устойчивость биологических сообществ. М.:Наука, 

1978, 280 с. 

[3] C.R.Johnson Sufficient Conditions for D-Stability.- Journal of Economic Theory, no 9,1974, 

p.53-62. 

[4] C.R.Johnson D-Stability and Real and Complex Quadratic Forms.- Linear Algebra and its 

Applications, no 9, 1974, p.89-94. 

[5] G.W.Cross Three Types of Matrix Stability.-Linear Algebra and its Applications, no 20, 

1978, p.253-263. 

[6] Г.В.Кановей, Д.О.ЛогофетD-устойчивость матриц 4×4. - Журнал вычислительной 

математики и математической физики, том 38, N 9, 1998, с. 1429-1435. 

[7] Г.В.Кановей,В.Н. Нефедов О необходимом условии положительности действительного 

полинома от нескольких переменных в положительном ортанте. - Вестник 

МГУ, серия 15, Вычислительная матем. и кибернетика, N 2,2000, с. 24-29. 

38

[8] B.E.Cain Real, 3 × 3 D-stable matrices. - J. Research Nat.Bureau Standards USA. V.B80, 

no 1,(1976), p.75-77. 

[9] Г.В.Кановей, Д.О. Логофет Соотношения, свойства и инвариантные преобразования 

D- и αD- устойчивых матриц.- Вестник МГУ, серия 1, Математика, механика, N 

6,2001, с. 40-43. 

[10] C.R.Johnson Second, third and fourth order D-stability. - J. Research Nat.Bureau 

Standards U.S.A. V.B78, no 1, 1974, p.11-13. 

[11] Г.В.Кановей Об одном необходимом условии D-устойчивости матриц, имеющих не 

менее двух нулевых элементов на главной диагонали.- Автоматика и телемеханика, 

N 5, 2001, с. 31-35. 

[12] L.A.Burlakova Application of the Computer Algebra System in Investigation of D-Stability 

of Matrices.- 12th International Conference on Applications of Computer Algebra (ACA 

2006), June 26-29, 2006, Varna, Bulgaria, Institute of Mathematics and Informatics 

Bulgarian Academy of Sciences, 2006, p. 26 

[13] Л.А.Бурлакова О D- устойчивости матриц четвертого порядка.- В кн. Труды IX 

международной Четаевской конференции “Аналитическая механика, устойчивость и 

управление движением “, т. 2, “ Аналитическая механика и устойчивость движения”, 

Иркутск, 2007,с. 15-31 

Приложение 

{ ( 

b14 2 1 3 1 4 2 5 2 

= a 1,1 A45 A 32,3 A 22,3,4 + A 43 A 32,5 A 22,3,4 + A 42 A 33,5 A 22,3,4 + A 44 A 32,3 A 22,3,5 + 

A 43 A 32,4 A 22,3,5 

) 

+ A 42 A 33,4 A 22,3,5 

( 

+ A 43 A 32,3 A 22,4,5 + A 42 A 32,3 A 23,4,5 − 2A 22,3,4 A 22,3,5 ∆ 5 − 

2A 42 A 43 a 1,1 , b12 2 4 3 1 4 1 5 2 

= a 2,2 A45 A 33,4 A 21,3,4 + A 44 A 33,5 A 21,3,4 + A 43 A 34,5 A 21,3,4 + 

A 44 A 33,4 A 21,3,5 + A 43 A 33,4 A 21,4,5 

) 

+ A 44 A 31,3 A 23,4,5 + 

( 

A 43 A 31,4 A 23,4,5 + A 41 A 33,4 A 23,4,5 − 

2A 21,3,4 A 23,4,5 ∆ 5 − 2A 43 A 44 a 2,2 , b11 2 2 3 4 4 1 5 2 

= a 3,3 A45 A 31,4 A 21,2,4 + A 44 A 31,5 A 21,2,4 + 

A 41 A 34,5 A 21,2,4 + A 44 A 31,4 A 21,2,5 + A 44 A 31,2 A 21,4,5 

) 

+ A 42 A 31,4 A 21,4,5 + 

( 

A 41 A 32,4 A 21,4,5 + 

A 41 A 31,4 A 22,4,5 − 2A 21,2,4 A 21,4,5 ∆ 5 − 2A 41 A 44 a 3,3 , b12 2 1 3 1 4 4 5 2 

= a 4,4 A45 A 32,3 A 21,2,3 + 

A 43 A 32,5 A 21,2,3 + A 42 A 33,5 A 21,2,3 + A 43 A 32,3 A 21,2,5 + A 42 A 32,3 A 21,3,5 

) 

+ A 43 A 31,2 A 22,3,5 + 

A 42 A 31,3 A 22,3,5 + 

( 

A 41 A 32,3 A 22,3,5 − 2A 21,2,3 A 22,3,5 ∆ 5 − 2A 42 A 43 a 4,4 , 

b 12 2 2 3 1 4 1 5 4 

= a 5,5 A44 A 33,4 A 21,2,3 + A 43 A 33,4 A 21,2,4 + A 44 A 32,3 A 21,3,4 + A 43 A 32,4 A 21,3,4 + 

A 42 A 33,4 A 21,3,4 + A 44 A 31,3 A 22,3,4 

) 

+ A 43 A 31,4 A 22,3,4 + A 41 A 33,4 

} 

A 22,3,4 − 

2A 21,3,4 A 22,3,4 ∆ 5 − 2A 43 A 44 a 5,5 , . . . , всего 30 элементов ; 

{ ( ) 

b13 2 3 3 3 5( 1 

= A 44 A 34,5 − A34,5 + A 21,4,5 a 1,1 + A 22,4,5 a 2,2 ) 

+ A 23,4,5 a 3,3 , b13 2 1 3 3 4( 3 

= 

A 45 A 32,5 − A32,5 + A 21,2,5 a 1,1 + A 22,3,5 

) 

a 3,3 + A 22,4,5 a 4,4 , 

( 

b11 2 3 4 3 5 3 

= A 43 A 31,3 − A31,3 + 

A 21,2,3 a 2,2 + A 21,3,4 a 4,4 ) 

+ A 21,3,5 a 5,5 , b23 3 1 4 3 5( 3 

= A 41 A 31,3 − A31,3 + A 21,2,3 a 2,2 + 

A 21,3,4 a 4,4 ) 

+ A 21,3,5 a 5,5 , b11 3 3 4 3 5 3 

= A 42 

} 

A 31,2 − A31,2 + A 21,2,3 a 3,3 + A 21,2,4 a 4,4 + 

A 21,2,5 a 5,5 , . . . , всего 20 элементов ; 

{ 

b14 2 1 3 1 4 1 5 3 

= A 22,3,4 a 1,1 (A 44 A 32,3 + A 43 A 32,4 + A 42 A 33,4 − A 22,3,4 ∆ 5 ), b 11 2 4 3 1 4 1 5 3 

= 

A 21,3,4 a 2,2 (A 44 A 31,3 + A 43 A 31,4 + A 41 A 33,4 − A 21,3,4 ∆ 5 ), b 11 2 1 3 4 4 1 5 3 

= 

A 21,2,4 a 3,3 (A 44 A 31,2 + A 42 A 31,4 + A 41 A 32,4 − A 21,2,4 ∆ 5 ), b 11 2 1 3 1 4 4 5 3 

= A 21,2,3 a 4,4 (A 43 A 31,2 

+ A 42 A 31,3 + A 41 A 32,3 − A 21,2,3 ∆ 5 ), b 11 2 3 3 1 4 1 5 4 

= A 21,3,4 a 5,5 (A 44 A 31,3 + A 43 A 31,4 + 

A 41 A 33,4 − A 21,3,4 ∆ 5 ), . . . , всего 20 элементов } ; 

(A.1) 

(A.2) 

(A.3) 

39

{ ( ) 

b14 3 2 4 2 ( 5 2 

= A 42 a 1,1 A32,5 A 22,3,4 + A 32,4 A 22,3,5 + A 32,3 A 22,4,5 

) 

− A 42 a 1,1 , b24 3 2 4 2 5 2 

= 

A 41 a 2,2 ( 

A31,5 A 21,3,4 + A 31,4 A 21,3,5 + A 31,3 A 21,4,5 − A 41 a 2,2 ) , b12 2 2 3 4 5 2 

= 

A 44 a 3,3 ( 

A34,5 A 21,2,4 + A 32,4 A 21,4,5 + A 31,4 A 22,4,5 − A 44 a 3,3 ) , b12 2 2 3 2 4 4 

= 

A 45 a 4,4 ( 

A33,5 A 21,2,5 + A 32,5 A 21,3,5 + A 31,5 A 22,3,5 − A 45 a 4,4 ) , b12 2 2 4 2 5 4 

= 

} 

A 43 a 5,5 A33,4 A 21,2,3 + A 32,3 A 21,3,4 + A 31,3 A 22,3,4 − A 43 a 5,5 , . . . , всего 20 элементов ; 

{ ( 

b12 2 3 3 3 4 2 

= A 45 − 2A31,5 A 34,5 + A 31,5 A 21,4,5 a 1,1 + A 34,5 A 21,4,5 a 4,4 + a 2,2 (A 34,5 A 21,2,5 + 

A 32,5 A 21,4,5 + A 31,5 A 22,4,5 ) + a 3,3 (A 34,5 A 21,3,5 + A 33,5 A 21,4,5 + A 31,5 A 23,4,5 − 2A 45 a 2,2 ) ) ( 

, 

b 13 2 3 3 2 5 2 

= A 44 − 2A33,4 A 34,5 + A 33,4 A 23,4,5 a 3,3 + A 34,5 A 23,4,5 a 5,5 + a 1,1 (A 34,5 A 21,3,4 + 


, 

b 13 2 3 4 2 5 2 

= A 43 − 2A33,4 A 33,5 + A 33,4 A 23,4,5 a 4,4 + A 33,5 A 23,4,5 a 5,5 + a 1,1 (A 33,5 A 21,3,4 + 


, 

b 13 3 3 4 2 5 2 

= A 42 − 2A32,4 A 32,5 + A 32,4 A 22,4,5 a 4,4 + A 32,5 A 22,4,5 a 5,5 + a 1,1 (A 32,5 A 21,2,4 + 


, 

b 23 3 3 4 2 5 2 

= A 41 − 2A31,4 A 31,5 + A 31,4 A 21,4,5 a 4,4 + A 31,5 A 21,4,5 a 5,5 + a 2,2 (A 31,5 A 21,2,4 + 

A 31,4 A 21,2,5 + A 31,2 A 21,4,5 ) + a 3,3 (A 31,5 A 21,3,4 + A 31,4 A 21,3,5 + A 31,3 A 21,4,5 − 2A 41 a 2,2 ) ) , 

. . . , всего 30 элементов } ; 

{ ( ) 

b11 2 2 3( 3 4 3 5 1 

= A 21,2,5 A45 A 31,3 + A 43 A 31,5 + A 41 A 

) 33,5 − A 21,3,5 ∆ 5 a3,3 + 

A 21,2,5 A45 A 31,4 + A 44 A 31,5 + A 41 A 34,5 − A 21,4,5 ∆ 5 a4,4 − 4A 41 A 45 a 3,3 a 4,4 − ( )( ) 

A 42 A 31,5 + 

A 41 A 32,5 

( 

+ A 45 A 31,2 − A 21,2,5 ∆ 5 A31,5 − A 21,2,5 a 2,2 − 

) 

A 21,3,5 a 3,3 − 

( 

A 21,4,5 a 4,4 − 

A 41 A 31,5 A32,5 − A 21,2,5 

) 

a 1,1 − A 22,3,5 a 3,3 − A 22,4,5 

( 

a 4,4 − A45 A 31,5 A31,2 − A 21,2,3 a 3,3 − 

A 21,2,4 a 4,4 ) 

− A 21,2,5 a 5,5 ( , b13 2 3 3 2 4 1 5 1 

= A 23,4,5 A45 A 31,4 + A 44 A 31,5 

) 

+ A 41 A 34,5 − 

A 21,4,5 ∆ 5 a1,1 + A 23,4,5 A45 A 32,4 + A 44 A 32,5 + A 42 A 34,5 − A 22,4,5 ∆ 5 a2,2 − 

4A 44 A 45 a 1,1 a 2,2 − ( )( 

A 45 

) 

A 33,4 + A 44 A 

( 33,5 + A 43 A 34,5 − A 23,4,5 ∆ 5 A34,5 − A 21,4,5 

) 

a 1,1 − 

A 22,4,5 a 2,2 ( 

− A 23,4,5 a 3,3 − A44 A 34,5 A33,5 − A 21,3,5 a 1,1 ) 

− A 22,3,5 a 2,2 − A 23,4,5 a 4,4 − 

} 

A 45 A 34,5 A33,4 − A 21,3,4 a 1,1 − A 22,3,4 a 2,2 − A 23,4,5 a 5,5 , . . . , всего 30 элементов ; 

{ ( ) ( 

b13 2 2 3 1 4 2 5 2 

= −A 33,5 A44 A 32,3 + A 43 A 32,4 + A 42 A 33,4 − A 22,3,4 ∆ 5 − A33,4 A45 A 32,3 + 

(A.4) 

(A.5) 

(A.6) 

A 43 A 32,5 + A 42 A 33,5 − A 22,3,5 ∆ 5 

) 

− A32,3 

( 

A45 A 33,4 + A 44 A 33,5 + A 43 A 34,5 − A 23,4,5 ∆ 5 

) 

+ 

( 

A23,4,5 

( 

A43 A 31,2 + A 42 A 31,3 + A 41 A 32,3 − A 21,2,3 ∆ 5 

) 

+ A22,3,5 

( 

A44 A 31,3 + A 43 A 31,4 + 

A 41 A 33,4 − A 21,3,4 ∆ 5 

) 

+ A22,3,4 

( 

A45 A 31,3 + A 43 A 31,5 + A 41 A 33,5 − A 21,3,5 ∆ 5 

) 

+ 

A 21,3,5 

( 

A44 A 32,3 + A 43 A 32,4 + A 42 A 33,4 − A 22,3,4 ∆ 5 

) 

+ A21,3,4 

( 

A45 A 32,3 + A 43 A 32,5 + 

A 42 A 33,5 − A 22,3,5 ∆ 5 

) 

+ A21,2,3 

( 

A45 A 33,4 + A 44 A 33,5 + A 43 A 34,5 − A 23,4,5 ∆ 5 

)) 

a1,1 + 

( 

A22,3,5 

( 

A44 A 32,3 + A 43 A 32,4 + A 42 A 33,4 − A 22,3,4 ∆ 5 

) 

+ A22,3,4 

( 

A45 A 32,3 + A 43 A 32,5 + 

A 42 A 33,5 − A 22,3,5 ∆ 5 

)) 

a2,2 − A 43 A 32,3 

( 

A34,5 − A 21,4,5 a 1,1 − A 22,4,5 a 2,2 − A 23,4,5 a 3,3 

) 

+ 

( 

A23,4,5 

( 

A44 A 32,3 + A 43 A 32,4 + A 42 A 33,4 − A 22,3,4 ∆ 5 

) 

+ A22,3,4 

( 

A45 A 33,4 + A 44 A 33,5 + 

(A.7) 

A 43 A 34,5 − A 23,4,5 ∆ 5 

)) 

a4,4 − A 43 A 33,4 

( 

A32,5 − A 21,2,5 a 1,1 − A 22,3,5 a 3,3 − A 22,4,5 a 4,4 

) 

+ 

( 

A23,4,5 

( 

A45 A 32,3 + A 43 A 32,5 + A 42 A 33,5 − A 22,3,5 ∆ 5 

) 

+ A22,3,5 

( 

A45 A 33,4 + A 44 A 33,5 + 

A 43 A 34,5 − A 23,4,5 ∆ 5 

)) 

a5,5 − A 43 A 33,5 

( 

A32,4 − A 21,2,4 a 1,1 − A 22,3,4 a 3,3 − A 22,4,5 a 5,5 

) 

+ 

( 

A43 A 31,3 A 22,4,5 + 2A 43 ∆ 5 

) 

a1,1 + A 45 A 33,5 A 22,3,4 a 5,5 + A 44 A 33,4 A 22,3,5 a 4,4 − 

2A 41 A 43 a 2 1,1 + A 42 A 32,3 A 23,4,5 a 2,2 − 4A 42 A 43 a 1,1 a 2,2 − 2A 2 4 3 

a 1,1 a 3,3 − 4A 43 A 44 a 1,1 a 4,4 − 

4A 43 A 45 a 1,1 a 5,5 , . . . , всего 20 элементов } ; 

40

12 2 2 3 2 4 2 5 2 

= −∆ 2 5 − A 2 4 1 

a 2 1,1 − A 2 4 2 

a 2 2,2 − A 2 4 3 

a 2 3,3 − A 2 4 4 

a 2 4,4 − A 2 4 5 

a 2 5,5 + ∆ 5 (A 34,5 A 21,2,3 + 

A 33,5 A 21,2,4 + A 33,4 A 21,2,5 + A 32,5 A 21,3,4 + A 32,4 A 21,3,5 + A 32,3 A 21,4,5 + A 31,5 A 22,3,4 + 

A 31,4 A 22,3,5 + A 31,3 A 22,4,5 + A 31,2 A 23,4,5 − 2(A 21,2,5 A 21,3,4 + A 21,2,4 A 21,3,5 + A 21,2,3 A 21,4,5 )a 1,1 − 

2(A 21,2,5 A 22,3,4 + A 21,2,4 A 22,3,5 + A 21,2,3 A 22,4,5 )a 2,2 − 2(A 21,3,5 A 22,3,4 + A 21,3,4 A 22,3,5 + 

A 21,2,3 A 23,4,5 )a 3,3 − 2(A 21,4,5 A 22,3,4 + A 21,3,4 A 22,4,5 + A 21,2,4 A 23,4,5 )a 4,4 − 

2(A 21,4,5 A 22,3,5 + A 21,3,5 A 22,4,5 + A 21,2,5 A 23,4,5 )a 5,5 ) + A 45 (−2(A 31,4 A 32,3 + A 31,3 A 32,4 + 

A 31,2 A 33,4 ) + (A 31,4 A 21,2,3 + A 31,3 A 21,2,4 + A 31,2 A 21,3,4 )a 1,1 + (A 32,4 A 21,2,3 + A 32,3 A 21,2,4 + 

A 31,2 A 22,3,4 )a 2,2 + (A 33,4 A 21,2,3 + A 32,3 A 21,3,4 + A 31,3 A 22,3,4 )a 3,3 + (A 33,4 A 21,2,4 + A 32,4 A 21,3,4 + 

A 31,4 A 22,3,4 )a 4,4 + (A 34,5 A 21,2,3 + A 33,5 A 21,2,4 + A 33,4 A 21,2,5 + A 32,5 A 21,3,4 + A 32,4 A 21,3,5 + 

A 32,3 A 21,4,5 + A 31,5 A 22,3,4 + A 31,4 A 22,3,5 + A 31,3 A 22,4,5 + A 31,2 A 23,4,5 + 2∆ 5 )a 5,5 )+ 

A 44 (−2(A 31,5 A 32,3 + A 31,3 A 32,5 + A 31,2 A 33,5 ) + (A 31,5 A 21,2,3 + A 31,3 A 21,2,5 + A 31,2 A 21,3,5 )a 1,1 + 

(A 32,5 A 21,2,3 + A 32,3 A 21,2,5 + A 31,2 A 22,3,5 )a 2,2 + (A 33,5 A 21,2,3 + A 32,3 A 21,3,5 + A 31,3 A 22,3,5 )a 3,3 + 

(A 33,5 A 21,2,5 + A 32,5 A 21,3,5 + A 31,5 A 22,3,5 )a 5,5 + a 4,4 (A 34,5 A 21,2,3 + A 33,5 A 21,2,4 + 

A 33,4 A 21,2,5 + A 32,5 A 21,3,4 + A 32,4 A 21,3,5 + A 32,3 A 21,4,5 + A 31,5 A 22,3,4 + A 31,4 A 22,3,5 + 

A 31,3 A 22,4,5 + A 31,2 A 23,4,5 + 2∆ 5 − 4A 45 a 5,5 )) + A 43 (−2(A 31,5 A 32,4 + A 31,4 A 32,5 + A 31,2 A 34,5 )+ 



a 3,3 (A 34,5 A 21,2,3 + A 33,5 A 21,2,4 + A 33,4 A 21,2,5 + A 32,5 A 21,3,4 + A 32,4 A 21,3,5 + A 32,3 A 21,4,5 + 

A 31,5 A 22,3,4 + A 31,4 A 22,3,5 + A 31,3 A 22,4,5 + A 31,2 A 23,4,5 + 2∆ 5 − 4A 44 a 4,4 − 4A 45 a 5,5 ))+ 

A 42 (−2(A 31,5 A 33,4 + A 31,4 A 33,5 + A 31,3 A 34,5 ) + (A 31,5 A 21,3,4 + A 31,4 A 21,3,5 + A 31,3 A 21,4,5 )a 1,1 + 


(A 34,5 A 21,3,5 + A 33,5 A 21,4,5 + A 31,5 A 23,4,5 )a 5,5 + a 2,2 (A 34,5 A 21,2,3 + A 33,5 A 21,2,4 + A 33,4 A 21,2,5 + 

A 32,5 A 21,3,4 + A 32,4 A 21,3,5 + A 32,3 A 21,4,5 + A 31,5 A 22,3,4 + A 31,4 A 22,3,5 + A 31,3 A 22,4,5 + A 31,2 A 23,4,5 + 

2∆ 5 − 4A 43 a 3,3 − 4A 44 a 4,4 − 4A 45 a 5,5 )) + A 41 (−2(A 32,5 A 33,4 + A 32,4 A 33,5 + A 32,3 A 34,5 )+ 



a 1,1 (A 34,5 A 21,2,3 + A 33,5 A 21,2,4 + A 33,4 A 21,2,5 + A 32,5 A 21,3,4 + A 32,4 A 21,3,5 + A 32,3 A 21,4,5 + 

A 31,5 A 22,3,4 + A 31,4 A 22,3,5 + A 31,3 A 22,4,5 + A 31,2 A 23,4,5 + 2∆ 5 − 4A 42 a 2,2 − 

4A 43 a 3,3 − 4A 44 a 4,4 − 4A 45 a 5,5 )). 

{ 

b14 3 1 4 2 5 3 

= A 42 A 32,3 A 22,3,4 a 1,1 , b 14 2 1 4 2 5 3 

= A 43 A 32,3 A 22,3,4 a 1,1 , b 24 3 1 4 2 5 3 

= A 41 A 31,3 A 21,3,4 a 2,2 , 

b 11 2 4 4 2 5 3 

= A 43 A 31,3 A 21,3,4 a 2,2 , b 21 3 4 4 2 5 3 

= A 41 A 31,2 A 21,2,4 a 3,3 , b 11 3 4 4 2 5 3 

= A 42 A 31,2 A 21,2,4 a 3,3 , 

b 13 3 1 4 4 5 2 

= A 42 A 32,3 A 22,3,5 a 4,4 , b 13 2 1 4 4 5 2 

= A 43 A 32,3 A 22,3,5 a 4,4 , b 21 3 2 4 3 5 4 

= A 41 A 31,2 A 21,2,3 a 5,5 , 

b 11 3 2 4 3 5 4 

= A 42 A 31,2 A 21,2,3 a 5,5 , . . . , всего 120 элементов } 

{ 

(A.8) 

µ12 = b 13 2 4 3 1 4 1 5 1 

+ 2 √ √ 

b 13 2 4 3 2 5 1 b13 2 4 4 2 5 1 

+ 2 √ √ 

b 13 2 4 3 1 4 2 b13 2 4 3 1 5 2 

+ 2 √ √ 

b 13 2 4 3 2 4 1 b13 2 4 4 1 5 2 

, 

µ 13 = b 13 2 1 3 4 4 1 5 1 

+ 2 √ b 13 2 2 3 4 5 1 

√ 

b13 3 4 4 2 5 1 

+ 2 √ b 13 2 1 3 4 4 2 

√ 

b13 2 1 3 4 5 2 

+ 2 √ b 13 2 2 3 4 4 1 

√ 

b13 3 4 4 1 5 2 

, 

µ 14 = b 13 2 1 3 1 4 4 5 1 

+ 2 √ b 13 2 2 4 4 5 1 

√ 

b13 3 2 4 4 5 1 

+ 2 √ b 13 2 1 3 2 4 4 

√ 

b13 2 1 4 4 5 2 

+ 2 √ b 13 2 2 3 1 4 4 

√ 

b13 3 1 4 4 5 2 

, 

µ 15 = b 13 2 1 3 1 4 1 5 4 

+ 2 √ b 13 2 2 4 1 5 4 

√ 

b13 3 2 4 1 5 4 

+ 2 √ b 13 2 1 3 2 5 4 

√ 

b13 2 1 4 2 5 4 

+ 2 √ b 13 2 2 3 1 5 4 

√ 

b13 3 1 4 2 5 4 

, . . . } . 

(A.9) 

41

CONDITIONS OF D-STABILITY OF FIFTH-ORDER MATRICES 

L.A.Burlakova 

Institute of Systems Dynamics and Control Theory, Siberian Branch, Russian Academy of 

Sciences, Irkutsk 

e-mail: irteg@icc.ru 

Abstract. Necessary conditions and sufficient conditions represented in terms of matrix elements 

have been obtained for the property of D-stability of fifth-order matrices. 

Key words: stability, D-stability, matrix, secular equation 

42

О СВОЙСТВАХ КОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕ- 

НИЙ С КРАТНЫМИ РЕШЕНИЯМИ 1 

М.В. Булатов, В.Ф.Чистяков 


email: mvbul@icc.ru, chist@icc.ru 

Аннотация. Рассматриваются системы нелинейных уравнений F (x) = 0, у которых матрица 

Якоби на решении вырождена. Для таких задач вводятся определения значения кратности 

решения. Установлена связь между значениями кратности решения и индекса матричных пучков 

и проведено сравнение с известными определениями кратности. Обсуждаются возможные 

приложения введенных понятий в теории дифференциально-алгебраических уравнений, а также 

при анализе вида неморсовской стационарной точки функции и значениями кратности решения 

системы, которой удовлетворяет стационарная точка. 

Ключевые слова: нелинейная система уравнений, кратное решение, индекс, пучок матриц, 

полуобратная матрица, дифференциально-алгебраические уравнения. 


Во многих областях математики и ее приложений встречаются системы нелинейных 


F (x) = 0 (1) 

где x = (x 1 , x 2 , · · · , x n ) ⊤ , F (x) = (f 1 (x), f 2 (x), · · · , f m (x)) ⊤ , ⊤-символ транспонирования. 

Предполагается, что вектор-функция F : R n → R m обладает той гладкостью в области 

определения, которая необходима для дальнейших рассуждений. Введем обозначение для 

матрицы Якоби системы (1) 

A 0 (x) = ∂F (x)/∂x = {∂f i (x)/∂x j , i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , n} . (2) 

Пусть вектор x ∗ ∈ D удовлетворяет системе (1): F (x ∗ ) = 0. Вектор x ∗ принято называть 

простым решением (корнем), если rankA 0 (x ∗ ) = min{m, n}. В данной работе рассматривается 

случай 

rankA 0 (x ∗ ) < min{m, n}. 

Такое решение принято называть кратным, или особым. Для определенности ниже будем 

считать, что кратность простого корня равна единице. Если m = n, то решение x ∗ является 

кратным тогда и только тогда, когда det A 0 (x ∗ ) = 0. Для случая простого корня получены 

критерии разрешимости и разработана достаточно полная теория итерационных методов 

решения системы (1) (см. например, монографии [1], [2]). Исследование систем с кратными 

корнями при n > 1 связано с большими принципиальными трудностями (см. например, 

[3], [4], [5] и приводимую там библиографию). 

Продемонстрируем на простых примерах трудности перенесения понятия кратности с 

одномерного случая на многомерный. Напомним, что при n = 1 принято называть значением 

кратности (или просто кратностью) корня x ∗ минимальное целое число k 1, для 

которого F (k) (x)| x=x ∗ ≠ 0, k = 1, 2, · · · . 

1 Работа поддержана грантами РФФИ, проекты № 07-01-90000-Вьет-а, №05-08-18160, и грантом Президента 

РФ НШ-1676.2008.1 

43

Рассмотрим две системы 

F 1 (x 1 , x 2 ) = 

{ x 

j 

1 + x j 2 = 0 

x j 1 − x j 2 = 0 , F 2 (x 1 , x 2 , x 3 ) = 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

x 2 − x 2 1 = 0 

x 3 − x 2 2 = 0 

x 2 3 = 0 

, (3) 

где j = 1, 2, · · · . Обе системы (3) имеют единственное решение: x ∗ = (0, 0) ⊤ , x ∗ = (0, 0, 0) ⊤ , 

соответственно. По аналогии с одномерным случаем еще можно предположить, что у системы 

F 1 (x 1 , x 2 ) = 0 кратность корня равна j. Но для системы F 2 (x 1 , x 2 , x 3 ) = 0, у которой 

компоненты являются полиномами не выше второй степени, вынести какое-то заключение 

о кратности корня весьма затруднительно. Если решать ее методом исключения неизвестных 

сверху вниз, то мы будем решать в конце уравнение x 8 1 = 0, у которого решение 

имеет кратность 8. При исключении неизвестных снизу вверх мы последовательно решим 


x 2 3 = 0, x 2 2 = 0, x 2 1 = 0, 

каждое из которых имеет решение кратности 2. 

В работе [7] авторами было введено понятие кратности решения для системы (1) при 

n > 1, совпадающее при n = 1 c классическим определением. В данной статье это понятие 

обобщено и уточнено. 

1. Определение кратности 

По аналогии со скалярным случаем будем искать дифференциальные операторы, которые 

понижают кратность корня и при n > 1, в виде выражений 

L i = R i + q i S i , i = 1, 2, · · · , (4) 

где q i = (c ⊤ i , grad), grad = (∂/∂x 1 , ∂/∂x 2 , · · · , ∂/∂x n ) ⊤ , c i −некоторые произвольные вектора 

из R n , (. , .)−скалярное произведение в R n , R i , S i −(m×m)-матрицы. Иначе говоря, 

∂ ∂ 

∂ 

q i = c 1,i + c 2,i + · · · + c n,i , c i = (c 1,i , c 2,i , · · · , c n,i ). 

∂x 1 ∂x 1 ∂x n 

Матрицы R i , S i выбираем из условия 

F i (x ∗ ) = 0, F i (x) = L i · · · L 2 L 1 F (x). (5) 

Определение 1. Пусть rankA 0 (x ∗ ) < min{m, n} и, начиная с некоторого минимально 

возможного k 1, найдутся вектора c i и матрицы R i , S i , (i = 1, 2, · · · , k) такие, что в 

последовательности (5) rankA k (x ∗ ) = min{m, n}, где A k (x) = ∂F k (x)/∂x. Тогда мы будем 

говорить, что левая кратность корня x ∗ соответственно равна k + 1. 

Равенство rankA k (x ∗ ) = min{m, n} эквивалентно неравенству det A k (x ∗ ) ≠ 0, если m = 

n. Для вычисления матриц R i , S i , удовлетворяющих условию (5), мы будем использовать 

аппарат полуобратных матриц. 

Определение 2. (см. например, [8]). Матрица, обозначаемая в дальнейшем как A − , 

называется полуобратной к матрице A, если она удовлетворяет уравнению AA − A = A. 

Полуобратная матрица определена для любой (m×n)−матрицы A и имеет размерность 

(n×m) [8]. Ее частным случаем является псевдообратная матрица A + , методы вычисления 

которой хорошо развиты (см. например, [9]). 

44

Из определения 2 следует, что: 

A(E − A − A) = 0, (E − AA − )A = 0, (7) 

V 2 

j = V j , (E − V j ) 2 = (E − V j ) 2 , j = 1, 2, V 1 = AA − , V 2 = A − A, (8) 

Здесь и ниже E µ −единичная матрица размерности µ. Если µ = n или m, то для упрощения 

записи ниже полагается E µ = E. 

Покажем, что в равенстве (5) можно принять R i = E, S i = E − A i−1 (x ∗ )A − i−1 (x∗ ), где 

A i−1 (x) = ∂F i−1 (x)/∂x. Иначе говоря, вектор x ∗ является решением систем 

F i (x) = [E + q i S i ]F i−1 (x) = 0, i = 1, 2, · · · , (9) 

где F 0 (x) = F (x), c i − произвольные вектора из R n . Здесь выполнены условия леммы 1 

так как в силу (7) S i A i−1 (x ∗ ) = [E − A i−1 (x ∗ )A − i−1 (x∗ )]A i−1 (x ∗ ) = 0. 

Процесс понижения кратности можно организовать и другим способом, выбирая вектора 

c i из некоторых подпространств в R n . Рассмотрим процесс F i (x) = [E+˜q i E]F i−1 (x) = 0, 

где ˜q i = (a ⊤ i , grad) и вектора a i выбираются из некоторого подпространства R n . Используя 

формулу (6), этот процесс можно переписать так 

F i (x) = F i−1 (x) + A i−1 (x)a i = 0, (10) 

где F 0 (x) = F (x), A i (x) = ∂F i (x)/∂x. Если полагать, что a i = [E − A − i (x∗ )A i (x ∗ )]c i , где 

c i −произвольные вектора из R n , то из (7) имеем F i (x ∗ ) = 0. 

Определение 3. Пусть rankA 0 (x ∗ ) < min{m, n}. Если, начиная c минимально возможного 

i = k, в равенстве (10) имеем rankA k (x ∗ ) = min{m, n}, то число k + 1 назовем 

правой кратностью решения x ∗ . 

После приведения системы (1) к системе с простым корнем процессы (9), (10) стабилизируются: 

F i (x) = F i−1 (x), F i (x) = F i−1 (x) ∀i k, 

так как S i = E − A i−1 (x ∗ )A − i−1 (x∗ ) = 0, E − A − i−1 (x∗ )A i−1 (x ∗ ) = 0 при условии полноты 

ранга матриц A i−1 (x ∗ ), A i−1 (x ∗ ). 

В заключение раздела коснемся вопроса о соотношении значений левой и правой кратностей 

корня x ∗ системы (1). Для систем (3) эти значения совпадают, но можно указать 

примеры, когда они не равны. Рассмотрим систему 

x 1 x 2 = 0, x 1 − x 3 2 = 0. 

Здесь только одно решение x ∗ = (0, 0) ⊤ и его левая кратность равна 2, а правая 3. 

2. Свойства λ−матриц 

Поставим задачу получения критериев, выполнение которых гарантирует осуществимость 

процессов (9), (10). Оказалось, что значения кратности корня можно вычислить, 

используя информацию о свойствах некоторых матричных пучков. Приведем необходимые 

сведения, представляющие и самостоятельный интерес. 

Определение 4. (см. например [10]). Выражение 

M(λ) = λ ρ M 0 + λ ρ−1 M 1 + · · · + M ρ = 

ρ∑ 

λ ρ−i M i , M 0 ≠ 0, (11) 

i=0 

45

называется λ-матрицей степени ρ. Здесь M i −постоянные матрицы одинаковых размеров, 

λ - скалярный параметр (в общем случае комплексный). Матрица M(λ) регулярная, 

если матрицы M i квадратные и det M(λ) ≢ 0. 

Определение 5. [12]. Будем говорить, что λ -матрица (11) обладает доминантным 

свойством (ДС), если deg det M(λ) ρr 0 , r 0 = rankM 0 , где символ deg(.) означает показатель 

степени многочлена (.), операция deg(0) не определена. 

Если в λ−матрице (11) ρ = 1, то ее называют пучком матриц. Для регулярного пучка 

существуют постоянные неособенные матрицы P, Q со свойством: 

P(λM 0 + M 1 )Q = λdiag{E d , N} + diag{J, E n−d }, (12) 

где, начиная с некоторого натурального ν, N ν = 0, J−блок подходящей размерности, [10, 

c. 334]. Число ν равно целому числу j 0, начиная с которого справедливо равенство: 

rankC j+1 = rankC j = d, C = (λM 0 + M 1 ) −1 M 0 , 

если λ не совпадает с корнем уравнения det(λM 0 + M 1 ) = 0. Число ν называют индексом 

матрицы C или индексом пучка матриц λM 0 +M 1 и оно не зависит от λ [10, c. 333]. Выражение 

в правой части равенства (12), будем называть кронекеровой структурой матричного 

пучка. 

Определение 6. Матричный пучок λM 0 + M 1 удовлетворяет критерию ”ранг- степень”, 

если rankM 0 = deg det(λM 0 + M 1 ). 

Из формулы (12) следует, что пучок матриц λM 0 + M 1 удовлетворяет критерию "рангстепень"тогда 

и только тогда когда индекс пучка ν = 1. Если матричный пучок не удовлетворяет 

критерию, то ν = j + 1, где j целое положительное число, начиная с которого 

λ−матрица λ j (λM 0 + M 1 ) удовлетворяет ДС. 

Поставим в соответствие λ−матрице (11) пучок матриц вида 

( 0 −Eµ 

λA + B = λ 

( ) 

Eµ 0 

+ 

0 M 0 

M ρ 

¯M 

) 

, (13) 

( ) 

где µ = (ρ − 1)n, ¯M = Mρ−1 M ρ−2 · · · M 1 , и установим связи ДС с кронекеровой 

структурой матричного пучка (13). 

Лемма 1. Матрица (11) регулярна тогда и только тогда, когда существует λ− 

матрица L(λ) со свойством 

ρ∑ 

L(λ)M(λ) = B(λ) = λ ρ−i B i , det B 0 ≠ 0. (14) 

Более того, можно принять 

L(λ) = 

i=0 

ν∑ 

λ ν−i L i = 

i=0 

ν∏ 

(E + λS j ), 

где S j = E − V (j) 

1 , V (j) 

1 = M (j) 

0 M (j)− 

0 , M (0) 

0 = M 0 . 

Доказательство. Достаточность. Пусть det B 0 ≠ 0. Тогда матрица B(λ) регулярна, 

следовательно, регулярны в оба сомножителя M(λ) и L(λ). Необходимость. Пусть 

матрица M(λ) регулярна. Рассмотрим произведение 

[E ρn + λ(E ρn − AA − )](λA + B) = λ 

46 

j=1 

( 

Eµ 0 

˜M M (1) 

0 

) ( 0 −Eµ 

+ ¯M 

M ρ 

) 

, (15)

где E ρn ( + λ(E ρn − AA − ) = ) E ρn + λdiag{0, S 0 }, S 1 = E − M 0 M0 − , M (1) 

0 = M 0 + S 1 M 1 , 

˜M = S 1 Mρ M ρ−1 · · · M 2 . Известно [9], что после такой операции индекс пучка матриц 

слева в (15) на единицу меньше индекса пучка λA+B. Прямым 

( 

вычислением 

) 

показывается, 

что после умножения произведения (15) на матрицу P 0 = 

мы 

Eµ 0 

получим 

− ˜M E 

пучок матриц λA 1 + B 1 , построенный по многочлену M 1 (λ) = (E + λS 1 )M(λ). В силу (7) 

degM 1 (λ) ρ. 

Покажем, что degM 1 (λ) = ρ. Существуют невырожденные матрицы P, Q: P M 0 Q = 

diag{E r0 , 0}, где rankM 0 = r 0 n. В многочлене M 1 (λ) при λ ρ стоит матрица M (1) 

0 = 

M 0 + S 1 M 1 , которую умножим на P, Q слева и справа. Имеем 

P M (1) 

0 Q = P M 0 Q + P (E − M 0 QO −1 M − 0 )P −1 P M 1 Q = 

= 

( ) ( ) ( ) 

Er 0 Er − S 

+ 

11 −S 12 R11 R 12 

, (16) 

0 0 0 E n−r R 21 R 22 

где ‖S ij ‖ 2 i,j=1 = O −1 M0 − P −1 , ‖R ij ‖ 2 i,j=1 = P M 1 Q. Следовательно, в (16) E r − S 11 = 0. Умножая 

в матрице ( (16)) 

вторую блочную строку на блок S 12 и складывая с первой, получим 

Er0 0 

матрицу 

, где rankM (1) 

0 rankM 

R 21 R 0 . 

22 

После повторения ν раз операций вида (15) и умножения на соответствующие матрицы 

P i , где i = 0, 1, · · · , ν, мы получим, что det B 0 = det M (ν) 

0 ≠ 0. Лемма доказана. 

Лемма 2. Матрица (11) обладает ДС тогда и только тогда, когда индекс пучка (13) 

не превосходит степени λ−матрицы (11): ν ρ. 

Доказательство. Достаточность пункта 2) утверждения теоремы при предположении 

о выполнении ДС доказана в [11]. Необходимость. Пусть количество шагов процесса равно 

q ρ. В силу (8) все собственные числа матриц V i , E − V i простые и равны 0 или 1 и 

rankP S 0 P −1 = n − r 0 , deg det[λ(E − V (i) 

1 ) + E] = n − r i . Из (16) следует, что 

rankM (i+1) 

0 rankM (i) 

0 , 

q−1 

∑ 

[n − r i ] (n − r 0 )m, i = 0, 1, · · · , q − 1, 

i=1 

где r i = rankM (i) 

0 . По условию deg det M (q) (λ) = ρn. Откуда следует, что deg det M(λ) ρr 0 . 

Лемма доказана. 

Замечание 1. Из леммы 3 следует, что матрицы M 0 + (E − V (0) 

1 )M 1 , M 0 + M 1 (E − 

V (0) 

2 ), где V (0) 

1 = M 0 M0 − , V (0) 

2 = M0 − M 0 невырожденны тогда и только тогда, когда в 

пучок матриц λM 0 + M 1 удовлетворяющего критерию "ранг- степень". 

Лемма 3. В качестве коэффициентов многочлена L(λ) можно принять первые n 

строк (l × l)-матрицы 

⎛ 

⎞ 

M 0 0 0 · · · 0 · · · 0 0 

M 1 M 0 0 · · · 0 · · · 0 0 

Γ − ν = 

M 2 M 1 M 0 · · · 0 · · · 0 0 

⎜ 

⎟ 

⎝ . . . . . . . . ⎠ 

0 0 0 · · · M ρ · · · M 1 M 0 

− 

, 

47

( 

разбитые на (n×n)− блоки, причем Γ − En 0 

ν Γ ν = 

S 1 S 2 

) 

, где l = (ν+1)n, S 1 , S 2 −некоторые 

блоки подходящей размерности. 

Доказательство. Рассмотрим линейную алгебраическую систему 

Γ ν X = 0. (17) 

Умножим ее блочные строки на коэффициенты многочлена L(λ) с одинаковыми номерами 

и сложим их. Получим, что первые n компонент вектора X равны нулю, так как первые 

n уравнений приобретут вид (E n 0)X = 0. Любое решение системы (16) имеет вид X = 

[E − Γ − ν Γ ν ]C, где C−произвольный вектор из R n(ν+1) [8]. Так как первые n компонент 

вектора C равны нулю, имеет место равенство (17). Лемма доказана. 

3. О связи доминантного свойства и кратности решений 

Применим ДС к исследованию систем вида (1), предполагая, что n = m. Образуем 

матрицы A i (x) по правилу 

α i (x) = q i · · · q 2 q 1 α 0 (x), α 0 (x) = A 0 (x), i = 1, 2, · · · , (18) 

где A 0 (x) определена по формуле (2), q i − операторы из формулы (4), и построим c использованием 

матриц из (18) λ−матрицу 

A k (λ) = 

k∑ 

λ k−i α i (x ∗ ). (19) 

i=0 

Теорема 1. Значение левой кратности корня x ∗ системы (1) равно k + 1 тогда и 

только тогда, когда λ−матрица (19) удовлетворяет ДС: 

deg det A k (λ) k rank α 0 (x ∗ ). 

Доказательство. Для упрощения выкладок предположим, что k = 2. Скалярные 

операторы q i = (grad ⊤ , c i ) перестановочны с операцией вычисления матрицы Якоби ∂/∂x. 

Пусть 

det ∂F 2 (x)/∂x| x=x ∗ = det[E + q 1 S 1 + q 2 S 2 + q 2 q 2 S 2 S 1 ]A 0 (x)| x=x ∗ ≠ 0. 

С другой стороны для многочлена A 2 (λ) = λ 2 α 0 (x ∗ ) + λα 1 (x ∗ ) + α 2 (x ∗ ) имеем 

α (2) 

0 (x ∗ ) = α 0 (x ∗ ) + S 1 α 1 (x ∗ ) + S 2 α 1 (x ∗ ) + S 2 S 1 α 2 (x ∗ ). 

где S i −матрицы из формулы (9), и учтено, что S 1 α 0 (x ∗ ) = 0, S 2 (α 0 (x ∗ ) + S 1 α 1 (x ∗ )) = 0. 

Итак, мы получим равенство ∂F 2 (x)/∂x| x=x ∗ = α (2) 

0 (x ∗ ). Согласно лемме 3 многочлен A 2 (λ) 

обладает ДС. Очевидно, что справедливо и обратное утверждение. Для k > 2 доказательство 

полностью аналогично. Теорема доказана. 

Теорема 2. Пусть существует вектор c ∗ ∈ R n , для которого пучок матриц, построенный 

по формуле (18) 

A 1 (λ) = λA 0 (x) + q 1 A 0 (x)| x=x ∗, 

48

где c 1 = (E−A − 0 A 0 )c ∗ , регулярен. Тогда правая кратность решения x ∗ равна 2. Более того, 

если правая кратность равна 2, пучок λA 0 (x) + q 1 A 0 (x)| x=x ∗ удовлетворяет критерию 

"ранг-степень". 

Доказательство. Согласно формулам (6), (10) 

∂F 1 (x)/∂x = ∂[F (x) + A 0 (x)a]/∂x = A 0 (x) + (grad ⊤ , a)A 0 (x), 

где a = (E − A − 0 A 0 )c, c ∈ R n . Очевидно, что в силу регулярности пучка A(λ) найдется 

параметр γ со свойством ∂F 1 (x)/∂x| x=x ∗ ≠ 0, если a = γ(E −A − 0 A 0 )c ∗ . Второе утверждение 

теоремы вытекает из замечания 1. Теорема доказана. 

Коснемся вопроса о проверке условий теоремы 1. Очевидно следующее утверждение. 

Лемма 4. Старший коэффициент многочлена 

det A k (λ) = α 0 (C)λ d + · · · (20) 

является полилинейной функцией компонент вектора C = (c 1 , 2 , · · · , c k ) ∈ R kn и множество 

значений {C : α 0 (C) = 0} имеет меру нуль в R kn . 

Из леммы 4 вытекает, что в принципе вектор C можно выбирать случайным образом. 

При небольших и средних размерностях систем (1) функцию α 0 (C) в формуле (20) можно 

построить явно, используя программы символьных вычислений. Тогда задачу выбора 

вектора C ∗ : α 0 (C) ≠ 0 можно решить таким образом, что матрица A k (x ∗ ) из определения 

1 имеет хорошую обусловленость. 

Приведем утверждение о независимости значения кратности от выбора матриц R i , S i . 

Теорема 3. Если старший коэффициент многочлена (20), где A k (λ)− матрица из 

(10), является ненулевым для данного набора векторов C = (c 1 , 2 , · · · , c k ) ∈ R kn , а сама 

матрица удовлетворяет ДС, то не существует матриц R i , S i , для которых процесс 

(5) заканчивался бы менее чем за k шагов. 

Доказательство. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений 

M(D)y(t) = f(t), det M 0 = 0, D = d/dt, t ∈ [0, 1], (21) 

где λ− матрица M(λ) регулярна. Согласно формуле (14) имеет место равенство 

L(D)M(D)y(t) = B(D)y(t) ∀y(t) ∈ C ν+ρ [0, 1], L(λ) = 

ν∏ 

(E + DS j ). (22) 

Система (21) сводится заменой переменной к системе первого порядка AdX/dt + BX = φ, 

где A, B матрицы из формулы (13), X = (y ⊤ , Dy ⊤ , · · · , D ρ−1 y ⊤ ) ⊤ , φ = (0, 0, · · · , f ⊤ ) ⊤ . Ее 

решение с учетом формулы (12) имеет вид 

X(t, c) = Z(t)c + 

∫ t 

0 

j=1 

∑ν−1 

K(t − s)φ(s)ds + K j D j φ, (23) 

( ) exp(−Jt) 

где Z(t) = Q 

, K(t − s) = Z(t − s)P, K 

0 

j = Qdiag{0, N j }P, c−вектор произвольных 

постоянных из R d . Из формул (22), (23) следует, что общее решение системы (21) 

имеет вид 

∫ t 

ν−ρ 

∑ 

y(t, c) = Z(t)c + K(t − s)f(s)ds + K j D j f, (24) 

0 

49 

j=0 

j=0

где вектор-функция y(t, c) является первыми n компонентами вектор-функции X(t). Допустим, 

что существуют матрицы R j , S j такие, что оператор L 1 (D) = ν 1 ∏ 

(R j + DS j ), где 

ν 1 < ν, обладает свойством 

L 1 (D)M(D)y(t) = B 1 (D)y(t) ∀y(t) ∈ C ν+ρ [0, 1], 

где в операторе B 1 (D) = ∑ ρ 

i=0 λρ−i B 1,i , det B 1,0 ≠ 0. Все решения системы (21) являются 

решениями системы B 1 (D)y(t) = L 1 (D)f и следовательно лежат в пространстве C ν 1−ρ [0, 1]. 

Если ν 1 < nu, то мы получим помимо представления (24) представление с другой гладкостью. 

Это противоречие доказывает теорему. Действительно, рассмотрим систему 

A k (D) = 

k∑ 

α i (x ∗ )D k−i y(t) = f(t) 

i=0 

где A k (λ)− матрица из формулы (19). В соответствующем пучке вида (13) согласно лемме 

2 каноническая форма (12) содержит нильпотентный блок N со свойством N j = 0, j k 

и N j ≠ 0, j < k. Теорема доказана. 

Замечание 2. Системы с вырожденной матрицей при старшей производной принято 

называть дифференциально - алгебраическими уравнениями (ДАУ). 

Укажем пример матриц R i , S i , отличных от матриц из процесса (9). В процессе (4), 

(5) можно принять 

L i = 

( 

Y1,i 

0 

) 

+ q i 

( 0 

Y 2,i 

) 

, 

( ) 

Y1,i 

= Y 

Y i , Y i A i (x ∗ ) = 

2,i 

j=1 

( 

A1,i (x ∗ ) 

0 

) 

, (25) 

где det Y i ≠ 0 и число нулевых строк в матрицах Y i A i (x ∗ ) равно m − rankA i (x ∗ ). Более 

того, в условиях теоремы 1 при вычислении матриц R i , S i по формулам (25) через k 

шагов в (5) получим det A k+1 (x ∗ ) ≠ 0. Ввиду громоздких выкладок мы не будем приводить 

доказательство. 

Отметим еще одно обстоятельство. Если компоненты вектор-функции F (x) в системе 

(1) являются многочленами от переменных x 1 , x 2 , · · · , x n , то заменами переменных мы 

всегда можем свести исходную систему к системе, у которой компоненты являются многочленами 

не выше второй степени 

F (x) = b + Gx + H(x) = 0, (26) 

где b−некоторый вектор из R m , G − (m × n)-матрица, H(x) = 

((H 1 x, x), (H 2 x, x), · · · , (H m x, x)) ⊤ , H j − (n × n)-матрицы, j = 1, 2, · · · m. Если b = 0, 

то нулевой корень является простым тогда и только тогда, когда rankG = m. 

Например, пусть уравнение имеет вид x 8 1 = 0. Заменами x 2 1 = x 2 , x 2 2 = x 3 оно сводится 

ко второй системе (3). В случае, когда компоненты F (x) являются многочленами не выше 

второй степени, матричный многочлен (19) имеет вид пучка матриц A i (λ) = λ i A 0 (x ∗ ) + 

λ i−1 A 1 , i = 1, 2, · · · . и кратность корня x ∗ совпадает с индексом пучка ν. 

Проиллюстрируем сказанное выше на примере F (x) = (x 2 − x 2 1, x 2 2 = 0) ⊤ . Решение 

единственно: x ∗ = (0, 0) ⊤ . В формулах (25) принимаем Y 1 = E 2 . 

Шаг 1. 

A 0 (x) = 

( ) ( −2x1 1 

0 1 

, A 

0 2x 0 (0) = 

2 0 0 

50 

) ( 1 0 

, R 1 = 

0 0 

) ( 0 0 

, S 1 = 

0 1 

) 

,

( ) ( ) ( ) 

x2 − x 

F 1 (x) = 2 1 0 x2 − x 

+ q 

0 

1 

x 2 = 2 1 

∂ ∂ 

= 0, q 

2 2c 2,1 x 1 = c 1,1 + c 2,1 . 

2 ∂x 1 ∂x 2 

( ) 

( ) 

−2x1 1 

0 1 

, det A 

0 2c 1 (0) = 

2,1 0 2c 2,1 

Здесь A 1 (x) = 

шагу. 

Шаг 2. 

= 0. Переходим ко второму 

( ) ( ) ( ) 

1 0 1 0 

0 0 

Y 2 = 

, R 

−2c 2,1 1 1 = , S 

0 0 1 = 

, 

−2c 2,1 1 

( ) ( ) ( ) 

x2 − x 

F 2 (x) = 2 1 

0 

x2 − x 

+ q 

0 

2 

2c 2,1 x 2 = 2 1 

∂ ∂ 

= 0, q 

1 4c 1,2 c 2,1 x 2 = c 1,2 + c 2,2 . 

1 ∂x 1 ∂x 2 

( ) 

−2x1 1 

Здесь A 2 (x) = 

, det A 

4c 1,2 c 2,1 0 

2 (0) = −4c 1,2 c 2,1 ≢ 0. Кратность решения системы по 

определению 6 равна 3. 

Вычислим кратность, используя теорему 1. Образуем матрицы по формулам (18), (19): 

( ) ( ) ( ) 

−2x1 1 

−2c1,1 0 

0 0 

α 0 (x) = 

, α 

0 2x 1 (x) = 

, α 

2 0 2c i (x) = , i = 2, 3, . . . , 

2,1 0 0 

( ) 

( ) 

−2c1,1 λ 

−2c1 λ λ 

det A 1 (λ) = 

= −4c 

0 2c 1,1 c 2,1 , det A 2 (λ) = 

2 

= −4c 

2,1 0 2c 2 λ 

1,1 c 2,1 λ 2 . 

Матрица A 1 (λ) не удовлетворяет ДС, а матрица A 2 (λ) удовлетворяет ДС. Следовательно, 

кратность решения системы в смысле определения 6 равна 3. 

Кратность не инвариантна к заменам, сводящих исходную систему к системе, у которой 

компоненты являются многочленами не выше второй степени и пока не установлено формулы, 

связывающей исходную кратность решения с кратностью решения системы после 

замены. 

4. Сравнение подходов к определению кратности 

Обсудим некоторые известные подходы к определению количественных характеристик 

кратности и сделаем сопоставления. Вначале коснемся связи введенных понятий с классическим 

понятием кратности, используемым в алгебраической геометрии. В общем случае 

кратность определяется как размерность некоторой локальной алгебры отображения F 

в нуле [15, c. 66]. При определенных предположениях кратность можно вычислить, как 

степень отображения некоторой малой сферы в сферу той же размерности [15, c. 75]. В 

силу сложности этих процедур установить прямые связи между классическим и нашим 

определениями в прямой форме не получается. Их можно лишь сравнить на эталонных 

отображениях. Для этого выберем отображение Фама 

F (x) = (x m 1 

, x m 2 

, · · · , x mn ) ⊤ . (27) 

В книге [15, c. 75] показано, что малой деформацией отображения (27) можно получить 

любой конечнократный росток. Кратность (индекс) в алгебраической геометрии 

отображения (27) равны произведению m 1 m 2 · · · m n , а левая и правая кратности равны 

max{m j , j = 1, 2, · · · , n}. Раскроем при i = k произведение операторов из формул (5) 

L k = L k · · · L 2 L 1 = 

∑ 

0j 1 +j 2 +···+j n k 

51 

L j1 ,j 2 ,··· ,j n 

∂ j 1+j 2 +···+j n 

∂ j 1 ∂ 

j 2 · · · ∂ 

j n 

, (28)

где L j1 ,j 2 ,··· ,j n 

− (m × m)-матрицы возникающие при собирании производных одинакового 

порядка и L k F (x) = F k (x). В частности для отображения (27) можно принять 

L m−1 = diag{∂ m 1−1 /∂x m 1−1 

1 , ∂ m 2−1 /∂x m 2−1 

2 , · · · , ∂ m n−1 /∂x m 1−1 

n } , (29) 

где m = max{m j , j = 1, 2, · · · , n}. Из формулы (29) мы видим, что старшие степени операторов 

дифференцирования дают информацию о степенях переменных x j в отображении 

Фама. Возникает интересная задача о вычислении степеней в отображении Фама соответствующего 

отображению y = F (x) по старшим степеням операторов дифференцирования 

в формуле (28). 

Свои методики определения кратности складываются у вычислителей. Влияние кратности 

на численные процессы при решении систем вида (1) впервые исследовалось по 

видимому в работах Rall’a (см. например, статья [14]), но на системы там накладывается 

серьезное ограничение: x ∗ является изолированной точкой, в которой функция det A 0 (x) 

обращается в нуль. Иначе говоря, det A 0 (x) ≠ 0 ∀x ≠ x ∗ из окрестности x ∗ . Легко убедиться, 

что для примеров (3) это не так. Иногда для определения кратности используют 

значения ранга (коранг) матрицы A 0 (x ∗ ). Если снова обратиться к системам (3), то видим, 

что у первой системы rankA 0 (x ∗ ) = 0 ∀j > 1, а у второй rankA 0 (x ∗ ) = 2. 

Рассмотрим проблему определения характера критической точки функции F (x). Пусть 

F : R n → R и мы каким-то способом решили уравнение 

Ψ(x) = gradF (x) = 0. (30) 

Реализуется ли в точкe x ∗ : Ψ(x ∗ ) = 0 локальный минимум (максимум), либо она является 

точкой перегиба, например, седловой? Если решение x ∗ кратное, то методы, основанные на 

исследовании положительности (отрицательности) матрицы ‖∂ 2 F (x)/∂x i ∂x j ‖ n i,j=1 в точке 

x ∗ , не работают. В настоящее время сформировалось такое предположение. 

Гипотеза. Если точка x ∗ являлется решением системы (30), в ней достигается локальный 

минимум функции F (x), и определена левая кратность решения, то она является 

нечетным числом. 

В подтверждение гипотезы приведем пример, когда это так. Пусть нуль является 

решением системы (30) и в окрестности нуля существует замена x = Qz, det Q ≠ 0, 

z = (z 1 , z 2 , · · · , z n ) ⊤ , со свойством 

F (Qz) = α 0 + 

n∑ 

j=1 

z m j+1 

j , (31) 

где α−некоторая константа, m j −нечетные целые числа. Элементарные вычисления показывают, 

что левая кратность нуля (решения соответствующей системы Ψ(x) = 0) здесь 

является нечетной. Система grad ˜F (z) = 0, ˜F (z) = F (Qz) является отображением Фама 

и легко видеть, что нечетность левой кратности решения является только необходимым 

условием локального минимума. Локальный минимум в нуле достигается в нуле тогда и 

только тогда, когда произведению m 1 m 2 · · · m n является нечетным числом. 

В настоящее время большое развитие получили подходы, изложенные в монографиях 

[3], [4], основанные на понятии 2-регулярности (p-регулярности) нелинейных задач [4, c. 

39]. Пусть F : X → Y , где X, Y линейные нормированные пространства, F (x ∗ ) = 0, x ∗ ∈ 

X, и определено линейное отображение ˜Ψ(P, h) = F ′ (x ∗ ) + P F ′′ (x ∗ )[h] : X → Y , где ′ , ′′ - 

первая и вторая производные, P -проектор на Y 2 вдоль Y 1 = imF ′ (x ∗ ), а Y 2 его прямое 

52

дополнение. Тогда отображение F является 2-регулярным в точке x ∗ на элементе h ∈ X, 

если оператор ˜Ψ(P, h) сюрьективен. Отсюда следует, что при X = R n , Y = R m оператор 

˜Ψ(P, h) − (m × n)- матрица, rank ˜Ψ(P, h) = m и это определение эквивалентно правой кратности 

k = 2. Используя специальную запись (кортежи) ряда Тейлора даются определения 

регулярности более высоких порядков [6]. 

5. Метод Ньютона в случае кратных решений 

Рассмотрим поведение метода Ньютона при наличии кратных корней. Известно (см. 

например, [1, c. 136]), что , последовательность вида 

x [j+1] = x [j] − [A 0 (x [j] )] −1 F (x [j] ), j = 0, 1, · · · , (32) 

в случае простого корня сходится к решению x ∗ с квадратичной скоростью сходимости: 

‖x [j+1] − x ∗ ‖ c‖x [j] − x ∗ ‖ 2 

при достаточно малом значении величины ‖x [0] −x ∗ ‖, где j− номер итерации, c− некоторое 

число. Для одномерного случая известна оценка ‖x [j+1] −x ∗ ‖ q‖x [j] −x ∗ ‖, где q = (k−1)/k. 

При n > 1 ситуация гораздо сложнее. Установить зависимости между кратностью и 

сходимостью удалось установить только для некоторых частных случаев. Пусть в системе 

(26) b = 0 и 

P GQz + P H(Qz) = (z 2 1 − z 2 = 0, z 2 2 − z 3 = 0, · · · z 2 n−2 − z n−1 = 0, z 2 n = 0) ⊤ , (33) 

где P, Q−постоянные неособенные матрицы, x = Qz. Частным случаем такой системы 

является вторая система (3) при n = 3. Здесь матрица A(λ) = λN + E n , построенная по 

формуле (19), где z ∗ = 0, c = (−1/2, −1/2, · · · , −1/2) ⊤ , в матрице N = ‖n ij ‖ i,j=n элементы 

n i,i+1 = 1, i = 1, · · · n − 1, а остальные элементы нулевые. Согласно теореме 1 кратность 

решения z ∗ = 0 равна n + 1. 

Применим к системе (33) метод (32). После ряда преобразований мы получим итерационный 

процесс 

z [j+1] 

1 = z [j] 

1 /2 + z [j] 

2 /4z [j] 

1 − z [j] 

3 /(8z [j] 

1 z [j] 

2 ) + · · · + (−1) n z [j] 

n−1/(2 n z [j] 

1 z [j] 

2 · · · z [j] 

n−1); 

z [j+1] 

n−2 

. 

= z [j] 

n−2/2 + z [j] 

n−1/4z [j] 

n−2 − z [j] 

n /(8z [j] 

n−2z [j] 

n−1); 

z [j+1] 

n−1 

= z [j] 

n−1/2 + z [j] 

n /4z [j] 

n−1; 

z [j+1] 

n 

= z [j] 

n /2. (34) 

Лемма 5. Существует многообразие {z : M(z) = 0} ⊂ R n такое, что при z [0] = 

(z [0] 

1 , z [0] 

2 , · · · , z n [0] ) ⊤ ∈ {z : M(z) = 0} для процесса (34) справедливы равенства 

где |θ i | = (1/2) ξ(i) , ξ(i) = 1/2 n−i . 

z [j] 

i = (θ i ) j z [0] 

i , i = 1, 2, · · · , n, 

53

Более того, если z [0] = (z [0] 

1 , z [0] 

2 , · · · , z [0] 

n ) ⊤ ∉ {z : M(z) = 0}, то имеют место соотношения 

z [j+1] 

i 

= q i,j z [j] 

i , |q i,j − θ i | → 0, j → ∞ 

. 

Доказательство. Очевидно, что для последней компоненты в (34) имеем θ n = 1/2, 

z n [j] = (1/2) j z n [0] . Из (34) следует, что 

z [j+1] 

n−1 

= z [j] 

n−1/2 + z [0] 

n (1/2) j /4z [j] 

n−1. 

Полагая z [j] 

n−1 = θn−1z j n−1, [0] θ n−1 = (±1/ √ 2), получаем необходимую связь между начальными 

данными 2(z [0] 

= 0 (компоненту вектор-функции M(z)). Дальнейшие 

n−1) 2 (± √ 2−1)−z n 

[0] 

рассуждения очевидны. Для того, чтобы доказать соотношения |q i,j − θ i | → 0, j → ∞, 

для случая когда, начальные данные процесса (34) не лежат на нужном многообразии. 

Для определенности пусть θ n−1 = (1/ √ 2). Произведем замену z [j] 

n−1 = ( √ 2) j ξ j . Получим 

последовательность 

ξ j+1 = ( √ 2/2)ξ j + z [0] 

n /4ξ j , 

Неподвижная точка отображения ξ = ψ(ξ) = ( √ 2/2)ξ + z n [0] /4ξ здесь определяется из 

равенства ξ 2 (1 − √ 2/2) = z n [0] /4. Производная dψ(ξ)/dξ в неподвижной точке не зависит 

от начальных данных. Ее модуль равен числу | √ 2 − 1| < 1. Дальнейшие рассуждения 

аналогичны. Лемма доказана. 

Для исходной системы (26) скорость сходимости метода Ньютона при сделанных предположениях 

определяется величиной θ 1 . 

В общем случае скорость сходимости зависит для систем (26) от сочетания индексов 

пучков матриц λG + A 1j , где A 1j = ∂A 0 (x)/∂x j , j = 1, 2, · · · , n, A 0 (x) = G + ∂H(x)/∂x. 

Рассмотрен ряд случаев при n = 2, 3. Оказалось, что константы, определяющие скорость 

сходимости, являются корнями некоторых квадратных и кубических уравнений соответственно. 

Для произвольных систем вида (1) ситуация еще сложнее. Рассмотрим пример, указанный 

профессором J.Sand’ом 

F (x) = (x m 1 − x l 2 = 0, x k 2 = 0) ⊤ . 

где m, l, k− натуральные. Применяя (32), получим итерационный процесс 

x [j+1] 

1 = µx [j] 

1 + νx [lj] 

2 /x [(m−1)j] 

1 , x [j+1] 

2 = κx [j] 

2 , 

где µ = (m − 1)/m, κ = (k − 1)/k, ν = (k − l)/km. Если начальные данные удовлетворяют 

условию (x [0] 

1 ) m (ρ − µ) = ν(x [0] 

2 ) l , ρ = κ l/m , то мы формально получаем сходимость 

по первой компоненте в виде геометрической прогрессии x [j+1] 

1 = x [0] 

1 ρ j ρ = κ l/m . Но эти 

последовательности не всегда являются устойчивыми. В частности, если µ/ρ > 1, устойчивой 

является другая последовательность вида x [j+1] 

1 = µx [j] 

1 . Это было выявлено при 

численных экспериментах. 

В заключение параграфа подчеркнем, что в работе не ставился вопрос о восстановлении 

квадратичной сходимости. По этому вопросу есть обширная литература (си. например 

[5]) 

54

6. Заключение 

Исследования, результаты которых изложены выше, проведены для решения проблем, 

возникших при изучении нелинейных ДАУ 

G(t, y, ẏ) = Aẏ(t) + f(y(t), t) = 0, t ∈ [−1, 1], (35) 

где A − (n × n)- матрица, f : R n × [−1, 1] → R n , y(t)-искомая вектор-функция, ˙ = d/dt. 

Предполагается, что det A = 0 и входные данные обладают достаточной гладкостью. ДАУ 

(35) ставится в соответствие i-продолженная система 

{ G(t, y, ẏ), dG(t, y, ẏ)/dt, · · · , d i G(t, y, ẏ)/dt i } = G(t, y, ẏ, · · · , y (i+1) ) = 0, (36) 

и допускается, что в окрестности некоторой точки из R (i+2)n+1 , удовлетворяющей уравнению 

G(0, c 0 , c 1 , · · · , c i+1 ) = 0, 

начиная с некоторого i = k, определено гладкое неособенное преобразование W системы 

(36) со свойством 

W ◦ G(t, y, ẏ, · · · , y (i+1) y) = 

= { ẏ + f 1 (y, t), G 1 (t, y, ẏ, · · · , y (i+1) ), f 2 (y, t)} = 0 (37). 

Из системы (37) можно выделить две подсистемы ẏ + f 1 (y, t) = 0, f 2 (y, t) = 0, определяющие 

многообразие решений системы (32). Число k называется индексом ДАУ (35). В 

частности, если выполнены условия 

rankA = rank(A|f(c 0 , 0)), c 0 ∈ R n , rankA = deg det[λA + ∂f(c 0 , 0)/∂y], (38) 

то k = 1: оператор E + (d/dt)[E − AA − ] сводит систему (35) к системе с невырожденной 

матрицей в некоторой окрестности точки (c 0 , 0) при производной. Более того, на некотором 

отрезке (−ɛ, ɛ), ɛ > 0 определено единственное решение системы (35) со свойством y(0) = 

c 0 [13]. Но такой подход реализуем не всегда. 

Например, пусть ДАУ (35) имеет вид 

( 1 1 

2 2 

) 

ẏ(t) + 

( 

y1 y 2 

y 2 1 + y 2 2 

) 

= 0, y 1 (0) = y 2 (0) = 1. (39) 

Здесь y 1 (t) = y 2 (t) = 2/(2 − t) и других решений нет. Легко проверить, что при любом i 

гладкого преобразования W для продолженной системы (39) не существует. Рассмотрим 

произведение 

[( ) 1 0 

+ (c 

0 0 1 , grad) 

= 

( )] 0 0 

◦ 

−2 1 

[( ) ( )] 

1 1 y1 y 

ẏ + 2 

2 2 y1 2 + y2 

2 = 

( ) ( ) 

1 1 y1 y 

ẏ + 

2 

= 0. (40) 

0 0 α(y 1 − y 2 

где α = c 1,1 − c 1,2 . Новая система (40) удовлетворяет условиям (38), если α ≠ 0. Одной из 

задач здесь является построение регулярной процедуры, сводящей систему (35) к системе, 

для которой по i-продолженной системе (36) можно построить систему (37). 

55


[1] Красносельский М.А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. - M.: 

Наука, 1969. 

[2] Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений 

со многими неизвестными. - М.: Мир, 1975. 

[3] Арутюнов А.В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М: Факториал, 

1997. 

[4] Измаилов А.Ф., Третьяков А.А. 2-регулярные решения нелинейных задач. - М.: Издательская 

фирма "Физико-математическая литература", 1999. 

[5] Брежнева О.А., Измаилов А.Ф. О построении определяющих систем для отыскания 

особых решений нелинейных уравнений// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2002, 

Т.42, N 1, C.10-22. 

[6] Брежнева О.А., Евтушенко Ю.Г., Третьяков А.А. Теория p-регулярности и малого 

параметра Пуанкаре // Доклады академии наук, 2006, Т.411, N 6, C.727-731. 

[7] Bulatov M.V., Chistykov V.F. On multiple solutions of nonlinear equations // Вычислительные 

технологии и Вестник КазНУ им. Аль-Фараби. Серия математика, механика, 

информатика: совместный выпуск по материалам международной конференции "Вычислительные 

и информационные технологии в науке, технике и образовании", (7 - 9 

октября). Часть I. т.9, 2004, с. 22-29. 

[8] Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных 

уравнений. - Новосибирск: Наука, 1980. 

[9] Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности разностных схем. - М.: Наука, 

1979. 

[10] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.-M: Наука, 1967. 

[11] Булатов М.В. О преобразовании алгебро - дифференциальных систем уравнений. 

//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т.34. N 3. С.360-372. 

[12] Булатов М.В. Редукция вырожденных систем интегральных уравнений типа Вольтерра 

к невырожденным // Изв. вузов. Математика, 1998, №11(438), с. 14-21. 

[13] Чистяков В.Ф. Алгебро - дифференциальные операторы с конечномерным ядром. - 

Новосибирск: Сибирская издательская фирма РАН "Наука", 1996. 

[14] Rall L. Convergence of the process to multiple solutions. Numer. Math., 9, 1966, p.33-37. 

[15] Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых 

отображений. - 2-е изд. испр.- М.: МЦНМО, 2004. 

56

ON THE PROPERTIES OF FINITE-DIMENSIONAL SYSTEMS OF 

NONLINEAR EQUATIONS WITH MULTIPLE SOLUTIONS 

M.V.Bulatov, V.F.Chistyakov 

Institute of System Dynamics and Control Theory SB RAS, Irkutsk 

e-mail: mvbul@icc.ru, chist@icc.ru 

Abstract. Systems of nonlinear equations of the form F (x) = 0, whose Jacobean is degenerate on 

the solution, are considered. Definitions of the value of solution’s multiplicity are introduced for such 

problems. A relationship between the values of solution’s multiplicity and the values of the index 

of matrix pencils has been determined; comparing with known definitions of multiplicity has been 

conducted. 

Key words: nonlinear system of equation, multiple solution, index, pencil of matrices, semi-inverse 

matrix, differential-algebraic equations. 

57

ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ КРИВИЗН МНОГОГРАННЫХ АП- 

ПРОКСИМАЦИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ПОЛЯРНЫХ 

МНОГОГРАННИКОВ 1 

В.А. Гаранжа, ВЦ РАН, Москва 

e-mail: garan@ccas.ru 

Аннотация. Принцип двойственности (или метод исчерпывания) для вычисления длины дуги 

и площади выпуклых областей был предложен древнегреческим геометром и механиком Архимедом 

в работе “Измерение круга”. По сути, он предложил численный метод вычисления длины 

дуги и площади круга, используя последовательность вписанных и описанных многоугольников, 

в результате чего удалось доказать сходимость численной аппроксимации и получить двусторонние 

оценки решений. В данной работе показано, что все более подробная последовательность 

пар локально полярных многогранников позволяет строить кусочно-аффинную аппроксимацию 

сферического гауссова отображения поверхностей, получать сходящиеся поточечные аппроксимации 

средней и гауссовой кривизны, а также строить дискретные аналоги мер изгибания 

поверхности. 

Ключевые слова: полярные многогранники, дискретные кривизны, поверхности ограниченной 

кривизны, энергия изгибания. 

1. Дискретные функционалы кривизны и поверхности ограниченной кривизны 

Одна из трудных задач современной геометрии - это задача приближения нерегулярных 

поверхностей многогранниками. В смысле внутренней геометрии эта задача была 

полностью решена в работах А.Д. Александрова и его школы[1], в которых были предложены 

методы построения “правильных” приближений многообразий ограниченной кривизны 

многогранными многообразиями. Однако эти результат не позволяют рассмаривать 

вопрос о “правильном” приближении поверхности многогранником. Класс поверхностей, 

для которого нужно построить аппроксимирующую многогранную поверхность, вполне 

ясен - это класс поверхностей ограниченной внешней кривизны [2], [3], [4], [5]. 

Определим меры кривизны для нерегулярной поверхности M, которые можно ввести в 

результате предельного перехода при помощи построения последовательности многогранных 

поверхностей P k . Данные поверхности: а) сходятся поточечно к M при k → ∞; б) 

сходятся к M равномерно в смысле внутренней метрики, причем положительные и отрицательные 

кривизны P k сходятся к положительным и отрицательным кривизнам M в 

слабом смысле; в) сферические отображения P k сходятся к сферическому отображению 

M в слабом смысле. В такой постановке задача приближения до сих пор не решена [6]. 

Расмотрим функционалы кривизны, которые потенциально могут быть и спользованы 

для исследования подклассов поверхностей ограниченной внешней кривизны. Пусть M - 

регулярная двумерная поверхность в R 3 . Рассмотрим функционал 

E g (M) = 1 ∫ 

g(A) dσ, g(A) | det A|, (1) 

2 

M 

1 Работа выполнена при поддержке Отделения математических наук РАН, проект ОМН-03 

58

где dσ - элемент площади, A ∈ R 2×2 - матрица оператора формы, или тензор кривизны 

поверхности, задаваемый равенством 

A = G −1 T, 

где G и T - это матрицы первой и второй фундаментальной форм, соответственно, а g(A) 

- некоторая плотность меры кривизны поверхности. Из ограниченности энергии E g (M) 

следует, что абсолютная (гауссова) кривизна поверхности M ограничена сверху. 

Матрица A есть не что иное как 

матрица якоби сферического отображения 

µ. Напомним, что сферическое 

отображение сопоставляет 

каждой точке p на регулярной поверхности 

M точку на единичной 

сфере S 2 , куда попадает единичная 

нормаль ν(p). Нормальное изображение 

окрестности точки p получается, 

если все нормальные лучи, 

выходящие с поверхности, продолжить 

до пересечения с плоскостью, 

ν 

p 

ψ(p) 

Рис. 1: а) Сферическое и нормальное изображение , 

б) нормальный график над поверхностью. 

проходящей через p + ν(p) и ортогональной вектору ν(p) (см. рис. 1 а)). 

Будем говорить, что многогранная поверхность P h является нормальным графиком над 

M, если проекция ψ поверхности M на P h вдоль нормалей к M является гомеоморфизмом, 

что показано на рис. 1 б). 

В качестве меры изгибания регулярной поверхности можно использовать функционал 

E 2 (M) = 1 2 

∫ 

M 

tr(A T A) dσ 

Абсолютный минимум этого функционала достигается на сфере. Ясно, что среднеквадратичная 

энергия изгибания E 2 непригодна для описания свойств нерегулярных поверхностей, 

поскольку она принимает принимает бесконечное значение на многогранниках. 

Если дискретная энергия изгибания мажорирует внешнюю абсолютную гауссову кривизну 

многогранника и остается ограниченной при измельчении триангуляции, то можно 

ожидать, что поверхность, к которой сходится эта триангуляция, будет поверхностью 

ограниченной кривизны. 

Таким образом, наряду со среднеквадратичной кривизной, необходимо рассматривать 

другие меры внешней кривизны поверхности, которые определены для многогранников 

и позволяют сравнивать между собой нерегулярные поверхности. В качестве таких мер 

можно использовать, например, следующие функционалы: 

∫ 

E 1 (M) = ( ( tr(A T A) ) 1 2 

+ | det A|) dσ (2) 

M 

p 

P 

и 

где ε > 0 - постоянная. 

M 

E ε (M) = 1 √ 

2 

∫ 

M 

tr(A T A) (ε + | det A|) 1 2 

(ε + tr(A T A)) 1 2 

dσ, (3) 

59

Рассмотрим метод построения дискретной энергии изгибания и функционалов кривизны, 

которые были бы применимы для нерегулярных поверхностей, включающих в 

себя многогранные поверхности. 

2. Принцип двойственности в задаче приближения поверхности многогранниками 

Рассмотрим двумерный параболоид 

P = {x 3 = u(x 1 , x 2 ), u(x 1 , x 2 ) = 1 2 (h 11x 2 1 + 2h 12 x 1 x 2 + h 22 x 2 2)} 

Будем иcпользовать верхний индекс l для обозначения векторов из R 3 , а величины без 

индекса l - для двумерных векторов, являющихся проекциями векторов из R 3 на плоскость 

x 3 = 0. Функцию u удобно записывать в виде u(p) = 1 2 pT Hp, где матрица H - это матрица 

оператора формы (тензор кривизны) параболоида P в начале координат. 

а) б) 

Рассмотрим фрагмент вы- 

пуклой многогранной поверхности 

P h , вписанной в эллиптический 

параболоид. Грани 

l 

f o l F 

i 

i 

k 

этого многогранника, инци- 

p l 

j 

p p 

q 

i 

j 

k 

p 

pj+1 

l 

j+1 

Рис. 2: а) Многогранник, вписанный в эллиптический параболоид, 

вершина и двойственная грань, б) двойственная грань и 

нормальное изображение вершины. 

Q i 

p 

i 

q 

k 

дентные точке p l i = 0, показаны 

на рис. 2 а). При этом 

плоскость x 3 = 0 является 

касательной в нуле. Касательные 

плоскости, проходящие 

через вершины p l j ребер 

многогранника, инцидентных 

p l i, вырезают на плоскости 

x 3 = 0 выпуклый многоугольник 

Q i , являющийся гранью 

двойственного (полярного) многогранника Ph ⋆ , описанного вокруг того же параболоида. 

Обозначим через V(p l i) совокупность номеров вершин P h , принадлежащим ребрам, инцидентным 

p l i, а через V(g) совокупность номеров вершин грани g. 

Для вершины p l i можно построить нормальное изображение, т.е. выпуклый многоугольник 

F i на плоскости x 3 = 1, вершины которого расположены в точках пересечения плоскости 

x 3 = 1 с прямыми, проходящими через точку p l i и ортогональными граням, инцидентным 

p l i. Многоугольники Q i и F i показаны на рис. 2 б). 

Рассмотрим вершину qk l многоугольника Q i. Вектор qk l можно найти как решение линейной 

системы 

n l (p l i) T (qk l − pl i) = 0 

n l (p l j) T (qk l − (4) 

pl j) = 0, j ∈ V(G k ), i ≠ j 

где n l - векторы нормалей к параболоиду. Т.е. p l j - это вершины некоторой грани G k ∈ 

star(p l i), инцидентной вершине p l i. 

Линейная система (4) является невырожденной. В качестве вектора n l можно взять 

градиент функции x 3 − u(x 1 , x 2 ) = 0, т.е. 

( 

n l (p l −Hpj 

j) = 

1 

) ( 0 

, n l (p l i) = 

1 

60 

) 

.

Таким образом, систему (4) можно записать в виде 

или 

(−Hp j ) T (q k − p j ) − u(p j ) = 0, 

(Hq k ) T p j = u(p j ), j ∈ V(g k ), i ≠ j (5) 

Легко проверить, что если число уравнений в системе (5) превышает число неизвестных, 

она остается совместной. Найдем теперь вершину f l k многоугольника F i. Ее координаты 

являются решением линейной системы 

Откуда получаем 

n l (p l i) T (f l k − p l i) = |n l (p l i)|, (p l j − p l i) T (f l k − p l i) = 0, j ∈ V(g k ), i ≠ j (6) 

Из уравнений (5), (7) следует равенство 

p T j f k + u(p j ) = 0, j ∈ V(g k ), i ≠ j (7) 

f k = −Hq k , (8) 

которое справедливо для всех вершин многоугольника F i . Таким образом, доказана теорема: 

Теорема 3. Многоугольники F i и Q i аффинно эквивалентны, т.е. Q i = φ ⋆ i (F i ), и матрица 

якоби аффинного отображения φ ⋆ i совпадает с −H, где H - тензор кривизны параболоида 

P в начале координат. 

Заметим теперь, что при выводе равенства f k = −Hq k нигде не использовался тот факт, 

что матрица H является положительно определенной, и формально оно справедливо для 

произвольной матрицы H. Требуется лишь, чтобы матрица, составленная из векторов p j , 

имела бы полный ранг. Таким образом, принцип двойственности для вычисления тензора 

кривизны можно использовать и для гиперболического параболоида, показанного на 

рис. 3. 

Из принципа двойственно- а) б) 

сти следует, что грани G k 

fk 

l 

многогранника P h , инцидентной 

p l i, соответствуют верши- 

Fi 

oi 

l 

ны qk 

l и f k l. Если грани G m 

и G k имеют общее ребро, то 

вершины qm l и qk l следует соединять 

отрезком, также как 

и вершины fm l и fk l . Эти рассуждения 

можно применить 

и в том случае, когда граница Рис. 3: а) Многогранник, вписанный в гиперболический параболоид, 

вершина и двойственная грань, б) двойственная грань 

F i и Q i - самопересекающаяся 

ломаная. Ясно, что в таком и нормальное изображение вершины. 

случае вершину p l i следует считать вырожденной, поскольку многогранник P h плохо приближает 

параболоид P в ее окрестности. 

Условие, что P h является вписанным многогранной поверхностью, а Ph 

⋆ - описанной, 

является частным случаем отношения полярности относительно параболоида [7]. Как известно, 

отношения полярности многогранников можно ввести, используя произвольную 

p l 

j 

p l i 

q 

k 

l 

p 

j+1 

Q i 

q 

k 

61

поверхность второго порядка S [8]. Если из некоторой точки p выпустить прямые, касательные 

к поверхности второго порядка, то все точки касания будут лежать в одной 

плоскости, которая и называется полярной к данной вершине. Точка p может быть расположена 

так, что касательные к S из нее провести невозможно. Тогда через эту точку 

нужно провести произвольную плоскость Π, через точки пересечения которой с поверхностью 

S, в свою очередь, можно провести касательные, заведомо пересекающиеся в одной 

точке p ⋆ . Поскольку плоскость Π произвольна, точки p ⋆ заметают плоскость, полярную 

точке p. Заметим, что в работах по выпуклому анализу и оптимизации под полярностью 

обычно понимают частный случай полярности относительно единичной сферы. 

Пусть вершины p l j поверхности P h задаются равенствами 

(p l j) 3 = 1 2 pT j Hp j + δ j 

Плоскость грани, полярной точке p l j задается равенством 

(x l ) 3 + (p l j) 3 = p T j Hx 

Предположим, что p i = 0, тогда (p l i) 3 = δ i . Точка fk l , как и ранее, определяется системой 

(6), т.е. 

p T j f k + 1 2 pT j Hp j + δ j − δ i = 0, j ∈ V(G k ), i ≠ j (9) 

в то время как q k задается как точка пересечения плоскостей, полярным вершинам грани 

G k , так что 

(Hq k ) T p j = 1 2 pT j Hp j + δ j − δ i , j ∈ V(G k ), i ≠ j (10) 

Таким образом f k = −Hq k , и тем самым доказано, что теорема 3 справедлива для многогранных 

поверхностей, полярных относительно параболоида P , а не только для вписанных 

и описанных поверхностей. 

Пусть G k - грань поверхности P h , параллельная плоскости x 3 = 0. Вершина q l k , двойственная 

этой грани, есть пересечение плоскостей, полярным точкам p l j, которые являются 

вершинами грани G k , причем q k = 0. Рассмотрим нормальное изображение окрестности 

вершины q l k , т.е. многоугольник B k, вершины которого b l j, задаются как решение линейной 


n l (G k ) T (b l j − q l k) = |n l (g k )|, (q l i − q l k) T (b l j − q l k) = 0, i ∈ V(q l j), i ≠ j, (11) 

где n l (G k ) - нормаль к грани G k . Элементарные выкладки показвают, что 

b l j = −Hp l j, 

т.е. доказана теорема 

Теорема 4. Многоугольники B k и G k аффинно эквивалентны, т.е. B k = φ k (G k ), и матрица 

якоби аффинного отображения φ k совпадает с −H, где H - тензор кривизны параболоида 

P в начале координат. 

Рассмотрим теперь произвольную регулярную замкнутую двумерную поверхность M 

и многогранную поверхность P h , вписанную в M. В подходящей системе координат x i поверхность 

можно записать локально как x 3 = f(x 1 , x 3 ), причем справедливо соотношение 

f(x 1 , x 2 ) = u(x 1 , x 2 ) + O(|x| 3 ), h ij = ∂2 f 

∂x i ∂x j 

(0, 0), 

62

т.е. P - это соприкасающийся параболоид поверхности M в точке p l i. Обозначим через F i 

нормальное изображение окрестности точки p l i. Вершины многоугольника F i получаются 

в результате решения линейной системы (6). Построим двойственную поверхность Ph ⋆, состоящую 

из граней, касательных к M. Касательную грань, двойственную к p l i, обозначим 

через Q i . Вершины многоугольника Q i можно найти в результате решения линейной системы 

(4), где n l - нормали к поверхности M. В локальной системе координат они задаются 

формулами 

( ) 

n l (p l −∇f(pj ) 

j) = 

1 

Для вершины qk l двойственной многогранной поверхности P h ⋆ , в свою очередь, можно найти 

нормальное изображение - многоугольник B k , плоскость которого параллельна грани G k , 

двойственной qk l . Вершины многоугольника B k можно найти из уравнения (11). 

Определение 4. Будем говорить, что вершина p l i многогранной поверхности P h является 

регулярной, если двойственный многоугольник Q i и ортогональная проекция многоугольника 

F i на плоскость многоугольника Q i являются звездными относительно точки 

p l i. 

Определение 5. Будем говорить, что вершина qk l многогранной поверхности P h ⋆ является 

регулярной, если грань G k поверхности P h и ортогональная проекция многоугольника 

B i на плоскость грани g k являются звездными относительно точки qk l . 

По существу эти два определения симметричны друг другу. Для невыпуклой поверхности 

такое определение регулярности может оказаться слишком жестким. Вместо этого 

можно ввести понятие слабой регулярности: 

Определение 6. Будем говорить, что вершина p l i многогранника P h является слабо 

регулярной, если двойственный многоугольник Q i и ортогональная проекция многоугольника 

F i на плоскость многоугольника Q i являются простыми многоугольниками и содержат 

p l i внутри себя. 

а) б) 

Рис. 4. а) Триангуляция параболоида и ее проекция на плоскость, б) двойственный многогранная 

поверхность и ее проекция. 

Если многоугольник B k является простым, то можно полагать, что вершина qk l является 

слабо регулярной. На рис. 4 а) показан фрагмент триангулированной многогранной 

поверхности P h , вписанной в эллиптический и гиперболический параболоид, и ее проекция 

на плоскость x 3 = 0. Двойственный многогранная поверхность Ph ⋆ и его проекция 

63

на плоскость x 3 = 0 показаны на рис. 4 б). В случае эллиптического параболоида все 

двойственные грани являются выпуклыми многоугольниками, в то время как в случае 

гиперболического параболоида все двойственные грани Q i являются четырехугольниками 

с вогнутыми сторонами, поворот которых со стороны Q i является неположительным. 

В общем случае уже нельзя утверждать, что многоугольники Q i и F i аффинно эквивалентны. 

Не являются аффинно эквивалентными и многоугольники G k и B k . Построим 

кусочно-аффинные гомеоморфизмы φ ⋆ i : Q i → F i и φ k : G k → B k . Без ограничения общности 

можно считать, что φ ⋆ i и φ k - двумерные отображения. Если все вершины многогранников 

являются регулярными, то их можно триангулировать, просто соединяя их вершиной 

с точкой, относительно которой они являются звездными. В случае слабой регулярности 

нужно использовать более общие триангуляции. Обозначим через T Q 

i триангуляцию многоугольника 

Q i , а через Tk 

G - триангуляцию грани G k . Образами этих триангуляций при 

отображениях φ ⋆ i и φ k являются триангуляции T Q 

i и Tk B . Количество треугольников можно 

уменьшить, если все грани G k являются треугольниками. Тогда отображение φ i : G k → B k 

можно просто считать аффинным. 

Обозначим через −A ⋆ im матрицу якоби аффинного отображения треугольника Tim ⋆ ∈ 

T Q 

i на m-й треугольник Ti 

F , т.е. 

A ⋆ im = −∇φ ⋆ i | T ⋆ 

im 

(12) 

Через −A km обозначим матрицу якоби аффинного отображения треугольника T km ∈ Tk 

G 

на m-й треугольник триангуляции Ti 

B , т.е. 

A km = −∇φ k | Tkm (13) 

Очевидно, что если все вершины многогранных поверхностей P h и Ph ⋆ являются регулярными, 

то при стремлении диаметра граней P h к нулю матрицы A ⋆ im, A km сходятся к 

точному значению тензора кривизны A, т.е. 

A ⋆ im → A(p l i), 

A km → A(ψ ⋆−1 (q l k)) 

где ψ ⋆ - гомеоморфизм, отображающий M на Ph ⋆ вдоль нормалей к M. 

Заметим, что матрицы A ⋆ im и A km в общем случае не являются симметричными. Поэтому 

в качестве главных кривизн нужно использовать сингулярные значения этих матриц, 

а для приближенного построения главных направлений нужно использовать сингулярное 

разложение A ⋆ im и A km . 

На практике точные значения нормалей к поверхности неизвестны. Их можно найти 

приближенно, требуя, чтобы дискретная кривизна поверхности P h была близка к дискретной 

кривизне двойственной поверхности Ph ⋆ . Для того, чтобы сравнение кривизн разных 

поверхностей стало возможным, нужно построить кусочно-линейный гомеоморфизм 

ψ h : Ph ⋆ → P h. После этого меру близости кривизн можно определить следующим образом 

δ(p) = ||∇φ h (ψ h (p)) − ∇φ ⋆ h(p)||, 

где p - точка, лежащая на Ph ⋆ , а функция δ(p) является кусочно постоянной. Здесь || · || 

-фробениусова норма матрицы. 

Теорема 5. Пусть замкнутая многогранная поверхность P h вписана в регулярную замкнутую 

поверхность M и является нормальным графиком над M, реализуемым гомеоморфизмом 

φ. Предположим, что все грани P h - это треугольники, минимальный угол 

64

в которых равномерно ограничен снизу, а длины ребер l j удовлетворяют неравенству 

Ch l j h, 0 < C < 1 

Пусть замкнутая многогранная поверхность Ph ⋆ является нормальным графиком над M, 

реализуемым гомеоморфизмом φ ⋆ , и вершины P h лежат на гранях Ph ⋆. Предположим, 

что все вершины P h и Ph 

⋆ Q 

являются регулярными, а углы всех треугольников из Ti 

и 

равномерно ограничены снизу, и выполнено условие близости кривизн 

T G 

k 

sup δ O(h) 

т.е. для всех k и для каждого треугольника T km ∈ T G 

k 

выполнено 

||A ij ∇ψ h − A ⋆ km|| O(h), 

где T km = ψ h (T ij ), T ij ∈ T Q 

i . Тогда φ и φ ⋆ сходятся к тождественному отображению, и 

||A(p l i) − A ⋆ ij|| O(h), 

||A(ψ ⋆−1 (q l k)) − A km || O(h) 

Можно рассматривать меры близости дискретных кривизн в среднем, т.е. интегралы 

вида 

∫ 

δ 2 (P h , Ph) ⋆ = ||∇φ h (ψ(p)) − ∇φ ⋆ h(p)|| 2 dσ (14) 

P h 

и 

∫ 

δ 1 (P h , Ph) ⋆ = (||∇φ h (ψ(p)) − ∇φ ⋆ h(p)|| + | det ∇φ h (ψ(p)) − det ∇φ ⋆ h(p)|) dσ, (15) 

P h 

где dσ обозначает дифференциал площади поверхности P h . 

Если выполнены условия теоремы 5, но вместо условия близости кривизн в максимальной 

норме справедливо условие слабой близости, т.е. 

δ 2 (P h , P ⋆ h) → 0 при h → 0, 

то можно предположить, что выполняется условие сходимости в среднем 

∫ 

P h 

∫ 

|||A(ψ −1 (p)) + ∇φ h (p)|| 2 dσ → 0, ||A(ψ ⋆−1 (p)) + ∇φ ⋆ h(p)| 2 dσ → 0 (16) 

Если же выполнено условие 

то можно ожидать сходимости интегралов 

∫ 

P ⋆ h 

δ 1 (P h , P ⋆ h) → 0 при h → 0, 

P h 

|(||A(ψ −1 (p)) + ∇φ h (p)|| + | det A(ψ −1 (p)) − det ∇φ h (p)|) dσ → 0 (17) 

65

и 

∫ 

|(||A(ψ ⋆−1 (p)) − ∇φ ⋆ h(p)|| + | det A(ψ ⋆−1 (p)) − det ∇φ ⋆ h(p)|) dσ → 0 (18) 

P ⋆ h 

Таким образом, последовательность многогранных поверхностей, на которой такой 

дискретный функционал ограничен, остается в классе поверхностей ограниченной кривизны 

при измельчении. 

Заметим, что класс поверхностей с ограниченными мерами кривизны в смысле нормального 

изображения является подмножеством липшицевых поверхностей. 

Заметим, что метод вычисления внешних дискретных кривизн можно обобщить и на 

случай поверхности с краем. К тому же принцип двойственности естественно обобщается 

на случай d-мерных поверхностей в (d + 1) мерном пространстве и позволяет построить 

для них дискретную внешнюю кривизну. В частности, доказательство базовых теорем 3 

и 4 по существу не использует тот факт, что d = 2. 

3. Дискретные меры кривизны в случае нерегулярных многогранников. 

Ранее были рассмотрены дискретные меры кривизны для пар двойственных друг другу 

многогранников, все вершины которых являются регулярными. Между тем, многогранник, 

вписанный в регулярную поверхность, может содержать нерегулярные вершины даже 

в том случае, если нормали к граням многогранника сходятся к точным нормалям поверхности 

при измельчении. 

Окрестность нерегулярной вершины p l i триангуляции можно описать как “веер”, т.е. 

конус K + со складками. Нормальное изображение Σ + вершины веера является неодносвязной 

областью, граница которой - самопересекающаяся ломаная, что показано на рис. 5 

а). Поскольку конус K + лежит в одном полупространстве, для него можно построить выпуклую 

оболочку - конус K p + . Нормальным изображением вершины конуса K p + . является 

выпуклый многоугольник Σ + p , показанный на рис. 5 а). жирными линиями. Будем называть 

Σ + p главной компонентой нормального изображения. Главную компоненту можно 

построить и для седловой точки, показанной на рис. 5 б). 

Из веера K − отбрасываются ребра до тех пор, пока не получается каноническое седло 

Kp 

− , нормальным изображением которого является четырехугольник со сторонами неположительного 

поворота, показанный жирными линиями. И наконец, на рис. 5 б) показан 

конус, для которого нормальное изображение не определено. 

Построение главной компоненты фактически означает, что вместо исходной многогранной 

поверхности дискретная кривизна вычисляется для другой поверхности, с тем 

же множеством вершин. Таким образом, даже на регулярной поверхности часть ребер 

аппроксимирующего многогранника лишь мешают правильной сходимости. 

Назовем дискретную меру кривизны, основанную на главной компоненте нормального 

изображения главной компонентой дискретной меры кривизны. 

Когда нормальное изображение F i является самопересекающимся, то его можно разбить 

на простые замкнутые дуги, ограничивающие простые многоугольники, причем направление 

обхода этих многоугольников разное. Если просуммировать площади этих многоугольников 

со знаком, соотвествующим направлению обхода, то получим величину, которая 

при стремлении диаметра F i к нулю сходится к 2π − ∑ θ ij , где θ ij - углы граней 

при i-й вершине, т.е. к внутренней кривизне многогранника. Однако можно суммировать 

66

абсолютные значения площадей, в результате получается величина, которая равна 

area F i p + δ(F i ), δ(F i ) > 0, 

где F p i означает главную компоненту нормального изображения. Для того, чтобы учесть 

форму исходной поверхности, к главной компоненте дискретной меры кривизны, удовлетворяющей 

условию (1), нужно добавить слагаемое, равное 

∑ 

δ(F i ), 

i 

где сумма берется по всем нерегулярным вершинам. 

а) б) в) Заметим, что возможны ситуации, 

+ 

Σ 

Σ − 

когда после фильтрации конусы, соответствующие 

соседним вершинам мно- 

p 

p 

гогранной поверхности, оказываются 

+ 

K 

− 

K 

K 

несовместными. В этом случае полагают, 

что некоторые грани поверхности 

P h совпадают с гранями Ph ⋆ , а их вершины 

являются вершинами конуса. При 

этом нормальное изображение и двойственные 

грани этих вершин разрезаются 

на подобласти. Часть подобластей 

+ 

K 

− 

p 

Kp 

выбрасывается, а дискретные кривизны, 

определенные на других частях, позволяют 

аппроксимировать односторонние 

пределы точных кривизн. 

Рис. 5: Фильтрация триангуляции и главная 

Таким образом, можно сделать вывод, 

что принцип двойственности от- 

компонента нормального изображения. 

крывает возможность исследования сходимости многогранных аппроксимации нерегулярных 

поверхностей. При этом его можно использовать в общем случае d-мерной поверхности 

в (d + 1)-мерном пространстве. 


[1] Alexandrov A.D., Zalgaller V.A. Two-dimensional manifolds of bounded curvature. Trudy 

Mathematicheskogo Instituta Steklova, 63, 1962. English translation: Intrinsic geometry 

of surfaces. Translated Mathematical Monographs 15, American Mathematical Society: 

1967, Zbl.122,170. 

[2] А.Д. Александров. Поверхности, представимые разностью выпуклых функций // 

ДАН СССР. 1950. Т.74. С.613-616. 

[3] И.Я. Бакельман. Дифференциальная геометрия гладких нерегулярных поверхностей 

// УМН. 1956. Т.11. №2. С.67-124. 

[4] Погорелов А.В. Поверхности ограниченной внешней кривизны. Изд. ХГУ, 1956. 

[5] Бураго Ю.Д. О поверхностях ограниченной внешней кривизны // Укр. геом. сборник. 

1968. Т.5-6. С.629-643. 

67

[6] Discrete Differential Geometry, eds., Alexander I. Bobenko, Peter Schröder, John M. 

Sullivan and Günter M. Ziegler. Oberwolfach Seminars 38, Birkhäuser, 2008, 341 P. 

[7] Fenchel W. On conjugate convex functions // Canad. J. Math. 1949. V.1. P.73-77. 

[8] Александров А.Д. Выпуклые многогранники. Москва, Ленинград: Государственное издательство 

технико-теоретической литературы, 1950. 428С. 

COMPUTATION OF DISCRETE CURVATURES USING CONCEPT OF 

POLAR POLYHEDRA 

V.A. Garanzha 

Computing Center RAS, Moscow 

e-mail: garan@ccas.ru 

Abstract. Duality principle for computation of boundary length and area of convex domains was 

introduced by ancient greek geometer and physicist Archimedes. In fact he introduced numerical 

method for computation of arclength and area of a circle via sequence of inscribed and circumscribed 

polygons. This idea allowed to prove convergence of numerical approximations to arclength and area 

and to obtain two-sided error estimates. In this work it is shown that duality principle allows to 

obtain convergent piecewise-affine approximation to spherical Gauss map when regular surface is 

approximated by a sequence of pairs of locally polar polyhedra. As a result on can obtain convergent 

discrete pointwise approximations to mean and Gaussian curvature and to curvature tensor as well as 

convergent discrete approximations to integral curvature measures. 

Key words: discrete curvature, polar polyhedra, surfaces of bounded curvature, bending energy 

68

МЕТОД НОРМАЛЬНЫХ СПЛАЙНОВ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ 

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА В ВЕЩЕСТВЕННОЙ ФОРМЕ 1 

В.К. Горбунов, В.Ю. Свиридов 

Ульяновский государственный университет, Ульяновск 

e-mail: vkgorbunov@mail.ru 

Аннотация. Метод нормальных сплайнов решения обыкновенных дифференциальных и 

интегральных уравнений развивается для задачи численного обращения преобразования Лапласа 

на основе его декомплексификации. Построены канонические образы соответствующих 

интегральных функционалов, представлены результаты решения тестовой задачи. 

Ключевые слова: Преобразрвание Лапласа, декомплексификация, метод нормальных сплайнов, 

преобразование линейных функционалов 


Преобразование Лапласа функции вещественной переменной (оригинала) x(t), заданной 

на полуоси [0, ∞) , в функцию комплексной переменной p 

F (p) = 

∫ ∞ 

0 

e −pt x(t)dt (1) 

(изображение), используется для решения линейных дифференциальных и интегральных 

уравнений [7]. Его применение к исходной задаче относительно функции-оригинала приводит 

к более простой задаче относительно функции-изображения. Это свойство преобразования 

(1) определило его широкое использование при решении обратных задач математической 

геофизики [9]. Однако при решении реальных задач, в частности, обратных задач, 

возникают проблемы, трудные для стандартных подходов к определению оригинала x(t) 

после решения (как правило, численного) относительно изображения F (p). 

Для преобразования Лапласа известна формула обращения Меллина [7] 

f(t) = 1 

2πi 

∫ 

σ+i∞ 

σ−i∞ 

e pt F (p)dp (2) 

и существует множество элементарных и трансцендентных функций F (p), для которых с 

помощью этой формулы получены оригиналы. Однако в сложных случаях изображение 

может не иметь подходящего аналитического представления, оно может получаться при 

численном решении преобразованной задачи, а при решении обратных задач геофизики в 

некоторых случаях в качестве исходных данных используется изображение ˜F (p) некоторой 

физической характеристики исследуемой среды, измеряемой приближённо. В таких случаях 

задача определения оригинала x(t) по приближённо заданному изображению должна 

рассматриваться как некорректно поставленная и решаться численно на основе некоторой 

регуляризации. Известные методы [8, 6] основаны на разложении оригинала в ряды по 

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 7-01-90000 Вьет_а) 

69

ортогональным многочленам (Фурье, Чебышева, Лежандра, Якоби и др.) или на вычислении 

интеграла (2) при помощи квадратурных формул. Они применимы в относительно 

простых случаях, когда изображение F (p) считается точно заданным. При этом в первом 

случае используются значения изображения в целочисленных точках вещественной 

оси, а для вычисления интеграла (2) – значения изображения на сетке некоторой прямой 

комплексной плоскости, параллельной мнимой оси. В реальных задачах выбор значений 

аргумента изображения может диктоваться условиями измерений и быть произвольным. 

Этот произвол естественно использовать для повышения качества численного обращения 

преобразования (1). 

В работах [1, 2, 3, 4, 10, 5, 11] разработан вариационный метод нормальной сплайнколлокации 

(нормальных сплайнов, НС) для линейных интегральных и дифференциальных 

уравнений общего класса, в частности, на бесконечных промежутках и с равномерной 

погрешностью в правой части. Задача обращения преобразования (1) рассмотрена в комплексном 

представлении и с приближённо заданным изображением ˜F (p) в [5]. 

Метод НС заключается в переходе к конечной коллокационной системе равенств и 

определениии элемента минимальной гильбертово-соболевской нормы. Алгоритм метода 

основан на представлении точечных и интегральных функционалов, возникающих при 

дискретизации внешней (для интегрального оператора) переменной, к каноническому виду 

(в виде скалярного произведения). Образы этих функционалов составляют координатную 

систему функций метода НС. Для интегральных уравнений первого рода с равномерной 

погрешностью в правой части решается регуляризующая задача, заключающаяся 

в минимизации квадрата нормы уклонения искомого решения от некоторой пробной 

функции на множестве решений поточечной невязки, определяемой заданным уровнем 

погрешностей [1, 3]. Опыт применения метода НС для вырожденных дифференциальных 

уравнений, представлен в [4, 10, 11]. 

В данной работе представлена схема метода НС для решения задачи численного 

обращения преобразования Лапласа (1) на основе его замены парой вещественных 

интегральных уравнений. Декомплексификация преобразования Лапласа позволяет 

решать задачу численного обращения при произвольном задании значений вещественной 

и мнимых частей изображения F (p) в правой части комплексной полуплоскости 

{p : Re(p) > 0}. Приведено аналитическое каноническое представление интегральных 

функционалов, соответствующих ядрам вещественных интегральных уравнений, эквивалентных 

преобразованию (1). Представлены результаты численного решения тестовой 

задачи. 

1. Преобразование Лапласа в вещественной форме 

Рассмотрим задачу обращения преобразования Лапласа (1) скалярной функции x(t) 

с точно заданным изображением F (p). Для применения метода НС эту задачу следует 

считать разрешимой в гильбертово-соболевском пространстве W l 2[0, ∞) с нормой 

‖x‖ 2 = 

∫ ∞ 

0 

[ 

x 2 (s) + (x (l) (s)) 2] ds. (3) 

Здесь и далее x (l) обозначает произвдную функции x(t) порядка l. 

Метод НС в существующем варианте применим к вещественным уравнениям. Соответственно, 

его применение непосредственно к уравнению (1) возможно, когда используются 

70

значения изображения F (p) при вещественных значениях аргумента p > 0. Этот случай 

реализован в [5]. Отметим, что данное ограничение шире ограничения применения классических 

методов [8, 6], основаных на разложении оригинала в ряды по ортогональным 

многочленам. В этих методах параметр p принимает вещественные целочисленные значения 

p = 0, 1, 2, ..., n, с заданной степенью n полинома, аппроксимирующего оригинал 

x(t). 

Наиболее простой способ распространения метода НС на случай произвольного использования 

иизображения F (p) в правой комплексной полуплоскости – это декомплексификация 

уравнения (1) с помощью формулы Эйлера 

e iω = cos(ω) + i sin(ω). 

Пусть p = σ +iω, тогда e −pt = e −σt [cos(ωt) − i sin(ωt)] . Представим изображение в виде 

F (σ + iω) = F R (σ, ω) + iF I (σ, ω). Подставив эти объекты в (1) и приравняв вещественные 

и мнимые части, получим пару вещественных интегральных уравнений первого рода: 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

∫ ∞ 

0 

∫ ∞ 

0 

e −σt cos(ωt)x(t)dt = F R (σ, ω), 

e −σt sin(ωt)x(t)dt = −F I (σ, ω). 

Таким образом, система двух вещественных интегральных уравнений первого рода 

(4) эквивалентна исходному комплексному уравнению (1). Для применения метода НС к 

этой системе можно ослабить требование принадлежности оригинала x(t) пространству 

W l 2[0, ∞). Достаточно предположить, что существует такое число α ≥ 0, что 

x α (t) ≡ x(t)e −αt ∈ W l 2[0, ∞). (5) 

В соответствии с этим предположением и теорией преобразования Лапласа правые части 

(4) должны быть заданы на некотором множестве комплексной полуплоскости σ > α. 

Если параметр α > 0, то в интегралах (4) следует сделать подстановку 

ˆσ = σ − α > 0, e −σt x(t) = e −ˆσt e −αt x(t) ≡ e −ˆσt x α (t). (6) 

При этом задача обращения преобразования Лапласа относительно функции x α (t) = 

e −αt x(t) будет поставлена в пространстве W l 2[0, ∞). 

Отметим, что декомплексификация преобразования (1) позволяет также рассмотреть 

случай приближенного задания изображения ˜F (p) с поточечной оценкой погрешности, 

аналогично схемам, рассмотренным в [1, 3, 5]. 

2. Задача о нормальном сплайне для системы (4) 

Пусть изображение F (p) задано в точках 

p j = σ j + iω j , σ j > 0, j = 1, n. (7) 

В случае, когда изображение определено для произвольных значений p некоторой области 

G ⊂ {Re(p) > 0}, эти точки могут быть результатом дискретизации некоторой её 

71 

(4)

компактной подобласти (точками коллокаций). Если задача обращения связана с некоторой 

прикладной обратной задачей, то (7) могут быть точками измерений, не связанными 

с математической дискретизацией. 

Метод НС основан на переходе от исходных дифференциальных или интегральных 

уравнений к конечной коллокационной системе уравнений. Для системы уравнений (4) 

при выбранных или заданных значениях (7) это будет система 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

∫ ∞ 

0 

∫ ∞ 

0 

e −σ jt cos(ω j t)x(t)dt = F R (σ j , ω j ), 

e −σ jt sin(ω j t)x(t)dt = −F I (σ j , ω j ), j = 1, n. 

Предполагается, что оригинал x(t) принадлежит пространству W2[0, l ∞). 

Нормальным сплайном системы (8) называется решение этой системы с минимальной 

нормой (3). Обозначим его x n . Если исходная система (4) разрешима, то для любой 

системы точек (7) существует единственный нормальный сплайн. 

Интегралы в левых частях равенств (8) являются линейными непрерывными функционалами 

в W2 l от x(·). По известной теореме Ф.Рисса cуществует каноническое представление 

этих функционалов в виде скалярного произведения, определяемого нормой (3). Это 

значит, что для каждой j−пары интегралов из (8) существует единственная пара функций 

h R j и h I j пространства W2 l таких, что для любой функции x(·) ∈ W2 

l 

⎧ 

∫ ∞ 

∫ ∞ 

[ 

e −σjt cos(ω j t)x(t)dt = h 

R 

j (t)x(t) + (h R j ) (l) (t)x (l) (t) ] dt, 

⎪⎨ 0 

0 

(9) 

⎪⎩ 

∫ ∞ 

0 

e −σ jt sin(ω j t)x(t)dt = 

∫ ∞ 

0 

[ 

h 

I 

j (t)x(t) + (h I j) (l) (t)x (l) (t) ] dt, j = 1, n. 

Далее скалярные произведения, представленные интегралами справа, обозначим, соответственно, 

〈h R k , x〉 и 〈hI k , x〉. 

Поставленная задача о нормальном сплайне в канонической форме есть задача поиска 

точки минимума функционала ‖x‖ при условиях 

〈h R j , x〉 = F R j , 〈h I j, x〉 = F I j , j = 1, n. (10) 

Здесь F R j = F R (σ j , ω j ), F I j = F I (σ j , ω j ). Задача о нормальном решении системы линейных 

уравнений (10) в гильбертовом пространстве имеет решение 

(8) 

x n (t) = 

n∑ 

(u j h R j + u n+j h I j). (11) 

j=1 

Множители {u j , u n+j , j = 1, n}, определяются как решение системы линейных алгебраических 

уравнений, получаемой подстановкой (11) в (8). Матрица этой системы является 

72

матрицей Грама канонических образов {h R j , h I j}. Она имеет блочную структуру 

Γ = 

где элементы блоков суть скалярные произведения 

( ) 

g1 g 2 

g2 T , (12) 

g 3 

g 1 kj = 〈h R k , h R j 〉, g 2 kj = 〈h R k , h I j〉, g 3 kj = 〈h I k, h I j〉, k, j = 1, n. (13) 

3. Каноническое преобразование интегральных функционалов 

Остановимся на проблеме канонического преобразования интегральных функционалов 

системы (8). Эту проблему можно понимать как разрешение вариационных равенств (9). 

Как известно из теории метода НС [2, 3], решение такой задачи представляется через 

функцию Грина G(s, t) краевой задачи, получаемой интегрированием по частям этих равенств. 

Эта симметричная функция может также пониматься как воспроизводящее ядро 

пространства W2[0, l ∞). Такие ядра построены в [3] для значений l = 1, 2 и в [11] для l = 3. 

Мы ограничимся здесь простейшим случаем l = 1, для которого 

G(s, t) = 

{ e −t ch(s), s t; 

e −s ch(t), t < s. 

(14) 

Согласно смыслу воспроизводящего ядра G(s, t) канонические образы интегральных 

функционалов (9) вычисляются [1, 3] по формулам 

h R j (s) = 

∫ ∞ 

e −σ jt cos(ω j t)G(s, t)dt, h I j(s) = 

∫ ∞ 

e −σ jt sin(ω j t)G(s, t)dt. 

0 

0 

Для функции (14) вычисление этих интегралов приводит к формулам 

h R j (s) = 

1 

(σ 2 j + ω2 j )2 − 2(σ 2 j − ω2 j ) + 1 [ 

σj (ω 2 j + σ 2 j − 1)e −s + 

[ 

(1 − σ 

2 

j + ω 2 j ) cos(ω j s) + 2σ j ω j sin(ω j s) ] e −σ js ] , 

h I j(s) = 

1 

(σ 2 j + ω2 j )2 − 2(σ 2 j − ω2 j ) + 1 [ 

ωj (ω 2 j + σ 2 j + 1)e −s + 

[ 

(1 − σ 

2 

j + ω 2 j ) sin(ω j s) − 2σ j ω j cos(ω j s) ] e −σ js ] . 

Коэффициенты соответствующей матрицы Грама (12) вычисляются по формулам, более 

простым, чем скалярные произведения (13): 

g 1 kj = 

∫ ∞ 

e −σ ks cos(ω k s)h R j (s)ds, g 2 kj = 

∫ ∞ 

e −σ ks cos(ω k s)h I j(s)ds, g 3 kj = 

∫ ∞ 

e −σ ks sin(ω k s)h I j(s)ds. 

0 

0 

0 

73

Эти интегралы также имеют элементарные представления, которые мы здесь опускаем 

ввиду громоздкости. 

4. Примеры 

Приведём результаты численного обращения преобразования Лапласа для тестовых 

оригиналов: 1) x(t) = e −t , 2) x(t) = e −t sin(2t), 3) x(t) = sin(t). В таблице 1 представлены 

результаты решения соответствующих задач методом НС и методом разложения в ряд 

Фурье по синусам (РФ) в соответствии с [6]. В качестве коллокационных узлов метода НС 

бралось равномерное разбиение отрезка [−10; 11] прямой, параллельной мнимой оси (при 

Re(p j ) ≡ σ j = σ) с n = 16. В третьей задаче для обеспечения принадлежности искомого 

оригинала пространству W 1 2 [0, ∞) выполнялось преобразование (6) с параметром ˜σ = 0.1. 

В методе РФ строился полином степени 16. Погрешность вычислялась как уклонение 

приближенного решения от точного на сетке отрезка 0 t 7 с шагом 0.01. 

Таблица 1: 

Метод НС 

Задача 

σ 1 2 3 

1.1 1.40e-02 2.80e-02 1.25e-02 

2 7.75e-03 1.55e-02 1.15e-02 

5 4.25e-03 8.42e-03 8.07e-01 

Метод РФ 2.86e-02 3.80e-03 1.36e-01 

Таблица 2: 

Задача 

σ 1 2 3 

0.1 2.42E-02 4.82E-02 2.43E-02 

1.2 6.10E-03 1.22E-02 5.52E-03 

2.3 4.77E-03 9.54E-03 1.07E+00 

3.4 4.28E-03 8.56E-03 6.19E-01 

4.5 4.23E-03 8.46E-03 1.08E+00 

5.6 1.70E-02 2.11E-02 1.13E+00 

6.7 3.45E-03 1.39E-02 1.00E+00 

7.8 3.31E-03 3.72E-02 1.05E+00 

8.9 4.24E-03 3.74E-02 1.07E+00 

10 3.13E-03 5.13E-02 1.09E+00 

10 × 10 3.16E-03 6.33E-03 3.14E-03 

В таблице 2 приведены результаты решения тех же задач методом НС. В каждой из 

первых 10 строк коллокационные узлы в количестве 101 задавались равномерно на одной 

прямой, параллельной мнимой оси, соответствующей значению Re(p j ) = σ, j = 1, 101. 

В последней строке узлы равномерно распределялись на всех этих 10 прямых по 10 

74

узлов на каждой. Погрешность вычислялась как уклонение приближенного решения 

от точного на сетке отрезка 0 t 10 с шагом 0.01. Из этой таблицы видно, что 

задание коллокационных узлов на нескольких прямых при равном числе узлов улучшает 

аппроксимацию решения. 


[1] В.К. Горбунов Редукция линейных интегральных уравнений с равномерной погрешностью 

в правой части - Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1985, т. 25, N2, с. 210–223. 

[2] В.К. Горбунов Метод нормальной сплайн-коллокации - Ж. вычисл. матем. и матем. 

физ., 1989, т. 29, N2, с.212-224. 

[3] В.К. Горбунов Экстремальные задачи обработки результатов измерений. Фрунзе: 

Илим, 1990. 

[4] В.К. Горбунов, В.В. Петрищев, Развитие метода нормальной сплайн-коллокации для 

линейных дифференциальных уравнений – Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003, 

т. 43, N 8, с. 1161-1170. 

[5] В.К. Горбунов, В.Ю. Свиридов, Метод нормальных сплайнов для численного обращения 

преобразования Лапласа – Обратные и некорректные задачи прикладной математики: 

Тр. XIII Байкальской межд. школы-семинара "Методы оптимизации и их 

приложения", Иркутск: Байкал, 2 - 8 июля 2005 года. Том 3: Иркутск, ИСЭМ СО 

РАН. 2005. С. 106 - 111. 

[6] Н.М. Иванов, В.П. Музыченко Экономичный вариант численного обращения преобразования 

Лапласа - Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1983, т. 23, N4, с.992-994. 

[7] В.А. Диткин, А.П. Прудников Интегральные преобразования и операционное исчисление. 

М.: Наука, 1974. 

[8] В.И. Крылов, Н.С. Скобля Методы приближенного преобразования Фурье и обращения 

преобразования Лапласа. М.: Наука, 1974. 

[9] В.Г. Романов Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 

[10] V.K. Gorbunov, V.V. Petrischev, V.Y. Sviridov Development of the normal spline method 

for linear integro-differential equations - Computational Science-ICCS 2003 / P. Slot et 

al. (Eds.). LNCS 2658, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2003, p. 492-499. 

[11] V.K. Gorbunov, V.Yu. Sviridov, The method of normal splines for linear DAEs on the 

number semi-axis – Appl. Num. Math. 2008, doi:10.1016/j.apnum.2008.03.009. 

75

THE NORMAL SPLINE METHOD FOR NUMERICAL INVERSION OF 

LAPLACE TRANSFORM IN REAL FORM 

V.K. Gorbunov, V.Yu. Sviridov 

Ulyanovsk state university, Ulyanovsk 

e-mail: vkgorbunov@mail.ru 

Abstract. The normal spline method for linear ODEs and integral equations is developing for the 

problem of numerical inversion of Laplace transform on the base of its decomplexification. Canonical 

images of corresponding integral functionals are created. Results of solution of a test problem is 

presented. 

Key words: Laplace transform, decomplexification, normal splines, linear functionals 

transformation. 

76

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ ЯВНЫМИ СХЕМА- 

МИ 1 

В.В. Дикусар, Д.В. Старинец 

Вычислительный центр РАН, Москва 

Московский физико-технический институт, г. Долгопрудный 

e-mail: dikussar@ccas.ru, starrynets@mail.ru 

Аннотация. Предлагаются методы и алгоритмы численного интегрирования жестких систем 

на базе явных схем. Введение вспомогательного уравнения позволяет получить решение в 

погранслое без использования асимптотических разложений. Приводятся примеры задач, для 

которых строятся предложенные алгоритмы. 


схемы. 

жесткие ОДУ, дифференциально-алгебраические системы, разностные 


Опыт численного решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 

(ОДУ) привел к выделению так называемых жестких уравнений, которые требуют 

применения специальных методов. 

Учет большого числа параметров при построении математических моделей для различных 

процессов требует для полного описания явления на любом отрезке наблюдения 

функций двух видов: убывающих быстро и медленно. Функции первого типа убывают 

очень быстро, так что большую часть времени наблюдаются функции второго типа, которые 

убывают очень медленно. Однако в любой момент времени сохраняется возможность 

появления быстрозатухающего процесса, описываемого функциями первого типа. 

Такое поведение системы называется жесткостью, а ОДУ, моделирующие процессы 

такого типа, называются жесткими системами уравнений. 

Следует отметить, что жесткость задачи — это свойство математической модели, и она 

не связана с численными методами. Жесткость задачи является отражением того факта, 

что в рассматриваемом объекте протекают разнотемповые процессы. 

Участок быстрого начального изменения фазовой координаты называется пограничным 

слоем. 

Выделение жестких систем уравнений в отдельный класс вызвано трудностями их численного 

интегрирования классическими явными методами. Оказалось, что малый шаг 

интегрирования, используемый в пограничном слое, не может быть увеличен вне пограничного 

слоя, хотя производные становятся существенно меньше. 

Для устранения указанного ограничения были предложены различные численные методы 

[1]-[12], однако и в настоящее время проблема численного решения жестких систем 

остается актуальной. Это связано с увеличением классов решаемых задач, общностью их 

постановки и разнообразием численных методов. Применение высокопроизводительных 

ЭВМ позволило установить, что явление жесткости при моделировании динамических 

систем скорее правило, чем исключение. 

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №06-01-00244). 

77

Отметим также и скрытые формы проявления жесткости. Например, большой класс 

гладких оптимизационных конечномерных задач с трудом поддается решению традиционными 

методами первого и второго порядка из-за овражного рельефа поверхностей уровня. 

Исследование этого явления [2] показало, что трудности связаны с жесткостью системы 

ОДУ, описывающих траекторию наискорейшего спуска. 

Кроме того, жесткими могут оказаться задачи в частных производных, если их решение 

сводится к системе ОДУ. 

В работе [1] для ослабления трудностей, характерных для жестких систем, предлагается 

λ-преобразование. Здесь задача Коши рассматривается как задача продолжения 

решений по параметру. 

Известно, что для численного решения жесткой системы явные методы с локально постоянным 

по времени шагом не подходят, так как их устойчивая реализация накладывает 

непомерные требования на шаг интегрирования h 

h ‖A‖ < 1. 

(∗) 

Здесь A — матрица Якоби правой части (∗), а ‖A‖ — принятая норма матрицы . Для 

жестких систем норма матрицы велика, и ограничение (∗) снижает эффективность явных 

схем и приводит к росту ошибок округления. 

Лебедев В.И. [3] рассматривал явные схемы с переменными шагами по времени и исследовал 

их эффективность. Применение многочленов Чебышева и оптимизация параметров 

явных схем позволили устойчиво интегрировать нестационарные задачи с гораздо большим 

средним временным шагом по сравнению со схемами с постоянным шагом 

В работе [4] на основе методов введения управляющих параметров предложены экономичные 

явные схемы численного решения ОДУ. Указанные методы также используются 

в качестве первого приближения в неявных схемах. При этом появляются возможности 

интегрирования с большим постоянным шагом за счет выбора весовых коэффициентов в 

различных явных схемах. 

В последние годы западными учеными развивалась специальная B-теория численных 

методов для жестких систем. Класс изучаемых систем выделяется важной количественной 

характеристикой правой части, называемой односторонней константой Липшица l [5]. 

Величина l считается имеющей порядок O(1); в то же время классическая константа Липшица 

L или, что почти то же самое, ‖A‖ может быть сколь угодно большой величиной, т. е. 

L ≫ l. Цель B-теории — получение таких оценок точности численного решения, которые 

не зависят от больших констант и выражены в терминах только односторонней константы 

Липшица l. Эти оценки должны зависеть и от гладкости искомого решения. 

Необходимо обратить внимание на то, что в B-теории используется погрешность согласования 

вместо погрешности аппроксимации в классической теории. Эту величину оценить 

более трудно. Кроме того, установление B-аппроксимации нетривиально, и некоторые схемы, 

аппроксимирующие уравнение в обычном смысле, В-аппроксимацией не обладают. 

Таким образом, применение B-теории для конкретной задачи требует дополнительной 

теоретической работы по установлению аппроксимации и согласования. После этого выбираются 

неявные схемы с соответствующими коэффициентами. К этой работе добавляются 

трудности, связанные с применением неявных схем для случая плохо обусловленной матрицы 

Якоби. 

Асимптотическая теория жестких систем предложена Р.П. Федоренко [6]. 

Уравнения, содержащие малый параметр при старшей производной, называют сингулярно 

возмущенными. Они образуют класс жестких систем, на котором удобно про- 

78

водить теоретические исследования с целью определения эффективности численных методов, 

предназначенных для интегрирования жестких систем. Это возможно благодаря 

достижениям в асимптотической теории, теории разностных схем и простоте анализа качественного 

поведения траектории рассматриваемой задачи. 

Одним из направлений современного математического анализа является изучение малых 

возмущений различных задач. При этом особое внимание уделяется сингулярным возмущениям, 

при которых свойства допредельных задач качественно отличаются от свойств 

предельных [7]. 

Отметим, что малое возмущение некоторой задачи чаще всего обусловлено одной из 

следующих причин: погрешность исходных данных или малость тех или иных компонент 

в математической модели. Тип малого возмущения определяет и основные цели исследования 

и роль предельной задачи. 

Для возмущений первого типа предельная задача самоценна, а ее возмущение — неизбежное 

зло, с которым надо бороться различными способами, возможно и далекими от 

методов, характерных для исходной задачи. Здесь главное — построить приближение исходной 

задачи в том или ином смысле. При этом решение вспомогательной задачи может 

качественно отличаться от искомого, и в любом случае нет необходимости находить приближенные 

решения точнее, чем тот уровень погрешности, который гарантируется теорией. 

Сингулярно возмущенные задачи такого рода характерны для теории некорректно 

поставленных задач. 

При возмущениях второго типа наоборот, “возмущенная” задача является исходной, 

требующей решения, а ее предельная — лишь удобный способ для нахождения приближенного 

решения исходной задачи. Поэтому здесь вопросы сходимости решений возмущенной 

задачи к решениям предельной лишь первый этап, этап определения “нулевого” члена 

приближения, за которым следует задача нахождения следующих поправок, по возможности 

дающих приближение исходной задачи с наперед заданной точностью. Сингулярно 

возмущенные задачи такого типа характерны для асимптотической теории. 

Теория оптимального управления, основы которой были заложены в работах Л.С. 

Понтрягина, Н.Н. Красовского, В.Г. Болтянского, А.А. Милютина, А.Я. Дубовицкого, Р.В. 

Гамкрелидзе, Р. Беллмана, и теория некорректных задач, у истоков которой стояли А.Н. 

Тихонов, В.К. Иванов, М.М. Лаврентьев. Р. Латтес и Ж.-Л. Лионе, появившись почти 

одновременно, развивались во взаимном влиянии и проникновении методов и понятий 

обеих теорий. Например, основные регуляризаторы, такие как регуляризатор А.Н. Тихонова, 

квазирешения В.К. Иванова, метод невязки, являются абстрактными задачами 

оптимального управления. С другой стороны многие задачи оптимального управления 

неустойчивы относительно возмущений данных и тем самым являются некорректными в 

смысле Адамара. Особенно это относится к задачам оптимального управления системами 

с распределенными параметрами. Поэтому работы, посвященные некорректным задачам 

теории управления, принадлежат представителям обеих теорий. 

Асимптотические методы анализа, появившиеся значительно раньше, в развитие которых 

существенный вклад внесли работы Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Митропольского, 

А.Н. Тихонова и А.Б. Васильевой, Л.С. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко и Н.Х. Розова, О.А. 

Олейник, М.И. Вишика и Л.А. Люстерника, Е.А.Гребеникова, О.А. Ладыженской, В.П. 

Маслова и др., с созданием теории оптимального управления получили новый импульс к 

дальнейшему развитию и новую сферу приложения. 

Одним из основных способов применения метода малого параметра к задачам управления 

является построение асимптотических разложений решений систем краевой задачи 

79

принципа максимума Л.С. Понтрягина и его обобщений на задачи управления системами 

с распределенными параметрами. Задачи управления системами с распределенными параметрами 

активно разрабатывались в работах А.Г. Бутковского, Ф.П. Васильева, А.И. Егорова, 

В.Г. Литвинова. К.А. Лурье, Ж.-Л. Лионса, В.И. Плотникова, У.Е. Райтума и др. 

Сингулярные возмущения задач управления часто связаны с наличием малого параметра 

при старшей производной в уравнениях, определяющих динамику процесса. В этом 

случае у решений соответствующих систем могут появиться функции пограничного слоя. 

Теория экспоненциально убывающих функций пограничного слоя, развитая в работах А.Б. 

Васильевой, В.Ф. Бутузова и их учеников, была успешно применена и для исследования 

задач управления. Другой подход к задаче с быстрыми и медленными переменными основан 

на прямом опорном методе и развит в работах Р. Габасова, Ф.М. Кирилловой, А.И. 

Калинина и др. 

Однако в ряде случаев решения вспомогательных задач пограничного слоя имеют нарастающие 

степенные особенности. Такие задачи характерны для областей с негладкими 

границами, а также при наличии малых полостей, тонких щелей и тел и т.п. В последнее 

время они получили название бисингулярных задач. 

Одним из мощных методов построения равномерных асимптотик бисингулярных задач 

является метод согласования асимптотических разложений. Хотя идеи метода высказаны 

Прандтлем еще в 1904 году, а процедура согласования использовалась Ван-Дайком, Л. 

Френкелем и В. Экхаузом, строгое обоснование асимптотических разложений, построенных 

таким методом, особенно для задач с распределенными параметрами, появилось сравнительно 

недавно в работах В.М. Бабича, A.M. Ильина, P.P. Гадылыпина, Л.А. Калякина, 

Е.Ф. Леликовой, Б.И. Сулейманова и др. 

Несколько иными методами исследовались бисингулярные задачи в работах В.Г. Мазьи, 

С.А. Назарова, Б.А. Пламеневского, М.В. Федорюка. 

Проблемам оптимального управления возмущенными системами в последние годы посвящено 

много работ. Так, регулярные возмущения исследовались в работах Л.Д. Акуленко, 

Э.Г. Альбрехта, В.Б. Колмановского, Н.Н. Моисеева, В.А. Плотникова, Ф.Л. Черноусько 

и др. 

Сингулярно возмущенные задачи, чаще всего в постановке “быстрые– 

медленные переменные”, изучались в работах А.А. Белолипецкого, 

В.Г. Гайцгори, М.Г. Дмитриева, А. Дончева, А.И. Калинина, Ю.Н. Киселева, А.Г. Кремлева, 

П.В. Кокатовича, Г.А. Куриной, А.Ю. Рябова, Е.А. Гребеникова и др. 

Бисингулярно возмущенные задачи оптимального управления исследованы существенно 

хуже. Здесь следует отметить работы В.Е. Капустяна. 

При применении вычислительной техники для решения сингулярных задач используются 

конечно-разностные схемы. Традиционные разностные схемы в общем случае теряют 

свойство сходимости при решении сингулярно возмущенных краевых задач. Поэтому возникла 

необходимость в разработке разностных схем, обладающих свойством сходимости, 

равномерной относительно малого параметра. Можно выделить следующие подходы, применяемые 

при разработке численных методов для сингулярно возмущенных задач: 

1) сгущение сеток в пограничных слоях; 

2) подгонка схем к погранслойной составляющей решения; 

3) использование интегральных соотношений и усеченных схем; 

4) применение метода Галеркина с выделением особенностей; 

5) использование сплайнов и метода коллокации [8]. 

ОДУ, не разрешенные относительно производных, называют дифферен- 

80

циально-алгебраическими системами (ДАС) [5, 9]. В конце 70-х — начале 

80-х годов сложились математические школы в СССР (Бояринцев Ю.Е.), 

ГДР (Maerz R.), США (Gear C.W.), специализирующиеся на изучении 

свойств ДАС и построении численных алгоритмов для них. Позднее появился круг 

специалистов и в других странах: Канада (Asher U.), Швейцария (Hairer E., Wanner G., 

Lubich С), Швеция (Lotsted P.), Венесуэла (Aravelo С.) и др. 

Заметим, что ДАС являются основным объектом исследования в задачах оптимального 

управления при наличии смешанных и фазовых ограничений. В 1963 году появилась 

работа А.Я. Дубовицкого и А.А. Милютина, посвященная этой теме. Ссылку на указанную 

работу можно найти в [10]. Трудности исследования и численного решения таких 

задач связаны с алгебраическими ограничениями типа неравенства, а также со структурой 

сопряженной системы ОДУ. Для задач с фазовыми и нерегулярными смешанными 

ограничениями правые части сопряженных ОДУ содержат обобщенные функции. Особую 

трудность при численной реализации представляют траектории, близкие к нерегулярным. 

В этом случае сопряженные уравнения содержат малый параметр при производной, который 

зависит от времени. Кроме того, очень часто встречаются задачи, в которых основная 

система уравнений имеет особенности. Например, задачи динамики полета в скоростной 

системе координат содержат ОДУ, в которых правые части обращаются в бесконечность. 

Последнее означает, что по существу они содержат малый параметр при производной, 

зависящий от времени. 

В настоящей работе рассматриваются вопросы расширения границ применимости 

явных схем для случая жестких систем ОДУ и сингулярно возмущенных уравнений. 

1. Метод экспоненты 

Рассмотрим две задачи Коши: 

dx 

dt = f(x, t), x(0) = x 0, 0 ≤ t ≤ T, x ∈ R 1 , f ∈ R 1 , (1) 

dy 

dt = g(y, t), y(0) = y 0, 0 ≤ t ≤ T, y ∈ R 1 , g ∈ R 1 , (2) 

Применяя явный метод Эйлера к системам (1)–(2) получим 

x n+1 = x n + (y n+1 − y n ) f n 

g n 

, f n = f(x n , t n ), g n = g(y n , t n ), (3) 

x n+1 = x ng n − y n f n 

g n 

+ y n+1 

f n 

g n 

. (4) 

Положим x n = y n , f n = g n , ẏ = −λ n y, λ n > 0. Отсюда, согласно (4), имеем 

x n+1 = y n+1 

f n 

g n 

= y n+1f n 

−λ n y n 

= − f n 

λ n 

exp(−λ n t n+1 ) 

exp(−λ n t n ) . (5) 

С учетом равенства (5) и g n = −λ n y n , y n = x n получаем 

( ) 

fn 

x n+1 = x n exp ∆t , ∆t = t n+1 − t n . (6) 

x n 

81

Пример 1. Нелинейная задача Эдсберга [1]: 

dy 

dt = 2ay2 , y(0) = 10, a = 10 3 , t ∈ [0, 1], 

y n+1 = y n exp(−2ay n ∆t). 

Замечание 1. В случае сложной правой части (1) при x n → 0 полагаем z = 1 + x, 

ż = ẋ. 

Замечание 2. Формула (6) применима также к системе уравнений типа (1) при 

x ∈ R k , f ∈ R k , y ∈ R k , g ∈ R k . 

2. Рунге–Кутта 

Для численного интегрирования задачи (1) часто применяют метод Рунге–Кутта четвертого 

порядка. В целях простоты изложения рассмотрим одну из распространенных 

явных схем 

R 4 [f n ] = 1 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ), x n+1 = x n + R 4 [f n ], 

k 1 = f(x n , t n )∆t, k 2 = f(x n + 0,5k 1 , t n + 0,5∆t)∆t, 

k 3 = f(x n + 0,5k 2 , t n + 0,5∆t)∆t, k 4 = f(x n + k 3 , t n + ∆t)∆t. 

(7) 

Для каждого приближения в систему (7) введем параметр α n из условия 

x n+1 = x n + R 4 [f n ]α n 

x n+1 

x n 

, 

α n x n+1 

x n 

= 1. 

В результате получим 

x n+1 = 

x 2 n 

x n − R 4 [f n ]α n 

, 

α n = x n−1 

x n 

. 

Окончательно имеем 

x n+1 = 

x 3 n 

x 2 n − R 4 [f 4 ]x n−1 

, n = 1, 2, . . . , x(0) = x 0 . (8) 

Для n = 1 значение x 1 можно получить по формуле (6). 

Замечание 3. Схему типа (8) можно также применит и к системе дифференциальных 

уравнений. 

3. Сингулярно возмущенные уравнения 

Рассмотрим систему из двух уравнений 

ẏ = f(x, y), εẋ = g(x, y), x(0) = x 0 , y(0) = y 0 , t ∈ [0, T ]. (9) 

Система (9) является жесткой при малых значениях параметра ε. 

82

К системе (9) применим схемы (7), (8). В результате получим 

y n+1 = y n + R 4 [f n ], x n+1 = 

εx 3 n 

εx 2 n − R 4 [g n ]x n−1 

, n = 1, 2, . . . (10) 

Основная трудность при применении формул (10) состоит в оценке x 1 (x 0 — задано). 

Для получения упомянутой оценки рассмотрим следующую систему 

εẋ = g(x, y), εż = h(z) = −az 2 , a > 0, z(0) = z 0 ≠ 0. (11) 

Применяя к системе (11) явный метод Эйлера, получим 

x 1 = x 0 + (z 1 − z 0 ) g(x 0, y 0 ) 

. (12) 

−az0 

2 

Интегрирование уравнения εż = −az 2 приводит к результату 

1 

z = at 

ε + c, c = 1 , z = εz 0 

, z 1 = 

z 0 ε + atz 0 

Из (12), (13) следует 

( 

) 

ε g(x0 , y 0 ) 

x 1 = x 0 + 

− 1 = x 0 + 

ε + a∆tz 0 −az 0 

εz 0 

ε + a∆tu 0 

, ∆t = t 1 . (13) 

( 

1 − 

Примечание. В формуле (10) y 1 вычисляется по формуле 

y 1 = y 0 + R 4 [f 0 ]. 

) 

ε g(x0 , y 0 ) 

. (14) 

ε + a∆tz 0 az 0 

Замечание 4.Формула (14) позволяет рассматривать произвольно число сингулярных 

уравнений с различными малыми параметрами. 

4. Примеры жестких систем 

Пример 2. 

dy 1 

dt = 77,27(y 2 + y 1 (1 − 8,375 · 10 −6 y 1 − y 2 )), y 1 (0) = 3, 

dy 2 

dt = 1 

77,27 (y 3 − (1 + y 1 )y 2 ), y 2 (0) = 1, 

dy 3 

dt = 0,161(y 1 − y 3 )), y 3 (0) = 2. 

Система (15) описывает знаменитую химическую реакцию с предельным циклом в трехмерном 

случае, так называемый “орегонатор” [1]. Система (15) имеет большую жесткость. 

Приведем простой алгоритм решения системы (15). 

y 1,n+1 = y 1n 

a 1 

+ 1 a 1 

R 4 [77,27(y 1n + y 2n )], 

y 2,n+1 = y 2n 

a 2 

(15) 

a 1 = 1 + 77,27(8,375 · 10 −6 y 1n + y 2n )∆t n , 

+ 1 [ ] 

y3n 

R 4 , a 2 = 1 + (1 + y 1n)∆t n 

, 

a 2 77,27 

77,27 

83

y 3,n+1 = y 3n 

a 3 

+ 1 a 3 

R 4 [0,161y 1n ] , a 3 = 1 + 0,161∆t n . 

Пример 3. Обозначим концентрации трех веществ, участвующих в реакции, через 

u 1 , u 2 и u 3 , тогда 

˙u 1 = −4 · 10 −2 u 1 + 10 4 u 2 u 3 , u 1 (0) = 1, 

˙u 2 = 10 −2 u 1 − 10 4 u 2 u 3 − 3 · 10 7 u 2 2, u 2 (0) = 0, 

˙u 3 = 3 · 10 7 u 2 2, u 3 (0) = 0, t ∈ [0, T ]. 

(16) 

В системе (16) можно ввести малые параметры 

⎧ 

⎪⎨ ε 1 ˙u 1 = −4 · 10 −6 u 1 + u 2 u 3 , ε 1 = 10 −4 , u 1 (0) = 1, ε ˙u 1 = f 1 , 

ε 2 ˙u 2 = 10 −6 u 1 − 10 −3 u 2 u 3 − 3u 2 2, ε 2 = 10 −7 , u 2 (0) = 0, ε ˙u 2 = f 2 , 

⎪⎩ 

ε 2 ˙u 3 = 3u 2 2, u 3 (0) = 0, t ∈ [0, T ], ε ˙u 2 = f 3 . 

Согласно формуле (14) имеем 

[ 

] 

a∆tz 0 (−4 · 10 −6 u 1 (0) + u 2 (0)u 3 (0)) 

u 11 = u 10 + 

, u 1 (0) = u 1 (0), 

(ε 1 + a∆tz 0 ) 

az 0 

[ 

] 

a∆tz 0 [10 −6 u 1 (0) − 10 −3 u 2 (0)u 3 (0) − 3u 2 

u 21 = u 20 + 

2(0)] 

, 

(ε 2 + a∆tz 0 ) 

az 0 

[ 

] 

a∆tz 0 3u 

2 

u 31 = u 3 (0) + 

21 

. 

(ε 2 + a∆tz 0 ) az 0 

(17) 

Далее вычисления проводятся по формуле (10) 

u 1,n+1 = 

ε 1 u 3 1n 

ε 1 u 2 1n − R 4 [f 1n ]u 1,n−1 

, n = 1, 2, . . . 

Аналогичным образом вычисляются u 2,n+1 , u 3,n+1 . 

Замечание 5. В формулах (17) выражение для u 31 содержит в правой части u 21 . 

Последнее связано с тем, что u 2 (0) = 0 и поэтому применение метода Рунге–Кутта 

некорректно. 

Результаты расчетов модельных примеров показали эффективность предложенной 

методики. 


[1] В.И. Шалагпилин, Е.Б. Кузнецов. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая 

параметризация. М.: УРСС, 1999. 

[2] Ю.В. Ракитский, С.М. Устинов, И.Г. Черноруцкий. Численные методы решения 

жестких систем. М.: Наука, 1979. 

[3] В.И. Лебедев. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит, 

2000. 

84

[4] В.В. Дикуcap. Методы теории управления при численном интегрировании обыкновенных 

дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. Минск, 1994. 

Т. 30. №12. С 2116–2121. 

[5] Э. Хайрер, Г. Ваннер. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие 

и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999. 

[6] Р.П. Федоренко. Введение в вычислительную физику. М.: МФТИ, 1994. 

[7] А.Р. Данилин. Сингулярно возмущенные задачи оптимального управления. Автореферат 

докторской диссертации, Екатеринбург, 2000. 

[8] А.И. Задорин. Разностные схемы для нелинейных дифференциальных уравнений с 

малым параметром в ограниченных и неограниченных областях. Автореферат докторской 

диссертации, Новосибирск, 2000. 

[9] М.В. Булатов. Методы решения дифференциально-алгебраических и вырожденных 

интегральных систем. Дисс....докт. физ.-мат. наук Иркутск, 2002. 

[10] А.П. Афанасьев, В.В. Дикусар, А.А. Милютин, С.В. Чуканов. Необходимое условие 

в оптимальном управлении. М.: Наука, 1990. 

[11] А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. Вычислительные методы для инженеров. 

М.: Высш. шк., 1994. 

[12] К. Декер, Я. Вервер. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных 

дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1988. 

METHODS OF INTEGRATION FOR STIFF SYSTEMS USING EXPLICIT 

SCHEMES 

V.V. Dikussar, D.V. Starinets 

Computing Center Of Russian Academy of Sciences, Moscow 

Moscow Institute of Physics and Technology, Dolgoprudny 

e-mail: dikussar@ccas.ru, starrynets@mail.ru 

Abstract. Methods and algorithms based on explicit schemes are proposed for numerical integration 

of stiff systems. Introducing an auxiliary equation makes it possible to derive the solution in the 

boundary layer without using asymptotic expansions. Examples, for which the algorithms proposed 

have been constructed, are given. 

Key words: stiff ODEs, differential-algebraic systems, difference schemes. 

85

О МОДЕЛЯХ РАЗВИВАЮЩИХСЯ СИСТЕМ 

И.В. Караулова, Е.В. Маркова 

Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, Иркутск 

e-mail: krlv@isem.sei.irk.ru, markova@isem.sei.irk.ru 

Аннотация. Рассматривается макроэкономическая модель В.М. Глушкова, которая описана 

системой неклассических уравнений типа Вольтерра. Первая часть работы посвящена применению 

модели к решению задач, связанных с развитием электроэнергетических систем (ЭЭС). 

Во второй части рассматриваются некоторые свойства двухсекторной модели развивающейся 

экономической системы. Выведено условие на начальные данные задачи выпуска продукции, 

обеспечивающее успешное развитие экономической системы. 

Ключевые слова: двухсекторная модель развивающихся систем В.М. Глушкова, неклассические 

интегральные уравнения Вольтерра, задача оптимизации, срок службы. 


Интегральные модели развивающихся систем В.М. Глушкова [4] служат для качественного 

описания экономических систем, т. к. позволяют учитывать возрастную структуру 

производственных мощностей и динамику развития системы на предыстории. 

В первой части работы модель Глушкова применяется к решению задач, связанных 

с развитием электроэнергетики. В серии работ [5], [6], [2] рассмотрены односекторные 

модели развития ЭЭС с разной степенью агрегированности по типам электростанций. В 

данной статье предложена модификация этих моделей, связанная с модернизацией генерирующего 

оборудования. Рассматриваемая во второй части работы двухсекторная модель 

Глушкова связана с решением задач макроэкономики. 

Наша цель — показать применимость этих моделей для описания реальных экономических 

процессов. 

1. Задача оптимизации динамики демонтажа оборудования электростанций и 

ее модификация 

Приложения в электроэнергетике приводят к постановкам математических задач, 

включающих определение оптимальных сроков службы оборудования. Математические 

модели этих задач используют односекторный вариант модели В.М. Глушкова [4] (без 

сектора развития самой системы). 

В работах [3], [5] рассмотрена задача оптимизации развития обобщенной ЭЭС, в которых 

получены существенные прикладные результаты. Воспользуемся постановкой этой 

задачи для формулирования задачи оптимального управления сроками жизни с модернизацией 

устаревшего оборудования. 

Для начала рассмотрим задачу определения такой динамики изменения срока службы 

оборудования), которая, обеспечивая заданную потребность в мощности, минимизировала 

бы суммарные затраты за время [t 0 , T ] на ввод новых и эксплуатацию генерирующих 

мощностей [5]. 

Соответствующая задача оптимального управления заключается в нахождении 

86

где 

I(x(t)) = 

∫ T 

t 0 

a t−t 0 

{ ∫t 

c ∗ (t) = arg min I(x(t)), (1) 

c(t)∈C 

} ∫ T 

u 1 (t − s)u 2 (s)x(s)ds dt + 

a t−t 0 

k(t)x(t)dt, (2) 

t−c(t) 

t 0 

{ 

} 

C = c(t) 

∣ c ≤ c(t) ≤ c, c′ (t) ≤ 1, t ∈ [t 0 , T ] , (3) 

при ограничениях на фазовую переменную x(t) 

∫ t 

β(t, s)x(s)ds = p(t), t ∈ [t 0 , T ] (4) 

t−c(t) 

x(t) = x 0 (t), t ∈ [t 0 − c(t 0 ), t 0 ). (5) 

Первое слагаемое в (2) соответствует эксплуатационным затратам, второе – затратам на 

ввод мощностей за весь прогнозный период. Ограничения (3) на срок жизни диктуются 

физическими соображениями. 

Принятые обозначения: 

x(t) – искомый ввод электрических мощностей, t ∈ [t 0 , T ]; 

β(t, s) – коэффициент интенсивности использования в момент t единицы мощности, 

введенной ранее в момент s; 

p(t) – экспертно задаваемая на перспективу динамика электропотребления (электрической 

нагрузки); 

c(t) – срок жизни самого старого в момент t энергоблока в ЭЭС; 

x 0 (t) – известная динамика ввода мощностей на предыстории [t 0 − c ( t 0 ), t 0 ); 

u 1 (t − s) – коэффициент увеличения в момент времени t затрат на эксплуатацию мощностей, 

введенных в момент s; 

u 2 (t) – удельные затраты на эксплуатацию мощности, введенной в момент t; 

k(t) – затраты на ввод единицы мощности в момент t; 

a t−t 0 

– коэффициент дисконтирования затрат, 0 < a < 1. 

Эти функции, а также c, c, p(t) и установленные мощности x 0 (t) на предысториях 

[t 0 − c(t 0 ), t 0 ) считаются известными. 

Решение этой задачи с изменением различных параметров рассмотрено в работах [3], 

[5]. В данной статье предлагается модификация задачи(1)–(5), связанная с модернизацией 

устаревшего оборудования. А именно, по истечении срока службы предлагается ввести дополнительное 

капиталовложение и, „заморозив“ оборудование на некоторое время, вновь 

ввести его в эксплуатацию без ухудшения технико-экономических показателей функционирования. 

Соответственно, в постановке задачи изменятся функции β(t), u 1 (t − s), c(t) 

и в функционал (2) добавится дополнительное слагаемое, отвечающее за модернизацию 

оборудования. 

Были сделаны расчеты на реальных данных. Момент вливания дополнительных инвестиций 

равен 38 (средний срок службы оборудования), время „заморозки“ – 2 года, срок 

продления эксплуатации – 20 лет. Расчеты показали экономическую эффективность модернизации 

на 1,84%. 

87

В дальнейшем предполагается использовать эту постановку для задачи с разделением 

станций по типам (по видам топлива). Также представляется перспективным 

использование двухсекторной модели В.М. Глушкова, включающей описание сектора 

развития, в котором определяется доля продукции отрасли, направленной на развитие 

этой отрасли (можно считать, что на развитие самой системы идет не электроэнергия, а 

денежные средства, вырученные от ее продажи). В связи с этим, подробнее рассмотрим 

двухсекторную макроэкономическую модель В.М. Глушкова [4] на примере обобщенной 

экономической системы. 

Двухсекторная макроэкономическая модель 

В этой модели функции системы разделяются на внутренние и внешние. Внутренние 

направлены на обеспечение и развитие самой системы (сектор А). Внешние направлены 

на производство внешнего продукта (сектор Б). 

Введем характеристики системы: 

x(t) – общее количество продукта, создаваемого в момент времени t; 

y(t) – относительная доля продукта, созданного в момент t, направляемого на развитие 

самой подсистемы А; 

f(t) – внешняя потребность в продукте в момент t; 

g(t) – функция внешних ресурсов системы; 

β 1 (t, s) – производительность труда в подсистеме А; 

β 2 (t, s) – производительность труда в подсистеме Б; 

a 1 (t) – временн´ая граница выбытия производственных мощностей в А; 

a 2 (t) – временн´ая граница выбытия производственных мощностей в Б. 

Двухсекторная макроэкономическая модель описывается системой уравнений 

f(t) = 

∫ t 

a 1 (t) 

β 1 (t, s)x(s)[1 − y(s)]ds, (6) 

x(t) = 

∫ t 

β 2 (t, s)x(s)y(s)ds + g(t), t ∈ [t 0 , T ], (7) 

a 2 (t) 

x(t) 0, (8) 

f(t) 0, (9) 

g(t) 0, (10) 

0 y(t) 1, (11) 

a 1,2 (t 0 ) < t 0 , a ′ 1,2(t) ≥ 0. (12) 

В нижних пределах интегрирования стоят неубывающие функции времени, которые описывают 

динамику выбытия производственных мощностей. Система (6)–(12) имеет смысл 

лишь в том случае, когда искомые функции x(t) и y(t) заданы на предыстории 

где a(t 0 ) = min {a 1 (t 0 ), a 2 (t 0 )}. 

x(t) = x 0 (t), y(t) = y 0 (t), t ∈ [a(t 0 ), t 0 ), (13) 

88

Заметим, что (6)–(13) – смешанная система неклассических уравнений, в которой (6) 

– билинейное уравнение Вольтерра I рода, (7) – билинейное уравнение Вольтерра II рода 

относительно переменной x(t) и I рода относительно переменной y(t). 

Вопросы существования решения систем уравнений Вольтерра I рода с двумя переменными 

пределами интегрирования рассмотрены в монографии А.С. Апарцина [1]. 

Система (6)–(13) малоизучена. 

2. О свойствах двухсекторной модели развивающейся экономической системы 

Рассмотрим несколько примеров. 

1. Пусть в исходной модели (6)–(13) y(t) = 1. Это означает, что весь произведенный 

продукт направляется на развитие самой системы, внешний продукт равен нулю. В этом 

случае модель описывается лишь уравнением второго рода. Зададим длину предыстории 

равной 1 2 . x(t) = 

∫ t 

x(s)ds, t ∈ [ 1 2 , 5 ], (14) 

2 

t− 1 2 

x 0 (t) = t, t ∈ [0, 1 ). (15) 

2 

Решение уравнения с переменными пределами (14) при условии (15) происходит поэтапно. 

Отрезок [t 0 , T ] разбивается на части последовательностью точек 

{ 

max z, если a(T ) > z k−1 , z 0 = t 0 , 

z k = a(z)=z k−1 

z N = T, если a(t) ≤ z N−1 . 

В нашем случае 

z 0 = 1 2 , z 1 = 1, z 2 = 3 2 , z 3 = 2, z 4 = 5 2 . 

Используя аналитический вид решения на предыстории x 0 (t), решаем классическое уравнение 

Вольтерра II рода 

x(t) = 

∫ t 0 

a(t) 

x 0 (s)ds + 

∫ t 

t 0 

x(s)ds 

на отрезке [z 0 , z 1 ). На следующем этапе, для получения решения на отрезке [z 1 , z 2 ), в 

качестве x 0 (t) используется полученное x(t) на [z 0 , z 1 ). Решение (14)–(15) описывается 

формулой 

⎧ 

t, 0 t < 1, 

2 

− ⎪⎨ 

7 8 et−1/2 + t + 1, 1 

t < 1, 

2 2 

− 7 

¯x(t) = 

8 et−1/2 + t + 1 + e t−1 (− 11 + 7t), 1 t < 3, 

8 8 2 

− 7 8 et−1/2 + t + 3 + 2 et−1 (− 11 + 7t) + 8 8 et−3/2 (− 7 16 t2 + 29t 

− 143), 

3 

t < 2, 

16 64 2 

− ⎪⎩ 

7 8 et−1/2 + t + 2 + e t−1 (− 11 + 7t) + 8 8 et−3/2 (− 7 16 t2 + 29t 

− 143)+ 

16 64 

+e t−2 ( 7 

48 t3 − 9 8 t2 + 13t − 11), 2 t < 5. 

4 3 2 

Из рисунка 1 видно, что в точке стыковки предыстории с основным отрезком z 0 решение 

претерпевает разрыв, на [z 0 , z 2 ) решение убывает и на следующих отрезках стремится 

89

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

0.5 1 1.5 2 2.5 3 

t 

Рис. 1: График решения (пример 1). 

к нулю. Решение можно интерпретировать так – несмотря на то, что y(t) = 1 (весь произведенный 

продукт направлен на развитие самой системы), выпуск продукции – функция 

убывающая, т.е. накопленного на предыстории потенциала недостаточно для успешного 

развития системы. 

2. Увеличим длину предыстории в 2 раза: 

x(t) = 

∫ t 

t−1 

x(s)ds, t ∈ [1, 4], (16) 

x 0 (t) = t, t ∈ [0, 1). (17) 

z 0 = 1, z 1 = 2, z 2 = 3, z 3 = 4. 

Решение (7)–(8) дается формулой 

⎧ 

t, 0 t < 1, 

⎪⎨ 

t − 1 

¯x(t) = 

2 et−1 , 1 t < 2, 

t − 

⎪⎩ 

1 2 et−1 + ( t − 2 1)et−2 , 2 t < 3, 

t − 1 2 et−1 + ( t − 2 1)et−2 + (− t2 + 3t − 9 4 2 4 )et−3 , 3 t < 4. 

Из рисунка 2 видно, что в точке стыковки предыстории с основным отрезком z 0 решение, 

как и в предыдущей задаче, претерпевает разрыв. На [z 1 , z 3 ) решение стремится к 

некоторой константе, следовательно, состояние системы стабилизируется с течением времени. 

3. Увеличим длину предыстории до 3 2 . 

x(t) = 

∫ t 

x(s)ds, t ∈ [ 3 2 , 6], 

t− 3 2 

x 0 (t) = t, t ∈ [0, 3 2 ). 

90

1.4 

1.2 

1 

y 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

1 2 3 4 

t 


⎧ 

⎪⎨ 

¯x(t) = 

⎪⎩ 

z 0 = 3 2 , z 1 = 3, z 2 = 9 2 , z 3 = 6. 

t, 0 t < 3, 

2 

− 3 + t + 1 2 8 et− 3 3 

2 , t < 3, 

2 

−1 + t + 1 8 et− 3 2 + ( 7 − 1 8 8 t)et−3 , 3 t < 9, 

2 

− 1 + t + 1 2 8 et− 3 2 + ( 7 − 1 8 8 t)et−3 + ( t2 − 17t 

+ 257 

16 16 64 )et− 9 9 

2 , t < 6. 

2 

18 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

1 2 3 4 5 6 7 

t 


Из рисунка 3 видно, что в точке z 0 решение претерпевает разрыв. На всей области 

определения решение возрастает – это означает, что система развивается успешно. 

4. Пусть длина предыстории равняется 2. 

x(t) = 

∫ t 

t−2 

x(s)ds, t ∈ [2, 8], 

x 0 (t) = t, t ∈ [0, 2). 

91

z 0 = 2, z 1 = 4, z 2 = 6, z 3 = 8. 

⎧ 

t, 0 t < 2, 

⎪⎨ 

−1 + t + e t−2 , 2 t < 4, 

¯x(t) = 

−2 + t + e 

⎪⎩ 

t−2 + (5 − t)e t−4 , 4 t < 6, 

−3 + t + e t−2 + (5 − t)e t−4 + ( t2 − 7t + 2 25)et−6 , 6 t < 8. 

250 

200 

150 

100 

50 

0 

1 2 3 4 5 6 7 8 

t 


Из рисунка 4 видно, что в точке z 0 решение непрерывно, т.к. в этой точке выполнятся 

условие непрерывности стыковки решения на предыстории и на основном отрезке. На 

всей области определения решение возрастает. 

3. Условие, обеспечивающее возрастание искомого решения 

Рассмотрим упрощенный вариант модели (6)–(13): 

x(t) = 

∫ t 

a(t) 

x(s)y(s)ds + g(t), t ∈ [t 0 , T ]. (18) 

Здесь функции y(t), g(t), a(t) считаются заданными. Искомое решение задано на предыстории 

x(t) = x 0 (t), t ∈ [a(t 0 ), t 0 ). (19) 

Рассмотрим условия на исходные данные задачи (18)–(19), при которых искомое решение 

будет возрастающим. Продифференцируем (18): 

Зададим начальное условие: 

x ′ (t) = x(t)y(t) − x 0 (a(t))y 0 (a(t)) + g ′ (t). (20) 

Решением задачи Коши (20), (21) является функция 

x(t) = e 

∫ t ∫ 

y(s)ds 

t 

t 0 

t 0 

x(t 0 ) = x 0 . (21) 

( 

g ′ (s) − a ′ (s)x 0 (a(s))y 0 (a(s)) ) e − s∫ 

∫ t 

y(s)ds y(s)ds 

t 0 ds + 

t x0 e 0 . (22) 

92

Потребуем 

Дифференцированием (22) получим 

x ′ (t) > 0. 

+y(t)e 

∫ t ∫ 

y(s)ds 

t 

t 0 

t 0 

g ′ (t) − a ′ (t)x 0 (a(t))y 0 (a(t)) + x 0 y(t)e 

( 

g ′ (s) − a ′ (s)x 0 (a(s))y 0 (a(s)) ) e − s∫ 

∫ t 

t 0 

y(s)ds 

+ 

∫ t 

y(s)ds y(s)ds 

t 0 ds + 

t x0 e 0 > 0. (23) 

При выполнении условия (23) решение задачи (18)–(19) – возрастающая функция. 

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие полученный результат. 

Пример 1 

x(t) = 

∫ t 

x(s)ds, t ∈ [1, 2], 

t−1 

x 0 (t) = t, t ∈ [0, 1), 

¯x(t) = t − 1 2 et−1 . 


x(t) = 

∫ t 

x(s)ds + 1, t ∈ [1, 2], 

t−1 

x 0 (t) = t, t ∈ [0, 1), 

¯x(t) = t + 1 2 et−1 . 


x(t) = 

∫ t 

x(s)ds + t, t ∈ [1, 2], 

t−1 

x 0 (t) = t, t ∈ [0, 1), 

¯x(t) = t − 1 + 3 2 et−1 . 

В примере 1 функция внешних ресурсов системы g(t) = 0, при этом решение убывает 

к концу отрезка (черная кривая на рис. 5). В примере 2 в качестве внешних ресурсов 

добавляется константа, решение получаем возрастающее (темно-серая кривая на рис. 5). 

В примере 3 в правую часть добавляется линейно-возрастающая функция. Получено 

решение, возрастающее с более высокой скоростью (светло-серая кривая на рис. 5). 

93

5 

4 

3 

2 

1 

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 

t 

Рис. 5: Графики решений для примеров 1, 2 и 3. 

Заключение 

Итак, в работе рассмотрены модификации односекторной и двухсекторной моделей 

типа В.М. Глушкова. Показано, что модернизация отслужившего оборудования позволяет 

получить существенный экономический эффект. На примерах продемонстрированы свойства 

двухсекторной модели развивающейся экономической системы. Выведено условие 

на начальные данные задачи выпуска продукции, обеспечивающее успешное развитие 

экономической системы. 


[1] Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы. 

— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1999. — 193 с. 

[2] Апарцин А.С., Караулова И.В., Маркова Е.В., Труфанов В.В. Применение интегральных 

уравнений Вольтерра для моделирования стратегий технического перевооружения 

электроэнергетики // Электричество. —2005. — № 10. — С. 69–75. 

[3] Апарцин А.С., Маркова Е.В., Труфанов В.В. Интегральные модели развития электроэнергетических 

систем / ИСЭМ СО РАН. Препринт № 1. – Иркутск, 2002. – 

36 с. 

[4] Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Моделирование развивающихся систем. — 

М.: Наука, 1983. — 350 c. 

[5] Иванов Д.В., Караулова И.В., Маркова Е.В., Труфанов В.В., Хамисов О.В. Численное 

решение задачи управления развитием электроэнергетической системы // Автоматика 

и телемеханика. — 2004. — № 3. — С. 125–136. 

[6] Караулова И.В., Маркова Е.В. Об интегральной модели развития электроэнергетических 

систем // Труды Байкальской всероссийской конференции "Информационные 

и математические технологии". — Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2004. — С. 90–96. 

94

ON DEVELOPING SYSTEMS MODELS 

I.V. Karaulova, E.V. Markova 

Melentiev Energy Systems Institute SB RAS, Irkutsk 

e-mail: krlv@isem.sei.irk.ru, markova@isem.sei.irk.ru 

Abstract. Glushkov macroeconomical model, which designed by nonclassical Volterra equations 

system, is consider. Application of model to solving problems, which deal with development of power 

stations, is consider in the first part of paper. Some propeties of two-sector Glushkov model of 

developing economic system are given in the second part. Condition on initial data of production 

problem is deduced. One guarantee successful development of economic system. 

Key words: two-sector Glushkov developing systems models, nonclassical integral Volterra equations, 

optimization problem, lifetime. 

95

АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ШОУОЛТЕРА- 

СИДОРОВА ДЛЯ СИСТЕМ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА 

А.В. Келлер 

Южно-Уральский государственный университет, Челябинск 

e-mail: alevtinak@inbox.ru 

Аннотация. В статье рассмотрено рассмотрено решение задачи Шоуолтера-Сидорова для систем 

леонтьевского типа с необратимым оператором при производной. Рассмотрение начальных 

данных Шоуолтера-Сидорова позволяет расширить спектр практического применения модели. 

Предложен алгоритм численного ее решения, исследована его сходимость. 

Ключевые слова: Задача Шоуолтера-Сидорова, система леонтьевского типа, метод фазового 

пространства, численное решение. 


В [1], [2] предложен численный алгоритм решения задачи Коши 

u(0) = u 0 (1) 

для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 

˙u = Su + g, (2) 

основанный на идеях теории полугрупп операторов. (Здесь S – квадратная матрица порядка 

n). В [3], [4] этот подход был распространен на задачу (1) для вырожденной системы 


L ˙u = Mu + f (3) 

с использованием идей теории вырожденных полугрупп операторов [5]. (Здесь L и M – 

квадратные матрицы, порядка n, причем detL = 0 ). Одним из важных случаев системы 

(3) является хорошо известная система В.В. Леонтьева "затраты-выпуск"с учетом запасов 

(см. в [6]), поэтому в [3] было предложено такие системы уравнений называть "системами 

леонтьевского типа". Простота предложенного в [3], [4] алгоритма обеспечивает высокое 

качество получаемого программного продукта, что выгодно отличает данный алгоритм от 

использовавшихся ранее методов Эйлера, Рунге-Кутта, итерационных и других методов 

(см. библиографию в [7], [8], [9]). Основным недостатком этого алгоритма (как впрочем, 

и всех остальных) является принципиальная неразрешимость задачи (1) для системы (3) 

при произвольных начальных векторах u 0 ∈ R n . Эта трудность преодолевается, например 

в [3], где вектор - функция f : [0, T ] → R n постоянная, введением множества допустимых 

начальных значений, понимаемых как фазовое пространство системы (3). В [4] при снятии 

условия постоянства вектор - функции f налагаются условия согласования f с начальным 

значением u 0 . Заметим, что условия согласования в том или ином виде имеют место и во 

всех других алгоритмах. 

Для условий согласования (как и для построения фазового пространства) необходимы 

проекторы, которые либо выражаются через контурные интегралы от матриц-функций, 

либо являются пределами матричных последовательностей. Ввиду неустойчивости любого 

проектора относительно малых возмущений такое вычисление матрицы проектора 

96

очень затруднительно. Поэтому, например в [10], при построении системы (3), моделирующей 

экономику коммунального хозяйства, пришлось ограничиться малыми городами, 

т.е. такими, где матрицы L и M имеют порядок не больше 10. Именно малость порядка 

матриц L и M сделало возможным вычисление проекторов "вручную". Между тем в современной 

математической литературе существуют попытки теоретического осмысления так 

называемых "неклассических"задач для системы (3) ([11], [12]), основным достоинством 

некоторых является однозначная разрешимость при любых начальных данных u 0 ∈ R n . 

Разработка численных алгоритмов решения таких задач позволит избавиться как от трудоемкого 

построения фазового пространства (и не менее трудоемкой редукции системы 

(3) к системе (2), заданной на нем), так и от трудоемкой проверки условий согласования. 

Основная цель данной статьи - построение алгоритма численного решения задачи 

Шоуолтера - Сидорова [ 

(αL − M) −1 L ] p 

(u(0) − u0 ) = 0 

для системы (3). (Числа α и p вычисляются на первом шаге алгоритма). Статья кроме 

введения и Списка литературы содержит три части. В первой дается теоретическое 

обоснование алгоритма, во второй приведены основные этапы вычислений, в третьей 

приведен пример. 

1. Задача Шоуолтера-Сидорова 

Пусть L и M – квадратные матрицы порядка n, причем detL = 0. Следуя [13], гл. XII, 

п.2, пучок матриц µL − M назовем регулярным, если существует число λ ∈ C такое, что 

det(λL−M) ≠ 0. Заметим, что условие регулярности пучка матриц эквивалентно условию 

L-регулярности матрицы M [3], [4]. Поэтому, как показано в [5], гл. 4, при условии регулярности 

пучка существуют единственным образом определяемые матрицы H, S, M 0 , L 1 , Q 

порядка n, такие, что L-резольвента (µL − M) −1 матрицы M разлагается в ряд Лорана 

(µL − M) −1 = 

p∑ 

µ l H l M 0 (I − Q) + 

l=0 

∞∑ 

µ −l S l−1 L 1 Q (4) 

l=1 

в окрестности бесконечно удаленной точки, причем H – нильпотентная матрица со степенью 

нильпотентности p, Q – идемпотентная матрица, MM 0 , M 0 M, L 1 L и LL 1 – диагональные 

матрицы с нулями и единицами на главной диагонали. Поскольку det(λL − M) ≠ 0, 

то многочлен det(λL − M) = 0 имеет не более n различных нулей, которые расположены 

в круге радиуса a, а значит, при |µ| > a разложение (4) имеет место. Точка ∞ называется 

устранимой особой точкой L-резольвенты матрицы M , если p = 0 в (4); и полюсом 

порядка p ∈ N в противном случае. В дальнейшем, немного отходя от классического 

стандарта, будем называть устранимую особую точку полюсом порядка нуль. Итак, пусть 

пучок µL − M регулярен, и ∞ – полюс порядка p ∈ {0} ∪ N ; тогда можно выбрать число 

α и рассмотреть задачу Шоуолтера - Сидорова 

[ 

R 

L 

α (M) ] p 

(u (0) − u0 ) = 0 (5) 

для системы уравнений леонтьевского типа 

L ˙u = Mu + f (6) 

где R L α (M) = (αL − M) −1 L – правая L-резольвента матрицы M , в отличие от ее левой 

L -резольвенты L L α (M) = L (αL − M) −1 , а f : [0, T ] −→ R n – некоторая вектор-функция. 

97

Решением системы (1.3) называется вектор-функция u 0 ∈ C 1 ((0; T ) ; R n ) ∩ C ([0; T ] ; R n ) , 

удовлетворяющая уравнениям системы. Решение системы (6) называется решением задачи 

(5), (6), если оно вдобавок удовлетворяет уравнениям (5). Имеет место [5, гл.4] 

Теорема 1.1. Пусть пучок µL − M регулярен, p ∈ {0} ∪ N – порядок полюса L - 

резольвенты матрицы M , вектор-функция f : [0, T ] −→ R n такова, что ( L L α (M) ) p 

f ∈ 

C ([0; T ] ; R n ) , а I − ( L L α (M) ) p 

f ∈ C p+1 ((0; T ) ; R n ) ∩ C p ([0; T ] ; R n ) . Тогда при любом 

u 0 ∈ R n существует единственное решение задачи (5), (6), которое к тому же имеет 

вид 

Здесь 

u (t) = − 

p∑ 

q=0 

H q M −1 

0 (I − Q) f (q) (t) + U t u 0 + 

∫ t 

0 

R t−s Qf (s) ds. 

U t = 1 ∫ 

Rµ L (M) e µt dµ, R t = 1 ∫ 

(µL − M) −1 e µt dµ, Q = 1 ∫ 

L L µ (M) dµ 

2πi γ 

2πi γ 

2πi γ 

контур γ = {µ ∈ C : |µ| = r > a} . 

Контурные интегралы не очень удобны в численных расчетах, поэтому в [3], [4] предложен 

другой подход, основанный на аппроксимациях типа Уиддера-Поста [[5], гл. 2]. 

Именно справедлива 

Теорема 1.2.Пусть пучок µL − M регулярен,p ∈ {0} ∪ N – порядок полюса L- 

резольвенты матрицы M. Тогда 

lim k→∞ 

[ ( 

L − 

lim k→∞ 

[ ( 

L − 

) ] −1 k(p+1) 

t 

k(p + 1) M L = U t , 

[ 

lim k→∞ kL 

L 

k (M) ] p+1 

= Q, 

] k(p+1)−1 ( 

L − 

t 

k(p + 1) M ) −1 

L 

t 

k(p + 1) M ) −1 

= R t . 

Теперь пусть пучок µL − M регулярен, p ∈ {0} ∪ N – порядок полюса L-резольвенты 

матрицы M в точке ∞ . Фиксируем T ∈ R + , t ∈ (0, T ) , k ∈ N и положим 

U t k = 

[ ( 

L − 

) ] −1 k(p+1) 

t 

k(p + 1) M L , 

Q k = [ kL L k (M) ] p+1 

, 

[ ( ) ] −1 k(p+1)−1 ( 

) −1 

Rk t t 

= L − 

k(p + 1) M t 

L L − 

k(p + 1) M , 

Выберем вектор u 0 ∈ R n , вектор-функцию f ∈ C p+1 ((0; T ) ; R n ) ∩ C p ([0; T ] ; R n ) и 

построим вектор-функцию 

u k (t) = − 

p∑ 

q=0 

H q M −1 

0 (I − Q k ) f (q) (t) + U t ku 0 + 

∫ t 

0 

R t−s 

k 

Q k f (s) ds. 

98

Теорема 1.3. Пусть пучок µL − M регулярен, p ∈ {0} ∪ N – порядок полюса L - 

резольвенты матрицы M в точке ∞. Тогда существует константа C = C (L, M, T ) ∈ 

R + такая, что ‖u(t) − u k (t)‖ C при всех t ∈ [0; T ], u k 

0 ∈ R n и f ∈ C p+1 ((0; T ) ; R n ) ∩ 

C p ([0; T ] ; R n ). 

Доказательство теоремы основывается на оценках 

взятых из [[5], гл. 2], где β ∈ R + . 

2. Алгоритм решения 

∥ [ kL L k (M) ] ∥ p+1 

p+1 ∥∥ ∑ KCp+1 

k ∥ 

− Q ∥R L 

(p + 1)µ k−1 β p+1−k β (M) ∥ , 

k=2 

∥ U 

t 

k U t∥ ∥ 

(p + 1)K 3 t 2 

∥ ( (βL − M) −1 M ) ∥ 2 ∥ , 

2β p−1 k 

Построение алгоритма начнем с допущения, что detM ≠ 0. Это допущение не ограничивает 

общности предыдущих рассуждений. Действительно, при условии регулярности 

пучка µL − M можно сделать замену u = e λt v в уравнении (3) и перейти к уравнению 

L ˙v = (M − λL)v + e −λt (y + Bu) (7) 

того же вида, что и (3), но det(M − λL) ≠ 0.Обратный переход от решений системы (7) к 

решениям системы (3) очевиден. 

На первом этапе алгоритма нужно найти числа α ∈ R и p ∈ {0}∪N. Можно разумеется, 

разложить L-резольвенту матрицы M в ряд (4) и тем самым сразу же найти эти числа. 

Однако, существует другой менее трудоемкий путь. Рассмотрим многочлен 

det(µL − M) = a n µ n + a n−1 µ n−1 + ... + a 1 µ + a 0 . 

Поскольку a n = detL, то a n = 0. Коэффициент a l есть сумма слагаемых, каждое их 

которых есть произведение одного из миноров порядка l матрицы L на число, l = 1, ..., n− 

1 a 0 = det(−M). Поэтому степень многочлена det(µL − M) не выше rankL, т.е. ранга 

матрицы L. Итак, 

det(µL − M) = a q µ q + a q−1 µ q−1 + ... + a 1 µ + a 0 , 

где q = degdet(µL − M) rankL. Поэтому, если взять число α ∈ R таким, что 

{ 

)} 

|α| > max 

1, |a q | −1 ( q∑ 

l=0 

|α l | 

то det(αL−M) ≠ 0 , и, значит, существует матрица (αL−M) −1 . Далее, считая, что матрица 

M обратима, представим det(µL − M) = detMdet(µM −1 L − I). Зная, что порядок полюса 

в точке ∞ резольвенты (µI − M −1 L) −1 равен нулю, легко найти, что порядок полюса 

L-резольвенты матрицы M в точке ∞ равен n − q. Итак, числа α и p = n − q найдены. 

Тогда находя значение k, с которого можно начинать считать приближенные проекторы, 

получим, что при 

k > 1 n∑ 

|α l | + 1. 

|α| 

l=q+1 

99

мы не сможем оказаться даже вблизи точки L-спектра оператора M. 

Рассмотрим многочлен 

det(µ(p + 1)L − tM) = a q t q µ q (p + 1) q + a q−1 t q+1 µ q−1 (p + 1) q−1 + ... + a 1 t n−1 µ + t n a 0 , 

где a q ≠ 0, q rankL. Тогда, учитывая p = n − q при 

k > 

1 

|a q |(n−q) n−q n∑ 

l=q+1 

k > 

1 

|a q ||t| q (n−q) n−q n∑ 

l=q+1 

|a l | (n − q + 1) n−l + 1, |t| < 1 

|a l | (n − q + 1) n−l |t| l + 1, |t| > 1 

мы не сможем не сможем оказаться даже вблизи точки L-спектра оператора M. 

Теоретическая оценка сходимости не позволяет сделать вывод о точности предлагаемого 

алгоритма. Тем не менее, практические результаты показывают, что уже при 

числе итераций более ста, результаты вычислений дают не менее точные результаты, чем 

неявная схема Эйлера или метод Рунге-Кутта. Последний факт позволяет надеяться на 

развитие предлагаемого подхода как в теоретическом, так и практическом аспектах. 

3. Пример Леонтьева 

Взяв в качестве матриц 

⎛ 

L = ⎝ 

7 

20 

1 

100 

1 

20 

103 

200 

21 

20 

8 

25 

0 0 0 

⎞ 

⎛ 

⎠ M = ⎝ 

3 

4 

−7 

25 

−4 

15 

−1 

5 

10304189 

11996000 

−2 

15 

−11 

20 

−70836357 

119960000 

13 

15 

⎞ 

⎠ 

Если переобозначить L = B, M = I − A, то матрицы B и A пости совпадут с матрицами 

из классического примера [6]. „Почти“ означает, что элементы m 22 и m 23 подобраны специально 

с целью упростить вычисления и отличаются от приведенных в примере чисел 22 

25 

и − 3 252291 

на величины − и 1139643 соответственно. 

5 11996000 119960000 

В.В. Леонтьев рассматривал взаимосвязи между тремя отраслями экономики - сельским 

хозяйством, промышленностью и домашними хозяйствами. Элемент матрицы a ij 

матрицы A означает количество продукции i-ой отрасли необходимой для производства 

единицы продукции j-ой отрасли. Элемент матрицы b ij матрицы B представляет определенный 

технологический запас особого типа благ – машин, механических инструментов, 

промышленных зданий и сооружений, рабочих запасов первичных и промежуточных материалов, 

производимой отраслью, который используется в отасли j для производства 

единицы ее продукции. Другими словами каждый столбец матрицы B описывает потребность 

некоторой отраслив физическом капитале (в расчете на единицу ее валового выпуска) 

таким же образом как соотвтетсвующий столбец матрицы A описывает ее затраты. 

Именно поэтому последняя строка матрицы B содержит только нулевые элементы, так 

как труд невозможно запасти. 

Перейдя к расчету системы (3), найдем L-спектр оператора M σ L (M) = {0, 2; 2, 7}. 

Именно для того, чтобы точки L-спектра были рациональными сделаны поправки элементов 

m 22 и m 23 . Точки L-спектра оператора M в исходном примере иррациональны и 

отличаются от найденных не более чем на одну сотую. 

100

Далее по формулам, приведенным в части 1 данной статьи построим точное и приближенное 

решение. Приведем точное решение и результаты счета по алгоритму без комментариев, 

взяв при этом в качестве f = (2t; 2t; 2t). 

Таблица 1. Точное решение задачи Шоуолтера-Сидорова 

t x 1 x 2 x 3 

0 1 1 0,7692307692 

1/12 1,079594653 1,115125754 0,6545486955 

1/6 1,211221782 1,260474368 0,5698255794 

1/4 1,399261210 1,434354380 0,5156284632 

1/3 1,649051640 1,634491393 0,4925503470 

5/12 1,967129067 1,857877706 0,5012141312 

1/2 2,361526596 2,100584518 0,5422779145 

7/12 2,842149925 2,357527831 0,6164435987 

2/3 3,421246553 2,622172543 0,724463383 

3/4 4,113994781 2,886165457 0,867151766 

5/6 4,939240310 3,138871569 1,04539935 

11/12 5,920418738 3,366797082 1,260189034 

1 7,086710966 3,552864395 1,512617818 

Таблица 2. Приближенное решение задачи Шоуолтера-Сидорова 

t x 1 x 2 x 3 

0 1 1 0,7692307692 

1/12 1,0795957679 1,1151265428 0,6545494099 

1/6 1,2112238218 1,260475827 0,5698269423 

1/4 1,3992644345 1,4343566045 0,5156305665 

1/3 1,6490560881 1,6344943024 0,4925530898 

5/12 1,9671347889 1,8578811956 0,5012174099 

1/2 2,36153371 2,1005887151 0,5422821007 

7/12 2,8421584126 2,3575325354 0,6164483714 

2/3 3,4212567008 2,622177848 0,7244687609 

3/4 4,1140069697 2,8861709037 0,8671579463 

5/6 4,9392549984 3,1388770098 1,0454063117 

11/12 5,9204365728 3,3668021207 1,2601968472 

1 7,0867328788 3,552868403 1,5126263028 

Таким образом, рассмотренный в данной работе алгоритм позволяет чсленно решать 

задачу Шоуолтера-Сидорова с достаточной степенью точности: расхождения в точном и 

приближенном решении начинаются с тысячных долей. 


[1] Б.В. Павлов, А.Я. Повзнер Об одном методе численного интегрирования систем 

обыкновенных дифференциальных уравнений. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 

1973, Т.13, №4, с.1056-1059. 

101

[2] Б.В. Павлов, О.Е. Радионова Численное решение систем линейных обыкновенных 

дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Ж. вычисл. матем. 

и матем. физ., 1994, Т.34, №4, c.622-627. 

[3] Г.А. Свиридюк , С.В. Брычев Численное решение систем уравнений леонтьевского 

типа.// Изв. ВУЗ. Матем., 2003, № 8, c.46-52. 

[4] Г.А. Свиридюк , И.В. Бурлачко Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных 

линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 

//ЖВМиМФ. 2003. Т.43, № 11, c. 1677-1683. 

[5] G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semi-groups 

of Operators.-Utrecht-Boston-Koln-Tokyo: VSP, 2003. 

[6] В.В. Леонтьев Межотраслевая экономика..- М.: Экономика, 1997. 

[7] Ю.Е. Бояринцев Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы.- Новосибирск: 

Наука, 2000. 

[8] В.Ф. Чистяков, А.А. Щеглова Избранные главы теории алгебро-дифференциальных 

систем.- Новосибирск: Наука, 2003. 

[9] Ю.Е. Бояринцев, И.В. Орлова Пучки матриц и алгебро-дифференциальные системы.- 

Новосибирск: Наука, 2006. 

[10] С.В. Брычев Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства 

малых городов.- Дисс. . . . канд. физ.-мат. наук, Челябинский гос. ун-т, 2002. 

[11] Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина Задача Веригина для линейных уравнений Соболевского 

типа с относительно -секториальными операторами.// Дифференц. уравнения, 

2002, Т38, №2, c.1646-1652. 

[12] С.А. Загребина О задаче Шоуолтера-Сидорова.// Изв. ВУЗ. Матем., 2007, № 3, c.22- 

28. 

[13] Ф.Р. Гантмахер Теория матриц, 4-ое издание.// - M.: Наука, 1988. - 552 с. 

A NUMERICAL ALGORIFHM FOR SOLVING SHOWALTER-SIDOROV 

PROBLEM FOR LEONTIEF TYPE SYSTEM 

A.V. Keller 

South Ural State University, Chelyabinsk 

e-mail: alevtinak@inbox.ru 

Abstract. This article is proposing numerical algorithm for solving Showalter-Sidorov problem for 

Leontief type system with noninvertible operator on derivative. By reviewing initial condition of 

Showalter-Sidorov we gain ability to extend range of practical applicability for this model. 

Key words: 

algorithm 

Showalter-Sidorov problem, Leontief type system, method of phase space, numerical 

102

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОПЕРАТОР-ФУНКЦИЯ ВЫРОЖДЕННОГО 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА В БАНА- 

ХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 

О.В. Коробова 

Иркутский государственный университет, Иркутск 

e-mail: ollis@mail.ru 

Аннотация. В статье рассматривается сингулярная система дифференциальных уравнений 

высокого порядка специального вида в банаховых пространствах. Построена матричная 

фундаментальная оператор-функция для вырожденного дифференциального оператора 

(Bδ (N) (t) − ΛAδ(t)). Здесь оператор B фредгольмов или нетеров и имеет полный A-жорданов 

набор, либо оператор A является спектрально ограниченным относительно B. 

Ключевые слова: матричная фундаментальная оператор-функция, обобщенная функция, 

банахово пространство. 


Рассматривается система дифференциальных уравнений N-го порядка вида 

с начальными условиями 

B dN u 

= ΛAu(t) + f(t) (1) 

dtN u(0) = u 0 , u ′ (0) = u 1 , . . . , u (N−1) (0) = u N−1 , (2) 

здесь B, A — замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства E 1 

в банахово пространство E 2 , D(B) = D(A) = E 1 , D(B) ⊂ D(A), u(t) — искомая векторфункция 

(столбец) размерности s, каждая компонента которой u ν (t) является функцией 

со значениями в E 1 , f(t) — заданная вектор-функция (столбец) размерности s, имеющая 

компоненты f ν (t) со значениями в E 2 , ν = 1, . . . , s, оператор B необратим, R(B) = R(B), 

под записью Au(t) понимается вектор-функция (столбец) с компонентами Au ν (t), ν = 

1, . . . , s, Λ — невырожденная квадратная матрица порядка s. 

В работах [1, 2] исследовалась система (1)–(2) в случае N = 1. Результаты, приведенные 

в данной статье, являются обобщением теорем, полученных в [1, 2]. 

1. Основные понятия 

Сведения из теории матриц. Поскольку det Λ ≠ 0, то характеристические числа 

λ 1 , λ 2 , . . . , λ µ матрицы Λ отличны от нуля и тогда элементарные делители матрицы Λ 

имеют вид (λ − λ 1 ) q 1 

, (λ − λ 2 ) q 2 

, . . . , (λ − λ µ ) qµ (среди чисел λ 1 , λ 2 , . . . , λ µ могут быть и 

равные между собой), q 1 + q 2 + · · · + q µ = s. 

Каждому из элементарных делителей (λ − λ i ) q i 

, i = 1, . . . , µ, поставим в соответствие 

103

квадратную матрицу λ i E (qi) + H (qi) порядка q i вида 

⎛ 

⎞ 

λ i 1 0 . . . 0 0 

0 λ i 1 . . . 0 0 

λ i E (qi) + H (qi) = 

⎜ · · · · · · · · · · · · · · · · · · 

⎟ 

⎝ 0 0 0 . . . λ i 1 ⎠ . 

0 0 0 . . . 0 λ i 

Тогда квазидиагональная матрица 

J = { λ 1 E (q 1) + H (q 1) , λ 2 E (q 2) + H (q 2) , . . . , λ µ E (q µ) + H (q µ) } 

и матрица Λ имеют одни и те же элементарные делители, а значит они подобны, т.е. 

существует такая невырожденная матрица T , что 

Λ = T · J · T −1 . 

Матрица J называется жордановой нормальной формой или просто жордановой формой 

матрицы Λ. 

В частности, если все элементарные делители матрицы Λ первой степени (и только 

в этом случае), жорданова форма является диагональной матрицей, и в этом случае мы 

имеем 

Λ = T · diag {λ 1 , λ 2 , . . . , λ s } · T −1 . 

Здесь использованы обозначения и терминология монографии [3]. 

Понятие матричной фундаментальной оператор-функции. В работах [4–8] для 

построения обобщенных решений различных типов вырожденных дифференциальных 

уравнений в банаховых пространствах использовался метод, связанный с построением 

фундаментальной оператор-функции. Идеи этого метода были применены в [1, 2] для 

исследования системы вырожденных дифференциальных уравнений первого порядка и 

будут перенесены в представляемой заметке на систему (1). 

В обобщенных функциях [9] задачу Коши (1)–(2) можно записать в сверточном виде 

как 

( 

Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) ∗ ũ(t) = f(t)θ(t) + Bu 0 δ (N−1) (t) + Bu 1 δ (N−2) (t) + · · · + Bu N−1 δ(t), (3) 

где θ(t) — функция Хевисайда, δ(t) — дельта-функция Дирака. 

Определение. Матричной фундаментальной оператор-функцией E N (t) для дифференциального 

оператора ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) на классе K ′ +(E 2 ) назовем такую матричную 

оператор-функцию, для которой выполняются следующие два равенства 

( 

Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) ∗ E N (t) ∗ ũ(t) = ũ(t) ∀ ũ(t) ∈ K ′ +(E 2 ) (4) 

E N (t) ∗ ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) ∗ ṽ(t) = ṽ(t) ∀ ṽ(t) ∈ K ′ +(E 1 ). (5) 

Если известна матричная фундаментальная оператор-функция E N (t) для дифференциального 

оператора ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) , то система сверточных уравнений (3) имеет единственное 

обобщенное решение в классе K ′ +(E 1 ) вида 

ũ(t) = E N (t) ∗ ( f(t)θ(t) + Bu 0 δ (N−1) (t) + Bu 1 δ (N−2) (t) + · · · + Bu N−1 δ(t) ) . 

104

Покажем единственность решения. Пусть напротив ũ 1 (t) ∈ K ′ +(E 1 ) другое отличное 

от ũ(t) решение. Тогда, учитывая равенства (3), (5) и свойство ассоциативности свертки, 

получаем 

ũ 1 (t) = Iδ(t) ∗ ũ 1 (t) = E N (t) ∗ (Bδ (N) (t) − ΛAδ(t)) ∗ ũ 1 (t) = 

= E N (t) ∗ ( f(t)θ(t) + Bu 0 δ (N−1) (t) + Bu 1 δ (N−2) (t) + · · · + Bu N−1 δ(t) ) = ũ(t). 

Жордановы наборы фредгольмовых и нетеровых операторов. Пусть оператор 

B фредгольмов, т.е. dim N(B) = dim N(B ∗ ) = n, R(B) = R(B), {ϕ i , i = 1, . . . , n} — базис 

в N(B), {ψ i , i = 1, . . . , n} — базис в N(B ∗ ), {γ i ∈ E1, ∗ i = 1, . . . , n}, {z i ∈ E 2 , i = 1, . . . , n} 

— соответствующие биортогональные системы [10], т.е. 〈ϕ (1) 

i , γ j 〉 = 〈z i , ψ (1) 

j 〉 = δ ij , i, j = 

1, . . . , n. 

Введем оператор ˜B ∑ 

= B + n 〈·, γ i 〉z i , тогда по обобщенной лемме Шмидта [10] оператор 

i=1 

Γ = ˜B −1 существует и ограничен. 

Пусть выполнено условие 

A) оператор B имеет полный A-жорданов набор [10] { ϕ (k) 

} 

i , i = 1, . . . , n, k = 1, . . . , p i , т.е. 

существуют элементы ϕ (1) 

i = ϕ i , ϕ (k) 

i ∈ E 1 , i = 1, . . . , n, k = 2, . . . , p i , удовлетворяющие 

соотношениям 

Bϕ (1) 

i 

∥ 

∥〈Aϕ (p i) 

= 0, Bϕ (k) 

i 

∥ 

= Aϕ (k−1) 

i , i = 1, . . . , n, k = 2, . . . , p i , 

причем det i , ψ j 〉 ∥ ≠ 0, i, j = 1, . . . , n; в этом случае существуют функционалы 

{ 

(k) 

} 

ψ i , i = 1, . . . , n, k = 1, . . . , p i , образующие полный A ∗ -жорданов набор оператора B ∗ . 

Если оператор B нетеров, т.е. dim N(B) = n, dim N(B ∗ ) = m, n ≠ m, {ϕ i , i = 

1, . . . , n} — базис в N(B), {ψ j , j = 1, . . . , m} — базис в N(B ∗ ), {γ i ∈ E1, ∗ i = 1, . . . , n}, 

{z j ∈ E 2 , j = 1, . . . , m} — соответствующие биортогональные системы элементов, т.е. 

〈ϕ (1) 

i , γ k 〉 = δ ik , i, k = 1, . . . , n, 〈z k , ψ (1) 

j 〉 = δ kj , k, j = 1, . . . , m, то введем проекторы 

̂P ∑ 

= 

n m∑ 

〈·, γ i 〉ϕ i , ̂Q = 〈·, ψ j 〉z j . Проекторам P и Q соответствует единственный 

i=1 

j=1 

псевдообратный оператор, обозначаемый B + , однозначно определяемый следующим набором 

своих свойств [11]: D(B + ) = R(B) ⊕ {z 1 , . . . , z m }, R(B + ) = N(P ) ∩ D(B), BB + = 

I − Q на D(B + ), B + B = I − P на D(B), причем N(B + ) = {z 1 , . . . , z m }. 

В этом случае будем предполагать выполненным условие 

B) существуют элементы { ϕ (k) 

} 

i , i = 1, . . . , n, k = 1, . . . , p i ∈ E1 и функционалы 

{ 

(k) 

} 

ψ j , j = 1, . . . , m, k = 1, . . . , p j ∈ E 

∗ 

2 , составляюшие полные A- и A ∗ -жордановы наборы 

[12] операторов B и B ∗ соответственно. 

Сведения о спектрально ограниченных операторах. Приведем в удобных для 

дальнейшего исследования обозначениях некоторые сведения из [13, 14]. 

Множество ρ B (A) = { µ ∈ C : (µB − A) −1 ∈ L(E 2 ; E 1 ) } называется B-резольвентным 

множеством оператора A. Оператор A называется спектрально ограниченным относительно 

B, если ∃ a > 0 такое, что при любом |µ| > a оператор (µB − A) непрерывно 

обратим. Пусть γ ≡ {µ ∈ C : |µ| = r > a}, тогда пара операторов 

P = 1 

2πi 

∮ 

γ 

(µB − A) −1 B dµ, Q = 1 

2πi 

105 

∮ 

γ 

B(µB − A) −1 dµ

являются проекторами в E 1 и E 2 соответственно, порождают разложения пространств 

E 1 и E 2 в прямые суммы E 1 = E 0 1 ⊕ E 1 1 = ker P ⊕ im P и E 2 = E 0 2 ⊕ E 1 2 = ker Q ⊕ im Q. 

Действия операторов B и A расщепляются, причем A 0 : E 0 1 → E 0 2 и B 1 : E 1 1 → E 1 2 

непрерывно обратимы, A 1 : E 1 1 → E 1 2 ограничен, QB = BP, QA = AP . 

2. Фундаментальная оператор-функция в условиях фредгольмовости 

Теорема 1. Пусть в системе (1) det Λ ≠ 0, оператор B фредгольмов и выполнено 

условие А). Тогда дифференциальный оператор ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) имеет на классе 

K ′ +(E 2 ) матричную фундаментальную оператор-функцию вида 

E N (t) = T δ(t) ∗ { E N1 (t), E N2 (t), . . . , E Nµ (t) } ∗ T −1 δ(t), (6) 

здесь { E N1 (t), E N2 (t), . . . , E Nµ (t) } — блочная квадратная квазидиагональная матрица 

размера s вида 

⎛ 

⎞ 

E N1 (t) 0 . . . 0 

⎜ 0 E N2 (t) . . . 0 

⎟ 

⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠ , (7) 

0 0 . . . E Nµ (t) 

диагональные блоки которой E Nν (t) являются верхнетреугольными квадратными матрицами 

размера q ν вида E Nν (t) = E (qν) E Nν (t) ∗ σ Nν (t) 

⎛ 

⎞ 

Iδ(t) Aδ(t) ∗ E Nν (t) (Aδ(t) ∗ E Nν (t)) 2 . . . · (Aδ(t) ∗ E Nν (t)) q ν−1 

0 Iδ(t) Aδ(t) ∗ E Nν (t) . . . · (Aδ(t) ∗ E Nν (t)) q ν−2 

σ Nν (t) = 

0 0 Iδ(t) . . . · (Aδ(t) ∗ E Nν (t)) q ν−3 

⎜ · · · · · · · · · · · · · · · · 

, (8) 

⎟ 

⎝ 0 0 0 . . . Iδ(t) Aδ(t) ∗ E Nν (t) ⎠ 

0 0 0 . . . 0 Iδ(t) 

здесь ν = 1, . . . , µ и 

[ 

∑ 

E Nν (t) = ΓU Nν (λ ν AΓt) I − n ∑p i 

〈·, ψ (j) 

− n ∑ 

i=1 

[ 

pi 

{ 

−1 pi −k 

∑ 

k=0 

∑ 

j=1 

〈·, ψ (j) 

i 

U Nν (λ ν AΓt) = ∞ ∑ 

i=1 j=1 

〉λ −k−1 

ν ϕ (p i−k+1−j) 

i 

i=1 

i−1 tiN−1 

(λ ν AΓ) 

i 

〉Aϕ (p i+1−j) 

i 

} ] 

δ (Nk) (t) , 

(iN−1)! . 

] 

θ(t)− 

Доказательство. В соответствии с определением матричной фундаментальной 

оператор-функции для доказательства достаточно проверить справедливость равенств (4) 

и (5). 

( 

Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) ∗ E N (t) ∗ ũ(t) = ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) ∗ T δ(t)∗ 

∗ { E N1 (t), E N2 (t), . . . , E Nµ (t) } ∗ T −1 (t) ∗ ũ(t) = T δ(t) ∗ T −1 δ(t) ∗ ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) ∗ 

∗T δ(t) ∗ { E N1 (t), E N2 (t), . . . , E Nµ (t) } ∗ T −1 δ(t) ∗ ũ(t) = 

= T δ(t) ∗ ( Bδ (N) (t) − JAδ(t) ) ∗ { E N1 (t), E N2 (t), . . . , E Nµ (t) } ∗ T −1 δ(t) ∗ ũ(t). 

106

Для завершения доказательства осталось проверить, что при всех ν = 1, . . . , µ 

( 

Bδ (N) (t) − ( λ ν E (q ν) + H (q ν) ) Aδ(t) ) ∗ E Nν (t) = E (q ν) δ(t). 

Так как 

( 

Bδ (N) (t) − λ ν Aδ(t) ) ∗ E Nν (t) = Iδ(t), 

( 

Bδ (N) (t) − λ ν Aδ(t) ) ∗ E Nν (t) ∗ (Aδ(t) ∗ E Nν (t)) i − 

−Aδ(t) ∗ E Nν (t) ∗ (Aδ(t) ∗ E Nν (t)) i−1 ≡ 0, 

то 

( 

Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) ∗ E N (t) ∗ ũ(t) = T δ(t) ∗ Iδ(t) ∗ T −1 δ(t) ∗ ũ(t) = Iδ(t) ∗ ũ(t) = ũ(t). 

Покажем справедливость второго равенства. 

E N (t) ∗ ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) ∗ ṽ(t) = T δ(t) ∗ { E N1 (t), E N2 (t), . . . , E Nµ (t) } ∗ 

∗T −1 δ(t) ∗ ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) ∗ T δ(t) ∗ T −1 δ(t) ∗ ṽ(t) = 

= T δ(t) ∗ { E N1 (t), E N2 (t), . . . , E Nµ (t) } ∗ ( Bδ (N) (t) − JAδ(t) ) ∗ T −1 δ(t) ∗ ṽ(t). 

Но 

E Nν (t) ∗ ( Bδ (N) (t) − λ ν Aδ(t) ) = Iδ(t), 

−E Nν (t) ∗ (Aδ(t) ∗ E Nν (t)) i ∗ Aδ(t)+ 

+E Nν (t) ∗ (Aδ(t) ∗ E Nν (t)) i+1 ∗ ( Bδ (N) (t) − λ ν Aδ(t) ) ≡ 0, 

поэтому 

и 

E Nν (t) ∗ ( Bδ (N) (t) − ( λ ν E (q ν) + H (q ν) ) Aδ(t) ) = E (q ν) δ(t) 

E N (t) ∗ ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) ∗ ṽ(t) = T δ(t) ∗ Iδ(t) ∗ T −1 δ(t) ∗ ṽ(t) = Iδ(t) ∗ ṽ(t) = ṽ(t). 

Теоремa 1 доказана. 

Следствие 1. Если в условиях теоремы 1 все элементарные делители матрицы Λ 

первой степени, то матричная фундаментальная оператор-функция дифференциального 

оператора ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) имеет на классе K ′ +(E 2 ) вид 

E N (t) = T δ(t) ∗ { E N1 (t), E N2 (t), . . . , E Ns (t) } ∗T −1 δ(t). 

Следствие 2. Если выполнены условия теоремы 1, то единственное обобщенное решение 

задачи (1)–(2) (т.е. решение сверточного уравнения (3) класса K ′ +(E 1 )) восстанавливается 

по формуле 

ũ(t) = E N (t) ∗ ( f(t)θ(t) + Bu 0 δ (N−1) (t) + Bu 1 δ (N−2) (t) + · · · + Bu N−1 δ(t) ) . (9) 

Если теперь в обобщенном решении (9) выделить регулярную и сингулярную составляющие, 

потребовать обращения в нуль последней и удовлетворения регулярной 

составляющей начальному условию (2), то полученные условия будут описывать совокупность 

начальных данных u(0), u ′ (0), . . . , u (N−1) (0) и правых частей f(t), при которых 

107

задача Коши (1)–(2) однозначно разрешима в классе непрерывных функций, остающаяся 

при этом регулярная составляющая будет являться искомым непрерывным решением. 

3. Фундаментальная оператор-функция в условиях нетеровости 

Теорема 2. Пусть в системе (1) det Λ ≠ 0, оператор B нетеров, выполнено условие 

B) и n > m. Тогда дифференциальный оператор ( Bδ (N) (t) − ΛAδ(t) ) имеет на классе 

K +(E ′ 2 ) матричную фундаментальную оператор-функцию, определяемую формулами (6), 

(7), (8), в которых при ν = 1, . . . , µ 

[ 

] 

∑ 

E Nν (t) = B + U Nν (λ ν AB + t) I − n ∑p i 

〈·, ψ (j) 〉Aϕ (p i+1−j) 

θ(t)− 

− n ∑ 

i=1 

[ 

pi 

{ 

−1 pi −k 

∑ 

k=0 

∑ 

j=1 

〈·, ψ (j) 

i 

〉λ −k−1 

ν 

U Nν (λ ν AB + t) = ∞ ∑ 

i=1 

i=1 j=1 

i 

ϕ (p i−k+1−j) 

i 

(λ ν AB + i−1 tiN−1 

) 

i 

} ] 

δ (Nk) (t) , 

(iN−1)! . 

Здесь ψ (1) 

i = 0 при i = m + 1, . . . , n, а функционалы ψ (j) 

i ∈ E2, ∗ i = m + 1, . . . , n, j = 2, . . . , p i 

являются произвольными. 

Доказательство этой теоремы как и теоремы 1 состоит в проверке определения матричной 

фундаментальной оператор-функции. 

Теорема 3. Пусть в системе (1) det Λ ≠ 0, оператор B нетеров, выполнено условие 

В) и n < m. Тогда матричная оператор-функция из теоремы 2 является фундаментальной 

для дифференциального оператора (Bδ (N) (t) − ΛAδ(t)) на подклассе обобщенных 

функций из K +(E ′ 2 ), удовлетворяющих условиям 

{ 

} 

σN r 1 

(t), σN r 2 

(t), . . . , σN r µ 

(t) ∗ ũ(t) = 0, r = n + 1, . . . , m, 

{ 

} 

где σN r 1 

(t), σN r 2 

(t), . . . , σN r µ 

(t) — блочная квадратная квазидиагональная матрица размера 

s с диагональными блоками верхнетреугольного типа 

σ r N ν 

(t) = E (q ν) 〈 U N (λ ν AB + t)·, ψ r 

〉 

zr θ(t) ∗ σ Nν (t), ν = 1, . . . , µ, 

представление для σ Nν (t) см. в формуле (8). 

Замечание 1. Если m = n, т.е. оператор B фредгольмов, то B + = Γ и теорема 2 

становится теоремой 1. 

Замечание 2. Из теорем 2 и 3 вытекают следствия, аналогичные следствиям 1 и 

2 для теоремы 1. 

3. Фундаментальная оператор-функция в условиях спектральной ограниченности 

Теорема 4. Пусть в системе (1) det Λ ≠ 0, оператор A спектрально ограничен 

относительно B. Тогда дифференциальный оператор (Bδ (N) (t)−ΛAδ(t)) имеет на классе 

K +(E ′ 2 ) матричную фундаментальную оператор-функцию, определяемую формулами (6), 

(7), (8), в которых при ν = 1, . . . , µ 

E Nν (t) = U Nν (t)B −1 

1 Qθ(t) − 

∞∑ 

k=0 

108 

(A −1 

0 B 0 ) k 

λ k+1 

ν 

A −1 

0 (I − Q)δ (Nk) (t),

где 

U Nν (t) = 1 ∫ 

2πi 

γ 

(µ N B − λ ν A) −1 Be µt dµ. 

Если дополнительно предположить, что ∞ — несущественно особая точка [13, 14] 

операторного пучка (µB − A) −1 (т.е. ∃ p ∈ {0} ∪ N такое, что (A −1 

0 B 0 ) p ≠ 0, но 

(A −1 

0 B 0 ) p+1 ≡ 0), то очевидно 

E Nν (t) = U Nν (t)B −1 

1 Qθ(t) − 

p∑ 

k=0 

(A −1 

0 B 0 ) k 

λ k+1 

ν 

A −1 

0 (I − Q)δ (Nk) (t) 

Замечание 3. Теорема 4 допускает прямое обобщение на случаи секториальности 

и радиальности [13, 14] оператора A относительно B, для этого необходимо будет 

привлечь соответствующие теоремы из [8]. 


[1] М.В. Фалалеев, О.В. Коробова Системы дифференциальных уравнений с вырождением 

в банаховых пространствах. - Сиб.мат.журн., 2008, т. 49(в печати). 

[2] О.В. Коробова Сингулярные системы дифференциальных уравнений первого порядка 

в банаховых пространствах. - Тр. IX Междунар. Чет. конф., Иркутск, 2007, С. 138– 

144. 

[3] Ф.Р.Гантмахер Теория матриц. - М.: Наука, 1988. 

[4] N.Sidorov, B.Loginov, A.Sinitsyn and M.Falaleev Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear 

Analysis and Applications. - Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2002. 

[5] М.В. Фалалеев Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных 

операторов в банаховых пространствах. - Сиб.мат.журн., 2000, т. 41, № 5, 

С. 1167–1182. 

[6] М.В. Фалалеев, Е.Ю.Гражданцева Фундаментальные оператор-функции вырожденных 

дифференциальных и дифференциально-разностных операторов с нетеровым 

оператором в главной части в банаховых пространствах. - Сиб.мат.журн., 2005, т. 46, 

№ 6, С. 1393–1406. 

[7] М.В. Фалалеев, Е.Ю.Гражданцева Фундаментальные оператор-функции сингулярных 

дифференциальных операторов в условиях спектральнй ограниченности. - Дифференц.уравнения, 

2006, т. 42, № 6, С. 769–774. 


операторов в условиях секториальности и радиальности. - Изв.ВУЗов, 2006, 

№ 10, С. 68–75. 

[9] В.С.Владимиров Обобщенные функции в математической физике. - М.: Наука, 1979. 

109

[10] М.М.Вайнберг М.М., В.А.Треногин Теория ветвления решений нелинейных уравнений. 

- М.: Наука, 1969. 

[11] M.Z.Nashed Generalized inverses and applications. - New York: Acad.Press, 1976. 

[12] Н.А.Сидоров, О.А.Романова, Е.Б.Благодатская Уравнения с частными производными 

с оператором конечного индекса при главной части. - Дифференц.уравнения, 

1987, т. 23, № 4, C. 726–728. 

[13] Г.А.Свиридюк К общей теории полугруппы операторов. - Успехи мат.наук, 1994, т. 49, 

№ 4, C. 47–74. 

[14] G.A.Sviridyuk, V.E.Fedorov Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups 

of Operators. - Utrecht: VSP, 2003. 

FUNDAMENTAL OPERATOR-FUNCTION OF THE DEGENERATED 

DIFFERENTIAL OPERATOR OF HIGH ORDER IN BANACH SPACES 

O.V. Korobova 

Irkutsk state university, Irkutsk 

e-mail: ollis@mail.ru 

Abstract. In this paper singular system of the differential equations of high order of special form in 

Banach spaces is considered. Matrix fundamental operator-function for the degenerated differential 

operator (Bδ (N) (t) − ΛAδ(t)) is constructed. Here operator B is fredholm or neter and has full 

A-Jordan set or operator A is spectral bounded relatively B. 

Key words: matrix fundamental operator-function, generalized function, Banach spaces. 

110

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ВНУТРЕННЕЙ БАЛЛИСТИ- 

КИ 1 

Л.В. Кошкарева 

Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск 

e-mail: lvk_home@mail.ru 

Аннотация. В статье рассмотрена задача Коши для квазилинейных дифференциальноалгебраических 

уравнений индекса один. Предлагается проводить редукцию к системам 

обыкновенных дифференциальных уравнений, для численного решение которых применять 

явные линейные многошаговые методы. Для численных расчетов рассмотрена основная задача 

внутренней баллистики. 

Ключевые слова: дифференциально-алгебраические уравнения, индекс один, линейные 

многошаговые методы, основная задача внутренней баллистики. 


Большое количество прикладных задач описывается взаимосвязанными системами 

обыкновенных дифференциальных и конечномерных уравнений. Такие задачи, как 

правило, записывают в виде системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей 

перед производной и называют дифференциально-алгебраическими уравнениями 

(ДАУ). К такому классу задач относится система, описывающая процессы основного 

периода движения снаряда в стволе после выстрела. Численные методы решения таких 

задач принципиально отличаются от алгоритмов интегрировавния обыкновенных дифференциальных 

уравнений. В данной работе предложены явные линейные многошаговые 

методы для численного решения рассматриваемого класса задач. Приведены результаты 

расчетов давления пороховых газов p(t), скорости снаряда v(t), как функций независимого 

аргумента время t. 


Рассмотрим систему дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) вида 

A(t)x ′ (t) = f(x(t), t), t ∈ [0, 1], x(0) = a, (1) 

где A(t)−(n×n) матрица, f(x(t), t)−n−мерная вектор-функция, x(t)−n−мерная искомая 

вектор функция. В работе рассмотрен случай, когда матрица A(t)− вырожденная, т.е. 

det A(t) = 0 ∀t ∈ [0, 1]. 

Предполагается, что rankA(t) = k = const и в некоторой окрестности точки (0, a) 

выполнено условие 

det(λA(t) + ∂f(x, t)/∂x) = a k (x, t)λ k + a k−1 (x, t)λ k−1 + · · · + a 0 (x, t) 

1 Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ НШ-1676.2008.1. 

111

и a k (x, t) ≠ 0 в окрестности точки (0, a). Такие задачи называют ДАУ индекса один или 

системы, удовлетворяющие критерию "ранг-степень". 

Определение 1. [1] Полуобратной к матрице A называется матрица A − , удовлетворяющая 

уравнению AA − A = A. 

Продифференцируем исходную задачу (1) и умножим на матрицу V (t) = E −A(t)A − (t) 

(E - единичная матрица соответствующей размерности). В силу определения 1, получим 

V (t)A ′ (t)x ′ (t) = V (t)(f ′ x(x(t), t) + f ′ t(x(t), t)). 

Складывая данную систему с (1) будем иметь 

B(x(t), t)x ′ (t) = g(x(t), t), t ∈ J = [0, 1], x(0) = a, (2) 

где B(x(t), t) = A + V (A ′ − ∂f(x, t)/∂x), g(x, t) = f(x, t) + V ∂f(x, t)/∂t. 

В работах [2], [3] получены результаты, которые можно сформулировать в виде следующей 

теоремы. 

Теорема 1. Пусть для задачи (1) выполнены условия: 

1. rankA(0) = rank{A(0)|f(a, 0)}; 

2. rankA(t) = k = const, ∀t ∈ [0, 1]; 

3. deg det(λA(t) + ∂f(x, t)/∂x) = k = const 

в некоторой окрестности точки (0, a). Тогда в окрестности (0, a) существует единственное 

непрерывно-дифференцируемое решение задачи (1) и матрица B(x, t) в системе 

(2) является невырожденной. 

Рассмотрим практическую задачу, описываемую системой вида (1). Внутренняя баллистика 

изучает движение снаряда в канале ствола орудия под действием пороховых газов. 

Первая основная задача внутренней баллистики (ОЗВБ-1) состоит в установлении связи 

между исходными данными и баллистическими элементами выстрела. Коротко это можно 

сформулировать так: по заданным параметрам заряжания орудия определить зависимость 

баллистических элементов выстрела, как функций некоторого аргумента. Рассмотрим в 

качестве независимого аргумента время выстрела t. В частной формулировке ОЗВБ-1 

заключается в построении кривых давления p(t), скорости v(t) и пути снаряда l(t), как 

функций аргумента t [4]. 

Введем следующие переменные: x 1 − скорость движения снаряда; x 2 − путь, пройденный 

снарядом; x 3 − относительная глубина прогорания порохового заряда; x 4 − давление 

пороховых газов; x 5 − относительная масса (доля) образовавшихся газов. 

При описании выстрела используются различные величины, характеризующие свойства 

пороха, порохового заряда и снаряда: ω - масса пороха, ρ - плотность пороха, f – 

сила пороха, α – коволюм пороха, χ, λ – характеристики порохового зерна, k – показатель 

адиабаты пороховых газов, m – масса снаряда, e 1 - максимальная глубина прогорания порохового 

зерна, u 1 - коэффициент пропорциональности скорости горения пороха давлению 

пороховых газов, ϕ - коэффициент фиктивной массы для учета всех работ, совершаемых 

пороховыми газами. 

Характеристики орудия описываются следующими константами: W 0 – объем камеры 

(гильзы патрона), s - площадь поперечного сечения канала ствола (включает площадь 

нарезов). 

112

Количественные и качественные соотношения процессов, происходящих при выстреле, 

устанавливаются на основании общих законов механики, термо- и газодинамики, теплообмена, 

а также теории горения порохов. Движение снаряда в основном периоде выстрела 

будем описывать следующими уравнениями: 

1. Уравнение движения центра массы снаряда. 

2. Уравнение, связывающее скорость снаряда и пройденный им путь. 

3. Определение скорости горения порохового заряда. 

4. Уравнением Резаля или уравнением эквивалентности, реализующее закон сохранения 

энергии. 

5. Уравнение газообразования, выражающее зависимость между переменными x 3 и x 5 . 

Все перечисленные уравнения могут быть записаны системой вида (1), а именно: 

Aẋ(t) = f(x(t)), t ∈ [t 0 , t k ], (3) 

⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ 

1 0 0 0 0 

x 1 (t) 

0 1 0 0 0 

где A = 

⎜ 0 0 1 0 0 

⎟ 

⎝ 0 0 0 0 0 ⎠ , x(t) = x 2 (t) 

⎜ x 3 (t) 

⎟ 

⎝ x 4 (t) ⎠ , 

0 0 0 0 0 

x 5 (t) 

⎛ 

Начальные и граничные условия: 

s/(ϕm)x 4 (t) 

x 1 (t) 

u 1 /e 1 x 4 (t) 

f(x(t)) = 

⎜ 

⎝ x 4 (t) − 

x 5 (t) − χx 3 (t)(1 + λx 3 (t)) 

fωx 5 (t)−(k−1)ϕmx 2 1 /2 

W 0 −ω/ρ+(ω/ρ−αω)x 5 (t)+sx 2 (t) 

⎞ 

. 

⎟ 

⎠ 

t 0 = 0, x 5 (t k ) = 1, f(x(t 0 )) = (0, 0, z 0 , 3 · 10 7 , ψ 0 ) T . (4) 

Значения ψ 0 и z 0 вычисляются из четвертого и пятого уравнений системы при подстановке 

других начальных значений. 

Очевидно, что det A(t) = 0; rank A = 3 = const. Также нетрудно убедиться, что 

∣ ∂f 4 (x(t)) ∂f 4 (x(t)) 

∣ 

∂x 4 

∂f 5 (x(t)) 

∂x 4 

∂x 5 

∂f 5 (x(t)) 

∂x 5 

∣ ∣∣∣∣ 

≠ 0 при t 0 = 0, x(t 0 ). 

Поэтому задачу (3)-(4) можно назвать дифференциально-алгебраическим уравнением 

индекса один. Для таких ДАУ доказано [5], что они имеют единственное непрерывно 

дифференцируемое решение. 

Проведем редукцию ДАУ (3) к виду (2). В силу неоднозначности определения полуобратной 

матрицы A − , можно выбрать такую A − , чтобы облегчить вычисление B(x(t)) и 

113

g(x(t)). Положим A − 

⎛ 

B(x) = 

⎜ 

⎝ 

= A. В этом случае 

1 0 0 0 0 

0 1 0 0 0 

0 0 1 0 0 

− ∂f 4(x) 

∂x 1 

− ∂f 4(x) 

∂x 2 

0 −1 − ∂f 4(x) 

∂x 5 

0 0 − ∂f 5(x) 

∂x 3 

0 −1 

⎞ 

, g(x(t)) = f(x(t)). (5) 

⎟ 

⎠ 

2. Численные методы 

Зададим на отрезке [0, 1] равномерную сетку 

Введем обозначения 

∆ h = {t i = ih, i = 0, 1, · · · , N, N = 1/h}. 

x i = x(t i ), B i = B(x i ), g i = g(x i ). 

Явные линейные многошаговые методы, разработанные для систем обыкновенных 

дифференциальных уравнений, примененные к задаче (2), имеют вид 

k∑ 

α j x i+1−j = h 

j=0 

k∑ 

β j B −1 (x i+1−j , t i+1−j )g(x i+1−j , t i+1−j ). (6) 

j=1 

Лемма. Пусть p(t), q(t) - равномерно ограниченные на отрезке [0, 1] функции. 

Для ∀t i ∈ [0, 1] верны следующие оценки ‖ p i − ∑ k 

j=1 β jp i−j+1 ‖= O(h m ) и 

‖ q i − ∑ k 

j=1 β jq i−j+1 ‖= O(h m ). Тогда можно утверждать, что ‖ p i q i − 

∑ k 

j=1 β ∑ k 

jp i−j+1 j=1 β jq i−j+1 ‖= O(h m ). 

Доказательство. Рассмотрим разность 

p i q i − 

k∑ 

β j p i−j+1 

j=1 

k∑ 

= p i q i + p i β j q i−j+1 − p i 

j=1 

= p i (q i − 

k∑ 

β j q i−j+1 = 

j=1 

k∑ 

β j q i−j+1 − 

j=1 

k∑ 

β j q i−j+1 ) + 

j=1 

k∑ 

β j p i−j+1 

j=1 

k∑ 

β j q i−j+1 (p i − 

j=1 

k∑ 

β j q i−j+1 = 

j=1 

k∑ 

β j p i−j+1 ). (7) 

В силу ограниченность функций p(t) и q(t) имеем ‖ p i ‖≤ C 1 и ‖ ∑ k 

j=1 β jq i−j+1 ‖≤ C 2 . 

Из условия теоремы ‖ q i − ∑ k 

j=1 β jq i−j+1 ‖≤ C 3 h m и ‖ p i − ∑ k 

j=1 β jp i−j+1 ‖≤ C 4 h m . 

C 1 , C 2 , C 3 , C 4 - некоторые константы. 

Перейдем в равенстве (7) к нормам. Получим ‖ p i q i − ∑ k 

j=1 β ∑ k 

jp i−j+1 j=1 β jq i−j+1 ‖≤ 

C 1 C 3 h m + C 2 C 4 h m = O(h m ). Что и требовалось доказать. 

j=1 

114

Рис. 1: Изменение скорости движения снаряда 

Рис. 2: Изменение давления пороховых газов 

Для сокращения объема вычислений, связанных c обращением матрицы, можно воспользоваться 

доказанной леммой и предложить эквивалентную схеме (6) формулу: 

k∑ 

β j B(x i+1−j , t i+1−j ) 

j=1 

3. Численные раcчеты 

k∑ 

α j x i+1−j = h 

j=0 

k∑ 

β j g(x i+1−j , t i+1−j ). (8) 

Рассмотрим численное решение системы (3), редуцированной к виду (5), многошаговыми 

методами. Постоянные коэффициенты задачи описывают характеристики авиационной 

пушки калибра 30 мм; порохового заряда, состоящего из семиканальных зерен пороха 

марки 4/7 Цгр (целлюлозно-гранулированный) и снаряда ОФЗ (осколочно-фугасный зажигательный) 

и принимают следующие значения (единицы измерения СИ): 

s = 7, 3 · 10 −4 ; W 0 = 1, 09 · 10 −4 ; m = 0, 394; ω = 0, 095; f = 9 · 10 6 ; 

α = 9, 49 · 10 −4 ; ρ = 1640; u 1 = 10 −9 ; k = 1, 2; e 1 = 5 · 10 −4 . 

j=1 

115

Отрезок интегрирования достаточно мал (t k ≈ 0, 0035) поэтому h изменялись от 10 −7 до 

10 −8 . Были проведены расчеты численными методами вида (7) второго и третьего порядков 

точности. Для методов 2-го порядка были использованы следующие коэффициенты: 

α 0 = 1, α 1 = −1, β 0 = 3/2, β 1 = −1/2. 

Для методов 3-го порядка применены коэффициенты: 

α 0 = 1, α 1 = −1, α 2 = 0, β 0 = 23/12, β 1 = −16/12, β 2 = 5/12. 

Тестовые расчеты рассматриваемыми методами проводились ранее и подтвердили порядок 

точности этих методов [6]. 

На рисунках 1 и 2 представлены графики изменения скорости движения снаряда и 

давления пороховых газов в заснарядном пространстве, расчитанные описанными выше 

методами с шагом h = 10 −8 . Полученные результаты соответствуют реальным данным. 


[1] Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных 

уравнений. Новосибирск: Наука, 1980, 222 с. 

[2] Булатов М.В. Понижение индекса и численное решение неявных систем обыкновенных 

дифференциальных уравнений. Дисс. ...канд. физ.-мат. наук, Иркутск, 1989, 101 

c. 

[3] Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. Новосибирск: 

Наука, 1996, 278 c. 

[4] Кувеко А.Е., Миропольский Ф.П. Внутренняя баллистика ствольных систем и ракетные 

двигатели твердого топлива. М.: Изд.ВВИА им.проф. Н.Е.Жуковского, 

1987, 311 с. 

[5] Чистяков В.Ф. О возмущении квазилинейных ОДУ с вырожденной матрицей при 

производных. - Численные методы механики сплошной среды, 1984, т. 15, N 3, с. 154- 

157. 

[6] Кошкарева Л.В. Численное решение дифференциально-алгебраических уравнений явными 

линейными многошаговыми методами. - Вычислительные технологии, 2004 т.9, 

с. 17-21. 

116

THE NUMERICAL SOLUTION FOR ONE PROBLEM IN INTERNAL 

BALLISTICS 

L.V. Koshkareva 

Institute of System Dynamics and Control Theory SB RAS, Irkutsk 

e-mail: lvk_home@mail.ru 

Abstract. Some class of differential algebraic equations of index one is considered in this paper. 

Obvious linear multistep methods are proposed for the numerical solution of this problem. Results of 

calculations for one problem in internal ballistics are given. 

Key words: differential algebraic equations, index one, linear multistep methods, internal ballistics. 

117

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ КОШИ-ДИРИХЛЕ ДЛЯ 

НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА 

А.В. Красник 

Иркутский Государственный Университет, Иркутск 

e-mail: krasnik_andrey@mail.ru 

Аннотация. В статье представлено исследование разрешимости задачи Коши-Дирихле для 

трех уравнений соболевского типа высокого порядка. 

Ключевые слова: уравнения соболевского типа, обобщенные решения. 


Ранее автором была рассмотрена задача Коши для дифференциально-операторного 


Bu (4) (t) = A 1 u (2) (t) + A 0 u(t) + f(t), (1) 

u (i) (0) = u i , i = 0, 3, (2) 

где u(t) — искомая функция со значениями в E 1 , B, A 1 и A 0 — линейные замкнутые 

операторы из E 1 в E 2 с плотными в E 1 областями определения, u i ∈ E 1 , f(t) — заданная 

функция со значениями в E 2 , E 1 и E 2 — банаховы пространства. При этом B фредгольмов, 

т.е. dim N (B) = dim N ∗ (B) = n, R(B) = R(B), D(B) = D(A 1 ) ∩ D(A 0 ) = E 1 , 

D(B) ⊂ D(A 1 ) ∩ D(A 0 ). Результаты, полученные автором о разрешимости задачи (1)-(2) 

при условии одномерности ядра оператора B, изложены в статье [7]. 

Данная статья представляет собой исследование разрешимости задачи Коши-Дирихле 

для уравнений, относящихся к существенно развивающемуся в последнее время направлению, 

а именно — к уравнениям соболевского типа (уравнениям неразрешенным относительно 

старшей производной). В первой части приведены необходимые определения и сведения 

для изложения результатов исследования. Во второй части представлены утверждения 

о разрешимости задачи Коши-Дирихле для уравнений электронных и ионно-звуковых 

волн в замагниченной плазме [3]. В третьей части представлена редукция линеаризованной 

системы уравнений Бусинеска к скалярному уравнению и утверждения о разрешимости 

начально-краевой задачи для этого уравнения. 

Результаты второй части статьи докладывались на семинаре "Ляпуновские чтения & 

презентация информационных технологий 2007" [6]. 

1. Предварительные сведения 

Обозначим базисные элементы ядер через ϕ i ∈ N (B), ψ i ∈ N ∗ (B), i = 1, n. 

Определение 1. [1] Элемент ϕ ∈ N (B) имеет обобщённую A 1 , A 0 - 

жорданову цепочку длины p, если существует упорядоченная система элементов 

{ ϕ (1) = ϕ, ϕ (2) , . . . , ϕ (p)} ⊂ E 1 , удовлетворяющих следующим соотношениям 

Bϕ (i) = A 1 ϕ (i−1) + A 0 ϕ (i−2) , i = 2, p, здесь ϕ (0) = 0. Причем выполняется условие обрыва 

цепочки 〈 A 1 ϕ (p) + A 0 ϕ (p−1) , ψ j 

〉 

≠ 0, для некоторого j = 1, n. 

Аналогично вводится понятие обобщённой A ∗ 1, A ∗ 0-жордановой цепочки элемента ψ. 

118

Определение 2. [1] Совокупность всех обобщённых A 1 , A 0 -жордановых цепочек, отвечающих 

элементам базиса пространства нулей оператора B называют обобщённым 

A 1 , A 0 -жордановым набором. Оператор ∥〈 

B имеет полный обобщённый A 1 , A 0 -жорданов 

набор, если определитель матрицы ∥ 

A 1 ϕ (p i) 

i 

Введём в рассмотрение элементы z i = A 1 ϕ (p i) 

i 

〉∥ 

+ A 0 ϕ (p i−1) ∥∥i,j=1,n 

i , ψ j отличен от нуля. 

+ A 0 ϕ (p i−1) 

i ∈ E 2 и γ j = A ∗ 1ψ (p j) 

j + 

A ∗ 0ψ (p j−1) 

j ∈ E ∗ 1, i, j = 1, n, причем 〈z i , ψ j 〉 = δ ij , 〈ϕ i , γ j 〉 = δ ij . 

Перепишем задачу Коши (1)-(2) в пространстве обобщенных функций [2]: 

L 4 (δ(t)) ∗ ũ(t) ≡ ( Bδ (4) (t) − A 1 δ (2) (t) − A 0 δ(t) ) ∗ ũ(t) = h(t), (3) 

h(t) = f(t)θ(t) + Bu 0 δ (3) (t) + Bu 1 δ (2) (t) + (Bu 2 − A 1 u 0 )δ (1) (t) + (Bu 3 − A 1 u 1 )δ(t). 

Определение 3. Фундаментальной оператор-функцией ɛ(t) дифференциального оператора 

L 4 (δ(t)) будем называть оператор-функцию, удовлетворяющую следующим соотношениям: 

L 4 (δ(t)) ∗ ɛ(t) ∗ ŷ(t) = ŷ(t), ∀ŷ(t) ∈ K ′ +(E 2 ), 

ɛ(t) ∗ L 4 (δ(t)) ∗ ˇy(t) = ˇy(t), ∀ˇy(t) ∈ K ′ +(E 1 ), 

здесь K +(E ′ i ), — пространство обобщённых функций с ограниченным слева носителем [2]. 

Если существует фундаментальная оператор-функция ɛ(t) оператора L 4 (δ(t)), то единственное 

решение обобщённой задачи Коши (3) в классе K +(E ′ 1 ) будет определяться в виде 

свёртки ɛ(t) с правой частью уравнения (3). 

Теорема 1. Пусть выполнены условия: 

I) оператор B имеет полный обобщённый A 1 , A 0 -жорданов набор; 

II) операторное квадратное уравнение Λ 2 − A 1 ΓΛ − A 0 Γ = 0 имеет два различных 

коммутирующих решения Λ 1 , Λ 0 ∈ L(E 2 ), таких, что оператор G = (Λ 1 − Λ 0 ) −1 существует 

и ограничен; 

тогда дифференциальный оператор L 4 (δ(t)) имеет фундаментальную оператор-функцию 

вида: 

ɛ(t) = Γδ(t) ∗ 

( 

sinh 

√ 

Λ1 t 

√ 

Λ1 

− sinh 

√ 

Λ0 t 

√ 

Λ0 

) 

Gθ(t) ∗ N(t), 

N(t) = (I 2 δ(t) + R(t)θ(t)) ∗ 

[ 

(I 2 − Q) δ(t) − 

] 

p n∑ ∑ i 〈〉 

• , ψ (j) 

i z i δ (2pi−2j+1) (t) , 

i=1 

j=1 

где Γ — оператор Шмидта [1], cosh √ Λt = +∞ ∑ 

R(t) — резольвента ядра K(t) = − n ∑ 

i=1 

k=0 

t 2k Λ k 

2k! 

, sinh √ Λt √ 

Λ 

= +∞ ∑ 

k=0 

Q i 

( 

Λ p i+2 

1 sinh √ Λ 1 t 

√ Λ1 

− Λ p i+2 

0 sinh √ Λ 0 t 

t 2k+1 Λ k 

(2k+1)! , Λ ∈ L(E 2), 

√ Λ0 

) 

G. 

Замечание 2. Будем считать, что, если оператор B непрерывно обратим, то 

обратный к нему совпадает с оператором Γ и для него автоматически выполняется 

условие I), в силу тривиальности ядра оператора B. Заметим также, что в этом 

случае обобщенное решение из класса K +(E ′ 1 ) для задачи (3) будет совпадать с классическим 

решением задачи Коши (1)-(2). 

119

2. Задача Коши-Дирихле для двух уравнений волн в замагниченной плазме 

Рассмотрим два уравнения соболевского типа высокого порядка [3] 

( ) ( ) ( ) 

∂ 2 ∂ 

2 

∂ 

2 ∂ 

2 ∂ 

2 

∂t 2 ∂t + α + β ∆ 2 N Φ + 

∂t + β 2 ∂t + α Φ = F, 2 ∂x2 (4) 

( ) 

∂ 2 ∂ 

2 

∂t 2 ∂t + α (∆ 2 N+1 Φ − λΦ) + β ∂2 

∂t ∆ N+1Φ + αβ ∂2 

Φ = F, 2 ∂x2 (5) 

здесь α, β, λ > 0, причём в разных уравнениях эти коэффициенты имеют различный 

∑ 

физический смысл, а ∆ N+1 = ∂2 + N ∂x 2 

i=1 

∂ 2 

. 

∂yi 

2 

Первое уравнение описывает колебания электронных волн в холодной плазме во внешнем 

магнитном поле, второе — ионно-звуковые волны в замагниченной плазме, причём 

магнитное поле направлено вдоль оси x [3]. 

Поставим для этих уравнений задачу Коши-Дирихле 

∂ k 

∂t k Φ(x, y, t) ∣ 

∣∣∣t=0 

= Φ k (x, y), k = 0, 3, Φ(x, y, t)| (x,y)∈Γ 

= 0, 

x ∈ [0, l], y ∈ Ω ⊂ R N , Γ = ∂([0, l] × Ω). 

Редуцируем задачи Коши-Дирихле { для уравнений (4), (5) к задаче Коши 

(1)-(2). Положим E 1 = u(x, y) : u(·, y) ∈ W 

ρ+2 

2 [0, l] : u(0, y) = u(l, y) = 0, 

u(x, ·) ∈ W ρ+2 

2 (Ω) : u(x, y) = 0, y ∈ ∂Ω } , E 2 = {u(x, y) : u(·, y) ∈ W ρ 2 [0, l], u(x, ·) ∈ W ρ 2 (Ω)}. 

Введем обозначения λ k , k = 1, +∞ собственные значения оператора Лапласа (упорядоченные 

по возрастанию модуля) в области Ω, φ k (y), k = 1, +∞ — систему ортонормированных 

(в смысле скалярного произведения в L 2 (Ω)) собственных функций, отвечающих 

собственным значениям λ k и σ(∆) = { µ k , k = 1, +∞ } — собственные значения оператора 

Лапласа на отрезке [0, l], s k (x), k = 1, +∞ — нормированную систему синусов на отрезке 

[0, l]. 

Теорема 2. Если среди чисел D kj = (α + β) 2 − 4αβ µ j 

µ j +λ k 

, k, j = 1, +∞ нет нулей, 

функция F (x, y, t) ∈ (E 2 , C k [0, +∞)), тогда задача Коши-Дирихле для уравнения 

электронных волн в замагниченной плазме (4) имеет единственное решение u(x, y, t) ∈ 

(E 1 , C k+4 [0, +∞)), причем 

Λ 1 = − 1 2 

+∞∑ 

+∞∑ 

j=1 k=1 

(α + β − D kj ) ((•, φ k (y)) , s j (x)) φ k (y)s j (x), 

Λ 0 = − 1 2 

+∞∑ 

+∞∑ 

j=1 k=1 

(α + β + D kj ) ((•, φ k (y)) , s 1 (x)) φ k (y)s j (x). 

Доказательство. Для редукции уравнения (4) B = ∆ N+1 , A 1 = −(α + β)∆ N+1 , 

A 0 = −αβ ∂2 . Заметим, что оператор B является обратимым и обратный к нему имеет 

∂x 2 

вид 

B −1 = 

+∞∑ 

+∞∑ 

j=1 k=1 

1 

µ j + λ k 

((•, φ k (y)) , s 1 (x)) φ k (y)s j (x). 

120

Далее нетрудно составить квадратное операторное уравнение для данного примера и 

убедиться, что корни из формулировки теоремы 2 удовлетворяют условию II). 

Теорема 3. Если λ /∈ σ(∆ N+1 ), среди чисел D kj = ( α+βµ j+βλ k 

µ j +λ k −λ )2 − 4µ j 

, k, j = 

µ j +λ k −λ 

1, +∞ нет нулей, функция F (x, y, t) ∈ (E 2 , C k [0, +∞)), тогда задача Коши-Дирихле для 

уравнения ионно-звуковых волн в замагниченной плазме (5) имеет единственное решение 

u(x, y, t) ∈ (E 1 , C k+4 [0, +∞)), причем 

Λ 1 = − 1 2 

Λ 0 = − 1 2 

+∞∑ 

+∞∑ 

j=1 k=1 

+∞∑ 

+∞∑ 

j=1 k=1 

( 

α + βµ j + βλ k 

µ j + λ k − λ − √ D kj 

) 

((•, φ k (y)) , s 1 (x)) φ k (y)s j (x), 

( 


µ j + λ k − λ + √ D kj 

) 

((•, φ k (y)) , s 1 (x)) φ k (y)s j (x). 

Доказательство. Положим B = ∆ N+1 − λ, A 1 = α(λ − ∆ N+1 ) − β∆ N+1 , A 0 = −αβ ∂2 

∂x 2 . 

Введём обозначение σ(∆ N+1 ) = { λ k + µ j , k, j = 1, +∞ } . Если λ /∈ σ(∆ N+1 ), тогда оператор 

B непрерывно обратим 

B −1 = 

+∞∑ 

+∞∑ 

j=1 k=1 

((•, φ k (y)) , s 1 (x)) 

φ k (y)s j (x). 

µ j + λ k − λ 



( 

) 2 

Теорема 4. Если λ ∈ σ(∆ N+1 ), среди чисел D kj = α + βµ j+βλ k 4αβµ 

µ j +λ k −λ − 

j 

, k = 

µ j +λ k −λ 

n + 1, +∞, j = 2, +∞ нет нулей и 4µ 1 α ≠ −λ, тогда уравнение (5) имеет единственное 

обобщенное решение из класса K +(E ′ 1 ), причем 

Λ 1 = − 1 2 

+∞∑ 

+∞∑ 

j=2 k=n+1 

+(1 + 

( 


µ j + λ k − λ − √ D kj 

) 

((•, φ k (y)) , s 1 (x)) φ k (y)s j (x)+ 

√ 

1 + 4µ 1α 

λ 

n∑ 

) ((•, φ k (y)) , s 1 (x)) φ k (y)s 1 (x), 

k=1 

Λ 0 = − 1 2 

+∞∑ 

+∞∑ 

j=2 k=n+1 

+(1 − 

( 


µ j + λ k − λ + √ D kj 

) 

((•, φ k (y)) , s 1 (x)) φ k (y)s j (x)+ 

√ 

1 + 4µ 1α 

λ 

n∑ 

) ((•, φ k (y)) , s 1 (x)) φ k (y)s 1 (x). 

k=1 

Доказательство. В этом случае оператор B не является непрерывно обратимым 

и имеет нетривиальное ядро, состоящее из функций s j (x)φ ki (y), i = 1, n для некоторых 

k, j, здесь φ ki (y) — собственные функции, отвечающие значению λ k . Так как оператор 

B самосопряженный, то он является фредгольмовым с n-мерным пространством нулей. 

Перенесём функции φ ki (y), i = 1, n в начало системы функций φ k (y), k = 1, +∞, то есть 

заменим индекс k i на i, то же самое сделаем с функцией s j (x). 

121

Далее, проверим выполнение условия I). Положим ψ i (x, y) = s 1 (x)φ i (y), i = 1, n. Тогда 

(A 1 ϕ i , ψ j ) = −βλ(s(x) 1 , s 1 (x))(φ i (y), φ j (y)) = −βδ ij , следовательно, ни один из нулей оператора 

B не имеет присоединённого элемента, а оператор B имеет полный биканонический 

жорданов набор относительно операторов A 1 , A 0 . 

Теперь построим оператор Шмидта, для этого нормируем нули сопряжённого оператора 

ψ i (x, y) = − 1 

βλ s 1(x)φ i (y), i = 1, n и введём функции γ i (x, y) = s 1 (x)φ i (y), i = 1, n, 

z i (x, y) = −βλs 1 (x)φ i (y), i = 1, n. Оператор Шмидта имеет вид 

Γ = 

+∞∑ 

+∞∑ 

j=2 k=n+1 

((•, φ k (y)) , s j (x)) 

φ k (y)s j (x) − 1 

µ j + λ k − λ 

βλ 

n∑ 

((•, φ k (y)) , s 1 (x)) φ k (y)s 1 (x). 

k=1 



Замечание 2. Полученные результаты также позволяют утверждать, что при 

выполнении условий 

((F (x, y, 0) − βλΦ 2 (x, y) − αβµ 1 Φ 0 (x, y), φ k (y)), s 1 (x)) = 0, k = 1, n, 

(( ∂ ∂t F (x, y, t) ∣ 

∣∣∣t=0 

− βλΦ 3 (x, y) − αβµ 1 Φ 1 (x, y), φ k (y)), s 1 (x)) = 0, k = 1, n, 

обобщенное решение задачи Коши-Дирихле для уравнения (5) будет являться единственным 

классическим решением, при достаточно гладкой функции F (x, y, t). 

3. Редукция системы Бусинеска 

Рассмотрим систему уравнений вида 

⎧ 

∂ 

⎨ 

2 

(b + ∆)u(x, t) = a∆u(x, t) + c∆w(x, t) + f(x, t) 

∂t 2 

⎩ 

∂ 2 

∂t 2 (b + ∆)w(x, t) = d∆w(x, t) + g(x, t) 

(6) 

a, b, c, d ∈ R/{0},и задачу Коши-Дирихле для системы 

∂ k 

∂t k u(x, t) ∣ 

∣∣∣t=0 

= u k (x), 

∂ k 

∂t k w(x, t) ∣ 

∣∣∣t=0 

= w k (x), k = 0, 1, 

u(x, t)| x∈∂Ω 

= w(x, t)| x∈∂Ω 

= 0. 

Система уравнений (6) представляет собой линеаризованую систему, описывающую 

распространение поперечных волн в молекуле ДНК [[4]]. Более подробно об этой системе 

можно посмотреть в статье [5]. 

Редуцируем систему (6) к скалярному уравнению четвёртого порядка. Для этого из 

первого уравнения выразим функцию ∆w(x, t) 

c∆w(x, t) = 1 c ( ∂2 

(b + ∆)u(x, t) − a∆u(x, t) − f(x, t)). 

∂t2 122

Далее подействуем оператором Лапласа на второе уравнение 

∂ 2 

∂t 2 (b + ∆)∆w(x, t) = d∆2 w(x, t) + ∆f(x, t), 

предполагая у функций w(x, t) и f(x, t) необходимую гладкость. В получившемся уравнении 

заменим функцию ∆w(x, t) по введённой выше формуле и получим уравнение четвёртого 

порядка относительно функции u(x, t) 

∂ 4 

∂t 4 (b + ∆)2 u(x, t) = (a + d) ∂2 

∂t 2 (b + ∆)∆u(x, t) − ad∆2 u(x, t) + F (x, t), (7) 

где F (x, t) = c∆g(x, t) + ∂2 

∂t 2 (b + ∆)f(x, t) − d∆f(x, t). 

Рассмотрим для уравнения (7) следующую начально-краевую задачу, эквивалентную 

исходной 

∂ k 

∂t k u(x, t) ∣ 

∣∣∣t=0 

= u k (x), k = 0, 1, 

∂ 2+k 

∂t 2+k (b + ∆)u(x, t) ∣ 

∣∣∣t=0 

= d∆w k (x) + a∆u k (x) + ∂k 

∂t k f(t, x) ∣ 

∣∣∣t=0 

, k = 0, 1, (8) 

u(x, t)| x∈∂Ω 

= ∆u(x, t)| x∈∂Ω 

= 0. 

Заметим, что полученная задача не является в чистом виде задачей Коши-Дирихле, 

так как начальные условия (8) не определяют значение второй и третьей производной 

искомой функции, а определяют результат действия на эти значения оператора (b + ∆), в 

дальнейшем будем называть ее начально-краевой задачей для уравнения (7). 

Редуцируем уравнение (7) к диффенциально-операторному уравнению вида (1), где 

положим E 1 = { u ∈ W2 k+4 (Ω) : u(x) = ∆u(x) = 0, x ∈ ∂Ω } , E 2 = W2 k (Ω), операторы B = 

(b + ∆) 2 , A 1 = (a + d)(b + ∆)∆ и A 0 = −ad∆ 2 . 

Через λ k , k = 1, +∞ обозначим собственные значения оператора Лапласа (упорядоченные 

по возрастанию модуля) в области Ω, φ k (y), k = 1, +∞ — систему ортонормированных 

(в смысле скалярного произведения в L 2 (Ω)) собственных функций, отвечающих 

собственным значениям λ k . 

Теорема 5. Справедливы следующие утверждения. 

(i) Пусть −b /∈ σ(∆), функция F (x, t) ∈ { E 2 , C k [0, +∞) } и a ≠ d, тогда начальнокраевая 

задача для уравнения (7) имеет единственное решение u(t) ∈ { E 1 , C k+4 [0, +∞) } , 

причём 

Λ 1 = a 

+∞∑ 

k=1 

λ k 〈•, φ i 〉 

+∞∑ 

φ i , Λ 0 = d 

b + λ k 

k=1 

λ k 〈•, φ i 〉 

b + λ k 

φ i . 

(ii) Пусть −b ∈ σ(∆) и a ≠ d, тогда начально-краевая задача для уравнения (7) имеет 

единственное обобщенное решение из класса K ′ +(E 1 ), причем 

Λ 1 = a 

Λ 0 = d 

+∞∑ 

k=n+1 

+∞∑ 

k=n+1 

λ k 〈•, φ i 〉 

φ i + √ ad 

b + λ k 

λ k 〈•, φ i 〉 

φ i − √ ad 

b + λ k 

123 

n∑ 

〈•, φ i 〉 φ i , 

k=1 

n∑ 

〈•, φ i 〉 φ i . 

k=1

Доказательство. (i) В первом случае условия (8) можно привести к стандартным 

условиям Коши, так как оператор B непрерывно обратим. Оператор B −1 имеет вид 

B −1 = 

+∞∑ 

k=1 

〈•, φ i 〉 

(b + λ k ) 2 φ i. 

Далее нетрудно построить уравнение из условия II) и убедитmся в том, что корни, заявленные 

в первой части теоремы 5, удовлетворяют этому условию. 

(ii) Во втором случае условия (8) не удаётся привести к стандартным условиям Коши. 

Но для того, чтобы найти обобщённое решение достаточно знать значения Bu 2 и Bu 3 , 

так как они входят в правую часть уравнения (3), поэтому, если справедливы условия 

теоремы 1, то при помощи фундаментальной оператор-функции получим единственное 

решение начально-краевой задачи для уравнения (7) из класса K +(E ′ 1 ). 

Построим жорданов набор для оператора B. Ядро оператора B состоит из собственных 

функций оператора Лапласа, отвечающих собственному значению −b. Сделаем также, 

как во второй части, а именно, перенесем элементы ядра в начало системы собственных 

функций и обозначим их φ i , i = 1, n. Нетрудно заметить, что оператор B является самосопряженным, 

а ядро оператора A 1 совпадает с ядром оператора B, следовательно 

A 1 φ i = 0, i = 1, n, т. е. существуют первые присоединенные элементы к φ i , i = 1, n. 

Очевидно, что эти элементы будут линейно зависимы с элементами ядра оператора B, поэтому 

возьмем ϕ (2) 

i = 0, i = 1, n. Проверим, существуют ли еще присоединенные элементы 

A 1 ϕ (2) 

i + A 0 ϕ (1) 

i = −adb 2 φ i , i = 1, n, то есть цепочка оборвалась. Таким образом, показано 

что оператор B имеет полный жорданов набор, т. е. выполнено условие I) теоремы 1. 

Положим ψ i = −adb 2 φ i , i = 1, n, z i = −1 φ 

adb 2 i , i = 1, n, γ i = φ i , i = 1, n. Построим 

оператор Шмидта 

Γ = 

+∞∑ 

k=n+1 

〈•, φ i 〉 

(b + λ k ) 2 φ i + 

n∑ 

k=1 

〈•, φ i 〉 

adb 2 φ i. 

Выпишем операторные коэффициенты для квадратного уравнения из условия II) теоремы 

1 

A 1 Γ = (a + d) 

+∞∑ 

k=n+1 

λ k 〈•, φ i 〉 

(b + λ k ) φ i, A 0 Γ = −ad 

+∞∑ 

k=n+1 

λ 2 k 〈•, φ i〉 

(b + λ k ) 2 φ i − 

n∑ 

k=1 

〈•, φ i 〉 

ad φ i. 

Нетрудно убедиться, что корни из второй части теоремы 5 удовлетворяют условию II) 

теоремы 1. Таким образом, доказана разрешимость начально-краевой задачи для уравнения 

(7) в классе обобщенных функций K +(E ′ 1 ). 

Замечание 3. Условия существования классического решения начально-краевой 

задачи для уравнения (7) записать на основе ранее полученных результатов невозможно 

в силу того, что начальные условия не являются классическими условиями Коши. 

Определение таких условий является предметом отдельного исследования. Причем 

условия должны совпадать с условиями существования классического решения системы 

(6), полученными М. В. Фалалеевым в [4]. 

124


[1] Ю.Б. Русак Обобщённая жорданова структура в теории ветвления: Дис. ... канд. 

физ. мат. наук. Ташкент, АН УССР, 1979. 


операторов в банаховых пространствах. - Сиб. Мат. Журнал 2000. т. 41, N5. 

с. 1167–1182. 

[3] А.Г. Свешников, А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер Линейные и нелинейные 

уравнения соболевского типа. М. Физмалит, 2007. 

[4] М.В. Фалалеев Обобщённые решения линеаризованной системы уранений Буссинеска. 

- Математика и проблемы её преп. в вузе: Труды III межвуз. зон. конф., посв. 

памяти проф-ра Б.А. Бельтюкова. Иркутск. Изд-во ИГПУ, 2007. с. 77-79. 

[5] G. Chen, H. Zang Initial boundary value problem for a system of generalized IMBq 

equations. - Math. Meth. Appl. Sci. 2004, v. 27. p. 497-518. 

[6] А.В. Красник Задача Коши-Дирихле для уравнений электронных и ионно-звуковых 

волн в замагниченной плазме. - Ляпуновские чтения & презентация информационных 

технологий. Материалы конф. Иркутск, 2007, с 18. 

[7] А.В. Красник Обобщённые решения вырожденной задачи Коши для 

дифференциально-операторного уравнения четвёртого порядка. - Известия Иркутского 

гос. ун-та. Серия математика. 2007. Т.1, №1. С. 141-148. 

INVESTIGATION SOLVABILITY CAUCHY-DIRICHLET PROBLEM FOR 

SOME SOBOLEV TYPE EQUATIONS 

A.V. Krasnik 

Irkutsk State University, Irkutsk 

e-mail: krasnik_andrey@mail.ru 

Abstract. Investigation solvability Cauchy-Dirichlet problem for three sobolev type equations of the 

higt order. 

Key words: sobolev-type equation, generalized solutions. 

125

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ГРАНИЧНОГО 

УСЛОВИЯ В ЗАДАЧЕ ИНДУКЦИОННОГО КАРОТАЖА 

Н.А. Луговая, С.А. Терентьев 

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск 

e-mail: lugovaya@omsu.ru, terentev@math.omsu.omskreg.ru 

Аннотация. Задача индукционного каротажа формулируется как краевая задача в области, 

содержащей скважину и зону проникновения. В качестве граничного условия используется 

точное интегро-дифференциальное условие. Оно может эффективно вычисляться в случае, 

когда параметры вмещающей среды зависят лишь от одной декартовой координаты. Представлены 

многосеточный итерационный метод решения двумерной осесимметричной задачи 

индукционного каротажа и результаты вычислительных экспериментов на тестовых задачах. 

Ключевые слова: индукционный каротаж, интегро-дифференциальное граничное условие, 

многосеточный метод. 


Большинство методов решения обратных задач в геофизике основывается на 

решении достаточно большого набора прямых задач. Поэтому точность и быстродействие 

алгоритмов решения прямых задач являются предметом многочисленных 

исследований и разработок. Для сокращения расчетной области обычно используются 

приближенные условия PML. В настоящей работе для этой цели используется точное 

интегро-дифференциальное граничное условие. Рассмотрение в области источников аномального 

поля позволяет избежать сгущения сетки либо повышения порядка элементов 

для учета особенностей решения. Многосеточный итерационный метод, представленный 

для двумерной осесимметрической задачи индукционного каротажа в квазистационарном 

приближении, является асимптотически оптимальным по трудоемкости. 


В работе рассматривается изотропная среда с электромагнитными параметрами: диэлектрической 

проницаемостью ε, электрической проводимостью σ и постоянной магнитной 

проницаемостью, равной проницаемости вакуума µ = µ 0 . Электромагнитное поле изменяется 

во времени по закону e −iωt с круговой частотой ω. 

Задача решается в областях Ω 1 ⊂ Ω 2 ⊂ R 3 . Область Ω 1 с границей Γ 1 является частью 

области скважины. Она содержит источники электромагнитного поля и имеет постоянные 

электромагнитные параметры среды. Данные источники в однородном пространстве R 3 с 

параметрами среды Ω 1 возбуждают первичное электромагнитное поле E 0 , H 0 . Область Ω 2 

с границей Γ 2 содержит скважину и зону проникновения. Электромагнитные параметры 

внешней к Ω 2 области R 3 \Ω 2 являются функциями только одной декартовой координаты, 

не обязательно параллельной оси скважины (в этом случае тензор Грина допускает 

эффективное вычисление). 

Предполагается, что комплексная проводимость σ ′ = σ − iωε является кусочнонепрерывной 

и ограниченной функцией. В точках непрерывности σ ′ электромагнитное 

126

поле описывается уравнениями Максвелла. На поверхностях разрыва σ ′ выполняются 

условия непрерывности тангенциальных составляющих электромагнитного поля. Электромагнитное 

поле также удовлетворяет условиям излучения на бесконечности [1]. 

Будем рассматривать электрическую составляющую E электромагнитного поля, а в 

области Ω 1 уравнения будем записывать относительно аномального поля E − E 0 . 

2. Математическая модель 

Рассматривается гильбертово пространство 

H(rot, Ω) = {u| u∈(L 2 (Ω)) 3 , rot u∈(L 2 (Ω)) 3 } , 

∫ 

{ 

‖u‖ = |u| 2 + |rotu| 2} dΩ. 

Ω 

Вариационная постановка задачи. Найти E ∈ H(rot, Ω 2 ) такое, что ∀ V ∈ H(rot, Ω 2 ) 

∫ 

{ 

rot(E − E 0 ) rotV − k 2 (E − E 0 )V } ∫ 

{ 

dΩ + rotE rotV − k 2 EV } dΩ = 

Ω 1 

∫ 

∫ Ω 2 \Ω 1 

(1) 

= − [rotE×V]n 2 dΓ + [rotE 0 ×V]n 1 dΓ , 

Γ 2 Γ 1 

1 

[ ∫ 

2 [n { 

2×rotE] − n 2 × ω 2 µ[n 2 ×E]G H − iω σ [n 2×rotE]rotG H − iω ′ σ (n 2rotE)divG H} ] 

dΓ = 0,(2) 

′ 

Γ 2 

где n 1 , n 2 – нормали к Γ 1 и Γ 2 , внешние к Ω 1 и Ω 2 соответственно; G H – матрица фундаментальных 

решений магнитного типа для задачи в пространстве R 3 с параметрами 

вмещающей среды R 3 \Ω 2 ; параметр k 2 = iωµσ ′ . Интегро-дифференциальное граничное 

условие (2) следует из обобщения формул Стрэттона-Чу для среды, параметры которой 

зависят от одной декартовой координаты (например, горизонтально-слоистая среда) [1]. 

Интегрирование в уравнении (2) следует понимать в смысле главного значения Коши, 

поскольку диагональные элементы G H имеют особенность: G H pp(M, M 0 ) ∼ σ′ (M 0 ) 

4πiωR MM0 

R MM0 

→ 0. 

Рассмотрим случай вертикальной скважины, когда свойства среды не зависят от азимутальной 

координаты ϕ цилиндрической системы координат {r, ϕ, z} , ось Oz которой 

совпадает с осью скважины. В качестве источника выберем набор соосных со скважиной 

катушек, возбуждающих только азимутальную компоненту электрического поля E ϕ . Тогда 

задача решается в областях Ω 1 ⊂ Ω 2 ⊂ R + ×R с искомой функцией u(r, z) = E ϕ (r, z) и 

известным первичным полем u 0 (r, z) = E 0 ϕ(r, z). При этом решение u(r, z) удовлетворяет 

условиям на оси и бесконечности: 

1. u(0, z) = 0 ∀z ∈(−∞, ∞), 

∂u 

2. u ∼ o(1/R), 

∂r − iku ∼ o(1/R) при R = √ r 2 + z 2 → ∞. 

Рассматривается гильбертово пространство 

H(rot ϕ , Ω) = {u | u∈L 2 (Ω) , ∂u 

∂z ∈L2 (Ω) , 1 ∂(ru) 

∈L 2 (Ω)} , 

∫ { 

r ∂r 

‖u‖ = u 2 + ( } 

∂u) 2 (1 ∂(ru) ) 2 

+ r dr dz. 

∂z r ∂r 

Ω 

127 

при

Вариационная постановка задачи. Будем предполагать, что контур Γ 2 является вертикальной 

прямой. Требуется найти u ∈ H(rot ϕ , Ω 2 ) такое, что для ∀v ∈ H(rot ϕ , Ω 2 ) 

∫ [ 

r ∂ ∂z (u − u0 ) ∂v 

Ω 1 

∫ [ 

+ r ∂u ∂v 

∂z ∂z + 1 r 

Ω 2 \Ω 1 

∂z + 1 r 

∂ 

∂r (r(u − u0 )) ∂(rv) 

∂r 

] 

∂(ru) ∂(rv) 

− k 2 ruv 

∂r ∂r 

∫ [ 

1 ∂(ru) 

+ 

2 ∂r 

Γ 2 

k 2 ruG + ∂(ru) ∂G 

∂r ∂r − r ∂u 

∂z 

] ∫ 

− k 2 r(u − u 0 )v drdz − 

∫ [ ∂(ru 0 ) 

drdz = − n r + r ∂u0 

∂r ∂z n z 

Γ 1 

∂G 

∂z 

∂(ru) 

∂r vdz + 

Γ 2 ] 

vdl, 

(3) 

] 

dz = 0, (4) 

где n r , n z – компоненты вектора n 1 в данной системе координат. Фундаментальное решение 

G(M, M 0 ) данной задачи в пространстве R + ×R с электромагнитными параметрами 

вмещающей среды R + ×R \ Ω 2 представляется потенциалом кольцевого пояса вертикально 

ориентированных магнитных диполей [2]. При совпадении точек M и M 0 ядро G(M, M 0 ) 

имеет логарифмическую, а ядро ∂G(M,M 0) 

- сильную особенности, поэтому интегрирование 

∂z 

последнего слагаемого следует понимать в смысле главного значения Коши. 

3. Дискретизация 

Рассмотрим решение задачи (3)-(4) в прямоугольнике D = {(r, z) | 0

∑ 

∫ 

(u kl − u 0 kl) 

(k,l)∈D1 

h 

+ ∑ ∫ [ 

u kl 

(k,l)∈D2 

h Ω 2 \Ω 1 

= ∑ 

(k,l)∈Γ h 2 

[ ∂(ru) 

∂r 

Ω 1 

[ 

r ∂υ kl 

∂z 

∂υ mn 

∂z 

∂υ mn 

+ 1 r 

r ∂υ kl 

+ 1 ∂z ∂z r 

] ∫ 

∫ 

υ kl υ mn dz − 

l 

Γ 2 

[ ∂(ru 0 ) 

∂r 

Γ 1 

∂(rυ kl ) ∂(rυ mn ) 

− k 2 rυ kl υ mn 

]drdz+ 

∂r ∂r 

∂(rυ kl ) ∂(rυ mn ) 

− k 2 rυ kl υ mn 

]drdz = 

∂r ∂r 

n r + r ∂u0 

∂z n z 

] 

υ mn dl, ∀(m, n) ∈ D h . 

В работе в качестве базисных функций υ mn используются билинейные функции, равные 

1 в (m, n)-узле и 0 в остальных. Интегралы по областям Ω 1 и Ω 2 \ Ω 1 , содержащие в 

качестве подынтегральной функции функцию k 2 , вычисляются на каждом прямоугольнике 

разбиения за счет билинейной интерполяции k 2 по вершинам этого прямоугольника. 

Остальные двумерные интегралы вычисляются аналитически. Интегралы по контуру Γ 1 

явно не вычисляются. При построении разностной схемы в качестве неизвестной рассматривается 

функция ǔ, равная u − u 0 в Ω 1 и u в Ω 2 \ Ω 1 . Вместо вычисления интеграла по 

контуру Γ 1 учитывается скачок искомой функции на величину u 0 . То есть, в уравнениях 

для {(m, n) | (r m , z n ) ∈ Ω 1 } неизвестные значения искомой функции в узлах из Ω 2 \ Ω 1 

заменяются значениями ǔ − u 0 . В уравнениях для {(m, n) | (r m , z n ) ∈ Ω 2 \ Ω 1 } неизвестные 

значения искомой функции в узлах из Ω 1 заменяются значениями ǔ + u 0 . 

Для дискретизации (4) используется метод коллокаций. Решение на границе Γ 2 представляется 

в виде 

u(r 2 , z) ≈ ∑ n∈Γ h 2 

α n ν n (z) , 

(6) 

∂(ru) 

∂r (r 2, z) ≈ ∑ β n ν n (z) , (7) 

n∈Γ h 2 

где в качестве системы координатных функций {ν n } выбрана совокупность локальных 

В-сплайнов. В работе применяются параболические сглаживающие сплайны, у которых 

точки разрыва вторых производных совпадают с центральными точками отрезков исходной 

сетки. Так например, в случае равномерной сетки формулы связи искомых функций 

и коэффициентов имеют вид 

α n = − 1 8 

( ) 

un−1 − 10 u n + u n+1 , βn = − 1 ( [∂(ru) ] 

8 

∂r 

n−1 

− 10 

[ ∂(ru) 

] 

+ 

∂r n 

[ ∂(ru) 

] ) 

. (8) 

∂r n+1 

Выписывая (4) во всех точках коллокации M m ∈ Γ h 2, приходим к системе уравнений 

( 1 

) ∂(ru) 

2 I + J A + F A u = 0, (9) 

∂r 

и u – сеточные функции, определенные в узлах из Γ h 2. Матрица A определяется 

формулами вида (8) для случая неравномерной сетки. В случае равномерной сетки элементы 

главной диагонали матрицы A равны 10, а над и под диагональю – (− 1 ). Элементы 

8 8 

матриц J и F вычисляются по формулам 

∫ 

∂G 

J mn = (M, M m ) ν n dz 

∂r 

M 

, 

M 

где ∂(ru) 

∂r 

∫ 

F mn = 

Γ 2 

[ 

Γ 2 

k 2 r G(M, M m ) ν n 

129 

− r ∂G (M, M m ) ∂ν ] 

n 

dz 

∂z M 

∂z 

M 

. 

M 

(10)

Интегралы вычисляются по отрезкам, концы которых являются точками разрыва вторых 

производных используемых сплайнов. На отрезках, содержащих точку коллокации, применяется 

составная квадратурная формула наивысшей алгебраической степени точности, 

и разбиение выбирается достаточно близким к оптимальному для вычисления подынтегральных 

функций с логарифмической особенностью. При этом разбиение отрезка строится 

симметрично относительно точки коллокации, что обеспечивает вычисление главного 

значения сингулярного интеграла. На остальных отрезках применяется несоставная квадратурная 

формула наивысшей алгебраической степени точности. С удалением от точки 

коллокации требования к относительной точности интегрирования ослабевают. Поэтому 

длины отрезков интегрирования увеличиваются. Параметры применяемых квадратур подбираются 

экспериментально. 

Построив систему (9) и обратив матрицу ( 1 

I + J A) , выражаем значения сеточной 

2 

функции ∂(ru) через значения сеточной функции u на Γ h ∂r 

2. Полученные зависимости 

подставляются в систему (6). Построенная таким образом система с неизвестными 

значениями функции u на D h решается циклическим многосеточным методом. Оператор 

построенной системы составляет сумму двух операторов. Первый оператор связывает 

значения функции в нескольких "соседних" узлах, а второй связывает все значения 

функции на границе Γ 2 . Заметим, что возможен иной подход к решению поставленной 

задачи – решение системы {(6),(9)} в целом относительно функций u на D h и ∂(ru) на Γ h ∂r 2 

многосеточным методом, не разрешая уравнения (9) относительно ∂(ru) . ∂r 

4. Многосеточный метод 

Многосеточный алгоритм представляет собой итерационный процесс, на каждой итерации 

которого приближенное решение задачи ищется за счет сглаживания невязки и рекурсивного 

спуска на более редкую сетку для определения поправки. Используя несколько 

уровней дискретизации, алгоритм устраняет конфликты между гладкими компонентами 

решения, которые можно эффективно аппроксимировать на редких сетках, но которые 

медленно сходятся на частых сетках, и высокочастотными компонентами, которые необходимо 

аппроксимировать с помощью частых сеток [3]. 

В данной работе реализован полный многосеточный алгоритм с W,F,V-циклами, включающий 

и многосеточную экстраполяцию. В качестве сглаживающего оператора используется 

метод Гаусса-Зейделя, а при послесглаживании применяется противоположный перебор 

узлов. Набор сеток строится за счет рекурсивного уменьшения шага редкой сетки в 

2 раза по обоим направлениям. Для переноса поправки с сетки D 2h на частую сетку D h используется 

оператор билинейной интерполяции. А для сноса невязки с сетки D h на редкую 

сетку D 2h используется оператор, сопряженный к оператору билинейной интерполяции. 

Система, задающая дискретную задачу, на наборе сеток строится следующим образом. 

Двумерные интегралы, содержащие k 2 , вычисляются лишь на самой частой 

сетке, и рекурсивно пересчитываются на редкие сетки по формулам, вытекающим из 

представления базисных функций редкой сетки через базисные функции частой сетки. 

Остальные двумерные интегралы на каждой сетке вычисляются по аналитическим 

формулам. Оператор, связывающий все значения функции на границе Γ 2 , рекурсивно 

перестраивается с частой сетки на редкие сетки аналогично сносу невяки. 

130

5. Численный эксперимент 

Тестирование метода произведено на модельных задачах для цилиндрически-слоистых 

и горизонтально-слоистых сред, которые допускают решение методом разделения переменных. 

Продемонстрируем результаты экспериментов, полученные при решении модельной 

задачи для трехслойной цилиндрически-слоистой среды в квазистационарном приближении. 

Удельное сопротивление ρ(r) = 1/σ(r) зависит только от радиуса 

⎧ 

⎨ ρ t , r < r t , 

ρ(r) = ρ iz , r < r iz , 

⎩ 

ρ m , r r iz . 

Здесь r t – радиус скважины, r iz – радиус зоны проникновения, ρ t , ρ iz , ρ m – удельные 

сопротивления скважины, зоны проникновения и вмещающей среды соответственно. В 

качестве источника рассматривается кольцо с электрическим током, центр которого лежит 

на оси Oz. Оно имеет радиус r 0 и расположено в плоскости z = 0. 

Тестовое решение такой модельной задачи строится с использованием преобразования 

Фурье по координате z [4]. Численная реализация обратного преобразования Фурье 

осуществляется методом, изложенным в [2]. Это решение сравнивается с двумя другими 

численными решениями этой же задачи, которые получены с использованием различных 

граничных условий. Для области D 1 с малым радиусом r 2 используется интегродифференциальное 

граничное условие на границе Γ 2 (сплошная линия). Для области D 2 

с достаточно большим радиусом r 2 на границе Γ 2 используется приближенное однородное 

условие Дирихле (пунктирная линия). Вертикальные размеры областей выбираются 

достаточно большими. В обоих случаях на верхней и нижней границах предполагаются 

выполненными приближенные однородные условия Дирихле. На графиках показана вычислительная 

погрешность полного поля E ϕ вдоль оси скважины при заданном радиусе r 

в зависимости от расстояния z между приемной и передающей катушками. 

Рис. 1: Значения погрешности |∆Eϕ| 

|E ϕ | 

% (слева) и |∆ arg E ϕ | 0 (справа) при r = 0.03 м на отрезке 

z ∈ [0.1, 0.8] м; r 0 = 0.03м, f = 16 МГц, r t = 0.1 м, r iz = 0.5 м, ρ t = 256 Ом · м, 

ρ iz = 64 Ом·м, ρ m = 16 Ом·м, D 1 = [0, 0.86] м×[−4.8, 5.7] м, D 2 = [0, 9.4] м×[−4.7, 5.5] м 

Эксперименты проведены для различных параметров k 2 (r) = iωµ , ω = 2πf. Сетка 

ρ(r) 

строится равномерной вблизи источника, и по мере удаления от источника шаг сетки 

увеличивается. Величина шага в окрестности источника выбирается в зависимости от 

131

таких параметров задачи, как частота, проводимость и требование к точности решения. 

На рис. 1 и рис. 2 представлены результаты, полученные при начальном шаге самой частой 

сетки h 0 = 0.00625м. На рис. 3 – при h 0 = 0.0025м. Область Ω 1 выбиралась прямоугольной 

и приблизительно равной [0, r t ]×[−1.2r t , +1.2r t ]. 


|E ϕ | 


z ∈ [0.1, 0.8] м; r 0 = 0.03м, f = 4 МГц, r t = 0.1 м, r iz = 0.5 м, ρ t = 1 Ом·м, ρ iz = 4 Ом·м, 

ρ m = 16 Ом·м, D 1 = [0, 0.86] м×[−4.8, 5.7] м, D 2 = [0, 9.4] м×[−4.7, 5.5] м 


|E ϕ | 


z ∈ [0.1, 0.8] м; r 0 = 0.03м, f = 1 МГц, r t = 0.1 м, r iz = 0.5 м, ρ t = 0.025 Ом · м, 

ρ iz = 1 Ом·м, ρ m = 16 Ом·м, D 1 = [0, 1] м×[−5.6, 7.3] м, D 2 = [0, 9.7] м×[−5.5, 6.9] м 

Сравнение результатов в рассмотренной модельной задаче показывает достаточно хорошую 

работу многосеточного алгоритма для решения двумерной задачи индукционного 

каротажа в квазистационарной постановке с использованием интегро-дифференциального 

граничного условия. В данных экспериментах погрешности решения задачи при двух различных 

подходах близки по величине, что подтверждает правильность построения и реализации 

интегро-дифференциального граничного условия. Время работы многосеточного 

итерационного алгоритма по области D 2 превышает в 3-4 раза время его работы по области 

D 1 в связи с существенно большим числом узлов сетки. В тоже время, при решении 

задачи в области D 1 необходима дискретизация интегро-дифференциального граничного 

условия, требующая существенных временных затрат. Последнее обстоятельство приводит 

132

к тому, что первый подход выгодно использовать при массовом вычислении задач с одинаковыми 

параметрами вмещающей среды. Например, при решении обратных задач относительно 

параметров зоны проникновения дискретизация интегро-дифференциального 

граничного условия может выполняться один раз. Подходы, использующие более простые 

приближенные условия PML, предпочтительней использовать при решении серии задач с 

изменяющимися параметрами вмещающей среды. 


[1] В.И. Дмитриев, Е.В. Захаров Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. 

М.: МГУ, 1987. 167 с. 

[2] Л.А. Табаровский Применение метода интегральных уравнений в задачах геоэлектрики. 

Новосибирск: Наука, 1975. 142 c. 

[3] P. Wesseling An introduction to multigrid methods. John Wiley & Sons, 1992. 284 c. 

[4] А.А. Кауфман Теория индукционного каротажа. Новосибирск: Наука, 1965. 236 c. 

APPLICATION OF THE INTEGRO-DIFFERENTIAL BOUNDARY 

CONDITION FOR THE PROBLEM OF INDUCTION LOGGING 

N.A. Lugovaya, S.A. Terentyev 

Omsk State University, Omsk 

e-mail: lugovaya@omsu.ru, terentev@math.omsu.omskreg.ru 

Abstract. The problem of induction logging is formulated as a boundary problem in the domain 

containing a borehole and an invaded zone. Exact integro-differential condition is used as a boundary 

condition. It can be efficiently computed when the parameters of the containing medium depend on a 

single Cartesian coordinate. We present a multigrid iterative method for solving the two-dimensional 

axisymmetric induction logging problem and results of the computational experiments for test 

problems. 

Key words: induction logging, integro-differential boundary condition, multigrid method. 

133

О ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТИ ФОРМ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ЧЕТВЕР- 

ТОГО ПОРЯДКА 

М.А. Новиков 

Институт Динамики Систем и Теории Управления СО РАН 

e-mail: nma@icc.ru 

Аннотация. В статье на примере формы четветого порядка двух переменных предложен новый 

способ решения задачи знакоопределенности однородных форм. Метод состоит в степенной 

замене переменных, посредством которой возможно сведение к квадратичной форме. Следствием 

такого преобразования является другая, равная нулю, квадратичная форма. Линейная связка 

полученных квадратичных форм дает параметризованную квадратичную форму. После приведения 

последней к сумме полных квадратов знакоопределенность квадратичной параметрической 

матрицы сводится к условно экстремальной задаче с одним параметром. Требование положительности 

коэффициентов при полных квадратах получает необходимые и достаточные условия 

знакоопределенности параметрической квадратичной формы. Проведено полное соответствие 

знакоопределенности, знакопеременности и знакопостоянства параметрической квадратичной и 

исходной форм. 

Ключевые слова: форма, квадратичная форма, знакоопределенная форма, знакопеременная 

форма, знакопостоянная форма, экстремум 

В [1, 2] приведены необходимые и достаточные условия знакоопределенности однородной 

формы 4 пордка двух переменных, полученные из прямого анализа корней уравнения 

четвертой степени. Существуют способы, опирающиеся на Ганкелевы матрицы [3, 4, 5]. 

Изложим другой способ, основанный на отыскании экстремума некоторой функции. 

Пусть исследованию на знакоопределенность подлежит форма 

W (x, y) = x 4 + p x 2 y 2 + q x y 3 + r y 4 , (1) 

где p, q, r (r > 0) – вещественные, и не уменьшая общности исключен член x 3 y. 

1. Редукция к квадратичным формам 

Значительно проще решаются задачи о знакоопределенности, связанные с квадратичными 

формами. Поэтому введем степенную замену переменных: 

z 1 = x 2 , z 2 = xy, z 3 = y 2 , 

для которой имеет место z2 

2 = z 1 z 3 . Между мономами исходной и преобразованной форм 

при таком выборе переменных можно установить два вида соответствий: 

1. x 4 = z1, 2 x 2 y 2 = z2, 2 xy 3 = z 2 z 3 , y 4 = z3; 

2 

2. x 4 = z1, 2 x 2 y 2 = z 1 z 3 , xy 3 = z 2 z 3 , y 4 = z3; 

2 

Представим форму (1) виде квадратичной по первому соответствию переменных: 

V 1 (z) = z 2 1 + pz 2 2 + qz 2 z 3 + rz 2 3 . 

Ее значение не изменится, если к ней прибавить форму: 

V 2 (z) = 2z 1 z 3 − 2z 2 2 = 0 , 

134

умноженную на любое вещественное число α. В дальнейшем будем исследовать на знакоопределенность 

квадратичную форму 

V (z, α) = V 1 (z) + α V 2 (z) . (1.1) 

Приводя каким-либо способом [6, 7] квадратичную форму к сумме квадратов, по коэффициентам 

при этих квадратах можно сделать определенные заключения о знакоопределенности 

V (z, α). Выполним это самым простым методом последовательного исключения [6] 

и получим 

V (z, α) = (z 1 + α z 3 ) 2 + J 2 (α) [z 2 + gz 3 /2J 2 (α)] 2 + ∆(α) z 2 3 , 

где обозначено: ∆(α) = J 3 (α)/J 2 (α); J 2 (α) = p − 2 α; J 3 (α) = 2 α 3 − p α 2 − r α + 

p r − g 2 /4. 

При этом переменные z 1 , z 2 , z 3 удовлетворяют условию связи вида V 2 (z) = 0, которую 

можно рассматривать ограничением на область определения переменных: z 1 ≥ 0; z 3 ≥ 0. 

Проведем вначале анализ квадратичной формы (1.1), затем установим ее свзь с формой 

(1). По критерию Сильвестра [6, 7] для положительной определенности V (z, α) достаточно, 

чтобы существовала область D ⊂ R (D ≠ 0) значений параметра α, в которой 

выполняется система неравенств: 

{ 

J2 (α) > 0 

J 3 (α) > 0 

(1.2) 

Область D будем выбирать с целью приблизить достаточные условия знакоопределенности 

квадратичной формы к необходимым. Для этого исходя из условия J 2 (α) > 0, 

потребуем положительным наибольшее значение локального экстремума J 3 (α). Таким 

образом, поставлена задача условного экстремума: 

max J 3(α) > 0 . 

J 2 (α)>0 

Исследование условного экстремума проще провести простым способом: определить точку 

α 1 локального максимума функции f(α) = J 3 (α)/2, и затем проверить условие J 2 (α 1 ) > 

0. Искомое значение α 1 находится среди корней уравнения f ′ (α) = 3 α 2 − p α − 

r = 0. Локальному максимуму здесь соответствует меньший корень α 1 = (p − 

√ 

p2 + 12 r)/6 < 0. Вычисления дают значения: f(α 1 ) = [36 p r − p 3 + √ (p 2 + 12 r) 3 − 

27 g 2 /2]/108; J 2 (α 1 ) = (2p + √ p 2 + 12 r)/3. Рассматривая полученные значения при 

разных знаках p, сведем требования (1.2) к системе 

{ 

1. p > −2 √ r , 

2. q 2 < 8 pr/3 − 2 p 3 /27 + 2 √ (p 2 + 12r) 3 /27 

(1.3) 

Любое отклонение от α 1 нарушает второе условие (1.3), тем самым сужает условия 

знакоопределенности (1.1). Следовательно, (1.3) являются необходимыми и достаточными 

условиями положительной определенности (1.1). 

135

2. Основные свойства квадратичной формы V (z, α). 

Установим зависимость знакоопределенности V (z, α) от корней уравнения 

f(λ) = λ 3 − p λ 2 /2 − r λ + pr/2 − g 2 /8 = 0 . (2.1) 

Прежде всего покажем, что при втором условии (1.3) уравнение (2.1) всегда имеет три 

различных вещественных корня. Перепишем это условие в виде 

(p 2 + 12r) 3 > (p 3 − 36 pr + 27 g 2 /2) 2 , 

и после возведения в степени получим 

Q(p, q, r) = r (p 2 − 4r) 2 + q 2 (9 pr − p 3 /4 − 27 q 4 /16 0 . 

Для кубического уравнения (2.1) дискриминант [8] равен значению: −Q(p, q, r)/9 3 . Согласно 

[8, 9] в этом случае заключаем о вещественности всех корней уравнения (2.1). Это 

и подтверждает, что при выполнении второго условия (1.3) уравнение (2.1) всегда имеет 3 

различных вещественных корн. Кратные корни (2.1) возможны при Q(p, q, r) = 0, когда 

q 2 = 8 pr/3 − 2 p 3 /27 ± 2 √ (p 2 + 12r) 3 /27 . 

Можно легко установить неравенство √ (p 2 + 12r) 3 + p 3 36 pr при любых значениях 

p. Действительно, возводя в квадрат неравенство √ (p 2 + 12r) 3 36 p r − p 3 , получим 

очевидное r (p 2 − 4 r) 2 0. Поэтому равенство q 2 = 8 pr/3 − 2 ( √ (p 2 + 12r) 3 + p 3 )/27 

возможно в единственном случае при g = 0; p = 2 √ r. Другое равенство q 2 = 

8 pr/3 + 2 ( √ (p 2 + 12r) 3 − p 3 )/27 может выполняться как при g = 0, так и при g ≠ 0. 

Справедливо следующее 

Утверждение 1. Для знакоопределенности (1.1) необходимо и достаточно, чтобы все 

корни уравнения (2.1) были вещественными, наименьший из них был не кратным и принимал 

значения, меньшие чем p/2. 

Доказательство. Необходимость. Пусть V (z, α) ≫ 0, тогда при значениях λ ∈ D 

выполняются J 2 (λ) > 0; J 3 (λ) > 0. Как ранее говорилось, J 3 (λ) > 0 в случае трех 

вещественных различных корней уравнения (2.1). Для анализа знакопостоянств знаков 

f(λ) можно выделить интервалы: 

1. I 1 = (−∞, λ 1 ) , ( здесь f(λ) < 0), 

2. I 2 = (λ 1 , λ 2 ) , λ 1 < λ 2 ( здесь f(λ) > 0), 

3. I 3 = (λ 2 , λ 3 ) , λ 2 < λ 3 ( здесь f(λ) < 0), 

4. I 4 = (λ 3 , ∞) , ( здесь f(λ) > 0). 

Положительной определенности могут соответствовать только интервалы I 2 , I 4 . Требование 

J 2 (λ) > 0 приводит к λ 1 < p/2. Для значений λ 1 ∈ I 2 , когда выполнено 

J 2 (α 1 ) > 0; J 3 (α 1 ) > 0, форма (1.1) положительно определена как сумма 3 положительных 

квадратов. 

Необходимость в анализе I 4 возникает в случае, когда λ 1 = λ 2 , а также для проверки 

условий (1.2). Записав выражение f(λ) в виде [(λ−p/2) (λ 2 −r) − g 2 /8], можно заключить, 

что наибольший корень λ 3 уравнения (2.1) не меньше значения max [p/2, √ r]. Притом 

равенство достигается только при g = 0. Рассмотрим здесь две возможности: 

136

1) p < 2 √ r; 2) p 2 √ r. 

В первом случае для значений λ > λ 3 √ r > p/2 получим оценку: J 2 (λ) < 

J 2 (λ 3 ) J 2 ( √ r) < J 2 (p/2) = 0. Отсюда следует J 2 (λ) < 0, и квадратичная форма 

(1.1) при λ > λ 3 знакопеременна. 

Во втором случае для значений λ > λ 3 p/2 √ r существует другая 

оценка: J 2 (λ) < J 2 (λ 3 ) J 2 (p/2) = 0. Для неотрицательных значений J 2 (λ) интерес 

может представлять только единственный случай λ = λ 3 = p/2 √ r , и только 

для исследования знакопостоянства V (z, p/2) при g = 0; p √ r. 

Из вышеприведенного следует, что знакоопределенность квадратичной формы (1.1) может 

быть на корнях уравнения (2.1) при λ 1 < p/2. 

Д о с т а т о ч н о с т ь. При только одном вещественном корне уравнения (2.1) сразу 

имеет место неравенство Q(p, q, r) > 0, что приводит к не выполнению второго условия 

(1.3). Отсюда сразу следует знакопеременность (1.1). Если λ 1 > p/2, то при λ ∈ I 2 

выполняется J 2 (λ) < J 2 (λ 1 ) < J 2 (p/2) = 0. При этих значениях всюду V (z, λ) 

знакопеременна. Следовательно, утверждение доказано. 

При значениях кратных корней (2.1) λ 1 = λ 2 > p/2 форма (1.1) знакопеременна в 

силу J 2 (λ < 0. В случае λ 1 = λ 2 p/2 < 0 будет J 2 (λ 1 ) 0; J 3 (λ 1 ) = 0. При 

этом форма V (z, p/2) знакопостоянна. Тем самым установлено 

Утверждение 2. Для знакопостоянства (1.1) необходимо и достаточно, чтобы наименьший 

из вещественных корней уравнения (2.1) был кратным и не превосходил значения 

p/2. 

Канонический вид V (z, α) в случае знакопостоянной формы должен состоять из двух 

или одного неотрицательных слагаемых. Очевидно, два слагаемых будет при λ 1 = λ 2 < 

p/2 < 0. Примером тому форма с значениями: p = 11; r = 4; g 2 = 4900/27, когда 

λ 1 = λ 2 = −1/3 < p/2 = 2. Квадратичная форма V (z, −1/3) здесь знакопостоянна, 

так как J 2 (λ 1 ) = 35/6; J 3 (λ 1 ) = 0. В другом случае при p = −2 √ r; g = 0 

получим: λ 1 = λ 2 = − √ r = p/2; J 2 (λ 1 ) = 0; J 3 (λ 1 ) = 0. В этом примере 

квадратичная форма V (z, p/2) представлена одним квадратом и потому знакопостоянна. 

Исключая знакоопределенные и знакопостоянные формы, легко установить 

Утверждение 3. Для знакопеременности (1.1) необходимо и достаточно, чтобы 

выполнялось одно из условий: 

1. уравнение (2.1) имеет только один вещественный корень, 

2. наименьший из трех вещественных корней превосходит значение p/2. 

Здесь достаточно хотя бы одного отрицательного значения из J 2 (α); J 3 (α) при вещественных 

α, когда система (1.2) не совместна. Из вышеприведенного следует, что в случае 

одного вещественного корня (2.1), когда квадратичная форма (1.1) знакопеременна при 

любых действительных α, всегда J 3 (α) < 0. 

Сформулированные утверждения записаны в терминах корней уравнения (2.1). Форма 

(1.1) содержит связь, выражаемую соотношением V 2 (z) = 0. Поэтому свойства параметризованной 

квадратичной формы (1.1) несколько отличаются от простой квадратичной 

формы V 1 (z). Так форма V 1 (z) = z1 2 + p z2 2 + r z3 2 при p > 0 положительно 

определена как сумма трех положительных квадратов. Квадратичная форма 

V (z, α) = (z 1 + α z 3 ) 2 + (p − 2 α) z2 2 + (r − α 2 ) z3 2 при α = p/2 или α = √ r 

определена суммой двух квадратов, которые можно составить из положительных коэффи- 

137

циентов. В случае p 2 √ r можно записать V (z, p/2) = (z 1 + p z 3 /2) 2 + (r − p 2 /4) z3. 

2 

Здесь форма V (z, p/2) знакопостоянна, как выраженная через две переменные, и обращается 

в нуль при значених z 1 = z 3 = 0. Но учитывая связь V 2 (z) = 0 в виде 

z 2 = √ z 1 z 3 , получим в рассматриваемом случае z 2 = 0. Так как V (z, p/2) = 0 только 

при z 1 = z 2 = z 3 = 0, а в остальных точках V (z, p/2) > 0 , то V (z, p/2) ≫ 0. 

Так же и в случае p > 2 √ r можно записать V (z, √ r) = (z 1 + √ r z 3 ) 2 + (p − 2 √ r) z2. 

2 

И здесь так же V (z, √ r) = 0 только при z 1 = z 2 = z 3 = 0, и потому V (z, √ r) ≫ 0. 

Вообще говоря, приведенные квадратичные формы V 1 (z) знакопостоянны относительно 

произвольных z 1 , z 2 , z 3 , но при условии связи V 2 (z) = 0 они положительно определены. 

Другая форма V 1 (z) = z1 2 + p z2 2 + r z3 2 при −2 √ r 

как квадратичная без условия связи V 2 (z) = 0. Однако уравнение (2.1) в этом случае 

имеет следующие корни: λ 1 = − √ r; λ 2 = p/2; λ 3 = √ r. Так как здесь λ 1 = − √ r < 

p/2, то по утверждению 1 эта форма положительно определена. Это видно из выражения 

знакопостоянной квадратичной формы V (z, p/2) = (z 1 + p z 3 /2) 2 + (r − p 2 /4) z3, 

2 

которая так же обращается в нуль при z 1 = z 3 = 0, но с учетом связи V 2 (z) = 0 

получим V (z, p/2) ≫ 0. 

Между квадратичной формой (1.1) и исходной (1) существует прямая зависимость. 

Очевидно, если V (z, α) при некоторых вещественных α положительно определена, то и 

(x, y) ≫ 0 как сумма трех положительных квадратов, одновременно не обращающихся 

в нуль. 

Так же прямое соответствие существует между знакопеременностью V (z, α) и 

W (x, y). Квадратичная форма (1.1) принимает отрицательные значения при z 1 = z 2 = 

0; z 3 ≠ 0. Соответствующая ей форма W (0, y) = r y 4 не очевидно знакопеременна. 

Исходную форму 4 пордка представим в виде: 

W (x, y) = (x 2 + α y 2 ) 2 + J 2 (α) y 2 [x + gy/2J 2 (α)] 2 + J 3 (α)/J 2 (α) y 4 . 

(2.2) 

Нарушение условий знакоопределенности формы (1.1) могут возникнуть в случае существования 

только одного вещественного корня уравнения (2.1) (изменение второго неравенства 

(1.3)), или при p < −2 √ r (когда J 2 (α 1 ) < 0). Покажем, что при не выполнении 

условий (1.3) исходная форма W (x, y) знакопеременна. 

Полагая α = α 1 < 0, можно обратить в нуль выражение (x 2 + α 1 y 2 ) на прмых 

x = ± √ −α 1 y. Тогда W ( √ −α 1 y; y) = G y 4 , где G = G 1 + g √ −α 1 ; G 1 = 

α1 2 − p α 1 + r = 12 r − p 2 + p √ p 2 + 12r. Выбором знака g √ −α 1 (т.е. переменной 

x) всегда можно достичь отрицательного значения g √ −α 1 . 

Рассмотрим вначале случай нарушения второго неравенства (1.3) не зависимо от выполнения 

первого. Для этого достаточно показать, что |9 g √ −α 1 | > |G 1 |. Действительно, 

возводя в квадрат левую часть последнего соотношения, запишем: 81 g 2 (−α 1 ) > 

81 (36 pr − p 3 + √ (p 2 + 12r) 3 )/27 ( √ p 2 + 12r − p)/3 = 2 √ p 2 + 12r (12 pr − p 3 ) + 

p 2 (p 2 + 12 r) + 12 r (p 2 + 12 r) + p 4 − 36 p r = p 2 (p 2 + 12 r) + (p 2 − 12 r) 2 − 

2 p (p 2 − 12 r) √ p 2 + 12r = [p √ p 2 + 12r − (p 2 − 12 r)] 2 . Так как величину G можно 

сделать отрицательной, то форма (2.2) знакопеременна при α = α 1 . 

Во втором случае, когда не выполняется первое неравенство (1.3), при p < −2 √ r 

можно показать, что выражение 9 G 1 = p √ p 2 + 12r − (p 2 − 12 r) допускает отрицательные 

значения. Действительно, в этом случае p 2 > 4 r, и тогда (p 2 − 12 r) 2 = 

p 4 + 12 p 2 r + 36 r (4 r − p 2 ) > p 2 (p 2 + 12 r). Отсюда получаем отрицательные 

значения для [p √ p 2 + 12r − (p 2 − 12 r)], и потому G 1 < 0. Следовательно, заведомо 

138

V 1 (z) , доставляющие знакоопределен- 

выполняется G < 0. 

Следует отметить, что квадратичные формы 

ность W (x, y), учитываются условиями (1.3). 


В статье показана пригодность к исследованию знакоопределенности форм выше второго 

пордка подхода, сводящего степенной заменой переменных исходную форму к квадратичной. 

Для демонстрации выбрана форма четвертого порядка двух переменных, результаты 

которой известны разными подходами: прямым методом решени алгебраического 

уравнени W (z, 1) = 0, сведением к Ганкелевым формам с последующим анализом 

числа вещественных корней уравнения W (z, 1) = 0, и другими разновидностями метода 

Штурма. Анализ свойств параметрической квадратичной формы устанавливает полное 

соответсвие ее с исходной формой двух переменных. Сопоставление с известными способами 

дает основание для распространения изложенного подхода к исследованию более 

сложных форм по порядку и числу переменных. 

В простейшем случае для форм двух переменных 

W (x, y) = x 2m + a 2m−2 x 2m−2 y 2 + . . . + a 1 x y 2m−1 + a 0 y 2m 

переход к квадратичной форме будет осуществляться степенной заменой переменных: 

z 1 = x m ; z 2 = x m−1 y; . . . ; z L = y m . 

Количество переменных квадратичной формы определяется числом всех возможных мономов 

степени k для общего числа n переменных, и вычисляется по известной формуле 

числом сочетаний из (n + k − 1) по k элементов. В приведенном случае: n = 2; k = m, 

и отсюда легко получим 

L = C m m+1 = m + 1 . 

Количество уравнений свзи так же можно получить как число всех выражений z i z j 

j = i + 2; i + 3; . . . ; L; i = 1; 2; . . . , L − 2. Оно легко вычисляется: 

при 

N = C 2 L−1 = C 2 m . 

Так для 6 порядка двух переменных форма 

W (x, y) = x 6 + a 4 x 4 y 2 + a 3 x 3 y 3 + a 2 x 2 y 4 + a 1 xy 5 + a 0 y 6 , 

при степенной замене: z 1 = x 3 ; z 2 = x 2 y; z 3 = x y 2 ; z 4 = y 3 сводится к квадратичной 

форме 

V 1 (z) = z 2 1 + a 4 z 2 2 + a 3 z 1 z 3 + a 2 z 2 3 + a 1 z 3 z 4 + a 0 z 2 4 . 

Такая замена переменных приводит к трем уравненим связи: 

V 2 (z) = 2 (z 1 z 3 − z 2 2) = 0, V 3 (z) = 2 (z 1 z 4 − z 2 z 3 ) = 0, V 4 (z) = 2 (z 2 z 4 − z 2 3) = 0 . 

Аналогично (1.1) для исследования можно составить квадратичную форму 

V (z, α) = V 1 (z) + α 1 V 2 (z) + α 2 V 3 (z) + α 3 V 4 (z) (4.1) 

139

при вещественных значениях α 1 , α 2 , α 3 . Разлагая ее в сумму 4 полных квадратов, задача 

о положительной определенности (4.1) сведется к задаче условного экстремума. 

Форма 8 порядка содержит 5 переменных квадратичной формы и N = C4 2 = 6 

уравнений связи. С ростом m количество связей преобладает над числом переменных. 

Это в частности объсняется двойными уравненими связи, как x s y m−s = x s−1 y m−s+1 = 

x s+1 y m−s−1 , имеющими разные выражения в степенных переменных. 

Так же решается сведение к степенным переменным для форм 4 порядка k переменных 

x 1 , x 2 , . . . , x k . В этом случае будет замена переменных: z 1 = x 2 1; z 2 = x 1 x 2 ; z 3 = 

x 1 x 3 ; . . . ; z L = x 2 k . Количество переменных квадратичной формы здесь так же легко 

вычислить как число всех мономов второго порядка для k переменных: L = Ck+1 2 . Для 

общего числа уравнений связи существует только эмпирическая зависимость: N(2) = 

1; N(3) = 6; N(4) = 20; . . .. В простейшем случае формы 4 пордка трех переменных 

x 1 , x 2 , x 3 можно ввести степенную замену переменных: z 1 = x 2 1; z 2 = x 1 x 2 ; z 3 = 

x 1 x 3 ; z 4 

связи: 

= x 2 2; z 5 = x 2 x 3 ; z 6 = x 2 3. При такой замене переменных будет 6 уравнений 

V 2 (z) = z 1 z 4 − z 2 2 = 0, V 3 (z) = z 1 z 6 − z 2 3 = 0, V 4 (z) = z 4 z 6 − z 2 5 = 0 , 

V 5 (z) = z 1 z 5 − z 2 z 3 = 0, V 6 (z) = z 2 z 5 − z 3 z 6 = 0, V 7 (z) = z 2 z 6 − z 3 z 4 = 0 . 

Для упомянутых форм 4 порядка возможно сведение к квадратичной форме шести переменных 

z 1 , z 2 , . . . , z 6 при условии 6 связей: V 2 (z) = 0, V 3 (z) = 0, . . . , V 7 (z) = 0. 

Простым сопоставлением видно, что эта задача сложнее знакоопределенности формы 8 

порядка двух переменных, и проще по сравнению с формой 10 порядка. 

Таким образом, изложенный способ предполагает распространение на формы более 

высокого порядка и большего числа переменных. Вопрос сводится к сложности решения 

условно экстремальных задач нелинейных функций. 


[1] Садовский А.П. О проблеме центра и фокуса. - М.: ДУ, 1968, т. 4, в. 5, сс. 943-945 

[2] Иртегов В.Д., Новиков М.А. Знакоопределенность форм четвертого порядка от двух 

переменных.// В кн. Метод Ляпунова и его приложения.- Новосибирск: Наука, 1984, 

сс. 87-93 

[3] Утешев А.Ю., Шуляк С.Г. Критерий асимптотической устойчивости системы двух 

дифференциальных уравнений с однородными правыми частми. - Минск: Наука и техника, 

ДУ, 1987, N 6, сс. 1009-1014 

[4] Утешев А.Ю. Использование однородных форм в качестве функций Ляпунова. - Л.: 

ЛГУ, ВИНИТИ, 2942-В87, серия: математика, механика, астрономи, 1987, 13с. 

[5] Чернятин В.А. О знакоопределенности произвольных форм четного пордка. - Минск: 

ДАН БССР, 1966, т. 10, N 11, сс. 821-823 

[6] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967, 576 с. 

[7] Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем.- М.: Наука, 1979, 299 с. 

140

[8] Курош А.Г. Курс высшей алгебры.- М.: ФМГИЗ, 1963, 431 с. 

[9] Ван дер Варден. Современная алгебра. - М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1937, т. 2, 210 с. 

ON SIGNDEFINITENESS OF THE FORMS OF TWO FORTH-ORDER 

VARIABLES 

M.A. Novickov 

Institute for System Dynamics and Control Theory, Siberian Branch, Russian Academy of 

Sciences 

e-mail: nma@icc.ru 

Abstract. In the present paper, via an example of a forth-order form for two variables we propose a 

new method of solving the problem of signdefiniteness for homogeneous forms. The method implies 

the power-oriented replacement of the variables by which it is possible to conduct reduction to the 

quadratic form. As a result of such a transformation we obtain another quadratic form which is equal 

to zero. The linear bundle of quadratic forms obtained gives a parametrized quadratic form. Afater 

reducing the latter to the sum of full squares, the signdefiniteness of the quadratic parametric matrix 

is reduced to a conventionally extremum problem with only one parameter. The requirement of 

positiveness of coefficients with the full squares leads to obtaining necessary and sufficient conditions 

of signdefiniteness of the parametric quadratic form. Complete correspondence of signdefiniteness, 

signvariability and signconstancy of the parametric quadratic and initial forms has been identified. 

Keywords: form, quadratic form, signdefinite form, signvariable form, signconstant form, extremum 

141

АЛГОРИТМ НА НЕОДНОРОДНЫХ СХЕМАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЛЯ 

РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ ЗАДАЧ С НЕБОЛЬШОЙ ТОЧНОСТЬЮ 1 

Е.А. Новиков 

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск 

e-mail: novikov@icm.krasn.ru 

Аннотация. Построены явная двухстадийная схема типа Рунге-Кутты и L-устойчивый (2,1)- 

метод второго порядка точности. Разработан алгоритм интегрирования переменного порядка 

и шага, в котором выбор наиболее эффективной численной схемы осуществляется на каждом 

шаге с применением неравенства для контроля устойчивости. Приведены результаты расчетов, 

подтверждающие эффективность построенного алгоритма. 


L-устойчивость. 

жесткие системы, методы Рунге-Кутта, (m,k)-методы, A-устойчивость, 


Во многих важных приложениях возникает проблема численного решения жестких задач. 

Основные тенденции при построении численных методов связаны с расширением их 

возможностей для решения задач все более высокой размерности. Математические постановки 

практических задач постоянно уточняются, что приводит как к росту размерности, 

так и к усложнению правой части системы дифференциальных уравнений. В некоторых 

случаях расчеты требуется проводить с так называемой инженерной точностью - порядка 

1%. Это связано с тем, что измерение констант, входящих в правую часть системы 

дифференциальных уравнений, часто проводится достаточно грубо. Иногда такая точность 

расчетов является удовлетворительной с точки зрения поставленной цели. Порядок 

аппроксимации численной схемы следует сочетать с требуемой точностью расчетов (см., 

например, [1]). Современные методы решения жестких задач, как правило, используют 

обращение матрицы Якоби системы дифференциальных уравнений. При большой размерности 

системы эффективность численных методов фактически полностью определяется 

временем декомпозиции этой матрицы. Для повышения эффективности расчетов в ряде 

алгоритмов используется замораживание матрицы Якоби, то есть применение одной матрицы 

на нескольких шагах интегрирования [2-3]. Некоторым аналогом замораживания 

матрицы Якоби является применение в расчетах алгоритмов интегрирования на основе 

явных и L-устойчивых методов с автоматическим выбором численной схемы. В этом случае 

эффективность алгоритма может быть повышена за счет расчета переходного участка, 

соответствующего максимальному собственному числу матрицы Якоби, явным методом. В 

качестве критерия выбора эффективной численной формулы естественно применять неравенство 

для контроля устойчивости [4]. Следует отметить, что применение таких комбинированных 

алгоритмов полностью не снимает проблему замораживания матрицы Якоби, 

потому что явным методом можно просчитать, вообще говоря, только погранслойное решение, 

соответствующее максимальному собственному числу. 

Здесь на основе явных методов типа Рунге-Кутты и L-устойчивого метода второго 

1 Работа поддержана грантами РФФИ №08-01-00621, №06-08-00920 и Президента НШ-3431.2008.9 

142

порядка точности построен комбинированный алгоритм интегрирования, в котором 

допускается замораживание как численной, так и аналитической матрицы Якоби. Приведены 

результаты расчетов двух задач. 

1. L-устойчивый (2,1)-метод 

В [5] для численного решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных 


y ′ = f(y), y(t 0 ) = y 0 , t 0 ≤ t ≤ t k , (1) 

где y и f – вещественные N-мерные вектор-функции, t – независимая переменная, предложен 

класс (m, k)-методов. С точки зрения реализации на ЭВМ (m, k)-методы столь же 

просты, как и схемы типа Розенброка. Однако в отличие от методов типа Розенброка, в 

данном классе значительно проще решаются проблемы замораживания и численной аппроксимации 

матрицы Якоби. Кроме того, (m, k)-методы обладают более хорошими свойствами 

точности и устойчивости при незначительном увеличении вычислительных затрат. 

В традиционных методах число стадий m полностью описывает численную формулу. В 

(m, k)-методах для описания численных схем требуется две постоянные: m – число стадий 

и k – количество вычислений правой части системы (1) на шаге интегрирования. Рассмотрение 

автономной задачи (1) не снижает общности, потому что неавтономную задачу 

введением дополнительной переменной всегда можно привести к автономному виду. 

Для решения задачи (1) рассмотрим (2,1)-схему вида 

y n+1 = y n + p 1 k 1 + p 2 k 2 , D n k 1 = hf(y n ), D n k 2 = k 1 , (2) 

где k 1 и k 2 – стадии метода; D n = E − ahA n , E – единичная матрица, h – шаг интегрирования, 

A n – некоторая матрица, представимая в виде 

f ′ n 

A n = f ′ n + hB n + O(h 2 ), (3) 

= ∂f(y n )/∂y – матрица Якоби системы (1), B n – не зависящая от шага интегрирования 

произвольная матрица, a, p 1 и p 2 – числовые коэффициенты. Использование при 

построении метода матрицы A n , представимой в виде (3), позволяет применять (2) с замораживанием 

как аналитической, так и численной матрицы Якоби [6]. Если матрица Якоби 

f n−k ′ вычислена k шагов назад, имеем B n = −kf nf ′′ n , f nf ′′ n = ∂ 2 f(y n )/∂y 2 . Если матрица 

Якоби вычислена численно с шагом r j = c j h, то элементы b n,ij матрицы B n имеют вид 

b n,ij = 0.5c j ∂ 2 f i (y n )/∂yj 2 . В расчетах шаг r j выбирался по формуле r j = max(10 −14 , 10 −7 |y j |). 

Получим коэффициенты L-устойчивой численной схемы (2) второго порядка и неравенство 

для контроля точности вычислений. Разложение точного решения y(t n+1 ) в ряд 

Тейлора в окрестности точки t n до членов с h 3 имеет вид 

y(t n+1 ) = y(t n ) + hf + 0.5h 2 f ′ f + h3 

6 (f ′2 f + f ′′ f 2 ) + O(h 4 ), (4) 

где элементарные дифференциалы f, f ′ f, f ′2 f и f ′′ f 2 вычислены на точном решении y(t n ). 

Для нахождения коэффициентов a, p 1 и p 2 запишем разложения стадий k 1 и k 2 в ряды 

Тейлора в окрестности точки y n до членов с h 3 включительно и подставим в (2). Получим 

y n+1 = y n + (p 1 + p 2 )hf n + a(p 1 + 2p 2 )h 2 f ′ nf n + a 2 (p 1 + 3p 2 )h 3 f ′2 

n f n + 

+a(p 1 + 2p 2 )h 3 B n f n + O(h 4 ), (5) 

143

где элементарные дифференциалы f n , f ′ nf n , f ′2 

n f n , f ′′ 

nf 2 n и B n f n вычислены на приближенном 

решении y n . Полагая y n = y(t n ) и сравнивая (4) и (5) до членов с h 2 включительно, 

получим условия второго порядка точности схемы (2), то есть 

p 1 + p 2 = 1, ap 1 + 2ap 2 = 0.5. (6) 

Исследуем устойчивость численной формулы (2). Применяя ее к задаче 

y ′ = λy, y(0) = y 0 , Re(λ) < 0, (7) 

получим y n+1 = Q(x)y n , x = hλ, где функция устойчивости Q(x) имеет вид 

Q(x) = [1 + (p 1 + p 2 − 2a)x + a(a − p 1 )x 2 ]/(1 − ax) 2 . 

Тогда схема (2) будет L-устойчивой, если p 1 = a. Подставляя это соотношение в (6), получим 

набор коэффициентов 

где a определяется из условия L-устойчивости 

p 1 = a, p 2 = 1 − a, (8) 

a 2 − 2a + 0.5 = 0. (9) 

Сравнивая (4) и (5) до членов с h 3 включительно получим, что локальная ошибка δ n 

численной схемы (2) с коэффициентами (8) имеет вид 

δ n = (h 3 /6)[(6a − 2)f ′2 f + f ′′ f 2 − 3B n f] + O(h 4 ). (10) 

Уравнение (9) имеет два корня a 1 = 1 − 0.5 √ 2 и a 2 = 1 + 0.5 √ 2. Выберем a = a 1 , так как 

в этом случае меньше коэффициент в главном члене (a − 1/3)h 3 f ′2 f ошибки (10). 

Рассмотрим одновременно численную формулу типа Розенброка с двумя вычислениями 

функции f на каждом шаге 

y n+1 = y n + p 1 k 1 + p 2 k 2 , D n k 1 = hf(y n ), D n k 2 = hf(y n + βk 1 ). (11) 

При β = a набор коэффициентов (8) обеспечивает второй порядок точности (11), а условие 

(9) – ее L-устойчивость. Формула (11) с коэффициентами (8) является одной из наиболее 

удачных среди методов типа Розенброка с двумя вычислениями правой части дифференциальной 

задачи на шаге интегрирования. Локальная ошибка δn 

roz метода (11) имеет вид 

δ = h 3 [(a − 1 3 )f ′2 f + ( 1 6 + 1 − √ 2 

a)f ′′ f 2 − aB n f] + O(h 4 ). (12) 

2 

Схема (2) с коэффициентами (8), также как и (11) с коэффициентами (8), обладает вторым 

порядком точности и L-устойчивостью, а их локальные ошибки (10) и (12) различаются 

незначительно. В тоже время (2) требует на каждом шаге на одно вычисление функции 

f меньше (11) при прочих равных затратах, что делает ее предпочтительнее. 

Контроль точности вычислений численной схемы (2) построим по аналогии [7]. Для 

этого введем обозначение 

v(j n ) = D 1−j n 

n (k 2 − k 1 ), (13) 

144

где k 1 и k 2 вычисляются по формулам (2). Тогда согласно [7] для контроля точности 

вычислений на каждом шаге нужно проверять неравенство 

||v(j n )|| ε, 1 j n 2, (14) 

где ε – требуемая точность расчетов, || · || – некоторая норма в R N , а целочисленная 

переменная j n выбирается наименьшей, при которой выполняется неравенство (14). 

Отметим одну важную особенность построенной оценки ошибки (13). Схема (2) L- 

устойчивая, то есть для ее функции устойчивости Q(x) имеет место соотношение Q(x) → 0 

при x → −∞. Так как для точного решения y(t n+1 ) = exp(x)y(t n ) задачи (7) выполняется 

аналогичное свойство, то естественным будет требование стремления к нулю оценки ошибки 

при x → −∞. Однако для v(1) это свойство не выполняется – данная оценка ведет себя 

A-устойчивым образом. С целью исправления асимптотического поведения ошибки вместо 

v(1) введена оценка v(j n ), 1 ≤ j n ≤ 2. В этом случае поведение оценки ошибки при 

j n = 2 будет согласовано с поведением точного решения тестовой задачи при x → −∞. 

Подчеркнем, что в смысле главного члена оценки v(1) и v(2) совпадают. Использование 

v(j n ) фактически не приводит к увеличению вычислительных затрат. Это связано с тем, 

что v(j n ) при j n = 2 проверяется только в том случае, если оно нарушено при j n = 1. 

Такая ситуация встречается достаточно редко, в основном при быстром росте величины 

шага интегрирования. Однако это позволяет выбирать шаг более правильно и тем самым 

уменьшается количество неоправданных повторных вычислений решения (возвратов). 

Оценку максимального собственного числа w n,0 = hλ n,max матрицы Якоби системы (1), 

необходимую для перехода на явную формулу, оценим через ее норму w n,0 = h||∂f/∂y||. 

Ниже данная оценка будет применяться для автоматического выбора численной схемы. 

2. Метод типа Рунге-Кутты второго порядка точности 

Теперь для решения задачи (1) рассмотрим явный метод типа Рунге-Кутта [8] 

y n+1 = y n + p 1 k 1 + p 2 k 2 , k 1 = hf(y n ), k 2 = hf(y n + βk 1 ). (15) 

В случае неавтономной системы y ′ = f(t, y) схема (15) записывается в виде 

y n+1 = y n + p 1 k 1 + p 2 k 2 , k 1 = hf(t n , y n ), k 2 = hf(t n + βh, y n + βk 1 ). 

Ниже для сокращения выкладок будем рассматривать задачу (1). Однако построенный 

метод можно применять для решения неавтономных задач. 

Получим соотношения на коэффициенты метода (15) второго порядка точности. Для 

этого разложим стадии k 1 и k 2 в ряды Тейлора по степеням h до членов с h 3 включительно 

и подставим в первую формулу (15). В результате получим 

y n+1 = y n + (p 1 + p 2 )hf n + βp 2 h 2 f ′ nf n + 0.5β 2 p 2 h 3 f ′′ 

nf 2 n + O(h 4 ), 

где элементарные дифференциалы вычислены на приближенном решении y n . Сравнивая 

данное выражение с (4) до членов с h 2 включительно при условии y n = y(t n ), запишем 

условия второго порядка точности схемы (15), которые имеют вид p 1 + p 2 = 1 и βp 2 = 0.5. 

При данных соотношениях локальную ошибку δ n схемы (15) можно записать в виде 

δ n = (h 3 /12)[2f ′2 f + (2 − 3β)f ′′ f 2 ] + O(h 4 ). 

145

Построим неравенство для контроля точности вычислений. Для этого рассмотрим вспомогательную 

схему y n+1,1 = y n + k 1 первого порядка точности. С помощью идеи вложенных 

методов оценку ошибки ε n,2 метода второго порядка можно вычислить по формуле [7] 

ε n,2 = y n+1 − y n+1,1 = p 2 (k 2 − k 1 ). 

Для повышения надежности данной оценки выберем β = 1. Тогда стадия k 1 вычисляется 

в точке t n , а k 2 - в точке t n+1 . Как показывают расчеты, использование информации в 

крайних точках шага приводит к более надежным вычислениям. При β = 1 коэффициенты 

метода второго порядка определяются однозначно p 1 = p 2 = 0.5, а локальная ошибка и 

неравенство для контроля точности имеют, соответственно, вид 

δ n = (h 3 /12)[2f ′2 f − f ′′ f] + O(h 4 ), 0.5||k 2 − k 1 || ε. 

Теперь построим неравенство для контроля устойчивости (15) предложенным в [4] способом. 

Для этого рассмотрим вспомогательную стадию k 3 = hf(y n+1 ). Заметим, что k 3 совпадает 

со стадией k 1 , которая применяется на следующем шаге интегрирования, и поэтому 

ее использование не приводит к дополнительным вычислениям правой части системы (1). 

Запишем стадии k 1 , k 2 и k 3 применительно к задаче y ′ = Ay, где A есть матрица с постоянными 

коэффициентами. В результате получим 

где X = hA. Легко видеть, что 

k 1 = Xy n , k 2 = (X + X 2 )y n , k 3 = (X + X 2 + 0.5X 3 )y n , 

k 2 − k 1 = X 2 y n , 2(k 3 − k 2 ) = X 3 y n , . 

Тогда согласно [4] оценку максимального собственного числа w n,2 = hλ n,max матрицы Якоби 

системы (1) можно вычислить по формуле 

w n,2 = 2 max 

1iN |ki 3 − k i 2|/|k i 2 − k i 1|. (16) 

Интервал устойчивости схемы (15) второго порядка точности приблизительно равен двум. 

Поэтому для ее контроля устойчивости можно применять неравенство w n,2 ≤ 2. В случае 

применения данного неравенства для выбора шага следует учитывать грубость оценки 

(16), потому что вовсе не обязательно максимальное собственное число сильно отделено 

от остальных, в степенном методе применяется мало итераций и дополнительные искажения 

вносит нелинейность задачи (1). Поэтому контроль устойчивости используется как 

ограничитель на размер шага интегрирования. В результате прогнозируемый шаг h n+1 

будем вычислять следующим образом. Новый шаг h ac по точности определим по формуле 

h ac = qh n , где h n есть последний успешный шаг интегрирования, а q, учитывая соотношение 

k 2 − k 1 = O(h 2 n), задается уравнением q 2 ||k 2 − k 1 || = ε. Шаг h st по устойчивости 

зададим формулой h st = dh n , где d, учитывая соотношение w n,2 = O(h n ), определяется из 

равенства dw n,2 = 2. Тогда прогнозируемый шаг h n+1 вычисляется по формуле 

h n+1 = max[h n , min(h ac , h st )]. (17) 

Заметим, что формула (17) применяется для прогноза величины шага интегрирования 

h n+1 после успешного вычисления решения с предыдущим шагом h n и поэтому фактически 

не приводит к увеличению вычислительных затрат. Если шаг по устойчивости 

146

меньше последнего успешного, то он уменьшен не будет, потому что причиной этого 

может быть грубость оценки максимального собственного числа. Однако шаг не будет 

и увеличен, потому что не исключена возможность неустойчивости численной схемы. 

Если шаг по устойчивости должен быть уменьшен, то в качестве следующего шага будет 

применяться последний успешный шаг h n . В результате для выбора шага и предлагается 

формула (17). Данная формула позволяет стабилизировать поведение шага на участке 

установления решения, где определяющую роль играет устойчивость. Собственно говоря, 

именно наличие данного участка существенно ограничивает возможности применения 

явных методов для решения жестких задач. 

3. Метод типа Рунге-Кутты первого порядка точности 

Для численного решения задачи (1) рассмотрим схему вида 

y n+1 = y n + r 1 k 1 + r 2 k 2 , k 1 = hf(y n ), k 2 = hf(y n + k 1 ). (18) 

Заметим, что при r 1 = r 2 = 0.5 численная формула (18) имеет второй порядок точности 

и совпадает с (15) с коэффициентами p 1 = p 2 = 0.5. Построим менее точную схему с 

максимальным интервалом устойчивости. Для этого применим (18) для решения тестового 

уравнения (7). Получим y n+1 = Q(x)y n , где функция устойчивости Q(x) имеет вид 

Q(x) = 1 + (r 1 + r 2 )x + r 2 x 2 , 

x = hλ. 

Требование первого порядка точности приводит к соотношению r 1 + r 2 = 1, которое ниже 

будем считать выполненным. Теперь выберем r 2 таким образом, чтобы метод (18) 

имел максимальный интервал устойчивости. Для этого рассмотрим многочлен Чебышева 

T 2 (z) = (2z 2 −1) на промежутке [-1,1]. Проведем замену переменных, полагая z = 1−2x/γ. 

Получим T 2 (x) = 1 − 8x/γ + 8x 2 /γ 2 , при этом отрезок [γ, 0] отображается на [-1,1]. Нетрудно 

показать, что среди всех многочленов вида P 2 (x) = 1 + x + c 2 x 2 для T 2 (x) неравенство 

|T 2 (x)| ≤ 1 выполняется на максимальном интервале [γ, 0], γ = −8. Потребуем 

совпадения коэффициентов Q(x) и T 2 (x) при γ = −8. Это приводит к соотношениям 

r 1 + r 2 = 1 и r 2 = 1/8. В результате имеем коэффициенты r 1 = 7/8 и r 2 = 1/8 метода 

первого порядка с максимальным интервалом устойчивости, локальная ошибка δ n 

которого имеет вид δ n = 0.375h 2 f ′ f + O(h 3 ). Для контроля точности численной формулы 

первого порядка будем использовать оценку локальной ошибки. Учитывая, что 

k 2 − k 1 = h 2 f nf ′ n + O(h 3 ) и вид локальной ошибки, неравенство для контроля точности 

записывается в виде ||k 2 − k 1 || ≤ 8ε/3, где || · || – некоторая норма в R N , ε – требуемая 

точность расчетов. 

Построим неравенство для контроля устойчивости метода первого порядка. Для этого 

рассмотрим вспомогательную стадию k 3 = hf(y n+1 ). Запишем k 1 , k 2 и k 3 применительно 

к задаче y ′ = Ay, где A есть матрица с постоянными коэффициентами. В результате 

получим k 1 = Xy n , k 2 = (X + X 2 )y n , k 3 = (X + X 2 + 0.125X 3 )y n , где X = hA. Легко 

видеть, что k 2 − k 1 = X 2 y n , 8(k 3 − k 2 ) = X 3 y n . Тогда согласно [4] оценку максимального 

собственного числа w n,1 = hλ n,max матрицы Якоби системы (1) можно вычислить по 

формуле w n,1 = 8 max 

1iN |ki 3 − k2|/|k i 2 i − k1|. i Интервал устойчивости численной схемы (18) 

равен восьми. Поэтому для ее контроля устойчивости можно применять неравенство 

w n,1 ≤ 8. 

147

4. Комбинированный алгоритм интегрирования 

На основе построенных явных методов первого и второго порядков точности легко сформулировать 

алгоритм переменного порядка и шага. Расчеты всегда начинаются методом 

второго порядка как более точным. Переход на схему первого порядка осуществляется при 

нарушении неравенства w n,2 ≤ 2. Обратный переход на метод второго порядка происходит 

в случае выполнения неравенства w n,1 ≤ 2. При расчетах по методу первого порядка 

наряду с точностью контролируется устойчивость, а выбор прогнозируемого шага производится 

по аналогии с методом второго порядка по формуле типа (17). 

В случае использования схемы (2) формулировка алгоритма интегрирования также 

не вызывает трудностей. Нарушение неравенства w n,1 ≤ 8 вызывает переход на схему 

(2). Передача управления явным методам происходит в случае выполнения неравенства 

w n,0 ≤ 8. Численную формулу (2) без потери порядка точности можно применять с 

замораживанием матрицы D n . Отметим, что при замораживании матрицы Якоби величина 

шага интегрирования остается постоянной. Попытка замораживания матрицы D n 

осуществляется после каждого успешного шага. Размораживание матрицы происходит в 

следующих случаях: 1) нарушение точности расчетов, 2) если число шагов с замороженной 

матрицей достигло заданного максимального числа iqh, 3) если прогнозируемый шаг 

больше последнего успешного в qh раз. Числами iqh и qh можно влиять на перераспределение 

вычислительных затрат. При iqh = 0 и qh = 0 замораживания не происходит, при 

увеличении iqh и qh число вычислений правой части возрастает, а количество обращений 

матрицы Якоби убывает. Ниже построенный алгоритм переменного порядка и шага, 

а также с автоматическим выбором явной или L-устойчивой численной схемы будем 

называть RKMK2. 

5. Результаты расчетов 

Расчеты проводились на IBM PC Athlon(tm)XP 2000 с точностью ε = 10 −2 . Это связано 

с тем, что в построенном алгоритме применяются схемы низкого порядка точности, и 

поэтому данным методом осуществлять расчеты с более высокой точностью нецелесообразно. 

Сравнение эффективности проводилось с методом Гира в реализации А. Хиндмарша 

DLSODE [9]. Ниже через ifu и ija обозначены, соответственно, суммарное число вычислений 

правой части и количество обращений (декомпозиций) матрицы Якоби задачи 

(1), которые позволяют объективно оценить эффективность алгоритма интегрирования. 

В качестве первого тестового примера выбрана простейшая модель реакции Белоусова - 

Жаботинского [10] 

y ′ 1 = 77.27(y 2 − y 1 y 2 + y 1 − 8.375 · 10 −6 y 2 1), 

y ′ 2 = (−y 2 − y 1 y 2 + y 3 )/77.27, (19) 

y ′ 3 = 0.161(y 1 − y 3 ), 

t ∈ [0, 300], y 1 (0) = 4, y 2 (0) = 1.1, y 3 (0) = 4, h 0 = 2 · 10 −3 . 

Расчеты проводились с численной матрицей Якоби. Решение данной задачи алгоритмом 

RKMK2 вычислено с затратами ifu = 1 214 и ija = 65. При расчетах только по L-устойчивой 

схеме (2) затраты ifu = 926 и ija = 88. Фактическая точность расчетов в конце интервала 

интегрирования не хуже задаваемой. Решение (19) удалось вычислить явными методами 

переменного порядка и шага с затратами ifu = 2 112 678. Данная задача слишком 

148

жесткая для явных методов. Однако результаты расчетов приведены здесь с целью демонстрации 

принципиальной возможности применения явных методов для решения достаточно 

жестких примеров, которые на некоторых задачах большой размерности могут 

быть эффективнее L-устойчивых методов. При расчетах программой DLSODE требуемая 

точность 10 −2 достигается при задаваемой точности 10 −4 с затратами ifu = 1 129 и ija = 

107. При более высокой точности расчетов DLSODE эффективнее построенного алгоритма. 

Это является следствием низкого порядка точности построенных численных формул. 

При задаваемой точности 10 −2 алгоритм RKMK2 более чем в 1.5 раз эффективнее известного 

метода DLSODE по числу обращений матрицы Якоби, в то время как количество 

вычислений правой части задачи (19) для RKMK2 и DLSODE различается незначительно. 

В случае большой размерности задачи (1) построенный алгоритм интегрирования по 

времени счета может быть эффективнее DLSODE. 

Следующий пример описывается системой двух дифференциальных уравнений в частных 

производных с начальными и граничными условиями. Лаборатория Akzo Nobel 

Central Research сформулировала задачу исследования проникновения помеченных радиоактивной 

меткой антител в пораженную опухолью ткань живого организма [11]. Рассматривается 

система одномерных уравнений реакции-диффузии, которые возникают из 

химической реакции A + B → C, где A – антитело с радиоактивной меткой, реагирующее 

с субстратом B – тканью, пораженной опухолью. При выводе уравнений предполагалось, 

что кинетика реакции описывается законом действующих масс, причем реагент A подвижен, 

тогда как реагент B неподвижен. Изучается полубесконечная пластина, внутри которой 

субстрат B равномерно распределен. Реагент A, попадая на поверхность пластины, 

начинает проникать в нее. После дискретизации производных первого и второго порядков 

по пространственной переменной, получим 

y ′ = f(t, y), y(0) = g, y ∈ R 2N , 0 t 20, (20) 

где N – задаваемый пользователем параметр. Функция f определяется формулами 

y 2j+1 − y 2j−3 

f 2j−1 = α j 

2△ζ 

f 2j = −ky 2j y 2j−1 , 

+ β j 

y 2j−3 − 2y 2j−1 + y 2j+1 

(△ζ) 2 − ky 2j−1 y 2j , 

где α j = 2(j∆ζ − 1) 3 /c 2 , β j = (j∆ζ − 1) 4 /c 2 , 1 j N, ∆ζ = 1/N, y −1 (t) = φ(t), 

y 2,N+1 = y 2,N−1 , g ∈ R 2N , g = (0, v 0 , 0, v 0 , . . . , 0, v 0 ) T . Функция ϕ(t) = 2 при t ∈ (0, 5] и 

ϕ(t) = 0 при t ∈ (5, 20], то есть ϕ имеет разрыв первого рода в точке t = 5. Согласно [11] 

подходящими значениями для параметров k, v 0 и c являются k = 100, v 0 = 1 и c = 4. 

Ниже расчеты проводились с численной матрицей Якоби при N = 200, то есть система 

(20) состоит из 400 уравнений. Задача о нахождении разрыва функции ϕ(t) при t = 5 

возлагалась на алгоритм управления шагом. Решение данной задачи алгоритмом RKMK2 

вычислено с затратами ifu = 14 106 и ija = 38. При расчетах только по L-устойчивой схеме 

(2) затраты ifu = 15 954 и ija = 43. При расчетах явными методами переменного порядка 

и шага затраты ifu = 51 014. При расчетах программой DLSODE требуемая точность 10 −2 

достигается при задаваемой точности 10 −3 с затратами ifu = 25 358 и ija = 62. Снова при 

более высокой точности расчетов DLSODE эффективнее RKMK2. Заметим, что алгоритм 

на основе явных схем с переменным порядком и шагом по времени счета более чем в 2 раза 

эффективнее других методов, что является следствием достаточно большой размерности 

задачи (20). С ростом N преимущество явных методов по времени расчетов возрастает. 

149


[1] Артемьев С.С., Демидов Г.В., Новиков Е.А., Юматова Л.А. Об оптимизации параметров 

методов численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных 

уравнений. – Численные методы механики сплошной среды, 1984. №2, с. 5-14. 

[2] Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие 

и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999, 685c. 

[3] Byrne G.D., Hindmarsh A.C. ODE solvers: a review of current and coming attractions. – 

J. of Comput. Physics, 1987. №70, p. 1-62. 

[4] Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука, 1997, 197с. 

[5] Новиков Е.А., Шитов Ю.А., Шокин Ю.И. Одношаговые методы решения жестких 

систем. – ДАН СССР, 1988, т.301, №6, c. 1310-1314. 

[6] Новиков Е.А., Шитов Ю.А. Алгоритм интегрирования жестких систем на основе 

(m,k)-метода второго порядка точности с численным вычислением матрицы Якоби. 

– Красноярск: ВЦ СО АН СССР, препринт №20, 1988, 23c. 

[7] Демидов Г.В., Новиков Е.А. Оценка ошибки одношаговых методов интегрирования 

обыкновенных дифференциальных уравнений – Численные методы механики сплошной 

среды, 1985, т. 16, №1, c. 27-42. 

[8] Кнауб Л.В., Лаевский Ю.М., Новиков Е.А. Алгоритм интегрирования переменного 

порядка и шага на основе явного двухстадийного метода Рунге-Кутты. – СибЖВМ, 

2007, т. 10, №2, c. 177-185. 

[9] http://www.netlib.org/odepack/index.html 

[10] Enright W.H., Hull T.E. Comparing numerical methods for the solutions of systems of 

ODE’s. – BIT, 1975, v. 15, p. 10-48. 

[11] Mazzia F., Iavernaro F. Test Set for Initial Value Problem Solvers. Department of 

Mathematics, University of Bari, 2003. 

150

AN ALGORITHM BASED ON THE SECOND ORDER INHOMOGENEOUS 

SCHEMES FOR SOLVING STIFF SYSTEMS WITH LOW ACCURACY 

E.A. Novikov 

Institute of computational modelling SB RAS, Krasnoyarsk 

e-mail: novikov@icm.krasn.ru 

Abstract. An L-stable (2,1)-method and an explicit two-stage Runge-Kutta type scheme are 

constructed, both schemes of order two. An integration algorithm of variable order and step is 

constructed that is based on the stages of the three schemes. The most effective numerical scheme is 

chosen for each step by means of stability control inequality. The results are given that confirm the 

effectiveness of the algorithm. 

Key words: stiff systems, methods Runge-Kutta, (m,k)-methods, A-stability, L-stability. 

151

О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ РАСПОЗНАВАНИЯ ЧИСЛОВЫХ МАТРИЦ ПО 

ОЦЕНКАМ МНОЖЕСТВ РЕШЕНИЙ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ 

СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 

А.В. Пролубников, С.А. Силицкий 

Омский государственный университет, Омск 

e-mail: a.v.prolubnikov@mail.ru, sersil@mail.ru 

Аннотация. Предлагается алгоритм решения задачи распознавания числовых матриц, использующий 

оценки множеств решений интервальных линейных систем уравнений. Рассматриваются 

две схемы алгоритма – схема, использующая оценки, полученные с помощью интервального 

метода Гаусса-Зейделя, и схема, оценивающая множества решений интервальных систем 

линейных уравнений при помощи решений неинтервальных систем линейных уравнений. Обе 

предложенные схемы имеют вычислительную сложность, оцениваемую как O(n 3 ) элементарных 

машинных операций. Рассматриваются результаты вычислительного эксперимента. В качестве 

приложения разработанного алгоритма распознавания числовых матриц рассматривается задача 

распознавания растровых изображений. 

Ключевые слова: распознавание образов, интервальная система линейных уравнений, 

вычислительная эффективность. 

1. Постановка задачи. 

В рассматриваемой задаче распознавания образов предполагается, что некоторое изображение 

из числа эталонных подверглось зашумлению – некоторому изменению значений 

пикселей изображения. При этом известно, в каком интервале могли происходить изменения 

значений пикселей. По имеющемуся зашумленному изображению необходимо определить, 

каким эталонным изображением, подвергнутым зашумлению, оно является. 

Существует множество подходов к решению данной задачи. Ниже предлагается подход, 

основанный на оценивании расстояний от решений систем линейных уравнений с 

матрицами, соответствующими эталонным изображениям, от множеств решений систем 

линейных уравнений с интервальными матрицами. 

Матричная постановка задачи следующая. Имеется L квадратных n × n-матриц A k 

с элементами a k ij, представляющими пикселы изображений. В ходе зашумления одной из 

матриц – матрицы A i0 – получена некоторая матрица A. Известно, что значение элементов 

матриц могло быть изменено в пределах интервалов [a k ij − ∆, a k ij + ∆], ∆ > 0. Необходимо 

определить i 0 . 

Без ограничения общности можно считать матрицы A 1 , . . . , A L , A квадратными. В противном 

случае, если имеются m×n-матрицы т.ч. m < n, то к каждой матрице добавляются 

n − m нулевых строк. 

Для решения такой задачи распознавания обычно решается задача минимизации некоторого 

функционала, представляющего собой расстояние ρ(F 1 (A), F 2 (A i )), где F 1 , F 2 – 

некоторые отображения распознаваемого изображения и эталонных, представляемых числовыми 

матрицам. При удачно выбранных F 1 и F 2 и уровне зашумления, допускающем 

152

распознавание, минимум расстояния будет достигаться на i 0 : 

ρ(F 1 (A), F 2 (A i0 )) = min 

1≤i≤L {ρ(F 1(A), F 2 (A i ))}. (1) 

В качестве отображений F 1 и F 2 в этой работе предлагается использовать отображения 

числовых матриц в точки множеств решений интервальных линейных систем уравнений, 

связанных с матрицами A 1 , . . . , A L , A. 

Определение.Для интервальной линейной системы уравнений вида Ax = b, где A 

– интервальная n × n матрица, b – некоторый интервальный n-мерный вектор, множество 

решений – это множество Ξ(A, b) = { x ∈ R n ∣ ∣ ∃A ∈ A, ∃b ∈ b: Ax = b 

} 

. 

Рассматриваемые далее интервальные линейные системы уравнений – системы уравнений 

с правой частью b = ([b 1 , b 1 ], . . . , [b n , b n ]). То есть интервальный вектор b может 

быть рассмотрен как вектор b ∈ R n . Его выбор производится исходя из индивидуальной 

задачи распознавания с заданным набором эталонных матриц A 1 , . . . , A L . 

2. Алгоритм, использующий оценки множеств решений интервальных линейных 

систем уравнений, полученные интервальным методом Гаусса-Зейделя 

В ходе работы предлагаемого алгоритма по матрицам A 1 , . . . , A L , A строятся интервальные 

матрицы A 1 , . . . , A L . После чего находятся множества ˜Ξ i (i = 1, L), представляющие 

собой внешние оценивания множеств Ξ(A i , b) – множеств решений интервальных 

линейных систем уравнений A i x = b (i = 1, L). 

В качестве расстояния ρ, исходя из значения которого производится распознавание 

числовой матрицы A, в (1) будем использовать значение ρ(x i , ˜Ξ i ), где x i – решение неинтервальной 

системы линейных уравнений с матрицей A ′ i, построенной по матрицам A i и 

A, и правой частью b. ρ, как расстояние от точки x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n до множества 

˜Ξ = ([x 1 , x 1 ], . . . , [x n , x n ]), определим так: 

ρ(x, ˜Ξ) n∑ 

= √ (max{|x j − x j |, |x j − x j |}) 2 . 

j=1 

˜Ξ i будем получать с помощью интервального метода Гаусса-Зейделя решения интервальной 

линейной системы уравнений. 

Решением задачи распознавания числовых матриц объявляется номер i 0 т.ч. 

ρ(x i0 , ˜Ξ i0 ) = min 

1≤i≤L ρ(x i, ˜Ξ i ). 

Построение матриц A ′ i и A i . Пусть a k ij – элемент матрицы A k , находящийся в ее 

(i, j)-й позиции, a ij – элемент матрицы A, находящийся в ее (i, j)-й позиции. Найдем a min 

и a max т.ч.: 

a min = min {a k ij, a ij }, 

1≤i,j≤n 

1≤k≤L 

a max = max {a k ij, a ij }. 

1≤i,j≤n 

1≤k≤L 

Далее строим матрицы Ãi со следующими элементами: 

ã k ij = 

ak ij − a min 

a max − a min 

. 

153

После чего получаем матрицы A ′ i: 

A ′ i = Ãi + N, 

где N – диагональная матрица с элементнами на диагонали равными n. 

Для построения матриц A i (i = 1, L) строим сначала матрицы Ãi со следующими 

элементами 

ã k ij = [min{a ′ ij, a ij }, max{a ′ ij, a ij }]. 

Матрицы A i получаем следующим образом: 

A i = Ãi + N, 

где N – диагональная интервальная матрица с элементами [n, n]. 

Общая схема алгоритма распознавания следующая. 

Алгоритм 1 

распознавания числовых матриц 

Шаг 1. Построение числовых матриц A ′ i, i = 1, L. 

Шаг 2. Построение интервальных матриц A i , i = 1, L. 

Шаг 3. Нахождение x i – решений систем линейных уравнений 

A ′ ix = b, (2) 

i = 1, L. 

Шаг 4. Нахождение ˜Ξ i – внешних оцениваний множеств решений интервальных линейных 

систем уравнений 

A i x = b, (3) 

i = 1, L. 

Шаг 5. Нахождение i 0 т.ч. 

ρ(x i0 , ˜Ξ i0 ) = min 

1≤i≤L ρ(x i, ˜Ξ i ). 

i 0 – найденное решение задачи распознавания. Работу алгоритма завершить. 

Матрицы A ′ i (i = 1, L) – числовые матрицы со строгим диагональным преобладанием, 

что позволяет вычислительно эффективно решать системы линейных уравнений (2) 

методом Гаусса-Зейделя. 

Поскольку для u = (1, . . . , 1) T будет иметь место 〈A i 〉 u > 0, где 〈A i 〉 – матрица 

сравнения для интервальной матрицы A i , то построенные матрицы A i являются H- 

матрицами, что позволяет [1] при любом достаточно широком начальном интервальном 

векторе-приближении получать внешние оценки множеств решений интервальных линейных 

систем уравнений (3) интервальным методом Гаусса-Зейделя. 

3. Алгоритм, использующий оценки множеств решений интервальных линейных 

систем уравнений, полученные решением неинтервальных систем 

линейных уравнений 

154

Пусть A i (δ) – интервальная n×n-матрица, с элементами [a ij −δ, a ij +δ]. Тогда A ∈ A i0 (δ) 

для некоторого δ. Изменяя δ (0 < δ ≤ ∆), будем оценивать расстояние от x 0 до множеств 

Ξ(A i (δ), b), где x 0 – решение системы линейных алгебраических уравнений Ax = b. Если 

для некоторого δ выполняется x 0 ∈ Ξ(A j (δ), b), то матрица A является зашумленной 

матрицей A j . 

Поскольку возможна ситуация, когда при некотором δ ≤ ∆ имеется несколько значений 

j т.ч. A ∈ A j (δ), и в такой ситуации распознавание таким способом невозможно, в ходе 

итераций алгоритма будем оценивать не вхождение x 0 в Ξ(A i (δ), b) , а близость значения 

x 0 к множествам Ξ(A i (δ), b) при изменении значения δ. 

Второй предлагаемый алгоритм распознавания числовых матриц – алгоритм, работающий 

с обыкновенными, неинтервальными системами уравнений. При этом оценка множества 

решений интервальной линейной системы уравнений находится по отдельным его 

элементам, получаемым случайным образом в ходе варьирования δ. На итерациях алгоритма 

производятся возмущения матриц в пределах [a ij − ∆, a ij + ∆], заданных на старте 

алгоритма. Находятся точки из множеств (представители множеств) Ξ(A i (δ), b), с помощью 

которых оценивается близость x 0 к множествам Ξ(A i (δ), b). 

При нахождении представителей множеств производится решение систем линейных алгебраических 

уравнений с матрицами, модифицированными до матриц со строгим диагональным 

преобладанием, что обеспечивает сходимость к точному решению с уточнением 

на один разряд мантиссы приближенного решения на каждой итерации метода Гаусса- 

Зейделя решения неинтервальных систем линейных уравнений. Модифицирование матрицы 

A с элементами a ij (i, j = 1, n) производится следующей заменой их диагональных 

элементов: 

n∑ 

a ii := a ii + a ij + 1. 

В приведенной ниже схеме алгоритма m – число итераций, p – число решений из множества 

Ξ(A i (δ k ), b), рассматриваемого на k-й итерации алгоритма. Значение δ k определяется 

на каждой итерации как δ k = (∆/m) × k. ρ(x, y) – евклидово расстояние между x и 

y (x, y ∈ R n ). 

Шаг 1. ∆ := max 

1≤i,j≤n 

1≤k≤L 

i≠j 

Алгоритм 2 

распознавания числовых матриц 

|a k ij − a ij |. s i := 0, s j i 

:= 0 для i = 1, L, j = 1, m. 

Шаг 2. Найти x 0 – решение системы уравнений Ax = b. 

Шаг 3. Для k = 1, m сгенерировать множество матриц {Ãj i (δ k)} p j=1 . 

Шаг 4. Решить системы линейных уравнений Ãj i (δ k) = b для i = 1, L, j = 1, p. 

{x k ij} – полученные решения. 

Шаг 5. Вычислить {ρ k i } L i=1: 

ρ k i := min 

1≤j≤p {ρ(x 0, x k ij)}. 

Шаг 6. Для всех k = 1, m: если q т.ч. ρ k q = min 

1≤i≤L {ρk i }, то s k q := s k q + 1. 

Шаг 7. Вычислить {s i } L i=1: 

m∑ 

s i := s k i . 

k=1 

155

Шаг 8. Найти i 0 такое, что 

s i0 = max 

1≤i≤L {s i}. 

i 0 – найденное решение задачи распознавания. Работу алгоритма завершить. 

Значения s i показывают, сколько раз был достигнут минимум расстояния от x 0 до 

представителей множеств Ξ(A i (δ j ), b). В качестве решения выдается i 0 , на котором этот 

минимум был достигнут наибольшее число раз на итерациях алгоритма. 

4. Вычислительная сложность алгоритмов 

Оценим вычислительную сложность алгоритма 1 распознавания числовых матриц. 

Трудоемкость шага 1 может быть оценена как L × O(n 2 ). Шага 2 – O(n 2 ). Шага 3 – 

L×K 1 ×O(n 2 ), где K 1 – число итераций метода Гаусса-Зейделя решения систем линейных 

алгебраических уравнений. Шага 4 – L × K 2 × O(n 2 ), где K 2 – число итераций интервального 

метода Гаусса-Зейделя. Шага 5 – O(n). Таким образом, общая вычислительная 

сложность алгоритма, выраженная в элементарных машинных операциях, составит 

L × O(n 2 ) + O(n 2 ) + L × K 1 × O(n 2 ) + L × K 2 × O(n 2 ) + O(n) ≤ O(n 3 ). 

Оценим вычислительную сложность алгоритма 2 распознавания числовых матриц. 

Трудоемкость шага 1 может быть оценена как L × O(n 2 ). Шага 2 – K 1 × O(n 2 ), где K 1 

– число итераций метода Гаусса-Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений. 

Шага 3 – L × p × O(n 2 ). Шага 4 – L × p × K 1 × O(n 2 ). Шагов 5, 6, 7, 8 – как 

O(max{L, m, p}). Таким образом, общая вычислительная сложность алгоритма, выраженная 

в элементарных машинных операциях, составит 

L × O(n 2 ) + K 1 × O(n 2 ) + L × p × O(n 2 ) + L × p × K 1 × O(n 2 ) + O(max{L, m, p}) ≤ O(n 3 ). 

Предполагается, что L, p, m

как алгоритмы работают исходя из непрерывности изменений границ множества Ξ(A, b) 

при непрерывном изменении элементов A. При проведении вычислительного эксперимента 

с монохромными изображениями были получены следующие результаты. При наличии 

небольшого числа случаев принципиально тяжелых для распознавания алгоритмом (3% 

от общего числа испытаний), распознавание производилось правильно при уровне равномерного 

шума до 40%, тогда как алгоритмы типа „Кора“ и алгоритмы, использующие 

морфологический метод, дающие наилучшее решение данной задачи среди разработанных 

алгоритмов ее решения, позволяют устойчиво распознавать монохромные изображения 

при равномерном шуме в 42% и 45% соответственно [2]. 

Отметим, что при одинаковом порядке количества используемых элементарных машинных 

операций, в целом, схемы показали эквивалентно высокую эффективность распознавания 

числовых матриц при заданных в вычислительном эксперименте ограничениях 

на производимые возмущения их элементов (зашумление). 


[1] A. Neumaier Interval Methods for Systems of Equations. Cambridge: Cambridge University 

Press, 1990. 

[2] Е.В. Дюкова, Э.А. Кирнос Сравнение алгоритма распознавания типа „Кора“ и чернобелой 

морфологии в задаче распознавания черно-белых изображений. - Математические 

методы распознавания образов. Доклады 9-й Всероссийской конференции, 

Москва, 1999, с. 178–179. 

ABOUT AN ALGORITHM FOR SOLVING OF THE NUMERICAL MATRICES 

RECOGNITION PROBLEM 

A.V. Prolubnikov, S.A.Silitsky 

Omsk State University, Omsk 

e-mail: a.v.prolubnikov@mail.ru, sersil@mail.ru 

Abstract. We propose an algorithm for solving the numerical matrices reconition problem. Two 

schemes of the algorithm are considered. Both of these schemes are based on estimating of solution sets 

of interval linear system of equations. These systems of equations are constructed upon the recognized 

matrices. Computational complexity of both of the schemes are equal to O(n 3 ). Computaional 

complexity of the algorithms is measured by number of elementary machine operations. The results 

of numerical experiments are considered. 

Key words: pattern recognition, interval linear system of equations, solution set. 

157

ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОМ ОПЕРАТОРЕ В СЕКТОРИАЛЬНЫХ КВАЗИО- 

КРЕСТНОСТЯХ И МИНИМАЛЬНЫЕ ВЕТВИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ 

УРАВНЕНИЙ 

Н.А. Сидоров, Р.Ю. Леонтьев 

Институт математики, экономики и информатики ИГУ, Иркутск 

e-mail: sidorov@math.isu.runnet.ru, lev_roma@bk.ru 

Аннотация. Рассматривается нелинейное операторное уравнение F (x, λ) = 0 с условием 

F (0, 0) ≡ 0. Оператор F x (0, 0) не является непрерывно обратимым. Строятся непрерывные 

решения x(λ) → 0 при λ → 0 в открытом множестве S линейного нормированного пространства 

Λ. Нуль принадлежит границе множества S. Доказанные теоремы существования решений 

иллюстрируются примерами. 

Ключевые слова: секториальная квазиокрестность, банахово пространство, нелинейное 

операторное уравнение, линейное нормированное пространство, двухточечная краевая задача, 

теорема о неявном операторе 

Пусть X, Y – банаховы пространства, Λ – линейное нормированное пространство. Рассматривается 

нелинейное операторное уравнение 

F (x, λ) = 0, (1) 

где F : X ⊕ Λ → Y , F (0, 0) ≡ 0, оператор F x (0, 0) не является непрерывно обратимым. 

В работе, продолжающей исследования [1], [2], доказано существование непрерывных решений 

уравнения x(λ) → 0 при λ → 0 в секториальной квазиокрестности нуля и дан 

способ их построения. Результатом работы являются теоремы существования минимальных 

ветвей максимального порядка малости решений нелинейных уравнений и дополняют 

результаты [1]. 

Определение 1. Секториальной квазиокрестностью точки 0 ∈ Λ будем называть 

открытое множество S ⊂ Λ, такое что 0 ∈ ∂S. 

Далее пусть a(λ) некоторая функция a(λ) : S → R + , a(λ) → 0 при S ∋ λ → 0. Вводится 

множество Ω = {(x, λ) ∈ X ⊕ Λ, ‖x‖ a(λ)r, λ ∈ S}, где r > 0. Доказаны следующие 

теоремы. 

Теорема 1. Пусть в Ω выполнены условия: 1) оператор F (x, λ) непрерывен по x и 

λ и имеет частную производную Фреше F x (x, λ), непрерывную по x и λ; 2) F (0, 0) = 0, 

оператор F x (0, λ) непрерывно обратим при λ ∈ S, причем ‖Fx −1 (0, λ)‖ = O( 1 ); a(λ) 

3) ‖F x (x, λ) − F x (0, λ)‖ L‖x‖; 4) ‖F (0, λ)‖ = o(a 2 (λ)). 

Тогда найдется число r 0 ∈ (0, r) и секториальная квазиокрестность нуля S 0 ⊂ S 

такие, что для каждого λ ∈ S 0 уравнение (1) имеет в шаре ‖x‖ a(λ)r 0 непрерывное 

решение x(λ) → 0 при S 0 ∋ λ → 0. 

Доказательство. Уравнение (1) с помощью замены x = a(λ)V приводится к эквивалентному 

уравнению 

V = Φ(V, λ), (2) 

158

где оператор Φ(V, λ) имеет вид 

Φ(V, λ) ≡ V − 1 

a(λ) F x 

−1 (0, λ)F (a(λ)V, λ). 

Нетрудно видеть, что оператор Φ(V, λ) при λ ∈ S, ‖V ‖ r 0 r является сжатием. Действительно, 

применяя формулу конечных приращений Лагранжа и условие 3) теоремы, 

получим цепочку неравенств 

‖Φ(V 1 , λ)−Φ(V 2 , λ)‖ ‖Fx 

−1 (0, λ)‖ 

CL 

∫ 1 

0 

∫ 1 

0 

‖F x (0, λ)−F x (a(λ)(V 2 +Θ(V 1 −V 2 )), λ)‖ dΘ ‖(V 1 −V 2 )‖ 

{ 

} 

‖V 2 ‖ + Θ(‖V 1 ‖ + ‖V 2 ‖) dΘ ‖V 1 − V 2 ‖ 2CLr 0 ‖V 1 − V 2 ‖, 

здесь C, L – const. Выберем r 0 < 1 

2CL , тогда оператор Φ(V, λ) при λ ∈ S и ‖V ‖ r 0 будет 

сжатием. 

Более того при достаточно малых λ в силу оценки 4) оператор Φ(V, λ) переводит шар 

‖V ‖ r 0 в себя. Действительно, 

‖Φ(V, λ)‖ ‖Φ(V, λ)−Φ(0, λ)‖+‖Φ(0, λ)‖ qr 0 + 1 −1 

‖Fx (0, λ)F (0, λ)‖ qr 0 + C 1 

‖F (0, λ)‖ 

a(λ) a 2 (λ) 

Далее, в силу условия 4), можно выбрать множество S 0 ⊂ S так, что при ∀λ ∈ S 0 будет 

выполнено C 1 

‖F (0, λ)‖ (1 − q)r a 2 (λ) 0. 

Поэтому на основании принципа сжимающих отображений операторное уравнение (2) 

имеет единственное решение V (λ) → 0 при λ → 0. Возвращаясь к переменной x получаем, 

что уравнение (1) имеет малое непрерывное решение, вообще говоря, не единственное. 

Теорема доказана. 

Если F x (0, 0) ≠ 0, то следующий результат позволяет в приложениях ослаблять условие 

4) теоремы 1. 

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1) − 3) теоремы 1 и пусть выполнено условие: 

5) линейное уравнение F x (0, 0)x = F (0, λ), где λ ∈ S, имеет решение x ∗ (λ), причем выполнены 

оценки ‖x ∗ (λ)‖ = o(a(λ)) и ‖F x (0, 0) − F x (0, λ)‖ = O(a(λ)) при λ ∈ S. 

Тогда найдется число r 0 ∈ (0, r) и секториальная квазиокрестность нуля S 0 ⊂ S 

такие, что для каждого λ ∈ S 0 уравнение (1) имеет в шаре ‖x‖ a(λ)r 0 непрерывное 

решение x(λ) → 0 при S 0 ∋ λ → 0. 

Доказательство. Уравнение (1) с помощью замены x = a(λ)V приводится к эквивалентному 

уравнению (2). 

Сжимаемость оператора Φ(V, λ) вытекает из условий 1)-3). (см. док-во теоремы 1). 

Покажем, что при достаточно малых λ ∈ S 0 ⊂ S, оператор Φ(V, λ) переводил шар ‖V ‖ r 0 

в себя. Действительно, в силу условия 5) имеем цепочку неравенств 

= qr 0 + 1 

∥ 

a(λ) 

‖Φ(V, λ)‖ qr 0 + 1 −1 

‖Fx (0, λ)F (0, λ)‖ = 

a(λ) 

{ 

} 

x (0, λ) F x (0, 0) − F x (0, λ) + F x (0, λ) x ∗ ∥ 

(λ) 

∥F −1 

159 

∥ qr 0 + 

C 

a(λ) ‖x∗ (λ)‖

В силу оценки из условия 5) при достаточно малых λ ∈ S 0 ⊂ S выполнится неравенство 

C 

a(λ) ‖x∗ (λ)‖ (1 − q)r 0 , где C – const. Следовательно, ‖Φ(V, λ)‖ r 0 при ‖V ‖ r 0 и λ ∈ S 0 . 


Пример 1. Покажем, что уравнение 

F (x, λ) ≡ 

∫ 1 

0 

tsx(s) ds + λx(t) − 

∫ 1 

0 

x 3 (s) ds − f(t, λ) = 0, 

где x(t) ∈ C [0,1] , f(t, λ) = m(t)λ n , m(t) ∈ C [0,1] , n 2, S – суть проколотая окрестность 

нуля, имеет малое непрерывное решение x λ (t) → 0 при S ∋ λ → 0. 

Здесь дифференциал Фреше имеет вид 

при этом 

F x (x, λ)h = 

∫ 1 

Далее, F x (0, 0) = 0 и выполнена оценка 

0 

∫ 1 

tsh(s) ds + λh(t) − 3 

0 

x 2 (s)h(s) ds, 

Fx 

−1 (0, λ)h = h(t) 

∫ 

λ − 3t 

1 

sh(s) ds. 

(3λ + 1)λ 

0 

‖Fx 

−1 (0, λ)‖ = O 

( ) 1 

. 

|λ| 

Условия 1), 2) очевидно выполнены. В силу неравенств 

‖F x (x, λ)h − F x (0, λ)h‖ = 

∫ 1 

∥ 

∥3 

0 

x 2 ∥ 

(s)h(s) ds∥ 3r‖x‖ ‖h‖ 

условие 3) тоже выполнено. Если n > 2, то выполнено условие 4), и по теореме 1, уравнение 

имеет малое непрерывное решение x λ (t) → 0 при λ → 0. Если n = 2, то условие 4) не 

выполняется, но будет выполнено условие 5), если m(t) = const · t. Таким образом, для 

того, чтобы данное уравнение при n = 2 имело решение x λ (t) → 0 при λ → 0, достаточно, 

чтобы m(t) = const · t. 

Пример 2. Покажем, что двухточечная краевая задача для интегро-дифференциальной 


⎧⎨ 

−y ′′ (t) = x(t), y(0) = y(1) = 0, 0 < t < 1 

∫ 1 

⎩ y(t) + λx(t) + t x(s)y(s) ds + f(t, λ) = 0, λ > 0 

0 

где f(t, λ) = m(t)λ n , m(t) ∈ L 2 [0,1], n 2, имеет малое непрерывное решение 

{x λ (t), y λ (t)} → (0, 0) при λ → +0. 

Из первого уравнения системы имеем y(t) = 

G(t, s) = 

∫ 1 

0 

G(t, s)x(s) ds, где 

{ t(1 − s), 0 t s 

(1 − t)s, s t 1. 

160

Подставляя полученное выражение для y(t) во второе уравнение получим нелинейное 

интегральное уравнение: 

F (x, λ) ≡ 

∫ 1 

0 

∫ 1 

G(t, s)x(s) ds + λx(t) + t 

0 

∫ 1 

x(s) 

0 

G(s, z)x(z) dz ds + f(t, λ) = 0. 

Проверим выполнение условий теорем. Очевидно, F (x, λ) и F x (x, λ) непрерывные операторы 

по x и λ. Далее, F x (0, 0) = 0, а оператор F x (0, λ) непрерывно обратим при λ > 0, 

причем выполнена оценка ‖Fx −1 (0, λ)‖ = O ( 1 

λ) 

. Таким образом, выполнены условия 1), 2). 

Условие 3) справедливо ввиду оценки: 

‖F x (x, λ)h − F x (0, λ)h‖ = 

‖t‖ · ‖x‖ · ‖h‖ · 

∫ 1 

∥ 

∥t 

∫ 1 

0 0 

∫ 1 ∫ 1 

0 

0 

∥ 

G(s, z)(x(s)h(z) + h(s)x(z)) dz ds∥ 

2‖G(s, z)‖ dz ds L‖x‖ · ‖h‖. 

Условие 4), очевидно, выполнено при n > 2. Поэтому, по теореме 1, при n > 2 уравнение 

имеет малое непрерывное решение {x λ (t), y λ (t)} → (0, 0) при λ → +0. Если n = 2, то условие 

4) не выполняется, но выполнится условие 5), если m(t) дважды дифференцируемая 

функция, причем m(0) = m(1) = 0. Таким образом, для того, чтобы данное уравнение при 

n = 2 имело решение {x λ (t), y λ (t)} → (0, 0) при λ → +0 достаточно, чтобы m(t) была 

дважды дифференцируемой функцией, причем m(0) = m(1) = 0. 

При проверке условий теорем 1, 2 в ряде приложений можно использовать следующий 

результат Н.А. Сидорова об обратимости оператор функций в окрестности фредгольмовых 

точек. 

Рассматривается оператор-функция B − λA, где B, A — замкнутые линейные операторы, 

действующие в банаховых пространствах, с плотными областями определения, 

D(B) ⊆ D(A). Фредгольмов оператор B имеет канонический полный A-жорданов набор 

{ 

(см. [3, гл. 9], [4]). Пусть 

проекторы 

где Bϕ (j) 

i 

оператор 

Q = 

i=1 

= Aϕ (j−1) 

i , B ∗ ψ (j) 

i 

ϕ (1) 

i 

j=1 

} { 

, 

ψ (1) 

i 

} 

, i = 1, n — базисы в N (B) и N (B ∗ ) соответственно, 

p n∑ ∑ i 〈〉 

· , ψ (j) 

i z (j) 

i , P = 

= A ∗ ψ (j−1) 

i , γ (j) 

i 

Γ = (B+ 

p n∑ ∑ i 〈〉 

· , γ (j) 

i ϕ (j) 

i , 

i=1 

j=1 

= Aϕ (p i+1−j) 

i , z (j) 

i = A ∗ ψ (p i+1−j) 

i и ограниченный 

n∑ 〈 

i=1 

〉 

· , γ (j) 

i 

) −1 

z (j) 

i 

соответствуют этому жорданову набору. Известно, что канонические полные наборы существуют 

и проекторы P и Q могут быть построены, если λ = 0 — изолированная особая 

фредгольмова точка, т.е. оператор B − λA непрерывно обратим в окрестности 0 < |λ| < ρ 

(или, эквивалентно, µB − A, в окрестности R < |µ| < +∞). 

161

Теорема 3. Оператор B − λA непрерывно обратим в окрестности 0 < |λ| < ρ тогда 

и только тогда, когда B имеет канонический полный A-жорданов набор. Причем при 

λ < 1 

‖AΓ‖ 

(B − λA) −1 = Γ (I − λAΓ) −1 (I − Q) − 

p n∑ ∑ i 

i=1 

j=1 

j∑ 〈〉 

λ −s · , ψ (j+1−s) 

i ϕ (p i+1−j) 

i . (11) 

s=1 

Теорема дополняет один известный результат о жордановых наборах (см. [3, гл. 

9], [4]), так как здесь приводится компактное явное представление обратного оператора 

(B − λA) −1 . Доказательство тождества (11) использует {P, Q}-сплетаемость операторов 

B, A, Γ и представление единственного решения уравнения (B − λA) x = f в ви- 

∑ pi 

де x = Γy + ∑ n 

i=1 

, где y = (I − λAΓ) −1 (I − Q) f. Вектор C из пространства 

R p 1+...+p n 

определяется из системы линейных алгебраических уравнений с обратимой 

блочно-диагональной матрицей. 

j=1 c ijϕ (j) 

i 

Следствие 1. Оценка ∥ ∥(B − λA) −1∥ ∥ ∼ 

C при λ → 0 (соответственно, оценка 

∥ ∥ (µB − A) 

|λ| p 

−1 ∼ C |µ| p−1 при µ → +∞) выполнена тогда и только тогда, когда 

p = max(p 1 , . . . , p n ). 

[〈〉] n 

Замечание 1. p = 1 тогда и только тогда, когда det Aϕ (1) 

i , ψ (1) 

k 

≠ 0. 

i,k=1 


[1] Н.А. Сидоров. Минимальные ветви решений нелинейных уравнений и асимптотические 

регуляризаторы. - Нелинейные граничные задачи, 2004, вып. 14, с. 161-164. 

[2] Р.Ю. Леонтьев. Теорема о неявном операторе в секториальных областях. - Материалы 

конференции „Ляпуновские чтения“, 2007, с. 20. 

[3] М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. – 

М: Наука, 1969, 527 с. 

[4] Б.В. Логинов. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления. - Прямые и 

обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных и приложения, 

1978, с. 133-148. 

[5] В.A. Треногин Функциональный анализ. – М: Физматлит, 2002, 488 с. 

162

IMPLICIT FUNCTION THEOREM IN SECTORIAL QUASI- 

NEIGHBORHOODS 

N.A. Sidorov, R.Y. Leontyev 

Institute of Mathematics, Economics and Computer Science of Irkutsk State University, Irkutsk 

e-mail: sidorov@math.isu.runnet.ru, lev_roma@bk.ru 

Abstract. We consider nonlinear operational equation F (x, λ) = 0 with condition F (0, 0) ≡ 0. 

Operator F x (0, 0) is not continuously inversible. We costruct continuous solutions x(λ) → 0 as λ → 0 

in open set S of linear normalized space Λ. Zero belongs to frontier of set S. Solution existence 

theorems we have illustrated by examples. 

Key words: banach space, implicit function theorem, sectorial quasi-neighborhoods, nonlinear 

operator equation, linear normalized space, two-point boundary problem 

163

ОПТИМИЗАЦИЯ ПСЕВДОГРАДИЕНТА ПРИ РЕКУРРЕНТНОМ ОЦЕ- 

НИВАНИИ ПАРАМЕТРОВ МЕЖКАДРОВЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ 

ДЕФОРМАЦИЙ ИЗОБРАЖЕНИЙ 1 

А.Г. Ташлинский, И.Н. Кавеев 

Ульяновский государственный технический университет, Ульяновск 

e-mail: tag@ulstu.ru 

Аннотация. При псевдоградиентном оценивании параметров изображений характер сходимости 

оценок и вычислительные затраты зависят от объема локальной выборки отсчетов изображений, 

используемой для нахождения псевдоградиента целевой функции. В работе рассмотрен подход 

к решению задачи оптимизации псевдоградиента за счет выбора плана отсчетов локальной 

выборки. 

Ключевые слова: изображения, анализ изображений, межкадровые деформации, рекуррентность, 

адаптация, псевдоградиент, оценивание. 


При решении задачи оценивания межкадровых геометрических деформаций изображений 

(МГДИ) применяются псевдоградиентные процедуры (ПГП) [1] 

{ 

где ᾱ – вектор оцениваемых параметров МГДИ Z (1) = 

ˆᾱ t+1 = ˆᾱ t − Λ t+1 ¯βt+1 

( 

J 

( 

Zt+1 , ˆᾱ t 

)) 

, (1) 

z (1) 

¯j 

} { 

и Z (2) = 

z (2) 

¯j 

} 

; ¯β – псевдоградиент 

целевой функции (ЦФ) J(·), характеризующей качество оценивания; Λ t – матрица 

усиления, задающая приращение оценок параметров на t-й итерации; Z t+1 – локальная 

выборка отсчетов изображений Z (1) и Z (2) , используемая для нахождения ¯β на (t + 1)-й 

итерации. ПГП оценивания параметров МГДИ обладают рядом несомненных достоинств. 

Они применимы к обработке изображений в условиях априорной неопределенности, предполагают 

небольшие вычислительные затраты и не требуют предварительной оценки параметров 

исследуемых изображений. Формируемые ПГП оценки устойчивы к импульсным 

помехам и сходятся к точным значениям при довольно слабых условиях. Разрешению противоречия 

между скоростью поступления изображений и быстродействием имеющихся в 

распоряжении вычислительных средств способствует то, что ПГП позволяют производить 

обработку отсчетов кадров изображений в произвольном порядке, например, в порядке 

развертки изображений. 

Однако ПГП присущи и два существенных недостатка. К первому из них можно отнести 

наличие локальных экстремумов оценки ЦФ при обработке реальных изображений, 

что на отдельных реализациях изображений существенно замедляет скорость сходимости 

оценок параметров или даже может привести к ее срыву. Ко второму недостатку можно отнести 

сравнительно небольшой рабочий диапазон, в котором обеспечивается эффективная 

сходимость оценок и который определяется автокорреляционной функцией исследуемых 

изображений. На борьбу с первым недостатком направлена апостериорная оптимизация 

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 07-01-00138-а, 08-07-99003-р_офи) 

164

локальной выборки, предполагающая синтез процедур оценивания, в которых объем выборки 

автоматически адаптируется на каждой итерации для выполнения некоторого условия 

выполнения итерации, способствующего выходу процедур из локальных экстремумов 

целевой функции. В свою очередь, условие выполнения итерации базируется на анализе 

признаков локальных экстремумов. Исследованию указанных вопросов посвящены работы 

[2], [3]. 

Относительно второго недостатка следует отметить, что для увеличения быстродействия 

ПГП стремятся к уменьшению объема локальной выборки (ОЛВ) отсчетов, по которой 

вычисляется псевдоградиент ЦФ. Очевидно, что ОЛВ непосредственно влияет на 

скорость сходимости оцениваемых параметров к оптимальным значениям: чем больше 

ОЛВ µ – тем меньше коррелированность оценок параметров, а, следовательно, и выше 

скорость сходимости. Однако с другой стороны, увеличение µ неминуемо ведет и к увеличению 

вычислительных затрат, что не всегда оправдано и допустимо. Отметим также, 

что при различных рассогласованиях оценок параметров от оптимальных значений одно 

и то же значение ОЛВ при прочих равных условиях обеспечивает различную скорость 

сходимости оценок. Поэтому актуальными являются задачи оптимизации объема и плана 

взятия отсчетов локальной выборки, используемой на итерациях ПГП для нахождения 

псевдоградиента ЦФ. Решению задачи априорной оптимизации ОЛВ, в частности по критериям 

минимума вычислительных затрат и минимума числа итераций при ограничении 

на вычислительные затраты, посвящены работы [4], [5]. Вопросы же оптимизации плана 

взятия отсчетов локальной выборки практически не исследовались. 

Псевдоградиентное оценивание параметров (1) рекуррентно, поэтому на итерации 

оценка ˆα i,t параметра α i изменяется дискретно: ˆᾱ t = ˆᾱ t−1 + ∆ˆᾱ t . Если sign (ε i,t−1 ) = 

sign∆α i,t , то изменение оценки ˆᾱ t направлено от оптимального значения αi ∗ , где ε i,t = 

ˆα i,t −αi ∗ – рассогласование оптимального значения параметра αi ∗ и его оценки, i = 1, m. Вероятность 

такого события обозначим через ρ − i (¯ε t ). При ∆α i,t = 0 оценка ˆᾱ t не изменяется с 

вероятностью ρ 0 i (¯ε t ). Если −sign (ε i,t−1 ) = sign∆α i,t , то изменение оценки ˆᾱ t направлено к 

оптимальному значению параметра с некоторой вероятностью ρ + i (¯ε t ). При этом не всегда 

достигается улучшение оценки параметра. Если рассогласование на предыдущей итерации 

было менее половины шага изменения оценки (|ε i,t−1 | < 0.5∆α i,t ), то оценка ухудшится. 

Поэтому ρ + i (¯ε t ) – вероятность изменения оценки в сторону оптимального значения. 

Заметим, что вероятности ρ − i (¯ε t ), ρ 0 i (¯ε t ) и ρ + i (¯ε t ) зависят и от текущих рассогласований 

¯ε t = (ε 1,t , ε 2,t , . . . , ε m,t ) других оцениваемых параметров, но в силу полной группы событий 

всегда ρ + i (¯ε t )+ρ − i (¯ε t ) = 1−ρ 0 i (¯ε t ). Отметим также, что если ЦФ максимизируется и ε i,t > 0, 

то ρ + i (¯ε t ) – это вероятность того, что проекция β i псевдоградиента на ось параметра α i 

будет отрицательной, а ρ − i (¯ε t ) – положительной [6]: 

ρ + i (¯ε t ) = P {β i < 0} = 

∫ 0 

w (β i (Z t , ˆα i,t−1 )) dβ i , (2) 

ρ − i (¯ε t ) = P {β i > 0} = 

−∞ 

∫ ∞ 

0 

w (β i (Z t , ˆα i,t−1 )) dβ i , (3) 

где w (β i (Z t , ˆα i,t−1 )) – ПРВ проекции β i на ось α i . В случае же, когда ЦФ предполагает 

минимизацию – наоборот. 

165

1. Коэффициент улучшения оценок параметров 

Сходимость оценок при псевдоградиентном оценивании параметров МГДИ зависит от 

большого числа факторов, к которым можно отнести как факторы, заданные априорно: 

плотности распределения вероятностей (ПРВ) и автокорреляционные функции изображений 

и мешающих шумов, а также ЦФ качества оценивания, так и характеристики используемой 

ПГП: способ вычисления псевдоградиента, вид матрицы усиления и число итераций. 

Факторы первой группы желательно описать возможно меньшим числом величин. 

В работах [6], [7] в качестве таких величин предложено использовать вероятности (2)–(3) 

изменения оценок в пространстве параметров. На их основе для релейных ПГП можно 

предложить коэффициент, характеризующий вероятностные характеристики изменения 

параметров в процессе сходимости. Рассмотрим этот вопрос подробнее. 

Если на (t−1)-й итерации при использовании релейной ПГП значение оценки параметра 

составляло ˆα i,t−1 , то математическое ожидание оценки на t-й итерации можно выразить 

через вероятности ρ + (¯ε), ρ 0 (¯ε) и ρ − (¯ε): 

M [ˆα i,t ] = (ˆα i,t−1 + λ i,t )ρ − (¯ε t−1 ) + ˆα i,t−1 ρ 0 (¯ε t−1 ) + 

+(ˆα i,t−1 − λ i,t )ρ + (¯ε t−1 ) = ˆα i,t−1 − λ i,t (ρ + (¯ε t−1 ) − ρ − (¯ε t−1 )) . 

По отношению к предыдущему значению оценки изменения составят величину 

−λ i,t (ρ + (¯ε t−1 ) − ρ − (¯ε t−1 )). При этом, если ρ + (¯ε t−1 ) > ρ − (¯ε t−1 ), то оценка улучшится, если 

же ρ + (¯ε t−1 ) < ρ − (¯ε t−1 ) – ухудшится. Величину 

R i = ρ + i (¯ε) − ρ − i (¯ε) (4) 

назовем коэффициентом улучшения оценки (КУО). Диапазон изменения КУО от -1 до +1. 

КУО может служить комплексной характеристикой параметров оцениваемых изображений 

и воздействующих шумов, а также выбранной ЦФ качества оценивания, поскольку не 

зависит от параметров используемой ПГП. Для расчета КУО можно использовать формулы 

(2) и (3), тогда получаем 

R i = 

∫ 0 

w (β i (Z t , ˆα i,t−1 )) dβ i − 

∫ ∞ 

w (β i (Z t , ˆα i,t−1 )) dβ i . 

−∞ 

Исследуем возможности вычисления КУО для случаев, когда в качестве ЦФ качества 

оценивания выбраны средний квадрат межкадровой разности (СКМР) и коэффициент 

межкадровой корреляции. При этом будем считать, что ρ 0 i (¯ε) = 0. Последнее справедливо 

при неквантованных отсчетах исследуемых изображений. Тогда, с учетом полной группы 

событий ρ + i (¯ε) = 1 − ρ − i (¯ε). Соответственно 

0 

R i = 2ρ + i (¯ε) − 1 = 2 

∫ 0 

w (β i (Z t , ˆα i,t−1 )) dβ i − 1. (5) 

−∞ 

2. Оптимальное евклидово расстояние рассогласования 

При выполнении очередной итерации при любом наборе параметров модели МГДИ для 

отсчета z (2) 

¯jk 

с координатами (j xk, j yk ) деформированного изображения находится его оценка 

166

˜z (1) 

k 

на опорном изображении с координатами (˜x k , ỹ k ). При этом положение точки (˜x k , ỹ k ) 

относительно истинного положения (x k , y k ) точки (j xk , j yk ) на опорном 

√ 

изображении можно 

описать через евклидово расстояние рассогласования (ЕРР) £ = (x k − ˜x k ) 2 + (y k − ỹ k ) 2 

и угол φ = arctan y k − ỹ k 

. 

x k − ˜x k 

Можно предположить, что оптимальное значение ЕРР, обеспечивающее наилучшую 

сходимость, определяется только ЦФ и характеристиками исследуемых изображений и 

не зависит от модели МГДИ. В свою очередь, заданное оптимальное значение ЕРР и 

рассогласование оценок относительно оптимальных значений параметров определяет оптимальную 

область взятия отсчетов локальной выборки. 

Таким образом, решение задачи нахождения оптимальной (субоптимальной) области 

взятия отсчетов локальной выборки можно разбить на два этапа: 

1) нахождение для выбранной ЦФ качества оценивания оптимального ЕРР как функции 

параметров изображения (ПРВ яркостей, автокорреляционной функции полезного 

изображения и отношения сигнал/шум); 

2) определение по модели МГДИ и вектору рассогласования оценок параметров оптимальной 

области взятия отсчетов локальной выборки, как области, в которой обеспечивается 

оптимальное значение ЕРР. 

Рассмотрим решение первой из поставленных задач. 

Пусть задана ЦФ качества оценивания. Требуется найти значение ЕРР, при котором 

извлекается максимум информации о взаимной деформации изображений Z (1) и Z (2) . Количество 

информации будем понимать в смысле информации, содержащейся в одной случайной 

величине относительно другой случайной величины. 

Оценка градиента ЦФ производится по локальной выборке, содержащей µ пар отсчетов. 

Каждая пара отсчетов z (2) (с деформированного изображения) и ˜z (1) 

¯jk k 

(с интерполированного 

опорного изображения) локальной выборки несет полезную информацию о 

степени связи этих отсчетов. При этом все пары отсчетов в среднем равноценны, поэтому 

в дальнейшем будем рассматривать одну пару. 

Считая изображение изотропным, для упрощения исследования влияния ЕРР на свойства 

ЦФ целесообразно свести задачу к одномерной. Для этого достаточно задать координатную 

ось 0 − £, проходящую через координаты отсчетов с центром в точке (x k , y k ). 

Соответственно упростится и обозначение отсчетов: z – яркость в истинном положении 

точки, ˜z £ – яркость оценки, где £ – расстояние между отсчетами. 

Как уже отмечалось, информация о степени связи отсчетов z и ˜z £ зашумлена. При 

аддитивной модели наблюдений изображений: z = s + θ, ˜z £ = ˜s £ + ˜θ £ , шумовая составляющая 

обусловлена двумя факторами: аддитивными шумами θ, ˜θ £ и коррелированностью 

отсчетов. Воздействие некоррелированных аддитивных шумов одинаково при любом 

положении отсчетов. Случайная же составляющая яркости в отсчетах увеличивается с 

увеличением расстояния между ними, а их коррелированность убывает. Таким образом, 

шумовая составляющая минимальна, если координаты отсчетов совпадают, соответственно, 

при этом максимальна и коррелированность отсчетов. Будем полагать, что дисперсии 

отсчетов z = s + θ и ˜z = ˜s + ˜θ одинаковы, причем 

σ 2 s = σ 2˜s, σ 2 θ = σ 2˜θ. (6) 

При псевдоградиентном оценивании параметров МГДИ нас интересует информация о 

степени связи отсчетов z и ˜z £ , содержащаяся в псевдоградиенте ЦФ. Как уже отмечалось, 

167

эта информация зашумлена. Поэтому рассмотрим воздействие шумовой составляющей 

на информацию о градиенте ЦФ. Градиент ЦФ по заданному направлению может быть 

найден либо как ∂J , где J – ЦФ, либо, если существует первая производная по переменной 

∂£ 

dJ ∂z 

z, – как: . Учитывая, что оба способа подразумевают приближение производных 

dz ∂£ 

конечными разностями, соответственно, для псевдоградиента получаем 

β = ∂Ĵ 

∂£ ≈ Ĵ(£ + ∆ £) − Ĵ(£ − ∆ l) 

2∆ £ 

, (7) 

β = dĴ ∂z 

dz 

∂£ ≈ dĴ 

dz 

(˜z £+∆£ − ˜z £−∆£ ) 

2∆ £ 

. (8) 

Выражения (7) и (8) конкретизируем для СКМР, ковариации и коэффициента корреляции 

отсчетов. 

3. Средний квадрат яркости отсчетов 

В этом случае для псевдоградиента квадрата разности z−˜z £ получаем, соответственно, 

выражения: 

βскмр = ∂(z − ˜z £) 2 

≈ (z − ˜z £+∆ £ 

) 2 − (z − ˜z £−∆£ ) 2 

, 

∂£ 

2∆ £ 

(9) 

βскмр = ∂(z − ˜z £) 2 ∂z 

∂z ∂£ ≈ −(z − ˜z £) (˜z £+∆£ − ˜z £−∆£ ) 

, 

2∆ £ 

(10) 

где ∆ £ – приращение координаты £. Анализ выражений (9) и (10) показывает, что при 

£ → 0 и £ → ∞ математическое ожидание M [ βскмр ] псевдоградиента βскмр стремится 

к нулю и не несет в себе информации, которую можно было бы использовать для 

псевдоградиентного измерения оценок параметров МГДИ. При некотором значении £, соответствующем 

максимальной крутизне ЦФ, модуль M [ βскмр ] достигает максимума. В 

самом деле, приняв модель (9) и предположив справедливость допущения (6), получаем, 

что математическое ожидание βскмр определяется выражением: 

M [ βскмр ] [ ] 

(z − ˜z£+∆£ ) 2 − (z − ˜z £−∆£ ) 2 

= M 

= 

2∆ £ 

= − σ2 s 

∆ £ 

(R(£ + ∆ £ ) − R(£ − ∆ £ )) , 

где R(£) – нормированная автокорреляционная функция изображений. Заметим, что аналогичное 

выражение получается и для выражения (10). 

Но информация о градиенте извлекается в условиях шумов. Шумовая составляющая, 

как уже отмечалось, обусловлена при принятой модели наблюдений изображений аддитивными 

шумами θ и коррелированностью отсчетов z и ˜z. Величину шумовой составляющей 

будем характеризовать ее дисперсией. Тогда, в предположении (6), получаем 

(11) 

D [ βскмр ] = 

σ4 s 

(∆ £ ) 2 [4 ((1 − R(£))(1 − R(2∆ £))+ 

+g −1 (2−R(£)−R(2∆ £ )+g −1 ))+(R(£+∆ £ ) −R(£−∆ £ )) 2] , 

(12) 

168

где g – отношение сигнал/шум. 

Найдем условие, при котором информация о связи отсчетов z и ˜z, извлекаемая из 

βскмр, максимальна в среднем. Поскольку в соответствии с (11) математическое ожидание 

шумовой составляющей равно нулю, в качестве такого условия может выступать модуль 

максимума отношения математического ожидания (z − ˜z £ ) 2 к СКО: 

∣ M [β] ∣∣∣∣ 

max 

√ . (13) 

∣ D [β] 

Подставив в (13) выражения (11) и (12) получаем условие, из которого можно найти 

расстояние £ op между отсчетами z и ˜z, обеспечивающее извлечение максимума информации 

для ПГП оценивания параметров МГДИ при выборе СКМР в качестве ЦФ: 

∣ max 

R(£ + ∆ £ ) − R(£ − ∆ £ ) 

∣∣∣ 

∣ 

4 ((1−R(£))(1−R(2∆ £ ))+g −1 (2−R(£)−R(2∆ £ )+g −1 ))+(R(£ + ∆ £ )−R(£ − ∆ £ )) 2 . 

(14) 

Назовем это расстояние оптимальным ЕРР £ op . 

Таким образом, в ситуации, когда в качестве ЦФ выступает СКМР отсчетов изображений 

Z (1) = S (1) + Θ (1) и Z (2) = S (2) + Θ (2) для нахождения £ op необходимо знать 

автокорреляционную функцию изображения S (1) (или S (2) ) и отношение сигнал/шум . 

Значение £ op как функция указанных факторов находится из условия (14). 

4. Ковариация отсчетов 

Рассмотрим теперь математическое ожидание и дисперсию псевдоградиента произведения 

z˜z £ . В соответствии с соотношениями (7) и (8) можно записать: 

βcov = ∂(z˜z £) 

∂£ = ∂(z˜z £) ∂z 

∂z ∂£ ≈ z˜z £+∆ £ 

− z˜z £−∆£ 

, (15) 

2∆ £ 

где ∆ £ – приращение координаты £. Применяя к (15) те же рассуждения, что и к выражениям 

(9) и (10), получаем, что, математическое ожидание βcov определяется выражением: 

M [βcov] = 

σ2 s 

2∆ £ 

(R(£ + ∆ £ ) − R(£ − ∆ £ )) (16) 

где R(£) – нормированная автокорреляционная функция изображения S (2) . 

Найдем дисперсию D [βcov] в предположении (6): 

D [β cov ] = 

1 

4(∆ £ ) 2 D [z˜z £+∆ £ 

− z˜z £−∆£ ] = 

= σ4 s 

4(∆ £ ) 2 ( 

2(1 − R(2∆£ )) + (R(£ + ∆ £ ) − R(£ − ∆ £ )) 2 + 

+2g −1 (1 − R(2∆ £ ) + g −1 )) , 

где g – отношение сигнал/шум. 

Используя (13), найдем условие, при котором информация о связи отсчетов z и ˜z, 

извлекаемая из псевдоградиента произведения (z˜z £ ), максимальна в среднем: 

max 

R(£ + ∆ £ ) − R(£ − ∆ £ ) 

√ 

∣ 2(1−R(2∆ £ ))+(R(£+∆ £ )−R(£−∆ £ )) 2 +2g −1 (1−R(2∆ £ )+g −1 ) ∣ . (18) 

169 

(17)

Заметим, что максимум (18) достигается при максимуме числителя, поскольку экстремумы 

числителя и знаменателя совпадают. 

Таким образом, расстояние £ op может быть найдено через приравнивание нулю первой 

производной M [βcov]. Отсюда получаем неявное уравнение для нахождения £ op 

d 

d£ R (£ op − ∆ £ ) = d 

d£ R (£ op + ∆ £ ) . 

Таким образом, в ситуации, когда в качестве ЦФ выступает ковариация отсчетов 

изображений ˜Z (1) и Z (2) для нахождения £ op достаточно знать только АКФ изображения 

S (1) и S (2) . Можно показать, что аналогичный вывод справедлив и для коэффициента 

корреляции. 


При псевдоградиентном оценивании параметров МГДИ план локальной выборки отсчетов, 

используемых для нахождения псевдоградиента, существенно влияет на характер 

сходимости оценок параметров. При этом сходимость оценок зависит не только от параметров 

ПГП, но и от ПРВ и корреляционных функций изображений и мешающих шумов, 

а также ЦФ качества оценивания. Для описания влияния указанных факторов на вероятностные 

свойства изменения оценки параметра МГДИ в процессе ее сходимости предложен 

КУО, равный разности вероятностей изменения оценки к оптимальному и от оптимального 

значений. Для аддитивной модели наблюдений изображений получены расчетные 

выражения для нахождения КУО как функционала дисперсии яркости, отношения сигнал/шум 

и автокорреляционной функции изображения. Для случая оценивания вектора 

параметров предложена методика нахождения субоптимальной области взятия отсчетов 

ЦФ, основанная на нахождении по ЦФ и характеристикам исследуемых изображений некоторого 

оптимального значения ЕРР, обеспечивающего извлечение максимума информации 

о взаимной деформации изображений. Рассмотрены случаи использования в качестве ЦФ 

СКМР, ковариации и коэффициента корреляции отсчетов. При использовании СКМР для 

нахождения оптимального значения ЕРР необходимо знать отношение сигнал/шум и автокорреляционную 

функцию одного из изображений. При этом оптимальное значение ЕРР 

при увеличении дисперсии шумов также увеличивается. При использовании ковариации 

и коэффициента корреляции оптимальное значение не зависит от отношения сигнал/шум 

и определяется только автокорреляционной функцией изображений. 


[1] Я. З. Цыпкин Информационная теория идентификации. – М.: Наука. Физматлит, 

1995, 336 с. 

[2] А. Г Ташлинский, Минкина Г. Л., Дикарина Г. В. Адаптивное формирование объема 

локальной выборки в псевдоградиентных процедурах оценивания межкадровых 

геометрических деформаций изображений. – Вестник УлГТУ, 2006, N 3, с. 81–83. 

[3] Ташлинский А. Г., Лазарев С. Н., Лазарева О. А. Апостериорная оптимизация псевдоградиентной 

процедуры оценивания межкадровых деформаций изображений. – Инфокоммуникационные 

технологии, 2008, т. 6, N 1, с. 72–75. 

170

[4] Самойлов М. Ю. Оптимизация процедур псевдоградиентного оценивания параметров 

межкадровых геометрических деформаций изображений. – Радиолокация, навигация, 

связь: Труды XII междун. научн.-техн. конференции. Воронеж: Саквоее, 2006, 

c. 162–167. 

[5] Dikarina G. V., Minkina G. L., Repin A. I., Tashlinskii A. G. Pseudogradient Optimization 

in the Problem of Image Interframe Geometrical Deformations Estimation. – 8-th 

International Conference "Pattern Recognition and Image Analysis: New Information 

Technologies": Conference Proceeding. Yoshkar-Ola, 2007, vol. 1, pp. 72–74. 

[6] Ташлинский А. Г., Тихонов В. О. Методика анализа погрешности псевдоградиентного 

измерения параметров многомерных процессов. – Известия вузов: Радиоэлектроника, 

2001, т. 44, № 9, с. 75–80. 

[7] Ташлинский А. Г., Минкина Г. Л., Дикарина Г. В., Синицин В. И. Методика анализа 

точности псевдоградиентного оценивания геометрических деформаций последовательности 

изображений. – Наукоемкие технологии, 2007, т. 8, № 9, с. 14–23. 

OPTIMIZATION OF PSEUDOGRADIENT AT RECURRENT ESTIMATION 

OF IMAGE INTERFRAME GEOMETRICAL DEFORMATIONS 

PARAMETERS 

A.G. Tashlinskii, I. N. Kaveev 

Ulyanovsk State Technical University, Ulyanovsk 

e-mail: tag@ulstu.ru 

Abstract. At pseudogradient estimation of image parameters the estimate convergence character 

and computational cost depend on local sample size of image samples, which is used to find the 

pseudogradient of the goal function. An approach to solve the problem of optimization of the 

pseudogradient at the expense of choice of local sample samples plan is considered. 

Key words: images, image analysis, interframe deformations, recurrence, adaptation, pseudogradient, 

estimation 

171

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕНИЕМ В 

БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 

М.В.Фалалеев 

Иркутский государственный университет, Иркутск 

e-mail: mihail@ic.isu.ru 

Аннотация. В работе на примере двух начально-краевых задач прикладного характера 

проиллюстрировано применение теории фундаментальных оператор-функций вырожденных 

интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространствах к исследованию неклассических 

уравнений математической физики. 

Ключевые слова: банахово пространство, фредгольмов оператор, распределение, фундаментальная 

оператор-функция. 

Постановка задачи 

Рассматривается задача Коши вида 

B ˙u = Au + 

∫ t 

0 

k(t − s)u(s)ds + f(t), (1) 

u(0) = u 0 , (2) 

для которой будем предполагать выполненным условие: 

(C) B, A, k(t) – замкнутые линейные операторы из E 1 в E 2 , E 1 , E 2 – банаховы 

пространства, D(A) ⋂ D(k) = D(B) = E 1 , D(k) – не зависит от t, D(B) ⊂ D(A) ⋂ D(k), 

R(B) = R(B), k(t) – сильно непрерывна на D(k), k(t) ∈ C ∞ (t 0), B – фредгольмов, 

f(t) – достаточно гладкая функция со значениями в E 2 . 

Фундаментальные оператор-функции вырожденных интегро-дифференциальных 

операторов. 

Известно, что задачи вида (1)–(2) разрешимы в классе непрерывных функций (т.е. имеют 

классические решения) лишь при определенных соотношениях между входными данными 

u 0 и f(t). При нарушении таких соотношений задача уже не имеет гладких решений, 

но разрешима (причем однозначно) в классе обобщенных функций с ограниченным слева 

носителем K +(E ′ 1 ). Единственность обобщенного решения из K +(E ′ 1 ), равно как и формулы 

для его восстановления были получены в [1] с помощью конструкции фундаментальной 

оператор-функции для интегро-дифференциального оператора (Bδ ′ (t) − Aδ(t) − k(t)θ(t)). 

Приведем соответсвующее утверждение из [1]. 

Введем обозначения Γ – оператор Шмидта [2] для B, 

R 1 (t) – резольвента ядра g(t), 

g(t) = 

∫ t 

M(t) = R 1 (t) + AΓe AΓt + 

0 

k(t − s)Γe AΓs ds, 

172 

∫ t 

0 

AΓe AΓ(t−s) R 1 (s)ds,

K(t) = A + 

∫ t 

0 

k(s)ds. 

Теорема. Если операторы B, A, k(t) удовлетворяют условию (С), оператор B имеет 

полный обобщенный жорданов набор относительно оператор-функции K(t), то интегродифференциальный 

оператор (Bδ ′ (t)−Aδ(t)−k(t)θ(t)) имеет на классе обобщенных функций 

с ограниченным слева носителем фундаментальную оператор-функцию вида 

E(t) = Γe AΓt θ(t) ∗ 

∗ 

{ 

где N 1 (t) – резольвента ядра 

(I − Q)δ(t) − 

( 

) 

Iδ(t) + R 1 (t)θ(t) 

i=1 

j=1 

( 

) 

∗ Iδ(t) + N 1 (t)θ(t) ∗ 

} 

p n∑ ∑ i 

〈·, φ (j) 

i 〉z i δ (pi+1−j) (t) , 

n∑ 

(−Q i M (pi) (t))θ(t), 

i=1 

здесь {φ (j) 

i } полный обобщенный жорданов набор оператора B ∗ относительно 

K ∗ (t) = A ∗ + 

∫ t 

0 

k ∗ (s)ds, 

{z i } – биортогональная система элементов к {ψ i } ∈ N(B ∗ ), Q i = 〈·, φ i 〉z i , i = 1, n и 

Q = ∑ n 

i=1 Q i проекторы. 

С помощью приведенной теоремы можно исследовать на разрешимость в классе распределений 

задачу (1)–(2). Единственным решением этой задачи в классе K +(E ′ 1 ) является 

функция 

( 

) 

ũ(t) = E(t) ∗ Bu 0 δ(t) + f(t)θ(t) . 

Условия, при которых сингулярная составляющая решения ũ(t) обращается в нуль, 

а остающаяся при этом регулярная составляющая удовлетворяет начальному условию 

(2) и являются условиями разрешимости задачи (1)–(2) в классическом смысле, 

при этом обобщенное решение ũ(t) совпадает с классическим. Таком образом, знание 

фундаментальной оператор-функции E(t) для интегро-дифференциального оператора 

(Bδ ′ (t) − Aδ(t) − k(t)θ(t)) позволяет решать несколько задач: во-первых, выделить класс 

обобщенных функций в которых решение существует и единственно, во-вторых, выписать 

в замкнутом виде формулы для восстановления обобщенного решения и, в-третьих, 

исследовать связь между построенным обобщенным решением и классическим (если 

последнее существует). Проиллюстрируем все вышеизложенное на следующих примерах. 

Пример 1. (Задачи теории вискоэластики.) 

Рассмотрим начально-краевую задачу для интегро-дифференциального уравнения вида 

∫ t 

(γu t − ∆u t ) − ∆u − g(t − τ)∆udτ = f(t, ¯x), t > 0, ¯x ∈ Ω, 

0 

173

Пусть 

u 

= 0, 

∣ 

∂Ω u 

= u 

∣ 0 (¯x), ¯x ∈ Ω. 

t=0 

E 1 ≡ ◦ 

L 2 [Ω], 

E 2 ≡ L 2 [Ω], 

γ ∈ σ(∆), B = B ∗ = γI − ∆, A = A ∗ = ∆, 

k(t) = k ∗ (t) = g(t)∆, 

◦ 

D(B) = D(A) = D(k(t)) ≡H 2 [Ω]. 

Пусть ϕ i (¯x), i = 1, . . . , n – базис пространства нулей однородной задачи 

Bϕ ≡ γϕ − ∆ϕ = 0, ϕ 

= 0, 

∣ 

∂Ω 

тогда оператор B имеет полный обобщенный жорданов набор относительно операторфункции 

K(t) = A + 

∫ t 

0 

k(τ)dτ, 

причем длины всех цепочек равны 1, поэтому в обозначениях теоремы интегродифференциальный 

оператор ((γ − ∆)δ ′ (t) − ∆δ(t) − g(t)∆θ(t)) имеет фундаментальную 

оператор-функцию вида 

( 

) 

E(t) = Γe AΓt θ(t) ∗ Iδ(t) + R 1 (t)θ(t) ∗ 

( 

) { 

} 

∗ Iδ(t) + N 1 (t)θ(t) ∗ (I − Q)δ(t) − Qδ ′ (t) , 

с помощью которой выписывается обобщенное решение 

( 

) 

ũ(t, ¯x) = E(t) ∗ Bu 0 δ(t) + f(t)θ(t) = 

= Γe AΓt θ(t) ∗ 

( 

) ( 

) 

Iδ(t) + R 1 (t)θ(t) ∗ Iδ(t) + N 1 (t)θ(t) ∗ 

[ 

] 

∗ (Bu 0 − Qf(0))δ(t) + (f(t) − Q(f(t) + f ′ (t)))θ(t) . 

Это решение, как показывает простой анализ выписанной формулы, не содержит сингулярной 

составляющей и совпадает с непрерывным (классическим) решением, если выполнены 

условия 

ΓQ(Au 0 + f(0)) = 0 

или 

∫ 

〈γu 0 (¯x) + f(0, ¯x), ϕ i (¯x)〉 = (γu 0 (¯x) + f(0, ¯x))ϕ i (¯x)d¯x = 0 

Ω 

174

при i = 1, . . . , n. 

По такой же схеме можно исследовать на разрешимость более сложные задачи вида 

(γu tt − ∆u tt ) − β∆u t − ∆u + 

∫ t 

0 

g(t − τ)∆udτ = f(t, ¯x), t > 0, ¯x ∈ Ω, 

u 

= 0, 

∣ 

∂Ω ∣ ∣∣∣∣t=0 u 

= u 0 (¯x), u t = u 1 (¯x), ¯x ∈ Ω. 

∣ 

t=0 

встречающиеся при изучении [3] вискоэластичных процессов. Частным случаем таких задач 

является уравнение 

(γu tt − ∆u tt ) + ∆ 2 u − 

∫ t 

0 

g(t − τ)∆ 2 udτ = 0, t > 0, ¯x ∈ Ω, 

описывающее колебательные процессы вискоэластичной пластины с памятью (см. [3] и 

библиографию там же). 

Пример 2. (Двухконтурная электрическая цепь.) 

Рассмотрим следующую вырожденную систему интегро-дифференциальных уравнений, 

записав ее в векторно-матричной форме: 

⎛ 

⎞ ⎛ 

⎞ 

1 0 1 0 1 

1 0 1 0 1 

0 1 1 1 0 

0 1 1 1 0 

⎜ 0 0 0 0 0 

⎟ 

˙¯x(t) + 

⎜ −1 −1 1 0 0 

⎟ 

⎝ 0 0 0 0 0 ⎠ ⎝ 1 0 0 0 −1 ⎠ ¯x(t)+ 

0 0 0 0 0 

0 1 0 −1 0 

⎛ 

+ 

⎜ 

⎝ 

1 0 1 0 1 

0 1 1 1 0 

0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

∫ t 

0 

¯x(0) = ¯x 0 = 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

¯x(τ)dτ = 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎞ 

x 10 

x 20 

x 30 

⎟ 

x 40 

x 50 

⎠ . 

0 

0 

y(t) 

0 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ , 

175

C системами такого вида встречаются при изучении электрических цепей [4]. Здесь в 

обозначениях теоремы 

⎛ 

⎞ ⎛ 

⎞ 

1 0 1 0 1 

1 0 1 0 1 

0 1 1 1 0 

B = 

⎜ 0 0 0 0 0 

⎟ 

⎝ 0 0 0 0 0 ⎠ , A = 0 1 1 1 0 

⎜ −1 −1 1 0 0 

⎟ 

⎝ 1 0 0 0 −1 ⎠ , 

0 0 0 0 0 

0 1 0 −1 0 

K(t) = −A − B 

∫ t 

dτ = −A − Bt, 

k(τ) ≡ −B. 

Далее последовательно находим 

⎛ 

⎞ ⎛ 

1 0 0 0 0 

0 1 0 0 0 

B ∗ = 

⎜ 1 1 0 0 0 

⎟ 

⎝ 0 1 0 0 0 ⎠ , A∗ = 

⎜ 

⎝ 

1 0 0 0 0 

0 

1 0 −1 1 0 

0 1 −1 0 1 

1 1 1 0 0 

0 1 0 0 −1 

1 0 0 −1 0 

⎞ 

⎟ 

⎠ , 

dim N(B) = dim N(B ∗ ) = 3. 

Базис пространства нулей N(B) составим из векторов 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

−1 

0 

−1 

ϕ (1) 

1 = 

⎜ 1 

⎟ 

⎝ 0 ⎠ , −1 

ϕ(1) 2 = 

⎜ 0 

⎟ 

⎝ 1 ⎠ , ϕ(1) 

0 

0 

3 = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

−1 

0 

0 

0 

1 

⎞ 

⎟ 

⎠ . 

В качестве базиса пространства нулей N(B ∗ ) сопряженной матрицы выберем систему 

векторов 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

0 

0 

0 

ψ (1) 

1 = − 1 0 

4 ⎜ 2 

⎟ 

⎝ 1 ⎠ , ψ(1) 2 = 1 0 

8 ⎜ 2 

⎟ 

⎝ 1 ⎠ , ψ(1) 3 = 1 0 

8 ⎜ 2 

⎟ 

⎝ 5 ⎠ , 

1 

5 

1 

тогда p 1 = p 2 = p 3 = 1. Соответсвующие биортогональные системы элементов {z i } и {γ i } 

восстановим по правилам 

⎛ ⎞ 

⎛ ⎞ 

⎛ ⎞ 

0 

0 

0 

0 

z 1 = −Aϕ (1) 

1 = 

⎜ −3 

⎟ 

⎝ 1 ⎠ , z 0 

2 = −Aϕ (1) 

2 = 

⎜ −1 

⎟ 

⎝ 0 ⎠ , z 0 

3 = −Aϕ (1) 

3 = 

⎜ −1 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ , 

1 

2 

0 

γ 1 = −A ∗ ψ (1) 

1 = − 1 4 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 

1 

−2 

1 

1 

⎞ 

⎛ 

⎟ 

⎠ , γ 2 = −A ∗ ψ (1) 

2 = − 1 8 ⎜ 

⎝ 

176 

−1 

3 

2 

−5 

−1 

⎞ 

⎛ 

⎟ 

⎠ , γ 3 = −A ∗ ψ (1) 

3 = − 1 8 ⎜ 

⎝ 

3 

−1 

2 

−1 

−5 

⎞ 

⎟ 

⎠ .

Из представления 

˜B = B + 

3∑ 

〈·, γ i 〉z i 

восстанавливаем сначала матрицу 

⎛ 

⎞ 

1 0 1 0 1 

0 1 1 1 0 

˜B = 

⎜ 1 1 −1 0 0 

⎟ 

⎝ −1 0 0 0 1 ⎠ , det ˜B = 8, 

0 −1 0 1 0 

а затем матрицу Шмидта 

и 

⎛ 

AΓ = 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

Γ = ˜B −1 = 1 8 ⎜ 

⎝ 

1 0 0 0 0 

0 1 0 0 0 

0 0 −1 0 0 

0 0 0 −1 0 

0 0 0 0 −1 

⎛ 

Γe −AΓt = 1 8 ⎜ 

⎝ 

i=1 

3 −1 2 −3 1 

−1 3 2 1 −3 

2 2 −4 −2 −2 

−1 3 2 1 5 

3 −1 2 5 1 

⎞ 

⎛ 

⎟ 

⎠ , e−AΓt = 

⎜ 

⎝ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

e −t 0 0 0 0 

0 e −t 0 0 0 

0 0 e t 0 0 

⎟ 

0 0 0 e t 0 ⎠ , 

0 0 0 0 e t 

⎞ 

3e −t −e −t 2e t −3e t e t 

−e −t 3e −t 2e t e t −3e t 

2e −t 2e −t −4e t −2e t −2e t 

⎟ 

−e −t 3e −t 2e t e t 5e t 

3e −t −e −t 2e t 5e t e t 

Проекторы Q = ∑ 3 

i=1 〈·, ψ i〉z i и (I − Q) задаются матрицами 

⎛ 

⎞ 

⎛ 

0 0 0 0 0 

1 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 

Q = 

⎜ 0 0 1 0 0 

⎟ 

⎝ 0 0 0 1 0 ⎠ , I − Q = 0 1 0 0 0 

⎜ 0 0 0 0 0 

⎝ 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 1 

0 0 0 0 0 

и в этих обозначениях 

AΓ = (I − Q) − Q, e −AΓt = (I − Q)e −t + Qe t . 

Теперь для восстановления фундаментальной оператор-функции (в обозначениях и в 

соответствии с теоремой) для ядра 

g(t) = − 

∫ t 

0 

BΓe −AΓs ds = (I − Q)(e −t − 1) 

⎠ . 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

177

строим его резольвенту 

R 1 (t) = − 2 √ 

3 

e − t 2 sin 

(√ 

3 

2 t ) 

(I − Q), 

реконструируем функцию 

M(t) = R 1 (t) − AΓe −AΓt − 

= Qe t − e − t 2 

∫ t 

[ (√ ) 

1 3 √3 sin 

2 t + cos 

0 

AΓe −AΓ(t−s) R 1 (s)ds = 

(√ 

3 

2 t )] 

(I − Q) 

и для ядра −QM ′ (t) = −e t Q находим его резольвенту N 1 (t) = −Q. 

Таким образом, по теореме 

( 

E(t) = Γe −AΓt θ(t) ∗ Iδ(t) − √ 2 (√ ) ) 

e − t 3 

2 sin 3 2 t (I − Q)θ(t) ∗ 

= Γδ(t) ∗ 

[ 

( 

) { 

} 

∗ Iδ(t) − Qθ(t) ∗ (I − Q)δ(t) − Qδ ′ (t) = 

( (√ ) (√ )) ] 

−Qδ(t) − e − t 1 3 

3 

2 √3 sin 

2 t − cos 

2 t (I − Q)θ(t) 

полностью восстанавлена фундаментальная оператор-функция. Тогда обобщенное решение 


( 

˜x(t) = E(t) ∗ B¯x 0 δ(t) + ¯f(t)θ(t) 

) 

, 

здесь 

или 

˜x(t) = Γ 

[ 

− ¯f(t) − e − t 2 

⎛ 

¯f(t) = 

⎜ 

⎝ 

0 

0 

y(t) 

0 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ , 

( (√ ) (√ )) 

1 3 

3 

√3 sin 

2 t − cos 

2 t B¯x 0 

]θ(t), 

т.е. обобщенное решение ˜x(t) не содержит сингулярной составляющей и оно совпадает с 

классическим решением, если ˜x(0) = ¯x 0 или 

¯x 0 = ˜x(0) = Γ(B¯x 0 − ¯f(0)). 

Но 

⎛ 

ΓB = I − 1 8 ⎜ 

⎝ 

5 1 −2 1 −3 

1 5 −2 −3 1 

−2 −2 4 −2 −2 

1 −3 −2 5 1 

−3 1 −2 1 5 

⎞ 

⎟ 

⎠ , 

178

поэтому условия согласования входных данных задачи имеют вид 

⎛ 

⎞ 

5 1 −2 1 −3 

1 5 −2 −3 1 

⎜ −2 −2 4 −2 −2 

⎟ 

⎝ 1 −3 −2 5 1 ⎠ ¯x 0 + 8Γ ¯f(0) = ¯0 

−3 1 −2 1 5 

или ⎧⎪ ⎨ 

⎪ ⎩ 

5x 10 + x 20 − 2x 30 + x 40 − 3x 50 + 2y(0) = 0, 

x 10 + 5x 20 − 2x 30 − 3x 40 + x 50 + 2y(0) = 0, 

−2x 10 − 2x 20 + 4x 30 − 2x 40 − 2x 50 − 4y(0) = 0, 

x 10 − 3x 20 − 2x 30 + 5x 40 + x 50 + 2y(0) = 0, 

−3x 10 + x 20 − 2x 30 + x 40 + 5x 50 + 2y(0) = 0. 

Матрица выписанной однородной системы линейных уравнений имеет ранг 3, поэтому 

окончательно искомые условия существования классического решения исследуемой задачи 

можно переписать, например, в виде 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

x 10 + x 20 − 2x 30 + x 40 + x 50 + 2y(0) = 0, 

x 10 − 3x 20 − 2x 30 + 5x 40 + x 50 + 2y(0) = 0, 

3x 10 − x 20 + 2x 30 − x 40 − 5x 50 − 2y(0) = 0. 

Другие примеры приложений теории фундаментальных оператор-функций к исследованию 

неклассических начально-краевых задач математической физики можно найти в [5]. 


[1] N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithin and M. Falaleev Lyapunov-Schmidt Methods in 

Nonlinear Analysis and Applications – Kluwer Academic Publishers, 2002, 548 p. 

[2] М.М. Вайнберг, В.А. Треногин Теория ветвления решений нелинейных уравнений – 

М.: Наука, 1969, 528 с. 

[3] M.M. Cavalcanti, V. Cavalcanti, N. Domingos, J. Ferreira Existence and uniform decay for 

a non-linear viscoelastic equation with strong damping. – Math. Meth. Appl. Sci., 2001, 

Vol. 24, P. 1043–1053. 

[4] Е.И. Ушаков Статическая устойчивость электрических систем. – Новосибирск: 

Наука, 1988. 

[5] М.В. Фалалеев О приложениях теории фундаментальных оператор-функций вырожденных 

интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространствах – 

Неклассические уравнения математической физики: Тр. межд. конф. «Дифференциальные 

уравнения, теория функций и приложения», посв. 100-летию акад. 

И.Н.Векуа / Под ред. А.И.Кожанова, Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО 

РАН, 2007, С. 283–297. 

179

SINGULAR INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS IN BANACH SPACES 

AND THEIR APPLICATIONS 

M.V. Falaleev 

Irkutsk State University, Irkutsk 

e-mail: mihail@ic.isu.ru 

Abstract The paper is considering the applications of the theory of fundamental operator-functions 

of singular integro-differential operators in Banach spaces to two initial boundary value problems of 

nonclassical mathematical physics. 

Key word: Banach spaces, Fredholm operator, distribution, fundamental operator-function. 

180

О СВОЙСТВАХ ВЫРОЖДЕННЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ 

УРАВНЕНИЙ ИНДЕКСА 2 1 

Е.В.Чистякова 


email: elena.chistyakova@icc.ru 

Аннотация. В настоящей работе проводится исследование интегро-дифференциальных систем 

с тождественно вырожденной матрицей перед производной искомой вектор-функции. Исследование 

основано на особых свойствах матричных полиномов, составляющих исходную систему. 

Доказана теорема существования, предложен и обоснован численный метод поиска решения. 

Ключевые слова: интегро-дифференциальные уравнения, индекс, пучок матриц. 

1. Постановка задачи и теорема существования 

Рассматриваются системы интегро-дифференциальных уравнений вида 

с начальными условиями 

A(t)ẋ(t) + B(t)x(t) + 

∫ t 

0 

K(t, s)x(s)ds = f(t), ∈ [0, 1] = T, (1) 

x(0) = x 0 . (2) 

Здесь A(t), B(t), K(t, s) – некоторые (n × n)-матрицы, f(t) – неизвестная, x(t) – искомая 

вектор-функция, x 0 – заданный вектор из R n . Кроме того, для системы (1) выполнено 

условие 

det A(t) = 0 ∀t ∈ T. (3) 

Под решением системы (1) мы будем понимать любую непрерывно-дифференцируемую 

вектор-функцию x(t) , которая обращает исходную систему в тождество. Результаты исследований 

задачи (1), (2), основанные на применении свойств однопараметрического пучка 

матриц вида λA(t) + B(t) , где λ – некоторый параметр (в общем случае комплексный), 

подробно изложены в [1, 2, 3]. В настоящей работе проводится исследование систем (1) 

на основе особых свойств матричных полиномов вида λA(t) + µB(t) + K(t, t). Результаты, 

касающиеся существования решения и сходимости численного метода, были впервые 

анонсированы без доказательства в [5]. 

Приведем ряд вспомогательных определений и утверждений. 

Определение 1.[2] Ненулевой многочлен det [λA(t) + B(t)] удовлетворяет критерию 

"ранг-степень", если выполнены условия: 

1. rank A(t) = r = const ∀t ∈ T ; 

2. det [λA(t) + B(t)] = a 0 (t)λ r + . . . , причем a 0 (t) ≠ 0 ∀t ∈ T . 

Следует отметить, что кроме термина «ранг-степень» также употребляют термин «простая 

структура», который чаще всего используют для матричных полиномов. Кроме того, 

1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект № 07-01-90000 и грантом Президента РФ НШ-1676.2008.1 

181

будем говорить, что системы вида (1), удовлетворяющие условиям определения 1, имеют 

индекс 1. 

Определение 2.[4] Говорят, что матричный полином 

λA(t) + µB(t) + C(t) 

имеет простую структуру, если выполнены условия: 

1. rank A(t) = r = const ∀t ∈ T ; 

2. rank [A(t)|B(t)] = r + l = const ∀t ∈ T ; 

3. det[λA(t) + µB(t) + C(t)] = a 0 (t)λ r µ l + . . . , причем a 0 (t) ≠ 0 ∀t ∈ T . 

Будем говорить, что системы вида (1), удовлетворяющие условиям определения 2, имеют 

индекс 2. 

Лемма 1. [4] Если пучок p -гладких матриц λA(t) + µB(t) + C(t) имеет на отрезке 

T простую структуру, то найдутся такие невырожденные на T p -гладкие матрицы 

P ≡ P (t) и Q ≡ Q(t) что 

P (λA(t) + µB(t) + C(t))Q = 

⎛ 

= λ ⎝ 

E r 0 0 

0 0 0 

0 0 0 

⎞ 

⎛ 

⎠ + µ ⎝ 

J 0 M 

0 E l 0 

0 0 0 

⎞ 

⎛ 

⎠ + + ⎝ 

⎞ 

C 11 C 12 0 

C 21 C 22 0 ⎠ . (4) 

0 0 E n−r−l 

Таким образом, согласно исходной постановке задачи, в системе (1) допускается вырождение 

не только матрицы A(t) , но и всего пучка λA(t) + B(t) . Следовательно, система (1) 

имеет индекс выше единицы и может включать в себя кроме интегро-дифференциальных 

уравнений и интегральных уравнений Вольтерра II рода, интегральные уравнения Вольтерра 

I рода, что существенно усложняет исследование подобных задач. 

Теорема 1. Пусть для задачи (1),(2) выполнены условия: 

1. A(t), B(t), f(t) ∈ C p (T ), K(t, s) ∈ C p+1 (T × T ), p 2 ; 

2. матричный полином λA(t) + µB(t) + K(t, t) имеет простую структуру; 

3. rankA(0) = rank(A(0)|f(0) − B(0)x 0 ) . 

Тогда задача (1),(2) имеет на отрезке T единственное решение x(t) из класса C p (T ) . 

Доказательство. Умножим (1) на матрицу P (t) и сделаем замену x = Q(t)y. Тогда, 

учитывая условие 1 теоремы, после ряда несложных преобразований получим: 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ 

E r 0 0 ẏ 1 B 11 0 B 13 y 1 V 11 V 12 V 13 

˜f 1 

⎝ 0 0 0⎠ 

⎝ẏ 2 

⎠ + ⎝ 0 E l 0 ⎠ ⎝y 2 

⎠ + ⎝V 21 V 22 V 23 

⎠ = ⎝ ˜f 2 

⎠ , 

0 0 0 ẏ 3 0 0 0 y 3 V 31 V 32 V 33 

˜f 3 

где 

⎛ 

⎞ 

∫ t 

C 11 C 12 0 

V ij y j = S(t, s)y j (s)ds, S(t, t) = ⎝C 21 C 22 0 ⎠ . 

0 0 E n−r−l 

0 

182

Продифференцируем 3-е уравнение полученной системы по t: 

3∑ 

S 3j (t, t)y j (t) + 

3∑ 

∫ t 

j=1 

j=1 

0 

∂S 3j (t, s) 

y j (s)ds = 

∂t 

˜f 3(t), 

′ 

или, учитывая значение ядра S(t, s) на диагонали, 

y 3 + 

3∑ 

∫ t 

j=1 

0 

∂S 3j (t, s) 

y j (s)ds = 

∂t 

˜f 3(t). 

′ 

Легко проверить, что решения исходного уравнения и продифференцированного совпадают 

в силу условия 2 теоремы. Разрешив последнее равенство относительно y 3 , подставим 

найденное для него выражение в первые два уравнения системы. Далее, выразив из второго 

уравнения y 2 , поставим его в первое уравнение. В результате получим 

ẏ 1 + B 11 y 1 + Uy 1 = F, (5) 

где U – оператор Вольтерра с некоторым ядром K U (t, s), a F – некоторое алгебраическое 

выражение относительно ˜f 1 (t), ˜f 2 (t), ˜f ′ 3(t) и соответствующих операторов Вольтерра, 

действующих на перечисленные функции. 

Далее, разрешив (5) как обыкновенное дифференциальное уравнение вида 

ẏ 1 + B 11 y 1 = Ψ, Ψ = F − Uy 1 , 


y 1 = Y (t)c + W F + M 1 (t) ˜f 1 (t) + M 2 (t) ˜f 2 (t) + N 3 (t) ˜f ′ 3(t), 

∫ t 

W F = K W (t, s)F(s)ds. 

t 0 

Последовательно подставляя y 1 во второе и третье уравнения системы, найдем выражение 

для y(t) и после умножения на Q получим следующий вид для общего решения системы 

(1): 

x(t, c) = X(t)c + 

∫ t 

0 

˜K(t, s)f(s)ds + N(t)f(t) + M(t)f ′ (t), (6) 

где X(t) – некоторая прямоугольная матрица размерности n × r, c ∈ R r . 


2. Численный метод 

Для численного решения задачи (1),(2) предлагается использовать неявный метод Эйлера 

в сочетании с квадратурной формулой правых прямоугольников: 

∑i+1 

A i+1 (x i+1 − x i ) + hB i+1 x i+1 + h K(t i+1 , t j )x j = hf i , i = 0, 1, 2, . . . , (6) 

j=1 

183

Теорема 2. Пусть для задачи (1),(2) выполнены условия теоремы 1. Тогда метод (6) 

сходится и имеет место оценка 

‖x(t i ) − x i ‖ = O(h). 

Из-за недостатка места доказательство теоремы не приводится. 

Приведем ряд модельных примеров, которые были решены при тестировании программ, 

реализующих описанные выше численные методы. Далее в таблицах используются 

следующие обозначения: 

err = max ‖x(t i ) − x i ‖, i = 0, 1, . . . N; 

i 

N – число узлов сетки; 

h – шаг; 


⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 0 0 1 0 0 

⎝1 0 0⎠ ẋ(t) + ⎝1 1 0⎠ + 

1 0 0 1 0 0 

∫ t 

0 

1 0 0 

⎝ 1 1 0⎠ x(s)ds = 

t + 1 t 1 

⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ 

⎛ ⎞ 

1 + t + t 2 /2 

t 

0 

= ⎝ 1 + t + 3 2 t2 + t 3 /2 ⎠ , x(t) = ⎝t 2 ⎠ , t ∈ [0, 1], x(0) = ⎝0⎠ . 

1 + t + t 2 /2 + 13 

12 t3 + t 4 /4 

t 3 0 

Таблица 1. 

N 10 100 200 400 800 

err 0.35 0.033 0.016 0.008 0.004 

Если условия теоремы 1 не выполнены, то метод (6) неустойчив. 


( ) ( ) ∫ t ( ) 

t 1 γ 0 

t s 

ẋ(t) + x(t) + x(s)ds = 

0 0 t 1 

0 0 

( e 

= 

t (1 + γ + t) + 1 − t + t 3 /3 

te t + t 

( ( 1 e 

t 

t ∈ [0, 1], x(0) = , x(t) = 

0) 

t 

Здесь индекс системы равен 2, но пучок λA(t) + µB(t) + K(t, t) простой структуры не 

имеет. Численные расчеты показали, что при |γ| 1 метод (6) неустойчив. При |γ| > 1 

метод (6) является сходящимся, несмотря на то, что условия теоремы 1 не выполнены. 


[1] Булатов М.В. Об интегро-дифференциальных системах с вырожденной матрицей 

перед производной // Дифференциальные уравнения. - 2002. - Т.38, № 5. - С. 692-697. 

[2] Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. - Новосибирск: 

Наука. Сиб. изд. фирма РАН, 1996. 

0 

) 

, 

) 

. 

184

[3] Булатов М.В. Численное решение интегро-дифференциальных систем с вырожденной 

матрицей перед производной многошаговыми методами / М.В. Булатов, Е.В. 

Чистякова // Дифференциальные уравнения. – 2006. – Т.42, № 9. – С. 1248-1255. 

[4] Булатов М.В. Об одном семействе матричных троек // Ляпуновские чтения и презентация 

информационных технологий. ИДСТУ СО РАН, Иркутск, 2002. С. 10. 

[5] Чистякова Е.В. О вырожденных интегро-дифференциальных уравнениях индекса 2 / 

Е.В. Чистякова // Математическое моделирование и информационные технологии: 

материалы VIII школы-семинара молодых ученых. – Иркутск, 2006. – С. 172-174. 

[6] Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы 

/ А.С. Апарцин. – Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 

1999. 

ON PROPERTIES OF SINGULAR INTEGRAL DIFFERENTIAL EQUATIONS 

OF INDEX 2 

E.V.Chistyakova 

Institute of System Dynamics and Control Theory, Irkutsk 

e-mail: elena.chistyakova@icc.ru 

Abstract. In the paper systems of integral differential equations with a singular matrix at the higher 

derivative of unknown vector-function are studied. The study is based on some particular properties of 

matrix polynomials which make the system. The existence theorem has been proved and a numerical 

method of solution has been proposed. 

Key words: integral differential equations, index, matrix pencil. 

185

ЕЩЁ ОДНА ВЕРСИЯ ФОРМАЛЬНОГО ПОДХОДА К ВНЕШНЕМУ ОЦЕ- 

НИВАНИЮ МНОЖЕСТВ РЕШЕНИЙ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ 

СИСТЕМ 1 

С.П. Шарый 

Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск 

e-mail: shary@ict.nsc.ru 

Аннотация. В работе исследуется новая версия формального (алгебраического) подхода к внешнему 

оцениванию множеств решений интервальных линейных систем уравнений, в основу которой 

положена известная из математического анализа теорема Миранды. Исследуются способы её 

численной реализации, условия применимости и качество оценивания. 

Ключевые слова: интервальные линейные уравнения, множество решений, внешняя оценка, 

теорема Миранды, формальный (алгебраический) подход. 


Предметом рассмотрения в нашей работе являются интервальные системы линейных 

алгебраических уравнений (ИСЛАУ) вида 

⎧ 

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1 , 

⎪⎨ a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n = b 2 , 

. (1) 

. . .. . . 

⎪⎩ 

a n1 x 1 + a n2 x 2 + . . . + a nn x n = b n 

с интервальными коэффициентами a ij и интервальными правыми частями b i , i, j = 

1, 2, . . . , n, или, кратко, 

Ax = b, (2) 

где A = ( a ij ) — интервальная n×n-матрица и b = ( b i ) — интервальный n-вектор. Системы 

(1)–(2) мы понимаем как семейства точечных линейных систем Ax = b той же структуры 

с матрицами A ∈ A и векторами b ∈ b. 

Множеством решений интервальной линейной системы уравнений будем называть 

множество 

Ξ(A, b) = { x ∈ R n | (∃ A ∈ A)(∃ b ∈ b)( Ax = b ) } , (3) 

образованное всевозможными решениями точечных систем Ax = b c A ∈ A и b ∈ b (см., 

к примеру, [1, 3, 12]). Часто его называют также объединённым множеством решений, 

поскольку для интервальных уравнений существуют другие множества решений [4, 15], 

более адекватные тем или иным практическим ситуациям. Мы не рассматриваем их в 

нашей работе, и потому называем (3) сокращённым термином «множество решений». 

Известно, что множество решений Ξ(A, b) является многогранным (полиэдральным) 

множеством, в общем случае невыпуклым, но его пересечение с каждым из ортантов пространства 

R n выпукло. Точное и полное описание множества решений практически невозможно 

в силу его огромной трудоёмкости, а с другой стороны и не нужно в большинстве 

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Президентской программы «Ведущие научные школы 

России» (грант №НШ-931.2008.9) 

186

реальных постановок задач. Чаще достаточно знать приближённое описание, или оценку 

множества решений более простыми множествами, имеющими меньшую конструктивную 

сложность. 

✻x 2 

множество решений ❈❅ ❈❈❈❈❈❈ ❅ ✟ 

 

❅✟ ✟✟ ✁ 

 

✁ ✁✁✁ 

✁ ❈ 

❈❈❈❈❈❈ 

✁ ✁ ✟ ❅ 

✟✁ ✁ ✟✟ ❅ 

❅ 

его внешняя оценка 

✏ ✏ ✏ 

✲ 

x 1 

Рис. 1: Внешнее оценивание множества решений интервальным вектором-брусом. 

Всюду далее интервальная матрица A предполагается неособенной, т. е. содержащей 

только неособенные (невырожденные) точечные матрицы. Тогда множество решений 

Ξ(A, b) системы (1)–(2) ограничено, и в этой работе мы будем решать задачу его внешнего 

интервального оценивания: 

Найти (по-возможности, меньший) брус U ⊂ R n со сторонами, 

параллельными координатным осям, содержащий множество 

решений Ξ(A, b) интервальной системы уравнений Ax = b. 

Наша система обозначений следует неформальному международному стандарту [10]. 

В частности, интервалы и интервальные объекты выделяются жирным шрифтом, а подчёркивание 

и надчёркивание означают взятие нижнего и верхнего концов интервалов. 

2. Основные результаты 

В математическом анализе хорошо известна 

Теорема Больцано-Коши. Если функция F : R → R непрерывна на интервале X ⊂ R 

и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри интервала существует 

нуль функции F , т. е. точка ˜x, в которой F (˜x) = 0. 

Её многомерным аналогом является результат, опубликованный более чем столетием 

позже в заметке [11] — 

Теорема Миранды. Пусть F : R n → R n , F (x) = ( F 1 (x), F 2 (x), . . . , F n (x) ) ⊤ 

— функция, 

непрерывная на брусе X ⊂ R n со сторонами, параллельными координатным осям, и для 

каждого i = 1, 2, . . . , n имеет место 

F i 

( 

X1 , . . . , X i−1 , X i , X i+1 , . . . , X n 

) 

· Fi 

( 

X1 , . . . , X i−1 , X i , X i+1 , . . . , X n 

) 

0, 

187

т. е. области значений компонент функции F (x) на соответствующих противоположных 

гранях бруса X имеют разные знаки. Тогда на брусе X существует нуль функции 

F , т. е. точка ˜x, в которой F (˜x) = 0. 

Если F (x) = Ax − b для n × n-матрицы A = (a ij ) и n-вектора b = (b i ), то в качестве 

немедленного следствия теоремы Миранды получаем следующее условие существования 

решения системы линейных уравнений в интервальном брусе X ∈ IR n : если для каждого 

i = 1, 2, . . . , n справедливы неравенства 

или 

a ii X i + ∑ j≠i 


a ij X j − b i 0 и a ii X i + ∑ j≠i 

a ij X j − b i 0 и a ii X i + ∑ j≠i 

a ij X j − b i 0 (4) 

a ij X j − b i 0, (5) 

то брус X содержит решение системы линейных уравнений Ax = b. 

В случае неособенной матрицы A без какого-либо ограничения общности можно полагать, 

что a ii > 0, так как путём подходящей перестановки уравнений системы (и соответствующей 

перестановки строк матрицы) мы всегда можем добиться того, чтобы диагональные 

элементы сделались ненулевыми, а затем домножить на −1 обе части уравнений, 

имеющих отрицательный диагональный элемент. Аналогичная процедура применима 

также к интервальным линейным системам уравнений с неособенными матрицами, и её 

результатом является положительность диагональных элементов. По этой причине мы 

будем считать впредь, что матрицах рассматриваемых систем линейных уравнений диагональные 

элементы положительны. Это соображение значительно упрощает наши рассмотрения, 

так как делает нереализуемой вторую пару неравенств из (4)–(5) и тем самым 

облегчает проверку условий теоремы Миранды. 

Коль скоро интервальная система уравнений Ax = b является семейством точечных 

систем Ax = b с A ∈ A и b ∈ b, то, основываясь на сделанном наблюдении и условии (4), 

нетрудно выписать достаточный признак того, что брус X содержит множество решений 

Ξ(A, b): 

Предложение 1. Пусть A ∈ IR n×n — интервальная матрица с положительными диагональными 

элементами, b ∈ IR n и X ∈ IR n — интервальные векторы. Если для каждого 

i ∈ {1, 2, . . . , n} справедливы неравенства 

( 


a ij X j 

) 

− b i 0 

и 

( 


a ij X j 

) 

− b i 0, 

то брус X содержит множество решений Ξ(A, b) интервальной линейной системы 

уравнений Ax = b. 

Для дальнейших преобразований имеет смысл выйти из классической интервальной 

арифметики IR в полную интервальную арифметику Каухера KR, обладающую более 

удобными алгебраическим свойствами (см. оригинальную статью [9] или изложение основ 

этой арифметики в [4, 5, 15]). Напомним, что её элементами являются пары действительных 

чисел [α, β], не обязательно связанные соотношением α β, так что IR ⊂ KR. 

188

Обычные интервалы из IR называются при этом правильными, а интервалы [α, β], для 

которых α > β, — неправильными. 

Учитывая определение интервального умножения в KR и условие a ii > 0, можем записать 

a ii X i = a ii · dual X i и a ii X i = a ii · dual X i , 

где dual — операция дуализации интервала в KR, определяемая как dual [a, a] = [a, a]. 

Наконец, переформулируем результат Предложения 1 в виде включения в полной интервальной 

арифметике KR: брус X содержит множество решений Ξ(A, b) интервальной 

линейной системы уравнений Ax = b, если для каждого i ∈ {1, 2, . . . , n} имеет место 

a ii · dual X i + ∑ j≠i 

a ij X j − b i ⊆ 0. 

Напомним теперь следующее 

Определение. Формальное решение интервальной системы уравнений 

⎧ 

F 1 ( a 1 , . . . , a l , x 1 , . . . , x n ) = b 1 , 

⎪⎨ F 2 ( a 1 , . . . , a l , x 1 , . . . , x n ) = b 2 , 

. 

. . .. . .. . . 

⎪⎩ 

F m ( a 1 , . . . , a l , x 1 , . . . , x n ) = b m , 

с интервальными параметрами a 1 , . . . , a l , b 1 , . . . , b m — это интервальный вектор x = 

( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ⊤ , обращающий её в равенство после подстановки в систему и выполнения 

всех операций по правилам интервальной арифметики и прочих операций, входящих в 

выражения F i . 

Таким образом, формальное решение интервальных систем — это объект, соответствующий 

обычному математическому понятию решения уравнения, но рассматриваемому в 

экзотической алгебраической системе — интервальной арифметике, в качестве которой могут 

выступать в зависимости от рассматриваемой задачи либо классическая интервальная 

арифметика IR, либо полная интервальная арифметика Каухера KR, либо какая-то другая 

интервальная алгебраическая система. Привлекая понятие формального решения, мы 

можем придать результату Предложения 1 следующий менее общий, но более удобный в 

вычислительном отношении вид: 

Предложение 2. Пусть диагональные элементы в интервальной матрице A положительны, 

и отображение S : KR n → KR n , зависящее от параметров A = (a ij ) и b = (b i ), 

задаётся покомпонентно как 

S i (A, b, x) = a ii · dual x i + ∑ j≠i 

a ij x j − b i , i = 1, 2, . . . , n. (6) 

Правильное формальное решение интервальной системы уравнений 

S(A, b, x) = 0 (7) 

содержит множество решений Ξ(A, b) интервальной линейной системы уравнений 

Ax = b. 

189

❍ ❍❍ 

❍ 

Например, для интервальной линейной системы Хансена [8] 

( ) ( ) 

[2, 3] [0, 1] [0, 120] 

x = 

, (8) 

[1, 2] [2, 3] [60, 240] 

множество решений которой изображено на рисунке, формальное решение соответствующего 

уравнения (6)–(7) есть интервальный вектор ([−120, 90], [−60, 240]) ⊤ , являющийся 

оптимальной (наилучшей) внешней оценкой множества решений. 

✻x 2 

❆ 

❆ 

❆ 

❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆❆ 

❅ 

❅❅❅❅❅❅❅❅ 

 

200 

−100 ◗ ◗ 100 

x 1 

✲ 

❅ ❆ 

❅❅❅❅ ❆❆❆❆ 

Рис. 2: Множество решений интервальной системы Хансена (8). 

Итак, нахождение внешней оценки множества решений исходной ИСЛАУ свелось к 

нахождению формального решения специальной интервальной системы уравнений. Заметим, 

что задача нахождения формального решения — это уже не задача оценивания или 

приближения, а, по существу, традиционная математическая задача решения некоторого 

уравнения, хотя и рассматриваемая в непривычной алгебраической системе KR. Соответствующий 

общий подход к задачам оценивания множеств решений, сводящий исходную 

постановку к задаче нахождения формального решения некоторой вспомогательной интервальной 

системы уравнений, называется, как известно, формальным подходом [15]. Это 

весьма общая методика, которая может реализовываться различными конкретными способами 

в зависимости от выбора вспомогательной системы уравнений и численного метода 

поиска её формального решения. Отличительной особенностью формального подхода 

является его универсальность: как общая теоретическая схема подхода, так и соответствующие 

численные методы с равным успехом применимы к задачам внутреннего и внешнего 

интервального оценивания даже более общих, чем объединённое, множеств решений (см. 

[4, 15]). 

Результат Предложения 2 не является абсолютно новым, ранее он уже был получен в 

работе [14], но с помощью длинных и малоочевидных рассуждений, использующих технику 

так называемого «модального интервального анализа». Выше мы привели другой, 

прозрачный вывод этого факта. 

190

3. Вычисление формальных решений 

Для нахождения формального решения интервальной системы уравнений (6)–(7) воспользуемся 

техникой погружения в евклидово пространство двойной размерности [5]. Его 

идея состоит в том, чтобы перейти из «нелинейного» интервального пространства KR n в 

линейное пространство, только в котором и применимы многие математические концепции, 

составляющие основу современных вычислительных методов (в частности, дифференцирование 

и выпуклость). Этот переход может быть осуществлён с помощью любого 

взаимнооднозначного отображения KR n → R 2n (так называемого погружения), и его 

конкретный выбор обычно диктуется соображениями удобства и наиболее аккуратного 

сохранения свойств рассматриваемых объектов. 

Напомним, что отображение sti : KR n → R 2n , задаваемое правилом 

sti ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = (−x 1 , −x 2 , . . . , −x n , x 1 , x 2 , . . . , x n ), 

называется стандартным погружением интервального пространства KR n в линейное 

пространство R 2n . Стандартное погружение индуцирует на R 2n отображение S, такое что 

S = sti ◦ S ◦ sti −1 , (9) 

и нахождение формального решения уравнений в KR n может быть заменено на решение 

в R 2n уравнения S(x) = 0 с индуцированным отображением S. 

Индуцированное отображение S, очевидно, непрерывно по x и по параметрам A и b 

в силу непрерывности операции дуализации и интервальных арифметических операций 

сложения, вычитания и умножения в KR n . Наиболее важное свойство отображения S даёт 

Предложение 3. Если A ∈ IR n×n , то индуцированное отображение S : R 2n → R 2n , 

определённое посредством (9), является порядково выпуклым в R 2n относительно покомпонентного 

упорядочения векторов «». 

Порядковая выпуклость отображения S влечёт существование его субдифференциала 

∂S всюду в R 2n . Можно показать и большее: S является полиэдральным отображением. 

Следовательно, имеет смысл применить для нахождения решений индуцированного уравнения 

S(x) = 0 в R 2n субдифференциальный метод Ньютона, развитый автором для задач 

подобного сорта и успешно зарекомендовавший себя (см., в частности, [5]). 

Реализация и численные эксперименты показывают, что и в рассматриваемом случае 

субдифференциальный метод Ньютона работает хорошо и позволяет находить формальные 

решения уравнения (6)–(7) за небольшое конечное число итераций. В частности, он 

качественно превосходит по своей эффективности стационарные итерационные методы типа 

Якоби, предложенные для решения аналогичной задачи в [13]. К примеру, для системы 

Хансена (8) точное формальное решение уравнения (6)–(7) вычисляется субдифференциальным 

методом Ньютона всего за 3 (три) итерации. 

К сожалению, даже когда множество решений ИСЛАУ непусто, формальное решение 

уравнения (6)–(7) часто не существует или не является правильным. В последнем случае 

оно не может быть проинтерпретировано согласно Предложению 3. Например, для 

интервальной линейной системы 

( ) ( ) 

[1, 2] [2, 3] [0, 120] 

x = 

, 

[2, 3] [0, 1] [60, 240] 

191

матрица которой получена перестановкой местами строк в матрице системы Хансена (8), 

а правая часть такая же, как и в (8), формальным решением системы (6)–(7) является 

неправильный интервальный вектор ([240, 0], [60, −240]) ⊤ (субдифференциальный метод 

Ньютона успешно находит его за 3 итерации). 

Исследуем это затруднение более тщательно. 

4. Условия существования правильного формального решения 

Представим матрицу интервальной линейной системы уравнений Ax = b в виде суммы 

диагональной и внедиагональной частей, т. е. как 

A = C + D, 

где C — матрица, в которой диагональ нулевая, а внедиагональные 

элементы совпадают с соответствующими элементами A; 

D — диагональная интервальная матрица, элементы которой 

равны соответствующим диагональным элементам A. 

Тогда интервальный оператор S может быть записан как 

а уравнение (6)–(7) примет вид 

S(x) = Cx + D·dual x − b, 

Cx + D·dual x − b = 0. 

Добавим к обеим его частям по величине opp (D ·dual x), алгебраически противоположной 

к D·dual x, что равносильно переносу этого члена «с противоположным знаком» 

в другую часть уравнения. Получаем 

opp (D·dual x) = Cx − b, 

или, умножая обе части на −1 и учитывая, что −opp (·) = dual (·), 

(dual D) x = b − Cx. 

Из сделанного нами предположения о положительности диагональных элементов в A следует 

также существование алгебраически обратной матрицы для (dual D). Коль скоро 

inv dual (·) = (·) −1 , то эта алгебраически обратная inv (dual D) совпадает с обычной обратной 

интервальной матрицей D −1 , и потому приходим к следующей равносильной форме 

записи уравнения (6)–(7): 

x = D −1 (b − Cx). (10) 

Системы уравнений подобного вида, в которых неизвестная переменная выделена в одной 

из частей «в чистом виде», называются системами уравнений в рекуррентном виде 

(некоторым аналогом им являются операторные уравнения второго рода). 

Пусть x ∗ — правильное формальное решение интервальной системы уравнений в рекуррентном 

виде (10). Беря радиус от обеих частей равенства 

x ∗ = D −1( b − Cx ∗) , 


rad x ∗ = rad 

( 

D −1( b − Cx ∗)) . 

192

Но rad (GH) |G| · rad H для любых интервальных матриц G и H согласованных 

размеров (см. [1, 12]), и поэтому 

( 

rad D −1( b − Cx ∗)) |D −1 | · rad ( b − Cx ∗) = |D −1 | · ( rad b + rad (Cx ∗ ) ) . 

Если все компоненты вектора свободных членов b имеют ненулевую ширину — rad b > 0 , 

— то справедливо неравенство 

rad x ∗ > |D −1 | · rad ( Cx ∗) |D −1 | |C| · rad x ∗ . 

Оно означает, в частности, что rad x ∗ > 0, т. е. что правильное формальное решение в 

этом случае является телесным брусом. Кроме того, мы можем отметить, что для положительного 

вектора y = rad x ∗ и для неотрицательной матрицы |D −1 | |C| имеет место 

|D −1 | |C| y < y. Отсюда в силу свойств неотрицательных матриц следует [7, 12], что спектральный 

радиус матрицы |D −1 | |C| должен быть строго меньше 1. В свою очередь, это 

равносильно тому, что матрица C + D = A является так называемой H -матрицей. Это 

необходимое условие существования правильного формального решения системы (10) при 

rad b > 0. 

Отметим, что H -матрицы — это специальный класс матриц, у которых диагональ преобладает 

над остальной, внедиагональной, частью матрицы в спектральном смысле [7, 12]. 

Класс H -матриц включает в себя в качестве собственного подмножества все матрицы с 

диагональным преобладанием, но не исчерпывается ими. Другой пример H -матриц — это 

неособенные треугольные матрицы, верхние или нижние [12]. 

Полученное нами представление уравнения (6)–(7) в рекуррентном виде (10) позволяет 

ответить на вопросы о соотношении результата Предложения 3 с другими версиями 

формального подхода к внешнему оцениванию множеств решений, а также о качестве 

этого оценивания. Традиционной основой формального подхода к задаче внешнего оценивания 

множества решений (3) служит следующий результат, который мы приводим в 

современной и несколько расширенной формулировке. 

Теорема Апостолатоса-Кулиша [6]. Если матрица G ∈ IR n×n такова, что спектральный 

радиус матрицы, составленной из модулей её элементов, меньше единицы, т. е. 

ρ(|G|) < 1, то интервальная линейная система уравнений x = Gx + h имеет единственное 

формальное решение в IR n . Оно может быть найдено с помощью итерационного 

процесса x (k+1) := Gx (k) + h, k = 0, 1, 2, . . ., при любом начальном векторе x (0) и 

является внешней интервальной оценкой множества решений { x ∈ R n | (∃G ∈ G)(∃h ∈ 

h)( x = Gx + h ) } рассматриваемой интервальной системы. 

Приведение исходной системы Ax = b к рекуррентному виду x = Gx + h выполняется 

обычно различными преобразованиями, которые часто расширяют множество решений. 

Сравнивая этот результат с уравнением (10), можем видеть, что новая версия формального 

подхода, представленная в Предложении 2, является, по существу, очень удачно скомпонованной 

вариацией известного подхода, в которую неявно встроена процедура приведения 

системы к рекуррентному виду. В частности, из свойства субдистрибутивности классической 

интервальной арифметики следует включение D −1 (b − Cx) ⊆ D −1 b − D −1 Cx, 

означающее, что решение уравнения (6)–(7) всегда содержится в решении уравнения, получаемого 

из теоремы Апостолатоса-Кулиша. 

Из сказанного также следует, что оценки точности новой версии формального подхода 

не хуже, чем у традиционных, т.е. имеют первый порядок точности в зависимости от 

размеров множества решений [12]. 

193


[1] Г. Алефельд, Ю. Херцбергер Введение в интервальные вычисления. Москва: Мир, 

1987. 

[2] Интервальный анализ и его приложения. – Веб-сайт http://www.nsc.ru/interval 

[3] С.А. Калмыков, Ю.И. Шокин, З.Х. Юлдашев Методы интервального анализа. Новосибирск: 

Наука, 1986. 

[4] С.П. Шарый Алгебраический подход к анализу линейных статических систем с интервальной 

неопределённостью. – Известия Академии Наук. Теория и системы управления, 

1997, №3, с. 51–61. 

[5] С.П. Шарый Алгебраический подход во «внешней задаче» для интервальных линейных 

систем. – Вычислительные Технологии, 1998, т. 3, №2, с. 67–114. 

[6] N. Apostolatos, U. Kulisch Grundzüge einer Intervallrechnung für Matrizen und einige 

Anwendungen. – Electron. Rechenanl., 1968, Bd. 10, S. 73–83. 

[7] A. Berman, R.J. Plemmons Nonnegative matrices in the mathematical sciences. New York: 

Academic Press, 1979. 

[8] E. Hansen On linear algebraic equations with interval coefficients. – В кн.: Topics in 

Interval Analysis / E. Hansen, ed. – Oxford: Clarendon Press, 1969, p. 35–46. 

[9] E. Kaucher Interval analysis in the extended interval space IR. – В кн.: Fundamentals 

of numerical computation (Computer-oriented numerical analysis) / G. Alefeld, R.D. 

Grigorieff, eds. Computing Supplement 2. Wien: Springer, 1980, p. 33–49. 

[10] R. B. Kearfott, M. Nakao, A. Neumaier, S. Rump, S. P. Shary, P. van Hentenryck 

Standardized notation in interval analysis. – В кн.: Труды XIII Байкальской международной 

школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск- 

Северобайкальск, 2–8 июля 2005 г. Том 4 «Интервальный анализ». Иркутск: ИСЭМ, 

2005, с. 107–113. 

[11] C. Miranda Un’ osservatione su un teorema di Brouwer. – Boll. Un. Mat. Ital. Serie II, 

1940, т. 3, с. 5–7. 

[12] A. Neumaier Interval methods for systems of equations. Cambridge: Cambridge University 

Press, 1990. 

[13] M.A. Sainz, E. Gardeñes, L. Jorba Formal solution to systems of interval linear or nonlinear 

equations. – Reliable Computing, 2002, vol. 8, p. 189–211. 

[14] M.A. Sainz, E. Gardeñes, L. Jorba Interval estimations of solution sets to real-valued 

systems of linear or non-linear equations. – Reliable Computing, 2002, vol. 8, p. 283–305. 

[15] S.P. Shary A new technique in systems analysis under interval uncertainty and ambiguity. – 

Reliable Computing, 2002, vol. 8, №5, p. 321–418. (Электронная версия статьи доступна 

на http://www.nsc.ru/interval/shary/Papers/ANewTech.pdf) 

194

YET ANOTHER VERSION OF FORMAL APPROACH TO OUTER 

ESTIMATION OF THE SOLUTION SETS TO INTERVAL LINEAR SYSTEMS 

Sergey P. Shary 

Institute of computational technologies SB RAS, Novosibirsk 

e-mail: shary@ict.nsc.ru 

Abstract. The work presents a new version of the so-called formal (algebraic) approach to outer 

interval estimation of the solution sets to interval linear systems based on Miranda theorem. The 

applicability scope of the new approach, quality of estimation as well as numerical methods for its 

implementation are discussed. 

Key words: interval linear equations, solution set, Miranda theorem, outer interval estimate 

(enclosure), formal (algebraic) approach. 

195

ДОПУСКОВОЕ МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ЛИНЕЙ- 

НЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ СО СВЯЗАННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1 

И.А. Шарая 

Институт вычислительных технологий, Новосибирск 

e-mail: sharaya@ict.nsc.ru 

Аннотация. В статье предложен и обоснован метод отыскания допускового множества решений 

интервальной линейной системы уравнений с группами пропорционально связанных коэффициентов. 

Суть метода — сведение исходной задачи к аналогичной задаче без связей. 

Ключевые слова: допусковое множество решений, связанные (зависимые) параметры, 

интервальная линейная система уравнений. 


Договоримся для различ´ения вещественных и интервальных объектов (чисел, векторов, матриц) 

использовать толщину шрифта: интервальные объекты будем обозначать жирным шрифтом, 

а вещественные – обычным. 

В задачах математической экономики, технологического проектирования и автоматического 

управления иногда требуется решить вещественную систему уравнений вида Ax = b, в которой 

• вместо вещественных коэффициентов заданы интервалы возможных значений этих коэффициентов, 

• вместо параметров правой части заданы интервалы допускаемых значений этих параметров, 

• требуется найти такие значения x, при которых для всех возможных значений матрицы 

коэффициентов величина Ax удовлетворяет заданным допускам на правую часть. 

Для решения таких задач в интервальном анализе введено понятие допускового множества 

решений интервальной линейной системы уравнений. 

Определение. Для интервальной матрицы A ∈ IR m×n и интервального вектора b ∈ IR m 

допусковым множеством решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений 

Ax = b называется множество таких вещественных векторов x ∈ R n , что для всех вещественных 

матриц A из интервальной матрицы A значение Ax не выходит за границы интервала 

b: 

{ ∣ 

Ξ tol (A, b) := x ∈ R n ∣∣ ⋃ } 

Ax ⊆ b . (1) 

Для допускового множества решений интервальной линейной системы уравнений Ax = b 

разработаны методы оценивания и точного нахождения [1, 2, 3]. 

В определении допускового множества решений интервальной линейной системы уравнений 

предполагается, что элементы вещественной матрицы A независимы, а как быть в случае, когда 

в интервальной матрице A требуется рассматривать не все, а только вещественные матрицы 

1 Работа выполнена в рамках Президентской программы поддержки ведущих научных школ 

"Разработка информационно-вычислительных технологий в задачах поддержки принятия решений" 

(грант № НШ-931.2008.9). 

A∈A 

196

специального вида (например, только симметричные)? В данной работе будет предложен метод 

нахождения допускового множества решений интервальной линейной системы уравнений, при 

условии, что в интервальной матрице A требуется рассматривать только вещественные матрицы 

A с группами пропорциональных элементов. 


Мы будем говорить, что коэффициенты интервальной линейной системы Ax = b связаны 

(зависимы), когда множество их совместных значений меньше прямого произведения интервалов 

значений отдельных коэффициентов. 

Cвязью на коэффициенты будем называть описание (в любой форме), которое позволяет выделить 

множество совместных значений коэффициентов в множестве A. Ниже в качестве связи 

мы будем использовать подмножество в R m×n , обозначая его символом S. 

Определение. Для интервальной матрицы A ∈ IR m×n и интервального вектора b ∈ IR m 

допусковым множеством решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений 

Ax = b со связью S ⊂ R m×n на матрицу коэффициентов будем называть множество таких 

вещественных векторов x ∈ R n , что для всех вещественных матриц A из A ∩ S значение Ax 

не выходит за границы интервала b: 

{ ∣ 

Ξ tol (A, S, b) := x ∈ R n ∣∣ ⋃ } 

Ax ⊆ b . 

A∈(A∩S) 

Мы ограничимся рассмотрением связей, которые можно представить в следующей параметрической 

форме: 

S = ⋃ 

s∈R k A(s), 

A(s) – матрица с компонентами a ij (s), i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, 

a ij (s) = c ij s l(i,j) , (2) 

где c ij ∈ R – вещественные константы, s = (s 1 , . . . , s k ) – вектор дополнительных параметров 

задачи, s l(i,j) ∈ {s 1 , . . . , s k } – один из дополнительных параметров. Это требование означает, что 

все компоненты вещественной матрицы A = A(s) разбиты на k групп так, что элементы каждой 

группы пропорциональны одному дополнительному параметру s l ∈ {s 1 , . . . , s k }. 

Обозначим через Ind(l) множество пар индексов тех элементов матрицы A(s), которые пропорциональны 

дополнительному параметру s l : 

Ind(l) := {(i, j) | a ij (s) = c ij s l }. (3) 

Потребуем, чтобы компоненты, пропорциональные одному дополнительному параметру, не попадали 

в одну строку матрицы A(s): 

( ((i, 

j) ∈ Ind(l) 

) 

& 

( 

(i, j ′ ) ∈ Ind(l) )) ⇒ (j = j ′ ). (4) 

Множество S, соответствующее соотношениям (2), является линейным подпространством в 

пространстве R m×n . 

197

Примеры вещественных матриц, связь между элементами которых можно описать в виде 

(2)–(4): 

1) Симметричная (симметрическая) матрица (symmetric matrix) — квадратная матрица, в 

которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны: a ij = a ji . Для квадратной 

матрицы размера n × n длина вектора дополнительных параметров s равна n(n + 1)/2, а 

один из вариантов параметризации 

⎛ 

⎞ 

s 1 s 2 s 3 . . . s n 

s 2 s n+1 s n+2 . . . s 2n−1 

s 3 s n+2 s 2n . . . s 3n−3 

. 

⎜ 

⎝ 

. 

. . . .. 

⎟ 

. ⎠ 

s n s 2n−1 s 3n−3 . . . s n(n+1)/2 

2) Кососимметричная (кососимметрическая, антисимметричная, антисимметрическая) 

матрица (skew-symmetric, antisymmetric matrix) — квадратная матрица, в которой элементы, 

симметричные относительно главной диагонали, противоположны: a ij = −a ji . Для квадратной 

матрицы размера n × n длина вектора дополнительных параметров s равна n(n + 1)/2, а один из 

вариантов параметризации 

⎛ 

⎞ 

s 1 s 2 s 3 . . . s n 

−s 2 s n+1 s n+2 . . . s 2n−1 

−s 3 −s n+2 s 2n . . . s 3n−3 

. 

⎜ 

⎝ 

. 

. . . .. 

⎟ 

. ⎠ 

−s n −s 2n−1 −s 3n−3 . . . s n(n+1)/2 

3) Матрица Теплица (Toeplitz matrix) — квадратная матрица, в которой каждая диагональ, 

параллельная главной, состоит из равных элементов: a ij = s i−j . Для матрицы размера n × n 

длина вектора дополнительных параметров s = (s −(n−1) , . . . , s n−1 ) равна 2n − 1, а сама матрица 


⎛ 

⎞ 

s 0 s −1 s −2 . . . s −(n−1) 

. s 1 s 0 s .. −1 . 

. s 2 s 1 s .. 0 s −2 

. 

⎜ . 

⎝ . .. . .. . .. ⎟ 

s −1 ⎠ 

s n−1 . . . s 2 s 1 s 0 

4) Матрица Ганкеля (Hankel matrix) — квадратная матрица, в которой каждая диагональ, 

параллельная побочной, состоит из равных элементов: a ij = s i+j−2 . Для матрицы размера n × n 

длина вектора дополнительных параметров s = (s 0 , s 1 . . . , s 2n−2 ) равна 2n − 1. Матрица Ганкеля 


⎛ 

⎞ 

s 0 s 1 s 2 . . . s n−1 

s 1 s 2 s n−1 . 

s 2 

. 

. 

⎜ 

⎟ 

⎝ . s n−1 

. ⎠ 

s n−1 . . . . . . . . . s 2n−2 

. .. 

. .. 

5) Матрица Гурвица (Hurwitz matrix) — квадратная матрица размера n×n, элементы которой 

описываются через дополнительные параметры s 0 , s 1 , . . . , s n по правилу a ij = s 2j−i , где s 0 ≠ 0, 

. .. 

. .. 

. .. 

. .. 

198

s k = 0, при k < 0 или k > n. Например, 

при n = 5 

⎛ 

⎞ 

⎛ 

⎞ 

s 

s 1 s 3 s 5 0 0 

1 s 3 s 5 0 0 0 

s 0 s 2 s 4 0 0 

s 0 s 2 s 4 s 6 0 0 

⎜ 0 s 1 s 3 s 5 0 

⎟ 

⎝ 0 s 0 s 2 s 4 0 ⎠ , при n = 6 0 s 1 s 3 s 5 0 0 

⎜ 0 s 0 s 2 s 4 s 6 0 

. 

⎟ 

⎝ 0 0 s 

0 0 s 1 s 3 s 1 s 3 s 5 0 ⎠ 

5 

0 0 s 0 s 2 s 4 s 6 

6) Циркулянт (циклическая матрица) (circulant matrix) — квадратная матрица, которую 

при размере n × n можно описать через дополнительные параметры s 1 , . . . , s n по правилу a ij = 

s ((n+j−i) mod n)+1 . Циркулянт имеет вид 

⎛ 

s 1 s 2 s 3 . . . s n 

⎞ 

s 2 s 3 s 4 . . . s 1 s n s 1 s 2 . . . s n−1 

⎜s n−1 s n s 1 . . . s n−2 

⎟ 

⎝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎠ . 

Формулировка задачи. Найти (оценить) допусковое множество решений интервальной линейной 

системы уравнений Ax = b со связью вида (2)–(4) на матрицу коэффициентов. 

3. Метод решения 

Множество матриц A ∩ S, где связь S на коэффициенты системы уравнений имеет вид (2), 

легко описать параметрически. Оно состоит из тех матриц A(s), удовлетворяющих требованию 

(2), которые попадают в интервальную матрицу A. Из условия 

a ij (s) = c ij s l(i,j) ∈ a ij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, 

получаем ограничения на дополнительные параметры s: 

⋂ 

s ∈ s, где s l := a ij /c ij , l = 1, . . . , k. (5) 

Отсюда 

(i,j)∈Ind(l) 

A ∩ S = ⋃ s∈s 

A(s). (6) 

Поэтому в нашей задаче 

{ ∣ 

Ξ tol (A, S, b) = x ∈ R n ∣∣ ⋃ 

} 

(A(s)x) ⊆ b . 

Поскольку b – интервальный вектор (т.е. множество равное прямой сумме своих координатных 

проекций), включение можно расписать покомпонентно: 

⎧ ⋃ ∑ 

j 

⋃ 

⎪⎨ 

a 1j(s)x j ⊆ b 1 , 

s∈s 

(A(s)x) ⊆ b ⇐⇒ . . . . . . . . . . . . . . . 

s∈s 

⋃ ∑ ⎪⎩ 

j a mj(s)x j ⊆ b m . 

s∈s 

Теперь воспользуемся условием (4) отсутствия в строке двух коэффициентов, пропорциональных 

одному дополнительному параметру. Это условие позволяет пронести операцию объединения 

s∈s 

к отдельным слагаемым: 

⋃ 

s∈s 

∑ 

a ij (s)x j ⊆ b i 

j 

⇐⇒ ∑ j 

199 

⋃ 

(a ij (s)x j ) ⊆ b i . 

s∈s

После очевидного преобразования 

⋃ 

(a ij (s)x j ) = 

s∈s 

( ⋃ 

a ij (s) 

s∈s 

воспользуемся видом (2) коэффициентов a ij (s), из которого следует, что 

⋃ 

a ij (s) = c ij s l(i,j) . (7) 

Резюмируя выкладки, получаем 

s∈s 

Ξ tol (A, S, b) = 

где компоненты интервальной матрицы Ã имеют вид 

Поскольку Ãx = ⋃ 

A∈Ã 

) 

x j 

{ ∣ } 

x ∈ R n ∣∣ Ãx ⊆ b , (8) 

ã ij = c ij s l(i,j) . (9) 

Ax, привлекая определение (1), можем записать 

Ξ tol (A, S, b) = Ξ tol (Ã, b). 

Другими словами, допусковое множество решений интервальной линейной системы Ax = b 

со связью (2)–(4) совпадает с допусковым множеством решений интервальной линейной системы 

Ãx = b без связей на матрицу коэффициентов. 

Из определения (9) матрицы Ã, равенства (7) и свойства (6) следует, что 

• с одной стороны, Ã является интервальной оболочкой множества A ∩ S, т.е. минимальной 

интервальной матрицей содержащей все вещественные матрицы, удовлетворяющие связи 

на коэффициенты и лежащие в A, 

• а с другой стороны, это максимальная интервальная подматрица в A, компоненты которой 

подчинены тем же связям (2)–(4), которые наложены в условии задачи на вещественные 

матрицы. (Действительно, всякая б´ольшая по включению интервальная матрица с теми же 

пропорциями содержит такие вещественные матрицы, которые лежат в S, но не лежат в 

множестве A.) 

Это наблюдение позволяет иногда находить матрицу Ã, не прибегая к явной параметризации 

связи. Например, если в интервальной матрице A требуется рассматривать только симметричные 

вещественные матрицы, тогда компоненты матрицы Ã = Asym можно найти по правилу 

a sym 

ij 

= a ij ∩ a ji . 

На основании проведенных рассуждений можно предложить следующий метод нахождения 

допускового множества решений интервальной линейной системы Ax = b со связью (2)–(4) на 

матрицу коэффициентов. 

Метод решения: 

Шаг 1. Для интервальной матрицы A найти максимальную интервальную подматрицу Ã, компоненты 

которой находятся в тех же соотношениях пропорциональности, что требуются по 

условию задачи для вещественных матриц. Если такой подматрицы нет — искомое множество 

Ξ tol (A, S, b) пусто, иначе — перейти к шагу 2. 

200

Шаг 2. Найти (оценить) допусковое множество решений интервальной линейной системы уравнений 

Ãx = b. 

Суть предлагаемого метода в том, чтобы свести задачу со связанными параметрами к задаче 

без связей и воспользоваться известными методами решения задачи без связей. 

4. Пример 

В заключение для наглядности рассмотрим простой пример. 

Задача. Пусть интервальная матрица A и интервальный вектор b имеют вид 

A = 

( ) 

[0, 1] [−3, −1] 

, b = 

[0, 2] [1, 2] 

( ) [−1, 1] 

. 

[−2, 2] 

Найти множество таких вещественных векторов x ∈ R n , что при всех кососимметричных матрицах 

A из A значение Ax лежит в интервале b. 

вид 

Решение. 

Шаг 1. Для матрицы A максимальная интервальная кососимметричная подматрица Ã имеет 

Ã = 

( ) 

[0, 1] [−3, −1] ∩ (−[0, 2]) 

= 

−ã 12 [1, 2] 

( ) 

[0, 1] [−2, −1] 

. 

[1, 2] [1, 2] 

Шаг 2. Допусковое множество решений интервальной линейной системы уравнений Ãx = b 

можно (как показано в [2]) найти из системы, включающей восемь двойных линейных неравенств: 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

−2x 2 ⊆ [−1, 1], (I) 

x 1 − 2x 2 ⊆ [−1, 1], (II) 

−x 2 ⊆ [−1, 1], (III) 

x 1 − x 2 ⊆ [−1, 1], (IV) 

x 1 + x 2 ⊆ [−2, 2], (V) 

2x 1 + x 2 ⊆ [−2, 2], (VI) 

x 1 + 2x 2 ⊆ [−2, 2], (VII) 

2x 1 + 2x 2 ⊆ [−2, 2]. (VIII) 

Неравенство (I) разделим на −2, неравенство (VIII) разделим на два, неравенства (III) (следствие 

неравенства (I)) и (V) (следствие неравенства (VIII)) удалим. 

Получим эквивалентную систему неравенств 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

которую можно решить графически: 

x 2 ⊆ [− 1 2 , 1 2 

], (I) 

x 1 − 2x 2 ⊆ [−1, 1], (II) 

x 1 − x 2 ⊆ [−1, 1], (III) 

2x 1 + x 2 ⊆ [−2, 2], (IV) 

x 1 + 2x 2 ⊆ [−2, 2], (V) 

x 1 + x 2 ⊆ [−1, 1], (VI) 

201

x 2 

(V) 

2 

(III) 

1 

(I) 

-2 

-1 

1 

2 

x 1 

(II) 

-1 

-2 

(IV) 

(VI) 

Ответ: искомое множество (показанное на рисунке) является выпуклым шестиугольником с 

вершинами (0, 0.5), (0.5, 0.5), (1, 0), (0, −0.5), (−0.5, −0.5), (−1, 0). 


[1] С.П. Шарый Конечномерный интервальный анализ. 

http://www.nsc.ru/interval/InteBooks/Shary/TheBook.pdf 

[2] И.А. Шарая Строение допустимого множества решений интервальной линейной системы 

Вычислительные технологии, 2005, т. 10, № 5, c. 103–119. 

(http://www.nsc.ru/interval/sharaya/Papers/ct05.pdf) 

[3] И.А. Шарая Переход к ограниченному допустимому множеству решений Всероссийское совещание 

по интервальному анализу и его приложениям ИНТЕРВАЛ-06, 1–4 июля 2006 года, 

Петергоф, Россия. СПб: ВВМ, 2006, c. 135–139. 

(http://www.nsc.ru/interval/Conferences/Interval-06/Proceedings.pdf) 

(http://www.nsc.ru/interval/sharaya/Papers/int06.pdf) 

202

THE TOLERABLE SOLUTION SET 

OF INTERVAL LINEAR SYSTEM OF EQUATIONS 

WITH DEPENDENT COEFFICIENTS 

I.A. Sharaya 

Institute of Computational Technologies, Novosibirsk 

e-mail: sharaya@ict.nsc.ru 

Abstract. We propose and substantiate a method for finding the tolerable solution set of interval 

linear systems of equations with groups of proportional coefficients. The essence of the method is to 

reduce the initial problem to a similar problem without dependent coefficients. 

Key words: tolerable solution set, dependent (tied) parameters, interval linear system of equations 

203

CONTINUOUS SOLUTIONS OF BOUNDARY LAYER PROBLEM IN MELT 

SPINNING PROCESS MODELING 1 

Aliona Dreglea 

SI GASIS, Irkutsk 

e-mail: adreglea@gmail.com 

Abstract. The continuous solutions for BVP of third order nonlinear differential equations appears 

in mathematical model of the melt spinning process. The existence theorem is proved for such BVP. 

Key words: melt spinning manufacturing process control, ODE, BVP, fluid mechanics. 

Let us consider the following problem 

x ′′′ (t) + M(x(t), t)x ′′ (t) = 0, α < t < β, (1) 

x(α) = a, x ′ (α) = b, x(β) = c. (2) 

BVP (1)-(2) appears in the mathematical model of the melt spinning process (see [1] for details). Some 

problems of the boundary layer type from hydrodynamics [1] [2], [5] can be formulated as problem (1), 

(2). 

Let us introduce the following condition: 

A) Let function M(x, t) be defined and continuous in the domain 

D = {x, t| |x| |a| + |b| |β| + |c − a − bβ| , α t β} , 

{ 

} 

m = min M(x, t), M = max max M(x, t), 0 . 

x,t∈D x,t∈D 

The existence of the solution in the partial case M(x, t) = x, α = 0, β = 1 is proved (see [8] page 

412 − 413). 

Here we consider problem (1)-(2) in general case. 

Theorem: Let condition A) be satisfied. Then BVP (1), (2) has the solution in the class C (3) 

[α,β] . 

Proof. The following nonlinear integral equation 

is equivalent to the problem (1),(2). 

Let us introduce the following notation 

∫ t 

η∫ 

α α 

x(t) = a + bt + (c − a − bβ) 

β∫ η∫ 

F x (η) = 

∫ η 

α 

α α 

e − σ∫ 

α 

M(x(s),s)ds 

dσdη 

σ∫ 

. (3) 

e − M(x(s),s)ds 

α dσdη 

e − σ∫ 

α 

M(x(s),s)ds 

dσ, α < η < β. (4) 

1 Partially supported by Klüber Lubrication KG (Germany) and Dublin Institute of Technology (Ireland). 

204

Obviously function F x (η) is positive for η > α. 

Taking into account notation (4), integral equation (3) has the following form 

F x (η)dη 

α 

x(t) = a + bt + (c − a − bβ) 

β∫ 

F x (η)dη 

∫ t 

α 

≡ P t (x), α < t < β. (5) 

Obviously for α t β and ∀x ∈ C [α,β] we have inequality 0 

Hence for ∀x ∈ C [α,β] we have estimation 

∫ t 

α Fx(η)dη 

∫ β 

α 

Fx(η)dη 

1. 

||P t (x)|| |a| + |b||β| + (c − a − bβ) = r. (6) 

Thus integral operator P t : C [α,β] → C [α,β] maps sphere ||x|| r into itself. 

Let us prove that operator P t is completely continuous. We exploit the Arzela‘ theorem [8] on 

precompact sets in C [α,β] . In consequence of estimation (6) image of set ||x|| r by mapping P t (x) is 

uniformly bounded by r. 

Farther 

∫ 

|c − a − bβ| 

t 2 

|P t1 (x) − P t (x)| |b||t 1 − t 2 | + | F x (η)dη|. (7) 

β∫ 

| F x (η)dη| t 1 

Let us note, that there are exist constants C 1 , C 2 such that 

As a result of inequalities (8), (9) gives such estimate correction (7): 

where 

| 

∫ β 

α 

α 

F x (η)dη | C 1 > 0, (8) 

0 < F x (η) C 2 . (9) 

|P t1 (x) − P t2 (x)| l|t 1 − t 2 |, 

l =| b | + | c − a − bβ | C 2 

C 1 

. 

At the same time l is the same for any (x, t 1 , t 2 ) ∈ D. It has been shown that image P t (x) of the sphere 

S(0, r) is uniformly bounded and equicontinual in C [α,β] . Therefore, following the Arzela‘ theorem [8] 

it is precompact set in C [α,β] . Hence operator P is completely continuous, for which all the conditions 

of the Shauder theorem [8] are fulfilled and equivalent integral equations (3) has the solution in space 

C [α,β] . It’s to be noted that di P 

, i = 0, 1, 2, 3 for any x ∈ C 

dt i [α,β] are continuous due to the operator P 

structure. Hence the solution of equation (3) will be three times continuously differentiable. Thus the 

theorem is proved. 

Presented here result is an extension of our results [7], [9] on the investigation of boundary layer 

problem in the theory of mathematical modelling of the melt spinning process [1], [2], [5]. 

References 

[1] Glauert M.B., Lighthill M.J., The axisymmetric boundary layer on a long thin cylinder, Proc. R. 

Soc. London, 1955, 320, 188–203. 

[2] Schlichting H. Boundary Layer Theory, 7 th edition, McGraw Hill, (1951). 

205

[3] Farrel P. A., Hegarty A. F., Miller J. J. H., O’Riordan E., Shishkin G. I., Robust Computational 

Techniques for Boundary Layers, Chapman and hall CRC, Florida, USA, 2000 

[4] Dreglea A.I., Shishkin G.I. Robust numerical method for a singularly perturbed equation with 

unboundedly growing convective term at infinity, ICCM-2004, June 21-25, 2004 Novosibirsk. 

[5] Landau L. D. Livshitz E. M. Hydrodynamics, M. Nauka, 1988. 

[6] N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev, Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear 

Analysis and Applications// Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002. 

[7] Dreglea A.I. Some analytical solutions in the theory of polymers modelling, Proceedings of IX 

International Chetaev Conference, Analytical Mechanics, stability and control of Motion, Irkutsk, 

Lake Baikal, June 12-16, 2007, V.5, p.108-117. 

[8] Trenogin V. A. Functional Analysis, M. Nauka 1980. 

[9] Dreglea A.I. Existence of continuous solutions of some model boundary layer problem, Buletin 

of Irkutsk State University, Special Issue dedicated to 100 years of Prof. V. V. Vasilyev, ser. 

Mathematics, V.I (2007), No.1, p. 113-117 (in russian). 

206

О НЕПРЕРЫВНОМ РЕШЕНИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ВОЗНИКАЮЩЕЙ В МО- 

ДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ВОЛОКНА ИЗ РАСПЛАВА 

А.И.Дрегля 

СИ ГАСИС, Иркутск 

e-mail: adreglea@gmail.com 

Аннотация. Рассматривается нелинейное диффернциальное уравнение третьего порядка, возникающее 

в математической модели формирования волокна из расплава. Для соответствующей 

краевой задачи доказана теорема существования. 

Ключевые слова: модель формирования волокна из расплава, механика, нелинейные ОДУ. 

207

COMPUTATION OF STABILITY REGION OF SOME BLOCK METHODS AND 

THEIR APPLICATION TO NUMERICAL SOLUTIONS OF ODES 

Ming-Gong Lee, Rei-Wei Song, Yu-Hsang Hong 

Department of Applied Mathematics, Chung-Hua University, Taiwan 

email: mglee@chu.edu.tw 

Abstract. Classes of multistage and multistep integration methods which obtain of r new values 

at each step are studied. Their stability regions were sketched by MATLAB, and their regions are 

almostA(α)-stable. Their applications to numerical solutions of nonstiff and stiff equations were 

studied. 

Key words: Multistage and multistep methods, A(α)-stable, stiff equations. 

1. Introduction 

Numerical solutions for ordinary differential equations (ODEs) have great importance in scientific 

computation, as they were widely used to model in representing the world. The common methods 

used to solve these ODEs are categorized as one-step (multistage) methods and multistep (one stage) 

methods, which Runge-Kutta methods represent the former group, and Adams-Bashforth-Molton 

method represents the later group. Some multistage are also available in the community. Implicit 

one-step method has been studied by Stoller and Morrison [5], Butcher [2], and Shampine and 

Watts [6]. We will consider a class of implicit multistep and multistage methods for solving ordinary 

differential equations; we can call it block method. It can obtain a block of new values simultaneously 

which makes this implicit method more competitive. Our aim is to analyze the stability of this Block 

methods though graphing capability of MATLAB. The interval of stability of a numerical method 

is especially important in the choice of a method suitable for stiff system. Indeed, for stiff systems, 

an interval of stability as large as possible is required to avoid a very restricted stepsize h during 

numerical integration. A large interval of stability may be sufficient in the integration of some stiff 

ODEs; for example, when the Jacobian matrix of right-hand side function has eigenvalues which are 

located in a large, narrow strip along the negative axis. Such equations often arise when a second order 

hyperbolic differential equations in semi-discretized with respect to its space variable [7]. In section 2, 

we will introduce some known block implicit one-step method used by Shampine, and their numerical 

implementation by predictor and corrector method. In section 3, we will show the derivation of some 

of the block multistage/multistep method, and their stability regions will be given at section 4. In 

section 5, we will give numerical results of these block-type methods by solving some nonstiff and stiff 

ODEs, and finally section 6 is the conclusion. 

2. Block Implicit One-Step Method 

We wish to approximate the solution of a differential equation, 

y ′ (x) = f(x, y(x)), y(a) = y a (1) 

In the interval of [a, b], suppose functionf is continuous and satisfies 

|f(x, y) − f(x, u)| ≤ L |y − z| (2) 

on [a, b] × (−∞, ∞) guarantees the existence of a unique solutiony(x) ∈ C 1 [a, b]. 

208

Forh ∈ (0, h 0 ], letx k = a + kh. A sequence of numerical values y k which approximatesy(x k ) can be 

obtained by using the formula that Shampine and Watts [6] refer to which is given by Clippinger and 

Dimsdale as, 

y n+1 − 1 2 y n+2 = 1 2 y n + h 4 f n − h 4 f n+2 

y n+2 = y n + h 3 f n + 4h 3 f n+1 + h 3 f n+2 

(3) 

Using vector notation and the matricesA = (a ij ),B = (b ij ), e = (1, ..., 1) T , and column vectors d = 

(d 1 , d 2 , ..., d r ) T , y m = (y n+1 , y n+2 , ..., y n+r ) T , and F (y m ) = (f n+1 , f n+2 , ..., f n+r ) T . Equation 2.3 can 

be written as 

Ay m = hBF (y m ) + ey n + hdf n (4) 

or 

y m = hCF (y m ) + ey n + hdf n (5) 

( 2 

) ( ) ( 

−1 

where B = 3 12 

1 5 

) 

4 1 and e = , d = 12 

3 3 

1 

1 . 

3 

For the numerical solutions by predictor and corrector scheme, Shampine and Watts [6] use the 

formula as the predictor formula, 

y p n+1 = 1 3 (y n−2 + y n−1 + y n ) + h 6 (3f n−2 − 4f n−1 + 13f n ) 

y p n+2 = 1 3 (y n−2 + y n−1 + y n ) + h 12 (29f n−2 − 72f n−1 + 79f n ) 

(6) 

A P ECE scheme or P E(CE) k were implemented for a nonstiff problem. 

3. Block Multistage and Multistep Method 

Given a s stages and m steps integration formula [2], where h −1 ( ∑ m 

j=0 kq j y i+s−j) approximates 

y ′ (x i+q ) of order h m , q = 1, 2, ..., s. Consider a few formulas 

1. for s=m=1, it is the BDF formula. 

2. For s=2, m=3, 

3. for s=3, m=5, 

2y n+2 + 3y n+1 − 6y n + y n−1 = 6hf n+1 

11y n+2 − 18y n+1 + 9y n − 2y n−1 = 6hf n+1 

(7) 

−3y n+3 + 30y n+2 + 20y n+1 − 60y n + 15y n−1 − 2y n−2 = 60hf(x n+1 , y n+1 ) 

12y n+3 + 65y n+2 − 120y n+1 + 60y n − 20y n−1 + 3y n−2 = 60hf(x n+2 , y n+2 ) 

137y n+3 − 300y n+2 + 300y n+1 − 200y n + 75 n−1 − 12y n−2 = 60hf(x n+3 , y n+3 ) 

(8) 

These formulas can be implemented in either Newton iteration or byP ECE scheme, but a new predictor 

need to be found first. For Equation (7), the predictor can still use Equation (6). Other predictors can 

be found by using the similar idea as Adams-Bashforth formula, we will not give the exact formula here. 

4. Stability regions 

The main difficulty associated with stiff equations is that even though the component of the true 

solutions corresponding to some eigenvalue that may becoming negligible, the restriction on the stepsize 

imposed by the numerical stability of the method requires that |hλ| remain small throughout the range 

of integration. So a suitable formula for stiff equations would be the one that would not require that |hλ| 

209

emains small. Dahlquist [3] investigated the special stability problem connected with stiff equations. 

He introduced the concept of A-stability, and we quote the definition as the following: 

Definition 1. The stability region R associated with a multistep formula is defined as the set 

R = {hλ : the formula applied to y ′ = λy, y(x 0 ) = y 0 , with constant stepsize h > 0, produce a sequence 

(y n ) satisfying that y n → 0as n → ∞}. 

Definition 2. A formula is A-stable if the stability region associated with that formula contains 

the open left half place. 

Definition 3. [4] A convergent linear multistep method isA(α)-stable, 0 < α < π/2, if S ⊃ 

S α = {µ : |arg(−µ)| < α, µ ≠ 0}. A method is A(0)-stable if it is A(α)-stable for some (sufficiently 

small)α > 0. 

We apply formulas Eqs. (3), (7), and (8) to y ′ = λy,y(x 0 ) = y 0 , and manipulation is skipped here. 

Let µ = λh, we have the following results: 

a. For Equation (5), y 2m = R(µ) m y 0 , y 2m+1 = S(µ)R(µ) m y 0 , where y m+1 = 6−µ2 y 

6−6µ+2µ 2 m ≡ S(µ)y n 

and y m+2 = 3+3µ+µ2 y 

3−3µ+µ 2 m ≡ R(µ)y n . We have plotted the graph of the stability region, and given in the 

following, where the region is the intersection of two regions, one is the red part and the other is outside 

the blue part. It shows that the formula (5) is an A-stability formula. By the similar approaches, we 

can also plot the regions of formula (7), and (8). 

b. Formula (7), (8) respectively: 

Figure 1: Stability region of Formula 3.1. 

Figure 2: Stability regions of Formula 3.1 and 3.2. 

210

The region is the intersection of three parts which are outside of both black, grey, and light-grey regions. 

We notice that at Figure 2, the stability region is quite similar to the A(α)-stable stable methods. 

5. Numerical Results 

We will apply the block-type method to one nonstiff and one stiff equation. For the nonstiff equation, 

the system of equation is given as the following 

y ′ 1 = y 2y 3 

y ′ 2 = −y 1y 3 

y ′ 3 = −0.51y 1y 2 

with 

y 1 (0) = 0 

y 2 (0) = 1 

y 3 (0) = 1 

(9) 

We apply three numerical schemes implicitly, the first one is to apply formula Eq. (3) by Newton 

iteration, the second is applying a Block formula (Equation (7) by Newton iteration, and the last one is 

solved by a standard method ode45 from MATLAB. A fixed stepsize h = 5×10 −2 were used at scheme 

1 and 2, and variable stepsize strategy scheme 3 was implemented, and their numerical solutions are 

used as comparison. The outputs of three schemes are given in the following figures. Figure 3 contain 

solutions of y 1 (x), y 2 (x), solved by three schemes. From the output, the fixed stepsize and variable 

stepsize strategy do not make too much difference. But y 3 (x), the numerical output show there is some 

variance, since the initial guess at scheme 1 and 2 may be caused by the calculation of not accurate 

initial guess. But, Newton iteration did converge back to the correct trace. 

Figure 3: Numerical output of y 1 (x), y 2 (x), y 3 (x) obtained by schemes 1,2,3. 

For this nonstiff problem, using P ECE scheme can still solve the problem quite well, the solution is 

given at Figure 4 But since the stability region will getting smaller [6], and this scheme is not suitable 

for stiff problem. 

For the numerical solution of stiff problem, we give the system of equations as the following, 

y 1 ′ = −0.04y 1 + 10 4 y 2 y 3 

y 2 ′ = 0.04y 1 − 10 4 y 2 y 3 − 3 × 10 7 y 2 2 

y 3 ′ = 3 × 107 y 2 2 

with 

y 1 (0) = 1 

y 2 (0) = 0 

y 3 (0) = 0 

A fixed stepsize h = 10 −3 were used at scheme 1 and 2, and variable stepsize solver ode15s from 

MATLAB was implemented, and its numerical solution are used as comparison. Figure 5 contain 

solutions of y 1 (x), y 2 (x), solved by three schemes. From the output, the fixed stepsize and variable 

stepsize strategy also do not make too much difference. But for y 2 (x), the numerical output show there 

is some variance, since the initial guess at scheme 1 and 2 may be caused by the calculation of not 

accurate initial guess. But, Newton iteration did converge back to the correct trace. 

But, if we look into the output of y 2 (x), there are some minor differences at the beginning of 

integration, the Block formula 3.1 solve the solutions with direction variously, that is the reason of 

using fixed stepsize increment, but eventually the solutions converge back to the right trace as the 

211 

(10)

Figure 4: Numerical output of y(x) obtained by P ECEof Formula 2.3 

Figure 5: Numerical output of y 1 (x), y 2 (x), y 3 (x) obtained by schemes 1,2,3. 

solutions obtained from ode15s. In the following Figure 6 shows this variance. There is also another 

special phenomenon, the numerical of oder15s and solutions obtained by Formula (3) are quite similar, 

they match well at the same trace of the solution curve. The reason maybe the stability region of 

Formula (3) is a A-stable method. But a similar situation also happens in the nonstiff problem, solutions 

obtained from Formula (7) match well with ode45 from MATLAB. It shows that the block method 

maybe similar to a Runge-Kutta method. Details still need more evidence. 

Figure 6: Variation in numerical outputs y 2 (x)obtained by scheme 1, 2,3 

212

6. Conclusions. 

A block-type family of multistage and multistep method was given and its stability regions were plotted 

by MATLAB. The region shows that these methods were similar to A(α)-stable method, it means that 

they cover all most all the left half plan. It may be useful in solving stiff equations, but the result show 

that more delicate strategy of adjusting stepsize to overcome difficulty in solving very stiff problem 

is necessary. Current progress of implementing a block type method in solving stiff equations may be 

useful in solving differential algebraic equations in the future. 

7. Acknowledgement. The Author is grateful to the financial support given by Chung Hua University 

under the Project #CHU-95-E-03. 

References 

[1] Bulatov, M.V., Construction of a One-Stage L-Stable Second Order Method, Differential 

Equations, Vol. 39, No. 4, pp. 593-595, Vol. 39, No. 4, pp. 554-556. 

[2] Butcher, J.C., A Modified Multistep Method for the Numerical Integration of Ordinary Differential 

Equations, Math. Comp., 20, (1966), pp.1-10. 

[3] Dahlquist, G. A Special Stability Problem for Linear Multistep Methods, BIT, 3, (1963), pp. 

27-43. 

[4] Hairer, E., and Wanner, G., Solving Ordinary Differential Equations II Stiff and Differential 

Algebraic Problems, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1991. 

[5] Morrison, D. and Stoller, L., A Method for the Numerical Integration of Ordinary Equations, 

Math. Comp., v. 12, (1958), pp. 269-272. 

[6] Shampine, L. F. and Watts H. A., Block Implicit One-Step Methods. Math. Comp. 23, (1969), 

pp. 731-740 

[7] Van der Houwen, P.J., Stabilized Runge-Kutta Methods for Second Order Differential Equations 

without First Derivatives, SIAM J. Num. Anal., 16, (1979), pp. 523-537. 

213

НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ БЛОЧНЫХ 

МЕТОДОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ ОДУ 

Минг-Гонг Ли, Рей-Вей Сонг, Ю-Хсанг Хонг 

Факультет прикладной математики Университета Чунг-Хуа, Тайвань 

email: mglee@chu.edu.tw 

Аннотация. Изучаются классы многостадийных и многошаговых методов для численного 

решения ОДУ. С использованием пакета MATLAB были построены области устойчивости таких 

методов и показано, что они почти A(α)-устойчивые. Рассмотрено их приложение к численному 

решению жестких и нежестких задач. 

Ключевые слова: Многостадийные и многошаговые методы, A(α)-устойчивость, жесткие 

уравнения. 

214

ТРУДЫ 

секции "Вычислительная математика" 

XIV Байкальской международной школы-семинара 

"Методы оптимизации и их приложения" 

2 - 8 июля 2008 

г. Иркутск, Байкал 

Технический редактор: Чистякова Е.В. 

Материалы изданы в электронном виде и находятся на сайте 

http://www.sei.irk.ru/baikal2008

Вычислительная математика - ИСЭМ СО РАН

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?