Mikrovalna elektronika - FESB

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
I. Zanchi
Z. Blažević
M I K R O V A L N A E L E K T R O N I K A
I.
FESB – SPLIT
- 1 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Uvod
Govoreći o mikrovalovima razmatrat ćemo pojave u jednom izdvojenom
dijelu elektromagnetskog spektra koji graniči s jedne strane s UHF područjem radio
spektra, a s druge s infracrvenim dijelom spektra. Grubo rečeno to bi bilo
frekvencijsko područje između 1 GHz i 100 GHz. Razlozi zbog kojih je izdvojeno
upravo ovo područje sadržani su u specifičnoj tehnici koja ga karakterizira, a koja je
uvedena zbog činjenice da su valne duljine u mikrovalnom području usporedive,
odnosno istog reda veličine kao i fizičke dimenzije elemenata krugova. Ilustrirat ćemo
posebnost primijenjene tehnike na jednom primjeru.
Jednostavni titrajni krug čija je rezonantna frekvencija primjerice 10 MHz
sastoji se od zavojnice duljine l od N zavoja površine S, odnosno koeficijenta
samoindukcije L:
2 S
L ∼ N , l
i kondenzatora površine ploča S i razmaka među pločama d kapaciteta C:
S
C ∼ , d
prikazan je na sl. 1a. Ako bi sve linearne dimenzije tog kruga smanjili za faktor 1000,
za isti faktor porasla bi i rezonantna frekvencija:
f
0
1
= ,
2π
LC
za isti faktor, odnosno iznosila bi 10 GHz. Međutim, pod pretpostavkom da sl. 1a
prikazuje stvarne dimenzije titrajnog kruga, njihovo smanjenje za toliki faktor bilo bi
nerealno. Ne samo što bi takav krug bilo veoma teško izvesti, nego bi i energija
sadržana u polju kondenzatora bila manja zbog smanjenog probojnog napona uslijed
smanjene površine ploča kondenzatora i smanjenog razmaka među pločama a faktor
dobrote Q bio bi umanjen uslijed povećanja otpora kao posljedice smanjenja presjeka
žice vodiča.
L
C
Slika 1a. Titrajni krug s koncentriranim elementima
- 2 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
L C L C
Slika 1b. Smanjenje broja zavoja
i površine ploča
Slika 1c. Smanjenje površine zavoja
i razmaka među elektrodama
Za realizaciju titrajnog kruga mikrovalne rezonantne frekvencije od 10 GHz
pristupit ćemo preoblikovanju kruga tako da umanjimo koeficijent samoindukcije
smanjenjem broja zavoja N i kapacitet C smanjenjem površina S ploča i povećanjem
razmaka d među elektrodama, dok krug ne poprimi izgled kao na sl. 1b. Nadalje,
smanjenjem površine S zavoja također umanjujemo koeficijent samoindukcije, pa
dobivamo oblik kao na sl. 1c. Ova transformacija oblika zavojnice i kondenzatora
učinjena je s ciljem postizanja rezonantne frekvencije 10 GHz, a da pri tome fizičke
dimenzije sklopa ostanu realne, odnosno istog reda veličine kao što je i valna duljina.
Međutim, pri titranju elektromagnetske energije u sklopu određeni dio energije
se isijava u okolni prostor u obliku elektromagnetskih valova. Da bi spriječili
elektromagnetsko zračenje nadalje modificiramo dobiveni krug na sl. 1c tako da ga
oklopimo vodljivim stjenkama, pa ga možemo preinačiti kao na sl. 1d, dakle do dvaju
koaksijalnih valjaka, pretvarajući jedan dio vodiča u oklop. Sada je gotovo čitavo
elektromagnetsko polje sadržano između valjaka i zračenje je značajno smanjeno jer
je svedeno na otvor. Konačno, da bi potpuno otklonili gubitke uslijed zračenja
dolazimo do strukture cilindričnog rezonatora na sl. 1e. Evidentno je da u slučaju
frekvencija iz mikrovalnog spektra više ne možemo govoriti o koncentriranim
elementima induktivitetu L i kapacitetu C kao kod kruga na sl. 1a koji oscilira na 10
MHz. Umjesto toga tretiramo krugove s distribuiranim elementima. Međutim, ovakvi
krugovi opisani su parcijalnim diferencijalnim jednadžbama. Ipak, zbog poteškoća
matematičke prirode nastojimo, kad god je to moguće prikazati krugove
koncentriranim elementima. Nadalje, konstatirajmo da su pojmovi napon i struja
postali nejednoznačni zbog usporedivosti dimenzija kruga s duljinom vala.
Slika 1d. Koaksijalna linija
Slika 1e. Cilindrični rezonator
- 3 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Stoga je jedino na što se sa sigurnošću možemo osloniti u rješavanju takvih
krugova rješavanje Maxwellovih jednadžbi. Međutim, vrlo je teško tražiti rješenja
Maxwellovih jednadžbi u iole složenijoj strukturi. Čak i u slučaju kad ih je
matematički moguće naći teško ih je interpretirati. Stoga je ono što želimo realizirati
pokušaj da pojedini dio mikrovalnog sklopa analiziramo kao odvojenu jedinicu i
istražimo njen utjecaj na propagaciju elektromagnetskog vala u sklopu, pa tek onda
tretirati složenu mikrovalnu strukturu kao skup tako odvojenih elemenata poznatih
karakteristika. Ovo bi bilo analogno tretmanu električnih krugova s koncentriranim
elementima.
Na kraju ovog uvodnog izlaganja iznesimo nekoliko podataka o razvoju i ulozi
mikrovalne tehnike. Iako je predmetom razmatranja gotovo od samih početaka
razvoja radijske tehnike krajem XIX. stoljeća, svoj prvi pravi procvat teorija i tehnika
doživjela je u tijeku i nakon II. svjetskog rata. Taj napredak povezan je s razvojem u
prvom redu radara, ali i vrlo usmjerenih veza. Daljnji intenzivni razvoj zasnovan je na
razvoju poluvodičkih mikrovalnih aktivnih elemenata velike snage, koji imaju
zadovoljavajući stupanj iskorištenja i koji su postali pouzdani, relativno jeftini i lako
dostupni. To je otvorilo mogućnost za čitav niz primjena mikrovalova. Osim efikasnih
radio veza za svrhe komunikacija ili čak bežičnog prijenosa energije, spomenimo
primjenu u prehrambenoj industriji, za brzo zagrijavanje materijala itd.
Mikrovalna elektronika razmatra pasivne i aktivne elemente mikrovalnih
krugova. Veliki dio mikrovalne elektronike temelji se na klasičnoj elektrodinamici i
fizici čvrstog stanja, što smatramo da je u velikoj mjeri već poznato, pa ćemo ta
znanja samo dopunjavati i primjenjivati.
- 4 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
1. Prijenosna linija
Promotrimo trakastu liniju na sl. 1. Uzbuđujemo je ravnim valom koji se propagira
duž osi z. Vrijedi:
E = E = 0, E ≠ 0
H
x
y
∂
∂x
z
= H = 0, H ≠ 0
z
∂
∂y
(•) = (•) = 0
pri čemu se derivacije (•) odnose kako na E tako i H komponente polja.
y
x
,
y
a
I
H x
x
z
b
y = b
y = 0
E y
Slika 1. Trakasta linija
z
2b
2a
I
E r
H ϕ
Slika 2. Koaksijalna linija
- 5 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Za usporedbu promotrimo i slučaj koaksijalne linije na sl. 2 kroz čije vodljive
dijelove protječe struja I. U idealnom dielektriku koaksijalne linije bez gubitaka
elektromagnetsko polje se može opisati kao:
Ez
H
z
= = 0 , E ≠ 0 ,
E ϕ
= H = 0 , H ϕ
≠ 0 ,
r
∂ • =
∂ϕ
( ) 0
Zbog aksijalne simetrije komponenta električnog polja E r je svugdje ista u jednom
presjeku na određenom iznosu radijusa r, kao i magnetskog polja H ϕ , pa je njihova
derivacija po azimutu ϕ jednaka nuli.
U svakoj točki prostora između vodiča, uz pretpostavku linearnog, homogenog i
izotropnog medija bez gubitaka u kojem se propagira promatrani elektromagnetski val
vrijede Maxwellove jednadžbe u obliku:
∂B
∂H
rot E = − = −µ
∂t
∂t
∂D
∂E
rot H = = −ε
∂t
∂t
Konkretno za našu trakastu liniju uzbuđenu ravnim valom:
E = eyEy
H = e H
x
x
r
.
(a)
(b)
te iz (a) imamo za kartezijev koordinatni sustav:
ex ey ez
H H
rot E
∂ ∂ ∂ µ ∂
= = − = −µ e
∂
x
∂x ∂y ∂z ∂t ∂t
E E E
x y z
⎛ ∂E z
∂Ey
⎞ ∂H
⎜ − ⎟ = µ
⎝ ∂y ∂z ⎠ ∂t
x
,
x
,
odnosno zbog E z = 0 imamo konačno:
Slično iz (b) dobivamo:
∂E
y
∂z
∂H
= µ
∂t
z x
− − =
x
. (*)
⎛ ∂H
∂H
⎞ Ey
ε ∂
⎜ ⎟ ,
⎝ ∂x ∂z ⎠ ∂t
- 6 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
a zbog H z = 0 imamo i drugu jednadžbu:
∂H x
E
= ε ∂ y
∂z
∂t
. (**)
Međutim, možemo lako prijeći na drugi način, jer je polje:
H
x
I
= ,
a
b
U
∫ Ed y = −U ⇒ Eyb = −U ⇒ Ey
= − .
b
0
Uvrštavajući u (*) i (**) dobivamo:
∂U µ b ∂I
⎫
= −
∂z a ∂t
⎪ ⎬ .
∂I εa ∂U
= − ⎪
∂z b ∂t
⎪⎭
Uz:
b
L = µ induktivitet po jedinici duljine (podužni induktivitet),
a
a
C = ε kapacitet po jedinici duljine (podužni kapacitet),
b
imamo:
∂U
∂I
⎫
= −L
∂z
∂t
⎪ ⎬ .
∂I
∂U
= −C
⎪
∂z
∂t
⎪⎭
Kako se uzbudni ravni val propagira duž osi z, polja E y , H x te napon U i struja I funkcije
su koordinate z i vremena t (pa stoga u jednadžbama imamo parcijalne derivacije).
Za koaksijalnu liniju računamo u cilindričnom koordinatnom sustavu:
1 1
er
eϕ
ez
r r
∂ ∂ ∂ ⎛ 1 ∂E ∂E
1 ( rE )
z ϕ ⎞ ⎛ ∂Er ∂Ez ⎞ ⎛ ∂
ϕ 1 ∂E
⎞
r
rot E = = ⎜ − ⎟er
+ ⎜ − ⎟eϕ
+ −
ez
.
∂r ∂ϕ ∂z ⎝ r ∂ϕ ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂r ⎠ ⎜ r ∂r r ∂ϕ
⎟
⎝ ⎠
E rE E
r
ϕ
z
Kako postoje samo radijalna komponenta električnog polja i azimutalna komponenta
magnetskog polja koje su međusobno okomite i nalaze se u transverzalnoj ravnini koja je
okomita na smjer propagacije elektromagnetskog vala (os z), odnosno nema
longitudinalnih komponenti polja (u smjeru osi z), govorimo transverzalnom
- 7 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
elektromagnetskom (TEM) modu propagacije vala. Za taj slučaj uvrštavajući u (a) i (b)
imamo:
∂E
r
1 ∂E
∂H
r
ϕ
eϕ
− ez
= −µ
eϕ
,
∂z r ∂ϕ
∂t
∂H
1 ∂( rH )
ϕ
ϕ ∂E
r
− er + ez = ε er
,
∂z r ∂r ∂t
iz čega proizlazi:
∂E r
H
= −µ ∂
∂z
∂t
ϕ
∂Hϕ
∂E − = ε r
∂z
∂t
( rHϕ
)
(*)
(**)
1 ∂Er
1 ∂
= = 0 . (***)
r ∂ϕ
r ∂r
Prve dvije jednadžbe (*) i (**) povezuju vremenske i prostorne promjene polja, dok
posljednja (***) kaže da nema promjene električnog polja po azimutu, dok magnetsko
polje opada linearno s radijusom. Koristeći Ampereov zakon imamo magnetsko polje:
H
ϕ
I
= .
2π
r
Integriramo li prvi izraz (*) od a do b i uvažavajući da su r i ϕ ortogonalne varijable:
b
b
∂E H
r dr
ϕ
∫ = −µ ∂ dr
∂z
∫ ⇒
∂t
a
a
b b b
∂ µ dr
Erdr = − µ
∂ Hϕdr =
∂ I
∂z ∂t 2π
∂t r
∫ ∫ ∫ .
a a a
Isti postupak ponavljamo i za (**), te naposljetku dobivamo sljedeće relacije:
∂U µ b ∂I
⎫
= − ln ⋅
∂z 2π
a ∂t
⎪
⎪
∂I
2πε
∂U
⎬.
= − ⋅
∂z
b
ln
∂t
⎪
⎪
a ⎭
Uvedemo li induktivitet i kapacitet po jedinici duljine koaksijalne linije kao:
dobivamo:
µ b
L = ln ,
2π
a
2πε
C = ,
b
ln
a
- 8 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
∂U
∂I
⎫
= −L
∂z
∂t
⎪ ⎬ .
∂I
∂U
= −C
⎪
∂z
∂t
⎪⎭
Dakle, za obje prijenosne linije izveli smo prvi par jednadžbi elektromagnetskog polja:
∂Ey
∂H
x
⎫
− µ = 0
∂ z ∂ t ⎪⎪
⎬
∂H
∂E
x
y
− ε = 0 ⎪
∂z
∂t
⎪ ⎭
I. (trakasta linija) , odnosno
∂E
∂H
r
ϕ ⎫
+ µ = 0
∂ z ∂ t ⎪⎪
⎬
∂Hϕ
∂Er
+ ε = 0 ⎪
∂z
∂t
⎪ ⎭
I. (koaksijalna linija) ,
na drugi par jednadžbi napona i struje:
∂U
∂I
⎫
+ L = 0
∂z
∂t
⎪
⎬
∂I
∂U
+ C = 0⎪
∂z
∂t
⎪ ⎭
II. .
Ove jednadžbe možemo preformulirati tako da opisuju samo jednu veličinu, napon ili
struju:
∂U
∂I
∂
2 2
= −L
∂ U ∂ I ⎫
= −L
∂z ∂t ∂z
2 ⎪ ∂ z ∂ z ∂ t
par jednadžbi I. reda ⇒
2 2 ⎬ par jednadžbi II. reda,
∂I
∂U
∂
∂ I ∂ U
= −C
= −C
⎪
2
∂z ∂t ∂t
∂z∂t
∂t
⎪⎭
odnosno:
∂ U
∂z
∂ U
= LC .
∂t
2 2
2 2
Slično možemo ponoviti i za struju, pa na konačno imamo sljedeći par jednadžbi:
2 2
∂ U ∂ U ⎫
− LC = 0
2 2 ⎪⎪
∂ z ∂ t
2 2
⎬ .
∂ I ∂ I
− LC = 0 ⎪
⎪
2 2
∂z
∂t
⎭
Ekvivalentno možemo govoriti i o jednadžbama koje tretiraju električno i magnetsko
polje, konkretno za trakastu liniju:
2 2
∂ Ey
∂ E ⎫
y
− µε = 0
2 2 ⎪
∂z
∂t
⎬ .
2 2
∂ H
x
∂ H
x
− µε = 0
⎪
2 2
∂z
∂t
⎪ ⎭
- 9 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Vidimo da bez obzira imamo relaciju u obliku:
2 2
∂ p 1 ∂ p
− = 0
2 2 2
∂z v ∂t
(III.)
koju nazivamo telegrafska jednadžba ako tretiramo napon i struju, a valna jednadžba
ako tretiramo komponente elektromagnetskog polja. Pri tome je p = p(z,t), a:
1 1
v = = ,
µε LC
brzina propagacije vala na promatranoj liniji. Opće rješenje jednadžbe (III.) je:
pri čemu je:
⎛ z ⎞ ⎛ z ⎞
p ( z,
t)
= f ⎜t − ⎟ + g ⎜t
+ ⎟
⎝ v ⎠ ⎝ v ⎠ ,
⎛ z ⎞
f ⎜t
− ⎟
⎝ v ⎠
⎛ z ⎞
g ⎜t
+ ⎟
⎝ v ⎠
- val proizvoljnog oblika koji se propagira u smjeru rastućeg z (upadni val),
- val proizvoljnog oblika koji se propagira u smjeru padajućeg z (reflektirani).
Oba vala putuju linijom konstantnom brzinom v. Da bismo to pokazali uočimo neku
vrijednost funkcije f:
⎛ z ⎞
f ⎜t − ⎟ = f1
.
⎝ v ⎠
Ona će imati dakle vrijednost f = f 1 kad god je ispunjeno da je:
z
t − = t ' .
v
To znači da ukoliko poraste vrijeme istodobno mora porasti i z da bi t' ostao
nepromijenjen (odnosno fazna brzina konstantna). Dakle, evidentno je da se vrijednost f 1
pomiče nepromijenjenom brzinom v u smjeru rastućeg z. Slično možemo pokazati za g da
se kreće nepromijenjenom brzinom u smjeru padajućeg z.
Pretpostavimo da je p iz (III.) napon prijenosne linije:
⎛ z ⎞ ⎛ z ⎞
U ( z,
t ) = f ⎜t − ⎟ + g ⎜t
+ ⎟
⎝ v ⎠ ⎝ v ⎠ ,
∂U
∂I
tada je struja zbog = −L
∂z
∂ t
:
C ⎡ ⎛ z ⎞ ⎛ z ⎞⎤
I ( z,
t)
= f t g t
L
⎢ ⎜ − ⎟ − ⎜ + ⎟
v v
⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ,
pri čemu je veličina:
- 10 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Z
0
=
L
C
karakteristična impedancija prijenosne linije, definirana kao omjer napona i struje na
liniji bez gubitaka beskonačne duljine (slučaj kada postoji samo upadni val napona i
struje). Tako je za:
b
r
b
- trakastu liniju: Z = µ µ
0
≐ 60
a ε ε
⋅ ,
a
1 µ b µ
r
b
- koaksijalnu liniju: Z0
= ln ≐ 60 ⋅ln
.
2π ε a ε a
Snaga upadnog vala je:
⎧ U
r
U C
2 2
up 2 C up 2
= Uup
= ⋅ = 2vWel
* ⎪ Z0
L 2 LC ⎪
up up ⎨
⎬
2
el mag
⎪
I
2 2 L upL
2 ⎪
IupZ0
= Iup = ⋅ = 2vWmag
2
r
( )
P = U ⋅ I = = v W + W
⎪
⎩
C
gdje su W el i W mag električna i magnetska energija po jedinici duljine linije (W el = W mag ).
Pretpostavimo harmonijsku uzbudu. Tada je:
LC
⎫
⎪
⎭
,
j t
( ) ∝ e ω
p t
, a
∂ p =
∂t
jω
p
i
2
∂ p 2
= −ω
p ,
2
∂t
pa se valna jednadžba (III.) postaje Helmholtzova jednadžba:
∂ p
∂z
ω
v
2 2
+ p = 0
2 2
uz
Karakteristična jednadžba uz pretpostavljeno rješenje u obliku p ( z) Ce
.
= je:
pa je rješenje ove diferencijalne jednadžbe:
ω
ω
+ = ⇒ = ± ,
v
v
2
2
u
2
0 u j
( , )
ω
ω
− j z j z
jωt
v jωt
v
p z t = Ae e + Be e ,
( , )
⎛ z ⎞ ⎛ z ⎞
jω⎜ t− ⎟ jω⎜t
+ ⎟
⎝ v ⎠ ⎝ v ⎠
p z t = Ae + Be ,
ω ω
⎛ − j z j z ⎞
v
v jωt
p ( z,
t)
= ⎜ Ae + Be ⎟e
.
⎝
⎠
ω 2π
Pri tome je: β = = fazna konstanta, te za liniju bez gubitaka možemo pisati:
v λ
- 11 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
−
( , ) ( )
p z t Ae Be e
jβ z jβ z jωt
= + .
Konstante A i B određujemo iz početnih uvjeta koji vladaju na liniji, a kako vremensku
ovisnost podrazumijevamo kao harmonijsku, često ju izostavljamo iz relacija.
Valna jednadžba
Promotrimo prijenosnu liniju bez gubitaka na sl. 3. Ekvivalentna shema odsječka
takve linije prikazana je na sl. 4. Pri tome je totalni diferencijal napona i struje:
∂u
du = dx i ∂ x
∂i
di = dx . ∂ x
Primjenom Kirchoofovih zakona imamo sljedeće jednadžbe strujnih krugova:
∂i ⎛ ∂u ⎞ ∂u ∂i
Ldz + ⎜u + ⎟ = u ⇒ = −L
∂t ⎝ ∂z ⎠ ∂z ∂t
( )
⎛ ∂i
⎞ ⎫
⎜i + dz ⎟ + i ' = i
z
⎝ ∂ ⎠ ⎪ ∂i
∂u
⎬ ⇒ = −C
∂u
∂z
∂t
i ' = ( Cdz)
⎪
∂t
⎪⎭
(II)
(I)
Iz (I) i (II), naizmjeničnim deriviranjem obje strane jednakosti po vremenu odnosno po
duljini imamo:
i ( z,
t )
u ( z,
t )
∂i
i + dz ∂ z
∂u
u + dz ∂ z
z + dz
z
z
Slika 3. Prijenosna linija: vodič iznad idealno vodljive ravnine
Ldz
i
u
i' Cdz
∂i
i + dz ∂ z
∂u
u + dz ∂ z
Slika 4. Ekvivalentna shema elementarnog dijela prijenosne linije
- 12 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
2 2
∂ i ∂ u
+ C = 0
2
∂z
∂z∂t
2 2
∂ u ∂ i
+ L = 0
2
∂z∂t
∂t
i
2 2
∂ i ∂ u
+ C = 0
2
∂z∂t
∂t
,
2 2
∂ u ∂ i
+ L = 0
2
∂z
∂z∂t
iz čega konačno dobivamo jednadžbe napona i struje na liniji:
2 2
∂ u ∂ u ⎫
− LC = 0
2 2 ⎪⎪
∂ z ∂ t
2 2
⎬ .
∂ i ∂ i
− LC = 0 ⎪
⎪
2 2
∂z
∂t
⎭
Ove jednadžbe nam omogućavaju uvid u događanja na liniji kada je ona uzbuđena
harmonijskim funkcijama.
Ako je linija beskonačno duga, nema reflektiranog vala. Omjer napona i struje u
bilo kojoj točki takve linije jednak je karakterističnoj impedanciji:
Z
0
= u L
i
= C
,
koja ovisi o geometrijskim svojstvima prijenosne linije kao što je to pokazano na
primjerima trakaste i koaksijalne linije. Ako bismo u određenom trenutku t snimili napone
na beskonačnoj liniji, odnosno liniji zaključenoj karakterističnom impedancijom, lako
bismo definirali valnu duljinu λ kao (sl. 5):
2π
v v
λ = = .
ω f
Promotrimo sada na sl. 3 gibanje upadnog naponskog vala na liniji:
up
j z
( ) −
U z = U e β .
+
v
U(z1)
U(z2)
U(z3)
z
Slika 5. Snimak upadnog naponskog vala na liniji u trenutku t
- 13 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Prema definiciji, napon u nekoj točki z 2 = z 1 + λ ima istu vrijednost kao i napon u točki z 1 ,
tj. U(z 2 ) = U(z 1 ):
j z1 j z2 j z1
j ( z1
)
U z = U z ⇒ U e − β = U e − β ⇒ U e − β = U e − β + λ
.
( ) ( )
2 1
Da bi to bilo ispunjeno mora biti:
+ + + +
j
e − βλ = 1 ⇒ cos( βλ) − j sin ( βλ ) = 1⇒ βλ = 0,2 π , 4 π ,...,
2π
2π
v
a prema tome najmanja razlika z 2 - z 1 je za: λ = β
= ω
.
U općem slučaju, odnosno za neku liniju konačne duljine postoji upadni i
reflektirani val. Napišimo rješenje za napon na liniji tako da ispred zagrade izlučimo izraz
za upadni val:
⎡
u ( z, t)
= U
+
e ⎢1
+ e
⎣ U+
z
jω ⎛ t
ω
⎜ − ⎟
⎞
j2
z
⎝ v ⎠
U
− v
Analizirajmo izraz u uglatoj zagradi. Taj izraz jednak je jedinici kada nema reflektiranog
vala (U - = 0). Drugi član u zagradi predstavlja kompleksnu veličinu koja ima svoju
amplitudu i fazu, a koju zovemo koeficijent refleksije. Ona predstavlja omjer upadnog i
reflektiranog vala u određenoj točki z linije:
ω
j 2 z
− v − j2β
z
Γ z = e = e .
( )
U
U
Snaga koju prenosi upadni val je:
a snaga koju prenosi reflektirani val je:
Zbog ( )
P
P
U
U
+ +
up
ref
2
+
U
= ,
Z
0
2
−
U
= .
Z
ω
2
j 2 z U
v
j j2
z 2 U
−
− θ β
−
2
+ + +
U
Γ z = e = e e ⇒ Γ = , pa je:
U U U
0
⎤
⎥ .
⎦
2 Pref
Γ = .
P
Za liniju bez gubitaka modul koeficijenta refleksije je konstantan duž linije:
( ) ( ) ( )
Γ = Γ 0 = Γ z = Γ l = konst.
Ukupna prenesena snaga ili snaga predana opterećenju na kraju linije bez gubitaka je
razlika upadne i reflektirane snage:
2
( 1 )
P = P − P = − Γ P .
t up ref in
i Ako imamo liniju s gubicima ovo ne vrijedi, a snaga predana teretu je:
i .
up
( ) ( ) ⎡
2
1 ( ) ⎤ ( )
Pt = Pup z = l − Pref z = l = − Γ z = l Pup
z = l .
⎣
⎦
- 14 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Smithov dijagram
Polazeći od valne jednadžbe uz pretpostavku harmonijske uzbude p(t) ∝ e jωt ,
dobili smo Helmholtzovu jednadžbu:
s općim rješenjem:
( , )
∂ p
∂z
ω
v
2 2
+ p = 0
2 2
ω
ω
− j z j z
jωt
v jωt
v
p z t = Ae e + Be e .
Ako generator postavimo u položaj z = z 0 , z' = z - z 0 , kao na sl. 6, možemo pisati rješenja
valnih jednadžbi za napon i struju na liniji bez gubitaka:
⎛ z ' ⎞ ⎛ z ' ⎞
jω⎜t − ⎟ jω⎜ t+
⎟
⎝ ⎠ ⎝ v ⎠
+ 0 − 0
v
( ', ) ( ) ( )
u z t = U z e + U z e ,
⎛ z ' ⎞ ⎛ z ' ⎞
1 ⎡
jω⎜t − ⎟ jω⎜t
+ ⎟ ⎤
⎝ v ⎠ ⎝ v ⎠
i ( z ', t) = ⎢U + ( z0 ) e −U − ( z0
) e ⎥ .
Z0
⎢⎣
⎥⎦
U z 0 = 0 ⇒ z = z', pa je:
z
jω 2
( 0)
( , ) ( 0)
⎛ t
ωz
⎜ − ⎟
⎞ ⎡ U j ⎤
⎝ v ⎠ − v
u z t = U
+
e ⎢1
+ e ⎥ ,
⎣ U+
( 0)
⎦
uz koeficijent refleksije:
ω
U ( 0)
j 2 z U ( 0
−
)
v − jθ
j2β
z
Γ ( z)
= e = e e ,
U 0 U 0
( )
+ +
ω 2π
i faznu konstantu β = = . Dakle, koeficijent refleksije je kompleksna veličina:
v λ
,
( )
z' = 0
z'
~
z = z 0 z' = z - z 0
Slika 6. Priključak generatora u točku z = z 0 prijenosne linije
z
- 15 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Γ = Γ ( z)
= p + jq .
Fazorski dijagram koeficijenta refleksije možemo prikazati u Γ-ravnini kao na sl.
7. Pri tome je smjer rastućeg faznog kuta koeficijenta refleksije +2βz (rotacija u
pozitivnom smjeru) smjer kretanja po liniji od generatora (prema teretu), dok smjer
padajućeg kuta -2βz (rotacija u smjeru kazaljke sata) smjer kretanja prema generatoru.
Napišimo izraze za napon i struju na liniji u ovisnosti o koeficijentu refleksije:
z
jω ⎛ t−
⎞
⎜ ⎟
⎝ v ⎠
( , ) = ⎡1
+ Γ( )
u z t U
+
e ⎣ z ⎤⎦ ,
0
z
jω ⎛ t−
⎞
U ⎜ ⎟
+ ⎝ v ⎠
i ( z, t) = e ⎡1
− Γ( z)
⎤
Z
⎣ ⎦ .
Koeficijent stojnih valova KSV na prijenosnoj liniji definira se kao omjer maksimalne i
minimalne vrijednosti napona na liniji, vrijednosti koje dobijemo lako ako u gornje
jednadžbe uvrstimo:
j0
⎧⎪
Γ e = Γ ⇔ max
Γ = ⎨ ,
j
⎪⎩ Γ e π = − Γ ⇔ min
pa je:
U
max
1+ Γ
KSV = = .
U 1 − Γ
min
j
q
OD
GENERATORA
PREMA
GENERATORU
-1
Γ = 0
Γ
arg(Γ)
1
p
-j
Slika 7. Γ-ravnina
- 16 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Apsolutna vrijednost koeficijenta refleksije može se, dakle, izraziti preko KSV koji je
očito skalarna veličina ili snaga:
KSV −1
Γ =
KSV + 1
, odnosno 2 Pref
Γ = .
P
Intervali u kojima su definirani apsolutna koeficijenta refleksije i KSV ako se promatraju
1,1 KSV ∈ 1, +∞ .
isključivo pasivni sklopovi su Γ ∈[ − ] , [ )
Impedancija na nekom mjestu z na liniji je omjer napona i struje u toj točki:
up
pa je:
( )
Z z
( , )
( , )
0
⎛ z ⎞
jω⎜t
− ⎟
( z)
⎝ v ⎠
u z t U
+
e ⎡1
+ Γ ⎤
= =
⎣ ⎦
,
⎛ z ⎞
i z t U
jω⎜t
− ⎟
+ e
⎝ v ⎠
⎡1
− Γ( z ) ⎤
Z
⎣ ⎦
( )
Z z
1+ Γ
= Z0
1− Γ
( )
( )
Z z
Γ ( z)
=
Z z
( z)
( z)
− Z
+ Z
0
0
.
,
Definirajmo normiranu impedanciju kao:
Z
n
( z)
( ) 1+ Γ( z)
1 ( z)
Z z
= = ,
Z − Γ
pa se koeficijent refleksije na nekom mjestu z na liniji može izraziti kao:
Z
Γ =
Z
n
n
0
−1
+ 1
. ($$)
jX n
X n (z)
Z n (z)
0
R n (z)
R n
Slika 8. Z n -ravnina
- 17 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Već smo rekli da gibanju po liniji odgovara u Γ(z)-ravnini kruženje po kružnici
konstantnog radijusa ⎪Γ(z)⎪ = konst.. Pri tome se mijenja argument koeficijenta refleksije,
a to znači da je formulom za normiranu impedanciju Z n (z) određen za svaki položaj z
linije. Također, za fiksni položaj na liniji promjena impedancije je moguća ako mijenjamo
frekvenciju, jer se tada mijenja električna duljina linije.
Međutim, navikli smo promatrati fazor impedancije u kompleksnoj Z n -ravnini, kao
što je prikazano na sl. 8. Postavlja se pitanje kako normiranu impedanciju Z n unijeti u Γ-
kružnicu. Naime, transformacijom Γ u Z n ravninu moguće je nekoj točki iz Z-ravnine
pridijeliti određenu vrijednost Γ u Γ-ravnini. Drugim riječima pravce konstantnog realnog
dijela i imaginarnog dijela treba preslikati u Γ-ravninu a njihova vrijednost će odrediti
normiranu impedanciju Z n . Napišimo stoga koeficijent refleksije u obliku:
odnosno:
Dalje imamo da je:
( z)
− 1+
2 − 2 2
1
Z ( z) Z ( z)
Zn
Γ ( z)
= = −
+ 1 + 1
,
Γ
( z)
Γ
n
( z)
= 1−
Z
n
1
.
( z)
1
+
2 2
1
= 1−
Rn
z X
n
z
+ + j
2 2 2
( ) 1 ( )
n
,
pri čemu: R [ 0, ) & X ( , )
n
∈ +∞ ∈ −∞ +∞ , jer pretpostavljamo pasivne sklopove.
n
Nećemo posebno dokazivati ovaj korak transformacije, ali provjerimo za nekoliko
točaka:
1
= A + jB ,
Rn
X
n
1
+ j +
2 2 2
što je prikazano u tablici 1 za R n = 0.
TABLICA 1. VRIJEDNOSTI X n UZ R n = 0
X n (R n = 0) A + jB
0 2 + j0
∞ 0 + j0
1 1 – j
–1 1 + j
Naime ($$) je bilinearna transformacija, kod koje se vrijednosti jedne kompleksne
veličine pridružuje druga kompleksna veličina. Da se pokazati da se kružnica iz jedne
preslikava u kružnicu iz druge, što može biti i pravac ako središte odmaknemo dovoljno
od ishodišta.
Grafički postupak preslikavanja je sljedeći. Zbog preglednosti tretiramo odvojeno
realni i imaginarni dio normirane impedancije. Najprije preslikajmo iz Z n -ravnine krivulje
konstantnog realnog dijela R n na kojima se mijenja imaginarni dio, a zatim krivulje
- 18 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
konstantnog imaginarnog dijela X n na kojima se mijenja realni dio. Preslikavanje realnog
dijela prikazan je na sl. 9a. U Z n -ravnini krivulje konstantnog realnog dijela R n = konst. su
pravci paralelni s ordinatom. Svi pravci realnog dijela impedancije iz Z n -ravnine preslikali
su se u kružnice u Γ-ravnini, čija su središta između 0 i 1. Primijetimo da što je veći iznos
realnog dijela R n , to je radijus odgovarajuće kružnice manji. Na svakoj od kružnica nalaze
se sve normirane impedancije čiji realni dio odgovara pripadajućem radijusu kružnice.
Analogan postupak preslikavanja primjenjujemo i za imaginarni dio X n na sl. 9b. Ovim
preslikavanjem dobili smo i familiju kružnica konstantnog imaginarnog dijela X n .
Usporedbom (preklapanjem) dobivenih dijagrama vidimo da se kružnice konstantnog
realnog dijela sijeku pod pravim kutom s kružnicama konstantnog imaginarnog dijela,
odnosno te su kružnice ortogonalne. Dijagram normiranih impedancija u ravnini
koeficijenta refleksije naziva se još i Smithov dijagram, a njegov izgled prikazan je na sl.
9c. Pri tome u slučaju pasivnih sklopova realni dio ne može biti negativan, pa se u tom
slučaju koristimo dijagramom prikazanim na desnoj strani sl. 9c.
Krivulje R n = konst. i X n = konst. u Γ-ravnini mogu se dobiti i analitički.
Analitičko određivanje krivulja R n = konst. i X n = konst. u Γ(z)-ravnini
Impedancija i koeficijent refleksije kompleksne su veličine, pa pišemo:
Vrijedi:
te je:
( ) = + , ( )
Z z R jX
n n n
Γ z = p + jq .
1+ Γ
Zn = Rn + jX
n
= ,
1 − Γ
( )
( )
1+ p + jq 1+ p + jq
Rn
+ jX
n
= ⋅ ,
1− p + jq 1+ p + jq
2 2
1−
−
2
p q q
Rn
+ jX
n
= + j
− p + q − p + q
( 1 ) ( 1 )
2 2 2 2
.
Stoga su realni i imaginarni dio normirane impedancije izraženi preko realnog i
imaginarnog dijela koeficijenta refleksije jednaki:
R
n
=
1−
p
( 1 p)
− q
2 2
2 2
− + q
,
X
n
=
2q
( ) 2 2
1− p + q
.
S nekoliko elementarnih matematičkih manipulacija dolazimo do familija kružnica
konstantnog X n i familija kružnica konstantnog R n :
2 2
2 1
⎛ R ⎞ ⎛ ⎞
n
⎜ p − ⎟ + q = ⎜ ⎟ ,
⎝ 1+ Rn
⎠ ⎝1+
Rn
⎠
( p 1)
2 2
2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
− + ⎜ q − ⎟ = ⎜ ⎟ .
⎝ X
n ⎠ ⎝ X
n ⎠
- 19 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
jX n
Z n (z)
Zn
( z)
2
Rn = 0
Rn = 1
Rn = 2
Rn = 3
Rn = 4
Rn = 0
Rn = 1
Rn = 2
Rn = 3
Rn = 4
0
1 2 3 4
R n
0
1/2 1 3/2 2
R n
Zn
( z ) 1 +
2 2
1
Z z 1 +
2 2
R n = 0 n ( )
R n = 1
Rn = 0
Rn = 1
Rn = 2
Rn = 3
R n = 2
0
2/3 1 2
0
0,5 1 1,5 2
R n
−
1
1
+
2 2
R n = 0 Z n ( z)
R n = 1
R n = 2
1−
1
1
+
2 2
R n = 0 Z n ( z)
R n = 1
R n = 2
-2
-1
-2/3
0
-1
0
-2/3
1
Slika 9a. Preslikavanje realnog dijela normirane impedancije iz Z n -ravnine u Γ-ravninu
Dakle, rezimirajmo rezultat preslikavanja. U kompleksnoj Z n -ravnini postoje dvije
familije međusobno okomitih pravaca, od kojih su jedni pravci konstantnog realnog
dijela, a drugi pravci konstantnog imaginarnog dijela normirane impedancije. Te dvije
familije međusobno okomitih pravaca preslikani su u Γ(z)-ravnini u dvije familije
ortogonalnih kružnica (te kružnice sijeku se pod pravim kutom). Prvu familiju
predstavljaju kružnice konstantnog normiranog realnog otpora R n koje se međusobno
tangiraju u točki (1,0). Polumjer tih kružnica je:
- 20 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
jX n
j2
X n = -2
-jZ n (z)
j1
X n = -2
− j
Z
n
( z)
2
j1
X n = -1
j1/2
X n = -1
0
-j1
X n = 0
X n = 1
R n
0
-j1/2
X n = 0
X n = 1
-j2
X n = 2
-j1
X n = 2
j2
X n = 1
1
+ j Z
n
( z )
2
j2
1−
Zn
1
( z)
1
+
2 2
j1
X n = 2
j1
X n = 2
X n = 1
0
X n = 0
0
1
X n = 0
-j1 X n = -2
-j1 X n = -2
-j2
X n = -1
-j2
X n = -1
Slika 9b. Preslikavanje imaginarnog dijela iz Z n -ravnine u Γ-ravninu
1
r =
R + 1
,
a središta S su im na realnoj osi između točaka (0,0) i (1,0) u točki (1 – r,0):
⎛ R ⎞
n
S ( 1 − r,0 ) = S ⎜ ,0⎟
.
⎝ R
n
+ 1 ⎠
Kružnice konstantne normirane reaktancije X n imaju središta na pravcu paralelnom s
imaginarnom osi, a koji prolazi kroz točku (1,0). Te kružnice imaju zajedničku tangentu
realnu os, a određene su:
n
- središtem u točki
1
- radijusom
X .
n
⎛ 1 ⎞
S ⎜1,
⎟ ,
⎝ X
n ⎠
- 21 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Γ(z)
R n = 0
j
X n = 1
Γ = 0
X n = 0
R n = 0
+j
X n = 2
-1
1
R n = 1
0
1
X n = 1
X n = 0
X n = -1
Zminn = 1/KSV
-j
⎪Γ⎪ = konst.
⎪ΓL⎪
X n = -1
ZLn
-j X n = -2
1 + j0
ϕL
Zmaxn = KSV
Slika 9c. Smithov dijagram: dijagram normiranih impedancija u Γ-ravnini
Već ranije smo istakli da, ako se promatraju pasivni sklopovi, u Γ(z)-ravnini
maksimalni mogući Γ(z) je radijusa jednakog jedinici. Dakle, svaka moguća normirana
impedancija nalazi se unutar kruga radijusa ⎪Γ(z)⎪ = 1, za razliku od Z n (z)-ravnine u kojoj
može biti bilo gdje na neograničenim pravcima. Ovaj dijagram impedancije u
kompleksnoj Γ(z)-ravnini, odnosno ove ortogonalne familije kružnica nazvali smo
Smithov dijagram. Dijelom Smithovog dijagrama možemo smatrati i familiju
koncentričnih kružnica sa središtem u S(0,0) i radijusa od 0 do 1.
Uočimo da je promjena impedancije kao funkcija promjene položaja na liniji
jednoznačno određena. Nadalje, eventualno postojanje gušenja na liniji očitavalo bi se na
liniji kao promjena radijusa pri rotaciji uslijed promjene položaja, što će biti pokazano u
sljedećem poglavlju.
Smithov dijagram nam pruža sljedeće mogućnosti:
1. omogućava proučavanje svojstava prijenosne linije u smislu njenog ponašanja kao
transformatora impedancije,
2. omogućava određivanje ulazne impedancije linije poznate električne duljine
zaključene poznatim opterećenjem,
3. prikladan je kod računanja prilagođenja prijenosnih linija,
4. koristan je pri konstrukciji filtara i sl.
Impedancija kratkospojene i otvorene linije
Izrazimo koeficijent refleksije Γ(z) u nekoj točki z na liniji duljine l kao funkciju
od koeficijenta refleksije Γ(l) na kraju linije i udaljenosti x od kraja, odnosno opterećenja,
kao što je prikazano na sl. 10. Koeficijent refleksije na proizvoljnom mjestu na liniji je:
- 22 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
x
x = 0
~
Z p
z = 0
z
Slika 10. Računanje pomaka po liniji od tereta
z
a na kraju linije je:
Kako je z = l – x:
odnosno:
( z)
( )
( )
U z U
U z U
ref − j 2β
z
Γ = = e ,
up
U
U
− j 2
( l ) e
βl
Γ = .
U
− j 2β ( l−x)
U
− j 2βl − j 2β
x
Γ ( z) = Γ( l − x)
= e = e e ,
U U
+
+
+ +
− j2
( z) ( l) e
β x
Γ = Γ .
Izrazimo sada impedanciju u proizvoljnoj točki linije kao funkciju udaljenosti od kraja
linije i impedancije na kraju. Normirana impedancija u proizvoljnoj točki linije je:
a u točki opterećenja je:
Uvrstimo:
imamo:
Z
Z
( z)
( z)
( z)
( )
( )
1+ Γ 1+ Γ l e
= =
1− Γ 1− Γ l e
− j 2β
x
n − j 2β
x
n
( ) = i ( l )
Z l Z
Z
1+
pn
−1
e
Z
Γ =
Z
pn
pn
−1
+ 1
.
pn − j 2β
x
jβ
x
Z
pn
+ 1
e
n ( z)
= ⋅
Z 1
j x
pn
−
β
− j2β
x Z
pn
+ 1 e
1−
Z
Z
n
pn
( x)
e
+ 1
( Z
pn
+ 1)
( )
Z
pn
+ j tg β x
= .
1 + jZ tg β x
pn
,
,
Kao primjer uzmimo kratko spojenu liniju, slučaj koji opisuje sl. 11.a. Kako je Z pn = 0:
- 23 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
n
( ) tg
Z x = j β x .
Za x = 0 u tom slučaju je Z n (z) = 0, a na mjestu udaljenom za četvrtinu valne duljine od
kratkog spoja je:
x = λ ⇒ β x = π ⇒ tg β x = tg
π = ∞ ,
4 2 2
⎛ λ ⎞
što odgovara situaciji otvorenog kruga ( Z ⎜ x = ⎟ = ∞ ).
⎝ 4 ⎠
Ako promotrimo slučaj otvorene linije kao na sl. 11.b, imamo Z pn = ∞ te je:
n
( ) ctg
Z z = − j β x .
~
Zp = 0
~
Zp = ∞
z = l
z = l
x
x
λ 3*λ/4 λ/2 λ/4 0
λ 3*λ/4 λ/2 λ/4 0
a.
b.
Slika 11. a. Impedancija na kratkospojenoj liniji; b. Impedancija na otvorenoj liniji;
a b
Slika 12. a. Pomak za četvrtinu valne duljine od kratkog spoja na mjestu tereta;
b. Pomak za četvrtinu valne duljine od otvorenog kruga na mjestu tereta
- 24 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Pogledajmo te situacije na Smithovom dijagramu na sl. 12. Za slučaj
kratkospojene linije kružnica konstantnog koeficijenta refleksije je R n = 0 (obod), točka
kratkog spoja je T p a pomakom za kut α = π (četvrtina valne duljine) dolazimo u točku T 2
na suprotnom kraju kružnice R n = 0, koja odgovara otvorenom krugu. U slučaju otvorene
linije imamo obrnutu situaciju.
Stojni val na prijenosnoj liniji
Promotrimo rješenje za napon na liniji u ovisnosti o koordinati x (vidi sl. 10).
Našli smo da je koeficijent refleksije na liniji u ovisnosti o koeficijentu refleksije na
mjestu tereta Γ L = Γ(l):
− j β x
Γ x = Γ e .
( )
2
Relacija za napon na liniji može pisati u obliku:
⎡ U
−
U ( z) = U ( l − x) = U ( x)
= U
+
e ⎢1
+ e
⎣ U
+
L
jβ
( l−x) j 2β
( l−x)
Ova relacija predstavlja naponski stojni val koji nastaje vektorskim zbrajanjem upadnog i
reflektiranog naponskog vala. Odgovarajućim izborom parametara i konstrukcije
prijenosne linije mogu se proizvesti veoma visoki naponi i struje efektom stojnih valova.
Uzevši da je amplituda upadnog naponskog vala na mjestu tereta jednaka:
⎤
⎥ .
⎦
možemo pisati:
U
L
j l
= U e − β
+
,
jβ
x
( ) = ⎡1
+ Γ( )
U x U
Le ⎣ x ⎤⎦ .
Pretpostavimo da mjerimo detektorom amplitudu napona na prijenosnoj liniji
karakteristične impedancije Z 0 i električne duljine l izražene u valnim duljinama, kao na
sl. 13. Pri tome, pomicanje detektora po liniji od tereta prema generatoru znači kretanje u
pozitivnom smjeru osi x. Razložimo relaciju za napon na pojedine članove u sljedećem
obliku:
− j 2β
x jβ
x
U x = U + U Γ e e .
( ) ( L L L )
Uzmimo u fazorskom dijagramu napon na mjestu tereta U L kao referentni napon. Imamo
fazorski dijagram stojnog vala kao na sl. 14, pri čemu smo uzeli da je koeficijent
refleksije na mjestu tereta:
jϕ
Z
L L
− Z0
Γ
L
= Γ
L
e = .
Z + Z
Apsolutna vrijednost napona na izlazu detektora je:
L
0
odnosno:
( )
j( L 2 x)
L
1 −
L
U x = U + Γ e ϕ β
,
( ) 1 2 cos( ϕ 2β
)
2
L L L L
U x = U + Γ − x + Γ .
- 25 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
|U(x) |
Z 0
Z p
x
Slika 13. Mjerenje naponskog stojnog vala na liniji
Ekstremi stojnog (stacionarnog ili stajaćeg) vala mogu se odmah odrediti s pomoću
dobivene relacije:
⎧− ⎪ 1⇒ U
min
= U ( xmin
) = U
L ( 1− ΓL
)
cos( ϕL
− 2β
x)
= ⎨ ,
⎪⎩ + 1 ⇒ U
max = U ( xmax
) = U
L ( 1 + Γ
L )
pri čemu je položaj ekstrema odatle, uz n = 0,1,2,…:
( 2n
1)
ϕL
+ + π
xmin
= ,
2β
ϕL
+ 2nπ
xmax
= .
2β
Uočimo da je razmak između uzastopnih ekstrema stojnog vala jednak:
x
min
λ
− xmax
= ,
4
pa možemo zaključiti da se amplituda napona na liniji izmjenjuje nakon četvrtine valne
duljine, odnosno ponavlja nakon pola valne duljine, bez obzira na iznos i kut opterećenja.
Napon na liniji je:
j t
( , ) ( ) ( )
ω j⎡⎣
t+
( x)
⎤⎦
u x t = U x e = U x e ω φ
,
pri čemu je φ(x) faza napona u točki x na liniji, a ω = 2πf kružna frekvencija. Na sl. 15 dat
je primjer stojnog vala na punovalnoj liniji zaključenoj impedancijom u tijeku jedne
periode. Val se ponaša kao da diše, uočavaju se dolovi (čvorovi) i bregovi stojnog vala. U
čvoru se napon mijenja u manjim granicama između ±⎪U L ⎪(1 – ⎪Γ L ⎪), a visina brijega
oscilira od nule do ⎪U L ⎪(1 + ⎪Γ L ⎪).
Definirajmo sada koeficijent stojnih valova KSV kao omjer maksimalne i
minimalne vrijednosti amplitude napona na prijenosnoj liniji:
KSV
U
max
L
= = , − Γ
U
min
1+ Γ
1
L
- 26 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
U(0)
U L Γ L
-j2βx
U min
U L
ϕ L
U max
U(x)
U L Γ L exp(-j2βx)
Slika 14. Fazorski dijagram stojnog vala na prijenosnoj liniji
ZLn = 0,2 - j1
l = λ
t = t1
t = t2
U = ⎪U L⎪(1 + ⎪Γ L⎪)
čvor
t = t3
U = 0
t = t4
t = t5
U = ⎪U L⎪(1 - ⎪Γ L⎪)
U = -⎪U L⎪(1 - ⎪Γ L⎪)
t = t6
t = t7
U = -⎪U L⎪(1 + ⎪Γ L⎪)
x
Slika 15. Dijagram stojnog vala na punovalnoj liniji zaključenoj teretom normirane
impedancije Z Ln = 0,2 – j1 u tijeku jedne periode
pri čemu je za liniju bez gubitaka apsolutna vrijednost koeficijenta refleksije na liniji
konstantna, odnosno: ⎪Γ L ⎪=⎪Γ⎪= konst.
Promotrimo sada posebne slučajeve stojnog vala:
• prilagođenje: ( ) ( )
• kratki spoj: ( )
• otvoreni krug: ( ) ( )
Z = Z0 ⇒ Γ = 0, KSV = 1 ⇒ U x = U = konst.
,
L L L
Z = 0 ⇒ Γ = − 1,( KSV = ∞) ⇒ U x = 2 U sin β x ,
L L L
Z = ∞ ⇒ Γ = 1, KSV = ∞ ⇒ U x = 2 U cos β x .
L L L
Grafički, karakteristika naponskog stojnog vala u ovim karakterističnim slučajevima
izgleda kao na sl. 16. (Za vježbu ponovite ovu analizu stojnog vala za struju na liniji.)
Uočimo da su napon i struja u protufazi, odnosno ovisno o slučaju jedan prethodi ili
zaostaje za drugim četvrtinu valne duljine tj. za 90°. U slučaju prilagođenja amplituda
napona i struje je konstantna, odnosno nema stojnih valova na liniji. To je očekivano jer u
se u tom slučaju cijela energija upadnog vala apsorbira od strane prilagođene impedancije
opterećenja pa nema reflektiranog vala. Vidimo da se jedino tada linija s raspodijeljenim
parametrima može poistovjetiti s električnim krugom s koncentriranim parametrima.
Interesantno je u sklopu ove analize pobliže promotriti što se događa s
impedancijom na prijenosnoj liniji. Relaciju za impedanciju na liniji izveli smo prije:
- 27 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
SMJER PREMA GENERATORU
2
KS
OK
PRILAGOÐENJE
1
Normalizirani napon
1
0.75
Polozaj (λ)
0.5
0.25
0
0
OK
KS
2
PRILAGOÐENJE
1
Normalizirana struja
1
0.75
Polozaj (λ)
0.5
0.25
0
0
Slika 16. Dijagrami stojnog vala napona i struje na prijenosnoj liniji bez gubitaka u
slučajevima zaključenja linije kratkim spojem, otvorenim krugom i prilagođenom
impedancijom
( )
( )
U x + + Γ
Z ( x)
= = Z = Z = Z
I x Z + jZ x − Γ e − Γ x
− j 2β
x
Z
p
jZ0
tg β x 1+ Γ 1
Le
0 0 − j 2β
x 0
0 p
tg β 1
L
1
Prema tome, ekstremne vrijednosti impedancije na liniji su u točkama ekstrema stojnog
vala i realne su vrijednosti:
1+ ΓL
• maksimalna impedancija: Zmax = Z ( x = xmax ) = Z0 = Z0
⋅ KSV ,
1− Γ
1− Γ Z
Zmin = Z x = xmin = Z0
= ,
1+ Γ KSV
L 0
• minimalna impedancija: ( )
L
L
( x)
( )
.
- 28 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
i predstavljaju sjecišta kružnice konstantne amplitude koeficijenta refleksije na liniji i
pravca jX n = 0 u Smithovom dijagramu (posljedično, nalaze se na suprotnim stranama te
kružnice), kao što je prikazano na sl. 9c (prikaz u donjem desnom kutu slike). Nadalje,
znamo li da je period funkcije tangens jednak π, znači da se impedancija na liniji ponavlja
nakon pola valne duljine (jer je βx = π). No što ako se pomaknemo po liniji za četvrtinu
valne duljine? Tada je impedancija:
⎛ λ ⎞
⎛ λ ⎞
1+ Γ x
− j 2β
x+
4
j 2β
x
λ
⎜ + ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
⎛ ⎞ 4 1 1
1
Le
Le
Z x Z
⎝ ⎠ + Γ − Γ
− Γ
⎜ + ⎟ =
0
= Z0 = Z0 = Z
⎛ λ ⎞
− j 2β
x 0
=
⎝ 4 ⎠ ⎛ λ ⎞
− j 2β
⎜ x+
⎟ 1+ Γ 1
1 4
Le + Γ x Z x
− Γ x
⎝ ⎠
⎜ + ⎟ 1− Γ
4
Le
⎝ ⎠
( x)
Z0
( ) ( )
,
odnosno normirana impedancija:
⎛ λ ⎞ 1
Zn
⎜ x + ⎟ = = Yn
x
⎝ 4 ⎠ Z
n
( x)
( )
.
Dakle, pomakom po prijenosnoj liniji bez gubitaka za četvrtinu valne duljine dolazimo u
točku u kojoj mjerimo točno recipročnu vrijednost normirane impedancije iz prethodnog
očitanja, odnosno vrijednost normirane admitancije Y n . U Smithovom dijagramu
pomakom za četvrtinu valne duljine vala koji se propagira linijom bez gubitaka, odnosno
za kut 180° prelazimo iz normirane impedancije u normiranu admitanciju, odnosno te
dvije točke nalaze se na suprotnim stranama kružnice konstantne apsolutne vrijednosti
koeficijenta refleksije na liniji.
Neka je sada linija duljine jednake četvrtini valne duljine elektromagnetskog vala
koji se njome propagira. Možemo zaključiti da se sa ulaza četvrtvalne linije mjeri
recipročna vrijednost normirane impedancije opterećenja, odnosno njegova normirana
admitancija, kao što je prikazano na sl. 17. Stoga se četvrtvalna linija često naziva i
četvrtvalni transformator impedancije.
Tako, ukoliko je takva linija zaključena kratkim spojem, na ulazu se vidi otvoreni
krug i obrnuto, što je izvedeno i ranije (vidi sl. 11 i 12).
l = λ/4
Z 0 = 1/Y 0
Z pn
Y pn = 1/Z pn
Slika 17. Četvrtvalni transformator impedancije
- 29 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Homogene prijenosne linije s gubicima
Do sada smo razmatrali pojave na prijenosnoj liniji bez gubitaka, odnosno otpor
vodiča i vodljivost dielektrika između vodiča imali su vrijednost jednaku nuli. Sada se
želimo upoznati sa specifičnostima kod linija koje nisu idealne, odnosno kod kojih osim
raspodijeljenog induktiviteta i kapaciteta imamo i raspodijeljeni otpor i vodljivost. U tom
slučaju vrijedi općenitiji oblik jednadžbi homogene prijenosne linije:
∂u
⎛ ∂ ⎞ ⎫
= − ⎜ R + L ⎟i
∂z
t
⎝ ∂ ⎠ ⎪ ⎬ .
∂i
⎛ ∂ ⎞
= − G C u⎪
⎜ + ⎟
∂z
⎝ ∂t
⎠ ⎪ ⎭
Analizu ćemo ograničiti na slučaj harmonijskih napona i struja:
j t
( , ) = U ( z)
e ω i i ( z,
t) ( )
u z t
U tom slučaju su gornje jednadžbe ii :
dU
⎫
= − ( R + jωL)
I
dz
⎪
⎬.
dI
= − ( G + jωC ) U ⎪
dz
⎪⎭
j t
= I z e ω .
Deriviranjem prve jednadžbe po z i uvrštavanjem druge u dobivenu jednadžbu imamo:
2
d U
2
( R jωL)( G jωC ) U 0
dz
− + + = .
Sličnim deriviranjem druge jednadžbe dobivamo diferencijalnu jednadžbu za struju:
2
d I
2
( R jωL)( G jωC ) I 0
dz
Rješenje jednadžbe za napon je:
− + + = .
gdje je:
γ z γ z
( ) − +
U z = U e + U e ,
+ −
( )( ) 1 ⎤
2
γ = ⎡⎣ R + jωL G + jωC ⎦ = α + jβ
(!)
ii Poseban je slučaj linija s gubicima kada linija zrači dio energije u obliku elektromagnetskog vala (antena).
Tada to zračenje možemo uračunati tako da uz Jouleove gubitke uključimo imaginarni induktivitet –jL r i
imaginarni kapacitet –jC r po jedinici duljine te bi u jednadžbama umjesto R imali R + ωL r , a umjesto G član
G + ωC r . Uočimo da gubici uslijed elektromagnetskog zračenja prema ovom modelu rastu s frekvencijom.
- 30 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
konstanta propagacije i kompleksna je veličina. Njezin realni dio, označimo ga s α, je
konstanta gušenja, a imaginarni dio β je fazna konstanta (radijan po jedinici duljine).
Iz prethodnih relacija da se izračunati:
⎧1
2 2 2
2 ⎫
α =
⎡
( RG ω LC) ω ( LG RC ) RG ω LC
⎤
⎨ − + + + − ⎬
⎩2
⎢⎣
⎥⎦
⎭ ,
⎧1
2 2 2
2 ⎫
β =
⎡
( RG ω LC) ω ( LG RC ) RG ω LC
⎤
⎨ − + + − + ⎬
⎩2
⎢⎣
⎥⎦
⎭ .
U ranijim izlaganjima smo promatrali liniju bez gubitaka (R = G = 0), gdje je α =
0, a γ = jβ, pa se u tom slučaju β može nazivati i konstantom propagacije. Kao i ranije, i u
slučaju linije s gubicima rješenje valne jednadžbe predstavljaju dva vala od kojih jedan
propagira u smjeru rastućeg z (upadni val) brzinom ω/β:
up
γ z j ω t −α
z j( t − z)
U = U e − e = U e e ω β
.
+ +
Brzina kojom se prostire konstantna faza (fazna brzina) dobiva se kao:
1
2
1
2
te je:
ωt − β z = konst. d ,
dt
dz
ω − β = 0,
dt
dz
v = ω
dt
= β
.
Međutim, vidimo da se isti val i prigušuje s e -α po jedinici duljine linije. U – predstavlja
amplitudu povratnog vala koji se propagira u smjeru –z istom brzinom i jednakim
prigušenjem po jedinici duljine. Izvedimo sada s pomoću jednadžbe:
struju I:
dI
= − ( G + jωC ) U ,
dz
γ
I = − = U e + U e
R + jωL dz R + jωL
1 dU
z z
− γ
+ γ
( + − )
.
Uvrštavajući izraz (!) za konstantu propagacije imamo:
odnosno:
G + jωC
I = U e −U e
R + jωL
0
− γ z + γ z
( + − )
1 z z
( − γ
+ γ
+ − )
I = U e − U e ,
Z
,
- 31 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
gdje je Z 0 karakteristična impedancija linije s gubicima:
Z
0
=
R +
G +
jωL
jωC
,
pri čemu smo to ustvrdili samo na temelju fizikalne dimenzije. Prokomentirajmo stoga
fizikalni smisao te veličine. Pretpostavimo stoga da je prijenosna linija beskonačno duga.
Uslijed gubitaka na liniji (R ≠ 0, G ≠ 0), postoji gušenje pa se upadni val U + exp(–γz)
smanjuje kako napreduje duž linije. Konačno, u vrlo dalekoj točki val će se sasvim
prigušiti. Budući da smo pretpostavili da nema diskontinuiteta na liniji nego tek u
beskonačnosti, onda neće postojati reflektirani val, pa vrijede relacije za napon i struju na
takvoj liniji:
U z = U e −γ
( )
z
−γ
z
( ) = e
I z
+
γ
R + jωL
Napon i struja na liniji su u fazi, a njihov omjer:
( )
( )
U z R + jωL
= Z0
=
I z G + jωC
jednak je karakterističnoj impedanciji linije. Vidimo da je to zaista impedancija u bilo
kojoj točki linije (ne ovisi o položaju z na liniji) u slučaju postojanja samo jednog vala.
Možemo stoga reći i da se beskonačna linija ponaša kao idealno prilagođena prijenosna
linija proizvoljne duljine (ili obrnuto). Napomenimo još da se omjer U/I (ekvivalentno
E/H) odnosi na ravninu okomitu na smjer širenja vala, gdje je U napon u toj ravnini, a I
struja kroz ravninu.
Općenito, omjer napona i struje na nekom mjestu z = l – x linije je impedancija u
toj točki linije:
U
− 2γ z U
− 2γ l −2γ
x
1+ e 1+
e e
−2γ
x
U ( z)
U
+
U+
1+ ΓLe
Z ( z)
= = Z0 = Z0 = Z0 = Z
2 x
( x)
,
− γ
I ( z)
U
− 2γ z U
− 2γ l −2γ
x
1−
e 1−
e e
1− ΓLe
U
U
odnosno:
+ +
( )
Z x
( )
Z x
1+ Γ
= Z
e
e
jϕ
L 2γ
x
L
0 jϕL
2γ
x
1− ΓL
e e
1+ Γ
= Z
e
e
−2α
x jψ
L
0 −2α
x jψ
1− ΓL
e e
gdje je ψ = − 2β x + ϕL
.
Želimo ovdje naglasiti da se i problematika linija s gubicima može izučavati s
pomoću Smithovog dijagrama. Međutim treba uočiti da različitim točkama linije
odgovaraju različiti koeficijenti refleksije Γ i to ne samo po argumentu kao što je to slučaj
s linijom bez gubitaka, nego i po apsolutnoj vrijednosti zbog faktora e –2αx . To znači da
kretanje po prijenosnoj liniji odgovara kretanje po logaritamskim spiralama u Smithovom
.
,
,
- 32 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
dijagramu. Pri tome, naravno, moramo poznavati konstantu gušenja α. Koeficijent
refleksije na liniji je:
− 2 γ x − 2 α x − j 2 β x
Γ x = Γ l e = Γ l e e
( ) ( ) ( )
Dakle, udaljavanjem od tereta prema generatoru koeficijent refleksije na liniji, odnosno
njegova apsolutna vrijednost smanjuje se eksponencijalno.
Primjer.
Treba odrediti ulaznu impedanciju linije sljedećih karakteristika: karakteristična
impedancija Z 0 = 50 Ω, električna duljina l = 0,2λ i gušenja αl = 0,15 nepera. Impedancija
opterećenja na kraju linije je Z p = (100 + j70) Ω.
Najprije riješimo ovaj primjer kao da nema gušenja. Dakle:
Z
pn
100 + j70
= = 2 + j1,4
50
određuje točku T p na Smithovom dijagramu na sl. 18. Za istu liniju ali bez gubitaka
ulazna impedancija Z ul bila bi pomaknuta na kružnici konstantnog koeficijenta refleksije
⎪Γ⎪ = konst. (crtkano) u odnosu na impedanciju tereta Z p za kut:
2 2
α = π π
βl
= l 0,2λ
72
λ
= λ
⋅ =
prema generatoru, odnosno u negativnom smjeru. Tako dolazimo u točku Q na kružnici.
Međutim, zbog gušenja koeficijenta refleksije na liniji za faktor:
je:
e
= e = 0,742
−2αl
−2⋅0,15
( l )
Γ = 0,742 Γ .
ul
⎪Γ⎪ = konst.
Q
Slika 18. Rješenje primjera na Smithovom dijagramu za prijenosnu liniju s gubicima
duljine 0,2λ (lijevo) odnosno duljine 1,2λ (desno)
- 33 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Skratimo li u točki Q radijus kružnice 0,742 puta dolazimo do ulazne impedancije:
( )
Z = 0,575 − j0,47 ⇒ Z = 28,75 − j23,5
Ω .
uln
Primijetimo da je teret induktivnog karaktera, a da se s ulaza vidi impedancija
kapacitivnog karaktera. Slučaj duljine linije 1,2 valne duljine prikazan je na sl. 18 desno.
Usporedimo sada faznu brzinu linije bez gubitaka s faznom brzinom linije s malim
gubicima (R

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
2 2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 ⎛ R G ⎞ 1 ⎛ R G ⎞
β = ω LC ⎢1 + ...
2 ⎜ − ⎟ + ⎥ = β0
⎢1 + ...
2 ⎜ − ⎟ + ⎥ ,
⎢⎣ 8ω
⎝ L C ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ 8ω
⎝ L C ⎠ ⎥⎦
gdje je β0 = ω LC fazna konstanta linije bez gušenja.
Vidimo da konstanta gušenja prijenosne linije s malim gubicima ovisi isključivo o
parametrima linije i nije funkcija frekvencije. Znači da će se sve frekvencije iz spektra
signala koji se propagira linijom podjednako gušiti (uz pretpostavku da nema
elektromagnetskog zračenja). Međutim, fazna konstanta je ovisna o frekvenciji (efekt
drugog reda). To znači da je i fazna brzina:
2
ω 1 ⎡ 1 ⎛ R G ⎞ ⎤
v = = ⎢1 + ...
2 ⎜ − ⎟ + ⎥
β LC ⎢⎣
8ω
⎝ L C ⎠ ⎥⎦
ovisna o frekvenciji. Ova činjenica je uzrok izobličenja signala i u telekomunikacijama se
nastoji smanjiti njezin utjecaj. To je moguće ako je ispunjen tzv. Heavisideov uvjet:
R G
= .
L C
Razmotrimo i karakterističnu impedanciju linije s malim gubicima:
Z
0
1 ⎡ R ⎤
1−
⎡ R + jωL ⎤ 2
L ⎢ jωL
⎥
= ⎢
G jωC ⎥ = ⎢ ⎥
⎣ + ⎦ C ⎢ G
1−
⎥
⎢⎣
jωC
⎥⎦
Razvijmo dobiveni izraz u red potencija i zanemarimo članove drugog i viših redova:
1
2
.
R 1& G 1 L ⎛
0
1 jR ⎞⎛
1 jG ⎞ L ⎡
1
j ⎛
Z
R G ⎞⎤

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
napišimo jednadžbe homogene prijenosne linije s harmonijskom uzbudom i uzmimo
konjugiranom kompleksnu vrijednost druge jednadžbe i pomnožimo:
Zbroj tako dobivenih jednadžbi je:
dU
*
= − ( R + jωL)
I ⋅ I
dz
.
*
dI
= − ( G + jωC ) U ⋅U
dz
dU
dz
*
* dI
* *
I + U = − ( R + jωL) II − ( G + jωC ) UU .
dz
Uočimo da je:
*
( )
dU
I + U =
dz dz dz
*
d UI
* dI
te pomnožimo posljednji izraz s ½ i integrirajmo po z u granicama od z 1 do z 2 . Tada je:
* *
( ) ( ) ( ) ( )
z2
U z1 I z1 U z2 I z2 1
* *
= + ⎡( R + jωL) II + ( G + jωC ) UU ⎤ dz
2 2 2
∫ ⎣
⎦ .
z1
Gornji izraz predstavlja prosječnu snagu na mjestu z 1 prijenosne linije. Analizirajmo
pobliže taj izraz. Napišimo ga u obliku:
* *
( ) ( ) ( ) ( )
z
z
U z1 I z1 U z2 I z2 1 * * jω * *
= + + + ⎡ + ⎤
2 2 2 2 ⎣
⎦
2 2
∫ ( RII GUU ) dz ∫ ( LII CUU ) dz .
z1 z1
Vidimo da se kompleksna snaga, koja ulazi u razmatrani odsječak linije, troši dijelom na
zagrijavanje vodiča i dielektrika, dijelom se akumulira u električnom i magnetskom polju,
a ostatak izlazi na mjestu z 2 odsječka. Ovim je pokazano ono što smo tvrdili u početku.
Gušenje na prijenosnoj liniji
Recimo nešto više o gušenju na prijenosnim linijama. Do sada smo imali izraz za
gušenje:
⎧1
2 2 2
2 ⎫
α =
⎡
( RG ω LC) ω ( LG RC ) RG ω LC
⎤
⎨ − + + + − ⎬
⎩2
⎢⎣
⎥⎦
⎭ .
Uzimajući aproksimaciju za linije s malim gubicima dobivamo približnu vrijednost
konstante gušenja:
R G
R

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Kao što se vidi iz dobivenog izraza, konstanta gušenja je izražena pomoću parametara
linije. Jedinica za konstantu gušenja je neper po metru (N/m), odnosno [α(N/m)x8,686]
decibela po metru (1N = 8,686 dB). Budući da je gušenje prema definiciji smanjenje
amplitude za iznos e -α po jedinici duljine linije, promotrimo ponovo val kojim putuje
samo u jednom smjeru, primjerice upadni val:
−α
z − jβ
z
( )
U z = U e e ,
U
I ( z)
e e
Z
0
+
+ −α
z − jβ
z
= .
Srednja vrijednost radne snage u nekoj točki z linije može se izraziti (u slučaju upadnog
vala):
*
⎡UI
⎤ U
P = Re ⎢ ⎥ =
⎣ 2 ⎦ 2 Re
2
+ −2α
z
[ Z ]
Izračunajmo sada koliko se promijenila snaga po duljini linije. Ta promjena je:
2
⎛ U ⎞
+ −2α
z
∆⎜ e
⎜
2
2 Re[ Z0
] ⎟
d U
2 z
dP
lim
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= + − α
e
= − 2α
P = ,
∆z dz ⎜ 2 Re[ Z0
] ⎟
⎝
⎠
dz
∆z→0
0
e
.
iz čega slijedi da je:
Budući je:
*
( )
d UI
dz
dP
α = − dz .
2P
( ω ) ( ω )
* *
= − R + j L II − G + j C UU ,
uvrstimo li za napon i struju samo upadni val imamo:
Kako je:
*
( )
d UI
dz
2
+ − 2 2 − 2α
z
*
+
0 0
U
α z
= − ( R + jωL) e − ( G + jωC ) U e .
2Z Z
*
2
dP d ⎡ UI ⎤ R U
+ −2α
z G 2 −2α
z
= Re e U e
2 2
2
+
dz dz
⎢ ⎥ = − −
⎣ ⎦ Z0
2
,
slijedi za konstantu gušenja izraz:
- 37 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
U ⎛ ⎞ 1
2 2
α = + =
2
+ R
−2α
z
+ G e
2
⎜ Z ⎟
⎝ 0 ⎠
*
UI
2 Re 2
U
2
+
2
⎛ R
⎜
⎝ Z
2
0
2
U +
2 Re Z
⎞
+ G
e
⎟
⎠
0
e
−2α
z
−2α
z
R
+ G
2
1 Z0
= .
2 1
Re Z
0
Budući da je za:
znači:
Stoga je:
⎡ j ⎛ R G ⎞⎤
R

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
2. Trakaste linije
Imajući u vidu značenje mikrovalne linije kao neizostavnog dijela svakog
mikrovalnog sklopa kojom se realiziraju pasivni elementi mreže, jasno je da se koriste
različite konfiguracije linija, primjerice koaksijalni valovod. U gradnji mikrovalnih
integriranih sklopova (MIC) često se koristi trakasta linija koja može imati različite
oblike. To je posebno slučaj kod sklopova koji koriste poluvodičke komponente,
dakle male snage, u koje se planarne linije mogu jednoznačno i elegantno ugraditi.
Valovodi se koriste kod većih snaga i frekvencija viših od cca 2 GHz.
Osnovni tipovi trakastih linija su sljedeći.
1. Mikrotrakasta linija
Sastoji se od dielektrične podloge (supstrata) koji je metaliziran po čitavoj jednoj
površini, a tanka metalna vrpca je na drugoj površini, kao što je prikazano na sl. 1.
y
w
h
b
ε r
z
x
2. Linija s prorezom
Slika 1. Mikrotrakasta linija (microstrip line)
Kod linije s prorezom su vodiči linije u istoj ravnini, kao što se vidi na sl. 2.
ε r
Slika 2. Linija s prorezom (slot line)
3. Koplanarni valovod
Koplanarni valovod prikazan je na sl. 3.
- 39 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Slika 3. Koplanarni valovod (coplanar waveguide)
Sve ove planarne linije su nehomogene jer se elektromagnetski val propagira
dijelom kroz dielektričnu podlogu (ε r ≠ 1), a dijelom kroz zrak. Propagacija se stoga
odvija s pomoću hibridnih modova, koji imaju svih šest komponenti
elektromagnetskog polja (i transverzalne i longitudinalne). Kod mikrotrakaste linije su
međutim longitudinalna komponenta E z električnog i longitudinalna komponenta H z
magnetskog polja vrlo male amplitude, pa se može smatrati da se val propagira kvazitransverzalnim
elektromagnetskim modom (kvazi-TEM).
Mikrotrakasta linija
Karakteristične veličine odnosno parametri mikrotrakaste linije su sljedeći:
h – debljina dielektrične podloge,
ε r – relativna dielektrična konstanta (ovisi o primjeni, a često je 10 ili više),
w – širina trake, koja je istog reda veličine kao i h,
b – debljina trake (b/h

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Slika 4. Električno polje u presjeku mikrotrakaste linije
E
∇× H = ε ∂
,
∂t
ex ey ez
∂ ∂ ∂ ∂
= ε e E + e E + e E
∂x ∂y ∂z ∂t
H H H
x y z
( x x y y z z )
Izjednačavajući x komponente vektora u posljednjoj jednadžbi dobivamo:
.
∂H z
∂H ∂E
y
x
− = ε
∂y ∂z ∂ t
.
Dakle na granici vrijedi:
⎧ ∂H
∂H
z
y ∂Ex
⎪ − = ε
⎪ ∂ y z t
diel. ∂
diel.
∂
y = h ⇒ ⎨
⎪∂H
∂H
∂E
− = ε
⎩
Zbog (•) imamo:
diel.
z
y
x
⎪
0
∂ y z t
zrak ∂
zrak ∂
zrak
.
∂H
∂H
∂E
∂E
∂H
∂H
∂y ∂z ∂t ∂t ∂y ∂z
z
y
x
x
z
− = ε
rε 0
= ε
rε 0
= ε
r
−ε
r
diel. diel.
diel.
zrak
zrak
∂H
z
∂H
∂H
z
y
− ε
r
= ( 1−ε
r ) .
∂y ∂y ∂z
diel.
zrak
y
zrak
,
Za ε r = 1 i H y ≠ 0 desna strana je različita od nule, pa stoga i lijeva, što opet znači da
je longitudinalna (aksijalna) komponenta magnetskog polja H z različita od nule. Tako
se može zaključiti da se uslijed postojanja granice zrak – dielektrik ne može prostirati
samo TEM mod koji bi bio bez aksijalne komponente magnetskog polja. Međutim da
se pokazati da su te komponente malene. Istaknimo da se aksijalna komponenta H z
javlja i u slučaju da pokušamo zadovoljiti gornju jednadžbu na način da transverzalnu
komponentu H y magnetskog polja izjednačimo s nulom, odnosno da bi postojalo
magnetsko polje u tom slučaju mora postojati i H z komponenta zbog solenoidalnog
karaktera magnetskog polja (divergencija magnetskog polja jednaka je nuli).
- 41 -

ε 0
ε e = ε re ε 0
MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
h
ε r ε 0
⇒
Slika 5. Ekvivalentni model mikrotrakaste linije
U slučaju da je cijeli prostor ispunjen homogenim dielektrikom, tada ne bi bilo
problema određivanju fazne brzine vala na liniji, jer bi val bio zaista TEM. Stoga se
problem tretira na sljedeći način. Razmatra se fiktivna linija istih dimenzija kao i
stvarna ali gdje je traka "utopljena" u dielektrik, kao što je prikazano na sl. 5. Potom
se odredi zamjenska veličina, ekvivalentna relativna dielektrična konstanta ε e koja
ovisi o relativnoj dielektričnoj konstanti ε r i debljini h podloge:
e
( ε , h)
ε = f .
Dakle, kad bi imali mikrotrakastu liniju čiji je dielektrik čisti vakuum (ε r = 1) imali bi
TEM mod i brzinu propagacije:
v
0
r
1
= .
ε µ
0 0
Uzmimo da je kapacitet po jedinici duljine takve linije C 0 i da je isti kao u
elektrostatičkom slučaju. Zanemarujući gubitke koji se mogu pojaviti na liniji, njena
karakteristična impedancija bila bi:
1
Z0
= .
v C
Ako sada pretpostavimo fiktivnu mikrotrakastu liniju gdje je cijeli prostor ispunjen
dielektrikom relativne permitivnosti ε r tako da je traka "utopljena" u taj medij vrijedi
zbog µ r ≅ 1:
v0
1 Z0
vd
= , Cd
= ε
rC0
i Zd
ε
= v C
= ε
.
r
0 0
d d r
Kod realne mikrostrip linije gdje je između trake i uzemljene ravnine dielektrik
relativne permitivnosti ε r > 1 a iznad traka zrak ε r ≈ 1 kao na sl. 5 lijevo, može se
pretpostaviti da se vrijednosti fazne brzine vala na liniji v m , kapaciteta po duljini linije
C m i karakteristične impedancije Z m nalaze negdje između navedenih vrijednosti koje
bi bile da je cijeli prostor vakuum, odnosno ispunjen homogenim i izotropnim
dielektrikom:
v < v < v ,
d
m
C > C > C ,
d
m
Z < Z < Z .
d
m
0
0
0
- 42 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Nadalje se može definirati:
v
v
C
0
m
= ,
m ref 0
ε
ref
Z0
= ε C i Zm
= ,
ε
pri čemu je: 1 < ε
ref
< ε
r
. Efektivna dielektrična konstanta se može definirati kao:
ref
pri čemu je:
ε
ref
( ε )
= 1+ q − 1 ,
r
( )
q = q h, ε r
< 1.
Uobičajene su aproksimacije za efektivnu dielektričnu konstantu za različite debljine
podloge h i širine trake w. Pri tome se pojavljuju aproksimacije različitih autora od
kojih ćemo navesti jednu od najčešće korištenih. Za različite relativne širine trake
vrijedi, uz pretpostavku da je traka beskonačno tanka (b = 0):
w
h
1
⎧
−
2
⎪ 1 1 ⎛ h ⎞
ε
ref
= ( ε
r
+ 1) + ( ε
r
− 1)
1+
12
w
⎜ ⎟
⎪
2 2 ⎝ w ⎠
> 1⇒ ⎨
,
−1
h ⎪ 120π
⎡ w ⎛ w ⎞⎤
⎪Zm
= ⎢ + 1,393 + 0,667 ln ⎜1,444
+ ⎟ ( Ω)
ε h
h
⎥
⎪⎩
ref ⎣
⎝ ⎠⎦
1
⎧ ⎡ −
2 ⎤
2
⎪ 1 1 ⎛ h ⎞ ⎛ w ⎞
ε
ref
= ( ε
r
+ 1) + ( ε
r
− 1)
⎢ 1+ 12 + 0,04 1−
⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎪ 2 2 ⎢⎝ w ⎠ ⎝ h ⎠ ⎥
≤1⇒ ⎨ ⎣
⎦ .
⎪ 60 ⎛ 8h
4w
⎞
⎪ Zm
= ln ⎜ + ⎟ ( Ω)
ε w h
⎪⎩
ref ⎝ ⎠
Dane relacije ne uzimaju u obzir malu, ali konačnu debljinu b trake. Relacija koja bi
to uzela u obzir mogla bi umjesto stvarne širine trake w uzeti efektivnu širinu w ef
zamišljene beskonačno tanke trake koja ju korigira za zadanu debljinu b:
pri čemu je:
w
ef
b ⎛ 2 x ⎞
= w + ⎜1+
ln ⎟
π ⎝ b ⎠ ,
⎧ h 1
h,
>
⎪ w 2π
x = ⎨ .
⎪ h 1
4 π w,
≤
⎪⎩ w 2π
Primijetimo da je za b = 0 efektivna širina trake jednaka stvarnoj w ef = w. Konačno,
trebalo bi uzeti u obzir i činjenicu da su relacije za određivanje linijskog kapaciteta C 0
i funkcije q dobivene metodama elektrostatike, pa su neovisne o frekvenciji.
Uzimajući u obzir i frekvencijsku ovisnost (vremenska disperzija signala) može se
relativna efektivna permitivnost korigirati kao:
- 43 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
10 3 Normalizirana širina trake
εr = 1
εr = 2.3
εr = 2.55
εr = 4.8
εr = 6.8
Karakteristicna impedancija (Ω)
10 2
10 1
εr = 10
εr = 20
10 0
10 -1 10 0 10 1 10 2
Slika 6. Dijagram karakteristične impedancije mikrotrakaste linije u ovisnosti o
normaliziranoj širini trake i permitivnosti podloge
gdje je:
a:
ε − ε
ε , 0
ref
ε
r
ε
2 ref
ε
ref
⎛ f ⎞
1+ G⋅⎜ ⎟
⎝ fd
⎠
( 0
)
r ref 0
( f ) = − = ( f = )
f
d
= 1 Zm
2µ
⋅ h
,
G = 0,6 + 0,009Z
m
.
0
,
Napomenimo da ako je f ⇒ ≐ ⎢ B − + − ⎥ + ⎡B −1− ln ( 2B
−1)
⎤
h h ε
rπ ε
r
π
⎣ ⎦ ,
⎣
⎦
r
r
- 44 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
B
π
Z
0
= ⋅ .
2 ε Z
r m
Ovo znači da, ako se želi dizajnirati mikrotrakastu liniju određene karakteristične
impedancije Z m , može se izračunati faktor A te provjeriti zadovoljava li nejednakost w
> 2h; ako ne zadovoljava potrebno je izračunati faktor B, te odrediti normaliziranu
širinu trake koja mora biti veća od dva.
Uz našu aproksimaciju da se na mikrostrip liniji propagira TEM mod, uz
korigiranu efektivnu dielektričnu konstantu vrijedi da su fazna brzina i valna duljina
signala koji se propagira na liniji:
v
p
c λ0
= i λg
= ,
ε ε
re
re
pri čemu je λ 0 valna duljina ravnog vala u slučaju njegovog širenja u slobodnom
prostoru. Prisjetimo se da efektivna permitivnost ovisi o normaliziranoj širini trake, pa
tako to isto vrijedi i za faznu brzinu vala i njegovu valnu duljinu, a posljedično i za
faznu konstantu:
2π
βg
= .
λ
Da bi imali kompletnu informaciju o karakteristikama linije, treba uzeti u obzir i da su
prisutni gubici na liniji, i to u vodiču α c i u dielektriku α d . Gubici u vodiču u
decibelima po metru duljine linije daju se procijeniti s pomoću relacija:
g
⎛ wef
⎞
32 − ⎜ ⎟
w
R h
S
⎛ dB ⎞
≤1⇒ αc
= 1,38 Ac
⋅
⎝ ⎠
2 ⎜ ⎟ ,
h hZm
⎛ w m
ef ⎞ ⎝ ⎠
32 + ⎜ ⎟
⎝ h ⎠
⎡ w
ef
ef ⎤ ⎛ w ⎞
0,667 32 −
w
5 RS Zmε
⎢ w
re ef
h dB
1
c
6,1 10
h
⎥ ⎜ ⎟
−
⎛ ⎞
≥ ⇒ α = ⋅ Ac
⋅
⎝ ⎠
⎢ + ⎥ 2
h h h w
⎜ ⎟ ,
⎢
ef
m
+ 1, 444⎥
⎛ w 32
ef ⎞ ⎝ ⎠
⎢ h
+
⎣
⎥ ⎦ ⎜ ⎟
⎝ h ⎠
gdje je:
h ⎡ 1,25 2 x ⎤
Ac
= 1+ 1 ln
w ⎢
+
⎣ π b ⎥
⎦ ,
ef
2
2
pri čemu je faktor x kao i prije, a površinski otpor R S ovisi o specifičnoj vodljivosti
korištenog metala σ c i frekvenciji signala f i jednak je:
πµ f
RS
= .
σ
c
- 45 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
U praksi se međutim koristi gornja granica za iznos gubitaka uslijed konačne
vodljivosti vodiča:
8,686RS
⎛ dB ⎞ RS
⎛ N ⎞
αcmax
= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
wZ ⎝ m ⎠ wZ ⎝ m ⎠ .
Gubitke u dielektriku možemo opisati relacijom:
m
ε
r
ε
re
− 1 1+
tgδ
αd
= 27,3 ⋅ ⋅ ,
ε −1
ε λ
r
re
m
0
pri čemu je δ kut gubitaka za dielektrik vodljivosti σ c :
σ
d
tgδ
= .
ωε ε
r
0
- 46 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
3. Valovodi
Refleksija i lom ravnog vala na granici dvaju sredstava
Pod pretpostavkom homogenog propagacijskog medija bez gubitaka valnu
jednadžbu možemo pisati u obliku:
2
2 R
R µε ∂
0
2 ,
∇ − =
∂t
pri čemu se ova jednadžba može odnositi na električno ili magnetsko polje, odnosno:
Ako je uzbuda harmonijska vrijedi:
R → E ∧ H .
R x, y, z, t = R x, y, z e ⇒ ∇ R − ω µε R = 0
jωt
2 2
( ) ( )
Ako se radi o propagacijskom mediju s gubicima tada uzimamo da je:
σ ≠ 0 ⇒ G = σ E ,
odnosno osim struja pomaka postoji i konduktivna gustoća struje u smjeru električnog
polja pa treba raditi s valnom jednadžbom u obliku:
⎛ σ ⎞
ω µε ⎜1 ⎟ 0 ,
⎝ ωε ⎠
2 2
∇ R − + j R =
te tada umjesto realne dielektrične konstante:
ε = ε ε ,
0 r
imamo kompleksnu dielektričnu konstantu:
⎛
ε′ = ε ε′
= ε ⎜ε
+
⎝
0 r 0 r
j
σ ⎞
⎟ .
ωε0
⎠
Za sada se ograničavamo na pojednostavljeni slučaj bez gubitaka. Valnu jednadžbu
možemo riješiti za slučaj električnog polja, pa uslijed sveze:
rotE = − jωµ
H
slijedi rješenje za magnetsko polje. Promotrimo elektromagnetski val koji propagira u
smjeru osi z', kako je prikazano na sl. 1. Smjer propagacije z' određen je s:
v× e ′ = 0 ,
z
- 47 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
pri čemu je v iznos brzine propagacije vala u promatranom mediju, pa je stoga u
ravnini okomitoj na os z' (točka T):
r ⋅ e ′ = 0 .
z
Polarizacija elektromagnetskog vala definirana je smjerom vektora električnog polja u
odnosu na ravninu incidencije vala. Ravnina incidencije je ravnina prostiranja
elektromagnetskog vala, a određuju je normala na graničnu plohu i vektor smjera
propagacije. Ako je vektor električnog polja paralelan ravnini incidencije govorimo o
paralelnoj (vertikalnoj) polarizaciji, a ako je okomit na tu ravninu govorimo o
normalnoj (horizontalnoj) propagaciji.
Rješenje valne jednadžbe u slučaju električnog polja je:
j( t r ) j( t r)
E E e ω β
− ⋅
E e
ω
+ β
⋅
= + ,
1 2
gdje je vektor smjera propagacije:
ω
β = v = β
2 z ′ ez
′ ,
v
pa je:
β ⋅ r = β e ⋅ r = β .
z′ z′ z′
Vektori E1
i E2
su kompleksne amplitude upadnog i reflektiranog vala i funkcije su
isključivo prostornih koordinata. S pomoću rješenja za električno polje korištenjem
spomenute Maxwellove jednadžbe dolazimo do rješenja za magnetsko polje u obliku:
z
z'
e
z ′
T
r x y z
0 y
r = xe + ye + ze
x
Slika 1. Koordinatni sustav za opis geometrije propagacije elektromagnetskog vala
- 48 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
E
z'
H
Slika 2. Prikaz ravnog elektromagnetskog vala u fiksnom vremenskom trenutku
pri čemu je:
1
j( t r) j( t r )
H { e ⎡
ω −β ⋅
ω + β ⋅
=
z′
× E1e + E2e
⎤
η ⎢⎣
⎥⎦
},
µ
η = ,
ε
karakteristična impedancija sredstva u kojem se propagira elektromagnetski val. Kao
što je vidljivo iz njihovih rješenja, električno i magnetsko polje međusobno su u fazi s
obzirom na vremensku ovisnost, a prostorno su pomaknuti za kut π/2, i nema
komponente u smjeru propagacije (longitudinalne komponente). Ukoliko postoji samo
upadni val, slika vala u prostoru u nekom trenutku vremena izgleda poput one na sl. 2.
Pretpostavimo sada da ravni elektromagnetski val koji se propagira u homogenom i
izotropnom mediju permitivnosti ε 1 i permeabilnosti µ 1 upada na idealno ravnu i
glatku površinu homogenog i izotropnog sredstva permitivnosti ε 2 i permeabilnosti µ 2 ,
kao što je prikazano na sl. 3. Da bi rješenja za polje zadovoljila granične uvjete mora
vrijediti Snellov zakon loma:
sinθ
′′ v =
2 ,
sinθ
v
i zakon refleksije zbog:
β′ = β ⇒ θ = θ′
.
Neka je upadni val polariziran okomito na ravninu incidencije, odnosno:
pa možemo pisati:
θ
y
y
1
E = e E ,
ε 1 , µ 1
x ε 2 , µ 2
β ′
β ′′
θ’ θ’’
z
β
Slika 3. Refleksija i lom ravnog vala na granici dvaju sredstava
- 49 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
β ⋅ r =
θ e +
θ e ⋅
xe + ye + ze
⇒ E = e E
= e E e β θ θ
β′ ⋅ r =
θ e −
θ e ⋅
xe + ye + ze
⇒ E′ = e E′ = e E′
e β θ θ
β′′ ⋅ r =
θ′′ e +
θ′′ e ⋅
xe + ye + ze
⇒ E′′ = e E′′ = e E′′
e β θ θ
( sin
x
cos
z ) ( x y z ) y y y y1
− j ( xsin
+ z cos )
,
( sin
x
cos
z ) ( x y z ) y y y y1
− j ( xsin
−z
cos )
,
( sin
x
cos
z ) ( x y z ) y y y y1
− j ( xsin
′′ + z cos ′′ )
U dijelu prostora ispunjenim sredstvom 1 ukupno polje je zbroj vektora upadnog i
reflektiranog vala, pa je tu ukupno električno polje:
( sin cos )
⎛
j x z
E′
⎞
− β θ + θ y1 j 2β z cosθ
Ey = E + E′
⇒ Ey = Ey
1e 1+
e
⎜
.
E ⎟
⎝ y1
⎠
Primjenjujući definiciju koeficijenta refleksije kao omjera reflektiranog i upadnog
vala imamo:
E′
y1 j2β
z cosθ
Γ ( z)
= e ,
E
pa možemo pisati konačno:
j ( xsin
z cos )
Ey
= Ey1e − β θ + θ
⎡⎣ 1+ Γ( z)
⎤⎦ .
y1
Očigledno postoji stojni val u smjeru osi z, odnosno okomito na graničnu površinu, i
val koji propagira u smjeru osi x i osi z. Ako je sredstvo 2 idealni vodič ε 2 = ∞ tada je
polje u tom dijelu prostora jednako nuli (E'' = 0). Na granici dvaju sredstava vrijedi E y
= 0, odnosno:
E′
y1
z = 0 ⇒ E′
y1 = −Ey
1
& Γ ( z = 0) = ⇒ Γ ( z = 0)
= − 1,
E
pa uvrštavajući taj rezultat u prethodnu relaciju za koeficijent refleksije dobivamo:
y1
2 cos
( ) 1 j z
Γ z = − ⋅ e β θ ,
što opet uvrštavamo u relaciju za ukupno polje kao funkciju prostornih koordinata i
vremena, uvažavajući da je pretpostavljena harmonijska uzbuda:
j( ωt−β xsinθ
)
y1
( β θ )
E = − 2 jE e sin z cos .
y
Dakle, val se potpuno reflektira na graničnoj plohi (⎪Γ(z = 0)⎪ = 1). Ukupno polje u
sredstvu 1 možemo interpretirati kao da se sastoji od dva vala: jednog stojnog vala u
smjeru okomitom na graničnu plohu i jednog putujućeg vala sa smjerom širenja duž
granične plohe. Val koji se propagira uz graničnu plohu, odnosno u smjeru osi x:
ωt − β xsin
θ = konst. d ,
dt
dx
ω − β sinθ
= 0 .
dt
Definirajući faznu brzinu kao brzinu napredovanja faze vala u vremenu imamo:
.
- 50 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
v
p
= dx ω
dt
= β sinθ
.
Kako je sinθ ≤ 1, fazna brzina mjerena duž granične plohe veća je od brzine u smjeru
propagacije:
ω
vp
≥ vpn
= .
β
Potražimo položaj prve ravnine paralelne s graničnom površinom na kojoj je
zadovoljen uvjet E y = 0. To će biti za:
( )
− sin β z cosθ = 0 ⇒ − β z cos θ = nπ
, n = 0,1, 2,.... ,
odnosno uvažavajući da je fazna konstanta:
2π nπ nλ
β = ⇒ − z = = .
λ β cosθ 2cosθ
Prva nula električnog polja je:
λ λn
− z = = ,
2cosθ
2
dakle na pola valne duljine od granične površine.
Postavimo sada dvije idealno vodljive ravnine tako da su međusobno
razmaknute za b, okomito na smjer električnog polja (os y), odnosno paralelno XZ
ravnini, kao što je prikazano na sl. 4. Na vodljivim ravninama y = 0 i y = b vrijede
granični uvjeti:
⎧⎪
n ⋅ D = ζ
⎨ ,
⎪ ⎩n
× H = κ
pri čemu je ζ površinska gustoća naboja u amper-sekundama po metru kvadratnom, a
κ iznos površinske gustoće struje u amperima po metru, a normala je u smjeru osi y,
odnosno suprotnom, ovisno o graničnoj površini koju promatramo.
y
σ = ∞
– ρ
– – – – – – – y = b – – – – – –
E = e E x z
y y y
( , )
ε 0 , µ 0 , σ = 0
z
+ + + + + + + + + + + + +
+ ρ
y = 0
σ = ∞
Slika 4. Postupak formiranja valovoda na osnovi fenomena refleksije
- 51 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Dakle, imamo:
⎧
⎪ey
⋅ ( ε
0
E)
= ζ
y = 0 ⇒ ⎨ i
⎪⎩ ey
× H = κ
⎧
⎪ey
⋅ ( ε0
E)
= −ζ
y = b ⇒ ⎨ .
⎪ ⎩ − ey
× H = κ
Ako sada uzmemo u obzir da u smjeru z postoji stojni val, može se zaključiti da je
moguće dobiti propagaciju elektromagnetskog vala u cijevi pravokutnog presjeka duž
granične plohe, kao što je prikazano na sl. 5. Valna duljina tog vala koji se propagira
strukturom jednaka je:
λ
λg
= λp
= .
sinθ
Prema sl. 6, imamo:
λ λ λ
λg
= = =
sinθ 1− cos 2 θ ⎛ nλ
⎞
2
1− ⎜ ⎟
⎝ 2a
⎠
Ako izraz pod korijenom postane jednak nuli tada λ p → ∞, pa propagacija prestaje,
odnosno kritična valna duljina λ c je za određenu širinu ovako konstruiranog
pravokutnog valovoda poprečnog presjeka širine a i visine b:
nλc
2a
= 1⇒ λc
= .
2a
n
U tom slučaju je fazna konstanta u smjeru propagacije (osi x):
pa možemo pisati:
2
2 ⎛ nλ
⎞
g
= sin = 1− cos = 1− ⎜ ⎟
β β θ β θ β
⎛ λ ⎞
βg
= β 1− ⎜ ⎟
⎝ λc
⎠
2
⎝ 2a
⎠ ,
⎛ fc
⎞
ili βg
= β 1− ⎜ ⎟
⎝ f ⎠ ,
2
y
x
y = b
y = 0
z = –a
r
z = 0
z
Slika 5. Pravokutni valovod
- 52 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
x
E y
z
λ
λ p
θ
Slika 6. Odnos valne duljine upadnog vala i valne duljine vala koji se propagira duž
osi x
pri čemu je f c kritična frekvencija. Ako za valnu duljinu signala u danom sredstvu
vrijedi:
v 2a
jβg
x −βg′
x
λ = ≥ λc = ⇒ βg = jβ′ g
⇒ e = e , β ′
g
∈ R ,
f n
odnosno imamo gušenje duž osi x.
Homogeni valovodi
U poglavlju 1. pokazali smo da možemo istraživati prijenosne linije
analiziranjem elektromagnetskog polja, ali također do istih rezultata dolazimo
analizom napona i struje na liniji. U ovom poglavlju želimo pokazati da se prijenosne
linije iz prethodnog poglavlja mogu shvatiti kao specijalni slučaj u teoriji idealnih
homogenih valovoda. Za razliku od koaksijalne linije gdje kod jedne frekvencije
može postojati samo jedan mod propagacije, kod valovoda može postojati i koristi se
više modova. U kasnijim razmatranjima pokazat ćemo da svakom od tih modova
možemo pridružiti po jednu prijenosnu liniju. Govoreći o homogenim valovodima,
uočimo da se njihova homogenost očituje u identičnim presjecima u svim ravninama
koje su okomite na smjer propagacije elektromagnetskog vala.
Valovodi s idealno vodljivim stjenkama
Razmatranja o valovodima upućuju nas na rješavanje valnih jednadžbi u
valovodu. Kao što je istaknuto njihova rješenja omogućavaju postojanje više modova
- 53 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
propagacije. Također, rješenja tih jednadžbi moraju zadovoljiti granične uvjete koji za
idealno vodljive stjenke valovoda glase:
n× E = 0 ⇒ Et
= 0
n× H = κ
,
n ⋅ D = ζ
n ⋅ B = 0 ⇒ B = 0
gdje je E t tangencijalna komponenta električnog polja s obzirom na promatranu
površinu, B n iznos vektora normalne komponente magnetske indukcije, a n iznos
vektora normale na tu površinu. Kao što je već navedeno ζ je površinska gustoća
naboja, a κ iznos površinske gustoće struje.
Nadalje pretpostavimo da su uzbudna polja kao i kod prijenosnih linija
harmonijske funkcije vremena, odnosno:
jωt
∂
B, D, E,
H ∼ e ⇒ = jω
.
∂t
U razmatranju pođimo od Maxwellovih jednadžbi kojem vrijede u svakoj točki
prostora, pa tako i unutar homogenog i izotropnog valovoda:
∂B
rot E = − = − jωµ
H ,
∂t
∂D
rot H = = jωε
E ,
∂t
div B = 0 ⇒ div H = 0 ,
div D = 0 ⇒ div E = 0 .
n
y
z
Slika 7. Homogeni valovod
x
- 54 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Želimo li eliminirati jednog od vektora polja iz gornjih jednadžbi, izračunajmo rotor
prve jednadžbe:
rot rot E = − jωµ rot H = − jωµ jωε E = ω µε E .
( )
2
Budući da vrijedi:
rot rot E = grad div E − ∇ ⋅∇ E
( )
možemo uz upotrebu posljednje Maxwellove jednadžbe za homogeni valovod pisati:
odnosno u Kartezijevim koordinatama:
,
2
rot rot E = −∇ E = −∆E
2 2 2
∂ E ∂ E ∂ E
rot rot E = −∆ E = − − − .
2 2 2
∂x ∂y ∂z
Dakle, možemo pisati Helmholtzovu jednadžbu za električno polje, a slično bi dobili i
za magnetsko polje:
2
∆ E + ω µε E = 0 ,
2
∆ H + ω µε H = 0 .
Ove jednadžbe možemo napisati u obliku:
∆ + E = 0 ,
∆ + H = 0 .
( ω 2 µε )
( ω 2 µε )
Ove jednadžbe vrijede u svakoj točki unutar valovoda, a sada želimo naći rješenje za
električno i magnetsko polje unutar valovoda koja zadovoljavaju granične uvjete.
Promotrimo homogeni valovod proizvoljnog presjeka kao na sl. 7. Smjer propagacije
je smjer osi z, odnosno paralelan je stjenkama valovoda, pa je na granici E z = 0.
Presjeci valovoda mogu biti pravokutni, kružni, sa srednjim vodičem i sl. Rješenja će
imati oblik:
j( t g z)
E ( x, y, z, t) = E ( x,
y)
e ω ∓ β
,
j( t g z)
H x, y, z, t = H x,
y e ω ∓ β
.
( ) ( )
Do ovih rješenja može se doći rješavanjem pomoću Fourierove metode za rješavanje
parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, ali i intuitivno. Protumačimo stoga to rješenje.
Ono sadrži faktor ovisan o vremenu e jωt što je očekivano uzmemo li u obzir da smo
već istaknuli da su električno i magnetsko polje harmonijske funkcije vremena. S
druge strane, činjenica da se elektromagnetski val propagira u smjeru osi z, a da su svi
transverzalni presjeci duž osi z isti, omogućuje na da izdvojimo faktor e ±jβz koji
karakterizira ovisnost polja o koordinati z.
Činjenica da smo ovisnost funkcije polja o prostornim koordinatama razdvojili
na faktore kojih je jedan funkcija isključivo transverzalnih koordinata x i y, a drugi
- 55 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
longitudinalne z odnosno one duž koje se elektromagnetski val propagira, sugerira
nam da Laplaceov operator ∆ napišemo kao:
2
∂
∆ = ∆
tr
+ . ∂
2
z
Tada je, ako promatramo samo upadni val uvažavajući da je polje harmonijsko:
2
∂ 2
2 = −β
g
.
∂z
Sada možemo Helmholtzovu jednadžbu pojednostavniti kao:
∆ + −
,
= 0 ,
∆ + −
,
= 0 .
{ ( 2 2
tr
ω µε βg )} E ( x y)
( 2 2
tr
ω µε βg ) H x y
{ } ( )
Svaka od ovih vektorskih jednadžbi je sada dvodimenzionalna i predstavlja sistem od
tri skalarne jednadžbe, i to za svaku komponentu elektromagnetskog polja (E x , E y , E z ,
H x , H y , H z ). Prve tri jednadžbe za električno polje su:
a slično je i za magnetsko polje:
{ ( 2 2
tr
ω µε βg )} Ex
( x y)
{ ( 2 2
tr
ω µε βg )} Ey
( x y)
( 2 2
tr
ω µε βg ) Ez
x y
∆ + − , = 0 ,
∆ + − , = 0,
{ } ( )
∆ + − , = 0 ,
{ ( 2 2
tr
ω µε βg )} H
x ( x y)
{ ( 2 2
tr
ω µε βg )} H
y ( x y)
( 2 2
tr
ω µε βg ) H
z
x y
∆ + − , = 0 ,
∆ + − , = 0,
{ } ( )
∆ + − , = 0 .
Dakle, treba riješiti ovaj sistem od šest jednadžbi sa šest nepoznanica. Rješenja
sistema moraju zadovoljavati s jedne strane Maxwellove jednadžbe, a s druge strane
granične uvjete na stjenkama valovoda.
Da bi došli do tih rješenja najprije vektore električnog i magnetskog polja
rastavimo na transverzalne komponente koje su neke vektorske funkcije koordinata x i
y i longitudinalne komponente koje su neke skalarne funkcije koordinata x i y. Dakle:
Slično za operator ∇ pišemo:
E x y E x y e E x y
H x y H x y e H x y
( , ) =
tr ( , ) +
z z ( , ) ,
( , ) = ( , ) + ( , )
tr z z
.
- 56 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
∂
∇ = ∇
tr
+ ez
.
∂z
Sada prve dvije Maxwellove jednadžbe možemo pisati u obliku:
⎛ ∂ ⎞
⎜∇ + e ⎟× E + e E = − j H + e H
⎝ ∂z
⎠
⎛ ∂ ⎞
⎜∇ tr
+ ez ⎟× Htr + ezH z
= jωε
Etr + ezEz
⎝ ∂z
⎠
( ) ωµ ( )
tr z tr z z tr z z
( ) ( )
Iz ovih jednadžbi slijedi veza između transverzalnih i aksijalnih komponenti
elektromagnetskog polja u homogenom valovodu:
1 ⎡ ⎛ ∂Ez
⎞ ⎤⎫
Etr = ∇
2 2 tr ⎜ ⎟ − jωµ
∇
tr
× ezH
z ⎪
ω µε − β
⎢
g
z
⎥
⎣ ⎝ ∂ ⎠
⎦⎪ ⎬
iii ,
−1
⎡ ⎛ ∂H
z ⎞ ⎤
Htr = ∇
2 2 tr
− jωε∇ tr
× ezE
⎪
⎜ ⎟
z
ω µε − β
⎢
g ⎣ ⎝ ∂z
⎠
⎥⎪
⎦⎭
.
Dakle, da bi dobili vrijednosti transverzalnih komponenti elektromagnetskog polja
potrebno je znati aksijalne komponente električnog i magnetskog polja. Njih pak
možemo dobiti rješavajući Helmholtzovu jednadžbu za određenu komponentu polja,
konkretno za longitudinalnu komponentu električnog i magnetskog polja:
{ ( 2 2
tr
ω µε βg )} Ez
( x y)
( 2 2
tr
ω µε βg ) H
z
x y
∆ + − , = 0 ,
{ } ( )
∆ + − , = 0 .
Naravno da će svako od ovih rješenja zadovoljavati Maxwellove jednadžbe, ali
također moraju zadovoljiti i granične uvjete koje smo napisali na početku, jer i oni
proizlaze iz Maxwellovih jednadžbi. Naime, već smo uočili da, uslijed toga što na
graničnoj površini vrijedi:
n× E = 0 ,
slijedi da je tangencijalna komponenta električnog polja jednaka nuli, odnosno E z = 0.
Nadalje, iz graničnog uvjeta:
n⋅ B = 0 ,
slijedi da je normalna komponenta magnetske indukcije jednaka nuli, odnosno B n = 0,
što, uzimajući u obzir da je normala na graničnu površinu okomita na smjer
propagacije vala, kod izotropnih sredina znači i da je normalna komponenta
magnetskog polja jednaka nuli, pa na granici vrijedi:
.
,
iii Namjerno je učinjena određena nedosljednost u ovom izrazu. Naime iako smo već istakli da je:
∂ = − jβ
g
,
∂z
ipak je član unutar okruglih zagrada ostavljen u obliku parcijalne derivacije po z kako bi izrazi za
transverzalne komponente elektromagnetskog polja bili analogni.
- 57 -

n⋅ H = n⋅ H + H = n⋅ H =
( tr z ) tr
0
.
MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Međutim, ako u ovaj uvjet uvrstimo vrijednost transverzalne komponente magnetskog
polja u ovisnosti o longitudinalnim komponentama električnog i magnetskog polja,
slijedi:
n H
z
n H −
⎡ ⎛ ∂ ⎞
⋅
tr
= ∇
2 2 tr ⎜ ⎟ − jωε∇ tr
× ezE
⎤
z
ω µε − β
⎢
g
∂z
⎥ ,
⎣ ⎝ ⎠
⎦
pa slijedi, uz E z = 0:
odnosno uz:
∂H
z
n ⋅∇
tr
= 0 ,
∂z
∂ H
z
H
z
jβg n ∂
= − ⇒ ⋅∇tr ∝ n ⋅∇
trH
∂
z
= = 0 .
∂z ∂z ∂n
Dakle na granici vrijedi:
Ez
= 0 ⎫ ⎪⎬ ∂ H . (o)
z
= 0
∂n
⎪
⎭
Granični uvjeti za aksijalne komponente elektromagnetskog polja su različiti.
Stoga ćemo samo u izuzetnim slučajevima u rješenjima jednadžbi za transverzalne
komponente polja imati jednake vlastite vrijednosti aksijalnih komponenti. Zato
općenito definiramo dva načina propagacije elektromagnetskog vala kroz homogeni
valovod, odnosno dva tipa modova. Jedan tip predstavljaju transverzalno električni
modovi (TE), kod kojih je u svim točkama presjeka okomitog na pravac propagacije,
pa tako i u čitavom valovodu aksijalna komponenta električnog polja jednaka nuli, a
drugi tip modova su transverzalno magnetski modovi (TM), kod kojih je u svim
točkama presjeka aksijalna komponenta magnetskog polja jednaka nuli, odnosno u
svim točkama homogenog valovoda:
⎧Ez
= 0, H
z
≠ 0 ⇒ TE
⎨
.
⎩Ez
≠ 0, H
z
= 0 ⇒ TM
Dakle, u homogenom valovodu pri propagaciji TE modova postoje samo
transverzalne komponente električnog polja, a pri propagaciji TM modova postoje
samo transverzalne komponente magnetskog polja.
Uvrstimo li sada odgovarajući uvjet u vezu između transverzalnih i
longitudinalnih komponenti harmonijskog polja za TE modove imamo:
E
z
⎧
− jωµ ∇
tr
× ez H
z
jωµ
⎪Etr = = e
2 2 2 2 z
×∇trH
z
ω µε − β
g
ω µε − βg
⎪
= 0 ⇒ ⎨ ∂H
.
z
⎪ ∇tr
z jβg
⎪ Htr = − ∂ = ∇
2 2 2 2 trH
z
⎪⎩ ω µε − β
g
ω µε − βg
- 58 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Slično dobivamo i za transverzalne komponente elektromagnetskog vala u slučaju
propagacije TM modovima:
H
z
⎧ − jβg
Etr = ∇
2 2 trEz
=
g
0 ⇒ ⎪
⎨ ω µε − β
.
⎪ jωε
H =
tr
e
2 2 z trEz
⎪ ω µε − β
×∇
⎩
g
Uočimo da iz gornjih relacija proizlazi za ovaj moda propagacije:
jωµ
E
tr
=
ω µε − β
odnosno:
a slično je i u slučaju TM moda:
2 2
g
Htr
e ×
z
E = ωµ e ×
H ,
tr z tr
β
g
H = ωε e ×
E .
tr z tr
β
g
2 2
( ω µε − β
g )
j β
g
Iz ova dva posljednja izraza proizlazi da su u svakoj točki unutar homogenog
valovoda transverzalne komponente električnog i magnetskog polja međusobno
okomiti vektori. To znači da u svakom presjeku homogenog valovoda okomitom na
pravac propagacije imamo sliku ravnog vala.
Rezimirajmo ovu analizu do sada. Polazeći od Maxwellovih jednadžbi i uz
odgovarajuće opravdanje rastavljanjem komponenti elektromagnetskog polja te
operatora ∇ u kartezijevom sustavu na transverzalne i longitudinalne komponente,
našli smo ovisnost transverzalnih komponenti polja o longitudinalnim komponentama
u općem slučaju. Da bi odredili te transverzalne komponente potrebno je poznavati
longitudinalne komponente polja. Ove posljednje nalazimo rješavajući Helmholtzove
(valne) jednadžbe za te komponente. Mogućnost da te jednadžbe svedemo na
dvodimenzionalne ostvarena je činjenicom da se elektromagnetsko polje propagira
duž osi z. Rješenja za longitudinalne komponente električnog i magnetskog polja za
koje smo pokazali da je na granici longitudinalna komponenta električnog polja E z
jednaka nuli, kao i parcijalna derivacija po varijabli z longitudinalne komponente
magnetskog polja H z .
Dvodimenzionalna Helmholtzova jednadžba može se napisati u
generaliziranom obliku kao:
2
−∆ u = k u ,
gdje je:
2 2 2
k = ω µε − β g
vlastita (svojstvena) vrijednost operatora, koju treba odrediti tako da rješenja valne
jednadžbe zadovolje rubne uvjete. Ovaj problem gdje treba naći rješenja tako da se
odredi konstanta na način da rješenja zadovolje rubne uvjete zove se problem
svojstvenih vrijednosti (eingenvalue problem). Rješenja jednadžbe su svojstvene
- 59 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
funkcije, a vrijednosti konstanti kojoj odgovaraju pojedine vlastite funkcije zovu se
vlastite vrijednosti.
Da se pokazati, što će biti učinjeno kasnije, da konstanta k 2 zadovoljava
posljednji uvjet u slučaju kad nije negativna. Dakle:
2 2 2
k = ω µε − β g
≥ 0.
Ovaj uvjet ispunjen je za određenu kružnu frekvenciju ω ako vrijedi nejednakost:
2 2
ω µε > β g
.
S druge strane znamo da je ovisnost polja o koordinati z:
j g
( ) e − β
u z
z
∼ .
Val će se dakle propagirati u smjeru rastućeg z samo ako je veličina β g realna, što
znači β g 2 pozitivan i realan broj. Naime, u slučaju da je β g imaginaran, odnosno neka
je:
+
β = jβ′ , β′
∈ R ,
g
gdje je β' realna i pozitivna veličina, onda je ovisnost polja o varijabli z koja raste u
smjeru propagacije:
− jβg
z − j( jβ ′)
z β ′ z
u z ∼ e = e = e
− ,
( )
što znači da se polje u guši pri napredovanju duž smjera propagacije (osi z), što
drugim riječima znači da nema uvjeta za propagaciju elektromagnetskog vala duž
homogenog valovoda.
Dakle uvjet za propagaciju u slučaju idealnog valovoda (s idealno vodljivim
stjenkama ispunjenog homogenim i izotropnim dielektričnim medijem bez gubitaka ili
vakuumom) je:
2
β > 0 & β ∈R ,
odnosno:
g
2 2
ω µε ≥ β g
(*),
pri čemu je ω 2 µε također realna i pozitivna veličina. Obzirom na izneseno moguće je
naći neku kružnu frekvenciju ω k kod koje uvjet (*) upravo prestaje važiti, odnosno
takvom da još uvijek postoji uvjet za propagaciju. Za svaku nižu frekvenciju nema
propagacije bez gušenja. Dakle, ta kritična frekvencija je za:
g
odnosno:
2 2 k
ω = ωk ⇒ βg = 0 ⇒ ω
k
µε = k ⇒ ωk
= ,
µε
k = ω µε .
2 2
k
- 60 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Kako je konstanta propagacije, odnosno fazna konstanta:
β = ω µε − k ,
2 2 2
g
možemo je izraziti općenito kao funkciju kritične frekvencije:
β = ω µε − k = ω µε − ω µε ,
g
2 2 2 2
k
g
2 2
( k )
β = µε ω − ω .
Istakli smo da će vlastita vrijednost k 2 ovisiti o rubnim uvjetima, što znači i o
geometriji presjeka homogenog valovoda. Iz toga proizlazi da će kritična frekvencija
ω k biti različito definirana za različite tipove presjeka valovoda. Međutim, ovako
definirana konstanta propagacije kao i uvjet kojeg smo na nju postavili vrijedit će kod
svih tipova presjeka homogenog valovoda.
Valovod pravokutnog presjeka
Razmotrimo kao prvi primjer rješavanja propagacije u homogenom idealnom
valovodu valovod pravokutnog presjeka, koji je često u upotrebi u praksi.
Orijentirajmo koordinatni sustav kao što je prikazano na sl. 8 i pretpostavimo da se
valovodom širi TE mod. Dakle longitudinalna komponenta električnog polja jednaka
je nuli dok za ostale pretpostavljamo da su različite od nule:
TE: E = 0 & E , E , H , H , H ≠ 0 .
z x y x y z
Izrazimo sada transverzalne komponente elektromagnetskog polja pomoću aksijalne
komponente magnetskog polja. Prema onome od ranije za TE mod vrijedi:
E
z
⎧
jωµ
E = e ×∇ H
= 0 ⇒ ⎪
⎨ ⎪ jβg
Htr 2 2 trH
z
⎪
= ω µε − β
∇
⎩
g
tr 2 2 z tr z
ω µε − βg
. (oo)
y
y = b
r
z
0
x = a
x
Slika 8. Homogeni valovod pravokutnog poprečnog presjeka
- 61 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Dakle, trebamo iz dvodimenzionalne Helmholtzove jednadžbe izračunati
longitudinalnu komponentu magnetskog polja H z , koja će istovremeno zadovoljavati
rubne uvjete (o), koji za ovaj slučaj pravokutnog presjeka postaju, prvi uvjet na
granici za električno polje:
E = 0 ,
z
međutim u slučaju TE moda ova komponenta je ionako jednaka nuli u svim točkama
prostora, pa moramo koristiti uvjet za longitudinalnu komponentu magnetskog polja
na granici, što je u konkretnom slučaju:
∂H
∂n
z
⎧∂H
z
= 0, y = 0, y = b
⎪ ∂y
= 0 ⇒ ⎨
.
⎪ ∂H
z
= 0, x = 0, x = a
⎪⎩
∂x
Helmholtzova jednadžba u pravokutnom koordinatnom sustavu za longitudinalnu
komponentu magnetskog polja glasi:
2
{ tr
k } H
z ( x y)
∆ + , = 0
Pretpostavimo, u skladu s metodom separacije varijabli, da je rješenje ove jednadžbe
moguće napisati u obliku:
H x,
y = X x Y y .
U tom slučaju je:
pa je:
∂H
∂x
∂H
∂y
z
z
z
( ) ( ) ( )
2
∂ H
z
= X ′ Y ⇒ = X ′′ Y ,
2
∂x
2
∂ H
z
= XY′ ⇒ = XY′′
,
2
∂y
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
X ′′ ( x)
Y′′
( y)
2
+ + k = 0 .
X ( x)
Y ( y)
X ′′ x Y y + X x Y′′
y + k X x Y y = 0 : XY ,
Vidimo da je ta jednadžba kod koje je prvi član funkcija isključivo varijable x, drugi
funkcija isključivo varijable y te da zbrojeni daju konstantu –k 2 . Stoga, i budući da su
x i y ortogonalne varijable, jednadžba može biti zadovoljena samo u slučaju da je
svaki od tih članova jednak konstanti. Dakle, posljednja jednadžba ima rješenje ako
je:
X ′′
( x)
( )
X x
= − k i
2
x
Y′′
( y)
( )
Y y
= − k , (**)
2
y
gdje su k x 2 i k y 2 konstante pa je:
k = k + k .
2 2 2
x y
- 62 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Obične diferencijalne jednadžbe (**) imaju sljedeća rješenja:
2
( ) ′( ) ′′ ( )
X x Me X x Mpe X x Mp e
= px ⇒ = px ⇒ = px ,
pa je karakteristična jednadžba:
2 2
p = −k ⇒ p = ± jk ,
što daje rješenje prve jednadžbe u obliku:
x
1,2
x
odnosno:
jkxx
( ) 1 2
X x C e C e −
jkxx
= + ,
( ) 1
cos
2
X x = A k x + A sin k x .
x
x
Slično imamo za rješenje druge diferencijalne jednadžbe:
( ) 1
cos
2
Y y = B k x + B sin k x .
Konstante A 1 , A 2 , B 1 i B 2 određujemo iz rubnih uvjeta. Ako imamo samo polazni val
koji se giba u smjeru rastućeg z možemo pisati:
odnosno uvrštavajući dobivena rješenja:
( ) ( ) ( )
j g z
H x, y, z = X x Y y e − β
,
z
( ) ( 1 2 )( 1 2 )
j g z
H x, y, z = A cos k x + A sin k x B cos k y + B sin k y e − β
.
z x x y y
Da bi upotrijebili granični uvjet za magnetsko polje derivirajmo najprije posljednju
relaciju po varijabli x te potom dobiveni izraz izjednačimo s nulom na granici:
∂H
∂x
z
− j
( A1 kx kxx A2 kx kxx)( B1 k
y
y B2
k
y
y)
e
x = 0 ⇒ A2 kx ( B1 cos k
y
y + B2
sin ky
y)
= 0 ,
( 1 x x 2 x x )( 1 y 2 y )
y
g
= − sin + cos cos + sin = 0 ,
x = a ⇒ − A k sin k a + A k cos k a B cos k y + B sin k y = 0 .
Gornje jednadžbe zadovoljene su ako je:
A
2
= 0 ,
A1 kx
sin kxa = 0 ⇒ kxa = nπ
, n = 0,1,2,... ,
iz čega je:
nπ
kx
= .
a
Sada učinimo isto ali sada prvo derivirajmo komponentu polja po varijabli y na
granici:
y
β z
- 63 -

∂H
∂y
z
( 1 x 2 x x )( 1 y y 2 y y )
MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
− jβ
z
g
= A cos k x + A k sin k x − B k sin k y + B k cos k y e = 0 ,
( )
y = 0 ⇒ A cos k x + A k sin k x B k = 0 ,
1 x 2 x x 2 y
( 1 x 2 x x )( 1 y y 2 y y )
y = b ⇒ A cos k x + A k sin k x − B k sin k b + B k cos k b = 0 .
Obje su zadovoljene za:
B
2
= 0 ,
− B1k
y
sin k
yb
= 0 ⇒ k
yb = mπ
, m = 0,1, 2,...
iz čega je opet:
mπ
k
y
= .
b
Dakle, longitudinalna komponenta magnetskog polja je:
nπ mπ − jβg
z
H
z ( x, y, z) = A1 B1
cos x ⋅cos y ⋅ e .
a b
Uzimajući da je A 1 B 1 = H 0 , te uz vezu (oo) transverzalnih i aksijalnih komponenti
elektromagnetskog polja imamo rješenje za TE mod u homogenom valovodu
pravokutnog presjeka dimenzija (a x b) uz harmonijsku uzbudu:
jωµ mπ nπ x mπ
y j( ωt−βg
z)
Ex
( x, y, z, t)
= H0
cos ⋅sin
⋅e
,
b a b
2 2
( ω µε − βg
)
jωµ nπ nπ x mπ
y j( ωt−βg
z)
Ey
( x, y, z, t)
= H0
sin ⋅cos
⋅e
,
a a b
2 2
( ω µε − βg
)
2 2
( ω µε − βg
)
( )
E x, y, z, t = 0 ,
z
jβ gnπ nπ x mπ
y j( ωt−βg
z)
H
x ( x, y, z, t)
= H0
sin ⋅cos
⋅e
,
a a b
jβ gmπ nπ x mπ
y j( ωt−βg
z)
H
y ( x, y, z, t ) = H0
cos ⋅sin
⋅e
,
b a b
2 2
( ω µε − βg
)
nπ x mπ y j( ωt−βg
z)
H
z ( x, y, z, t)
= H0
cos ⋅cos
⋅ e .
a b
Odredimo sada kritičnu frekvenciju za pravokutni valovod kojim se širi TE mod.
Znamo da je:
1 1
( ) 1
2 2
ω
2
k
= k = kx + k
y
,
µε µε
Konstanta propagacije je:
1
2 2 2
1 ⎡⎛ nπ
⎞ ⎛ mπ
⎞ ⎤
ωk
= ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥
µε ⎢⎣
⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎥⎦
.
- 64 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
2 2
⎡⎛ nπ
⎞ ⎛ mπ
⎞ ⎤
= ± ( −
k ) = ± − ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ .
⎢⎣
⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎥⎦
2 2 2
β
g
µε ω ω ω µε
Također možemo izračunati i kritičnu valnu duljinu λ k :
odnosno:
2π ωk
2π v 2π
βk = = ⇒ λk = ⇒ λk
= ,
λ v ω ω µε
k k k
λ =
k
2
2 2
⎛ n ⎞ ⎛ m ⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠
.
Ekvivalentni postupak mogli bi provesti i za TM modove kod kojeg je
aksijalna komponenta magnetskog polja jednaka nuli (H z = 0). Granični uvjeti za
aksijalnu komponentu električnog polja bili bi sljedeći:
Dobili bi iste rezultate:
Ez
= 0 za x = 0; x = a ,
E = 0 za y = 0; y = b .
z
k
x
nπ
mπ
= i k
y
=
a b
Naime usporedbom vlastitih vrijednosti za TE i TM modove utvrdili smo da su te
vrijednosti u ovom izuzetnom slučaju jednake, što vrijedi samo za valovode s
pravokutnim presjekom. Kod drugih tipova presjeka to nije tako. Posljedica toga su
jednake konstante propagacije β g , kritična frekvencija ω k i kritična valna duljina λ k za
TE i TM modove kod pravokutnog valovoda.
Ranije smo predstavili rješenje za elektromagnetsko polje u pravokutnom
valovodu za slučaj da se propagira općenito TE nm mod. Istražimo sada pobliže kakvo
je polje u valovodu za pojedine modove, odnosno pojedine n i m. Kao česti slučaj
koristi se za propagaciju TE 10 mod. Izračunajmo prostornu ovisnost i skicirajmo polje
u valovodu za taj mod propagacije. Iz rješenja za polje slijedi za n = 1 i m = 0:
E = 0 ,
x
jωµ π x − jβg
z π x − jβg
z
Ey
= − H
2 0
sin ⋅ e = E0
sin ⋅ e
k a a a
E
z
= 0 ,
jπβ
g π x − jβg
z βg
π x − jβg
z
H
x
= − H
2 0
sin ⋅ e = E0
sin ⋅ e ,
k a a ωµ a
H = 0 ,
y
cos π x − jβg
z
H
z
= H0 ⋅ e .
a
- 65 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Slika elektromagnetskog polja u homogenom pravokutnom valovodu
prikazana je na sl. 9 u različitim ravninama. Pri tom su silnice električnog polja
označene punom linijom, a magnetskog crtkano. Uočimo da su sve komponente polja
titraju i propagiraju duž osi valovoda u fazi. Vidimo da je električno polje u presjeku
okomitom na smjer propagacije najvećeg intenziteta u sredini tog presjeka, a opada do
nule kako se krećući po osi x približavamo stjenkama valovoda. Istovremeno, x-
komponenta magnetskog polja slijedi taj trend dok je obrnut slučaj za aksijalnu
odnosno z-komponentu koja je u sredini presjeka jednaka nuli a maksimalna na
rubovima. Kako je vektor magnetskog polja zbroj tih dviju komponenti, znači da se
magnetsko polje savija u smjeru propagacije kako se krećemo prema rubu valovoda
gledano u ravnini XZ.
Ostaje još pitanje uzbuđivanja TE moda u valovodu. Znamo da odgovor na
pitanje hoće li i kojim će se modom elektromagnetsko polje propagirati ovisi o
frekvenciji narinutog signala, dimenzijama i tipu presjeka valovoda te o
karakteristikama dielektrika kojim je valovod ispunjen. Da bi ostvarili propagaciju TE
modom možemo uzbuditi y-komponentu električnog polja koje će pobuditi i
magnetsko polje. Uzmimo stoga da je valovod s jedne strane zaključen kratkim
spojem. Stoga na udaljenosti od kratkog spoja za četvrtinu valne duljine
elektromagnetskog vala koji se širi valovodom λ g /4 napravimo mali otvor i kroz njega
progurajmo vertikalnu antenu koju može predstavljati mali dio središnjeg vodiča u
koaksijalnom kabelu (što znači da njime i dovodimo uzbudni signal odgovarajuće
frekvencije), kao što je prikazano na sl. 10a. Dio elektromagnetske energije koju zrači
antena će se propagirati u smjeru kratkog spoja te će se potom reflektirati natrag
prema anteni te pri refleksiji od idealno vodljive površine kratkospojnika doživjeti
skok od π radijana. Ukupna duljina električne staze bit će polovina valne duljine λ g /2
signala, što znači da se, računajući sa skokom u fazi uslijed refleksije od kratkog
spoja, reflektirani val vraća u fazi s valom kojeg emitira antena. Drugim riječima, u
tom dijelu valovoda egzistira stojni val i to takav da osigurava maksimalno polje u
točki odašiljača. Na taj način je osigurano da čitava elektromagnetska energija koju
zrači antena propagira u željenom smjeru. Isto uzbudno polje možemo emitirati i tako
da se inicijalno pobuđuje magnetsko polje u valovodu, tako da unutrašnji vodič
koaksijalnog kabela koji izlazi iz rupice na stjenci valovoda formiramo u magnetsku
petljicu, što je prikazano na sl. 10b. Da bi uzbudili odgovarajuće magnetsko polje
petljica mora ležati paralelno YZ ravnini.
Izračunajmo sada i kritičnu frekvenciju TE 10 moda. Za n = 1 i m = 0 imamo:
ω
k ,10
1 ⎛ π ⎞
= ⎜ ⎟
µε ⎝ a ⎠ .
Uočimo da je, u slučaju da smo pretpostavili da je b < a, to najniža kritična
frekvencija, odnosno ujedno i najniža moguća frekvencija koja se kojom se
elektromagnetski val može propagirati u valovodu pravokutnog presjeka. Naime, za
svaki m ≠ 0 kritična frekvencija je viša, a kako je uz:
π π
b < a ⇒ < ,
a b
što znači da je kritična frekvencija TE 10 moda niža od kritične frekvencije TE 01 moda,
a pogotovo ostalih TE modova. Kasnije ćemo pokazati da je to najniža moguća
- 66 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
frekvencija kojom se val može propagirati duž valovoda uopće, bez obzira na to kojim
modom se isti propagira. Mod s najnižom kritičnom frekvencijom zove se
dominantni mod, pa stoga TE 10 mod zovemo dominantnim modom u homogenom
pravokutnom valovodu.
y
H
E
0
a
x
y
b
z
z
0
H
H
E
E
a
x
y
y = b
r
z
0
x = a
x
Slika 9. Prikaz elektromagnetskog polja koje se propagira TE 10 modom u homogenom
valovodu pravokutnog presjeka
- 67 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
λg/4
a
b
Slika 10. Dva načina uzbude TE 10 moda u pravokutnom valovodu
Prije smo istakli da TE i TM modovi u pravokutnom valovodu imaju iste
vlastite vrijednosti, a time i jednake kritične frekvencije. Međutim ispišimo sada
rješenja za TM modove, koje dobivamo istim postupkom kao i rješenja za TE modove
ali uz korištenje graničnog uvjeta za longitudinalnu komponentu električnog polja
kako je već navedeno:
− jβgnπ nπ x mπ y − jβg
z
Ex
= E
2 0
cos ⋅sin
⋅ e ,
k a a b
− jβ gmπ nπ x mπ y − jβg
z
Ey
= E
2 0
sin ⋅cos
⋅ e ,
k b a b
nπ x mπ y − jβg
z
Ez
= −E0 sin ⋅sin
⋅ e ,
a b
− jωε mπ nπ x mπ y − jβg
z
H
x
= E
2 0
sin ⋅cos ⋅ e
k b a b
jωε nπ nπ x mπ y − jβg
z
H
y
= E
2 0
cos ⋅sin
⋅ e
k a a b
H = 0 .
z
Iz gornjih relacija očigledno je da ne može egzistirati ni TM 10 ni TM 01 mod u
pravokutnom valovodu. U bilo kojem od tih slučajeva jednake su nuli sve
komponente električnog i magnetskog polja. To je očigledno i sa fizikalnog stajališta.
Jer činjenica da za razliku od električnog polja koje ima svoje izvore i ponore na
stjenkama valovoda, tj. čije silnice završavaju i izviru iz naboja, to nije slučaj s
magnetskim poljem. Magnetsko polje je solenoidalno, odnosno sve silnice zatvorene
su u sebe, pa ne mogu samo dvije prostorne komponente biti jednake nuli a treća ne.
Budući da je stoga kritična frekvencija TM 11 najmanja u odnosu na kritične
frekvencije ostalih TM modova u pravokutnom valovodu, ali je još uvijek veća od
kritične frekvencije TE 10 moda jasna je naša prijašnja tvrdnja.
U našem razmatranju o pravokutnom valovodu uočimo karakterističnu
činjenicu kojom se on razlikuje od uobičajene prijenosne linije, da se njim za
određene dimenzije ne mogu propagirati polja nižih frekvencija, odnosno konstanta
propagacije β g postaje imaginarna i takva se polja brzo guše. Zbog usporedbe
nacrtajmo ovisnost konstante propagacije kod obične prijenosne linije i valovoda kao
funkcije frekvencije, kao što je prikazano na sl. 11. Kod valovoda fazna konstanta je:
ili:
a kod prijenosne linije je:
( ) 1 2
2 2 2
ωk
β
g
= ± µε ω −ωk ⇒ βg
= β 1− ,
2
ω
β
g
2 2
ω ωk
µε = ± − ,
- 68 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
VALOVOD (TE ili TM)
PRIJENOSNA LINIJA (TEM)
ω
ω = ωk
-1 0 1
βg/sqrt(µε)
Slika 11. Ovisnost konstante propagacije o frekvenciji u valovodu i na prijenosnoj
liniji
ili:
βg
= β = ω µε ,
β g
ω
µε = ± .
Vidimo da propagacija u valovodu postoji pri frekvenciji ω ≥ ω k . Kad se frekvencija
uzbudnog signala približava kritičnoj frekvenciji vrijedi:
2π
lim βg
= 0 ⇒ λg
= = ∞ .
→ωk
β
ω
Nadalje, pitamo se da li mogu postojati takvi modovi kod kojih su obje longitudinalne
komponente elektromagnetskog polja, odnosno E z i H z jednake nuli. Ako pogledamo
vezu (oo) između transverzalnih i longitudinalnih komponenti u pravokutnom
valovodu, vidimo da bi to bilo moguće jedino u slučaju da je:
βg
= β = ω µε ⇒ TEM ,
a to je pak konstanta propagacije ravnog vala (TEM mod propagacije). Kod
istraživanja koaksijalne linije vidimo da se njome propagira TEM mod, no da se
pokazati da TEM mod ne može egzistirati unutar šupljeg valovoda. Dakle, TEM se
može propagirati samo tamo gdje postoje višestruke vodljive konture koje su
razdvojene primjerice dvožični vod (parica) ili trakasta linija.
Cilindrični valovod
Izvedimo sada rješenja za homogeni valovod kružnog poprečnog presjeka
radijusa a, prikazanog na sl. 12. Cilindrični valovod može se promatrati kao posebni
g
- 69 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
slučaj eliptičnog valovoda kojeg se također često susreće u praksi. Zbog oblika
valovoda analizu ćemo provesti u cilindričnom koordinatnom sustavu. Kao i u slučaju
pravokutnog valovoda pretpostavljamo harmonijsku uzbudu te da elektromagnetski
val propagira duž osi z:
j( t g z)
E ( r, ϕ, z, t) E ( r,
ϕ ) e ω −
=
β
,
j( t g z)
H r, ϕ, z, t H r,
ϕ e ω −
=
β
.
( ) ( )
Helmholtzovu jednadžbu za longitudinalne komponente električnog i magnetskog
polja kao funkcije transverzalnih koordinata pišemo u cilindričnim koordinatama:
{ ( 2 2
tr
ω µε βg )} Ez
( r ϕ )
( 2 2
tr
ω µε βg ) H
z
r ϕ
∆ + − , = 0 ,
{ } ( )
∆ + − , = 0.
Kako su te jednadžbe za aksijalnu komponentu električnog i magnetskog polja
istovjetne, označimo ta polja kao:
te razvijmo valnu jednadžbu:
z
( , ϕ ), ( , ϕ ) ( , ϕ )
E r H r → Q r ,
z
2 2
∂ Q 1 ∂Q 1 ∂ Q 2 2
+ + +
2 2 2 ( ω µε − βg
) Q = 0 .
∂r r ∂r r ∂ϕ
Riješimo dobivenu jednadžbu metodom separacije varijabli. Neka je:
( , ϕ ) ( ) φ ( ϕ )
Q = Q r = R r .
Uvrštavanjem u prethodnu jednadžbu dobivamo:
d 2 R 2 2
1 dR 1 d φ 2
+ φ + R + k R ⋅ φ = 0 ⋅
r ,
2 2 2
dr r dr r dϕ
R ⋅φ
n Slika 12. Homogeni cilindrični valovod
z
e
z
a
ϕ
r
- 70 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
odnosno:
pri čemu smo označili:
2
φ′′ r R′′ + rR′
k
2 r
2
+ + = 0
φ R
( )
( )
2
2
d R r d φ ϕ
R′′ = i φ′′ = .
2
2
dr
dϕ
Vidimo da je prvi član u dobivenoj diferencijalnoj jednadžbi funkcija isključivo
varijable ϕ, a drugi i treći član isključivo varijable r. Dakle, kao i u prethodnoj analizi
pravokutnog valovoda, diferencijalnu jednadžbu rastavljamo na dvije obične
diferencijalne jednadžbe:
φ ′′ = − 2
m , φ
′′ ′
+ = ,
R
2
r R + rR k
2 r
2 m
2
gdje je m konstanta. Rješenja ovih jednadžbi su:
( ) Am
sin m Bm
cos m
( ) ( ) ( )
φ ϕ = ϕ + ϕ ,
R r = C J kr + D Y kr ,
m m m m
pri čemu je J m (kr) Besselova funkcija m-tog reda prve vrste, a Y m (kr) Besselova
funkcija m-tog reda druge vrste, a A m , B m , C m , D m konstante koje tek treba odrediti uz
uvažavanje graničnih uvjeta. Rješenje za polje je dakle:
( , ϕ ) = ⎡ ( ) + ( ) ⎤ ( sin ϕ + cos ϕ )
Q r C J kr D Y kr A m B m
⎣ m m m m ⎦ m m
.
Promotrimo rješenja za TE modove kod kojih je longitudinalna komponentna
električnog polja jednaka nuli (E z = 0). To znači da se funkcija Q odnosi na aksijalnu
komponentu magnetskog polja, pa je:
( ) = ⎡ ( ) + ( ) ⎤ ( + )
j g z
H
z
r, ϕ, z ⎣CmJm kr DmYm kr ⎦ Am sin mϕ Bm
cos mϕ e − β
.
Granični uvjet za tu komponentu polja je, uzimajući u obzir da je su vektori normale
na graničnu površinu i ort vektor u smjeru osi r antiparalelni:
∂H
z
∂H
z
r = a ⇒ = 0 ⇒ = 0 .
∂n ∂r r=
a
Promotrimo sada opće rješenje Helmholtzove jednadžbe u cilju određivanja
nepoznatih konstanti. Predstavimo stoga spomenute Besselove funkcije dijagramom
na sl. 13. Iz slike vidimo da je u osi valovoda:
kr = 0 ⇒ ( 0)
Y = −∞ i ( )
m
J 0 = 0 ∧ 1.
m
- 71 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
1
BESSELOVE FUNKCIJE
0.8
J0
0.6
J1
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
Y0
Y1
-0.6
-0.8
-1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
kr
Slika 13. Besselove funkcije nultog i prvog reda prve i druge vrste
Dakle, prihvatimo li da konstanta D m može biti različita od nule, dobili bi nerazumno
rješenje za polje u središtu. Stoga ta konstanta mora biti jednaka nuli: D m = 0.
Nadalje, ovisnost o azimutu ϕ može se izraziti kao:
gdje je:
2 2
m
sin
m
cos
m m
cos
( )
A mϕ + B mϕ = A + B mϕ + θ ,
A
θ = arctg .
B
m m
Ne gubeći na općenitosti, može se odabrati položaj referentne osi ϕ tako da bude θ =
0, dakle A m = 0, pa je:
j g z
H
z
= H
0Jm
( kr)
cos mϕ e − β
.
Granični uvjet zahtijeva da bude:
∂H
z
jβg
z
= kH
0J′
m ( ka)
cos mϕ e
−
= 0 ,
∂r
r=
a
odnosno:
J′ ka = .
m
( ) 0
Postoji beskonačno mnogo točaka koje zadovoljavaju posljednji zahtjev. Nul-točkama
prve derivacije J' m Besselove funkcije prve vrste odgovaraju maksimumi Besselove
funkcije prve vrste J m . Iz slike 13, očitavanjem tih maksimuma dolazimo do tablice 1.
U tablici je dat realni broj n korijena J' m (ka), pri čemu je izostavljen ka = 0. Time je
definiran TE mn mod u homogenom valovodu kružnog presjeka. Tako primjerice
vrijednošću ka = 1,84 definiran TE 11 mod propagacije. Broj m je naravno cijeli broj
zbog jednoznačnosti rješenja po azimutu:
( )
cos mϕ = cos ⎡⎣ m ϕ + 2π
⎤⎦ ⇒ m = 0,1,2,... ,
- 72 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
TABLICA 1. MAKSIMUMI BESSELOVIH FUNKCIJA ZA
ODREĐIVANJE TE mn MODOVA U HOMOGENOM CILINDRIČNOM VALOVODU
m
0 1 2 3 …
n
1 3,83 1,84 3,05 4,20 …
2 7,02 5,33 6,70 8,20 …
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a označava broj ciklusa promjene aksijalne komponente magnetskog polja H z kada
azimut ϕ varira od 0 do 2π. Ako taj broj ciklusa promjene ne bi bio cijeli broj,
odnosno ako zadnji ciklus promjene ne bi bio okončan imali bi višeznačno rješenje po
azimutu, a to je nemoguće. Broj n kaže koliko puta prva derivacija J' m (kr) prođe kroz
nulu, a s time i vrijednost azimutalne komponente električnog polja E ϕ kad varijabla r
raste od 0 do a (pri čemu se ne računa r = 0). Sada iz veze transverzalnih i
longitudinalnih komponenti koju smo izveli na početku razmatranja o homogenim
valovodima uvrštavajući E z = 0 možemo izračunati ostale (transverzalne) komponente
polja za TE modove u cilindričnom homogenom valovodu:
.
.
.
jωµ
Etr = e
2 z
×∇trH
z
,
k
⎛ ∂H
z ⎞
∇tr
⎜ ⎟
∂z
Htr
= −
⎝ ⎠
.
2
k
Tako je transverzalna komponenta električnog polja:
.
.
.
jωµ ⎛ ∂H
z
1 ∂H z
⎞ jωµ
⎡⎛
∂H z ⎞ ⎛ ∂H
z
1 ⎞ ⎤
Etr = e
2 z
× er eϕ
e e
2
ϕ
r
k
⎜ + = ⎢⎜
⎟ + − ⎥
∂r r ∂ϕ
⎟
k ∂r ⎜
∂ϕ
r
⎟ .
⎝ ⎠ ⎣⎝
⎠ ⎝ ⎠ ⎦
Rješenje za transverzalne komponente elektromagnetskog polja u promatranom tipu
valovoda pišemo u obliku:
1 jωµ
∂H
z
Er
= − ,
2
r k ∂ϕ
jωµ ∂H E
z
ϕ
= ,
2
k ∂r
jβ
g ∂H
z
H
r
= ,
2
k ∂r
jβg
1 ∂H
z
Hϕ
= .
2
k r ∂ϕ
Konstantu propagacije odredimo iz svojstvenih vrijednosti:
k
= ω µε − β ⇒ β = ω µε − k ,
2 2 2 2 2
g g
- 73 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
što možemo napisati u za našu analizu prikladnijem obliku:
2
βg
ω µε
( ka) 2
= − .
2
a
Kako smo vidjeli, granični uvjeti zadovoljeni su na diskretnim vrijednostima (ka).
Izračunajmo kritičnu valnu duljinu λ c kod koje prestaje propagacija:
iz čega izlazi:
( ka)
2
⎛ 2π
⎞
ω
c
µε = =
2 ⎜ ⎟ ,
a ⎝ λc
⎠
2
2π
a
λ = .
c
( ka)
2
Iz tablice 1 vidimo da je najmanji mogući (ka) jednak (ka) = 1,84 i da odgovara TE 11
modu. Da se pokazati da taj mod ima maksimalnu kritičnu valnu duljinu u odnosu na
sve ostale modove propagacije, pa je TE 11 mod dominantni mod u cilindričnom
valovodu.
Za dokaz te tvrdnje trebalo bi istražiti kritičnu valnu duljinu za TM modove.
Rješenja za TM modove u cilindričnom valovodu su kako slijedi. Longitudinalna
komponenta magnetskog polja jednaka je nuli po definiciji, a električnog:
( )
E = E0J kr sin mϕ ,
z
m
a transverzalne komponente električnog polja su (izvedite za vježbu magnetsko polje):
E
E
ϕ
r
β ∂Ez
=
,
ω µε β ∂ϕ
g
2 2
−
g
β 1 ∂Ez
=
ω µε − r ∂ r
.
g
2 2
β
g
Granični uvjet za TM modove je da longitudinalna komponenta električnog polja na
stjenci valovoda bude jednaka nuli, pa je:
( )
Ez
= 0 ⇒ Jm
ka = 0 .
r= a
Vratimo se sada opet dijagramu na sl. 13. Kako maksimumi Besselove funkcije prve
vrste (nule njene prve derivacije) prethode nulama te funkcije, kritična valna duljina
za TM mn modove (koju računamo prema relaciji istog oblika kao i za TE modove)
manja je od kritične valne duljine za TE mn modove, pa je tako TE 11 mod dominantni
mod.
- 74 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Homogeni dielektrični valovod
U prošlim poglavljima analizirali smo homogene valovode s idealno vodljivim
stjenkama. Osnovni fizikalni princip koji omogućava propagaciju valova u takvom
valovodu bazira se na činjenici da elektromagnetski val koji koso upadne da granicu
dielektrik – vodič propagira duž granične plohe. Međutim, dade se pokazati, što ćemo
ovdje i uraditi, da nije neophodno za propagaciju vala duž granične plohe imati vodič.
Totalnu refleksiju vala moguće je postići i na granici dvaju dielektrika u određenim
uvjetima, što daje naslutiti mogućnost gradnje valovoda bez vodiča.
Da bi istražili tu mogućnost sjetimo se zakona loma i refleksije na granici
dvaju sredstava različitih elektromagnetskih svojstava (sl. 3). Općenito postoji upadni,
reflektirani i lomljeni val definiran jednadžbama koje smo izveli ranije:
− j β ⋅r
β × E
E = E1e H =
ωµ
1
− j β ′ ⋅r
β ′ × E′
E′ = E′ 1e H′
= .
ωµ
1
− j β ′′ ⋅r
β′′ × E′′
E′′ = E′′ 1e H ′′ =
ωµ
2
Uvrštenjem graničnih uvjeta:
n×
E + E − E
= ,
n×
H + H − H
= ,
( ′ ′′ ) 0
( ′ ′′ ) 0
dobili smo Snellov zakon koji kaže da se funkcije sinusa kuta upada i kuta loma
odnose kao brzine propagacije elektromagnetskog vala u odgovarajućim sredstvima
na čijoj se granici val lomi, odnosno:
sinθ
′′ v =
2 .
sinθ
v1
Budući da je:
1 1
v2
= i v1
= ,
µ
2ε
2
µ
1ε1
slijedi:
sinθ
′′ µ
1ε
=
1 .
sinθ
µ ε
Ako je ispunjen uvjet da je µ 1 = µ 2 = µ 0 (dijamagnetični medij) što je u praksi najčešći
slučaj slijedi:
sinθ′′ ε =
1 .
sinθ
ε
Ako smo odabrali sredstvo 1 (dakle ono iz kojega dolazi upadni val na granicu)
dielektrički gušće od sredstva 2, tj. da je ε 1 > ε 2 , izraz na desnoj strani ove relacije je
veći od jedinice:
2 2
2
- 75 -

sinθ′′
ε1 > ε
2
⇒ > 1⇒ sinθ′′ > sinθ ⇒ θ′′
> θ ,
sinθ
MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
odnosno kut loma je veći od kuta upada. Očigledno je da će povećanjem kuta upada θ
rasti i kut loma θ'' i konačno kod nekog graničnog kuta upada θ gr postaje:
θ = θ ⇒ sinθ′′
= 1,
gr
pa je granični kut određen relacijom:
sinθ
gr
ε
ε
2
= .
1
Taj kut θ gr zove se kut totalne interne refleksije. Za svaki θ > θ gr Snellov zakon
može biti zadovoljen jedino ako je θ'' kompleksna veličina:
Dakle,
Izračunajmo:
ε
′′ = > .
ε
1
sinθ
sinθ
1
2
( A jB)
sinθ′′ = sin ± > 1.
θ′′ = ± − θ′′ = ± θ′′
− .
2 2
cos 1 sin j sin 1
Zbog sinθ'' > 1 očigledno je kosinus kuta loma čisto imaginaran, (izraz pod
korijenom je realan) i može ga se izraziti kao funkciju kuta upada u obliku:
cosθ
ε
ε
ε
ε
′′ = ± 1 2 2
j sin θ − .
2 1
Zbog:
Izračunajmo polje u sredstvu 2:
j
E′′ = E′′
e − β ′′ ⋅
( )
1
r
β′′ ⋅ r = β′′ xsinθ′′ + z cosθ ′′ = β′′ xsinθ′′ + β′′ z cosθ
′′ ,
odnosno u funkciji kuta upada:
1 1 2 2
β′′ ⋅ r = β′′ x ε sinθ + jβ′′
z
ε sin θ −
ε .
ε ε ε
2 2 1
Budući da je na graničnoj plohi:
pa je, uz Snellov zakon loma:
β sinθ = β′′ sinθ′′
,
ε
β β ε
2
′′ = ,
1
- 76 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
pa je:
pri čemu je:
β′′⋅ r = β xsinθ + jβ
zA,
2 ε
2
A = sin θ −
ε
1
realna veličina. Dakle, polje je u slučaju okomite polarizacije:
E′′ = e E′′
e e
y
−β zA − jβ xsinθ
1
Ovo rješenje znači da i u slučaju totalne refleksije u sredstvu 2 imamo polje koje se
propagira duž granične plohe (os x) bez gušenja s faznom konstantom β (kao i upadni
val), ali da to polje eksponencijalno opada s dubinom u sredstvu 2 (faktor e –βAz ).
Fazna brzina prostiranja jednaka je:
v = ω
β sinθ
.
Električno polje u sredstvu 1 u slučaju totalne refleksije dobije se kao suma upadnog i
reflektiranog vala koji su paralelnog smjera i jednakih amplituda i koje se propagira
duž granične plohe kako je pokazano već ranije. Upadni val je:
E = E e e
− jβ xsinθ − jβ z cosθ
y1
Očigledno je fazna brzina vala u sredstvu 1 koji se širi duž granice jednaka faznoj
brzini vala u sredstvu 2. Drugačije ne bi mogli biti zadovoljeni uvjeti u svakoj točki
prostora i u svakom trenutku vremena.
Dakle, zaključujemo sljedeće. U slučaju da se val širi sredstvom ε 1 > ε 2 na
granici se u određenim uvjetima elektromagnetska energija totalno reflektira. Pri tome
postoji elektromagnetski val koji se propagira uz graničnu plohu. Ako bismo računali
prijenos snage iz sredstva 1 u 2 dobili bismo da je jednak nuli za kutove upada veće
od graničnog. To znači da cjelokupna energija koja dolazi iz sredstva 1 na granicu
ostaje u toj sredini, dok u sredstvo 2 ne prelazi ništa od te energije. Međutim,
komponente elektromagnetskog polja postoje, samo se elektromagnetski val u
sredstvu 2 eksponencijalno prigušuje s udaljavanjem od granice. Val se propagira u
dielektrički gušćoj sredini duž granične plohe. Dakle, koristeći takav princip moguće
je sagraditi dielektrični valovod čije stjenke nisu metalne već predstavljaju granicu
dielektrik – zrak.
Homogeni dielektrični valovod kružnog presjeka
Želimo istražiti uvjete propagacije elektromagnetskog vala u dielektričnom
valovodu kružnog presjeka, koji je prikazan na sl. 14. Dakle, u skladu s gore uočenim
val će se propagirati u sredstvu 1, dok s druge strane moramo ostvariti da se u
sredstvu 2 ne širi energija, dakle da nema elektromagnetskog zračenja od promatrane
strukture. To znači da kompleksni Poyntingov vektor ima imaginarnu radijalnu
komponentu. Naravno da će tada rubni uvjeti biti različiti od onih koje bi imali za
idealno vodljive stjenke. Granični uvjeti za elektromagnetsko polje su:
.
.
- 77 -

n×
E − E
= ⇒ E = E
n×
H − H
= ⇒ H = H
( )
( )
1 2
0 iv t1 t 2
,
1 2
0
t1 t 2
.
MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Primijetimo da u ovom slučaju nema površinskih struja na granici (κ = 0), a ni
površinskih naboja (ζ = 0) kao što je to slučaj s idealno vodljivim stjenkama
cilindričnog valovoda, jer granična ploha nije vodljiva (granica je između dielektrika
bez gubitaka).
Napišimo sada Helmohtzovu jednadžbu u sredstvu 1. Pri tome i ovdje
pretpostavljamo harmonijsko polje i propagaciju u smjeru osi z:
⎧
2 2
⎪{ ∆
tr
+ ( ω µ
1ε1 − βg
)}
E1
= 0
r < a ⇒ ⎨ ,
2 2
⎪ { ∆
tr + ( ω µ
1ε
1 − βg
)}
H1
= 0
⎩
pri čemu je a polumjer kružnog presjeka. Slično za elektromagnetski val u sredstvu 2
vrijede jednadžbe:
⎧
2 2
⎪{ ∆
tr
+ ( ω µ
2ε
2
− βg
)}
E2
= 0
r > a ⇒ ⎨
2 2
⎪ { ∆
tr + ( ω µ
2ε
2 − βg
)}
v .
H
2 = 0
⎩
ε 2 ε 1 > ε 2
z
e
z
n a
ε 1
ϕ
r
Slika 14. Homogeni dielektrični valovod kružnog presjeka
iv U ovu relaciju je kao poseban slučaj uključena longitudinalna komponenta električnog polja za koju
prema tome vrijedi E z1 = E z2 .
v Uočimo da smo bez obrazloženja pisali istu konstantu propagacije u oba sredstva, odnosno β g1 = β g2
= β g . To je logično ako uzmemo da se elektromagnetski val propagira duž osi z, a u sredstvu 2 postoji
polje pa fazne konstante moraju biti iste da bi bili zadovoljeni rubni uvjeti u svakom položaju i u
svakom trenutku, kao što je uostalom objašnjeno i u uvodu ovog poglavlja.
- 78 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Najčešće je u stvarnosti dielektrik 2 zrak pa je ε 2 ≈ ε 0 i µ 2 ≈ µ 0 . Već znamo da rješenja
Helmholtzovih jednadžbi daju elektromagnetsko polje koje je ili oscilatorno ili
eksponencijalno. To ovisi o veličini k 2 = ω 2 µε – β 2 g . Budući da želimo propagaciju u
sredini 1 mora vrijediti:
2 2
ω µ
1ε1 − β g
> 0 ,
Ovdje ćemo bez posebnog dokazivanja ustvrditi da općenito postoje hibridni
modovi propagacije, tj. takvi kod kojih elektromagnetski val ima različite od nule
obje longitudinalne komponente polja, i aksijalnu komponentu električnog E z i
aksijalnu komponentu magnetskog polja H z . Dakle, u našem slučaju dielektričnog
valovoda kružnog presjeka treba naći rješenja dvodimenzionalne Helmholtzove
jednadžbe za longitudinalne komponente polja E z i H z i to tako da budu zadovoljeni
rubni uvjeti na r = a, a ti su:
⎧ Ez
1
= Ez
2
r = a ⇒ ⎨ ,
⎩H
z1 = H
z2
a ta rješenja budu periodična po azimutu ϕ zbog jednoznačnosti te da su konačna u
sredstvu 1. Pri tome biramo cilindrični koordinatni sustav, pa su Helmholtzove
jednadžbe oblika:
2
{ ∇
tr
+ k } u ( r, ϕ ) = 0 ,
odnosno:
2
⎡1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂ 2 ⎤
⎢ ⎜ r ⎟ + k u
2 2 + ( r, ϕ ) = 0
r ∂r ∂r r ∂ϕ
⎥ . (*)
⎣ ⎝ ⎠
⎦
Neka je moguće u rješenju za u(r,ϕ) separirati ovisnost o r i ovisnost o ϕ:
( , ϕ ) R( r) φ ( ϕ )
u r
= ⋅ .
Uvrstimo li ovo u jednadžbu (*), slijedi nakon dijeljenja s R(r)⋅φ(ϕ) te množenja s r 2 :
( ) + ( )
R( r)
′′ ′ φ′′
2
r R r rR r
( ϕ )
( )
2 2
+ + = 0. (**)
φ ϕ
Budući da su r i ϕ nezavisne varijable, a prvi treći član su funkcija isključivo varijable
r dok je drugi ne ovisi o varijabli r, onda ta jednadžba može biti zadovoljena samo
ako je:
φ′′
( ϕ ) 2
= − m ,
φ ϕ
( )
te da funkcija φ(ϕ) , da bi bila jednoznačna, zadovoljava periodičnost po azimutu:
k r
( 0) ( 2 )
φ = φ π ,
pri čemu je m realna konstanta. Ova obična diferencijalna jednadžba za funkciju φ
daje rješenje koje zadovoljava gornje uvjete:
- 79 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
( ) sin cos
φ ϕ = A mϕ + B mϕ
.
Uvrstimo sada to razmatranje za funkciju φ u (**) pa je:
m
( ) + ( )
R( r)
′′ ′
2
r R r rR r
Za funkciju R(r) vrijedit će dakle jednadžba:
m
2
= m .
1 ⎛ m ⎞
+ + − = 0 . (***)
r ⎝ r ⎠
2
2
R′′ R′
⎜ k R
2 ⎟
Rješenje za R = R(r) (dakle komponente polja kao funkcije varijable r) moraju
zadovoljiti sljedeće. U sredini 1, dakle za r < a mora biti:
r < a ⇒ R ( r ) < ∞ .
S druge strane zahtjev je da samo u sredini 2 vrijedi:
( )
r > a ⇒ lim R r = 0 .
r→∞
Rješenje jednadžbe (***) koje zadovoljava prvi uvjet, dakle u sredini 1 dano je
Besselovom funkcijom m-tog reda prve vrste (sl. 13 i 14):
( ) ( )
r < a ⇒ R r = J k r ,
u m u
ako je k 2 = k u 2 > 0 (k 2 pozitivan). Indeks "u" označava unutrašnjost dielektričnog
valovoda. U sredstvu 2 funkcija:
ispunjava uvjet:
( ) ( )
r > a ⇒ R r = C K k r
v m m v
( )
r > a ⇒ lim R r = 0 ,
r→∞
v
ako je k 2 = k v 2 < 0 (k 2 negativan). K m (k v r) je Macdonaldova funkcija ili modificirana
Besselova funkcija m-tog reda. Umjesto u(r,ϕ) možemo sada napisati izraze za
longitudinalne komponente elektromagnetskog vala E zu , H zu , E zv , H zv za m-ti mod:
gdje je:
( )
( )
m m
−
⎧ ⎪ Ezu = Ez0uJm kur sin mϕe
r < a ⇒≤ ⎨
m m
⎪⎩ H
zu
= H
z0uJm kur cos mϕ
e
( )
( )
m m
−
⎪⎧ Ezv = Ez0vKm kvr sin mϕe
r > a ⇒≤ ⎨
m m
⎪⎩ H
zv
= H
z0vKm kvr cos mϕ
e
jβg
z
− jβg
z
jβg
z
− jβg
z
,
,
- 80 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
k = ω µ ε − β > ,
2 2 2
u 1 1 g
0
k = ω µ ε − β < .
2 2 2
v
2 2 g
0
Aksijalne komponente vektora električnog, odnosno magnetskog polja moraju
zadovoljiti granične uvjete:
⎧ Ezu
= Ezv
r = a ⇒ ⎨ ,
⎩H
zu
= H
zv
i to za svaki pojedini mod m:
( )
m
( )
( ) =
m
( )
m
⎧ ⎪ E0zu J
m
kua = E0zvKm kva
r = a ⇒ ⎨
.
m
⎪⎩ H0zu J
m
kua H
0zvKm kva
Transverzalne komponente vektora električnog i magnetskog polja u i u
prostoru oko dielektričnog valovoda mogu se sada izračunati kad znamo aksijalne
pomoću poznatih jednadžbi kojima su izražene transverzalne komponente pomoću
aksijalnih. Tako su sada azimutalne komponente:
⎧
m
⎡ jmβ m g
m jωµ
⎤
1
− j
⎪ Eϕ
u
= ⎢E0 zu
J
2 m ( kur) + H0
zu
J′
m ( kur)
⎥ sin mϕ
e
⎪ ⎣ ku
r
ku
⎦
r < a ⇒ ⎨
⎪ m
⎡
jm
m jωε
β
1
m g ⎤
− j
Hϕu E0zu J′
⎪
= ⎢
m ( kur) + H
0zu J
2 m ( kur)
⎥ cos mϕ
e
⎩ ⎣ ku
ku
r ⎦
⎧
m
⎡ jmβ m g
m jωµ
⎤
2
− j
⎪ Eϕ
v
= ⎢E0zv K
2 m ( kvr) + H0zv K′
m ( kvr)
⎥ sin mϕ
e
⎪ ⎣ kv
r
kv
⎦
r > a ⇒ ⎨
⎪ m
⎡
jm
m jωε
β
2
m g ⎤
− j
Hϕv E0zv K′
⎪
= ⎢
m ( kvr) + H0 zv
K
2 m ( kvr)
⎥ cos mϕ
e
⎩ ⎣ kv
kv
r ⎦
i za radijalne komponente:
⎧
m
⎡ jβ m g
m jωµ
1m
⎤
−
⎪Eru = − ⎢E0zu J′
m ( kur) + H0zu J
2 m ( kur)
⎥ cos mϕ
e
⎪ ⎣ ku
ku
r ⎦
r < a ⇒ ⎨
⎪ m
⎡
j
m jωε1m
β
m g ⎤
− j
H
ru
E0zu J
2 m ( kur) H0zu J′
⎪
= ⎢
+
m ( kur)
⎥ sin mϕ
e
⎩ ⎣ ku
r
ku
⎦
⎧
m
⎡ jβ m g
m jωµ
2m
⎤
−
⎪Erv = − ⎢E0 zv
K′
m ( kvr) + H
0zv K
2 m ( kvr)
⎥ cos mϕe
⎪ ⎣ kv
kv
r ⎦
r > a ⇒ ⎨
⎪ m
⎡
j
m jωε
2m
β
m g ⎤
− j
H
rv
E0 zv
K
2 m ( kvr) H
0zv K′
⎪
= ⎢
+
m ( kvr)
⎥sin
mϕe
⎩ ⎣ kv
r
kv
⎦
Ove relacije vrijede za bilo kojim mod reda m. Pri tome smo pretpostavili da postoje
aksijalne komponente i električnog i magnetskog polja, dakle, općenito su to hibridni
modovi.
β
g z
β
g z
β
g z
β
g z
jβg
z
β
g z
,
jβg
z
β
g z
,
,
.
- 81 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Promotrimo sada konkretni slučaj za m = 0. Iz relacija za polje vidimo da u
tom slučaju opet imamo aksijalno simetrične modove jer je jedna longitudinalna
komponenta polja jednaka nuli. Konkretno TE mod u dielektričnom valovodu znači:
E
= E = 0
0 0
zu zv
( )
( )
g
H = H J k r e , r < a .
0 0
zu 0zu 0 u
g
H = H K k r e , r > a
0 0
zv 0 zv 0 v
− jβ
z
− jβ
z
Transverzalne komponente polja za TE modove izračunamo iz jednadžbi u kojima su
transverzalne komponente električnog i magnetskog polja vezane s longitudinalnom
komponentom električnog polja, pa su one:
odnosno:
H
E
0
r
0
ϕ
jβ
=
ω µε
g
2 2
− βg
jβ
=
ω µε
g
2 2
− βg
∂H
∂r
∂H
∂r
0
z
0
z
,
0
jβ
0 g
H0
zu
− jβg
z
H
ru
= J1
( kur)
e , r < a
ku
,
0
jβ
0 g
H0zv
− jβg
z
H
rv
= K1
( kvr)
e , r > a
k
0
0 1 0zu
ϕu
ku
0
0 2 0 zv
ϕv
kv
v
jωµ
H
− jβg
z
E = J k r e , r < a
1
1
( )
,
jωµ
H
− jβg
z
E = K k r e , r > a
u
( )
v
pri čemu smo uvažili da je:
1 ( v ) =
0 ( v )
( ) = − ( )
∫ J k r dx J k r ,
∫ K k r dx K k r
1 v
0 v
.
Na granici r = a potrebno je zadovoljiti granične uvjete za tangencijalne
komponente električnog polja i normalne komponente magnetske indukcije odnosno:
⎧ E = E ⇒ E = E
⎪
r = a ⇒ ⎨ H = H ⇒ H = H
⎪
⎩B = B ⇒ H = H
0 0
tu tv ϕu ϕv
0 0
tu tv zu zv
0 0
nu nv
µ
1 ru
µ
2 rv
Uvjet za tangencijalne komponente magnetskog polja TE moda na granici dvaju
dielektrika daje:
0 0
r = a ⇒ H J k a = H K k a ,
( ) ( )
0zu 0 u 0zv 0 v
.
- 82 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
odnosno:
( kua)
( )
J
= .
0 0 0
H0 zv
H0
zu
K
0 k
v a
Uvjet za normalne komponente magnetske indukcije, uz pretpostavku izotropnog
medija, daje:
0 0
µ
1H0zu
µ
2H0zv
r = a ⇒ − J1 ( kua) = − K1
( kva)
,
k
k
iz čega slijedi nakon uvrštavanja rezultata za H 0zv :
u
v
ili:
Tu je:
0
µ H
µ
1
H0zu
J1
( kua)
=
k
u
( u )
( )
0
2 0zu
( v )
( )
µ J k a µ K k a
( u )
( k a)
J0
k a K
1 k
v a
K0
v
k
v
( )
1 1 2 1
− + = 0 . (!)
k J k a k K k a
u 0 u v 0 v
( 1 1 ) ( 2 2 ) ( 1 1 2 2 )
k + k = ω µ ε − β + β − ω µ ε = ω µ ε − µ ε .
2 2 2 2 2 2 2
u v g g
,
U slučaju da je µ 1 = µ 2 = µ 0 , što je često ispunjeno:
2 2 2
u v
( )
k + k = ω µ ε − ε .
0 1 2
Pomoću karakteristične jednadžbe (!) možemo izvršiti identifikaciju aksijalno
simetričnih modova u dielektričnom valovodu kružnog presjeka. Da bi ti modovi
propagacije egzistirali korijeni te jednadžbe moraju biti realni. Pokušajmo dobiti te
modove grafičkom konstrukcijom. Zbog jednostavnosti stavimo µ 1 = µ 2 = µ 0 i uz
upotrebu Matlaba nacrtajmo grafove spomenutih Besselovih funkcija na sl. 15. Zatim
nacrtajmo grafove:
− J1
( kua)
k J k a
i K1
( kva)
k K k a .
u
0
( )
u
v
0
( )
Superpozicijom tih dvaju grafova dobivamo korijene karakteristične jednadžbe.
Međutim, ti korijeni moraju biti realni, što znači da moraju postojati sjecišta. To ovisi
o onoj vrijednosti (k u a) koju dobijemo iz:
v
U slučaju:
2
( k a) ω µ ( ε ε ) ( k a)
u
2 2
0 1 2 v
= − − .
( k a) 0 ( k a) ω a µ ( ε ε )
v
= ⇒ = − .
u
0 1 2
Ako je točka (k u a) niža od prvog korijena Besselove funkcije J 0 (ta vrijednost prve
nule jednaka je 2,4) onda ne postoji realni korijen (nema sjecišta na dijagramu), pa
nisu mogući TE modovi propagacije kod takvog dielektričnog valovoda ili
- 83 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
propagacija na tim frekvencijama. Kritična frekvencija za postojanje TE modova je
tada:
ωk
2, 4
f k
= =
.
2π 2π µ ε −ε
( )
0 1 2
Za frekvencije niže od kritične frekvencije dielektrični valovod zrači energiju koja se
tada širi u sredstvu 2, dok je kod frekvencija iznad kritične elektromagnetski val u
sredstvu 2 prigušen pa se energija ne zrači u taj dio prostora. Na sl. 15 prikazana su
dva slučaja jednakih dielektričnih valovoda ali ispunjenim izotropnim sredstvima
različite permitivnosti. Vidimo da u oba slučaja imamo da je vrijednost člana (k u a) za
(k v a) = 0 tolika da postoji više od jednog sjecišta. To znači da postoji istovremeno više
TE modova, dva u prvom slučaju a pet u drugom.
Analizom ekvivalentnoj ovoj može se istraživati uvjete za propagaciju TM
modova. Da se pokazati da je kritična frekvencija koju se dobije za prvi korijen
Besselove funkcije identična za TE i TM modove.
1
0.5
J0
J1
3
2.5
2
K0
K1
1.5
0
1
0.5
-0.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
kva
J1
( kua)
−
kuJ
0 ( kua)
10
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
kua
K1
( kva)
kvK0
( kva)
8
6
a = 20 cm
f = 1 GHz
εr = 5
4
2
0
-2
-4
-6
-8
J1
( kua)
−
kuJ0
( kua)
50
-10
0 1 2 2.4 3 4 5 6 7 8 8.38 9 10
k ua
k va
K1
( kva)
kvK0
( kva)
40
a = 20 cm
f = 1 GHz
εr = 15
30
20
10
0
-10
0 2 2.4 4 6 8 10 12 14 15.67 18 20
k ua
Slika 15. TE modovi propagacije u različitim dielektričnim valovodima
k va
- 84 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
4. Uvod u opću teoriju valovoda
Naša razmatranja idealnih homogenih valovoda u prethodnom poglavlju
doveli su nas do određenih zaključaka. Polje koje se propagira u valovodu (bilo
električno ili magnetsko) funkcija je prostornih i vremenskih koordinata, oblika:
j( t g z)
u x y z t = u x y e ω −β
.
( , , , ) ( , )
Pri tome mogući su općenito TE, TM, TEM i hibridni modovi propagacije
elektromagnetskog vala. Postojanje određenog tipa moda ovisi o dodatnim uvjetima, u
prvom redu rubnim uvjetima. Nadalje, izrazili smo transverzalne komponente polja
pomoću njihovih aksijalnih komponenti:
E = Etr + ezEz
,
H = H + e H .
tr z z
Longitudinalne komponente definirane su pak rješenjima Helmholtzove (ili valne)
jednadžbe s time da ova rješenja moraju zadovoljiti granične uvjete na rubu presjeka
valovoda i ovise o varijablama presjeka. Također smo izračunali da su transverzalne
komponente magnetskog i električnog polja međusobno okomite, primjerice za TM
mod:
H = ωε e ×
E .
tr z tr
β
g
Detaljnije smo se upoznali s TE n0 modovima u pravokutnom valovodu kod kojih je:
Odgovarajuća vlastita vrijednost je:
E
E
xn
yn
= Ezn
= 0
nπ
x .
= Ey0n
sin
a
k
⎛ nπ
⎞
= ω µε − β = ⎜ ⎟
⎝ a ⎠ .
2 2 2
n
g
Kako je n prirodni broj vlastita vrijednost, a tome i vlastite funkcije su diskretne
vrijednosti. Nadalje iz spomenutog principa evidentno je da su vlastite vrijednosti
realne veličine. Međutim nije odmah jasno mogu li postojati takva rješenja, dakle
takve vlastite funkcije u kojima je k n 2 kompleksna veličina.
Pretpostavimo da je veličina:
( ) ( )
2
j( t − z)
n
u x, y, z, t = u x, y e ω γ
,
pri čemu je:
k = ω µε − γ ,
2 2 2
n
n
- 85 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
uz kompleksnu konstantu propagacije za taj mod:
γ = α + jβ
.
n n gn
pa je E yn vlastita funkcija modificirane Helmholtzove jednadžbe za slučaj TE n0
modova:
2
d Eyn
2
k 0
2 n
Eyn
dx
+ = ,
pri čemu ta komponenta polja nije funkcija varijable y. Ona mora zadovoljiti granične
uvjete (sl. 16):
x = 0 ⎫ ⎬ ⇒ E = yn
0 .
x = a⎭
Budući da komponenta polja E y može biti kompleksna funkcija, množenjem
*
Helmholtzove jednadžbe s njegovom konjugirano kompleksnom vrijednošću E yn
dobijemo:
2
d E
* yn 2 *
Eyn + k 0
2 n
EynEyn
= .
dx
Integriranjem gornjeg izraza u granicama od 0 do a slijedi:
d E
E dx + k E E dx = 0
a 2
a
* yn 2 *
yn 2
n yn yn
dx
0 0
∫ ∫ ,
⎛
E
d E ⎞
dx −
dE dE
dx + k E dx = 0
⎝ ⎠
a 2 a *
a
∫ d * yn yn yn 2
2
yn 2
n yn
dx ⎜
dx ⎟ ∫ dx dx
∫
0 0 0
a
2
a 2
a
d E ⎤
* yn
dEyn
2
2
yn 2 ⎥
n yn
dx ⎥⎦
0
0
dx
0
⎡
⎢E − dx + k E dx = 0
⎢⎣
∫ ∫ .
Sada uzmimo u obzir granične uvjete, odnosno da komponenta polja E yn mora biti
jednaka nuli na x = 0 i x = a. Dakle i konjugirano kompleksna vrijednost te
komponente je također jednaka nuli, pa je prvi član u posljednjem izrazu jednak nuli.
Stoga je:
y
y = b
0
x = a
x
Slika 16. Poprečni presjek promatranog homogenog valovoda
- 86 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
k
=
a
∫
2 0
n a
∫
0
dE
dx
E
2
yn
yn
2
dx
.
dx
Posljednja relacija nam govori da u slučaju postojanja nekog polja E yn u valovodu
vlastita vrijednost k 2
n ne može biti negativna niti kompleksna vrijednost. Dakle,
vlastite vrijednosti su pozitivne i realne bez obzira kakva je vlastita funkcija, što smo
željeli i dokazati.
Nadalje dokažimo i istražimo tvrdnju da su dvije različite vlastite funkcije s
različitim vlastitim vrijednostima ortogonalne. Matematički izražena ta tvrdnja glasi u
slučaju TE n0 moda i TE p0 moda u pravokutnom valovodu:
a
∫ E E dx yn yp
= 0, n ≠ p .
0
Pojam ortogonalnost upotrijebljen je po analogiji na ortogonalnost dvaju vektora
iznosa čiji je skalarni produkt:
a ⋅ b = 0 ⇔ a ⊥ b .
Dokaz ove tvrdnje je kako slijedi. Budući da su E yn i E yp vlastite funkcije, onda svaka
od njih mora zadovoljavati odgovarajuću Helmholtzovu jednadžbu:
2
d Eyn
2
dx
2
d Eyp
2
dx
2
+ kn
Eyn
= 0
.
+ k E = 0
Množenjem prve s E yp a druge s E yn te oduzimanjem dobivenih jednadžbi imamo:
2 2
d Eyn
d Eyp
2 2
Eyp − E
2 yn
+
2 ( kn − k
p ) EynEyp
= 0 .
dx dx
To se da napisati kao:
2
p
yp
d ⎛ dEyn ⎞ dEyp dEyn
d ⎛ dE
Eyp
−
yp ⎞ dEyp dEyn
2 2
⎜ ⎟
− ⎜ Eyn
⎟ + + ( kn − k
p ) EynEyp
= 0 ,
dx ⎝ dx ⎠ dx dx dx ⎝ dx ⎠ dx dx
d ⎛ dEyn
dEyp
⎞ 2 2
⎜ Eyp − Eyn ⎟ + ( kn − k
p ) EynEyp
= 0 .
dx ⎝ dx dx ⎠
Integracijom dobivenog izraza od 0 do a dobivamo:
a
a
dEyn
dEyp
⎤ 2 2
yp yn ( n p ) yn yp
dx dx
⎥
⎦ 0
0
⎡
⎢E − E + k − k ∫ E E dx = 0 .
⎣
- 87 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Budući da na granicama vrijedi:
slijedi da je:
( ) ( ) ( ) ( )
E 0 = E a = E 0 = E a = 0 ,
yp yp yn yp
2 2
( )
a
k − k ∫ E E dx = 0 .
n p yn yp
0
Budući da su vlastite vrijednosti različite i različite od nule mora biti:
a
k ≠ k ≠ 0 ⇒ ∫ E E dx = 0 ,
2 2
n p yn yp
0
što je i trebalo dokazati. U općem obliku, za valovod proizvoljnog presjeka vrijedi:
n ≠ p ⇒ ∫ Etrn
EtrpdS
= 0 .
S
Da bi bolje shvatili fizikalno značenje ortogonalnosti izračunajmo snagu koja se
prenosi valovodom u kojem su superponirana dva vala. U tu svrhu izračunajmo
kompleksni Poyntingov vektor preko površine presjeka valovoda, odnosno snagu P
elektromagnetskog vala koja se kroz poprečni presjek valovoda propagira uzduž
njegove osi:
1 1
P = Re ( E ) ( )
* Re
*
tr
× Htr ⋅ d S = ez ⋅ Etr × Htr
⋅dS
2
∫
2
∫
.
S
U našem konkretnom slučaju u kojem se propagiraju dva TE moda (TE p0 i TE n0 )
imamo sljedeće:
Ezp = Ezn = Exp = Exn
= 0 ,
Ey = Eyn + Eyp
.
H = H + H .
Kod TE i0 (i prirodan broj) je:
te je:
Zbog:
je:
odnosno:
∂E
tr trn trp
H = 0 ⇒ H = e H
y tr x x
H
x
= H
xn
+ H
xp
.
rot E = − jωµ
H ,
y
− = − jωµ
H
x
⇒ H
x
= E
vi y
,
∂z
S
,
jγ
ωµ
vi Ako ne bi bilo gubitaka u valovodu dobili bi opći oblik za TE modove:
βg
γ = 0 + jβ
g
⇒ H
x
= − Ey
.
ωµ
- 88 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
j
H
x
= ( γ
nEyn + γ
pEyp
) .
ωµ
Našu relaciju za propagiranu snagu u smjeru osi z sada možemo pisati kao:
a b
1 Re
*
P = −EyH xdxdy
2
∫∫
0 0
vii ,
odnosno uvrštavajući dobivene sveze između komponenti elektromagnetskog polja:
a b
1 j
P = Re − E + E E + E dxdy
2
ωµ
* * * *
∫∫ ( yn yp ) ( γ
n yn
γ
p yp ) ,
0 0
2 2
( )
* * * * * *
yn
γ
n
γ
n yn yp
γ
p yp yn yp
γ
p
a b
1 ⎧ j
⎫
P = Re ⎨ − E + E E + E E + E dxdy⎬
2 ⎩ωµ
0 0
⎭
∫∫ .
Budući da su drugi i treći član podintegralne funkcije jednaki nuli zbog
ortogonalnosti, slijedi da je ukupna snaga:
2 2
( γ )
* γ
*
a b
1 ⎧ j
⎫
P = Re ⎨− E + E dS ⎬ = P + P
2 ⎩ ωµ
0 0
⎭
∫∫ yn n yp p n p
.
Iz posljednje relacije zaključujemo da kad vrijedi ortogonalnost ukupna snaga koja se
prenosi svim modovima jednaka je sumi snaga koje prenose pojedini modovi, iz čega
zaključujemo da nema interakcije između elektromagnetskih valova koji se
propagiraju valovodom različitim modovima.
Ako je neki E yn vlastita funkcija, onda je i veličina E' yn koju dobijemo
množenjem E yn s proizvoljnom konstantom vlastita funkcija, koja ima istu vlastitu
vrijednost. Koristeći ovu činjenicu možemo izvesti normalizaciju koja je u našem
primjeru TE n0 moda homogenog valovoda pravokutnog poprečnog presjeka dimenzija
a x b dana relacijom:
Budući da smo imali za:
mora biti ispunjeno za tu E' yn da je:
E
yn
a
2
∫ E ′ dx yn
= 1.
0
nπ
x
= Ey0n
sin ,
a
nπ
x nπ
x a
sin = 1⇒ sin = 1⇒ ⋅ = 1
2
a
a
2 2 2 2 2
Ey0n dx Ey0n dx Ey0n
a
a
0 0
∫ ∫ ,
iz čega slijedi da je:
vii
Znak minusa ispred E y u relaciji je zbog toga što je propagacija u smjeru osi +z, a vrijedi:
− e × e = e .
y x z
- 89 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
E y 0 n
pa je normalizirana vlastita funkcija polja:
2
= ,
a
2 nπ
x
E′ yn
= sin .
a a
Nadalje konstatirajmo da je polje u valovodu suma polja od pojedinih modova kojima
broj raste u beskonačnost. viii To znači da je u općem slučaju polje u valovodu
beskonačna suma vlastitih funkcija s pripadnim vlastitim vrijednostima, pa to
možemo napisati u općem obliku:
∞
u x = ∑ a u x ,
( ) ( )
m=
1
pri čemu su u m normalizirane vlastite funkcije polja. U našem konkretnom slučaju
TE n0 modova:
∞
m
m
( ) ′ ( )
E x = ∑ v E x ,
y n yn
m=
1
pri čemu su koeficijenti v n definirani relacijom:
a
2 nπ
x
vn
= Ey
( x)
sin dx
a
∫ .
a
0
Gornja razmatranja u svezi su sa zbivanjima u pravokutnom valovodu i to za
TE n0 modove. Bez posebnog dokazivanja ustvrditi ćemo da se slična svojstva vlastitih
funkcija mogu pokazati da vrijede u općem slučaju valovoda konstantnog presjeka. U
svim našim razmatranjima smatramo da možemo rješavati poopćenu valnu
(Helmholtzovu) jednadžbu:
2
rot rot E − grad div E − k E = 0 ,(*)
trn trn trn
koja vrijedi u čitavom presjeku valovoda i to za propagaciju u +z smjeru i za:
2 2 2
k = ω µε − γ ,
uz:
γ = α + jβ
.
Gornju jednadžbu dobivamo uz:
z
E = ( Etr + ezEz
) e −γ
,
H = H + e H e −γ
.
z
( tr z z )
Uvrštavanjem u Maxwellove jednadžbe slijedi:
viii Ovu tvrdnju nećemo posebno dokazivati.
- 90 -

odnosno:
rot Etr = − jωµ
ezH
z
rot Htr = − jωε
ezEz
div E tr
= γ E z
,
,
,
MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
div H tr
= γ H z
,
nakon čega slijedi jednadžba (**).
Rješenja te jednadžbe moraju zadovoljiti uvjete na granici. Budući da je
longitudinalna komponenta električnog polja na konturi jednaka nuli slijedi da je na
granici:
⎧ ⎪n× Etr
= 0
Ez
= 0 ⇒ ⎨ .
⎪⎩ div Etr
= 0
Mogli bi i ovdje dokazati da je:
k
2
n
=
∫
S
2 2
( rot
trn
+ div
trn )
E E dS
∫
S
E
realna i pozitivna veličina.
Nadalje, mogli bi dokazati da su različiti modovi propagacije međusobno
ortogonalni, dakle da vrijedi:
S
2
tr
dS
( Etrn ⋅ Etrp ) dS = 0, n ≠ p, kn ≠ 0, k
p
≠ 0
∫ ,
što se odnosi i na komponente magnetskog polja.
Prihvatimo poopćenje normalizacije svake vlastite funkcije kao:
S
( Etrn
⋅ Etrn
) dS = 1
∫ ,
te napišimo vrijednost polja pomoću sume modova:
,
gdje su koeficijenti:
E = ∑v E ,
tr n trn
n
( )
v = ∫ E ⋅
E dS .
n tr trn
S
Međutim, da bi zaista generalizirali problem morali bi smatrati da općenito postoji
upadni i povratni val što bi mogli izraziti relacijom:
odnosno:
⎡ div E
E = ∑ ⎢Etrn vn e + vn e + ez vn e − vn
e
n ⎣
γ
n
+ −γ nz − γ nz trn + −γ nz − γ nz
( ) ( )
⎤
⎥
⎦
(AA)
- 91 -

⎡ez × Etrn rot Etrn
H = ∑ ⎢ v e − v e −
n ⎣ Z0n Z0nγ
n
v e + v e
pri čemu je:
2 2 2
γ = k − ω µε .
+ −γ nz − γ nz + −γ nz − γ nz
( n n ) ( n n )
n
n
MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
⎤
⎥
⎦
, (BB)
Gornje jednadžbe su općenite i treba voditi računa pri interpretaciji o egzistenciji
pojedinog moda kojeg stvarno promatramo. Naime ako bi to bio samo TE mod u
jednadžbi (AA) za električno polje otpada drugi član, a valna impedancija bila bi:
jωµ
TE: Z0n
= ,
γ
n
odnosno za slučaj bez gubitaka:
ωµ
γ
n
= jβgn ⇒ Z0n
TE
= .
β
Kod TM modova otpada drugi član u (BB), a valna impedancija je:
γ
n
TM: Z0n
= ,
jωε
dok kod TEM moda propagacije otpada drugi član u obje jednadžbe (AA) i (BB), a
valna impedancija je:
TEM:
Z0n
Relacije (AA) i (BB) sadrže koeficijente:
µ
= .
ε
gn
v e
+ −γ nz
− γ nz
n
± vn
e .
Oni imaju isti oblik kao izrazi za napon i struju kod prijenosne linije:
γ z γ z
( ) − +
U z = U e + U e ,
+ −
1 z z
( ) ( − γ
+ γ
+ − )
I z = U e − U e ,
Z
pa bi se relacije (AA) i (BB) mogle napisati u obliku:
0
⎡ div E
( ) trn
⎤
E = ∑ ⎢EtrnU n
z + ez Z0nIn
( z)
⎥ ,
n ⎣
γ
n ⎦
⎡ rot E ⎤
trn
H = ∑ ⎢ez × EtrnI n ( z) − U
n ( z)
⎥ .
n ⎣
Z0nγ
n ⎦
Na ovaj način smo uveli u praksu našu raniju tvrdnju da ćemo svaki mod u valovodu
tretirati kao posebnu prijenosnu liniju. Pri tome bi U n i I n predstavljali napon i struju
tih linija za n-ti mod.
- 92 -

Izračunajmo sada snagu prenesenu nekim valovodom. Ta snaga je:
1 1
P = Re e ( ) ( )
* Re
*
z
⋅ E × H dS = E ⋅ − ez
× H dS
2
∫
2
∫
.
S
1 * *
P = Re ∑ EtrnVn ( z) ⋅∑
EtrnIn
( z)
⋅dS
2
∫ ,
S
n
1 *
P = Re ∑Vn ( z) In ( z)
dS = ∑ Pn
2
∫ ,
S
n
n
S
n
MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
pri čemu je P n snaga koja se prenosi n-tim modom ako bi imali samo upadni val:
* *
2
P 1 Re( ) 1 Re( 0 )
1
n
= U
n
⋅ In = InZ n
⋅ In = In Z0n
.
2 2 2
Dakle, snaga koja se prenese valovodom posredstvom n modova ekvivalentna je snazi
koja se prenese s n odgovarajućih prijenosnih linija.
Fazna i grupna brzina elektromagnetskog vala
Razmatranjima o prostiranju elektromagnetskog vala duž aksijalne osi
valovoda ustvrdili smo da postoje iste zakonitosti pojedinog moda kao i za napon i
struju neke prijenosne linije. Međutim naglasimo činjenicu da fazna konstanta u
valovodu ima različitu ovisnost o frekvenciji od fazne konstante kod prijenosne linije.
Odnosno sjetimo se da kod idealne prijenosne linije karakteristična impedancija nije
ovisna o frekvenciji:
dok fazna konstanta:
Z
0
L
= ,
C
ω 2π
βg
= β = = ,
v λ
ovisi linearno o frekvenciji (sl. 11). Kod valovoda je fazna konstanta:
g
2 2
( k )
β = µε ω − ω .
Budući da je fazna brzina:
v
p
ω
= ,
β
g
kod prijenosne linije ona nije funkcija frekvencije dok kod valovoda jest. Dva vala
različitih frekvencija koji se propagiraju valovodom imat će dakle različite fazne
brzine. Pretpostavimo da imamo signal kao superpoziciju dvaju valova frekvencija ω i
ω + ∆ω te faznih konstanti β g i β g + ∆β g i, zbog jednostavnosti, jednakih amplituda A
koji je opisan relacijom:
- 93 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Slika 17. Superpozicija dvaju valova različitih frekvencija u valovodu
( βg ω ) cos ⎡( βg βg
) ( ω ω)
Acos
z − t + A z t⎤
⎣
+ ∆ − + ∆
⎦
=
⎡1 ⎤ ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ,
= 2Acos ⎢ ( ∆βg z − ∆ωt)
⋅ cos ⎜ β
g
+ ∆βg
⎟ z − ⎜ω + ∆ω
⎟t
2 ⎥ ⎢
2 2
⎥
⎣ ⎦ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
pri čemu izraz:
⎡1
⎤
cos
⎢ 2
( ∆βg z − ∆ωt)
⎣
⎥
⎦ ,
predstavlja envelopu ili ovojnicu vala, što je skicirano na sl. 17. Brzina kojom se
propagira envelopa duž valovoda je konstantna:
pa je:
d
dz
∆β
g
z − ∆ ωt = konst. ,
dz
∆ − ∆ = ⇒ ∆ − ∆ = .
dt
( βg
z ωt) 0 βg
ω 0
Brzina kojom se duž valovoda propagira envelopa vala je u skladu s definicijom:
Izraz:
v
env
dz ∆ω
= = .
dt ∆ β
⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤
cos ⎢⎜ βg + ∆βg ⎟ z − ⎜ω + ∆ω
⎟t
2 2
⎥
⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ,
g
predstavlja val ispod envelope koji se giba brzinom jednakoj srednjoj faznoj brzini
pojedinih superponiranih valova. Energija koju nose ti signali putovat će brzinom
kojom se širi envelopa. U slučaju da razlika u frekvencijama tih signala postane
jednaka nuli (∆ω = 0), dva signala postaju jedan i brzina envelope, dakle brzina kojom
se propagira energija a koju zovemo grupna brzina je:
- 94 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
v
g
∆ω
dω
= lim = .
∆ω→0
∆β
dβ
g
g
Dakle, grupna brzina je brzina prostiranja energije elektromagnetskog vala kružne
frekvencije ω.
Grupna brzina u valovodu konstantnog presjeka bez gubitaka je:
odnosno vrijedi:
v
g
2 2
( −
k )
dω
1 µε ω ω 1 βg
1 1
= = = = = ,
dβ dβ
g g µεω µε ω µε vp
dω
v v
p
g
1 2
= = v0
.
µε
Drugim riječima, umnožak brzine kojom se propagira faza elektromagnetskog vala i
brzine kojom se propagira njegova envelopa odnosno brzine širenja energije koju taj
val nosi, jednaka je kvadratu brzine propagacije elektromagnetskog vala u
neograničenom sredstvu zadanih karakteristika. Ako bi to sredstvo bilo vakuum bilo
bi:
2
µ = µ ε = ε ⇒ v v = c ,
0, 0 p g
odnosno tada bi taj umnožak fazne i grupne brzine bilo jednak kvadratu brzine
propagacije elektromagnetskog vala u slobodnom prostoru, odnosno kvadratu brzine
svjetlosti c. Naime:
ω ω
vp
= =
;
β 2 2
g µε ω −ω
( k )
ako se frekvencija približava kritičnoj tada je: lim
ω
v p
→ωk
= ∞ .
U valovodu je uvijek fazna brzina veća od brzine svjetlosti u sredstvu kojim je
ispunjena unutrašnjost valovoda (v p > v 0 ). Međutim činjenica da je umnožak fazne i
grupne brzine konstantan znači:
v > v & v v = v ⇒ v < v ,
2
p 0 p g 0 g 0
odnosno daje na znanje da nije narušeno pravilo teorije relativnosti te da se energija
elektromagnetskog vala u valovodu stvarno propagira brzinom manjom od brzine
svjetlosti. ix Uočimo da za TEM mod, čija je osnovna karakteristika da nema
longitudinalne komponente polja, uslijed linearne ovisnosti brzine propagacije o
frekvenciji vrijedi:
ix Međutim, drugačija činjenica vrijedi ako promatramo signale čije su frekvencije manje od kritične
frekvencije odnosno koje valovod prigušuje, a što se može uočiti i na sl. 16. Da se pokazati da u tom
slučaju dio elektromagnetske energije koja unatoč gušenju stigne do točke prijama može doći brzinom
većom od svjetlosti, pri čemu nije narušena kauzalnost (moguće je poslati i informaciju). Istaknimo da
je analiza tog slučaja analogna predstavljenoj analizi i ni u čemu ne narušava izvedene zaključke a niti
postavlja bilo kakve dodatne ograde, te da može poslužiti kao još jedna u nizu potvrda efikasnosti
Maxwellove teorije elektromagnetizma. Pojava je eksperimentalno potvrđena, a često se u literaturi
naziva mikrovalno tuneliranje.
- 95 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
2
1.8
ω < ωk
GUŠENJE
ω > ωk
PROPAGACIJA
1.6
1.4
Normalizirana grupna brzina
1.2
1
0.8
BRZINA SVJETLOSTI
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Normalizirana frekvencija
Slika 18. Grupna brzina u ovisnosti o frekvenciji
ω = 0 ⇒ v = v = v .
k p g
0
Na sl. 18 prikazan je dijagram ovisnosti grupne brzine o frekvenciji, pri čemu su obje
veličine normalizirane kritičnom frekvencijom. Uočimo da je za frekvencije manje od
kritične grupna brzina (kao i fazna brzina) je imaginarna.
Gubici u homogenim valovodima
Do sada smo promatrali modove u idealnim homogenim valovodima, tj.
onima čije su stjenke idealno vodljive. Realni valovodi imaju konačno vodljive
stjenke, a stoga se mijenjaju rubni uvjeti. Dok smo kod valovoda s idealno vodljivim
stjenkama imali situaciju u kojoj nema tangencijalne komponente električnog polja,
kod realnih valovoda postoji i ta komponenta. Dakle, umjesto rubnog uvjeta za idealni
valovod:
σ → ∞ ⇒ E t
= 0 ,
na granici realnih valovoda vrijedi:
σ < ∞ ⇒ E = E .
t1 t 2
Slično tome više ne vrijedi kao kod idealnih valovoda:
σ → ∞ ⇒ = κ ,
H t
gdje je κ površinska gustoća struje, već je na granici:
σ < ∞ ⇒ H = H .
t1 t 2
Činjenica da postoji tangencijalna komponenta električnog i magnetskog polja na
granici znači da će se određena snaga, iako mala, gubiti u stjenkama valovoda i prema
- 96 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
tome predstavljati gubitke u promatranom valovodu. Stoga će se snaga koja se
propagira valovodom smanjivati po zakonu:
2
P = P e − α z ,
gdje je P 0 snaga u točki z = 0, a α konstanta gušenja koju želimo izračunati, odnosno:
0
dP
dP
= −2α
P ⇒ α = − dz .
dz
2P
Izračunajmo stoga promjenu snage u smjeru propagacije. Znamo da je za k-ti mod
snaga:
1
Re
*
P = ( Etrk
× Htr
) ⋅d S
2
∫
.
S
Kako je otprije poznato komponente polja možemo izraziti preko normiranih
vrijednosti, te su promatrane transverzalne komponente:
Etrk = Etrk ⋅U norm k
z
H = e × E ⋅ I z
trk z trk norm k
( ) ,
( )
Njihovim uvrštavanjem u relaciju za snagu dobivamo:
1 1
P = Re ( E U × e × E I ) ⋅ d S = Re e ⋅
norm norm ( E ⋅ E
norm norm ) U I ⋅d S
2
∫
2
∫
,
S
* * * *
trk k z trk k z trk trk k k
S
odnosno kako je presjek S funkcija varijabli x i y, a struja i napon nisu već su funkcije
isključivo varijable z možemo pisati:
1 ⎧
Re
* *
⎫
P = U
k
I ⎡
k
ez ( Etrk E ⎤
⎨ ⋅ ⋅
norm trk norm ) ⋅d S ⎬
2
∫
.
⎢⎣
⎥
⎩
⎦
S
⎭
Kako su pod integralom normirane vrijednosti vrijedi:
pa je:
⎡
*
ez ( Etrk E ⎤
∫ ⋅ ⋅
trk ) ⋅ d S = 1,
⎢ ⎣
norm norm ⎥ ⎦
S
1 * 1 2
P = Re( U
k
Ik ) = Ik Z0k
.
2 2
Promotrimo gubitak snage dP za infinitezimalno mali pomak dz u smjeru propagacije
kao na sl. 19, pri čemu je površina integracije S prikazana crtkano određena krivuljom
c koja omeđuje presjek valovoda i duljinom dz:
z+
dz
1
Re
*
dP = − ( Ek × H
k ) ⋅ ( τds×
ezdz)
2
∫ ∫
,
c
z
.
- 97 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
e z
τ
z
dz
c
Slika 19. Proračun snage vala koji se propagira valovodom
pri čemu je ds elementarni pomak po krivulji c, a normala na stjenku valovoda
(površinu S) je:
e = τ × e .
0 z
U računanju ove relacije poslužimo se rezultatom kojeg dobijemo za odnos
električnog i magnetskog polja kod prolaza ravnog vala kroz vodljive sredine:
* 1+
j
*
e0
× Ek
= δµω H
k
,
2
gdje je δ debljina kože koja opisuje stupanj penetracije elektromagnetskog vala u
stjenke konačne vodljivosti valovoda:
2
δ = ,
ωµσ
a σ specifična vodljivost stjenke valovoda. Dakle, izraz za gubitke postaje:
odnosno:
z+
dz
1 ⎡
Re
*
⎤
dP = − ⎢( 1 + j) δµω ( H
k
⋅ H
k ) ⋅dsdz⎥
4
∫ ∫
,
⎣
c z
⎦
dP 1
2
= − δµω H
k
ds
dz 4
∫
.
c
Uvrstimo li ovo u izraz za konstantu gušenja dobivamo:
δωµ
∫
2 2
H ds δωµ H ds
k
k
c
2
P Ik
Z0k
c
α = =
8 4
∫
.
- 98 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Mikrovalni diskontinuiteti
U prethodnim razmatranjima tretirali smo valovode kao beskonačno duge
mikrovalne "uređaje" za prijenos energije. Međutim, očigledno ovi imaju smisla tek
kada povezuju određene mikrovalne uređaje. Dakle pred nas se postavlja zahtjev
razmatranja zbivanja u valovodima kada su na njih priključeni određeni
diskontinuiteti. Da bi problem samo naznačili, pretpostavimo da je u pravokutnom
valovodu vodljiva pregrada zanemarive debljine kao na sl. 20. Kao što je naglašeno i
prije, ako se radi o pregradi od idealnog vodiča tada je tangencijalna komponenta
električnog polja jednaka nuli na njenim stjenkama. Međutim da smo u tom valovodu
imali TE 10 mod propagacije taj uvjet na pregradi nije za njega zadovoljen. Stoga će se
na mjestu diskontinuiteta generirati određeni broj ostalih modova tako da spomenuti
granični uvjet bude zadovoljen. Većina tih modova ili svi nemaju mogućnost
propagacije (konstanta propagacije imaginarna vrijednost), pa na izvjesnoj udaljenosti
od diskontinuiteta u smjeru propagacije nemamo više tih modova. Polje na mjestu
diskontinuiteta kao i svagdje u valovodu može se predočiti linearnom kombinacijom
funkcija polja od raznih modova. Ovdje ćemo bez dokazivanja ortogonalnosti
ustvrditi:
S
( trn trk ) 0,
∫ E ⋅ E dS = n ≠ k .
Posljedica ortogonalnosti dvaju različitih modova propagacije očituje se u tome da se
valovodom propagira napose snaga svakog pojedinog moda bez interakcije.
Obzirom na činjenicu da se elektromagnetska polja propagiraju duž valovoda
na isti način kao napon i struja po prijenosnoj liniji, te nadalje da smo utvrdili za
jednostavne strukture linija prijelaz s jednih na drugi par veličina, moguće je i ovdje
na valovodima definirati u matematičkom smislu par veličina slično naponu i struji
čiji će omjer predstavljati impedanciju. Na ovaj način moći ćemo zbivanja u valovodu
na kojeg su priključeni određeni diskontinuiteti odnosno sklopovi tretirati u velikom
broju slučajeva analizom krugova s raspodijeljenim parametrima koju već poznajemo.
Pri tome ćemo, obzirom na ortogonalnost moći svaki pojedini mod zamijeniti
posebnom prijenosnom linijom.
y
z
x
r
Slika 20. Vodljiva pregrada u pravokutnom valovodu
- 99 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Promotrimo primjer TE 10 moda koji je dominantan u pravokutnom valovodu.
Transverzalne komponente polja su u tom slučaju:
sin π x − jβg
z
Ey
= E0 ⋅ e ,
a
βg
sin π x − jβg
z
H
x
= E0 ⋅ e ,
ωµ a
Uvedimo sada funkcije U i I koje ne ovise o transverzalnim koordinatama, a
zadržavaju samo ovisnost o z:
( ) 1 π x
Ey
= U z sin , K a
( ) 1 π x
H
x
= I z sin , K a
gdje je:
U z
( ) 0
− j g z
= KE e β
,
βg
− j g z
I ( z) = K E0e β
.
ωµ
Snaga prenesena pomoću transverzalnih komponenti elektromagnetskog polja je:
β
P = E H dS = E dxdy
a b
* g 2 2 π x
∫∫ y x
0
sin
ωµ
∫∫ ,
a
S
0 0
2
g
E0
ab
P = β .
2ωµ
2
Snaga predstavljena naponom i strujom je:
isto tako:
odnosno:
* 2 2
1 UU 1 K E0
P = 2 Z
= 2 Z
,
0 0
2
1 * 1 βg
2 2
P = II Z0 = K E
2 2 0
Z0
,
2 2 ω µ
1 * 1 βg
2 2
P = UI = K E0
.
2 2 ωµ
Vidimo da je valna impedancija valovoda:
Z
0
ωµ
= ,
β
g
- 100 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Slika 21. Terminiranje valovoda prilagođenom impedancijom
a konstanta K:
ab β
ab
= ⇒ = .
2 ωµ
2
2
g
K Z0
K
U slučaju valovoda koji je opterećen proizvoljnim diskontinuitetom općenito postoji
upadni i reflektirani val, pa možemo pisti iste jednadžbe za napon i struju kao i kod
prijenosne linije:
− jβ
z jβ
z
U z = U e + U e ,
( )
g g
+ −
1 − jβg z jβg
z
( ) ( + − )
I z = U e − U e .
Z
0
Promotrimo za primjer prilagođenu impedanciju, ostvarenu kao na sl. 21. U
tom slučaju nema reflektiranog vala pa možemo pisati:
te je normirana impedancija:
j g
( ) U e − β
U z
( )
I z
+
z
= ,
U
+ − jβg
z
= e ,
Z
0
Z
n
( z)
( ) 1 U ( z)
( )
Z z
= = = 1,
Z Z I z
0 0
kao što smo već znali za slučaj prilagođenog opterećenja na prijenosnoj liniji.
Općenito u slučaj diskontinuiteta u valovodu kao primjerice na sl. 22a,
možemo predstaviti ekvivalentnom shemom za sklopove s dva priključka kao na sl.
22b, pa možemo pisati:
I 1
U 1
I 2
U 1
a)
r
b)
Slika 22. a. Diskontinuitet u obliku tanke ravnine sa šupljinom proizvoljnog presjeka,
b. Ekvivalentna shema
- 101 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
TABLICA 1. RAZLIČITI TIPOVI PREGRADA U PRAVOKUTNOM VALOVODU
Poprečni presjek
Ekvivalentna
shema
Normirana impedancija
1
2
3
4
5
6
ili u matričnom obliku:
[ U ] [ Z ] [ I ]
U = I Z + I Z
1 1 11 2 12
U = I Z + I Z
2 1 21 2 22
⎡U ⎤ ⎡Z Z ⎤ ⎡ I ⎤
= × ⇔ = ×
,
1 11 12 1
⎢
U
⎥ ⎢
2
Z21 Z
⎥ ⎢
22
I
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2 ⎦ .
- 102 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Zbog simetričnosti vrijedi da je:
Z
= Z .
12 21
Vidimo da je Z-matrica u ovom slučaju 2 x 2, dok bi u slučaju strukture s n
priključaka ta matrica bila dimenzija n x n. Različiti tipovi prepreka u pravokutnom
valovodu i njihove ekvivalentne sheme predstavljene su u tablici 1.
- 103 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
5. Mikrovalni sklopovi
Valovodi služe za prijenos energije između različitih mikrovalnih sklopova.
Pri tome, nastojimo da se taj prijenos odvija jednim modom propagacije, kojeg znamo
pobuditi i kojeg znamo primiti. Na prijelazu iz valovoda u neku mikrovalnu strukturu,
da bi bili zadovoljeni uvjeti na granici, generira se niz modova zbog zadovoljenja tih
uvjeta. Međutim, ti modovi se prigušuju u valovodu (fazna konstanta im je
imaginarna) i na nekoj udaljenosti od te strukture iščezavaju. Stoga ćemo umjesto
računanja polja što bi predstavljalo nepremostive poteškoće smatrati da je promatrana
struktura kutija koju poznamo preko zbivanja na njenim priključcima (prijenosnim
linijama i valovodima). Referentnu ravninu u tim priključcima odabiremo dovoljno
daleko od strukture kako bi izbjegli mogućnost postojanja neželjenih modova. Dakle,
mi tu strukturu odnosno mikrovalni sklop možemo opisati pomoću matrice
impedancija ili tzv. matrica raspršenja. Pri tome, ograničit ćemo se na promatranje
linearnih, pasivnih sklopova.
Na sl. 1 je prikazana jedna takva struktura s N priključaka. U svakom
priključku propagira se po jedan mod. Ako bi se u fizičkom priključku propagiralo
više modova tada bi ih zamijenili s odgovarajućim brojem linija. Na slici su označene
referentne ravnine koje su okomite na smjer propagacije. U referentnoj ravnini k-tog
priključka postoje transverzalne komponente električnog i magnetskog polja, koje
možemo predočiti izrazima:
Etr , k
= E′
tr, k ( x,
y) U
k ( z)
,
H = H′
x y I z ,
( ) ( )
tr, k tr, k
,
k
pri čemu su E' tr,k i H' tr,k normalizirane funkcije polja k-tog priključka koji se može
poistovjetiti s fizičkim priključkom ako u njemu propagira samo jedan mod. Međutim,
ako postoji više modova tada je to samo električki priključak koji odgovara
određenom modu. Koeficijenti U k i I k zadovoljavaju jednadžbe prijenosne linije, kako
je prikazano u poglavlju 4. Međutim treba uočiti da će bilo U k bilo I k predstavljati
koeficijente "napona" odnosno "struje" koji su superpozicija vala koji dolazi u
strukturu i vala koji dolazi iz nje, dakle veličine proporcionalne stojnom valu. Mi
međutim želimo izraziti E k i H k pomoću tzv. normalnih modova, a koji će tretirati
putujuće valove u smjeru strukture i u suprotnom smjeru. Takvi modovi biti će
definirani diferencijalnom jednadžbom oblika:
R 1
R 2
R N
n N
n 1
n 2
Slika 1. Mikrovalna struktura s N priključaka raznih tipova
- 104 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
∂ak
∂z
= pa ,
k
gdje je p konstanta. Rješenja ove jednadžbe su putujući valovi:
Onaj u smjeru strukture označimo s:
a
dok je putujući val iz strukture:
b
U = U e + U e
+ − γ k z − + γ k z
k k k
1
I = U e −U e
+ − γ k z − + γ k z
( )
k k k
Z0k
k z
k
= rU +
k
e −γ
,
k z
k
= rU −
k
e + γ .
Odredimo tako realnu konstantu r da nam radna snaga k-tog priključka koja se
propagira u smjeru strukture bude:
P = a ⋅ a ∗ ,
k , up k k
a radna snaga koja izlazi iz k-tog priključka:
.
P = b ⋅ b ∗ .
k , iz k k
Stoga je ukupna radna snaga k-tog priključka:
P = P − P = a a − b b . (*)
∗ ∗
k k , up k , iz k k k k
Od ranije znamo da je snaga P k izražena pomoću stojnih valova:
Dakle je:
1 Re ( U I ∗
)
Pk =
k k
.
2
1 ⎛ 1 1 ⎞⎛ 1 ∗ 1 ∗ ⎞ 1
Pk = Re⎜ ak + bk ⎟⎜ ak − bk
⎟
2 ⎝ r r ⎠⎝ r r ⎠ Z
∗
0k
1 ⎡ 1 ∗ ∗ ∗ ∗ 1 ⎤
Pk = Re ⎢ 2 ( akak − akbk + akbk − bk bk
) ∗ ⎥ .
2 ⎣r
Z0k
⎦
,
Drugi i treći član u zagradi su zbrojeni čisto imaginarni broj jer uzevši:
pa je uz (*):
iz čega slijedi da je:
k
=
1
+
2 ⎫ ∗
∗
⎬ ⇒ akbk − akbk
= jA1 B2 − B1
k 1 2
a A jA
b = B + jB ⎭
( ) ( )
Z
( )
1 1 1
P = a a − b b = a a − b b ,
∗ ∗ ∗ ∗
k 2
k k k k k k k k
2 r Re
0k
,
- 105 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
1 1 1 1
= 1⇒ r = .
( ) ( )
2
2 r Re Z0k
2 Re Z0k
Dakle, promatrač u referentnoj ravnini k-tog priključka promatra dva putujuća
vala, od kojih je jedan ide u smjeru normale, čija je efektivna amplituda a k . Taj val
može u promatrani sklop dolaziti iz generatora ili neke druge strukture. Drugi val
efektivne vrijednosti b k propagira se u suprotnom smjeru. On dolazi u referentnu
ravninu k-tog priključka iz strukture i to bilo kao posljedica refleksije upadnog vala od
strukture zbog neprilagođenja, bilo zbog uzbuđivanja tog od ostalih priključaka.
Dakle struktura je karakterizirana s dva fenomena: refleksije i transmisije. Znači i
matrica raspršenja koja će povezivati međusobno sve upadne valove sa svim izlaznim
valovima iz strukture imat će elemente koji karakteriziraju koeficijente refleksije,
odnosno transmisije.
Pozabavimo se malo gornjom relacijom. Rekli smo da su napon i struja u k-
tom priključku i to u referentnoj ravnini:
gdje je (za slučaj da nema gubitaka):
1
U
k
= ( ak + bk
)
r
1
I = a − b
( )
k k k
rZ0k
( )
( )
+ − jβgk
z − jβgk
z
k
=
k 0
=
k 0
a rU z e a e
− + jβgk
z + jβgk
z
k
=
k 0
=
k 0
b rU z e b e
, (**)
pri čemu smo pretpostavili da je z udaljenost od ishodišta koordinatnog sustava do
referentne ravnine. Stoga bi a k0 i b k0 bile vrijednosti upadnog i reflektiranog
naponskog vala u ishodištu.
Pretpostavimo sada da su svi priključci osim i-tog prilagođeni i da nemaju
priključen generator. Dakle je:
a = a = .... = a = a = .... = a = 0 & a ≠ 0.
1 2 i− 1 i+
1
N i
,
Tada je na nekom mjestu z i-tog priključka omjer vala koji dolazi iz strukture, koji u
ovom slučaju predstavlja val reflektiran od strukture (jer su svi ostali a k,k ≠ i = 0) i vala
koji ulazi u strukturu jednak koeficijentu refleksije i-tog priključka:
+ jβgiz
i i0 i0
i − jβgi
z
ai
a a
i0e
i0
b b e b j2βgiz
Γ = = = e .
Dogovorimo se sada o izboru položaja ishodišta koordinatnog sustava. Neka je z = 0 u
referentnoj ravnini i-tog priključka, pa je koeficijent refleksije:
b
i0
Γ
i
= = sii
,
ai
0
- 106 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
odnosno možemo pisati:
b
= s a .
i ii i
Dakle element matrice s ii jednak je koeficijentu refleksije Γ i u specijalnom
slučaju kada su svi priključci osim k-tog prilagođeni. Zamijenimo sada prilagođeno
opterećenje u j-tom priključku prilagođenim generatorom koji u referentnu ravninu j-
tog priključka odašilje upadni val a j . Snagu tog generatora osjeća i-ti priključak, pa je
njegov izlazni signal povećan za s ij a j , tj. on je jednak:
bi = siiai + sija
j
.
Ovdje je s ij koeficijent transmisije u i-tom priključku zbog generatora u j-tom
priključku. Ako ovo poopćimo na svih N ulaza vrijedi:
ili u matričnom obliku:
b = s a + s a + .... + s a
1 11 1 12 2 1N
b = s a + s a + .... + s a
⋮
2 21 1 22 2 2N
b = s a + s a + .... + s a
N N1 1 N 2 2
NN N
⎡ b1 ⎤ ⎡ s11 s12 ⋯ s1 N ⎤ ⎡ a1
⎤
⎢
b
⎥ ⎢
2
s21 s22 s
⎥ ⎢
2N
a
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⋯
2
=
⎥ ⎢ ⎥ .
⎢ ⋮ ⎥ ⎢ ⋮ ⋮ ⋮ ⎥ ⎢ ⋮ ⎥
⎢b ⎥ ⎢s s ⋯ s ⎥ ⎢a
⎥
⎣ N ⎦ ⎣ N1 N 2
NN ⎦ ⎣ N ⎦
N
N
,
Dakle, ako struktura ima N priključaka, odnosno općenito N upadnih valova
a 1 , a 2 ,…, a N i N izlaznih valova s efektivnim amplitudama b 1 , b 2 ,…, b N onda su ti
valovi međusobno povezani relacijom:
b = S × a ,
[ ] [ ] [ ]
gdje je [S] N x N matrica, a [b] i [a] su N x 1 odnosno jednostupčane matrice.
Pretpostavimo sada da je mikrovalna struktura kojoj želimo napisati matricu
raspršenja idealna, što znači da se u njoj neće trošiti elektromagnetska energija. To
znači da je suma snaga koje uđu u strukturu jednaka sumi snaga koje iz nje izađu:
Napišimo ovo u matričnom obliku:
N
i=
1
∗ ∗
( i i i i )
P = ∑ a a − b b = 0 .
[ ∗
] [ ] [ ∗
a a b]
[ b] 0
− = ,
∗
gdje je [
a ]
uvrstimo:
transponirana konjugirana matrica matrice [a]. Ako u tu relaciju
[ b] = [ S][ a]
i [ b]
= [ a]
[ S
]
∗ ∗ ∗
- 107 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
dobije se:
[ ∗
] [ ] [ ∗
] [ ∗
a a a S]
[ S][ a] 0
[ ∗
] [ ] [ ∗
a ( E − S]
[ S]
)[ a] = 0 ,
− = ,
iz čega slijedi svojstvo matrice raspršenja za strukturu bez gubitaka:
gdje je [E] jedinična N x N matrica:
[ E]
[ S]
∗
[ S] [ E]
= , (!)
⎡1 0 ⋯ 0⎤
⎢
0 1 ⋯ 0
⎥
= ⎢
⎥ .
⎢ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⎥
⎢
⎥
⎣0 0 ⋯ 1⎦
Ako strukture koje promatramo ispunjavaju izotropni mediji moglo bi se
pomoću Maxwellovih jednadžbi dokazati da za koeficijente transmisije vrijedi princip
recipročnosti, odnosno:
s = s ,
što onda znači da je:
ij
[ ∗
S]
= [ S]
[ S]
= [ S ]
∗
ji
. (!!)
Međutim moguće je definirati mikrovalnu strukturu s N priključaka i pomoću
matrice impedancija [Z], odnosno matrice admitancija [Y]. Za svaki priključak znamo
koeficijente U k i I k . U tom slučaju mogli bi napisati relacije:
[ U ] = [ Z ][ I ]
[ I ] = [ Y ][ U ]
, (***)
iz čega slijedi da su [Z] i [Y] N x N matrice pri čemu su [U] i [I] jednostupčane
matrice, te:
[ Z ] [ Y ] −1
= .
Uzimajući u obzir (**) te da je karakteristična impedancija realna jer nema gubitaka
imamo:
r
ak = ( U
k
+ Z0k Ik
)
2
,
r
bk = ( U
k
− Z0k Ik
)
2
pa uvrštavajući izraz za r dobivamo:
- 108 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
1
a = U + Z I
( )
k k 0k k
8Z0k
1
b = U − Z I
8Z
( )
k k 0k k
Ako ovo proširimo na svih N ulaza i napišemo u matričnoj formi:
0k
,
gdje su elementi:
[ a] = [ V ′] + [ I′
]
[ b] = [ V ′] −[ I′
]
Vk
IkZ0k
V ′
k
= i I′ k
= .
8Z
8Z
0k
,
0k
Uvrstimo (***) u posljednju matričnu jednadžbu, pa je:
Uz relaciju:
[ a] = ([ Z ] + [ E]
)[ I′
]
[ b] = ([ Z ] −[ E]
)[ I′
]
[ b] = [ S][ a]
,
.
dobije se veza između matrice raspršenja i matrice impedancije:
−1
[ S][ a] ([ Z ] [ E]
)([ Z ] [ E]
) [ a]
= − + ,
[ S] ([ Z ] [ E]
)([ Z ] [ E]
) −1
= − + .
Sličnim postupkom možemo dobiti vezu između [Y] i [Z] matrica s matricom [S]:
[ Y ] = ([ E] − [ S]
)([ E] + [ S]
)
[ Z ] = ([ E] + [ S]
)([ E] −[ S]
)
Rezimirajmo još za kraj da se formiranje matrice raspršenja za pasivne linearne
strukture zasniva na zakonu o očuvaju energije (!), uvjeta recipročnosti (!!) odnosno
nerecipročnosti te na simetrijama, koje su rezultat geometrijskih i elektroničkih
svojstava pojedine strukture. Sada ćemo to ilustrirati na određenim primjerima.
Valovod (waveguide)
Neka je promatrana mikrovalna struktura jedan odsječak homogenog valovoda
duljine l, primjerice kao na sl. 2. S obzirom da struktura ima dva priključka možemo
pisati:
⎡b1 ⎤ ⎡s11 s12 ⎤ ⎡a1
⎤
⎢
b
⎥ = ⎢
2
s21 s
⎥ ⎢
22
a
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2 ⎦ .
−1
−1
.
- 109 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
a 2
R 2
l
r
R 1
b 2
a 1 b 1
Slika 2. Odsječak pravokutnog valovoda duljine l
Uz uvjet da je odsječak valovoda ispunjen izotropnim medijem on je recipročan, pa je
i matrica raspršenja recipročna:
s = s .
12 21
Nadalje, moguće je prilagoditi obje strane, pa su koeficijenti refleksije:
Sada možemo pisati:
s
= s = .
11 22
0
⎡b ⎤ ⎡ 0 s ⎤ ⎡a
⎤
=
1 12 1
⎢
b
⎥ ⎢
2
s12 0
⎥ ⎢
a
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2 ⎦ .
Polje se propagira u +z smjeru, pa budući da nema gubitaka unutar odsječka
vrijedi:
b
j g ( z l)
2
a1e − β +
= ,
odnosno ako ishodište z = 0 postavimo u referentnu ravninu R 1 :
Kako je:
b
2 1
− j gl
= a e β
.
g
s = 0 ⇒ b = s a ⇒ s = s = e β
,
22 2 21 1 21 12
− j
l
matrica raspršenja za odsječak homogenog valovoda s idealno vodljivim stjenkama
bit će:
j 0 1
gl
[ S]
e − β ⎡ ⎤
= ⎢
1 0
⎥ .
⎣ ⎦
Sprega dvaju valovoda - usmjerni sprežnik (directional coupler)
Promotrimo spregu dvaju valovoda ostvarenu dvama otvorima međusobno
razmaknutim četvrtinu valne duljine, čiji je uzdužni presjek prikazan na sl. 3.
- 110 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
P 1
P 3
P 2
3 4
P 4
1
λ/4
2
Slika 3. Usmjerni sprežnik
Postavimo generator na neki od priključaka sklopa. Elektromagnetska energija koja
prodire kroz bliži otvor te se propagira natrag prema drugom priključku na istoj strani
(iz 1 u 3 ili iz 2 u 4 i obrnuto) poništava se valom koji prodire kroz dalji otvor i koji se
propagira u istom smjeru, uslijed toga što su ta dva vala u protufazi. Nasuprot tome,
dijelovi energije koja prodire kroz otvore te se propagira prema naprijed
konstruktivno interferiraju. Drugim riječima želimo da primjerice energija propagira
iz priključka 1 u 2 i 4, ali ne u 3.
Svim ulazi mogu se prilagoditi pa je:
s11 = s22 = s33 = s44 = 0 .
Kako u idealnom slučaju nema prijenosa energije iz priključka 1 u 3, iz 2 u 4 i
obrnuto možemo pisati:
s13 = s31 = s24 = s42 = 0 .
Nadalje je zbog dvostruke simetričnosti usmjernog sprežnika:
s12 = s21 = s34 = s43
= A
s14 = s41 = s23 = s32
= B
,
pa je matrica raspršenja:
⎡ 0 s12 0 s14
⎤ ⎡0 A 0 B⎤
⎢
s12 0 s14
0
⎥ ⎢
A 0 B 0
⎥
[ S]
= ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ .
⎢ 0 s 0 s ⎥ ⎢0 B 0 A⎥
Zbog:
14 12
⎢ ⎥
⎢⎣
s14 0 s12
0 ⎥⎦
⎣B 0 A 0 ⎦
[ S]
∗
[ S] [ E]
= ,
što je posljedica zakona o očuvanju energije primijenjene na idealnu strukturu
možemo pisati:
∗
∗
⎡ 0 A 0 B ⎤ ⎡ 0 A 0 B⎤ ⎡1 0 0 0⎤
⎢ ∗
∗ ⎥ ⎢
0 0 A 0 B 0
⎥ ⎢
0 1 0 0
⎥
⎢A
B ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ,
⎢
∗
∗
0 B 0 A ⎥ ⎢ 0 B 0 A⎥ ⎢0 0 1 0⎥
∗
∗
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣
B 0 A 0 ⎥⎦
⎣B
0 A 0 ⎦ ⎣0 0 0 1⎦
iz čega slijedi:
2 2
A + B = 1
.
∗ ∗
A B + B A = 0
- 111 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Neka je A realna veličina. Onda je:
2 2
B = 1− A ⎫⎪ ⎬ ⇒ B = j 1 − A
B
*
= −B
⎪⎭
2
.
Konačni oblik matrice raspršenja za idealni usmjerni sprežnik je:
[ S]
⎡
2
0 A 0 j 1−
A ⎤
⎢
⎥
⎢
2
A 0 j 1−
A 0 ⎥
= ⎢ ⎥ .
2
⎢ 0 j 1−
A 0 A ⎥
⎢
⎥
2
⎢⎣
j 1−
A 0 A 0 ⎥⎦
Za usmjerne sprežnike definiramo faktor sprege u decibelima kao:
FS
1
= ,
10log P
P
4
te kako u praksi nema idealnih sprežnika i faktor usmjerenosti:
FU
1
= ,
10log P
P
3
pri čemu uzimamo da su svi priključci prilagođeni te da se prilagođeni generator
nalazi na priključku 1, odnosno:
1
P1 = a1a ∗
1
,
2
1 ∗
Pi = bibi
, i = 2,3,4. .
2
Neka je primjerice faktor sprege 3 dB. Tada je:
P
FS = = ⇒ P = P ⇒ a = b ,
1
2 2
10log 3 dB
1
2
4 1
2
4
P4
Koristeći matricu raspršenja imamo da je:
⎡
2
b 0 A 0 j 1 A ⎤
⎡ ⎤
−
⎢
⎥ ⎡a
⎤
1 1
⎢ 2
b
⎥ ⎢
2
A 0 j 1 A 0 ⎥ ⎢
0
⎥
⎢ ⎥
−
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢b ⎥ 2
3 ⎢ 0 j 1−
A 0 A ⎥ ⎢ 0 ⎥
b ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣⎢ 4 ⎦⎥ 2
0
⎢ 1 0 0 ⎥
⎣ ⎦
⎣ j − A A
2
2
4
=
1
1− ⇒
1
b ja A a
2 2 1
= 2 a 1 ( 1 A ) A
− ⇒ = ,
2
⎦
,
- 112 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
pa ona za 3-dB usmjerni sprežnik glasi:
j⎤
1 0 0
⎥
⎥ .
2 ⎢0 j 0 1⎥
⎢ ⎥
⎣ j 0 1 0⎦
⎡0 1 0
⎢
1 j
[ S] ⎢
3dB
=
Slično možemo izvesti matricu raspršenja za 10-dB usmjerni sprežnik kao:
Magični T
j⎤
3 0 0
⎥
⎥ .
10 ⎢0 j 0 3⎥
⎢ ⎥
⎣ j 0 3 0⎦
⎡0 3 0
⎢
1 j
[ S] ⎢
10dB
=
Magični T je element s četiri ulaza kao što je prikazano na sl. 4. Ako
elektromagnetski val ulazi na priključku 4 on se podjednako raspoređuje na otvore 1 i
2. Sprega između tih priključaka odvija se preko magnetskog polja kao što je
prikazano na sl. 5b. Vektor električnog polja je u fazi u obje grane (1 i 2) pa su valovi
koji dođu u te otvore u fazi i jednake amplitude. Ako uzbudimo otvor 3 (E-otvor)
električno polje je u protufazi u otvorima 1 i 2 s jednakom amplitudom, kao na sl. 5a.
Iz geometrije na sl. 5 je evidentno da nema direktnog širenja vala iz 3 u 4 te zbog
recipročnosti ni iz 4 u 3.
Zbog geometrije odnosno recipročnosti možemo staviti:
s
ij
= s .
ji
Dakle, između priključaka 3 i 4 ne postoji prijenos, a element je recipročan. To znači:
s
= s = 0
34 43
s = s s = s
21 12 23 32
s = s s = s
s
13 31 24 42
= s
14 41
.
Iz slike polja na sl. 5a možemo zaključiti da su priključci 1 i 2 s obzirom na 3 u
protufazi pa su koeficijenti matrice:
s13 = s31 = − s23 = − s32
,
dok iz slike polja na sl. 5b zaključujemo da su priključci 1 i 2 s obzirom na 4 u fazi,
pa su:
s14 = s41 = s24 = s42
.
Dakle, matrica raspršenja je:
- 113 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
3
3 (E-otvor)
a3
b3
2
2
b2
a2
b1
b4
1
4 (H-otvor)
Slika 4. Magični T
1
a1
a4
4
3
4
E-ravnina
1 2
H-ravnina
1 2
E
H
E
a
b
Slika 5. T-element u: a. E-ravnini (presjek crtkano) b. H-ravnini (presjek crta-točka),
[ S]
⎡s s s s
⎢
⎢
s s −s s
11 12 13 14
12 22 13 14
= ⎢ s13 − s13 s33
0 ⎥
⎢⎣
s s 0 s
14 14 44
Može se pomoću svojstva matrice raspršenja dokazati da ako izvršimo
prilagođenje na priključcima 3 i 4, postojat će prilagođenje i na ulazima 1 i 2, te da
nema ni prijenosa energije iz 1 u 2, pa je:
⎤
⎥
⎥ .
s11 = s22 = s33 = s44 = 0 i s 12
= s 21
= 0 .
Dakle, uvrstimo s 33 = s 44 = 0 u posljednju relaciju za matricu raspršenja i uzmimo u
obzir svojstvo matrice (!):
⎥⎦
Imamo:
⎡s s s s ⎤ ⎡s s s s ⎤ ⎡1 0 0 0⎤
∗ ∗ ∗ ∗
11 12 13 14 11 12 13 14
⎢ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎥ ⎢
s
12 22 13 14 12
s22 s13
s
⎥ ⎢
0 1 0 0
⎥
⎢s s −s s ⎥ ⎢
−
⎥ = ⎢ ⎥
⎢
∗ ∗
s13 −s13
0 0 ⎥ ⎢s13 −s13
0 0 ⎥ ⎢0 0 1 0⎥
⎢
∗ ∗
⎥ ⎢ ⎥
s14 s14
0 0 ⎢s14 s14
0 0 ⎥ 0 0 0 1
⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
- 114 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
pa je stoga:
s
što je ispunjeno ako je:
2 2 2 2
11 12 13 14
s + s + s + s = 1
2 2 2 2
12 22 13 14
s + s + s + s = 1
+ = 1⎫
⎪ 1
⎬ ⇒ s13 = s14
=
+ = 1⎪⎭
2
2 2
13
s13
s
2 2
14
s14
s
+ = 0⎫
⎪
⎬ ⇒ s = s = − s
+ = 0⎪⎭
2 2
11
s12
s
2 2
12
s22
s11 = s22 = s12 = 0 ,
2 2 2
11 22 12
čime su dokazane prethodne tvrdnje x . Konačno, matrica raspršenja magičnog T glasi:
⎡0 0 1 1⎤
⎢
1 0 0 −1 1
⎥
[ S]
= ⎢
⎥ .
2 ⎢1 −1 0 0⎥
⎢
⎥
⎣1 1 0 0⎦
Promotrimo sljedeći primjer prikazan na sl. 6. Prilagođeni generator koji daje snagu:
1 ∗ 1
P = a a = a
2 2
g g g g
je na ulazu 1, a svi ostali zaključeni su prilagođenom impedancijom. Stoga je:
2
,
,
pa je onda:
Imamo:
a = a , 0
g
a = a = a = ,
1 2 3 4
b1
0 0 1 1 a g
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢
b
⎥ ⎢
2 1 0 0 1 1
⎥ ⎢
0
⎥
⎢ ⎥
−
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ .
⎢b
⎥ 2 ⎢1 −1 0 0⎥ ⎢ 0 ⎥
3
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣
b4
⎥⎦
⎣1 1 0 0⎦ ⎣ 0 ⎦
b = 0 ⇒ P = 0
1 1izl
b = 0 ⇒ P = 0
2 2izl
ag
1 2 1 2 1
b3 = ⇒ P3 izl
= b3
= ag = P .
g
2 2 4 2
ag
1 2 1 2 1
b4 = ⇒ P4 izl
= b4
= ag = Pg
2 2 4 2
Iz ovoga možemo zaključiti sljedeće.
x Mogli smo primjerice koristiti i jednadžbu koju dobijemo množenjem drugog retka i 3. stupca:
s s
∗ ∗
12 13
s22s13 0
− = .
- 115 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Z 0
3
a 3
b 3
2
Z 0
b 2
a 2
∼
1
b 1
a 1
Slika 6. Potpuno prilagođeni magični T s izvorom na ulazu 1
Ako prilagodimo E-otvor (3) i H-otvor (4), onda mogu biti prilagođeni i preostali
ulazi. Nadalje, ako su ulazi prilagođeni nema prijenosa energije iz priključka 1 i 2, i
obrnuto. Dakle, ako je prilagođeni generator u 1, pola snage odlazi u priključak 4, a
pola u 3. Kako su oba prilagođena snaga se tu sasvim potroši i gledano iz referentne
ravnine priključka 1 cijeli sklop je prilagođen. Priključimo sada na ulaz 2
neprilagođeno opterećenje Z 2 ≠ Z 0 . Tada je koeficijent refleksije na priključku 2
različit od nule, pa je:
⎡b1
⎤ ⎡0 0 1 1⎤ ⎡ a g ⎤
⎢
b
⎥ ⎢
2 1 0 0 1 1
⎥ ⎢
2b
⎥
⎢ ⎥
− Γ
2
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ .
⎢b
⎥
3 2 ⎢1 −1 0 0⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣
b4
⎥⎦
⎣1 1 0 0⎦ ⎣ 0 ⎦
Međutim kako je i dalje:
b = b = 0 ⇒ a = 0 ,
1 2 2
odnosno ništa ne dolazi u 2 pa se nema ni što reflektirati. Dakle, ako bilo kakvo
pasivno opterećenje priključimo na 2 to se u ovom slučaju neće osjetiti, odnosno bit
će isto kao i da je taj ulaz prilagođen. Zamijenimo nadalje pasivno opterećenje na
ulazu 2 prilagođenim generatorom, tako da je:
a 4
b 4
4
Z 0
Znači da je sada:
te imamo:
a ≠ 0, a ≠ 0, a = a = 0 .
1 2 3 4
⎡b1 ⎤ ⎡0 0 1 1⎤ ⎡a1
⎤
⎢
b
⎥ ⎢
2 1 0 0 1 1
⎥ ⎢
a
⎥
⎢ ⎥
−
2
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ,
⎢b
⎥ 2 ⎢1 −1 0 0⎥ ⎢ 0 ⎥
3
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣
b4
⎥⎦
⎣1 1 0 0⎦ ⎣ 0 ⎦
b = b = 0
1 2
1 1
b3 = a1 − a2
.
2 2
1 1
b4 = a1 + a2
2 2
- 116 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Ako su signali generatora u fazi i jednake amplitude:
jφg
⎧⎪
a1 = a2
= ag
e ⇒ ⎨
⎪⎩
b4
=
b = 0
3
2 a e
g
jφg
,
sva snaga ide u priključak 4, a ako su u protufazi:
⎧
jφ 3
2
g
⎪b
= ag
e
a1 = − a2
= ag
e ⇒ ⎨
⎪⎩ b4
= 0
jφg
sva snaga ići će prema priključku 3. Za proizvoljnu razliku u fazi signala generatora
amplituda signala na priključku 3 odnosno 4 bit će proporcionalna faznoj razlici, pa se
priključivanjem dioda na te priključke može ostvariti fazni detektor. Primjena
magičnog T je višestruka. Osim spomenute, primjerice da se pomoću matrice
raspršenja pokazati da se priključenjem kratkospojnika odgovarajuće duljine na ulaze
3 i 4 može prilagoditi bilo koja impedancija na priključku 2.
Recipročni T element
Promotrimo recipročni T element s tri priključka na sl. 7, koji nije trostruko
simetričan. Tvrdimo, a to želimo i dokazati, da nije moguće prilagoditi sva tri ulaza
elementa. To znači da ako prilagodimo posebno ulaz 1 i ulaz 2 gledano s ulaza 3 sklop
nije prilagođen. To izraženo elementima matrice raspršenja znači:
s = s = 0 ⇒ s ≠ 0 .
11 22 33
Da bi to dokazali pretpostavimo da vrijedi:
s11 = s22 = s33 = 0 .
Uvažavajući činjenicu da je element recipročan možemo pisati:
iz čega imamo:
∗ ∗
⎡ 0 s12 s ⎤
13 ⎡ 0 s12 s13
⎤ ⎡1 0 0⎤
⎢ ∗
∗ ⎥
s12 0 s
⎢
23
s12 0 s
⎥ ⎢
23
0 1 0
⎥
⎢ ⎥ = ,
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
∗ ∗
s13 s23 0 ⎥
⎣ ⎦
⎢⎣ s13 s23
0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦
s s
∗
13 23
s s
∗
13 12
s s
∗
12 23
= 0
= 0 ,
= 0
što je zadovoljeno samo u trivijalnom slučaju kada su svi članovi matrice raspršenja
jednaki nuli, pa zaključujemo da barem jedan s ii mora biti različit od nule što
isključuje mogućnost potpunog prilagođenja takvog elementa.
Izvedimo sada matrice raspršenja za ove elemente. Pri tome slike polja su kao
na sl. 5. Iz geometrije zaključujemo:
- 117 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
3
2
2
a.
1
3 1
b.
Slika 7. Recipročni T element; a. H-element, b. E-element
s
s
= s , za H-element,
13 23
= − s , za E-element.
13 23
Zahtjev za oba elementa je da se sa ulaza 3 vidi prilagođenje, odnosno: s
33
= 0 .
Dakle, vrijedi:
⎡s11 s12 s13
⎤ ⎡ A B C⎤
[ S]
=
⎢
s
H 12
s22 s
⎥
13
=
⎢
B A C
⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
,
⎢⎣ s13 s13 0 ⎥⎦ ⎢⎣ C C 0 ⎥⎦
⎡s11 s12 s13
⎤ ⎡ A B C ⎤
[ S]
=
⎢
s
E 12
s22 s
⎥ ⎢
13
B A C
⎥
⎢
−
⎥
=
⎢
−
⎥
,
⎢⎣ s13 −s13 0 ⎥⎦ ⎢⎣ C −C
0 ⎥⎦
pri čemu smo zbog simetričnosti elemenata s obzirom na priključak 3 pretpostavili da
je:
s11 = s22
= A .
Koristeći svojstvo (!) matrice raspršenja dobivamo:
- za H-element:
- za E-element:
[ S]
[ S]
E
H
⎡ 1 −1 2⎤
1 ⎢
⎥
= ⎢ −1 1 2⎥
2 ⎢
⎥
⎢⎣
2 2 0 ⎥⎦
⎡ 1 1 2 ⎤
1 ⎢
⎥
= ⎢ 1 1 − 2⎥
.
2 ⎢
⎥
⎢⎣
2 − 2 0 ⎥⎦
Cirkulator
Zaključili smo da je nemoguće prilagoditi sva tri ulaza kod recipročnog
elementa s tri ulaza. Međutim, to se može ostvariti ako se izvede prikladan
nerecipročni element s tri ulaza. Nerecipročni sklop (kod kojeg je s ij ≠ s ji ) moguće je
ostvariti uz pomoć ferita (Pogl. 6), koji stvaraju neizotropni medij za magnetsko polje.
Takav element naziva se cirkulator (sl. 9), a koristi se kod relativno malih snaga.
- 118 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
1 a 1 a 2 2
b 1 b 2
a 3
3
Slika 8. Trostruko simetrična recipročna struktura s tri priključka
Promotrimo najprije recipročnu trostruko simetričnu strukturu s tri ulaza kao
na sl. 8. Ako je struktura trostruko simetrična, što znači da vidimo isto s ulaza 1 uz
određene veličine na 2 i 3 kao i s 2 uz isti val na 1 i 3, odnosno s 3 uz isti val na 1 i 2,
vrijedi:
s11 = s22 = s33
= A
s = s = s = s = s = s = B
,
b 3
12 21 23 32 13 31
te matrica raspršenja takvog elementa glasi:
⎡A B B⎤
S =
⎢
B A B
⎥
⎢ ⎥
.
⎢⎣
B B A⎥⎦
[ ]
Primijenimo li svojstvo (!) koje uslijed recipročnosti možemo napisati kao:
imamo:
[ S]
∗
∗
[ S] [ E] [ S] [ S] [ E]
= ⇒ = ,
∗ ∗ ∗
⎡A B B ⎤ ⎡A B B⎤ ⎡1 0 0⎤
⎢ ∗ ∗ ∗ ⎥
B A B
⎢
B A B
⎥ ⎢
0 1 0
⎥
⎢ ⎥ = ,
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
∗ ∗ ∗
B B A ⎥
⎣ ⎦
⎢⎣ B B A⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦
iz čega dobivamo sustav jednadžbi:
∗ ∗
A A + 2B B = 1 (1)
.
∗ ∗ ∗
AB + A B + B B = 0 (2)
- 119 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Ako bi trostruko simetrična struktura mogla biti prilagođena tako da je na sva tri ulaza
koeficijent refleksije jednak nuli, mora biti A = 0. S pomoću gornjih jednadžbi odmah
zaključujemo da u tom slučaju mora biti i B = 0, odnosno da nije moguće prilagoditi
takav sklop. Ako se prikladno odabere referentna ravnina A može biti realan, pa je
tada (1):
i (2):
Iz (4):
što uvrštavajući u (3) daje:
2
2
A + 2 B = 1
, (3)
j
B = B e θ
2
− jθ
jθ
A B e + A B e + B = 0 ⇒ 2Acosθ
+ B = 0 . (4)
B = − 2Acosθ
,
A =
1
.
2
1+
8cos θ
Najbolje što se može postići u smislu prilagođenja je kada je A minimalan, odnosno
kada je kut θ = 0, što znači da je B realan. Tada je:
1
A = ,
3
2
B = − .
3
To znači da se kod najboljeg prilagođenja snaga dijeli tako da se 1/9 snage reflektira
od ulaza, a 8/9 prelazi u preostale ulaze i to simetrično. Naime, stavimo li da je:
imamo:
⎡b1 ⎤ ⎡ 1 −2 −2⎤ ⎡a1
⎤
⎢ 1
b
⎥
=
⎢
−2 1 −2
⎥ ⎢
a
⎥
,
⎢
2
⎥
2
3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ b ⎥
3 ⎦ ⎢⎣ −2 −2 1 ⎥⎦ ⎢⎣ a ⎥
3 ⎦
1 2 2
b1 = a1 − a2 − a3
3 3 3
2 1 2
b = − a + a − a
3 3 3
2 2 1
b = − a − a + a
3 3 3
2 1 2 3
3 1 2 3
Ako je generator na ulazu 1, a na priključcima 2 i 3 nalaze se opterećenja prilagođena
tim priključcima tada je:
a1 = a , 0
g
a2 = a3
= ,
te imamo:
1 1 2 1
b1 = ag ⇒ Pref 1
= b1
= Pg
3 2 9
,
2 4
b2 = b3 = − ag ⇒ Pref 2
= Pref 3
= Pg
3 9
- 120 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
čime smo dokazali prethodnu tvrdnju.
Dakle, možemo postaviti sljedeće zahtjeve za cirkulator. Kako sklop možemo
prilagoditi, te kako je isti nerecipročan i trostruko simetričan, vrijedi:
s = s = s = A = 0
11 22 33
s = s = s = B
12 23 31
s = s = s = C
21 32 13
.
Dakle matrica raspršenja cirkulatora poprima oblik:
⎡ 0 B C⎤
[ S]
=
⎢
C 0 B
⎥
⎢ ⎥
,
⎢⎣
B C 0 ⎥⎦
te primjenjujući svojstvo (!) imamo:
iz čega je:
∗ ∗
⎡ 0 C B ⎤ ⎡ 0 B C⎤ ⎡1 0 0⎤
⎢ ∗
∗ ⎥
B 0 C
⎢
C 0 B
⎥ ⎢
0 1 0
⎥
⎢ ⎥ = ,
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
∗ ∗
C B 0 ⎥
⎣ ⎦
⎢⎣ B C 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦
2 2
C + B = 1
.
B ∗ C = 0
Ovaj sustav jednadžbi možemo zadovoljiti na dva načina. Prva mogućnost je:
Tada matrica raspršenja glasi: xi [ S]
⎧ B = 0
C ≠ 0 ⇒ ⎨ .
⎩ C = 1
⎡0 0 1⎤
=
⎢
1 0 0
⎥
⎢ ⎥
.
⎢⎣
0 1 0⎥⎦
Druga mogućnost je:
⎧ B = 1
B ≠ 0 ⇒ ⎨ ,
⎩C
= 0
pa je matrica raspršenja:
⎡0 1 0⎤
[ S]
=
⎢
0 0 1
⎥
⎢ ⎥
.
⎢⎣
1 0 0⎥⎦
Interpretirajmo oba rješenja. U prvom slučaju imamo:
xi Umjesto C = 1, možemo uzeti C = -1 ili C = ± j što ne mijenja ništa osim izbora referentne ravnine.
- 121 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
1 a 1 a 2 2
b 1 b 2
1 a 1 a 2 2
b 1 b 2
a.
a 3 b 3
a 3 b 3
3
b.
Slika 9. a. "Desni" cirkulator; b. "Lijevi cirkulator"
3
⎡b1 ⎤ ⎡0 0 1⎤ ⎡a1 ⎤ ⎧b1 = a3
⎢
b
⎥ ⎢
2
1 0 0
⎥ ⎢
a
⎥ ⎪
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥ ⎢
2
⎥
⇒ ⎨b2 = a1
.
⎢b3 0 1 0 a ⎪
⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥
3 ⎦ ⎩b3 = a2
Ovo znači da snaga što je priključimo na ulaz 1 čitava izađe na ulaz 2, dok na 3 ne ide
direktno iz tog ulaza nikakva energija, jer je s 13 = s 31 = 0. Slično možemo zaključiti i
za ostale ulaze. Dakle ovaj slučaj daje cirkulaciju energije u smjeru kazaljke na satu
(1-2-3-1). U drugom slučaju imamo:
⎡b1 ⎤ ⎡0 1 0⎤ ⎡a1 ⎤ ⎧b1 = a2
⎢
b
⎥ ⎢
2
0 0 1
⎥ ⎢
a
⎥ ⎪
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥ ⎢
2
⎥
⇒ ⎨b2 = a3
,
⎢b3 1 0 0 a ⎪
⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥
3 ⎦ ⎩b3 = a1
što znači cirkulaciju u suprotnom smjeru (1-3-2-1).
Općenito možemo napisati matricu raspršenja za idealni cirkulator s n ulaza
(sl. 10), za kojeg vrijedi:
4
3
2
1
n
n – 1
Slika 10. "Desni" cirkulator s n priključaka
- 122 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
s = s = s = .... = s = 0
11 22 33
s = s = s = .... = s = B ,
12 23 34 n−1,
n
s = s = s = .... = s = C
nn
21 32 13 n, n−1
te, kako nema izravnog prijenosa energije između priključaka koji nisu susjedni:
s = s = s = s = ... = s = s = s = s = .... = .... = s = s = 0 ,
13 31 14 41 1n n1 24 42 n−2, n n, n−2
pa je matrica raspršenja za cirkulaciju u smjeru kazaljke na satu (C = 1, B = 0):
[ S]
⎡0 0 0 0 ⋯ 0 1⎤
⎢
1 0 0 0 ⋯ 0 0
⎥
⎢
⎥
⎢0 1 0 0 ⋯ 0 0⎥
⎢
⎥
= ⎢ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 ⎥ .
⎢0 0 0 1 ⋯ 0 0⎥
⎢
⎥
⎢⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0⎥
⎢0 0 0 0 1 0⎥
⎣
… ⎦
Matricu raspršenja "lijevog" cirkulatora možemo dobiti ako matricu raspršenja
"desnog" cirkulatora rotiramo za jedan redak prema dolje.
- 123 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
6. Feriti
Danas čitav niz mikrovalnih elemenata primjenjuje magnetizirane ferite
kojima je osnovno svojstvo da imaju tenzorsku karakteristiku permeabilnosti, a
skalarnu dielektričnu konstantu u mikrovalnom frekvencijskom području. Takvi
elementi su zbog činjenice da su ispunjeni neizotropnim medijem nerecipročni i pri
rješavanju Maxwellovih jednadžbi unutar tih elemenata treba obavezno voditi računa
o tenzorskim karakteristikama permeabilnosti. Ekvivalentni postupak bio bi kod
analize elemenata gdje umjesto ferita koristimo plazmu, pri čemu dielektrična
konstanta ima tenzorsku karakteristiku, a permeabilnost je skalar.
U kemijskom pogledu, feriti su spojevi željeza, kisika i cinka, uz male dodatke
nikla i mangana.
Makroskopska teorija odnosno fenomenološki model
Smatramo da je sredina ferita sačinjena od elektronskih spinova koji se
ponašaju kao magnetski dipoli odnosno zvrkovi. Karakteristično je da magnetski
dipolni moment i spin kod elektrona antiparalelni.
Prisjetimo se najprije nekih definicija iz fizike važnih za ovu analizu.
Zakretni moment, odnosno moment sile je:
τ = r × F ,
gdje je r radij-vektor od točke u kojoj računamo moment do hvatišta sile F .
Moment količine gibanja je:
pri čemu je m masa a v brzina.
N = r × p = r × mv ,
Vrijedi sljedeća tvrdnja.
Vremenska promjena momenta količine gibanja jednaka je zakretnom
momentu.
Da bi dokazali ovu tvrdnju postupimo na sljedeći način. Izračunajmo:
Imamo da je:
Prema II. Newtonovom zakonu je:
pa vrijedi:
d N d ( )
dr
r p p r
d
= × = × + ×
p .
dt dt dt dt
dr
p v mv 0
dt × = × =
.
d
p d
= ( mv ) = F ,
dt dt
- 124 -

d N
= r × F ,
dt
MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
čime smo dokazali prethodnu tvrdnju.
Iz gornjih razmatranja slijedi da je moment količine gibanja N konstantan ako
ne djeluje na tijelo nikakav vanjski moment ili ako je suma svih momenata koji
djeluju na tijelo jednaka nuli, što je slučaj u konzervativnom polju:
d N
F = r f ( r)
→ =
dt
0
0
Pod pojmom spin podrazumijevamo moment količine gibanja čestica oko
vlastite osi koja prolazi težištem. Spin elektrona je:
N = ⋅
−34
0,52723 10 Js
Definiramo li magnetski dipolni moment µ , koji je ekvivalentan momentu male
magnetske petlje, onda će vanjsko magnetsko polje djelovati na taj zvrk zakretnim
momentom:
τ = µ × B .
Kod elementarnih čestica postoji sljedeća relacija između magnetskog dipolnog
momenta i momenta količine gibanja:
µ = γ N ,
pri čemu je za elektron γ = –1,759⋅10 11 kg –1 .
Istaknimo da spinski moment količine gibanja nije jednak aktualnom momentu
količine gibanja. Spin je, osim toga, kvantna veličina. Ponašanje spina slično je
ponašanju male magnetske petlje:
1. ima magnetsko polje slično magnetskom dipolu,
2. na njega djeluje zakretni moment u vanjskom magnetskom polju,
3. vrijedi unutar izvora div B = 0 kao kod izvora magnetskog polja.
Dakle, u vanjskom magnetskom polju B na elektron djeluje zakretni moment τ .
Zbog postojanja tog zakretnog momenta postoji i vremenska promjena momenta
količine gibanja:
d N
= τ = µ × B = γ N × B .
dt
Uslijed vremenske promjene momenta količine gibanja pojavi se precesija zvrka.
Izaberimo koordinatni sustav kao na sl. 1 tako da je magnetska indukcija usmjerena u
smjeru osi z:
B = ezBz
.
Tada je prethodna jednadžba:
.
.
- 125 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
N
µ
B
pa je:
z
Slika 1. Precesija uslijed magnetskog polja
ex ey ez
e Ṅ + e Ṅ + e Ṅ = γ N N N ,
x x y y z z x y z
N ̇ x
= γ N
yB
, z
N ̇ = −γ N B .
y x z
0 0
B
z
Deriviramo li prvu jednadžbu po vremenu t te eliminacijom N y dobivamo
diferencijalu jednadžbu:
2 2
N ̇̇ x
= −γ Bz N , x
čije je rješenje:
N = N sin ω t ,
pri čemu je kružna frekvencija:
frekvencija precesije. Sada iz:
x
( )
0 0
ω0 = γ Bz
imamo:
Ṅ̇
Ṅ
̇ x
x
y
= ⇒ N
y
= ,
γ Bz
γ Bz
N
( ω )
N = N cos t .
y
0 0
Za ovakav model ferita tražimo linearizirane jednadžbe gibanja zvrkova u
slučaju da na njih djeluju različita vanjska polja. Ukoliko su sile posljedica vanjskog
polja, vidjeli smo da vektor magnetizacije precesira oko tog polja frekvencijom koju
određuje jakost polja B. Ako postoji gušenje, dakle, ako postoje neki gubici amplituda
precesije opada sve dok vektori µ i B ne postanu paralelni, a tada je i:
d N
= 0 .
dt
- 126 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Međutim, dodavanjem radio-frekvencijskog (RF) polja precesija se može očuvati.
Smjer tog dodatnog RF polja mora biti okomit na smjer istosmjernog (statičkog) polja
B. Ako je, uz to, frekvencija precesije jednaka frekvenciji RF magnetskog polja,
amplituda precesije je maksimalna.
Definirajmo sada magnetizaciju sistema, odnosno kako se u vanjskom polju
orijentiraju spinovi ferita. Stoga definirajmo najprije magnetski moment po jedinici
volumena:
M = nµ ,
gdje je n broj spinova po jedinici volumena. Zbog:
vrijedi:
odnosno:
d N
= γ N × B i µ = γ N
dt
d M d µ d N
= n = nγ
= nγ
( n×
B)
,
dt dt dt
d M
= γ ( M × B) = γµ
0 ( M × H ) .
dt
Ovime smo dobili jednadžbu gibanja vektora volumenske magnetizacije, koja
predstavlja osnovu za analizu ferita pri mikrovalnim frekvencijama.
Pretpostavimo li da nema gušenja te da je polje B statičko (odnosno
konstantno), možemo tada definirati slučaj u kojem su svi spinovi orijentirani i
izravnani sa smjerom vektora B0
i M
0 , pri čemu je M
0 maksimalna magnetizacija
kod određene temperature. U tom slučaju kažemo da je ferit zasićen.
Dodajmo sada još i malu izmjeničnu komponentu magnetskog polja
frekvencije ω. Uzmemo li u obzir teoriju malog signala imamo:
h ≪ H0 ⇒ H = H0
+ he
m ≪ M ⇒ M = M + me
0 0
Neka pojedini vektori imaju sljedeće komponente kao i ranije:
x x y y z z
jωt
H0 = ezH
0z
M
0
= ezM
0z
.
h = exhx + eyhy + ezhz
m = e m + e m + e m
Sada jednadžbu gibanja možemo pisati kao:
jωt
d
( M me j ω t ) 0 ( M j t 0 me
ω
) ( H j t
0 he
ω
+ = γµ ⎡ + × + ) ⎤
dt
⎣
⎦
.
- 127 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Budući da iznos vektora magnetizacije M 0 nije funkcija vremena te kako je isti
paralelan sa statičkim magnetskim poljem imamo da je:
odnosno:
d M
0
M
0
≠ f ( t) & M
0
H0
⇒ = 0 ,
dt
γµ × = .
( M H )
0 0 0
0
Ako pretpostavimo da vrijedi teorija malog signala zanemarujemo male veličine
drugog i viših redova, pa je:
odnosno komponente su:
odnosno:
jωm = − γµ ⎡
0 ( m× H0 ) + ( M
0
× h)
⎤ ,
⎣
⎦
z
( )
jωm = −γµ
m H − h M
x 0 y 0z y 0z
( )
jωm = γµ m H − h M
m
z
y 0 x 0z x 0z
= 0
jγµ 0
jγµ
0
mx = H0 zmy − M
0zhy
ω ω
jγµ 0
jγµ
0
my = M
0zhx − H
0zmx
.
ω ω
m = 0
,
Uvrstimo li sada m y iz druge u prvu jednadžbu te m x iz druge u prvu, dobivamo m x kao
funkciju h x i h y te m y kao funkciju h x i h y , pa ovaj sustav jednadžbi možemo napisati u
matričnom obliku:
m = χ h ,
gdje je
χm
tenzor magnetske susceptibilnosti i jednak je:
⎡χ
xx
χ
xy
0⎤
χm =
⎢
χ
yx
χ
yy
0
⎥
⎢ ⎥
,
⎢⎣
0 0 0⎥⎦
gdje su:
ω
0µ
0M
0 z
χ
xx
= χ
yy
= ,
2 2
ω0
−ω
jωγµ
0M
0z
χ
xy
= − χ
yx
= ,
2 2
ω0
−ω
gdje je:
ω0 = γµ
0H0
,
frekvencija precesije.
U klasičnoj elektrodinamici, vektor magnetizacije u sredstvu definiran je kao:
m
- 128 -

odnosno:
uz:
iz čega je:
pa je:
B
M = − H ,
µ
0
M = χ H ,
r
m
B = µ µ H ,
0
M = H µ r
−
( 1)
χ = µ − 1.
m
r
,
MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Stoga je sada tenzor relativne magnetske permeabilnosti:
odnosno:
gdje je:
µ = + χ ,
rm
[ E]
rm
⎡µ r
− jκ
0⎤
µ
rm
=
⎢
jκ µ
r
0
⎥
⎢ ⎥
,
⎢⎣
0 0 1⎥⎦
µ = 1+ χ ,
r
xx
− jκ = χ xy
.
Vidimo da su singulariteti upravo kada je frekvencija izmjeničnog RF signala jednaka
frekvenciji precesije (ω = ω 0 ). Dakle u slučaju da je RF polje frekvencije kao i
precesija spina, amplitude precesije su maksimalne, a posljedica je izrazita tenzorska
karakteristika permeabilnosti, dakle izrazito neizotropna sredina.
Beskonačni feritni medij
Promotrimo kakva je posljedica tenzorskog karaktera permeabilnosti na
prostiranje elektromagnetskog vala. Taj problem ćemo analizirati na propagaciji
elektromagnetskog vala kroz beskonačni feritni medij.
Elektromagnetsko polje u takvom mediju je opisano Maxwellovim
jednadžbama:
rot E = − jωµ rµ
0
h ,
rot h = jωε
E .
Ovdje pretpostavljamo da je ferit idealni dielektrik, pa je σ = 0 ⇒ G = σE = 0.
Naravno da je za realizaciju ovakve sredine, dakle za postojanje tenzora µ
r , nužno
magnetiziranje vanjskim statičkim poljem H0
u smjeru osi z.
Iz gornjih jednadžbi želimo eliminirati magnetsko polje h pa primjenjujemo
operaciju rotor na drugu jednadžbu te u dobivenu uvrstimo prvu:
- 129 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
odnosno:
rot rot h h ,
2
= ω εµ
0
µ
r
∇ ∇⋅h − ∇⋅∇ h = ∇ ∇⋅ h − ∆ h = ω εµ µ h .
( ) ( ) ( )
2
0 r
Pretpostavit ćemo da ravni val propagira u smjeru r s konstantom propagacije
k, odnosno da je u obliku:
j( t k r)
e ω − ⋅
,
gdje je:
k = exkx + eyk y
+ ezkz
,
r = e x + e y + e z .
x y z
Tada iz prethodnoga dobivamo sljedeći sustav jednadžbi:
2 2 2
( ω εµ
0µ
) ( ωεµ
0κ
)
(
2 2
ω εµ
0κ ) ( ω εµ
0µ
2 2
)
2
( ω εµ
0
2 2
)
r
− ky − kz hx + kxk y
− j hy + kxk yhz
= 0 ⎫
⎪⎪
kxk y
+ j hx +
r
− kx − kz hy + k
ykzhz
= 0⎬ ⎪
kxkzhx + k
ykzhy + − kx − kz hz
= 0 ⎪ ⎭
Za ovaj sustav homogenih jednadžbi za h x , h y , h z postoji netrivijalno rješenje u slučaju
kada je determinanta koeficijenata A jednaka nuli.
Da bi dobili jasniju fizikalnu sliku o pojavi pretpostavimo da se smjer
propagacije ravnog vala podudara sa smjerom magnetizacije, dakle da se propagira u
smjeru osi z. tada slijedi da je:
kx
= k
y
= 0 , kz
= β .
Tada možemo pisati gornji sistem jednadžbi u pojednostavljenom obliku:
2 2
( 0 )
0
2 2 2
ω εµ
0κ ( ω εµ
0µ β )
ω εµ µ
r
− β hx − jωεµ κhy
= 0 ⎫
⎪⎪
j hx +
r
− hy
= 0⎬ .
⎪
h = 0
⎪ ⎭
z
Izjednačimo sada determinantu sistema s nulom:
ω εµ µ − β − jωεµ κ
2 2
0 r
0
2 2 2
jω εµ
0κ ω εµ
0µ r
− β
= 0 ,
iz čega dobivamo dva moguća rješenja za konstantu propagacije β:
( )
β ω εµ µ κ
= + ,
+ 0 r
( )
β ω εµ µ κ
= − .
− 0 r
- 130 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Uvrstimo li sada dobivene izraze za konstantu propagacije u gornje jednadžbe
dobivamo da je u slučaju β + :
h = − jh ,
a u slučaju β – :
h
x
x
y
= + jh .
Ova rješenja predstavljaju dva cirkularno polarizirana vala od kojih prvi rotira
suprotno smjeru kazaljke na satu pri propagaciji duž +z, a drugi u smjeru kazaljke na
satu. Naime, neki linearno polarizirani val možemo prikazati kao superpoziciju dvaju
cirkularno polariziranih valova jednake amplitude koji rotiraju istom brzinom u
suprotnim smjerovima, kao što je prikazano na sl. 2. Kod cirkularno polariziranog
vala trenutne vrijednosti polja rotiraju kako se val prostire duž primjerice +z osi.
Dakle, možemo smatrati da u feritu postoje dva cirkularno polarizirana vala
koji rotiraju u suprotnim smjerovima. Međutim, ti valovi vide različitu permeabilnost,
za koju možemo smatrati da je efektivna statička permeabilnost i to za + smjer
rotacije (smjer kazaljke na satu):
µ + = µ − κµ 0
,
dok za – smjer rotacije (suprotno od kazaljke na satu):
odnosno:
Da bi to objasnili sjetimo se da je
µ − = µ + κµ 0
.
y
µ
r tenzor, pa je:
b = µ h
⎡bx ⎤ ⎡ µ
r
jκ
0⎤ ⎡hx
⎤
⎢
b
⎥
= µ
⎢
− jκ µ 0
⎥ ⎢
h
⎥
.
⎢
y
⎥
0
⎢
r
⎥ ⎢
y
⎥
⎢⎣ b ⎥
z ⎦ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ h ⎥
z ⎦
Za + smjer rotacije dobivamo:
b = µ µ h + jκµ
h
b
x 0 r x 0 y
b = − jκµ h + µ µ h ,
y 0 x 0 r y
z
= µ h
0
z
iz čega uvrštavajući vezu između x i y komponente izmjeničnog magnetskog polja
imamo:
+
⎧⎪
( µ −κµ 0 ) hx
→ µ hx
hx
= jhy
⇒ ⎨
.
+
⎪⎩ ( µ −κµ 0 ) hy
→ µ hy
Slično dobijemo i za – smjer rotacije:
h
jh
x
= −
y
⇒ ⎨
( 0 )
( )
−
⎧ ⎪ µ + κµ hx
→ µ hx
.
−
⎪⎩ µ + κµ
0
hy
→ µ hy
- 131 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
t = t 1 t = t 2 t = t 3 t = t 4
H + H – H + H –
H + H –
H y
H + H –
Hy
H y
H y
Slika 2. Linearno polarizirani val kao superpozicija dvaju cirkularno polariziranih
valova jednakih amplituda koji rotiraju u suprotnim smjerovima
Da bi dobili ukupno polje koje se propagira u +z smjeru, potrebno je superponirati ova
dva cirkularno polarizirana vala.
Neka je u ravnini z = 0 polje:
h = e h 0 ,
x
dakle ima smjer osi x. Stoga je u z = 0 ukupni val iznosa h = h x (0) sastavljen od dvaju
jednakih po amplitudi ali suprotno rotirajućih valova pa, u skladu sa sl. 2, vrijedi u
ravnini z = 0:
+ −
h 0 = 2h = 2h
.
U nekoj ravnini z ≠ 0 vrijedi:
( )
x
( )
x x x
odnosno:
( 0) h ( 0)
+ −
+ −
hx
− β x
hx ( z) = hx ( z) + hx
( z)
= e + e
2 2
( 0) (
− β+ − β−
)
hx j z j z
hx
( z)
= e + e .
2
j + z − jβ−z
Stoga što je, ovisno o smjeru rotacije:
h
imamo:
Dakle, komponente ravnog vala su:
y
= ∓ jh
x
( 0) (
− β+ − β−
)
hx j z j z
hx
( z)
= − j e − e .
2
⎛ β+ − β−
⎞
hx
( z) = hx
( 0)
cos⎜ z ⎟e
⎝ 2 ⎠
⎛ β+ − β−
⎞
hy
( z) = hx
( 0)
sin ⎜ z ⎟e
⎝ 2 ⎠
β+ + β−
− j z
2
β+ + β−
− j z
2
.
- 132 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
Rezimirajmo karakteristike ponašanja tog vala pri propagaciji duž +z osi, ako
je ferit magnetiziran duž iste osi. Linearno polarizirani val u feritu rotira. Kut
polarizacije ravnog vala promijeni se za vrijednost:
β − β
= l ,
2
θ
+ −
na putu duljine l kroz feritni medij.
Promotrimo što se događa ukoliko se okrene smjer vanjskog statičkog
magnetskog polja za 180° odnosno od:
H0 = ezH0z
,
na:
H = −e H .
0 z 0 z
Zbog toga što je M
0
H
0
veličina κ mijenja predznak, pa je:
odnosno:
µ + = µ + κ ,
µ − = µ − κ ,
( )
( )
β ω εµ µ κ
= − ,
+ 0 r
β ω εµ µ κ
= + .
− 0 r
Možemo ustanoviti da bi val koji se propagira u + z smjeru imao suprotan smjer
polarizacije u slučaju kada okrenemo smjer polja. Posljedica toga je nerecipročnost jer
valu koji se reflektira os polarizacije rotira suprotno smjeru kazaljke na satu, ako je
upadnom valu rotirala u smjeru kazaljke na satu. Dakle, reflektirani val će na putu l
rotirati ponovo za kut θ pa je totalna rotacija nakon puta l u – smjeru jednaka 2θ (sl.
3). Ovo svojstvo nerecipročnosti često se koristi u praksi, a naziva se Faradayeva
rotacija.
ROTIRA ZA θ
l
z
z 1
z
ROTIRA ZA θ
Slika 3. Geometrija propagacije u feritu – Faradayeva rotacija
- 133 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
7. Rezonatori
Promotrimo titrajni krug kao na sl. 1, pri čemu uzimamo u obzir i Jouleove
gubitke u krugu predstavljene koncentriranim otporom R. Pri tome, promatramo
stabilno stanje sklopa. Uzimajući da je struja i promjena u vremenu količine naboja q
izbačenog iz ravnoteže:
dq ( t)
i ( t)
= ,
dt
možemo pisati diferencijalnu jednadžbu ovog strujnog kruga u obliku:
2
d q t
( ) dq( t )
1
L + R + q t = u t
2
dt dt C
te ukoliko je uzbuda harmonijska odnosno:
ω
2
( )
u t = U e = U e ,
j t j π ft
0 0
( ) ( )
možemo pretpostaviti rješenje za količinu naboja izbačenog iz električne ravnoteže u
obliku:
j( t )
q t = q e ω −Φ
,
( )
pri čemu je q 0 konstanta pa, uvrštavajući taj rezultat u diferencijalnu jednadžbu
strujnog kruga imamo:
⎛ 2 2 R ⎞ U0 2 2
( ) 2 2 R jΦ
U0
⎜ω0 − ω + jω ⎟ q0 = ⇒ q0 ω0
− ω + ω e = ,
⎝
L ⎠ L L L
0
što uz Thompsonovu formulu za titrajno vrijeme T, odnosno rezonantnu frekvenciju
titrajnog kruga:
2π
1
ω0 = 2π
f0
= = ,
T LC
daje rješenje za naboj u stacionarnom stanju:
C
u
~
i
L
R
Slika 1. Serijski titrajni krug s gubicima
- 134 -

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
( )
q t
=
L
U e
0
( )
( ωt−Φ)
j
R
ω ω ω
L
2
2 2
2
2
0
− +
2
,
Φ = arctg
L
ωR
2 2