RIEMANNŮV INTEGRÁL - eAMOS

RIEMANNŮV INTEGRÁL
víme: S □ = c.(b – a)
f(x) = c pro
x∈〈a ,b〉
∫ b
a f xdx = ∫ b
a cdx =[cx ]b a =cb−ca
S Δ =
1
2 .1.2 = 1
nadefinujeme si horní část f(x) = 2x;
∫ 1
0 f xdx= ∫ 1
0 2x dx=[ x2 ] 1 0 =1
x∈〈0,1〉
U obdélníků a trojúhelníků se obsah obrazce dá spočítat pomocí integrálu
∫ b
a f xdx = obsah plochy mezi grafem funkce f a osou x na úseku x∈〈a ,b〉
Platí určitě pro f lineární
Chceme, aby to platilo pro co nejvíce funkcí f.
f není spojitá => jak to propojit s určitým integrálem, protože ten není definován pro spojité funkce
PROBLÉM => co dělat, když funkce není spojitá
1) Vyplním plochu pod grafem funkcí co nejvíce obdélníky. Graf funkce se dotýká obdélníků shora
2) Vyplníme plochu pod grafem funkce co nejvíce obdélníky. Graf funkce se dotýká obdélníků
zdola.
1) Obsah plochy mezi grafem a osou x bude větší než obsah vyšrafované plochy.
2) Obsah plochy mezi grafem a osou x bude menší než obsah vyšrafované plochy.

porovnáváme supremum 1) a infinum 2)
- pokud se rovnají, pak je to Riemannův integrál
DĚLENÍ INTERVALU
zapisuje se D
a < x 1 < x 2 < x 3 < x 4 < b
nazýváme dělení intervalu a,b s dělícími body x 1, x 2, x 3, x 4
obecně: a < x 1 < …< x k < b, k ∈N
NORMA DĚLENÍ a := x 0
b := x k+1
∥D∥ := největší vzdálenost mezi sousedními dělícími body dělení D
∥D∥ := max ∣x i
−x i−1
∣ … i = 1,...x k+1
Př: ∥D∥
= 3 … největší možná vzdálenost jednoho dílku
D:
a = 0 a b = 10
ZJEMNĚNÍ DĚLENÍ
D 1 :
D 2 :
D 2 je zjemněním dělení D 1
k≤n
D 1 : a < x 1 < …< x k < b
D 2 : a < z 1 < …< z n < b

{ x 1, x 2 ... x k } ⊂ {z 1, z 2, ... z n }
Platí: D 2 zjemnění D 1 => ∥D 2
∥≤∥D 1
∥
Nechť: f: 〈a , b〉R
omezená funkce, D dělení intervalu 〈a ,b〉
- oranžová plocha unázorňuje největší možný obdélník,
která se vejde pod graf funkce f
(a = x 0 )
m k = inf f 〈 x k−1
, x k
〉
m k = výška obdélníka, který má základnu 〈 x k−1
, x k
〉 a je nejvyší možný, který se vejde pod graf
funkce f
(a = x 0 )
M k := sup f 〈 x k−1
, x k
〉
m k = výška obdélníka, který má základnu 〈 x k−1
, x k
〉 a je nejnižší možný, který uvnitř obsahuje
graf funkce f
Vezmu konkrétně dělení D, zjistím pro něj hodnoty m 1 , m 2 , …. , M 1 , M 2 , ….
obsah obdélníků (x k , x k-1 ) . m k respektive (x k , x k-1 )
DOLNÍ SOUČET
= součet obsahů obdélníků pod grafem / dolní odhad velikosti celé plochy pod grafem
HORNÍ SOUČET
= součet obsahů obdélníhů obsahujících graf / horní odhad velikosti celé plochy pod grafem
SD≤obsah plochy≤s D
D 2 je zjemněním dělení D 1 :
D 1 : D 2 :

sD 2
≥s D 1
dolní obsash
podobně:
SD 2
≥S D 1
horní obsah
Horní a dolní součet „spočítáme“ pro všechna možná dělení D intervalu 〈a ,b〉
DOLNÍ RIEMANNŮV INTEGRÁL
R∫ b
a f xdx := sup {s(D);D dělení}
HORNÍ RIEMANNŮV INTEGRÁL
R∫ b
a f x dx := inf {S(D);D dělení}
V ideálním případě je horní = dolní
RIEMANNŮV INTEGERÁL FUNKCE f NA 〈a ,b〉 , OMEZENÉ, EXISTUJE, POKUD
R∫ b
a f xdx = R∫ b
a f xdx A JE ROVEN TÉTO JEJICH SPOLEČNÉ HODNOTĚ:
označení: R∫ b
a f x dx
Platí: {D n
} ∞
n=1
D n dělení intervalu 〈a ,b〉
D n+1 je zjemnění D n pro všechna n∈N
lim ∥D n
∥=0
n ∞
Potom
lim
n ∞
sD n
=∫ b
a f xdx ,
Tedy pokud , tak R∫ b
a f xdx= A
lim S D n
=∫ b
a f xdx
n ∞