10.11.2014 Views

⎩ ⎨ ⎧ > ≤ < ≤ = Bx BxA x Ax xF ,1 , 8 ,0 )(

⎩ ⎨ ⎧ > ≤ < ≤ = Bx BxA x Ax xF ,1 , 8 ,0 )(

⎩ ⎨ ⎧ > ≤ < ≤ = Bx BxA x Ax xF ,1 , 8 ,0 )(

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

Контрольная работа по предмету «Теория вероятности»<br />

Вариант 1<br />

1. Из разрезной азбуки выкладывается слово МАТЕМАТИКА. Затем все буквы этого слова<br />

перемешиваются и вкладываются в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится<br />

слово МАТЕМАТИКА.<br />

2. В двух коробках имеются однотипные конденсаторы. В первой коробке 20 конденсаторов, из них 2<br />

неисправных. Во второй 10, из них З неисправных. Наугад взятый конденсатор оказался годный. Какова<br />

вероятность, что он из первой коробки?<br />

3. Восемнадцать команд, участвующих в турнире, по жребию разбиваются на две подгруппы по девять<br />

команд в каждой. Найти вероятность того, что все шесть лидирующих команд распределятся по три в<br />

разные группы.<br />

4. Пусть X - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 410 и<br />

средним квадратическим отклонением 2. Найдите вероятность того, что Х примет значение между 407 и<br />

415.<br />

5. Из двух претендентов А и В на соответствующую должность три члена комиссии должны отобрать<br />

одного. Каждый может указать либо на достойного либо забраковать обоих. Претендент считается<br />

выбранным, если он был признан достойным хотя бы двумя членами комиссии. Найти вероятность, что<br />

рекомендован А.<br />

6. В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектны. Найти вероятность того,<br />

что среди десяти автомобилей имеют некомплектность менее трех.<br />

7. Случайная величина X задана интегральной функцией:<br />

0,<br />

x A<br />

3<br />

x<br />

F(<br />

x)<br />

, A x B<br />

8<br />

<br />

<br />

1, x B<br />

Найти значения А и В<br />

8. На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения<br />

числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них: для первого<br />

для второго<br />

X: Xi 0 1 2 и Y: Yi 0 2<br />

Pi 0,1 0,6 0,3 Pi 0,5 0,5<br />

Найти математическое ожидание суммы случайных величин.<br />

9. На станке изготавливается некоторая деталь. Оказывается, что ее длина X представляет собой<br />

случайную величину. При измерении в трех случаях длина оказалась равной 20,1 см, в двух случаях -<br />

19,8 см, в одном случае длина оказалась равной 20,5 см, а в четырех случаях - 19,9 см. Найдите нижний<br />

предел вероятности того, что длина детали будет заключена между 19,7 и 20,3 см.<br />

10. Из 10 вариантов контрольной работы, написанных на отдельных карточках, наугад выбирают восемь<br />

и раздают восьми студентам, сидящим на одном ряду. Найти вероятность того, что будут распределены<br />

последовательные номера вариантов.


Вариант 2<br />

1. Группа в 30 студентов поровну состоит из отличников, хорошистов и троечников. Отличник на<br />

экзамене обязательно получит 5; хорошист – равновозможно 5 или 4; а троечник – равновозможно 4, 3<br />

или 2. Новый преподаватель наугад вызывает незнакомого студента. Какова вероятность, что студент<br />

получит 4 или 5 ?<br />

2. Предположим, что 78% населения живет в области, охваченной коммерческим ТV, рекламирующим<br />

две новые модели автомобилей фирмы; 56% населения охвачено радиорекламой. Также известно, что<br />

45% населения слушает и радио и телерекламу. Если случайно отобрать человека, живущего в данной<br />

области, то чему будет равна вероятность того, что он знаком по крайней мере хотя бы с одной из<br />

рекламных передач фирмы?<br />

3. Из букв разрезной азбуки составлено слово СТАТИСТИКА. Какова вероятность того, что, перемешав<br />

буквы и укладывая их в ряд по одной, получим слово КИТ.<br />

4. Выборочным методом измеряется засоренность зерна, случайные ошибки измерения подчинены<br />

нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 0,2 г и математическим<br />

ожиданием а=0. Найти вероятность того, что из четырех независимых измерений ошибка хотя бы<br />

одного из них не превзойдет по абсолютной величине 0,3 г.<br />

5. Пятитомное сочинение расположено на полке в произвольном порядке. Какова вероятность, что<br />

номера томов идут подряд?<br />

6. Подброшены две игральные кости. Найти М(Х), где Х- случайная величина - сумма числа очков,<br />

которые могут появиться на двух выпавших гранях.<br />

7. Случайная величинах задана интегральной функцией:<br />

0,<br />

x 2<br />

<br />

x 1<br />

F(<br />

x)<br />

, 2<br />

x 2<br />

4<br />

2<br />

<br />

1, x 2<br />

.<br />

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение,<br />

заключенное в интервале (0;2).<br />

8. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность промаха при одном выстреле для первого стрелка<br />

равна 0,2, а для второго — 0,4. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых не будет ни одного<br />

попадания в мишень, если стрелки произведут 25 залпов.<br />

9. В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона — безработные. Оценить<br />

вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10 000 работоспособных жителей<br />

города будет в пределах от 9 до 11%.<br />

10. По данным переписи (1891 г.) Англии и Уэльса было установлено, что тѐмноглазые отцы и<br />

тѐмноглазые сыновья составили 5% обследованных, тѐмноглазые отцы и светлоглазые сыновья<br />

составили 8% обследованных, светлоглазые отцы и тѐмноглазые сыновья составили 9% обследованных,<br />

а светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья составили 78% обследованных. Определить, какова<br />

вероятность рождения светлоглазого сына у тѐмноглазого отца?


Вариант 3<br />

1. Случайная величина X задана функцией распределения<br />

0<br />

2<br />

х<br />

F(<br />

x)<br />

<br />

1<br />

<br />

при х 0,<br />

при 0 х 1<br />

при х 3<br />

Найти дисперсию D(X).<br />

2. Надежность прибора равна 0,7. Для повышения надежности данного прибора он дублируется n-1<br />

другими такими приборами. Сколько приборов надо взять, чтобы повысить его надежность до 0,95?<br />

3. Статистика запросов кредитов в банке такова: 5% берут государственные органы, 20% - другие банки,<br />

остальные – физические лица. Вероятность невозврата кредита соответственно такова: 0,01; 0,05 и 0,8.<br />

Начальнику кредитного отдела доложили о невозврате кредита. Найти вероятность того, что данный<br />

кредит не возвращает какой-то банк.<br />

4. В цехе работают семь мужчин и пять женщины. По табельным номерам наудачу отобраны шесть<br />

человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.<br />

5. В гостинице имеется шесть одноместных номеров. На эти номера имеется 10 претендентов: 6 мужчин<br />

и 4 женщины. Гостиница следует правилу FIFO: пришедшие раньше обуживаются раньше. Все<br />

претенденты пребывают в гостиницу в случайном порядке. Какова вероятность того, что номера<br />

получат крайней мере одна из четырех женщин.<br />

6. Из букв разрезной азбуки составлено слово АНАНАС. Ребѐнок рассыпал эти буквы, а затем наугад их<br />

составил. Какова вероятность, что вновь получится исходное слово?<br />

7. Пусть X - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 410 и<br />

средним квадратическим отклонением 2. Найдите вероятность того, что Х примет значение между 407 и<br />

415.<br />

8. Сколько нужно произвести измерений, чтобы с вероятностью, равной 0,9973, утверждать, что<br />

погрешность средней арифметической результатов этих измерений не превысит 0,01, если измерение<br />

характеризуется средним квадратическим отклонением, равным 0,03?<br />

9. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй — 0,8,<br />

третьей — 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете<br />

10. Вероятность того, что перфокарта набита оператором неверно, равна 0,2. Найти вероятность того, что<br />

из восьми перфокарт будет неверно набитых не более двух.


Вариант 4<br />

1. В трех одинаковых по внешнему виду ящиках находится одноименный товар. 1/3 часть товара в<br />

первом ящике, половина товара во втором ящике и весь товар в третьем – первого сорта. Случайным<br />

образом выбирают один ящик и извлекают из него одну единицу товара. Найти вероятность того, что<br />

она первого сорта.<br />

2. СВ X – ошибка измерительного прибора – распределена нормально с дисперсией 16 мВ 2 .<br />

Систематическая ошибка прибора отсутствует. Вычислить вероятность того, что в пяти независимых<br />

измерениях ошибка превысит по модулю 6 мВ не более трех раз.<br />

3. В почтовом отделении имеются открытки 8 видов. Какова вероятность, что среди 5 проданных все<br />

открытки разные.<br />

4. Сколько раз надо измерить температуру раствора, чтобы с вероятностью не менее 0,95 можно было<br />

утверждать, что среднее арифметическое этих измерений будет отличаться от истинного значения не<br />

более чем на 20, если средне - квадратичное отклонение 80.<br />

5. Из 10 вариантов контрольной работы, написанных на отдельных карточках, наугад выбирают восемь и<br />

раздают восьми студентам, сидящим на одном ряду. Найти вероятность того, что варианты 1 и 2<br />

окажутся неиспользованными.<br />

6. Пакеты акций, имеющихся на рынке ценных бумаг, могут дать доход владельцу с вероятностью 0,4<br />

(для каждого пакета). Сколько пакетов акций различных фирм нужно приобрести, чтобы с<br />

вероятностью, не меньшей 0,92224, можно было ожидать доход хотя бы по одному пакету акций? (целое<br />

число)<br />

7. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,1. Составить закон<br />

распределения числа выигравших облигаций среди приобретенных 19. Найти математическое ожидание<br />

и дисперсию доли (частости) выигравших облигаций среди приобретенных.<br />

8. Дана функция плотности<br />

сcos2x,<br />

при х(0,<br />

/ 4)<br />

f ( x)<br />

<br />

0, при х(0,<br />

/ 4)<br />

.<br />

Найти параметр с. (ответ целое)<br />

9. В купейный вагон (9 купе по 4 места) шесть пассажиров купили билеты в разное время независимо<br />

друг от друга. Какова вероятность того, что они разместятся в двух купе?<br />

10. В микрорайоне девять машин технической службы. Для бесперебойной работы необходимо, чтобы<br />

не меньше восьми машин были в исправном состоянии. Считая вероятность исправного состояния для<br />

всех машин одинаковой и равной 0,9, найти вероятность бесперебойной работы технической службы в<br />

микрорайоне.


Вариант 5<br />

1. Для 20 участников конференции, среди которых 12 российских, в гостинице забронировано 20<br />

номеров. Из этих номеров 12 - с видом на море. Портье наугад выдает участникам конференции ключи<br />

от номеров. Найти вероятность того, что номера с видом на море достанутся российским участникам.<br />

2. Аналитик по инвестициям собирает данные об акциях и отмечает, выплачивались ли по ним<br />

дивиденды и увеличивались или нет акции в цене за интересующий его период времени. Собранные<br />

данные представлены в следующей таблице:<br />

Выплата дивидендов Цена Цена не Итого<br />

увеличилась увеличилась<br />

Производилась<br />

Не производилась<br />

51<br />

97<br />

83<br />

72<br />

134<br />

169<br />

Итого 148 155 303<br />

Если по акции не выплачены дивиденды, то оцените вероятность того, что она выросла в цене.<br />

3. Дан ряд распределения случайной величины<br />

Xi 2 4<br />

Pi<br />

p1<br />

p2<br />

Найти p1 и p 2 , если ее математическое ожидание равно 3,4, а дисперсия равна 0,84.<br />

4. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого<br />

охотника равна 0,6, а у второго – 0,7. В результате первого залпа одно попадание в цель. Чему равна<br />

вероятность того, что промахнулся первый охотник.<br />

5. В кармане лежат 5 монет достоинством в 50 коп., 4 монеты по 10 коп. и 1 монета—5 коп. Наугад берут<br />

3 монеты. Какова вероятность того, что в сумме они составляют не более одного рубля?<br />

6. Из одной ЭВМ в другую необходимо переслать файл объемом 10 000 символов. Вероятность ошибки<br />

при передаче символа составляет 0,001. Вычислить вероятность того, что в переданном файле будет<br />

ровно 10 ошибок.<br />

7. Дана интегральная функция случайной величины Х<br />

0,<br />

x 0<br />

6<br />

x<br />

3<br />

F(<br />

x)<br />

,0 x 2<br />

4<br />

<br />

3<br />

1,<br />

x 2<br />

Найти вероятность того, что в результате шести испытаний случайная величина X два раза примет<br />

значение, принадлежащее интервалу (0;1).( ответ до десятых)<br />

8. В результате анализа торговой деятельности некоторого магазина установлено, что среднемесячные<br />

издержки обращения составляют 500 усл. ед. Оценить вероятность того, что в очередном месяце<br />

издержки не выйдут за пределы 370-630 ден. единиц. Известно, что дисперсия издержек равна 40 ден.<br />

ед.<br />

9. Вес вылавливаемых в пруду рыб подчиняется нормальному закону распределения со средним<br />

квадратическим отклонением 150 г и математическим ожиданием 1000 г. Найти вероятность того, что<br />

вес пойманной рыбы будет не более 1500 г.<br />

10. 12 человек садится за круглый стол. Найти вероятность того, что два лица А и В окажутся рядом.


Вариант 6<br />

1. Из колоды карт (36 карт) вытаскивают 5 карт. Какова вероятность того, что будут вытащены 2 туза, 1<br />

валет и 2 шестерки?<br />

2. Шесть студентов наугад рассаживают за круглый стол. Какова вероятность, что определѐнные три<br />

окажутся рядом?<br />

3. Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число годных деталей было равно 65, если<br />

вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованной, равна 0,05?<br />

4. Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами, причем первый контролер проверяет 65%<br />

изделий, а второй — остальные. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное<br />

изделие, равна 0,03, второй — 0,05. Взятое наудачу изделие, маркированное как стандартное, оказалось<br />

нестандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверялось вторым контролером.<br />

5. Еженедельный выпуск продукции на заводе распределен приблизительно по нормальному закону со<br />

средним значением 14678 ед. продукции в неделю и средним квадратическим отклонением 4670 ед.<br />

Найдите вероятность того, что еженедельный выпуск продукции окажется ниже 8876 ед. в данную<br />

неделю.<br />

6. Сколько раз надо измерить температуру раствора, чтобы с вероятностью не менее 0,95 можно было<br />

утверждать, что среднее арифметическое этих измерений будет отличаться от истинного значения не<br />

более чем на 20, если средне - квадратичное отклонение 80.<br />

7. В урне 3 белых и 6 чѐрных шара. Двое поочерѐдно наугад вынимают по шару (без возвращения). С<br />

какой вероятностью первый вынет белый шар первым?<br />

8. Дискретная случайная величина А задана законом распределения:<br />

X -1 0 1 3 5<br />

Р 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1<br />

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |Х-М(Х)|


Вариант 7<br />

1. Дана функция плотности<br />

сcos2x,<br />

при х(0,<br />

/ 4)<br />

f ( x)<br />

<br />

0, при х(0,<br />

/ 4)<br />

.<br />

Найти дисперсию, где М(Х)=0,29.<br />

2. Оцените вероятность, что при 1000 подбрасываниях монеты герб появится от 450 до 550 раз?<br />

3. Фирма рассылает рекламные проспекты восьми потенциальным партнерам. В результате такой<br />

рассылки в среднем у каждого пятого потенциального партнера возникает интерес к фирме. Найти<br />

вероятность того, что это не более чем в трех случаях.<br />

4. Из 30 вопросов, включенных в программу экзамена, студент подготовил 15. На экзамене студент<br />

наугад выбирает 5 вопросов из 30. Для сдачи экзамена достаточно ответить правильно хотя бы на 3<br />

вопроса. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен.( ответ до десятых)<br />

5. В кармане лежат 5 монет достоинством в 50 коп., 4 монеты по 10 коп. и 1 монета—5 коп. Наугад берут<br />

3 монеты. Какова вероятность того, что в сумме они составляют не более одного рубля?<br />

6. Дано шесть карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Найти вероятность того, что получится слово ЛОМ,<br />

если наугад одна за одной выбираются три карточки.<br />

7. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величина,<br />

подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием 800 кг и<br />

неизвестным средним квадратическим отклонением. Известно, что 64% туш имеют вес менее 950 кг.<br />

Определите среднее квадратическое отклонение веса туш.<br />

8. Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами, причем первый контролер проверяет 65%<br />

изделий, а второй — остальные. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное<br />

изделие, равна 0,03, второй — 0,05. Взятое наудачу изделие, маркированное как стандартное, оказалось<br />

нестандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверялось вторым контролером.<br />

9. Вероятность поражения цели равна 0,05. Производится стрельба по цели до первого попадания. Найти<br />

математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины― числа сделанных выстрелов.<br />

10. Случайная величина Х задана функцией распределения:<br />

F<br />

0, x 1,<br />

x)<br />

x<br />

(1<br />

e ), x 1<br />

(<br />

1<br />

Найти дисперсию СВ X.


Вариант 8<br />

1. В ящике лежит 20 теннисных мячей, в том числе 12 новых и 8 игранных. Из ящика извлекают наугад<br />

два мяча для игры. После мячи возвращают обратно в ящик. После этого из ящика вынимают, еще два<br />

мяча для следующей игры. Оба мяча оказались не игранными. Найти вероятность того, что первый раз<br />

тоже играли новыми мячами.<br />

2. Для определения средней урожайности на площади 100 000 га взято на выборку по одному гектару от<br />

каждого участка размером 100 га. Оценить вероятность того, что средняя выборочная вероятность будет<br />

отличаться от действительной средней по всей площади не более чем на 0,5 ц, если дисперсия<br />

урожайности на отдельных участках (по 100 га) не превышает 2 ц.<br />

3. Студент пришел на экзамен, зная лишь 34 из 60 вопросов программы. В билете два вопроса. Найти<br />

вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопрос билета.<br />

4. Случайная величина X задана дифференциальной функцией:<br />

0,<br />

x 0<br />

F( x)<br />

3x<br />

3e<br />

, x 0<br />

Найти вероятность попадания случайной величины X в интервал (-1;1/3).<br />

5. Случайная величина X, сосредоточенная на интервале [2; 6], задана функцией распределения<br />

1<br />

2<br />

F(<br />

x)<br />

( x 4x<br />

4).<br />

16<br />

Найти вероятность того, что случайная величина X примет значения меньше 4.<br />

6. У сборщика имеются 19 деталей, мало отличающихся друг от друга, из них семь — первого, по<br />

четыре — второго, третьего и четвертого видов. Какова вероятность того, что среди шести взятых<br />

одновременно деталей три окажутся первого вида, два — второго и одна — третьего?<br />

7. Случайные величины X и Y независимы и имеют один и тот же закон распределения:<br />

Значение 1 2 4<br />

Вероятность 0,3 0,3 0,4<br />

Найти М(X+Y).<br />

8. Слово, составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и<br />

вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что карточки с буквами вынимаются в<br />

порядке следования букв заданного слова «событие».<br />

9. Урожайность озимой пшеницы по совокупности участков распределяется по нормальному закону с<br />

параметрами: а=50 ц/га, со средним квадратическим отклонением 10 ц/га. Определить, какой процент<br />

участков будет иметь урожайность свыше 40 ц/га.<br />

10. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Найти вероятность того, что<br />

сообщение из 10 знаков не будет искажено?


Вариант 9<br />

1. В лифт 9-этажногодома вошли 6 человека. Каждый из них независимо друг от друга может выйти на<br />

любом (начиная со второго) этаже. Какова вероятность того, что все вышли на одном этаже?<br />

2. Для проведения соревнования 16 волейбольных команд разбиты по жребию на две подгруппы по<br />

восемь команд в каждой. Найти вероятность того, что две наиболее сильных окажутся в одной<br />

подгруппе.<br />

<br />

2<br />

а(1<br />

х ), х<br />

1,1<br />

<br />

<br />

3. Дана функция f = 0, х<br />

1,1<br />

<br />

. Найти дисперсию.<br />

4. Для решения вопроса идти в кино или на лекцию, студент подбрасывает монету. Если студент пойдет<br />

на лекцию, он разберется в теме с вероятностью 0,9, а если в кино - с вероятностью 0,3. Какова<br />

вероятность того, что студент разберется в теме?( ответ до десятых)<br />

5. Вероятность появления события в одном опыте равна 0,78. Чему равно наивероятнейшее число<br />

наступления события в 150 опытах?<br />

6. Вероятность работы каждого из четырех комбайнов без поломок в течение определенного времени<br />

равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины X - числа комбайнов, работавших<br />

безотказно. Найти математическое ожидание случайной величины X.<br />

7. Брокерская фирма имеет дело с акциями и облигациями. Предположим, что 75% людей, которые<br />

интересуются возможными инвестициями (вложениями) в брокерскую фирму, покупают акции, а 47%<br />

покупают облигации. Также известно, что 31% интересующихся покупают как акций, так и облигаций.<br />

Некто интересуется делами компании; чему равна вероятность, что он будет покупать либо облигации,<br />

либо акции, либо и то и другое?<br />

8. Среднее значение длины детали 60 см, а дисперсия — 0,2. Оценить вероятность того, что случайно<br />

взятая деталь окажется по длине не менее 59,5 и не более 60,5 см.<br />

9. В гостинице имеется шесть одноместных номеров. На эти номера имеется 10 претендентов: 6 мужчин<br />

и 4 женщины. Гостиница следует правилу FIFO: пришедшие раньше обуживаются раньше. Все<br />

претенденты пребывают в гостиницу в случайном порядке. Какова вероятность того, что номера<br />

получат крайней мере одна из четырех женщин.<br />

10. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 540 г. Известно, что<br />

масса коробок с конфетами имеет нормальное распределение, а 5% коробок имеют массу, меньшую 500<br />

г. Каков процент коробок, масса которых от 500 до 550 г?


Вариант 10<br />

1. В торговую фирму поступили телевизоры от трех фирм изготовителей в соотношении 2:5:3.<br />

Телевизоры, поступающие от первой фирмы, требуют ремонта в течении гарантийного срока в 15%<br />

случаев, от второй и третьей - соответственно 8% и 6% случаев. Найти вероятность того, что<br />

поступивший в торговую фирму телевизор потребует ремонта в течении гарантийного срока.<br />

2. Дана функция F = .<br />

Найти дисперсию.<br />

3. Аналитик по инвестициям собирает данные об акциях и отмечает, выплачивались ли по ним<br />

дивиденды и увеличивались или нет акции в цене за интересующий его период времени. Собранные<br />

данные представлены в следующей таблице:<br />

Выплата дивидендов Цена Цена не Итого<br />

увеличилась увеличилась<br />

Производилась<br />

Не производилась<br />

<br />

<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

0, x 0<br />

2<br />

,0 x 1<br />

1, x 1<br />

51<br />

97<br />

83<br />

72<br />

134<br />

169<br />

Итого 148 155 303<br />

Зная, что акция выросла в цене, найдите вероятность того, что по ней также выплачены дивиденды.<br />

4. Учебник издан тиражом 90 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник бракованный равна<br />

0,00008. Найти вероятность того, что по райней мере 9998 книг сброшюрованы правильно.<br />

5. На абонементное обслуживание поставлено 5 телевизоров. Известно, что математическое ожидание<br />

числа отказов в работе в год для пяти телевизоров равно единице. Если телевизоры имеют одинаковую<br />

вероятность безотказной работы, то какова вероятность, что за год потребуется хотя бы один ремонт?<br />

6. Для исследования продуктивности определенной породы домашней птицы измеряют диаметр яиц.<br />

Наибольший поперечный диаметр яиц представляет собой случайную величину, распределенную по<br />

нормальному закону со средним значением 5 см и средним квадратическим отклонением 0,3 см. Найти<br />

вероятность того, что диаметр взятого наудачу яйца будет заключен в границах от 4,7 до 6,2 см.<br />

7. Из 10 вариантов контрольной работы, написанных на отдельных карточках, наугад выбирают восемь и<br />

раздают восьми студентам, сидящим на одном ряду. Найти вероятность того, что варианты 1 и 2<br />

окажутся неиспользованными.<br />

8. В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами 101, 102, … ,120 и произвольно расположенных.<br />

Наудачу отобраны три карты. Найти вероятность того, что извлечена перфокарта с №101.<br />

9. В хозяйстве имеется 100 автомобилей. Вероятность безотказной работы каждого из них в течение<br />

определенного периода составляет 0,9. Оценить вероятность того, что отклонение числа безотказн о<br />

работавших автомобилей за определенный период от его математического ожидания не превзойдет по<br />

модулю 5.<br />

10. Восьмитомное собрание сочинений расставлено наугад на полке. Найти вероятность того, что том с<br />

№ 1 и № 2 окажутся через один том.


Вариант 11<br />

1. Три независимых эксперта делают прогноз стоимости акции компания, ошибаясь при этом с<br />

одинаковой вероятностью р. Найти р, если вероятность того, что хотя бы один из них ошибается, равна<br />

0,488.<br />

2. Количество электроэнергии, потребляемой поселком в течение суток, является случайной величиной,<br />

математическое ожидание которой равно 4 тыс. кВт ч. Оценить вероятность того, что в ближайшие<br />

сутки потребление энергии превысит 8 тыс. кВт ч.<br />

3. Дано шесть карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Найти вероятность того, что получится слово ЛОМ,<br />

если наугад одна за одной выбираются три карточки.<br />

4. Полная колода карт (52 листа) делятся наугад на дне равные части во 26 карт. Найти вероятность<br />

следующих событий, что все тузы будут в одной пачке.<br />

5. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого<br />

охотника равна 0,6, а у второго – 0,7. В результате первого залпа одно попадание в цель. Чему равна<br />

вероятность того, что промахнулся первый охотник.<br />

6. Дана интегральная функция случайной величины Х<br />

0,<br />

x 0<br />

6<br />

x<br />

3<br />

F(<br />

x)<br />

,0 x 2<br />

4<br />

<br />

3<br />

1,<br />

x 2<br />

Найти вероятность того, что в результате шести испытаний случайная величина X два раза примет<br />

значение, принадлежащее интервалу (0;1).<br />

7. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величина,<br />

подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием а = 800 кг и средним<br />

квадратическим отклонением σ = 100 кг. Определите вероятность того, что вес случайно отобранной<br />

туши будет находиться между 700 и 900 кг.<br />

8. Известно, что в среднем 60% всего числа изготовляемых заводом телефонных аппаратов является<br />

продукцией первого сорта. Чему равна вероятность того, что в изготовленной партии окажется: 120<br />

аппаратов первого сорта, если партия содержит 200 аппаратов?<br />

9. Нефтеразведывательная компания получила финансирование для проведения 10 нефтеразработок.<br />

Вероятность успешной нефтеразведки 0,1. Предположим, что нефтеразведки осуществляют<br />

независимые друг от друга разведывательные партии. Найти математическое ожидание числа успешных<br />

разведок.<br />

10. В гостинице имеется шесть одноместных номеров. На эти номера имеется 10 претендентов: 6<br />

мужчин и 4 женщины. Гостиница следует правилу FIFO: пришедшие раньше обуживаются раньше. Все<br />

претенденты пребывают в гостиницу в случайном порядке. Какова вероятность того, что номера<br />

получат четверо мужчин и две женщины.


Вариант 12<br />

1. Средняя масса клубня картофеля равна 200 г. Оценить вероятность того, что наудачу взятый клубень<br />

имеет массу не более 350 г.<br />

<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

Аsin 2x,<br />

x<br />

[<br />

, ]<br />

<br />

2 2<br />

<br />

0, x<br />

[<br />

, ]<br />

<br />

2 2<br />

2. Дана функция .<br />

Найти А, при котором эта функция является функцией плотности.<br />

3. В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы: по 100 Вт — 9 штук, по 75 Вт — 15<br />

штук. Вынуты наудачу 4 лампы. Какова вероятность того, что хотя бы две из них по 100 Вт?<br />

4. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер.<br />

Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат<br />

производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй — 84%. Наудачу взятая с конвейера<br />

деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым<br />

автоматом.<br />

5. Из колоды карт (36 карт) вытаскивают 5 карт. Какова вероятность того, что будут вытащены 2 туза, 1<br />

валет и 2 шестерки?<br />

6. Экзаменатор задает студенту вопросы, пока тот правильно отвечает. Как только число правильных<br />

ответов достигнет четырех либо студент ответит неправильно, экзаменатор прекращает задавать<br />

вопросы. Вероятность правильного ответа на один вопрос равна 2/3. Составить закон распределения<br />

числа заданных студенту вопросов.<br />

7. Количество зерна, собранного с каждой делянки опытного поля, есть нормально распределенная<br />

случайная величина X, имеющая математическое ожидание 60 кг и среднее квадратическое отклонение,<br />

равное 1,5 кг. Найти симметричный относительно M интервал, в котором с вероятностью 0,9906 будет<br />

заключена величина X.<br />

8. Известно, что на некотором заводе в среднем 70% продукции первого сорта. С вероятностью не менее<br />

0,9 определить границы, в которых должна находиться относительная частота первосортной продукции<br />

в партии из 10 000 единиц.<br />

9. Восемнадцать команд, участвующих в турнире, по жребию разбиваются на две подгруппы по девять<br />

команд в каждой. Найти вероятность того, что все шесть лидирующих команд окажутся в одной<br />

подгруппе.<br />

10. По данным переписи населения Англии и Уэльса (1891 г.) установлено, что темноглазые отцы и<br />

темноглазые сыновья составили 5% обследованных пар, темноглазые отцы и светлоглазые сыновья —<br />

7,9% пар, светлоглазые отцы и темноглазые сыновья — 8,9% пар, светлоглазые отцы и светлоглазые<br />

сыновья 78,2%. пар. Найти вероятность того, что сын темноглазый, если отец темноглазый.


Вариант 13<br />

1. Вероятность малому предприятию быть банкротом за время T равна 0,2. Найти вероятность того, что<br />

из шести малых предприятий за время T сохранятся более двух.<br />

<br />

f ( x)<br />

<br />

0 при x 0<br />

x<br />

2. Дана функция cxe<br />

при х 0<br />

. При каком значении параметра C эта функция является<br />

плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины X?<br />

3. Вероятность работы каждого из четырех комбайнов без поломок в течение определенного времени<br />

равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины X - числа комбайнов, работавших<br />

безотказно. Найти математическое ожидание случайной величины X.<br />

4. Симметричная игральная кость независимо бросается 3 раза. Какова вероятность, что сумма<br />

выпавших очков будет равна 9?<br />

5. Студент пришел на экзамен, зная лишь 34 из 60 вопросов программы. В билете два вопроса. Найти<br />

вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопрос билета.<br />

6. Медицинский тест на возможность вирусного заболевания дает следующие результаты: а) если<br />

проверяемый болен, то тест даст положительный результат с вероятностью 0,92; б) если проверяемый<br />

не болен, то тест может дать положительный результат с вероятностью 0,04. Поскольку заболевание<br />

редкое, то ему подвержено только 0,1% населения. Предположим, что некоторому случайно<br />

выбранному человеку сделан анализ и получен положительный результат. Чему равна вероятность того,<br />

что человек действительно болен?<br />

7. Нормально распределенная случайная величина X задана дифференциальной функцией<br />

2<br />

( x5)<br />

1 <br />

32<br />

f ( x)<br />

e<br />

4 2<br />

. Определить вероятность попадания случайной величины в интервал (3; 9).<br />

8. Дискретная случайная величина X задана рядом распределения<br />

X: Xi 1 2 3 4 5<br />

Pi 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1<br />

Найти условную вероятность события Х2.<br />

9. Для проведения соревнования 14 волейбольных команд разбиты по жребию на две подгруппы (по<br />

семь команд в каждой). Найти вероятность того, что три наиболее сильные команды окажутся в разных<br />

подгруппах.<br />

10. Сколько раз надо измерить температуру раствора, чтобы с вероятностью не менее 0,95 можно было<br />

утверждать, что среднее арифметическое этих измерений будет отличаться от истинного значения не<br />

более чем на 20, если средне - квадратичное отклонение 80.


Вариант 14<br />

1. Бензоколонка N заправляет легковые и грузовые автомобили. Вероятность того, что проезжающий<br />

легковой автомобиль подъедет на заправку, равна 0,4. Найти границы, в которых с вероятностью, не<br />

меньшей 0,96, находится доля заправившихся в течение 2 ч легковых автомобилей, если за это время<br />

всего заправилось 150 автомобилей.<br />

2. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величина,<br />

подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием а = 800 кг и средним<br />

квадратическим отклонением σ = 100 кг. Определите вероятность того, что вес случайно отобранной<br />

туши будет находиться между 700 и 900 кг.<br />

3. В банк отправлено 6000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит<br />

недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,001. Найти вероятность того, что при<br />

проверке будет обнаружено не более трех пакетов.<br />

4. В барабане револьвера 7 гнезд, из них в 4 заложены патроны. Барабан приводится во вращение, потом<br />

нажимается спусковой курок. Какова вероятность того, что, повторив такой опыт 2 раза подряд оба раза<br />

не выстрелит.<br />

5. Из ящика, содержащего 5 пар обуви, из которых три пары мужской, а две пары женской обуви,<br />

перекладывают наудачу 2 пары обуви в другой ящик, содержащий одинаковое количество пар женской<br />

и мужской обуви. Какова вероятность того, что во втором ящике после этого окажется одинаковое<br />

количество пар мужской и женской обуви?<br />

6. В партии 100 изделий, из которых восемь имеют дефекты. Партия разделена на две равные части,<br />

которые отправлены двум потребителям. Найти вероятность, что все бракованные изделия достанутся<br />

одному потребителю.<br />

7. На конноспортивных соревнованиях необходимо преодолеть четыре препятствия с вероятностями,<br />

равными соответственно 0,9; 0,8; 0,7; 0,6. При первой неудаче спортсмен в дальнейших состязаниях не<br />

участвует. Найти математическое ожидание случайной величины X - числа взятых препятствий.<br />

8. Случайная величина Х задана интегральной функцией:<br />

0,<br />

x 1<br />

2<br />

x x<br />

F(<br />

x)<br />

,1 x 2<br />

2 2<br />

<br />

<br />

1, x 2<br />

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний случайная величина X хотя<br />

бы один раз примет значение, принадлежащее интервалу (1;1,5).<br />

9. Для проведения соревнования 14 волейбольных команд разбиты по жребию на две подгруппы (по<br />

семь команд в каждой). Найти вероятность того, что три наиболее сильные команды окажутся в разных<br />

подгруппах.<br />

10. Из наблюдений установлено, что вероятности произойти сбою во время работы ЭВМ в процессоре, в<br />

оперативной памяти или в периферийных устройствах соотносятся между собой как 3:2:5. И пусть<br />

условные вероятности обнаружения сбоя в названных местах ЭВМ есть соответственно 0.8, 0.9 и 0.9.<br />

Найти безусловную вероятность того, что возникший где-то сбой будет обнаружен системой контроля.


Вариант 15<br />

1. Аналитик по инвестициям собирает данные об акциях и отмечает, выплачивались ли по ним<br />

дивиденды и увеличивались или нет акции в цене за интересующий его период времени. Собранные<br />

данные представлены в следующей таблице:<br />

Выплата дивидендов Цена Цена не Итого<br />

увеличилась увеличилась<br />

Производилась<br />

Не производилась<br />

51<br />

97<br />

83<br />

72<br />

134<br />

169<br />

Итого 148 155 303<br />

Если акция выбрана случайно, то чему равна вероятность того, что она выросла в цене и по ней<br />

выплачены дивиденды?<br />

2. Среди пациентов туберкулезного диспансера 14% принадлежат к первой категории больных, 67% ко<br />

второй и 19% к третьей. Вероятности возникновения заболевания, в зависимости от категории больных,<br />

равны соответственно 0,1, 0,25. 0,31. Найти вероятность возникновения заболевания у наугад<br />

выбранного пациента диспансера.<br />

3. В банк отправлено 6000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит<br />

недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,001. Найти вероятность того, что при<br />

проверке будет обнаружено не более трех пакетов.<br />

4. Пусть X - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 410 и<br />

средним квадратическим отклонением 2. Найдите вероятность того, что Х примет значение между 407 и<br />

415.<br />

5. Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 80% числа заложенных яиц. Сколько нужно<br />

заложить яиц, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, ожидать, что отклонение числа вылупившихся<br />

цыплят от математического ожидания их не превышало 40 (по абсолютной величине)?<br />

6. В коробке 3 синих, 4 красных и 5 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова<br />

вероятность того, что все они одного цвета?<br />

<br />

<br />

<br />

Cosx,<br />

x<br />

[0,<br />

]<br />

x<br />

<br />

2<br />

<br />

0, x<br />

[0,<br />

]<br />

7. Дана функция плотности <br />

2 .<br />

Найти P(0 < x < /6).<br />

8. Игрок поочередно покупает билеты двух разных лотерей до первого выигрыша. Вероятность<br />

выигрыша по одному билету первой лотереи составляет 0,2, а второй 0,3. Игрок вначале покупает билет<br />

первой лотереи. Найти математическое ожидание случайной величины X— числа купленных билетов,<br />

если он имеет возможность купить только 5 билетов.<br />

9. В читальном зале имеется десять учебников по теории вероятностей, из которых четыре в переплете.<br />

Библиотекарь наудачу взял три учебника. Найти вероятность того, что эти учебники окажутся в<br />

переплете.<br />

10. Из одной ЭВМ в другую необходимо переслать файл объемом 10000 символов. Вероятность ошибки<br />

при передаче символа составляет 0,001. Определить какова должна быть вероятность ошибки при<br />

передаче одного символа, чтобы вероятность передачи всего файла без ошибок составила 0,99.


Вариант 16<br />

1. Из 10 вариантов контрольной работы, написанных на отдельных карточках, наугад выбирают восемь и<br />

раздают восьми студентам, сидящим на одном ряду. Найти вероятность того, что варианты 1 и 2<br />

достанутся рядом сидящим студентам.<br />

2. Игральная кость бросается дважды. Определить вероятность того, что по крайней мере один раз<br />

появится 6 очков.<br />

3. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом, без повторений извлекаются 3<br />

шара. СВ X – число белых шаров в выборке. Определить закон распределения и найти математическое<br />

ожидание и дисперсию СВ X.<br />

4. С вероятностью 0,9973 было установлено, что абсолютное отклонение живого веса случайно взятой<br />

особи крупного рогатого скота от среднего веса животного по всему стаду не превосходит 30 кг. Найти<br />

среднее квадратическое отклонение живого веса скота, считая, что распределение скота по живому весу<br />

подчиняется нормальному закону.<br />

5. Вероятность изготовления детали высшего сорта равна 0,6. Найти вероятность того, что из 260<br />

деталей половина будет высшего качества.<br />

6. За истекший период в торговую фирму поступали телевизоры от трех фирм-поставщиков в<br />

следующей пропорции: 1:3:6. Каждая фирма дает на свои телевизоры гарантию, идентифицируя их по<br />

серийному номеру и дате поставки Телевизоры первой фирмы поставщика требуют ремонта в течение<br />

гарантийного срока в 15 случаев, второй и третьей соответственно в 10% и 7% случаев. Проданный<br />

телевизор требует гарантийного ремонта, однако потеряны документы, идентифицирующие фирму<br />

поставщика. В какую фирму имеет смысл обратиться в первую очередь?<br />

7. Дана функция плотности<br />

3<br />

2<br />

(1 х ), при х 1<br />

f ( x)<br />

4<br />

0, при х 1<br />

.<br />

Найти математическое ожидание.<br />

8. Сколько человек необходимо отобрать для определения удельного веса лиц со специальным<br />

образованием, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что отклонение относительной<br />

частоты лиц со специальным образованием от их доли, принимаемой за постоянную вероятность, не<br />

превышало по модулю 0,04?<br />

9. В кондитерской имеется 8 видов пироженных. Покупатель берет 5 пироженных. Вычислить<br />

вероятность того, что покупатель заказал пироженные одного вида.<br />

10. Среди 30 студентов, из которых 20 девушек, разыгрываются четыре билета, причем каждый может<br />

выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся четыре<br />

юноши.


Вариант 17<br />

1. В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы: по 100 Вт — 9 штук, по 75 Вт — 15<br />

штук. Вынуты наудачу 4 лампы. Какова вероятность того, что хотя бы две из них по 100 Вт?<br />

2. В партии 100 изделий, из которых восемь имеют дефекты. Партия разделена на две равные части,<br />

которые отправлены двум потребителям. Найти вероятность, что бракованные изделия достанутся<br />

обоим потребителям.<br />

3. В пункте проката 10 телевизоров, для которых вероятность исправленной работы в течении месяца<br />

равна 0,9 и 5 телевизоров с аналогичной вероятностью 0,95. Найти вероятность, что два телевизора<br />

взятые наудачу в пункте проката, будут работать исправно в течении месяца.<br />

4. Из одной ЭВМ в другую необходимо переслать файл объемом 10 000 символов. Вероятность ошибки<br />

при передаче символа составляет 0,001. Вычислить вероятность того, что в переданном файле будет<br />

ровно 10 ошибок.<br />

5. Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: I класс — малый риск, II класс —<br />

средний, III класс — большой риск. Среди этих клиентов 65% — первого класса риска, 25% — второго<br />

и 20% — третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для первого<br />

класса риска равна 0,01, второго — 0,2, третьего — 0,1. Какова вероятность того, что застрахованный<br />

получит денежное вознаграждение за период страхования.<br />

6. Имеется 6 образцов ситцевых тканей, артикулы которых 18, 19, 20, 21, 22, 23. Случайным образом<br />

выбирают три образца. Найти вероятность того, что артикулы выбранных образцов отличаются друг от<br />

друга на единицу.<br />

7. Случайная величинах задана интегральной функцией:<br />

0,<br />

x 1<br />

<br />

2<br />

F(<br />

x)<br />

a(<br />

x 1)<br />

,1 x 3<br />

<br />

1,<br />

x 3<br />

.<br />

Определить математическое ожидание случайной величины X.<br />

8. Дана функция распределения случайной величины<br />

0, при х 1<br />

<br />

0,2, при1<br />

х 2<br />

F(<br />

x)<br />

<br />

0,8,<br />

при 2 х 3<br />

<br />

1, при х 3<br />

.<br />

Найти ряд распределения.<br />

9. Вероятность наличия опечатки на одной странице рукописи рвна 0,2. Оценить вероятность того,что в<br />

рукописи, содержащей 400 стр, частость появления опечаткиотличается от соотвествующей вероятности<br />

мо модулю меньше, чем 0,05.<br />

10. С.в.х подчинена нормальному закону с а=5. Найти среднеквадратичное отклонение, если вероятность<br />

отклонения х от а не более чем на 0,1 равна 98%.


Вариант 19<br />

1. На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения<br />

числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них: для первого<br />

для второго<br />

X: Xi 0 1 2 и Y: Yi 0 2<br />

Pi 0,1 0,6 0,3 Pi 0,5 0,5<br />

Найти математическое ожидание суммы случайных величин.<br />

2. Имеется 6 образцов ситцевых тканей, артикулы которых 18, 19, 20, 21, 22, 23. Случайным образом<br />

выбирают три образца. Найти вероятность того, что артикулы выбранных образцов отличаются друг от<br />

друга на единицу.<br />

3. На лекции по теории вероятности присутствуют 84 студента. Какова вероятность того, что среди них<br />

есть 2 студента, у которых сегодня день рождения?<br />

4. Из 70 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 60. Найти вероятность того, что<br />

среди четырех наугад выбранных вопросов студент знает все вопросы.<br />

5. В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой — 4 белых и 8 черных шаров. Из первой урны<br />

случайным образом вынимают 3 шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также<br />

случайно вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.<br />

6. Для исследования продуктивности определенной породы домашней птицы измеряют диаметр яиц.<br />

Наибольший поперечный диаметр яиц представляет собой случайную величину, распределенную по<br />

нормальному закону со средним значением 5 см и средним квадратическим отклонением 0,3 см. Найти<br />

вероятность того, что отклонение диаметра от среднего не превзойдет по абсолютной величине 0,6 см.<br />

7. В пункте проката 10 телевизоров, для которых вероятность исправленной работы в течении месяца<br />

равна 0,9 и 5 телевизоров с аналогичной вероятностью 0,95. Найти вероятность, что два телевизора<br />

взятые наудачу в пункте проката, будут работать исправно в течении месяца.<br />

8. Вероятность того, что выпускник экономического факультета защитит диплом на "отлично", равна<br />

0,7. Вероятность того, что он защитит диплом на "отлично" и получит приглашение на работу в банк,<br />

равна 0,5. Предположим, что студент защитил диплом. Чему равна вероятность того, что он получит<br />

приглашение на работу в банк?<br />

9. Случайная величина X задана дифференциальной функцией:<br />

0,<br />

x 0<br />

<br />

3<br />

F(<br />

x)<br />

x<br />

x,0<br />

x 5 1<br />

<br />

0,<br />

x 5 1<br />

Определить вероятность попадания случайной величины в интервал (1;1,1).<br />

10. На контроль поступила партия деталей из цеха. Известно, что 5% всех деталей не удовлетворяют<br />

стандарту. Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 обнаружить хотя бы<br />

одну нестандартную деталь?


Вариант 19<br />

1. Слово, составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и<br />

вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что карточки с буквами вынимаются в<br />

порядке следования букв заданного слова «событие».<br />

2. Сколько нужно произвести измерений, чтобы с вероятностью, равной 0,9973, утверждать, что<br />

погрешность средней арифметической результатов этих измерений не превысит 0,01, если измерение<br />

характеризуется средним квадратическим отклонением, равным 0,03?<br />

3. Вероятность того, что перфокарта набита оператором неверно, равна 0,3. Найти вероятность того, что<br />

из 300 перфокарт правильно набитых будет не меньше 200.<br />

4. В купейный вагон (9 купе по 4 места) шесть пассажиров купили билеты в разное время независимо<br />

друг от друга. Какова вероятность того, что они разместятся в двух купе?<br />

5. Модельер, разрабатывающий новую коллекцию одежды к весеннему сезону, создает модели в<br />

зеленой, черной и красной цветовой гамме. Вероятность того, что зеленый цвет будет в моде весной,<br />

модельер оценивает в 0,4, что черный - в 0,5, а вероятность того, что будет моден красный цвет - в 0,35.<br />

Предполагая, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое<br />

решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов<br />

6. Случайная величина Х задана функцией распределения:<br />

F<br />

0, x 1,<br />

x)<br />

x<br />

(1<br />

e ), x 1<br />

(<br />

1<br />

Найти дисперсию СВ X.<br />

7. Вес вылавливаемых в пруду рыб подчиняется нормальному закону распределения со средним<br />

квадратическим отклонением 150 г и математическим ожиданием 1000 г. Найти вероятность того, что<br />

вес пойманной рыбы будет отличаться от среднего веса по модулю не более чем на 200 г.<br />

8. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара денежный приз<br />

размером 1 тыс. руб. Найти математическое ожидание случайной величины — размера выигрыша при<br />

пяти сделанных покупках<br />

9. Дана функция плотности<br />

<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

Asin 3x,<br />

x<br />

[<br />

, ]<br />

<br />

6 3<br />

<br />

0, x<br />

[<br />

, ]<br />

6 3 .<br />

Найти P(- /4- < x < /4).( ответ до сотых)<br />

10. Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти<br />

вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и<br />

третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4 и 0,3.


Вариант 20<br />

1. Среди 15 поступающих в ремонт часов 10 нуждаются в общей чистке механизма. Какова вероятность<br />

того, что среди взятых одновременно наудачу 4 часов по крайней мере трое нуждаются в общей чистке<br />

механизма?<br />

2. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки. Найти вероятность того, что в<br />

одной из пачек окажется не будет ни одного туза, а в другой ― все четыре.<br />

3. В урне находится 6 белых и 7 чѐрных шара. Из урны наугад выбирается 5 шара. Какова вероятность,<br />

что 3 из них будут чѐрными, а 2 – белым?<br />

4. Сколько раз надо измерить температуру раствора, чтобы с вероятностью не менее 0,95 можно было<br />

утверждать, что среднее арифметическое этих измерений будет отличаться от истинного значения не<br />

более чем на 20, если средне - квадратичное отклонение 80.<br />

5. Случайная величина Х задана функцией распределения:<br />

F<br />

Найти математическое ожидание.<br />

6. Вероятность рождения в семье мальчика равна 0,515. Составить закон распределения случайной<br />

величины X - числа мальчиков в семьях, имеющих четырех детей. Найти математическое ожидание<br />

случайной величины X.<br />

7. По каналу связи передается 6 сообщений, каждое из которых независимо от других с вероятностью<br />

0,2 оказывается искаженным. Найти вероятности следующих событий: B = {не менее двух сообщений<br />

из шести искажены}, D = {все сообщения будут искажены}.<br />

8. Случайная величина X задана дифференциальной функцией<br />

0,<br />

x 1<br />

<br />

1<br />

F(<br />

x)<br />

,1 x 17<br />

16<br />

<br />

0, x 17<br />

Определить вероятность попадания случайной величины в интервал (9; 12).<br />

9. Доля протеина в пакете с сухим кормом для собак - нормально распределенная случайная величина с<br />

математическим ожиданием 9,8% и стандартным отклонением 0,4%. Производителям корма<br />

необходимо, чтобы в 97% продаваемого корма доля протеина составляла не меньше х1 %, но не более<br />

х2 %.<br />

0, x 1,<br />

x)<br />

x<br />

(1<br />

e ), x 1<br />

(<br />

1<br />

10. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер.<br />

Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат<br />

производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй — 84%. Наудачу взятая с конвейера<br />

деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым<br />

автоматом.


Вариант 21<br />

1. Двадцать пять экзаменационных билетов содержат по два неповторяющихся вопроса. Экзаменуемый<br />

знает ответы на 40 вопросов. Найти вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно<br />

ответить на два вопроса одного билета или на один вопрос билета и один дополнительный вопрос из<br />

других билетов.<br />

2. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения x1 и x 2 , причем x 1 < x 2 .<br />

Зная, что P( X= x1 ) = 0,6, M [ X ] = 1,4, D[ X ] = 0,24, найти х1 и х 2 .<br />

3. Вероятность того, что акции, переданные на депозит, будут востребованы, равна 0,08. Оценить<br />

вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои акции.<br />

4. Из букв разрезной азбуки составлено слово АНАНАС. Ребѐнок рассыпал эти буквы, а затем наугад их<br />

составил. Какова вероятность, что вновь получится исходное слово?<br />

5. Группа. состоящая из 7 человек, занимает места за круглым столом в случайном порядке. Какова<br />

вероятность того, что три определенных лица окажутся сидящими рядом?<br />

6. Дана функция плотности<br />

3<br />

2<br />

(1 х ), при х 1<br />

f ( x)<br />

4<br />

0, при х 1<br />

.<br />

Найти P(0 < x < 1/2).<br />

7. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величина,<br />

подчиняющаяся нормальному закону распределения с неизвестным математическим ожиданием и<br />

средним квадратическим отклонением 100 кг. Известно, что 2% туш имеют вес более 1 000 кг.<br />

Определите ожидаемый вес случайно отобранной туши.<br />

8. Из 10 вариантов контрольной работы, написанных на отдельных карточках, наугад выбирают восемь и<br />

раздают восьми студентам, сидящим на одном ряду. Найти вероятность того, что будут распределены<br />

последовательные номера вариантов.<br />

9. Две машинистки печатали рукопись, посменно заменяя друг друга, Первая в конечном итоге<br />

напечатала 1/3 всей рукописи, а вторая -— остальное. Первая машинистка делает ошибки с<br />

вероятностью 0.15, а вторая с вероятностью 0,1. При проверке на 13-й странице обнаружена ошибка.<br />

Найти вероятность того, что ошиблась первая машинистка.<br />

10. Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент<br />

выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат<br />

испытание.


Вариант 22<br />

1. В результате проверки качества приготовленных для посева семян гороха установлено, что в среднем<br />

85% всхожи. Сколько нужно посеять семян, чтобы с вероятностью 0,8789 можно было ожидать, что<br />

доля взошедших семян отклонится от вероятности взойти каждому семени не более, чем на 0,02 (по<br />

абсолютной величине)?<br />

2. На абонементное обслуживание поставлено 5 телевизоров. Известно, что математическое ожидание<br />

числа отказов в работе в год для пяти телевизоров равно единице. Если телевизоры имеют одинаковую<br />

вероятность безотказной работы, то какова вероятность, что за год потребуется хотя бы один ремонт?<br />

3. О двух акциях известно, что они выпущены одной и той же отраслью. Вероятноть, что акция А<br />

поднимется в цене завтра, равна 0,4. Вероятность того, что обе акции поднимутся завтра в цене, равна<br />

0,15. Предположим, что известно, что акция А поднимется завтра в цене. Чему равна вероятность того,<br />

что и В поднимится в цене?<br />

4. При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет<br />

акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0,5, если председатель совета<br />

директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха равна 0,3,<br />

Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,7. Чему равна вероятность<br />

успеха сделки.<br />

5. Дана функция плотности<br />

3<br />

2<br />

(1 х ), при х 1<br />

f ( x)<br />

4<br />

0, при х 1<br />

.<br />

Найти P(0 < x < 1/2).<br />

6. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки. Найти вероятность того, что в<br />

одной из пачек окажется не будет ни одного туза, а в другой ― все четыре.<br />

7. Всхожесть семян некоего растения составляет 90%. Оценить вероятность того, что из посеянных 5000<br />

семян отклонение доли взошедших семян от постоянной вероятности взойти каждому из них не<br />

превзойдет по модулю 0,03.<br />

8. Из 70 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 60. Найти вероятность того, что<br />

среди трех наугад выбранных вопросов студент знает два вопроса.<br />

9. Урожайность овощей по участкам является нормально распределенной случайной величиной с<br />

математическим ожиданием 300 ц/га и средним квадратическим отклонением 30 ц/га. С вероятностью<br />

0,9545 определить границы, в которых будет находиться средняя урожайность овощей на участках.<br />

10. Для 20 участников конференции, среди которых 12 российских, в гостинице забронировано 20<br />

номеров. Из этих номеров 12 - с видом на море. Портье наугад выдает участникам конференции ключи<br />

от номеров. Найти вероятность того, что номера с видом на море достанутся российским участникам.


Вариант 23<br />

1. Вероятность изготовления изделия с браком на данном предприятии равна 0,04. Перед выпуском<br />

изделие подвергается упрощенной проверке, которая в случае бездефектного изделия пропускает его с<br />

вероятностью 0,96, а в случае изделия с дефектом — с вероятностью 0,05. Определить какая часть<br />

изготовленных изделий выходит с предприятия.<br />

2. В партии 100 изделий, из которых восемь имеют дефекты. Партия разделена на две равные части,<br />

которые отправлены двум потребителям. Найти вероятность, что бракованные изделия достанутся<br />

обоим потребителям.<br />

3. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,9, вторым - 0,8 и третьим - 0,7. Составить<br />

закон распределения случайной величины Х - числа попаданий в цель, если каждый стрелок производит<br />

по одному выстрелу. Определить математическое ожидание случайной величины X.<br />

4. Шеститомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность<br />

того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 6)?<br />

5. Среднее значение длины детали 60 см, а дисперсия — 0,2. Оценить вероятность того, что случайно<br />

взятая деталь окажется по длине не менее 59,5 и не более 60,5 см.<br />

6. Из одной ЭВМ в другую необходимо переслать файл объемом 10 000 символов. Вероятность ошибки<br />

при передаче символа составляет 0,001. Вычислить вероятность того, что в переданном файле будет<br />

ровно 10 ошибок.<br />

7. Вес вылавливаемых в пруду рыб подчиняется нормальному закону распределения со средним<br />

квадратическим отклонением 150 г и математическим ожиданием 1000 г. Найти вероятность того, что<br />

вес пойманной рыбы будет не более 1500 г.<br />

8. В магазине имеются 25 телевизоров, причем 15 из них импортных. Найти вероятность того, что среди<br />

6 проданных в течение дня телевизоров окажется не менее 4 импортных телевизоров, предполагая, что<br />

вероятности покупки телевизоров разных марок одинаковы.<br />

9. Случайная величина задана дифференциальной функцией:<br />

0,<br />

x 1<br />

2<br />

3x<br />

2x<br />

F(<br />

x)<br />

,1 x 4<br />

c<br />

<br />

<br />

0, x 4<br />

Найти математическое ожидание случайной величины X.<br />

10. Служащий кредитного отдела банка знает, что 16% фирм, бравших кредит в банке, обанкротились и<br />

не вернут кредиты по крайней мере в течение пяти лет. Он также знает, что обанкротились 35%<br />

кредитовавшихся в банке фирм. Если один из клиентов банка обанкротился, то чему равна вероятность<br />

того, что он окажется не в состоянии вернуть долг банку?


Вариант 24<br />

1. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. Определить закон<br />

распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов.<br />

2. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,8. Найти с вероятностью 0,8859 границы<br />

(симметричные относительно р), в которых заключена доля стандартных среди проверенных 1000<br />

деталей.<br />

3. Аналитик по инвестициям собирает данные об акциях и отмечает, выплачивались ли по ним<br />

дивиденды и увеличивались или нет акции в цене за интересующий его период времени. Собранные<br />

данные представлены в следующей таблице:<br />

Выплата дивидендов Цена Цена не Итого<br />

увеличилась увеличилась<br />

Производилась<br />

Не производилась<br />

51<br />

97<br />

83<br />

72<br />

134<br />

169<br />

Итого 148 155 303<br />

Если акция выбрана случайно, то чему равна вероятность того, что по ней выплачены дивиденды?<br />

4. Из букв разрезной азбуки составлено слово СТАТИСТИКА. Какова вероятность того, что, перемешав<br />

буквы и укладывая их в ряд по одной, получим слово ТИСКИ.<br />

<br />

f ( x)<br />

<br />

0 при x 0<br />

x<br />

5. Дана функция cxe<br />

при х 0<br />

. При каком значении параметра C эта функция является<br />

плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины X?<br />

6. Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами, причем первый контролер проверяет 65%<br />

изделий, а второй — остальные. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное<br />

изделие, равна 0,03, второй — 0,05. Взятое наудачу изделие, маркированное как стандартное, оказалось<br />

нестандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверялось вторым контролером.<br />

7. Группа. состоящая из 7 человек, занимает места за круглым столом в случайном порядке. Какова<br />

вероятность того, что три определенных лица окажутся сидящими рядом?<br />

8. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величина,<br />

подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием а = 800 кг и средним<br />

квадратическим отклонением σ = 100 кг. Определите вероятность того, что вес случайно отобранной<br />

туши будет находиться между 700 и 900 кг.<br />

9. Случайная величина X задана интегральной функцией:<br />

0,<br />

x A<br />

3<br />

x<br />

F(<br />

x)<br />

, A x B<br />

8<br />

<br />

<br />

1, x B<br />

Найти математическое ожидание случайной величины X.<br />

10. Оценить вероятность того, что из посеянных 5000 семян число взошедших окажется от 3750 до 4250,<br />

если известно, что М(Х) = 4000.


Вариант 25<br />

1. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки. Найти вероятность того, что в<br />

каждой пачке окажется по два туза.<br />

<br />

<br />

x<br />

<br />

<br />

<br />

0, x 0<br />

,0 x 1<br />

1, x 1<br />

2. Дана функция F = .<br />

Найти дисперсию.<br />

2<br />

3. Для проведения соревнования 16 волейбольных команд разбиты по жребию на две подгруппы по<br />

восемь команд в каждой. Найти вероятность того, что две наиболее сильных окажутся в одной<br />

подгруппе.<br />

4. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер.<br />

Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат<br />

производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй — 84%. Наудачу взятая с конвейера<br />

деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым<br />

автоматом.<br />

5. Случайная величина X задана дифференциальной функцией:<br />

0,<br />

x 0<br />

F( x)<br />

3x<br />

3e<br />

, x 0<br />

Найти вероятность попадания случайной величины X в интервал (-1;1/3).<br />

6. Вероятность рождения в семье мальчика равна 0,515. Составить закон распределения случайной<br />

величины X - числа мальчиков в семьях, имеющих четырех детей. Найти математическое ожидание<br />

случайной величины X.<br />

7. Известно, что на некотором заводе в среднем 70% продукции первого сорта. С вероятностью не менее<br />

0,9 определи границы, в которых должна находиться относительная частота первосортной продукции в<br />

партии из 10 000 единиц.<br />

8. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 540 г. Известно, что<br />

масса коробок с конфетами имеет нормальное распределение, а 5% коробок имеют массу, меньшую 500<br />

г. Каков процент коробок, масса которых более 550 г?<br />

9. На лекции по теории вероятности присутствуют 84 студента. Какова вероятность того, что среди них<br />

есть 2 студента, у которых сегодня день рождения?<br />

10. Финансовый аналитик предполагает, что если норма (ставка) процента упадет за определенный<br />

период, то вероятность, что рынок акций будет расти в это же время, равна 0,67. Аналитик также<br />

считает, что норма процента может упасть за этот же период с вероятностью 0,43. Используя<br />

полученную информацию, определите вероятность того, что рынок акций будет развиваться, а норма<br />

процента падать в течение обсуждаемого периода.

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!