9. pÅednÃ¡Å¡ka

Dynamika mechanismů 

Dynamika II, 9. přednáška 

Dynamika mechanismů pojednává o vztahu mezi silami, působícími na soustavu těles - 

mechanismus, a pohybem mechanismu, těmito silami způsobeném. 

Seznámíme se se dvěma základními metodami 

řešení dynamiky mechanismů. 

metoda uvolňování 

metoda redukce 

Obě metody představíme na příkladech. 

G 1 

G 2


I 


Metoda uvolňování spočívá v kombinaci 

již známých postupů ze statiky, 

kinematiky, dynamiky a matematiky. 

a 

m 1 

α 

f 

m 2 

a = ? 

G 1 

G 2 

Dvě tělesa o hmotnostech m 1 

a m 2 

jsou spojena tuhým, ohebným lanem, 

převedeným přes kladku o momentu setrvačnosti I. 

Na obě tělesa působí tíhové síly G 1 

a G 2 

. 

Těleso m 1 

leží na nakloněné rovině, skloněné pod úhlem α, s koeficientem tření f, 

těleso m 2 

volně visí. 

Určete s jakým zrychlením a se budou obě tělesa pohybovat.


r I 

S 1 

S 1 S 2 

a 

ε 


Prvním krokem je příspěvek ze statiky - 

uvolnění soustavy těles. 

(Připomeňme na tomto místě že 

uvolňování je jeden z nejdůležitějších 

postupů v mechanice.) 

Uvolnit těleso znamená pomyslně 

odstranit vazby a nahradit je příslušnými 

vazbovými účinky (silami a momenty), 

které vazba přenáší. 

m 1 

T 

G 1 

α 

N 

S 2 

m 2 

V tomto případě uvolníme lano mezi 

tělesem m 1 

a kladkou - přenáší sílu S 1 

, 

a lano mezi kladkou a tělesem m 2 

- 

přenáší sílu S 2 

. 

a 

G 2


r I 

S 1 

S 1 S 2 

a 

m 1 

T 

G 1 

α 

N 

S 2 

G 2 

ε 

m 2 

a 

Druhým krokem je příspěvek z dynamiky - 

sestavení pohybových rovnic jednotlivých 

těles - členů mechanismu. 

V pohybových rovnicích jsou kromě 

vnějších sil i vnitřní - vazbové síly (nebo 

momenty). 

Těleso m 1 

: 

m ⋅a 

= S1 

− G1 

⋅ sin α 

1 

− 

Z rovnice rovnováhy pro směr kolmo 

ke směru pohybu vyplývá : 

N = ⋅cos 

α 

G 1 

A třecí síla tedy je : 

T = G1 ⋅cos 

α ⋅f 

Pohybová rovnice tělesa m 1 

: 

m1 

⋅a 

= S1 

− G1 

⋅ 


T 

( sin α + f ⋅cos 

α)


r I 

S 1 

S 1 S 2 

a 

m 1 

α 

S 2 

ε 






momenty). 

Těleso m 1 

: 

Kladka : 


m1 

⋅a 

= S1 

− G1 

⋅ 

I⋅ε 

= S ⋅ r − S1 


α) 

2 

⋅ 

r 

T 

G 1 

N 

m 2 

a 

Poznámka : 

V pohybové rovnici by mohl figurovat ještě 

moment čepového tření. 

V tomto příkladu je čepové tření zanedbáno. 

G 2


r I 

S 1 

S 1 S 2 

a 

m 1 

α 

S 2 

ε 






momenty). 

Těleso m 1 

: 

Kladka : 


m1 

⋅a 

= S1 

− G1 

⋅ 

I⋅ε 

= S ⋅ r − S1 


α) 

2 

⋅ 

r 

T 

G 1 

N 

m 2 

Těleso m 2 

: 

m 

2 

⋅a 

= G 

2 

− S2 

G 2 

a


r I 

S 1 

S 1 S 2 

a 

m 1 

α 

S 2 

ε 






momenty). 

Těleso m 1 

: 

Kladka : 


m1 

⋅a 

= S1 

− G1 

⋅ 

I⋅ε 

= S ⋅ r − S1 


α) 

2 

⋅ 

r 

T 

G 1 

N 

m 2 

Těleso m 2 

: 

m 

2 

⋅a 

= G 

2 

− S2 

G 2 

a 

V soustavě tří pohybových rovnic se zdají 

být čtyři neznámé : 

a - zrychlení těles m1 a m2, 

ε - úhlové zrychlení kladky, 

S 1 

- síla v laně mezi tělesem m 1 

a kladkou, 

S 2 

- síla v laně mezi kladkou a tělesem m 2 

. 

Nadchází však třetí krok.


r I 

S 1 

S 1 S 2 

a 

m 1 

T 

G 1 

α 

N 

S 2 

G 2 

ε 

m 2 

a 


Třetím krokem je příspěvek z kinematiky - 

vztahy mezi zrychlením nebo úhlovým 

zrychlením jednotlivých těles. 

Tento krok může být velmi jednoduchý, 

může však představovat (zejména u 

mechanismů s proměnným převodem) 

nejsložitější část řešení. 

V naší úloze je příspěvek z kinematiky 

velmi jednoduchý. Je to vztah : 

a 

ε = 

r 

V upravené soustavě tří pohybových rovnic : 

m1 

⋅a 

= S1 

− G1 

⋅ 

a 

I⋅ 

= S ⋅r 

−S1 

r 

m 


α) 

2 

⋅ 

2 

⋅a 

= G 

2 

− S2 

jsou pak právě tři neznámé : 

a - zrychlení těles m1 a m2, 

S 1 

- síla v laně mezi tělesem m 1 

a kladkou, 

S 2 

- síla v laně mezi kladkou a tělesem m 2 

. 

r


r 

I 

ε 


Konečně čtvrtým krokem je příspěvek z 

matematiky - řešení soustavy rovnic. 

Standardním postupem pak je vyloučení 

vazbových sil. Tím získáme tzv. „vlastní 

pohybovou rovnici“. 

m 1 

T 

a 

G 1 

S 1 

S 1 

S 2 

α 

N 

S 2 

G 2 

m 2 

a 

Např. : Z první a třetí pohybové rovnice 

vyjádříme síly v lanech S 1 

a S 2 

a 

dosadíme do druhé pohybové rovnice. 

m1 

⋅a 

= S1 

− G1 

⋅ 

a 

I⋅ 

= S ⋅r 

−S1 

r 

m 

S1 

1 1 

S2 = G 

2 

− m2 

⋅ 


α) 

2 

⋅ 

2 

⋅a 

= G 

2 

− S2 

( sin α + f ⋅ α) 

= m ⋅a 

+ G ⋅ cos 

a 

Vlastní pohybová rovnice pak má tvar : 

r 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

I ⎞ 

+ m2 

+ ⎟⋅a 

= G − G ⋅ cos 

2 

2 

r ⎠ 

m1 

1 

( sin α + f ⋅ α)


Postup sestavení vlastní pohybové rovnice mechanismu 

můžeme rozdělit do čtyř kroků : 


1) Statika. Uvolnění jednotlivých těles - členů mechanismu, zavedení vazbových 

silových účinků (sil a/nebo momentů). 

2) Dynamika. Sestavení pohybových rovnic jednotlivých těles. (V pohybových 

rovnicích figurují vazbové síly.) 

3) Kinematika. Vyjádření zrychlení (resp. úhlového zrychlení) jednotlivých těles 

jako násobku zrychlení jednoho zvoleného členu mechanismu. 

4) Matematika. Vyloučení vazbových sil z pohybových rovnic. 

Výsledkem je vlastní pohybová rovnice mechanismu. 

Poznámka k počtu stupňů volnosti mechanismu : 

Popsaný postup se týká mechanismu s jedním stupněm volnosti. Pohyb mechanismu 

s n stupni volnosti je popsán n nezávislými vlastními pohybovými rovnicemi. 

Mechanismus s n stupni volnosti je též poháněn n nezávislými hnacími členy 

s n nezávislými kinematickými parametry (rychlostí a zrychlením). 

Zrychlení (resp. úhlové zrychlení) každého jednotlivého tělesa (viz bod 3) 

je pak vyjádřeno z n nezávislých zrychlení n nezávislých hnacích členů.


Postup sestavení vlastní pohybové rovnice mechanismu 

můžeme rozdělit do čtyř kroků : 


1) Statika. Uvolnění jednotlivých těles - členů mechanismu, zavedení vazbových 

silových účinků (sil a/nebo momentů). 

2) Dynamika. Sestavení pohybových rovnic jednotlivých těles. (V pohybových 

rovnicích figurují vazbové síly.) 

3) Kinematika. Vyjádření zrychlení (resp. úhlového zrychlení) jednotlivých těles 

jako násobku zrychlení jednoho zvoleného členu mechanismu. 

4) Matematika. Vyloučení vazbových sil z pohybových rovnic. 

Výsledkem je vlastní pohybová rovnice mechanismu. 

Poznámka k charakteru převodu mechanismu : 

U mechanismu s konstantním převodem lze zrychlení (resp. úhlové zrychlení) kteréhokoliv 

členu mechanismu vyjádřit jako prostý násobek zrychlení (resp. úhlového zrychlení) 

hnacího členu (viz bod 3). 

a hnaný 

= p·a hnací 

U mechanismu s proměnným převodem lze zrychlení (resp. úhlové zrychlení) kteréhokoliv 

členu mechanismu vyjádřit jako součet násobku zrychlení a násobku kvadrátu rychlosti 

hnacího členu. a hnaný 

= p·a hnací 

+ q·v 

2 

hnací


F 

v,a 

e 

ω,ε 

M 

φ 

r 

e·sinφ 


Postup demonstrujeme ještě jednou na příkladu vačkového 

mechanismu. 

Hnacím členem je vačka o poloměru r, uložená 

s excentricitou e (vzdálenost středu vačky od středu rotace), 

rotující s úhlovou rychlostí ω a s úhlovým zrychlením ε. 

Hnaným členem je zvedátko, konající posuvný, přímočarý, 

vratný pohyb rychlostí v se zrychlením a. 

Začít můžeme kinematickým rozborem. 

Vačkový mechanismus je mechanismem s jedním 

stupněm volnosti, jeho poloha je dána jednou 

nezávislou souřadnicí (tzv. souřadnice mechanismu). 

Za souřadnici mechanismu si zvolíme úhel φ, určující 

polohu vačky. Naopak souřadnice zvedátka y je 

souřadnicí závislou. Zdvihová závislost je : 

y = r + e⋅ 

sin φ 

Derivací zdvihové závislosti získáme řešení rychlosti : 

v = y& 

= e⋅cos 

φ⋅φ & = ω⋅e⋅cos 

φ φ & = ω 

y = r+e·sinφ 

Další derivací pak získáme řešení zrychlení : 

a = v& 

= e⋅ω⋅ 

& cos φ − e⋅ω⋅ 

sin φ⋅φ& 

ω& = ε 

a 

2 

= ε⋅e⋅cos 

φ − ω ⋅e⋅ 

sin φ



Dalším krokem je uvolnění obou těles. 

Mezi vačkou a zvedátkem je obecná vazba. Ta přenáší (zanedbáme-li tření) pouze sílu R, 

kolmou ke společné dotykové rovině obou povrchů. 

F 

e·cosφ 

F 

v,a 

R 

a 

ω,ε 

e 

φ 

ε 

φ 

R 

M 

M



Sestavíme pohybové rovnice obou těles. 

Vačka koná rotační pohyb, zvedátko posuvný pohyb. 

F 

e·cosφ 

F 

v,a 

R 

a 

ω,ε 

e 

φ 

ε 

φ 

R 

M 

M 

I⋅ε 

= 

M − R ⋅e⋅cos 

φ 

m ⋅a 

= 

R − F


F 


Z obou pohybových rovnic vyloučíme vazbovou sílu R. 

m ⋅a 

= R − F 

R = m ⋅a 

+ F 

I⋅ε 

= M − R ⋅e⋅cos 

φ 

I⋅ε 

= M − 

( m ⋅a 

+ F) 

⋅e⋅cos 

φ 

I⋅ε + m ⋅a 

⋅e⋅cos 

φ = M − F⋅e⋅cos 

φ 

Konečně vezmeme v úvahu dříve odvozený vztah : 

2 

a = ε⋅e⋅cos 

φ − ω ⋅e⋅ 

sin φ 

ω,ε 

e 

v,a 

M 

φ 

Pohybová rovnice nabude konečné podoby : 

2 2 

2 

2 

( I + m⋅e 

⋅cos 

φ) ⋅ε − m⋅e 

⋅ sinφ⋅cosφ⋅ω 

= M − F⋅e⋅cosφ 

Další řešení se již značně liší podle toho jakého druhu 

je řešená úloha. 

Připomeňme : 

Úloha 1. druhu - kinetostatická. 

Pohyb je definován, řeší se neznámé silové účinky. 

Úloha 2. druhu - dynamická. 

Síly jsou dány, řeší se pohyb.


F 

Pohybová rovnice : 

2 2 

2 

2 

( I + m⋅e 

⋅cos 

φ) ⋅ε − m⋅e 



Úloha 1. druhu - kinetostatická. 

Dáno : φ, ω, ε, F. 

Vypočtěte : M. 

Z pohybové rovnice snadno odvodíme : 


M 

2 2 

2 

2 

( I + m⋅e 

⋅cos 

φ) ⋅ε − m⋅e 

⋅ sinφ⋅ 

φ⋅ω 

= F⋅e⋅cosφ + 

cos 

ω,ε 

e 

v,a 

φ 

Jedná se o algebraický výraz, jenž lze vyčíslit, 

ev. převést do grafické podoby např. v tabulkovém editoru. 

Např. pro ω=konst, ε=0 a F=konst vychází následující průběh. 

2 0 0 R [ N ] 

M 

1 0 0 

0 

- 1 0 0 

M [ N · m ] 

0 9 0 1 8 0 2 7 0 3 6 0 4 5 0 5 4 0 6 3 0 7 2 0 

φ [ º ]


F 



2 2 

2 

2 

( I + m⋅e 

⋅cos 

φ) ⋅ε − m⋅e 




Dáno : F, M. 

Vypočtěte : pohyb, tedy φ=φ (t) 

, ω=ω (t) 

, ε=ε (t) 

. 

Pohybovou rovnici upravíme na diferenciální rovnici : 

2 2 

( I + m ⋅e 

⋅cos 

φ) ⋅φ && 2 

− m ⋅e 

⋅ sin φ⋅cos 

φ⋅φ& 

2 

= M − F⋅e⋅cos 

φ 

ω,ε 

e 

v,a 

M 

φ 

Plnohodnotné řešení je tzv. řešení v uzavřeném tvaru : 

φ = φ( t ) 

???????????????????? 

Toto řešení se nám však nepodaří nalézt (diferenciální rovnice 

je II. řádu, nelineární a, jednoduše řečeno, značně složitá). 

Můžeme nalézt numerické řešení. To v době stolní výpočetní 

techniky není žádný zvláštní problém. Výsledek ale nemá 

podobu funkčního předpisu ale podobu tabulky hodnot. 

t φ ω ε v a R Tabulku lze samozřejmě 

převést do grafické podoby.


ω,ε 

e 

F 

v,a 

φ 


2 2 

2 

2 

( I + m⋅e 

⋅cos 

φ) ⋅ε − m⋅e 




Dáno : F, M. 

Vypočtěte : pohyb, tedy φ=φ (t) 

, ω=ω (t) 

, ε=ε (t) 

. 

Alternativní řešení spočívá v tom, že místo výrazů : 

2 

dφ 

d φ 

ω = a ε = 

2 

dt 

dt 

dω 

použijeme výraz : 

ε = ω⋅ 

dφ 

Pohybová rovnice bude mít podobu 

diferenciální rovnice I. rádu : 

2 2 dω 

2 

2 

( I + m⋅e 

⋅cos 

φ) ⋅ω⋅ − m⋅e 



dφ 


M 

Otázka jejího řešení ať už v uzavřeném tvaru (zde ω=ω (φ) ) 

nebo řešení numerického (tabulka hodnot) 

však zůstává otevřená. 

V každém případě je výsledkem závislost na poloze, 

nikoliv na čase.


skutečnost 


náhrada 

Zatímco metoda uvolňování nepřináší žádnou novou myšlenku, je založena pouze 

na vhodném kombinování poznatků ze statiky, kinematiky, dynamiky a matematiky, 

metoda redukce představuje novou myšlenkovou kvalitu. 

Podstatou metody redukce je náhrada. 

Původní, skutečnou úlohu, úlohu dynamiky soustavy těles (mechanismu), 

nahradíme jinou úlohou, úlohou dynamiky jednoho tělesa. Dokonce tělesa, 

konajícího jeden ze dvou nejjednodušších pohybů - posuvný nebo rotační. 

Náhrada ovšem musí být navržena tak, aby řešení náhradní úlohy 

bylo totožné s řešením skutečné, původní úlohy. 

Mezi skutečností a náhradou tedy musí být „styčné body“. 

Jak uvidíme, tyto styčné body jsou tři.


I 2 , r 2 

ω 2 

skutečnost 

redukce na posuvný pohyb 


náhrada 

F red 

m red 

r 3 

I 1 , r 1 

ω 1 

x,v,a 

x,v,a 

M 

m 

G 

Náhrada : Na fiktivní, ve skutečnosti 

neexistující těleso o tzv. „redukované 

hmotnosti“ m red 

, pohybující se 

rychlostí v se zrychlením a, 

působí tzv. „redukovaná síla“ F red 

. 

Postup jako obvykle vysvětlíme na příkladu. 

Skutečnost : Soustava těles je tvořena poháněcí kladkou o momentu setrvačnosti I 1 

, o 

poloměru r 1 

, rotující úhlovou rychlostí ω 1 

. Dále dvojitou převáděcí kladkou o momentu 

setrvačnosti I 2 

, o poloměrech r 2 

a r 3 

, rotující úhlovou rychlostí ω 2 

, převáděcí kladičkou 

zanedbatelné hmotnosti a konečně břemenem o hmotnosti m, zvedaným rychlostí v a se 

zrychlením a. Na poháněcí kladku působí moment M, překonávající tíhu břemene G.


I 2 , r 2 

ω 2 



skutečnost náhrada 

F red 

m red 

r 3 

I 1 , r 1 

ω 1 

x,v,a 

x,v,a 

M 

m 

G 

Pohybová rovnice náhradní úlohy 

jakož i její řešení ... 

... bude zároveň pohybovou rovnicí a řešením skutečné úlohy. 

(Musí však existovat ony již zmíněné tři „styčné body“.)


I 2 , r 2 

ω 2 




F red 

m red 

I 1 , r 1 

r 3 

ω 1 

x,v,a 

x,v,a 

M 

m 

G 

Prvním styčným bodem je kinematika : 

Dráha x, rychlost v a zrychlení a náhradního, fiktivního tělesa jsou stejné, 

jako dráha x, rychlost v a zrychlení a zvoleného skutečného tělesa na skutečné soustavě. 

Skutečnému tělesu na skutečné soustavě, s jehož kinematickými parametry (dráhou, 

rychlostí a zrychlením) ztotožníme kinematické parametry náhradního, fiktivního tělesa, 

říkáme „člen redukce“. Podle toho, zda člen redukce koná posuvný nebo rotační pohyb, 

mluvíme o redukci na posuvný pohyb nebo o redukci na rotační pohyb.


I 2 , r 2 

ω 2 




F red 

m red 

I 1 , r 1 

r 3 

ω 1 

x,v,a 

x,v,a 

M 

m 

G 

Druhým styčným bodem je kinetická energie : 

Kinetická energie E K 

náhradního, fiktivního tělesa musí být stejná, 

jako kinetická energie E K 

skutečné soustavy těles. 

E 

k 

= 

1 

2 

⋅I 

1 

⋅ω 

2 

1 

+ 

1 

2 

⋅I 

2 

⋅ω 

2 

2 

skutečnost 

+ 

1 

2 

⋅m 

⋅ v 

2 

= 

1 

2 

⋅m 

red 

⋅ v 

náhrada 

2 

Po doplnění 

kinematických poměrů 

ω 

2 

= 

v 

r 

3 

1 

v r ⋅ 

2 

r r 

se rychlost v vykrátí a zbude vztah 

pro redukovanou hmotnost m red 

. 

ω 

= 

3 

1


I 2 , r 2 

ω 2 




F red 

m red 

I 1 , r 1 

r 3 

ω 1 

x,v,a 

x,v,a 

M 

m 

G 






m 

red 

= m + I 

1 

⎛ r 

⋅ 

⎜ 

⎝ r 

2 

1 

⋅ 

1 

r 

3 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

+ I 

2 

⎛ 

⋅ 

⎜ 

⎝ 

1 

r 

3 

⎟ ⎞ 

⎠ 

2 

Po doplnění 


ω 

2 

= 

v 

r 

3 

ω 

1 

= 

v r ⋅ 

2 

r r 


pro redukovanou hmotnost m red 

. 

3 

1


I 2 , r 2 

ω 2 




F red 

m red 

I 1 , r 1 

r 3 

ω 1 

x,v,a 

x,v,a 

M 

m 

G 

Třetím styčným bodem je výkon : 

Výkon P redukované síly F red 

musí být stejný, 

jako výkon P skutečných sil a momentů na skutečné soustavě těles. 

P = M ⋅ω1 − G ⋅ v = Fred 

⋅ v 

skutečnost 

náhrada 

Po doplnění 


ω 

2 

= 

v 

r 

3 

ω 

1 

= 

v r ⋅ 

2 

r r 


pro redukovanou sílu F red 

. 

3 

1


I 2 , r 2 

ω 2 




F red 

m red 

I 1 , r 1 

r 3 

ω 1 

x,v,a 

x,v,a 

M 

m 

G 


Výkon P redukované síly F red 



F 

red 

r 

= M ⋅ 

r 

2 

1 

⋅ 

1 

r 

3 

− G 

Po doplnění 


ω 

2 

= 

v 

r 

3 

ω 

1 

= 

v r ⋅ 

2 

r r 


pro redukovanou sílu F red 

. 

3 

1


I 2 , r 2 

ω 2 




F red 

m red 

I 1 , r 1 

r 3 

ω 1 

x,v,a 

x,v,a 

M 

m 

G 

Pohybová rovnice náhradní úlohy, a tedy i pohybová rovnice skutečné úlohy, pak má tvar : 

1 dmred 

2 

m 

red 

⋅a 

+ ⋅ ⋅ v = Fred 

2 dx 

První člen na levé straně, jakož i pravá strana, odpovídají pohybové rovnici hmotného bodu. 

Druhý člen na levé straně můžeme chápat jako jistou „daň“ za podstatné zjednodušení úlohy. 

Je-li však redukovaná hmotnost konstantní m red 

=konst, je její derivace podle dráhy x nulová 

a celý druhý člen odpadá. Tato situace nastává u mechanismů s konstantním převodem.


I 2 , r 2 

ω 2 




F red 

m red 

I 1 , r 1 

r 3 

ω 1 

x,v,a 

x,v,a 

m 

M 

G 

Pohybová rovnice mechanismu s proměnným převodem : 

1 dmred 

2 

m 

red 

⋅a 

+ ⋅ ⋅ v = Fred 

2 dx 

Pohybová rovnice mechanismu s konstantním převodem (m red 

=konst) : 

m ⋅a 

= 

red 

F red 

dm red 

= 

dx 

0


I 2 , r 2 

ω 2 




F red 

m red 

I 1 , r 1 

r 3 

ω 1 

x,v,a 

x,v,a 

m 

M 

G 

Pohybová rovnice mechanismu s konstantním převodem (m red 

=konst) : 

⎛ 

⎜m 

+ I 

⎜ 

⎝ 

⎛ r 

⋅ 

⎜ 

⎝ r 

1 ⎞ 

⋅ ⎟ 

r ⎠ 

2 

+ I 

⎛ 1 ⎞ 

⋅ 

⎜ ⎟ 

⎝ r3 

⎠ 

2 

⎞ 

⎟ r2 

⋅a 

= M ⋅ 

⎟ r1 

⎠ 

1 

⋅ 

r 

2 

1 ⎟ 2 ⎟ 

− 

1 3 

3 

G


metoda redukce skutečnost náhrada 

Odvození pohybové rovnice mechanismu metodou redukce. 

Základem je věta o změně kinetické energie, která je rovna práci. 

změna kinetické energie 

po vydělení časem 


∆E K 

= A 

∆ E A K = = P 

∆t 

∆t 

práce 

výkon 

dE 

nebo v diferenciálním vyjádření 

K 

= P 

dt 

Zaměříme se nejprve na levou, pak na pravou stranu rovnice. 

Kinetickou energii vyjádříme : 

1 

2 

E = ⋅m 

⋅ v 

K 

Zde m red 

je virtuální ekvivalent skutečných hmot, vykazující stejnou kinetickou energii, 

jako skutečná soustava, v pak je rychlost členu redukce. 

Derivaci kinetické energie E k 

podle času je třeba vyjádřit jako derivaci součinu 

(není žádný důvod se domnívat že výraz m red 

je konstantní - nejde o skutečnou hmotnost). 

dE 

dt 

K 

= 

1 

2 

⎛ dm 

⋅⎜ 

⎝ dt 

red 

⋅ v 

2 

+ m 

red 

⋅2⋅ 

v ⋅ 

dv 

dt 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= m 

red 

2 

red 

⋅ v ⋅a 

+ 

1 

2 

dm 

⋅ 

dx 

red 

⋅ 

dx 

dt 

⋅ v 

2 

= m 

red 

⋅ v ⋅a 

+ 

1 

2 

dm 

⋅ 

dx 

red 

⋅ v 

3 

dv = 

dt 

a 

dx = 

dt 

v


metoda redukce skutečnost náhrada 


Odvození pohybové rovnice mechanismu metodou redukce. 

Základem je věta o změně kinetické energie, která je rovna práci. 

změna kinetické energie 

po vydělení časem 

∆E K 

= A 

∆ E A K = = P 

∆t 

∆t 

práce 

výkon 

dE 

nebo v diferenciálním vyjádření 

K 

= P 

dt 

Pravou stranu rovnice, výkon, můžeme vyjádřit jako : 

P = F 

red ⋅ 

Zde F red 

je virtuální ekvivalent skutečných sil (a momentů) na skutečné soustavě. 

Levou a pravou stranu pak lze vyjádřit jako : 

1 

dmred 

3 ⎛ 

1 

dmred 

2 ⎞ 

mred 

⋅ v ⋅a 

+ 

2 

⋅ ⋅ v = ⎜mred 

⋅a 

+ 

2 

⋅ ⋅ v ⎟⋅ v = Fred 

⋅ v 

dx ⎝ 

dx ⎠ 

nebo po vykrácení rychlosti v : 

1 

dmred 

2 

m 

red 

⋅a 

+ 

2 

⋅ ⋅ v = Fred 

dx 

Toto je pohybová rovnice mechanismu s jedním stupněm volnosti pro řešení metodou redukce. 

v


I 2 , r 2 

ω 2 

redukce na rotační pohyb 



I red 

I 1 , r 1 

r 3 

ω 1 

m 

x,v,a 

ω,ε 

M red 

M 

G 

Jak již bylo zmíněno, prvním styčným bodem je volba členu redukce. Kinematické parametry 

náhradní úlohy (rychlost a zrychlení) jsou shodné s kinematickými parametry jednoho 

zvoleného skutečného tělesa, členu skutečného mechanismu. Jestliže tento zvolený člen 

redukce koná rotační pohyb, hovoříme o redukci na rotační pohyb. 

Náhradní úlohou je pak pomyslný, fiktivní disk o tzv. „redukovaném momentu setrvačnosti“ 

I red 

, rotující úhlovou rychlostí ω s úhlovým zrychlením ε, na nějž působí tzv. „redukovaný 

moment“ M red 

.


I 2 , r 2 

ω 2 




I red 

I 1 , r 1 

r 3 

ω 1 

m 

x,v,a 

ω,ε 

M red 

M 

G 

V tomto případě se naskýtají dvě možnosti - redukce na rotační pohyb poháněcí kladky nebo 

redukce na rotační pohyb převáděcí kladky. Častější volba je redukce na hnací člen. 

Náhradní úlohou je pak pomyslný, fiktivní disk o tzv. „redukovaném momentu setrvačnosti“ 

I red 

, rotující úhlovou rychlostí poháněcí kladky ω=ω 1 

s úhlovým zrychlením poháněcí 

kladky ε=ε 1 

, na nějž působí tzv. „redukovaný moment“ M red 

.


I 2 , r 2 

ω 2 




I red 

I 1 , r 1 

r 3 

ω 1 

m 

x,v,a 

ω,ε 

M red 

M 

G 






E 

k 

= 

1 

2 

⋅I 

1 

⋅ω 

2 

1 

+ 

1 

2 

⋅I 

2 

⋅ω 

2 

2 

skutečnost 

+ 

1 

2 

⋅m 

⋅ v 

2 

= 

1 

2 

⋅I 

red 

⋅ω 

náhrada 

2 

Po doplnění 


r1 

r1 

= ω1 

⋅ v = ω ⋅ ⋅ 

r 

r 

ω2 

1 

r3 

2 

2 

se úhlová rychlost ω=ω 1 

vykrátí, 

zbude vztah pro I red 

.


I 2 , r 2 

ω 2 




I red 

I 1 , r 1 

r 3 

ω 1 

m 

x,v,a 

ω,ε 

M red 

M 

G 






I 

red 

= m ⋅r 

2 

3 

⎛ r 

⋅ 

⎜ 

⎝ r 

1 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

+ I 

1 

+ I 

2 

⎛ r 

⋅ 

⎜ 

⎝ r 

1 

2 

⎟ ⎞ 

⎠ 

2 

Po doplnění 


r1 

r1 

= ω1 

⋅ v = ω ⋅ ⋅ 

r 

r 

ω2 

1 

r3 

2 

2 


vykrátí, 

zbude vztah pro I red 

.


I 2 , r 2 

ω 2 




I red 

I 1 , r 1 

r 3 

ω 1 

m 

x,v,a 

ω,ε 

M red 

M 

G 


Výkon P redukovaného momentu M red 



P = M ⋅ω1 − G ⋅ v = Mred 

⋅ω 

skutečnost 

náhrada 

Po doplnění 


r1 

r1 

= ω1 

⋅ v = ω ⋅ ⋅ 

r 

r 

ω2 

1 

r3 

2 

2 


vykrátí, 

zbude vztah pro M red 

.


I 2 , r 2 

ω 2 




I red 

I 1 , r 1 

r 3 

ω 1 

m 

x,v,a 

ω,ε 

M red 

M 

G 


Výkon P redukovaného momentu M red 



M 

red 

= M − G ⋅r 

3 

r 

⋅ 

r 

1 

2 

Po doplnění 


r1 

r1 

= ω1 

⋅ v = ω ⋅ ⋅ 

r 

r 

ω2 

1 

r3 

2 

2 


vykrátí, 

zbude vztah pro M red 

.


I 2 , r 2 

ω 2 




I red 

I 1 , r 1 

r 3 

ω 1 

m 

x,v,a 

ω,ε 

M red 

M 

G 

Pohybová rovnice náhradní úlohy, a tedy i pohybová rovnice skutečné úlohy, pak má tvar : 

1 dIred 

2 

I 

red 

⋅ε + ⋅ ⋅ω = Mred 

2 dφ 

Resp. pro mechanismus s konstantním převodem (I red 

=konst) : 

dI red 

= 0 

dφ 

I 

red 

⋅ε = M red


I 2 , r 2 

ω 2 




I red 

I 1 , r 1 

r 3 

ω 1 

m 

x,v,a 

ω,ε 

M red 

M 

G 

Resp. pro mechanismus s konstantním převodem (I red 

=konst) : 

⎡ 

⎢m 

⋅r 

⎢⎣ 

2 

3 

⎛ r 

⋅ 

⎜ 

⎝ r 

1 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

+ I 

1 

+ I 

2 

⎛ r 

⋅ 

⎜ 

⎝ r 

1 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

⎤ 

⎥ ⋅ε = M − G ⋅r 

⎥⎦ 

3 

r 

⋅ 

r 

1 

2


skutečnost 


r 

M 

φ 

ω, ε 

Poslední příklad - dynamika mechanismu s proměnným převodem, řešená metodou redukce. 

Hnacím členem kulisového mechanismu je klika délky r, o momentu setrvačnosti I, rotující 

úhlovou rychlostí ω s úhlovým zrychlením ε, jehož okamžitá poloha je dána úhlem φ. 

Hnaným členem je kulisa o hmotnosti m, posouvající se rychlostí v se zrychlením a, jejíž 

okamžitá poloha je dána souřadnicí x. Na kliku působí hnací moment M, na kulisu působí 

síla F. Je-li : 

x = r ⋅ sinφ 

Pak : 

I 

x 

m 

v, a 

v = ω⋅ r ⋅cos 

φ 

F 

v = ω⋅r 

⋅cosφ


r φ 

M 




I red 

ω,ε 

M red 

Zvolíme redukci na rotační pohyb kliky. Náhradní úlohou je pomyslný, fiktivní disk o 

redukovaném momentu setrvačnosti I red 

, rotující úhlovou rychlostí kliky ω a s úhlovým 

zrychlením kliky ε, na nějž působí redukovaný moment M red 

. Kinetická energie skutečného 

mechanismu, a tedy i kinetická energie fiktivního disku, je : 

Je-li : 

Pak : 

ω, ε 

I 

x 

m 

v, a 


φ 

E 

k 

= 

1 

2 

⋅ I⋅ω 

I 

red 

2 

+ 

1 

2 

⋅ m⋅ 

v 

2 

= 


φ 

= I + m⋅ 

r 

2 

F 

⋅cos 

1 

2 

2 

⋅ I 

φ 

red 

⋅ω 

2 

Redukovaný moment 

setrvačnosti 

není konstantní, 

je funkcí polohy.


r φ 

M 




I red 

ω, ε 

I m 

F 

ω,ε 

x 

v, a 


φ 

Výkon hnacího momentu M a síly F, jakož i výkon redukovaného momentu M red 

, je : 

P = M ⋅ω − F⋅ 

v = Mred 

⋅ω 

Je-li : 


φ 

Pak : 

M red 

= M − F⋅r 

⋅cos 

φ 

M red


r φ 

M 




I red 

ω, ε 

I m 

F 

ω,ε 

x 

v, a 


φ 

Pohybová rovnice (jak již bylo uvedeno dříve) je : 

1 dIred 

2 

I 

red 

⋅ε + ⋅ ⋅ω = Mred 

2 dφ 

Druhý člen v pohybové rovnici však již není nulový, naopak : 

dI 

dφ 

I 

red 

= I + m⋅ 

r 

= −2⋅ 

m⋅ 

red 

r 2 

2 

⋅cos 

2 

φ 

⋅cosφ⋅ 

sinφ 

M red


r φ 

M 




I red 

I 

ω, ε 

x 

m 

v, a 


φ 

Pohybová rovnice v konečném tvaru pak je : 

F 

ω,ε 

M red 

2 2 

2 

2 

( I + m⋅r 

⋅cos 

φ) ⋅ε − m⋅r 


φ⋅ω = M − F⋅r 

⋅cos 

φ 

neboli : 

2 2 

( I + m⋅r 

⋅cos 

φ) ⋅φ && 2 

− m⋅r 


φ⋅φ& 

2 

= M − F⋅r 

⋅cos 

φ



K dalšímu řešení můžeme uvést následující : 

Řešení úlohy I. druhu (kinetostatická úloha, je dán pohyb a síla F, určete hnací moment M) 

je poměrně snadné : 

M 

2 2 

2 

2 

( I + m⋅r 

⋅cos 

φ) ⋅ε − m⋅r 

⋅ sin φ⋅cosφ⋅ω 

+ F⋅r 

⋅ φ 

= cos


K dalšímu řešení můžeme uvést následující : 

Řešení úlohy II. druhu (dynamická úloha, jsou dány silové účinky F a M, vyřešte pohyb) 

je značně komplikované. 

Pohybová rovnice pro řešení v čase má podobu nelineární diferenciální rovnice II. řádu : 

2 2 

I + m⋅r 

⋅cos 

φ ⋅φ && 2 

− m⋅r 


φ⋅φ& 

2 

= M − F⋅r 

⋅cos 

( ) φ 

Její řešení v uzavřeném tvaru φ = φ (t) 

nedokážeme nalézt. 

Můžeme provést numerické 

řešení. Výsledkem je tabulka 

hodnot, kterou lze převést 

do grafické podoby. 

t φ ω ε 

ω [s -1 ] 

10 

0 

0 

5 10 15 20 

t [s] 

Alternativním řešením je řešení v poloze, tedy závislost úhlové rychlosti ω na úhlu φ. 

Dosadíme-li : 

dω 

ε = ω⋅ 

dφ 

Pak pohybová rovnice bude nelineární diferenciální rovnicí I. řádu : 

2 2 dω 

2 

2 

( I + m⋅r 

⋅cos 

φ) ⋅ω⋅ − m⋅r 


= M − F⋅r 

⋅cosφ 

dφ 

Řešením (ať už v uzavřeném tvaru nebo numerickým) je závislost úhlové rychlosti ω na úhlu φ. 

ω = ω φ 

( ) 

Dynamika II, 9. přednáška

Závěrem shrňme výhody a nevýhody obou metod. 



- je pracnější, zdlouhavější 

- řeší i vazbové síly (momenty) 

- umožňuje zahrnout i tření ve vazbách 

- aplikace na mechanismy s konstantním převodem 

a na mechanismy s proměnným převodem je shodná 


- je kratší, snadnější, zejména u mechanismů s konstantním převodem 

- neřeší vazbové síly (momenty) 

- neumožňuje zahrnout tření ve vazbách 

- aplikace na mechanismy s konstantním převodem 

a na mechanismy s proměnným převodem se liší 

m ⋅a 

= 

red 

F red 

1 

2 

dm 

dz 

red 2 

m 

red 

⋅a 

+ ⋅ ⋅ v = 

F 

red

9. pÅednÃ¡Å¡ka

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

9. pÅednÃ¡Å¡ka