1. přednáška

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Předmět Dynamika je součástí většího předmětu Mechanika.
I samotný předmět Mechanika můžeme chápat v širším rámci a dělit jej na mechaniku
vnějších sil nebo též mechaniku tuhých těles (statika a dynamika) a mechaniku vnitřních sil
neboli mechaniku poddajných (pružnost a pevnost).
mechanika
statika
dynamika
Statika se zabývá působením sil
na tělesa, která jsou v klidu.
Dynamika se zabývá působením sil
na pohybující se tělesa
a vyšetřováním pohybu těles
v závislosti na působících silách.

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Předmět Dynamika je součástí většího předmětu Mechanika.
I samotný předmět Mechanika můžeme chápat v širším rámci a dělit jej na mechaniku
vnějších sil nebo též mechaniku tuhých těles (statika a dynamika) a mechaniku vnitřních sil
neboli mechaniku poddajných (pružnost a pevnost).
mechanika
statika
dynamika
1. ročník bakalářského studia
Statika
2. ročník bakalářského studia
Dynamika I
1. ročník navazujícího magisterského studia
Aplikovaná mechanika

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Základy mechaniky položil Isaac Newton (1642-1727)
ve svém díle „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687).
Lze je shrnout do čtyř tzv. Newtonových zákonů.
1. Newtonův zákon - zákon setrvačnosti.
Těleso zůstává v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém,
jestliže není přinuceno vnějšími silami tento svůj stav změnit.
2. Newtonův zákon - zákon síly.
Působí-li na těleso vnější síla, je změna rychlosti tělesa přímo úměrná této působící síle,
přičemž konstantou úměrnosti je hmotnost tělesa.
Tento zákon obvykle vyjadřujeme ve formě rovnice :
tedy
r
m ⋅ a =
r
F
hmotnost · zrychlení = síla
3. Newtonův zákon - zákon akce a reakce.
Dvě tělesa, která jsou ve vzájemném kontaktu,
na sebe působí silami stejně velkými, opačně orientovanými.

Newtonův gravitační zákon.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Dvě tělesa se navzájem přitahují silou, přímo úměrnou hmotnosti obou těles
a nepřímo úměrnou čtverci vzdálenosti mezi oběma tělesy.
V matematické podobě pak :
G
κ = 6,67·10 -11 kg-1·m3·s-2
-
m 1
m 2
r
= κ ⋅
m
1
r
⋅ m
2
2
gravitační konstanta,
- hmotnost jednoho tělesa,
- hmotnost druhého tělesa,
- vzdálenost mezi tělesy.
G r
G r
m 1 m 2
r
Na povrchu Země pak je :
m 1
= 5,98·10 24 kg - hmotnost Země,
r = 6 378 km
- poloměr Země.
Přitažlivá (tíhová) síla pak je :
kde g je gravitační zrychlení :
G = m ⋅ g
m
g = κ ⋅ ,
r
1 −2
= 9 81m ⋅s
2

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
V dynamice se budeme zabývat pohybem tří základních typů objektů.
Bod
- je objekt, jenž nemá žádné rozměry (ale má jistou hmotnost).
Je zřejmé, že tento pojem je pojmem abstraktním. Žádné reálně těleso nemůže být skutečně bodem.
Přesto je tato abstrakce užitečná a mnoho případů pohybu reálného tělesa
lze se zanedbatelnou chybou zredukovat na pohyb hmotného bodu.
Těleso
- je objekt nezanedbatelných rozměrů, nedeformovatelný.
V mechanice zavádíme předpoklad absolutně tuhého tělesa.
To znamená, že deformace tělesa vlivem působících sil je zanedbatelná.
Dynamika poddajných těles (jejichž deformace není zanedbatelná) přesahuje rozsah tohoto učebního textu.
Soustava těles - je objekt, složený z několika
těles, jejichž vzájemná poloha se může měnit.
Soustavu těles nazýváme mechanismem.

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Zabývá-li se dynamika vztahem mezi pohybem a silami,
pak je účelné zkoumat nejprve samotné zákonitosti pohybu
a teprve pak se ptát na závislost na silách.
dynamika
kinematika
jen pohyb
dynamika
pohyb a síly
Kinematika se zabývá zákonitostmi pohybu.
Vztahem mezi základními kinematickými
veličinami,
t.j. časem, dráhou, rychlostí a zrychlením.
Dynamika se zabývá vztahem
mezi základními veličinami
dynamiky,
t.j. hmotou, pohybem a silami.

Kinematika - nauka o pohybu
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Kinematika se zabývá popisem a vyšetřováním pohybu bodu,
tělesa nebo soustavy těles.
Pohybem rozumíme změnu polohy v čase.
Polohou je míněna poloha v prostoru, ve kterém se bod nebo těleso nachází.
Prostor je spojitý (bod může v prostoru zaujmout jakoukoliv polohu).
Trojrozměrný prostor - směr dopředu-dozadu, doprava-doleva, nahoru-dolů.
Dvourozměrný prostor - rovina, obecně však jakákoliv plocha.
Jednorozměrný prostor - křivka, ve zvláštním případě přímka.
V trojrozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně určena třemi souřadnicemi.
Ve dvourozměrném prostoru je poloha bodu určena dvěma souřadnicemi.
V jednorozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně dána jedinou souřadnicí.
Čas je jednorozměrná, spojitá, skalární veličina, jeho změna je nezávislá,
plyne rovnoměrně vždy dopředu a je absolutní, tedy pro všechna tělesa
a pro všechny pozorovatele společný.

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Jedním ze základních pojmů kinematiky a mechaniky je stupeň volnosti.
Pohyblivost jakéhokoliv objektu je dána počtem stupňů volnosti.
Stupeň volnosti je možný nezávislý pohyb.
„Možný pohyb“ - není důležité, zda pohyb skutečně nastane.
Důležité je, že může nastat (nic mu nebrání).
Hmotný bod padá volným pádem v prostoru. Padá svisle dolů.
Ale mohl by se pohybovat i ve dvou vodorovných směrech
(třeba kdyby zafoukal vítr).
Může tedy vykonávat tři pohyby, má tři stupně volnosti.
„Nezávislý pohyb“- mezi dvěma pohyby,
jež představují dva stupně volnosti,
nesmí platit žádný explicitní vztah,
daný vnějšími okolnostmi.
Hmotný bod je vázán ke kruhové trajektorii.
Vykonává pohyb ve dvou směrech - x a y.
Pohyb v jednom směru (např. y) však je určen
pohybem v jiném směru (x).
Jen jeden z těchto pohybů je nezávislý,
bod má jeden stupeň volnosti.
y
φ
x
y
{ φ}
z
{ x , y,
z}
x
2 2
x + y =
y = ±
{ x}
R
2
R
2
− x
{nezávislá souřadnice}
x = R ⋅ sin φ
y = R ⋅ cos φ
2

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
na křivce
(1 rozměrný prostor)
v rovině
(na ploše)
(2 rozměrný prostor)
v prostoru
(3 rozměrný prostor)
bod
1° volnosti
pohyb určitým směrem
až 2° volnosti
pohyb ve dvou směrech
až 3° volnosti
pohyb ve třech směrech
těleso
až 3° volnosti
posuvy ve dvou směrech
a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu
až 6° volnosti
posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
na křivce
(1 rozměrný prostor)
v rovině
(na ploše)
(2 rozměrný prostor)
v prostoru
(3 rozměrný prostor)
bod
1 souřadnice
dráha s
2 souřadnice
x, y
3 souřadnice
x, y, z
těleso
3 souřadnice
x, y
a úhel natočení φ
6 souřadnic
x, y, z a tři úhly natočení, např. α, β, γ
Okamžitá poloha objektu je jednoznačně určena tolika nezávislými souřadnicemi,
kolik stupňů volnosti objekt má.
Objekt má tolik stupňů volnosti,
kolik nezávislých souřadnic je zapotřebí k jednoznačnému určení jeho polohy.

Pohyb bodu
Pohyb bodu po dané dráze - základní kinematické veličiny.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
čas značíme t z anglického slova time
základní jednotkou je [s] {sekunda}
dalšími jednotkami jsou [min, hod, ...] {minuta, hodina, ...}
dráha, souřadnice značíme s, x, y, ...
základní jednotkou je [m] {metr}
dalšími jednotkami jsou [cm, km, ...] {centimetr, kilometr, ...}
rychlost značíme v z anglického slova velocity
základní jednotkou je [m/s, m·s -1 ] {metr za sekundu}
dalšími jednotkami jsou [km/hod] {kilometr za hodinu}
zrychlení značíme a z anglického slova acceleration
základní jednotkou je [m/s 2 , m·s -2 ] {metr za sekundu na druhou}

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas.
v
s
Tuto rychlost nazveme střední rychlostí nebo průměrnou rychlostí.
∆s
⎡ m ⎤
= ⎢ ,
−1
m ⋅sec
⎥
∆t
⎣sec
⎦
v s
∆s
=
∆t
Okamžitá rychlost - nekonečně malá změna dráhy za nekonečně malý přírůstek času.
v =
lim
∆t→0
∆s
∆t
Tuto limitu definuje matematika jako derivaci.
=
ds
dt
= s&
Okamžitá rychlost je derivace dráhy podle času.

Abychom snadno rozlišovali kladnou a zápornou rychlost,
zavádíme pojem orientovaná souřadnice.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
A (t)
∆t
A (t+∆t)
počátek
∆s
v stř
v s
=
∆s
∆t
s
s (t)
s (t+∆t)
v +
v -
Kladná rychlost v znamená nárůst dráhy (souřadnice),
proto je kladná rychlost orientována vždy ve směru nárůstu příslušné souřadnice.

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za čas.
v
v+∆v
a
=
∆v
∆t
s
⎡ m
⎢
m ⋅sec
2 ,
⎣sec
−2
⎤
⎥
⎦
Zrychlení je zrychlení průměrné neboli střední.
a
=
lim
∆t→0
∆v
∆t
=
dv
dt
=
v&
a s
=
∆v
∆t
Okamžité zrychlení je derivace rychlosti podle času.

Kladné zrychlení je orientováno stejně, jako kladná rychlost,
tedy ve směru nárůstu souřadnice.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
A (t)
∆t
A (t+∆t)
počátek
s
v (t)
v (t+∆t)
a +
a -
dráha, rychlost a zrychlení
jsou funkcí času
rychlost a zrychlení
jsou funkcí dráhy
s = f 1
f 2( t )
( t )
v = a = f 3( t )
v = f 4( s)
a = f 5( s)
zrychlení je funkcí rychlosti
Úplné kinematické řešení.
a = f 6
( v)

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Shrnutí
v
a
=
=
ds
dt
dv
dt
d
dt
= s&
= v&
s
2
a =
2
a
a
= v⋅
=
1
2
dv
ds
= && s
(
2
v )
d
⋅
ds
rychlost je derivace dráhy podle času
zrychlení je derivace rychlosti podle času
zrychlení je druhá derivace dráhy podle času
zrychlení je rovno rychlosti,
násobené derivací rychlosti podle dráhy
zrychlení je rovno jedné polovině
derivace kvadrátu rychlosti podle dráhy
toto jsou obecně platné vztahy
mezi časem, dráhou, rychlostí a zrychlením

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Shrnutí
v
a
=
=
ds
dt
dv
dt
d
dt
= s&
= v&
s
2
a =
2
a
a
= v⋅
=
1
2
dv
ds
= && s
(
2
v )
d
⋅
ds
podle toho, jak se dráha, rychlost a zrychlení
mění v čase, rozlišujeme tři druhy pohybu :
A) Pohyb rovnoměrný - rychlost je konstantní.
B) Pohyb rovnoměrně zrychlený
- zrychlení je konstantní.
C) Pohyb nerovnoměrný.
toto jsou obecně platné vztahy
mezi časem, dráhou, rychlostí a zrychlením

A) pohyb rovnoměrný : je takový pohyb, jehož rychlost je konstantní v = konst.
dv
a = =
dt
v
∆s
∆s
∆t
0
= ∆s
= s − s0
=
v ⋅ ∆t
∆t
=
t
−
t 0
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
rychlost je konstantní, její změna (derivace) je nulová
s - okamžitá dráha
s 0
- počáteční dráha (v závislosti na volbě
souřadného systému může být nulová)
t - okamžitý čas
t 0
- počáteční čas - obvykle volíme t 0
=0
s
− s
=
v ⋅
( t − )
0
t 0
s
s = v ⋅ t +
s 0
s 0
toto jsou vztahy, platné pouze
pro rovnoměrný pohyb (v=konst).
t

B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst.
shrnutí
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
v = a ⋅ t +
v 0
v − v
a
0
t =
s =
+
1 2
2
⋅a
⋅ t + v s 0
⋅ t
0
v
v 0
t
s
s 0
t
2
( s − )
v = 2⋅a
⋅ s 0
+ v 0
v
v 0
s
toto jsou vztahy, platné pouze pro
rovnoměrně zrychlený pohyb (a=konst).

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst.
Špičkové sportovní auto zrychluje z klidu na rychlost v = 100 km/hod (27,8 m/s)
za čas t = 5 s.
v
=
a
⋅
t
Jeho zrychlení tedy je a = 5,6 m/s 2 .
s
= Dráha rozjezdu pak je s = 70 m.
1 t 2
2
⋅ a ⋅

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se v čase harmonicky mění.
T
r
φ
v
y
y
r
φ 0
ω
T
t
y
= r ⋅ sin
( ω⋅ t + φ )
0
r
v
ω =
r
ω
f = 2 ⋅ π
1
T = =
f
2 ⋅ π
ω
amplituda [m]
kruhová frekvence [s -1 ]
frekvence [Hz]
počet cyklů za sekundu
perioda [s]
doba jednoho cyklu
φ počáteční úhel φ, fázový posuv [-]

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se v čase harmonicky mění.
T
r
φ
v
y
y
r
φ 0
ω
T
t
y
v
a
a
= r ⋅ sin
( ω⋅ t + φ )
= y&
= r ⋅ ω⋅ cos
2
= v&
= −r
⋅ω ⋅ sin
= −ω
2
⋅ y
0
( ω⋅ t + φ0
)
( ω⋅ t + φ )
0
r
r ⋅ω
amplituda [m]
max. rychlost [m/s]
2
r ⋅ω
max. zrychlení [m/s 2 ]
Je to kmitavý pohyb hmotného
objektu na pružném uložení.

y, v, a
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti.
a
dv
dt
= g − β ⋅ v
= g − β ⋅ v
dv
=
g − β ⋅ v
dt
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
1
⋅ln
− β
1
− β
⎛
⋅ln⎜1−
⎝
g − β⋅ v
g
=
β ⎞
⋅ v⎟
=
g ⎠
t
t
1
− β
Pro jednoduchost provedeme řešení s nulovými počátečními podmínkami.
⋅
1
⋅
− β
v
dv
∫ =
g − β ⋅ v
0
[ ln( g − β ⋅ v)
]
t
∫
0
v
0
= t
[ ln( g − β ⋅ v) − ln( g)
] = t
dt v =
t
0
g
⋅
β
(
−β⋅t
1−
e )

y, v, a
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti.
a
dv
dt
= g − β ⋅ v
= g − β ⋅ v
dv
=
g − β ⋅ v
dt
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Pro čas, narůstající nade všechny meze,
se průběh blíží ustálené hodnotě :
v
=
ustálená
g
= lim ⋅
t→∞
β
g ⎛ 1 ⋅ ⎜1
−
β ⎝ e
β⋅∞
⎞
⎟
⎠
(
−β⋅t
− ) = ⋅( −β⋅∞
1 e 1−
e )
=
g
β
⋅
( 1−
0)
g
β
=
g
β
=
v
v
=
=
g
⋅
β
(
−β⋅t
1−
e )
v
ustálená
(
−β⋅t
⋅ 1−
e )
v ustálená
= g
β

y, v, a
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti.
a
dv
dt
= g − β ⋅ v
= g − β ⋅ v
dv
=
g − β ⋅ v
dt
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
V ustáleném stavu se rychlost již nebude měnit,
bude konstantní (v = v ustálená
= konst).
Zrychlení tedy bude nulové.
a = g − β ⋅ v = ustálená
0
v = g
ustálená
β
v
v
=
=
g
⋅
β
(
−β⋅t
1−
e )
v
ustálená
(
−β⋅t
⋅ 1−
e )
v ustálená
= g
β

y, v, a
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti.
a
dv
dt
= g − β ⋅ v
= g − β ⋅ v
dv
=
g − β ⋅ v
dt
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
T
= 1
β
časová konstanta [s]
v
tečna
T
v ustálená
63% v ust
t=T t=2·T
v = v
ustálená
95% v ust
t=3·T t=4·T
⋅
−β⋅t
( 1−
e )
t=5·T
t
v
v
=
=
g
⋅
β
(
−β⋅t
1−
e )
v
ustálená
(
−β⋅t
⋅ 1−
e )
v ustálená
= g
β

y, v, a
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti.
y
y
=
v
y
∫
0
v
ustálená
⋅
=
dy
dy
t
dy
dt
=
=
t
v
t
∫
0
=
v
ustálená
v
ustálená
⋅
ustálená
⋅
(
−β⋅t
1−
e )
(
−β⋅t
1−
e ) ⋅ dt
⋅
y
separace proměnných
(
−β⋅t
− ) ⋅ = ⋅∫
(
−β⋅t
1 e dt v − )
ustálená
1 e
y
y
=
=
=
v
v
v
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
ustálená
ustálená
ustálená
t
0
⎡ 1
⋅ ⎢t
− ⋅ e
⎣ − β
⎡ 1 β⋅t
⋅ ⎢t
− ⋅e
⎣ −β
⎡ 1
⋅ ⎢t
− ⋅ 1−
e
⎣ β
−β⋅t
⎥ ⎦
⎤
+
t
0
− 1
( )
⎤ − β⋅t
⎥⎦
⎤
−β
⎥
⎦
⋅ dt

C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní.
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
m
G
h
G
= κ⋅
M ⋅m
2
r
= κ⋅
M ⋅m
= m ⋅g
⋅
R
2
( R + h) ( R + h) 2
2
Země
R
κ = 6,67·10 -11 kg-1·m3·s-2
-
M = 5,98·10 24 kg
R = 6 378 km
gravitační konstanta,
- hmotnost Země,
- poloměr Země.
na povrchu Země (y=0) :
M ⋅m
G = κ⋅ = m⋅g
2
R
κ⋅M
R
= g = 9,
81m
2
s 2
κ ⋅M
=
g ⋅R
2

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní.
volný pád z výšky h
v, a
m
Země
G
R
y
h
G
a
v
∫
0
1
2
1
2
= m ⋅g
⋅
= v⋅
v⋅dv
⋅ v
⋅ v
2
2
dv
dy
=
( R + h − y) 2
= g ⋅
y
∫
0
g ⋅
= g ⋅R
= g ⋅R
2
2
R
2
R
2
( R + h − y) 2
R
2
( R + h − y)
⎛ 1
⋅⎜
⎝ R + h −
⎛
⋅⎜
⎝ R
1
+ h
−
2
⎞
⎟
y ⎠
⋅dy
y
0
1
−
y R +
h
⎞
⎟
⎠

C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní.
volný pád z výšky h
v, a
m
Země
G
R
y
h
G
a
v
= m ⋅g
⋅
= v⋅
=
dv
dy
( R + h − y) 2
= g ⋅
2⋅g
⋅ y⋅
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
R
2
R
2
( R + h − y) 2
R
( y) ( R + h − y) ⋅( R + h)
2
rychlost dopadu na Zemi :
v
( = h )
=
2⋅g
⋅h
⋅
R
R
y
+
h
h

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní.
svislý vrh vzhůru
v, a
m
y
( R + y) 2
v 0
a = −g
⋅
G
( R + y) 2
Země
2
R
g ⋅R
v⋅
= −
( ) 2
v
∫
v0
v⋅dv
G
=
= m ⋅g
⋅
dv
dy
y
∫
0
−
R
R
g ⋅R
R
2
2
+
( R + y)
2
2
y
⋅dy
[ ]
v ⎡
1 2
2 ( R + y)
⋅ v = −g
⋅R
⋅
2
v0
⎢
⎣
−1
= −g
⋅R
−1
⎤
⎥
⎦
y
0
2
⋅
y
∫ ( R + y )
0
= g ⋅R
2
⋅
⎡
⎢
⎣
−2
1
R +
⋅dy
⎤
y
⎥ ⎦
y
0

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní.
svislý vrh vzhůru
v, a m
G
y
v
( )
0 1 2 2
⋅ v − v
2
G = m ⋅g
⋅
0
R
2
( R + y) 2
= g ⋅R
2
⎛
⋅⎜
⎝
1
R +
y
−
1
R
⎞
⎟
⎠
=
g ⋅R
⋅
− y
R + y
Země
R
v
=
v
2
0
−
2⋅g
⋅R
⋅
R
y
+
y
h =
v 0
< 2⋅g
⋅R
≅ 11km / s
v 0
> 2⋅g
⋅R
≅ 11km / s
v
2
0
⋅R
2⋅g
⋅R
− v
2
0
těleso se zastaví ve výšce h
v
( y = h ) = 0
v
ustálená
=
lim
y→∞
v
2
( y) = v0
− 2⋅g
⋅R
těleso se neustále vzdaluje od Země

v
m⋅
a
= ∑
r
F i
základní pohybová rovnice
m – hmotnost [kg]
a – zrychlení [m/s 2 ]
F – síla [N]
Dynamika hmotného bodu
a
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Základem dynamiky hmotného bodu je druhý Newtonův zákon, zákon síly ... pohybová rovnice.
Základní pohybová rovnice
určuje vztah mezi silami,
působícími na hmotný objekt,
a pohybem, těmito silami způsobeným.
F
m
m·a = F
m = 2 kg
F = 3 N
a = 1,5 m/s 2

Dynamika hmotného bodu
Základem dynamiky hmotného bodu je druhý Newtonův zákon, zákon síly ... pohybová rovnice.
v r
m⋅
a = ∑
F i
základní pohybová rovnice
Základní pohybová rovnice
má na pravé straně všechny působící síly.
Vektorovou rovnici rozložíme na složky
dle zvoleného souřadného systému.
Vyloučením reakcí získáme
tzv. vlastní pohybovou rovnici.
a x = a
a y = 0
m⋅a
m⋅a
F
y
m
x a N
G
α
G, F - akční síly
N
T = f·N - třecí síla
v r r r r r
m ⋅a
= F = G + F + N + T
∑
i
T
f
- normálová reakce
m ⋅a
= ∑ F = G ⋅ sinα − F⋅cos
α − T
x
m ⋅a
xi
= G ⋅ sin α − F⋅cos
α − N ⋅f
m⋅a
y
= ∑Fyi
= N − G ⋅cosα − F⋅
sinα
= 0
N = G ⋅cosα + F⋅
sinα
= G ⋅ sinα − F⋅cosα − f
= G ⋅
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
⋅
( G ⋅cosα + F⋅
sinα)
( sinα − f ⋅cosα) − F⋅( cosα + f ⋅ sinα)
vlastní pohybová rovnice vznikne ze základní vyloučením reakcí

Dynamika hmotného bodu
Základem dynamiky hmotného bodu je druhý Newtonův zákon, zákon síly ... pohybová rovnice.
v r
m⋅
a = ∑
F i
přímý (Newtonův)
způsob sestavení
pohybové rovnice
a
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Tomuto způsobu sestavení pohybové rovnice,
kdy na levé straně rovnice
je součin hmotnosti a zrychlení,
a ten je na pravé straně
roven součtu působících vnějších sil,
říkáme přímý, nebo též Newtonův
způsob sestavení pohybové rovnice.
F
m
m·a = F
m = 2 kg
F = 3 N
a = 1,5 m/s 2

Dynamika hmotného bodu
Alternativní způsob sestavení pohybové rovnice nabídnul Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783).
Součin hmotnosti a zrychlení
převedeme na opačnou stranu rovnice.
Zavedeme substituci.
Takto vzniklá rovnice
má formálně charakter rovnice rovnováhy.
Tomuto postupu říkáme d’Alembertův princip.
Můžeme jej rozložit do dvou kroků :
1. Zavedeme tzv. d’Alembertovu sílu.
Její velikost je rovna součinu
hmotnosti a zrychlení.
Její směr je opačný než je směr zrychlení.
2. Silová soustava vnějších sil, doplněná o
d’Alembertovu sílu, je v rovnováze.
Rovnováhu vyjádříme rovnicemi rovnováhy.
Po dosazení D=m·a
pak dostáváme pohybovou rovnici.
v r
m⋅
a = ∑ F i
r v
∑F i
− m⋅a
=
v r
− m ⋅ a = D
r r
D 0
r
+ =
∑
F i
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
F
r
0
a
m
F - D = 0
m·a = F
d’Alembertův princip
1.
2.
∑
r v
D = −m⋅a
D = m⋅a
r r r
+ D = 0
F i
rovnice rovnováhy
D
D = m·a

Dynamika hmotného bodu
Alternativní způsob sestavení pohybové rovnice nabídnul Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783).
1.
α
y
F m
x a
G
r v
D = −m⋅a
D = m⋅a
r
∑ F r i =
2. 0
∑
∑
D
N
f
T
∑F xi
= 0 ∑F yi
= 0
d’Alembertův princip
1.
2.
∑
r v
D = −m⋅a
D = m⋅a
r r r
+ D = 0
F i
rovnice rovnováhy
F xi
= G ⋅ sin α − F⋅cos
α − T − D = G ⋅ sin α − F⋅cos
α − N ⋅f
− D =
F yi
= N − G ⋅cosα − F⋅
sin α =
N = G ⋅cos
α + F⋅
sin α
sin α − F⋅cos
α − f ⋅( G ⋅cos
α + F⋅
sin α) − D 0
( sinα − f ⋅cos
α) − F⋅( cos α + f ⋅ sin α) − D 0
( sin α − f ⋅cos
α) − F⋅( cos α + f ⋅ sin α) − m ⋅a
0
⋅a
= G ⋅( sinα − f ⋅cos
α) − F⋅( cos α + f ⋅ sinα)
G ⋅
=
G ⋅
=
G ⋅
=
m
Proti směru zrychlení
zavedeme d’Alembertovu sílu.
0
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Sestavíme rovnice rovnováhy.
D
0
= m⋅a

Dynamika hmotného bodu
Alternativní způsob sestavení pohybové rovnice nabídnul Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783).
F
v r
m⋅
a = ∑
F i
přímý (Newtonův)
způsob sestavení
pohybové rovnice
a
m
m·a = F
m = 2 kg
F = 3 N
a = 1,5 m/s 2
Oba tyto
postupy
jsou
samozřejmě
správné,
ale
nesmí se
navzájem
kombinovat
!
m·a = F-D
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
F
a
m
F - D = 0
m·a = F
d’Alembertův princip
1.
2.
∑
r v
D = −m⋅a
D = m⋅a
r r r
+ D = 0
F i
rovnice rovnováhy
D - d’Alembertova síla, dynamická síla,
doplňková síla, setrvačná síla.
Působí proti směru zrychlení, její velikost
je rovna součinu hmotnosti a zrychlení.
D
D = m·a

Dynamika hmotného bodu
dva druhy úloh v dynamice
m⋅a
= G ⋅
F
a
x
α
y
T
m
f
N
G
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
( sinα − f ⋅cosα) − F⋅( cosα + f ⋅ sinα)
úloha 1. druhu - kinetostatická
je dán požadovaný pohyb,
zrychlení a
vypočtěte sílu F=?, potřebnou k
dosažení požadovaného pohybu
F
D
=
G ⋅
= m⋅a
( sinα − f ⋅cosα)
cosα + f
∑F i
= 0
− m⋅a
⋅ sinα
a =
rovnice rovnováhy - algebraické
G ⋅
úloha 2. druhu - dynamická
je dána síla F
vypočtěte jak se těleso
bude pohybovat a=?
( sinα − f ⋅cosα) − F⋅( cosα + f ⋅ sinα)
a = & s
m
rovnice diferenciální

m⋅ a
r = F
r a
r =
r
dv r
m ⋅ = F
dt
r
d( m⋅
v)
r
= F
dt
r r
d m⋅ v = F⋅
dt
r
m⋅v
∫
r
m⋅v
( )
r
p
( )
r
dv
dt
1
t
r r r r
d m⋅ v = m⋅ v − m⋅ v = F⋅
dt
0
r
= m⋅
v
t
r r
I = F( t)
⋅ dt
∫
0
∆ r r r r
p = p − p = I
1 0
1 0
zákon o změně hybnosti
Zákony o změně
∫
0
hybnost hmoty
impuls síly
Zde p 0
je hybnost na začátku vyšetřovaného děje,
p 1
je hybnost na konci vyšetřovaného děje.
Úpravy pohybové rovnice nás přivedou
k definování dalších fyzikálních veličin.
[kg·m·s -1 ]
[N·s ≈ kg·m·s -1 ]
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Je-li síla konstantní,
lze ji z integrálu vytknout
a vyjádřit impuls síly
jednodušeji :
Změna hybnosti
znamená změnu velikosti,
změnu směru nebo obojí.
r r
p1
= p0
r
+ ∆p
r I = F
r
⋅ t
r r r
∆p
= p 1
− p0
p r
0
∆p r

Zákony o změně
r r
L = r × p
r
r
t
r
I = ∫ M
M( t ) ⋅dt
0
r r
M = r × F moment síly
moment hybnosti (točivost) [kg·m 2·s -1 ]
polohový vektor
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
[m]
impuls momentu [N·m·s ≈ kg·m 2·s -1 ]
[N·m]
r
∆L
=
r
L
r
r
1
− L0
= IM
zákon o změně momentu hybnosti

1
2
1
2
r r ( 2
1 d v )
m⋅ a = F
m ⋅
d
d
⋅m⋅v
1
2
2
( v )
= F
d
⋅
ds
1 2
( ⋅ m⋅
v )
∫
⋅m⋅v
2
ds
=
F
( ) 1 2
⋅m
⋅ v = F ⋅ ds
2
2
1
d
2
0
Zákony o změně
a
=
⋅
2
ds
2
( ⋅ ⋅ ) =
1 2
⋅ ⋅ −
1 2
2
m v
2
m v1
2
⋅m
⋅ v0
= ∫
1 F⋅
ds
s
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Úpravy pohybové rovnice nás přivedou
k definování dalších fyzikálních veličin.
Je-li síla konstantní,
lze ji z integrálu vytknout
a vyjádřit práci
jednodušeji : A =
r r
F ⋅ s
E
A
K
1
=
2
⋅ m⋅
v
r
∫ F ⋅ ds
=
s
2
kinetická energie
práce
[J ≈ kg·m 2·s -2 ]
[N·m ≈ kg·m 2·s -2 ]
zákon o změně kinetické energie
∆E = EK1
− EK0
K
=
A
Zde E K0
je kinetická energie na začátku vyšetřovaného děje,
E K1
je kinetická energie na konci vyšetřovaného děje.

F r
N
A
δ = 0
= s
δ < 90°
δ = 90°
δ > 90°
r
∫ F ⋅ ds
δ
δ
F r
F r F r
P
→ A = F⋅s
>
Zákony o změně
práce
r
s
r
s
skalární součin
r r
A = F ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cos δ
K vyjádření práce můžeme přistoupit i jinak. Sílu rozložíme na složky
ve směru dráhy (pracovní) a kolmo ke směru dráhy (nepracovní) :
pracovní složka síly nepracovní složka síly
cos 0 =1
F P
cos90 ° = 0
cos
= F⋅cos
δ
A = FP ⋅s
= F⋅cos
δ⋅s
( δ > 90 ° ) < 0
δ = 180°
→ A = −F⋅s
cos180°
= −1
0
→ A = F⋅s
⋅cos
δ >
→ A = 0
→ A = F⋅s
⋅cos
δ <
0
0
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Práce je skalární součin síly a dráhy, je tedy třeba vzít v
úvahu rovněž úhel mezi směrem dráhy a směrem síly :
F N
= F⋅
sin
kladná práce – práce vykonaná
práce se nevykonává
záporná práce – práce spotřebovaná
δ

A
= s
r
∫ F ⋅ ds
Zákony o změně
práce [N·m ≈ kg·m 2·s -2 ]
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
výkon
r
dA F ds
P = = ⋅ r
r r
= F ⋅ v
dt dt
[N·m·s -1 ≈ W]
F r P = F⋅
v = F⋅
v ⋅cos
δ
δ
v r
F r F r v r
N
δ
F P
r
r
= F⋅cos
δ
P = FP ⋅ v = F⋅cos
δ⋅
v
F N
= F⋅
sin
δ
F r P

EP = ∫ F⋅ds
=
s
A
y 2 3
1
Zákony o změně
potenciální energie
h
h
A = ∫ F⋅dy
= ∫ m ⋅g
⋅dy
= m ⋅g
⋅ ∫ dy =
F =
0
G
= m⋅g
0
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Potenciální energie je rovna práci,
kterou musíme vykonat,
abychom těleso přemístili
z jedné polohy do druhé.
h
0
m⋅g
⋅ h
m
G
F=G
E P
= m ⋅g
⋅ h potenciální energie (polohová)
E P
= 0
Potenciální energie je spojena
s polohou tělesa nad povrchem Země.
zvolíme si tzv. „hladinu nulové potenciální energie“
K přemístění může dojít po různých trajektoriích - integračních cestách. Obecně platí,
že hodnota křivkového integrálu závisí na integrační cestě. V případě pohybu v gravitačním poli
práce síly F nezávisí na integrační cestě. Při přemístění po jakékoliv trajektorii je práce síly F
vždy stejná. Potenciální energie je rovna této práci.
Silové pole, které má tuto vlastnost (práce nezávisí na integrační cestě)
nazýváme konzervativní silové pole.

EP = ∫ F⋅ds
=
E P
= 0
s
A
F=G
m
G
Země R
Zákony o změně
y
potenciální energie
M ⋅ m
G = κ⋅ = κ⋅
2
r
M ⋅ m
κ = 6,67·10 -11 kg-1·m3·s-2
-
M = 5,98·10 24 kg
R = 6 378 km
r
y
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Ve skutečnosti tíhová síla G, a tedy ani tažná síla F=G,
nejsou konstantní.
= m ⋅g
⋅
R
2
( R + y) ( R + y) 2
2
gravitační konstanta,
- hmotnost Země,
- poloměr Země,
- vzdálenost od středu Země,
- výška nad povrchem Země.
na povrchu Země platí :
M ⋅ m
G = κ⋅
R
2
= m ⋅g
⇒ κ⋅ M = g ⋅ R
2
Práci je tedy třeba určit integrálem.
A
h
= ∫ F y
⋅dy
0
( )

EP = ∫ F⋅ds
=
E P
= 0
s
A
F=G
m
G
Zákony o změně
y
potenciální energie
A
=
h
∫
0
F
( y)
⋅dy
=
h
∫
0
κ ⋅
⎡ −1
⎤
A = κ ⋅M
⋅m
⋅ ⎢ ⎥
⎣R
+ y⎦
h
A = κ⋅M
⋅m
⋅
R ⋅
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
M ⋅ m
( R + y)
h
0
2
⋅dy
⎡ 1
= κ ⋅M
⋅m
⋅
⎢
−
⎣R
R
= m⋅g
⋅ h ⋅
( R + h) R + h
1
R + h
⎤
⎥
⎦
Země
R
potenciální energie je rovna této práci
E P
= A
R
E P = m ⋅ g ⋅ h ⋅ R + h
R
R + h
pro h«R ≅ 1
E P
≅ m ⋅g
⋅h
potenciální energie (polohová)
Pro malou výšku nad Zemí pak přibližně platí :
κ ⋅M
= g ⋅
2
R

EP = ∫ F⋅ds
=
s
A
Zákony o změně
F
y
potenciální energie
Potenciální energie nemusí být spojena vždy jen
s polohou hmotného objektu nad povrchem Země.
Působíme-li na vetknutý nosník silou F, nosník se prohne o průhyb y.
Působiště síly se posune a síla F tedy koná práci.
y
2 1
A = ∫ F⋅dy
= ∫ k ⋅ y⋅dy
=
1
2
⋅k
⋅ y =
2
0
E 1 2 1
P
=
2
⋅k
⋅ y =
2
0
y =
⋅F⋅
y
3
F⋅l
3⋅
E ⋅J
l - délka nosníku,
E - modul pružnosti v tahu
J - moment setrvačnosti
y
3⋅
E ⋅J
F = k·y k - tuhost k =
3
l
Pro výpočet práce je však třeba mít na paměti, že síla F=k·y není konstantní.
Pro průhyb o první milimetr stačí pouze malá síla F. Na druhý milimetr je již síla F větší.
Teprve při úplném prohnutí dosahuje síla F své konečné hodnoty.
Práci je tedy třeba určit integrováním :
E P
= A
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
⋅F⋅
y
potenciální energie (deformační)
Potenciální energie je spojena
s deformací poddajného objektu (nosníku).

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
zákon o zachování celkové mechanické energie
E
C
h
= EK
+ EP
m
= konst
v 0
= 0
E K0
= 0
E P0
= m·g·h
v 1
≠ 0
E K1
= ½·m·v 1
2
E P1
= 0
E P
= 0
Součet kinetické a potenciální energie
je celková mechanická energie.
Soustavu, jejíž celková mechanická energie se zachovává,
nazýváme konzervativní soustava.
E
C
K0
= EK
+ EP
P0
= konst
E + E = E + E
0 + m⋅g
⋅ h
v 1
=
2
K1
P1
2
1
=
1 ⋅ m⋅
v + 0
2⋅g
⋅ h
Celková mechanická energie se zachovává.
zvolíme si tzv. „hladinu nulové potenciální energie“

zákon o změně celkové mechanické energie
E
C
= EK
+ EP
≠ konst
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Soustavu, jejíž celková mechanická energie se mění,
nazýváme nekonzervativní soustava.
E
1
= EC0
C
+
m ⋅g
⋅ h +
A
2
1
s
v
F
m
T N
α G
1 1
⋅ m⋅
v = 0 + ⋅m
⋅ v + F⋅cos
α ⋅s
− T ⋅ s
2
2
2
0
h
E P1
= m·g·h
E K1
= ½·m·v
2
1
E P0
= 0
E K0
= ½·m·v
2
0
2
1
2
0
1 1
⋅ m ⋅ v = 0 + ⋅ m⋅
v + F⋅cos
α ⋅s
− T ⋅s
− m ⋅g
⋅ h
2
v
1
=
E C1 E C0
A
1
2
2
⋅m
⋅ v
2
0
+ F⋅cos
α ⋅s
− T ⋅s
− m ⋅g
⋅h
1
2
⋅m
N
= G ⋅cos
α + F⋅
sin α
T
h
= f ⋅ N
= s ⋅ sin
α
Změna celkové mechanické energie je rovna práci nekonzervativních sil.
(to jest sil, které nevytvářejí potenciální energii)

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
m
s
h
F
T
α
m
G
v
N
h
Způsob výpočtu dynamiky,
založený na rozboru celkové mechanické energie,
se nazývá energetická bilance.

Pohyb bodu v prostoru
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
Vyšetřujeme-li pohyb bodu po křivočaré trajektorii, musíme se zabývat
nejen velikostí ale i směrem kinematických veličin - rychlosti v a zrychlení a.
r
Poloha bodu v prostoru je určena polohový vektorem r.
Počáteční bod polohového vektoru leží v počátku souřadného systému
(je pevný, nehybný), koncový bod leží v bodě, jehož polohu určuje (pohybuje se).
Rychlost v a zrychlení a jsou vektorové veličiny
(podobně jako např. síla nebo intenzita elektrostatického pole).
To znamená že mají velikost a směr.
v r a r

ychlost
s
trajektorie
v r
A (t)
r
( t )
∆s
Pohyb bodu v prostoru
r
∆
r
( t+
∆t)
A (t+∆t)
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
s - dráha
r – polohový vektor
r
r
r
( t+∆t
) = r( t ) + ∆r
r
v =
lim
∆t→0
r
∆
∆t
=
r
dr
dt
=
r&r
r
r t
r ( )
( t+
∆t
)
r
∆
A (t)
A (t+∆t)
O
polohový vektor v čase t („teď“)
polohový vektor v čase t+∆t („za chvíli“)
změna polohového vektoru
bod A v čase t („teď“)
bod A v čase t+∆t („za chvíli“)
Okamžitá rychlost má směr tečny k trajektorii.
velikost rychlosti
ds
v = = s&
dt
r
lim ∆s
= lim ∆
∆t→0
∆t→0
Dva body na křivce určují sečnu.
Jsou-li tyto body nekonečně blízko u sebe („soumezné body“), sečna přechází v tečnu.

Pohyb bodu v prostoru
zrychlení a r r
r r
v( ) = v( ) + ∆v
trajektorie
A (t)
r
( t )
v r
( t)
r
∆
r
( t+
∆t)
v
A (t+∆t)
( v+
∆t)
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
r
a
t+∆t
=
lim
∆t→0
t
∆v
∆t
=
dv
dt
= v&r
v r ∆v r
r
v
( t )
( t + ∆ t )
O
rychlost v čase t („teď“)
rychlost v čase t+∆t („za chvíli“)
změna rychlosti
v r ( t )
r
v ( t + ∆t
)
∆v r
Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti.
Při tom musíme zvlášť brát v úvahu změnu velikosti rychlosti a změnu směru rychlosti.

Pohyb bodu v prostoru
zrychlení a r r
r r
v( ) = v( ) + ∆v
trajektorie
A (t)
r
( t )
v r A v
( t)
(t+∆t)
( v+
∆t)
r
∆
r
( t+
∆t)
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
r
a
t+∆t
=
lim
∆t→0
t
∆v
∆t
=
dv
dt
= v&r
v r ∆v r
r
v
( t )
( t + ∆ t )
∆v vel
∆v sm
O
rychlost v čase t („teď“)
rychlost v čase t+∆t („za chvíli“)
změna rychlosti
změna velikosti rychlosti
změna směru rychlosti
v r ( t )
r
v ( t + ∆t
)
∆v r sm
∆v r vel
∆v
= ∆v vel
+ ∆v sm
Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti.
Při tom musíme zvlášť brát v úvahu změnu velikosti rychlosti a změnu směru rychlosti.
Obě složky vektoru změny rychlosti ∆v probereme zvlášť.
∆v r

Pohyb bodu v prostoru
zrychlení a r r r
a r r
t
v( ) = v( ) + ∆v
t
trajektorie
A (t)
r
( t )
v r A v
( t)
(t+∆t)
( v+
∆t)
r
∆
a r
n
n
r
( t+
∆t)
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
t+∆t
r ∆v
a = lim =
∆t→0
∆t
r r r
a = a + a
t
t
n
dv
dt
= v&r
O
v r ( t)
r
v ( t + ∆ t )
v r ( t )
r
v ( t + ∆ t)
∆v r vel
•
∆v r sm
•
Mění se pouze velikost rychlosti, směr zůstává beze změny.
Zrychlení má stejný směr jako rychlost - směr tečny.
Velikost tečného zrychlení je :
Mění se pouze směr rychlosti, velikost zůstává beze změny.
Zrychlení má směr kolmý k rychlosti - směr normály.
Velikost normálového zrychlení
bude určena zvlášť.
∆v
∆t
Pozn. Je třeba mít na paměti, že úhel, který spolu svírají vektory v (t)
a v (t+∆t)
, je nekonečně malý.
a
lim
a
n
∆v
∆t
vel
= =
t ∆t→0
=
lim
∆t→0
dv
dt
sm

zrychlení a r Pohyb bodu v prostoru
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
t
trajektorie
O
A (t)
r
( t )
v r a r r
t
A v
( t)
(t+∆t)
( v+
∆t)
r
∆
a r
n
n
r
( t+
∆t)
2⋅π⋅R
l = ⋅α
360
l = R ⋅α
[ st]
)
[ rad] = R ⋅α
V kinematice budeme často používat vyjádření délky l
kruhového oblouku o poloměru R a vrcholovém úhlu α
jako součinu poloměru a úhlu, vyjádřeného v radiánech
(tzv. „v obloukové míře“).
R
α
1 rad = (180/π)º ≅ 57,3 º
l

zrychlení a r Pohyb bodu v prostoru
t
trajektorie
O
v r ( t )
∆φ
r
v( t + ∆ t )
A (t)
r
( t )
v r a r r
t
A v
( t)
(t+∆t)
( v+
∆t)
r
∆
a r
n
n
•
∆v r sm
•
a
r
( t+
∆t)
„délka oblouku“
„poloměr“
úhel
∆
v sm
∆φ =
∆v
∆t
= v⋅∆φ
∆s
R
v⋅
∆s
R
trajektorie
1
∆t
v⋅
A (t)
v
∆s
∆t
∆s
1
R
sm
n
= = ⋅ = ⋅ =
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
∆s
=
n
R
∆φ =
2
v
R
⋅∆φ
∆s
R
∆φ
S
A (t+∆t)
R
n
poloměr
křivosti

Pohyb bodu v prostoru
zrychlení a r r r
a r r
t
v( ) = v( ) + ∆v
t
trajektorie
A (t)
r
( t )
v r A v
( t)
(t+∆t)
( v+
∆t)
r
∆
a r
n
n
r
( t+
∆t)
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
t+∆t
r ∆v
a = lim =
∆t→0
∆t
r r r
a = a + a
t
t
n
dv
dt
= v&r
O
v r ( t)
r
v ( t + ∆ t )
∆v r vel
a t
=
dv
dt
tečné zrychlení má směr tečny
k trajektorii,
vyjadřuje změnu velikosti rychlosti
v r ( t )
r
v ( t + ∆ t)
•
∆v r sm
•
a
n
=
2
v
R
R - poloměr křivosti trajektorie
normálové zrychlení má směr normály
k trajektorii,
2
m⋅
v
vyjadřuje změnu
odstř
=
směru rychlosti
R
⎛
⎜F
⎝
⎞
⎟
⎠
odstředivá síla F odstř
= m·a n

Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
tečna, normála, binormála – přirozený souřadný systém
t
t
trajektorie
S
R
trajektorie
n
n
oskulační kružnice
tečna - normála
střed oskulační kružnice S je střed křivosti trajektorie
poloměr oskulační kružnice R je poloměr křivosti trajektorie
Tečna t je přímka, daná dvěma soumeznými body trajektorie.
Normála n je kolmice k tečně, ležící v oskulační rovině.
Oskulační rovina je dána třemi soumeznými body trajektorie.
Binormála b je přímka, kolmá k tečně a normále.
normála - binormála
tečna - binormála
oskulační rovina
normálová rovina
rektifikační rovina
tečna, normála a binormála
tvoří tzv. „průvodní trojhran“
Oskulační kružnice je dána třemi soumeznými body trajektorie.

Souřadné systémy
kartézský (pravoúhlý) souřadný systém, x, y, z
v x
x
r
x
z
r
i
r
z
k r
y
r
j
r
v r
x
v r
z
A
z
v r
a r
v r
r y
x
y
r
v =
dx
dy
dz
= = x&
v y
= = y&
v z
= = z&
dt
dt
dt
směrové úhly, směrové cosiny :
cos α =
v x
v
úhel vektoru od osy x
cosβ =
r
=
r
x
r
+
y
r
+
z
=
r
x ⋅ i
x = x ( t ) y ( t )
r
r dr
v = = r&r
=
dt
r
v = x&
y
r r r
v + v + v =
x
v y
v
úhel vektoru od osy y
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
y
z
r
+ y ⋅ j
r
+ z ⋅ k
y = z = z ( t )
d
dt
r
⋅ i
v
x
r
r
r
( x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k)
r
+ y&
⋅ j +
r
⋅ i + v
2
x
y
r
z&
⋅ k
r
⋅ j +
2
y
v
r
v = v = v + v +
cos γ
=
v z
v
úhel vektoru od osy z
z
r
⋅ k
v
2
z

Souřadné systémy
v x
r
a
r
a
a
kartézský (pravoúhlý) souřadný systém, x, y, z
x
r
x
z
r
i
r
z
k r
y
r
j
r
v r
x
v r
z
A
z
v r
a r
v r
r y
x
y
r
v =
dx
dy
dz
= = x&
v y
= = y&
v z
= = z&
dt
dt
dt
r
dv d r r r
= = v&r
= v
x
⋅ i + v
y
⋅ j + v
z
⋅ k = v&
x
dt dt
r r r r r r
= a + a + a = a ⋅ i + a ⋅ j + a ⋅ k
x
x
y
z
x
y
z
r
=
r
x
r
+
y
r
+
z
=
r
x ⋅ i
x = x ( t ) y ( t )
r
r dr
v = = r&r
=
dt
r
v = x&
y
r r r
v + v + v =
x
y
z
r
+ y ⋅ j
r
+ z ⋅ k
y = z = z ( t )
d
dt
r
⋅ i
v
x
r
r
r
( x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k)
r
+ y&
⋅ j +
r
⋅ i + v
2
x
y
r
z&
⋅ k
r
⋅ j +
2
y
v
r
v = v = v + v +
( ) ⋅ i + v&
⋅ j + v&
⋅ k
= v& = & x
a = v& = & y
a = v& = & z
x
y
y
z
z
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
r
y
r
r
a = a = a + a +
z
2
x
r
2
y
z
r
⋅ k
v
a
2
z
2
z

z
Souřadné systémy
cylindrický (válcový) souřadný systém, ρ, φ, z
r
j
y
y
k r
r
i
φ
ρ
φ
ρ
r
A
x
r
z
A≡A’
r
ρ
z
A’
x
x
r
r
= ρ
r
+
z
r
= ρ ⋅ i
ρ = ρ( t ) = φ( t )
ρ =
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
= ρ⋅cos
φ
2 2
x + y
r
+ z ⋅ k
φ z = z( t )
y = ρ⋅ sinφ
y
φ = arctan
x

z
Souřadné systémy
cylindrický (válcový) souřadný systém, ρ, φ, z
z
r
j
y
y
y
k r
r
i
φ
ρ
φ
φ
ρ
ρ
v r
r
z
A
x
r
z
A≡A’
v r
φ
A
v r
r
ρ
ρ
z
z
v r
φ
A’
A’
v r ρ
x
x
r
r
= ρ
r
+
z
r
= ρ ⋅ i
r
+ z ⋅ k
ρ = ρ( t ) = φ( t )
r r r r r
v = vρ
+ v
φ
+ v
z
= vρ
⋅ i + v
φ
r
a
r
a
v
ρ
= ρ&
v
φ
= ρ⋅φ&
z = z
r
⋅ j + v
v z
r
2 2
v = v = vρ
+ v
φ
+ v
r r r r
a + a = a ⋅ i + a ⋅ j + a
=
ρ
+
φ z ρ φ
a
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
ρ
φ ( t )
2
= && ρ − ρ ⋅ φ&
a = ρ ⋅ & φ + 2 ⋅ρ⋅ & φ&
φ
r
a +
2 2
= a = a
ρ
+ a
φ
a z
a
z
= z&
2
z
2
z
z
r
⋅ k
r
⋅ k
= & z

Souřadné systémy
sférický (kulový) souřadný systém, ρ, φ, ϑ
z
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
r
r
= ρ
r
= ρ ⋅ i
k r
r
j
ϑ
φ
r
i
ρ
r
A
y
ρ = ρ( t ) = φ( t )
φ ϑ = ϑ( t )
x
A’
x = ρ⋅ sin ϑ⋅cos
φ
ρ =
2 2
x + y +
z
2
y = ρ⋅ sin ϑ⋅ sin φ
φ = arctan
y
x
z
ϑ
= ρ⋅cos
=
arctan
ϑ
x
2 +
z
y
2

Souřadné systémy
sférický (kulový) souřadný systém, ρ, φ, ϑ
z
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
r
r
= ρ
r
= ρ ⋅ i
x
k r
z
r
j
ϑ
φ
r
i
ρ
r
A
A’
r
v
r
v
y
ρ = ρ( t ) φ = φ( t ) ϑ = ϑ( t )
r
+ v
r
+ v
r r
= vρ
⋅ i + v
φ
⋅ j +
= ρ ⋅ sinϑ⋅
φ&
v
=
ρ φ ϑ
ϑ
v
ρ
= ρ&
r
v
v
=
φ
v
=
v
ϑ
2 2
ρ
+ vφ
+
r
v ⋅ k
= ρ ⋅ ϑ&
v
2
ϑ
x
φ
ϑ
r
A
v r
v r φ
ϑ
v r
ρ
r
a
r r r r r
= a
ρ
+ a
φ
+ a
ϑ
= a
ρ
⋅ i + a
φ
⋅ j + a
ϑ
y
= ρ&&
− ρ ⋅ φ&
r
⋅ k
A’ a ( v r =
φ
) ρ ⋅& φ φ
⋅ sin ϑ + 2 ⋅ρ&
⋅ φ&
⋅ sin ϑ + 2 ⋅ρ ⋅ φ&
⋅ ϑ⋅ & cos ϑ
2
a = ρ ⋅ ϑ &&
ϑ
+ 2 ⋅ ρ&
⋅ ϑ&
− ρ ⋅ φ&
⋅ sin ϑ⋅ cos ϑ
r
2 2 2
a = a = a + a a
a
ρ
2
ρ φ
+
⋅ sin
ϑ
2
ϑ

R
Pohyb bodu po kružnici
polární souřadný systém, ρ, φ (rovinná varianta cylindrického souřadného systému)
Kartézský souřadný systém x-y není pro řešení pohybu po kružnici moc vhodný.
y
Kartézské souřadnice x-y nabývají hodnot v omezeném
v φ , a φ
rozsahu (intervalu).
φ
A
ρ
v ρ , a ρ
x
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
x ∈ − R,
R
2 2
x + y =
R
2
y ∈ − R,
R
Kartézské souřadnice x-y nejsou na sobě nezávislé.
Musí vždy splňovat rovnici kružnice.
Jedné hodnotě x odpovídají vždy dvě možné hodnoty y.
y
= ±
R
2
− x
2
a
ρ
= & ρ − ρ ⋅ φ&
2
Vhodnější je polární souřadný systém ρ-φ.
ρ = R = konst φ = φ( t )
v = ρ& ρ
= 0
v
φ
= v = ρ ⋅ φ & = R ⋅ φ&
2
2
= −ρ ⋅ φ&
= −R
⋅ φ&
a = ρ ⋅&
φ + 2 ⋅ρ⋅ & φ & =
φ
R
⋅&&
φ
v = 0
ρ
v
φ
=
v
=
R
⋅φ&
a
ρ
= −R
⋅φ&
2
a
φ
=
R
⋅&&
φ

polární souřadný systém, ρ, φ (rovinná varianta cylindrického souřadného systému)
R
Pohyb bodu po kružnici
y
φ
a r
a r
n
t
v r
A
ω, ε
s
x
φ
ω
=
úhel [rad, º]
dφ
dt
= φ&
úhlová rychlost [rad/s]
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
s = φ ⋅ R
v = ω⋅
R
dráha [m]
obvodová rychlost [m/s]
ε
=
dω
dt
= ω & =
2
d φ
2
dt
ω
= && d
φ = ω⋅
dφ
=
1
2
(
2
ω )
d
⋅
dφ
úhlové zrychlení [rad/s 2 ] (někdy též označené α)
normálové zrychlení [m/s 2 ]
a
a t
2
2 v
= ω ⋅ R
R
= ε⋅R
= ω⋅ & R =
n
=
tečné zrychlení [m/s 2 ]
v&
v = 0
ρ
v
φ
=
v
=
R
⋅φ&
a
ρ
= −R
⋅φ&
2
a
φ
=
R
⋅&&
φ

polární souřadný systém, ρ, φ (rovinná varianta cylindrického souřadného systému)
R
Pohyb bodu po kružnici
y
φ
a r
a r
n
t
v r
A
ω, ε
s
x
φ
ω
=
úhel [rad, º]
dφ
dt
= φ&
úhlová rychlost [rad/s]
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
s = φ ⋅ R
v = ω⋅
R
dráha [m]
obvodová rychlost [m/s]
Úhel může být zadán ve stupních, v radiánech nebo počtem otočení.
1 rad = (180/π)º ≅ 57,3º,
90º = π/2 rad ≅ 1,57 rad (pravý úhel, čtvrt otáčky),
180º = π rad ≅ 3,14 rad (půlkruh, půl otáčky),
360º = 2·π rad ≅ 6,28 rad (plný kruh - jedna otáčka).
Místo úhlové rychlosti ω bývají v technické praxi často uváděny otáčky n - otáčky za sekundu
nebo za minutu.
1 ot/s = 60 ot/min = 2·π rad/s ≅ 6,28 rad/s. ω = 2⋅π⋅n
n [ot/s]
ω =
π⋅n
30
n [ot/min]

Dynamika soustavy hmotných bodů
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
m 1
G 1
m 3
G 1 , G 2 , G 3
N
S 31 S 1 , N 2
32
G 3
S 23
r
G 2
S 12
S 13
pohyb S 21
m 2
T 1 , T 2
S 12 , S 21 , S 13 , S 31 , S 23 , S 32
r
S ij
= −S ji
T 1 T 2
N 1 N 2
síly vnější
G i , N i , T i ,
síly vnitřní
S ij
externí
interní
síly akční
G i , S 13 , S 31 , S 23 , S 32
síly reakční
N i , T i , S 12 , S 21
jsou
spojeny
s vazbou
síly pracovní
G i , T i , S 13 , S 31 , S 23 , S 32
síly nepracovní
N 1 , N 2 , S 12 , S 21

Dynamika soustavy hmotných bodů
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
d’Alembertův princip
m 3
D 3
a 3
r r
D = −m⋅a
S ji
m 1
a 1
m 2 a 2
G 2
D 1 D 2
N 2
Aplikace d’Alembertova principu
v dynamice soustavy hmotných bodů
se nijak neliší od aplikace
v dynamice hmotného bodu.
Každému bodu přiřadíme
d’Alembertovu sílu velikosti D=m·a,
proti směru zrychlení.
Pak sestavíme rovnice
pseudostatické rovnováhy.
∑
r
F
i
+∑
r
D
i
r
= 0
S ij
G 1
0
Vnitřní síly S ij
= -S ji
(na schématu zelené) jsou vždy v páru a navzájem se vyruší,
v součtu pak zůstávají vnější (externí) síly.
Samozřejmě musí být splněny i momentové rovnice rovnováhy.
∑
∑
r
F
E
i
+∑
r
D
i
=
r r r r
F
E
i
× i + ∑
i
× Di
r
r
= 0

Dynamika soustavy hmotných bodů
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
m 3
střed hmotnosti soustavy hmotných bodů
r
S
=
m
1
r r
⋅
1
+ m2
⋅
2
+ m
m + m + m
1
2
3
3
r
⋅
3
=
∑
∑
m
i
m
r
⋅
i
i
y
m 1 m 2
r
1
r
3
x
r
S
S
r
2
polohový vektor
m = ∑ C
mi
m
∑ i
⋅
xS
=
mC
∑ mi
⋅
yS
=
mC
∑ mi
⋅
zS
=
mC
x
y
z
i
i
i

Dynamika soustavy hmotných bodů
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
m 3
m 1 m 2
r
1
r
3
r
S
S
r
2
polohový vektor
V malém prostoru (ve srovnání
s rozměry Země), v němž lze
gravitační zrychlení pokládat
za neměnné (jak co do velikosti,
tak co do směru), střed hmotnosti
a těžiště splývají v jeden bod.
střed hmotnosti soustavy hmotných bodů
r
S
=
m
1
r r
⋅
1
+ m2
⋅
2
+ m
m + m + m
1
2
r
⋅
∑
∑
Střed hmotnosti svou definicí připomíná jiný
důležitý bod - těžiště.
To je definováno jako působiště výslednice
tíhových sil a ve výrazech pro souřadnice
těžiště je tedy navíc gravitační zrychlení g.
Pokud je gravitační zrychlení ve všech bodech
stejné, můžeme je v čitateli i ve jmenovateli
vytknout a následně vykrátit.
Výrazy pro souřadnice středu hmotnosti
a těžiště jsou pak shodné.
Ve velkém prostoru,
v němž je gravitační zrychlení
v každém bodě jiné,
jsou těžiště a střed hmotnosti
dva různé body.
3
3
3
=
m
i
m
r
⋅
V tomto učebním textu
bude implicitně
uvažován malý
prostor,
v němž oba tyto body
splývají v jeden.
i
i

Dynamika soustavy hmotných bodů
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
věta o pohybu středu hmotnosti
m 3
r
r ∑ mi
⋅
i
S
=
mC
m ⋅ = ∑ ⋅
F 1 F 2
C
r&
S
m & r
i
i
m 1
F 3
G 1
pohyb
T 1 T 2
G 3
S
m 2
G 2
N 1 N 2
Střed hmotnosti se pohybuje tak,
jakoby v něm byla soustředěna hmotnost
a působily na něj vnější síly.
r
F
I
ij
r
+ F
I
ji
r
= 0
vnitřnísíly jsou vždy dvěv páru -
stejněvelké, opačněorientované
r
m
i
r
⋅a
i
m
=
C
& r r
⋅a
= ∑ m ⋅ r
a
r
S
r
∑ ∑
E
Fj
= F j +
i
i
∑
r
F
I
j
součet sil na jednom bodu
= 0
( +
)
E
I
F F
I
ij F ji
∑ m ⋅ = ∑ ∑ ∑ + ∑
i
a
i
r
součet sil přes všechny body
m
C
r
⋅a
S
r
r
= ∑ F
E
i
r
externí - vnější síly
interní - vnitřní síly

Dynamika soustavy hmotných bodů
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
věta o změně hybnosti soustavy hmotných bodů
m 3
r
r ∑ mi
⋅
i
S
=
mC
m ⋅ = ∑ ⋅
F 1 F 2
C
r&r
S
m
r
i
&
i
m 1
F 3
G 1
pohyb
T 1 T 2
G 3
S
m 2
G 2
N 1 N 2
V součtu přes všechny body se impulsy párových
(stejně velkých, opačně orientovaných)
vnitřních sil navzájem odečtou.
Změna hybnosti soustavy hmotných bodů
je rovna impulsu vnějších sil.
r
p
S
=
m
C
∆
r
⋅ v
m
C
r r
⋅ v = ∑ S
mi
⋅ vi
r
r
⋅ vS
= ∆ mi
⋅ vi
r r
∆p = ∑ S
∆pi
t
r
t
r
r
E
∆p
= F ⋅dt
+ F
( m ) ∑
C
( )
S
r
∆p
i
S
∫
0
t
r
= ∫
E
F ⋅dt
0
∫
0
I
⋅dt

Dynamika soustavy hmotných bodů
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
y
P
F 3
F 1
m 1
pohyb
m 3
G 3
S
m 2
G 2
G 1
T 1 T 2
r r r
1
S
2
N 2
x
Změna momentu hybnosti soustavy hmotných bodů
je rovna impulsu momentu vnějších sil.
věta o změně momentu hybnosti soustavy hmotných bodů
r r r
LP
_ i
=
i
× pi
r r
L = ∑ P
L P _ i
F 2
L r
r
L r S
P
×
S
r
m ⋅ v
S
r
I
M
r
∆L
r
L
t
r
= ∫ M ⋅dt
P
0
=
r
=
r
L
( t )
P _ 1
P S
- moment hybnosti k počátku P,
r
− L
r
× m ⋅ v
S
P _ 0
r
+ L
r
= ∑ I
- moment hybnosti středu hmotnosti k počátku P,
- moment hybnosti bodů ke středu hmotnosti S.
S
E
M

Dynamika soustavy hmotných bodů
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
F 3
S ji
m 1
G 1
m 3
∆r 3
∑
1
E
K
=
2
⋅ mi
⋅ vi
1
2
∆E
K
= ∆
2
⋅ mi
⋅ vi
=
F 1 F 2
T 1 T 2
G 3
S
G 2
∑ ( ) ∑
S ij
m 2
∆r 1 ∆r 2
2
N 1 N 2
Narozdíl od impulsu, práce vnitřních sil
se navzájem neodečtou
- každá síla působí na jiné dráze.
E
věta o změně kinetické energie soustavy hmotných bodů
K
=
1
2
⋅ m
∆E
∆E
∆E
∆E
Změna kinetické energie je rovna práci všech sil (vnějších i vnitřních).
C
⋅ v
S
Ki
Ki
K
K
=
=
=
=
A
∑
∑
A
=
r
F
r
F
=
∑
E
i
E
i
∑
r
F
i
r
⋅ ∆
2
r
⋅ ∆
i
r
⋅ ∆
r
F
i
i
+
+
i
r
⋅ ∆
∑
∑
i
∆E
r
F
r
F
I
i
I
i
Ki
r
⋅ ∆
i
r
⋅ ∆
i

Dynamika soustavy hmotných bodů
Aplikovaná mechanika, 1. přednáška
m 3
F 3
∆r 3
S ji
G 3
S
m
∆r 1 m 2 ∆r 2
1
G 1
G 2
∑
1
E
K
=
2
⋅ mi
⋅ vi
1
2
∆E
K
= ∆
2
⋅ mi
⋅ vi
=
F 1 F 2
∑ ( ) ∑
S ij
T 1 T 2
N 1 N 2
věta o změně kinetické energie soustavy hmotných bodů
∆E
∆E
Ki
Ki
=
=
A
∑
=
r
F
∑
E
i
r
F
i
r
⋅ ∆
2
r
⋅ ∆
Kinetickou energii soustavy hmotných bodů lze (podobně jako moment hybnosti) vyjádřit
jako součet kinetické energie hmotnosti celé soustavy, soustředěné do středu hmotnosti,
a kinetické energie rotace hmotných bodů okolo středu hmotnosti.
Tato teze bývá obvykle označována jako tzv. Königova věta.
S postupem vyšetřování pohybu rozkladem na posuv ve směru pohybu jistého zvoleného bodu
a rotaci okolo tohoto bodu se seznámíme později. Nazveme jej základní rozklad.
i
+
i
∑
∆E
r
F
I
i
Ki
r
⋅ ∆
i