mehanika kontinuuma i reologija - Rudarsko-geološko-naftni fakultet

Normala ravnine presjeka n zatvara sa smjerovima koordinatnih osi kutove koji su
označeni na slici s αi . Ako se kosa površina tetraedra označi s A, onda su trokutne površine
na koordinatnim ravninama projekcije te kose površine:
= A ⋅ cosα
;
= A ⋅ cos α ;
= A ⋅ cos α ;
(2.36)
A1 1
A2 2
Radi kraćeg pisanja može označiti cosαi = ai pa se može napisati:
i
i
A3 3
A = A ⋅ a
(2.37)
Naravno da pri tome suma kvadrata kosinusa mora zadovoljavati uvjet:
2 2 2
a + a + a = 1
(2.38)
1
2
3
Da bi mogli dobiti naprezanje na kosoj površini, treba iz uvjeta ravnoteže tetraedra
naći vektor totalnog naprezanja na kosoj plohi. Na lijevoj polovini slike 2.9 pokazane su
komponente tenzora naprezanja izražene u koordinatnom sustavu O x1x2x3, a na desnoj
komponente vektora totalnog naprezanja ρ1, ρ2 i ρ3 u smjeru tih koordinatnih osi.
Slika 2.9
Ako za tetraedar, bez djelovanja volumenskih sila, postavimo uvjet ravnoteže npr.
Σ = 0 − σ ⋅ A − τ ⋅ A − τ ⋅ A + ρ ⋅ A = 0
(2.39)
F1 11 1 21 2 31 3 1
Kada se skrati s A dobije se komponenta totalnog naprezanja:
ρ = σ ⋅ a + τ ⋅ a + τ ⋅ a
(2.40)
1
11
1
21
2
31
3
Iz uvjeta ΣF2 = 0 odnosno ΣF3 = 0 dobivaju se preostale dvije komponente punog naprezanja:
ρ = τ ⋅ a + σ ⋅ a + τ ⋅ a
(2.41)
2
3
11
13
1
1
22
23
2
2
32
33
3
ρ = τ ⋅ a + τ ⋅ a + σ ⋅ a
(2.42)
3
14