mehanika kontinuuma i reologija - Rudarsko-geološko-naftni fakultet

posmična naprezanja. Sferna komponenta tenzora naprezanja daje na plohama oktaedra
naprezanja:
σ = σ
(2.67)
S
okt
S
g
τ = 0
(2.68)
S
okt
Plohe pravilnog oktaedra imaju kosinuse smjera normala u odnosu na osi g1, g2 i g3
1
m i =
i = 1,2,3 (2.69)
3
Naravno da je pri tome:
2 2 2
m + m + m = 1
(2.70)
1
2
3
Devijatorska komponenta τokt može se naći iz totalnog naprezanja ρ na oktaedarskoj
plohi, koje iznosi:
ρ
=
σ
2
1
pa se odatle dobiva:
τ
D
okt
=
ρ
+
2
σ
−
2
2
3
+
σ
2
3
S 2
D
( σ ) σ = 0
okt
Nakon što se uvrsti dobivena vrijednost za ρ i izraz sredi, dobiva se konačno:
τ D
okt
=
1
3
( ) ( ) ( ) 2
2
2
σ − σ + σ − σ + σ − σ
1
2
2
3
3
1
22
(2.71)
(2.72)
(2.73)
Ako se, dakle, tenzor naprezanja podijeli na sfernu i devijatorsku komponentu i
promatraju pri tome naprezanja koja se dobivaju na plohama oktaedra, dobivaju se dva stanja
od kojih je prvo izotropno, a drugo predstavlja neku vrstu čistog smicanja:
σ
σ
S
D
okt
=
=
1
3
0
( σ + σ + σ )
1
2
3
=
1
⋅ I
3
σ
τ
τ
D
okt
S
=
=
0
2
3
⋅
I
2
σ
3
−
II
σ
(2.74)
Obje komponente oktaedarskih naprezanja pokazane su na slici 2.16 iz koje je vidljivo
da u stvari najopćenitije stanje naprezanja možemo svesti na jedno izotropno stanje pokazano
na lijevom oktaedru i stanje čistog smicanja na plohama tog istog oktaedra. Pri tome ne treba
zaboraviti da dijagonale tog oktaedra predstavljaju glavne osi naprezanja u promatranoj točki.