pobierz plik

Ksią ż kadostosowana
donowejformuł y
egzaminugimnazjalnego

Spis treści
Liczby
Tydzień I Działania na liczbach ........................................................................ 10
Tydzień II Potęgi i pierwiastki ............................................................................ 16
Tydzień III Procenty ............................................................................................ 22
Tydzień IV Statystyka .......................................................................................... 28
Tydzień V Prawdopodobieństwo ......................................................................... 34
Tydzień VI Zadania egzaminacyjne ..................................................................... 40
Algebra
Tydzień VII Wyrażenia algebraiczne ..................................................................... 46
Tydzień VIII Równania ........................................................................................... 52
Tydzień IX Układy równań .................................................................................. 58
Tydzień X Zadania egzaminacyjne ..................................................................... 64
Funkcje
Tydzień XI Wykresy różnych funkcji .................................................................... 68
Tydzień XII Prędkość, droga, czas ........................................................................ 76
Tydzień XIII Zadania egzaminacyjne ..................................................................... 84
Geometria
Tydzień XIV Kąty i trójkąty .................................................................................... 90
Tydzień XV Twierdzenie Pitagorasa ...................................................................... 96
Tydzień XVI Czworokąty ..................................................................................... 104
Tydzień XVII Koła i okręgi .................................................................................... 110
Tydzień XVIII Wielokąty i okręgi ............................................................................ 116
Tydzień XIX Podobieństwo figur .......................................................................... 122
Tydzień XX Graniastosłupy i ostrosłupy ............................................................. 128
Tydzień XXI Walec, kula, stożek .......................................................................... 134
Tydzień XXII Zadania egzaminacyjne ................................................................... 140
Zestawy zadań ....................................................................................................... 145
Rozwiązania i wskazówki .................................................................................. 167
Odpowiedzi ............................................................................................................ 197

TYDZIEŃ
III
Procenty
LICZBY
Procenty
Słowo procent (%) oznacza setną część danej wielkości.
1% danej wielkości to 1
100 tej wielkości.
k % danej wielkości to
k
100 tej wielkości.
Promile
Słowo promil (‰) oznacza tysięczną część danej wielkości.
1‰ danej wielkości to
k ‰ danej wielkości to
1
1000 tej wielkości.
k
1000 tej wielkości.
1promilto 1
10 procenta, zatem:
1% = 10‰ 1‰ = 0,1%
Punkty procentowe
Pojęcia punkt procentowy używa się, gdy wielkości opisywane za pomocą procentów zwiększają
się lub zmniejszają albo gdy porównujemy dwie wielkości wyrażone w procentach.
Na przykład gdy oprocentowanie kredytu w jednym banku wynosi 6%, a w drugim 9%, to
mówimy, że w drugim banku oprocentowanie jest o 3 punkty procentowe wyższe.
Przykłady zamiany procentów i promili na ułamki
P 60 % = 60
100 = 3 5
0,5% = 0,5 : 100 = 1
200
8‰ = 8
1000 = 1
125
0,7‰ = 0,7 : 1000 = 0,0007
Zamieniając procenty na ułamki, wystarczy
wykonać dzielenie przez 100 i usunąć
symbol %.
Zamieniając promile na ułamki, wystarczy
wykonać dzielenie przez 1000 i usunąć
symbol ‰.
Przykłady zamiany ułamków na procenty i promile
P 4
25 = 4 · 100 % = 16 %
Zamieniając ułamki na procenty, wystarczy
25
wykonać mnożenie przez 100 i dopisać
1
3 = 1 3 · 100 % = 33 1 3 % ≈ 33,3% symbol %.
3
4 = 3 · 1000‰ = 750‰
4
0,00018 = 0,00018 · 1000‰ = 0,18‰
Zamieniając ułamki na promile, wystarczy
wykonać mnożenie przez 1000 i dopisać
symbol ‰.
22

TYDZIEŃ
III
Obliczanie procentu danej liczby
P Oblicz 1,5 % liczby 18.
1,5 % liczby 18 to:
1,5 · 18 = 0,27
100
Odp. 1,5 % liczby 18 wynosi 0,27.
Obliczanie liczby, gdy znany jest jej pewien procent
P Znajdź liczbę, której 5% wynosi 12.
x —szukanaliczba
0,05 · x =12
x = 240
Odp. Liczba, której 5% wynosi 12, jest równa 240.
Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba
P Oblicz, jaki procent liczby 15 stanowi liczba 6.
6
15 = 6 15 · 100% = 40%
Odp. Liczba 6 stanowi 40% liczby 15.
Zmiana o pewien procent
Liczba o p %większaodliczbya jest równa a + p %liczbya. a + p (
100 a = 1+ p )
100 a
Na przykład:
liczba o 2% większa od a to 1,02a
liczba o 34% większa od a to 1,34a
a +0,02a =1,02a
a +0,34a =1,34a
Liczba o p %mniejszaodliczbya jest równa a − p %liczbya.
Na przykład:
liczba o 54% mniejsza od a to 0,46a
liczba o 2% mniejsza od a to 0,98a
a − 0,54a =0,46a
a − 0,02a =0,98a
23

LICZBY
Procenty
Ćwiczenia kontrolne
A. Oblicz w pamięci:
a) 10% masy 120 kg oraz 70% tej samej masy.
b) Jaki procent kwoty 240 zł stanowi 24 zł, a jaki — 12 zł
c) Jaką długość ma trasa, jeśli 20% tej trasy ma długość 5 km
d) Spodnie kosztują obecnie 80 zł. Ile by kosztowały po podwyżce o 5%, a ile po
obniżce o 25%
B. a) Zamień podane procenty na ułamki dziesiętne: 8% 40% 105% 0,5%
b) Zamień podane liczby na procenty: 0,72 0,025 1,07 2,3
C. Oblicz:
a) 20% liczby 55 b) 130% liczby 10 c) 0,21% liczby 1 11
14
D. Jakim procentem liczby a jest liczba b
a) a =8,b =0,5 b) a = 200, b =26 c) a =3,b = 0,198
E. Trójkąt podzielono na jednakowe, mniejsze trójkąty. Jaki procent pola dużego trójkąta
stanowi pole zamalowanej części
F. Oblicz:
a) liczbę, której 120% jest równe 25,
b) liczbę, której 48% jest równe 6,
c) liczbę o 3% większą od 60,
d) liczbę o 8% mniejszą od 7.
str. 171
G. a) Oblicz 5‰ liczby 38 mln.
b) Znajdź liczbę, której 0,5‰ wynosi 2.
c) Jaki promil liczby 150 000 stanowi liczba 30
d) Fluor stanowi 0,05% pewnego leku — ile to promili
H. a) 2‰ objętości 8 litrów — ile to cm 3
b) 20 g — ile to promili masy 5 kg
c) 6 arów to 15‰ powierzchni pewnego pola. Ile hektarów ma to pole
24

TYDZIEŃ
III
1. W czasie transportu 12 ton jabłek uszkodzeniu uległo 5% owoców. Uszkodzone
owoce ważyły:
A. 0,6 t B. 1 t C. 5 t D. 6 t
6
2. Pierwsze wydanie pewnej gazety miało nakład 3 tys. egzemplarzy. W ciągu roku
nakład wzrósł o 135% i wynosi:
A. 4050 egz. B. 6135 egz. C. 7050 egz. D. 3135 egz.
3. Rower kosztował 1000 zł. Po dwukrotnej obniżce o 10% rower kosztuje:
A. 810 zł B. 800 zł C. 980 zł D. 890 zł
str. 171
4. W 4 kg roztworu znajdują się 2 g soli. Jakie jest stężenie procentowe soli w tym
roztworze
A. 1 5 ‰ B. 5‰ C. 0,5‰ D. 2‰ str. 171
5. W zawodach sportowych brało udział 150 osób podzielonych na trzy kategorie: dorośli
(27 osób), młodzież (81 osób) i dzieci (42 osoby). Który z diagramów przedstawia
procentowy udział sportowców z tych kategorii
str. 171
6. Za wykonaną pracę Agata, Beata i Celina otrzymały razem 200 złotych. Z tej kwoty
Agata otrzymała 80 zł, Beata 70 zł, a resztę wzięła Celina. Oceń prawdziwość poniższych
zdań.
I. Agata otrzymała 80% wynagrodzenia.
PRAWDA
FAŁSZ
II. Celina otrzymała 20% wynagrodzenia.
PRAWDA
FAŁSZ
III. Beata otrzymała 35% wynagrodzenia.
PRAWDA
FAŁSZ
IV. Celina otrzymała o 2% mniej od Beaty.
PRAWDA
FAŁSZ
str. 171
25

LICZBY
Procenty
7. Liczba, której 72% jest równe 9, wynosi:
A. 13 B. 2,88 C. 8,88 D. 12,5
8. Uczeń odpowiedział poprawnie na 27 pytań testu, co stanowi 90% wszystkich pytań.
Jeśli oznaczymy literą p liczbę pytań w teście, to:
A. p ≤28 B. 28 < p ≤30 C. 30 < p ≤32 D. p >32
str. 171
9. Samochód po roku użytkowania stracił 15% swojej wartości i obecnie wyceniony
został na 34 000 zł. Rok wcześniej samochód był wart:
A. 40 000 zł B. 28 900 zł C. 39 100 zł D. 51 000 zł
str. 171
10. W pewnym gimnazjum są dwie klasy trzecie. W klasie III a jest 18 dziewcząt i stanowią
one 60% tej klasy, a w klasie III b jest 5 dziewcząt i stanowią one 20% tej klasy.
Jaki procent uczniów klas trzecich stanowią dziewczęta
A. 20% B. ok. 42% C. 40% D. ok. 30%
str. 171
11. W pewnym banku złożono 1500 zł na roczną lokatę. Po upływie roku stan lokaty
wzrósł do 1590 zł. Oprocentowanie w tym banku wynosiło:
A. mniej niż 3%,
B. między 3% a 5%,
C. między 5% a 7%,
D. więcej niż 7%.
str. 172
12. Do 95 g roztworu soli o stężeniu 5% dosypano 5 g soli. Otrzymano w ten sposób
roztwór, w którym sól stanowi:
A. 5% B. 5,5% C. 9,75% D. 15,25%
str. 172
13. W pewnym państwie poparcie dla Partii Konserwatywnej wynosi 20%, a dla Partii
Postępu — 30%. Oceń, czy prawdą jest, że poparcie dla partii Postępu:
I. jest o 10% wyższe niż dla Partii Konserwatywnej,
II. jest o 50% wyższe niż dla Partii Konserwatywnej,
III. jest 1,5 raza wyższe niż dla Partii Konserwatywnej,
IV. jest o 10 punktów procentowych wyższe niż dla Partii
Konserwatywnej.
TAK
TAK
TAK
TAK
NIE
NIE
NIE
NIE
26

TYDZIEŃ
III
14. W tabeli przedstawiono, o ile procent wzrastała liczba ludności Indii w ciągu
trzech dekad.
1981–1991 1991–2001 2001–2011
24% 21% 18%
a) W 1991 roku w Indiach mieszkało 850 mln ludzi. Oblicz liczbę mieszkańców Indii
w 2001 roku oraz w 1981 roku. Wyniki zaokrąglij do milionów.
b) O ile procent wzrosła liczba mieszkańców Indii w latach 1991–2011
str. 172
15. Przyjrzyj się informacjom podanym na
mapie obok.
a) Ile razy średnie zasolenie w Morzu Czerwonym
jest większe od średniego zasolenia
wBałtyku
b) Ile soli znajduje się w 1,2 kg wody z Morza
Czarnego
c) Oblicz, jakie stężenie soli ma mieszanina
3 kg wody z Bałtyku i 2 kg wody z Morza
Czerwonego
d) Ile wody trzeba dodać do 1 kg wody z Morza
Czerwonego, aby otrzymać wodę o stężeniu
soli takim jak w Morzu Czarnym
str. 172
16. Na rysunku przedstawiono opakowanie śmietany. Oceń prawdziwość podanych
zdań.
I. W całej śmietanie z tego opakowania jest mniej niż
40 g tłuszczu.
PRAWDA FAŁSZ
II. Skoro w 200 g tej śmietany jest 18% tłuszczu, to
w 100 g będzie 9% tłuszczu.
PRAWDA FAŁSZ
III. Gdyby całą śmietanę z tego opakowania zmieszać
z 400 g wody, to zawartość tłuszczu w takiej mieszance
wyniosłaby 9%.
PRAWDA FAŁSZ
IV. Po wymieszaniu całej śmietany z tego opakowania
ze 100 g śmietany o zawartości 12% tłuszczu
otrzymamy śmietanę o zawartości 15% tłuszczu.
PRAWDA
FAŁSZ
str. 172
27

Zestaw I
1. Niech A, B i C oznaczają następujące sformułowania:
A — „jest zawsze liczbą parzystą”
B — „jest zawsze liczbą nieparzystą”
C — „może być liczbą parzystą lub liczbą nieparzystą”
Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w kwadraciku literę A, B lub C.
Suma dwóch liczb parzystych .
Iloczyn liczby parzystej i nieparzystej
Iloczyn dwóch liczb nieparzystych . Suma dwóch liczb nieparzystych .
Suma liczby parzystej i nieparzystej . Iloczyn dwóch liczb parzystych .
.
2. Pewien zawodnik, biorący udział w biegu na 200 m, pokonał pierwsze 100 m w czasie
11,98 s, a cały dystans — w czasie 24,07 s. Czas, w jakim ten zawodnik przebiegł drugą
połowę dystansu, jest dłuższy od czasu pokonania przez niego pierwszych 100 m o:
A. 0,11 s B. 2,13 s C. 1,01 s D. 0,09 s
3. Na diagramie kołowym przedstawiono strukturę
wieku polskich lasów. Jaką część wszystkich lasów
stanowią lasy w wieku 41– 60 lat
A. 22
100
B. 22
78
C. 100
22
D. 18
100
czerwiec 2002
4. Zebrano informacje o liczbie dzieci
w trzech grupach rodzin (grupy A, B i C).
Dane dotyczące grupy A przedstawiono
na diagramie słupkowym, a część informacji
o grupach B i C zapisano w tabeli.
Uzupełnij tę tabelę.
Grupa Liczba rodzin Liczba dzieci Średnia liczba dzieci w rodzinie
A .......... .......... ..........
B 15 .......... 2
C .......... 18 1,5
5. Z mąki, cukru i trzech jajek zagnieciono ciasto. Masa mąki była 1,5 raza większa od
masy cukru, a każde z jajek ważyło 6 dag. Jeśli do zrobienia ciasta wzięto c dekagramów
cukru, to masa (w dekagramach) wszystkich użytych produktów wynosi:
A. 7,5c B. c +7,5 C. 1,5c +6 D. 2,5c +18
146

ZESTAW
I
6. Herbatniki produkowane przez pewne zakłady cukiernicze sprzedawane są w paczkach
po 12 oraz po 8 sztuk. Większa paczka kosztuje 80 gr, a mniejsza — 65 gr. Za 124 herbatniki
zapakowane w x większych paczek i y mniejszych paczek zapłacono 36 zł. Liczby
x i y spełniają równanie:
A. 0,80x +8y =36
B. (x + y )(0,8 + 0,65) = 36
C. x + y =124
D. 12x +8y =124
7. Magda powiedziała Jurkowi: „Pomyśl jakąś liczbę, dodaj do niej 5, wynik pomnóż
przez 3, a następnie od otrzymanej liczby odejmij tę, którą pomyślałeś na początku. Jaki
wynik otrzymałeś”. Jurek odpowiedział: „Dwadzieścia dziewięć”. Jaką liczbę pomyślał Jurek
na początku
A. 14 B. 7 C. 15 D. 44
str. 192
Informacja do zadań 8–9.
Wykres przedstawiony obok pokazuje,
jak pewnego dnia zmieniała
się głębokość wody deszczowej,
która zbierała się w cylindrycznym
naczyniu.
8. Między 13 00 a17 00 głębokość
wody w naczyniu wzrosła o:
A. 10 cm
B. 8 cm
C. 4 cm
D. 2 cm
9. Czy poniższe zdania są prawdziwe czy fałszywe
I. Między 9 00 a13 00 nie padało.
II. Poranny deszcz był mniej intensywny niż popołudniowy.
III. Przed 2 00 naczynie było puste.
IV. O 9 00 naczynie było pełne.
PRAWDA
PRAWDA
PRAWDA
PRAWDA
FAŁSZ
FAŁSZ
FAŁSZ
FAŁSZ
10. Przedstawione na rysunku proste a i b są równoległe.
Jaką miarę ma kąt α
A. 23 ◦ B. 42 ◦ C. 65 ◦ D. 115 ◦
11. W pudełku w kształcie walca mieszczą się, jedna nad drugą, trzy piłki — każda o promieniu
2 cm. Przylegają one do siebie, do powierzchni bocznej pudełka oraz do dna i pokrywki.
Wynika z tego, że pudełko ma objętość równą:
A. 48π cm 3 B. 32π cm 3 C. 24π cm 3 D. 12π cm 3 str. 192
147

ZESTAW
I
12. Czy na każdym czworokącie można opisać okrąg Wybierz odpowiedź TAK lub NIE.
Jeśli odpowiedziałeś TAK — wskaż jedną z podanych przyczyn, a jeśli wybrałeś odpowiedź
NIE — narysuj przykład uzasadniający twój wybór.
TAK, ponieważ
każdy czworokąt można podzielić na dwa trójkąty.
suma kątów każdego czworokąta wynosi 360 ◦ .
każdy kwadrat jest czworokątem.
NIE, ponieważ można podać przykład czworokąta, na którym nie można opisać okręgu.
13. Drabina o długości 4 m oparta jest o ścianę budynku
na wysokości 3 m od ziemi. Odległość (w metrach)
punktu, w którym drabina opiera się o ziemię,
od ściany budynku wynosi:
A. √ 3 B. 2 C. √ 7 D. 5
str. 192
14. Na poniższej mapie zaznaczono kolorem pewną trasę rowerową.
Średnie nachylenie (n) drogi oblicza się ze wzoru n = w · 100%, gdzie w oznacza różnicę
d
wysokości między wysokościami nad poziomem morza punktu początkowego A i punktu
końcowego B, ad oznacza długość drogi.
a) Nachylenie drogi między punktami A i B wynosi 2%. Jaka jest długość tej drogi
b) Jakie byłoby nachylenie tej drogi, gdyby łączyła ona punkty A i B wzdłuż linii prostej
str. 192
15. Uzasadnij, że jeśli kula mieści się w prostopadłościennym pudełku o wymiarach 6 cm ×
× 7cm× 8 cm, to jej objętość jest mniejsza niż 116 cm 3 .
str. 192
148