1. Analýza závislosti dvoch veličín

1. Analýza závislosti dvoch veličín
Pri spracovaní dát sa veľmi často stretávame s úlohou zistiť, či dve náhodné veličiny sú
stochasticky nezávislé. Napr. nás môže zajímať, či v sledovanej populácii je farba očí a farba
vlasov nezávislá alebo či počet dní práceneschopnosti a vek pracovníka sú nezávislé.
Vzťah jednej veličiny k druhej, resp.závistlosť jednej veličiny na druhej (regresia), je
možné zo súčasne meraných, pozorovaných dát. Ak sa predpokladá, že medzi dvoma
premennými existuje väzba ktorej silu vyjadruje spoločný rozptyl (kovariancia), týchto
premenných, je možné pomocou tejto informácie aproximovať jednu premennú, pomocou
druhej a vytvoriť regresný model (RM), regresnú závislosť premenných. Regresné modely
umožňujú lepšie, hlbšie poznanie spoznanie skúmaných javov v súvislostiach, pomocou
vzťahov medzi premennými. Vhodnosť typu regesného modelu sa hodnotí pomocou
korelácie, t.j. číselného vyjadrenia tesnosti, pevnosti väzby medzi premennými. Korelácia sa
hodnotí podľa vybraných kritérií, z ktorých najúčinnejšie je číselné vyjadrenie pomocou
koeficientu korelácie.
Voľba vhodného typu závislosti vychádza z bodového diagramu, t.j. na začiatku
spracovania dvojrozmerného súboru dát je potrebné vyniesť do grafu dvojice hodnôt {x i , y i }
a z neho odhadnúť možný priebeh závislosti. Pri skúmaní závilsoti sa riešia dve základné
úlohy:
1. určenie typu regresného modelu sa označuje ako regresná úloha,
2. zisťovanie sily vzťahu medzi premennými, korelačná úloha korelačného počtu.
Podľa toho, koľko nezávisle premenných sa berie pri riešení korelačného počtu do úvahy,
sa hovorí o:
• jednoduchej alebo párovej korelácii (korelácii dvoch premenných), ak sa uvažuje len
s jednou nezávisle premennou,
• viacnásobnej korelácii, ak je počet uvažovaných nezávisle premenných väčších ako
jedna.
1.1 Určenie typu regresného modelu (regresná úloha)
1.1.1 Jednoduchá lineárna regresia – lineárny regresný model
Ak po vynesení hodnôt {x i , y i } má bodový diagram trend priamej závislosti (jednotlivé
body ležia na priamke (Y´ = B 0 + B 1 X) alebo sa od nej nepatrne odchyľujú), bodovým
odhadom tejto regresnej priamky je y´j = b 0 + b 1 x j a táto závislosť je najlepším odhadom
lineárneho regresného modelu.
Konštanta b 0 pri grafickom zobrazení regresnej priamky určuje bod, v ktorom priamka
pretína os y. Koeficient b 0 posúva priamku v prietore, preto sa nazýva aj lokujúcou
konštantou.
Koeficient b 1 , je smernica regresnej priamky a udáva, o koľko merných jednotiek sa
v priemere zmení závisle premenná, ak sa nezávisle premenná zmení o jednu mernú jednotku.
Práve tento koeficient dáva informácie o priebehu závislosti a nazýva sa regresným
koeficientom.

Koeficienty b 0 , b 1 sa určia metódou najmenších štvorcov a ich vyjadrenie je možné
zapísať v tvare
b
1
x
x.
y
b0
y b1
x
a bodový odhad priamky je možné vyjadriť v tvare y
xy
2
x
2
j
n
1
x
j
n
j
1
x
x
j
y
x
j
2
y
,
y
b
x
x
j 1 j
.
Uvedený popis lineárnej závislosti platí pre prípad že, Y je závisle a X nezávisle
premennou. Medzi znakmi však môže byť závilosť aj X od Y. Túto závislosť chrakterizuje
priamka X´ = A 0 + A 1 Y a jej odhadom je priamka x´j = a 0 + a 1 y j . Pri výpočte koeficientov a 0
a a 1 sa postupuje analogicky ako pri výpočte koeficientov b 0 a b 1. Ak existuje obojstranná
závislosť priamky sa nazývajú združené regresné priamky (lineárne regresné modely oboch
typov tvoria združené regresné modely) a ich regresné koeficienty združené regresné
koeficienty. Lineárne regrsné priamky (modely) spolu vytvárajú tzv. korelačné nožnice. Čím
sú viac otvorené závislosť je menšia, a naopak.
1.1.2 Nelineárna regresia – nelineárny regresný model
Ak závislosť medzi premennými Y a X nie je lineárna, vyjadrí sa jej priebeh vhodnou
nelineárnou regresnou funkciou, pričom sa môžu použiť nelineárne funkcie s dvomi alebo
viacerými parametrami.

Koeficienty nelineárneho regresného modelu je možné určiť priamo pomocou metódy
najmenších štvorcov, alebo nepriamo použitím transformácie na lineárnu funkciu.
Najčastejšie používané nelineárne funkcie s dvoma parametrami je možné transformovať na
funkciu, ktorej odhadom je regresná funkcia w´j = b 0 + b 1 z j ,
kde w = g(y),
z = g (x),
w, z sú transformované funkcie g(y) a g(z).
Na uvedený tvar w´j = b 0 + b 1 z j je možné transformovať napr.:
b1
• hyperbolu 1. stupňa y
j
b0
x
transformácia:
• hyperbolu
y
j
z
b
0
1
x
1
b x
1
transformácia: y
z
• logaritmickú funkciu y
transformácia: z = ln x
• exponenciálne krivky:
x
a a
j
y
j 0 1
1
j
j
b
0
j
b ln x
1
j
transformácia: w = log y, z = xj, po transformácii sa získa funkcia log y = log a 0 +
z.log a 1 , b 0 = log a 0 , b 1 = log a 1
b1
y a
j 0x j
transformácia: w = log y, z = log x, funkcia: log y = log a 0 + b 1 .log x, b 0 = log a 0
b1
/ x
y a e
j
j
0
transformácia: w = ln y, z =1/x, funkcia: ln y = ln a 0 + a 1 /x b 0 = ln a 0 ,
b1
. x
y a e
j
j
0
transformácia: w = ln y, z =x, funkcia: ln y = ln a 0 + a 1. x b 0 = ln a 0
Ak sa uskutoční lineárna transformácia ďalší postup je ako pri lineárnej závislosti. Pri
voľbe typu funkcie, je dôležité zvoliť funkciu, ktorá je najpriliehavejšia, t.j. najlepšie
vystihuje priebeh závislosť premennej Y od premennej X. Od voľby správneho typu regesnej
funkcie závisí, do akej miery vystihne vzťah medzi premennými, a teda rozhodnutiu aký typ
funkcie sa zvolí, je potrebné venovať veľkú pozornosť.
Pri voľbe typu regresnej funkcie (regesného modelu) sa musí spájať znalosť priebehu
jednotlivých typov kriviek s informáciami o skúmanom jave a rozložení empirických údajov.
Pritom zvyčajne pomáha zobrazenie bodového diagramu. Typ regresnej funkcie sa volí tak,
aby čo najpresnejšie vyhovovala rozloženiu bodov v diagrame a logickým súvislostiam
daných javov. Pre lepšiu orientáciu sú na nasledujúcich obrázkoch znázornené niektoré
používané typy kriviek.
Výber najvhodnejšieho typu regresnej funkcie (regesného modelu) nemusí byť vždy
zrejmý od prvej chvíle, preto sa za najvhodnejší považuje ten:
• ktorý je najlogickejší,

• pri ktorom sa rozdelenie reziduálnych odchýlok blíži najviac k normálnemu
rozdeleniu,
• ktorý zabezpečuje že rozdelenie reziduálnych odchýlok bude mať približne rovnakú
variabilitu,
• pri ktorom sô reziduálne odchýlky najmenšie,
• ktorý vykazuje najväčšiu tesnosť závislostí,
• ktorý je najjednoduchšou krivkou.
1.2 Korelačná úloha
1.2.1 Párová korelácia
Rozpoznanie stupňa závislosti premennej Y od premennej X je dôležitá úloha. Čím je
stupeň závislosti medzi premennými vyšší, tým je väčšia aj vypovedacia sila regresnej funkcie
(regresného modelu). Stupeň závislosti medzi premennými charakterizujú miery tesnosti
štatistickej závislosti. Tieto sa pohybujú v pevne stanovenom intervale a v rámci tohto
intervalu rastú so stupňom závilsosti. Sú nezávislé od veľkosti hodnôt skúmaných znakov ani
od používaných jednotiek. To umožňuje z ich veľkosti priamo usudzovať o stupni závislosti
a porovávať miery tesnosti štatistickej závislosti za rôzne štatistické súbory.
Korelačný pomer je odmocnina z podielu súčtu štvorcov odchýlok podmienených
priemerov závisle premennej od jej celkového priemeru a celkového súčtu štvorcov odchýlok
od tejto premennej. Nadobúda hodnoty od 0 do 1. Čím je taký koeficient bližší 1, tým je
závislosť medzi danými dvomi veličinami silnejšia a čím je bližší 0, tím je slabšia. Korelačný
pomer je najvšeobecnejšou mierou tesnosti štatistickej závislosti, ktorú je možné počítať bez
ohľadu na to, či sa už riešila regresná úloha.
yx
m
2
yi
i 1
m n
i 1 i 1
n
y
i
2
ij
ny
2
ny
2
n
m
j 1
i 1
n
m
n
n
i 1 j 1
i
i
n
y
i
y
ij
2
ij
2
m n
i 1 j 1
m n
i 1 j 1
i
y
y
ij
ij
2
2
Index determinácie je podiel súčtu štvorcov odchýlok teoretických hodnôt od celkového
priemeru závisle premennej k celkovému súčtu štvorcov jej odchýlok. Ako miera tesnosti
štatistickej závislosti sa používa druhá odmocnina indexu determinácie a nazýva sa index
korelácie.
i
yx
m
ni
i 1
m n
i 1 j 1
i
y
y
i
ij
y
y
2
2
pre triedené údaje

i
yx
m
n
i
i 1
n
j 1
y
y
j
i
y
y
2
2
pre netriedené údaje
Index korelácie charakterizuje stupeň závislosti premennej Y od X za predpokladu, že jej
priebeh vystihuje regresná funkcia (regresný model). Hodnoty ktoré nadobúda a spôsob
hodnotenia závislostí je analogický ako v prípade korelačného pomeru. Využíva sa vtedy, keď
sa hodnotí vhodnosť nelineárnej regresnej funkcie (regresného modelu).
Koeficient korelácie hodnotí mieru lineárnej štatistickej závislosti. Nadobúda hodnoty
z intervalu (-1,1) a používa sa aj ako miera tesnosti závislosti transformovaných premenných.
Výpočet sa realizuje z netriedených premenných. Na hodnotenie vhodnosti regesného modelu
2
sa využíva aj druhá mocnina koeficienta korelácie tzv. koeficient determinácie r
xy
.
Koeficient korelácie je možné vypočítať viacerými spôsobmi:
• ako súčin niektorého zo združených regresných koeficientov a podielu smerodajnej
odchýlky nezávisle premennej ku smerodajnej odchýlke závisle premennej
s s
x y
ryx
b1
a1
s s
y
x
• ako podiel kovariancie premenných X aY a ich smerodajných odchýlok
cov xy xy x.
y
ryx
s s s s
x
y
x
y
• koeficient korelácie je geometrickým priemerom zo združených regresných
koeficientov.
r yx
a 1
b 1
Koeficient korelácie má nasledovné vlastnosti:
• meria tesnosť závislosti medzi X a Y obojstranne, t.j. Y od X, ale súčasne X od Y,
• môže byť kladný ale aj záporný, pričom jeho znamienko vyjadruje charakter
závislosti: ak je závilsosť priama, má koeficient korelácie kladné znamienko, pri
nepriamej závislosti je záporný.

1.3 Testovanie hypotézy o nezávislosti
Testujeme H 0 : ρ = 0 proti obojstrannej alternatíve H 1 : ρ ≠ 0 (resp. proti ľavostrannej
alternatíve H 1 : ρ < 0 resp. proti pravostranné alternatíve H 1 : ρ > 0). Testovacie kritérium má
R12
n 2
tvar: T . Ak platí nulová hypotéza, potom T ~ t(n-2). Kritický obor pre test H 0
2
1 R
12
proti obojstrannej alternatíve: W , t1 / 2 n 2 t1
/ 2 n 2 , , proti
ľavostrannej alternatíve: W , t1 n 2 a proti pravostrannej alternatíve:
W t 1 n 2 , . H 0 zamietame na hladine významnosti α, keď T W .
Príklad 7.1: Máme k dispozícii výsledky testov z dvoch predmetov zistených u ôsmich
náhodne vybraných študentov určitého odboru.
Číslo študenta 1 2 3 4 5 6 7 8
Počet bodov v 1. teste 80 50 36 58 42 60 56 68
Počet bodov v 2. teste 65 60 35 39 48 44 48 61
Na hladine významnosti 0,05 testujte hypotézu, že výsledky oboch testov nie sú kladne
korelované.
Riešenie: Najprv sa musíme presvedčiť, že uvedené výsledky je možné považovať za
realizácie náhodného výberu z dvojrozmerného normálneho rozdelenia. Je možné tak učiniť
orientačne pomocou dvojrozmerného bodového diagramu. Body by mali vytvoriť elipsovitý
obrazec.
100
80
60
Y
40
20
0
0 20 40 60 80 100 120
X
Obrázok svedčí o tom, že predpoklad dvojrozmernej normality je oprávnený a že medzi
počtami bodov z 1. a 2. testu bude existovať určitý stupeň priamej lineárnej závislosti.
Testovaná je H 0 : ρ = 0 proti pravostrannej alternatíve H 1 : ρ > 0.
Výpočtom sa zistí: R 12 = 0,6668, T = 2,1917. V tabuľkách sa nájde t 0,95 (6) = 1,9432.
Kritický obor: W 1,9432 ; . Pretože T W , hypotézu o neexistenci kladnej korelácie
výsledkov z 1. a 2. testu zamietame na hladine významnosti 0,05.

1.3.1 Porovnanie koeficientu korelácie s danou konštantou
Ak c je reálna konštanta. Testuje sa H 0 : ρ = c proti H 1 : ρ ≠ c. (Tento test sa vykonáva
napr. vtedy, ak experimentátor porovnáva vlastnosti svojich dát s vlastnosťami uvádzanými
1 1 c c
v literatúre.) Test je založený na testovacom kritériu U Z ln
n 3 ,
2 1 c 2 n 1
ktorá má za platnosti H 0 pre n ≥ 10 asymptoticky rozdelenie N(0,1), pričom Z
1 1 R12
ln
2 1 R12
je tzv. Fisherova Z-transformácia. Kritický obor pre test H 0 proti obojstrannej alternatíve teda
je W , u1 / 2 u1
/ 2,
. H 0 sa zamieta na asymptotickej hladine významnosti α,
keď U W .
Príklad 7.2: V 600 vzorkách rudy bol stanovený obsah železa dvoma analytickými
metódami s výberovým koeficientom korelácie 0,85. V literatúre sa uvádza, že koeficient
korelácie týchto dvoch metód má byť 0,9. Na asymptotickej hladine významnosti 0,05 testujte
hypotézu
H 0 : ρ = 0,9 proti H 1 : ρ ≠ 0,9.
1 1 0,85
Riešenie: Z ln 1, 2562,
2 1 0,85
1 1 0,9 0,9
U 1,2562 ln
600 3 5,2976 , u 0,975 = 1,96,
2 1 0,9 2 600 1
W , 1,96 1,96, . Pretože U W , H 0 zamietame na asymptotickej hladine
významnosti 0,05.
1.3.2 Porovnanie dvoch korelačných koeficientov
Ak sú dané dva nezávislé náhodné výbery o rozsahoch n a n * z dvojrozmerných
normálnych rozdelení s korelačnými koeficientmi ρ a ρ * . Testuje sa H 0 : ρ = ρ * proti H 1 : ρ ≠
ρ * . Označí sa R 12 výberový korelačný koeficient 1. výberu a R *
12 výberový korelační
koeficient
*
1 1 R12
* 1 1 R12
2. výberu. Položí sa Z ln a Z ln . Ak platí H
*
0 , potom testovacie
2 1 R 2 1 R
kritérium
1
n 3
*
1
*
n 3
12
Z Z
U má asymptoticky rozdelenie N(0,1). Kritický obor pre test H 0 proti
obojstrannej alternatíve je W , u1 / 2 u1
/ 2,
. H 0 sa zamieta na asymptotickej
hladine významnosti α, ak U W .
Príklad 7.3: Lekársky výskum sa zaoberal sledovaním koncentrácii látok A a B v moči
pacientov trpiacich určitou obličkovou chorobou. Pri 100 zdravých jedincoch bol výberový
korelačný koeficient medzi koncentráciami oboch látok 0,65 a v prípade 142 osôb trpiacich
zmienenou chorobou bol 0,37. Na asymptotickej hladine významnosti 0,05 testujte hypotézu,
že korelačné koeficienty v oboch skupinách sa nelíšia.
12

Riešenie:
1 1 0,65
* 1 1 0,37
Z ln 0,7753, Z ln 0,3884 ,
2 1 0,65
2 1 0,37
0,7753 0,3884
U
2,9242 , u 0,975 = 1,96, W , 1,96 1,96,
.
Pretože
1
100
3
1
142
3
U W , H 0 sa zamieta na asymptotickej hladine významnosti 0,05.
1.3.3 Interval spoľahlivosti pre korelačný koeficient
V prípade že, dvojrozmerný náhodný výber rozsahu n pochádza z dvojrozmerného
normálneho rozdelenia, ktorého korelačný koeficient sa príliš nelíši od nuly (│ρ│ < 0,5) a
rozsah výberu je dostatočne veľký (n ≥ 100), 100(1-α)% interval spoľahlivosti pre ρ má
2
1 R12
medze R12 u1
/ 2 .
n 3
Ak nie sú uvedené podmienky splnené, potom nie je možné tento vzorec použiť, pretože
rozdelenie výberového korelačného koeficientu je príliš zošikmené. V takom prípade sa
využije to, že náhodná veličina Z
1 1 R12
ln má i pri malom rozsahu výberu približne
2 1 R12
normálne rozdelenie so strednou hodnotou E Z
1 1
ln
(2. sčítanec je možné
2 1 2 n 1
pri väčšom n zanedbať) a rozptylom D Z
1
. Štandardizáciou veličiny Z sa získa
n 3
veličina U
Z E(Z)
, ktorá má asymptoticky rozdelenie N(0,1). Teda 100(1-α)%
D(Z)
1 1
asymptotický interval spoľahlivosti pre ln bude mať medze
2 1
spoľahlivosti pre ρ potom sa získa spätnou transformáciou.
Z
u
1
n
/ 2
. Interval
3
Vzhľadom na to, že Z = arctgh R 12 , dostaneme R 12 = tgh Z a medze intervalu
x x
u1
/ 2
e e
spoľahlivosti pre ρ je možné napísať v tvare tgh Z , pričom tgh x .
x x
n 3
e e
Príklad 7.4: Pracovník personálneho oddelenia určitej firmy skúma, či existuje vzťah
medzi počtom dní absencie za rok (veličina Y) a vekom pracovníka (veličina X). Preto
náhodne vybral údaje o 10 pracovníkoch.
Č. prac. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 27 61 37 23 46 58 29 36 64 40
Y 15 6 10 18 9 7 14 11 5 8
Za predpokladu, že uvedené údaje tvoria číselné realizácie náhodného výberu rozsahu 10
z dvojrozmerného normálneho rozdelenia, vypočítajte výberový korelačný koeficient a na
hladine významnosti 0,05 testujte hypotézu, že X a Y sú nezávislé náhodné veličiny. Zostrojte
95% asymptotický interval spoľahlivosti pre skutočný korelačný koeficient ρ.

Riešenie: Predpoklad o dvojrozmernej normalite dát overíme orientačne pomocou
dvojrozmerného bodového diagramu.
30
25
20
15
Y
10
5
0
-5
-10
-20 0 20 40 60 80 100
X
Vzhľad diagramu svedčí o tom, že predpoklad je oprávnený.
Testujeme H 0 : ρ = 0 proti H 1 : ρ ≠ 0. Vypočítame R 12 = -0,9325, teda medzi vekom
pracovníka a počtom dní pracovnej neschopnosti existuje silná nepriama lineárna závislosť.
Testovacie kritérium: T = -7,3053, kvantil t 0,975 (8) = 2,306, kritický obor
W , 2,306 2,306, . Vzhľadom k tomu, že T W , zamietame na hladine
významnosti 0,05 hypotézu o nezávislosti veličín X a Y.
1 1 R12 1 1 0,9325
Vypočítame Z ln ln
1, 6772 . Medze 95% asymptotického
2 1 R 2 1 0,9325
12
intervalu spoľahlivosti pre ρ sú tgh 1,6772
1,96
7
, teda -0,9842 < ρ < -0,7336
s pravdepodobnosťou približne 0,95.
Testovanie hypotézy o nezávislosti sa vykonáva rôznymi spôsobmi podľa toho, akého
typu sú dané náhodné veličiny – či sú nominálne, ordinálne, intervalové alebo pomerové.
Koeficientom korelácie sa hodnotí miera štatistickej závislosti intervalových, pomerových
veličín. Nasledovne budú uvedené hodnotenia miery štatistickej závislosti a testy nezávislosti
nominálnych a ordinálnych veličín.
1.3.4 Testovanie nezávislosti nominálnych veličín
Ak X,Y sú dve nominálne náhodné veličiny (tj. obsahová interpretácia je možná len pri
relácii rovnosti). Ak X nadobúda hodnoty x [1] , ..., x [r] a Y nadobúda hodnoty y [1] , ..., y [s] .
Získame dvojrozmerný náhodný výber rozsahu n z rozdelenia, ktorým sa riadi dvojrozmerný
diskrétny náhodný vektor (X, Y). Zistené absolútne početnosti n jk dvojice hodnôt (x [j] , y [k] )
usporiadame do kontingenčnej tabuľky:
y y [1] ... y [s] n j.
x n jk
x [1] n 11 ... n 1s n 1.
... ... ... ...

x [r] n r1 ... n rs n r.
n .k n .1 ... n .s n
Testuje sa hypotéza H 0 : X, Y sú stochasticky nezávislé náhodné veličiny proti
H 1 : X, Y nie sú stochasticky nezávislé náhodné veličiny. Testovacie kritérium TK má tvar:
K
1)(s-1)).
r
s
j 1 k 1
n
jk
j.
n
n
j.
n
n
n n
. k
.k
2
. Ak platí H 0 , potom K sa asymptoticky riadi rozdelením χ 2 ((r-
Hypotézu o nezávislosti veličín X, Y teda zamietame na asymptotickej hladine
významnosti α, ak TK (K) ≥ KH (χ 2 1-α((r-1)(s-1))).
Podmienky dobrej aproximácie
n
j.
n.
k
Výraz sa nazýva teoretická početnosť. Rozdelenie testovacieho kritéria K je
n
možné aproximovať rozdelením χ 2 ((r-1)(s-1)), pokiaľ teoretické početnosti aspoň v 80%
prípadoch nadobúdajú hodnoty väčšie alebo rovné 5 a v ostatných 20% neklesnú pod 2. Ak
nie je splnená podmienka dobrej aproximácie, odporúča sa zlučovanie niektorých hodnôt.
Meranie sily závislosti
K
Cramérov koeficient: V
, kde m = min{r,s}. Tento koeficient nadobúda
n(m 1)
hodnoty medzi 0 a 1. Čím bližšie je k 1, tým je tesnejšia závislosť medzi X a Y, čím bližšie je
k 0, tým je táto závislosť volnejšia.
Príklad 7.5:
V sociologickom prieskume bol z uchádzačov o štúdium na vysokých školách získaný
náhodný výber rozsahu 360. Mimo iných sa zisťovala sociálna skupina, z ktorej uchádzač
pochádza a typ školy, na ktorú sa hlási. Výsledky sú zaznamenané v kontingenčnej tabuľke:
Typ školy Sociálna skupina n j.
I II III IV
univerzitný 50 30 10 50 140
technický 30 50 20 10 110
ekonomický 10 20 30 50 110
n .k 90 100 60 110 360
Na asymptotickej hladine významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti typu školy a
sociálnej skupiny. Vypočítajte Cramérov koeficient.
Riešenie:
Výpočet TK:

n 140 1.
n.1
90 n1.
n.2
140 100 n1.
n.3
140 60 n1.
n.
35,
38,9,
23,3,
n 360 n 360
n 360 n
n2.
n.1
110 90 n2.
n.2
110 100 n2.
n.3
110 60 n2.
n.
4
27,5,
30,6,
18,3,
n 360 n 360
n 360 n
n2.
n.1
110 90 n2.
n.2
110 100 n2.
n.3
110 60 n2.
n.
4
27,5,
30,6,
18,3,
n 360 n 360
n 360 n
K
2
2
2
50 35 30 38,9 50 33,6
35 38,9
33,6
76,84 ,
Stanovenie KH:
r = 3, s = 4, χ 2 0,95(6) = 12,6.
140 110
360
110 110
360
110 110
360
42,8,
33,6,
33,6,
Rozhodnutie. Pretože TK ≥ KH hypotézu o nezávislosti typu školy a sociálnej skupiny
zamietame na asymptotickej hladine významnosti 0,05.
76,4
Cramérov koeficient: V 0, 3267 .
360 2
Štvorpolné tabuľky
Ak r = s = 2. Potom sa hovorí o štvorpolnej kontingenčnej tabuľke a používa sa
označenie: n 11 = a, n 12 = b, n 21 = c, n 22 = d.
X Y n j.
y [1] y [2]
x [1] a b a+b
x [2] c d c+d
n .k a+c b+d n
Pre túto tabuľku navrhol R. A. Fisher presný (exaktný) test nezávislosti známy ako
Fisherov faktoriálový test. STATISTICA poskytuje p-hodnotu pre tento test. Ak je výsledok p
≤ α, potom hypotézu o nezávislosti zamietame na hladine významnosti α.
ad
V štvorpolných tabuľkách sa používa charakteristika OR , ktorá sa nazýva podiel
bc
šancí (odds ratio). Je možné si predstaviť, že pokus sa vykonáva za nerovnakých okolností a
môže skončiť buď úspechom alebo neúspechom.
Výsledok okolnosti n j.
pokusu I
II
úspech a b a+b
neúspech c d c+d
n .k a+c b+d n
Pomer počtu úspechov k počtu neúspechov (tzv. šance) za 1. okolností je c
a , za druhých
b ad
okolností je . Podiel šancí je OR . Pomocou 100(1-α)% asymptotického intervalu
d bc
spoľahlivosti pre podiel šancí je možné na asymptotickej hladine významnosti α testovať

hypotézu o nezávislosti nominálnych veličín X a Y. Asymptotický 100(1-α)% interval
spoľahlivosti pre prirodzený logaritmus skutočného podielu šancí má medze:
1 1 1 1
ln OR
u 1 / 2 . Ak po odlogaritmovaní nezahrnie interval spoľahlivosti 1,
a b c d
potom hypotézu o nezávislosti zamietneme na asymptotickej hladine významnosti α.
Príklad 7.6:
V prípade 135 uchádzačov o štúdium na istú fakultu bol hodnotený dojem, akým
zapôsobili na komisiu na ústnej prijímacej skúške. Na asymptotickej hladine významnosti
0,05 testujte hypotézu, že prijatie na fakultu nezávisí od zanechaného dojmu na prijímacej
skúške.
prijatí dojem n j.
dobrý zlý
áno 17 11 28
nie 39 58 97
n .k 56 69 125
Riešenie:
ad 17 58
1 1 1 1 1 1 1 1
OR 2,298, ln OR 0,832,
0,439, u 0,975
bc 11 39
a b c d 17 11 39 58
ln d 0,832 0,439 1,96 0,028, ln h 0,832 0,439 1,96 1,692
0,028
1,692
d e 0,972, h e 5,433
Pretože interval (0,972; 5,433) obsahuje číslo 1, na asymptotickej hladine významnosti
0,05 nezamietame hypotézu o nezávislosti dojmu na prijímacej skúške a prijatie na fakultu.
1,96
1.3.5 Testovanie nezávislosti ordinálnych veličín
Ak X,Y sú dve ordinálne náhodné veličiny (tj. obsahová interpretácia je možná len
v prípade relácie rovnosti a relácie usporiadania). Získame dvojrozmerný náhodný výber
(X 1 , Y 1 ), ..., (X n , Y n ) z rozdelenia, ktorým sa riadi náhodný vektor (X, Y). Označíme R i
poradie náhodnej veličiny X i a Q i poradie náhodnej veličiny Y i , i = 1, ..., n. Testujeme
hypotézu H 0 : X, Y sú poradovo nezávislé náhodné veličiny proti obojstrannej alternatíve H 1 :
X, Y sú poradovo závislé náhodné veličiny (resp. proti ľavostrannej alternatíve H 1 : medzi X a
Y existuje nepriama poradová závislosť resp. proti pravostrannej alternatíve H 1 : medzi X a Y
existuje priama poradová závislosť).
Testovacie kritérium sa nazýva Spearmanov koeficient poradovej korelácie a má tvar:
n
6
2
r S 1
R
2
i Qi
.
n n 1
i 1
H 0 sa zamieta na hladine významnosti α
a) v prospech obojstrannej alternatívy, ak │r S │≥ r S,1-α (n)
b) v prospech ľavostrannej alternatívy, ak r S ≤ - r S,1-α (n)
c) v prospech pravostrannej alternatívy, ak r S ≥ r S,1-α (n), kde r S,1-α (n) je kritická hodnota,
ktorá sa pre α = 0,05 alebo 0,01 a n ≤ 30 nájde v tabuľkách. Pre n > 30 H 0 sa zamieta na

asymptotickej hladine významnosti α v prospech obojstrannej alternatívy, ak
(analogicky pre jednostranné alternatívy).
r
S
u
1
n
1
Spearmanov koeficient r S súčasne meria silu poradovej závislosti náhodných veličín X,
Y. Nadobúda hodnoty z intervalu 1 , 1 . Čím je jeho hodnota bližšia -1 (resp.1), tým je
silnejšia nepriama (resp. priama) poradová závislosť veličín X, Y. Čím je jeho hodnota bližšia
0, tým je slabšia poradová závislosť veličín X, Y.
Príklad 7.7:
Dva lekári hodnotili stav siedmich pacientov po rovnakom chirurgickom zákroku.
Postupovali tak, že najvyššie poradie dostal najťažší prípad.
Číslo pacienta 1 2 3 4 5 6 7
Hodnotenie 1. lekára 4 1 6 5 3 2 7
Hodnotenie 2. lekára 4 2 5 6 1 3 7
Vypočítajte Spearmanov koeficient r S a na hladine významnosti 0,05 testujte hypotézu, že
hodnotenie oboch lekárov sú poradovo nezávislé.
r
Riešenie:
Výpočet TK:
6
2
2
1 4 4 1 2 6
2
7 7 1
Stanovenie KH:
Kritická hodnota: r S,0,95 (7) = 0,745.
2
2
2
2
2
S 5 5 6 3 1 2 3 7 7 0,857 .
Rozhodnutie:
Pretože TK (0,857) ≥ KH (0,745), nulovú hypotézu zamietame na hladine významnosti
0,05.

2. Úvod do indexnej analýzy
Tato kapitola sa zaoberá porovnávaním ukazovateľov v dátových súboroch, ktoré sa líšia
buď časovo alebo priestorovo alebo vecne. Najdôležitejšie je porovnávanie ukazovateľov
z časového hľadiska. Pod pojmom ukazovateľ sa rozumie veličina, ktorá vypovedá o akejsi
sociálne ekonomickej hromadnej skutočnosti. K uvedenému porovnávaniu veľmi často slúžia
rôzne indexy. Budeme sa venovať konštruovaniu a interpretácii týchto indexov.
Ukazovateľ a jeho druhy
Ukazovateľ je veličina, ktorá charakterizuje sociálne ekonomický jav v určitom priestore
a v určitom čase (okamih či interval).
Príklady ukazovateľov: počet obyvateľov SR ku dňu 31.12.2005, veľkosť HDP v SR v r.
2005, počet sobášov v SR v r. 2005 atd.
Rozlíšenie ukazovateľov z vecného hľadiska
Extenzitný ukazovateľ: charakterizuje extenzitu skúmaného javu (napr. objem, veľkosť,
množstvo). Je vyjadrený číslom v určitej mernej jednotke. Spravidla sa označuje q alebo Q
(od slova quantum – množstvo).
Príklady extenzitných ukazovateľov: rozloha poľnohospodárskej pôdy v SR v r. 2002,
počet narodených detí v SR v r. 2005 atď.
Intenzitní ukazovateľ: charakterizuje intenzitu sledovaného javu. Vzniká ako pomer
dvoch extenzitných ukazovateľov, medzi ktorými existuje logický vzťah. Spravidla sa
označuje p (od slova price – cena).
Príklady intenzitných ukazovateľov: priemerná obytná plocha bytu pripadajúca na
jedného obyvateľa SR v r. 2005, hektárový výnos pšenice v SR v r. 2002 atď.
Samostatnú skupinu tvoria ukazovatele štruktúrne. Štruktúrny ukazovateľ je podielom
jedného dielčieho ukazovateľa k celkovému ukazovateľu, ktorý je súčtom dielčích
ukazovateľov. Je to bezrozmerné číslo, ktoré udáva, ako sa dielčí (logicky podriadený
ukazovateľ) podieľa na celkovom ukazovateli (logicky nadriadenom). Nadobúda hodnoty
medzi 0 a 1.
Príklady štruktúrnych ukazovateľov: podiel mládeže do 18 rokov na celkovom počtu
obyvateľov SR v r. 2005, podiel priemyslovej výroby v SR v r. 2002 na hrubom domácom
produkte atď.
Rozdelenie ukazovateľov z hľadiska rovnorodosti
Rovnorodý ukazovateľ Extenzitný: jeho hodnoty je možné stanoviť súčtom. Napr. je
možné spočítať tržby v maloobchode za jednotlivé mesiace, počty pracovníkov v jednotlivých
závodoch podniku atď.
Rovnorodý ukazovateľ intenzitný: vzniká ako podiel dvoch rovnorodých ukazovateľov
extenzitných, napr. hektárový výnos určitej plodiny.
Nerovnorodý ukazovateľ: nemá v jednotlivých častiach (priestorových, časových alebo
vecných) rovnakú naturálnu podobu ako v celku. Zhrňovanie súčtom nemá logický zmysel.
Napr. nerovnorodým extenzitným ukazovateľom je ukazovateľ objemu priemyslové
produkcie Sr (automobily, uhlie, nábytok atď.)

Indexy, diferencie a ich typy
2.3.1. Typy porovnávania hodnôt ukazovateľov
Absolútne porovnávanie: pomocou diferencií. Diferencia je rozdiel dvoch hodnôt
ukazovateľa.
Relatívne porovnávanie: pomocou indexov. Index je podiel dvoch hodnôt ukazovateľa.
2.3.2. Druhy porovnávania hodnôt ukazovateľov
Časové porovnávanie: výsledkom sú časové indexy a diferencie (najdôležitejší druh
porovnávania). Napr.: priemerná mesačná mzda pracovníkov v priemysle v % SR v r. 2005 a
2004.
Priestorové porovnávanie: výsledkom sú priestorové indexy a diferencie. Napr.:
priemerná mesačná mzda pracovníkov v priemysle v r. 2005 v ČR a SR.
Vecné porovnávanie: výsledkom sú vecné indexy a diferencie. Napi: priemerná mesačná
mzda pracovníkov v priemysle a v poľnohospodárstve v SR v r. 2005.
Indexy
množstva
úrovne
súhrné
individuálne
súhrné
individuálne
jednoduché
zložené
jednoduché
zložené
Obr.: Schéma druhov indexov
2.3.3. Rozdelenie indexov z hľadiska vecného obsahu
Index množstva: porovnáva hodnoty extenzitného ukazovateľa v dvoch situáciách.
Index úrovne: porovnáva hodnoty intenzitného ukazovateľa v dvoch situáciách.
2.3.4. Rozdelenie indexov z hľadiska rovnorodosti
Individuálny index: porovnáva hodnoty rovnorodého ukazovateľa v dvoch situáciách.
Súhrnný index: hodnoty nerovnorodého ukazovateľa v dvoch situáciách.
2.3.5. Rozdelenie indexov z hľadiska priestorového vymedzenia
Jednoduchý index: porovnáva dve hodnoty rovnorodého ukazovateľa v jednom priestore.
Zložený index: porovnáva dve hodnoty rovnorodého ukazovateľa vo viacerých
priestoroch, v ktorých sa údaje pred vlastným porovnávaním musia zhrnúť.

2.4. Individuálne indexy a diferencie
2.4.1. Jednoduché individuálne indexy a diferencie
Ak q 1 je hodnota extenzitného ukazovateľa v bežnom období a q 0 v základnom období.
q1
Jednoduchý individuálny index množstva: I (q) (diferencia: Δ(q) = q 1 – q 0 ).
q0
Ak p 1 je hodnota intenzitného ukazovateľa v bežnom období a p 0 v základnom období.
p1
Jednoduchý individuálny index úrovne: I (p) (diferencia: Δ(p) = p 1 – p 0 ).
p
Príklad 8.1: Zaujíma nás vývoj ceny, predaného množstva a tržby za predaj masla
v jednej predajni v mesiacoch september a október roku 1999. Údaje sú v tabuľke.
Cena (Sk/kg) Predaj (kg) Tržba (Sk)
september október september október september október
88 94 142 128 12496 12032
Riešenie: p 0 = 88, p 1 =94, I(p) = 94/88 = 1,068, tzn., že cena v októbri vzrástla oproti
september o 6,8%, tj. o Δ(p) = 94 – 88 = 6 Sk za 1 kg.
q 0 = 142, q 1 = 128, I(q) = 128/142 = 0,901, tzn., že predaj v októbri poklesol oproti
septembru o 9,9%, tj. o Δ(q) = 128 – 142 = -14 kg
Q 0 = 12496, Q 1 = 12032, I(Q) = 12032/12496 = 0,963, tzn., že tržba v októbri poklesla
oproti septembru o 3,7%, tj. o Δ(Q) = 12032 – 12496 = -464 Sk.
2.4.2. Bázické a reťazové indexy
Ak existujú k dispozícii hodnoty ukazovateľa (napr. extenzitného) za n obdobie q 1 , q 2 , ...,
q n , potom vývoj ukazovateľa je možné popísať radou za sebou idúcich individuálnych
indexov, a to buď bázických nebo reťazových.
Bázické indexy: jedno obdobie sa zvolí ako základné (najčastejšie prvé, tj, q B = q 1 ) a
q 2 q3
q n
ostatné obdobia sa s ním porovnávajú: I2/
B(q)
,I3/
B(q)
, ,In / B(q)
.
q B q B
q B
Reťazové indexy: vznikajú porovnaním dvoch po sebe nasledujúcich členov rady:
q 2 q3
q n
I2 /1(q)
,I3/
2 (q) , ,In
1/ n (q) .
q1
q 2
q n 1
Vzťah medzi bázickými a reťazovými indexmi:
I (q)
I
k / k
1
(q)
I
k / B
k
1/ B
, k = 2, 3, ..., n
(q)
I 1
k / B(q)
IB
1/ B(q)
IB
2 / B 1(q)
Ik / k (q) , k = 2, 3, ..., n
Príklad 8.2: V tabuľke sú uvedené údaje o spotrebe mäsa (v kg) na jedného obyvateľa
SR v rokoch 1985 až 1990.
rok 1985 1986 1987 1988 1989 1990
spotreba 89,3 91,6 93,5 96,1 97,4 96,5
Charakterizujte vývoj spotreby mäsa pomocou bázických a reťazových indexov.
0

Riešenie:
rok 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Bázické 1 1,026 1,047 1,076 1,091 1,081
indexy
Reťazové x 1,026 1,021 1,028 1,014 0,991
indexy
Interpretácia: Napr. v r. 1987 stúpla spotreba mäsa o 4,7% oproti roku 1985, ale len o
2,1% oproti roku 1986.
2.4.3. Zložené individuálne indexy a diferencie
Máme dva extenzitné ukazovatele q, Q a jeden intenzitný ukazovateľ p = Q/q. Hodnoty
ukazovateľov v základnom období sa označia q 0 , Q 0 , p 0 a v bežnom období q 1 , Q 1 , p 1 .
Najčastejšie sa vykonáva časové porovnanie. Predpokladá sa, že údaje sú z priestorového
alebo vecného hľadiska členené do n sfér. Pri výpočte zložených individuálnych indexov a
diferencií sa vychádza z nasledujúcej tabuľky.
Číslo
sféry
Ext. ukazovateľ q v
období
Ext. ukazovateľ Q v
období
Int. ukazovateľ p v
období
základnom bežnom základnom bežnom základnom bežnom
1 q 0,1 q 1,1 Q 0,1 Q 1,1 p 0,1 p 1,1
2 q 0,2 q 1,2 Q 0,2 Q 1,2 p 0,2 p 1,2
... ... ... ... ... ... ...
n q 0,n q 1,n Q 0,n Q 1,n p 0,n p 1,n
I (
Zložený individuálny index množstva:
Q)
n
i 1
n
i 1
Q
Q
1,i
0,i
Q
Q
1
0
n
q1,i
q
i 1
1
I ( q)
resp.
n
q0
q
Tieto indexy porovnávajú množstvo v bežnom období oproti množstvu v základnom
období, a to cez všetky sféry.
Odpovedajúce diferencie: q q1 q
0,
Q Q1
Q0,
Zložený individuálny index úrovne:
I p
n
i 1
n
i 1
Q
Q
1,i
0,i
n
i 1
n
i 1
q
q
1,i
0,i
n
n
i 1
i 1
p
p
1,i
0,i
q
q
1,i
0,i
n
i 1
n
i 1
q
q
1,i
0,i
V čitateli je celkový výnos zo všetkých sfér predelený množstvom zo všetkých sfér pre
bežné obdobie. V menovateli sú tie isté veličiny, ale pre základné obdobie.
p q
p
1
0
q
1
0
q
q
1
0
i 1
0,i

Odpovedajúce diferencie:
p q
1 1
0 0
p .
q1
q
0
p
q
Príklad 8.3: V tabuľke sú údaje o cenách, predaji a tržbách za čerstvé a stolové maslo
v jednej predajni v septembri a októbri roku 1999.
Druh
Cena (Sk/kg) Predaj (kg) Tržba (Sk)
masla september október september október september október
čerstvé 88 94 142 128 12496 12032
stolové 82 85 125 132 10250 11220
celkom x x 267 260 22746 23252
Pomocou zložených individuálnych indexov množstva a úrovne popíšte vývoj cien,
predaja a tržby čerstvého a stolového masla celkom.
Riešenie: Pre množstvo predaného masla: I(Σq) = 260/267 = 0,974, tzn., že množstvo
predaného masla v októbri pokleslo oproti septembru o 2,6%, tj. o Δ(Σq) = 260 – 267 = -7 kg.
Pre tržbu za predané maslo: I(ΣQ) = 23252/22746 = 1,022, tzn., že tržba v októbri vzrástla
oproti septembru o 2,2%, tj. o Δ(ΣQ) = 23252 – 22746 = 506 Sk.
23252
Pre cenu: I p
260
1, 05, tzn., že priemerná cena masla vzrástla v októbri oproti
22746
267
23252 22746
septembru o 5%, tj. o p 4, 24 Sk.
260 267
2.1 Súhrnné indexy a diferencie
Slúžia k relatívnemu resp. absolútnemu porovnaniu nerovnorodých extenzitných
ukazovateľov. Pri ich výpočte sa vychádza z nasledujúcej tabuľky:
Druh výrobku Množstvo výrobku (q) Cena (p) za jednotku
Zákl. obdobie Bež. obdobie Zákl. obdobie Bež. obdobie
1 q 0,1 q 1,1 p 0,1 p 1,1
2 q 0,2 q 1,2 p 0,2 p 1,2
... ... ... ... ...
n q 0,n q 1,n p 0,n p 1,n
2.5.1. Súhrnné indexy množstva
Paascheho index množstva:
I
(P)
(q)
n
i 1
n
i 1
p
p
1,i
1,i
q
q
1,i
0,i
p q
1
p q
1
1
0
. Vyjadruje relatívnu zmenu
objemu produkcie pri cenovej hladine odpovedajúcej bežnému obdobiu. Odpovedajúca
P
diferencia: q p1q1
p1q
0

Laspeyresov index množstva:
I
(L)
(q)
n
i 1
n
i 1
p
p
0,i
0,i
q
q
1,i
0,i
p
p
0
0
q
q
1
0
. Vyjadruje relatívnu zmenu
objemu produkcie pri cenovej hladine odpovedajúcej základnému obdobiu. Odpovedajúca
L
diferencia: q p0q1
p0q
0
2.5.2. Súhrnné indexy úrovne (ceny)
Paascheho cenový index:
I
(P)
(p)
n
i 1
n
i 1
p
p
1,i
0,i
q
q
1,i
1,i
p q
p
1
0
q
1
1
. Vyjadruje relatívnu zmenu ceny pri
objeme produkcie odpovedajúcej bežnému obdobiu. Odpovedajúca diferencia:
P
p p q p q
Laspeyresov cenový index:
1
1
0
1
I
(L)
(p)
n
i 1
n
i 1
p
p
1,i
0,i
q
q
0,i
0,i
p q
p
1
0
q
0
0
. Vyjadruje relatívnu zmenu ceny
pri objeme produkcie odpovedajúci základnému obdobiu. Odpovedajúca diferencia:
L
p p q p q
1
0
0
0
Príklad 8.4: Máme k dispozícii údaje o veľkoobchodných cenách a produkcii jedného
textilného podniku v rokoch 1990 a 1991.
výrobok Cena (Sk/m) Produkcia (v 1000 m) Tržba (Sk)
1990 1991 1990 1991 1990 1991
zamat 65 70 20 30 1300000 2100000
menčester 32 30 11 14 352000 420000
flanel 120 140 30 28 3600000 3920000
celkom x x 61 72 5252000 6940000
Posúďte pomocou súhrnných indexov množstva, ako sa zmenila tržba podniku v r. 1991
oproti roku 1990.Posúďte pomocou súhrnných cenových indexov, ako sa zmenila cena tovaru
v r. 1991 oproti roku 1990.
Riešenie:
p q
(P)
1 1 70 30 30 14 140 28 6440
ad a) I (q)
1, 086 , tzn., že celková
p q 70 20 30 11 140 30 5930
1
0
produkcia podniku v r. 1991 meraná cenami roku 1991 vzrástla o 8,6%.
p q
(L)
0 1 65 30 32 14 120 28 5758
I (q)
1,096 , tzn., že celková
p q 65 20 32 11 120 30 5252
0
0
produkcia podniku v r. 1991 meraná cenami roku 1990 vzrástla o 9,6%.

p q
(P)
1 1 6440
ad b) I (p)
1, 118 , tzn., že pri produkcii textilu na úrovni roku 1991
p q 5758
ceny vzrástli o 11,8%.
I
(L)
(p)
ceny vzrástla o 12,9%.
p
0
1
p q
1
0
q
0
0
5930
5252
1,129 , tzn., že pri produkcii textilu na úrovni roku 1990

3. Časové rady
K porovnaniu hodnôt ukazovateľov v dvoch obdobiach slúžia metódy indexnej analýzy.
Ak je však potrebné poznať určité zákonitosti vo vývoji daného ukazovateľa, je nutné mať
k dispozícii jeho hodnoty za viacero období vo forme časového rady. Časové rady vznikajú
v prírodných vedách alebo technike (napr. seizmický záznam v geofyzike, údaje o
priemerných ročných teplotách v klimatológii), v biologických vedách (početnosti výskytu
určitého škodca v niekoľkých po sebe nasledujúcich rokoch), v sociológii (vývoj
rozvodovosti), v ekonómii (objem poľnohospodárskej produkcie v niekoľkých po sebe
nasledujúcich rokoch, vývoj výmenného kurzu) atď.
Časovým radom sa rozumie rad hodnôt
y , , y určitého ukazovateľa usporiadaný
t
1 t n
podľa prirodzenej časovej postupnosti t 1 < ... < t n . Pritom je nutné dbať na to, aby vecná náplň
ukazovateľa i jeho priestorové vymedzenie boli zhodné v celom sledovanom časovom období.
Ak sú časové intervaly (t 1 , t 2 ), ..., (t n-1 , t n ) rovnako dlhé (ekvidistantné), zjednodušene sa
zapisuje časový radu ako y 1 , ..., y n .
3.1 Druhy časových radov
a) Časový rad okamihový: príslušný ukazovateľ udáva, koľko javov existuje v danom
časovom okamihu (napr. počet obyvateľstva k určitému dňu).
b) Časový rad intervalový: príslušný ukazovateľ udáva, koľko javov vzniklo či zaniklo
v určitom časovom intervale (napr. počet sobášov počas roka). Ak nie sú jednotlivé časové
intervaly ekvidistantne, je nutné vykonať očistenie časovej rady od dôsledkov kalendárnych
variácii.
Príklad 9.1: Máme k dispozícii údaje o tržbe obchodnej organizácie (v tis. Sk)
v jednotlivých mesiacoch roku 1995: 2400, 2134, 2407, 2445, 2894, 3354, 3515, 3515, 3225,
3063, 2694, 2600. Vypočítajte očistené údaje.
Riešenie: Priemerná dĺžka mesiaca je 365/12 dňa. Očistená hodnota pre január je teda
365
y ( o)
2400 2354,84
1
12 31
, pre február 365
y ( o)
2134 2318,
12 28
18
2
. Pre ostatné
mesiace analogicky dostaneme 2361,71; 2478,96; 2839,54; 3400,58, 3448,86; 3448,86;
3269,79; 3005,36; 2731,42; 2551,08.
3.2 Grafické znázornenie časového radu
a) Okamihový časový rad sa graficky znázorňuje pomocou spojnicového diagramu. Na
vodorovnú os sa vynášajú časové okamihy t 1 , ..., t n , na zvislú os odpovedajúce hodnoty y 1 , ...,
y n . Dvojice bodov (t i , y i ), i = 1, ..., n sa spoja úsečkami.
Príklad 9.2: Časový rad obsahuje údaje o počte zamestnancov určitej akciovej
spoločnosti v rokoch 1989 – 1996 vždy k 31.12.
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996
622 627 631 635 641 641 632 625
Znázornite tento časový rad graficky.

Riešenie:
642
640
638
636
634
pocet
632
630
628
626
624
622
620
1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
rok
b) Intervalový časový rada sa najčastejšie znázorňuje stĺpcovým diagramom. Je to sústava
obdĺžnikov, kde šírka obdĺžníka je rovná dĺžke intervalu a výška odpovedá hodnote
ukazovateľa v danom intervale. K znázorneniu intervalového časového radu je možné použiť i
spojnicový diagram, pričom na vodorovnú os sa vynášajú stredy príslušných intervalov.
Príklad 9.3: Máme k dispozícii údaje o produkcii určitého podniku (v tisícoch výrobkov)
v rokoch 1991-1996.
1991 1992 1993 1994 1995 1996
114 106 107 102 116 137
Znázornite tento časový rad graficky.
Riešenie:
140
135
130
125
produkce
120
115
110
105
100
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
rok
3.3 Popisné charakteristiky časových radov
3.3.1 Priemer okamihového časového radu
Ako prvé sa vypočítajú priemery pre jednotlivé dielčie intervaly (t 1 , t 2 ), (t 2 , t 3 ), ..., (t n-1 ,
y1
y
2
y
2
y3
y
n 1
y
n
t n ): , , , . Ak sú všetky tieto intervaly rovnako dlhé, vypočíta sa
2 2 2
jednoduchý chronologický priemer okamihového časového radu:
n
n 1
y 1 yi
1 yi
1 y1
yn
yi
n 1 2 n 1 2 2
.
i
2
i
2
Ak nemajú intervaly rovnakú dĺžku, vypočíta sa d i = t i – t i-1 , i = 2, ..., n a použije sa
vážený chronologický priemer okamihového časového radu:
n
1 yi
1
yi
y d
n
i
.
i 2 2
d
i
2
i

Príklad 9.4: Časový rad vyjadruje počet obyvateľstva ČSSR (v tisícoch) v rokoch 1965
až 1974 vždy ku 31.12.
Rok 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974
počet 14194 14271 14333 14387 14443 14345 14419 14576 14631 14738
Charakterizujte túto časovú radu chronologickým priemerom.
1 14194
14738
Riešenie: y 14271 14631 14430 .
9 2
2
3.3.2. Priemer intervalovej časovej rady
n
1
y y i .
n
i 1
Príklad 9.5: Vypočítajte priemernú hodnotu ročnej časovej rady HDP ČR (v miliardách
Kč) v rokoch 1994 až 2000.
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
1303, 1381, 1447, 1432, 1401, 1390, 1433,
6 1 7 8 3 6 8
1
Riešenie: y 1303,6 1433,8 1398, 7 .
7
3.3.2 Dynamické charakteristiky časových radov
3.3.2.1 Absolútne prírastky
1. diferencia: y y ,i 2, , n
yi i i 1
2
yi
yi
yi
1 yi
2yi
1 yi
2
2. diferencia: ,i 3, , n
atď.
(Diferencovanie má veľký význam pri odhade trendu časovej rady regresnými
metódami.)
Priemerný absolútny prírastok:
i
n
2
n
y
1
i
3.3.2.2 Relatívny prírastok
yi
i ,i 2, ,n
yi
1
(Relatívny prírastok po vynásobení 100 udáva, o koľko percent sa zmenila hodnota v čase
t i oproti času t i-1 .)
yn
n
y
1
1

3.3.2.3 Koeficient rastu (tempo rastu)
yi
ki ,i 2, ,n
yi
1
(Koeficient rastu po vynásobení 100 udáva, na koľko percent hodnoty v čase t i-1 vzrástla
či poklesla hodnota v čase t i .)
Priemerný koeficient rastu
k n 1 k 2 k 3
k
n
n
1
y
y
Priemerný relatívny prírastok
k 1
n
1
Príklad 9.6: Pre časovú radu HDP ČR v rokoch 1994 až 2000 (v miliardách Kč)
vypočítajte základné charakteristiky dynamiky a graficky znázornite 1. diferencie a
koeficienty rastu.
Riešenie:
rok HDP Δy i k i δ i
1994 1303,6 x x x
1995 1381,1 77,5 1,059 0,059
1996 1447,7 66,6 1,048 0,048
1997 1432,8 -14,7 0,990 -0,010
1998 1401,3 -31,5 0,978 -0,022
1999 1390,6 -10,7 0,992 -0,008
2000 1433,8 43,2 1,031 0,031
Priemerný absolútny prírastok:
1433,8 1303,6
6
21, 7, tzn., že v období 1994 – 2000
rástol HDP priemerne o 21,7 miliárd Kč ročne.
Priemerný koeficient rastu: k
1433,8
6
1303,6
1, 016 , tzn., že v období 1994 – 2000 rástol
HDP priemerne o 1,6% ročne.
Graf 1. diferencií:
100
1.07
Graf koeficientov rastu:
80
60
1.06
1.05
1.04
1. diference
40
20
koeficienty růstu
1.03
1.02
1.01
0
1.00
0.99
-20
0.98
-40
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
0.97
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
rok
rok
3.4 Rozbor jednotlivých zložiek časového radu
Časové rady vznikajú ako dôsledok pôsobenia podstatných aj nepodstatných činiteľov na
skúmaný sociálno ekonomický jav. Tieto činitele môžeme rozdeliť na:
• trendové - vývojové, ktoré pôsobia neustále a určujú hlavný smer vývoja, t.j. trend v
ČR (Tt )

• periodické, ktoré spôsobujú pravidelné kolísanie hodnôt ČR okolo trendu, môžeme ich
rozdeliť na
cyklické (C t )- v dlhodobých ČR (hospodárske cykly)
sezónne (S t )- krátkodobých ČR (sezónne kolísanie cien, sezónny dopyt…..),
sezónou obvykle je rok
• náhodné činitele (E t ) - pôsobia náhodne, nepravidelne. Tieto činitele pôsobia na
vývoj každého skúmaného ukazovateľa v štatistike
Na základe tohto rozčlenenia môžme dekomponovať - rozložiť ČR na tri zložky:
• trendovú (Tt )
• periodickú (C t ), resp. (S t )
• náhodnú (E t )
Medzi zložkami môže byť :
• aditívny vzťah :
• multiplikatívny vzťah:
Yt = T t + St + E t , alebo
Yt = T t . St . Et
3.4.1 Analýza trendu v časovom rade
Pri dekompozičnom prístupe je analýza trendu založená:
• na analytickom vyrovnaní vývoja hodnôt skúmaného ukazovateľa vhodnou trendovou
funkciou
• ide o analógiu jednoduchej regresnej analýzy, pričom odhadované hodnoty sú
funkciou časovej premennej t, y t , = f (t)
• trendová funkcia je potom použitá nielen ku hodnoteniu kvality prognózy “ex-post”,
ale aj na prognózy “ex-ante”
Predpokladá sa, že pre časovú radu y 1 , ..., y n platí model y t = f(t) + ε t , t = 1, ..., n, kde f(t)
je neznáma trendová funkcia (trend), ktorá sa považuje za systematickú (deterministickú)
zložku časovej rady (popisuje hlavnú tendenciu dlhodobého vývoja časovej rady) a ε t je
náhodná zložka časovej rady zahŕňajúca odchýlky od trendu. Náhodná zložka spĺňa
predpoklady E(ε t ) = 0, D(ε t ) = σ 2 , C(ε t , ε t+h ) = 0, ε t ~ N(0, σ 2 ) (hovorí sa, že ε t je biely šum).
Regresná analýza trendu má objasniť vzťah medzi závisle premennou veličinou y t a
časom t. Predpokladá sa, že trend f(t) závisí (lineárne či nelineárne) na neznámych
parametroch β 0 , β 1 , ..., β k a známych funkciách φ 0 (t), φ 1 (t), ...., φ k (t), ktoré už neobsahujú
žiadne neznáme parametre, tj. f(t) = g(β 0 , β 1 , ..., β k ; φ 0 (t), φ 1 (t), ...., φ k (t)). Odhady b 0 , b 1 , ..., b k
neznámych parametrov β 0 , β 1 , ..., β k je možné získať napr. metódou najmenších štvorcov a
potom vyjadriť odhad f
(t)
funkcií φ 0 (t), φ 1 (t), ...., φ k (t), tj. f
(t)
neznámeho trendu v bode t pomocou odhadov b 0 , b 1 , ..., b k a
= g(b 0 , b 1 , ..., b k ; φ 0 (t), φ 1 (t), ...., φ k (t)).
3.5.3. Najdôležitejšie typy trendových funkcií
Voľba typu trendovej funkcie sa vykonáva
- na základe teoretických znalostí a skúseností zo skúmanou veličinou y t
- pomocou grafu časovej rady
- pomocou informatívnych testov založených na jednoduchých charakteristikách časovej
rady
a) Lineárny trend

Analytické vyjadrenie: f (t)
0 1
t
Informatívny test: 1. diferencie sú približne konštantné
b) Kvadratický trend
Analytické vyjadrenie:
f (t)
2
0 1t
2t
Informatívny test: 1. diferencie majú približne lineárny trend, 2. diferencie sú približne
konštantné.
1 y
t
1 y
c) Exponenciálny trend
Analytické vyjadrenie:
0
t
1
f (t) .
Model je možné linearizovať logaritmickou transformáciou: ln f (t) ln
0
tln
1
Informatívny test: koeficienty rastu sú približne konštantné.
d) Modifikovaný exponenciálny trend
t
Analytické vyjadrenie: f (t) 0 1 .
Informatívny test: rada podielov susedných 1. diferencií je približne konštantná.
e) Logistický trend
t
2
Analytické vyjadrenie: f (t)
t
1 0 1
Informatívny test: priebeh 1. diferencií je podobný Gaussovej krivke a podiely
1 y t 1
sú približne konštantné.
1 y
1
t
f) Gompertzova krivka
Analytické vyjadrenie:
f (t)
Informatívny test: podiely
ln y
t
ln y
t
2
0
1
t
1
ln y
t
ln y
t
1
sú približne konštantné.
Modely (a), (b), (c) sú lineárne alebo je ich možné linearizovať a odhady parametrov sa
získajú metódou najmenších štvorcov. Modely (d), (e), (f) sú nelineárne a odhady parametrov
sa získavajú špeciálnymi numerickými metódami.
3.4.1.1 Štatistické posúdenie vhodnosti trendovej funkcie
Posúdenie vhodnosti trendovej funkcie sa vykonáva pomocou:
• Indexu korelácie,
• Indexu determinácie (tj. podiel vysvetlenej a celkovej variability závisle premennej
veličiny) by mal byť blízky 1,
ktoré vyjadrujú kvalitu prognózy “ex-post”
• Prioritné je však vecné posúdenie vhodnosti trendovej funkcie, pretože je potrebné
zvažovať ako sa “asi” môže skúmaný ukazovateľ v budúcich obdobiach vyvíjať
3.4.2 Analýza sezónnej zložky v časovom rade
Dekompozičný prístup predpokladá:
• multiplikatívny model ČR: Yt = Tt . St . Et

• analýzu trendu v ČR (ak je prítomný) vhodnou trendovou funkciou: Tt = yt, = f(t)
• analýzu sezónnej zložky potom pomocou sezónnych indexov:
y
y
t
S
t ,
t
,
kde y t , sú hodnoty získané vyrovnaním časového radu vhodnou trendovou funkciou
pre t = 1,2…T
Analýza sezónnej zložky se často vykonáva až po očistení dát od trendovej zložky. V
podstate pri nej ide o určenie časového úseku, po ktorého uplynutí majú dáta zas rovnakú
hodnotu, príp. ovplyvnenú trendovou a náhodnou zložkou.
Pre štúdium sezónnej zložky se používá niekoľko typov modelov. V ekonomických
modeloch býva spravidla zrejmá veľkosť periódy (štvrťrok, mesiac), v iných prípadech je
nutné i túto dĺžku odhadovať (v hydrogeologii napr. výšku hladiny spodných vôd). Používa sa
tu i harmonicka analýza, ktorá modeluje priebeh dát pomocou niekoľkých členov
Fourierového radu. Parametre se určujú použitím numerických metód.
Príklad 9.7: Časový rad 112, 149, 238, 354, 580, 867 udáva zisk (v tisícoch dolárov) istej
spoločnosti v prvých šiestich rokoch jej existencie.
a) Graficky znázornite priebeh tohto časového radu.
b) Vypočítajte koeficienty rastu
c) Z grafu časovej rady a vyjadrenia koeficientov rastu je možné usúdiť, že časový rad má
t
1
exponenciálny trend f (t) 0 . Odhadnite jeho parametre.
d) Nájdite odhad zisku spoločnosti v 7. a 8. roku jej existencie.
e) Zistite index determinácie a zostrojte graf f (t),f (t)
, t = 1, ..., 6.
Riešenie:
ad a)
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0 1 2 3 4 5 6 7
ad b) Koeficienty rastu: 149/112 = 1,33, 238/149 = 1,597, 354/238 = 1,487, 580/354 =
1,628, 867/580 = 1,495. Vidíme, že koeficienty rastu sú približne konštantné.
t
ad c) Model f (t) 0 1 linearizujeme a metódou najmenších štvorcov získame odhady
ln b 0 = 4, 227983, ln b 1 = 0,420199. Odlogaritmováním dostaneme b 0 = 68,57875, b 1 =
1,522265.
7
8
ad d) y 68,57875 1,522265 1299, y 68,57875 1,522265 1977
7
8

ad e) ID 2 = 0,996
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
Ako index determinácie, tak aj graf
f (t),f (t)
správne.
svedčia o tom, že model bol zvolený
3.4.3 Odhad trendu časového radu pomocou kĺzavých priemerov
Predpokladá sa, že časový rad sa riadi aditívnym modelom popísaným v 3.5.1. Odhad
trendu v bode t získame určitým spriemerovaním pôvodných pozorovaní z istého okolia
uvažovaného časového okamihu t. Môžeme si predstaviť, že pozdĺž danej časovej rady kĺže
okienko, v ktorého rámci sa priemeruje. Nech toto okienko zahŕňa d členov naľavo od bodu t
a d členov napravo od bodu t. Hovoríme potom o vyhladzovacom okienku šírky h = 2d + 1.
Prvých a posledných d hodnôt trendu neodhadujeme, pretože pre
t 1, ,d n d 1, ,n
nie je vyhladzovacie okienko symetrické. Odhad trendu v
strede vyhladzovacieho okienka je daný vzťahom:
2d
1
1
fˆ (t) y t d y t d 1 y t d
y t d k , t = d+1, ..., n-d.
2d 1
2d 1 k 0
Veľmi dôležitou otázkou je stanovenie šírky vyhladzovacieho okienka. Ak je okienko
príliš široké, bude sa odhad trendu blížiť priamke (hovorí sa, že je prehladený) a zároveň sa
stratí veľký počet členov na začiatku a na konci časovej rady. Ak je okienko úzke, bude sa
odhad trendu blížiť pôvodným hodnotám (hovorí sa, že odhad je podhladený). Najčastejšie sa
volí šírka okienka h = 3, 5, 7.
Príklad 8.: Časový rad 215, 219, 222, 235, 202, 207, 187, 204, 174, 172, 201, 272 udáva
ročné objemy vývozu piva (v miliónoch litrov) z Československa v rokoch 1980 až 1991.
Odhadnite trend tejto časovej rady pomocou kĺzavých priemerov s vyhladzovacím
okienkom šírky 3 a potom 5.
Graficky znázornite priebeh časovej rady s odhadnutým trendom.
Riešenie:
rok vývoz kp3 kp5
1980 215 x x
1981 219 218,667 x
1982 222 225,333 218,6
1983 235 219,667 217
1984 202 214,667 210,6
1985 207 198,667 207
1986 187 199,333 194,8
1987 204 188,333 188,8
1988 174 183,333 187,6
1989 172 182,333 204,6

1990 201 215 x
1991 272 x x
Grafické znázornenie časového radu s odhadnutým trendom
h = 3 h = 5
280
280
260
260
240
240
220
220
200
200
180
180
160
1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
rok
160
1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
rok