6 Dynamika Soustavy Hmotných Bodů-cvičení

16
6 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ
Pohyblivost mechanické soustavy charakterizujeme počtem stupňů volnosti. Je to
číslo, které udává, kolika nezávislými parametry je určena poloha jednotlivých členů soustavy
(v daném případě tedy hmotných bodů). Vazby mezi jednotlivými členy soustavy přitom
omezují pohyblivost soustavy. Vzhledem k tomu, že poloha bodu je v prostoru určena 3
souřadnicemi, pak v prostoru pro počet stupňů n volnosti soustavy N vázaných bodů s m
vazbami platí vztah
Podobně pro rovinou soustavu bodových těles platí
n = 3N − m
(6.1)
n = 2N − m
(6.2)
V případě pohybu bodových těles po přímce je počet stupňů volnosti
n = N − m
(6.3)
Např. dvouhmotová soustava na obr. 6.1 má dva stupně volnosti, neboť její poloha je určena
dvěma souřadnicemi s 1 , s 2 (styk těles pružinami není vazba).
Obr. 6. 1
Síly působící v rámci sledované soustavy rozdělujeme na :
Síly vnější............................ N
1, N
2,G 1,G2 , S1,
T
1
,T2
Síly vnitřní............................S, -S
Síly akční............................... G
1,G 2,S 1,S,- S
Síly reakční........................... N
1, N
2,T 1,T
2
Síly pracovní.......................... G
1,G 2,S 1,S,- S,T
1,T
2
Síly nepracovní …………...... N
1, N
2
.
16

17
O tom, zda nějaká síla je silou vnější nebo vnitřní rozhodujeme až při formulaci problému.
Např. pokud nás zajímá pohyb jen jednoho z těles (např. tělesa 2), je pro něj síla –S již silou
vnější.
Pohybové rovnice pro soustavu vázaných hmotných bodů metodou uvolňování
Pohybové rovnice soustavy hmotných bodů metodou uvolňování získáme tak, že jednotlivé
body uvolníme ze soustavy. K rovnicím pohybovým pak připojíme rovnice další
(kinematické, statické apod.) tak, aby souhlasil počet neznámých a počet rovnic.
Příklad 6. 1 Sestavte pohybové rovnice dvouhmotové soustavy podle obr. 6.2 pohybující se
pod vlivem tíhových sil v hladkých drážkách z počáteční vyčárkované polohy.
x
A
s 2
O
s 1
N 1
y
Obr. 6. 2
Řešení: Zavedeme polohové souřadnice obou bodů s 1 a s 2 a úhel φ charakterizující sklon
spojovací tyče . V obecné poloze pro 1. hmotný bod platí
G1 + N1 + S = m1a
1
Podobně pro 2. hmotný bod
G
2
+ N2 − S = m2a
2
Po rozepsání do os x, y dostáváme systém rovnic
x: − S cosϕ
+ N1 = 0
(a)
y: m1g S sinϕ
m1 s1
− = ɺɺ (b)
x: S cos m2s2
ϕ = ɺɺ (c)
17

18
y: − m2g + N2 − S sinϕ = 0
(d)
Soustava má 1 0 volnosti, proměnné veličiny s
1,s 2
,ϕ jsou svázány vztahy
s + ( l − s ) = l
(e)
2 2 2
1 2
l sinϕ = s 1
(f)
Máme tedy 6 rovnic pro 6 neznámých s 1 , s 2 , φ, S, N 1, N 2 .
Hybnost a moment hybnosti soustavy hmotných bodů
Tak jak byly definovány zákony zachování pro bodové těleso, platí i pro soustavu bodových
těles. Výsledná hybnost H resp. výsledný moment hybnosti B O soustavy hmotných bodů
k bodu O je rovna vektorovému součtu hybností h i resp. momentů hybností b Oi jednotlivých
bodů soustavy
n
H = ∑h , B = ∑b . (6.4)
i O Oi
i=
1
i= 1
n
dH = F
dt
. (6.5)
d
dt
B
O = M
O , (6.6)
kde MO
je roven výslednému momentu všech působících vnějších sil. Pro soustavu
hmotných bodů tedy platí podobně jako pro jeden hmotný bod impulsové věty:
1. impulsová věta-Časová změna celkové hybnosti soustavy hmotných bodů je rovna
výslednici vnějších sil. Vnitřní síly nemají vliv na celkovou hybnost soustavy.
2. impulsová věta- Časová změna celkového momentu hybnosti soustavy hmotných bodů
k libovolnému pevnému bodu je rovna výslednému vnějšímu momentu k témuž bodu.
Obecně lze říci: Vět o změně hybnosti a momentu hybnosti použijeme tehdy, když půjde o
určení závislosti rychlostí na konci nějakého děje, při kterém jsou působící síly konstantní
nebo jejich závislost na čase je známá. Věty o hybnosti jsou vhodné pro vyšetřování dějů kdy
odehrávající se pohyby jsou přímočaré (např. přímé srážky těles), věty o momentu hybnosti
hlavně při existenci rotačních vazeb mezi tělesy těles (např. srážka 2 těles uchycených na
laně).
Pro pohyb těžiště soustavy hmotných bodů platí
ma
T
dH
= = F
(6.7)
dt
Slovně tuto rovnici lze vyjádřit větou o pohybu středu soustavy hmotných bodů - střed
hmotnosti soustavy bodových těles se pohybuje jako hmotné bodové těleso, ve kterém je
soustředěna celá hmotnost soustavy a na nějž působí všechny vnější síly.
Při interakci bodových těles často v některém směru nepůsobí žádné vnější síly–
soustava je v daném směru izolovaná. Např. při srážce 2 těles pohybujících se v horizontální
rovině je soustava při zanedbání tření izolovaná v libovolném horizontálním směru. Pak
18

19
během interakce je výsledný impuls vnějších sil roven nule a pro soustavu platí v daném
směru zákon zachování hybnosti tj. H 2 =H 1 . Hmotný střed soustavy pak setrvává v klidu nebo
se pohybuje v daném směru rovnoměrně přímočaře (věta o pohybu hmotného středu).
Při srážkách těles se však často setkáváme s případy, že během srážky na sebe tělesa působí
neznámými vnitřními silami a nastávají ztráty energie které neznáme (nepružné srážky). Pak
pro určení rychlosti bodů po srážce nemůžeme použít zákon zachování energie. Pokud je však
během srážky výsledný impuls popř. výsledný moment impulsu vnějších sil roven nule,
můžeme použít zákon zachování hybnosti H 2 =H 1 popř. zákon zachování momentu hybnosti
B = B . Např. chceme určit hodnotu rychlosti v 1 střely z výchylky zavěšené olověné desky
O2 O1
po vstřelu náboje (viz obr. 6.3). Vzhledem k tomu, že deformační síly během vstřelu vykonají
neznámou práci, tak pro děj vstřelu nemůžeme použít zákon zachování mechanické energie.
Za předpokladu, že střelu i desku budeme považovat za bodová tělesa (tj. nehmotný závěs
bude mít velkou délku l), pak pro případ vstřelu náboje horizontálním směrem můžeme na
soustavu střela-deska použít zákon zachování momentu hybnosti. Pak pro okamžik
bezprostředně po vstřelu platí pro hodnotu rychlost v koule se zabořenou střelou vztah
m1v
1
m1v 1
= ( m1 + m2)
v ⇒ v =
m + m
1 2
Následnou aplikací zákona zachování mechanické energie pak již můžeme z výchylky β
desky snadno zjistit hodnotu rychlosti střely.
V 1
Obr. 6. 3
Příklad 6. 5 Dva železniční vagóny o hmotách m 1 , m 2 se pohybují bez tření po přímé
horizontální trati. Na prvním vagonu je uložen náklad n 1 , součinitel smykového tření mezi
nákladem a plošinou vagonu je f. Určete a) jaká bude rychlost po nárazu, jestliže v
1
> v a
2
předpokládáme nepružnou srážku. (obr.6.4).
19

20
Obr. 6. 4a
Obr. 6.4b
Řešení: Po nepružném nárazu se budou spojené vagóny pohybovat rychlostí v
Síly vzniklé při úderu vagónu o vagón jsou silami vnitřními. Ve směru pohybu je proto
výslednice vnějších sil rovna nule. Tedy součet hybností po nárazu je roven hybnosti před
nárazem:
m v + m v = m + m v , kde v je společná rychlost po nárazu.
( )
1 1 2 2 1 2
m1v1
+ m2v2
v =
m1
+ m2
Poznámka1: Pro řešení úlohy nemůžeme použít zákona zachování mechanické energie ,
protože neznáme energii ztracenou při deformaci.
Poznámka 2: V případě, že by na prvém vagónu byl volně uložen náklad n 1 , pak pro okamžik
těsně po srážce (impuls třecích sil je vzhledem ke krátkosti děje zanedbatelný) platil vztah
( m
' 1 + n1 ) v1 +
( m2 ) v2
v =
m + m
1 2
' '
Pro rychlost obou vagónů v po ukončení smýkání by pak platilo
( m
' ' 1 + n1 ) v1 +
m2v2
v =
m1 + m2 +
n1
Poznámka 3: Pokud bychom znali součinitel smykového tření f, pak bychom podle zákona o
zachování mechanické energie mohli určit přemístění zavazadla ∆ x po povrchu prvého
vagónu
1 '' 2 1 2 1
' 2
( m1 + m2 + n1 ) v + n1g f ∆x = n1v1 + ( m1 + m2
) v
+ ⇒
2 2 2
'
( ) ( )
2 2
n1v1 + m1 + m2 v − m1 + n1 +
m2
v
⇒ ∆x
=
2n1g f
Z velikosti impulsu třecí síly bychom mohli určit dobu t p přemísťování nákladu n 1 :
( v − v )
gf
''
'' 1
1 p
=
1
( −
1)
⇒
p
=
n gft n v v t
'' 2
20

21
Příklad 6. 2 Přes kladku je přehozeno lano, po němž začnou z klidu šplhat dvě stejně těžké
opice. První má schopnost šplhat vůči lanu relativní rychlostí c 1 , druhá relativní rychlostí c 2 .
Která z nich bude nahoře dříve a jaká bude rychlost v l pohybu lana, zanedbáme-li pasivní
opory, hmotnost kladky a lana.
y
Obr. 6. 3
x
Řešení: Protože moment vnějších
(v daném případě gravitačních) sil
vzhledem k ose otáčení kladky je nulový, je moment hybnosti soustavy k ose kladky stálý
(vnitřní síly nemají vliv na pohyb soustavy jako celku), vzhledem k počáteční podmínce klidu
na začátku šplhu nulový. Pro uplatnění zákonů zachování musíme používat absolutní
rychlosti. Celková výsledná hodnota momentu hybnosti vzhledem k počátku zvolené
souřadné soustavy tedy musí být během pohybu rovna nule tj. platí:
− mv r + mv r = 0 ⇒ v = v ,
z:
1a 2a 1a 2a
kde v1 a
v
1,v2a
v2
= = značí absolutní rychlosti. Obě opice jsou tedy v cíly současně. Rychlost
lana určíme z kinematických vztahů
v1a = v1r + v
1u
a v2a = v2r + v
2u
Z hlediska velikosti platí v 1r =c 1, v 2r =c 2 a v 1u =v 2u =v l . Aby byla splněna podmínka neměnnosti
absolutních rychlostí, musí rychlejší opice vyvolat pohyb lana na své straně vzhledem k zemi
tj. vzhledem ke směru vzhůru. Musí tedy platit:
c1 + c2
y: v 1a =c 1 -v l =c 2 +v l + v 2a ⇒ vl
=
2
Příklad 5.16 Dělo o hmotnosti m
2
= 400kg stojí na vodorovné rovině. Střela o hmotnosti
-1
m
1
= 2kg opouští hlaveň děla rychlostí v
1
= 500 m.s . Jakou zpětnou rychlostí se bude
pohybovat dělo po výstřelu
x
Řešení:
21

22
Za předpokladu, že dělo není uchyceno k základu, můžeme dělo a střelu považovat za
soustavu dvou bodových těles izolovaných v horizontální směru od okolí tj. impuls vnějších
sil v horizontální směru je během výstřelu nulový. Celková hybnost soustavy obou těles bude
tedy před i po výstřelu stejná. Protože celková hybnost soustavy před výstřelem byla nulová,
pro hybnost po výstřelu tedy platí:
H = m ⋅ v + m ⋅ v = 0 ,
1 1 2 2
m ⋅v
6⋅500
x : m v m v v ,
1 1
-1
1
⋅
1
−
2
⋅
2
= 0 ⇒
2
= = = 7 5 m.s
m2
400
Poznámka: Z hlediska používání kanónů je důležitá tzv. dynamická reakce působící na rám
kanónu od základu při zabudování hlavně děla do základu. Hodnotu této dynamické reakce
lze značně snížit použitím brzdového mechanismu hlavně, který způsobí, že časový úsek
přenosu síly děla na rám na základ je značně delší. Pak reakce od rámu nenabývá vysoké
hodnoty a zákon zachování hybnosti lze s jistou nepřesností opět použít. V případě pevného
spojení děla se základem je reakce od základu z hlediska soustavy dělo-střela silou vnější tj.
nelze použít zákon zachování hybnosti. Úsťová rychlost střely však bude v tomto případě o
něco vyšší - nebudou ztráty energie výstřelu na pohyb děla a také úsťová rychlost střely
nebude snížena o záporně orientovanou hodnotu unášivé rychlosti.
Pro celkovou kinetickou energii soustavy hmotných bodů platí vztah
1 2 1 2
Ek = m vT + ∑ m
j
v
jT
(6.19a)
2 2
Slovním vyjádřením této rovnice je Koenigova věta- Kinetická energie soustavy hmotných
bodů je dána součtem kinetické energie hmotnosti soustředěné v jejím hmotném středu a
kinetické energie při pohybu vzhledem k hmotnému středu. Věta o změně mechanické energie
nám umožňuje nalézt souvislosti mezi rychlostmi bodů, jejich polohami a působícími
pracovními silami.
DOM. CV.
22