《近代量子力学及疑难问题》 专题讲座 - 中国科学技术大学

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《近代量子力学及疑难问题》 专题讲座 - 中国科学技术大学

《 近 代 量 子 力 学 及 疑 难 问 题 》

专 题 讲 座

张 永 德

中 国 科 学 技 术 大 学 近 代 物 理 系

1




近 廿 余 年 来 , 量 子 理 论 不 仅 深 入 应 用 于 物 理 学 许 多

分 支 、 而 且 迅 速 广 泛 地 应 用 到 了 化 学 、 生 物 学 、 材 料 科

学 、 信 息 科 学 等 重 要 领 域 。 这 些 应 用 极 大 地 促 进 了 这 些

学 科 的 发 展 , 改 变 了 它 们 的 面 貌 , 形 成 众 多 的 科 学 研 究

热 点 ; 与 此 相 同 步 , 量 子 理 论 本 身 也 得 到 了 极 大 的 丰 富

和 发 展 。

为 了 活 跃 学 生 物 理 思 想 、 提 高 学 习 近 代 量 子 理 论 的

兴 趣 , 本 着 总 结 、 深 入 、 提 高 、 面 向 未 来 的 精 神 , 结 合

个 人 科 研 教 学 心 得 , 以 系 列 专 题 的 形 式 介 绍 量 子 力 学 中

的 一 些 疑 难 争 议 问 题 和 著 名 的 新 问 题 。 阐 述 方 式 是 , 起


较 低 , 只 需 要 普 通 的 量 子 力 学 ; 终 点 则 联 系 近 代 有 关 文

献 和 个 人 体 会 , 分 析 基 础 中 疑 难 争 议 问 题 , 讲 述 近 代 文

献 中 部 分 热 点 问 题 , 或 是 open 问 题 。 讲 解 重 点 在 于 阐 述

和 分 析 物 理 概 念 , 明 确 近 代 量 子 理 论 当 前 的 认 知 边 界 。

2


[ 第 三 讲 ]

无 限 深 方 阱 中 粒 子 动 量

波 函 数 的 争 论

3


前 言

为 了 活 跃 学 生 的 物 理 思 想 、 提 高 学 习 近 代 量 子

理 论 的 兴 趣 , 本 着 总 结 、 深 入 、 提 高 、 面 向 未 来 的

精 神 , 结 合 个 人 科 研 教 学 的 心 得 体 会 , 以 提 纲 形 式

阐 述 量 子 力 学 基 础 中 的 疑 点 、 难 点 和 未 解 决 的 问 题 。

阐 述 重 点 在 于 分 析 物 理 概 念 , 以 及 明 确 近 代 量 子 理

论 当 前 认 知 的 边 界 。

应 当 指 出 , 在 量 子 理 论 发 展 史 中 还 有 许 多 名 著

一 时 的 量 子 佯 谬 , 曾 经 引 起 过 热 烈 的 争 论 , 也 可 算

是 一 些 疑 难 热 点 问 题 。 这 些 著 名 的 佯 谬 是 : 单 光 子

干 涉 实 验 、 延 迟 选 择 实 验 、 德 布 罗 意 胶 片 问 题 、 负

能 问 题 、 克 来 因 佯 谬 、 傀 态 、 算 符 厄 密 性 问 题 、 薛

定 格 猫 态 、EPR、

悖 论 等 等 。 但 是 , 除 了 后 面 两 个 问

题 依 然 保 持 着 旺 盛 生 命 力 之 外 , 多 数 由 于 已 经 了 解

清 楚 , 加 上 时 过 境 迁 , 失 去 了 往 昔 的 神 秘 感 和 吸 引

力 。 所 以 这 里 也 就 相 应 地 作 了 省 略 。

4




一 , ,Pauli

和 Landau 的 矛 盾 ——“ 量 子 力 学 的

数 学 是 错 的 ”!

二 , 无 限 深 方 阱 模 型 及 基 态 动 量 波 函 数

1) 无 限 深 方 阱 模 型

2) ) 两 种 基 态 动 量 波 函 数 表 达 式

三 , 矛 盾 分 析 与 结 论

四 , 设 想 实 验 的 佐 证

五 , 问 题 的 根 源

[ 附 录 ]

5


一 , Pauli 和 Landau 的 矛 盾 ——

“ 量 子 力 学 的 数 学 是 错 的 ” !

最 简 单 的 势 阱 束 缚 态 模 型 , 一 种 近 似 数 学 模 写 :

势 能 不 可 能 真 为 无 限 大 , 也 不 会 严 格 的 阶 跃 。

此 模 型 的 动 量 波 函 数 先 由 Pauli, 后 由 Landau 等 人 给 出 了

不 同 的 结 果 。 此 后 , 这 个 模 型 动 量 波 函 数 及 其 衍 生 问 题 先 在 国

外 少 数 学 者 中 有 过 讨 论 , 接 着 被 引 进 国 内 。 近 数 年 有 过 不 大 不

小 的 争 论 , 并 还 导 致 严 重 误 解 :

“ 中 国 数 学 家 挑 战 物 理 学

量 子 力 学 逻 辑 自 相 矛 盾 ”

——“ 文 汇 报 ”1997

年 12 月 10 日 , 头 版 重 要 通 讯 报 导 。

以 及 不 少 文 章 、 著 作 对 量 子 力 学 的 否 定 或 曲 解 。

6


二 , 无 限 深 方 阱 模 型 及 基 态 动 量 波 函 数

1) ) 无 限 深 方 阱 模 型

相 应 的 一 维 Schrödinger

方 程 ,

( )

V x

⎪⎧ 0, x < a

= ⎨

⎪⎩ +∞ , x ≥ a

2 2

⎧ h d − = <

⎪ ψ ( x ) Eψ

( x),

x a

2

⎨ 2 m dx


⎩ψ

( x ) = 0,

x ≥ a

Schrödinger

方 程 应 当 定 义 在 整 个 x 轴 上 。 分 为 三 个 区 域 :

第 I 、 III 区 V(x)=+

)=+∞。 边 界 条 件 ψ(x)=0 0 (|x|≥a) ;

求 解 坐 标 波 函 数 只 需 对 第 II 区 进 行 。

有 时 这 种 边 界 条 件 被 简 单 地 写 为 ψ(x)=0 0 (|x|=a)

|=a)。 。 这 时

对 阱 外 情 况 未 作 规 定 , 提 法 含 混 。 矛 盾 即 源 生 于 此 处 :

坐 标 波 函 数 边 条 件 这 两 种 不 同 提 法 , 不 影 响 求

解 阱 内 坐 标 波 函 数 , 但 却 影 响 阱 内 粒 子 动 量 波 函 数 !

8


阱 中 粒 子 能 级 和 波 函 数 为

E

ψ

n

n

=

( x )

2 2 2

n π h

,

2

8 ma

⎧ 1


= a




( n = 1,2 ,3 L )


sin



0 ,

n π

2 a

( x + a )

将 正 弦 波 函 数 ψ n (x) 用 复 指 数 表 示 , 并 近 似 配 以 exp(-iE

n t/h)

ψ

n

( x t)



= ⎨2i




⎢e

⎢⎣

仅 就 阱 内 说 , 阱 中 粒 子 波 函 数 是 两 个 反 向 传 播 的 de Broglie 行

波 叠 加 而 成 的 驻 波 , 类 似 于 两 端 固 定 的 一 段 弦 振 动 。

但 这 种 说 法 虽 然 形 象 却 是 近 似 的 ! 因 为 这 两 个 行 波 仅 仅

存 在 于 有 限 区 间 [-a, a, a] a 内 , 所 以 并 不 严 格 单 色 。

有 限 长 度 光 波 波 列 不 会 是 严 格 单 色 波 *。



, x


x

( x+

a ) i nπ

( x+

a )

i ⎛ nπ

⎞ ⎛

1 ⎜ −Ent

⎟ ⎜

h⎝

2a

⎠ h⎝

2a

a

0,

− e


<

+ E

n

a


t ⎟


a


⎥,

⎥⎦

x

x

<


a

a

* 也 见 Fermi 于 1954 年 所 写 的 《 量 子 力 学 讲 稿 》,, 罗 吉 庭 译 , 西 交 大

出 版 社 ,1984,

1984, p.60-61

61。

9


2) ) 两 种 基 态 动 量 波 函 数 表 达 式

坐 标 波 函 数 边 界 条 件 设 定 的 分 歧

等 人 给 出 了 不 同 结 果 。 由 此 引 发 了 混 乱 。

Landau 和 Pauli

Pauli 等 人 求 解 (*)。(

。 求 解 基 态 粒 子 的 动 量 波 函 数 φ 1 (p)

时 , 直 接 采 用 前 面 n=1 基 态 两 个 “ 单 色 波 ” 的 两 个 “ 动 量 ”。

ϕ

1

1

2

π h 1 π h

⎟ ⎜

2 a ⎠ 2 ⎝ 2 a

2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

( p ) = δ p − + δ p + ⎟




表 明 : 阱 中 粒 子 动 量 谱 是 两 个 ( 此 式 实 际 对 应 全 实 轴 相 向 运

动 的 ) 单 色 de Broglie 波 叠 加 而 成 的 驻 波 。

*W.

Pauli:《Handbuch

der Physik》, eds. by H. Geiger and K. Scheel, Vol.

24/1, Springer, Berlin, 1933。 中 译 本 《 波 动 力 学 ( 第 五 卷 )》。)

。 他 于 1956-

1958 年 在 苏 黎 世 联 邦 工 业 大 学 物 理 学 位 课 程 两 次 授 课 中 , 依 然 如 此 讲 。

也 见 L.N.Cooper,《 物 理 世 界 ( 上 、 下 )》,)

, 第 184 页 , 杨 基 方 等 译 , 海 洋

出 版 社 ,1984,

1984。

10


L.D.Landau

Landau 等 人 做 法 (*):(

: 将 上 面 定 义 在 全 实 轴 上 的

基 态 坐 标 波 函 数 作 富 里 叶 积 分 变 换 , 便 得 到 无 限 深 方 阱 中 粒

子 的 动 量 波 函 数 φ 1 (p):

ϕ

1

+∞

px

1

1

= ∫ 1


h


h


−i

−i

h

h ⎡ ⎤

( p) dxe ψ ( x) = dxe sin ( x+

a) ⎥⎦

−∞

代 入 ψ 1 (x) 表 达 式 , 注 意 阱 外 ψ 1 (x) 为 零 , 即 得 阱 中 粒 子 动 量

概 率 是 连 续 分 布

ϕ

π


⎣2a

2

( p ) =

− ,( −∞< p < +∞)

1

两 种 结 果 很 不 同 ! 那 个 正 确 !

两 个 都 对 两 个 都 错

按 几 年 来 文 献 讨 论 情 况 ,4,

种 观 点 全 有 表 述 , 分 歧 明 显 、 争

论 热 烈 ‡。

+ a

−a

2⎛

ap⎞

πacos ⎜ ⎟ 2 2

−2

⎝ h ⎠ ⎡⎛

ap⎞

⎛π

⎞ ⎤

⎢⎜

⎟ ⎜ ⎟ ⎥

2h

⎢⎣

⎝ h ⎠ ⎝ 2⎠

⎥⎦

px

1

a

11


* Л.Д. 朗 道 ,E.M.,

栗 弗 席 茨 ,《,

非 相 对 论 量 子 力

学 》(( 俄 文 第 一 版 是 1947 年 );

也 见 E. 费 米 于 1954 年 所 写 的 《 量 子 力 学 手 稿 》。

‡ 部 分 文 章 : 国 内 自 1983.6 开 始 。《。

一 维 无 限 深 势

阱 内 粒 子 的 动 量 分 布 》 有 两 篇 文 章 ,

1994,7;《 关 于 同 一 问 题 的 不 同 解 法 》;《 编 者 的

话 》;《 谈 谈 量 子 力 学 中 的 动 量 算 符 》;《 也 谈 正

则 动 量 算 符 之 争 》;《 编 者 的 话 》; 《 也 谈 一 维 无

限 深 势 阱 内 粒 子 ( 基 态 ) 的 动 量 概 率 分 布 》,

1998,7; 《 关 于 量 子 力 学 基 础 的 一 个 质 疑 》,, 光

子 学 报 ,1997,

1997,9;《 也 谈 量 子 力 学 的 基 础 》,, 光 子

学 报 ,1998,

1998,4;…… ……。

12


三 , 矛 盾 分 析 与 结 论

按 QM 基 本 原 理 , 波 函 数 、 动 量 算 符 及 Schrödinger

方 程

都 应 当 定 义 在 整 个 ( 空 间 ) 实 轴 上 , 而 不 是 只 定 义 在 ( 有 限

空 间 的 ) 势 阱 内 。 事 实 上 ,

正 确 的 边 界 条 件 应 当 是

ψ(x)=0(|

0(|x| x|≥a);

而 不 是

ψ(x)=0(|

0(|x|=a)。

如 果 相 反 , 认 为 边 界 条 件 可 以 用 后 者 , 并 认 为 物 理 量 算 符

可 以 “ 只 ” 定 义 在 势 阱 |x|


问 题 的 关 键 是 :

不 象 坐 标 波 函 数 是 定 域 的 ,


动 量 波 函 数 是 非 定 域 的 !

阱 内 动 量 波 函 数 分 布 不 仅 仅 依 赖 于 阱

内 坐 标 波 函 数 的 形 状 , 而 且 依 赖 于 阱 外

坐 标 波 函 数 的 形 状 。 换 句 话 说 , 它 还 取

决 于 对 阱 外 坐 标 波 函 数 的 处 理 —— 坐 标

波 函 数 边 界 条 件 的 正 确 拟 定 。

14


Pauli 错 误 处 理 了 阱 外 坐 标 波 函 数 : 由 于 并 不 影 响 阱 内 坐

标 波 函 数 求 解 , 含 糊 的 “ 两 端 点 为 零 ” 边 界 条 件 被 下 意 识 地 推

广 为 “ 周 期 零 点 ” 边 界 条 件 , 得 到 了 坐 标 波 函 数 的 周 期 解 。

Pauli 解 正 是 此 周 期 解 的 动 量 分 布 —— 这 等 于 将 阱 内 坐 标 波 函

数 向 全 实 轴 作 了 周 期 性 延 拓 。 此 周 期 解 的 阱 外 部 分 显 然 不 符 合

现 在 阱 外 要 求 , 其 动 量 分 布 当 然 也 就 不 符 合 阱 内 现 在 问 题 。

可 证 ( 见 后 面 附 录 ):

a

当 比 值

h 很 大 ( 或 n 很 大 ) 向 经 典 趋 近 时 ,

Landau 解 将 逐 渐 演 变 为 Pauli 解 。 这 充 分 说 明

Pauli 解 是 对 大 阱 宽 、 高 激 发 态 时 的 近 似 解 。

显 然 , 指 数 上 的 量 ±πnh/2a

也 不 是 严 格 的 物 理 动 量 ( 特 别

当 a 或 n 较 小 时 )。

15


四 , 设 想 实 验 的 佐 证

一 块 无 穷 大 并 足 够 厚 的

平 板 , 取 厚 度 方 向 为 z 轴 , 板

z

上 沿 y 方 向 开 一 条 无 限 长 的 缝 ,

沿 x 轴 的 缝 宽 为 2a。 电 子 束 由

板 的 下 方 入 射 。 分 离 掉 电 子

在 y 和 z 方 向 的 自 由 运 动 , 单

就 电 子 在 x 方 向 运 动 而 言 ,

e

便 是 一 个 ( 沿 x 方 向 ) 无 限 深 方 阱 问 题 。 在 板 上 方 放 一 接 收

电 子 的 探 测 屏 , 观 察 狭 缝 穿 出 的 电 子 在 此 探 测 屏 上 沿 x 方 向

的 偏 转 , 偏 转 大 小 将 和 电 子 在 x 方 向 的 动 量 p x 数 值 有 关 。 由

此 知 :

如 a 值 较 小 , 必 定 是 一 个 单 缝 衍 射 分 布 。

只 当 a 值 较 大 向 宏 观 过 渡 时 , 分 布 才 逐 渐 过 渡 到 两 条 ( 平 行 y

轴 的 ) 细 线 。

x

16


五 , 问 题 的 根 源

无 限 深 阱 问 题 只 是 个 模 型 而 已 。 此 模 型 中 用 到 势 的

突 变 和 无 穷 高 势 垒 等 假 设 。 其 实 , 物 理 学 中 许 多 常 用 的

数 学 和 物 理 概 念 , 如 : 质 点 、 无 头 无 尾 巴 的 平 面 波 、 其

小 无 内 的 点 、 其 大 无 外 的 ∞, , 等 等 , 都 只 是 一 些 人 为 抽

象 出 来 的 、 理 想 化 的 、 绝 对 化 的 概 念 。 虽 然 用 起 来 时 常

是 简 便 的 , 但 其 实 它 们 在 自 然 界 中 并 不 真 实 存 在 , 有 时

甚 至 还 会 惹 出 麻 烦 。

Henri Poincare 说 : 几 何 点 其 实 是 人 的 幻 想 。 甚 至

说 :“:

几 何 学 不 是 真 实 的 , 但 是 有 用 的 。”

(“ 科 学 与 假 设 ” 科 学 出 版 社 ,1989,

年 , 第 63、65

65 页 )。

17


按 照 他 对 几 何 学 的 深 刻 认 识 , 我 们 也 可 以 说 :

V = ∞ 不 是 真 实 的 , 但 是 有 用 的 。

从 思 想 方 法 来 说 , 全 部 困 惑 的 根 源 正 在 此 处 : 将 势

垒 V = ∞ 这 件 事 看 成 是 物 理 真 实 的 了 。 对 它 过 度 的

执 着 干 扰 了 我 们 对 实 际 物 理 问 题 的 认 识 , 并 且 带 来

许 多 不 必 要 的 困 惑 和 烦 恼 。

所 以 , 每 当 遇 到 由 数 学 简 单 化 、 绝 对 化 带 来 问

题 的 时 候 , 注 重 物 理 、 返 回 自 然 界 的 物 理 真 实 , 再

行 考 察 。 记 住 这 点 有 时 是 很 重 要 的 。

也 正 如 文 小 刚 《 量 子 多 体 理 论 》P.19

中 说 的 :

理 论 物 理 中 的 很 多 概 念 并 不 代 表 真 实 。

18


a

[ 附 录 ] 当 → ∞ 时 , ,Landau

h

证 : 利 用 - 函 数 δ 的 一 个 表 达 式 :

由 Landau

δ

Landau 结 果 趋 近 于 Pauli 结 果

2

sin β x

π β x

( x) = lim

2

β →∞

p = ±

Landau 结 果 出 发 ( 注 意 最 后 极 限 时 2a

):

ϕ

1

( p )

2

2 ⎛ a p ⎞

π a cos ⎜ ⎟

2

2

− 2

⎝ h ⎠ ⎡⎛

a p ⎞ ⎛ π ⎞ ⎤

=

⎢⎜

⎟ − ⎜ ⎟ ⎥

2 h ⎢⎣

⎝ h ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦


2 ⎛ a p ⎞

π a cos ⎜ ⎟ ⎪

⎝ h ⎠ h

1

=

⋅ ⎨

2

2 h 2π

a p ⎪ ⎛ a p π ⎞


⎜ − ⎟

⎩ ⎝ h 2 ⎠


2 ⎛ a p π ⎞

2 ⎛ a p π

⎪ sin ⎜ − ⎟ sin ⎜ +

1

=

⎝ h 2 ⎠ ⎝ h 2



2

2

4 p ⎪ ⎛ a p π ⎞ ⎛ a p π ⎞


⎜ − ⎟ ⎜ + ⎟

⎩ ⎝ h 2 ⎠ ⎝ h 2 ⎠

π ⎧ ⎛ a p π ⎞ ⎛ a p π ⎞ ⎫

⇒ ⎨δ

⎜ − ⎟ − δ ⎜ + ⎟ ⎬ =

4 p ⎩ ⎝ h 2 ⎠ ⎝ h 2 ⎠ ⎭








a p

h





⎪⎭

⎧ ⎛

⎨δ

⎜ p

⎩ ⎝

1

2

1

+


π ⎞


2 ⎠

2

π h

2 a





⎪⎭





+ δ ⎜ p


π h

+

π h

2 a

⎞ ⎫

⎟ ⎬

⎠ ⎭

19

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