Pisni izpit iz Matematike 2, 17.1.2002 - Student Info

Pisni izpit iz Matematike 2, 17.1.2002
A
1. Pokaži, da sistem
4xy − u − v = 0
10x +40y − 6uv = 0
določa funkciji x(u, v), y(u, v), ki zadoščata x(5, 3) = 1, y(5, 3) = 2; z
diferencialom oceni x(5.01, 2.96) in y(5.01, 2.96)! (20)
2. Poišči maksimum funkcije
f(x, y) =x + y
pri pogojih (20)
3. Poišči splošno rešitev enačbe
4. Reši enačbo
y 6 3x − x 2
y > x − 3
xy 0 − 2y =2x (15)
y x+2 − y x+1 − 6y x =2x − 1 (15)
5. Pojasni oziroma izračunaj:
(a) Ali funkcija f(x, y) =x 3 − xy 2 vtočki T (−1, 2) vsmeris =(−2, −1)
narašča
(b) Ali je funkcija f(x, y) =x 3 − xy 2 vtočki T (−3, 1) konveksna
(c) Če je y x = x 4 , koliko je ∆∆ −1 ∆∆ −1 y x
(d) Ali je y(x) = C x splošna rešitev enačbe x2 y 00 − xy 0 − 3y =0
(e) Izrazi y x+4 z diferencami!
³
(f) Če je a n =
2n 2
n 2 −1 , 17n+3
2n 2 +16n
´
,poišči lim n→∞ a n ! (30)
1

Pisni izpit iz Matematike 2, 17.1.2002
B
1. Pokaži, da sistem
4xy − u − v = 0
40x +10y − 6uv = 0
določa funkciji x(u, v), y(u, v), ki zadoščata x(5, 3) = 2, y(5, 3) = 1; z
diferencialom oceni x(5.01, 2.96) in y(5.01, 2.96)! (20)
2. Poišči maksimum funkcije
f(x, y) =2x + y
pri pogojih (20)
3. Poišči splošno rešitev enačbe
4. Reši enačbo
y 6 3x − x 2
y > x − 3
xy 0 − 3y =3x (15)
y x+2 + y x+1 − 6y x =2x − 1 (15)
5. Pojasni oziroma izračunaj:
(a) Ali funkcija f(x, y) =y 3 − x 2 y vtočki T (−1, 2) vsmeris =(−2, −1)
narašča
(b) Ali je funkcija f(x, y) =y 3 − x 2 y vtočki T (−3, 1) konveksna
(c) Če je y x = x 4 , koliko je ∆ −1 ∆∆ −1 ∆y x
(d) Ali je y(x) = C x splošna rešitev enačbe x2 y 00 +3xy 0 + y =0
(e) Izrazi ∆ 4 y x z y x , ..., y x+4 !
³
(f) Če je a n =
17n+3
2n 2 +16n , 2n 2
n 2 −1
´
,poišči lim n→∞ a n ! (30)
2

Rešitve izpitnih nalog 17.1.2002, A
1. [1], Primer 5.12 ali [3], Primer 5.24; x(5.01, 2.96) ≈ 1.01, y(5.01, 2.96) ≈
1.97.
2. [1], Primer7.48ali[3], Primer 8.33; pogojni maksimum v T (2, 2).
3. [2], Zgled 9.8 ali Zgled 9.6; y = −2x + Cx 2 .
4. [2], Zgled 10.18 in Zgled 10.23; y x = − 1 3 x + 1 9 + C 1(−2) x + C 2 3 x .
5.
(a) [3], Primer 3.32; premiku s ustreza df = −2 < 0, f ne narašča.
(b) [3], Primer 7.5 ali Primer 7.7; |Hess f| T
| < 0, nikonveksna.
(c) ∆∆ −1 ∆∆ −1 y x = y x .
(d) [2], Posledica 9.3; ne, ni.
(e) [2], str. 69, y x+4 = y x +4∆y x +6∆ 2 y x +4∆ 3 y x +∆ 4 y x .
(f) [3], Primer 1.38; lim n→∞ a n =(2, 0).
[1 ] D. Hvalica: Matematika 2, I. del, 2. dopolnjena izdaja, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
[2 ] D. Hvalica: Matematika 2, II. del, Ekonomska fakulteta, Ljubljana, 1994
[3 ] D. Hvalica: Ob izbranih primerih skozi Matematiko 2, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
3

Rešitve izpitnih nalog 17.1.2002, B
1. [1], Primer 5.12 ali [3], Primer 5.24; x(5.01, 2.96) ≈ 1.97, y(5.01, 2.96) ≈
1.01.
2. [1], Primer7.48ali[3], Primer 8.33; pogojni maksimum v T ¡ 5
2 , 4¢ 5 .
3. [2], Zgled 9.8 ali Zgled 9.6; y = − 3 2 x + Cx3 .
4. [2], Zgled 10.18 in Zgled 10.23; y x = − 1 2 x − 1 8 + C 1(−3) x + C 2 2 x .
5.
(a) [3], Primer 3.32; premiku s ustreza df = −19 < 0, f ne narašča.
(b) [3], Primer 7.5 ali Primer 7.7; |Hess f| T
| < 0, nikonveksna.
(c) ∆ −1 ∆∆ −1 ∆y x = y + C x .
(d) [2], Posledica 9.3; ne, ni.
(e) [2], str. 69, ∆ 4 y x = y x+4 − 4y x+3 +6y x+2 − 4y x+1 + y x .
(f) [3], Primer 1.38; lim n→∞ a n =(0, 2).
[1 ] D. Hvalica: Matematika 2, I. del, 2. dopolnjena izdaja, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
[2 ] D. Hvalica: Matematika 2, II. del, Ekonomska fakulteta, Ljubljana, 1994
[3 ] D. Hvalica: Ob izbranih primerih skozi Matematiko 2, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
4

Pisni izpit iz Matematike 2, 1.2.2002
A
1. Poišči premico y = ax + b, ki se glede na kriterij u = P i (y i − ax i − b) 2
najlepše prilega danim točkam:
(15)
2. Poišči minimum funkcije
pri pogoju
x i 2 3 4
y i −1 −4 −5
f(x, y) =x +4y
xy > 16
Za koliko se spremeni optimalna vrednost, če se pogoj spremeni v xy >
15, 97 (20)
3. Poišči rešitev enačbe
yy 0 − 2y 0 =2x
ki zadošča pogoju y(−1) = 2. (10)
4. Reši enačbo
y x+2 − 2y x+1 +5y x =2x − 1 (15)
5. Z dvojnim integralom izračunaj ploščino območja Ω={(x, y); x 2 +8y 2 6
4}. (10)
6. Pojasni, izračunaj oziroma utemelji:
(a) Ali je množica A = {(x, y); x 2 +8y 2 6 4} kompaktna
(b) Če je B = A \{(1, 0)}, določi IntB in IntB!
(c) Zapiši formo f(x, y, z) =2x 2 − z 2 − xy − 3yz vmatrični obliki!
(d) Ali je y(x) = C x splošna rešitev enačbe xy00 − y 0 − 3 y x =0
(e) Nariši graf, ki ima matriko povezav
⎡
⎤
1 0 1 0
P = ⎢ 0 0 1 1
⎥
⎣ 1 0 0 0 ⎦
0 0 1 0
(f) Če je f(x) = lnx razmerna skala, ki upodablja relacijo R, ali je
f 1 =lnx +2tudi skala, ki upodablja R (30)
5

Pisni izpit iz Matematike 2, 1.2.2002
B
1. Poišči premico y = ax + b, ki se glede na kriterij u = P i (y i − ax i − b) 2
najlepše prilega danim točkam:
(15)
2. Poišči minimum funkcije
pri pogoju
x i 2 3 4
y i 1 4 5
f(x, y) =4x + y
xy > 16
Za koliko se spremeni optimalna vrednost, če se pogoj spremeni v xy >
16, 02 (20)
3. Poišči rešitev enačbe
yy 0 +4y 0 =2x
ki zadošča pogoju y(−1) = 3. (10)
4. Reši enačbo
y x+2 +2y x+1 +5y x = x − 1 (15)
5. Z dvojnim integralom izračunaj ploščino območja Ω={(x, y); 8x 2 + y 2 6
4}. (10)
6. Pojasni, izračunaj oziroma utemelji:
(a) Ali je množica A = {(x, y); 8x 2 + y 2 6 4} kompaktna
(b) Če je B = A \{(0, −1)}, določi IntB in IntB!
(c) Zapiši formo f(x, y, z) =2x 2 − z 2 +5xz − yz vmatrični obliki!
(d) Ali je y(x) = C x splošna rešitev enačbe xy00 + y 0 + y x =0
(e) Nariši graf, ki ima matriko povezav
⎡
⎤
0 0 1 0
P = ⎢ 0 0 1 1
⎥
⎣ 1 0 0 0 ⎦
0 0 1 1
(f) Če je f(x) = lnx razmerna skala, ki upodablja relacijo R, ali je
f 1 =lnx − 12 tudi skala, ki upodablja R (30)
6

Rešitve izpitnih nalog 1.2.2002, A
1. [3], Primer 7.15; y = −2x + 8 3 .
2. [3], Primer 8.27 in Primer 8.43; pogojni minimum v T (8, 2), optimalna
vrednost se zmanjša za 0, 015.
3. [2], Zgled 9.3; y2
2 − 2y = x2 − 3.
4. [2], Zgled 10.20 in Zgled 10.23; y x = 1 2 x− 1 4 +C 1( √ 5) x cos ϕx+C 2 ( √ 5) x sin ϕx,
ϕ =arctan2.
5. [1], Naloga 8.6 b); √ 2π.
6.
(a) [3], Primer 1.43; da, A je kompaktna.
(b) [3], Naloga 1.3 a) in c); IntB = IntA \{(1, 0)}, IntB = A.
⎡
(c) [1], Primer 6.10; f(x, y, z) = £ x y z ¤ ⎣ 2 − 1 ⎤ ⎡
2
0
− 1 2
0 − 3 ⎦ ⎣ x ⎤
2
y ⎦.
0 − 3 2
1 z
(d) [2], Posledica 9.3; ne, ni.
v 1
v 2
.
v 3
v 4
(e) [2], str. 110;
(f) [2], str. 157; ne moremo trditi, da je f 1 skala za R.
[1 ] D. Hvalica: Matematika 2, I. del, 2. dopolnjena izdaja, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
[2 ] D. Hvalica: Matematika 2, II. del, Ekonomska fakulteta, Ljubljana, 1994
[3 ] D. Hvalica: Ob izbranih primerih skozi Matematiko 2, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
7

Rešitve izpitnih nalog 1.2.2002, B
1. [3], Primer 7.15; y =2x − 8 3 .
2. [3], Primer 8.27 in Primer 8.43; pogojni minimum v T (2, 8), optimalna
vrednost se poveča za 0, 01.
3. [2], Zgled 9.3; y2
2 +4y = x2 + 31 2 .
4. [2], Zgled 10.20 in Zgled 10.23; y x = 1 8 x− 3 16 +C 1( √ 5) x cos ϕx+C 2 ( √ 5) x sin ϕx,
ϕ =arctan2(ali ϕ =arctan(−2)).
5. [1], Naloga 8.6 b); √ 2π.
6.
(a) [3], Primer 1.43; da, A je kompaktna.
(b) [3], Naloga 1.3 a) in c); IntB = IntA \{(0, −1)}, IntB = A.
⎡
(c) [1], Primer 6.10; f(x, y, z) = £ x y z ¤ ⎣ 2 0 ⎤ ⎡
5
2
0 0 − 1 ⎦ ⎣ x 2
y
5
2
− 1 2
−1 z
(d) [2], Posledica 9.3; ne, ni.
v 1
⎤
⎦.
v 3
v 4
v 2
.
(e) [2], str. 110;
(f) [2], str. 157; ne moremo trditi, da je f 1 skala za R.
[1 ] D. Hvalica: Matematika 2, I. del, 2. dopolnjena izdaja, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
[2 ] D. Hvalica: Matematika 2, II. del, Ekonomska fakulteta, Ljubljana, 1994
[3 ] D. Hvalica: Ob izbranih primerih skozi Matematiko 2, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
8

Pisni izpit iz Matematike 2, 21.3.2002
A
1. Pokaži, da sistem
xy − 2u − 2v = 0
6x +3y − 4uv = 0
določa funkciji x(u, v), y(u, v), ki zadoščata x(3, 4) = 7, y(3, 4) = 2! Oceni
vrednosti x in y, kiustrezatau =3.04, v =3.95! (20)
2. Poišči ekstreme funkcije
pri pogojih
f(x, y) =18x +13y
3x +2y ≥ 2
x − y ≤ 3
Določi meje za a, dabof 1 (x, y) =ax +10y imela minimum v isti točki
kot f! (15)
3. Poišči rešitve enačbe
(10)
4. Izrazi y 400 za tisto rešitev enačbe
2xyy 0 =1+x 2
y x+2 − y x+1 − 30y x =0
ki zadošča y 0 = −1, y 1 = −17 (numerična vrednost ni potrebna)! (15)
5. Zapiši Taylorjevo vrsto rešitve enačbe
y 0 − y 2 = x
ki zadošča y(1) = 1 (v točki x =1,dočlenov tretje stopnje)! (10)
6. Pojasni oziroma izračunaj:
(a) Za funkcijo f(x, y) = ¡ x 2 y − y 2 ,xy ¢ zapiši diferencial v točki T (2, 4)!
(b) Naj bo A domena funkcije f(x, y) =
xy
x 2 +y
;poišči IntA !
2
(c) Preveri definitnost kvadratne forme f(x, y, z, t) =2x 2 +3y 2 + t 2 +
xy +2xt +3zt !
(d) Izračunaj ∆ −1 x 3
= x
(e) O precedenci P vmnožici A = {A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 ,A 5 } vemo tole: A 1 PA 2 ,
A 2 PA 4 , A 3 PA 5 , A 4 PA 5 . Ali velja A 4 PA 1
(f) Ali pri odločitveni tabeli obstaja odločitev, ki krepko dominira:
o 1 2 6 1
o 2 3 4 7
o 3 4 5 6
9

Pisni izpit iz Matematike 2, 21.3.2002
B
1. Pokaži, da sistem
xy − 2u − 2v = 0
6x +3y − 4uv = 0
določa funkciji u(x, y), v(x, y), ki zadoščata u(7, 2) = 3, v(7, 2) = 4! Oceni
vrednosti u in v, kiustrezatax =7.03, y =1.96! (20)
2. Poišči ekstreme funkcije
pri pogojih
f(x, y) =13x +18y
2x +3y ≥ 2
y − x ≤ 3
Določi meje za b, dabof 1 (x, y) =10x + by imela minimum v isti točki
kot f! (15)
3. Poišči rešitve enačbe
(10)
4. Izrazi y 400 za tisto rešitev enačbe
2xyy 0 =1− x 2
y x+2 + y x+1 − 30y x =0
ki zadošča y 0 =1, y 1 = −17 (numerična vrednost ni potrebna)! (15)
5. Zapiši Taylorjevo vrsto rešitve enačbe
y 0 − y 2 = x 2
ki zadošča y(1) = 1 (v točki x =1,dočlenov tretje stopnje)! (10)
6. Pojasni oziroma izračunaj:
(a) Za funkcijo f(x, y) = ¡ xy 2 ,x 2 y − y 2¢ zapiši diferencial v točki T (3, 2)!
(b) Naj bo A domena funkcije f(x, y) =
x−y
x 2 +y
;poišči IntA!
2
(c) Preveri definitnost kvadratne forme f(x, y, z, t) =x 2 +2y 2 +3z 2 +
xy − 2xt +3yt !
(d) Izračunaj ∆ −1 x 4
= x
(e) O precedenci P vmnožici A = {A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 ,A 5 } vemo tole: A 1 PA 3 ,
A 2 PA 4 , A 3 PA 5 , A 4 PA 5 . Ali velja A 5 PA 1
(f) Ali pri odločitveni tabeli obstaja odločitev, ki krepko dominira:
o 1 2 6 1
o 2 3 4 7
o 3 4 7 6
10

Rešitve izpitnih nalog 21.3.2002, A
1. [1], Primer 5.12 ali [3], Primer 5.24; x(3.04, 3.95) ≈ 7.01, y(3.04, 3.95) ≈
1.99.
2. [3], Primer 8.43 in Primer 8.47; minimum v T ( 8 5 , − 7 5
), −10 ≤ a ≤ 15.
3. [2], Zgled 9.2; y2
2 = 1 x2
2
ln x +
4 + C.
4. [2], Zgled 10.18 in Zgled 10.23; y 400 =(−5) 400 − 2 · 6 400 .
5. [2], Zgled 10.28; y =1+2(x − 1) + 5 2 (x − 1)2 +3(x − 1) 3 + ···
6.
(a) [3], Primer 3.49; df = (16∆x − 4∆y, 4∆x +2∆y).
(b) [1], Primer 1.35; IntA = R 2 .
(c) [1], Primer 6.13; forma je nedefinitna.
(d) ∆ −1 x 3
=∆ −1 x ¡ 1 x,
3¢
naprej kot v [2], Zgled 10.9; x yx = ¡ − 3 2 x − 4¢¡ 3 1 x+
3¢
C.
(e) Ne, ker je precedenca asimetrična, zaradi tranzitivnosti pa je A 1 PA 4
([2], str. 123, 153).
(f) Ne. ([2], str. 176).
[1 ] D. Hvalica: Matematika 2, I. del, 2. dopolnjena izdaja, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
[2 ] D. Hvalica: Matematika 2, II. del, Ekonomska fakulteta, Ljubljana, 1994
[3 ] D. Hvalica: Ob izbranih primerih skozi Matematiko 2, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
11

Rešitve izpitnih nalog 21.3.2002, B
1. [1], Primer 5.12 ali [3], Primer 5.24; u(7.03, 1.96) ≈ 3.35, v(7.03, 1.96) ≈
3.55.
2. [3], Primer 8.43 in Primer 8.47; minimum v T (− 7 5 , 8 5
), −10 ≤ b ≤ 15.
3. [2], Zgled 9.2; y2
2 = 1 x2
2
ln x −
4 + C.
4. [2], Zgled 10.18 in Zgled 10.23; y 400 =2(−6) 400 − 5 400 .
5. [2], Zgled 10.28; y =1+2(x − 1) + 3(x − 1) 2 + 11
3 (x − 1)3 + ···
6.
(a) [3], Primer 3.49; df =(4∆x + 12∆y, 12∆x +5∆y).
(b) [1], Primer 1.35; IntA = R 2 .
(c) [1], Primer 6.13; forma je nedefinitna.
(d) ∆ −1 x 4
=∆ −1 x ¡ 1 x,
4¢
naprej kot v [2], Zgled 10.9; x yx = ¡ − 4 3 x − 9¢¡ 4 1 x+
4¢
C.
(e) Ne, ker je precedenca asimetrična, zaradi tranzitivnosti pa je A 1 PA 5
([2], str. 123, 153).
(f) Da, o 3 nad o 1 .([2], str. 176).
[1 ] D. Hvalica: Matematika 2, I. del, 2. dopolnjena izdaja, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
[2 ] D. Hvalica: Matematika 2, II. del, Ekonomska fakulteta, Ljubljana, 1994
[3 ] D. Hvalica: Ob izbranih primerih skozi Matematiko 2, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
12

Pisni izpit iz Matematike 2, 18.6.2002
A
1. Poišči ekstreme funkcije
(15)
2. Poišči ekstreme funkcije
pri pogoju
(15)
¯
3. Poišči
¯ ∂(x,y)
∂(u,v)
4. Reši enačbo
(15)
5. Z antidiferencami seštej
(10)
u = x 3 +3y 3 + x 2 +3y 2 + z 2 +2z
u(x, y, z) =2x + y
x 2 − y 2 − z 2 =2
¯ vtočki u =2, v =1, če je u = e xy , v = x y . (15)
y x+4 − 16y x =2x − 1
s =3+3· 2+3· 2 2 +3· 2 3 + ···+3· 2 n
6. Pojasni, izračunaj oziroma utemelji:
(a) Ali je definicijsko območje funkcije f(x, y) =log ¡ 1 − x 2 − y 2¢ kompaktna
množica
(b) Če je A = R 2 \{(1, 2)}, določi IntA in IntA!
(c) Zapiši formo f(x, y, z) =2x 2 − z 2 − xy − 3yz v normalni obliki!
(d) Ali je y(x) = C x splošna rešitev enačbe xy00 +4y 0 +2 y x =0
(e) Nariši graf, ki ima incidenčno matriko
⎡
⎢
⎣
1 0 −1 0
0 −1 0 1
−1 1 0 0
0 0 1 −1
(f) Če je f(x) = lnx razmerna skala, ki upodablja relacijo R, ali je
f 1 =lnx 2 tudi skala, ki upodablja R (30)
⎤
⎥
⎦
13

Pisni izpit iz Matematike 2, 18.6.2002
B
1. Poišči ekstreme funkcije
(15)
2. Poišči ekstreme funkcije
pri pogoju
(15)
¯
3. Poišči
¯ ∂(x,y)
∂(u,v)
4. Reši enačbo
(15)
5. Z antidiferencami seštej
(10)
u = x 3 +3y 3 + x 2 +3y 2 − z 2 +2z
u(x, y, z) =x +2y
y 2 − x 2 − z 2 =2
¯ vtočki u =1, v =2, če je u = x y , v = exy . (15)
y x+4 − 81y x =3x − 1
s =4+4· 3+4· 3 2 +4· 3 3 + ···+4· 3 n
6. Pojasni, izračunaj oziroma utemelji:
(a) Ali je definicijsko območje funkcije f(x, y) = p x 2 + y 2 − 1 kompaktna
množica
(b) Če je A = R 2 \{(2, 1)}, določi A in IntA!
(c) Zapiši formo f(x, y, z) =2x 2 − z 2 + xy +3yz v normalni obliki!
(d) Ali je y(x) = C x splošna rešitev enačbe xy00 + y 0 − y x =0
(e) Nariši graf, ki ima incidenčno matriko
⎡
⎢
⎣
−1 0 1 0
0 1 0 −1
1 −1 0 0
0 0 −1 1
(f) Če je f(x) = lnx razmerna skala, ki upodablja relacijo R, ali je
f 1 =lnx 3 tudi skala, ki upodablja R (30)
⎤
⎥
⎦
14

Rešitve izpitnih nalog 18.6.2002, A
1. [3], Primer 7.10; minimum v T 1 (0, 0, −1).
q q
2
2. [3], Primer 8.15; pogojni maksimum v T 1
³−2
3 , 2
3 , 0´, pogojni minimum
v T 2
q q
2
³2
3 , − 2
3 , 0´.
3. [1], stran 117; ¯ ∂(x,y)
¯ = − 1 4 .
∂(u,v)
4. [2], Zgled 10.22; y x = − 2 15 x + 7
225 + C 1 · 2 x + C 2 (−2) x + C 3 · 2 x cos π 2 x +
C 4 · 2 x sin π 2 x.
5. [2], Zgled 10.10; s =6• 2 n − 3.
6.
(a) [3], Primer 1.43; D f – notranjost kroga s središčem (0, 0) in polmerom
1 – ni zaprta, zato ni kompaktna.
(b) [3], Primer1.19;kerje{(2, 1)} zaprta, je A = R 2 \{(2, 1)} odprta,
zato IntA = R 2 \{(2, 1)}; kerje∂A = {(2, 1)}, jeIntA = R 2 .
(c) [1], Primer 6.18; f = x 2 1 + x2 2 − x2 3 .
(d) [2], Izrek 9.4; ne, ni.
(e) [2], str. 109,
v 2
v 3
v 1
v 4
(f) [2], str. 157; ker je f 1 (x) =2f(x), je tudi razmerna skala.
[1 ] D. Hvalica: Matematika 2, I. del, 2. dopolnjena izdaja, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
[2 ] D. Hvalica: Matematika 2, II. del, Ekonomska fakulteta, Ljubljana, 1994
[3 ] D. Hvalica: Ob izbranih primerih skozi Matematiko 2, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
15

Rešitve izpitnih nalog 18.6.2002, B
1. [3], Primer 7.10; maksimum v T 1 (− 2 3 , − 2 3 , 1).
q q
2
2. [3], Primer 8.15; pogojni minimum v T 1
³−
3 , 2 2
3 , 0´, pogojni maksimum
v T 2 3 , −2 2
³q q
2
3 , 0´.
3. [1], stran 117; ¯ ∂(x,y)
¯ = 1 4 .
∂(u,v)
4. [2], Zgled 10.22; y x = − 3 80 x + 17
1600 + C 1 · 3 x + C 2 (−3) x + C 3 · 3 x cos π 2 x +
C 4 · 3 x sin π 2 x.
5. [2], Zgled 10.10; s =6• 3 n − 2.
6.
(a) [3], Primer 1.43; D f – zunanjost kroga s središčem (0, 0) in polmerom
1 –niomejena,zatonikompaktna.
(b) [3], Primer1.19;kerje∂A = {(2, 1)}, jeA = R 2 , ker je cela ravnina
odprta, je IntA = R 2 .
(c) [1], Primer 6.18; f = x 2 1 + x 2 2 − x 2 3.
(d) [2], Izrek 9.4; ne, ni.
(e) [2], str. 109,
v 2
v 3
v 1
v 4
(f) [2], str. 157; ker je f 1 (x) =3f(x), je tudi razmerna skala.
[1 ] D. Hvalica: Matematika 2, I. del, 2. dopolnjena izdaja, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
[2 ] D. Hvalica: Matematika 2, II. del, Ekonomska fakulteta, Ljubljana, 1994
[3 ] D. Hvalica: Ob izbranih primerih skozi Matematiko 2, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
16

Pisni izpit iz Matematike 2, 6.9.2002
A
1. Poišči ekstreme funkcije
f(x, y) =(x + y) 4 +2(x − y) 2 +2
(20)
2. Poišči minimum funkcije
u = x 2 + y 2 + z 2
pri pogojih
x 2 + y 2 = z 2
x + y =1
(15)
3. Poišči rešitve enačbe
(15)
4. Izrazi y 100 za tisto rešitev enačbe
4y 00 − 4y 0 + y = x 2
y x+2 = y x+1 +6y x
ki zadošča y 0 =1, y 1 =2(numerična vrednost ni potrebna)! (15)
5. Pojasni, izračunaj oziroma utemelji:
(a) Za funkcijo f(x, y) = ¡ xy + y 2 , 4 ¢ zapiši diferencial v točki T (1, 4)!
(b) Naj bo A ⊂ R n ; ali velja IntA ⊂ A ali IntA ⊃ A ali nobena od teh
možnosti
(c) Presodi o definitnosti forme f(x, y, z) =x 2 + y 2 + z 2 − xy − xz!
(d) Zamenjaj vrstni red integriranja v dvakratnem integralu R 2
0 dx R 3x
f(x, y)dy
x
(e) ∆ −1 ∆x 3 =
(f) O precedenci P vmnožici A = {A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 ,A 5 } vemo tole: A 1 PA 2 ,
A 2 PA 4 , A 3 PA 5 , A 4 PA 5 . Ali velja A 5 PA 1
(g) Potrošnik izbira med dobrinami a, b, c; b mu je ljubši od a, c pa ljubši
od b. Med b in 1 3 a + 2 3c je indiferenten. Zapiši njegovo funkcijo
koristnosti!
17

Pisni izpit iz Matematike 2, 6.9.2002
B
1. Poišči ekstreme funkcije
f(x, y) =(x + y) 4 +3(x − y) 2 +3
(20)
2. Poišči minimum funkcije
u = x 2 + y 2 + z 2
pri pogojih
x 2 + z 2 = y 2
x + z =1
(15)
3. Poišči rešitve enačbe
(15)
4. Izrazi y 200 za tisto rešitev enačbe
9y 00 − 6y 0 + y = x 3
y x+2 = y x+1 +12y x
ki zadošča y 0 =1, y 1 =3(numerična vrednost ni potrebna)! (15)
5. Pojasni oziroma izračunaj:
(a) Za funkcijo f(x, y) = ¡ 5, 2xy + y 2¢ zapiši diferencial v točki T (5, 2)!
(b) Naj bo A ⊂ R n ; ali velja IntA ⊂ A ali IntA ⊃ A ali nobena od teh
možnosti
(c) Presodi o definitnosti forme f(x, y, z) =−x 2 − y 2 − z 2 + xy + xz!
(d) Zamenjaj vrstni red integriranja v dvakratnem integralu R 2
0 dx R x
x f(x, y)dy
3
(e) ∆∆ −1 2
3
= x
(f) O precedenci P vmnožici A = {A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 ,A 5 } vemo tole: A 1 PA 2 ,
A 2 PA 3 , A 3 PA 5 , A 4 PA 5 . Ali velja A 5 PA 1
(g) Potrošnik izbira med dobrinami a, b, c; b mu je ljubši od c, a pa ljubši
od b. Med b in 1 3 a + 2 3c je indiferenten. Zapiši njegovo funkcijo
koristnosti!
18

Rešitve izpitnih nalog 6.9.2002, A
1. Zapiski predavanj ali [3], Primer 7.13; minimum v T (0, 0).
³ q
1
2. Zapiski predavanj ali [3], Primer 8.13; pogojni minimum v T 1 2 , 1 2
³ q ´
, −
1
pogojni minimum v T 2 2 , 1 2 , 1
2
.
3. [2], Zgled 9.15 in stran 37; y = x 2 +2+C 1e x 2 + C 2 xe x 2 .
4. [2], Zgled 10.18 in Naloga 10.14b; y 100 = 1 5 · (−2)100 + 4 5 · 3100 .
5.
(a) [1], stran 82; df =(4(x − 1) + 9(y − 4), 0).
(b) [1], stran 23; nobena od vključitev ne velja vedno.
(c) [1], Primer 6.13; f je pozitivno definitna.
(d) [1],Primer8.3; R 2
0 dx R 3x
x f(x, y)dy = R 2
0 dy R y
y f(x, y)dx+ R 6
3
2 dy R 2
y f(x, y)dx.
3
(e) [2], str. 70; ∆ −1 ∆x 3 = x 3 + C.
(f) [2], str. 124; ker zaradi tranzitivnosti sledi A 1 PA 5 , ne more biti
A 5 PA 1 .
(g) [2], str. 187;
x a b c
u(x) 0
2
3
1
1
2
´
,
[1 ] D. Hvalica: Matematika 2, I. del, 2. dopolnjena izdaja, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
[2 ] D. Hvalica: Matematika 2, II. del, Ekonomska fakulteta, Ljubljana, 1994
[3 ] D. Hvalica: Ob izbranih primerih skozi Matematiko 2, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
19

Rešitve izpitnih nalog 6.9.2002, B
1. Zapiski predavanj ali [3], Primer 7.13; minimum v T (0, 0).
³ q
1
2. Zapiski predavanj ali [3], Primer 8.13; pogojni minimum v T 1 2
³ q ´
, −
1
pogojni minimum v T 2 2 , 1
2 , 1 2
.
3. [2], Zgled 9.15 in stran 37; y = x 3 +2+C 1e x 3 + C 2 xe x 3 .
4. [2], Zgled 10.18 in Naloga 10.14b; y 200 = 1 7 · (−3)200 + 6 7 · 4200 .
5.
(a) [1], stran 82; df =(0, 4(x − 5) + 14(y − 2)).
(b) [1], stran 23; nobena od vključitev ne velja vedno.
(c) [1], Primer 6.13; f je negativno definitna.
(d) [1],Primer8.3; R 2
0 dx R x
x f(x, y)dy = R 2 3
0
dy R 3y
f(x, y)dx+ R 2
2
y
3
3
1
2 , 1 2
´
,
dy R 2
f(x, y)dx.
y
(e) [2], str. 70; ∆∆ −1 2
3
= 2
x 3
. x
(f) [2], str. 124; ker zaradi tranzitivnosti sledi A 1 PA 5 , ne more biti
A 5 PA 1 .
(g) [2], str. 187;
x a b c
u(x) 1
1
3
0
[1 ] D. Hvalica: Matematika 2, I. del, 2. dopolnjena izdaja, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
[2 ] D. Hvalica: Matematika 2, II. del, Ekonomska fakulteta, Ljubljana, 1994
[3 ] D. Hvalica: Ob izbranih primerih skozi Matematiko 2, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
20

Pisni izpit iz Matematike 2, 25.11.2002
A
1. Poišči ekstreme funkcije z(x, y), danezenačbo
(20)
2. Poišči ekstreme funkcije
pri pogoju
(15)
3. V integralu
z 2 +(x + y)z =1+x 2 + y 2
Z 2
f(x, y) =xy
y 6 2x − x 2
Z 2x+13
dx f(x, y)dy
−4 x 2 +4x+5
zamenjaj vrstni red integriranja! (10)
4. Reši diferencialno enačbo
(15)
y (4) − 16y =2x − 1
5. Zapiši splošno rešitev homogene linearne diferenčne enačbe, katere karakteristična
enačba je
(10)
6. Pojasni, izračunaj oziroma utemelji:
(k 2 − 1) 2 (k 2 +1)=0
(a) Ali je definicijsko območje funkcije f(x, y) = p x 2 + y 2 − 1 kompaktna
množica
(b) Če je A = R 2 \{(3, 2)}, ali velja IntA = IntA
(c) Ali je funkcija f(x, y) = 3p x 2 y 4 homogena
(d) 2 (−3) =
(e) Če je množica vozlov V = {v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,v 6 }, navedi zgornjo mejo
za število lokov na enostavni poti v takem grafu!
(f) Če je f(x) intervalna skala, ki upodablja relacijo R, alijef 1 (x) =
(f(x)) 2 tudi skala, ki upodablja R (30)
21

Pisni izpit iz Matematike 2, 25.11.2002
B
1. Poišči ekstreme funkcije z(x, y), danezenačbo
(20)
2. Poišči ekstreme funkcije
pri pogoju
(15)
3. V integralu
z 2 +(x + y)z =2+x 2 + y 2
Z 3
f(x, y) =xy
x 6 2y − y 2
Z 2x+11
dx f(x, y)dy
−3 x 2 +2x+2
zamenjaj vrstni red integriranja! (10)
4. Reši diferencialno enačbo
(15)
y (4) − y =2x − 1
5. Zapiši splošno rešitev homogene linearne diferenčne enačbe, katere karakteristična
enačba je
(10)
6. Pojasni, izračunaj oziroma utemelji:
(k 2 − 4) 2 (k 2 +4)=0
(a) Ali je definicijsko območje funkcije f(x, y) = √
1
3−x 2 −y 2 kompaktna
množica
(b) Če je A = R 2 \{(−3, −2)}, ali velja IntA = IntA
(c) Ali je funkcija f(x, y) = 3p x 4 y 2 homogena
(d) 3 (−2) =
(e) Če je množica vozlov V = {v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 },navedizgornjomejoza
število lokov na enostavni poti v takem grafu!
(f) Če je f(x) intervalna skala, ki upodablja relacijo R, alijef 1 (x) =
2f(x) − 3 tudi skala, ki upodablja R (30)
22

Rešitve izpitnih nalog 25.11.2002, A
q q
1
1. [3], Primer 7.19; maksimum v T 1
³−
6 , −
2. [3], Primer 8.25; pogojni maksimum v T ¡ 4
3 , 8 9¢
.
1
6
´, minimum v T 2
³q
1
3. [3], Naloga 9.4a); R 5
1 dy R −2+ √ y−1
−2− √ y−1 f(x, y)dx + R 17
dy R −2+ √ y−1
y−13
5
2
6 , q
1
6
f(x, y)dx.
4. [2], Zgled 9.17; y = − x 8 + 1 16 + C 1e −2x + C 2 e 2x + C 3 cos 2x + C 4 sin 2x.
5. [2], Zgled 10.21; y x = C 1 (−1) x + C 2 x(−1) x + C 3 + C 4 x + C 5 sin π 2 x +
C 6 sin π 2 x.
6.
(a) [1], 1. poglavje; D f = {(x, y); x 2 + y 2 > 1}, ker ni omejena, ni
kompaktna.
(b) [1], 1.poglavje;veljaIntA = R 2 = IntA.
(c) [1], Razdelek 3.4.1; f je homogena 2. stopnje.
1
(d) [2], str. 63;
60 .
(e) [2], str. 109; na enostavnem ciklu je največ 6 lokov, na vsaki drugi
enostavni poti jih je manj.
(f) [2], str. 157; ni.
´
.
[1 ] D. Hvalica: Matematika 2, I. del, 2. dopolnjena izdaja, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
[2 ] D. Hvalica: Matematika 2, II. del, Ekonomska fakulteta, Ljubljana, 1994
[3 ] D. Hvalica: Ob izbranih primerih skozi Matematiko 2, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
23

Rešitve izpitnih nalog 25.11.2002, B
q q
1
1. [3], Primer 7.19; maksimum v T 1
³−
3 , −
2. [3], Primer 8.25; pogojni maksimum v T ¡ 8
9 , 4 3¢
.
1
3
´, minimum v T 2
³q
1
3. [3], Naloga 9.4a); R 5
1 dy R −1+ √ y−1
−1− √ y−1 f(x, y)dx + R 17
dy R −1+ √ y−1
y−11
5
4. [2], Zgled 9.17; y = −2x +1+C 1 e −x + C 2 e x + C 3 cos x + C 4 sin x.
2
3 , q
1
3
f(x, y)dx.
5. [2], Zgled 10.21; y x = C 1 (−2) x +C 2 x(−2) x +C 3 2 x +C 4 x2 x +C 5 2 x sin π 2 x+
C 6 2 x sin π 2 x.
6.
(a) [1], 1. poglavje; D f = {(x, y); x 2 + y 2 < 3}, ker ni zaprta, ni kompaktna.
(b) [1], 1.poglavje;veljaIntA = R 2 = IntA.
(c) [1], Razdelek 3.4.1; f je homogena 2. stopnje.
1
(d) [2], str. 63;
20 .
(e) [2], str. 109; na enostavnem ciklu je največ 5 lokov, na vsaki drugi
enostavni poti jih je manj.
(f) [2], str. 157; je.
´
.
[1 ] D. Hvalica: Matematika 2, I. del, 2. dopolnjena izdaja, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
[2 ] D. Hvalica: Matematika 2, II. del, Ekonomska fakulteta, Ljubljana, 1994
[3 ] D. Hvalica: Ob izbranih primerih skozi Matematiko 2, Ekonomska fakulteta,
Ljubljana, 1999
24