Modelowanie i symulacje numeryczne zjawisk fizycznych

Modelowanie i symulacje numeryczne
zjawisk fizycznych
Krzysztof Murawski
Instytut Fizyki, UMCS
1

Spis treści
1 Podręczniki akademickie - literatura obowiązkowa 2
2 Wstęp 3
3 Wykład 1-3: Istota modelowania i symulacji komputerowych
w fizyce technicznej 7
3.1 Rachunki numeryczne a teoria i eksperyment w fizyce technicznej 7
3.2 Nasze pierwsze rachunki w fizyce technicznej . . . . . . . . . . 7
3.2.1 Zalecane ćwiczenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Prawo zachowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Równania hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.1 Typowe skalarne równania hiperboliczne fizyki technicznej
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5 Równanie ruchu drogowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5.1 Zalecane ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 Przepływ płynu w rurach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6.1 Równanie przemysłu naftowego . . . . . . . . . . . . . 24
3.6.2 Zalecane eksperymenty numeryczne . . . . . . . . . . . 25
3.6.3 Równania wodnego młota . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6.4 Zalecane eksperymenty numeryczne . . . . . . . . . . . 27
3.7 Model plazmy - równania idealnej magnetohydrodynamiki . . 28
3.7.1 Model kinetyczny plazmy . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.7.2 Przybliżenie quasi-cząstkowe . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.7.3 Przybliżenie magnetohydrodynamiczne . . . . . . . . . 35
3.7.4 Obraz Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7.5 Przybliżenie nieściśliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7.6 Przybliżenie plazmy zimnej . . . . . . . . . . . . . . . 39
2

3.8 Równania Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.9 Równania Naviera-Stokes’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.10 Równania płytkiej wody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Wykład 4-6: Metody numeryczne dla równania unoszenia i
układów liniowych 45
4.1 Zjawisko unoszenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Równania liniowe fizyki technicznej . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Quasi-liniowa postać równań fizyki technicznej . . . . . . . . . 48
4.4 Problem własny dla macierzy Jacobiego . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 Diagonalizacja układu liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.6 Problem początkowy dla układu liniowego . . . . . . . . . . . 52
4.6.1 Problem Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.7 Twierdzenie Laxa o równoważności . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.8 Lokalny błąd ucięcia i równanie zmodyfikowane dla dyskretnej
postaci równania unoszenia zanieczyszczeń . . . . . . . . . . . 56
4.9 Konsystencja schematu numerycznego . . . . . . . . . . . . . . 57
4.10 Analiza stabilności schematu numerycznego według von Neumanna
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.11 Schemat Godunowa dla równania unoszenia zanieczyszczeń . . 59
4.12 Schemat MacCormacka dla równania unoszenia zanieczyszczeń 59
4.13 Lokalny błąd ucięcia schematu pod-wiatr . . . . . . . . . . . . 60
4.14 Warunek stabilności schematu pod-wiatr . . . . . . . . . . . . 61
5 Wykład 7-9: Numeryczne metody dla równania unoszenia
płynu w cienkich rurach 62
5.1 Biblioteka programów numerycznych NUMERICA . . . . . . . 63
5.2 Program w fortranie 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3

5.2.1 Zalecane ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3 Skrypt dla pakietu Gnuplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4 Schematy różnic skończonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4.1 Proste schematy numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4.2 Liczba CFL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.3 Warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.5 Eksperymenty numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.6 Metoda z wiatrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.7 Ogólne sformułowanie schematu pod-wiatr . . . . . . . . . . . 72
5.8 Schematy monotoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.9 Twierdzenie Godunowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.10 Dokładność schematów numerycznych . . . . . . . . . . . . . . 75
5.11 Schematy Laxa-Friedrichsa i Laxa-Wendroffa . . . . . . . . . . 76
5.12 Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.13 Zalecane ćwiczenia dla równania unoszenia w cienkich rurach . 78
6 Wykład 10-11: Numeryczne rozwiązania fal akustycznych o
małej amplitudzie 80
6.1 Wyprowadzenie równania falowego dla fal akustycznych . . . . 80
6.2 Schemat numeryczny dla równania falowego . . . . . . . . . . 82
6.3 Zalecane eksperymenty numeryczne dla fal akustycznych o
małej amplitudzie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7 Wykład 12-13: Fale akustyczne w grawitacyjnie uwarstwionej
atmosferze – równanie Kleina-Gordona 84
7.1 Wyprowadzenie równania Kleina-Gordona . . . . . . . . . . . 86
7.2 Program numeryczny dla równania Kleina-Gordona . . . . . . 89
7.3 Zalecane ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4

8 Wykład 14-15: Słabo nieliniowe szybkie fale magnetoakustyczne
w plazmie zimnej - równania Burgersa 93
8.1 Wyprowadzenie zmodyfikowanego równania Burgersa . . . . . 96
8.2 Wyprowadzenie równania Burgersa . . . . . . . . . . . . . . . 98
9 Wykład 15-16: Nieliniowe równania hiperboliczne dla układów
fizyki technicznej 100
9.1 Postać całkowa równań hiperbolicznych . . . . . . . . . . . . . 100
9.2 Warunek Rankine’a-Hugoniota dla nieciągłości . . . . . . . . . 101
9.3 Nieliniowe równania skalarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.4 Równanie ruchu drogowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.5 Wypukłe i niewypukłe strumienie . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.6 Krzywe charakterystyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.7 Problem Riemanna dla równania Burgersa . . . . . . . . . . . 105
9.8 Słabe rozwiązania równania Burgersa . . . . . . . . . . . . . . 106
9.9 Warunek entropii dla fali szokowej . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.10 Problem Riemanna dla równania Burgersa - pełne rozwiązanie 107
9.11 Problem Riemanna dla zmodyfikowanego równania Burgersa . 107
10 Wykład 17-18: Modelowanie zjawisk fizyki technicznej z wykorzystaniem
równań Eulera 111
10.1 Jedno-wymiarowe równania Eulera . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.2 Problem własny dla macierzy A c i A n . . . . . . . . . . . . . 113
10.3 Uogólnione niezmienniki Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . 114
10.4 Klasyczny problem Riemanna dla równań Eulera . . . . . . . . 116
10.5 Skoki związane z prostymi falami . . . . . . . . . . . . . . . . 120
10.6 Metody numeryczne dla układu hiperbolicznych równań fizyki
technicznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5

10.6.1 Zachowawcze metody numeryczne . . . . . . . . . . . . 122
10.7 Metody objętości skończonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.8 Metoda fal biegnących . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.9 Kilka istotnych schematów numerycznych dla równań fizyki
technicznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
10.10Metoda Godunowa dla układu hiperbolicznych równań fizyki
technicznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10.11Jedno-wymiarowe równania Eulera . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.11.1 Równania Eulera w zmiennych zachowawczych . . . . . 129
10.11.2 Równania Eulera w zmiennych prymitywnych . . . . . 130
10.12Warunek stabilności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10.13Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11 Wykład 19: Metody Godunowa i przybliżone sposoby rozwiązania
problemu Riemanna dla równań hiperbolicznych 132
11.1 Metoda Godunowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
11.2 Przybliżone metody rozwiązywania problemu Riemanna . . . . 133
11.3 Metoda Roe rozwiązania problemu Riemanna . . . . . . . . . 133
11.4 Zalecane eksperymenty numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.5 Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
12 Wykład 20: Schematy numeryczne wyższego rzędu dokładne
dla równań hiperbolicznych fizyki technicznej 137
12.1 Rekonstrukcja danych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
12.2 Metoda MUSCL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
12.3 Schemat MUSCL-Hancocka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
12.3.1 Metoda MUSCL-Hancocka dla równania unoszenia . . 143
12.4 Eksperymenty z pakietem NUMERICA . . . . . . . . . . . . . 145
6

12.4.1 Zalecane ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
12.4.2 Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
12.5 Zaśmiecające oscylacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
12.6 Kompatybilność danych numerycznych i metoda TVD . . . . . 147
12.7 Całkowita wariacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
12.8 Twierdzenie Hartena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
12.9 Symulacje numeryczne zanieczyszczeń powietrza . . . . . . . . 149
12.9.1 Model numeryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
12.9.2 Wyniki numeryczne i ich dyskusja . . . . . . . . . . . . 153
13 Wykład 21-22: Modelowanie numeryczne zjawisk fizyki technicznej
opisywanych równaniami magnetohydrodynamiki 157
13.1 Równania magnetohydrodynamiki . . . . . . . . . . . . . . . . 157
13.1.1 Postać zachowawcza równań magnetohydrodynamiki . 158
13.1.2 Postać niezachowawcza równań MHD . . . . . . . . . . 159
13.2 Problemy z numerycznymi rozwiązaniami równań MHD . . . . 162
13.2.1 Metody usuwania dywergencji B . . . . . . . . . . . . . 163
13.3 Zalecane ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
14 Wykład 23-24: Model polimeru, ropy naftowej i wody. Odkształcenia
sprężyste w belkach i innych układach mechanicznych
170
14.1 Dynamika ropy naftowej, wody i polimeru - zastosowanie w
przemyśle naftowym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
14.1.1 Zalecane ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
14.2 Odkształcenia sprężyste w układach mechanicznych . . . . . . 173
14.2.1 Zalecane ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7

15 Wykład 25-28: Równania płytkiej wody 175
15.1 Jedno-wymiarowe równania płytkiej wody . . . . . . . . . . . 175
15.2 Problem Riemanna dla jedno-wymiarowych równań płytkiej
wody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
15.3 Problem pękniętej tamy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
15.4 Numeryczne prognozowanie pogody . . . . . . . . . . . . . . . 177
15.4.1 Zalecane ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
16 Wykład 29-30: Problemy zaawansowane 180
16.1 Wielo-wymiarowe równania zachowania . . . . . . . . . . . . . 180
16.1.1 Metody rozszczepienia operatora . . . . . . . . . . . . 181
16.1.2 Metody nierozszczepialnego operatora . . . . . . . . . . 183
16.1.3 Strukturalne i niestrukturalne siatki numeryczne . . . . 184
16.1.4 Siatki samoadaptacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
16.2 Niejawne schematy numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
16.3 Ledwo niejawny schemat dla równań Eulera . . . . . . . . . . 191
17 Podsumowanie 193
18 Wnioski 194
19 Dodatek A: Schematy numeryczne dla równania unoszenia
w cienkich rurach 199
19.1 Schematy: w pełni dyskretne, pół-dyskretne i niejawne . . . . 199
19.2 Wycentrowany schemat Godunowa . . . . . . . . . . . . . . . 200
19.3 Schemat FORCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
20 Dodatek B: Schematy centralne dla praw zachowania 201
8

21 Dodatek C: Metody HLL i HLLC przybliżonego rozwiązania
problemu Riemanna dla równań fizyki technicznej 203
21.1 Komentarz o metodzie HLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
21.2 Schematy Rusanowa i Laxa-Friedrichsa . . . . . . . . . . . . . 206
21.3 Metoda HLLC rozwiązywania problemu Riemanna . . . . . . . 207
21.3.1 Metoda HLLC dla jedno-wymiarowych równań Eulera . 208
21.3.2 Podsumowanie metody HLLC . . . . . . . . . . . . . . 209
21.4 Oszacowanie prędkości fal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
22 Dodatek D: Inne numeryczne metody dla równań fizyki technicznej
211
22.1 Metoda WAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
22.1.1 Metoda WAF dla równania unoszenia . . . . . . . . . . 211
22.2 Uogólniony problem Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
22.3 Metoda kawałkami liniowej interpolacji . . . . . . . . . . . . . 215
22.4 Schemat ADER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
22.5 Wycentrowany schemat SLIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
22.6 Wersja TVD metody WAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
22.7 Obszar TVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
23 Dodatek E: Wartości i wektory własne macierzy Jacobiego
dla równań MHD 221
23.1 Osobliwości w wektorach własnych . . . . . . . . . . . . . . . 223
24 Dodatek F: Schemat numeryczny dla silnego pola magnetycznego
225
1

Forma i warunki zaliczenia wykładów
Egzamin lub obrona własnych projektów (programów lub wyników symulacji
komputerowych) zaliczeniowych.
1 Podręczniki akademickie - literatura obowiązkowa
1. LeVeque R., Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge
University Press, Cambridge 2002
2. Toro E.F., Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics:
A Practical Introduction, Springer 2009
3. Guinot V., Godunov-type schemes. An introduction for engineers, Elsevier
2003
4. Trangenstein J.A., Numerical solution of hyperbolic partial differential
equations, Cambridge University Press 2009
2

2 Wstęp
Ze wględu na złożoność zjawisk fizyki technicznej większość z nich można
opisać za pomocą równań, które na ogół nie dadzą się rozwiązać analitycznie.
W rezultacie równania te wymagają numerycznego traktowania. Podstawową
ideą eksperymentów numerycznych jest symulowanie ewolucji układu fizycznego
poprzez rozwiązanie odpowiedniego zestawu równań matematycznych,
które ten układ opisują. Typowym sposobem przeprowadzania symulacji numerycznych
jest skonstruowanie modelu matematycznego, zwykle w formie
układu równań różniczkowych, a następnie przetransformowanie tych równań
do postaci dyskretnej, która może być już traktowana numerycznie. W rezultacie
symulacje numeryczne polegają na zadaniu warunków początkowych i
śledzeniu ich ewolucji w czasie.
Symulacje numeryczne pojawiły się jako nowa dziedzina nauki uzupełniająca
zarówno eksperyment jak i teorię. Symulacje czasami mogą zastąpić
eksperyment, chociaż na ogół symulacje i eksperyment uzupełniają się.
Wyniki badań eksperymentalnych są często wyjaśnione symulacjami a symulacje
są zazwyczaj kalibrowane eksperymentem. Eksperyment dostarcza danych
symulacjom, które możemy postrzegać jako eksperymentowanie w fizyce
teoretycznej. Informacja zwrotna, którą dostarczają symulacje numeryczne
i ciągłe śledzenie wyników eksperymentów wraz z rezultatami badań analitycznych
sprawiają, że symulacje stają się nieodzownym narzędziem nauki.
Dlatego też wzrost mocy obliczeniowych komputerów i ich zasobów pamięci
wpłynął znacznie na rozwój symulacji komputerowych. Podobnie, poprawa
jakości algorytmów numerycznych znacząco wpłynęło na jakość otrzymanych
wyników.
Obecnie istnieje wiele metod konstrukcji schematów numerycznych, które
spełniają wyżej opisane wymogi. Metody typu Godunowa uważane są za
3

jedne z najbardziej efektywnych metod rozwiązania hiperbolicznych praw zachowania.
Godunow (1959) po raz pierwszy wprowadził pierwszego-rzędu dokładne
metody pod wiatr wśród rodziny prostych dyskretyzacji równań. Oryginalny
schemat Godunowa (1959) używa samo-podobnego rozwiązania problemu
Riemanna określonego dla kawałkami stałej funkcji w problemie Cauchy’ego.
Rozwiązanie to służy do określenia strumienia metodą pod wiatr.
Problem Riemanna dla układu praw zachowania jest zdefiniowany jako problem
Cauchy’ego odpowiadającym (klasycznie) dwum stałym stanom oddzielonym
nieciągłością. Godunow (1959) dowiódł twierdzenia, że jeśli schemat
numeryczny ma zachować monotoniczność rozwiązania, schemat ten musi być
co-najwyżej pierwszego-rzędu dokładny. Twierdzenie to wpłynęło zniechęcająco
na próby poprawy schematu numerycznego, który wprowadził Godunow.
Ulepszenie schematu na drugiego-rzędu dokładny odbywało się poprzez zastosowanie
nieoscylacyjnej, kawałkami liniowej rekonstrukcji z uśrednionych
po objętości komórek danych. Wydaje się, że to był Kolgan (1972), który
po raz pierwszy zaproponował redukcję szumów numerycznych poprzez zastosowanie
tzw. zasady minimalnej wartości pochodnych, otrzymując w ten
sposób nieoscylacyjny schemat typu Godunowa. Schemat ten był drugiegorzędu
dokładny dla gładkich rozwiązań. Następnie van Leer (1979) napisał
Monotone Upstream Scheme for Conservation Laws (MUSCL), w którym zastosował
drugiego-rzędu rekonstrukcję. Schemat ten został znacznie uproszczony
przez studenta mechanki płynów (UC Berkeley) Steve’a Hancocka w
1980 roku i dlatego nosi teraz nazwę schematu MUSCL-Hancocka.
Konstrukcja schematów numerycznych wyższego rzędu dokładności niż
dwa jest na ogół zawiła. W projektowaniu takich schematów napotykamy conajmniej
trzy trudności. Jedna z nich polega na zachowaniu wyższego-rzędu
dokładności, zarówno w przestrzeni jak i czasie, w układach fizycznych opisy-
4

wanych wielo-wymiarowymi równaniami, które dodatkowo zawierają człony
źródłowe. Inna trudność polega na zachowaniu wielkości fizycznych w obecności
szoków. Dodatkowa trudność związana jest z powstawaniem “zaśmiecających”
oscylacji, które szczególnie uwidaczniają się w pobliżu stromych profili.
Zgodnie z twierdzeniem Godunowa (1959) są one nieuniknione w schematach
numerycznych o dokładności większej niż jeden. Oscylacje te stanowią
szumy numeryczne, które mogą doprowadzić do wygenerowania niestabilności.
Dlatego ich wyeliminowanie jest wysoce pożądane. W celu ich usunięcia
stosowane są nieliniowe adaptacyjne schematy numeryczne.
Cel i zakres wykładów
Powody badań praw zachowania w fizyce technicznej są oczywiste: prawa
te opisują zjawiska w wielu dziedzinach nauki począwszy od modelowania
unoszenia zanieczyszczeń z wykorzystaniem równania adwekcji do badania
supernowych w astrofizyce poprzez równania magnetohydrodynamiki. Ponieważ
interesujące nas prawa zachowania są nieliniowe, na ogół nie jest
możliwe otrzymanie ich rozwiązań w sposób jawny. Stąd istnieje potrzeba
wypracowania metod numerycznych w celu otrzymania przybliżonych rozwiązań.
Zaprojektowanie i implementacja wydajnych metod numerycznych
stanowi główny cel tych materiałów dydaktycznych.
W celu zaprojektowania wydajnych metod numerycznych musimy zrozumieć
strukturę rozwiązań analitycznych praw zachowania. Dlatego po krótce
przedyskutujemy właściwości teoretyczne rozwiązań, które są odpowiednie
do zaprojektowania i analizy schematów numerycznych.
Symulacje numeryczne często są jedynym narzędziem służącym do zbadania
dynamiki układów złożonych. Chociaż różnorodność układów fizycznych,
które możemy analizować numerycznie, stale rośnie, oczekujemy na rozwią-
5

zania bardziej złożonych układów. Model numeryczny może być użyty do
zintepretowania wyników pomiarów, rozszerzenia istniejących modeli analitycznych
i numerycznych na obszary o większym zakresie parametrów i jakościowej
weryfikacji istniejących teorii. Jest to możliwe poprzez porównanie
przewidywań modelu numerycznego z danymi eksperymentalnymi.
Głównym celem niniejszego wykładu jest wypracowanie technik modelowania
komputerowego zjawisk fizyki technicznej. Z wykorzystaniem pakietów
numerycznych, np. jak Numerica, Clawpack, Compact, Centpack i innych,
rozważać będziemy unoszenie zanieczyszczeń, zjawisko młota wodnego, ruch
drogowy, przepływ płynów w rurach i innych ośrodkach sprężystych. Przedyskutujemy
także fale na płytkiej wodzie, zajmiemy się problematyką przewidywania
pogodny i falami w plazmie. Zajęcia przygotują słuchaczy do modelowania
zjawisk w ośrodkach ciągłych w zastosowaniu do układów fizyki
technicznej.
6

3 Wykład 1-3: Istota modelowania i symulacji
komputerowych w fizyce technicznej
Plan wykładu
• rachunki numeryczne a teoria i eksperyment w fizyce technicznej
• zjawiska opisywane skalarnymi równaniami hiperbolicznymi
• modelowanie pogody z wykorzystaniem równań płytkiej wody
• zjawiska w płynach - równania Eulera
• model magnetohydrodynamiczny plazmy
3.1 Rachunki numeryczne a teoria i eksperyment w fizyce
technicznej
Gwałtowny rozwój technik komputerowych przyczynił się do tego, że rachunki
numeryczne zyskały status nowej dziedziny badawczej, z cechami podobieństwa
do teorii i eksperymentu.
W fizyce technicznej używamy komputera do modelowania zjawisk w celu
ich lepszego zrozumienia.
3.2 Nasze pierwsze rachunki w fizyce technicznej
Osoba może wykonać dziennie średnio około 40 kroków iteracji w czasie
równania różniczkowego. Zastosowanie metod komputerowych znacznie
przyśpiesza wykonanie rachunków i otrzymanie wysokiej jakości wyników.
To szybkość przeprowadzania rachunków i jakość wyników w głównej mierze
stymulują rozwój metod numerycznych.
7

Rozpocznijmy swoją przygodę od rozpatrzenia równania falowego (równanie
to wyprowadzimy w dalszej części materiałów)
q ,tt − c 2 q ,xx = 0 , (1)
gdzie użyliśmy następującej notacji dla pochodnych:
q ,tt ≡ ∂2 q
∂t 2 ,
q ,xx ≡ ∂2 q
∂x 2 . (2)
Symbole t i x oznaczają odpowiednio czas i współrzędną przestrzenną a c
jest prędkością fali opisywanej funkcją q(x, t).
Rysunek 1: Siatka numeryczna rozmiarze przestrzennym ∆x i kroku czasowym
∆t.
Zapiszmy równanie (1) w postaci dyskretnej. W tym celu wprowadźmy
stały rozmiar (jednorodnej) siatki numerycznej ∆x i krok czasowy ∆t (rys. 1):
x i = i∆x , i = 0, 1, . . . , M , ∆x = x i+1 − x i , (3)
t n = n∆t , n = 0, 1, . . . , n max , ∆t = t n+1 − t n . (4)
8

Wtedy wartość funkcji falowej q(x = x i , t = t n ) zapiszemy jako
q n i = q(x = x i , t = t n ) . (5)
Zastępując w równaniu (1) pochodne odpowiednimi schematami różnicowymi
(szczegóły implementacji schematów będziemy dyskutowali w dalszych
częściach niniejszych materiałów dydaktycznych) otrzymamy schemat numeryczny,
który posłuży nam do numerycznego rozwiązania równania falowego.
Schemat numeryczny wykorzystajmy w poniższym skrypcie napisanym w języku
IDL/GDL.
; *******************************************************************
; Program w IDL-u/GDL-u rozwiązujący problem początkowy dla równania falowego:
;
; q_tt (x,t) = c^2*q_xx(x, t)
;
; *******************************************************************
; funkcja określająca warunek początkowy
function F, x
; return, sin( 3.14159265*x )
; return, sin( 3.14159265*x ) + sin( 2*3.14159265*x )
; return, sin( 3.14159265*x/4 )
return, exp( -( ( x - 2 )/( 2*0.25 ) )^2 )
;
; -----------
; rectangle
9

;
; F = 0.0
; if(abs(x-2) LE 0.5) then begin
; F = 1.0
; endif
; return, F
; -----------
end
; *****************
; program główny
; *****************
window,0,xsize=800,ysize=600
;rozmiar okna, w którym wyświetlane są wyniki
nx = 200 ; ilość komórek siatki numerycznej
xmin = 0.0
; min x
xmax = 4.0
; max x
show_delay = 0.02
; wstrzymanie rysowania wykresu
; deklaracja wektorów
x = fltarr(nx)
q3 = fltarr(nx)
q2 = fltarr(nx)
q1 = fltarr(nx)
10

c = 1
r = 0.9
; prędkość fali
; liczba Couranta - parametr decydujący o sta
dx = ( xmax-xmin )/( nx - 1 )
dt = ( dx*r )/c
; rozmiar komórki numerycznej
; krok czasowy - warunek stabilności schematu
for i = 0, nx-1 do begin
x(i) = xmin + i*dx
endfor
; punkty siatki numerycznej
; warunek początkowy
for i = 0, nx-1 do begin
q1(i) = F(x(i))
q3(i) = q1(i)
endfor
;parametry wykresu
!x.style = 1
!y.style = 1
; zakres wyświetlanych wyników
!x.range = [min(x),max(x)]
!y.range = [ -0.1, 1.1 ]
; tytuły osi
!x.title = ’x’
!y.title = ’q’
; styl osi x
; styl osi y
11

!p.charsize = 1.5
; wielkość znaków
plot, x, q3
wait, show_delay
; wykres q3
; wstrzymanie rysowania wykresu o show_delay
; rozwiązanie równania metodą różnic skończonych:
for i = 1, nx-2 do begin
q2(i) = ( 1 - r*r )*F(x(i)) + r*r*( F(x(i+1)) + F(x(i-1)) ) * 0.5
q3(i) = q2(i)
endfor
; zadanie otwartych warunków brzegowych
q2(0) = q1(1)
q2(nx-1) = q1(nx-2)
q3(0) = q2(0)
q3(nx-1) = q2(nx-1)
plot, x, q3
wait, show_delay
; -----------------
; iteracje w czasie
; -----------------
for j=0, nx+0 do begin
12

for i=1, nx-2 do begin
q3(i) = ( 2 - 2*r*r )*q2(i) + r*r*( q2(i-1) + q2(i+1) ) - q1(i)
endfor
; warunki brzegowe
q3(0) = q2(1)
q3(nx-1) = q2(nx-2)
plot, x, q3
wait, show_delay
for i=0, nx-1 do begin
q1(i) = q2(i)
q2(i) = q3(i)
endfor
endfor
end
Uruchamiając powyższy skryp IDLa/GDLa zauważmy, że zaburzenie początkowe
opisane funkcją Gaussa, rozpada się na dwie fale D’Alembert’a. Fale
te rozchodzą się w przeciwnych kierunkach i mają o połowę mniejszą amplitudę
od zaburzenia początkowego. W końcowej fazie symulacji widoczne są
błędy numeryczne związane z odbiciami od brzegów obszaru symulacji. Błędy
numeryczne będziemy dyskutować w dalszych częściach wykładu.
13

Wybierzmy teraz jako stan (warunek) początkowy falę prostokątną. Zauważmy,
że schemat numeryczny prowadzi do licznych oscylacji, które zaśmiecają
rozwiązanie fizyczne. Schemat, który działa dobrze dla zaburzeń
gładkich (np. zadanych funkcją Gaussa), wykazuje więc duże problemy z
poprawnym rozpodobnieniem nieciągłości. Naszym celem jest przedstawienie
metod, które radzą sobie dobrze z reprezentacją stromych profili, które
są jednym z charakterystycznych rozwiązań nieliniowych równań różniczkowych.
Każda z fal D’Alambert’a może być opisana równaniem adwekcji (ang.
advection equation):
q ,t + cq ,x = 0 . (6)
Równanie to będziemy dyskutować w szczegółach poniżej. Warto jednak
zwrócić uwagę, że w fizyce technicznej wyróżniamy zarówno adwekcję, której
towarzyszy unoszenie z określoną prędkością c, i konwekcję, która jest procesem
unoszenia lżejszych części płynu. Adwekcja może jednak występować
bez obecności pola grawitacyjnego, które jest niezbędne dla procesu konwekcji.
Poniżej będziemy jednak równanie (6) określać mniej porawną ale za to
rodzimie brzmiącą nazwą a mianowicie równaniem unoszenia.
Ewolucję zadanego dla czasu t = 0 zaburzenia początkowego dla równania
unoszenia możemy prześledzić uruchamiając poniższy skrypt IDLa/GDLa:
; *******************************************************************
; metody numerycznego rozwiązywania problemu początkowego
; dla r-nia unoszenia q_t + c q_x = 0
; *******************************************************************
;window,0,xnx=500,ynx=300
14

nx = 1000 ; liczba komórek siatki numerycznej
xmin = 0.0 ; początek obszaru symulacji
xmax = 10.0 ; koniec obszaru symulacji
pocz = 1
szer = 1
; początek impulsu
; szerokość impulsu
x = fltarr(nx)
q = fltarr(nx)
p = fltarr(nx) ; dla Laxa-Wendroffa
n = fltarr(nx) ; dla Godunowa (Fromma)
c = 1 ; predkosc unoszenia
cfl = 0.9
; liczba Couranta < 1 ze wzgledu na stablinosc schematow numeryczn
dx = (xmax-xmin) / nx
dt = (dx/c)*cfl
; szerokość komórki numerycznej
; przyrost czasu
; określenie punktów siatki numerycznej
for i=0,nx-1 do begin
x(i) = xmin + i*dx
endfor
; *************************************************************************
; zaburzenie początkowe
; *************************************************************************
15

;--------------------------prostokąt--------------------------------------
;for i=0,nx-1 do begin
; q(i) = 0
; if ((x(i) GE pocz) && (x(i) LE pocz+szer)) then begin
; q(i)=1
; endif
;endfor
;--------------------------Gauss------------------------------------------
;for i=0,nx-2 do begin
; q(i) = exp(-((x(i)-3.0)/(2*0.5))^2)
;endfor
;--------------------------sinus------------------------------------------
;for i=0,nx-1 do begin
; q(i)=0
; if ((x(i) GE pocz) && (x(i) LE pocz + 2*3.14)) then begin
; q(i)=sin(x(i)-pocz)
; endif
;endfor
;--------------------------trojkat----------------------------------------
for i=1,nx-2 do begin
q(i) = 0
if ((x(i) GE pocz) && (x(i) LT pocz+szer)) then begin
q(i) = q(i-1) + dx
endif
if ((x(i) GE pocz+szer) && (x(i) LT pocz + 2*szer)) then begin
q(i) = q(i-1) - dx
endif
16

endfor
; parametry rysunku
; ********************
!x.style = 1
!y.style = 1
!y.range = [min(q)-0.2,max(q)+0.2]
!x.title = ’x’
!y.title = ’q’
!p.charsize = 1.5
; styl linii OX
; styl linii OY
; zakres zmiennej y
; tytul osi OX
; tytul osi OY
; wielkość znaków
; ****************
; iteracje w czasie
; ****************
;
for k = 1, 120 do begin
; warunki brzegowe - określenie wartości w komórkach duchach
; -------------- otwarte -----------------------------------
q(0) = q(1) ; z lewej strony
q(nx-1) = q(nx-2) ; z prawej strony
; -------------- okresowe ----------------------------------
; q(0) = q(nx-2) ; z lewej strony
; q(1) = q(nx-3) ; z lewej strony
; q(nx-1) = q(1) ; z prawej strony
; q(nx-2) = q(2) ; z prawej strony
17

; =====================
; schematy numeryczne
; =====================
;-------------------------FTBS-------------------------------
; for i=1,nx-2 do begin
; q(i)=q(i) - c*dt/dx*(q(i)-q(i-1))
; endfor
;-------------------------FTCS-------------------------------
; for i=1,nx-2 do begin
; q(i)=q(i) - c*dt/(2*dx)*(q(i+1)-q(i-1))
; endfor
;-------------------------Lax-Friedrichs---------------------
; for i=1,nx-2 do begin
; q(i)=((q(i-1)+q(i+1))/2) - c*(dt/(2*dx))*(q(i+1)-q(i-1))
; endfor
;-------------------------pod wiatr--------------------------
; for i=1,nx-2 do begin
; q(i)=q(i) - (dt/(2*dx))*((c+abs(c))*(q(i)-q(i-1))+(c-abs(c))*(q(i+1)-q(i)))
; endfor
;------------------------Lax-Wendroff------------------------
for i=1,nx-2 do begin
p(i)=(((q(i-1)+q(i))/2) - (c*(dt/dx)*((q(i)-q(i-1))/2)))
endfor
for i=1,nx-2 do begin
q(i)=(q(i) - (c*(dt/dx)*(p(i+1)-p(i))))
endfor
;-----------------------MacCormack----------------------------
18

; for i=1,nx-2 do begin
; p(i)=(q(i) - ( c*(dt/dx)*(q(i)-(q(i-1)))) )
; endfor
; for i=1,nx-2 do begin
; q(i)=(((q(i)+p(i))/2) - (c*(dt/dx)*((p(i+1)-p(i))/2)))
; endfor
;-----------------------Godunow (Fromm)-----------------------
; for i=1,nx-2 do begin
; n(i)=((q(i+1)-q(i-1))/(2*dx))
; endfor
; for i=1,nx-2 do begin
; p(i)=(q(i)-q(i-1)+((1/2)*(dx-(c*dt))*(n(i)-n(i-1))))
; endfor
; for i=1,nx-2 do begin
; q(i)=(q(i)-(v*(dt/dx)*p(i)))
; endfor
plot,x,q
wait,0.05
endfor
end
3.2.1 Zalecane ćwiczenie
Wykonajmy następujące eksperymenty numeryczne:
1. dokonajmy uruchomienia powyższego skryptu dla różnych warunków
19

początkowych
2. wybierzmy różne schematy numeryczne
Szczegóły dotyczące schematów numerycznych będziemy dyskutowali poniżej.
3.3 Prawo zachowania
Wiele procesów fizyki technicznej opisywanych jest podstawowymi prawami
zachowania takimi jak: zachowanie masy, energii, pędu, ładunku itd.
Procesy te opisywane są równaniem zachowania, np.
ϱ ,t + ∇ · (ϱv) ≡ ϱ ,t + v · ∇ϱ + ϱ∇ · v = 0 . (7)
Tutaj ϱ jest uogólnioną gęstością a v oznacza prędkość przepływu. Człon
v · ∇ϱ opisuje adwekcję a ϱ∇ · v odpowiada kompresji lub procesowi odwrotnemu,
czyli rozrzedzeniu.
v
v
X
X
1 2
Rysunek 2: W przedziale < x 1 , x 2 > masa ulega zmianie wskutek wpływu materii
z lewej strony i wypływu w punkcie x = x 2 .
Wyprowadzimy teraz równanie zachowania masy w przypadku jednowymiarowej
dynamiki płynu. Bardziej ogólnego wyprowadzenia dokonali np.
Landau i Lifshitz (1986). Niech x i ϱ(x, t) oznaczają odpowiednio odległość
i gęstość masy w punkcie x. Załóżmy, że w płynie nie ma źródeł i ubytków
masy, co oznacza, że masa nie jest tworzona i nie znika w układzie. Wtedy
masa na odcinku < x 1 , x 2 > może ulec zmianie tylko wskutek przepływu
20

przez punkty brzegowe x 1 i x 2 (rys. 2). Zmiana masy w czasie (reprezentowana
przez pochodną w czasie) jest spowodowana strumieniem wpływającym
z lewej strony i strumieniem wypływającym z prawej strony. To oczywiste
stwierdzenie możemy zapisać następująco:
∫
d x2
ϱ(x, t)dx = ϱ(x 1 , t)v(x 1 , t) − ϱ(x 2 , t)v(x 2 , t) , (8)
dt x 1
gdzie v(x, t) jest prędkością przepływu a iloczyn gęstości masy ϱ(x, t) i v(x, t)
jest równy strumieniowi. Dla funkcji różniczkowalnych z powyższego r-nia
otrzymamy
lub
∫ x2
x 1
∫ x2
∫ x2
ϱ ,t dx = − (ϱv) ,x dx (9)
x 1
x 1
[ϱ ,t + (ϱv) ,x ]dx = 0 . (10)
Ponieważ równanie to jest spełnione dla dowolnego przedziału < x 1 , x 2 >,
wyrażenie pod całką musi być równe zero, czyli
ϱ ,t + (ϱv) ,x = 0 . (11)
Otrzymaliśmy w ten sposób odpowiednik różniczkowy prawa zachowania
masy. W przypadku stałej prędkości v w równaniu (11) otrzymamy równanie
unoszenia
ϱ ,t + vϱ ,x = 0. (12)
Równanie (11) możemy także zapisać w postaci Lagrange’a (ang. Lagrangian
form) następująco:
ϱ ,t + vϱ ,x ≡ dϱ
dt = −ϱv ,x, (13)
gdzie dwa człony stojące po lewej stronie zawierają pochodne Eulera po czasie
(ang. Eulerian time derivative) i adwekcyjną pochodną po zmiennej przestrzennej
x (ang. advective space derivative). Człony te można połączyć w
21

pochodną Lagrange’a dϱ/dt, która oznacza zmianę ϱ w układzie poruszającym
się z prędkością v.
3.4 Równania hiperboliczne
Równania hiperboliczne - równania cząstkowe zapisane następująco:
q ,t + f(q) ,x + g(q) ,y + h(q) ,z = s . (14)
Tutaj q jest wektorem stanu, składowe strumienia [f, g, h] i człon źródłowy
s zapiszemy jako
q = [q 1 , . . . , q m ] T , f = [f 1 , . . . , f m ] T , s = [s 1 , . . . , s m ] T , m = 1, 2, . . . . (15)
Symbol T odpowiada transpozycji (przestawieniu elementów) wektora.
Zauważmy, że nie każde równanie zapisane w postaci (14) jest równaniem
hiperbolicznym. Aspekt ten będziemy dyskutować poniżej przy okazji
podania defincji równań hiperbolicznych.
3.4.1 Typowe skalarne równania hiperboliczne fizyki technicznej
W przypadku m = 1 i przestrzeni jedno-wymiarowej równanie (14) upraszcza
się do skalarnego równania hiperbolicznego
q ,t + f(q) ,x = 0 . (16)
Typowe przykłady takiego równania to:
1. równanie unoszenia (np. Toro 2009) ze strumieniem
f(q) = λq , λ = const. (17)
2. nielepkie równanie Burgersa (np. Toro 2009), dla którego
f(q) = 1 2 q2 . (18)
22

3. równanie ruchu drogowego (np. LeVeque 2002) ze strumieniem
f(q) = a(1 − q)q . (19)
4. równanie Buckley-Leveretta (np. LeVeque 2002) z
f(q) =
3.5 Równanie ruchu drogowego
q 2
q 2 + b(1 − q) 2 . (20)
Rozważmy prosty model ruchu drogowego. Niech q(x, t) oznacza gęstość
pojazdów, wyrażającą się ilością pojazdów na jednostkę długości drogi i niech
v(q) będzie oznaczać ich prędkość. Strumień pojazdów jest wtedy określany
jako vq. Zakładając, że na drodze nie ma odjazdów ani dojazdów, prawo
zachowania możemy wyrazić następująco:
Prędkość v(q) możemy określić jako
q ,t + (vq) ,x = 0 . (21)
(
v(q) = v max 1 − q )
, (22)
q max
gdzie v max jest maksymalną prędkością pojazdów a q max ich maksymalną
gęstością. Z powyższego wyrażenia wynika, że w przypadku braku pojazdów
(przypadek q = 0) prędkość v = v max . Przypadek całkowicie zapełnionej
drogi (przypadek q = q max ) odpowiada zerowej prędkości pojazdów, czyli
v(q) = 0.
Bardziej zaawansowany model ruchu drogowego można znaleźć w monografii
Guinota (2003). Model ten oparty jest na następujących równaniach
zachowania masy i pędu, czyli
q ,t +
( ) q
2
ϱ
,x
ϱ ,t + q ,x = s i − s e , (23)
+ auϱ ,x − aq ,x = γϱ + (s i − s e ) q ϱ . (24)
23

Tutaj ϱ jest gęstością pojazdów, a q ich pędem, a jest dodatnim czynnikiem,
który wyraża intensywność reakcji kierowców na zmianę warunków jazdy z
przodu pojazdów, s i i s e oznaczają ilość samochodów na jednostkę długości
wjeżdżających i zjeżdżających z drogi a γ jest przyspieszeniem pojazdu.
3.5.1 Zalecane ćwiczenia
Z wykorzystaniem gotowego programu numerycznego zalecamy wykonanie
następujących eksperymentów numerycznych:
1. zapoznanie się z modelem ruchu drogowego wprowadzonym przez Guinota
(2003) i z programem numerycznym “Traffic.for”
2. wykonanie symulacji odpowiadających włączeniu sygnalizacji świetlnej
czerwonej
3. wykonanie symulacji odpowiadających włączeniu sygnalizacji świetlnej
zielonej
3.6 Przepływ płynu w rurach
3.6.1 Równanie przemysłu naftowego
Rozpatrzmy płyn składający się z dwóch faz przepływających w ośrodku
porowatym. Za klasyczny przykład może posłużyć nam proces pozyskiwania
ropy naftowej poprzez wpompowywanie wody do złoża ropy naftowej, z
którego ropa była już pozyskana w tradycyjny sposób. Pozostałości ropy naftowej
w takim złożu wydobywa się poprzez wpompowanie pod dużym ciśnieniem
wody w uprzednio przygotowane studnie. Rozważmy jedno-wymiarowy
model oddziaływania wody z ropą naftową. Niech q(x, t) oznacza stopień nasycenia
(ang. saturation) wody, czyli iloraz objętości zajmowanej przez wodę
24

do objętości ośrodka porowatego (ang. pore). Oczywiste jest, że 0 ≤ q ≤ 1.
Wtedy 1 − q(x, t) odpowiada stopniowi nasycenia ropy naftowej.
Buckley i Leverett zaproponowali w 1942 roku model oddziaływania wody
i ropy naftowej wprowadzając strumień wody:
i strumień ropy naftowej
f w (q) = V d
q 2
q 2 + a(1 − q) 2 (25)
f r (q) = V d
a(1 − q) 2
q 2 + a(1 − q) 2 . (26)
Tutaj 0 < a < 1 jest stałym parametrem a V d jest tzw. prędkością Darcy’ego
zdefiniowaną jako prędkość wody w ośrodku porowatym.
Z uwagi na zależność
f w (q) + f r (q) = 1 (27)
musimy rozwiązać tylko jedno równanie zachowania dla np. ropy naftowej,
czyli
q ,t + (f r (q)) ,x = 0 . (28)
Zwróćmy uwagę, że w powyższym równaniu f r ,qq może osiągać wartości
zarówno ujemne, dodatnie i zero. Dla takiego przypadku mówimy, że strumień
f r jest niewypukły. Fakt ten ma swoje konsekwencje w numerycznych
metodach rozwiązywania równania przemysłu naftowego. Szczegóły można
znaleźć w monografiach LeVeque’a (2002), Guinota (2003) i Trangensteina
(2008).
3.6.2 Zalecane eksperymenty numeryczne
Z wykorzystaniem gotowego programu numerycznego wykonajmy kilka
eksperymentów numerycznych naśladujących proces wydobycia ropy naftowej
poprzez wpompowanie wody.
25

3.6.3 Równania wodnego młota
Termin wodnego młota (ang. water hammer) oznacza zjawiska związane
z gwałtowną zmianą ciśnienia zachodzącą w układzie rur. Zmiany te wywołane
są działaniem zaworów, pomp i turbin. W czasie tych zjawisk woda i
rury poddane są działaniu wysokich ciśnień. Mała ściśliwość wody i elastyczność
rur powoduje, że fale ciśnieniowe biegną od miejsca ich generacji do
odległych obszarów systemu rur. Typowa prędkość tych fal wynosi około 1
km/s. Zmiany ciśnienia mogą osiągnąć nawet wartość 10 6 Pa, co odpowiada
ciśnieniu hydrostatycznemu kolumny wody o wysokości 100 m. Po odbiciu
fal ciśnienie może spaść do bardzo małych wartości prowadząc do zjawiska
kawitacji. Kawitacja jest zjawiskiem polegającym na gwałtownej przemianie
fazowej z fazy ciekłej w fazę gazową pod wpływem zmiany ciśnienia. Jeżeli
płyn gwałtownie przyśpiesza zgodnie z zasadą zachowania energii, ciśnienie
statyczne cieczy musi zmaleć. Dzieje się tak np. w wąskim otworze przelotowym
zaworu. W wyniku tego pojawiają się małe prędkości przepływu (rzędu
kilku metrów na sekundę). Tarcie jest wtedy małe a fale mogą doznawać wielokrotnych
odbić od różnych części systemu rur zanim ich amplituda znacznie
się zmniejszy. Te wielokrotne odbicia mogą powodować nakładanie się kilku
fal, które prowadzą do dużych lokalnych maksimów w ciśnieniu. Zjawiska te
powstają w skali czasu milisekund i mogą one powodować duże zniszczenia
systemu rur.
Równania wodnego młota możemy wyprowadzić z prawa zachowania masy
i pędu. Dla rury o stałym przekroju równania te zapiszemy następująco (Guinot
2003):
q m ,t +
(
Ap + q2 m
µ
µ ,t + q m ,x = 0 , (29)
)
,x
26
= −f d |u|u , (30)

gdzie A jest polem przekroju rury, f d oznacza współczynnik tarcia (który
zależy od szorstkości rury i lepkości płynu w rurze), p jest ciśnieniem gazu,
q m jest zaburzoną gęstością pędu (zaburzonym strumieniem masy) płynu, u
jest prędkością płynu a µ oznacza gęstość liniową płynu wyrażoną jako masę
płynu przypadającą na jednostkę długości rury. Oznaczając gęstość płynu
przez ϱ możemy napisać
µ = ϱA , (31)
q m = µu = ϱAu . (32)
Człon źródłowy w równaniu (30) wyraża fakt, że dyssypacja energii spowodowana
turbulencją jest proporcjonalna do kwadratu prędkości. Znak minus
w tym członie oznacza, że siła tarcia ma przeciwny zwrot niż prędkość
przepływu.
Prędkość fal ciśnieniowych c w przypadku przekroju kołowego rury możemy
wyrazić następująco:
c =
κ f
(
1 +
κ f D
Ee
) , (33)
gdzie D jest średnicą rury, e jest jej grubością, E oznacza moduł Younga
materiału, z którego wykonana jest rura a κ f jest ściśliwością płynu w rurze.
3.6.4 Zalecane eksperymenty numeryczne
1. z wykorzystaniem przygotowanego programu numerycznego wykonajmy
kilka symulacji numerycznych zjawisk opisanych równaniami wodnego
młota (29) i (30)
2. zapoznajmy się z programem i dokonajmy wizualizacji danych numerycznych
27

3. symulacje numeryczne mogą polegać na generowaniu lokalnych zaburzeń
w gęstości masy lub prędkości i śledzeniu ewolucji zaburzeń w
czasie
3.7 Model plazmy - równania idealnej magnetohydrodynamiki
Termin plazma został wprowadzony przez Tonksa i Langmuir’a (1929) w
czasie ich badań nad oscylacjami elektrycznych wyładowań w gazach. Plazma
może być wytworzona termicznie. Wyobraźmy sobie następujący eksperyment.
Dostarczajmy energii na sposób ciepła ciału stałemu, np. lodowi.
Wskutek tego lód doznaje przejścia fazowego do nowego stanu, który jest
cieczą. Jeżeli będziemy nadal podgrzewać ciecz, ulegnie ona wyparowaniu
i stanie się gazem. Dodatkowe dostarczanie energii doprowadzi do jonizacji
cząsteczek pary wodnej. Przy odpowiednio wysokiej temperaturze, która
zwykle przewyższa 10 5 K, większość materii będzie znajdowała się w stanie
zjonizowanym - zwanym plazmą. Plazma może istnieć w temperaturze niższej
niż 10 5 , jeżeli istnieje mechanizm jonizujący gaz i jeżeli gęstość masy jest
dostatecznie mała, aby rekombinacja nie była zbyt intensywna.
W przeciwieństwie do konwencjonalnych gazów, takich jak większość płynów,
plazma może przewodzić prąd elektryczny. Ponieważ plazma zachowuje
się inaczej niż materia w innych stanach skupienia, plazma jest często nazywana
czwartym stanem skupienia. Nazwa ta była wprowadzona przez Crookes’a
(1879) w celu opisu zjonizowanego ośrodka wytworzonego w czasie
wyładowań elektrycznych w gazie.
Ze względu na niską temperaturę i wysoką gęstość plazma w warunkach
zmienskich nie występuje w stanie naturalnym. Plazmę możemy jednak znaleźć
w świetle fluorescencyjnym i być może w mniej znanych miejscach takich
28

jak w pobliżu powierzchni lądujących statków kosmicznych. Plazma istnieje
także w górnych warstwach atmosfery ziemskiej (zwanej jonosferą), gdzie
powstaje ona wskutek fotojonizacji rozrzedzonego gazu. Plazma dociera do
Ziemi ze Słońca w postaci wiatru słonecznego, który składa się głównie z protonów
i elektronów i wypełnia ośrodek międzyplanetarny. Przypuszcza się,
że aż 99.9 % wszechświata składa się z plazmy.
Wiele zjawisk w plazmie opisywanych jest rówananiami Maxwell’a (np.
Dendy 1990), które mogą być zapisane następująco:
∇ · B = 0 , (34)
∇ · E = q ε , (35)
1
µ ∇ × B = εE ,t + j , (36)
∇ × E = −B ,t . (37)
W celu wyeliminowania natężenia pola magnetycznego H i przesunięcia elektrycznego
D, w równaniach tych użyliśmy
B = µH , (38)
D = εE . (39)
Tutaj E oznacza pole elektryczne, q jest gęstością ładunku, µ i ε są odpowiednio
przenikalnością magnetyczną i stałą elektryczną. Dla próżni wielkości te
osiągają odpowiednio wartości µ = 4π · 10 −7 H/m i ε ≃ 8.854 · 10 −12 F/m.
Symbol j oznacza gęstość prądu, określonej prawem Ohma
j = σ(E + v × B) . (40)
Tutaj σ oznacza współczynnik przewodnictwa elektrycznego.
Równania Maxwella mają fizyczną interpretację. Równanie (34) stanowi
warunek braku monopoli magnetycznych, podczas gdy równanie (35) i prawo
29

Faradaya (37) zakłada, że pole elektryczne może być generowane poprzez
ładunki elektryczne lub zmienne w czasie pole magnetyczne. Prawo Ampera
(36) natomiast stanowi, że prąd elektryczny lub zmienne w czasie pole
elektryczne może generować pole magnetyczne.
3.7.1 Model kinetyczny plazmy
Istnieją przypadki w geofizyce (np. Shizgal, Hubert 1989) i fizyce przestrzeni
kosmicznej (Shizgal, Blackmore 1986), w których średnia droga swobodna
cząsteczek (zdefiniowana jako średnia odległość jaką przebywa cząsteczka
między zderzeniami) jest porównywalna lub większa niż lokalna skala
przestrzenna. W tych przypadkach plazma jest tak rozrzedzona, że równania
płynowe nie stanowią już dobrego opisu i teoria kinetyczna jest niezbędna.
Rozważmy plazmę, której i-ty składnik, posiada ładunek elektryczny e i ,
masę m i , gęstość liczbową n i , prędkość v i i temperaturę T i . Procesy kinetyczne
charakteryzują się skalami czasowymi, które są związane z częstością
plazmową,
i częstością cyklotronową,
ω i =
√
ni e 2 i
εm i
, (41)
Ω i = |e i|B
m i
, (42)
gdzie B jest wartością indukcji pola magnetycznego. W skrócie, indukcję
pola magnetycznego będziemy nazywać polem magnetycznym. Skala długości
określona jest tymi częstościami i odpowiednimi prędkościami. Skale te to:
a) długość Debye’a
Tutaj k B jest stałą Boltzmanna;
λ Di =
√
εkB T
n i e 2 i
. (43)
30

) termiczny promień żyroskopowy
r ti = c i
Ω i
(44)
z prędkością dźwięku
c) promień żyroskopowy
d) długość inercyjna
c i =
√
kB T i
m i
; (45)
r di = v i
Ω i
; (46)
λ i = c ω i
. (47)
Kinetyczny (płynowy) opis plazmy jest wymagany wtedy, kiedy powyższe
skale są większe niż lub porównywalne do (mniejsze od) skal zjawiska fizycznego.
Istnieje też reżim pośredni, dla przykładu, kiedy efekty kinetyczne są
istotne wzdłuż równowagowego pola magnetycznego a są one zaniedbywalne
w kierunku prostopadłym. W innym przypadku różne składniki plazmy mogą
być traktowane w różny sposób. W opisie hybrydowym jedne składniki są
opisane równaniami kinetycznymi a inne potraktowane są jako płyn.
Stan gazowy może być opisany z wykorzystaniem funkcji dystrybucji dla
różnych składników. Dla odpowiednio rozrzedzonych gazów jedna funkcja
dystrybucji f(v, r, t) jest zwykle wystarczająca przy założeniu, że nie ma
korelacji między dwiema cząstkami. Funkcja dystrybucji jest zdefiniowana
jako wielkość
f(v, r, t)dv dr , (48)
która równa jest ilości cząsteczek o prędkości zawartej w przedziale < v, v +
dv > i znajdujących się w przestrzeni < r, r+dr > w czasie t. Dystrybucja ta
zależy od siedmiu argumentów: trzech składowych prędkości, trzech składowych
wektora położenia r i czasu t. Zredukowanie tej liczby argumentów jest
31

zwykle wymagane, aby uczynić problem możliwym do rozważania. Redukcję
osiąga się poprzez wyrażenie dystrybucji za pomocą momentów.
Pierwszym momentem jest gęstość liczbowa
∫
n(r, t) = f(v, r, t)dv . (49)
Stąd gęstość masy ϱ jest
ϱ(r, t) = m n(r, t) , (50)
gdzie m jest masą cząstki. Mikroskopowy opis odnosi się do f(v, r, t), podczas
gdy w opisie makroskopowym używamy ϱ(r, t).
Zjawiska kinetyczne opisane są równaniem Własowa (np. Dendy 1990,
Nocera, Mangeney 1999),
f i ,t + v · ∇f i + e i
m i
[E + (v × B)] · f i ,v = 0 , (51)
gdzie f i (r, v) oznacza funkcję dystrybucji i-tego składnika plazmy. Pole elektryczne
E i magnetyczne B opisane są równaniami Maxwella, które zawierają
człony źródłowe powstałe z momentów wszystkich składników plazmy, tj.
∇ × E = −B ,t , (52)
1
µ ∇ × B = ∑ ∫
e i
i
f i vdv + εE ,t , (53)
∇ · B = 0 , (54)
ε∇ · E = ∑ ∫
e i
i
f i dv . (55)
Aby jakościowo ocenić znaczenie równań (52)-(54) ważne jest, abyśmy
zdecydowali, który rodzaj pola elektromagnetycznego dominuje. Dla silnego
pola magnetycznego możemy zaniedbać zaburzenia w polu magnetycznym
w całym zakresie częstości badanego zjawiska. W tym przypadku fluktuacje
gęstości ładunku elektrycznego są ważne a pole elektrostatyczne ewoluuje
32

zgodnie z równaniem (55). Zarówno jony jak i elektrony są często traktowane
w tym przypadku kinetycznie z odpowiednimi skalami przestrzennymi
i czasowymi, równymi odpowiednio elektronowej długości Debye’a i odwrotności
elektronowej częstości plazmowej. Dla częstości mniejszych niż jonowa
częstość plazmowa elektrony są traktowane adiabatycznie z gęstością cząsteczkową,
n e = n e0 exp
Tutaj φ jest potencjałem elektrostatycznym takim, że
( ) |e|φ
. (56)
k B T e
E = −∇φ (57)
i n e0 jest równowagową gęstością elektronów. Zaburzenia, które spełniają ten
warunek, nazywane są elektrostatycznymi.
Dla skończonych wartości pola magnetycznego istnieje wiele obszarów,
które możemy sklasyfikować w zależności od częstości fali w porównaniu z
cyklotronową częstością elektronu Ω e . Dla częstości o wiele większych niż Ω e
zarówno elektrostatyczne i elektromagnetyczne oscylacje są istotne w plazmie.
Oscylacje te są zwykle słabo sprzężone. Do opisu elektrostatycznych
oscylacji możemy zastosować przybliżenie elektrostatyczne. Jeśli interesują
nas fale elektromagnetyczne, musimy rozwiązać równania Maxwella.
Dla częstości bliskich Ω e , określonej równaniem (42), dynamika elektronów
musi być także uwzględniona. Jednakże dla odpowiednich skal czasowych
jony muszą być potraktowane jako niemobilny płyn. Dla Ω io < ω < Ω e zarówno
dynamika elektronów i jonów oraz fale elektromagnetyczne muszą być
uwzględnione. Tutaj Ω io jest cyklotronową częstością jonu. W przypadku gdy
ω < Ω io , elektrony mogą być potraktowane jako bezmasowy płyn. Wtedy zamiast
równania (55) zastosujemy równanie zachowania pędu elektronu do
określenia pola elektrycznego.
33

3.7.2 Przybliżenie quasi-cząstkowe
Równania (52)-(54) sprawiają duży kłopot przy próbie ich analitycznego
rozwiązania i dlatego zwykle niezbędne jest ich numeryczne rozwiązanie (np.
Klimas 1987), w którym f i przybliżamy pewną liczbą quasi-cząstek. Wtedy
rozwiązujemy równanie Własowa metodą charakterystyk (np. Tanaka 1993).
Kolektywne zachowanie płynu możemy otrzymać poprzez uśrednienie po
quasi-cząstkach, których liczba N jest zawsze mniejsza niż rzeczywista liczba
cząstek w układzie (np. Book 1981, Brackbill 1991). Położenie quasi-cząstek
możemy znaleźć w wyniku rozwiązania równań trajektorii, tj.
dr i
dt = v i(t), i = 1, 2, · · · , N . (58)
Tutaj v i oznacza prędkość quasi-cząstki o numerze i. Prędkość tą możemy
określić z drugiej zasady dynamiki Newtona,
m i
dv i
dt = F i({r l }, {v l }, t), l = 1, 2, · · · , N, l ≠ i , (59)
gdzie siła F i działająca na i-tą quasi-cząstkę zależy od położeń {r l } i prędkości
{v l } pozostałych cząstek.
Gęstość masy ϱ możemy znaleźć w wyniku uśrednienia, na ogół przy
użyciu funkcji wagowej uwzględniającej skończone rozmiary cząstek, tj.
ϱ(r i ) =< ∑ j
m j δ(r j − r i ) > . (60)
Tutaj dokonujemy sumowania po masach m j wszystkich cząstek j, które znajdują
się w pobliżu i-tej cząstki. Podobnie gęstość pędu ϱv możemy określić
w wyniku zsumowania pędów cząstek, tj.
ϱv(r i ) =< ∑ j
m j v j δ(r j − r i ) > . (61)
Dla dużej liczby cząstek wygodnie jest wprowadzić potencjał φ taki, że
F i = −∇φ(r i ) . (62)
34

Przybliżenia quasi-cząstkowego możemy używać do numerycznego rozwiązania
równań. Jednakże przybliżenie to jest kłopotliwe dla płynów nieściśliwych,
dla których warunek ∇ · v = 0 jest trudnym do spełnienia. Quasicząstki
nie mogą przenikać przez siebie. Czasem błędy numeryczne związane
ze skończonym krokiem czasowym mogą doprowadzić do niefizycznego
przenikania cząstek. Metody numeryczne są zwykle stabilne i spełniają warunki
dodatniości gęstości masy i ciśnienia oraz spełniają prawa zachowania.
W konsekwencji ograniczonej mocy komputerów i skończonej liczby quasicząstek
metody numeryczne mogą być mało dokładne i efektywne.
3.7.3 Przybliżenie magnetohydrodynamiczne
Wyprowadzenie równań opisujących dynamikę plazmy rozpoczyna się od
równania Boltzmann’a, które opisuje zachowanie cząstek plazmy (np. Shizgal,
Hubert 1989). Obliczając momenty tego równania ze wględu na prędkość, ładunek
elektryczny itd. możemy otrzymać różne równania dla cząstek płynu
takie, jak pęd i gęstość ładunku elektrycznego. Do równań tych musimy dołączyć
równania Maxwella (34)–(37).
Z równania (37) otrzymamy
E
l
∼ B τ , (63)
gdzie l jest charakterystyczną skalą długości w plazmie i τ jest charakterystyczną
skalą czasu. Porównując dwa człony stające po prawej stronie równania
(36) znajdziemy, że
εE ,t El
1
∼ εµ
|∇ × B|
µ
τB = 1 El
c 2 τB , (64)
gdzie c jest prędkością światła. Z wykorzystaniem równania (63) powyższy
iloraz możemy zapisać jako
1
c 2 l 2
τ 2 .
35

Od tej chwili opuścimy człon −εE ,t w równaniu (36). Jest to usprawiedliwione,
jeśli charakterystyczna prędkość l/τ, z którą rozpatrywane zdarzenie
w plazmie ma miejsce, jest mniejsza niż prędkość światła c. Wtedy równanie
(36) możemy zapisać w następującej postaci:
j ≃ 1 ∇ × B. (65)
µ
Warto wspomnieć, że równanie (35) nie jest wymagane w dalszej analizie,
ponieważ równanie to zawiera ładunek elektryczny q, który nie jest obecny w
innych równaniach. Co więcej, z wykorzystaniem prawa Ohma (40), równanie
indukcji (37) możemy zapisać jako
B ,t = ∇ × (v × B) − ∇ × (η∇ × B) , (66)
gdzie współczynnik dyfuzyjności magnetycznej (rezystywności)
η = 1
µσ . (67)
Działając operatorem dywergencji na równanie (66) otrzymamy
(∇ · B) ,t = 0 . (68)
Z równania tego wnioskujemy, że prawo zachowania strumienia magnetycznego,
tj.
∇ · B = 0 , (69)
musimy zadać jako konieczny warunek początkowy (dla czasu t = 0).
Równania magnetohydrodynamiki stanowią połączenie równań Eulera i
równań Maxwella przy założeniu, że plazma jest potraktowana jako jednolity
płyn, efekty relatywistyczne są zaniedbane, większość właściwości plazmy
przyjęta jest za izotropowe, prądy przesunięcia i przemieszczenia między jonami
i elektronami są zaniedbane oraz interesuje nas dynamika plazmy zachodząca
z dużymi skalami czasowymi (np. Priest 1982). Równanie pędu
36

zawiera dodatkowy człon, który pochodzi z siły Lorentza j × B, tj.
(ϱv) ,t
+ ∇ · ((ϱv) v) = −∇p + j × B . (70)
Pole magnetyczne zmienia równanie energii, które możemy zapisać w postacie
zachowawczej jako
(
E ,t + ∇ ·
Tutaj gęstość energii całkowitej E jest
(E + p + B2
2µ )v − 1 µ B(v · B) )
= 0 . (71)
E =
p
γ − 1 + ϱv2
2 + B2
2µ . (72)
Trzy człony po prawej stronie powyższego równania opisują odpowiednio w
kolejności gęstość energii wewnętrznej, kinetycznej i magnetycznej. Iloraz ciepeł
właściwych γ = c p /c V jest taki, że γ = (m+2)/m, gdzie m oznacza liczbę
stopni swobody molekuł płynu, c p i c V
są ciepłami właściwymi odpowiednio
przy stałym ciśnieniu i stałej objętości. Dla płynu składającego się z atomów
m = 3, podczas gdy dla cząsteczek dwu-atomowych m = 5.
W podsumowaniu, równania idealnej magnetohydrodynamiki (MHD) stanowią
następujący układ:
∂ϱ
+ ∇ · (ϱv) = 0 ,
∂t
(73)
ϱ ∂v
∂t + ϱ (v · ∇) v = −∇p + 1 (∇ × B) × B + ϱg ,
µ
(74)
∂B
= ∇ × (v × B) ,
∂t
(75)
∇ · B = 0 , (76)
∂p
+ ∇ · (pv) = (1 − γ)p∇ · v ,
∂t
(77)
p = k B
ϱT . (78)
m
Tutaj ϱ jest gęstością masy, v = [u, v, w] jest prędkością, B oznacza indukcję
pola magnetycznego, p jest ciśnieniem, g oznacza wektor przyspieszenia gra-
37

witacyjnego, T jest temperaturą, m jest masą główną cząstki a k B oznacza
stałą Boltzmanna.
3.7.4 Obraz Lagrange’a
jako
W obrazie Lagrange’a równania magnetohydrodynamiki możemy zapisać
dϱ
dt
= −∇ · (ϱv) , (79)
ϱ dv
dt = −∇p + 1 (∇ × B) × B ,
µ
(80)
dB
= (B · ∇)v − B∇ · v ,
dt
(81)
∇ · B = 0 , (82)
dp
= −γp∇ · v .
dt
(83)
Tutaj pochodna Lagrange’a jest zdefiniowana następująco:
3.7.5 Przybliżenie nieściśliwe
Dla plazmy nieściśliwej mamy
d
dt = ∂ ∂t + v · ∇ . (84)
γ → ∞ , ∇ · v → 0 (85)
tak, że
dp
= −γp∇ · v (86)
dt
pozostaje skończone. Wtedy z równań (79)-(83) otrzymamy
dϱ
= 0,
dt
(87)
ϱ dv
dt = −∇p + 1 (∇ × B) × B,
µ
(88)
dB
= (B · ∇)v,
dt
(89)
∇ · B = ∇ · v = 0 . (90)
38

3.7.6 Przybliżenie plazmy zimnej
W przybliżeniu plazmy zimnej człony zawierające ciśnienie są zaniedywalnie
małe w porównaniu z członami magnetycznymi i mogą być zastąpione
zerami. Równania plazmy zimnej przyjmą wtedy następującą postać:
ϱ ,t + ∇ · (ϱv) = 0 , (91)
ϱv ,t + ϱ(v · ∇)v = 1 (∇ × B) × B ,
µ
(92)
B ,t = ∇ × (v × B) , (93)
∇ · B = 0 . (94)
3.8 Równania Eulera
Gaz (taki jak np. powietrze) składa się z dużej liczby molekuł. Ruch każdej
z nich może być śledzony indywidualnie. Taki opis nazywa się opisem cząstkowym
i prowadzi on do dużej liczby zwyczajnych równań różniczkowych.
Powstały układ tych równań jest zbyt duży do rozwiązania nawet metodami
komputerowymi. Zamiast opisu cząstkowego stosowany jest opis makroskopowy.
W opisie tym szczególnego znaczenia nabierają wielkości takie, jak:
gęstość masy ϱ, prędkość plazmy v i ciśnienie. Wszystkie te wielkości mogą
być mierzone doświadczalnie. Stosownymi prawami zachowania są:
• Prawo zachowania masy. Prawo to jest bardzo dobrze znane w dynamice
cieczy jako, że odzwierciedla ono fakt, że całkowita masa gazy
pozostaje zachowana. Matematycznie prawo to zapisujemy w następującej
postaci:
ϱ ,t + ∇ · (ϱv) = 0 . (95)
• Prawo zachowania pędu. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika,
że zmianę pędu można dokonać poprzez przyłożenie siły. W przypadku
39

aku sił zewnętrznych ciśnienie gazu jest jedyną działającą siłą na gaz.
W rezultacie otrzymujemy prawo zachowania
(ϱv) ,t + ∇ · (ϱv ⊗ v) + ∇p = 0 . (96)
Symbol ⊗ oznacza mnożenie tensorowe, tj. dla dwóch dowolnych wektorów
a = [a 1 , a 2 , a 3 ] i b = [b 1 , b 2 , b 3 ] mamy
⎡
⎤
a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3
a ⊗ b =
⎢ a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3
. (97)
⎥
⎣
⎦
a 3 b 1 a 3 b 2 a 3 b 3
Zauważmy, że powyższe prawo zachowania oznacza, że pochodna substancjalna
(śledcza) gęstości pędu jest zrekompensowana gradientem
ciśnienia. Wynika to z obserwacji, że gaz płynie z obszaru o wysokim
ciśnieniu do obszaru o niskim ciśnieniu.
• Prawo zachowania energii. Całkowita energia gazu składa się z energii
kinetycznej i wewnętrznej (potencjalnej). Gęstość energii kinetycznej
wyraża się standardowo, tj.
E k = 1 2 ϱv2 , (98)
podczas gdy energia wewnętrzna jest zdeterminowana równaniem stanu.
Dla równania gazu doskonałego gęstością energii wewnętrznej jest
E i =
W rezultacie gęstość energii całkowitej jest
E =
p
γ − 1 . (99)
p
γ − 1 + 1 2 ϱv2 . (100)
Prawo zachowania energii wyraża się wtedy następująco:
E ,t + ∇ · [(E + p)v] = 0 . (101)
40

Powyższe prawa zachowania możemy napisać w postaci zbiorczej, tj.
ϱ ,t + ∇ · (ϱv) = 0 , (102)
(ϱv) ,t + ∇ · (ϱv ⊗ v + pI) = 0 , (103)
E ,t + ∇ · [(E + p)v] = 0 , (104)
gdzie I oznacza jednostkową macierz o wymiarze 3 × 3. Powyższy układ równań
służy jako przykład wielo-wymiarowych nieliniowych praw zachowania
stosowanych w fizyce technicznej.
Równania Eulera możemy bezpośrednio uzyskać z równań MHD (73)-
(78). W przypadku braku pola magnetycznego, B = 0, z równań tych otrzymamy
równania Eulera, które zapiszemy w formie zachowawczej jako
q ,t + f(q) ,x + g(q) ,y + h(q) ,z = 0 , (105)
⎡
q =
⎢
⎣
ϱ
ϱu
ϱv
ϱw
E
⎤ ⎡
, f =
⎥ ⎢
⎦ ⎣
ϱu
ϱu 2 + p
ϱuv
ϱuw
u(E + p)
⎤ ⎡
, g =
⎥ ⎢
⎦ ⎣
ϱv
ϱvu
ϱv 2 + p
ϱvw
v(E + p)
⎤ ⎡
, h =
⎥ ⎢
⎦ ⎣
ϱw
ϱwu
ϱwv
ϱw 2 + p
w(E + p)
⎤
.(106)
⎥
⎦
Zauważmy, że dokonaliśmy wyprowadzenie równań Eulera w sposób bardzo
skrócony. Szczegóły wyprowadzenie można znaleźć w podręcznikach.
Podczas wyprowadzenia zaniedbaliśmy lepkość i przewodnictwo cieplne. Człony
te będą obecne w równaniach Naviera-Stokse’a, które przedstawimy w
następnym rozdziale.
3.9 Równania Naviera-Stokes’a
Równania Naviera-Stokes’a były otrzymane w pierwszej połowie dziewiętnastego
wieku (dokładnie w 1845 r.) niezależnie przez francuzkiego badacza
41

M. Naviera i angielskiego naukowca G. Stokes’a. We współrzędnych kartezjańskich
i dla dwu-wymiarowego przepływu, w którym współrzędna z jest
zignorowana, tj. ∂/∂z = 0, równania Naviera-Stokes’a możemy zapisać w
postaci praw zachowania (7), tzn.
⎛ ⎞ ⎛
⎞
ϱ
ϱv x
ϱv x
ϱv 2 +
x − τ xx
+
⎜ ϱv y ⎟ ⎜ ϱv x v y − τ xy
⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎠
E (E + p)v x − v x τ xx − v y τ xy + q x
,t
,x
⎛
⎞
ϱv y
ϱv y v x − τ yx
⎜ ϱvy 2 = S. (107)
− τ yy
⎟
⎝
⎠
(E + p)v y − v x τ yx − v y τ yy + q y
Tutaj S jest członem źródłowym, v = [v x , v y , 0] a E oznacza całkowitą gęstość
energii taką, że ciśnienie p otrzymamy z następującego równania:
[
p = (γ − 1) E − 1 ]
2 ϱ(v2 x + vy)
2 . (108)
Pod koniec wieku siedemnastego Isaac Newton wykazał, że naprężenie w
płynie τ jest proporcjonalne do gradientu prędkości. Takie płyny nazywamy
newtonowskimi w przeciwieństwie do płynów nie-newtonowskich, takich jak
np. krew, dla których powyższa zależność na τ nie istnieje. Dla płynów newtonowskich
Stokes pokazał, że składowa normalna (τ xx , τ yy ) i składowe styczne
(τ xy , τ yx ) naprężeń mogą być wyrażone następująco:
τ xx = λ∇ · v + 2µv x,x , τ xy = µ(v x,y + v y,x ) ,
τ yx = τ xy , τ yy = λ∇ · v + 2µv y,y . (109)
Tutaj µ jest współczynnikiem lepkości molekularnej a λ jest współczynnikiem
lepkości objętościowej. Składowa normalna naprężenia jest związana ze
42
,y

zmianą objętości elementu płynu, podczas gdy składowe τ xy i τ yx odzwierciedlają
deformację elementu płynu. Stokes dokonał hipotezy, według której
λ = − 2 3 µ . (110)
Ciekawe jest, że powyższy związek jest często używany, ale nie jest ostatecznie
potwierdzony.
Dla gazów przyjmuje się, że współczynnik lepkości µ zmienia się zgodnie
z prawem Sutherlanda
µ = µ 0
( T
T 0
) 3/2
T 0 + 110
T + 110 , (111)
gdzie warunki bez naprężeń oznaczyliśmy dolnym indeksem 0 .
Przepły energii na sposób ciepła wskutek przewodnictwa cieplnego jest
proporcjonalny do lokalnego gradientu temperatury, czyli
q x = −κT ,x , q y = −κT ,y , (112)
gdzie q x is q y są strumieniami energii odpowiednio wzdłuż kierunków x i y,
występującymi w równaniach Naviera-Stokes’a (107).
Tutaj κ jest współczynnikiem przewodnictwa cieplnego. Zakładając, że
liczba Prandtla P r jest stała i znana, otrzymamy wyrażenie na współczynnik
przewodnictwa cieplnego
Powyższy wiązek jest definicją liczby Prandtla.
κ = µc s
P r
. (113)
3.10 Równania płytkiej wody
Równania płytkiej wody możemy otrzymać z równań Eulera przy założeniu,
że pionowa składowa przyspieszenia, Dw/Dt, może być zaniedbana.
Równania te zapiszemy następująco:
q ,t + f(q) ,x + g(q) ,y = s . (114)
43

Tutaj wektor stanu q i człon źródłowy s określimy jako
⎡
q =
⎢
⎣
⎤ ⎡
h
hu
, s =
⎥ ⎢
⎦ ⎣
hv
⎤
0
−ghb ,x
. (115)
⎥
⎦
−ghb ,y
Składowe strumienia [f, g] znajdziemy natomiast z następujących wyrażeń:
⎡
f =
⎢
⎣
⎤ ⎡
hu
hu 2 + 1 2 gh2
, g =
⎥ ⎢
⎦ ⎣
huv
⎤
hv
huv
. (116)
⎥
hv 2 + 1 ⎦
2 gh2
44

4 Wykład 4-6: Metody numeryczne dla równania
unoszenia i układów liniowych
W tej części wykładu rozważymy równanie unoszenia i charakterystyki
związane z tym równaniem. Następnie rozważymy problem Cauchy’ego i problem
Riemanna dla tego równania, quasi-liniową formę równań hiperbolicznych
i wartości własne macierzy Jacobiego.
4.1 Zjawisko unoszenia
Niech q(x, t) oznacza gęstość (konecentrację) składnika chemicznego, np.
zanieczyszczenia w rzece. Załóżmy, że woda w rzece płynie z pędkością λ(x, t).
Zanieczyszczenie w rzece będzie transportowane w kierunku prędkości wody
w rzece tak, że strumień masy w tym wypadku jest λq. Załóżmy, że nie
ma produkcji i destrukcji zanieczyszczeń podczas przepływu i wobec tego w
równaniu zachowania masy nie widnieją człony źródłowe. W konsekwencji
prawem zachowania jest
q ,t + (λq) ,x = 0 . (117)
Dla przypadku, kiedy λ = const powyższe równanie nazwiemy równaniem
unoszenia
q ,t + λq ,x = 0 . (118)
Charakterystykami równania (118) nazywamy krzywe x = x(t) w płaszczyźnie
x − t, takie że
Otrzymamy stąd
dx
dt = λ , x(0) = x 0 . (119)
x = x 0 + λt . (120)
Tutaj x 0 jest punktem początkowym (stopą charakterystyki). Patrz rys. 3.
45

Rysunek 3: Charakterystyki dla równania unoszenia. Przypadek λ > 0.
Policzmy teraz zmianę q(x(t), t) wzdłuż danej charakterystyki x = x(t)
dq
dt = q ,t + q ,x
dx
dt = q ,t + λq ,x = 0 . (121)
Wnioskujemy stąd, że wzdłuż charakterystyki x(t) równanie unoszenia staje
się zwyczajnym równaniem różniczkowym ze stałą wartością q(x, t).
Rozważmy teraz problem początkowy dla równania unoszenia
q ,t + λq ,x = 0 , |x| < ∞ , t > 0 , (122)
q(x, t = 0) = q 0 (x) . (123)
Aby rozwiązać ten problem, wybierzmy charakterystykę przechodzącą przez
punkt (x, t) i znajdźmy punkt początkowy, dla którego charakterystyka przecina
oś x. Ponieważ q jest stałe wzdłuż x = x 0 + λt, mamy
q(x, t) = q 0 (x 0 ) = q 0 (x − λt) . (124)
Ćwiczenie: Sprawdźmy, że powyższe wyrażanie stanowi rozwiązanie równania
unoszenia.
46

Klasyczny problem Riemanna jest szczególnym rozwiązaniem problemu
Cauchy’ego, dla którego q(x) zmienia się skokowo w x = 0 (rys. 4),
q(x, 0) =
{ ql , x < 0 ,
q r , x ≥ 0 .
(125)
Znajdziemy rozwiązanie problemu w postaci
q(x, 0) = q 0 (x − λt) =
{ ql , x − λt < 0 ,
q r , x − λt ≥ 0 .
(126)
Rysunek 4: Problem Riemanna dla równania unoszenia w przypadku λ > 0.
Dokonamy teraz dyskusji równania unoszenia z członem źródłowym, s,
q ,t + λq ,x = q ,t + q ,x
dx
dt
47
= s(x, t, q) . (127)

Taki człon źródłowy pojawia się np. w równaniu unoszenia-dyfuzji z s = βq,
gdzie β oznacza współczynnik reakcji. Wzdłuż charakterystyki x = x 0 + λt
otrzymamy
dq
dt = q dx
,t + q ,x
dt
= s(x, t, q) . (128)
Wnioskujemy stąd, że q(x, t) zmienia się wzdłuż charakterystyki x = x 0 + λt.
4.2 Równania liniowe fizyki technicznej
Zapiszmy układ równań liniowych opisujących procesy fizyki technicznej
następująco:
q ,t + Aq ,x = 0 . (129)
Układ ten nazywamy hiperbolicznym, jeśli spełnione są warunki:
• wartości własne macierzy A są rzeczywiste,
• wektory własne A są liniowo niezależne.
Układ nazywamy ściśle hiperbolicznym, jeśli wszystkie rzeczywiste wartości
własne są różne. Powiemy, że układ jest eliptyczny, jeśli żadna z wartości
własnych macierzy A nie jest rzeczywista.
4.3 Quasi-liniowa postać równań fizyki technicznej
Przypomnijmy, że równanie skalarne (np. unoszenia zanieczyszczeń) możemy
zapisać następująco:
q ,t + f(q) ,x = 0 . (130)
Dla różniczkowalnej funkcji strumienia f(q) możemy otrzymać quasi-liniową
postać równania skalarnego, tj.
q ,t + f ,q q ,x = 0 . (131)
48

Stąd znajdziemy charakterystyczną prędkość
Wnioskujemy, że λ w ogólności zależy od q.
λ(q) = f ,q . (132)
Rozważmy teraz układ dwóch 1-wymiarowych równań hiperbolicznych
Tutaj wektor stanu q is strumień f zapiszemy jako
q =
⎡ ⎤
⎢ q 1 ⎥
⎣
q 2
q ,t + f ,x = 0 . (133)
⎦ , f =
⎡
⎢ f 1(q 1 , q 2 )
⎣
f 2 (q 1 , q 2 )
⎤
⎥
⎦ . (134)
Po zastosowaniu “reguły łańcucha” do równania (133) zapisanego w jego składowych,
otrzymamy
q 1,t + f 1,q1 q 1,x + f 1,q2 q 2,x = 0 , (135)
q 2,t + f 2,q1 q 1,x + f 2,q2 q 2,x = 0 . (136)
Powyższe równania zapiszemy w postaci macierzowej jako
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎢ q 1 ⎥ ⎢
⎣ ⎦ +
f 1,q 1
f 1,q2 ⎥ ⎢ q 1 ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = q ,t + Aq ,x = 0 , (137)
q 2 f 2,q1 f 2,q2 q 2
,t
,x
gdzie A = ∂f/∂q jest Jacobianem. W tym szczególnym przypadku A jest
macierzą o wymiarze 2 × 2.
4.4 Problem własny dla macierzy Jacobiego
Rozważmy równanie, które jest uogólnieniem równania (137), czyli
q ,t + Aq ,x = 0 , (138)
gdzie A jest macierzą wymiaru m × m.
49

Wartości własne A są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego
|A − λ (k) I| = 0 , k = 1, . . . , m . (139)
Lewy wektor własny l (k) macierzy A spełnia następujące równanie:
l (k) A = λ (k) l (k) , k = 1, . . . , m . (140)
Prawy wektor własny r (k) macierzy A jest taki, że
Ar (k) = λ (k) r (k) , k = 1, . . . , m . (141)
4.5 Diagonalizacja układu liniowego
Rozważmy liniowy układ równań hiperbolicznych
q ,t + Aq ,x = 0 , (142)
ze stałą macierzą A o wymiarze m×m, jej wartościami własnymi λ (1) , . . . , λ (m)
i prawymi wektorami własnymi r (1) , . . . , r (m) takimi, że
r (k) = [r (k)
1 , . . . , r (k)
m ] T , k = 1, . . . , m . (143)
Wygodnie jest wprowadzić następujące macierze:
⎡
⎤ ⎡
λ (1) 0 . . . 0
0 λ (2) . . . 0
Λ =
, R =
⎢ . . . . . . . . . . . .
⎥ ⎢
⎣
⎦ ⎣
0 0 . . . λ (m)
Macierz A daje się zdiagonalizować jako
r (1)
1 r (2)
1 . . . r (m)
1
r (1)
2 r (2)
2 . . . r (m)
2
. . . . . . . . . . . .
r m (1) r m (2) . . . r m
(m)
⎤
. (144)
⎥
⎦
A = RΛR −1 , Λ = R −1 AR . (145)
50

Zdefiniujmy wielkości charakterystyczne w następująco:
w = [w 1 , . . . , w m ] T = R −1 q , q = Rw . (146)
Możemy wtedy zapisać układ liniowy jako
q ,t + Aq ,x = Rw ,t + ARw ,x = 0 . (147)
Stąd otrzymamy
R −1 (Rw ,t + ARw ,x ) = w ,t + (R −1 AR)w ,x = w ,t + Λw ,x = 0 . (148)
Powyższe równanie zapiszemy jawnie
⎡
⎢
⎣
⎤
w 1
w 2
. . .
⎥
⎦
w m
,t
⎡
+
⎢
⎣
⎤ ⎡
λ (1) 0 . . . 0
0 λ (2) . . . 0
. . . . . . . . . . . .
⎥ ⎢
⎦ ⎣
0 0 . . . λ (m)
⎤
w 1
w 2
. . .
⎥
⎦
w m
,x
⎡
=
⎢
⎣
0
0
. . .
0
⎤
. (149)
⎥
⎦
W wyniku otrzymaliśmy układ m niesprzężonych równań unoszenia
w i,t + λ (i) w i,x = 0 , i = 1, . . . , m . (150)
Dla m różnych wartości własnych zdefiniujemy m krzywych charakterystycznych
(rys. 5)
dx
dt = λ(i) , x = x 0 + λ (i) t , i = 1, . . . , m . (151)
osi x
Ćwiczenie: Czy mogą istnieć charakterystyki równoległe do osi t lub do
51

Rysunek 5: Charakerystyki liniowego układu równań hiperbolicznych.
4.6 Problem początkowy dla układu liniowego
Zapiszmy problem początkowy (Cauchy’ego) dla liniowego układu równań
hiperbolicznych jako
q ,t + Aq ,x = 0 , (152)
q(x, t = 0) = q 0 (x) . (153)
Tutaj q 0 (x) oznacza stan początkowy układu. Z pomocą równania (148)
możemy problem Cauchy’ego zapisać następująco:
w ,t + Λw ,x = 0 , (154)
w(x, t = 0) = w 0 (x) = R −1 q 0 (x) . (155)
Składowa i-ta powyższego równania to
Wzdłuż charakterystyki, dx/dt = λ (i) , mamy
w i,t + λ (i) w i,x = 0 , (156)
w i (x, t = 0) = w 0 i (x) . (157)
w i,t + λ (i) w i,x = dw i
dt = 0 . (158)
52

Rozwiązaniem tego równania jest
w i (x, t) = w 0 i (x − λ (i) t) , i = 1, 2, . . . , m . (159)
Stąd otrzymamy
⎡
w(x, t) =
⎢
⎣
w 1 (x, t)
w 2 (x, t)
. . .
w m (x, t)
⎤ ⎡
=
⎥ ⎢
⎦ ⎣
w1(x 0 − λ (1) t)
w2(x 0 − λ (2) t)
. . .
wm(x 0 − λ (m) t)
⎤
. (160)
⎥
⎦
W zmiennych oryginalnych rozwiązanie to ma postać
⎡
q(x, t) =
⎢
⎣
⎤
q 1
q 2
. . .
⎥
⎦
q m
⎡
= Rw =
⎢
⎣
= w 1 (x, t)
⎢
⎣
r (1)
1 w 1 + r (2)
1 w 2 + . . . + r (m)
1 w m
⎤
. . .
⎥
⎦
m w 1 + r m (2) w 2 + . . . + r m
(m) w m
⎤
⎡ ⎤
r (1)
2 w 1 + r (2)
2 w 2 + . . . + r (m)
2 w m
r (1)
⎡
r (1)
1
r (1)
2
. . .
r (1)
m
+ . . . + w m (x, t)
⎥
⎢
⎦
⎣
Z wykorzystaniem równania (159) znajdziemy, że
r (m)
1
r (m)
2
. . .
r (m)
m
. (161)
⎥
⎦
m∑
m∑
q(x, t) = w i (x, t)r (i) = wi 0 (x − λ (i) t)r (i) . (162)
i=1
i=1
Wnioskujemy stąd, że w każdym punkcie (x, t) rozwiązanie zależy od stanu
początkowego (stopy), x i 0, charakterystyki m, która przechodzi przez ten
punkt (rys. 5). Stopy charakterystyk określimy następująco:
x (i)
0 = x − λ (i) t , i = 1, 2, . . . , m . (163)
53

4.6.1 Problem Riemanna
Problem Riemanna dla układu liniowego fizyki technicznej jest specyficznym
przypadkiem problemu Cauchy’ego, dla którego stan początkowy q(x, 0)
jest nieciągły w punkcie 0, czyli
q ,t + Aq ,x = 0 , (164)
{ ql , x < 0 ,
q(x, 0) =
(165)
q r , x ≥ 0 .
Rozwiążemy problem Riemmana z wykorzystaniem następujących rozwinięć
w szeregi:
q l =
m∑
α i r (i) ,
m∑
q r = β i r (i) . (166)
i=1
i=1
Porównując powyższe wyrażenia z rozwiązaniem ogólnym równania (162) dla
czasu t = 0, otrzymamy
{ αi , x < 0 ,
wi 0 (x) =
(167)
β i , x ≥ 0 .
Znajdziemy rozwiązanie w następującej postaci:
m∑
q = w i (x, t)r (i) , (168)
i=1
gdzie
⎧
⎨ α
w i (x, t) = wi 0 (x − λ (i) i , x − λ (i) t < 0 , (x/t < λ (i) ) ,
t) =
⎩
β i , x − λ (i) t ≥ 0 , (x/t ≥ λ (i) ) .
(169)
Dla dowolnego punktu (x, t) znajdziemy maximum I indeksu i takie, że
Zapiszemy wtedy równanie (168) jako
x
t > λ(i) , i ≤ I . (170)
I∑
q(x, t) = β i (x, t)r (i) +
m∑
α i (x, t)r (i) . (171)
i=1
i=I+1
54

Jako przykład rozważmy układ dwóch równań, dla których m = 2. Wtedy
z równania (171) otrzymamy
q r = β 1 r (1) + β 2 r (2) , (172)
q ∗ (x, t) = β 1 r (1) + α 2 r (2) , (173)
q l = α 1 r (1) + α 2 r (2) . (174)
Rozwiążemy problem Riemanna dla układu równań liniowych obliczając
skok w danych początkowych, czyli
m∑
q r − q l = γ i r (i) , γ i = β i − α i . (175)
i=1
Z numerycznego punktu widzenia wygodnie jest posiadać rozwiązanie problemu
Riemanna q(0) dla x/t = 0, wyrażone dla x = 0 jako
q(0) = q l + ∑
γ i r (i) = q r − ∑
γ i r (i) . (176)
λ (i) 0
Ćwiczenie: Udowodnijmy, że równania (171) i (176) są równoważne.
Podsumowując tą część wykładu stwierdzamy, że problem Riemanna jest
rozwiązany w postaci kawałkami stałych stanów, które doznają nieciągłości
w punktach. Nieciągłości te są proporcjonalne do prawych wektorów własnych,
r (i) , macierzy A i poruszają się z characterystycznymi prędkościami
λ (i) . Tutaj Ar (i) = λ (i) r (i) , i = 1, 2, . . . , m.
4.7 Twierdzenie Laxa o równoważności
Podczas konstrukcji schematu numerycznego ważną rolę odgrywa twierdzenie
Laxa o równoważności, które możemy symbolicznie sformułować w
następujący sposób:
55

zbieżność = konsystencja + stabilność.
Schemat nazywamy zbieżnym, jeśli rozwiązanie numeryczne jest bliskie
rozwiązaniu dokładnemu równania hiperbolicznego dla rozmiaru komórki numerycznej
dążącego do zera, czyli ∆x → 0. Konsystencję i stabilność określimy
po dyskusji błędów ucięcia.
4.8 Lokalny błąd ucięcia i równanie zmodyfikowane dla
dyskretnej postaci równania unoszenia zanieczyszczeń
Przypomnijmy, że schemat FTCS (ang. Forward in Time and Centered
in Space) dla równania unoszenia zanieczyszczeń (118) możemy zapisać następująco:
L(qi n ) ≡ qn+1 i − qi
n
∆t
Zastąpmy w powyższym wyrażeniu q n i
równania unoszenia. Otrzymamy wtedy
L(q(x i , t n )) = q(x i, t n+1 ) − q(x i , t n )
∆t
+ λ qn i+1 − q n i−1
2∆x
= 0 . (177)
rozwiązaniem dokładnym q(x, t) dla
+ λ q(x i+1, t n ) − q(x i−1 , t n )
2∆x
. (178)
Dla różniczkowalnej (gładkiej) funkcji q(x, t) możemy skorzystać z rozwinięcia
w szereg Taylora i otrzymać w ten sposób lokalny błąd ucięcia
L T E = (q ,t + λq ,x )| n i +
( ∆t
2 q ,tt + λ n
6 (∆x)2 q ,xxx + O((∆t) 2 ) + O((∆x) )) 3 . (179)
i
Zauważmy, że q(x, t) nie spełnia równania unoszenia (118) a jest rozwiązaniem
zmodyfikowanego równania, w którym q ,tt i q ,xxx opisują odpowiednio
dyfuzję i dyspersję.
56

Ponieważ
q ,t + λq ,t = 0 , (180)
z równania (179) otrzymamy, że
L T E =
[ ∆t
2 q ,tt + λ 6 (∆x)2 q ,xxx + O((∆t) 2 ) + O((∆x) 3 )] n
i
. (181)
Stąd
L T E = O(∆t) + O((∆x) 2 ) . (182)
Z powyższego równania wnioskujemy, że schemat FTCS jest pierwszego rzędu
dokładny w czasie i drugiego rzędu dokładny w przestrzeni. W rezultacie
mówimy, że schemat ten jest pierwszego rzędu dokładny.
W ogólności lokalny błąd ucięcia schematu numerycznego możemy wyrazić
następująco:
L T E = O((∆t) k ) + O((∆x) j ) . (183)
Mówimy wtedy, że taki schemat jest k-tego i j-tego rzędu dokładny odpowiednio
w czasie i w przestrzeni.
4.9 Konsystencja schematu numerycznego
Zdefiniujemy schemat numeryczny konsystentnym, jeżeli lokalny bład ucięcia
dąży do zera wraz z rozmiarem komórki numerycznej, tj.
L T E → 0 , dla ∆t → 0 , ∆x → 0 . (184)
Z równania (182) znajdziemy, że
L T E = O(∆t) + O((∆x) 2 ) . (185)
Dlatego L T E spełnia warunek konsystencji zadany równaniem (184). W rezultacie
wnioskujemy, że schemat FTCS jest konsystentny z równaniem unoszenia
(118).
57

4.10 Analiza stabilności schematu numerycznego według
von Neumanna
Schemat numeryczny jest niestabilny, jeżeli błędy numeryczne rosną w
czasie. Z drugiej strony stabilność schematu polega na konrolowaniu błędnych
oscylacji, które pojawiają się zwykle w pobliżu stromych profili rozwiązań.
Niestabilność (w sensie nieograniczonego wzrostu amplitudy rozwiązania)
danego schematu numerycznego może być analizowana między innymi
metodą von Neumanna (von Neumann, Richtmeyer 1950). W metodzie tej
rozważamy falę (składową Fouriera)
q n i = A n e Iiθ . (186)
Tutaj θ jest fazą a I = √ −1 jest jednostką urojoną. Podstawiając równanie
(186) do schematu FTCS, który zapiszemy
otrzymamy
q n+1
i = q n i + c 2 (qn i−1 − q n i+1) , (187)
A n+1 e Iiθ = A n e Iiθ − c 2 An ( e I(i+1)θ − e I(i−1)θ) . (188)
Po podzieleniu stronami przez A n mamy stąd
A = 1 − c 2
(
e Iθ − e −Iθ) = 1 − Ic sin θ . (189)
Wprowadźmy wielkość |A| zwaną współczynnikiem wzmocnienia, który w
tym przypadku wynosi
|A| =
√
1 + c 2 sin 2 θ . (190)
Warunkiem stabilności schematu jest |A| < 1. Ponieważ w tym przypadku
|A| > 1, wnioskujemy stąd, że schemat FTCS jest bezwarunkowo niestabilny
i dlatego jest on bezużytecznym w praktyce.
58

4.11 Schemat Godunowa dla równania unoszenia zanieczyszczeń
Rozważmy ponownie równanie unoszenia (118) z λ > 0. Dokonując przybliżenia
pochodnych następująco:
q ,t = qn+1 i − qi
n
∆t
, q ,x = qn i − q n i−1
∆x
, (191)
otrzymamy schemat pod-wiatr zwany też schematem Godunowa (Godunov
1959), tj.
q n+1
i = q n i + c(q n i−1 − q n i ) . (192)
4.12 Schemat MacCormacka dla równania unoszenia zanieczyszczeń
tj.
Schemat MacCormacka wykorzystuje przednie i tylnie schematy Eulera,
q ∗ i = q n i − λ ∆t
∆x (qn i+1 − q n i ) , (193)
59

qi
∗∗ = qi n − λ ∆t
∆x (q∗ i − qi−1) ∗ , (194)
q n+1
i
Schemat ten możemy zapisać następująco:
q n+1
i
= 1 2 (q∗ i + q ∗∗
i ) . (195)
( q
= qi n n
− λ∆t i+1 − qi−1
n )
,
2∆x
+λ 2 (∆t)2
2
( q
n
i+1 − 2qi n + qi−1
n )
. (196)
(∆x) 2
Zwróćmy uwagę, że ostatni człon w powyższym schemacie związany jest z
dyfuzją, jako że schemat ten odpowiada równaniu różniczkowemu
gdzie współczynnik dyfuzji
q ,t + λq ,x = µ MC q ,xx , (197)
µ MC = 1 2 λ2 ∆t . (198)
4.13 Lokalny błąd ucięcia schematu pod-wiatr
Zapiszmy schemat pod-wiatr (192) następująco:
q n+1
i
− qi
n
∆t
+ λ qn i − q n i−1
∆x
= 0 , (199)
Po podstawieniu dokładnego rozwiązania q(x, t) do powyższego wyrażenia
otrzymamy lokalny błąd ucięcia schematu pod-wiatr
L T E = q(x i, t n+1 ) − q(x i , t n )
∆t
Rozwijając w szereg Taylora znajdziemy, że
+ λ q(x i, t n ) − q(x i−1 , t n )
∆x
. (200)
L T E =
[ ∆t
2 q ,tt − λ∆x
2 q ,xx + O((∆t) 2 ) + O((∆x) 2 )] n
i
. (201)
Wnioskujemy stąd, że schemat pod-wiatr jest pierwszego rzędu dokładny w
przestrzeni i w czasie.
60

4.14 Warunek stabilności schematu pod-wiatr
Współczynnik wzmocnienia |A| dla schematu pod-wiatr jest
|A| =
√
(1 − c) 2 + c 2 + 2c(1 − c) cos θ . (202)
Z warunku stabilności
znajdziemy, że
|A| ≤ 1 (203)
0 ≤ c ≤ 1 . (204)
Stąd otrzymamy ograniczenie na krok czasowy
0 ≤
λ
∆x/∆t ≤ 1 ,
∆x
∆t ≤
λ . (205)
Wtedy
W praktyce wprowadzimy liczbę Couranta (CFL) tak, że
c cfl = λ∆t
∆x . (206)
∆t = c cfl
∆x
λ , 0 < c cfl ≤ 1 . (207)
Ze względów bezpieczeństwa polecane jest zastosowanie
0 < c cfl < 1 , (208)
np. c cfl = 0.8. Zauważmy, że mniejsza wartość c cfl prowadzi do bardziej
dyfuzyjnego schematu.
61

5 Wykład 7-9: Numeryczne metody dla równania
unoszenia płynu w cienkich rurach
Zaniedbując szereg efektów (takich jak nieliniowość i dyssypację energii)
i uwzgłedniając tylko ruch w jednym kierunku w najprostszym wypadku
ewolucję płynu w cienkich rurach można uznać ze jedno-wymiarową i opisać
ją równaniem unoszenia
q ,t + λq ,x = 0 . (209)
Tutaj λ jest prędkością unoszenia a q(x, t) oznacza uogólnioną gęstość. Bardziej
złożony model ewolucji płynu w rurach można znaleźć w monografii
Guinota (2003) lub w pracach Murawskiego (1985-1988).
Skrypt napisany w języku IDLa rozwiązujący równanie unoszenia przedstawiony
został powyżej. W tej części wykładu do rozwiązania równanie unoszenia
użyjemy programu z biblioteki NUMERICA (Toro 2009). Dla osób
programujących w języku C++ udostępnimy stosowny kod. Możliwe jest również
wykorzystanie pakietu Compack (Mishra 2011) zawierającego programy
napisane w Matlabie, pakietu (programów napisanych w fortranie 77) CLAW-
PACK (LeVeque 2002), oprogramowania napisanego w językach fortran 77,
C++ i GUI przez Trangensteina (2008) lub pakietu Centpack napisanego w
C++ (Balbas, Tadmor 2006). Są to ogólnie dostępne do celów dydaktycznych
bądź naukowych programy służące do rozwiązywania hiperbolicznych
równań różniczkowych.
Poniżej przedstawimy pakiet programów numerycznych NUMERICA. Opisy
innych programów można znaleźć w stosownych dokumentach dostarczanych
przez autorów wraz z pakietami.
62

5.1 Biblioteka programów numerycznych NUMERICA
• NUMERICA (Toro 2009) - biblioteka zawierająca kody źródłowe z przeznaczeniem
do celów edukacyjnych, badań i zastosowań
• pomocna jako narzędzie do nauki i w procesie edukacyjnym
• dostarcza wzorców programowania numerycznych metod rozwiązywania
hiperbolicznych równań różniczkowych
• może być użyta jako wzorzec do uogólniania programów
• łatwo dostosowana do konkretnych aplikacji
• stanowi wzorzec do ambitniejszych programów numerycznych
• dostępna dla społeczności akademickiej
• składa się z programów rozwiązujących równanie unoszenia, równanie
Burgersa, równania płytkiej wody i równań Eulera
• napisana w języku fortran 77
5.2 Program w fortranie 77
Istotne fragmenty programu (z biblioteki Numerica) rozwiązującego równanie
unoszenia:
C
C
C
C
C
Purpose: to solve the linear advection equation with constant
coefficient by a selection of 8 schemes, namely:
Godunov’s first-order upwind scheme
The Toro-Billett first-order upwind scheme
The Lax-Friedrichs scheme (first-order centred)
63

C
The FORCE scheme (first-order centred)
C
Godunov’s first-order centred scheme
C
The Lax-Wendroff scheme (second order, oscillatory)
C The Fromm scheme (second order, oscillatory)
C
The Warming-Beam scheme (second order, oscillatory)
C Input file: lagen.ini
C output file: lagen.out
*
C Programer: E. F. Toro
*
C Theory in Chaps. 5, 7 and 13 of
C Toro, E. F., "Riemann Solvers and Numerical Methods for
C Fluid Dynamics", Springer-Verlag, 2009
C
* *************************
C * The Code at a Glance *
* *************************
*
C CALL READER (Defines the problem)
C CALL INITIA (Specifies initial conditions)
*
C-----Time stepping begins here
*
C CALL BCONDI (set boundary condition)
C CALL CFL (CFL condition)
C CALL GODUPW (Godunov interface flux)
C CALL UPDATE (update the solution)
64

C CALL OUTPUT (Output results)
*
C-----Time stepping ends here
65

5.2.1 Zalecane ćwiczenia
W celu zapoznania się z programem polecamy wykonanie następujących
instrukcji:
• zapoznajmy się z ogólną strukturą programu
• wykonajmy kilka uruchomień programu zmieniając warunki początkowe.
W szczególności zadajmy gładkie i nieciągłe warunki początkowe
• dokonajmy wizualizacji danych
• uruchommy program dla siatek numerycznych o różnych rozmiarach
komórek ∆x
• porównajmy rozwiązania numeryczne z analitycznymi
• obserwujmy błedy numeryczne
• wybierzmy najlepszą metodę dla gładkich i nieciągłych warunków początkowych
Wizualizacji danych dokonajmy przy pomocy ulubionego programu graficznego.
Jednym z prostszych z nich jest Gnuplot. Poniżej przedstawimy prosty
skrypt do wizualizacji danych numerycznych.
5.3 Skrypt dla pakietu Gnuplot
#
set terminal postscript eps enh ’Helvetica’
set xlabel ’x’
set ylabel ’{/Symbol d}{/Symbol r}
#set output ’prof.eps’
66

#plot [0:] ’cl1d_integrals.dat’ u 1:($5-3.87437024775149208) t ""
w l
set xrange [:4.0]
set yrange [:100]
set label "yield point" at 0.003, 260
set logscale
plot ’../object/arcade.dat’ using 1:(1*$11)/1 title "Vx" with lines, \
’../object/arcade.dat’ using 1:(1*$12)/1 title "Vy" with lines
unset logscale
reset
5.4 Schematy różnic skończonych
W tej części wykładu zaprezentujemy i przedyskutujemy schematy różnicskończonych
dla skalarnych hiperbolicznych równań różniczkowych ze szczególnym
uwzględnieniem równania unoszenia w cienkich rurach. Równania
te opisują wymienione wyżej charakterystyczne zjawiska fizyki technicznej.
Oszacujemy błędy numeryczne i wprowadzimy stabilne i niestabilne schematy
różnic-skończonych. Pokażemy, że rozwiązanie numeryczne najprostszego
równania hiperbolicznego, jakim jest równanie unoszenia w cienkich
rurach, sprawia wiele kłopotów.
Przypomnijmy, że równanie unoszenia w cienkich rurach dane jest
q ,t + λq ,x = 0 . (210)
67

Tutaj, λ = const jest prędkością unoszenia a q stanowi uogólnioną gęstość
płynu. Zapiszmy warunek początkowy dla równania unoszenia w cienkich
rurach
q(x, t = 0) = q 0 (x). (211)
Zapiszmy równanie unoszenia w postaci
( ∂
∂t + λ ∂ )
u = 0. (212)
∂x
Wnioskujemy stąd, że rozwiązaniem powyżej określonego problemu Cauchy’ego
(początkowego) jest
q(x, t) = q 0 (x − λt) . (213)
Oznacza to, że profil początkowy ulega jedynie translacji o wektor λt.
5.4.1 Proste schematy numeryczne
Naszym celem jest dokonanie dyskretyzacji równania unoszenia z użyciem
różnic skończonych zastępujących pochodne.
Zastosujmy rozwinięcie w szerg Taylora różniczkowalnej (gładkiej) funkcji
g(x) takiej, że
∞∑ ∆x k
g(x 0 + ∆x) = g(x 0 ) + g ,kx (x 0 ) . (214)
k!
Tutaj g ,kx oznacza k-tą pochodną g ze względu na zmienną przestrzenną x.
Zapiszmy powyższe wyrażenie w postaci
g(x 0 + ∆x) = g(x 0 ) + ∆x g ,x (x 0 ) + O((∆x) 2 ) . (215)
Tutaj O((∆x) 2 ) oznacza wszystkie człony wyższego rzędu niż ∆x. W podobny
sposób znajdziemy
g(x 0 − ∆x) = g(x 0 ) − ∆x g ,x (x 0 ) + O((∆x) 2 ) . (216)
68
k=1

Z równań (215) i (216) otrzymamy odpowiednio przedni i tylni schematy
Eulera:
g ,x = g(x 0 + ∆x) − g(x 0 )
∆x
g ,x = g(x 0) − g(x 0 − ∆x)
∆x
+ O(∆x) , (217)
+ O(∆x) . (218)
Łącząc równania (217) i (218) otrzymamy centerowany schemat Eulera
g ,x = g(x 0 + ∆x) − g(x 0 − ∆x)
2∆x
+ O((∆x) 2 ) . (219)
Wprowadźmy teraz siatkę numeryczną o rozmiarach (kroku przestrzennym)
∆x i (kroku czasowym) ∆t następująco:
x i = i∆x , i = 0, 1, . . . , i max , ∆x = x i+1 − x i , (220)
t n = n∆t , n = 0, 1, . . . , n max , ∆t = t n+1 − t n . (221)
Wtedy
q n i = q(x i , t n ) . (222)
Przybliżmy pochodne cząstkowe ich odpowiednikami różnic skończonych.
W szczególności pochodną po czasie zastąpmy przednim schematem Eulera
a pochodną przestrzenną schematem centrowanym, czyli
q ,t ≃ qn+1 i − qi
n
∆t
, q ,x ≃ qn i+1 − q n i−1
2∆x
. (223)
Po podstawieniu tych schematów do równania (118), otrzymamy dyskretną
reprezentację równania unoszenia
q n+1
i
− qi
n
∆t
+ λ qn i+1 − q n i−1
2∆x
= 0 . (224)
Stąd otrzymamy przedni w czasie i wycentrowany w przestrzeni (FTCS) schemat
numeryczny
q n+1
i
= q n i + λ∆t
2∆x (qn i−1 − q n i+1) . (225)
69

Z powyższego schematu wnioskujemy, że aby dokonać aktualizacji rozwiązania
w danej komórce numerycznej, qi
n+1 , potrzebujemy trzech stanów: qi−1,
n
q n i , q n i+1.
5.4.2 Liczba CFL
c jako
Zdefiniujmy teraz liczbę (CFL, Couranta) Couranta-Friedrichsa-Lewy’ego
c = λ∆t
∆x =
Możemy wtedy równanie (225) zapisać w postaci
λ
∆x/∆t . (226)
q n+1
i = q n i + c 2 (qn i−1 − q n i+1) . (227)
Stąd możemy w sposób jawny obliczyć ewolucję q w czasie dla każdego punktu
i, z wyjątkiem i = 0 i i = i max . Dla tych punktów musimy określić warunki
brzegowe.
5.4.3 Warunki brzegowe
Jako przykład warunków brzegowych przedstawimy warunki Neumanna
zwane także otwartymi. Warunki te realizowane są poprzez zerowanie się
pochodnej przestrzennej. Prowadzą one do
q0 n = q1 n , qi n max+1
= qi n max
. (228)
Warunki Neumanna są jednymi z prostszych używanych w symulacjach numerycznych.
Możliwe jest też wprowadzenie innych warunków brzegowych.
5.5 Eksperymenty numeryczne
Możemy dokonać dyskretyzacji równania unoszenia,
q ,t + λq ,x = 0 , λ = const , (229)
70

do postaci
q n+1
i = q n i + c(q n i−1 − q n i ) . (230)
Otrzymaliśmy w ten sposób schemat numeryczny.
Wykonajmy następujące polecenia:
• ugruntujmy naszą wiedzę o sposobie rozwiązania problemu Riemanna
dla równania unoszenia. Wykorzystajmy notatki przedstawione w tekście
powyżej lub polecaną literaturę
• polepszmy naszą znajomość programu rozwiązującego równanie unoszenia
• poprawmy sposób wizualizacji danych
• wykonajmy symulacje odpowiednim programem numerycznym
5.6 Metoda z wiatrem
Przybliżmy teraz pochodne w równaniu unoszenia w cienkich rurach,
przednimi schematami Eulera
q ,t + λq ,x = 0 , λ > 0 , (231)
q ,t ≃ qn+1 i − qi
n
∆t
, q ,x ≃ qn i+1 − q n i
∆x
Otrzymamy wtedy dyskretną reprezentację równania unoszenia
. (232)
L(qi n ) = qn+1 i − qi
n
∆t
Stąd otrzymamy schemat z wiatrem
+ λ qn i+1 − q n i
∆x
= 0 . (233)
q n+1
i = q n i + c(q n i − q n i+1) . (234)
Ćwiczenie: Wyprowadźmy wyrażenie na lokalny błąd odcięcia. Czy schemat
z wiatrem jest konsystentny i stabilny
71

5.7 Ogólne sformułowanie schematu pod-wiatr
Powyżej skonstruowaliśmy schemat pod-wiatr dla równania unoszenia w
przypadku λ > 0. Wyprowadźmy teraz schemat, który będzie pracował zarówno
dla λ > 0 i λ < 0. W tym celu wprowadźmy oznaczenia
λ ± = 1 (λ ± |λ|) ,
2 c±
= ∆tλ±
∆x . (235)
Wtedy schemat pod-wiatr zapiszemy w następującej postaci:
q n+1
i = q n i + c − (q n i − q n i+1) + c + (q n i − q n i−1) . (236)
Ćwiczenie: Pokażmy, że schemat pod-wiatr dla przypadku λ < 0 jest
warunkowo stabilny.
5.8 Schematy monotoniczne
Schemat numeryczny nazywamy monotonicznym, jeśli
u n i > q n i (237)
warunkuje
u n+1
i > q n+1
i . (238)
Tutaj u i q są dwoma rozwiązaniami równania hyperbolicznego.
jako
Przedyskutujemy teraz schemat, który możemy zapisać w ogólnej postaci
q n+1
i = H(q n i−l, q n i , . . . , q n i+r) . (239)
Schemat ten jest monotonicznym, jeśli dla wszystkich k = i − l, . . . , i + r
mamy
∂H
∂q n k
≥ 0 . (240)
72

W przypadku równania unoszenia (118) schematami monotonicznymi są te,
które zawierają nieujemne współczynniki.
Jako przykład rozważymy schemat Godunowa zapisany w postaci równania
(239) jako
q n+1
i = q n i + c(q n i−1 − q n i ) , (241)
H = cq n i−1 + (1 − c)q n i . (242)
Z powyższego równania wioskujemy, że schemat Godunowa jest monotoniczny,
jeśli |c| ≤ 1. Skalarny schemat numeryczny
q n+1
i = H(q n i−l, . . . , q n i+r) , (243)
z l i r nieujemnymi liczbami całkowitymi, jest monotoniczny, jeśli dla wszystkich
j mamy
H ,q n
j
> 0 , j = i − l, . . . , i + r . (244)
Oznacza to, że H jest niemalejącą funkcją dowolnego swojego argumentu.
Definicja ta jest równoważna do poprzedniej definicji schematu monotonicznego.
Przykład: Jako dobry przykład posłuży nam schemat Godunowa
Stąd otrzymujemy
q n+1
i = q n i + c(q n i−1 − q n i ) . (245)
H = H(q n i−1, q n i ) = cq n i−1 + (1 − c)q n i (246)
a następnie
H ,q n
i−1
= c ≥ 0 , H ,q n
i
= 1 − c ≥ 0 . (247)
W rezultacie wnioskujemy, że w przypadku gdy |c| ≤ 1 schemat Godunowa
jest monotoniczny.
73

Z użyciem równania (243) znajdziemy, że 3-punktowy schemat,
jest monotoniczny, jeśli
q n+1
i
= q n i + ∆t
∆x (f n i−1/2 − f n i+1/2) , (248)
∂f n i+1/2
∂q n i
≥ 0 ,
∂f n i+1/2
∂q n i+1
≤ 0 . (249)
Twierdzenie: Niech będą dane początkowe {q n i }. Jeżeli rozwiązanie {q n+1
i }
otrzymane jest w wyniku schematu monotonicznego, wtedy spełnione są następujące
warunki:
max i {q n+1
i } ≤ max i {q n i } , min i {q n+1
i } ≥ min i {q n i } . (250)
Kontynuując powyższą procedurę otrzymamy
max i {q n i } ≤ max i {q n−1
i } ≤ . . . ≤ max i {q 0 i } , (251)
min i {q n i } ≥ min i {q n−1
i } ≥ . . . ≥ min i {q 0 i } . (252)
Wnioskujemy stąd, że schemat monotoniczny nie generuje nowych ekstremów
(błędnych oscylacji) a rozwiązanie spełnia warunek
Definicja: Schemat
min j {q n j } ≤ q n i ≤ max j {q n j } . (253)
q n i =
k=r ∑
k=−l
b k q n i+k . (254)
dla równania unoszenia jest kompatybilny z danymi, jeśli rozwiązanie w każdym
punkcie i, otrzymane za pomocą tego schematu, jest ograniczone przez
parę wielkości otrzymanych pod-wiatr, tj.
(q n i−s, q n i ) , s = sgn(λ) . (255)
Twierdzenie: Schemat dla równania unoszenia jest monotoniczny tylko
wtedy, gdy wszystkie współczynniki schematu nie są ujemne
{b k } ≥ 0 . (256)
74

5.9 Twierdzenie Godunowa
Rozważmy równanie unoszenia w cienkich rurach
q ,t + λq ,x = 0 . (257)
Twierdzenie Godunowa (1959) dowodzi, że nie ma monotonicznych, liniowych
(o stałych współczynnikach) schematów o dokładności większej niż jeden.
5.10 Dokładność schematów numerycznych
Rozważmy liniowy schemat numeryczny
q n+1
i =
k r ∑
k=−k l
b k q n i+k (258)
z k l , k r nieujemnymi liczbami całkowitymi i {b k } współczynnikami schematu,
niezależnymi od {q n i }. Schemat zadany równaniem (258) jest p-tego rzędu
dokładny w przestrzeni i w czasie wtedy i tylko wtedy, gdy
k r ∑
k=−k l
k m b k = (−c) m , 0 ≤ m ≤ p . (259)
Dowód: Dowód tego twierdzenia możemy przeprowadzić przez standardową
analizę błedów ucięcia (patrz str. 383, Toro 1999).
Przykład: Jako przykład rozważmy schemat pod-wiatr dla równania
unoszenia w cienkich rurach (118) z λ > 0. Mamy wtedy
q n+1
i = q n i − c ( q n i − q n i−1)
= cq
n
i−1 + (1 − c) q n i =
k r ∑
k=−k l
b k q n i+k , (260)
gdzie
k l = −1 , k r = 0 , b −1 = c , b 0 = 1 − c , (261)
q n+1
i =
k r ∑
k=−k l
b k q n i+k . (262)
75

Dla m = 0 mamy
0∑
k 0 b k =
0∑
b k = c + (1 − c) = 1 = (−c) 0 . (263)
k=−1 k=−1
Dla m = 1 otrzymamy
0∑
k 1 b k = (−1) 1 c + 0 1 (1 − c) = −c . (264)
k=−1
Wnioskujemy stąd, że powyższy schemat jest pierwszego rzędu dokładny w
przestrzeni i w czasie. Schemat ten nie jest drugiego rzędu dokładny, ponieważ
0∑
k 2 b k = (−1) 2 c + 0 2 (1 − c) = c ≠ (−c) 2 = c 2 . (265)
k=−1
Zalecane ćwiczenia:
1. Pokażmy, że schemat pod-wiatr dla równania unoszenia w cienkich rurach,
dany przez ∑ 0
k=−1 k 2 b k = c ≠ (−c) 2 nie jest drugiego-rzędu dokładny.
2. Udowodnijmy, że schemat Fromma jest drugiego-rzędu dokładny w
przestrzeni i w czasie.
3. Wykonajmy symulacje numeryczne unoszenia w cienkich rurach, wybierzmy
najlepsze schematy numeryczne dla gładnich i niegładkich stanów
początkowych. Ulepszmy metodę wizualizacji danych. Przygotujmy
skrypt dokonujący animacji danych numerycznych.
Komentarz: schemat Beama-Warminga jest schematem pod-wiatr.
5.11 Schematy Laxa-Friedrichsa i Laxa-Wendroffa
Schemat FTCS dany równaniem (227) możemy uczynić stabilnym po zastąpieniu
qi n średnią arytmetyczną (qi+1+q n i−1)/2. n Otrzymamy wtedy schemat
76

Laxa-Friedrichsa (LF)
q n+1
i
= qn i+1 + q n i−1
2
Możemy zapisać ten schemat w następującej postaci
q n+1
i
+ c 2 (qn i−1 − q n i+1) . (266)
= 1 + c
2 qn i−1 + 1 − c
2 qn i+1 . (267)
Schemat ten jest monotoniczny i jest on warunkowo stabilny dla |c| ≤ 1. W
zmodyfikowanym równaniu współczynnik dyfuzji jest
α LF = 1 − c2
λ∆x . (268)
2c
Wyprowadzimy teraz schemat Laxa-Wendroffa dla równania unoszenia w
cienkich rurach (118). Z wykorzystaniem rozwinięcia w szereg Taylora,
q(x, t + ∆t) = q(x, t) + ∆t q ,t + 1 2 (∆t)2 q ,tt + · · · , (269)
z równania unoszenia otrzymamy
q ,t = −λq ,x , q ,tt = λ 2 q ,xx . (270)
Przybliżając q ,x i q ,xx centralnymi schematami różnic skończonych otrzymamy
schemat Laxa-Wendroffa (LW)
q n+1
i =
c(1 + c)
qi−1 n + (1 − c 2 )qi n −
2
c(1 − c)
qi+1 n ≡ H(q i−1 , q i , q i+1 ) . (271)
2
Z równania (244) otrzymamy, że schemat ten nie jest monotoniczny pomimo
tego, że jest on drugiego-rzęd dokładny. Schemat ten jest warunkowo stabilny
dla 0 ≤ |c| ≤ 1.
5.12 Wnioski
W podsumowaniu tej części wykładów stwierdzimy, że problem Cauchy’ego
dla równania unoszenia w cienkich rurach posiada trywialne analityczne
rozwiązanie. Jednakże większość schematów numerycznych wykazuje
problemy z adekwatną reprezentacją rozwiązania. Błędy numeryczne
77

uzewnętrzniają się szczególnie w pobliżu stromych profili. Metody wyższegorzędu
dokładne są natomiast potencjalnie odpowiednie do rozwiązania trudnych
problemów. Metody numeryczne możemy wykorzystać do rozwiązania
bardziej zaawansowanych problemów jak np. układu hiperbolicznych równań.
5.13 Zalecane ćwiczenia dla równania unoszenia w cienkich
rurach
Wykonajmy następujące ćwiczenia:
• wykonajmy kilka uruchomień programu rozwiązującego równanie unoszenia
dla różnych warunków początkowych
• wybierzmy warunki początkowe gładkie lub w postaci funkcji schodkowej
• zapoznajmy się z pakietem służącym do wizualizacji danych numerycznych
• porównajmy otrzymane rozwiązania numeryczne z rozwiązaniami analitycznymi
• zaobserwujmy błędy numeryczne, np. ucinanie szczytów profili
• wykażmy, że schemat Laxa-Friedrichsa jest bardziej dyfuzyjny od schematu
Godunowa
• zauważmy, że schemat Laxa-Wendroffa wykazuje wolno biegnące błędy
fazowe, podczas gdy schemat Beama-Warminga charakteryzuje się szybko
biegnącymi błędami fazowymi
• uruchommy program dla dłuższego czasu końcowego i pokażmy, że
błędy numeryczne rosną w czasie
78

• oszacujmy błędy związane z dyfuzją numeryczną poprzez wykonanie
następującego eksperymentu. Ustalmy warunek początkowy q 0 (x) i uruchommy
program do czasu końcowego t = t ∗ , gdzie t ∗ oznacza dowolnie
duży czas. Zapiszmy dane końcowe q(x, t ∗ ). Uruchommy ponownie program
dla warunków początkowych q 0 (x) = q(x, t ∗ ) i ustalmy ujemną
wartość kroków czasowych. Zatrzymajmy program dla czasu t = 0 i
zbierzmy dane q 0∗ (x). Obliczmy błędy dyfuzyjne z
∫ ∣
1 xmax ∣∣∣∣ q 0 − q 0∗ ∣ ∣∣∣∣
dx (272)
x max − x min x min q 0
• zauważmy błędy schodkowania dla schematu Laxa-Friedrichsa
• dla schematów drugiego-rzędu dokładnych prześledźmy błędy nadstrzały
i podstrzały (zaśmiecające oscylacje) w pobliży nieciągłości
• wbierzmy liczbę Couranta 1.1. Zauważmy, że schemat pod-wiatr jest
wtedy niestabilny
• dokonajmy wyboru schematów zbyt dyfuzyjnych i zbyt dspersyjnych
• znajdźmy najlepszy schemat dla gładkiego stanu początkowego i dla
stanu nieciągłego
• zastosujmy schemat pod wiatr (230) dla równania unoszenia (229) z λ >
0 i wybierzmy λ∆t = ∆x. Wtedy schemat redukuje się do q n+1
i
= q n i−1.
Uruchommy program dla takiego przypadku i przeanalizujmy wyniki
79

6 Wykład 10-11: Numeryczne rozwiązania fal
akustycznych o małej amplitudzie
W tej części materiałów rozważymy bardziej złożony przypadek równania
hiperbolicznego niż równanie unoszenia a mianowicie układ równań unoszenia,
które sprowadzić możemy do jednego równania różniczkowego drugiego
rzędu zwanego równaniem falowym. Równanie to wyprowadzimy poniżej dla
przypadku fal akustycznych rozchodzących się w płynie (np. w gazie).
6.1 Wyprowadzenie równania falowego dla fal akustycznych
Rozważmy fale akustyczne poruszające się w jedym kierunku (np. w kierunku
x) w ośrodku płynnym. Zaniedbajmy obecność pola grawitacyjnego.
Fale te opiszemy wtedy równaniami Eulera
ϱ ,t + (ϱv) ,x = 0 , (273)
(ϱv) ,t + (ϱv 2 + p) ,x = 0 , (274)
E ,t + [v(E + p)] ,x = 0 , (275)
gdzie E = p/(γ−1)+ϱv 2 /2 oznacza gęstość energii całkowitej, v jest składową
prędkości wzdłuż kierunku x, ϱ gęstością masy a p odpowiada ciśnieniu płynu.
Zauważmy, że stan równowagi dowolnego układu fizycznego odpowiada
przypadkowi, w którym wielkości nie zależą od czasu. Niech w stanie tym
płyn jest w spoczynku a gęstość masy i ciśnienie będą stałymi, czyli
ϱ = ϱ 0 = const , (276)
v = v 0 = 0 , (277)
p = p 0 = const . (278)
80

Rozpatrzmy zaburzenia stanu równowagi zapisane następująco:
ϱ = ϱ 0 + δϱ , (279)
v = 0 + δv , (280)
p = p 0 + δp , (281)
gdzie δ odpowiada zaburzeniom. Załóżmy, że interesują nas małe zaburzenia,
czyli
δϱ
ϱ 0

6.2 Schemat numeryczny dla równania falowego
Równanie falowe (286) może być rozwiązane numerycznie przy pomocy
skryptu IDLa przedstawionego powyżej. Przedyskutujemy teraz schemat numeryczny
użyty w tym skrypcie. W tym celu przybliżmy drugą pochodną
v ,xx następującym ilorazem różnicowym:
[( v
n
i+1 − v n i
∆x
)
−
v ,xx
n
i
( v
n
i − v n i−1
∆x
= (v,x) n ,xi ≃ vn ,x i+1
− v,x n i
≃
∆x
)] 1
∆x = vn i+1 − 2vi n + vi−1
n . (287)
(∆x) 2
W podobny sposób dokonajmy przybliżenia pochodnej po czasie, tj.
[( v
n+1
i − vi
n
∆t
)
−
n
v ,tt i
( v
n
i − v n−1
i
∆t
n
= (v ,t ) ,t i
≃ v ,t n+1
i
− v,t n i
≃
)] ∆t
1
∆t = vn+1 i
− 2v n i + v n−1
i
(∆t) 2 . (288)
Po podstawieniu równań (287) i (288) do równania falowego (286) otrzymamy
schemat numeryczny
v n+1
i
= 2(1 − r 2 )v n i + r 2 (v n i+1 + v n i−1) − v n−1
i , (289)
gdzie r = c s ∆t/∆x jest liczbą CFL. Schemat ten został zastosowany w strypcie
IDLa, który przedstawiliśmy powyżej.
6.3 Zalecane eksperymenty numeryczne dla fal akustycznych
o małej amplitudzie
Wykonajmy następujące eksperymenty numeryczne:
• wykonajmy kilka uruchomień stryptu IDLa rozwiązującego równanie
falowe dla różnych warunków początkowych
• wybierzmy warunki początkowe gładkie lub w postaci funkcji typu Heaviside’a
(schodkowej)
82

• zaobserwujmy błędy numeryczne, które szczególnie uwidocznią się w
przypadku funkcji schodkowej
• uruchommy program dla dłuższego czasu końcowego i pokażmy, że
błędy numeryczne rosną w czasie
• zapoznajmy się szczegółowo z zawartością stryptu IDLa
• ulepszmy skrypt poprzez poprawienie programowania w IDLu
• potraktujmy skrypt jako wzorzec do napisania nowego programu rozwiązującego
równanie falowe metodą typu Godunowa
83

7 Wykład 12-13: Fale akustyczne w grawitacyjnie
uwarstwionej atmosferze – równanie
Kleina-Gordona
Rozważmy grawitacyjnie uwarstwiony płyn i zignorujmy obecność pola
magnetycznego. Dla stałego pola grawitacyjnego równanie zachowania pędu
przyjmuje postać
ϱv ,t + ϱ(v · ∇)v = −∇p + ϱg . (290)
Przyjmując, że pole grawitacyjne skierowane jest przeciwnie do osi z, tj.
g = −gẑ, i dla statycznego stanu równowagi (v = 0) równanie to upraszcza
się do
p 0 ,z = −gϱ 0 . (291)
Widzimy więc, że pole grawitacyjne wprowadza dodatkową siłe i wyróżniony
kierunek. W konsekwencji ośrodek staje się anizotropowym dla fal, które
generowane są poprzez siłę wyporu.
Zauważmy, że pozostałe równania Eulera są tożsamościowo spełnione dla
stanu równowagi i nie wprowadzają one dodatkowych informacji do równania
(291).
Grawitacja wprowadza skalę długości w płynie. Skala ta nazywa się wysokościową
skalą gęstości
H ≡
∣
ϱ 0
∣
ϱ 0 ,z
Podobnie możemy określić wysokościową skalę ciśnienia
Λ ≡
∣
p 0
p 0
∣ = c2 s
,z
∣ . (292)
γg . (293)
Warto zauważyć, że większe wartości H i Λ odpowiadają słabszemu uwarstwieniu
ośrodka. W szczególności stałe profile gęstości masy ϱ 0 (z) i ciśnienia
84

p 0 (z) odpowiadają nieskończonym wartościom H i Λ, czyli H, Λ → ∞. Skale
te wprowadzają skale czasowe zdefiniowane jako czas potrzebny fali do pokonania
dystansu H w obie strony, czyli 2H/c s . Odwrotność tej skali nazywa
się akustyczną częstością odcięcia
ω a ≡ c s
2H . (294)
Częstość ta ma prostą fizyczną interpretację - tylko fale z częstościami ω większymi
od akustycznej częstości odcięcia, tj. ω > ω a , mogą penetrować ośrodek
płynny. Dla częstości mniejszych od ω a amplituda fal zanika z wysokością z
i dlatego fale te nazywamy falami zanikającymi. Dodatkowo możemy zdefiniować
częstość unoszenia ω g , zwaną także częstością Brunta-Väisäli, jako
ω 2 g ≡ g
( 1
γΛ − 1 )
= g2
− g H c 2 s H . (295)
Jeżeli ω 2 g < 0 stan równowagi ośrodka jest niestabilny i w rezultacie powstaje
konwekcja. Warunek ten nazywa się kryterium Schwarzschilda. Z równania
(295) wynika, że warunek ω 2 g < 0 równoważny jest γΛ > H lub c 2 s > gH.
Wnioskujemy stąd, że dla danej wysokościowej skali gęstości masy H płyn jest
konwekcyjnie niestabilny dla odpowiednio małej wysokościowej skali ciśnienia
lub odpowiednio małej wartości prędkości dźwięku lub temperatury.
Znaczenie fizyczne ω 2 g może być wyjaśnione następująco. Rozważmy element
płynu, który jest przesunięty z położenia równowagi w kierunku do
góry. Jeśli ω 2 g
> 0 element ten jest cięższy niż nieprzesunięty płyn, który
znajduje się obok. W konsekwencji siła grawitacji przesuwa ten element w
stronę jego równowagowego położenia powodując jego oscylacje wokół położenia
równowagi. Z drugiej strony, jeśli ω 2 g < 0 element ten jest lżejszy niż
nieprzesunięty płyn i siła wyporu działa w kierunku do góry, przesuwając
element dalej od jego położenia równowagi.
85

Dla atmosfery izotermicznej c s nie zależy od z. Stąd otrzymujemy, że
H = Λ = const i w konsekwencji wyrażenia na częstość odcięcia ω a i Brunta-
Väisäli możemy uprościć do następujących wyrażeń:
ω a = γg
2c s
,
ω 2 g =
(1 − γ)g2
. (296)
c 2 s
Ponieważ γ > 1 mamy ω 2 g < 0 i atmosfera izotermiczna jest konwekcyjnie
stabilna.
Z równań (291) i (293) otrzymamy
dp 0 = −gϱ 0 dz = − γg p
c 2 0 dz = − p 0dz
s
Λ . (297)
Stąd
p 0 (z) = p 0 (0)e − ∫ dz
Λ . (298)
Ponieważ dla atmosfery izotermicznej Λ = const z powyższego równania i
z równania (291) wnioskujemy, że ciśnienie i gęstość masy zmniejszają się
eksponencjalnie z wysokością.
7.1 Wyprowadzenie równania Kleina-Gordona
Przedyskutujemy teraz małe (liniowe) zaburzenia stanu równowagi (291).
Z pomocą definicji
∆ ≡ ∇ · v (299)
dwu-wymiarowe zaburzenia takie, jak
v = (v x , 0, v z )e j(k xx−ωt) , j 2 = −1 (300)
są opisane następującymi równaniami (Lamb 1932):
v z,z + gk2 x
ω v 2 z = (1 − c2 skx
2 )∆ , (301)
ω2 c 2 sω 2 ∆ ,z + g(γω 2 − c 2 skx)∆ 2 = (g 2 kx 2 − ω 4 )v z . (302)
86

Równania te opisują fale akustyczne, fale grawitacyjne i konwektywne niestabilności.
Policzmy v z z równania (302) i podstawmy do (301). Otrzymamy wtedy
[ ω 2 − c 2 sk 2 x
c 2 s
(
∆ ,zz + (log c 2 s) ,z + 1 )
∆ ,z +
Λ
(
)]
− gk2 x
(log c 2 (γ − 1)g
ω
s) 2 ,z − ∆ = 0 . (303)
c 2 s
Możemy wyeliminować pochodne pierwszego rzędu poprzez transformację
u = c 2 s√
ϱ0 ∆ . (304)
Wtedy równanie (303) zapiszemy jako
[ ω 2 − ¯ω 2 ( ) ]
a ω
2
u ,zz + + g
ω − 1 k 2 2 x u = 0 , (305)
c 2 s
gdzie ¯ω a jest jest zmodyfikowaną przez grawitacyjne uwarstwienie częstością
odcięcia
¯ω 2 a ≡ (1 + 2H ,z )ω 2 a . (306)
Uzyskanie rozwiązania równania (305) dla dowolnego profilu temperatury jest
procesem trudnym. Dla przykładu dla liniowego profilu temperatury ∆(z)
wyraża się poprzez hipergeometryczne funkcje (Evans, Roberts 1991). Dlatego
rozważmy teraz prosty przypadek atmosfery izotermicznej, dla której
H = const. Z równania (306) znajdziemy, że
¯ω 2 a = ω 2 a . (307)
Wnioskujemy stąd, że rozwiązaniem równania (305) jest
z następującym związkiem dyspersyjnym:
u(z) = u 0 e jk zz , j 2 = −1 , (308)
k 2 z = ω2 − ω 2 a
c 2 s
+
87
( ω
2
g
ω 2 − 1 )
k 2 x . (309)

W konsekwencji fale akustyczne mogą poruszać się w kierunku pionowym,
jeśli kz 2 > 0 i amplituda fal zanika w tym samym kierunku, jeśli kz 2 < 0.
Równanie dyspersyjne (309) możemy rozwiązać następująco:
ω 4 − (ωa 2 + c 2 sk 2 )ω 2 + c 2 sωg 2 sin 2 α k 2 = 0 , (310)
gdzie α oznacza kąt między wektorem falowym k = (k x , 0, k z ) a osią z i
k 2
= k 2 x + k 2 z. Dwa pierwiastki tego równania oznaczają fale akustyczne i
wewnętrzne fale grawitacyjne. Na ogół fale te są sprzężone. Jednakże dla
słabego uwarstwienia są one w zasadzie rozsprzężone i
ω acoustic ≃ c s k, ω gravity ≃ ω g sin α . (311)
Fale akustyczne są w zasadzie izotropowe. Wewnętrzne fale grawitacyjne nie
mogą natomiast poruszać się wzdłuż kierunku z, ponieważ dla α = 0 mamy
ω gravity = 0. W konsekwencji, wewnętrzne fale grawitacyjne są anizotropowe.
Ze zlinearyzowanych równań (składowej z równania zachowania pędu i
równania na ewolucję ciśnienia) Eulera znajdziemy
v z,tt − c 2 s(z)v z,zz = −γgv z,z . (312)
Z wykorzystaniem transformacji
Q(z, t) = √ ϱ(z)c 2 s(z)
ϱ(z = z r )c 2 s(z = z r ) v z(z, t) (313)
równanie (312) sprowadzimy do równania Kleina-Gordona
Q ,tt − c 2 s(z)Q ,zz = −Ω 2 (z)Q , (314)
gdzie z = z r oznacza dowolnie wybrany poziom referencyjny i
Ω 2 (z) =
c2 s(z)
4Λ 2 (z) (1 + 2Λ ,z) . (315)
88

Równanie to opisuje poruszające się wzdłuż kierunku działania grawitacji,
tj. wzdłuż kierunku z, fale akustyczne
Równanie Kleina-Gordona rozwiążemy przy pomocy skryptu napisanego
w języku IDL. Skrypt ten przedstawimy w następnej części materiałów.
7.2 Program numeryczny dla równania Kleina-Gordona
Schemat numeryczny wykorzystajmy w skrypcie IDLa:
; -----------------------------------------------
; numerical solution of the Klein-Gordon equation
; -----------------------------------------------
;
PRO klein_gordon
a = -11.0 ; min(x)
b = 20.0 ; max(x)
N = 2000 ; number of spatial grid points
dx = (b-a)/N ; grid size
dt = dx ; !!! time step must satisfy this condition !!!
dt2 = dt*dt
tend = 20.0
; max time
nt = tend/dt ; number of time steps
;print,’ nt = ’, nt
u1 = fltarr(N) ; temporary matrix
u2 = fltarr(N) ; temporary matrix
89

u3 = fltarr(N) ; solution matrix
x = a + dx*indgen(N) ; x-coordinate
; initial conditions
for j=0,N-1 do begin
u1[j] = gauss(x[j])
u2[j] = u1[j]
u3[j] = u1[j]
endfor
; --------------
; main loop
; --------------
for nn=1,nt do begin
; the numerical scheme of Eq.(3.31) from
; http://webphysics.davidson.edu/Faculty/wc/waveHTML/node14.html
for j=1,N-2 do begin
u3[j] = -u1[j] + u2[j+1] + u2[j-1] + dt2*F(0.5*(u2[j+1]+u2[j-1]))
endfor
; open boundary conditions
u2[0] = u2[1]
u2[N-1] = u2[N-2]
u3[0] = u3[1]
90

u3[N-1] = u3[N-2]
for j=0,N-1 do begin
u1[j] = u2[j]
u2[j] = u3[j]
endfor
plot, x, u3, xrange=[-5,b], yrange=[min(u3),max(u3)]
wait,0.0125
endfor
END
; Initial condition
FUNCTION gauss, x
x0 = 0.0
S = 0.05
RETURN, exp( -(x-x0)^2/S^2 )
END
; time-derivative
;FUNCTION gauss_1, x
;RETURN, 0.0
;END
; free-term
91

FUNCTION F, x
;RETURN, sin(x)
RETURN, -1.0*x
END
7.3 Zalecane ćwiczenia
Wykonajmy następujące ćwiczenia:
• wykonajmy kilka uruchomień stryptu IDLa rozwiązującego równanie
Kleina-Gordona dla różnych warunków początkowych
• wybierzmy warunki początkowe zadane zlokalizowaną funkcją, np. funkcją
Gaussa
• prześledźmy okresowo pojawiające się zaburzenia w pobliżu zadanego
warunku początkowego
• zapoznajmy się szczegółowo z zawartością stryptu IDLa rozwiązującego
problem początkowy dla równania Kleina-Gordona
• ulepszmy skrypt np. poprzez dostosowanie prędkości dźwięku do konkretnego
stanu atmosfery ziemskiej
• ponieważ obecenie zadane otwarte warunki brzegowe powodują odbicia
fal od brzegów obszaru symulacji, poprawmy sposób zadawania otwartych
warunków brzegowych używając tzw. warunków Sommerfelda (np.
Murawski 2002)
92

8 Wykład 14-15: Słabo nieliniowe szybkie fale
magnetoakustyczne w plazmie zimnej - równania
Burgersa
W poprzednich częściach niniejszych materiałów dyskutowaliśmy równanie
unoszenia, równanie falowe i równanie Kleina-Gordona. Równania te są
liniowe. W tej części wykładów wyprowadzimy najprostsze równania nieliniowe,
którymi są równania Burgersa. W tym celu rozważmy równania (590)-
(595) dla przypadku plazmy zimnej, dla której z definicji ciśnienie gazu
p = 0. Dodatkowo załóżmy, że ruch plazmy odbywa się w dwóch wymiarach
z ∂/∂y = 0 a prędkość
v = [v x , 0, v z ] (316)
i pole magnetyczne
B = [B x , 0, B z ] . (317)
Przyjmijmy, że w stanie równowagi plazma jest statyczna (v = 0) i charakteryzuje
się jednorodną gęstością ϱ 0 . Stan ten możemy opisać następująco:
ϱ = ϱ 0 = const, v = 0, B = B 0 ẑ , (318)
gdzie ẑ jest wersorem wzdłuż osi z a B 0 jest wartością pola magnetycznego.
W rezultacie, prędkość Alfvéna,
c A = B 0
√ µϱ0
, (319)
jest stała w całym obszarze plazmy.
Dla plazmy zimnej w dyskutowanym przez nas przypadku dwu-wymiarowym,
równania (590)-(595) opisują jedynie szybkie fale magnetoakustyczne.
93

Powolna fala magnetoakustyczna wyeliminowana jest z układu poprzez założenie
zimnej plazmy (p = 0). Fala Alfvéna jest natomiast nieobecna wskutek
zaniedbania oscylacji w kierunku y, tj. v y = B y = 0. W przypadku (liniowym)
małych zaburzeń szybka fala magnetoakustyczna spełnia następujący
związek dyspersyjny:
ω 2 = c 2 Ak 2 . (320)
Poniżej rozważymy słabo nieliniowe fale, które oznaczają się małą ale
skończoną amplitudą. W tym celu rozwińmy wszystkie wielkości plazmowe
wokół stanu równowagi opisanej równaniem (318), tj.
ϱ = ϱ 0 + δϱ , (321)
v x = δv x , v z = δv z , (322)
B x = δB x , B z = B 0 + δB z , (323)
gdzie δ odpowiada zaburzonej wielkości. Po podstawieniu powyższych wyrażeń
do równań MHD i opuszczeniu δ otrzymamy
ϱ ,t + ϱ 0 v z,z = −(ϱv z ) ,z , (324)
ϱ 0 v x,t − B 0
µ B x,z = −ϱv x,t − (ϱ 0 + ϱ)v z v x,z , (325)
ϱ 0 v z,t = −ϱv z,t − (ϱ 0 + ϱ)v z v z,z − 1 µ B xB x,z , (326)
B x,t − B 0 v x,z = −(v z B x ) ,z , (327)
B z = 0. (328)
Zauważmy, że wszystkie człony liniowe znajdują się po lewej stronie powyższych
równań, podczas gdy prawe strony zawierają człony nieliniowe.
W celu uzyskania jakościowego obrazu różnego rodzaju oddziaływania,
które opisane jest równaniami (324)–(328), korzystnie jest wykonać następujący
eksperyment myślowy. Rozpocznijmy nasze rozważania od układu, który
94

znajduje się w statycznej równowadze w czasie t = 0 i wygenerujmy zaburzenie
w prędkości v x . Liniowe oddziaływania między v x i B x , równania (325)
i (327), prowadzą do niezerowej wartości B x i do ewolucji tych wielkości w
przestrzeni od miejsca generacji zaburzenia. Prowadzi to do zaburzeń v x i
B x zmieniających się z z. W reżimie liniowym nic więcej nie dzieje się, a
więc składowa z prędkości i gęstość masy mogą powstać wskutek efektów
nieliniowych. Oddziaływanie nieliniowe opisywane jest ostatnim członem w
równaniu (326), wskutek którego powstaje zaburzenie w v z . Zaburzenie to
automatycznie prowadzi do zmiany ϱ poprzez liniowe oddziaływanie z v z .
Widzimy, że po pewnym czasie wszystkie wielkości plazmowe (oprócz B z ,
które pozostaje niezaburzone) osiągają niezerowe wielkości.
Pozostałą informację o ewolucji parametrów plazmy możemy otrzymać
poprzez analizę rzędu wielkości członów nieliniowych. Dla przykładu człon
powodujący generację v z , czyli
1
µ B xB x,z , jest kwadratowy w liniowo zaburzonej
wielkości B x . Składowa prędkości v z oddziaływuje wtedy z gęstością
masy prowadząc do samo-oddziaływania v z . To samo-oddziaływanie, opisane
przez dwa pierwsze człony stojące po prawej stronie równania (326), stanowi
zatem efekt czwartego rzędu. Proces ten możemy kontynuować pokazując, że
nieliniowe człony w równaniach dla ϱ i v z są rzędu parzystego.
Kiedy prędkość równoległa do niezaburzonego pola magnetycznego staje
się różna od zera, prawe strony równań (325) i (327) zawierają człony trzeciego,
piątego i wyższych rzędów nieparzystych. Oznacza to, że składowe normalne
prędkości i pola magnetycznego są wygenerowane w sposób nieliniowy
przez nieparzystego rzędu człony nieliniowe. Nieobecność członów kwadratowych
w równaniu na v x jest konsekwencją braku samo-odziaływania szybkiej
fali magnetoakustycznej w opisie do drugiego rzędu dokładności.
95

8.1 Wyprowadzenie zmodyfikowanego równania Burgersa
Ponieważ równania (324)-(328) są nadal zbyt trudne do ilościowej analizy,
wyprowadzimy równanie modelowe, które opisuje ewolucję fal w granicy
długich fal. W tym celu wprowadzimy układ współrzędnych poruszający się
z liniową prędkością fali, c A , wzdłuż kierunku z. Założymy, że w układzie tym
wielkości plazmowe zależą od z. Oznacza to, że fale nieliniowe nie są dokładnie
stacjonarne w tym układzie. Dokonamy tzw. rozciągnięcia współrzędnych
(np. Infeld, Rowlands 1990, Murawski, Oliver, Ballester 2001):
∫ ( )
dz
τ = ε − sdt , ξ = ε 2 z , (329)
c A
gdzie ε jest małym stałym parametrem, który mierzy słabość nieliniowości a
s = 1 (s = −1) odpowiada fali biegnącej w kierunku zgodnym (przeciwnym)
ze zwrotem osi z. Dalsze rozważania przeprowadzimy dla dowolnego znaku s,
chociaż w ich końcowej fazie położymy s = 1, co odpowiada falom biegnącym
zgodnie ze zwrotem osi z. Rozwińmy zaburzone wielkości plazmowe w potęgi
ε 1/2 tak, że
f(ξ, τ) = f 0 + ε 1/2 f 1 (ξ, τ) + εf 2 (ξ, τ) + ε 3/2 f 3 (ξ, τ) + · · · . (330)
Ponieważ później pozostawimy tylko człony najniższych rzędów, powyższe
wyrażenie oznacza, że rozważamy fale słabo nieliniowe. Dlatego nasze podejście
polega na wprowadzeniu pierwszego rzędu poprawek do teorii liniowej i
powinno być poprawione dla fal o dużych amplitudach.
Po podstawieniu wyrażeń (329) i (330) do równań (91)-(94) i porównując
człony przy ε 3/2 i ε 2 , po przekształceniach otrzymamy
ϱ i = s ϱ 0
c A
v zi , B xi = −s B 0
c A
v xi , (331)
B zi = 0 , (332)
96

dla i = 1, 2. Dodatkowo znajdziemy, że
ϱ 1 = v z1 = 0 , (333)
v z2 =
s 2
v x
2c 1 .
A
(334)
Równanie (331) potwierdza, że z jednej strony ϱ i v z oraz z drugiej strony v x
i B x są tego samego rzędu nieliniowe. Równanie (333) wskazuje na różną parzystość
członów nieliniowych wpływających na te zmienne. Równanie (332),
prawdziwe dla i = 1, 2, · · ·, prowadzi do równania (328).
Warunek zgodności dla składowych x równań gęstości pędu i indukcji magnetycznej,
otrzymanych dla ε 5/2 , prowadzi do zmodyfikowanego nielepkiego
równania Burgersa zawierającego nieliniowy człon trzeciego rzędu, tj.
v x1,ξ + 3 2
v
4c 3 x1 v x1,τ = 0 . (335)
A
Transformując to równanie do współrzędnych wyjściowych z, t i stosując
v x ∼ ε 1/2 v x1 (336)
otrzymamy
v x,z + s (
1 − 3 )
v 2
c A 4c 2 x v x,t = 0 . (337)
A
Wygodnie jest teraz wprowadzić następujące bezwymiarowe zmienne:
z ′ = z L ,
t′ = t c A
L ,
v′ x = v x
c A
, (338)
gdzie L oznacza skalę długości. W tych zmiennych równanie (337) może być
zapisane jako
(
v x,z ′ + s 1 − 3 )
′
4 v′2 x v x,t ′ = 0 . (339)
′
Stąd możemy znaleźć wyrażenie na bezwymiarową prędkość fali
v ′ w =
(
1 − 3 4 v′2 x
) −1
. (340)
97

że v ′2
x
W powyższej analizie ograniczyliśmy się do słabo nieliniowych fal, takich
≪ 1. Równanie (340) pokazuje, że dla takich wartości v ′ x bezwymiarowa
wartość prędkości fali jest zawsze większa niż jeden i rośnie z amplitudą
fali v ′ x. W konsekwencji wnioskujemy, że nieliniowość przyśpiesza zarówno
dodatnie (v ′ x > 0) jak i ujemne (v ′ x < 0) wychylenia.
8.2 Wyprowadzenie równania Burgersa
Z równania (326) wynika, że przepływ równoległy do osi z (v z ) jest wymuszany
członem kwadratowym związanym z szybką falą magnetoakustyczną,
v x . Wprowadzając
v z ∼ εv z2 (341)
otrzymamy
v ′ z = s 2 v′2 x . (342)
Natychmiastową konsekwencją tej zależności jest to, że wartość v ′ z jest mniejsza
niż v ′ x. Równanie (339) możemy zapisać z pomocą v ′ z w postaci nielepkiego
równania Burgersa, tj.
v ′ z,z ′ +
(
s − 3 )
2 v′ z v z,t ′ = 0 . (343)
′
Warto podkreślenia jest, że podczas gdy równanie (339) zawiera sześcienny
nieliniowy człon, równanie (343) oznacza się kwadratową nieliniowością.
Fakt ten zauważyliśmy już w czasie inspekcji równań (324)-(328).
Ma on bezpośrednie znaczenie dla zależności prędkości fali od jej amplitudy.
Z równania (340) lub (343) wynika, że prędkość fali dana jest następującym
wyrażeniem:
v ′ w =
(
s − 3 2 v′ z) −1
. (344)
98

Wnioskujemy stąd, że dodatnie i ujemne wychylenia fali doznają odpowiednio
przyspieszenia i opóźnienia wskutek działania kwadratowej nieliniowości w
równaniu (343).
99

9 Wykład 15-16: Nieliniowe równania hiperboliczne
dla układów fizyki technicznej
W tej części materiałów do wykładu rozważymy postać całkową równań
hiperbolicznych opisujących układy fizyki technicznej, wyprowadzimy warunek
Rankine’a-Hugoniota dla fal szokowych (zwanych też uderzeniowymi lub
po prostu szokami), przeprowadzimy dyskusję nieliniowych skalarnych równań,
zdefiniujemy wypukłe i niewypukłe strumienie, przedstawimy proste fale
i charakterystyki związane z tym falami, wprowadzimy warunek entropii dla
fal szokowych, rozwiążemy problem Riemanna dla równań Eulera i wprowadzimy
niezmienniki Riemanna.
Rozpocznijmy nasze rozważania od jedno-wymiarowych równań hiperbolicznych
zapisanych w postaci różniczkowej następująco:
q ,t + f(q) ,x = 0 . (345)
Tutaj q oznacza wektor stanu a f jest strumieniem o składowych takich, że
q = [q 1 , . . . , q m ] T , f = [f 1 , . . . , f m ] T . (346)
9.1 Postać całkowa równań hiperbolicznych
Postać różniczkowa wektorowego prawa zachowania danego równaniem (345)
nie jest poprawna w obecności nieciągłości takich jak szoki i fale kontaktowe
(falę kontaktową zdefiniujemy poniżej)s. Problemów takich nie doznajemy w
przypadku zapisania prawa zachowania w postaci całkowej
∫
d xr
q(x, t) dx = f(q(x l , t)) − f(q(x r , t)) . (347)
dt x l
Tutaj x l i x r wybraliśmy dowolnie. Postać całkowa jest poprawna zarówno dla
rozwiązań ciągłych jak i nieciągłych. Dla gładkiego q(x, t) z równania (347)
100

otrzymamy
∫
d xr
∫
q(x, t) dx = f(q, t)| x xr
l
x
dt
r
= − f ,x dx . (348)
x l
x l
Stąd przenosząc wyrazy na lewą stronę otrzymamy
∫ xr
(q ,t + f ,x ) dx = 0 . (349)
x l
Ponieważ x l i x r są dowolne wnioskujemy stąd, że wyrażenie pod całką wynosi
zero, co prowadzi do równania
q ,t + f ,x = 0 . (350)
Rozważmy komórkę kontrolną (ang. control-volume) [x l , x r ] × [t 1 , t 2 ]. Dokonajmy
całkowania w przedziale czasu [t 1 , t 2 ] równania (347). Otrzymamy
wtedy
∫ t2
t 1
( d
dt
∫ xr
x l
q(x, t) dx
)
dt =
∫ t2
t 1
[f(q(x l , t)) − f(q(x r , t))] dt . (351)
Stąd po obliczeniu całki po czasie po lewej stronie równania znajdziemy, że
∫ xr
x l
q(x, t 2 ) dx =
∫ xr
x l
∫ t2
∫ t2
q(x, t 1 ) dx+ f(q(x l , t)) dt− f(q(x r , t)) dt . (352)
t 1
t 1
Powyższa postać jest używana do konstrukcji schematów objętości skończonych
(ang. finite-volume), które dyskutujemy w rozdz. 10.6.
9.2 Warunek Rankine’a-Hugoniota dla nieciągłości
Rozważmy falę nieciągłą (szokową lub kontaktową) poruszającą się z
prędkością λ s i komórkę kontrolną [x l , x r ] × [t 1 , t 2 ]. Dostosowując równanie
(352) do tej komórki kontrolnej, otrzymamy
∆x q l = ∆x q r + ∆t f(q l ) − ∆t f(q r ) , (353)
∆x = x r − x l , ∆t = t 2 − t 1 . (354)
101

Stąd znajdziemy warunek Rankine’a-Hugoniota
gdzie:
∆f = λ s ∆q , (355)
∆f = f(q r ) − f(q l ), ∆q = q r − q l , λ s = ∆x
∆t . (356)
Ponieważ λ s jest skalarem, wnioskujemy, że ∆q odpowiada fali szokowej tylko
wtedy, jeśli różnica strumienia ∆f jest proporcjonalna do ∆q. W przeciwnym
wypadku nieciągłość ∆q rozpada się na fale. Dla układu liniowego mamy
f = Aq. Wtedy fala szokowa może powstać z uskoku ∆q takiego, że ∆q jest
wektorem własnym macierzy A i λ s jest wartością własną.
9.3 Nieliniowe równania skalarne
W przypadku skalara m = 1, q = q 1 . Mamy wtedy
q ,t + f(q) ,x = 0 . (357)
Z postaci całkowej powyższego równania (patrz równanie (347) dla przypadku
kiedy x l → −∞ i x r → ∞) wnioskujemy, że pole powierzchni ograniczonego
krzywą q(x) i osią x jest stałe w czasie. Dla różniczkowalnego
strumienia f(q) zapiszemy powyższe równanie w postaci quasi-liniowej
q ,t + λ(q)q ,x = 0 , λ(q) = f ,q . (358)
Wnioskujemy stąd, że charakterystyczna prędkość λ zależy od q, tzn. dla
równania Burgersa
λ(q) = q . (359)
Wobec tego prędkość λ rośnie z q. W konsekwencji krzywe charakterystyczne
nie są już równoległe i mogą się one przecinać. Fale mogą się wystramiać prowadząc
do powstawania szoków. Dodatkowo charakterystyczna dla równań
102

nieliniowych fala rozrzedzeniowa może mieć miejsce. Fala ta reprezentuje
proces odwrotny w czasie do procesu powstawania szoku, czyli zaburzenie
nieciągłe ulega wygładzeniu w czasie w fali rozrzedzeniowej a po przejściu
tej fali ośrodek ulega rozrzedzeniu - stąd nazwa fali.
9.4 Równanie ruchu drogowego
Rozważmy ruch pojazdów na jednym pasie autostrady. Niech q(x, t) oznacza
gęstość pojazdów w punkcie x i w czasie t. Gęstość tą znormalizujemy
w ten sposób, że pusta autostarda odpowiada q = 0, natomiast całkowicie
zapełniona autostrada charakteryzuje się q = 1. W ogólności więc 0 ≤ q ≤ 1.
Model ten stanowi dobry wstęp do badania efektów nieliniowych, jako że wyniki
dostarczane przez ruch uliczny (ang. traffic flow) spełniają często nasze
oczekiwania i są intuicyjnie wyczuwalne.
Ponieważ strumień pojazdów jest dany przez uq, gdzie u jest prędkością
pojazdu, równanie ruchu drogowego zapiszemy następująco:
q ,t + (uq) ,x = 0 . (360)
Oczywiste jest, że prędkość pojazdu zależy od gęstości pojazdów. Prosty
model polega na założeniu, że
u(q) = u max (1 − q), 0 ≤ q ≤ 1 . (361)
Stąd wnioskujemy, że dla zerowej gęstości (pustej autostrady) prędkość wynosi
u max . Prędkość ta spada do zera dla całkowicie zapełnionej drogi, dla
której q → 1.
103

9.5 Wypukłe i niewypukłe strumienie
Dla wypukłego strumienia, np. dla równania Burgersa, prędkość charakterystyczna
rośnie monotonicznie z q, tzn.
λ ,q = f ,qq > 0 . (362)
Dla strumienia wklęsłego, np. dla równania ruchu drogowego (ang. traffic
flow equation), prędkość charakterystyczna maleje monotonicznie z q, tzn.
λ ,q = f ,qq < 0 . (363)
Dla niewypukłego i niewklęsłego strumienia, np. dla równania Buckley’a-
Leveretta, prędkość charakterystyczna osiąga lokalne ekstrema. Równanie
Buckley’a-Leveretta stosuje się w przemyśle naftowym. Równanie to będziemy
dyskutować poniżej.
9.6 Krzywe charakterystyczne
Rozważmy problem początkowy
q ,t + λ(q)q ,x = 0 , (364)
q(x, t = 0) = q 0 (x) . (365)
Wzdłuż krzywej charakterystycznej, dx/dt = λ, znajdziemy, że
dq
dt = q ,t + λ(q)q ,x = 0 , (366)
q(x, t = 0) = q 0 (x) . (367)
Wnioskujemy stąd, że q jest stałe, tj.
q(x, t) = q 0 (x 0 ) , (368)
104

wzdłuż charakterystyk,
x = x 0 + λ(q 0 )t , (369)
które są liniami prostymi. Wnioskujemy stąd, że rozwiązanie jest dane niejawnie
w postaci
Zauważmy, że charakterystyki mogą się przecinać. Rzeczywiście z równania
q(x, t) = q 0 (x − λ(q 0 )t) . (370)
otrzymamy:
q(x, t) = q 0 (x − λ(q 0 )t) (371)
q ,t =
q ,x =
λq 0 ,x
1 + tq 0 ,xλ ,q
, (372)
q 0 ,x
1 + tq 0 ,xλ ,q
. (373)
Stąd, kiedy mianownik się zeruje, fala opisana q(x, t) “przewraca się” i powstaje
fala szokowa.
9.7 Problem Riemanna dla równania Burgersa
Określimy problem Riemanna dla równania Burgersa w standardowy sposób,
czyli
q ,t + f(q) ,x = 0 , f(q) = 1 2 q2 , (374)
{ ql , x < 0 ,
q(x, 0) =
(375)
q r , x ≥ 0 .
W przypadku kiedy q l > q r , znajdziemy rozwiązanie problemu Riemanna w
postaci fali szokowej danej następującym wyrażeniem:
⎧
⎨ q l , x/t < s ,
q(x, t) =
(376)
⎩
q r , x/t ≥ s .
105

Z warunku Rankine’a-Hugoniota otrzymamy prędkość fali szokowej
λ s = f(q r) − f(q l )
q r − q l
= 1 2 (q l + q r ) . (377)
9.8 Słabe rozwiązania równania Burgersa
Rozważmy problem Riemanna dla równania Burgersa (374). W przypadku,
gdy q l < q r , mamy dwa rozwiązania: a) szok i b) rozwiązanie ciągłe.
Dla rozwiązania ciągłego q(x, t) możemy zapisać równanie Burgersa następująco:
q ,t + f(q) ,x = q ,t + f(q) ,q q ,x = q ,t + λ(q)q ,x = 0 . (378)
Poszukajmy rozwiązania w postaci funkcji u(x/t) takiej, że
q(x, t) = u(x/t) , q ,t = − x t 2 u′ , q ,x = 1 t u′ . (379)
Wtedy z równania (378) otrzymamy
λ(u) = u = x/t . (380)
W konsekwencji znaleźliśmy rozwiązanie dla fali rozrzedzeniowej (ang. rarefaction
wave), tj.
⎧
q l , x/t < q l ,
⎪⎨
q(x, t) = x/t , q l < x/t < q r ,
(381)
⎪⎩
q r , x/t > q r .
Wnioskujemy stąd, że q zmniejsza swoją wartość (ośrodek staje się rozrzedzony)
po przejściu fali.
Dokonamy dyskusji rozwiązania w postaci fali szokowej po zaprezentowaniu
warunku entropii dla fali szokowej.
9.9 Warunek entropii dla fali szokowej
Warunek entropii jest bardzo pomocny do wyboru fizycznego szoku, poruszającego
się z prędkością λ s . Warunek entropii według Laxa (np. LeVeque
106

2002), zapiszemy następująco:
λ(q l ) > λ s > λ(q r ) . (382)
Wnioskujemy stąd, że charakterystyki z lewej i prawej stron nacierają na
szok. Zauważmy, że nieciągłe rozwiązanie dla przypadku, kiedy q l < q r , nie
spełnia warunku entropii Laxa i dlatego rozwiązanie to jest niefizyczne.
9.10 Problem Riemanna dla równania Burgersa - pełne
rozwiązanie
Dla równania Burgersa mamy następujące fizyczne rozwiązania:
1. szok, jeśli q l > q r
⎧
⎨ q l , x/t < s ,
q(x, t) =
⎩
q r , x/t ≥ s ,
s = 1 2 (q l + q r ) . (383)
Tutaj s jest prędkością szoku;
2. falę rozrzedzeniową, jeśli q l ≤ q r
⎧
q l , x/t < q l ,
⎪⎨
q(x, t) = x/t , q l < x/t < q r ,
⎪⎩
q r , x/t > q r .
(384)
9.11 Problem Riemanna dla zmodyfikowanego równania
Burgersa
Rozpatrzmy następujące zmodyfikowane równanie Burgersa
q ,t + f(q) ,x = 0 , f(q) = q 3 . (385)
Zauważmy, że strumień f(q) = q 3 nie jest wypukły, ponieważ f ,qq = 6q
zmienia znak w pobliżu q = 0. Wtedy dla przypadku 0 < q l < q r znajdziemy
107

ozwiązanie problemu Riemanna w postaci fali rozrzedzeniowej
⎧
q l , x < 3ql 2 t ,
⎪⎨ √
q(x, t) = q(x/t) = x , 3t 3q2 l t < x < 3qr 2 t ,
⎪⎩
q r , x > 3qr 2 t .
(386)
Natomiast dla przypadku kiedy 0 < q r < q l , znajdziemy rozwiązanie w
postaci fali szokowej poruszającej się z prędkością
λ s = q 2 l + q l q r + q 2 r . (387)
Dla ujemnych wartości q znajdziemy rozwiązanie w postaci fal mieszanych
(ang. compound waves). W przypadku kiedy q l > 0 > q r , otrzymamy stan
pośredni q m < 0, który łączy stan q l poprzez falę szokową poruszającą się z
prędkością
λ s = q 2 l + q l q m + q 2 m . (388)
Jednocześnie stan q m < 0 i q r połączone są falą rozrzedzeniową. Rozważmy
przypadek q m = −q l /2, dla którego fale związane pojawiają się tylko wtedy,
kiedy q l > 0 > −q l /2 > q r . Rozwiązanie w postaci fal mieszanych możemy
wtedy zapisać następująco:
⎧
⎨ q l , x < λ s t = (ql 2 + q l q m + qm)t 2 = 3qmt 2 ,
q(x, t) = q(x/t) =
⎩ − √ x
, 3t 3q2 mt < x < 3qr 2 t , q r , x > 3qr 2 t .
Rozwiązanie w postaci fal mieszanych przedstawia rys. 6.
(389)
Zalecane eksperymenty
Proponujemy wykonanie następujących ćwiczeń:
• zapoznajmy się z programem rozwiązującym równanie Burgersa
• uruchommy program dla przypadku fali szokowej. Obserwujmy rozwój
szoku z zaburzenia początkowego
108

Rysunek 6: Problem Riemanna dla zmodyfikowanego równania Burgersa. Dla t = 0
s nieciągłość znajdowała się w x = 0. Panele przedstawiają rozwiązanie dla t = 0.27
s. Pionowe linie odpowiadają (analitycznie obliczonym) położeniom fal szokowych
lub fal rozrzedzeniowych. W lewym panelu linia przerywana przedstawia dokładne
rozwiązanie fal mieszanych.
• eksperymentujmy z zaburzeniem początkowym odpowiadającym fali
rozrzedzeniowej, która jest charakterystyczną cechą równań nieliniowych
• wybierzmy różne metody numeryczne, które wbudowane są w programie,
i doświadczmy jak wpływają one na otrzymane rozwiązania
• zaobserwujmy usterkę w entropii w tzw. punkcie dźwiękowym w przypadku
fali rozrzedzeniowej i metody Godunowa. Zauważmy, że usterka
w entropii znika dla schematu Laxa-Friedrichsa. Ponieważ schemat ten
jest bardziej dyfuzyjny niż metoda Godunowa, wnioskujemy, że nad-
109

miar dyfuzji prowadzi do schematów, które zachowują entropię
• polepszmy naszą wiedzę o wybranych pakietach wizualizacji danych
numerycznych
• przemyślmy i wybierzmy nasz własny projekt numerycznego rozwiązania
równania skalarnego. Przykładowymi równaniami są: wyższego
rzędu równanie Burgersa q ,t + f(q) ,x = 0 , f(q) = q 3 , równanie ruchu
drogowego, równanie Buckley’a-Leveretta. Inne przykładowe projekty
mogą być znalezione na stronie
http://www.amath.washington.edu/~claw/
110

10 Wykład 17-18: Modelowanie zjawisk fizyki
technicznej z wykorzystaniem równań Eulera
Równania Eulera opisują zjawiska w płynach takich jak gazy (np. powietrze)
i ciecze (np. woda). W szczególności równania te zastosujemy do
wykonania symulacji numerycznych zanieczyszczeń powietrza w Rozdz. 12.9.
Wersja okrojona tych równań stanowić będzie równania płytkiej wody (patrz
Rozdz. 15). Natomiast wersja rozszerzona o równania Maxwella stanowić będzie
magnetohydrodynamiczny model plazmy (Rozdz. 13). Części składowe
tych równań (równanie zachowania masy i równanie zachowania pędu) bedą
wykorzystane do wyprowadzania równań opisujących dynamika ropy naftowej,
wody i polimeru w zastosowaniu w przemyśle naftowym (Rozdz. 14.1)
oraz modelu odkształceń sprężystych w układach mechanicznych (Rozdz. 14.2).
Dlatego zrozumienie numerycznych metod rozwiązywania równań Eulera jest
dla nas niezwykle ważne i poświęcimy tym metodom niniejszy wykład.
10.1 Jedno-wymiarowe równania Eulera
Zapiszmy jedno-wymiarowe równania Eulera w formie zachowawczej jako
q ,t + f(q) ,x = 0 . (390)
Tutaj wektor zachowawczego stanu q i strumień f dane są następująco:
⎡
q(x, t) =
⎢
⎣
⎤ ⎡ ⎤
q 1
ϱ(x, t)
q 2
=
⎥ ⎢ ϱu(x, t)
, (391)
⎥
⎦ ⎣ ⎦
q 3 E(x, t)
111

⎡
⎤ ⎡
ϱu
f(q) =
⎢ ϱu 2 + p
=
⎥ ⎢
⎣
⎦ ⎣
u(E + p)
q 2
1
2 (3 − γ) q2 2
q1
+ (γ − 1)q 3
q 2
q 1
(γq 3 − γ−1
2
q 2 2
q1
)
Przepiszmy teraz powyższe równania w postaci quasi-liniowej
⎤
. (392)
⎥
⎦
q ,t + A c q ,x = 0 , (393)
z macierzą Jacobiego
⎡
A c = f ,q =
⎢
⎣
⎡
=
⎢
⎣
−γ q 2q 3
q 2 1
0 1 0
1
2 (γ − 3) q2 2
q 2 1
+ (γ − 1) q3 2
q 3 1
(3 − γ) q 2
q 1
γ − 1
γ q 3
q 1
− 3 2 (γ − 1) q2 2
q 2 1
0 1 0
1
(γ − 2 3)u2 (3 − γ)u γ − 1
u[(γ − 1) u2
2 − H] H − (γ − 1)u2 γu
γ q 2
q 1
⎤
⎤
⎥
⎦
. (394)
⎥
⎦
Zdefiniowaliśmy tutaj gęstość całkowitej entalpii
Zauważmy, że f(q) = A c q.
H = E + p
ϱ
Mamy następujące równanie diagonalizacyjne:
. (395)
R −1
c A c R c = Λ (396)
z macierzą wektorów własnych R c . Kolumny tej macierzy stanowią prawe
wektory własne, tj.
⎡
R c = [ ] r (1)
c , r (2)
c , r (3)
c = ⎢
⎣
⎤
1 1 1
u − c s u u + c s
. (397)
⎥
⎦
u
H − uc 2
s H + uc
2 s
112

√
Wykorzystaliśmy tutaj wyrażenie na prędkość dźwięku c s = γp/ϱ i wprowadziliśmy
macierz Λ jako
⎡
⎤ ⎡
⎤
λ (1) 0 0
u − c s 0 0
Λ =
⎢ 0 λ (2) 0
=
⎥ ⎢ 0 u 0
. (398)
⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦
0 0 λ (3) 0 0 u + c s
Równania Eulera mogą być również zapisane w postaci niezachowawczej.
Aby tego dokonać, wprowdźmy niezachowawczy wektor stanu, w, taki, że
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
w 1
ϱ
w =
⎢ w 2
=
⎥ ⎢ u
. (399)
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
w 3 p
Z wykorzystaniem w przepiszemy równania Eulera w postaci quasi-liniowej
Wprowadziliśmy tutaj niezachowawczą macierz
⎡
⎤
u ϱ 0
A n =
1
⎢ 0 u .
ϱ ⎥
⎣
⎦
0 ϱc 2 s u
w ,t + A n w ,x = 0 . (400)
10.2 Problem własny dla macierzy A c i A n
Problem własny dla macierzy A c i A n określa równanie
A m r (i)
m = λ (i) r (i)
m , m = c, n , i = 1, 2, 3 , (401)
gdzie r (i)
m jest prawym wektorem własnym a λ (i) oznacza odpowiednią wartość
własną.
Prawymi wektorami własnymi macierzy A n są
⎡
⎤
R n = [ 1 1 1
] r (1)
n , r (2)
n , r (3)
n = ⎢ − c s
ϱ
0 c s
ϱ
. (402)
⎥
⎣
⎦
c 2 s 0 c 2 s
113

Zauważmy, że prawe wektory własne macierzy A c i A n różnią się od
siebie, podczas gdy im odpowiadające wartości własne są identyczne i dane
są następująco:
λ (1) = q 2
q 1
− c s , λ (2) = q 2
q 1
, λ (3) = q 2
q 1
+ c s . (403)
Ponieważ wartości te są rzeczywiste i odpowiadają one liniowo niezależnym
wektorom własnym r (1)
m , r (2)
m , r (3)
m , m = c, n, wnioskujemy stąd, że równania
Eulera są hiperboliczne.
Wartości własne zadane równaniem (403) są związane z faktem, że informacja
z dowolnego punktu płynu przepływa zgodnie z następującymi równaniami
charakterystycznymi:
dx
dt
dx
dt
= λ (2) = u , (404)
= λ (1),(3) = u ± c s . (405)
10.3 Uogólnione niezmienniki Riemanna
Zdefiniujemy uogólnione niezmienniki Riemanna jako zależności, które są
spełnione dla danej fali, czyli
d˜q 1
r (i)
m1
= d˜q 2
r (i)
m2
= d˜q 3
, ˜q = q, w , i = 1, 2, 3 , m = c, n . (406)
r (i)
m3
Tutaj ˜q jest albo zachowawczym (q) lub niezachowawczym (w) wektorem
stanu, r (i)
mj, j = 1, 2, 3, jest j-tą składową i-tego prawego wektora własnego
macierzy A c
lub A n . Zauważmy, że niezmienniki Riemanna, dane równaniem
(406), mogą być użyte zarówno do zachowawczej i niezachowawczej
postaci układu hiperbolicznych równań różniczkowych.
Zastosujemy teraz uogólnione niezmienniki Riemanna do fali kontaktowej,
która jest tzw. prostą falą poruszającą się z prędkością λ (2)
114
= u. Po

wykorzystaniu wyrażeń na wektory własne (397) dla układu zachowawczego,
otrzymamy z uogólnionych niezmienników Riemanna następujące wyrażenie
dϱ
1 = d(ϱu)
u
= dE
1
2
u2
. (407)
Stąd znajdziemy, ze ciśnienie i prędkość są stałe po obu stronach fali kontaktowej,
czyli
p = const , u = const . (408)
Powyższe wyrażenie możemy otrzymać natychmiast z postaci niezachowawczej
równań Eulera. Wykorzystując równania (399) i (402) zapiszemy uogólnione
niezmienniki Riemanna jako
Stąd otrzymamy równanie (408).
dϱ
1 = du 0 = dp
0 . (409)
W podobny sposób znajdziemy, że uogólnione niezmienniki Riemanna,
które związane są z wartościami własnymi λ (1) and λ (3) , dane są następująco:
∫ γdp
R ± = u ± . (410)
ϱc s
Oczywiście, R ± są stałymi wzdłuż charakterystyk x = x(t) określonych równaniem
(405). Charakterystyki te związane są z falami akustycznymi, które
biegną w lewą i prawą stronę w układzie poruszającym się z prędkością
dźwięku.
Określimy teraz charakterystyczne pole, które jest stowarzyszone z charakterystyczną
prędkością λ (i) i prawym wektorem własnym r (i) . Pole to jest
liniowo zdegenerowane, jeżeli
∇λ (i) (q) · r (i) = 0 . (411)
W przeciwnym wypadku pole to jest prawdziwie nieliniowe. Zauważmy, że dla
równań liniowych λ (i) = const. Stąd ∇λ (i) = 0. Otrzymaliśmy stąd oczywisty
wniosek, że równania liniowe są liniowo zdegenerowane.
115

Po wykorzystaniu równania (404) znajdziemy, że
∂λ (2)
(
∂q = λ(2) ,q = − q 2
, 1 )
, 0
q1
2 q 1
. (412)
Ponieważ
λ (2) ,q · r (2)
c = 0 , (413)
wnioskujemy stąd, że pole związane z r (2)
c
jest liniowo zdegenerowane. W
konsekwencji z r (2)
c (r (1)
c i r (3)
c ) związana jest fala kontaktowa (szoki lub fale
rozrzedzeniowe).
10.4 Klasyczny problem Riemanna dla równań Eulera
Przypomnijmy, że klasycznym problemem Riemanna jest problem Cauchy’ego
z zaburzeniem początkowym zadanym funkcją kawałkami stałą, czyli
⎧
⎪⎨ q l , dla x < 0 ,
q(x, t = 0) =
⎪⎩ q r , dla x > 0 .
(414)
Tutaj q l i q r oznaczają odpowiednio lewy stan i prawy stan. Dla prostoty
przyjmiemy, że q l i q r są stałymi. Rozwiązanie problemu Riemanna polega
na znalezieniu układu fal ewoluujących ze stanów q l i q r w lewą i prawą
stronę. Fale te składają się z szoków, fal rozrzedzeniowych i fali kontaktowej.
Problem Riemanna przypomina więc scenariusz związany z wyimaginowaną
membraną, która oddziela dwa różne stany q l i q r . Kiedy membrana ta zostanie
usunięta, pojawią się fale.
Dla równań Eulera rozwiązanie składa się z fal biegnących ze skończonymi
prędkościami. Fale te mogą być szokami lub falami rozrzedzeniowymi
i falą kontaktową leżącą między nimi. Procedura polegająca na rozwiązaniu
problemu Riemanna nazywa się rozwiązaniem Riemanna (ang. Riemann solver).
Najbardziej popularną metodą rozwiązania problemu Riemanna jest
116

ozwiązanie Roe’a (1981). Poniżej rozpatrzymy kilka przypadków rozwiązania
Riemanna.
Do opisu fali szokowej poruszającej się z prędkością λ s możemy zastosować:
a) warunek Rankinea-Hugoniota
f(q r ) − f(q l ) = λ s (q r − q l ) ; (415)
b) warunek entropii
λ (i) (q l ) > λ s > λ (i) (q r ) ; (416)
c) uogólnione niezmienniki Riemanna.
Falę kontaktową poruszającą się z prędkością λ c opiszemy natomiast z pomocą:
a) warunku Rankine’a-Hugoniota
f(q r ) − f(q l ) = λ c (q r − q l ) ; (417)
b) warunku równoległych charakterystyk
λ (i) (q l ) = λ (i) (q r ) = λ c ; (418)
c) uogólnionych niezmienników Riemanna.
Do opisu fali rozrzedzeniowej zastosujemy:
1. uogólnione niezmienniki Riemanna;
2. rozbieżność charakterystyk (rys. 7)
λ (i) (q l ) < λ (i) (q r ) . (419)
117

Rysunek 7: Charakterystyki dla fali rozrzedzeniowej.
Ponieważ fala rozrzedzeniowa odpowiada gładkiemu przepływowi, wygodnie
jest zapisać równania Eulera z wykorzystaniem wektora stanu, który zawiera
entropię, czyli
w = [ϱ, u, s] T . (420)
Tutaj entropia s(x, t) jest zdefiniowana jako
( ) p
s = c v ln + s
ϱ γ 0 (421)
z s 0 będącym stałą i c v oznaczającym ciepło właściwe dla stałej objętości. W
konsekwencji ewolucja entropii odbywa się zgodnie z równaniem unoszenia
s ,t + us ,x = 0 . (422)
Wnioskujemy stąd, że dla gładkiego (bez szoków i fal kontaktowych) przepływu
entropia s jest stała wzdłuż charakterystycznej krzywej, dx/dt = u.
Dla fali rozrzedzeniowej możemy zapisać równania Eulera w następującej
postaci:
w ,t + A(w)w ,x = 0 , (423)
gdzie
⎡
A(w) =
⎢
⎣
u ϱ 0
c 2 s
ϱ
u p ,s
ϱ
0 0 u
⎤
. (424)
⎥
⎦
118

Wartość własna λ (i) i wektor własny r (i) , i = 1, 2, 3, macierzy A(w) zapiszemy
jako
λ (1) = u − c s , λ (2) = u , λ (3) = u + c s ,
⎡
⎤
(425)
1 −p ,s 1
[r (1) , r (2) , r (3) ] =
⎢ − c s
c
ϱ
0 s
ϱ
.
⎥
⎣
⎦
0 c 2 s 0
(426)
Równanie (423) może być wykorzystane do opisu fali rozrzedzeniowej.
Rzeczywiście uogólnione niezmienniki Riemanna dla tej fali, która porusza
się w lewo ze swoją prędkością λ (1) , prowadzą do zależności
Wnioskujemy stąd, że
∫
s = const , u +
dϱ
1 = du
−c s /ϱ = ds
0 . (427)
dϱ
c s
ϱ = u + 2c s
γ − 1
= const . (428)
Po wykonaniu podobnych rachunków ale dla fali rozrzedzeniowej poruszającej
się w prawą stronę z prędkością λ (3) otrzymamy
s = const. ,
∫
u −
Rozważmy następujące przypadki:
dϱ
c s
ϱ = u − 2c s
γ − 1
1. falę biegnącą w lewą stronę. Falą tą może być:
= const . (429)
(a) szok, który opiszemy warunkami Rankine-Hugoniota. Wygodnie
warunki te zapisać w układzie poruszającym się z prędkością fali
szokowej λ l . Wtedy warunki te prowadzą do następujących równań:
ϱ l û l = ϱ ∗l û ∗l , (430)
ϱ l û 2 l + p l = ϱ ∗l û 2 ∗l + p ∗ , (431)
û l (Êl + p l ) = û ∗ (Ê∗l + p ∗ ) , (432)
119

gdzie:
û l = u l − λ l , û ∗ = u ∗ − λ l ; (433)
(b) fala rozrzedzeniowa, którą opiszemy równaniem stanu odpowiadającym
stałej entropii
p = Cϱ γ , C = const. (434)
i uogólnionym niezmiennikiem Riemanna danym równaniem (428),
tj.
u l + 2c sl
γ − 1 = u ∗ + 2c s∗
γ − 1 ; (435)
2. falę biegnącą w prawą stronę. Falą tą może być szok lub fala rozrzedzeniowa.
Fale te opiszemy analogicznymi warunkami jak dla fali poruszającej
się w lewą stronę.
Problem Riemanna prowadzi do równania przestępnego dla ciśnienia gazu
p ∗ . Szczegóły można znaleźć w równaniu (4.5) znajdującym się w monografii
Toro (2009). Równanie to możemy rozwiązać numerycznie za pomocą metody
iteracyjnej.
10.5 Skoki związane z prostymi falami
Rozważmy równania Eulera, które zapiszemy w postaci niezachowaczej
jako
w ,t + Aw ,x = 0 . (436)
Tutaj wektor stanu
w = [ϱ, u, p] T . (437)
Wygodnie jest zastosować charakterystyczne równania
l (i) · dw = 0 dla
dx
dt = λ(i) , (438)
120

gdzie l (i) jest lewym wektorem własnym macierzy A takim, że l (i) A = λ (i) l (i) .
Dla równań Eulera mamy
l (1) =
[
0, 1, − 1
ϱc s
]
, l (2) =
Wartości własne dane są następująco:
[
1, 0, − 1 c 2 s
]
, l (3) =
[
0, 1,
]
1
. (439)
ϱc s
λ (1) = u − c s , λ (2) = u , λ (3) = u + c s . (440)
Z równania (438) otrzymamy
dp = ϱc s du dla dx
dt = λ(1) = u − c s , (441)
dp = ϱc 2 sdϱ dla dx
dt = λ(2) = u , (442)
dp = −ϱc s du dla dx
dt = λ(1) = u + c s . (443)
Powyższe równania możemy wykorzystać do rozwiązania problemu Riemanna.
Jak już wiemy, struktura fal w problemie Riemanna dla równań Eulera składa
się z szoków, fal rozrzedzeniowych i fali kontaktowej. W wiatraku Riemanna
środkową falą jest fala kontaktowa, natomiast po jej obu stronach znajdują
się fale rozrzedzeniowe lub szoki (rys. 8).
Zauważmy, że dla równania unoszenia
w = q , A = λ , l = 1 . (444)
Wtedy z równania (438) otrzymamy, że dq = 0 wzdłuż charakterystyki
dx/dt = λ, co pokazaliśmy powyżej.
Więcej szczegółów dotyczących rozwiązania problemu Riemanna dla równań
Eulera znajdziemy w monografii Toro (2009).
121

Rysunek 8: Wiatrak Riemanna i skoki związane z prostymi falami dla równań
Eulera.
10.6 Metody numeryczne dla układu hiperbolicznych
równań fizyki technicznej
W tej części wykładów dokonamy dyskusji metod objętości skończonych
dla układu hiperbolicznych równań fizyki technicznej. W szczególności rozpatrzymy
metodę fal biegnących, zaprezentujemy schemat Laxa-Friedrichsa
i warunki stabilności schematów numerycznych.
10.6.1 Zachowawcze metody numeryczne
Możemy dokonać dyskretyzacji równania zachowania
w następującej postaci:
q n+1
i
q ,t + f(q) ,x = 0 (445)
= q n i + ∆t
∆x (f i−1/2 − f i+1/2 ) . (446)
Tutaj indeksy x ± 1/2 odpowiadają brzegom komórek numerycznych, którym
przypisano indeksy całkowite i (oznaczające środki komórek), a f i±1/2
122

oznacza strumienie liczone na lewym (i − 1/2) i prawym (i + 1/2) brzegach i-
tej komórki. Powyższy sposób dyskretyzacji równania z uwzględnieniem jego
właściwości zachowania nazywamy zachowawczą metodą numeryczną.
10.7 Metody objętości skończonych
Dokonajmy teraz dyskretyzacji układu równań hiperbolicznych
q ,t + f(q) ,x = ˜s(q) , (447)
z wykorzystaniem metody objętości skończonych, którą zapiszemy następująco:
q n+1
i
Zastosowaliśmy tutaj
= q n i + ∆t
∆x (f i−1/2 − f i+1/2 ) + ∆t˜s i . (448)
q n i = 1
∆x
fi+1/2 n = 1 ∆t t
1
˜s i =
∆x∆t
∫ xi+1/2
x i−1/2
q(x, t n ) dx , (449)
∫ t+∆t
f(q(x i+1/2 , t)) dt , (450)
∫ xi+1/2
∫ t+∆t
x i−1/2
t
˜s(q(x, t)) dx dt . (451)
Niezwykle ważne jest odpowiednie obliczenie strumienia numerycznego f n i+1/2 .
Jeden ze sposobów polega na wykorzystaniu uśrednienia
f n i±1/2 = 1 2 (f n i + f n i±1) . (452)
Jednakże sposob ten nie jest skuteczny, ponieważ może on prowadzić do
niestabilnego schematu numerycznego. Lepsze sposoby znalezienia strumienia
numerycznego fi+1/2 n przedstawimy poniżej. Zanim to jednak zrobimy zauważmy,
że metoda objętości skończonych naśladuje zachowawcze własności
równania. Cecha ta jest bardzo ważna ze względu na adekwatną reprezentację
rozwiązań układu równań hiperbolicznych. Wyjaśnimy to na przykładzie
123

ównania Burgersa, które zapiszemy teraz w postaci niezachowawczej
q ,t + qq ,x = 0 . (453)
Rozważmy przypadek q > 0 i zaadoptujmy schemat pierwszego-rzędu dokładny
taki, że
q n+1
i
= q n i + ∆t
∆x qn i (q n i−1 − q n i ) . (454)
Zauważmy, że dane początkowe [1, 1, 1, 0, 0, 0] są rozwiązaniem powyższego
schematu numerycznego, chociaż reprezentowany przez te dane szok powinien
poruszać się z prędkością λ s = 0.5. To zdecydowanie błędne zachowanie
danych początkowych wynika z faktu, że schemat numeryczny dany równaniem
(454) nie jest schematem zachowawczym.
10.8 Metoda fal biegnących
Przedstawimy tutaj metodę fal biegnących według metodologii wprowadzonej
przez LeVeque (2002) dla układu hiperbolicznych równań różniczkowych.
Metoda ta zastosowana jest w pakiecie CLAWPACK (LeVeque 2002).
W metodzie tej różnicę ∆q i , obliczonę w punkcie x i , możemy zapisać jako
∆q i ≡ q i − q i−1 =
m∑
j=1
α (j)
i r (j)
i ≡
m∑
W j i . (455)
j=1
Tutaj W j i
oznacza j-tą falę, λ (j)
i
jest jej prędkością i α (j)
i
współczynnikiem mierzącym amplitudę tej fali, czyli
jest skalarnym
α i = R −1 ∆q i . (456)
Tutaj
α i = [α (1)
i , α (2)
i , . . . , α (m)
i ] (457)
124

i R oznacza wektor, którego kolumny są prawymi wektorami własnymi macierzy
A charakteryzującej następujący układ hiperbolicznych równań różniczkowych:
Niech q 0 i
q ,t + Aq ,x = 0 . (458)
będzie wartością q obliczoną między komórkami o wartościach
w nich q i−1 i q i . Wtedy z wykorzystaniem równania (455) możemy napisać
q 0 i − q i−1 = ∑
λ (j)
i 0
W (j)
i , (459)
W (j)
i . (460)
Strumień na granicy między komórkami możemy wyrazić na dwa sposoby
(LeVeque 2002):
f(q 0 i ) = Aq 0 i = Aq i−1 + ∑
f(q 0 i ) = Aq 0 i = Aq i − ∑
λ (j)
i 0
λ (j)
i W j i ≡ f(q i−1 ) + A − ∆q i , (461)
λ (j)
i W j i ≡ f(q i ) − A + ∆q i . (462)
W powyższych wyrażeniach rozdzieliliśmy macierz A w zależności od znaku
jej wartości własnej λ (j) , tj.
A = A + + A − , A ± = RΛ ± R −1 . (463)
Tutaj Λ + (Λ − ) składa się z zer i dodatnich (ujemnych) składników λ (j) , tj.
Λ ± = diag(λ ± ) ,
λ + = max(λ (j) , 0) , (464)
λ − = min(λ (j) , 0) . (465)
125

Biorąc pod uwagę powyższe rozważania możemy dokonać dyskretyzacji
równania hiperbolicznego w następujący sposób:
gdzie strumień
q n+1
i
= q n i − ∆t
∆x (f i+1 − f i ) , (466)
f i = f(q 0 i ) = Aq 0 i . (467)
Wykorzystajmy teraz równania (461) i (462) do oszacowania odpowiednio
f i+1 i f i . Otrzymamy wtedy
f i = f(q i ) − A + ∆q i , (468)
f i+1 = f(q i ) + A − ∆q i+1 . (469)
Równanie (466) możemy zapisać jako schemat
q n+1
i
= q n i − ∆t
∆x (A− ∆q i+1 + A + ∆q i ) ≡ q n i + ∆ upw
i . (470)
Schemat ten jest pierwszego-rzędu dokładny w przestrzeni i nazywa się schematem
Godunowa dla układu równań hiperbolicznych.
Rysunek 9: Metoda fal biegnących. Przypadek trzech fal.
Możemy otrzymać poprawkę drugiego-rzędu do schematu Godunowa danego
równaniem (470) poprzez zamianę jego prawej strony na (LeVeque 2002)
q n+1
i
= q n i + ∆ upw
i
126
− ∆t
∆x (¯f i+1 − ¯f i ) , (471)

gdzie poprawiający strumień ¯f i określimy jako
¯fi = 1 2
m∑
j=1
(
|λ (j)
i | 1 − ∆t
∆x |λ(j) i |)
¯W j i . (472)
Tutaj ¯W j i jest wyfiltrowaną falą W j i , którą otrzymamy poprzez porównanie
pod-wiatr W j i z W j i−1, jeśli λ (j)
i
> 0 lub z W j i+1, jeśli λ (j)
i
< 0. Szczegółowe
rozważania dotyczące metody fal możemy znaleźć w monografii LeVeque’a
(2002). Metody filtracji danych przedstawimy w dalszych rozdziałach tych
materiałów dydaktycznych.
10.9 Kilka istotnych schematów numerycznych dla równań
fizyki technicznej
Podstawmy równanie (452) do równania (448) z s i
wtedy schemat FTCS
= 0. Otrzymamy
q n+1
i
= q n i + ∆t
2∆x (f n i−1 − f n i+1) . (473)
Przykład: Dla równania skalarnego z wyrażenia (473) otrzymamy
q n+1
i
= q n i + ∆t
2∆x (f n i−1 − f n i+1) . (474)
Schemat FTCS określony równaniem (473) jest bezwarunkowo niestabilny.
Aby dokonać stabilizacji tego schematu zamieńmy q n i przez (q n i−1 +
q n i+1)/2. Procedura zamiany równoważna jest wprowadzeniu strumienia numerycznego
f LF
i+1/2 = 1 2 (f n i
+ f n i+1) + ∆x
2∆t (qn i − q n i+1) . (475)
Wybór taki prowadzi do schematu Laxa-Friedrichsa (LF)
q n+1
i = qn i−1 + q n i+1
+ ∆t
2 ∆x (f i−1/2 n − fi+1/2) n . (476)
127

Zalecane ćwiczenie: Pokażmy, że dla równania unoszenia schemat LF
dany jest następująco:
q n+1
i = 1 2 [(1 + c)qn i−1 + (1 − c)q n i+1] . (477)
Wycentrowany schemat Godunowa (Toro 2009) otrzymamy wybierając
strumień
fi+1/2 n = f(q GODC
i+1/2 ) , (478)
q GODC
i+1/2 = 1 2 (qn i + q n i+1) + ∆t
∆x [f(qn i ) − f(q n i+1)] . (479)
Dwu-stopniowy schemat Laxa-Wendroffa (LW2) otrzymamy natomiast z
równania (448) z s = 0 i strumieniem f określonym jako (Toro 2009)
gdzie
f LW 2
i+1/2 = f(q LW 2
i+1/2) , (480)
q LW 2
i+1/2 = 1 2 (qn i + q n i+1) + ∆t
2∆x [f(qn i ) − f(q n i+1)] . (481)
Schemat FORCE otrzymamy z kolei dla (Toro 2009)
f F ORCE
i+1/2 = 1 4 [f(qn i ) + 2f(q LW 2
i+1/2) + f(q n i+1) + ∆t
∆x (qn i − q n i+1)] (482)
lub równowżnie dla
fi+1/2 F ORCE = 1 LW 2
(fi+1/2 + f LF
2
i+1/2) . (483)
10.10 Metoda Godunowa dla układu hiperbolicznych
równań fizyki technicznej
Określmy problem Riemanna jako
q ,t + f(q) ,x = 0 , (484)
{ ql , x < 0 ,
q(x, 0) =
(485)
q r , x ≥ 0 .
128

Problem ten rozwiążemy poprzez znalezienie następującego wektora stanu:
q i+1/2 (x/t) . (486)
Wektor ten określa numeryczny strumień Godunowa
f n i+1/2 = 1 ∆t
∫ t+∆t
t
f(q(0/t)) dt = f(q(0/t)) . (487)
Strumień numeryczny obliczymy z kolei klasycznego problemu Riemanna, w
którym, przypomnijmy, dane składają się z kawałkami stałych stanów.
Dla układu liniowych równań hiperbolicznych określimy strumień f(q)
jako
q ,t + f(q) ,x = 0 , f(q) = Aq . (488)
Strumień Godunowa znajdziemy natomiast z
f i+1/2 = Aq i+1/2 (0/t) . (489)
10.11 Jedno-wymiarowe równania Eulera
10.11.1 Równania Eulera w zmiennych zachowawczych
Równania Eulera dla jednego wymiaru (m = 3) we współrzędnych kartezjańskich
możemy zapisać w postaci zachowawczej jako
⎡ ⎤ ⎡
⎤
ϱ
ϱu
⎢ ϱu
+
⎥ ⎢ ϱu 2 + p
= 0 , (490)
⎥
⎣ ⎦ ⎣
⎦
E u(E + p)
,t
,x
gdzie E oznacza gęstość energii całkowitej, czyli
E = 1 2 ϱu2 +
p
γ − 1 . (491)
129

10.11.2 Równania Eulera w zmiennych prymitywnych
Równania Eulera możemy zapisać też w zmiennych prymitywnych jako
w ,t + Aw ,x = 0 , (492)
gdzie wektor stanu w i macierz A określone są następująco:
⎡ ⎤
⎡
⎤
ϱ
u ϱ 0
w =
⎢ u
, A =
⎥
⎢ 0 u 1/ϱ
. (493)
⎥
⎣ ⎦
⎣
⎦
p
0 γp u
Wartościami własnymi macierzy A są:
λ (1) = u − c s , λ (2) = u , λ (3) = u + c s (494)
a jej odpowiednie prawe wektory własne to
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎡
1
1
r (1) =
⎢ −c s /ϱ
, r (2) =
⎥
⎢ 0
, r (3) =
⎥
⎢
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣
0
10.12 Warunek stabilności
c 2 s
1
c s /ϱ
c 2 s
⎤
. (495)
⎥
⎦
Przypomnijmy, że dla równania unoszenia zanieczyszczeń (118) stabilność
schematu określona jest poprzez warunek
∆t = c cfl
∆x
λ , 0 < c cfl ≤ 1 . (496)
Dla układu liniowych równań liniowych warunek stabilności zapiszemy podobnie
jako powyżej, czyli
∆x
∆t = c cfl , s n
s n max = max(|λ (i) |) , i = 1, . . . , m . (497)
max
Dla metody Godunowa możemy znaleźć warunek stabilności w postaci
|c| ≤ 1 ,
c = sn max∆t
∆x
. (498)
130

Krok czasowy ∆t obliczymy wtedy z następującego wyrażenia:
∆x
∆t = c cfl , 0 < c
s n cfl ≤ 1 . (499)
max
Problemem wtedy staje się znalezienie niezawodnego przybliżenia dla s n max.
Ze względów praktycznych polecamy wykorzystanie wartości własnych
s n max = max i (c n si + |u n i |) . (500)
10.13 Wnioski
Podsumujemy tą część wykładów następującymi wnioskami:
1. problem Cauchy’ego dla układu równań hiperbolicznych możemy rozwiązać
analitycznie lub numerycznie;
2. metod Godunowa możemy używać zarówno do liniowych jak i nieliniowych
równań;
3. dla układu liniowych równań hiperbolicznych ze stałą macierzą A charakterystyczne
prędkości są określone przez wartości własne macierzy
A i są one identyczne do prędkości fal w problemie Riemanna;
4. dla układu nieliniowych równań hiperbolicznych charakterystyczne prędkości
różnią się od prędkości fal w problemie Riemanna i dlatego wymagane
jest staranne wybranie maksymalnych prędkości dla warunku
stabilności (CFL).
131

11 Wykład 19: Metody Godunowa i przybliżone
sposoby rozwiązania problemu Riemanna
dla równań hiperbolicznych
Przegląd tej części wykładu
W tej części wykładu przedstawimy:
• przybliżone metody rozwiązania problemu Riemanna dla hiperbolicznych
równań różniczkowych;
• ograniczymy swoje rozważania do najbardziej popularnej metody Roe’a.
Inne znane metody (HLL i HLLC) rozważymy w Dodatkach.
11.1 Metoda Godunowa
Rozważmy następujące równania hiperboliczne:
q ,t + f(q) ,x = 0 . (501)
Możemy dokonać dyskretyzacji tego równania w postaci
q n+1
i
Tutaj strumień Godunowa zapiszemy jako
= q n i + ∆t
∆x (f n i−1/2 − f n i+1/2) . (502)
f n i+1/2 = f(q i+1/2 (0)) . (503)
Strumień ten otrzymujemy w wyniku rozwiązania problemu Riemanna, które
prowadzi do q i+1/2 (x/t).
132

11.2 Przybliżone metody rozwiązywania problemu Riemanna
Zauważmy, że dla równań Eulera możemy rozwiązać problem Riemanna.
Rozwiązanie prowadzi jednak do równania przestępnego (Toro 2009). Do rozwiązania
tego równania musimy wobec tego stosować metody numeryczne,
które ze względu na iteracje rozwiązań mogą być czasochłonne. Z tego powodu
często korzystniej jest zastosować przybliżone metody rozwiązywania
problemu Riemanna. Metody te prowadzą wielokrotnie do lepszych wyników
niż metoda dokładna.
Poniżej przestawimy trzy przybliżone metody rozwiązywania problemu
Riemanna. Metody te oparte są na przybliżeniu strumienia, który może być
skonstruowany według następujących zasad:
1. znalezieniu przybliżonego stanu strumienia
f n i+1/2 = f(q i+1/2 (0)) , (504)
gdzie q i+1/2 (x/t) jest przybliżonym rozwiązaniem problemu Riemanna;
2. znalezieniu przybliżonego strumienia, dla którego f n i+1/2
bezpośredniego przybliżenia strumienia.
składa się z
11.3 Metoda Roe rozwiązania problemu Riemanna
Rozważmy ponownie jedno-wymiarowy problem Riemanna na brzegu komórki
numerycznej dla układu praw zachowania. Z lewej strony tego brzegu
istnieje stan q l . Natomiast z prawej strony mamy stan q r . Zauważmy, że
dokładne rozwiązanie problemu Riemanna dla układu nieliniowych równań,
takich jak równań Eulera, wymaga zwykle zastosowania metod iteracyjnych,
133

które nie są zbyt wydajne. Dla małych uskoków w problemie Riemanna wystarczające
jest zastosowanie przybliżonych metod, które polegają na lokalnym
zastąpieniu nieliniowych równań liniowym układem równań, takich że
q ,t + A(ū)q ,x = q ,t + Āq ,x = 0 ,
ū = q l + q r
2
. (505)
Idea ta została wprowadzona przez Roe’a (1981), ktory zastosował uśredniony
Jakobian Ā, zastępując w ten sposób Jakobian, A = f ,q , opisujący
jedno-wymiarowy układ równań hiperbolicznych. Uśredniony Jakobian, nazywany
także macierzą Roe’a, określamy tak, że dla dowolnej pary lewego i
prawego stanu (q l , q r ) tzw. Własność U jest spełniona, czyli:
a) Ā liniowo rzutuje przestrzeń wektorową q na przestrzeń wektorową f;
b) Ā(q l , q r ) → f ,q , kiedy q l → q i q r → q;
c) Ā(q l , q r ) posiada rzeczywiste wartości własne i zupełny układ liniowo
niezależnych wektorów własnych;
d) Ā(q r − q l ) = f r − f l dla dowolnego q l i q r .
Uśredniony stan ¯q wybierzemy tak, aby własność d) była spełniona. W
przypadku równań Eulera lub równań MHD wybierzemy uśrednioną gęstość
masy jako
¯ϱ = √ ϱ l ϱ r . (506)
Pozostałe zmienne, takie jak V, E, oznaczone tutaj przez φ, uśrednimy następująco:
¯φ =
√
ϱl φ l + √ ϱ r φ r
√
ϱl + √ ϱ r
. (507)
Kiedy dokonamy uśrednienia wszystkich zmiennych, rozważymy zlinearyzowany
problem Riemanna dla równania (505). Problem ten musimy rozwiązać
na brzegach każdej komórki numerycznej. Dokładne rozwiązanie tego
134

przybliżonego problemu Riemanna możemy wyrazić z wykorzystaniem prawych
wektorów własnych r (i) macierzy Ā jako
m∑
∆q ≡ q r − q l = α (i) r (i) . (508)
i=1
Tutaj m odpowiada liczbie wektorów własnych. Współczynnik α (i) możemy
określić poprzez pomnożenie powyższego równania przez lewy wektor własny
l (j) . Wykorzystując ortonormalność lewych i prawych wektorów własnych,
l (j) r (i) = δ ji , (509)
otrzymamy wyrażenie
α (i) = l (i) ∆q. (510)
Zauważmy, że w powyższych równaniach wartości własne macierzy Ā są prędkościami
fal prostych, prawe wektory własne wyznaczają ścieżki tych fal w
przestrzeni fazowej a lewe wektory własne definiują charakterystyczne równania.
Z własności d), z wykorzystaniem równania (508), otrzymamy przyrost
strumienia ∆f wyrażony jako iloczyn ∆q i odpowiedniej wartości własnej
λ (j) , tj.
m∑
∆f = f r − f l = α (j) λ (j) r (j) . (511)
j=1
Strumień między komórkami numerycznymi możemy wyrazić na trzy sposoby:
f i+1/2 = f l + ∑
α (j) λ (j) r (j) , (512)
f i+1/2 = 1 2
λ (j) ≤0
f i+1/2 = f r − ∑
α (j) λ (j) r (j) , (513)
[
f l + f r −
λ (j) ≥0
m∑
i=1
α (j) |λ (j) |r (j) ]
. (514)
Zauważmy, że otrzymaliśmy równanie (514) poprzez dodanie do siebie
równań (512) i (513).
135

11.4 Zalecane eksperymenty numeryczne
Polecamy wykonanie następujących eksperymentów numerycznych:
1. porównajmy rozwiązania numeryczne otrzymane z wykorzystaniem schematu
Godunowa i schematu Laxa-Friedrichsa z rozwiązaniem analitycznym
(linia ciągła) problemu Riemanna dla równań dla płytkiej wody
2. zwróćmy uwagę na błąd w entropii pojawiający się w przypadku schematu
Godunowa i błędne parowanie punktów dla schematu Laxa-Friedrichsa
11.5 Wnioski
Podsumujemy tą część wykładów tym, że schematy wysokiego-rzędu dokładne
powinny:
1. być conajmniej drugiego rzędu dokładne w obszarach, gdzie rozwiązanie
jest gładkie;
2. nie zawierać zaśmiecających oscylacji;
3. odwzorowywać dokładnie nieciągłości.
Z tego powodu musimy poprawić twierdzenie Godunowa z rozdz. 5.8 i dokonać
konstrukcji schematów nieliniowych. Schematy takie będziemy dyskutować
w następnej części wykładów.
136

12 Wykład 20: Schematy numeryczne wyższego
rzędu dokładne dla równań hiperbolicznych
fizyki technicznej
Plan wykładu
W tej części wykładu:
• przedstawimy metody MUSCL i MUSCL-Hancock;
• dokonamy dyskusji dokładności schematu numerycznego;
• przedstawimy metodę (Colella) kawałkami liniowej reprezentacji rozwiązania;
• dokonamy uogólnienia problemu Riemanna, który zastosowany jest w
schemacie ADER (Toro 2009) w Dodatkach.
12.1 Rekonstrukcja danych
Zamiast kawałkami stałych danych możemy użyć kawałkami liniowych
danych, tak jak przedstawiono na rys. 10.
Kawałkami stała dystrybucja danych wynika z
qi n = 1 ∫ xi+ 1
2
ˆq(x, t n )dx . (515)
∆x x i− 1
2
Poprzez rekonstrukcję danych próbujemy uzyskać prawdziwą dystrybucję
ˆq(x, t n ) w każdej komórce numerycznej określonej tak, że x i−
1
2
≤ x ≤ x i+
1 .
2
Użyjmy liniowej rekonstrukcji tak, że q i (x) w komórce numerycznej dana jest
następująco:
q i (x) = q n i + (x − x i)
∆x ∆ i , 0 ≤ x ≤ ∆x i . (516)
137

Rysunek 10: Liniowa reprezentacja (rekonstrukcja) danych w komórce numerycznej
o numerze i.
Tutaj
∆ i = 1 2 (1 + ω)∆ i− 1 2
+ 1 2 (1 − ω)∆ i+ 1 , (517)
2
∆ i−
1
2
∆ i+
1
2
= q n i − q n i−1 , (518)
= q n i+1 − q n i , (519)
gdzie ω jest wolnym parametrem, pełniącym rolę wagi, takim że
a ∆ i
∆x
nazywamy nachyleniem.
|ω| ≤ 1 (520)
Zauważmy, że otrzymamy uśrednioną w komórce wartość rozwiązania
q i (x i ) = q n i . (521)
Wartości rozwiązania na brzegach i-tej komórki (10) znajdziemy natomiast
z następujących wyrażeń:
q L i = q i (0) = q n i − 1 2 ∆ i , (522)
q R i = q i (∆x) = q n i + 1 2 ∆ i . (523)
138

Strumień numeryczny możemy obliczyć wtedy poprzez następujące uśrednienie:
f i+1/2 = 1 [
f(q
R
2 i ) + f(qi+1) ] L , (524)
które prowadzi do schematu drugiego rzędu dokładnego w dyskretyzacji zmiennej
przestrzennej.
W praktyce jednak musimy wyfiltrować nachylenia ∆ i usuwając numerycznie
wygenerowane oscylacje. Podczas porównywania nachyleń dla sąsiednich
(w jednym wymiarze) lewych i prawych komórek siatki numerycznej
zwykle wybieramy nachylenie o najmniejszej wartości, jeśli nachylenia są tego
samego znaku. W przypadku nachyleń o różnych znakach, filtracja polega na
ustaleniu nachylenia zerowym, co odpowiada stałej reprezentacji rozwiązania
w danej komórce numerycznej. Popularnym filtratorem jest opisany równaniem
(531) minmod.
12.2 Metoda MUSCL
Mała dokładność metody Godunowa (1959) wpłynęła natomiast na rozwój
innych metod. Taki wysiłek podjęty został już przez Kolgana (1972),
który zaproponował metodę wygaszania numerycznie wyindukowanych oscylacji
i zaprojektował w ten sposób nie-oscylacyjny schemat typu-Godunowa.
Schemat ten był drugiego-rzędu dokładny.
Bardziej popularnego podejścia dokonał van Leer (1979), który rozszerzył
metodę Godunowa na drugiego-rzędu dokładny schemat zwany MUSCL
(skrót od ang. Monotonic Upstream Scheme for Conservation Laws). Przypomnijmy,
że w metodzie Godunowa (1959) rozwiązanie reprezentowane było
przez stałą w każdej komórce numerycznej (dla danego czasu) funkcję. Rozwiązanie
mogło być jednak nieciągłe na brzegach komórek. Ewolucja układu
do następnej chwili czasu wynikała z oddziaływania prostych fal poruszają-
139

cych się od brzegów sąsiednich komórek siatki numerycznej. Oddziaływanie
to prowadziło do rozwiązania problemu Riemanna. Schemat MUSCL jest
drugiego rzędu dokładny i składa się z dwóch istotnych etapów:
a) interpolacji (rzutowania lub rekonstrukcji) w każdej komórce numerycznej.
Proces ten polegał na aproksymacji rozwiązania w każdej komórce
numerycznej przez liniowe funkcje (rys. 10);
b) dyskretyzacji pod-wiatr, w którym na brzegach komórek obliczamy
strumienie uwzględniając kierunek wiatru.
W przeszłości dokonano wiele wysiłku, aby zwiększyć dokładność na etapie
interpolacyjnym i proprawić wydajność i odporność (ang. robustness) metody
pod-wiatr. Warte podkreślenia jest, że dokładność interpolacji możemy
uzyskać dla przypadku gładkich danych. Jednakże w obecności fal szokowych
techniki interpolacyjne prowadzą do numerycznie wygenerowanych oscylacji,
140

które możemy konktrolować poprzez wprowadzenie ograniczenia na monotoniczność
schematu numerycznego (van Leer 1979). W schemacie MUSCL
zwiększono dokładność metody poprzez konstrukcję na początku każdego
kroku czasowego kawałkami liniowych reprezentacji rozwiązania q(x, t), tj.
¯q(x, t) = q i + s i (x − ¯x i ), x i−1/2 < x < x i+1/2 . (525)
Tutaj s i jest nachyleniem a ¯x i = (x i + x i+1 )/2 = x i + ∆x/2 oznacza środek
komorki numerycznej o numerze i. Zauważmy, że
¯q(¯x i , t) = q i . (526)
Zażądajmy, aby wartość średnia (liczona w komórce numerycznej) ¯q(x, t)
wynosiła q i . Nachylenie s i możemy wybrać w dowolnie logiczny sposób. W
szczególności wybór s i pod-wiatr, z wiatrem i centralnie prowadzi odpowiednio
do:
s i = q i − q i−1
∆x
s i = q i+1 − q i
∆x
s i = q i+1 − q i−1
2∆x
, (527)
, (528)
. (529)
Te pod-wiatr, z wiatrem i centralne nachylenia prowadzą odpowiednio do
schematów numerycznych: Beama-Warminga, Laxa-Wendroffa i Fromma (Le-
Veque 2002). Inną możliwością jest zastosowanie
s i = minmod( q i − q i−1
∆x
, q i+1 − q i
) , (530)
∆x
gdzie funkcję minmod zdefiniujemy następująco:
⎧
a, dla |a| < |b| i ab > 0 ,
⎪⎨
minmod(a, b) = b, dla |a| > |b| i ab > 0 ,
⎪⎩
0, dla ab ≤ 0 ,
(531)
141

Wnioskujmy stąd, że funkcja minmod zwraca argument o najmniejszej wielkości,
jeśli argumenty funkcji są tego samego znaku. W przeciwnym wypadku
minmod zwraca zero. Możemy zapisać funkcję minmod w równoważny sposób
minmod(a, b) = 1 [sgn(a) + sgn(b)]min(|a|, |b|) . (532)
2
Inny wybór nachylenia s i został przedstawiony przez LeVeque’a (2002) i
Toro (2009). Trywialny wybór s i = 0 w powyższych wyrażeniach prowadzi
do metody Godunowa.
12.3 Schemat MUSCL-Hancocka
Metoda MUSCL (van Leer 1979) była ulepszona w 1980 roku przez studenta
(mechaniki płynów) Uniwersytetu w Berkeley, Steve’a Hancocka. Z
tego powodu metoda nosi nazwę metody MUSCL-Hancocka (MHM). Metoda
MHM składa się z następujących kroków:
1. Rekonstrukcji danych i ekstrapolacji warunków brzegowych. Na tym
etapie dokonamy rekonstrukcji liniowej dystrybucji wektora stanu opisywanego
układem zachowawczym (q i ) lub niezachowawczym (w i ). Wartości
na brzegach komórek określimy następująco:
q il = q i − 1 2 ∆x s i , (533)
q ir = q i + 1 2 ∆x s i . (534)
Tutaj q il (q ir ) oznacza rozwiązanie q na lewym (prawym) brzegu komórki
o numerze i-tym, s i jest wyfiltrowanym nachyleniem, które wprowadziliśmy
w równaniu (525);
2. Ewolucja wartości brzegowych. Wartości brzegowe otrzymane poprzez
ekstrapolację danych ewoluują w czasie 1 ∆t zgodnie z
2
¯q il = q il + ∆t
2∆x [f(q il) − f(q ir )] , (535)
142

¯q ir = q ir + ∆t
2∆x [f(q il) − f(q ir )] . (536)
3. Rozwiązanie problemu Riemanna dla danych
q l∗
i = ¯q ir , (537)
q r∗
i = ¯q (i+1)l . (538)
Występujący tutaj strumień f i+1/2 (q l∗
i , q r∗
i ) obliczymy z wykorzystaniem
rozwiązania podobieństwa (ang. similarity solution) q i+1/2 (x/t)
tak, że
f i+1/2 = f(w i+1/2 (0/t)) . (539)
Problem Riemanna możemy rozwiązać dokładnie lub technikami przybliżonymi.
12.3.1 Metoda MUSCL-Hancocka dla równania unoszenia
Zastosujemy teraz metodę MHM dla równania unoszenia zanieczyszczeń
q ,t + λq ,x = 0 . (540)
Metoda ta składa się z następujących kroków:
1. Rekonstrukcji, w czasie której obliczymy wartości na brzegach komórek,
tj.
q il = q n i − 1 2 ∆ i , q ir = q n i + 1 2 ∆ i ; (541)
2. Ewolucji w czasie wartości brzegowych. Obliczmy strumienie:
(
f(q il ) = λq il = λ qi n − 1 )
2 ∆ i
(
f(q ir ) = λq ir = λ qi n + 1 )
2 ∆ i
, (542)
(543)
143

a następnie różnicę tych strumieni wymnożoną przez czynnik, tj.
∆F = 1 ∆t
2 ∆x [f(q ir) − f(q il )] = 1 2 c∆ i . (544)
W rezultacie z wykorzystaniem równań (535) i (536) znajdziemy
¯q il = q il − ∆F = q il − 1 2 c∆ i = q n i − 1 2 (1 + c)∆ i , (545)
¯q ir = q il − ∆F = q ir − 1 2 c∆ i = q n i + 1 2 (1 − c)∆ i . (546)
3. Problem Riemanna dla danych (¯q ir , ¯q (i+1)l )
⎧
( ) x
⎪⎨
q i+
1 =
2 t ⎪⎩
Stąd dla x = 0 otrzymamy
⎧
⎪⎨
q i+
1 (0/t) =
2 ⎪⎩
¯q ir ,
¯q (i+1)l ,
x
< λ t
¯q ir , λ > 0
¯q (i+1)l , λ < 0
⎫
⎪⎬
. (547)
x
> λ ⎪ ⎭
t
4. Strumień Godunowa możemy wtedy obliczyć następująco:
f i+
1
2
= f(q i+
1 (0/t)) =
2
⎫
⎪⎬
⎪⎭ ; (548)
⎧
⎨ λ¯q ir , λ > 0
⎩ λ¯q (i+1)l , λ < 0 . (549)
W przypadku dodatniej prędkości unoszenia, tj. λ > 0, znajdziemy
gdzie:
f i+
1
2
f i−
1
2
(
= λ qi n + 1 )
2 (1 − c)∆ i , (550)
(
= λ qi−1 n + 1 )
2 (1 − c)∆ i−1 , (551)
∆ i = 1 ( )
q
n
2 i+1 − qi−1
n , (552)
∆ i−1 = 1 ( )
q
n
2 i − qi−2
n . (553)
144

Po podstawieniu równań (550) i (551) do dyskretnej postaci równanie unoszenia,
tj.
q n+1
i
= qi n − ∆t (
fi+ 1
∆x 2
− f i−
1
2
)
, (554)
otrzymamy
(
qi n+1 = qi n − c qi n − qi−1 n + 1 4 [1 − c) ( qi+1 n − qi−1 n − qi n + qi−2) ] n ,
= qi n − c ( )
qi n − qi−1
n 1 −
4 (1 − c) c ( )
qi+1 n − qi n − qi−1 n + qi−2
n .(555)
Powyższe wyrażenie możemy zapisać w ogólnej postaci jako
1∑
qi n+1 = b k qi+k n , (556)
k=−2
gdzie współczynniki b k określimy następująco:
b −2 = − 1 (1 − c) c ,
4
b −1 = 1 (5 − c) c ,
4
(557)
b 1 = − 1 (1 − c) c . 4
b 0 = 1 (1 − c) (4 + c) ,
4
Otrzymaliśmy w ten sposób schemat Fromma.
Wnioskujemy stąd, że metoda MHM składa się ze schematu pod-wiatr
i poprawki. W ogólności musimy wyfiltrować niefizyczne oscylacje z członu
zawierającego poprawkę. Filtracja ta odbywa się w ten sposób, że poprawkę
modyfikujemy tak, aby była ona bliska zeru (jeden) w pobliżu nieciągłości
(gładkich rozwiązań). W ten sposób usuwamy oscylacje, które są najbardziej
wyakacentowane przy stromych profilach.
12.4 Eksperymenty z pakietem NUMERICA
12.4.1 Zalecane ćwiczenia
Dla równania unoszenia zanieczyszczeń
q ,t + λq ,x = 0, λ > 0 (558)
145

wykonajmy następujące ćwiczenia:
1. napiszmy schemat PLM dla przypadku ω = 0 w postaci
q n+1
i
= ∑ k
b k q n i+k ; (559)
2. wykorzystajmy twierdzenie o dokładności schematu, aby pokazać, że
schemat PLM jest drugiego rzędu dokładny w przestrzeni i w czasie;
3. zastosujmy uogólniony strumień WAF i regułę środkowego punktu (ang.
mid-point-rule) w przestrzeni w celu obliczenia strumienia dla następujących
przypadków:
0 ≤ c ≤ 1 ; (560)
1 ≤ c ≤ 2 . (561)
Tutaj c jest liczbą CFL.
12.4.2 Odpowiedzi
Dla 0 ≤ c ≤ 1 strumień f i+
1 = λqi n odpowiada schematowi Godunowa.
2
W przypadku, gdy 1 ≤ c ≤ 2, otrzymamy
f i+
1
2
= c − 1 λqi−1 n + 1 c c λqn i ; (562)
4. załóżmy liniową rekonstrukcję i rozwiążmy problem Riemanna z wykorzystaniem
wielkości brzegowych
q R i , q L i+1 (563)
jako danych początkowych. Następnie obliczmy strumień Godunowa i
odpowiedni schemat numeryczny. Przeanalizujmy jego stabilność.
146

12.5 Zaśmiecające oscylacje
Schemat numeryczny o wysokiej dokładności powinien:
1. być conajmniej drugiego rzędu dokładny w obszarach, gdzie rozwiązanie
jest gładkie,
2. nie zawierać zaśmiecających oscylacji
3. dokładnie odwzorowywać nieciągłości, tzn. prowadzić do wąskiego obszaru
przejściowego zawierającego nieciągłość (Harten).
12.6 Kompatybilność danych numerycznych i metoda
TVD
Definicja: Schemat dla równania unoszenia zanieczyszczeń (118) jest kompatybilny
z układem danych {qi n }, jeśli rozwiązanie {qi
n+1 } w każdym punkcie
o numerze i, zadane poprzez schemat numeryczny, jest ograniczone przez następującą
parę obliczoną pod-wiatr:
(q n i−s, q n i ) , s = sign(λ) . (564)
Powyższą definicję możemy zapisać w równoważny sposób jako
min{q n i−s, q n i } ≤ q n i ≤ max{q n i−s, q n i } . (565)
Twierdzenie: Warunek kompatybilności sprowadza się do tego, aby zachodziły
następujące nierówności:
0 ≤ qn+1 i − qi
n
qi−s n − qi
n
≤ 1 . (566)
Dowód tego twierdzenia możemy znaleźć w monografii Toro (2009).
147

Przykład: Jako przykład rozważmy schemat Godunowa
q n+1
i − q n i = c(q n i−1 − q n i ) . (567)
Znajdziemy stąd, że
qi
n+1 − qi
n = c ≤ 1 . (568)
qi−s n − qi
n
Z równania (566) wnioskujemy, że schemat Godunowa jest kompatybilny z
układem danych.
12.7 Całkowita wariacja
Zdefiniujemy teraz całkowitą wariację (ang. total variation) (TV) funkcji
q(x) jako
Dla gładkiej funkcji q(x) mamy
∫
1 +∞
T V (q) = lim |q(x + δ) − q(x)| dx . (569)
δ→0 δ −∞
T V (q) =
∫ +∞
−∞
|q ,x | dx . (570)
Dla q = q(x, t) określimy TV w ustalonych momentach czasu. Jeśli q n = {q n i }
oznacza funkcję siatkową (ang. mesh function), wtedy
T V (q n ) =
+∞ ∑
i=−∞
|q n i+1 − q n i | , q n i = 0 . (571)
Podstawowe własności skalarnych, nieliniowych praw zachowania z warunkiem
początkowym, który ma ograniczoną TV to:
1. nowe lokalne ekstremum funkcji q(x, t) nie może być wygenerowane;
2. lokalne minimum (maximum) nie zmniejsza się (rośnie) w czasie;
3. całkowita wariacja T V (q(t)) jest nie-rosnącą funkcją czasu, tj.
T V (q(t 2 )) ≤ T V (q(t 1 )) , t 2 ≥ t 1 . (572)
148

Definicja: Schemat H(q n i−l, . . . , q n i+r) nazywamy TVD (ang. Total Variation
Diminishing), jeśli dla wszystkich n mamy
T V (q n+1 ) ≤ T V (q n ) . (573)
12.8 Twierdzenie Hartena
Twierdzenie Hartena: Rozważmy schemat, który zapisany jest w postaci
przyrostowej jako
q n+1
i = q n i − C i−1/2 (q n i − q n i−1) + D i+1/2 (q n i+1 − q n i ) . (574)
Tutaj C i−1/2 i D i+1/2 zależą od danych. Wtedy wystarczające warunki do
tego, aby schemat był TVD to:
C i+1/2 ≥ 0 , D i+1/2 ≥ 0 , 0 ≤ C i+1/2 + D i+1/2 ≤ 1 . (575)
Dowód twierdzenia możemy znaleźć w monografii Toro (2009) lub w oryginalnym
artykule Hartena i innych (1983).
W podsumowaniu zauważmy, że współczynniki C i−1/2 , D i+1/2 w ogólności
zależą od danych {q n i }. Oznacza to, że schemat numeryczny jest nieliniowy,
nawet jeśli jest zastosowany do równania liniowego. Twierdzenie Godunowa
stosuje się do schematów liniowych, podczas gdy twierdzenie Hartena oferuje
sprytny sposób ominięcia twierdzenie Godunowa i konstrukcji schematów o
większej dokładności.
12.9 Symulacje numeryczne zanieczyszczeń powietrza
Dynamikę zanieczyszczeń powietrza (ang. air-pollutions) możemy opisać
następującym układem równań hydrodynamiki:
ϱ ,t + ∇ · (ϱv) = S ϱ + S D , (576)
149

(ϱv) ,t + (ϱv · ∇)v = −∇p − ϱgŷ + S v , (577)
p ,t + ∇ · (pv) = (1 − γ)p∇ · v + S p . (578)
Tutaj ϱ jest gęstością masy, v jest prędkością, p jest ciśnieniem gazu, g jest
wartością przyspieszenia grawitacyjnego, ŷ jest wersorem skierowanym pionowo
do góry wzdłuż osi y, t oznacza czas a γ jest stałą adiabatyczną wyznaczoną
przez iloraz ciepeł właściwych przy stałym ciśnieniu i stałej objętości,
czyli c p /c v . Oś x jest skierowana poziomo.
Od tego miejsca ograniczymy nasze rozważania do przypadku dwu-wymiarowego
z inwariantnym kierunkiem y, czyli ∂/∂y = 0.
W równaniu (576), S D jest dyfuzyjnością daną następująco:
S D ≡ ϱ(x, y, t) ,t = −∇ · D(x, y, t, ϱ)∇ϱ(x, y, t). (579)
Zakładając, że współczynnik dyfuzyjności jest stały D = 0.333 · 10 −4 m 2 /s
ostatnie równanie możemy zapisać jako
S D = −D∇ 2 ϱ. (580)
Pozostałe człony źródłowe S ϱ , S v i S p związane są z emisją zanieczyszczeń.
Człony te wyprowadzimy następująco. Równanie zachowania masy zapiszemy
jako
ϱ ,t + ∇ · (ϱv) = −∇(ϱ e v e ) ≡ S ϱ , (581)
gdzie ϱ e i v e oznaczają odpowiednio gęstość masy i prędkość emitowanych zanieczyszczeń.
W przypadku emisji w kierunku pionowym mamy v e = (0, ṽ ey ),
człon źródłowy w równaniu zachowania masy wyrazimy jako
S ϱ = −(ϱ e ṽ ey ) ,y . (582)
Jeśli emitor charakteryzuje się szerokością x 0 i jest umieszczony na wysokości
y = y 0 , parametry emisji, która ma miejsce dla y > y 0 , opiszemy poniższymi
150

wyrażeniami
ϱ e = ˆϱ e e − y−y 0
x 0 , (583)
ṽ ey = const . (584)
W rezultacie człon źródłowy S ϱ opiszemy następującym równaniem:
S ϱ =
ϱ e
ṽ ey e − y−y 0
x 0 ,
x 0
(585)
S v = S ϱ ṽ ey ŷ , (586)
S p =
p e
γ − 1ṽey . (587)
Tutaj ϱ e i ṽ ey oznaczają odpowiednio gęstość masy i składową pionową (yową)
prędkości emitowanych zanieczyszczeń. Wielkość x 0 oznacza połowę szerokości
emitora, który umieścimy na wysokości y = y 0 = 10 x 0 i dla |x| ≤ x 0 .
12.9.1 Model numeryczny
Rozwiążemy równania (576)–(578) z wykorzystaniem kodu CLAWPACK,
który jest oparty na metodzie fal biegnących (ang. wave propagation method)
(LeVeque 1997). Kod CLAWPACK stanowi kolekcję procedur napisanych w
języku Fortran 77 w celu rozwiązania układów hiperbolicznych równań zachowania.
Ogólna struktura programu jest opisana w szczegółach w notatkach
dla użytkownika (ang. user guide), napisanych przez LeVeque (1997).
Z powodów numerycznych równania Eulera zapiszemy w następującej postaci
zachowawczej:
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
ϱ
ϱv x
ϱv y
ϱv x
ϱv 2 x + p
ϱv x v y
+
+
= S, (588)
⎜ ϱv y ⎟ ⎜ ϱv x v y ⎟ ⎜ ϱvy 2 + p
⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
E
,t
v x (E + p)
,x
v y (E + p)
,y
151

gdzie S oznacza wektor źródłowy a gęstość całkowitej energii jest
E = 1 2 ϱ(v2 x + v 2 y) +
p
γ − 1 . (589)
W kodzie CLAWPACK zastosowana jest metoda objętości skończonych na
jednorodnej, prostokątnej siatce numerycznej. Brzegi obszaru symulacji ustalimy
w x = ±10 x 0 , y = 0 i y = 20 x 0 . W kodzie CLAWPACK dwie komórki
duchy (ang. ghost cells) wybierzemy na każdym brzegu. Obszar numeryczny
dla problemu zanieczyszczeń powietrza podzielimy siatką o liczbie komórek
133 × 133 w kierunku x i y. Z lewej i prawej strony oraz na górze wybierzemy
tzw. otwarte warunki brzegowe, które umożliwiają falom docierającym do
tych brzegów opuszczenie obszaru oscylacji bez numerycznie wyindukowanych
odbić. Na dole obszaru symulacji ustalimy natomiast warunki brzegowe
odpowiadające sztywnej ścianie. W rezultacie, kiedy sygnał dotrze do takiego
brzegu jest on od niego odbity.
Początkowo, dla t = 0, gęstość masy i ciśnienie odpowiadają stanowi
równowagi dla izotermicznej atmosfery, dla której, z definicji, temperatura
jest stała. Wybraliśmy tą temperaturę równą T 0 = 293 K. Profile pionowe
gęstości masy i ciśnienia przedstawia schematycznie rys. 11. Ciśnienie na
poziomie ziemi przyjmiemy równym p 0 (y = 0) = 101325 Pa a gęstość masy
ϱ 0 (y = 0) = 1.29 kg/m 3 . Wielkości te odpowiadają prędkości dźwięku c s =
333 m/s.
Zanieczyszczenia powietrza są emitowane z prędkością ṽ ey
= 15 m/s.
Przyjmiemy też, że zanieczyszczenia są pięcio-krotnie cieplejsze niż otaczające
je powietrze. Emisja zanieczyszczeń jest zdeterminowana obecnością
członów źródłowych w równaniach (576) - (578).
152

Rysunek 11: Równowagowe profile gęstości masy, ciśnienia i temperatury dla izotermicznej
atmosfery.
12.9.2 Wyniki numeryczne i ich dyskusja
Rozpatrzmy na początku przypadek zanieczyszczeń, które mają taką samą
gęstość masy jak otaczające je statyczne powietrze, tj. ϱ e = ϱ 0 (y = 10x 0 ).
Zanieczyszczenie ulega expansji w kierunku horyzontalnym w początkowym
stadium ich ewolucji w czasie (lewy panel rys. 12). Ekspansja ta prowadzi do
rozrzedzenia gazu, a w konsekwencji pojawienia się siły wyporu, która działa
do góry i pokonuje grawitację powodując podniesienie zanieczyszczeń.
W rezultacie niestabilności Kelvina-Helmholtz’a powstają wiry, takie jakie
przedstawione są w prawym panelu rys. 12. Wiry te osłabiają proces
rozprzestrzeniania zanieczyszczeń.
Warte zauważenia jest, że scenariusz rozprzestrzeniania gęstszych zanieczyszczeń,
tzn. ϱ e > ϱ 0 , jest w zasadzie podobny do powyżej dyskutowanego
przypadku równych gęstości. Jedyną różnicą jest to, że czasem grawitacja
przewyższa siłę wyporu i ciągnie zanieczyszczenia do ziemi (Murawski, Michalczyk
2001).
Mniejsza gęstość emitowanych zanieczyszczeń, np. ϱ e = 0.75 ϱ 0 (y = 10x 0 ),
powoduje uformowanie się chmur, które w czasie t = 3 s znajdują się w
punktach x ≃ ±5 x 0 i y ≃ 10 x 0 . Chmurom tym towarzyszy smuga, którą
153

w czasie t = 3 s możemy znaleźć w okolicy x = 0 i y ≃ 18 x 0 (lewy panel
rys. 13).
Rysunek 12: Dystrybucja zanieczyszczeń dla przypadku, kiedy emitowana gęstość
masy ϱ e jest równa równowagowej gęstości powietrza ϱ 0 na wysokości y = 10 x 0 ,
tj. ϱ e = ϱ 0 (y = 10x 0 ). Wykres konturowy gęstości masy zanieczyszczeń w czasie
t = 1.5 s (lewy panel) i wektory prędkości (prawy panel).
Rysunek 13 pokazuje, że obecna jest kaskada energii od większych do
mniejszych wirów, które dla t = 9 s są dobrze widoczne w pobliżu punktów
y ≈ 15 x 0 i x ≃ ±7 x 0 . Taka kaskada jest typowa dla ośrodka turbulentnego.
Wektory prędkości w pobliżu osi pionowej x = 0 są skierowane do góry,
ponieważ ruch zanieczyszczeń nie jest tutaj zakłócony.
Dokonamy teraz dyskusji przypadku wiatru, który wieje horyzontalnie
z lewej do prawej strony. Źródło wiatru znajduje się na lewym brzegu w
x = x min . Rozważymy dwa przypadki: a) prędkość wiatru nie zależy od
wysokości y, v w ≠ v w (y); b) prędkość wiatru rośnie liniowo z wysokością y.
Rysunek 14 (lewy panel) ilustruje przestrzenne profile gęstości masy dla
przypadku stałej prędkości wiatru v w = 2.5 m/s i dyfuzji D = 0.2 cm 2 /s.
Pomimo małej wartości prędkości wiatru v w przestrzenna dystrybucja zanieczyszczeń
jest znacznie zmieniona. Wiatr modyfikuje początkowo pionową
154

Rysunek 13: Dystrybucja zanieczyszczeń dla przypadku, kiedy emitowana gęstość
masy ϱ e jest mniejsza niż równowagowa gęstości powietrza ϱ 0 na wysokości y = 10
x 0 , tj. ϱ e = 0.75 ϱ 0 (y = 10x 0 ). Gęstość masy zanieczyszczeń w czasie t = 3 s (lewy
panel) i wektory prędkości w czasie t = 9 s (prawy panel).
emisję zanieczyszczeń. Gęstość masy jest największa w pobliżu ujścia z emitora,
tj. x = 20 x 0 , y = 25 x 0 (panel lewy rys. 14). Liczba chmur o różnych
skalach przestrzennych jest charakterystyczna dla słabego wiatru. Wiry, które
występują na granicy między smugą a otaczającym ją ośrodkiem, penetrują
obszar z dala od emitora. Gęstość masy, która związana jest z tymi wirami,
nie ulega widocznym zmianom, ponieważ rotacja redukuje rozprzestrzenianie
zanieczyszczeń. Wewnątrz chmury w punkcie x ≃ 55 x 0 , y ≃ 50 x 0 rotacja
nie występuje i w czasie t = 15 s gęstość masy osiąga wielkość bliską gęstości
powietrza.
Przypadek liniowej prędkości wiatru przedstawiamy na rys. 14 (panel
prawy). Przyjmiemy, że prędkość wiatru na wysokości y = 100 x 0 powyżej
ziemi, v w (y = 100 x 0 ), jest o 50% większa niż prędkość przy gruncie,
v w (y = 0). W szczególności rozważymy przypadek v w (y = 0) = 10 m/s.
Wtedy v w (y = 100 x 0 ) = 15 m/s. Widzimy tutaj ogólną strukturę smugi.
Zmarszczki mają miejsce dla x > 90 x 0 . W konsekwencji rosnącej z wyso-
155

Rysunek 14: Przestrzenne profile gęstości masy dla przypadku dyfuzyjnej atmosfery
i stałej prędkości wiatru v w = 2.5 m/s (panel górny) i liniowo rosnącej prędkości
wiatru v w (y = 0) = 10 m/s (panel dolny).
kością prędkości wiatru zmarszczki na górze są większe w porównaniu ze
zmarszczkami na dole. Smuga jest podniesiona do góry jako wynik wzmocnionej
(wskutek liniowo rosnącej prędkości wiatru) siły wyporu.
156

13 Wykład 21-22: Modelowanie numeryczne zjawisk
fizyki technicznej opisywanych równaniami
magnetohydrodynamiki
13.1 Równania magnetohydrodynamiki
Równania magnetohydrodynamiki (MHD) możemy zapisać następująco:
∂ϱ
+ ∇ · (ϱV) = 0 ,
∂t
(590)
ϱ ∂V
∂t + ϱ (V · ∇) V = −∇p + 1 (∇ × B) × B + ϱg ,
µ
(591)
∂B
= ∇ × (V × B) ,
∂t
(592)
∇ · B = 0 , (593)
∂p
+ ∇ · (pV) = (1 − γ)p∇ · V ,
∂t
(594)
p = k B
ϱT . (595)
m
Tutaj ϱ jest gęstością masy, V oznacza prędkość plazmy, B jest indukcją
pola magnetycznego (w skrócie - polem magnetycznym), p jest ciśnieniem
gazu, γ jest indeksem adiabaty, g oznacza przyspieszenie grawitacyjne, T
jest temperaturą, m jest masą cząsteczkową i k B jest stałą Boltzmanna.
Zauważmy, że równania (590)-(595) składają sie z 10 skalarnych równań,
które zawierają 9 niewiadomych. Równanie (593) stanowi warunek braku
monopoli magnetycznych w układzie. Wyrażenie (595) jest równaniem stanu
gazu doskonałego wiążącego ϱ, p i T . Dlatego znając dwie wielkości możemy
określić trzecią, np. T = T (ϱ, p). Równanie to więc możmy pokraktować jako
definicję temperatury.
157

13.1.1 Postać zachowawcza równań magnetohydrodynamiki
Równania MHD (590)-(594) możemy zapisać w postaci zachowawczej
q ,t + ∇ · F = 0 (596)
z warunkiem
Tutaj wektor stanu określimy jako
∇ · B = 0 . (597)
q = (ϱ, ϱv, B, E) T . (598)
W przypadku braku grawitacji, g = 0, strumień
F = (ϱv, ϱvv + I(p + B2
) − BB, vB − Bv,
2
gdzie gęstość energii całkowitej
E =
(E + p + B2
2 )v − B(v · B))T , (599)
p
γ − 1 + ϱv2 2 + B2
2 , (600)
symbol I oznacza jednostkową macierzą o wymiarze 3 × 3, vv jest 3 × 3
wymiarowym tenzorem v i v j . Dodatkowo dla wygody B zastąpiliśmy przez
B √ µ.
Równanie pędu (596) możemy zapisać jako
(ϱv) ,t + ∇ · (ϱvv) + ∇(p + B2
) − (B · ∇)B = B(∇ · B) . (601)
2
Oczywiście człon stojący po prawej stronie powinien być równy zero. Ewentualne
błedy numeryczne prowadzące do ∇ · B ≠ 0 spowodują pojawienie
się niefizycznej siły o składowej równoległej do B. Siła ta wywiera destabilizujący
efekt na algorytmy numeryczne (Brackbill, Barnes 1980). Brackbill
158

i Barnes (1980) zauważyli, że zaradzić temu możemy poprzez dodanie do
prawej strony równania (601) członu −B(∇ · B). W rezultacie otrzymamy
równania MHD zapisane w postaci niezachowawczej.
Przypomnijmy, że w metodach objętości skończonych dla równania (598)
obliczamy strumienie na granicy między sąsiednimi komórkami numerycznymi.
Strumienie te muszą zawierać trochę dyfuzji, którą wprowadzimy do
układu np. poprzez filtrator strumienia (ang. flux-limiter). Filtrator ten minimalizuje
numerycznie wygenerowane oscylacje (np. LeVeque 2002, Murawski
2002, Toro 2009). Do eliminacji tych oscylacji możemy wykorzystać uśredniony
po przestrzeni prymitywny wektor stanu,
˜q = (¯ϱ, ¯v, ¯B, Ē)T . (602)
Wektor ten obliczymy na granicy między sąsiednimi komórkami numerycznymi
(np. Brio, Wu 1988, Rossmanith 2006, Ziegler 2008, Stone i inni 2009).
13.1.2 Postać niezachowawcza równań MHD
Równania MHD mogą być zapisane w postaci niezachowawczej (np. Powell
1994)
q ,t + ∇ · F = −∇ · B(0, B, v, v · B) T , ∇ · B = 0. (603)
Równanie indukcji możemy teraz zapisać jako
B ,t + v(∇ · B) + B(∇ · v) − (B · ∇)v = 0. (604)
Podziałajmy na powyższe równanie operatorem dywergencji. Po wykorzystaniu
równania zachowania masy otrzymamy
( ) ∇ · B
ϱ
,t
( ) ∇ · B
+ v · ∇ = 0. (605)
ϱ
159

Ponieważ równanie to opisuje adwekcję wielkości ∇ · B/ϱ, wnioskujemy stąd,
że nowa fala dywergencji porusza się z prędkością v. W rezutacie wielowymiarowe
równania MHD, zapisane w częściowo zachowawczej postaci poprzez
dodanie członu ∇·B, charakteryzują się tym, że pojawia się ósma fala,
która dokonuje unoszenia ∇ · B.
Wyjściowe równania MHD możemy zapisać też w postaci quasi-liniowej
¯q ,t + A¯q ,x = 0 (606)
z wektorem stanu
¯q = (ϱ, ϱv, B, p) T (607)
i macierzą
⎛
A =
⎜
⎝
⎞
v x ϱ 0 0 0 0 0 0
0 v x 0 0 − B x B y B z 1
ϱ
ϱ ϱ ϱ
0 0 v x 0 − B y
− B x
ϱ
ϱ
0 0
0 0 0 v x − B z
ϱ
0 − B x
ϱ
0
. (608)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 B y −B x 0 −v y v x 0 0
0 B z 0 −B x −v z 0 v x 0
⎟
⎠
0 γp 0 0 (γ − 1)v · B 0 0 v x
Zauważmy, że konsekwencją (∇ · B) ,t = 0 jest pojawienie się zerowego
5-tego rzędu od góry w macierzy A. Wnioskujemy stąd, że ósma wartość
własna macierzy A wynosi zero tak, że
w 8 ,t + 0w 8 ,x = 0 (609)
z w 8 = B x .
160

Równanie (603) dla q = ¯q możemy zapisać w równoważny sposób
⎛
⎞
0 0 0 0 0 0 0 0
B
0 0 0 0 x
ϱ
0 0 0
B 0 0 0 0
y
0 0 0
ϱ B 0 0 0 0 z
¯q ,t + A¯q ,x = −
ϱ
0 0 0
¯q ,x . (610)
0 0 0 0 v x 0 0 0
0 0 0 0 v y 0 0 0
⎜ 0 0 0 0 v z 0 0 0
⎟
⎝
⎠
0 0 0 0 (γ − 1)v · B 0 0 0
Tutaj A jest macierzą określoną równaniem (608). Powyższe równanie możemy
zapisać w następującej postaci quasi-liniowej:
¯q ,t + Ā¯q ,x = 0 (611)
z macierzą
⎛
Ā =
⎜
⎝
⎞
v x ϱ 0 0 0 0 0 0
B
0 v x 0 0 0 y B z 1
ϱ ϱ ϱ
0 0 v x 0 0 − B x
ϱ
0 0
0 0 0 v x 0 0 − Bx 0
ϱ . (612)
0 0 0 0 v x 0 0 0
0 B y −B x 0 0 v x 0 0
0 B z 0 −B x 0 0 v x 0
⎟
⎠
0 γp 0 0 0 0 0 v x
Widzimy, że zerowy rząd zniknął a ósma fala spełnia teraz równanie unoszenia
w 8 ,t + v x w 8 ,x = 0 . (613)
Ponieważ fala ta niesie ze sobą niezerową wartość dywergencji, nazywamy ją
falą dywergencji.
161

13.2 Problemy z numerycznymi rozwiązaniami równań
MHD
Ważnym problemem w wyprowadzeniu schematu numerycznego dla równań
MHD jest fakt, że równania te nie są ani ściśle hiperboliczne ani ściśle
wypukłe (np. Brio, Wu 1988, Helzel i inni 2010). W praktyce oznacza to,
że prędkości fal conajmniej dwóch różnych fal stają się jednakowe. Przypomnijmy,
że układ równań nazywamy hiperbolicznym, jeśli wszystkie wartości
własne macierzy Jacobiego są rzeczywiste i różnią się od siebie oraz odpowiadający
im układ wektorów własnych jest zupełny (Jeffrey, Taniuti 1964).
Równania MHD nie stanowią dokładnie układu hiperbolicznego, ponieważ
przy spełnieniu odpowiednich warunków niektóre wartości własne mogą być
jednakowe. Wtedy mogą tworzyć się złożone struktury falowe (ang. compound
wave structures) zawierające zarówno szoki i fale rozrzedzeniowe (ang.
rarefaction waves). Takie złożone struktury obserwowaliśmy już dla zmodyfikowanego
równania Burgersa. Ma to np. miejsce wtedy, kiedy znikają
składowe pola magnetycznego. Wtedy wektory własne stają się osobliwe. Jak
pokazaliśmy powyżej (w rozdz. 23.1), osobliwości te możemy usunąć poprzez
odpowiednią normalizację wektorów własnych.
W przeciwieństwie do przypadku hydrodynamiki (np. Toro 2009), problem
Riemanna dla równań MHD nie jest całkowicie spójny i jednoznaczny.
Wynika to z faktu, że jedna z wartości własnych macierzy Jacobiego staje
się równa zeru. Patrz równanie (609). Ta zerowa wartość własna nie jest fizyczna,
jako że wartości własne powinny pojawiać się albo pojedyńczo, v x ,
albo parami symetrycznie wokół v x . Akceptowalne fizycznie wartości i wektory
własne odpowiadają: jednej fali entropii poruszającej się z prędkością
v x , dwum falom Alfvéna biegnącym z prędkościami v x ± c A , czterem falom
magnetoakustycznym (dwum szybkim i dwum powolnym) poruszającym się
162

z prędkościami v x ± c f i v x ± c s . Wartości i wektory własne dane są równaniami
(805)-(816).
Zerowa wartość własna prowadzi do problemów numerycznych związanych
z niezerową wartością dywergencji pola magnetycznego. W rezultacie
tego w zależności od orientacji pola magnetycznego charakterystyki mogą
stać się zdegenerowane. Problem ten możemy rozwiązać poprzez rozważenie
równań MHD zapisanych w postaci niezachowawczej (Powell 1994). Patrz
równanie (603). Rozwiązanie to oparte jest na zauważeniu, że poprzez dodanie
członów źródłowych proporcjonalnych do ∇·B do równań MHD możemy
zmodyfikować problem Riemanna tak, że ∇ · B = 0 jest spełniony z dokładnością
do maszynowych błędów zaokrąglenia (ang. machine round-off error).
13.2.1 Metody usuwania dywergencji B
Istnieje kilka problemów związanych z napisaniem nowego programu rozwiązującego
problem Cauchy’ego dla równań MHD. Jednym z nich jest zapewnienie,
że ∇ · B = 0. Błędy związane z dyskretyzacją równań MHD
prowadzą do zachwiania warunku seleoidalności. Fizycznie oznacza to, że
strumień magnetyczny w prawie Gaussa nie jest zachowany. Błędy te zwykle
rosną w czasie powodując powstanie niefizycznej siły wzdłuż linii pola
magnetycznego, a wobec tego zachwianie praw zachowania pędu i energii
(Brackbill, Barnes 1980). Jak dotąd w literaturze zaproponowano kilka sposobów
minimalizowania tego problemu. Dla przykładu, Brackbill i Barnes
(1980) pokazali, że celem eliminacji siły równoległej do pola magnetycznego
równanie zachowania pędu powinno być zapisane w formie niezachowawczej.
Dedner i inni (2002) zaproponowali metodę dodania członu dyfuzyjnego do
równania unoszenia, w tej sposób rozmywając monopole magnetyczne, ale
nie eliminując ich całkowicie. Ewans, Hawley (1988), Stone, Norman (1992),
163

Rossmanith (2006), Stone i inni (2009), Lee i Deane (2009) oraz inni wykorzystali
metodę numeryczną nazwaną transportem z więzami (ang. constraint
transport) do przekształcenia równania indukcji w ten sposób, że zachowuje
ono zanikającą w czasie dywergencję pola magnetycznego do błędów zaokrągleń
charakerystycznych dla danej platformy obliczeniowej. Metoda ta polega
na umieszczeniu składowych pola magnetycznego w odpowiednie miejsca komórek
numerycznych.
Poniżej przedstawimy kilka tradycyjnych metod wymuszania warunku ∇·
B = 0:
a) bezpośrednie wykorzystanie funkcji strumienia magnetycznego A takiej,
że B = ∇ × A. Oczywiście, warunek zerowania się dywergencji jest
spełniony automatycznie. Problemem staje się jednak fakt, że siła Lorentza
wymaga drugich pochodnych A, co zmusza do zastosowania schematów numerycznych
wyższego rzędu dokładnych. Wtedy jednak możemy też natkąć
się na poważne problemy spowodowane obecnością anomalnej siły Lorentza,
która najwyraźniej ujawnia się w pobliżu stromych profili w rozwiązaniach
równań MHD;
b) metoda rzutowania, która wymusza warunek zerowania się dywergencji
poprzez rozwiązanie równania Poissona. W metodzie tej odejmujemy tą część
pola magnetycznego, która prowadzi do niezerowej dywergencji (np. Tanaka
1993). Esencję tej metody możemy przedstawić następująco. Przypuśćmy, że
pole magnetyczne ma niezerową dywergencję, tj.
∇ · B ≠ 0 . (614)
Możemy poprawić pole magnetyczne B poprzez dodanie członu korekcyjnego
B c tak, że
∇ · (B + B c ) = 0 . (615)
164

Aby siła Lorentza była równa zero, B c nie może generować prądu elektrycznego.
Musi być więc spełniony warunek
j c = 1 µ (∇ × B c) = 0 . (616)
Mamy stąd
∇ × B c = 0 . (617)
Warunek ten jest automatycznie spełniony po wprowadzeniu potencjału skalarnego
φ tak, że
B c = ∇φ . (618)
Po podstawieniu równania (618) do (615) otrzymamy równanie Poissona
∇ 2 φ = −∇ · B . (619)
Równanie to musimy rozwiązać w całej domenie numerycznej. Otrzymane
rozwiązanie φ powinno być użyte do obliczenia B c zgodnie z równaniem (618).
Znalezionego w ten sposób pola B c użyjemy do usunięcia dywergencji z pola
B.
Metoda ta ma jednak swoje wady. Jej główną ujemną stroną jest to, że wymaga
ona globalnego rozwiązania eliptycznego równania (619). Otrzymanie
rozwiązania tego równania jest drogie numerycznie. Dodaktowo, globalna natura
procedury oczyszczania pola magnetycznego pogwałca hiperboliczność
równań MHD w obszarach, gdzie przepływ jest ponad dźwiękowy i ponad
alfvénowski oraz dla plazmy o małej wartości współczynnika plazmowego
β = p B 2
2µ
(620)
może pojawić się ujemne ciśnienie gazu;
c) podejście podwójnej siatki numerycznej (ang. staggered grid), dla której
warunek zerowania się dywergencji jest spełniony poprzez umieszczenie
165

Rysunek 15: Podwójna siatka numeryczna.
składowych pola magnetycznego w środkach odpowiednich płaszczyzn bocznych
komórek siatki numerycznej (rys. 15). Pozostałe wielkości, takie jak
gęstość masy, pędu i energii są natomiast przechowywane w środkach komórek
siatki numerycznej. Na takiej siatce numerycznej równania MHD mogą
być przybliżone w sposób, który zachowuje zerową dywergencję pola magnetycznego.
Podejście to ma swoje korzenie w mechanice nieściśliwych cieczy,
gdzie wektor prędkości V musi spełniać równanie
∇ · V = 0 . (621)
Jednakże podwójna siatka numeryczna jest kłopotliwa do przechowywania w
pamięci i wykorzystania w niestrukturalnych siatkach numerycznych;
d) metoda błędu ucięcia (ang. the truncation-level error method) wymyślona
przez Powella (1994). W metodzie tej do układu równań MHD dodano
człon źródłowy proporcjonalny do ∇·B. Patrz równanie (603). W ten sposób
166

lokalna niezerowa wartość ∇·B, wygenerowana numerycznie, ulega konwekcji
zgodnie z równaniem (605). Zauważmy, że Brackbill i Barnes (1980) pokazali,
że zapisując równania MHD w postaci niezachowawczej unikniemy niestabilności
związanej z niezerową wartością ∇ · B. Równania MHD z członem
źródłowym dodanym przez Powella (1994) prowadzi do problemu Riemanna,
który charakteryzuje osiem fal. Siedem z nich jest obecna w problemie Riemanna
dla równań MHD bez członu źródłowego (np. Huynh 1995) a fala
ósma jest związana z dywergencją pola magnetycznego. Janhunen (2000)
wykazał, że kiedy wkład energii wewnętrznej do energii całkowitej jest mały
w porównaniu do wkładu od energii magnetycznej, w metodzie tej może pojawić
się niefizyczny przejściowy stan z ujemnym ciśnieniem. W konsekwencji
tego algorytm obarczony jest poważnymi błedami numerycznymi. Janhunen
(2000) pokazał, że problem ten można rozwiązać poprzez zaniedbanie członu
źródłowego w równaniu na energię i pęd. Wtedy równanie (603) staje się
q ,t + ∇ · F = −∇ · B(0, 0, v, 0) T , ∇ · B = 0 ; (622)
e) metoda paraboliczna usuwania dywergencji (ang. a parabolic divergence
cleaning method). Rozpatrzmy równanie indukcji z członem dyfuzyjnym
stającym po prawej stronie równania, tj.
B ,t + ∇ × E = η∇(∇ · B) , (623)
gdzie E jest polem elektrycznym a η współczynnikiem dyfuzji. Podziałajmy
operatorem ∇· na obie strony powyższego równania. Otrzymamy wtedy równanie
dyfuzji
∇ · B ,t = η∇ 2 (∇ · B) . (624)
Z równania tego wynika, że niezerowa wartość ∇ · B ulega procesowi dyfuzji
i jest usuwana z układu.
167

Wprowadźmy skalar ψ, dodatkowe równanie ewolucji na ψ i zmodyfikujmy
równanie indukcji do
B ,t + ∇ × E = ∇ψ , (625)
ψ ,t + ∇ · B = −kψ . (626)
Stąd otrzymamy równanie telegrafu, tj.
∇ · B ,tt + k∇ · B ,t − ∇ 2 ∇ · B = 0 . (627)
Z równania tego wynika, że niezerowa wartość ∇ · B ulega procesowi dyfuzji
i jest usuwana z układu.
Podsumowując, w metodzie tej zmodyfikowany układ równań, w kórych
warunek zachowania zerowej dywergencji jest sprzężony z równaniami MHD
(zapisanymi w formie zachowawczej) poprzez wykorzystanie uogólnionego
czynnika Lagrange’a. Formalizm taki prowadzi do tego, że błedy numeryczne
związane z niezerową dywergencją są transportowane do brzegów obszaru
symulacji z maksymalnie dozwoloną prędkością. Jednocześnie zmniejsza się
amplituda tych błędów. Szczegóły dotyczące tej metody mogą być znalezione
w pracy Dednera i innych (2002);
(e) metoda niepodwójnej siatki numerycznej narzucająca warunek zerowania
dywergencji (ang. the unstaggered constraint transport method) rozwinięta
została w pracy Rossmanitha (2006). W metodzie tej wszystkie wartości
plazmowe włączając wszystkie składowe pola magnetycznego B i magnetycznej
funkcji strumienia A,
B = ∇ × A , (628)
są umieszczone w środkach komórek numerycznych. Jednocześnie metoda fal
biegnących (LeVeque 2002) jest użyta do ewolucji A. W ostatnio uwolnionej
wersji metody dla przypadku trój-wymiarowego schemat numeryczny prowadzi
do słabo hiperbolicznego równania transportu dla A (Helzel i inni 2010).
168

Inny istotny problem związany jest z zadaniem absorbujących warunków
brzegowych. Niewłaściwie zadane warunki brzegowe prowadzą do błędnych
odbić sygnału, który dotarł do brzegu obszaru symulacji. Powszechnie stosowaną
metodą jest warunek promieniowania Sommerfelda (Orlanski 1976).
Zauważmy, że warunki brzegowe mogą być trudnymi do zadania dla metody
niejawnej dyskretyzującej równania z przewodnictwem cieplnym. Metoda
charakterystyk nie może być wtedy dokładnie zastosowana (Suess 1982).
Ten techniczny problem możemy próbować rozwiązać na kilka sposobów (Suess
1982).
13.3 Zalecane ćwiczenia
Z wykorzystaniem programu numerycznego rozwiązującego problem początkowy
dla równań MHD wykonajmy następujące ćwiczenia:
1. zapoznajmy się z programem w conajmniej w takim stopniu, aby możliwe
było uruchamianie go, zadawanie warunków początkowych i brzegowych
oraz odczytywanie i wizualizacja danych numerycznych
2. dokonajmy symulacji numerycznych dla przypadku jednorodnego stanu
równowagi z prostym polem magnetycznym. Wygenerujmy różne zaburzenia
odpowiadające poszczególnym falom (szybkiej i powolnej falom
magnetoakustycznym oraz fali Alfvéna)
3. rozważmy przypadki małej i dużej wartości współczynnika β, który
równa się ilorazowi ciśnienia termicznego do ciśnienia magnetycznego.
Zauważmy różnicę między szybką a powolną falami magnetoakustycznymi
dla obu przypadków
4. zadajmy zaburzenie w ciśnieniu termicznym. Zwróćmy uwagę, że gęstość
masy pozostaje permamentnie zaburzona w miejscu, w którym
169

ył zadany impuls początkowy, co odpowiada tzw. modowi entropii
5. zmniejszajmy wartość pola magnetycznego w układzie. Które fale znikają
a która z nich przekształca się w falę akustyczną
14 Wykład 23-24: Model polimeru, ropy naftowej
i wody. Odkształcenia sprężyste w belkach
i innych układach mechanicznych
W poprzednich wykładach dyskutowaliśmy przykłady nieliniowych praw
zachowania dla układów fizyki technicznej. W szczególności przedstawiliśmy
układ równań Eulera dla fal w płynach, równania magnetohydrodynamki modelujące
zjawiska w plazmie, równanie ruchu drogowego i równanie Buckley’a-
Leverett’a. W czasie tego wykładu przedstwimy równanie przemysłu naftowego
z polimerem i dokonamy analizy odkształceń sprężystych w belkach i
innych układach mechanicznych.
14.1 Dynamika ropy naftowej, wody i polimeru - zastosowanie
w przemyśle naftowym
W Rozdz. 3.6 przedstawiliśmy równanie opisujące proces pozyskiwania
ropy naftowej ze złoż, z których ropa wydobyta już była w klasyczny sposób.
Pozyskiwanie ropy w sposób nieklasyczny polega na wpompowaniu wody do
złoża i wypchaniu ropy poprzez studnie produkcyjne. Ponieważ woda oznacza
się mniejszą lepkością niż ropa naftowa, na granicy woda-ropa tworzą się lepkie
niestabilności, które oznaczają się obecnością tzw. palców (ang. fingers).
W niektórych przypadkach niestabilności te można zredukować poprzez do-
170

danie polimeru do wody. Polimer ten powoduje wzrost lepkości wody prowadząc
w ten sposób do redukcji niestabilności. Przypomnijmy, że polimerem
nazywamy wielkocząsteczkowy związek chemiczny powstały z połączenia prostych
cząsteczek o niskim ciężarze cząsteczkowym. Cechą charakterystyczną
polimerów jest występowanie powtarzających się fragmentów cząsteczki tzw.
segmentów.
Podobnie jak dla równania Buckley’a–Leverett’a, założymy, że ropa naftowa
i woda są ośrodkami nieściśliwymi i porowatość (ang. porosity) skał jest
stała. W rezultacie masa całkowita ropy naftowej przypadająca na jednostkę
objętości wynosi ϱ 0 s 0 a masa całkowita wody jest ϱ w s w , gdzie s 0 i s w oznaczają
nasycenia (ang. saturations) odpowiednio ropy i wody. Przypomnijmy,
że nasycenie definiujemy jako objętość fazy do objętości całkowitej płynu.
Wobec tego mamy
s 0 + s w = 1 . (629)
W rozważanym modelu polimer nie miesza się z ropą ale czyni to z wodą.
Określmy koncentrację polimeru c jako masę polimeru przypadającą na jednostkę
objętości wody i na jednostki masy całkowitej. Wtedy masa polimeru
na jednostkę objętości płynu jest cϱ w s w . Prawo zachowania masy dla trzech
składników (ropy naftowej, polimeru i wody) możemy zapisać następująco:
d
dt
Ω
∫
d
(1 − c)s w ϱ w φdx +
dt Ω
∫
∫
d
s 0 ϱ 0 φdx + n · v 0 ϱ 0 ds = 0 , (630)
dt Ω
∂Ω
∫
∫
cs w ϱ w φdx + n · v w cϱ w ds = 0 , (631)
∫
∂Ω
∂Ω
n · v w (1 − c)ϱ w ds = 0 . (632)
Tutaj v 0 i v w są prędkościami Darcy’ego odpowiednio ropy naftowej i wody.
Ponieważ gęstości wszystkich trzech faz są stałe, możemy podzielić powyższe
równania przez odpowiednie gęstości fal. Po dodaniu w ten sposób otrzyma-
171

nych równań otrzymamy
∫
∂Ω
n · (v 0 + v w ) ds = 0 . (633)
Z równania tego wnioskujemy, że prędkość całkowita
v T ≡ v 0 + v w (634)
spełnia równanie
∇ · v T = 0 . (635)
Prawo Darcy’ego zapiszemy jako
v 0 = K(gϱ 0 − ∇p)λ 0 (1 − s w ) , (636)
v w = K(gϱ w − ∇p)λ w (s w , c) . (637)
Macierz K reprezentuje przenikalność (ang. permeability) skał a g jest wektorem
przyśpieszenia grawitacyjnego. Użyliśmy tutaj mobilności faz jako ilorazu
względnej przenikalności i lepkości µ, czyli
λ 0 (1 − s w ) = κ ro(1 − s w )
µ 0
, (638)
λ w (s w , c) = κ rw(s w )
µ w (c) . (639)
W wyrażeniach tych zaniedbaliśmy dyfuzję, np. związaną z ciśnieniem kapilarnym,
mieszanie konwekcyjne i dyfuzję molekularną.
Więcej szczegółów opisujących powyższy model można znaleźć w monografii
Trangensteina (2009).
14.1.1 Zalecane ćwiczenia
Wykorzystajmy program numeryczny buckley-leverett.f napisany przez
Trangensteina (2009). Z pomocą tego programu wykonajmy następujące ćwiczenia:
172

1. zapoznajmy się z programem buckley-leverett.f (Trangenstein 2009)
2. dokonajmy symulacji numerycznych dla dwóch przypadków: a) braku
polimeru i b) jego obecności w układzie
3. porównajmy otrzymane wyniki
14.2 Odkształcenia sprężyste w układach mechanicznych
Mechanika ciała stałego jest o wiele bardziej skomplikowana niż dynamika
płynów. Układ praw zachowania jest liczniejszy i modele ciała stałego są o
wiele bardziej skomplikowane niż w przypadku dynamiki płynów. Tradycyjnie
problemy z mechaniką ciała stałego rozwiązywane są z wykorzystaniem
metod elementów skończonych, które nie są dyskutowane w czasie tych wykładów.
Nowoczesne metody rozpodabniania fal szokowych są stosowane od
niedawna do mechaniki ciała stałego i wymagają one jeszcze pewnej uwagi.
Rozpoczniemy opis zaburzeń w ciele stałym w wykorzystaniem prawa
zachowania masy (Trangenstein 2009), tj.
ϱ ,t + ∇ · (Vϱ) = 0 , (640)
gdzie ϱ jest gęstością masy a V prędkością elementu ciała stałego. Do opisu
odkształceń potrzebujemy także prawa zachowania pędu, czyli
(n · Vϱ) ,t + ∇ · (Vϱn · V − Sn) = ϱn · g . (641)
Tutaj n jest wektorem jednostkowym wyznaczającym dowolnie ustalony kierunek,
g jest przyśpieszeniem takim jak grawitacyjne a S jest tensorem naprężeń
Cauchy’ego. W niektórych przypadkach g może zawierać człony lepkościowe.
Tensor naprężeń Cauchy’ego jest symetryczny dla większości praktycznych
problemów.
173

Powyższy układ równań uzupełniamy pierwszym prawem termodynamiki
[ϱ(e + 1 2 V 2 )] ,t + ∇ · [Vϱ(e + 1 2 V 2 ) − SV] = ϱ(ω + g · V) , (642)
gdzie e jest energią wewnętrzną na jednostkę masy i ω oznacza promienisty
transport ciepła na na jednostkę masy. W niektórych przypadkach ω może
zawierać dyfuzję ciepła.
W celu zamknięcia powyższych równań ruchu potrzebujemy odpowiedniego
prawa określającego naprężenia. Dla modelu hiperelastycznego mamy
S L = 2(ϱ L Ψ) ,C , (643)
gdzie C = J T J jest tensorem deformacji Greena a Ψ(C) oznacza swobodną
energię Helmholtza przypadającą na jednostkę masy. Szczególnie proste wyrażenie
na energię swobodną Helmholtza otrzymamy dla modelu Mooney’a–Rivlina
ϱ L Ψ(C) = λ 8 [ln det(C)]2 + µ [tr(C) − ln det(C)] . (644)
2
Tutaj stałymi są moduł naprężeń stycznych µ i stała Lama
λ = κ − 2 3 µ , (645)
gdzie µ jest modułem naprężeń normalnych.
14.2.1 Zalecane ćwiczenia
Ponieważ równania opisujące dynamikę ciał stałych są bardzo skomplikowane
ograniczymy się do polecenia literatury (Trangenstein 2009) i polecimy
wykorzystanie programu numerycznego string.f napisanego przez Trangensteina
(2009). Program ten rozwiązuje problem Riemanna dla oscylującej
struny.
174

15 Wykład 25-28: Równania płytkiej wody
15.1 Jedno-wymiarowe równania płytkiej wody
Zapiszmy jedno-wymiarowe równania płytkiej wody w następującej postaci:
f =
⎡ ⎤
⎢ f 1 ⎥
⎣
f 2
⎦ =
q =
⎡
⎢
⎣
⎡ ⎤
⎢ q 1 ⎥
⎣
q 2
⎦ =
⎡
⎢
⎣
h hu
⎤
⎤ ⎡
hu ⎥ ⎢
⎦ = ⎣
hu 2 + 1 2 gh2
Elementy składowe Jakobianu zapiszemy jako
⎥
⎦ , (646)
q 2
q 2 2
q1
+ g 2 q2 1
⎤
⎥
⎦ . (647)
f 2 ,q 1
= gq 1 − q2 2
q 2 1
f 1 ,q 1
= 0 , f 1 ,q 2
= 1 , (648)
= a 2 − u 2 , f 2 ,q 2
= 2 q 2
q 1
= 2u , (649)
gdzie a = √ gh jest szybkością (ang. celerity). W rezultacie Jakobian jednowymiarowych
równań płytkiej wody zapiszemy następująco:
przez
A =
⎡
⎢
⎣
0 1
a 2 − u 2
2u
⎤
⎥
⎦ . (650)
Ćwiczenie 1: Udowodnijmy, że wartości własne Jakobianu A dane są
λ (1) = u − a , λ (2) = u + a . (651)
Ćwiczenie 2: Pokażmy, że wektory własne Jakobianu A to
r (1) =
⎡
⎢
⎣
1
u − a
⎤
⎡
⎥
⎦ , r (2) ⎢
= ⎣
1
u + a
⎤
⎥
⎦ . (652)
175

15.2 Problem Riemanna dla jedno-wymiarowych równań
płytkiej wody
Możemy znaleźć dokładne rozwiązanie problemu Riemanna z wykorzystaniem:
1. warunków Rankine’a-Hugoniota, które, przypomnijmy, możemy stosować
tylko do nieciągłości takich jak fale szokowe i kontaktowe;
2. niezmienników Riemanna, które wygodnie jest użyć do opisu fal rozrzedzeniowych.
Niezmienniki Riemanna dyskutujemy w rozdz. 10.3;
3. charakterystycznych równań. Patrz równanie (438), w którym równania
charakterystyczne zastosowano do równań Eulera. Szczegóły dotyczące
charakterystycznych równań mogą być znalezione w rozdz. 3.1.2 monografii
Toro (2009);
4. warunki entropii, które określają czy stan początkowy z nieciągłą funkcją
będzie ewoluował do fali rozrzedzeniowej lub do szoku.
15.3 Problem pękniętej tamy
Z wykorzystaniem jednego z programów (np. hw-mush.f) z katatogu /hyperwat/onedim.dir
z biblioteki Numerica wykonajmy symulacje dla problemu
pękniętej tamy. Problem ten odpowiada równaniom płytkiej wody, dla których
w stanie początkowym powierzchnia wody jest nieciągła w danym punkcie
przestrzeni, podczas gdy pozostałe wielkości, czyli prędkość i ciśnienie, są
stałe. Problem ten modeluje pękniętą tamę. W szczególności:
1. zwróćmy uwagę na falę uderzeniową biegnącą w dół tamy i falę rozrzedzeniową
poruszającą się w kierunku przeciwnym
176

2. wybierzmy najlepszą metodę numeryczną modelującą fale
3. przygotujmy narzędzia do wizualizacji danych
4. wykonajmy podobne eksperymenty numeryczne, ale dla modelu dwuwymiarowego
wykorzystując jeden z dwóch programów z katalogu /hyperwat/twodim.dir
5. w modelu dwu-wymiarowym tamie możemy nadać odpowiedni profil w
kierunku prostopadłym do brzegów zbiornika. Prześledźmy scenariusze
ewolucji fal dla kilku profili tamy
15.4 Numeryczne prognozowanie pogody
Wprowadźmy definicję numerycznej prognozy pogody, którą będzie polegała
na określeniu stanu atmosfery w przyszłości na podstawie znajomości
obecnych warunków atmosfery ziemskiej. Numeryczna prognoza pogody
oparta jest na rozwiązaniu równań opisujących dynamikę atmosfery. Równania
te zapisane są w postaci dyskretnej, która jest następnie rozwiązana
numerycznie z wykorzystaniem komputerów o dużej mocy obliczeniowej.
Aktualny stan atmosfery określa się na podstawie pomiarów charakterystycznych
wielkości określających stan atmosfery, czyli np. ciśnienia, temperatury,
wartości i kierunku wiatru, wilgotności powietrza itd. Równania określające
dynamikę powietrza wprowadza się zakładając, że powietrze jest płynem.
Przy takim założeniu są to równania typu Naviera-Stokesa. Ponieważ
równań tych nie można rozwiązać znanymi nam metodami analitycznymi,
wprowadza się istotne uproszczenie, że atmosferę można w przybliżeniu opisać
poprzez siatkę numeryczną. Rachunki dla siatki numerycznej prowadzą
do określenia stanu atmosfery w przyszłości czyli prognozy pogody. Ponieważ
rachunki numeryczne są bardzo skomplikowane a najbardziej nas interesującą
177

warstwą atmosfery jest warstwa przy powierzchni ziemi, ograniczymy się do
przypadku równań płytkiej wody.
15.4.1 Zalecane ćwiczenia
Z wykorzystaniem programu numerycznego rozwiązującego równania płytkiej
wody, polecamy wykonanie następujących eksperymentów numerycznych:
1. dla danego stanu atmosfery prześledźmy jej ewolucję dla przypadku
zbliżających się ciepłych mas powietrza
2. wykonajmy podobny eksperyment numeryczny ale dla przypadku zbliżających
się chłodnych mas powietrza
3. przeprowadźmy symulacje numeryczne zderzających się ciepłych i zimnych
mas powietrza
4. eksperymentujmy ze zjawiskiem konwekcji pojawiającym się dla atmosfery
niestabilnej, dla której spełniony jest warunek niestabilności
Chandrasekhara. Zjawisko to możemy np. wywołać poprzez zadanie lokalnego
zaburzenia w ciśnieniu. Wykonajmy podobny eksperyment ale
dla atmosfery stabilnej konwektywnie
5. zadajmy zaburzenie początkowe generujące wir w atmosferze. Zaburzenie
to odpowiada pionowo popchniętemy powietrzu. Prześledźmy
rozwój wiru w czasie. Zauważmy, w jaki sposób powstają kolejne wiry
dające początek tzw. kaskadzie energii do wirów o mniejszych rozmiarach
przestrzennych. Dokonajmy wizualizacji danych numerycznych
6. wygenerujmy zaburzenie początkowe polegające na popchnięciu powietrza
w kierunku poziomym. Dokonajmy analizy zjawisk w atmosferze
178

7. spróbujmy wygenerować zjawisko tornada poprzez zadanie od pewnej
wysokości wiatru wiejącego w kierunku poziomym
179

16 Wykład 29-30: Problemy zaawansowane
16.1 Wielo-wymiarowe równania zachowania
Rozważmy problem fal rozchodzących się w trzech wymiarach. Fale te
opisywane niech będą równaniem
u ,t + ∇ · F = 0, (653)
gdzie u oznacza wektor wielkości zachowawczych (u 1 , u 2 , · · · , u q ) T a F oznacza
strumień, który jest trój-wektorem o rozmiarze q × 3. Całkując równanie
(653) po czasie w przedziale kroku czasowego ∆t i ze względu na zmienne
przestrzenne po powierzchni komórki numerycznej ∆x∆y, znajdziemy następującą
postać dyskretną równania:
u n+1
ij = u n ij − ∆t
∆x∆y
4∑
F(ū n m) · l m . (654)
m=1
Do wyprowadzenia powyższego wyrażenia wykorzystaliśmy twierdzenie Gaussa
do zamiany całki powierzchniowej na całkowanie po brzegach. Wektor l m jest
prostopadły do brzegu komórki o numerze m i ma długość równą długości
tego brzegu. W powyższym wyrażeniu rozważyliśmy przypadek komórek numerycznych
składających się z czterech brzegów. Wielkość u n ij oznacza uśrednienie
po powierzchni komórki ij, wzięte dla czasu n∆t, a ū n m oznacza u n ,
które obliczymy na brzegu m-tej komórki.
Zauważmy, że schemat zadany równaniem (654) naśladuje postać całkową
równania (653). Postać ta jest niezwykle ważna, ponieważ schemat numeryczny
powinien być w stanie rozpodobnić fale szokowe. W przeciwieństwie
do postaci całkowej, postać różniczkowa prawa zachowania opisana równaniem
(653) nie ma sensu dla nieciągłych profili. Całkę powierzchniową,
∫
F · dl ,
180

w równaniu (654) przybliżyliśmy poprzez użycie na każdym brzegu komórki
numerycznej uśrednionego strumienia
F = F(ū n m) ,
z ū n m oznaczającym wartość średnią na brzegu m. Najdokładniejszym wyborem
ū n m mogłoby być uśrednienie wartości z lewej u n l i prawej u n r stron,
tj.
ū n m = un l + u n r
2
. (655)
Jednakże dla równania unoszenia z taką średnią równanie (654) równoważne
jest schematowi centralnemu, który jest drugiego-rzędu dokładny ale niestabily
i wobec tego bezużyteczny w praktyce. Problem ten może być usunięty
poprzez zastosowanie metody rozszczepienia operatora (ang. operator splitting),
który opiszemy w następnej części materiałów.
16.1.1 Metody rozszczepienia operatora
Popularną metodą stosowaną do rozwiązania wielo-wymiarowych równań
hiperbolicznych jest metoda rozszczepienia operatora, np. (Murawski, Goossens
1994). Ideą metody rozszczepienia operatora jest sekwencyjne rozwiązywanie
jedo-wymiarowych równań, które powstały wskutek rozszczepienia
równań wielo-wymiarowych. W czasie tych rozwiązań chwilowo ignorujemy
obecność innych wymiarów. Ideę metody wyjaśnimy na przykładzie dwuwymiarowego
układu równań
u ,t + Au ,x + Bu ,y = 0 . (656)
Układ ten możemy rozszczepić na dwa jedno-wymiarowe równania składowe:
u ,t + Au ,x = 0 , (657)
u ,t + Bu ,y = 0 . (658)
181

W czasie skanowania wzdłuż kierunku x (ang. x-sweep) rozwiążemy równanie
(657) dla y = const, zamieniając u na u ∗ . W czasie skanowania wzdłuż
kierunku y użyjemy tak otrzymanego u ∗ do rozwiązania równania (658) dla
x = const.
Taka procedura na ogół wprowadza błąd rozszczepienia, chyba że AB =
BA. Wyjaśnimy to w następujący sposób. Zdefiniujmy dokładne rozwiązanie
dane za pomocą operatora S ∆t , który dokonuje ewolucji rozwiązania u(x, y, t)
zgodnie z równaniem (656) o krok czasowy ∆t. W analogiczny sposób określimy
S x ∆t i S y ∆t, które są operatorami ewolucji rozwiązania opisanego odpowiednio
równaniami (657) i (658). Z wykorzystaniem rozwinięcia w szereg
Taylora operatory te możemy zapisać następująco:
S x ∆t ≃ e −∆tA ∂
∂x , (659)
S y ∆t ≃ e −∆tB ∂
∂y , (660)
S ∆t ≃ e −∆t(A ∂
∂x +B ∂
∂y ) , (661)
gdzie wprowadziliśmy notację
e a ∂
∂x
Strang (1968) pokazał, że
= 1 + a
∂
∂x + 1 2! (a ∂
∂x )2 + 1 3! (a ∂
∂x )3 + · · · . (662)
S x ∆t S y ∆tS x ∆t
2
2
= S ∆t + O((∆t) 3 ). (663)
Tak więc powyższa kombinacja operatorów ewolucji jedno-wymariowych rozwiązań
przybliża całkowity operator ewolucji z dokładnością drugiego-rzędu.
Błąd rozszczepienia zwykle nie przewyższa innych błedów numerycznych.
Wtedy rozszczepienie przestrzenne może stanowić bardzo efektywne podejście
(np. Murawski, Goossens 1994). Jednakże metoda rozszczepienia ma
kilka wad. Dla przykładu nieciągłości biegnące ukośnie do siatki są bardziej
182

ozmyte niż te poruszające się wzdłuż kierunków wyznaczonych przez osie
układu współrzędnych. Zadanie warunków brzegowych może być również
skomplikowane z użyciem tej metody. Problemy te znikają dla przypadku
metod nierozszczepialnego operatora, które przedstawimy w następnej części
materiałów dydaktycznych.
16.1.2 Metody nierozszczepialnego operatora
W przypadku metod nierozszczepialnego operatora informacja jest transponowana
zgodnie z oryginalnym wielo-wymiarowym równaniem. Wielo-wymiarowe
problemy Riemanna możemy rozwiązać na brzegach komórek. Używamy
filtratorów do wytłumienia numerycznie wygenerowanych oscylacji,
które zwykle pojawiają się w przypadku stosowania wyższego-rzędu schematów
numerycznych. Fale, które rozchodzą się w lewą i prawą strony są
rozszczepione na części biegnące w kierunku poprzecznym poprzez rozwiązanie
problemów Riemanna w kierunkach stycznych do powierzchni między
komórkami. W rezultacje otrzymujemy mieszane człony. które są niezbędne
do otrzymania stabilnych schematów conajmniej drugiego-rzędu dokładnych
(LeVeque 1997).
Colella (1990) wyprowadził rodzinę schematów numerycznych dla zachowawczych
równań hiperbolicznych. Schematy te nie wykorzystują rozszczepienia
operatorowego a wprost przeciwnie - używają wielowymiarowych właściwości
rozwiązań falowych do obliczenia strumieni. W schematach tych
człony drugiego-rzędu są wyfiltrowane do wygaszenia numerycznych oscylacji.
Chociaż w schematach tych występują te same problemy Riemana co w
metodach rozszczepialnych, schematy nierozszczepialne są wolniejsze, ponieważ
wymagają dwukrotnie więcej rozwiązań problemów Riemanna niż schematy
rozszczepialne.
183

16.1.3 Strukturalne i niestrukturalne siatki numeryczne
Obecnie mamy do dyspozycji dwa zasadnicze podejścia związane z wyborem
siatek numerycznych. Jeden z nich oparty jest na siatkach strukturalnych
a drugi - niestrukturlanych (Barth 1990, Mavriplis 1996, Pirzadeh 1996). Dla
prostoty rozważmy przypadek dwu-wymiarowy.
Siatkę nazywamy strukturalną, jeśli możemy ją zrzutować (przetransformować)
z przestrzeni fizycznej na prostokąt. Jeśli nie istnieje takie rzutowanie,
siatkę nazywamy niestrukturalną. Za prosty przykład siatki strukturalnej
służy siatka w układzie współrzędnych kartezjańskich, w której wszystkie
punkty siatki są rozmieszczone w równych odległościach od najbliższych sąsiadów.
Innym przykładem jest siatka we współrzędnych cylindrycznych, w
której długość wektora wodzącego r i kąt φ są rzutowane na prostokąt r − φ,
np.
0 ≤ r ≤ r max , 0 ≤ φ ≤ 2π . (664)
Wśród niestrukturalnych siatek numerycznych istnieje proliferacja schematów,
które używają trójkątów w dwóch wymiarach i graniastosłupów oraz
ostrosłupów w trzech wymiarach. W przeciwieństwie do siatek strukturalnych,
komórki w siatkach niestrukturalnych nie są zorganizowane w regularny
sposób, ale za to siatki te dopasowują się do nieregularnych brzegów obszaru
symulacji. Dla przykładu, w przypadku obszaru symulacji podzielonego na
trójkąty, możemy zapisać prawo zachowania następująco:
∫
∫
ρ ,t dV + (f + g) · ndl = ŝ . (665)
V
∂V
Tutaj n oznacza wersor skierowany prostopadle na zewnątrz brzegu trójkąta,
f i g są odpowiednio składowymi strumienia w kierunku x i y a ŝ
jest członem źródłowym. Pół-dyskretny odpowiednik powyższego równania
184

zapiszemy jako
3∑
V ρ ,t + F i ∆l i = 0, (666)
i=1
gdzie V oznacza objętość komórki i F i jest przybliżeniem numerycznym strumienia
prostopadłego do brzegu komórki o numerze i i długości ∆l i . Używając
schematu Roe’a (Roe 1981) F i możemy wyrazić jako
F i (ρ l , ρ r ) = 1 2 [F (ρ l) + F (ρ r ) − |Ā|(ρ l − ρ r )], (667)
gdzie Ā reprezentuje zlinearyzowany według Roe’a Jakobian a indeksy dolne
l i r oznaczają odpowiednio lewy i prawy stan do międzypowierzchni (ang.
interface) o numerze i.
Rozwój metod opartych o siatki niestrukturalne nabrał rozpędu od połowy
lat osiemdziesiątych. Pomimo tego algorytmy z siatkami niestrukturalnymi
nie mogą dorównać metodom z siatkami strukturalnymi. Spowodowane
jest to faktem, że siatki niestrukturalne są niewydajne w porównaniu do metod
opartych na siatkach strukturalnych.
Zarówno siatki strukturalne jak i niestrukturalne mają swoje słabe i
mocne strony. Siatki strukturalne oznaczają się większą dokładnością i wydajnością
w modelowaniu lepkich przepływów szczególnie dla dużych wartości
liczby Reynoldsa Re, którą definiujemy jako
Re = ϱV l
µ = V l
ν , (668)
gdzie ϱ i V jest odpowiednio gęstością i prędkością płynu, µ (ν) jest współczynnikiem
dynamicznej (kinematycznej) lepkości a l jest charakterystyczną
długością. Słabą stroną obu metod jest to, że potrzebują one gęstej siatki, aby
rozpodobnić lepkie warstwy brzegowe na zakrzywionych powierzchniach. Z
drugiej strony siatki niestrukturalne są atrakcyjne dla rozpodobnienia skomplikowanych
geometrii. Słabą stroną metod wykorzystujących siatki niestruk-
185

turalne są trudności z wydajnymi rachunkami równoległymi (ang. parallel
computation). W rezultacie, pół-niestrukturalne siatki numeryczne były
wprowadzone (np. Nakahashi 1995). Metody te używają kombinacji siatek
strukturalnych i niestrukturalnych.
Inne metody, o których warto wspomnieć, to siatki Veronoi’a i Delaunay’a.
W metodach tych dokonujemy triangulacji puntków brzegowych jako
warunków początkowych. Komórki z dużą niesymetrią (ang. skewness) dzielimy
wtedy na mniejsze komórki trójkątne. Procedura taka rozpoczyna się
od podziału obszaru symulacji na tzw. obszary Voronoi’a (Voronoi 1908).
Obszar Voronoi’a dla danego punktu siatki składa się z części płaszczyzny,
która jest bliżej do tego punktu niż do jakiegokolwiek innego punktu (rys.
16). Nieco inna metoda podziału na obszary trójkątne nazywa się metodą
triangulacji Delaunay’a (Delaunay 1934). Patrz rys. 16, prawy panel.
8
1
7
2
A
6
3
5
4
8
7
1 2
A
6
3
5
4
Rysunek 16: Komórki Voronoi’a (lewy panel) i triangulacja Delaunay’a (prawy
panel). Sąsiedzi węzła A noszą numery 1-8.
Wada metody triangulacji Delaunay’a jest związana z niemożliwością zagwarantowania
integralności brzegu, chyba że obszar symulacji jest wypukły.
Inne problemy dotyczące tej metody wyszczególnione są przez Mavriplisa
(1996). Wśród nich warte zauważenia jest to, że proces zmiany siatki (ang.
regridding) w metodzie Delaunay’a jest numerycznie drogi (ang. computationally
expensive). Co więcej, usunięcie jednego węzła może zmienić dramatycznie
proces triangulacji, zaburzając nieodmiennie reprezentację płynu w
186

etapach między adaptacją siatki (ang. grid adaptations). Dodatkowo, koszty
związane z przechowywaniem informacji (ang. storage overheads) są dość
znaczne.
16.1.4 Siatki samoadaptacyjne
Oczywiste jest, że obszary, w których zachodzą skomplikowane procesy
fizyczne, takie jak np. mają miejsce w pobliżu stromych profili, wymagają
siatek numerycznych o dużej rozdzielczości. Zwykle lokalizacja tych obszarów
nie jest nam znana na początku przeprowadzanego eksperymentu numerycznego.
Ze względu na ograniczone możliwości komputera i czas przeprowadzonych
rachunków nie jest możliwe zagęszczenie siatki numerycznej w całym
obszarze symulacji. Możliwym rozwiązaniem może być lokalne zagęszczenie
siatki w obszarach, w których strome profile są wykryte (Berger, Colella 1989,
Bell i inni 1994, Martin, Colella 2000). Siatki samoadaptacyjne (ang. adaptive
mesh refinement - AMR) umożliwiają uzyskanie bardzo dużej rozdzielczości
w najbardziej interesujących nas obszarach (rys. 17).
Metoda AMR stosuje hierarchiczną strukturę siatek, które zmieniają się
dynamicznie i które składają się z siatek o zmiennych rozmiarach. Siatkę,
która pokrywa cały obszar symulacji, nazywamy siatką poziomu podstawowego,
któremy zwykle przypisuje się numer 0. Istnieje także dodatkowe (o
wyższych numerach) poziomy siatek, każda z nich zawiera komórki numeryczne
o mniejszych rozmiarach. Te ulepszone siatki nie pokrywają całego
obszaru symulacji, ale tylko te jego części, gdzie oczekujemy większej rozdzielczości.
Komórki numeryczne są zagęszczane lokalnie w oparciu o oszacowanie
błędu numerycznego (De Zeeuw, Powell 1993). W ten sposób poprzez
skoncentrowanie komórek tam, gdzie są one najbardziej potrzebne, możemy
uzyskać rozwiązania o wysokiej jakości w rozsądnym czasie przeprowadzania
187

Rysunek 17: Przykład zastosowania siatek samoadaptacyjnych. Granice bloków
składających się z 8 × 8 komórek oznaczone są ciągłą linią. Lewy panel odpowiada
chwili czasu wcześniejszej niż prawy panel.
rachunków numerycznych. Dlatego ważne jest wydajne rozpodobnienie nieporównywalnych
skal przestrzennych. Możemy przy tym stosować różnorodne
kryteria zagęszczania siatek. Dla przykładu, możemy użyć lokalnej dywergencji
prędkości do detekcji zjawisk związanych ze ściśliwością ośrodka, podczas
gdy rotacja prędkości jest stosowna do detekcji turbulencji. Dla komórki
numerycznej o charakterystycznym rozmiarze ∆x, detektory ściśliwości d c i
turbulencji d s określimy następująco (De Zeeuw, Powell 1993):
d c = |∇ · v|(∆x) 3/2 , (669)
d s = |∇ × v|(∆x) 3/2 . (670)
Dokonujemy podziału komórek lub zwiększenia ich rozmiarów, jeśli d c i d s
są większe lub mniejsze od określonych przez nas progów (ang. threshold).
Skomplikowane geometrie możemy potraktować z użyciem podziału komórek
188

(Quirk 1994). W tym przypadku pokrywamy siatką kartezjańską cały obszar
symulacji.
Zwróćmy uwagę, że zmiana siatki (ang. remeshing) jest względnie łatwa
dla siatek trójkątnych (Trépanie i inni 1993). Zagęszczenia siatek możemy
dokonać poprzez podział trójkąta na dwa trójkąty poprzez przecięcie
go wzdłuż najdłuższego brzegu. Zwiększenia rozmiarów (ang. coarsening)
trójkąta dokonujemy natomiast poprzez usunięcie węzła. Węzeł jest oznaczony
do usunięcia, jeśli rozmiary jego wszystkich sąsiadujących trójkątów
mają być zwiększone. W wyniku tego procesu otrzymujemy wielokąt (ang.
polygon) (Trépanie i inni 1993).
16.2 Niejawne schematy numeryczne
Jawne schematy (ang. explicit schemes) numeryczne były rozwinięte wcześniej
z racji ich prostoty w porównaniu ze schematami niejawnymi (ang. implicit
schemes) (Collins i inni 1995, Dai, Woodward 1996). Jednakże główne
ograniczenia w stosowaniu schematów jawnych wynikają z ograniczeń narzuconych
na krok czasowy przez warunek stabilności. Z tego powodu powstały
metody niejawne, które nie mają ograniczeń wynikających z warunku stabilności
na krok czasowy. Dla wielu problemów fizycznych interesujące nas
zjawiska charakteryzują się skalami czasowymi, które są o wiele dłuższe niż
charakterystyczne czasy przejścia fal (ang. characteristic wave transit time).
W tym wypadku dla jawnego schematu krok czasowy byłby zbyt mały, aby
rozpodobnić interesujące nas zjawiska. Schemat niejawny usuwa numerycznie
wprowadzone ograniczenie na krok czasowy umożliwiając używnie dużo
większych przyrostów czasu (np. Korevaar, van Leer 1988).
Podczas użycia niejawanego schematu oczekujemy, że w wyniku błędów
numerycznych szoki doznają wygładzenia. Dlatego, jeśli naszym celem jest
189

dokładne rozpodobnienie fal szokowych, metody jawne stanowią lepszy wybór
niż schematy niejawne. Jednakże efektywność tych schematów nie jest
tylko związana z rozmieszczeniem siatki, ale także silnie zależy od schematu
całkowania w czasie. Wiadomym jest, że jeśli chodzi o dozwolony krok czasowy,
schematy niejawne są mniej restrykcyjne od schematów jawnych.
Schematy niejawne są znane w hydrodynamice. Szeroki przegląd niejawnych
schematów numerycznych dokonany został przez Yee (1989). W szczegolności,
niejawny algorytm poprawionego strumienia (ang. implicit fluxcorrected
transport algorithm) był wyprowadzony przez Steinle i Morrow
(1989). Kilka metod było wymyślonych do rozwiązania równań niejawnych.
Dla przykładu, rozważmy następujący układ równań
u ,t = f(u) . (671)
Możemy dokonać dyskretyzacji tego układu do następującej postaci:
(1 − θ∆tf ,u (u n ))(u n+1 − u n ) = ∆tf(u n ) , (672)
gdzie f ,u jest Jakobianem. Schemat ten produkuje duży układ rzadkich (ang.
sparse) równań liniowych, które muszą być rozwiązane w każdym kroku czasowym
w celu uaktualnienia rozwiązania. Takie niejawne sformułowanie całkowania
w czasie prowadzi do algebraicznego układu równań. W granicy
nieskończenie dużego kroku czasowego pierwszy człon po lewej stronie równania
znika prowadząc do metody Newtona. Dla skończonej wartości kroku
czasowego schemat ten może być zrelaksowany metodą Gaussa-Seidel’a (np.
Fischer, Hirschel 1993). Na ogół trzy do sześciu iteracji w jednym kroku
czasowym może wystarczyć do uzyskania dokładnej zbieżności; zależy to od
tego, jak dobre jest początkowe przybliżenie. Pomysł polega na użyciu starego
rozwiązania jako przybliżenia początkowego dla równania macierzowego.
190

Możemy wtedy używać iteracyjnie zaimplementowanych relaksacji do wygładzenia
i redukcji powstałych błędów numerycznych.
Główny problem z metodami niejawnymi związany jest z zapotrzebowaniami
na pamięć. Wiele schematów numerycznych wymaga dwu-trzykrotnie
więcej pamięci niż dla macierzy Jakobiego, co czyni metodę niejawną niepożądaną
w przypadkach trój-wymiarowych. Metody wielu siatek (ang. multigrid)
i ledwo niejawne (ang. barely implicit) stanowią alternatywy do metod
niejawnych usuwając zapotrzebowania na pamięć. Metody ledwo niejawne
opisemy w następnej części materiałów dydaktycznych.
16.3 Ledwo niejawny schemat dla równań Eulera
Jako przykład niejawnego schematu przedstawimy ledwo niejawny schemat
(ang. barely implicit scheme (BIS)) dla równań Eulera. Schemat ten
szczególnie dokładnie odzwierciedla pod-dźwiękowe przepływy, w których z
definicji charakterystyczne prędkości są mniejsze niż prędkość dźwięku. Takie
warunki napotykamy, dla przykładu, kiedy paliwo jest wstrzykiwane z małą
prędkością do silników lub w przypadku zanieczyszczeń powietrza. Ostatni
przypadek jest przedstawiony w rozdz. 12.9. Oczywistym sposobem ominięcia
ograniczeń na krok czasowy wynikających z warunku stabilności CFL
jest zastosowanie w pełni niejawanego schematu numerycznego (np. Beam,
Warming 1978). Jednakże niejawne schematy są względnie drogie. Casulli i
Greenspan (1984) pokazali, że aby ominąć ograniczenie CFL na krok czasowy,
nie musimy potraktować wszystkich członów w równaniach Eulera w
sposób niejawny. Pokazali oni, że tylko gradient ciśnienia w równaniu na pęd
i prędkość w członie −∇ · [(E + p)v] stojącym w równaniu na energię muszą
być potraktowane niejawnie. Pomysł ten był podchwycony przez Patnaik’a
i innych (1987), którzy rozwinęli schemat BIS scheme. W schemacie tym
191

ównanie zachowania masy i pędu są dyskretyzowane następująco:
ϱ ∗ − ϱ n
∆t
ϱ ∗ v ∗ − ϱ n v n
∆t
= −∇ · (ϱ n v n ), (673)
= −∇ · (ϱ n v n v n ) − ∇p n . (674)
Tutaj indeksy górne n i ∗ oznaczają odpowiednio stare i przewidywane rozwiązania.
Ta część rozwiązania nazywa się jawnym przewidywaniem. Niejawne
równania pędu i energii to
ϱ n+1 v n+1 − ϱ n v n
∆t
E n+1 − E n
∆t
= −∇ · (ϱ n v n v n ) − ∇[νp n+1 + (1 − ν)p n ], (675)
= −∇ · {(E n + p n )[νv n+1 + (1 − ν)v n ] } , (676)
gdzie 1/2 ≤ ν ≤ 1 i E jest gęstością energii całkowitej daną następującym
wyrażeniem:
E = e + ϱv2
2 ≡ p
γ − 1 + ϱv2
2 . (677)
Niejawne człony są zcentrowane w czasie dla ν = 1/2. Dla ν < 1/2, metoda
jest niestabilna dla dostatecznie dużych wartości kroku czasowego ∆t. Kiedy
fale dźwiękowe nie są ważne, ν może być położone bliskie jedności.
Po odjęciu równania (674) z równania (675) otrzymamy
ϱ n+1 v n+1 − ϱ ∗ v ∗
∆t
= −∇ν(p n+1 − p n ) ≡ −∇δp, (678)
gdzie δp jest niejawną poprawką ciśnienia. Nową prędkość możemy otrzymać
z powyższego równania w wyniku położenia ϱ n+1 = ϱ ∗ . Wtedy
Poprawkę na energię wewnętrzną e znajdziemy z
v n+1 = − ∆t
ϱ ∗ ∇δp + v∗ . (679)
e n+1 =
δp
(γ − 1)ν + en . (680)
192

Po podstawieniu tego równania i wyrażenia (679) do równania (676) mamy
ϱ ∗ v ∗2 − ϱ n v n2
(
δp
E n
+
2∆t (γ − 1)ν∆t = ν∆t∇ · + p n )
∇δp
ϱ ∗
−ν∇ · (E n + p n )v ∗ − (1 − ν)∇ · (E n + p n )v n . (681)
Równanie na energię może być też potraktowane jawnie, tzn.
E ∗ − E n
∆t
≡ −∇ · (E n + p n ) [νv ∗ + (1 − ν)v n ] . (682)
Z użyciem powyższego wyrażenia równanie (681) staje się równaniem na
zaburzone ciśnienie δp,
(
δp
E n
(γ − 1)ν∆t − ν∆t∇ · + p n )
∇δp =
ϱ ∗
E ∗ − E n
∆t
− ϱ∗ v ∗2 − ϱ n v n2
. (683)
2∆t
Prawa strona tego równania liczona jest w sposób jawny z wykorzystaniem
równań (682), (673) i (674). Mając obliczone δp, pęd i energię obliczymy
odpowiednio z równań (678) i (676). Wielkości te i gęstość masy, którą obliczymy
z równań (678) i (679), stanowią warunki początkowe dla następnej
iteracji w czasie. W rezultacie tego koszt tej metody jest porównywalny z
kosztem metody jawnej.
17 Podsumowanie
Materiały do wykładów przedstawiają kilka matematycznych aspektów
zastosowanych w numerycznych metodach rozwiązania równań zachowania
z przeznaczeniem do ośrodków fizyki technicznej. W materiałach tych skupiono
się na metodach, które są powszechnie używane. Warto, abyśmy zwrócili
uwagę na fakt, że schematy numeryczne powinny spełniać następujące
warunki:
193

1. rozwiązania powinny być otrzymane szybko
2. powinny być one dokładne dla skomplikowanych przepływów i stromych
profili
3. w rozwiązaniach powinien być brak zaśmiecających oscylacji
4. program numeryczny powinien być stosunkowo ogólny i stabilny (ang.
robust).
Program numeryczny nazywamy robust, jeśli prowadzi on do fizycznie akceptowalnych
rozwiązań w szerokim zakresie problemów bez potrzeby dodaktowych
dopasowań. Schematy numeryczne, takie jak metody Godunowa, które
przedstawiono w tych materiałach, spełniają powyższe warunki.
W materiałach tych pokazaliśmy działanie wybranych programów numerycznych.
Dla przykładu zademonstrowaliśmy, że wybrany program numeryczny
może być wykorzystany do symulacji atmosfery w silnie uwarstwionym
polu grawitacyjnym. Problem ten jest niezwykle trudny ze względu na
obecność stromych profili równowagowych gęstości masy, ciśnienia i temperatury,
silnych pól magnetycznych o dużej krzywiźnie linii magnetycznych i
obecnych fal szokowych o dużej amplitudzie. Tylko wyrafinowane schematy
numeryczne są w stanie uporać się z tymi wyzwaniami i doprowadzić do wyników,
które są nie tylko fizycznie akceptowalne, ale spełniają wybrane testy
potwierdzając wyniki analityczne dla prostszych problemów i oznaczają się
małymi błędami numerycznymi.
18 Wnioski
Istniejące schematy numeryczne, takie jakie są użyte w nowoczesnych programach
numerycznych, wykazują wysokie możliwości symulacji numerycz-
194

nych w otrzymaniu dokładnych rozwiązań równań hiperbolicznych. Wraz z
rozwojem metod numerycznych i potencjału obliczeniowego oczekujemy, że
pożyteczność i możliwości symulacji numerycznych będzie rosła.
Literatura
[1] J. Balbas, E. Tadmor, “Non-oscillatory central schemes for one- and twodimensional
MHD equations. II: High-order semi-discrete schemes”, SIAM
Journal on Scientific Computation 28, 533-560 (2006).
[2] P. Colella, “A Direct Eulerian MUSCL Scheme for Gas Dynamics”, SIAM
J. Sci. Stat. Comput. 6, 104–117 (1985).
[3] S.K. Godunov, “A difference scheme for numerical solution of discontinuos
solution of hydrodynamic equations”, Math. Sb. 47, 271-306 (1959).
[4] V. Guinot, “Godunov-type schemes: an introduction for engineers”, Elsevier,
Amsterdam (2003).
195

[5] V.P. Kolgan, “Application of the minimum-derivative principle in the construction
of finite-diverence schemes for numerical analysis of discontinuous
solutions in gas dynamics”, Uch. Zap. TsaGI 3 (6), 68-77, (1972).
[6] B. van Leer, “Towards the ultimate conservative difference scheme. V -
A second-order sequel to Godunov method”, J. Comp. Phys. 32, 101-136
(1979).
[7] E. Toro, Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics,
Springer, Berlin, 2009.
[8] J. von Neumann, R.D. Richtmeyer, “A method for the numerical
calculation of hydrodynamic shocks”, J. Appl. Phys. 21, 232-237 (1950).
[9] J.M. Stone, M.L. Norman, “ZEUS-2D: a radiation magnetohydrodynamics
code for astrophysical flows in two space dimensions. II. The
magnetohydrodynamic algorithms and tests”, Astrophys. J. Suppl. Ser.
80, 791-818 (1992).
[10] D. Lee, A.E. Deane, “An unsplit staggered mesh scheme for multidimensional
magnetohydrodynamics”, J. Comput. Phys. 228 (4), 952-975
(2009).
[11] R.J. LeVeque, Numerical methods for conservation laws, Birkhäuser
Verlag Basel, Berlin, 1990.
[12] A. Harten, P.D. Lax, B. van Leer, “On upstream differencing and
Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws”, SIAM Rev. 25
196

(1), 35-61 (1983).
[13] P.L. Roe, “Approximate Riemann solvers, parameter vectors and
difference schemes”, J. Comp. Phys. 43, 357-372 (1981).
[14] R.J. LeVeque, Finite-volume methods for hyperbolic problems, Cambridge
University Press, Cambridge (2002).
[15] P.L. Roe, “Sonic flux formulae”, SIAM J. Sci. Stat. Comput. 13, 611-630
(1982).
[16] A. Harten, “ENO schemes with subcell resolution”, J. Comp. Phys. 83,
148-184 (1989).
[17] P.R. Woodward, P. Colella, “The numerical simulation of twodimensional
fluid flow with strong shocks”, J. Comp. Phys. 54, 115-173
(1984).
[18] Murawski K., Analytical and numerical methods for wave propagation
in fluids, World Scientific, Singapore 2002.
[19] Fryxell, B., Olson, K., Ricker, P., Timmes, F.X., Zingale, M., Lamb,
D.Q., MacNeice, P., Rosner, R., Truran, J.W., Tufo, H., “FLASH: An
Adaptive Mesh Hydrodynamics Code for Modeling Astrophysical Thermonuclear
Flashes”, The Astrophysical Journal Supplement Series, 131
(1), 273-334 (2000).
[20] MacNeice, P., Olson, K.M., Mobarry, C., de Fainchtein, R., Packer, C.,
“PARAMESH: A parallel adaptive mesh refinement community toolkit”,
Computer Physics Communications 126 (3), 330-354 (2000).
197

[21] Mȩdrek, M., Murawski, K., Nakariakov, V.M., “Propagational Aspects
of Sunquake Waves”, Acta Astronomica 50, 405-416 (2000).
198

19 Dodatek A: Schematy numeryczne dla równania
unoszenia w cienkich rurach
W tej części materiałów przedstawimy ciekawe schematy numeryczne dla
równania unoszenia w cienkich rurach. Schematy te nie były dyskutowane w
głównym nurcie wykładów.
19.1 Schematy: w pełni dyskretne, pół-dyskretne i niejawne
Rozważmy ponownie równanie unoszenia w cienkich rurach
q ,t + λq ,x = 0 , (684)
które może być przybliżone w pełni dyskretnym schematem
L(qi n ) = qn+1 i − qi
n
∆t
lub schematem pół-dyskretnym
+ λ qn i+1 − q n i
∆x
dq
dt = −λqn i+1 − qi
n
∆x
= 0 (685)
. (686)
Możemy rozwiązać schemat pół-dyskretny np. metodą linii (np. Murawski
2002).
Jako przykład schematu jawnego dla równania unoszenia (118) służy schemat
pod-wiatr
q n+1
i
− qi
n
∆t
+ λ qn i+1 − q n i
∆x
= 0 . (687)
Dla λ > 0 (λ < 0) schemat ten jest warunkowo stabilny (bezwarunkowo niestabilny).
Możemy otrzymać bezwarunkowo stabilny schemat poprzez wprowadzenie
schematu niejawnego
q n+1
i
− qi
n
∆t
+ λ qn+1 i+1 − qi
n+1
∆x
199
= 0 . (688)

Ćwiczenie: Skonstruujmy w pełni dyskretną i niejawną wersję schematu
FTCS.
19.2 Wycentrowany schemat Godunowa
Wycentrowany schemat Godunowa dany jest przez (Toro 2009)
q n+1
i =
c(1 + 2c)
qi−1 n + (1 − 2c 2 )qi n −
2
c(1 − 2c)
qi+1 n . (689)
2
Komentarz: Wycentrowany schemat Godunowa dla równania unoszenia w
cienkich rurach jest:
1. warunkowo stabilny dla 0 ≤ |c| ≤ √ 2/2;
2. monotoniczny dla 1/2 ≤ |c| ≤ √ 2/2 (w przeciwnym przypadku generuje
on oscylacje);
3. interesującym przykładem pierwszego-rzędu dokładnym schematem, który
nie jest monotoniczny.
19.3 Schemat FORCE
Schemat FORCE (ang. a First-ORder CEntred deterministic scheme)
dany jest następująco (Toro 2009):
q n+1
i =
(1 + c)2
4
Komentarz: Schemat FORCE jest
qi−1 n + 1 − c2
qi n +
2
1. warunkowo stabilny dla 0 ≤ |c| ≤ 1;
(1 − c)2
qi+1 n . (690)
4
200

2. monotoniczny;
3. ponieważ w zmodyfikowanym równaniu współczynnik dyfuzji α F ORCE =
α LF /2, schemat FORCE jest mniej dyfuzyjny niż schemat Laxa-Friedrichsa.
20 Dodatek B: Schematy centralne dla praw
zachowania
Rozwiązanie problemu Riemanna jest na ogół numerycznie drogie. Dlatego
rozwój prostych, a w konsekwencji numerycznie tanich, metod jest bardzo
pożądane. Jako dobry kandydat może posłużyć nam schemat Laxa-
Friedrichsa (LF), który zapiszemy tutaj dla skalarnego prawa zachowania
Schemat LF to
Ponieważ q n+1
i
q n+1
i
q ,t + f(q) ,x = 0 . (691)
= 1 2 (qn i+1 + q n i−1) + ∆t
2∆x [f(qn i−1) − f(q n i+1)] . (692)
obliczyliśmy z q n i−1 i q n i+1, naturalnym wydaje się wprowadzić
siatkę numeryczną, która składa się tylko z nieparzystych komórek w jednym
kroku czasowym i parzystych komórek w następnym kroku czasowym.
Po dokonaniu całkowania skalarnego równania zachowania w granicach
[x i−1 , x i+1 ] × [t n , t n+1 ] otrzymamy
qi n+1 ≡ 1 ∫ xi+1
¯q(x, t n+1 ) dx = 1 ∫ xi+1
¯q(x, t n ) dx +
2∆x x i−1 2∆x x i−1
∫
1 t n+1
[f(¯q(x i−1 , t)) − f(¯q(x i+1 , t))] dt . (693)
2∆x t n
Tutaj ¯q(x, t) jest rozwiązaniem w komórce numerycznej takim, że
∫
1 xi+1
¯q(x, t n ) dx = 1 2∆x x i−1 2 (qn i−1 + qi+1) n . (694)
201

Zauważmy, że całkowanie po czasie w równaniu (693) możemy wykonać dokładnie,
ponieważ ¯q(x i±1 , t) jest stałe. Problemy Riemanna są ulokowane na
brzegach komórek numerycznych, w punktach x i , x i±2 , . . .. Ponieważ fale
powstałe z rozwiązania problemu Riemanna w punktcie x i nie zmieniają rozwiązań
w x i±1 , mamy
¯q(x i±1 , t) = qi±1 n . (695)
Schemat LF (692) jest pierwszego-rzędu dokładny. Jego uogólnienia na
drugi-rząd dokładności możemy dokonać poprzez zastosowanie kawałkami
liniowej reprezentacji rozwiązania, tj.
¯q(x, t) = qi n + (x − x i )s i , 0 ≤ x ≤ ∆x , (696)
gdzie s i jest nachyleniem. Dla tej liniowej reprezentacji otrzymamy
∫
1 xi+1
¯q(x, t n ) dx = 1 2∆x x i−1
2 (qn i−1 + qi+1) n + ∆x
8 (s i−1 − s i+1 )∆x . (697)
Z równania (693) otrzymamy wtedy następujący schemat numeryczny:
q n+1
i
= 1 2 (qn i−1 + qi+1) n + 1 8 (s i−1 − s i+1 )∆x + ∆t n+1/2
(fi−1
− f n+1/2
i+1 ) . (698)
∆x
Strumień,
f n+1/2
i+1 (¯q n+1/2
i+1 ) , (699)
obliczymy dla jego argumentu w ¯q n+1/2
i+1 , który przybliżymy
¯q n+1/2
i+1 = q n i+1 + ∆t
2 q ,t| n i+1 = q n i+1 − ∆t
2 (f ,qq ,x )| n i+1 =
q n i+1 − ∆t
2 f ,q| n i+1s i+1 . (700)
Centralne schematy numeryczne są wykorzystane w pakiecie programów
służących do rozwiązywania równań hiperbolicznych - CentPack (Balbas,
Tadmor 2006).
202

21 Dodatek C: Metody HLL i HLLC przybliżonego
rozwiązania problemu Riemanna dla
równań fizyki technicznej
Rysunek 18: Komórka kontrolna dla metody HLL rozwiązania problemu Riemanna.
Nazwa metody HLL wzięta jest od nazwisk jej wynalazców, czyli od Hartena,
Laxa i van Leer. W metodzie tej przyjmiemy, że:
1. tylko najszybsze fale proste są istotne a obecność pozostałych fal jest
zignorowana;
2. możemy otrzymać przybliżenia prędkości dla najszybszych fal.
Zastosujemy teraz postać całkową prawa zachowania wykorzystując komórkę
kontrolną [x l , x r ] × [0, T ] z rys. 18. Otrzymamy wtedy
∫ xr
∫ xr
q(x, T )dx = q(x, 0)dx +
x l x l
∫ T
0
f(q(x l , t))dt −
∫ T
0
f(q(x r , t))dt . (701)
203

Po obliczeniu prawej strony powyższego wyrażenia mamy
∫ xr
x
q(x, T )dx = x r q r − x l q l + T (f l − f r ) , (702)
gdzie:
f l = f(q l ) , (703)
f r = f(q r ) . (704)
Wyraźmy teraz całkę następująco:
∫ xr
x l
q(x, T )dx =
∫ T sl
x l
q(x, T )dx +
∫ T sr
T s l
q(x, T )dx +
∫ xr
T s r
q(x, T )dx . (705)
Stąd po wykonaniu rachunków dla pierwszej i trzeciej całek stojących po
prawej stronie równania, znajdziemy
∫ xr
x l
q(x, T )dx =
∫ T sr
T s l
q(x, T )dx + (Ts l − x l )q l + (x r − Ts r )q r . (706)
Porównując równania (702) i (706), dostaniemy
∫ T sr
T s l
q(x, T )dx = T (s r q r − s l q l + f l − f r ) . (707)
Podzielmy powyższe wyrażenie stronami przez T (s r −s l ) i wprowadźmy uśredniony
wektor stanu q HLL następująco:
q HLL ≡
∫
1 T sr
q(x, T ) dx = s rq r − s l q l + f l − f r
. (708)
T (s r − s l ) T s l
s r − s l
Zauważmy, że nie użyjemy q HLL do obliczenia strumienia. Wykorzystajmy
natomiast postać całkową prawa zachowania w komórce kontrolnej [x l , 0] ×
[0, T ]. Otrzymamy wtedy
∫ 0
T s l
q(x, T )dx = −T s l q l + T (f l − f 0l ) , (709)
gdzie f 0l jest strumieniem dla x = 0. Mamy stąd
f 0l = f l − s l q l − 1 T
∫ 0
T s l
q(x, T )dx . (710)
204

W powyższym wyrażeniu zamienimy q(x, T ) przez q HLL . W konsekwencji
mamy
f 0l = f l + s l (q HLL − q l ) . (711)
Zauważmy, że identyczne wyrażenie możemy otrzymać z warunku Rankine’a-
Hugoniota, czyli
f 0l − f l = s l (q HLL − q l ) , (712)
f r − f 0l = s r (q r − q HLL ) . (713)
Zastąpmy teraz f 0l przez f HLL w równaniu (711) i wykorzystajmy równanie
(708). Znajdziemy wtedy, że strumień odpowiadający stanowi HLL dany
jest jako
f HLL = s rf l − s l fr + s r s l (q r − q l )
s r − s l
. (714)
Podsumowując, strumień numeryczny HLL dany jest następująco:
f HLL
i+1/2 =
⎧
f l , 0 ≤ s l ,
⎪⎨
f HLL , s l ≤ 0 ≤ s r ,
⎪⎩
f r , 0 ≥ s r .
21.1 Komentarz o metodzie HLL
że:
(715)
Metoda HLL rozwiązywania problemu Riemanna charakteryzuje się tym,
1. metoda HLL jest bardzo prosta i spełnia zachowanie entropii. Wobec
tego nie jest potrzebne wprowadzenie poprawki do entropii (ang. entropy
fix) (np. Toro 2009). W konsekwencji tego metoda ta odwzorowuje
bardzo dobrze krytyczne (dźwiękowe) fale rozrzedzeniowe, w
których, z definicji, lewa (prawa) strona fali porusza się w lewo (prawo)
w układzie poruszającym się z prędkością dźwięku;
205

2. metoda HLL jest dokładna dla układu dwóch równań takich, jak np.
izotermiczne równania Eulera. Ponieważ w metodzie tej fale środkowe w
wiatraku Riemanna są zignorowane, fale kontaktowe i wiry są rozmyte;
3. przybliżenie dla prędkości fal, tj. s l i s r , są nam nadal potrzebne.
21.2 Schematy Rusanowa i Laxa-Friedrichsa
Zauważmy, że schematy Rusanowa i Laxa-Friedrichsa możemy otrzymać
z metody HLL jako szczególne przypadki. Przyjmijmy, że
s l = −S + , s r = S + ≥ 0 . (716)
Wtedy metoda HLL prowadzi do strumienia Rusanowa, tj.
Schemat stabilny otrzymamy dla
f rus
i+1/2 = 1 2 [f l + f r + S + (q l − q r )] . (717)
S + ≤ ∆x
∆t . (718)
Dla S + = ∆x/∆t metoda HLL sprowadza się do strumienia Laxa-Friedrichsa,
tj.
fi+1/2 LF = 1 [
f l + f r + ∆x ]
2 ∆t (q l − q r ) . (719)
Przedstawmy teraz inne spojrzenie na wyprowadzenie schematu HLL.
Rozpocznijmy nasze rozważania od wprowadzenia strumienia
f i+1/2 = 1 2 (f i + f i+1 ) . (720)
Niestety strumień ten prowadzi do niestabilnego schematu różnicowego. Strumień
ten możemy poprawić poprzez dodanie członu dyfuzyjnego, tj.
˜fi+1/2 = 1 2 (f i + f i+1 ) − a q i+1 − q i
∆x
206
, (721)

gdzie a jest współczynnikiem dyfuzji. Wybierzmy
a = ∆x2
2∆t ≃ 1 ∆xλ , (722)
2
gdzie Λ jest największą wartością prędkości na siatce numerycznej. Otrzymamy
wtedy schemat Laxa-Friedrichsa.
Dla
a = 1 2 ∆x max{λ k} , k = 1, 2, . . . (723)
otrzymamy z kolei schemat Kurganowa-Tadmora.
gdzie:
Schemat Hartena, Laxa i van Leer (HLL) odpowiada wyborowi:
˜fi+1/2 = a− f i+1 + a + f i
a − + a + − a− a +
a − + a + (q i+1 − q i ) , (724)
a − = max{0, −λ k : λ k < 0} , (725)
a + = max{0, +λ k : λ k > 0} . (726)
Zauważmy, że ostatni człon w rówaniu (724) spełnia rolę sztucznej dyfuzji.
21.3 Metoda HLLC rozwiązywania problemu Riemanna
Rysunek 19: Wiatrak Riemanna dla metody HLLC.
Metoda HLLC rozwiązywania problemu Riemanna stanowi modyfikację
metody HLL, gdzie C w nazwie metody HLLC ma swoją genezę od fali
207

kontaktowej (ang. contact wave). W metodzie tej fala kontaktowa, nieobecna
w metodzie HLL, jest uwzględniona poprzez podzielenie obszaru z gwiazdką
na dwa podobszary q l i q r (rys. 19). Mamy wtedy
∫ T sr
Zdefiniujemy teraz
T s l
q(x, T )dx =
∫ T s∗
T s l
q(x, T )dx +
∫ T s∗
∫ T sr
T s ∗
q(x, T )dx . (727)
1
q ∗l =
q(x, T )dx , (728)
T (s ∗ − s l ) T s l
∫
1 T sr
q ∗r =
q(x, T )dx . (729)
T (s r − s ∗ ) T s ∗
Po zastosowaniu warunków Rankine’a-Hugoniota dla trzech fal poruszających
się z prędkościami s l , s ∗ i s r , otrzymamy
f ∗l = f l + s l (q ∗l − q l ) , (730)
f ∗r = f ∗l + s ∗ (q ∗r − q ∗l ) , (731)
f r = f ∗r + s r (q r − q ∗r ) . (732)
Zauważmy, że trzy powyższe równania zawierają cztery niewiadome stany
własne q ∗l , f ∗l , q ∗r , i f ∗r . Mamy więc więcej niewiadomych niż równań i potrzebuejmy
dodatkowych warunków, aby zamknąć układ równań (730)-(732).
21.3.1 Metoda HLLC dla jedno-wymiarowych równań Eulera
Ponieważ dla równań Eulera fala kontaktowa poruszająca się z prędkością
s ∗ jest związana tylko ze zmianą gęstości masy, dodatkowe warunki (dla
przypadku jedno-wymiarowego) określimy następująco:
u ∗l = u ∗r = u ∗ = s ∗ , p ∗l = p ∗r = p ∗ . (733)
Z równań (730) i (732) znajdziemy wtedy, że
s l q ∗l − f ∗l = s l q l − f l , (734)
s r q ∗r − f ∗r = s r q r − f r . (735)
208

Z pierwszej i drugiej składowych powyższych równań otrzymamy
Stąd mamy wyrażenie na prędkość
p ∗l = p ∗ = p l + ϱ l (s l − u l )(s ∗ − u l ) , (736)
p ∗r = p ∗ = p r + ϱ r (s r − u r )(s ∗ − u r ) . (737)
s ∗ = p r − p l + ϱ l u l (s l − u l ) − ϱ r u r (s r − u r )
ϱ l (s l − u l ) − ϱ r (s r − u r )
. (738)
Z równań (734) i (735) z wykorzystaniem równania (736), znajdziemy
wtedy następujące wyrażenie:
Tutaj stany przejściowe określimy jako
⎡
s k − u k
q ∗k = ϱ k s k − s ∗
⎢
⎣
f ∗k = f k + s k (q ∗k − q k ) , k = l, r . (739)
1
s ∗
E k
ϱ k
+ (s ∗ − u k ) ( s ∗ +
21.3.2 Podsumowanie metody HLLC
)
p k
ϱ k (s k −u k )
⎤
. (740)
⎥
⎦
Podsumowując, strumień HLLC określimy następująco:
⎧
f l , 0 < s l ,
f HLLC
i+1/2 =
⎪⎨ f ∗l , s l ≤ 0 ≤ S ∗ ,
f ∗r , S ∗ ≤ 0 ≤ s r ,
⎪⎩
f r , 0 ≥ s r .
Tutaj strumienie f ∗l i f ∗r zdefiniowane są jako
(741)
f ∗
l = f l + s l (q ∗l − q l ) , (742)
f ∗ r = f r + s r (q ∗r − q r ) . (743)
Warto zauważyć, że dla równań płytkiej wody, stany z gwiazdką określimy
następująco:
q ∗ k = h k
s k − u k
s k − S [1, S, Ψ]T , k = l, r . (744)
209

21.4 Oszacowanie prędkości fal
W metodach HLL i HLLC do rozwiązania problemu Riemanna potrzebujemy
oszacowanie prędkości fal s l i s r . Wykorzystanie do tego celu wartości
własnych Jakobianu,
λ (1) = u − c s , λ (2) = u , λ (3) = u + c s , (745)
nie jest wskazane ze względu na niepoprawne działanie programu numerycznego
(Toro 2009). Zamiast tego możemy użyć informacji z innych metod
rozwiązania problemu Riemanna. Dla przykładu możemy zastosować
s 1 = ũ − ˜c s , s r = ũ + ˜c s , (746)
gdzie ũ i ˜c s są uśrednionymi według Roe’a wielkościami takimi, że
√
ϱ1 u 1 + √ ϱ r u r
ũ = √
ϱ1 + √ , (747)
ϱ r
˜c 2 s = (γ − 1)
(
)
˜H − ũ2
. (748)
2
Tutaj entalpia
H = (E + p)/ϱ (749)
jest uśredniona następująco:
˜H =
√
ϱ1 H 1 + √ ϱ r H r
√
ϱ1 + √ ϱ r
. (750)
Inną możliwością jest zastosowanie wyrażenia na ciśnienie gazu p ∗ . W celu
uzyskania szczegółów polecamy monografię Toro (2009).
Dla równań płytkiej wody oszacujemy prędkości fal w oparciu o głebokość
h i prędkość u w obszarze przejściowym (z gwiazdką) w wiatraku Riemanna.
W rezultacie użyjemy (Toro 2009)
s 1 = u l − c sl a l , S = u , s r = u r + c sr a r , (751)
210

gdzie:
⎧
⎨ 1 , h < h k , dla fali rozrzedzeniowej
√
a k = h(h+h
⎩
k )
, h > h
2h 2 k , dla szoku
k
, k = l, r . (752)
22 Dodatek D: Inne numeryczne metody dla
równań fizyki technicznej
22.1 Metoda WAF
Przypomnijmy, że skalarne równanie hiperboliczne możemy dyskretyzować
następująco:
q n+1
i
= q n i − ∆t
∆x [f i+ 1 2
− f i−
1 ] . (753)
2
W metodzie wagowo uśrednionego strumienia (ang. the Weighted Averaged
Flux) (WAF) (Toro 2009) strumień numeryczny, f i+
1 , przybliżymy jako
2
f W AF
i+ 1 2
= 1 ∫ xi+ 1
2
∆x
x i− 1
2
f(q i+
1
2
(x, 1 ∆t))dx . (754)
2
Tutaj q i+
1 (x, t) jest rozwiązaniem klasycznego (z kawałkami stałymi danymi
2
problemu Riemanna.
Poniżej przedstawimy metodę WAF dla równania unoszenia.
22.1.1 Metoda WAF dla równania unoszenia
Przypomnijmy, że problem Riemanna dla równania unoszenia z prędkością
unoszenia λ > 0 możemy rozwiązać jako
q i+
1 (x, t) =
2
⎧
⎨ qi n ,
⎩ qi+1,
n
x
< λ t
x
> λ. (755)
t
Dla przypadku λ > 0 strumień obliczymy korzystając z rys. 20.
211

Rysunek 20: Komórka kontrolna dla metody WAF dla równania unoszenia (118)
z λ > 0.
Możemy rozdzielić całkę w równaniu (754) na części pod-wiatr i z wiatrem.
Część pod-wiatr składa się z całkowania między punktami A i B
(rys. 20). Otrzymamy wtedy
f upw
i+ 1 2
= 1 ∫ xB
λqi n dx = 1
∆x x A ∆x (λqn i )( 1 2 ∆x + 1 2 c∆x) = 1 2 (1 + c)(λqn i ) . (756)
Podobnie część z wiatrem związana jest z całkowaniem wzdłuż BC (rys. 20),
co prowadzi do wyrażenia
f dow
i+ 1 2
= 1 2 (1 − c)(λqn i+1) . (757)
W rezultacie otrzymamy
f W AF
i+ 1 2
= f upw
i+ 1 2
+ f dow
i+ 1 2
= 1 2 (1 + c)(λqn i ) + 1 2 (1 − c)(λqn i+1) . (758)
Wnioskujemy stąd, że metoda WAF polega na wagowym uśrednieniu strumienia
pod-wiatr, λq n i , z wagą, 1 2 (1 + c), i strumienia z wiatrem, λqn i+1, z
wagą, 1 (1 − c).
2
Zauważmy, że dla przypadku λ < 0 rachunki możemy przeprowadzić w
podobny sposób. Prowadzą one do równania (758).
212

Schemat Beama-Warminga otrzymamy dla
f faw
i+ 1 2
= 1 2 (1 − c)(λqn i−1) + 1 2 (3 − c)(λqn i ) . (759)
Schemat ten jest stabilny dla liczby Couranta spełniającej następujący warunek:
1 ≤ c ≤ 2.
Uogólnieniem strumienia WAF, które pracuje dla wielu wymiarów, jest
f i+
1
2
=
1 1
(t 2 − t 1 ) (x 2 − x 1 )
∫ t2
∫ x2
W metodzie WAF mamy możliwość wyboru:
t 1
x 1
f(ˆq i+
1
2
(x, t)) dx dt . (760)
1. granic całkowania, np. x 1 = − 1 2 ∆x, x 2 = 1 2 ∆x, t 1 = 0, t 2 = ∆t;
2. funkcji podcałkowej f(ˆq) lub ˆq i+
1 , tzn. rozwiązania problemu Riemanna;
2
3. metody całkowania, np. reguły środkowego punktu dla całkowania w x
i w t.
22.2 Uogólniony problem Riemanna
Uogólniony problem Riemanna dla układu hiperbolicznego stanowi problem
Cauchy’ego taki, że
⎧
⎪⎨ q l (x) dla x < 0 ,
q(x, t = 0) =
⎪⎩ q r (x) dla x > 0 .
(761)
Tutaj q l (x), q r (x) oznaczają stany początkowe, które są gładkimi funkcjami
x.
Wprowadzimy teraz różnicowy problem Riemanna (ang. Derivative Riemann
Problem), DRP k , w którym k = max(k l , k r ) reprezentuje liczbę nietrywialnych
pochodnych cząstkowych stanu początkowego tak, że
∂ k q l
∂x = 0 , k dla k > k l , (762)
∂ k q r
∂x = 0 , k dla k > k r . (763)
213

Powyższe wyrażenia zapiszemy z użyciem notacji dla pochodnych
q l,kx = 0 , dla k > k l , (764)
q r,kx = 0 , dla k > k r . (765)
Z wykorzystaniem powyższej notacji DRP 0 odpowiada klasycznemu problemowi
Riemanna.
Poszukajmy rozwiązania dla x = 0 danego funkcją q lr (t), która zależy
jedynie od czasu. Formalnie poszukiwane rozwiązanie zapiszemy jako
k∑ t j
q lr (t) = q(0, 0 + ) + q(0, 0 + ) ,jt
j=1
j! . (766)
Tutaj 0 + = lim t→0+ t. Powyższe wyrażenie zawiera dominujący człon q(0, 0 + )
i człony wyższych rzędów ze współczynnikami q(0, 0 + ) ,jt
. Dominujący człon
znajdziemy z rozwiązania klasycznego problemu Riemanna. Na tym etapie
zaniedbamy człon źródłowy w równaniu zachowania. Rozwiązanie klasycznego
problemu Riemanna oznaczymy przez D (0) (x/t). Wtedy dominujący
człon otrzymamy obliczając D (0) (x/t) dla x/t = 0. Możemy to zapisać następująco:
q(0, 0 + ) = D (0) (0) , (767)
gdzie D (0) (0) nazywamy stanem Godunowa.
Wyrazimy wszystkie pochodne po czasie w równaniu (766) poprzez pochodne
przestrzenne. W tym celu zastosujemy metodę Cauchy-Kowalewski i
wykorzystamy fakt, że zarówno strumień fizyczny i człon źródłowy są funkcjamu
wektora stanu. Prowadzi to do następujących wyrażeń dla pochodnych
czasowych:
q(x, t) ,kt
= P (k) (q, q ,x , . . . , q ,kx ) . (768)
Możemy znaleźć q ,kx z następującego układu nieliniowych i niejednorodnych
równań:
(
q,kx + A(q)(q ,(k+1)x ) ) = ,t Hk . (769)
214

Tutaj A(q) jest macierzą Jakobiego układu praw zachowania a człon źródłowy
H k zależy od pochodnych przestrzennych q ,jx dla j = 0, 1, . . . , k.
Człon ten znika, kiedy A jest stałą macierzą i człon źródłowy jest zerem,
tzn. kiedy oryginalny układ praw zachowania jest liniowy i jednorodny ze
stałymi współczynnikami. Więcej szczegółów o różnicowym problemie Riemanna
można znaleźć w monografii Toro (2009).
22.3 Metoda kawałkami liniowej interpolacji
Rysunek 21: Warunek początkowy dla uogólnionego problemu Riemanna.
Metoda kawałkami liniowej interpolacji (ang., piece-wise linear method)
(PLM) została zainicjowana przez Colella (1985). Składa się ona z następujących
kroków:
1. liniowej rekonstrukcji
q n i (x) = q n i + (x − x i )s i , 0 ≤ x ≤ ∆x ; (770)
2. uogólnionego problemu Riemanna z warunkami początkowymi (rys. 21)
q n i (x) , q n i+1 (x) . (771)
215

Określimy rozwiązanie problemu przez
q GRP
i+ 1 2
(
xi+ 1 , t ) (772)
2
i obliczymy strumień na brzegach komórek numerycznych
q i+
1
2
= 1 ∆t
∫ ∆t
0
f ( q i+
1
2
(
xi+ 1 , t )) dt . (773)
2
W powyższym wyrażeniu przybliżymy całkę regułą trapezów
q P LM
i+ 1 2
= 1 2
[
f
(
q
GRP
i+ 1 2
(
xi+ 1 , 0 )) + f ( q GRP
2
i+ 1 2
(
xi+ 1 , ∆t ))] . (774)
2
Pierwszy człon, q GRP (x
i+ 1 i+
1 , 0), otrzymamy z rozwiązania klasycznego
2 2
problemu Riemanna dla danych początkowych (q ir , q (i+1)l ). Dane te
stanowią wielkości ekstrapolowane. Drugi człon, q GRP (x
i+ 1 i+
1 , ∆t), znajdziemy
rekonstruując dane poruszając się do tyłu wzdłuż
2 2
charakterystyk.
Dla równania unoszenia (118) mamy (rys. 22)
⎧
⎪⎨
q GRP
i+
(0, ∆t) = q n 1 k (¯x) , ¯x =
2
⎪⎩
c∆x , λ ≤ 0
(1 − c) ∆x , λ ≥ 0
⎫
⎪⎬
⎪⎭ . (775)
Tutaj k jest równe i lub i+1, w zależności od tego, czy λ > 0 lub λ < 0
a ¯x oznacza stopę charakterystyki. Strumień znajdziemy z
f P LM
i+ 1 2
f P LM
i+ 1 2
=
≡
⎧
⎪⎨
⎪⎩
λ ( q n i + 1 2 (1 − c) s i∆x ) , λ > 0
λ ( q n i+1 − 1 2 (1 + c) s i+1∆x ) , λ < 0
f MHM
i+ 1 2
⎫
⎪⎬
⎪⎭
(776)
. (777)
Stąd poprzez porównanie z równaniem (550) wnioskujemy, że strumień
PLM jest równoważny strumieniowi MHM.
216

Rysunek 22: Charakterystyki dla równania unoszenia zanieczyszczeń (118).
22.4 Schemat ADER
W tej części wykładów przedstawimy schemat numeryczny ADER (Toro
2009). Ze względów dydaktycznych ograniczymy się do przypadku równania
unoszenia. Schemat ten składa się z następujących etapów:
1. zaimplementowaniu kawałkami liniowego wektora stanu układu
qi n (x) = qi n + s i (x − x i ) ; (778)
2. rozwiązaniu uogólnionego problemu Riemanna dla x = 0
q(t) = q(0) + tq(0) ,t . (779)
W cely obliczenia q ,t użyjmy równania unoszenia
q ,t + λq ,x = 0 . (780)
Otrzymamy stąd
Wtedy
q ,t = −λq ,x . (781)
q(t) = q(0) − tλq(0) ,x ; (782)
217

3. obliczeniu strumienia na granicy między komórkami
f i+
1
2
= 1 ∆t
∫ ∆t
0
(
f(q(0) − tλq(0) ,x )dt = λ q(0) − 1 )
2 ∆tλq(0) ,x . (783)
Wprowadźmy nową wielkość v ≡ q ,x . Zauważmy, że v spełnia równanie
W celu obliczenia v dla x = x i+
1
2
Otrzymamy stąd
v ,t + λv ,x = 0 . (784)
rozwiążmy następujący problem Riemanna
v ,t + λv ,x = 0 ,
⎧
⎫
⎪⎨ s i , x < 0
⎪⎬
v(x, t = 0) =
⎪⎩ s i+1 , x > 0
⎪⎭ . (785)
⎧
⎪⎨ s i ,
v(x, t) =
⎪⎩ s i+1 ,
x
< λ t
⎫
⎪⎬
. (786)
x
> λ ⎪ ⎭
t
Strumień numeryczny określimy jako
⎧
⎪⎨ λ ( ⎫
q
f GRP
i n + 1
i+
=
(1 − c) ∆x s 2 i)
, λ > 0
⎪⎬ 1
2 ⎪⎩ λ ( qi+1 n − 1 (1 + c) ∆x s ) . (787)
⎪
2 i+1 , λ < 0 ⎭
W konsekwencji tego znajdziemy, że
f MHM
i+ 1 2
≡ f P LM
i+ 1 2
≡ f GRP
i+ 1 2
. (788)
Metoda ADER pozwala na dokonanie konstrukcji schematów numerycznych
o dowolnym rzędzie dokładności zarówno w przestrzeni jak i w czasie
(Toro 2009).
22.5 Wycentrowany schemat SLIC
Wycentrowany schemat SLIC (Toro, Billett 2000) składa się z następujących
etapów:
218

1. kawałkami liniowych danych, które prowadzą do następujących wartości
brzegowych
q il = q n i − 1 2 ∆ i , (789)
q ir = q n i + 1 2 ∆ i ; (790)
2. ewolucji w czasie wartości brzegowych
¯q il,r = q il,r − 1 ∆t
2 ∆x [f(q ir) − f(q il )] ; (791)
3. rozwiązaniu problemu Riemanna z kawałkami stałymi wektorami stanu
¯q ir , ¯q (i+1)l . Wtedy strumień numeryczny określimy jako
f SLIC
i+ 1 2
= f F ORCE
i+ 1 2
(¯qir , ¯q (i+1)l
)
. (792)
Strumien numeryczny możemy określić w sposób bardziej ogólny jako
f SLIC
i+ 1 2
= f lom
i+
(q 1 l , q r ) , (793)
2
gdzie lom oznacza jakikolwiek strumień niskiego rzędu (ang. Low-Order Monotone).
Dla równania unoszenia mamy
f lom
i+
(q 1 l , q r ) = β 0 (λq l ) + β 1 (λq r ) . (794)
2
Strumień f lom możemy wybrać np. ze strumienia odpowiadającego metodzie:
1. Laxa-Friedrichsa,
2. Godunowa,
3. FORCE.
219

Ogólny schemat jest drugiego rzędu dokładny w przestrzeni i w czasie.
Dla szczególnego przypadku
ω = 3c (β 0 − β 1 ) − 2c 2 − 1
3 (β 0 − β 1 − c)
. (795)
schemat jest drugiego rzędu dokładny (Toro, Billett, IMA J. Numerical Analysis,
2000).
22.6 Wersja TVD metody WAF
Rozważmy równanie unoszenia (118). Strumień WAF (dla wersji nie-
TVD) dany jest jako
f n i+1/2 = 1 2 [(1 + c)λqn i + (1 − c)λq n i+1] , (796)
gdzie c = λ∆t/∆x jest liczbą Couranta. Wprowadzimy filtrator (ang. limiter
function) φ = φ(c, r) taki, że r jest parametrem przepływu (zdefiniowanym
poniżej). Zapiszmy strumień następująco:
f T V D
i+1/2 = 1 2 [(1 + φ)λqn i + (1 − φ)λq n i+1] , |φ| ≤ 1 . (797)
Po podstawieniu równania (797) do schematu zachowawczego otrzymamy
q n+1
i
= q n i + ∆t
∆x (f n i−1/2 − f n i+1/2) . (798)
Dla przypadku dodatniej prędkości unoszenia, λ > 0, mamy
qi
n+1 − qi
n = c [
]
1
(1 − φ
qi−1 n − qi
n i+1/2 ) + φ i−1/2 + 1 , (799)
2 r i+1/2
gdzie
r i+1/2 = qn i − qi−1
n . (800)
qi+1 n − qi
n
Wprowadźmy warunek kompatybilności danych. Otrzymamy wtedy
−1 ≤ 1 (1 − φ i+1/2 ) + φ i−1/2 ≤ 2 − c . (801)
r i+1/2 c
220

Bardziej ogólnym wyrażeniem, które jest poprawne zarówno dla c < 0 i c ≥ 0,
jest
−1 ≤ 1 (1 − φ i+1/2 ) + φ i−1/2 ≤ 2 − |c| , (802)
r i+1/2 |c|
gdzie możemy dokonać wyboru r i+1/2 jako
r i+1/2 ≡ ∆ upw
∆ local
, (803)
czyli
⎧
qi ⎪⎨
n−qn i−1
qi+1 r i+1/2 =
n −qn i
qi+2 ⎪⎩
n −qn i+1
qi+1 n −qn i
, λ > 0 ,
, λ < 0 .
(804)
22.7 Obszar TVD
Podsumowując zauważmy, że
1. filtrator φ(r, |c|) powinien być tak skonstruowany, aby eliminiował on
numerycznie wygenerowane oscylacje;
2. wartości filtratora muszą spełniać warunek φ(1, |c|) = |c| (np. LeVeque
2002);
3. dowolna funkcja φ(r, |c|) wewnątrz pewnego obszaru TVD prowadzi do
schematu TVD.
23 Dodatek E: Wartości i wektory własne macierzy
Jacobiego dla równań MHD
Macierz Jacobiego Ā posiada wartości własne (λ) i lewe (l) i prawe (r)
wektory własne, które odpowiadają następującym falom (Powell 1994):
221

(a) czterem falom magnetoakustycznym z:
⎛
l ± = N ± ⎜
⎝
0
±ϱc ±
∓ BxByϱc ±
ϱc 2 ± −B2 x
∓ BxBzϱc ±
ϱc 2 ± −B2 x
0
B y ϱc 2 ±
ϱc 2 ± −B2 x
B z ϱc 2 ±
ϱc 2 ± −B2 x
1
λ ± = v x ± c ± , (805)
⎞T
⎟
⎠
⎛
, r ± = N ± ⎜
⎝
ϱ
±c ±
∓ BxByc ±
ϱc 2 ± −B2 x
∓ BxBzc ±
ϱc 2 ± −B2 x
0
B y ϱc 2 ±
ϱc 2 ± −B2 x
B z ϱc 2 ±
ϱc 2 ± −B2 x
γp
⎞
. (806)
⎟
⎠
Tutaj N ± oznacza czynnik normalizacyjny taki, że l ± r ± = 1. Wyrażenie na
ten czynnik jest zbyt skomplikowane, aby je tutaj napisać. Indeks górny ±
odpowiada prędkościom szybkiej (c + ) i powolnej (c − ) fal magnetoakustycznych;
(b) dwóm falom Alfvéna z:
λ a = v x ± c A , (807)
l a =
1
2 √ N (0, 0, −B z, B y , 0, ± B z
√ , ∓ B y
√ , 0), ϱ ϱ
(808)
r a =
1
√ √
√ (0, 0, −B z , B y , 0, ±B z ϱ, ∓By ϱ, 0) T . N
(809)
Tutaj N = 1/(B 2 y + B 2 z) jest czynnikiem normalizacyjnym a c A = B x / √ ϱ
prędkością Alfvéna c A = B x / √ ϱ;
(c) jednej fali entropii związanej z:
λ e = v x , (810)
l e = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, −1 ), (811)
c 2 s
r e = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) T . (812)
222

Tutaj entropia s jest dana następująco:
( ) p
s = log ; (813)
ϱ γ
(d) jednej fali dywergencji z:
λ div = v x , (814)
l div = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0), (815)
r div = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0) T . (816)
23.1 Osobliwości w wektorach własnych
Wektory własne związane z falą Alfvéna stają się osobliwe dla
B ⊥ ≡ √ B 2 y + B 2 z → 0 . (817)
Wektory własne określające fale magnetoakustyczne są natomiast osobliwe
dla c 2 ± → c 2 A, c 2 + → c 2 −. W ostatnim przypadku prędkości fal c − , c + i c A są jednakowe.
Zadaniem naszym jest wyeliminowanie tych osobliwości. Zajmiemy
się tym poniżej.
Wprowadźmy
β y = B y
B ⊥
,
β z = B z
B ⊥
. (818)
Wtedy wektory własne związane z falą Alfvéna możemy zapisać następująco:
l a± = 1 (
0, 0, ±β z , ∓β y , 0, − β zsgn(B x )
√ , β )
ysgn(B x )
√ , 0 , (819)
2
ϱ ϱ
r a± = (0, 0, ±β z , ∓β y , 0, −β z
√ ϱ sgn(Bx ), β y
√ ϱ sgn(Bx ), 0) T . (820)
Osobliwości w prędkości Alfvéna możemy usunąć poprzez zastosowanie następującej
procedury (Brio, Wu 1988):
lim β y = lim β z = √ 1 . (821)
B ⊥ →0 B ⊥ →0 2
223

Elegancką metodą zastosowania powyższej granicy w kodzie numerycznym
jest wprowadzenie małej wielkości ɛ i zmodyfikowanie β y na
Wprowadzimy również
β y =
B y + ɛ
B ⊥ + ɛ √ , ɛ

Osobliwość ta zachodzi, kiedy prędkości powolnej i szybkiej fal magnetoakustycznych
stają się równa prędkości Alfvéna. W pobliżu tego punktu możemy
zapisać
gdzie
Błędy δ ± spełniają nierówność
Dla B ⊥ = 0 możemy pokazać, że
α − = cos α 2 + δ −, α + = sin α 2 + δ + , (826)
tan α ≡ B x − c s
√ ϱ
B ⊥
. (827)
|δ ± | ≤ B ⊥
4c s
√ ϱ
. (828)
α − = H(B x − c s
√ ϱ) , α+ = H(c s
√ ϱ − Bx ) , (829)
gdzie H jest funkcją Heaviside’a.
24 Dodatek F: Schemat numeryczny dla silnego
pola magnetycznego
W przypadku silnego pola magnetycznego wygodnie jest wyrazić całkowite
pole B jako sumę pola równowagowego B 0 i zaburzającego B 1 , tzn.
B = B 0 + B 1 . (830)
Założymy, że B 0 spełnia następujące warunki:
B 0,t = 0, (831)
∇ · B 0 = 0, (832)
∇ × B 0 = 0. (833)
225

Zdefiniujemy teraz wektor zaburzonego stanu
q 1 = (ϱ, ϱv, B 1 , E 1 ) T , (834)
gdzie
E 1 =
jest gęstością zaburzonej energii.
p
γ − 1 + ϱv2 2 + B2 1
2
(835)
Z wykorzystaniem q 1 możemy zapisać równanie (603) następująco Tanaka
1994, Powell i inni 1999):
q 1 ,t + ∇ · F 1 + ∇ · G = −∇ · B 1 (0, B, v, v · B 1 ) . (836)
Tutaj
∇ · B 1 = 0
i składowe strumieni
F 1 = (ϱv, ϱvv + I(p + B2 1
2 ) − B 1B 1 , vB 1 − B 1 v,
(E 1 + p + B2 1
2 )v − B 1(v · B 1 )) T , (837)
G = (0, (B 0 · B 1 )I, (B 0 B 1 + B 1 B 0 ), vB 0 − B 0 v,
(B 0 · B 1 )v − (v · B 1 )B 0 ) T . (838)
Powyższy schemat numeryczny charakteryzuje się Jakobianem, który różni
się od tego dla zachowawczych równań MHD (Powell i inni 1999). Wartości
i wektory własne Jakobianu są identyczne do tych dla równań MHD (Powell
i inni 1999). Dokładność schematu poprawiliśmy wskutek rozwinięcia pola
całkowitego B, danego równaniem (830).
226