6. predavanje

RAD, SNAGA, ENERGIJA
Mehanički rad
Fizički smisao rada se u mnogome razlikuje od našeg svakodnevnog poimanja rada. Zato
odmah recimo da je rad skalarni proizvod sile pod čijim dejstvom telo učini neki pomeraj i tog
pomeraja:
r r
r r
A = F ⋅∆
= F ⋅ ∆r
⋅cos
∠ F,
∆
( ( )
2
kgm
Jedinica za rad je Džul (J): [ A ] = J = Nm =
2
s
Iz gornjeg izraza vidimo da rad zavisi od vrednosti kosinusa ugla kojeg zaklapa vektor sile sa
vektorom pomeraja. Pošto znamo da f-ja cos može da ima vrednosti od -1 do 1 (uključujući nulu),
postavlja se pitanje da li to znači da rad neke sile može biti negativan ili nula pri pomeranju nekog
tela? Odgovor je potvrdan, što se može videti i na sledećim primerima.
N
Na slici je prikazano telo koje leži na
horizontalnoj podlozi. Na njega
deluje konstantna horizontalna sila
F
F r pod čijim dejstvom će se telo
F pomeriti za ∆ r T
. Osim ove sile na
telo deluje sila teže, normalna sila
mg
(dejstvo podloge) i sila trenja.
∆r
Napišimo čemu je jednak rad svake
od ovih sila.
A F
= F ⋅ ∆r
cos 0 = F ⋅ ∆r〉
0 rad sile F r je pozitivan.
π
A mg
= mg∆r
cos = mg∆r
⋅0
= 0
2
sila teže ne vrši rad pri pomeranju tela za ∆ r .
π
A N
= N∆r
cos = 0 normalna sila podloge ne vrši rad.
2
AF T
= FT
∆r
cos π 〈0 rad sile trenja je negativan (sila trenja pruža otpor kretanju i protiv nje se
mora izvršiti rad da bi se telo pomerilo za ∆ r .
Dakle, uopšteno govoreći mogući su sledeći slučajevi:
A > 0 ,
π
0 ≤ θ <
2
A = 0 ,
π
θ =
2
A < 0 ,
π
θ >
2
gde je θ ugao koji zaklapaju vektori sile i pomeraja.
Razmotrimo sledeći primer sa slike dole levo. Neka na telo koje se nalazi na horizontalnoj
podlozi deluje sila F r pod uglom θ u odnosu na pravac x ose (pravac pomeraja). Silu F r možemo
razložiti na dve komponente F r i F
r . U skladu sa gore izloženim razmatranjem, zaključujemo da
x
y
rad vrši samo komponenta sile koja je u pravcu pomeraja (horizontalna komponenta), dok je rad
vertikalne komponente sile jednak nuli.

y
Postavlja se pitanje šta ako je
intenzitet ili pravac sile promenljiv
N
F duž pomeraja? Pre nego što damo
y
θ
odgovor na ovo pitanje uočimo (uz
F
pomoć slike) da promena pravca sile,
θ F x
odnosno ugla θ, istovremeno znači i
x promenu intenziteta horizontalne
F T
komponente koja je odgovorna za
vršenje rada duž horizontalnog
mg
∆r
pomeraja. Dakle, ako je sila
promenljivog intenziteta moramo
uzeti u obzir elementarni rad koji sila vrši na elementarnom putu.
Neka je na slici desno prikazan grafik promene horizontalne komponente sile duž pomeraja po x osi.
Potrebno je ukupan pomeraj izdeliti na deliće
dx 1, dx2,...
dx i
,... dx n
, takve da je sila na tom
pravolinijskom deliću puta konstantnog intenziteta. Rad
F x
2
sile na tom elementarnom putu je:
r r
r r
dA = Fdr = Fdr cos( < ( F,
dr
) = Fxdx
1
dA i
Što geometrijsko odgovara površini osenčenog
pravougaonika. Da bismo dobili ukupan rad sile na putu
dx i
od x 1 do x 2 , potrebno je sumirati površine svih
pravougaonika, tj. izračunati površinu ispod krive na
slici od tačke 1 do tačke 2. Tako dobijamo da je:
x
A
x2
= F x
dx ,
x 1 x 2
12
∫
x1
Odnosno, u opštem slučaju, ukupan rad sile pri premeštanju tela od tačke 1 do tačke 2 je:
2
r r
A12 = ∫ F ⋅ d
Ukoliko na telo istovremeno deluje više sila, onda je:
2
r
2 n
r r r
A = F ⋅dr
= F ⋅ dr =
12
∫
1
rez
∫∑
1 i=
1
1
i
n
2
∑∫
r r
F dr =
n
∑
i
i= 1 1 i=
1
što znači da ukupan rad možemo dobiti sabiranjem radova koje je izvršila svaka sila pojedinačno, a
to predstavlja princip superpozicije radova.
Snaga
Snaga je veličina koja karakteriše brzinu vršenja rada i (pri translatornom kretanju) može se naći iz:
r r
dA F ⋅ dr r r
P = = = F ⋅v
dt dt
Dakle, to je skalarna veličina koja zavisi od intenziteta sile i brzine i ugla kojeg zaklapaju vektori
sile i brzine. Jedinica za snagu je Vat (W):
2
J kgm
[ P ] = W = =
3
s s
A
i

Energija
Neka se dve bilijarske kugle kreću po istom pravcu u suprotnom smeru, dakle jedna prema
drugoj. Ako se razlikuju po masi ili ako su im intenziteti brzina različiti, tada je ukupan impuls
sistema (zbir impulsa svake kugle pojedinačno) različit od nule. Neka, zatim, kugle dožive
apsolutno neelastičan sudar, tako da nakon sudara miruju. Ukupan impuls sistema u tom slučaju je
jednak nuli. Dakle, ako bismo posmatrali samo impuls i pomoću njega opisivali kompletnu
dinamiku sistema, morali bismo da zaključimo da je kretanje koje je postojalo pre sudara „iščezlo“.
Eksperiment, međutim, pokazuje da je zbog sudara došlo do porasta temperature kugli što, kako
ćemo kasnije videti, predstavlja manifestaciju unutrašnjeg kretanja. Ipak, porediti impuls kugli pre
sudara i temperaturu posle nije moguće, ako ni zbog čega drugog ono zbog toga što je impuls
vektorska, a temperatura skalarna veličina. Zato uvodimo novu skalarnu veličinu koja će, pored
impulsa, karakterisati dinamiku tela (sistema) i njegovu sposobnost da vrši rad, a to je energija.
Postoji više tipova energije (unutrašnja, toplotna, hemijska,...) ali ćemo se mi, u ovom odeljku,
baviti samo jednim tipom i to mehaničkom energijom, koja predstavlja zbir kinetičke i potencijalne
energije tela.
Kintička energija
Kinetička energija predstavlja sposobnost tela da vrši rad zahvaljujući svom kretanju.
Neka na telo deluje više sila istovremeno. Tada je elementarni rad koji vrše te sile na
elementarnom pomeranju tela jednak:
r r
dA = Frez
⋅ dr
Primenjujući na ovaj iraz II Njutnov zakon i činjenicu da je u oblasti klasične mehanike (gde su
brzine tela mnogo manje od brzine svetlosti) masa tela konstantna veličina, dobijamo:
r r r
r dp ⋅dr
r r r r r r 1 2 ⎛ 1 2 ⎞
dA = Frez
⋅ dr = = v ⋅ dp = v ⋅ d( mv ) = mv ⋅dv
= mvdv = md( v ) = d⎜
mv ⎟ = dEk
(*)
dt
2 ⎝ 2 ⎠
gde smo sa E k označili kinetičku energiju tela pri translatornom kretanju. Dakle:
1 2 Ek = mv
2
Takođe vidimo da kinetičku energiju možemo povezati sa impulsom na način:
( mv)
2
E 1 p
= =
k
2 m 2 m
Iz izraza (*) dobijamo da je ukupan rad rezultante spoljašnjih sila jednak promeni kinetičke
energije sistema, jer je:
2 2
1 2 1 2
A = ∫dA
= ∫ dEk
= Ek
2
− Ek1
= mv2
− mv1
2 2
1 1
što znači da bismo promenili kinetičku energiju tela moramo vršiti rad ili telo vrši rad na račun
promene svoje kinetičke energije.
Ako je rezultanta spoljašnjih sila jednaka nuli (takve sisteme nazivamo izolovanim sistemima),
onda:
r r
dA = Frez ⋅ dr = dEk
= 0 ⇒ Ek
= const
ili rečima: u izolovanom sistemu ukupna kinetička energija je konstantna.
2
kgm
Jedinica za energiju u SI sistemu je ista kao i za rad i to je Džul:[ E ] = J =
2
s
2

Konzervativne sile
Sve sile koje su centralne (deluju duž pravca koji spaja centre dva tela) i stacionarne (ne
zavise od brzine, ne menjaju se u toku vremena) nazivaju se konzervativne sile. One koje ne
ispunjavaju ove uslove nazivaju se disipativne sile. Iz dosadašnjeg razmatranja možemo zaključiti
da su, npr., gravitaciona i elastična sila konzervativne (kao i elektrostatička, npr.), a da su sile trenja
i otpora, disipativne sile. Fizičko polje u kome vladaju konzervativne sile naziva se potencijalno
polje (dakle, gravitaciono polje je potencijalno polje).
Karakteristika konzervativnih sila je da rad ovih sila ne zavisi od a
oblika putanje tela, već samo od početnog i krajnjeg položaja tela. Tako,
2
b
prema slici desno, možemo napisati da je:
1 c
A
1a2
= A1
b2
= A 1c2
.
Takođe, u slučaju konzervativnih sila važi da je rad koji sila izvrši pomerajući
telo po zatvorenoj krivolinijskoj putanji, jednak 0, tj.: A 0
121 =
Rad konzervativnih sila jednak je negativnoj promeni potencijalne energije tela:
k
A = −∆E
Potencijalna energija
Potencijalna energija predstavlja sposobnost tela da vrši rad zahvaljujući svom položaju. Za
razliku od kinetičke energije, čiji smo izraz dosledno izveli polazeći od definicije kinetičke energije,
slučaj potencijalne energije je nešto složeniji. Izraz za potencijalnu energiju moramo izvesti za
svaki slučaj pojedinačno, jer on zavisi od:
‣ tipa sile (ili polja) i
‣ izbora referentnog nivoa na kome je potencijalna energija jednaka nuli.
Da bismo lakše razumeli o čemu je reč, izvedimo izraz za potencijalnu energiju u slučaju (različiti
tipovi sile):
1. gravitacione i
2. elastične sile,
a u slučaju gravitacione sile uzmimo da je nivo na kome je potencijalna energija jednaka nuli
smešten:
a) u beskonačnosti,
b) na površini Zemlje.
1. Gravitaciona potencijalna energija
a) E ( ∞) = 0
p
p
Na slici desno prikazano je telo mase m 1 koje deluje
gravitacionom silom F r
g
na telo mase m 2 , pri čemu je:
r m1m
2
r
F g
− γ
2 0
r
Rad gravitacione sile na pomeranju tela za d r je:
r r m1m
2
r r
dA = Fg
⋅dr
= −γ
0
⋅ dr
2
r
m 1 m 2
r 0 F g
r

Imajući u vidu da je r 0
ort (jedinični vektor) :
r r
r r
0
⋅ dr = r0
dr cos( ∠( 0
,dr )) = r0
dr cos0
= 1⋅
dr ⋅1,
dobijamo:
m1m
2
dA = −γ r0
dr
2
r
Kako smo u ovom tekstu već naglasili, gravitaciona sila je konzervativna sila, a rad konzervativnih
sila je jednak negativnoj promeni potencijalne energije. Zato:
m m
dA = −γ
Ep
r
1 2
m1m
2
dr = −dE
p
⇒ dE
p
= γ dr ⇒ ∫dE
p
=
2
2
r
r
∫γ
0 ∞
(Ovde smo određujući granice integrala iskoristili činjenicu da smo referentni nivo postavili u
beskonačnost, tj E p =0 za r = ∞ ).
Dalje je:
r
Ep
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 1 ⎞
E
p
= −γ
m1m
2⎜
⎟ ⇒ E
p
− 0 = −γm1m
2⎜
− ⎟ ⇒ E
⎝ r ⎠
⎝ r ∞
∞
⎠
i konačno, gravitaciona potencijalna energija je:
m1m
2
E p
= −γ
r
Grafički prikazana ova zavisnost data je na slici dole.
m1m
2
r
2
dr
⎛ 1 ⎞
= −γm1m
2⎜
− 0⎟
⎝ ⎠
0
p
r
E p
F

E
R + h
R + h
p
z
z
Mm
Ep ⎛ 1 ⎞
⎛ 1 1 ⎞
∫dE
= ∫ ⇒ = − ⎜ ⎟ ⇒ − = −
⎜ −
⎟
p
γ dr E
p
γMm
E
p
0 γMm
⇒
2
r
0
⎝ r ⎠
⎝ Rz
+ h R
0
R
R
z
z
⎠
z
Mmh
E
p
= γ
2⎛ h ⎞
R
⎜ +
⎟
z
1
⎝ Rz
⎠
Za visine h koje su mnogo manje od poluprečnika Zemlje:
h
h