1. light-geometrija 1. Simetrale kutova nekog konveksnog ...

1. light-geometrija
1. Simetrale kutova nekog konveksnog četverokuta odreduju novi četverokut,
dokaži da je on tetivan.
2. Neka je ABCD tetivan četverokut kojemu su dijagonale medusobno
okomite i sijeku se u točki P. Dokaži da okomica iz točke P na neku od stranica
četverokuta raspolavlja nasuprotnu.
3. Dokaži da je zbroj kutova peterokrake zvijezde (ne mora biti pravilna)
jednak 180°.
4. Neka su P i Q polovišta dviju stranica jednakostraničnog trokuta ABC.
Presjek produžetka dužine PQ i opisane kružnice trokutu ABC označimo s
R. Dokaži da točka Q dijeli dužinu PR u zlatnom rezu, tj.
P R
P Q = P Q
QR .
5. Dokaži Menelajev teorem: Točke P, Q i R sa stranica trokuta AB, BC
i CA, mogu biti i na produžetku neke od njih, su kolinearne ako i samo ako
je:
AP
P B · BQ
QC · CR
RA = −1.
6. Dokaži Cevin teorem: Neka pravci kroz vrhove trokuta ABC sijeku
nasuprotne stranice u točkama L, M i N. Dokaži da su pravci AL, BM i CN
konkurentni tj. sijeku se u jednoj točki ako i samo ako je:
AN
NB · BL
LC · CM
MA = 1.
1

7. Točkama B i C trokuta △ABC prolazi kružnica k koja AB siječe u P
i AC u R. Ako se pravci P R i BC sijeku u točki Q dokaži da je:
|QC|
|QB|
=
|RC| · |AC|
|P B| · |AB| .
8. Stranicu AB kvadrata ABCD produljimo do točke P tako da je
|BP | = k · |AB|. Točka M je polovište stranice CD, presjek dužina BM
i AC označimo s Q i presjek dužina P Q i BC označimo s R. Koliko je |CR|
|RB| ?
9. Trokut △ABC siječe kružnicu u točkama E, E‘, D, D‘, F, F ‘. Dokaži
ako su AD, BF i CE konkurentni, tada su i AD‘, BF ‘ i CE‘ konkurentni.
10. U trokutu △ABC je CD visina na AB i P je neka točka na CD. AP
siječe CB u Q i BP siječe CA u R. Dokaži da je ∠RDC = ∠QDC.
11. Hipotenuza AB pravokutnog trokuta △ABC podijeljena je na 4 jednaka
dijela točkama: G, E, i H. Izračunaj |CG| 2 + |CE| 2 + |CH| 2 ako je
poznata duljina hipotenuze c.
12. Tetiva kružnice LM je prepolovljena točkom K, i neka je DJ nova
tetiva kroz točku K. Nad tetivom DJ je polukružnica koju okomica na DJ
iz K siječe u S. Dokaži da je |KS| = |KL|.
13. Neka je k paran broj. Je li moguće 1 zapisati kao zbroj k recipročnih
neparnih brojeva?
14. Neka su p i q prirodni brojevi, takvi da je:
Dokaži da je p djeljivo s 479.
p
q = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ... − 1
318 + 1
319 .
2

15. Na svakoj stranici trokuta dana je točka. Svaki vrh i dvije točke s
njegovih stranica odreduju kružnicu. Dokaži da te kružnice imaju zajedničku
točku.(Miquelov teorem)
16. Dokaži Ptolomejev teorem: U tetivnom četverokutu je umnožak dijagonala
jednak zbroju umnožaka nasuprotnih stranica.
17. U trokutu △ABC, D je polovište od BC, E je polovište od AD, i G
je polovište od F C. Odredi omjer površina △ABC i △EF G.
18. Neka su m i n cijeli brojevi, 1 ≤ m ≤ 2011 i 1 ≤ n ≤ 2011, koji zadovoljavaju
jednadžbu (n 2 − m · n − m 2 ) 2 = 1. Odredi minimalnu vrijednost
za n 2 + m 2 .
19. Funkcija f je definirana na skupu prirodnih brojeva i poprima vrijednosti
u skupu nenegativnih cijelih brojeva. Poznato je da:
a) za svaki m i n, f(m + n) − f(m) − f(n) poprima jednu od vrijednosti 0
ili 1;
b) f(2) = 0;
c) f(3) > 0;
d) f(9999) = 3333.
Odredite f(2011).
3

20. Dvije paralelne tangente kružnicu diraju u točkama M i N. Treća
tangenta dira kružnicu u točki P i siječe preostale dvije u K i L (K je na
tangenti na kojoj je M, a L na onoj gdje je N). Dokaži da kružnica kojoj je
promjer KL prolazi središtem prve kružnice.
21. Kružnica je upisana u kružni isječak središnjeg kuta (1. i 2. razred
90°, a 3. i 4. α°) i polumjera r. Koliki je polumjer upisane kružnice?
22. Dokaži da su nožišta neke točke s opisane kružnice trokuta na stranice
tog trokuta kolinearna. (Simsonov teorem)
23. Nadi sve funkcije f : NN 0 za koje vrijedi:
1. f(mn) = f(m) + f(n);
2. f(10m + 3) = 0;
3. f(10) = 0.
24. Neka je a = 123456789 i b = 987654321.
a. Nadi najveći zajednički djelitelj od a i b.
b. Nadi ostatak pri dijeljenju najmanjeg zajednčkog višekrtanika od a i b s 11.
25. Dokaži da je broj 11...122...2, po 100 jedinica i dvica u nizu, umnožak 2
uzastopna prirodna broja.
4

Rješenje 12. zadatka:
Nakon što nacrtamo sliku (kružnica) prema Talesov poučak o obodnom kutu
∠DSJ nad promjerom kružnice DJ trokut △DSJ je pravokutan, budući
da je SK ⊥ DJ visina na hipotenuzu prema Euklidovom poučku o visini
pravokutnog trokuta i dobivenim odsječcima na hipotenuzi dobivamo da je:
|SK| 2 = |DK| · |KJ|. (1)
Potencija točke K s obzirom na zadanu kružnicu za tetive DJ i LM
daje jednakost |DK| · |KJ| = |LK| · |KM|, i jer je K polovište od LM tj.
|KM| = |LK| dobivamo:
Iz (1) i (2) dobiva se tražena jednakost.
|DK| · |KJ| = |LK| 2 (2)
S
D
L
K
M
J
Slika 1: Kružnica
Rješenje 13. zadatka:
Pretpostavimo da su n 1 , n 2 , ..., n k takvi neparni brojevi za koje vrijedi tvrdnja,
tj. 1 zapišimo kao traženi zbroj:
1 = 1 n 1
+ 1 n 2
+ ... + 1 n k
pomnožimo tu jednakost s n 1 , n 2 , ..., n k tada je:
5

n 1 · n 2 · ... · n k = n 2 · n 2 · ... · n k + n 1 · n 3 · ... · n k + ... + n 1 · n 2 · ... · n k−1
što je nemoguće zbog različitih parnosti lijeve i desne strane, jer je lijeva
strana umnožak neparnih brojeva pa je ona neparna, a desna strana ima k
pribrojnika i k je paran broja pa je on parna.
Ako je k neparan, tada je moguće zapisati 1 kao zbroj k recipročnih
neparnih brojeva. Npr. za k = 9 imamo takav prikaz:
1 = 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 9 + 1 11 + 1 15 + 1 35 + 1 45 + 1
231 .
Rješenje 14. zadatka:
Označimo s A = 1 + 1 + 1 + · · · + 1
3 5
sada je
317 + 1
319 i B = 1 2 + 1 4 + · · · + 1
+ 1 ,
316 318
p
q = A−B = (A+B)−2B = (1+1 2 +1 1
+· · ·+
3 318 + 1
319 )−2·(1 2 +1 1
+· · ·+
4 316 + 1
318 )
p
q = (1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1
318 + 1
319 ) − (1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1
158 + 1
159 )
p
q = 1
160 + 1 1
+· · ·+
161 318 + 1
319 = ( 1
160 + 1
319 )+( 1
161 + 1 1
)+· · ·+(
318 239 + 1
240 )
p
q = 479
160 · 319 + 479
161 · 318 + · · · + 479
239 · 240 = 479 · k
160 · 161 · ... · 319 .
Budući da je 479 prost broj ne postoji faktor u nazivniku s kojim bi bio
djeljiv, dakle p = 479 · k.
6