Skup prirodnih brojeva N

Kemal Halilović,profesor matematike Brčko 1
Skup prirodnih brojeva N
Ovaj skup je nastao na prirodan način brojanjem,te otuda i naziv.
Teorijski nastaje na skupu aksioma u kojima se polazi od prvog broja tj. broja 1 i preko
sljedbenika izgrađuje cijeli skup N.I, zaista, ako svakom prirodnom broju možemo naći
sljedećeg onda smo u potpunosti shvatili ovaj skup.
U skupu N definirane su nama poznate računske operacije kao preslikavanje
NxN→N sa poznatim svojstvima komutacijom,asocijacijom i distribucijom.
Skup N je i uređen skup,jer se za bilo koja dva elementa može reći koji je ispred
kojeg.
Djeljivost prirodnih brojeva je tema koja nije mnogo obrađivana u osnovnoj školi pa ću
ovdje nešto više reći.
Definicija:Ako je a∈N tada su brojevi a,2a,3a,....,ka (k∈N) višekratnici broja a.
Definicija:Neki b∈je djeljiv sa a∈N ako je b višekratnik broja a,tj. ako je b=ka.
U ovom slučaju možemo pisati a | b i čitamo a dijeli b.Naprimjer: 2| 6=3.
Za svaka dva prirodna broja a>b možemo naći dva broja q i r takva da je:
a=bq+r
q se naziva količnikom(kvocijentom) a r ostatkom pri djeljenju.Ako je r=0 onda je a
djeljivo sa b.
Prosti brojevi su oni brojevi koji su višekratnici samo samom sebi.
Dva ili više brojeva su uzajamno prosti ako se ne mogu podjeliti jednim istim brojem.
Npr. 18,35 su uzajamno prosti brojevi.
Veoma interesantna tema sa prirodnim brojevima je djeljivost.Znako da je broj djeljiv
sa 3 ako je suma cifara djeljiva sa 3.Znamo da je broj djeljiv sa 5 ako je zadnja cifra o ili
5.Ali kako utvrdiditi djeljivost nekog izraza koji zavisi od n i prirodan je broj.Za to treba
znati neka svojstva proizvoda brojeva, zatim sume i razlike brojeva i upotrebiti malo
logike.Npr.Proizvod više brojeva je djeljiva sa nekim brojem ako je jedan član tog
proizvoda djeljiv sa tim brojem.Suma dva broja koja su djeljiva sa nekim brojem također je
djeljiva sa tim brojem,zatim proizvod dva uzastopna prirodna broja je djeljiv sa dva a
proizvod tri uzastopna broja je djeljiv sa 6,četiri sa 24 ,dok pet sa 120 itd.
Ako je suma dva broja djeljiva sa nekim brojem i jedan sabirak onda je sigurno idrugi
sabirak djeljiv sa tim brojem.
ZADACI:
1.Dokazati da je zbir brojeva od 1 do 1000 djeljiv sa 143.
Dokaz: 1+2+3+...+999+1000=(1+999)+(2+998)+...+(499+501)+500+1000=
500 ⋅ 1000+500=500500=500 ⋅1001=500 ⋅ 7 ⋅143.Dakle jest djeljiv sa 143.
2.Dokazati da,ako je zbir tri broja djeljiv sa 6 da je i zbir njihovih kubova djeljiv sa 6.
Dokaz:Neka su to tri broja x,y,z.Prema zadatku x+y+z je djeljivo sa 6.Ako dokažemo
da je x 3 +y 3 +z 3 -(x+y+z) djeljivo sa 6 onda će i x 3 +y 3 +z 3 biti djeljivo sa 6 jer ako je
umanjenik i razlika djeljivo sa 6 onda je i umanjilac djeljiv sa 6.Dakle: x 3 +y 3 +z 3 -(x+y+z)
= x 3 -x+y 3 -y+z 3 -z=x(x 2 -1)+y(y 2 -1)+z(z 2 -1)=(x-1)x(x+1)+(y-1)y(y+1)+(z-1)z(z+1)
Sada je jasno da su sva tri sabirka djeljiva sa 6 jer pretstavljaju proizvod tri uzastopna
cijela broja pa i njihova je suma djeljiva sa 6 a odatle je i x 3 +y 3 +z 3 kao umanjilac djeljiv
sa 6,što je trebalo i dokazati.

Kemal Halilović,profesor matematike Brčko 2
3.Za svako n∈N je n 3 +11n djeljivo sa 6.
Dokaz:Napisati ćemo n 3 +11n= n 3 -n+12n=(n-1)n(n+1)+12n.Sada je jasno da je
proizvod tri uzastopna broja djeljiva sa 6 i 12n j3 djeljivo sa 6 ,dakle suma je djeljiva sa 6.
4.Ako je n∈N onda je n(2n+7)(7n+1) djeljivo sa 6.
Dokaz:Broj je djeljiv sa 6 ako je djeljiv sa svim brojevima oblika
n=6k,n=6k+1,n=6k+2,n=6k+3,n=6k+4,n=6k+5.
1)n=6k odmah je jasno da je djeljiv jer je 6k(12k+7)(42k+1)=6p,p∈N
2)n=6k+1 sljiedi (6k+1)(12k+9)(42k+8)=6(6k+1)(4k+3)(21k+4)=6p
3)n=6k+2 slijedi (6k+2)(12k+11)(42k+15)=6(3k+1)(12k+11)(14k+5)=6p
4)n=6k+3 slijedi (6k+3)(12k+13)(42k+22)=6(2k+1)(12k+13)(21k+11)=6p
5)n=6k+4 slijedi (6k+4)(12k+15)(42k+29)=6(3k+2)(4k+5)(42k+29)=6p
6)n=6k+5 slijedi (6k+5)(12k+17)(42k+36)=6(6k+5)(12k+17)(7k+6)=6p
Dakle, n(2n+7)(7n+1) djeljivo sa 6 za svako n∈N.
n+
2 n+
2 n+
3 n+
3
5.Dokazati da je 4 + 5 + 4 + 5 djeljivo sa 10.
n+
2 n+
2 n+
3 n+
3 2 n
Dokaz:Izraz se može pisati: 4 + 5 + 4 + 5 = 4 ⋅ 4
n
+ 25 ⋅5
n
+ 64 ⋅ 4 + 125⋅
5
n
= 80 ⋅ 4
n
+ 150 ⋅ 5
n
= 10 8 ⋅ 4
n
+ 15 ⋅ 5
( )
2
2
6.Dokazati da je za svaki prirodan broj n izraz n( n − 1)( n − 5n + 26)
djeljiv sa 120.
2
2
Dokaz:Dati izraz ćemo transformirati: n( n −1)( n − 5n + 6 + 20) =
2
2
2
2
2
n( n − 1)( n − 5n + 6) + 20n( n −1) = n( n −1)( n − 3n − 2n + 6) + 20( n −1) n( n + 1)
=
( n −1) n( n + 1)( n − 2)( n − 3) + 20( n −1) n( n + 1) = ( n − 3)( n − 2)( n −1) n( n + 1) + 20( n −1) n( n + 1)
Sada razmišljamo ovako:ovdje imamo dva sabirka.Ako je svaki od njih djeljiv sa 120
tada je i njihova suma djeljiva sa 120.Prvi sabirak je ustvari proizvod 5 uzastopnih
brojeva pa je djeljiv sa 120 a drugi je proizvod samo tri što znači djeljiv je sa 6 ali imamo
ispred još 20 što znači djeljiv je, također, sa 120.Sada je jasno da je i dati izraz djeljiv sa
120.
3 2
7.Dokazati da je izraz n + 3n − n − 3 djeljiv sa 48 za svaki neparan broj n.
Dokaz:Treba ispitati samo za neparne brojeve tj sa sve brojeve oblika n=2k+1,pa ako
uvrstimo u izraz biće :
3
2
3
2
2
( 2k + 1) + 3( 2k + 1) − ( 2k + 1) − 3 = 8k + 12k + 6k + 1+
12k + 12k + 3 − 2k −1−
3 =
3
2
2
+ 24k + 16k = 8k( k − 3k + 2) = 8k( k −1)( k − 2)
= 8k
Opet imamo tri uzastopna prirodna broja čiji je proizvod djeljiv sa 6 i ispred je 8 dakle
sve je djeljivo sa 48.
8.Dokazati da je
n 3 + 20n
djeljivo sa 48 za svaki paran prirodan broj.
3
3
3
Dokaz:Sada ćemo uzeti da je n=2k pa će biti n + 20n = ( 2k) + 20 ⋅ 2k = 8k + 40k
=
3
3
3
8( k + 5k) = 8( k − k + 6k) = 8( k − k) + 48k = 8( k −1) k( k + 1) + 48k = 48p
= Prvi sabirak
je djeljiv sa 48 jer je djeljiv sa 8 i proizvod tri uzastopna broja je djeljiv sa 6 dakle ukupno
sa 48 ,a drugi je 48k pa je i suma djeljiva sa 48.
*****moguće
su pogreške******