Dijeljenje polinoma.Bezuov stav.Horneova Å¡ema

Kemal Halilović,profesor matematike Brčko 1
Dijeljenje polinoma.Bezuova teorema i Horneova šema
Podsjetimo se dijeljenja posebnih brojeva:
7542 :34 =
68
74
68
62
34
[ 28]
221
⇒
7542
34
= 221+
28
34
7542 :134 =
670
842
804
( 38)
56
⇒
7542
134
= 56 +
38
134
Sada vidimo šta pretstavlja ostatak dijeljenja dva broja.To je ustvari nedovršena operacija
dijeljenja i ako želimo pravilno napisati onda treba pisati i djelitelj.
Sada pokušajmo sa polinomima:
3 2
( 3x + 2x − 3x + 1) : ( x + 3)
−
3x
0
3
+ 9x
− 7x
− 7x
2
2
2
− 3x
− 21x
0 18x + 1
18x + 54
[ − 53]
= 3x
2
− 7x + 18
⇒
3 2
3x
+ 2x − 3x + 1 2
= 3x
x + 3
− 53
− 7x + 18 +
x + 3
Naravno,što je djeljitelj složeniji do je i dijeljenje složenije ali u principu je postupak
uvijek isti i koristi se hiljadu godina stara metoda dijeljenja brojeva.
Nule polinoma
3 2
Ako kod datog polinoma P( x) = x − 3x − 5x + 7 nađemo
3
2
P( 2) = 2 − 3⋅
2 − 5⋅
2 + 7 = −7
dobijamo vrijednost polinoma za x=2Ako je ta vrijednost
nula onda kažemo da je taj broj nula datog polinoma.U našem slučaju je
3 2
P( 1) = 1 − 3⋅1
− 5 ⋅1+
7 = 0 pa je x=1 nula datog polinoma.
Bezuova teorema
Osatak pri djeljenju polinoma sa x-a jednak je vrijednosti polinoma P(a).
Ako dati polinom ima nulu za x=a onda je on djeljiv bez ostatka za binomom x-a.
Zadatak
23
12
Koliki je ostatak pri djeljenju polinoma A( x) = x + 44x + 66x −10
sa B( x) = x −1.
Rješenje je veoma jednostavno.Treba naći A ( 1) = 1+
44 + 66 −10
= 101
Horneova šema
Pri djeljenju polinoma sa x-a možemo se veoma efikasno služiti jednom šemom po kojoj
se lako određuje rezultat dijeljenja polinoma sa x-a i ostatak pri takvom djeljenju.

Kemal Halilović,profesor matematike Brčko 2
Primjer 1
4 3 2
Treba podijeliti polinom P( x) = 2x − 3x + 2x − 5x + 4 sa polinomom Q( x) = x −1
Napravimo tablicu u obliku:
4
P( x) = 2x
3 2
− 3x + 2x − 5x + 4
1 2 -3 2 -5 4
2 -1 1 -4 0
4 3 2
3 2
Iz tablice se vidi da je ( 2x − 3x + 2x − 5x + 4) : ( x −1) = 2x − x + x − 4 bez ostatka.
Da nema ostatka možemo se uvjeriti preko Bezuove teoreme jer je
4 3
2
P 1 = 2 ⋅1
− 3⋅1
+ 2 ⋅1
− 5⋅1+
4 =
( ) 0
Primjer 2
4 3 2
Treba podijeliti polinom P( x) = x + 3x − 9x − 6x + 3 sa polinomom Q( x) = x − 2
Napravimo tablicu u obliku:
4 3 2
P( x) = x + 3x − 9x − 6x + 3
2 1 3 -9 -6 3
1 5 1 -4 -5
4 3 2
3 2 − 5
Iz tablice se vidi da je ( x + 3x − 9x − 6x + 3) : ( x − 2)
= x + 5x + x − 4 + .
x − 2
Da je ostatak pri djeljenju -5 možemo se uvjeriti preko Bezuove teoreme jer je
4
3
2
P( 2) = 2 + 3⋅
2 − 9 ⋅ 2 − 6 ⋅ 2 + 3 = 16 + 24 − 36 −12
+ 3 = −5
Napomena:Horneova šema može se koristiti samo kada dijelimo polinom sa polinomom
oblika x-a.
******moguće su štamparske greške******