Kompozicija funkcija.Inverzna funkcija

Kemal Halilović,profesor matematike Brčko 1
Kompozicija funkcija.Inverzna funkcija
Podsjetimo se:
Kod funkcije skup sa kojeg vršimo preslikavanje nazivamo domen funkcije i pišemo
Domf=A a skup na koji vršimo preslikavanje kodomen ili Dom − 1
f =B.
Funkcija je bijektivna ili 1-1 ako je svaki elemenat skupa B slika tačno jednog
elementa skupa A.
−
Inverzna funkcija je funkcija u odnosu na datu f : A → B je f 1
: B → A .Jasno je da
inverznu funkciju može imati samo 1-1 funkcija tj. bijektivna funkcija.
Kompozicija funkcija.Ako su date funkcije f : A → B i g : B → C tada je funkcija
h = g o f : A → C kompozicija funkcija f i g.
ZADACI:
2x + 3
1.Odrediti inverznu funkciju date funkcije: y = f ( x)
= .
5
−1
2x + 3
2f
Rješenje:Ako je f ( x)
( x)
+ 3 2y + 3
= onda je x =
ili x = Sada treba riješiti
5
5
5
2y + 3
ovu jedačinu po y.nađena funkcija će biti inverzna datoj.Dakle: x = / 5
5
5x − 3 −1 5x − 3
5 x = 2y + 3 2 y + 3 = 5x
2y
= 5x − 3 y = ⇒ f ( x)
=
2
2
2.Data je funkcija f ( x) = x − 5 .Odrediti funkciju g(x) ako je f ( 3 − g( x)
) = 2x + 1.
Rješenje:Kako je f ( x) = x − 5 onda je f ( 3 − g( x)
) = 3 − g( x) − 5.Pošto je već dato da je
f ( 3 − g( x)
) = 2x + 1 to mora biti 2x
+ 1 = 3 − g( x) − 5 .Sada riješimo jednačinu po g(x) i biće
g x = −2x
−1+
3 − 5 ⇒ g x = −2x
−
( ) ( ) 3
3.Date su funkcionalne jednačine f ( x + 1) = 3x + 2 i g( 2x 3) = 2 − 3x
−1
Odrediti: a ) f ( x) g( x)
, b)
f ( x) o g( x)
i c) f ( x) o g( x)
Rješenje: a) Kako je f ( x + 1) = 3x + 2 uvedimo smjenu x + 1 = t odakle je x t −1
to unesemo na obje strane biće f ( t) = 3( t −1) + 2 f ( t) = 3t −1
tj. f ( x) = 3x −1.
+ .
= .Ako
t − 3
Na isti način se određuje i g(x).tj. g( 2x + 3) = 2 − 3x
smjena 2 x + 3 = t tj. x = .Sada
2
t − 3
3t − 9 4 − 3t + 9 13 − 3t
13 − 3x
g t = 2 − 3 g( t)
= 2 − = = pa je g( x)
= .
2
2 2 2
2
⎛13
− 3x ⎞ 13 − 3x 39 − 9x − 2
37 − 9x
b) f o g = f ( g( x)
) = f ⎜ ⎟ = 3⋅
−1
=
pa je f ( x) o g( x)
=
⎝ 2 ⎠ 2
2
2
c)Prvo nađemo f − 1
( x)
.dakle kako je f ( x ) = 3x − 1
−1
− x + 1
to je x = 3f ( x) −1 f 1 ( x)
=
3
−1
−1
−1⎛13
− 3x ⎞
a onda f ( x) o g( x) = f ( g( x)
) = f ⎜ ⎟ =
⎝ 2 ⎠
13 − 3x 13 − 3x + 2
+ 1
2
2 15 − 3x 3( 5 − x)
5 − x
− 5 − x
= =
= = = Dakle f 1
( x) o g( x)
=
3
3 6 6 2
2
je ( )

Kemal Halilović,profesor matematike Brčko 2
⎛ x − 3 ⎞ x + 1
4.Riješiti funkcionalnu jednačinu: f ⎜ ⎟ =
⎝ 2x + 4 ⎠ 3x −1
x − 3
Rješenje:Ako uvedemo snjenu = t i riješimo po x dobićemo
2x + 4
x − 3
= t ⇔ x − 3 = ( 2x + 4)t
x − 3 = 2xt + 4t ⇔ x − 2xt = 4t + 3 x ( 1−
2t) = 4t + 3
2x + 4
4t + 3
4t + 3 + 1−
2t
+ 1
4t + 3 ⎛ x − 3 ⎞ x + 1
x = Sada je f
f ( t) 1−
2t
f ( t)
1−
2t
⎜ ⎟ = ⇔ = ⇔ =
1−
2t ⎝ 2x + 4 ⎠ 3x −1
4t + 3
12t + 9 −1+
2t
3 −1
1−
2t
1−
2t
2t + 4 2
( )
( t + 2)
t + 2
x + 2
f t = = = Pa je rješenje: f ( x)
=
14t + 8 2( 7t + 4) 7t + 4
7x + 4
5.Odrediti funkcije f(x) i g(x) koje zadovoljava sistem:
2
( 2x + 1) + g( x −1) = x ∧ f ( 2x + 1) − 2g( x −1) 2x
f =
Rješenje:Napišimo ovaj sistem malo drugačije možda će nam biti jasnije:
f 2x + 1 + g x −1
= x
f
( ) ( )
2
( 2x + 1) − 2g( x −1) = 2x
Sada je jasno da je ovo sistem jednačina sa dvije nepoznate pa ga možemo rješavati:
f ( 2x + 1) + g( x −1)
= x ⎫ ⎧f
( 2x + 1) + g( x −1)
= x ⎫
2
3g( x 1) x 2x
2 ⎬ ⇔ ⎨
2 ⎬ ⇒ − = −
f ( 2x + 1) − 2g( x −1) = 2x /( −1)
⎭ ⎩−
f ( 2x + 1) + 2g( x −1)
= −2x
⎭
2
x − 2x
g
3
2
2
t + 1−
2 − 4t − 2t − 2t − 3t −1
g( t)
=
3
3
Na sličan način nađemo i f(x):
f
f
f
f
( x − 1)
= Uvedemo li smjenu x-1=t biće g( t)
1
= .
3
2
= tj g( x) − ( 2x + 3x + 1)
( 2x + 1) + g( x −1)
=
( 2x + 1) − 2g( x −1)
( 2x 1)
x
/ 2
= 2x
⎫ ⎧2f
⇔
⎭ ⎩f
( 2x + 1) + 2g( x −1)
( 2x + 1) − 2g( x −1)
= 2x⎫
⇒
= 2x ⎭
t + 1−
2
=
3
2
( 2x + 1) = 2x + 2
2 ⎬ ⎨
3f
x
2 ⎬
2x
2
+ 2x
+ = Uvedemo li smjenu 2x+1=t biće x
3
2
2
t + 2t + 1 t + 2t + 1−
2t − 2
2 − t −1
2
4
2 t −1
=
= f x
3
3
6
t + 1
2
= f ( t)
1
= .
6
( t)
= tj ( ) ( x
2
−1)
( t + 1)
⎛ t + 1⎞
t + 1
2⎜
⎟ − 2
⎝ 2 ⎠ 2
=
3
2
2
*****moguće
su pogreške******