Osnovni pojmovi.Iskaz, Osnovni pojmovi.Iskaz,definicija, aksioma ...

Osnovni pojmovi.Iskaz,definicija, aksioma, teorema, dokaz, potreban i
dovoljan uvjet(uslov).
U svakoj nauci,pa i u matematici, mora se početi od nekih pojmova koji se ne
objašnjavaju,a čije nam je značenje poznato ili smo kroz iskustvo saznali, i nazivamo ih:
Osnovnim pojmovima.
Osnovni pojmovi u matematici su:skup,tačka,prava,ravan,između,podudarno i još neki.
Ostali pojmovi se objašnjavaju pomoću definicija.
Definicija je ispravna ako nepoznati pojam objašnjava pomoću osnovih ili već objašnjenih
pojmova.
Osim definicija koje su u biti rečenice imamo i rečenica kojima se iznose neka naša
razmišljanja ili konstatacije.Ove rečenice se nazivaju ISKAZIMA i mogu biti tačne ili
netačne.
Primjere možemo sami praviti:Danas sija sunce.Ja sam odličan đak.Dva plus dva je pet.
Sve su ovo iskazi koji možemo obilježavati malim slovima:a,b,c,....,p,q,r, itd.
Tako npr. p:Kvadrat ima pet jednakih stranica. q:tri plus dva je pet.
Jasno je da je prvi iskaz netačan,a drugi tačan.Ova konstatacija se može i
zapisati:τ(p)=+ i τ(q)= *
Dakle,grčko slovo tau(τ) označava istinitosnu vrijednost nekog iskaza a znaci * i + da li
je ona tačna ili netačna.Evo još primjera: :τ(trougao ima sve uglove po 90 stepeni)=+
τ(2+3=5)= *
itd.
Sa iskazima možemo praviti složene iskaze ili formule.
1. Ako dva iskaza vežemo rječicom ¨ i ¨ nastaje konjukcija:p∧q.
2. Ako dva iskaza vežemo rječicom ¨ ili¨ nastaje disjukcija:p∨q.
3. Ako dva iskaza vežemo rječicom ¨ slijedi¨ nastaje implikacijaa:p⇒q.
4. Ako dva iskaza vežemo rječicom ¨ ekvivalentno¨ nastaje ekvivalencija:p⇔q
Iz tabelae se vidi vrijednost složenog iskaza u zavisnosti od
vrijednosti iskaza od kojih je sastavljen i veze između njih.
∧ * +
* * +
+ + +
∨ * +
* * *
+ * +
⇒ * +
* * +
+ * *
⇔ * +
* * +
+ + *
ili
p q p∧q p∨q p⇒q p⇔q ¬p ¬q
+ + + + * * * *
+ * + * * + * *
* + + * + + + +
* * * * * * + +
Još ćemo dodati jedan operator nad jednim iskazom.To je operator negacija koja se piše
¬ i određuje suprotnu vrijednost nekom iskazu.
Pokušajmo sada gledajući u date tabele izračunati vriednost nekog složenog iskaza:
((+∧¬+)⇔(*∨¬+))⇒(*∨+) Prvo radimo negaciju i zagradu na kraju,dakle

((+∧¬+)⇔(*∨¬+))⇒(*∨+)=((+∧*)⇔(*∨*))⇒*
sada radimo u malim zagradama
((+∧*)⇔(*∨*))⇒*=(+⇔*)⇒*=+⇒*=*
Prisjetimo se sličnog zadatka sa brojevima i operacijama: ((2+3)-(2+3))*(5+2)
Ako je neka formula sastavljena od iskaza obilježenih slovima onda ne znamo koja je
istinitosna vrijednost pojedinog iskaza pa moramo uzeti u obzir sve moguće vrijednosti,a
njih nije mnogo jer svaki iskaz može imati samo dvije vriednosti: + ili *.
Tako npr. uzmimo formulu F(p,q)=(q∧¬p)⇔(p∨¬q).Formula u sebi sadrži dva prosta
iskaza p i q.Sve moguće vrijednosti prikazane su u tabeli:
p q ¬p q∧¬p ¬q p∨¬q F=q∧¬p)⇔(p∨¬q)
+ + * + * + *
+ * * * + + +
* + + + * * +
* * + + + * +
Nadam se da su sada jasne ostale urađene tabele.
p q q⇒p p⇒q (q⇒p)∨(p⇒q)
+ + * * *
+ * + * *
* + * + *
* * * * *
A=(q⇒p)∨(p⇒q)
p q ¬q ¬q⇒p ¬p ¬p⇒q A
+ + * + * + +
+ * + * * * *
* + * * + * *
* * + * + * *
B=(p∧q)⇒¬(p∨¬q)
p q p∧q ¬q p∨¬q ¬(p∨¬q) B
+ + + * * + *
+ * + + + * *
* + + * * + *
* * * + * + +

G=¬(p⇒q)∨(¬p∨¬q)
p q p⇒q ¬(p⇒q) ¬p ¬q ¬p∨¬q G
+ + * + * * * *
+ * * + * + * *
* + + * + * * *
* * * + + + + +
K=¬(p⇒q)∨(¬p∧¬q)
p q p⇒q ¬(p⇒q) ¬p ¬q ¬p∧¬q K
+ + * + * * * *
+ * * + * + + +
* + + * + * + *
* * * + + + + +
M=(p∨q)∧r
N=(p∧q)∨r
p q r p∨q M p q r p∧q N
+ + + + + + + + + +
+ + * + + + + * + *
+ * + * + + * + + +
+ * * * * + * * + *
* + + * + * + + + +
* + * * * * + * + *
* * + * + * * + * *
* * * * * * * * * *
M=(p∨q)∧(p∨r)
M=( p⇒¬q)⇔(p∨r)
p q r p∨q p∨r M p q r ¬q p⇒¬q p∨r M
+ + + + + + + + + * * + +
+ + * + * + + + * * * * *
+ * + * + + + * + + * + +
+ * * * * * + * * + * * *
* + + * * * * + + * * * *
* + * * * * * + * * * * *
* * + * * * * * + + + * +
* * * * * * * * * + + * +

M=(¬p∧r)∨(¬q∧r)
p q r ¬p ¬q ¬p∧r ¬q∧r M
+ + + * * + + +
+ + * * * * * *
+ * + * + + + +
+ * * * + * + *
* + + + * + + +
* + * + * + * *
* * + + + + + +
* * * + + + + +
Značajno mjesto u Logičkoj algebri imaju DeMorganovi obrasci:
M=¬ (p∧q) ⇔ (¬p∨¬q)
M=¬ (p∨q) ⇔ (¬p∧¬q)
p q p∧q ¬q ¬p ¬p∨¬q M p q p∨q ¬q ¬p ¬p∧¬q M
+ + + * * * * + + + * * * *
+ * + + * * * + * * + * + *
* + + * + * * * + * * + + *
* * * + + + * * * * + + + *
Ako neka formula ima sve vrijednosti tačno ona se naziva TAUTOLOGIJA.
Lako možemo iz tablica zaključiti koja od datih formula jeste tautologija.
Uvijek tačan iskaz još se zove tvrdnja ili stav.
Aksiome,teoreme,dokazi
Istinitost nekog stava u matematici mora se dokazivati ili ako su polazište neke teorija
uzimaju se bez dokaza.U prvom slučaju govorimo o teoremama
a u drugom aksiomama.
U dokazivanju teorema služimo se različitim metodama a najpoznatije su:
Progresivni i indirektni način dokazivanja.
Dovoljan i potreban uvjet(uslov)
U svakodnevnom životu često upotrebljvamo riječi dovoljno i potrebno.I u matematici one
upravo znače ono što znače i u običnom životu,ako ih pravilno upotrebljavamo.Nešto je
potrebno ako bez njega nema ostvarenja cilja a ipak nije dovoljno za ostvarenje tog
cilja.Dovoljno uvjek i bez ičega drugom može ostvariti cilj.
******moguće su štamparske greške******