Skup cijelih brojeva Z

Kemal Halilović,profesor matematike Brčko 1
Skup cijelih brojeva Z
Skup Z čine svi prirodni brojevi,nula i negativni brojevi -1,-2,-3,....
Interesantno je da ovaj skup nema ni prvog ni posljednjeg člana.Prema principu
permanencije sva svojstva koja su bila u skup N prenose se u ovaj skup.Naravno neka
nova svojstva su prisutna u ovom skupu i biće prenesena u širi skup.
Za cijele brojeve se uvodi pojam apsolutne vrijednosti.
⎧x,
x ≥ 0
x = ⎨
⎩−
x, x < 0
Cijeli brojevi učeni su u osnovnoj školi.Operacije i zakoni su poznati.
Teorema(Arhimedova)
Ma kakva bila dva broja a>b mogu se odrediti dva broja q i r q∈Z,r∈N∪{0} tako da
je a=bq+r (0≤r≤b)
Na osnovu ove teoreme moguće je utvrditi jedan postupak ili algoritam(poznat kao
Euklidov algoritam) za određivanje NZD.
Teorema:
Ako su a i b cijeli brojevi i a=bq+r (0≤r≤b) tada je NZD(a,b)=NZD(b,r)
Na osnovu ove teoreme nalazimo veoma lako i efikasno NZD.
Npr. Naći NZD(255,132) podjelimo 255 sa 132 i dobijemo ostatak 123.Onda
možemo prema euklidovom algoritmu pisati:NZD(255,132)=NZD(132,123).Sada
postupak ponavljamo,podijelimo 132 sa 123 i dobijemo ostatak 9 pa važi:
NZD(255,132)=NZD(132,123)=NZD(123,9)
Sada dijelimo 123 sa 9 i dobijemo ostatak 6 pa je:
NZD(255,132)=NZD(132,123)=NZD(123,9)=NZD(9,6)
Sada dijelimo 9 sa 6 i ostatak je 3,pa možemo pisati:
NZD(255,132)=NZD(132,123)=NZD(123,9)=NZD(9,6)=NZD(6,3)
Napokon dijeljenjem 6 sa 3 nema ostatka pa je NZD(255,132)=3.
ZADACI:
1.Odrediti vrijednost izraza: − 7 + − 3 − −1
+ 5 −11
Rješenje: − 7 + − 3 − −1
+ 5 −11
=7+3-1+6=15
2.Riješiti datu jednačinu sa apsolutnim vrijednostima:
a ) x − 4 + 3 = 18 b )5 + x − 6 = 17
Rješenje:
a ) x 4 + 3 = 18
− => x − 4 = 15 ⇔ ( x − 4 = 15 ∨ x − 4 = −15) ⇔ ( x = 19 ∨ x = −11)
+ x − 6 17 => x − 6 = 12 ⇔ ( x − 6 = 12 ∨ x − 6 = −12) ⇔ ( x = 18 ∨ x = −6)
b )5 =
2 3
n n n
2.Dokazati da izraz + + cijeli broj za svaki paran broj n.
12 8 24
Dokaz:kako treba dokazati za parne brojeve to stavimo da n=2k pa će biti
2 3
2 3
2 3 3 2
2
n n n 2k 4k 8k k k k 2k + 3k + k k( 2k + 3k + 1) + + = + + = + + =
=
=
12 8 24 12 8 24 6 2 3 6
6
k ( 2k + 1)( k + 1)
= .Brojnik je djeljiv sa dva a da li je sa tri treba dokazati uzimajući za
6
k=3m,k=3m+1,k=3m+2.Uprvom slučaju je odmah jasno.Za k=3m+1 dobijamo da je 2k+1

Kemal Halilović,profesor matematike Brčko 2
djeljivo sa 3.I u trećem slučaju k+1 je djeljivo sa 3. Dakle brojnik ovog razlomka je djeljiv
sa 6 pa je ukupan trezultat cijeli broj,što je i trebalo dokazati.
a a + 1 a
3.Odrediti sve cijele brojeve a i b za koje je + = .
b + 1 b b
Rješenje:Jasno je da ne može biti b=0 i b=-1.Ako se oslobodimo razlomka biće:
ab + ( a + 1)( b + 1) = a( b + 1) ⇔ ab + b = −1
⇔ b( a + 1) = −1
Iz ovako dobije veze vidi se da proizvod dva cijela broja treba da bude -1 To je jedino
moguće u dva slučaja:b=-1 i a=0 ili b=1 i a=-2 Kako ne može bitib=-1 to ostaje da je
b=1 i a=-2.
14x
+ 5 17x − 5
4.Postoji li cijeli broj x za koji bi brojevi i bili oba cijeli.
9 12
14x
+ 5 9x + 5x + 5 17x − 5 12x + 5x − 5
Rješenje:Preuredimo date razlomke =
i =
tj
9 9 12 12
14x
+ 5 5( x + 1) 17x − 5 5( x −1)
= x + i = x + .a bi razlomci bili oba cijeli brojevi moralo
9
9 12 12
bi biti: x + 1 = 9k ∧ x −1
= 12m
Ako eliminiramo x ostaće nam veza 9 k −12m
= 2 ili
3 ( 3k − 4m) = 2 U zagradi bilo koji cijeli broj zajedno sa 3 ne može nikad dati 2 pa
prema tome ne postoji cijeli broj x za koji bi oba razlomka bila cijeli brojevi.
5.Ako se proizvod četiri uzastopna cijela broja poveća za 1 dobije se kvadrat nekog
cijelog broja.Dokazati.
Dokaz:Neka su n,n+,n+2,n+3 četiri uzastopna cijela broja tada treba dokazati da se:
n ( n + 1)( n + 2)( n + 3) + 1 može pisati kao kvadrat nekog cijelog broja.pokušajmo
preurediti ovaj izraz tako da dobijemo cijeli izraz na kvadrat.Dakle:
2
2
2
2
n n + 1 n + 2 n + 3 + 1 = n + 3n n + 3n + 2 + 1 = n + 3n n + 3n + 2 + 1
( )( )( ) ( )( ) ( )[( ) ] =
2 2
2
2
2 2
( n 3n) + 2( n + 3n) + 1 = [( n + 3n)
+ 1] = ( n + 3n + 1) 2
+ što je trebalo i dokazati.
2
⎛ a + 2 + a + 2 ⎞ ⎛ a + 2 − a + 2 ⎞
2
6.Dokazati: ⎜
⎟ ⎜
⎟
+
= a + 4a + 4
2
2
⎝
⎠ ⎝
⎠
Dokaz:
2
2
2
( + 2) + 2( a + 2) a + 2 + ( a + 2 ) ( a + 2) − 2( a + 2) a + 2 + ( a + 2 )
a
2
4
+
2
2
2
( + 2) + 2( a + 2) a + 2 + ( a + 2 ) + ( a + 2) − 2( a + 2) a + 2 + ( a + 2 )
4
2
4
2
= a
a
2
2
( a + 2) + 2( a + 2 )
2
2
2
= a + 4a + 4
4
2
2
a + 2 + 2 a + 2
= a + 4a + 4
4
2
4( a + 2)
2
= a + 4a + 4
4
2
2
a + 4a + 4 = a + 4a + 4
( ) ( )
2 2
2
= a
+ 4a + 4
+ 4a + 4
*****moguće
su pogreške******