Predavanja7

• Ispitivanjem je pokazano da se greške pokoravajunormalnom (prirodnom) zakonu raspodele verovatnoće,e,kada ispunjavaju sledeće e uslove:slučajne greške su međusobno nezavisni događaji,greška jedne vrednosti ima verovatnoću,p(x i ),verovatnoća a pojavljivanja manjih grešaka, veća a je odverovatnoće e većih grešaka, iverovatnoća a jednakih vrednosti, , a suprotnog znakajednako su verovatne;• Kako se u realnim uslovima i na manjem broju uzorakamogu pojaviti greške koje ove uslove ne ispunjavaju, to jepotrebno izvršitiiti proveru saglasnosti hipoteza u pogledupredpostavljene raspodele verovatnoće;e;

Hipotetičke procene parametara raspodelraspodele verovatnoćaispitivanog uzorka, iz date populacije, prihvatljive susamo ako ispunjavaju tri osnovna kriterijuma: Osnovanost(konzistentnost), Centriranosti Efektivnost(ili efikasnost).Procena je osnovana ako se povećanjem broja merenjau uzorku procena najverovatnije vrednosti približavapravoj vrednosti merene veličine;ine;Procena je centrirana ako matematičko očekivanje oprocenjenog parametra teži i pravoj vrednosti, M[â]a;Procena je efikasna ako ima minimalnu dispeziju,odnosno D[â]min. min.;

Centriranost procenaStepen ili mera nesaglasnosti između ostvarenogrezultata merenja i prave (ciljaneili referentne) vrednostidefiniše se kvantitativnimim pojmomom "necentriranost"(engleski: unbiased; ruski: несмещениеие);Kako u srpskom jeziku nema adekvatnog termina kojimbi se ovaj pojam predstavio u duhu datih stranih termina,to se značenjeovog pojma može opisno dati;Necentriranaprocena pokazuje da statističkasrednjavrednost ispitivanog uzorka najverovatnije nije blizuprave vrednosti;S druge strane, centriranost znači da ne postojiodstupanje (pomeraj) date procene od prave vrednosti,što praktično znači i da ne postoje sistematske greške;

Centriranost procenaNa primeru gađanja u metu ilustrovan je pojam"centriranostii necentriranosti" sa stanovištastatističkeraspodele pogodaka u odnosu na centar kružnemete.Pogoci sunecentriraniPogocisu centriraniProcena tačnostigađanja biće centrirana ako jearitmetičkasredina pogodaka u okolini centra mete;Akoaritmetičkasredina pogodaka na određenojudaljenosti od centra mete procena će biti necentrirana;

Efektivnost proceneEfektivnost procene je ispunjena ako je disperzijeprocenjenog parametra minimalna, odnosno1N2 xˆ a minD xˆiNi1igde je ɑ - najverovatnija vrednost merene veličineine.Minimalnavrednost disperzije dobija se primenom izvodaaNi1odakle se dobija2xˆ a 2xˆ 2Na 0iaNi11NiDrugi izvod disperzije po promenljivoj ɑ je 2N, pa jeekstremum maksimum, jer je N>0;Ni1xˆi

Efektivnost proceneDisperzija ima minimum ako je parametar a aritmetičkasredina uzorka, odnosnoa1NNi1xˆi1NN 1 Mi1 k 1čimeje potvrđeno da je aritmetičkasredina uzorkapopulacije, x i zaista najverovatniji rezultat merenja;Ova pretpostavka poslužilaje Gauss-u pri utemeljenjusvoje teorije grešakaaka, uzimajući ovaj stav za aksiom.N1RelacijaDxˆi 2xˆi a minNi1dobila je naziv "metodnajmanjih kvadrata",kao osnovnametoda u fitovanju statističkihpodataka sa zadatimoblikom polinoma;Mxk1NNi1xx

Zaključak:ak:1. Procena ispunjava uslov u pogledu osnovanosti, ako se sapovećanjembroja ponovljenih merenja do N, vrednostprocene približavapravoj vrednosti veličineine koja seprocenjuje;2. Procena ispunjava uslov u pogledu centriranosti ako jematematičkoočekivanje jednako najverovatnijoj vrednostimerene veličineine;3. Procenaje efektivna ektivna (ili efikasna) ako je procenjenavrednosti njene disperzije minimalna;4. Naravno, kod procena se podrazumeva da u rezultatimamerenja ne postoji sistematska greška;

Tipičneraspodele verovatnoćeslučajnihveličinainaU teoriji grešaka karakteristične su sledeće e raspodeleverovatnoće e greške:Ravnomerna (pravougaona) raspodelaNormalna (Gausova) raspodela slučajneveličineine 2 ("Hi-kvadratkvadrat")- raspodela slučajneveličineineStudentova t-raspodelaslučajneveličineine

Ravnomerna (pravougaona) raspodelaSlučajnaveličinaina X pokorava se ravnomernoj raspodeli naintervalu x 1

Ravnomerna (pravougaona) raspodelaMatematičkoočekivanje- centar raspodele:aMXx 1 x 22Ap(x)x 10 ax 2xDisperzija D[x], odnosno srednjekvadratno odstupanje 222x22 1 D X x x21 22 x a pxdx x a dxSmenom x-a=u, dx=du, u 1 =x 1 -a, u 2 =x 2 -a i zamenom a, graniceintegrala postaju u 1 =(x 1 -x 2 )/2=-w/2i u 2 =(x 2 -x 1 )/2=w/2w/2, odnosno uintervalu 0 do w, vrednost integrala jex1 xx2x1x a2dx1ww0u2du11wu33w0w32x1x2 x1212

Primeri primene ravnomerne raspodelePrimer 1: Ako su sve tabličnevrednosti neke funkcijezaokruženeciframa iste najmanje težineine, x, onda svaki brojsadrži greškuslučajnogkaraktera sa ravnomernomraspodelomom verovatnoće u intervalu x-1

Gausova raspodela slučajnegreškeAnalitičkioblik zakona raspodele gustine verovatnoćepojavljivanja kontinualne slučajneveličineine p(x), poznatkao Gausova raspodela, dat je relacijompxx1 22e2;- Vrednost koeficijenta 1/ 2π određena je iz uslova da jeverovatnoća slučajneveličineine x u intervalu od - < x < ++jednaka jedinici, odnosnoxpxdxe2x2dx2

Funkcija gustine Gausove raspodeleFunkcija gustine Gausove raspodeleverovatnoće p(x)ima oblik kao na slici:0,4p(x)Ovafunkcija je simetričnau odnosu nacentar raspodele za x=0, sa maksimumom0,4i sa dve prevojne tačkeza x = 1; -3 -2 -1 0 1 2 3x• Za graničnene vrednosti slučajnepromenljive xkrivaraspodele asimtotski se vrlo brzo približavax-osi;• Na primer, za x=3, p(3)=0,0044, već za x=4, vrednostp(4)=0,00013.• Kako je p(x) parna funkcija to se dobijaju iste vrednostiza p(-3) i p(+3);

Funkcija Gausove raspodeleFunkcija raspodele verovatnoće F(x) je integralifunkcije gustine verovatnoće p(x),tj. :Fxxxdxi spada u klasu nesvojstvenihintegrala.pZa određivanje verovatnoće koristise tablica specijalne funkcije oblikax x2 2x e2 2dx0,4-3 -2 -1 0 1 2 3čiji je grafik prikazan na slici: -11p(x)(t)-3 -2 -1 0 1 2 3xt

Funkcija Gausove raspodeleNumeričkevrednosti integrala (t)za nekoliko vrednosti argumenta=0-3 date su u Tabeli.tdx;Grafikfunkcije ovog integralaraspodele verovatnoće je neparnafunkcija, odnosno (-t) ) = -(t), pa jedovoljno tabličnodati vrednostisamo za pozitivne vrednosti x.2t x2 2e2tt0,000,100,200,300,400,501,001,101,201,301,401,50(t)0,00000,07970,15850,23580,31080,38290,68270,72870,76990,80640,83850,8664t1,601,701,801,902,402,502,602,702,802,903,00(t)0,89040,91090,92810,94260,98360,98760,99070,99310,99490,99630,9973

Matematičkoočekivanjei disperzijaZa x>0, matematičkoočekivanjefunkcije raspodeleverovatnoće je nula, tj. M[x]=0.Dokaz:Mx12xexi predstavlja centar raspodele.22 2222dx xe dx lim xe dx 022N Za x>0, vrednost centralncentralnogmomenta drugog reda ilidisperzije, po definiciji, jednaka je jedinici, tj. D [x]=1.0x2N0x2Dokaz: D x12x2e2x2dx220x2e2x2dx224 1/23/21

Normalna (standardna) raspodela verovatnoćeGausova raspodela verovatnoće veličineine x označavaava se i kaoN(0,1) (0,1), što znači da je za datu raspodelu matematičkoočekivanjem X =0 i disperzija D[x]=]= 2 (x)=1.U teoriji grešakaod značajaaja je Normalna(standardnatandardna)raspodela sa necentriranim momentomkoji predstavljanajverovatniju vrednost slučajnegreškeke.U standardnoj raspodeli gustine verovatnoće umestovrednosti x koristi se relativni odnos (x-a)/, kaonormalizovana vrednost, tako da jex1xa1 2 2za koju važi da je M[x]=a i D[x]= 2 .e2

Normalna (standardna) raspodela verovatnoćeDijagraminormalne raspodele gustine verovatnoće N(a;) iN(0,) za različiteite vrednosti , prikazani su na slikama:0,8 a;(x)0,8 0; (x)0,4 = 0,50,4 = 0,50,2 = 10,2 = 1 = 2 = 2x=aX-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4X• Dijagrami pokazuju uticaj parametra na oblik raspodeleverovatnoće slučajnih grešaka u odnosu na centarraspodele;

Normalna (standardna) raspodela verovatnoće1. Štoje manja vrednost , manje je i rasipanje slučajnihvrednosti oko centra raspodele, , i obrnuto;2. Parametar poznat je pod nazivima: standardnoodstupanje ili standard (ilisamo "sigma");3. Ako centar raspodele nije nula, tj. a 0, onda sudijagrami simetrični u odnosu na vrednost, M[X]=]=a;4. Parametri(a; ) normalne raspodele karakterišu centarraspodele i rasipanje, odnosno disperziju slučajnihveličinaina;5. Slučajnaveličinaina, X, sa normalnom zakonu raspodeleverovatnoće N(a;) jeste linearna funkcijanormalizovane slučajneveličineine X 0 , odnosno X=a+X 0 ;

Normalna (standardna) raspodela verovatnoćeStandardno o odstupanje kao karakteristični parametarnormalne raspodele greške koristi se za izračunavanjeverovatnoće e iz tabele (t), , na primer;P(a-3

2 ("hi-kvadratkvadrat")- raspodelaSlučajneveličineine ove raspodelraspodele e su 2 k (hi-kvadrat) sa k -stepena slobode date u oblikuX=X 12 + X 22 + X 32 +...+X n2 = k2 ,gde su X i - slučajneveličineine sa normalnm raspodelomom N(0;1) (0;1);Funkcija gustine raspodele verovatnoće, k2 =X k2 , kojazavisi samo od broja stepena slobode, k=N-1, data jerelacijomk x 12 2 X e; X 0 kf X ,k k 2 2 2 0;X 0(p) - Ojlerova gama funkcija: p1p0xexdx

Funkcija 2 k -raspodele• Dokazuje se da su matematičko očekivanje i disperzija k2 -raspodele:M[X]=k i 2 [X]=2k.Oblik funkcije gustine verovatnoće f( k2 ), za tri vrednostistepena slobode (k=2; 4; 10):f(X,k)= f( k2 )0,50 k=20,25k=4k=1004 8 12 16 18 k2

Bitne karakteristike hi-kvadratraspodelef(X,k)= f( k 2 )Bitne karakteristike hi-kvadratraspodele, kao posebnogslučajagama-raspodeleraspodele, su:0,50 k=20,25k=4k=10Asimetričnost,04 8 12 16Povećanjembroja, k, transformiše se u serijuraspodela: Releja, Puasona, Maksvela, Pirsona i dr.,Kadase broj stepeni slobode znatnije povećavaava,asimptotski se približavanormalnoj raspodeli, iSa povećanjembroja stepeni slobode, maksimumfunkcije gustine raspodele verovatnoće opada, k2

Studentova t-raspodelaverovatnoćeStudentovom t-raspodelomnaziva se raspodela odnosagde je veličinaina X sa normalnom raspodelom N(0;1)isa funkcijom gustine raspodele 0;1 (x) -Gausoveraspodele.Funkcija gustine raspodele slučajneveličineine t, čijijebroj stepena slobode k=N-1, ima oblikftk1kgde je - već pomenuta Ojlerova gama-funkcija.Matematičkoočekivanjei disperzija dateraspodele susu: 0;zak 2;2 kX ; za k 3.M Xσ k 1 2 1 k 2 k2k1-t 22 ; - t2 ktkX 2kWilliam S. Gossetlived from 1876 to 1937Gosset invented (1908) the t -test to handle small samplesfor quality control in brewing.He wrote under pseudonym"Student".k

Studentova t-raspodelaverovatnoćeOva raspodela je od značajaaja kada se procenjujenajverovatnija vrednost a, na bazi manjeg broja ponovljenihrezultata merenja i kada nije poznata disperzija, 2 .Funkcija gustine t -raspodeleje unimodalna (ima samojedan maksimum), monotona i simetričnana.Grafik funkcije je sličangrafiku funkcije gustine normalneraspodele, ali zavisi od broja stepeni slobode.Povećanjembroja stepeni slobode Studentova raspodela seasimptotski približavanormalnoj raspodeli.Vrednosti parametra t za tipičneverovatnoće P i brojastepena slobode k=N-1, daju se tabelarno.

Studentova t-raspodelaslučajneveličineine (2)0,20,4f(t k )k=10k=4k=2-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4Dijagrami Studentove raspodeleza različite vrednosti kZa N=15, t=14 i P=0,98, sledida je f(k,P)=2,624.t kk=N-123456789101112131415161820Vrednosti parametra Studentovet-raspodele za t k=f(k=N-1, P)P=0,902,9202,3532,1322,0151,9431,8951,8601,8331,8121,7961,7821,7711,7611,7531,7461,7341,725P=0,954,3033,1822,7762,5712,4472,3652,3062,2622,2282,2012,1792,1602,1452,1312,1202,1032,086Verovatnoća, P0,986,9654,5413,7473,3653,1432,9982,8962,8212,7642,7182,6812,6502,6242,6022,5832,5522,528P=0,999,9255,8414,6044,0323,7073,4993,3553,2503,1693,1063,0553,0122,9772,9472,9212,8782,845P=0,99931,59812,9418,6106,8595,9595,4055,0414,7814,5874,4374,3184,2214,1404,0734,0153,9223,850

Procena intervala poverenja(intervalneprocene)Procene parametara slučajneveličineine određene iz jednoguzorka date populacije daju kao rezultat jednu brojnuvrednost, tzv. "tačkastu" procenu,Tačkasta procena takođe predstavlja slučajnuveličinuinu kojase kao i izvorna populacija pokorava normalnom zakonuraspodele verovatnoće.Kako je ispitivani uzorak, ipak, sa ograničenimbrojemrezultata ispitivanja, jasno sledi da se vrednosti takodobijenih procena mogu znatno razlikovati od pravevrednosti parametra koji se procenjuje.

IntervalneproceneU tom slučajuvrednosti procenjivanog parametra mogu senaći u granicama određenog intervala sa zadatomverovatnoćomom.Procene granica intervala mogućihvrednosti parametarapoznate su u statistici kao intervalne procene parametararaspodele.Tako procenjeni interval, bez obzira na jasno značenjeenje, , udomaćojoj literaturi koristi se pod nazivom i kao pouzdaniinterval ili interval pouzdanosti.Ako je u engleskom jeziku pod nazivom confidence interval,od latinske reči confidentia, ili u ruskom jezikuдоверительный интервал, onda je korektnije da usrpskom jeziku taj interval ima naziv interval poverenja.

IntervalneproceneKod procene intervala poverenja srednje vrednosti rezultatamerenja, karakterističnasu dva slučajau pogledu disperzijeispitivanih uzoraka merenja:a) disperzija 2 je poznata,b) disperzija 2 nije poznataPri poznatojoj vrednostidisperzije 2 , zadata verovatnoća a jePx atNza koju se iz Tabele za (t)određuje se parametar t,odnosno granice intervala poverenja: tNt

IntervalneproceneKada je disperzija 2 nepoznata, onda je intervalpoverenja prave vrednosti merene veličineine a određengranicama koje ne zavise samo od proceneaˆ x , već iod procene srednje kvadratne greške;e;Kod ograničenenogbroja ponovljenih rezultata merenja N,koristi se funkcija raspodele sa ograničenimstepenomslobode k=N-1, konkretno Studentova t-raspodela;a;Parametar t k , gde je k=N-1, , dat u normalizovanom oblikut Nx a1 N 1sxˆaNpokorava se Studentovoj t-raspodeli, f k (x), sa k stepenaslobode;

IntervalneproceneParametart k , za zadatu verovatnoću P i broja stepenislobode k=N-1, u relaciji za verovatnoćuPxatksN12tk0fkxdxdobija se iz Tabele Studentove t-raspodeleverovatnoćeza date vrednosti stepena slobode;Za procenjenu disperziju, s, intervalpoverenja pravevrednosti merene veličineine, a, određen je granicamaa=x, , gde je t ksN 1

Interval poverenja disperzije merene veličineine - 2Kada centar raspodele a nije poznat, onda se u proceniintervala poverenja disperzije koristi procenjena vrednoststandardne devijacije;Procenjenavrednost standardne devijacije dobija se izprocenjene vrednosti centra raspodele kao srednjevrednosti rezultata ispitivanja, prema relacijiŝ21N 1Nx ixi1Prema tome, interval poverenja procenjene standardnedevijacije (u 1 i u 2 ) za datu verovatnoću P i broja stepenaslobode k=N-1 određen je parametrima 2 -raspodele;2

Merna nesigurnost prema NIST-uU nastojanju da se unificira kvalifikacija, ne samo grešakaslučajnogkaraktera, već i "ostatka"ostatka" nekorigovanihsistematskih grešakaaka, NIST je propisao Uputstvo zaprocenu merne nesigurnosti rezultata merenja;Guidelines for Evaluating and Expresing the Uncertainty ofNIST Measurement Results, NIST Technical Note 1297,1994 EditionUputstvom se propisuje postupak procene standardnenesigurnosti dve kategorije komponenata greškei to:grešketipa A - koje se procenjuju statističkimmetodama igrešketipa B - koje se procenjuju drugim metodama.