1. Na kaj vplivata oblika in tekstura povr{ine agregata ... - Student Info

PRIMER RAČUNSKEGA IZPITAOpomba:Računske in laboratorijske vaje pri predmetu Gradiva se izvajajo v letnem semestru študijskega leta. Naizpitnem roku pri računskem oziroma II. delu izpita študent pisno odgovarja na pet vprašanj, ki so potočkovanju enakovredna. Vprašanja pokrivajo vsebino računskih in laboratorijskih vaj. Običajno so tri (ali padva) vprašanja opisna in so vezana na laboratorijske vaje. Dve (ali pa tri) vprašanji pa sta sestavljeni kotračunski nalogi in sta vezani na primere, ki jih obravnavamo pri računskih vajah.FGG – GRADIVAIZPITNI ROK: ____________ - II. delIme in priimek: ________________________Vpisna številka: ________________________1. NALOGA (vprašanje iz laboratorijskih vaj)Na kaj vplivata oblika in tekstura površine agregata? Kako razvrstimo agregatna zrna po obliki? Katere metode določanjaoblike zrn agregata poznate? Opišite glavne značilnosti teh metod in natančno pojasnite način izločanja reprezentativnegavzorca z najmanj 100 zrni iz frakcije kamenega agregata, ki jo preiskujemo.2. NALOGA (primer naloge iz računskih vaj)Izračunajte potrebne količine materiala za 100 litrov standardne cementne malte in težo cementne malte, ki smo jovgradili v tridelni kalup za izdelavo prizem za preverjanje trdnosti cementa, če je delež zraka v sveži malti 2%.Podatki, ki jih potrebujete: specifična masa cementa ρ c 3,10 g/cm 3specifična masa standardnega peska ρ p 2,80 g/cm 3specifična masa vode ρ v 1,00 g/cm 33. NALOGA (vprašanje iz laboratorijskih vaj)Kako je definirana standardna konsistenca cementne paste? Zakaj morajo imeti vse cementne paste, na katerih določamozačetek in konec vezanja cementa ter stalnost volumna standardno konsistenco? Naštejte metode določanja stalnostivolumna cementov.4. NALOGA (primer naloge iz računskih vaj)Ko smo opečni zidak normalnega formata posušili v sušilnici do stalne mase, je znašala prostorninska masa zidaka 1650kg/m 3 . Nato smo zidak postopoma potopili v vodo, kjer je odležaval do konstantne mase m 0V =3,9 kg. Če predpostavimo,da je pri z vodo zasičeni opeki 80% votlin zapolnjenih z vodo, ostale pa z zrakom, določite:• poroznost zidaka,• vodovpojnost zidaka in• prostorninsko maso opečnega materiala (brez votlin).5. NALOGA (vprašanje iz laboratorijskih vaj)Kako se imenujeta pripravi, s katerima določamo viskoznost ogljikovodikovih veziv na podlagi empiričnih dognanj? Kajpodamo kot rezultat preskušanja pri prvi metodi določanja viskoznosti ogljikovodikovih veziv na podlagi empiričnihdognanj in kaj pri drugi? Na kratko opišite postopek določanja viskoznosti bitumnov s kinematično metodo.Vprašanje št. 1 2 3 4 5 SKUPAJŠtevilo točk1/142

46. Kako definiramo relativno gostoto agregata?47. Pojasnite pojem maksimalnega zrna agregata.48. Kakšen pomen imajo oblika zrn agregata, površinska tekstura agregata in njegovatrdnost?49. Kaj je to granulometrijska sestava agregata? Pojasnite pojme, ki jo opredeljujejo.50. S pomočjo standardiziranih diagramov granulometrijske sestave agregata pojasnite, vkaterih območjih morajo biti granulometrijske krivulje agregatov, s katerimi želimosestaviti beton ustrezne kakovosti.51. Kaj vpliva na kakovost agregata za pripravo betona. Pojasnite negativne vpliveposameznih primesi.52. Pojasnite, kako vpliva stopnja vlažnosti agregata na pripravo betonske mešaniceGRADBENA KERAMIKA IN STEKLO53. Pojasnite, katere so osnovne surovine za izdelavo gradbene keramike in kako njihovelastnosti vplivajo na tehnologijo izdelave keramičnih izdelkov.54. Pojasnite podobnost in razliko v nastajanju naravnih in umetnih gradbenih keramik.55. Naštejte in na kratko opišite glavne postopke za izdelavo keramičnih izdelkov.56. Opišite značilnosti surovin in postopka za izdelavo opečnih zidakov.57. Naštejte vrste opečnih zidakov in opišite njihove osnovne značilnosti.58. Katere vrste zidakov obravnava standard Eurocode 6?59. Kako Eurocode 6 medsebojno razlikuje zidake po njihovi kakovosti in obliki?60. Pojasnite, katere lastnosti opečnih zidakov in strešnikov so pomembne za gradbenoprakso?61. Pojasnite, zakaj in kako odprta poroznost opeke vpliva na postopek zidanja zidov?62. Pojasnite vpliv eflorescence in apnenih zrn na kakovost in trajnost opeke.63. Katere so osnovne surovine za izdelavo stekla in na katere njegove lastnosti vplivajo?64. Pri katerih vrstah stekla se v amorfnem okolju tvorijo kristali in kako to vpliva nalastnosti takega stekla?65. Naštejte in pojasnite osnovne značilnosti posebnih vrst stekel.66. Pojasnite oba postopka temperiranja in postopek laminiranja stekel.67. Naštejte vrste stekel, ki reagirajo na žarčenja in opišite njihove lastnosti.68. Naštejte možnosti uporabe steklenih vlaken in posebnih vrst stekel.69. Navedite tiste splošne značilnosti stekel, ki pridejo v poštev pri snovanju sodobnihkonstrukcij in izdelkov.70. Kaj so to ognjevzdržne keramike in iz katerih surovin jih izdelujejo?MINERALNA VEZIVA71. Katere vrste veziv poznate in v čem so si različna?4/142

72. Prikažite in pojasnite proces pridobivanja mavca.73. Navedite vrste mavca in pojasnite procese, pri katerih nastajajo.74. Kako se medsebojno razlikujejo vrste mavca in za kaj se uporabljajo?75. Pojasnite proces strjevanja mavca, pojem izdatnosti ter teoretično in dejanskokoličino vode, ki je potrebna za strjevanje.76. Katere faze ločimo pri izdelavi mavčnega izdelka in kako ugotavljamo trajanjeposamezne faze.77. Pojasnite razliko med gašenim, hidratiziranim in hidravličnim apnom.78. Prikažite in pojasnite spremembe mavca, ki nastopijo pri njegovem vezanju, innaraščanje njegove tlačne trdnosti med vezanjem.79. Narišite, opišite in pojasnite procese, ki tvorijo krog preobrazbe apna.80. Naštejte in opišite posamezne lastnosti apna.81. Opišite postopek proizvodnje portland cementa.82. Katere mineralne dodatke se dodaja klinkerju med mletjem.83. Iz katerih komponent je sestavljen cementni klinker in katere osnovne spojine jihtvorijo?84. Prikažite časovni potek naraščanja trdnosti posameznih mineralov cementa inpojasnite, kako lahko uravnavamo proces strjevanja.85. Pojasnite in na primeru prikažite sistem označevanja cementov po standardu SIST EN197-1:2001.86. Naštejte vrste cementov in mineralnih dodatkov kot jih navaja standard SIST EN 197-1:2001.87. Navedite trdnostne razrede cementov v skladu s standardom SIST EN 197-1:2001.88. Pojasnite razliko med portland cementom in aluminatnim cementom.89. Kako uravnavamo lastnosti portland cementov z različnimi dodatki in katere posebnevrste cementov poznate?90. Opišite proces hidratacije cementa.91. Opišite vrste por, ki nastajajo na prehodu koloidnega sistema v cementni gel.92. Prikažite razmere v cementni pasti pri vodocementnem količniku v/c = 0,38.93. Opišite in z diagramom prikažite razmere v cementni pasti pri različnih vrednostihvodocementnega količnika.94. Na kaj vpliva finost mletja cementa in kako jo določamo?95. Kaj je to standardizirana konsistenca cementne kaše in kako jo določamo?96. Prikažite in pojasnite časovni potek strjevanja cementne paste ter pojava lažnegavezanja in hitrega strjevanja.97. Prikažite in pojasnite razvoj hidratacijske toplote med vezanjem cementa in s tempovezane pojave krčenja cementne paste.98. Kaj vpliva na stabilnost prostornine cementne paste in kako jo preskušamo?99. Pojasnite pojem tečenja in prikažite ter pojasnite vpliv hitrosti obremenjevanja nadoseženo trdnost in modul elastičnosti cementnega kamna.100. Kako določamo mehansko trdost cementa?5/142

128. Opišite značilnosti in področja uporabe betonov visoke trdnosti.129. Kako pri konstrukcijskih betonih dosežemo hitro pridobivanje trdnosti?130. Kako znižamo škodljiv vpliv hidratacijske toplote pri masivnih betonih?131. Pojasnite postopke izdelave prepaktiranih, valjanih in zemljo-cementnih betonov.132. Pojasnite postopke brizganja betona in navedite področja njihove uporabe tudi vprimerih ferocementa in ob dodajanju mikroarmature.133. Navedite in na kratko pojasnite škodljive reakcije, ki v betonu nastanejo zaradiagresivnosti okolja.134. Pojasnite primere korozije armature zaradi poškodovanosti betona.135. Pojasnite, zakaj beton razpoka in kako ukrepamo v takih primerih.136. Prikažite vsaj pet primerov površinske zaščite betona.137. Kako Eurocode 2 obravnava betone?138. Kaj obravnava standard SIST EN 206-1 :2002 (sl)?KovineŽELEZOVE ZLITINE139. Prikažite shemo proizvodnje železa in jekla.140. Opišite postopek pridobivanja železa in jekla ter pri tem pojasnite razliko medBessemerjevim, Siemens-Martinovim, obločnim in oksidacijskim postopkom.141. Pojasnite pojem "pomirjenost jekla" in prikažite ter pojasnite razliko med stopnjamipomirjenosti jekla.142. Naštejte in na kratko opišite oblike jekla, ki se običajno dobijo na tržišču.143. Prikažite fazni diagram železo - ogljik (Fe - C) in obrazložite razliko med feritom,avstenitom in cementitom.144. S pomočjo diagrama pokažite in pojasnite vpliv količine ogljika v območju do 1,2%njegove vsebnosti na trdnost, trdoto in raztezek jekla. Shematično prikažite tudimikrostrukturo karbonskega jekla glede na vsebnost ferita, perlita in cementita.145. Pojasnite razliko med nizko in visoko karbonskimi jekli ter navedite, kako lahkospreminjamo njihove lastnosti.146. Naštejte skupine in opišite osnovne značilnosti sodobnih konstrukcijskih jekel, ki seproizvajajo v Sloveniji.147. Opišite značilnosti nerjavnih jekel in pojasnite razliko med feritnimi, avstenitnimi inmartenzitnimi jekli.148. Naštejte in opišite osnovne značilnosti ter razlike med vrstami litega železa. Posebejpojasnite, kako se iz sive litine dobi nodularna litina in kako se iz bele litine dobijokovne litine.149. Narišite in pojasnite posamezne odseke nateznega diagrama mehkega jekla.Pojasnite razliko med "tehničnim" in dejanskim nateznim diagramom.7/142

150. Pojasnite, kako se določa meja elastičnosti pri mehkih jeklih in pri jeklih, kjer tameja ni izrazita. Pojasnite tudi naslednje pojme: modul elastičnosti, žilavost induktilnost ter odvisnost mehanskih lastnosti jekla od temperature.151. Pojasnite, kako se označujejo konstrukcijska jekla po novih evropskih standardih EN10025:1993 in EN 10113:1993 ter kako se te oznake razlikujejo od oznak po standarduJUS C.B0.500.152. Opišite in skicirajte oblike jekla, ki se uporabljajo za armiranje betona.153. Kaj je to korozija železovih kovin in kaj je galvanski niz? Pojasnite, katera izmedštirih kombinacij kovin je najbolj in katera najmanj ugodna glede na nevarnostkorozije: (cink-železo, aluminij-jeklo, železo-jeklo, jeklo-baker).NEŽELEZOVE ZLITINE154. Shematsko prikažite in opišite proizvodnjo aluminija.155. Naštejte in na kratko opišite postopke, s katerimi se iz aluminijevih zlitin izdelujejopolizdelki.156. Zakaj so aluminijeve zlitine zelo uporabne v gradbeništvu? Pri tem pojasnite, kaj jeto specifična trdnost materiala ter grafično prikažite primerjavo med to lastnostjopri različnih jeklih in pri aluminijevih zlitinah.157. Kako povezujemo aluminijeve elemente v konstrukcijsko celoto in katere soprednosti aluminijevih zlitin pred jekli?158. Kaj obravnava Eurocode 9?159. Pojasnite razliko med medeninami in broni ter opišite osnovne značilnosti obeh zvrstizlitin.160. Kaj je to vroče pocinkanje in katere so prednosti zaščite jeklenih konstrukcij s tempostopkom?161. Pojasnite, za kaj se uporabljajo kositer, svinec in krom.162. Katere lastnosti magnezija, niklja in kroma določajo njihovo uporabnost in za kaj sete kovine največ uporabljajo?PolimeriUMETNE MASE163. Kaj so to polimeri in kako jih razvrščamo po njihovem nastanku?164. Pojasnite proces polimerizacije.165. Pojasnite razliko med termoplasti in duroplasti, ter še posebej lastnostielastoplastov.166. Kako razvrščamo polimere glede na medsebojno razmerje polimernih verig vzamreženi strukturi?167. Pojasnite, od česa so odvisne mehanske lastnosti različnih polimerov. Kaj je značilnoza kristalinske polimere in kaj za elastoplaste?168. Kako na mehanske lastnosti vpliva hitrost in stalnost obremenite in kako temperaturaokolja?8/142

169. Pojasnite, kaj vse vpliva na trajnost oziroma korozijo polimerov. Naštejte načinenjihovega propadanja in vzroke za propadanje.170. Naštejte in na kratko opišite tri primere polimerizacije v proizvodnih obratih in nagradbiščih.171. Pojasnite, kakšna je vloga dodatkov k osnovnim polimerom. Naštejte vrste dodatkovin pojasnite njihovo vlogo.172. Naštejte in na kratko opišite načine oblikovanja polimerov v kalupih.173. Pojasnite razliko med oblikovanjem polimernih izdelkov z iztiskanjem in valjanjem.174. Pojasnite postopek vlečenja, vlivanja in toplotnega vakumskega oblikovanjapolimerov.175. Naštejte področja uporabe polimerov v gradbeništvu.176. Navedite in opišite primere uporabe polimerov za konstrukcijske elemente.177. Kako in zakaj se polimeri uporabljajo za izdelavo cevi?178. Pojasnite razliko med polimernimi membranami in ponjavami ter opišite njihoveznačilnosti.179. Opišite uporabo polimerov za premaze.180. Navedite, zakaj se polimeri lahko uporabljajo za izdelavo lepil.181. Kako se polimeri uporabljajo za spreminjanje lastnosti betona in cementnih malt?182. Pojasnite postopek reciklaže polimerov s hidrolizo in pirolizo.OGLJIKOVODIKOVI MATERIALI183. Pojasnite sledeče pojme: ogljikovodikovo vezivo, bitumen, katran, asfaltni cement inasfalt.184. Pojasnite razliko med katrani in bitumni ter opišite značilne lastnosti vsakega izmednjih.185. Katere varnostne ukrepe moramo upoštevati pri uporabi katranov in bitumnov terpojasnite zakaj?186. Pojasnite pomen sprijemnosti ogljikovodikovega veziva s podlago.187. Kako se določa viskoznost bitumenskih veziv in kateri parametri vplivajo na njenovelikost? Katere vrste viskozimetrov poznate?188. Opišite lastnosti razredčenih ogljikovodikovih veziv, emulzij in veziv z dodatki gume.189. Pojasnite in grafično prikažite prostorninska razmerja komponent bitumenskihmešanic ter osnovne značilnosti treh karakterističnih struktur mešanic.190. Pojasnite naslednje pojme: obdelovalnost, trdnost, gibkost in trajnost bitumenskemešanice.191. Kako projektiramo sestavo bitumenske mešanice in kakšna je vloga bitumna vbitumenski mešanici?192. Navedite osnovne razloge za razširjenost uporabe bitumenskih mešanic in na kratkoopišite glavna področja njihove uporabe.193. Kakšna je vloga posameznih plasti v cestni konstrukciji in katere značilnostimaterialov za izdelavo te konstrukcije so pomembne pri posameznih plasteh?9/142

13/142

14/142

FGG – GRADIVAIzpit dne ...... - 1. delIme in priimek:Ocena:1. Pojasnite kaj je to Direktiva o gradbenih proizvodih (CPD), kaj so gradbeni proizvod, gradbeni objekt, bistvene zahtevein evropsko tehnično soglasje in kako je v Sloveniji udejanjena vključitev CPD v zakonodajo. (*glej str. 31 in 32)2. Navedite vrste in lastnosti mineralnih voln ter opišite njihovo proizvodnjo(* glej str. 52).3. Pojasnite in na primeru prikažite sistem označevanja cementov po standardu SIST EN 197-1:2001 (* glej str. 87).4. Pojasnite in grafično prikažite prostorninska razmerja komponent bitumenskih mešanic ter osnovne značilnosti trehkarakterističnih struktur mešanic (* glej str. 220).5. Naštejte in opišite lastnosti vseh vrst plošč, ki jih izdelujejo iz lesa in lesnih ostankov s povdarkom na OSB ploščah (*glej str. 276-278).1. NALOGA (vprašanje iz laboratorijskih vaj)Na kaj vplivata oblika in tekstura površine agregata? Kako razvrstimo agregatna zrna po obliki? Katere metode določanja oblikezrn agregata poznate? Opišite glavne značilnosti teh metod in natančno pojasnite način izločanja reprezentativnega vzorca znajmanj 100 zrni iz frakcije kamenega agregata, ki jo preiskujemo.2. NALOGA (primer naloge iz računskih vaj)Izračunajte potrebne količine materiala za 100 litrov standardne cementne malte in težo cementne malte, ki smo jo vgradili vtridelni kalup za izdelavo prizem za preverjanje trdnosti cementa, če je delež zraka v sveži malti 2%.Podatki, ki jih potrebujete: specifična masa cementa ρ c 3,10 g/cm 3specifična masa standardnega peska ρ p 2,80 g/cm 3specifična masa vode ρ v 1,00 g/cm 33. NALOGA (vprašanje iz laboratorijskih vaj)Kako je definirana standardna konsistenca cementne paste? Zakaj morajo imeti vse cementne paste, na katerih določamozačetek in konec vezanja cementa ter stalnost volumna standardno konsistenco? Naštejte metode določanja stalnosti volumnacementov.4. NALOGA (primer naloge iz računskih vaj)Ko smo opečni zidak normalnega formata posušili v sušilnici do stalne mase, je znašala prostorninska masa zidaka 1650 kg/m 3 .Nato smo zidak postopoma potopili v vodo, kjer je odležaval do konstantne mase m 0V =3,9 kg. Če predpostavimo, da je pri zvodo zasičeni opeki 80% votlin zapolnjenih z vodo, ostale pa z zrakom, določite:• poroznost zidaka,• vodovpojnost zidaka in• prostorninsko maso opečnega materiala (brez votlin).5. NALOGA (vprašanje iz laboratorijskih vaj)Kako se imenujeta pripravi, s katerima določamo viskoznost ogljikovodikovih veziv na podlagi empiričnih dognanj? Kaj podamokot rezultat preskušanja pri prvi metodi določanja viskoznosti ogljikovodikovih veziv na podlagi empiričnih dognanj in kaj pridrugi? Na kratko opišite postopek določanja viskoznosti bitumnov s kinematično metodo.15/142

PRIMER RAČUNSKEGA IZPITAOpomba:Računske in laboratorijske vaje pri predmetu Gradiva se izvajajo v letnem semestru študijskega leta. Naizpitnem roku pri računskem oziroma II. delu izpita študent pisno odgovarja na pet vprašanj, ki so potočkovanju enakovredna. Vprašanja pokrivajo vsebino računskih in laboratorijskih vaj. Običajno so tri (ali padva) vprašanja opisna in so vezana na laboratorijske vaje. Dve (ali pa tri) vprašanji pa sta sestavljeni kotračunski nalogi in sta vezani na primere, ki jih obravnavamo pri računskih vajah.FGG – GRADIVAIZPITNI ROK: ____________ - II. delIme in priimek: ________________________Vpisna številka: ________________________1. NALOGA (vprašanje iz laboratorijskih vaj)Na kaj vplivata oblika in tekstura površine agregata? Kako razvrstimo agregatna zrna po obliki? Katere metode določanjaoblike zrn agregata poznate? Opišite glavne značilnosti teh metod in natančno pojasnite način izločanja reprezentativnegavzorca z najmanj 100 zrni iz frakcije kamenega agregata, ki jo preiskujemo.2. NALOGA (primer naloge iz računskih vaj)Izračunajte potrebne količine materiala za 100 litrov standardne cementne malte in težo cementne malte, ki smo jovgradili v tridelni kalup za izdelavo prizem za preverjanje trdnosti cementa, če je delež zraka v sveži malti 2%.Podatki, ki jih potrebujete: specifična masa cementa ρ c 3,10 g/cm 3specifična masa standardnega peska ρ p 2,80 g/cm 3specifična masa vode ρ v 1,00 g/cm 33. NALOGA (vprašanje iz laboratorijskih vaj)Kako je definirana standardna konsistenca cementne paste? Zakaj morajo imeti vse cementne paste, na katerih določamozačetek in konec vezanja cementa ter stalnost volumna standardno konsistenco? Naštejte metode določanja stalnostivolumna cementov.4. NALOGA (primer naloge iz računskih vaj)Ko smo opečni zidak normalnega formata posušili v sušilnici do stalne mase, je znašala prostorninska masa zidaka 1650kg/m 3 . Nato smo zidak postopoma potopili v vodo, kjer je odležaval do konstantne mase m 0V =3,9 kg. Če predpostavimo,da je pri z vodo zasičeni opeki 80% votlin zapolnjenih z vodo, ostale pa z zrakom, določite:• poroznost zidaka,• vodovpojnost zidaka in• prostorninsko maso opečnega materiala (brez votlin).5. NALOGA (vprašanje iz laboratorijskih vaj)Kako se imenujeta pripravi, s katerima določamo viskoznost ogljikovodikovih veziv na podlagi empiričnih dognanj? Kajpodamo kot rezultat preskušanja pri prvi metodi določanja viskoznosti ogljikovodikovih veziv na podlagi empiričnihdognanj in kaj pri drugi? Na kratko opišite postopek določanja viskoznosti bitumnov s kinematično metodo.Vprašanje št. 1 2 3 4 5 SKUPAJŠtevilo točk16/142

17/142

18/142

FGG-GRADIVA-UNIIZPITNI ROK 214.01.2008 - II. delIme in priimek:Vpisna Stevilka:1. NALOGAOpisite postopek in izradun doloCanja prostominske mase agregata v zhitem in razsutem stanju. Zapisite, kako smodotodili odstotek votlin v razsutem stanju gle.de na zbito stanje agregata.2. NALOGAIz spodnjih podatkov nari5ite diagram dasovnega poteka kdenja cementne malte tako, da nanesete na X os starostmalte v dnevih, na Y os pa deformacijo zaradi krdenja malte v promilih [96o]. Graf-Kaufrnanov deformeter, spomodjo katerega ste dolodali krdenje prizrnic, je opremljen z merilno urico obsega 10 mm, ki je razdeljena naintervale po 0,01 mm. Meritve krtenja ste opravili v dasovnih intervalih, kijih predpisuje standard.Dobili ste naslednje odditke: 01.04.2007 320.005.04.2007 313.408.04.2007 310.222.04.2007 305.829.04.2007 303.8Na osnovi diagrama pribliZno oc.enite velikost deformaclie med 14. in 21. dnevom.3. NAIOGAOpi5ite postopek dolodanja statidnega modula elastidnosti betona. Dolodite modul elastidnosti betona v primeru, dazna5a tladna trdnost betonske prizrne 30MPa, do napetosti l2MPa pa lahko diagram napetost (o v MPa) -deformacija (e v 96) aproksimiramo s premico. Pri napetosti lMPa je pripadajoda deformacija 0,&96o, prinapetosti l2MPa pa 0,4![ro.4. NALOGAdeformacija: r[%]:+.1000LJLOpiSite preiskavi otdelega betona na betonski prizrni, ki smo jih opravili v laboratoriju. S pomodjo diagrama(pribliino) prikaZite, kako vpliva starost betona na njegovo trdnost od vgraditve sveZega betona v kalup do starostibetona 28 dni. Pribliino ovrednotite razrnerja med posameznimi trdnostni betonq ki smo jih na vajaheksperimentalno doloEili na betonski prizmi v primerjavi z rezultatom tladne trdnosti na betonski kocki.5. NALOGAPri preiskavi tladne trdnosti lesa pravokotno na vlakna smo dobilisovisnost med silo in vtisom preizku5anca" ki je podana nadiagramu. VlaZnost preiskovanega lesa je bila l5oh, dimenzijepreizkuSa nca bfh/L so zna5ale 5 cm/Scm/ I 5cm, masa preizku5ancapa je znaSala 1509. Dolodite prostorninsko maso lesa in tladnotrdnost pravokotno na vlakna lesa v [MPa] pri standardni l2o/ovlaZnosti.z!st6 cL,t2= ocl,H' I I +0,04'(H- 12)]H - dejanska vlaZnost lesa v o/o 23pomlk lmmlVpralanje It. t 2 3 4 5 SKTJPAJStevito tolk19/142

20/142

21/142

GradivaNajpomembnejše teme za teorijo:• Klasifikacija gradiv!• standardizacija-hierarhična razporeditev!• pojmi v zvezi s standardizacijo• vpliv in lastnosti agregata na lastnosti betona• slika-majne krivulje primernosti agreagta• vrste stekel• komponente cem. klinkerja• 4 faze hidratacije cementa• vpliv v/c faktorja na sestavo cem.klinkerja• malte in betoni: prebr si miselni vzorec-SHEMA• Fazni diagram Fe-c• natezni diagram(nariši,razloži)• polimeri(povzročitelji propadanja pollimerov)• bitumenski minerali-pojmi!!!!• slika-prostorninska raszmerja komponent bitumen.mešanic• zgradba umetnih kompozitov• slika-les(mehki trdi)22/142

PRIIMEK IME VPISNA ŠTEVILKA NALOGA TOČKE1.2.3.4.SKUPAJIZPIT IZ LINEARNE ALGEBREračunski del, 24.1.2005Navodilo: Vse odgovore dobro utemelji. Naloge so enakovredne.Čas reševanja: 90 minut. Srečno!1. naloga: Točke A, B, C in D so zaporedna oglišča tetraedra. Točka E razpolavlja rob AC,točka F pa deli rob AD v razmerju 3 : 1.• Utemelji, zakaj se daljici DE in CF sekata. Njuno presečišče označimo s S.• Izrazi vektor −→ AS z vektorji −→ a = −→ AB, −→ b = −→ AC in −→ c = −→ AD.• Primerjaj prostornini tetraedrov ABCD in ABCS.2. naloga: Ravnina Σ ima enačbo: x−4y+2z = 7, premica p pa je presek ravnin x−2y−4z = −3in 2x + y − 3z = −1. Zapiši enačbo premice, ki leži na ravnini Σ, je pravokotna na premico p ingre skozi točko, v kateri p prebode ravnino Σ.3. naloga: Pri katerih vrednostih parametra λ ima naslednji homogen sistem linearnih enačbnetrivialne rešitve? Kako se imenujejo? Poišči jih!(−2 − λ)x + 3z = 0−2x + (1 − λ)y + 2z = 0−x + (2 − λ)z = 04. naloga: Linearni preslikavi A : R 2 → R 2 v standardni bazi prostora R 2 pripada matrika[ ]1 −1[A] = ,1 1preslikava B : R 3 → R 2 pa je podana s predpisom B(x, y, z) = (y + z, x).• Ugotovi, ali sta preslikavi A in B injektivni/surjektivni/bijektivni.• Pokaži, da staE = {(1, 1), (1, −1)} in F = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}bazi prostorov R 2 oz. R 3 , ter v njih zapiši matrike preslikav[A] EE in [B] FE .23/142

REŠITVE:1. naloga:• Daljici DE in CF se sekata, ker nista vzporedni in obe ležita na isti ravnini, v notrajnosti trikotnika ACD.• −→ AS = 5−→ 1 b +3 −→ 5c .• V ABCS = 1 6 |[−→ a , −→ b , −→ AS]| = 3 5 V ABCD.2. naloga: Najprej poiščemo enačbo premice p (v parametrični obliki): x = 2λ − 1, y = 1 − λ, z = λ, λ ∈ R. Točka,v kateri p prebode Σ, je T ( 2, − 1 2 , 3 2). Iskana premica gre skozi točko T in ima smerni vektor⇀n Σ × ⇀ s p , torej jenjena enačba v vektorski obliki: ⇀ r = ( 2, − 1 2 , 3 2)+ λ (−2, 3, 7) , λ ∈ R .3. naloga: Dan sistem ima netrivialne rešitve natanko takrat, ko je λ = ±1. Pri λ = 1 so rešitve oblike:⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ x yz⎦ = α⎣ 1 01⎦ + β⎣ 0 10⎦ , α, β ∈ R,pri λ = −1 pa⎡⎤⎡⎤Dobljene rešitve so lastni vektorji matrike⎣ x yz⎦ = α⎡⎣⎣ 3 21−2 0 3−2 1 2−1 0 2⎦ , α ∈ R.⎤⎦ .4. naloga:• Ker je r(A) = 2, je preslikava A surjektivna. Iz dimenzijske enačbe sledi, da je tudi injektivna in zatobijekcija. Preslikava B ima enodimenzionalno jedro, napeto na vektor (0, −1, 1), torej ni injektivna in nibijektivna. Dimenzijska enačba pa nam pove, da je B surjektivna preslikava.• Preverimo, da so vektorji v E oziroma v F linearno neodvisni, zato sta to bazi prostorov R 2 oziroma R 3 .Iskani matriki sta:[ ][ ]1 11 13[A] EE =in [B]−1 1FE =21 .0 1224/142

NEKAJ VPRAŠANJ IZ LINEARNE ALGEBRE1. Definicija (prostega) vektorja ?2. Kdaj sta dva vektorja enaka ?3. Definicija vsote dveh vektorjev ?4. Kako je definiran produkt vektorja s skalarjem ?5. Kdaj natanko sta vektorja ⇀ a in ⇀ b linearno neodvisna ?6. Dokažite implikacije:(a) ( ⇀ a ) linearno odvisna =⇒ ⇀ a = ⇀ 0 ,(b) ( ⇀ a , ⇀ b ) linearno odvisna =⇒ ⇀ a ‖ ⇀ b ,(c) ⇀ a ‖ ⇀ b =⇒ ⇀ (a, ⇀ b ) linearno odvisna ,(d) ( ⇀ a , ⇀ b , ⇀ c ) linearno odvisna =⇒ ⇀ a , ⇀ b , ⇀ c koplanarni ,(e) ⇀ a , ⇀ b , ⇀ c koplanarni =⇒ ( ⇀ a , ⇀ b , ⇀ c ) linearno odvisna .7. Če je vektor −⇀ AT = λ · −⇀ AB, kje leži točka T na premici skozi A in B, če je 0 < λ < 1 (če je λ < 1 ali λ > 1 aliλ < 0) ?8. Ali leži točka T 0 (3/2, 5/2, 5/2) na daljici s krajiščima A(1, 2, 3) in B(2, 3, 1) ? (Odgovor obveznoutemeljite !)9. Izpeljite formulo za središče S(s 1 , s 2 , s 3 ) daljice s krajiščima A(a 1 , a 2 , a 3 ) in B(b 1 , b 2 , b 3 ) ! (Koordinate točkeS je treba izraziti s koordinatami točk A in B.)10. Izpeljite formulo za težišče T (t 1 , t 2 , t 3 ) trikotnika z oglišči A(a 1 , a 2 , 0), B(b 1 , b 2 , 0) in C(c 1 , c 2 , 0) !(Koordinate točke T je treba izraziti s koordinatami točk A, B in C.)11. Zapišite vektorsko enačbo ⇀ r = ⇀ r (t) (=?) daljice s krajiščima A in B !12. Natančna definicija skalarnega produkta ⇀ a ⇀ b ?13. Kdaj natanko sta vektorja ⇀ a in ⇀ b pravokotna (karakterizacija) ?14. Dokažite, da je paralelogram romb natanko tedaj, ko se njegove diagonale sekajo pod pravim kotom !15. Dokažite, da je paralelogram pravokotnik, t.j. ima vse kote prave, natanko tedaj, ko ima enako dolge diagonale !( ⇀a ⇀) ⇀c(⇀ ⇀b )⇀16. Ali ima skalarni produkt to lastnost, da je b = a c za poljubne vektorje ⇀ a , ⇀ b in ⇀ c ? (Odgovor jetreba obvezno utemeljiti!)( ⇀a ⇀) ⇀c ⇀( ⇀c)⇀17. Ali ima skalarni produkt to lastnost, da je b = b a za poljubne vektorje ⇀ a , ⇀ b in ⇀ c ? (Odgovor jetreba obvezno utemeljiti!)18. Dan je neničelni vektor ⇀ a . Za poljuben vektor ⇀ x poiščite vektorja ⇀ x ′ in ⇀ x ′′ tako, da bo ⇀ x = ⇀ x ′ + ⇀ x ′′ in da boimel ⇀ x ′ isto smer in isti smisel kot vektor ⇀ a ter da bo ⇀ x ′′ pravokoten na ⇀ a .19. Kdaj imenujemo neko urejeno bazo geometrijskih (nazornih) vektorjev ( ⇀ a , ⇀ b , ⇀ c ) desno in kdaj levo ?(Definicija?)20. Definicija orientirane desne (leve) baze ( ⇀ i , ⇀ j , ⇀ k ) ?21. Zapišite natančno definicijo vektorskega produkta vektorja ⇀ a z vektorjem ⇀ b !( ⇀a ⇀)(22. Ali je vektorski produkt asociativen, t.j. ali je × b × ⇀ c = ⇀ ⇀b )⇀a × × c za poljubne vektorje ⇀ a , ⇀ b in ⇀ c ?(Odgovor je treba obvezno utemeljiti!)( ⇀a ⇀)23. Ali ima vektorski produkt to lastnost, da je × b × ⇀ c = ⇀ ( ⇀c)⇀b × × a za poljubne vektorje ⇀ a , ⇀ b in ⇀ c ?(Odgovor je treba obvezno utemeljiti!)24. Kdaj natanko sta vektorja ⇀ a in ⇀ b vzporedna (karakterizacija) ?25. Zapišite natančno definicijo mešanega produkta [ ⇀ a , ⇀ b , ⇀ c ] in povejte kako je taprodukt občutljiv na ciklično permutacijo svojih faktorjev ? 25/142

[ ⇀a ⇀] [⇀ ⇀b ]⇀ ⇀26. Ali ima mešani produkt to lastnost, da je , b , c = , a , c za poljubne vektorje ⇀ a , ⇀ b in ⇀ c ? (Odgovorje treba obvezno utemeljiti!)[ ⇀a ⇀] [⇀ ⇀b ]⇀ ⇀27. Ali ima mešani produkt to lastnost, da je , b , c = , c , a za poljubne vektorje ⇀ a , ⇀ b in ⇀ c ? (Odgovorje treba obvezno utemeljiti!)28. Mešani produkt [ ⇀ a , ⇀ c , ⇀ b ] izrazite z mešanim produktom [ ⇀ a , ⇀ b , ⇀ c ] ! (Rezultatutemeljite z računom.)29. Kako lahko z mešanim produktom [ ⇀ a , ⇀ b , ⇀ c ] okarakteriziramo orientacijo bazičnega triedra ( ⇀ a , ⇀ b , ⇀ c ) ?30. Navedite vsaj en pogoj, ki je potreben in zadosten za koplanarnost treh geometrijskih vektorjev ⇀ a , ⇀ b in ⇀ c !31. Kakšen je geometrijski pomen mešanega produkta ?32. Ali je pri danem vektorju ⇀ a = (a 1 , a 2 , a 3 ), kjer je a 1 ≠ 0, enačba ⇀ a ⇀ x= 1 vedno rešljiva in če je, zapišite vsenjene rešitve !33. Ali je pri danih vektorjih ⇀ a ≠ ⇀ 0 in ⇀ b ⊥ ⇀ a , enačba ⇀ a× ⇀ x = ⇀ b vedno rešljiva in če je, zapišite vse njene rešitve !34. Pri realnih p, q in r je edina rešitev (u, v, w) ∈ R 3 sistema enačb u = rv − qw, v = −ru + pw in w = qu − pvtrivialna rešitev (0, 0, 0). Prepričajte se o tem ! (Nasvet. Sistem enačb je ekvivalenten vektorski enačbi⇀ ⇀ ⇀x= a × x .)(35. Pri danem vektorju ⇀ a poiščite vse rešitve ⇀ ⇀a) (⇀ ⇀a)⇀x vektorske enačbe + x × − x = 2 ⇀ x !36. Pri danih vektorjih ⇀ a in ⇀ b poiščite vse rešitve ⇀ x vektorske enačbe ⇀ x + ⇀ a× ⇀ x = ⇀ b !(Enačbo pomnožite z ⇀ a na desni najprej vektorsko in nato skalarno.)37. Kakšnemu pogoju morajo zadoščati koeficienti a, b, c in d, da množica točk M ⊂ R 3 , M = {T (x, y, z) :ax + by + cz = d}, ni ravnina ? (Navedite oba pogoja, potrebnega in zadostnega !)38. Kakšnemu pogoju morajo zadoščati koeficienti a, a ′ , b, b ′ , c, c ′ , d in d ′ , da bosta ravnini ax + by + cz = d ina ′ x + b ′ y + c ′ z = d ′ vzporedni (pravokotni) ? (Navedite oba pogoja, potrebnega in zadostnega !)39. Kakšnemu pogoju morajo pri točkah A(p, q, 0), A ′ (p ′ , q ′ , 0), B(r, s, 0) in B ′ (r ′ , s ′ , 0) zadoščati koordinate tehtočk, da bosta daljici AA ′ in BB ′ vzporedni ? (Navedite oba pogoja, potrebnega in zadostnega !)40. Izpeljite formulo za oddaljenost δ točke T (x 0 , y 0 , z 0 ) od ravnine ax + by + cz = d(od premice ⇀ r = ⇀ r 0 + t ⇀ s , t ∈ R) !41. Izpeljite formulo za ploščino P trikotnika, ki leži v ravnini Oxy in ima oglišča A(a 1 , a 2 ), B(b 1 , b 2 ) inC(c 1 , c 2 ) ! (Ploščino P je treba izraziti s koordinatami točk A, B in C !)42. Izpeljite formulo za volumen piramide, ki ima v prostoru Oxyz oglišča v točkah A(a 1 , a 2 , a 3 ), B(b 1 , b 2 , b 3 ),C(c 1 c 2 , c 3 ) in D(d 1 , d 2 , d 3 ) !43. Kaj je to realen linearen prostor in kaj njegov linearen podprostor ?44. Katera linearna podprostora linearnega prostora imenujemo trivialna ?45. Ali realen (kompleksen) linearen prostor lahko vsebuje le končno mnogo vektorjev ? (Odgovor utemeljite !)46. Ali linearen prostor lahko vsebuje več kot en vektor toda ne neskončno mnogo vektorjev ? (Odgovorutemeljite !)47. Dokažite, da je R 2 realen linearen prostor !48. Natančno povejte kaj razumete pod pojmom linearnega prostora R 4 .49. Koliko vektorjev vsebuje linearni prostor R n ?50. Navedite primer neskončno dimenzionalnega linearnega prostora !51. Če sta Y 1 in Y 2 linearna podprostora linearnega prostora X, je Y 1 + Y 2 := {y 1 + y 2 : y 1 ∈ Y 1 , y 2 ∈ Y 2 } =Y 1 − Y 2 := {y 1 − y 2 : y 1 ∈ Y 1 , y 2 ∈ Y 2 }. Preverite to !52. Navedite primer, ko je za linearna podprostora Y 1 in Y 2 linearnega prostora X komplement Y 1 \Y 2 := {x : x ∈Y 1 , x /∈ Y 2 } ̸= Y 1 − Y 2 !53. Poiščite primer linearnega prostora X, ki vsebuje linearna podprostora Y 1 in Y 2 , da unija Y 1 ∪ Y 2 ni (je)linearen podprostor prostora X !26/1422

54. Prepričajte se, da je presek poljubne neprazne družine linearnih podprostorov linearnega prostora X spetlinearen podprostor !55. Prepričajte se, da je vsota Y 1 + Y 2def.= {y 1 + y 2 : y 1 ∈ Y 1 , y 2 ∈ Y 2 } linearnih podprostorov linearnega prostoraX spet linearen podprostor !56. Prepričajte se, da je linearna ogrinjača L(x 1 , . . . , x n ) def.= { ∑ ni=1 λ ix i : λ 1 , . . . , λ n ∈ R} vektorjev linearnegaprostora X linearen podprostor tega prostora in sicer najmanjši (v smislu inkluzije ⊂) linearen podprostorprostora X, ki vsebuje vse vektorje x 1 , . . . , x n !57. Prepričajte se, da je za poljubno neprazno podmnožico M realnega linearnega prostora X linearna ogrinjačaL(M) := { ∑ nj=1 λ jm j : n ∈ N, λ 1 , . . . , λ n ∈ R, m 1 , . . . , m n ∈ M} linearen podprostor prostora X !58. Če je Y linearen podprostor realnega linearnega prostora X in je neprazna množica M ⊂ Y, je linearnaogrinjača L(M) ⊂ Y . Utemeljite to!59. Prepričajte se, da je kartezični produkt X 1 ×X 2 ×. . . ×X n linearnih prostorov X 1 , X 2 , . . . , X n spet linearenprostor, če definiramo adicijo in multiplikacijo s skalarji po koordinatah, enako kot v R n !60. Če je med n vektorji x 1 , x 2 , . . . , x n linearnega prostora tudi ničelni vektor, ali je potem urejena n-terica(x 1 , x 2 , . . . , x n ) lahko linearno neodvisna? Vprašanje glede linearne neodvisnosti postavljamo tudi vprimeru, da obstajata indeksa i in j, j ≠ i, da je x i = x j ?(Odgovor obvezno utemeljite!)!)61. Dokažite, da velja pri poljubnem naravnem številu n ≥ 2 in med seboj različnih vektorjih x 1 , x 2 , . . . , x nekvivalenca:(x 1 , x 2 , . . . , x n ) linearno odvisna ⇐⇒ Enega izmed vektorjev x 1 , x 2 , . . . , x n lahko izrazimo kot linearnokombinacijo ostalih vektorjev.62. Če je v linearnem prostoru urejena n-terica (x 1 , x 2 , . . . , x n ) vektorjev linearno neodvisna in so y 1 , . . . , y mmed seboj različni elementi množice {x 1 , . . . , x n }, je tudi (y 1 , y 2 , . . . , y n ) linearno neodvisna. Preveriteto !63. Če je v linearnem prostoru urejena m-terica (y 1 , . . . , y m ) med seboj različnih vektorjev linearno odvisna in soy 1 , . . . , y m ∈{x 1 , . . . , x n }, je tudi urejena n-terica (x 1 , x 2 , . . . , x n ) linearno odvisna. Preverite to !64. Definicija baze linearnega prostora ?65. Katero bazo linearnega prostora R n imenujemo standardno ali kanonsko ?66. Poiščite vsaj eno bazo vektorskega prostora, ki ga napenjajo vektorji ⇀ a = (0, 1, −1), ⇀ b = (1, −1, 0) in⇀ ⇀ ⇀ ⇀c = (1, 0, −1), t.j. poiščite vsaj eno bazo linearne ogrinjače L( a , b , c )!⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤67. Prepričajte se, da tvorijo vektorji X 1 = ⎣ 0 1 ⎦ , X 2 = ⎣ 1 1 ⎦ in X 3 = ⎣ 0 1 ⎦001⎡bazo vektorskega prostora R 3 in razvijte dani vektor X = ⎣ x ⎤1x 2⎦ v urejeni bazi (X 1 , X 2 , X 3 ) !68. Ali tvorijo vektorji a = ⎢⎣⎡1000⎤⎥⎦ ,⎡b = ⎢⎣1100⎤⎥⎦ ,⎡c = ⎢⎣linearnega prostora R 4×1 ? (Odgovor obvezno utemeljite!)1110x 3⎤ ⎡⎥⎦ in d = ⎢⎣1111⎤⎥⎦ bazo69. Dokažite, da je razcep poljubnega vektorja x smeri bazičnih vektorjev urejene baze realnega linearnega prostorapovsem enoličen !70. Preverite, če je množica T vseh realnih, zgoraj trikotnih matrik T tipa 2 × 2 (T ∈ R 2×2 ) realen linearen prostor.Če je, določite njegovo dimenzijo in navedite vsaj eno njegovo bazo.71. Prepričajte se, da je množica vseh realnih simetričnih matrik tipa n × n linearen podprostor realnegalinearnega prostora R n×n dimenzije n(n+1)2!72. Prepričajte se, da je množica vseh realnih antisimetričnih matrik tipa n × n (n ≥ 2) linearen podprostorrealnega linearnega prostora R n×n dimenzije n(n−1)2!73. Kdaj imenujemo vektorsko funkcijo T linearno (definicija) ?27/1423

74. Navedite dva primera vektorskih funkcij, eno linearno in eno nelinearno !75. Naj bo X štiridimenzionalen realen linearen prostor in B = (b 1, b 2 , b 3 ) njegova urejena baza. Zato obstaja zavsak x ∈ X natanko ena urejena četverica x B = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ R 4 , da je x = x 1 b 1 + x 2 b 2 + x 3 b 3 + x 4 b 4 .Pokažite, da je preslikava x ↦→ x B linearnega prostora X v linearen prostor R 4 bijekcija z lastnostjo, da je(x + y) B= x B +y B in (λx) B=λx B za poljubna x, y ∈ X in za vsak λ ∈ R !76. Naj bo T linearna transformacija X → Y. Preverite potem, da:a) T preslika ničelni vektor prostora X v ničelni vektor prostora Y.b) Ničelni prostor N (T ) := {x : x ∈ X, T x = 0} je linearen podprostor prostora X.c) Zaloga vrednosti R(T ) := {T x : x ∈ X} je linearen podprostor prostora Y.77. Ali je množica L(X, Y ) := {T : T linearna preslikava X → Y } realen linearen prostor, če sta taka X in Y ?(Odgovor obvezno v celoti utemeljite !)78. Kaj je pri realnih linearnih prostorih X in Y ničelni vektor prostora L(X, Y ) ?79. Kaj pomeni izjava, da v urejenih bazah E = (e 1 , . . . , e n ) in F = (f 1 , . . . , f m ) realnih linearnih prostorov X inY pripada operatorju A ∈ L(X, Y ) matrika [a ij ] ∈ R m×n .80. Naj bo A preslikava realnega linearnega prostora P 1 , ki ga tvorijo realni polinomistopnje ≤ 1 v realni linearni prostor P 2 , ki ga tvorijo realni polinomi stopnje ≤ 2. Funkcija A naj priredi polinomup ∈ P 1 , kjer je p(t) ≡ a + bt (a, b ∈ R), polinom q = Ap, kjer je q(t) ≡ (2a − b) + (a − 2b)t + (a + b)t 2 .Naj bo e 1 (t) ≡ f 1 (t) ≡ 1, e 2 (t) ≡ f 2 (t) ≡ t in f 3 (t) ≡ t 2 . Prepričajte se potem, da sta E = (e 1 , e 2 ) inF = (f 1 , f 2 , f 3 ) urejeni bazi prostorov P 1 in P 2 ter pokažite, da je A linearna preslikava in določite matriko[ A ] EF !81. Matrika A ∈ R m×n določa preslikavo A : R n×1 → R m×1 , kjer je Ax ≡ Ax. (Na desni stoji matričniprodukt.) Prepričajte se, da je preslikava A linearna in določite matriko, ki pripada operatorju A v standardnih(kanonskih) bazah prostorov R n×1 in R m×1 !82. Ali je pri matrikah kakšna razlika med pojmoma “ekvivalentna” in “enaka” ?(Odgovor je treba obvezno utemeljiti!)83. Kako seštevamo matrike, kako množimo matriko s skalarjem in kako množimo matriko z matriko − definicije ?84. Razložite pojem prehodne matrike in navedite primer njene uporabe !85. S tem, da uvedete v ravnini Oxy nov koordinatni sistem Ox ′ y ′ , ki mu osi določata vektorja ⇀ f 1 = 1 √2( ⇀ i + ⇀ j )in ⇀ f 2 =1 √2( ⇀ i − ⇀ j ), odgovorite na vprašanje kakšno krivuljo predstavlja množica K := {(x, y) : x, y ∈R, x 2 + 2xy + y 2 − √ 2(x − y) = 0} !86. Ali so linearno odvisne naslednje tri matrike B =[ ]1 0D = ? (Odgovor obvezno utemeljite!)0 1[1 11 187. Katero bazo linearnega prostora R m×n imenujemo standardno ?88. Koliko dimenzionalen je linearni prostor R m×n ?89. Kroneckerjeva funkcija delta δ : (i, j) ↦→ δ ijdef.={1, če je i = j0, če je i ≠ j], C =[0 11 0je e ij = δ ir δ js .Prepričajte se, da je množica {E rs : r = 1, . . . , m; s = 1, . . . , n} baza linearnegaprostora R m×n !90. Navedite primer realne, kvadratne, neničelne matrike, ki je :(a) neobrnljiva, (b) je ne moremo diagonalizirati !91. Navedite primer realne, kvadratne matrike A ≠ 0, I, da je :(a) A 2 = I, (b) A 2 = A, (c) A 2 = 0 !92. Poiščite simetrični matriki A ≠ 0 in B ≠ 0, da je AB = 0 = BA !]indoloča matrike E rs = [e ij ] m×n, kjer93. Če obstajata, poiščite neničelni matriki A in B, da je (A + B) 2 = A 2 + B 2 ! (Odgovor obvezno utemeljite !)94. Ali za poljubni matriki A in B tipa n × n velja enakost:(a) (A + B) 2 = A 2 + B 2 ,(b) A 2 − B 2 = (A − B)(A + B) ? (Odgovor obvezno utemeljite !)28/1424

95. Za poljubno matrikov A ∈ R p×p veljata enakosti A m A n = A m+n in (A m ) n = A mn pri poljubnih celihštevilih m, n ≥ 0. Preverite to !96. Če matriki A, B ∈ R p×p komutirata, t.j., če je AB = BA, komutirata tudi potenci A m in B n pri poljubnihcelih številih m, n ≥ 0. Prepričajte se o tem !97. Če matriki A, B ∈ R p×p komutirata, velja enakost (binomski teorem) (A + B) n = ∑ nk=0( nk)A n−k B k pripoljubnem celem n ≥ 0. Prepričajte se o tem !98. Z indukcijo se prepričajte, da lahko n-to potenco matrike A,[ √ ]2 2A = √2 3zapišete v obliki A n = 4n 3 (A − I) + 1 3(4I − A) za vsak n ∈ N !99. Razložite eliminacijsko (Gaussovo) metodo numeričnega reševanja sistema m linearnih enačb n neznankami.Kakšna je struktura rešitvene množice ?100. Ali ima lahko matrična enačba AX = B več kot eno rešitev, toda ne neskončno rešitev ? (Odgovor obveznoutemeljite !)101. Ali ima lahko sistem desetih linearnih enačb za pet neznank neskončno rešitev?(Odgovor obvezno utemeljite!)102. Pri realnih p, q in r je edina rešitev (u, v, w) ∈ R 3 sistema enačb u = rv − qw, v = −ru + pw in w = qu − pvtrivialna rešitev (0, 0, 0). Prepričajte se o tem ! (Nasvet: Gaussova eliminacija ali determinantna diskusija alidiskusija z inverzno matriko.)103. Kdaj natanko je homogen sistem linearnih enačb, zapisan v matrični obliki Ax = 0, A ∈ C n×n , netrivialnorešljiv (npr. karakterizacija z rangom)?104. Katero matriko imenujemo regularno in katero singularno (obrnljivo in neobrnljivo) ?105. Ali je matrična enačba AX = B, kjer je A kvadratna matrika, rešljiva samo v primeru, če je A nesingularnamatrika? (Odgovor obvezno utemeljite !)106. Za matriko A ∈ C n×n preverite ekvivalenco:A je neobrnljiva. ⇐⇒ Obstaja X ∈ C n×1 \ {0}, da AX = 0 .107. Za matriko A ∈ C n×n preverite ekvivalenco:A je obrnljiva. ⇐⇒ det A ≠ 0 .108. Ali za poljuben n ∈ N, za poljubni matriki A, B ∈ C n×n in λ ∈ C veljajo enakosti:(i) det(A + B) = det A + det B(ii) det(λA) = λ det A(iii) det(AB) = (det A)(det B) ?109. Ali je lahko produkt dveh kvadratnih neobrnljivih matrik obrnljiva matrika?(Odgovor obvezno utemeljite !)110. Če ima matrika A ničelni prostor (jedro) N (A) = {0}, ali je potem nujno det A = 0 ? (Odgovor obveznoutemeljite !)111. Natančna definicija inverzne matrike?112. Če sta matriki A, B ∈ C n×n obrnljivi, je produkt AB tudi obrnljiva matrika in je (AB) −1 = B −1 A −1 .Preverite to !113. Če sta kvadratni matriki A in B obrnljivi, izrazi rešitev X matrične enačbe AXB = C z matrikami A, B in C !114. Če je A kvadratna obrnljiva matrika in I enotska matrika istega tipa, poiščite vse rešitve matrične enačbe(XA) −1 (X + I) = 3A −1 !115. Prepričajte se, da je matrika I −A obrnljiva za vsako realno antisimetrično (imenovano tudi poševnosimetrično)matriko A ! (Preverite injektivnost preslikave x ↦→ (I − A)x.)116. Razložite pojem realnega skalarnega produkta na realnem linearnem prostoru !.117. Razložite pojem norme in evklidske norme na realnem linearnem prostoru !118. Razložite pojem trikotniške neenakosti v evklidskem prostoru !119. Razložite pojem evklidskega prostora R n !,29/1425

120. Definicija evklidskega prostora ?121. Razložite pojma evklidskih prostorov R n in C[a, b] !122. Ali obstaja realen linearen prostor, na katerem je definiranih več različnih skalarnih produktov in s tem nanjem tudi več različnih evklidskih norm ?123. Zapišite neenakost Cauchy − Schwarz − Buniakovskega ?124. Za skalarni produkt 〈, 〉 evklidskega prostora preverite ekvivalenco :|〈x, y〉| = ‖x‖ ‖y‖ ⇐⇒ Množica {x, y} je linearno odvisna.125. Za evklidsko normo (inducira jo skalarni produkt) preverite ekvivalenco :‖x + y‖ = ‖x‖ + ‖y‖ ⇐⇒ Obstaja t ≥ 0, da je x = ty ali y = tx .126. Kdaj imenujemo vektorja x in y ortogonalna, kdaj normirana in kdaj ortonormirana ?127. Prepričajte se, da velja za evklidsko normo ‖·‖ ekvivalenca :x ⊥ y ⇐⇒ ‖x + y‖ = ‖x − y‖ !128. Definicija ortogonalnega komplementa M ⊥ podmnožice M evklidskega prostora ?129. Za ortogonalno podmnožico M = {x 1 , . . . , x n } evklidskega prostora X preverite ekvivalencoM je linearno neodvisna. ⇐⇒ 0 /∈ M !130. Prepričajte se, da velja implikacija : L ⊂ M =⇒ L ⊥ ⊃ M ⊥ za poljubni podmnožici L in M evklidskegaprostora !131. Prepričajte se, da je ortogonalni komplement M ⊥ linearen podprostor za poljubno neprazno podmnožico Mevklidskega prostora !132. Prepričajte se, da je presek M ∩ M ⊥ ⊂ {0} za poljubno podmnožico M evklidskega prostora !133. Prepričajte se, da velja inkluzija M ⊂ ( M ⊥) ⊥za poljubno podmnožico M evklidskega prostora !134. Ali velja za vsako množico M v evklidskem prostoru enakost ( M ⊥) ⊥= M ? (Utemeljite svoj odgovor, npr.0 ∈ M ?!)135. Navedite kak zadostni pogoj za množico M v evklidskem prostoru, da je ( M ⊥) ⊥= M !136. Formulirajte posplošeni Pitagorov izrek v evklidskem prostoru in ga dokažite !137. Pokažite, da velja za poljuben vektor x linearne ogrinjače L(e 1 , . . . , e n ) ortonormirane množice {e 1 , . . . , e n }evklidskega prostora s skalarnim produktom 〈 , 〉 enakost x = ∑ nk=1 〈x, e k〉 e k !138. Formulirajte izrek o pravokotni projekciji poljubnega vektorja x na podprostor Y evklidskega prostora X !Navedite vsaj en primer uporabe tega izreka !139. Kako lahko izračunamo pravokotno projekcijo poljubnega vektorja x na končno dimenzionalen podprostor Yevklidskega prostora X, če poznamo ortonormirano bazo {e 1 , . . . , e n } prostora Y ? Navedite vsaj en primeruporabe tega izreka !140. Razložite pojem vektorja y x najboljše aproksimacije danega vektorja x evklidskega prostora X z vektorjikončno dimenzionalnega podprostora Y evklidskega prostora X ! Ali ima ta pojem kakšno zvezo z metodonajmanjših kvadratov ? (Razložite! Predeterminirani sistemi, fitanje in podobno?)141. Kako se izraža evklidska razdalja med vektorjem x in končno dimenzionalnim podprostorom Y v evklidskemprostoru X z vektorji ortonormirane baze {e 1 , . . . , e n } podprostora Y, t. j. s Fourierovimi koeficienti vektorja xglede na to bazo ?142. Opišite Gram − Schmidtov algoritem ortogonalizacije linearno neodvisne množice {a 1 , . . . , a n } vektorjevevklidskega prostora X !143. Opišite QR razcep matrike A ∈ R n×n s trivialnim ničelnim prostorom N (A) ! (Kakšni sta matriki Q in R inkako ju lahko izračunamo?)144. Katero matriko A ∈ R m×n imenujemo ortonormirano ?145. Definicija ortogonalne (ortonormirane) matrike A ∈ R n×n in njen pomen ?146. Prepričajte se, da ima determinanta ortogonalne matrike absolutno vrednost enako 1 !147. Naj pomeni O n množico vseh ortogonalnih matrik prostora R n×n . Preverite naslednje trditve:(i) 0 n×n /∈ O n , I n×n ∈ O n(ii) A ∈ O n =⇒ A T = A −1 ∈ O n(iii) A, B ∈ O n =⇒ AB ∈ O n !30/1426

148. Razložite pojem vektorja najboljše aproksimacije po metodi najmanjših kvadratov za sistem m linearnihenačb z n neznankami !149. Kako bi izračunali vektor najboljše aproksimacije za sistem m linearnih enačb z n neznankami, neposredno alis QR razcepom ?150. Navedite potrebni in zadostni pogoj za to, da obstaja en sam vektor najboljše aproksimacije za sistem mlinearnih enač z n neznankami !151. Razložite pojem normalne enačbe in povejte kakšen je njen pomen za sistem m linearnih enačb z nneznankami!152. Kaj je to regresijska premica za dano tabelox x 1 · · · x ny y 1 · · · y n?x x153. Za meritveno tabelo1 · · · x nželimo določiti realni konstanti a in by y 1 · · · y n(linearno „fitanje”), da bo vsota kvadratov odstopanj ∑ ni=1 [(ax i + b) − y i ] 2 minimalna.Kako lahko to nalogo rešimo z matrikami ?154. Kaj je to linearno in kaj kvadratno „fitanje” dane tabele ?155. Pri gibanju v tekočini je upor F sredstva pri majhnih hitrostih v približno premo sorazmeren s hitrostjov in pri večjih hitrostih približno premo sorazmeren s kvadratom hitrosti v. Kako bi, s pomočjo matrik,v približni formuli F = av + bv 2 določili konstanti a in b tako, da bi ta formula po metodi najmanjšihkvadratov kar najbolje aproksimirala eksperimentalno dobljeno tabelo (v k , F k ) k=1,...,n , t.j., da bi bila vsotan∑ [(avk + bvk 2) − F ] 2k minimalna ?k=1x x156. Za meritveno tabelo1 · · · x nželimo določiti realne konstante a, b in cy y 1 · · · y n(kvadratno „fitanje”), da bo vsota kvadratov odstopanj ∑ n[ ]i=1 (ax2 2i + bx i + c) − y iminimalna. Kako lahko to nalogo rešimo z matrikami ?157. Definicija lastne (karakteristične, latentne) vrednosti λ in pripadajočega lastnega (karakterističnega)vektorja X matrike (linearnega operatorja)?158. Ali je lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti λ ≠ 0 matrike A enolično določen ? (Odgovor obveznoutemeljite !)159. Ali je množica vseh lastnih vektorjev matrike A ∈ R n×n , ki pripadajo lastni vrednosti λ ∈ R te matrikelinearen podprostor linearnega prostora R n ?(Odgovor obvezno utemeljite !)160. Ali obstaja realna kvadratna matrika brez (realnih) lastnih vrednosti ?161. Definicija karakterističnega polinoma matrike A ∈ R n×n in njegov pomen ?162. Definicija spektra σ(A) matrike A ∈ C n×n in R-spektra σ R (A) matrike A ∈ R n×n ?163. Ali je lahko spekter σ(A) matrike A ∈ R n×n prazna množica ? Enako vprašanje se postavlja tudi za R-spekterσ R (A) te matrike ? (Odgovor obvezno[utemeljite]!)0 1164. Za antisimetrično matriko A =določite σ−1 0R (A) !165. Za matriko A ∈ R n×n preverite ekvivalencoλ ∈ σ R (A) ⇐⇒ λI − A neobrnljiva !166. Poljubnemu realnemu polinomu P, P (t) ≡ c 0 + ∑ nk=1 c kt k (c 0 , . . . , c n ∈ R) in matriki A ∈ R n×n priredimomatriko P (A) po pravilu P (A) := c 0 I + ∑ nk=1 c kA k . Prepričajte se, da veljajo za realne polinome P, Q in Rimplikacije:(i) R = P + Q =⇒ R(A) = P (A) + Q(A)(ii) Q = cP =⇒ Q(A) = cP (A) (c ∈ R)(iii) R = P Q =⇒ R(A) = P (A)Q(A) .167. Če je X = [x 1 , . . . , x n ] T lasten vektor matrike A = [a ij ] n×n , ki pripada lastni vrednosti λ, ali je potem vektor2X tudi lastni vektor matrike A ? (Odgovor obvezno utemeljite!)168. Če sta X = [x 1 , . . . , x n ] T in Y = [y 1 , . . . , y n ] T (nekolinearna) lastna vektorja matrike A = [a ij ] n×n , kipripadata isti lastni vrednosti λ te matrike, ali je potem njuna vsota X + Y tudi lastni vektor matrike A ?(Odgovor obvezno utemeljite!)31/1427

169. Dokažite implikacijo: λ je lastna vrednost matrike A ∈ R n×n =⇒ λ 2 je lastna vrednost matrike A 2 !170. Za matriko A ∈ R n×n dokažite ekvivalenco :Število 0 ni lastna vrednost matrike A. ⇐⇒ Matrika A je obrnljiva !171. Če je matrika A obrnljiva in je λ njena lastna vrednost, je λ ≠ 0 in 1/λ je lastna vrednost inverzne matrikeA −1 ! (Preverite to !)172. Za poljubno matriko A ∈ R n×n in poljuben realen polinom P preverite inkluzijo P (σ R (A)) ⊂ σ R (P (A)).(Če je X lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti λ matrike A, je P (λ) lastna vrednost in X pripadajoči lastnivektor matrike P (A) .)173. Prepričajte se, da velja enakost P (σ(A)) = σ(P (A)) za vsako matriko A ∈ C n×n in poljuben kompleksenpolinom P (spektralni teorem). (Nasvet. Za kompleksen µ ∈ σ(P (A)) je matrika P (A) − µI neobrnljiva.Kompleksen polinom Q : z ↦→ P (z) − µ faktoriziramo z njegovimi kompleksnimi ničlami λ 1 , . . . , λ r ,Q(z) ≡ c(z − λ 1 ) · · · (z − λ r ). Ker je produkt c(A − λ 1 I) · · · (A − λ r I) = Q(A) = P (A) − µI neobrnljivamatrika, je tudi vsaj eden od njegovih faktorjev singularna matrika, npr. A − λ k I. Tedaj je λ k ∈ σ(A) in ker jeQ(λ k ) = 0, t.j. P (λ k ) − µ = 0, je µ = P (λ k ) ∈ P (σ(A)). Torej je σ(P (A)) ⊂ P (σ(A)), obratna inkluzija jeenostavna.)174. Kaj pravi Cayley − Hamiltonov izrek in kakšna je njegova uporaba ?175. S pomočjo Cayley − Hamiltonovega izreka se prepričajte, da lahko n-to potenco matrike A,[ √ ]2 2A = √2 3zapišete v obliki A n = 4n 3 (A − I) + 1 3(4I − A) za vsak n ∈ N !176. Katere matrike prostora R n×n imajo vedno realen spekter, t. j. spekter katerih matrik tega prostora leži gotovona realni osi ?177. Za kakšno matriko prostora R n×n vedno obstaja ortonormirana baza prostora R n×1 , ki jo tvorijo njeni lastnivektorji (obstoj lastne baze) ?178. Razložite pojem diagonalizacije matrike A ∈ R n×n z matriko P ! Kaj pomeni P in kdaj je P T = P −1 ?179. Ali lahko vsako kvadratno realno (kompleksno) matriko diagonaliziramo z realno (kompleksno) matriko?180. Kakšno matriko A ∈ R n×n lahko diagonaliziramo z ortogonalno matriko ?181. Za matriko A ∈ R n×n preverite ekvivalenco :Obstaja ortonormirana baza prostora R n×1 , ki jo tvorijo lastni vektorji matrike A.⇐⇒Obstaja ortogonalna matrika P in skalarji λ 1 , . . . , λ n , da je P T AP = diag(λ 1 , . . . , λ n ) !182. Potreben in zadosten pogoj za to, da lahko matriko A ∈ R n×n diagonaliziramo z realno ortogonalno matriko jev tem, da je A simetrična. Preverite potrebnost tega pogoja!183. Kako lahko kvadratno formo K(x 1 , . . . , x n ) = ∑ n ∑ ni=1 j=1 a ijx i x (a ij ≡ a ji ) podamo v matrični obliki inkako jo lahko poenostavimo z uvedbo novih spremenljivk − katerih ?184. Opišite kako lahko z diagonalizacijo neke matrike (katere) določimo glavne osi elipse a 2 x 2 + 2bxy + c 2 y 2 =1 (a, b, c ∈ R) !⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤185. Če so X 1 =⎣ 0 10⎦ , X 2 =⎣ 1 10⎦ in X 3 =⎣ 0 11,⎦ , lastni vektorji matrike A ∈ R 3×3 , ki pripadajo po vrstilastnim vrednostim λ 1 = 1, λ 2 = 2 in λ 3 = 3, izračunajte vektor AX pri poljubnem vektorju X =(npr. za x 1 = x 2 = x 3 = 1) !186. Kako nam pomaga diagonalizacija pri izračunu potence dane kvadratne matrike ?187. Z diagonalizacijo se prepričajte, da lahko n-to potenco matrike A,[ √ ] 2 2A = √2 3,⎡⎣ x 1x 2x 3⎤⎦zapišete v obliki A n = 4n 3 (A − I) + 1 3(4I − A) za vsak n ∈ N !32/1428

188. Če obstaja za kvadratno matriko A obrnljiva matrika P, da je P −1 AP =diag(λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ) , kako bi potem določili poljubno n-to potenco A n ?189. Katero matriko A ∈ R n×n imenujemo nenegativno (ali pozitivno semidefinitno) in katero pozitivno (alipozitivno definitno) ? (Definicija?)190. Ali je nenegativna (pozitivna) matrika obrnljiva ?191. Če je matrika A nenegativna, ali potem obstaja nenegativna matrika B, da je B 2 = A . (Utemeljite trditev skonstrukcijo)192. Razložite Choleskyjev razcep in pogoje pri katerih je mogoč ?193. Zakaj je razcep Choleskega koristen ?194. Kaj veste o posplošenem problemu lastnih vrednosti ?195. Kakšno zvezo imajo posplošene lastne vrednosti s hkratno (simultano) diagonalizacijo dveh simetričnihmatrik, od katerih je ena pozitivna in druga nenegativna ?196. Definicija ranga linearnega operatorja in matrike ?197. Definicija vrstičnega in stolpnega ranga matrike ?198. Kako določimo rang matrike v praksi ?199. Dimenzijska enačba v zvezi z ničelnim prostorom in zalogo vrednosti (rang) matrike A ∈ R m×n ?200. Vloga ranga pri (Gaussovem) eliminacijskem reševanju sistema linearnih enačb? (Koliko med sebojneodvisnih parametrov vsebuje rešitvena množica enačbe Ax = b ?)201. Kriterij rešljivosti sistema linearnih enacb s pomočjo ranga ?202. Kakšne so zveze med med rangi rang(AA T ), rang(A T A), rang(A T ) in rang(A) ?33/1429

PRIIMEK IME VPISNA ŠTEVILKA NALOGA TOČKE1.2.3.4.SKUPAJIZPIT IZ LINEARNE ALGEBREračunski del, 2.2.2005Navodilo: Vse odgovore dobro utemelji. Naloge so enakovredne.Čas reševanja: 90 minut. Srečno!1. naloga: Točke A(1, 0, 1), B(2, 0, 0), C(−2, −1, 3) in D(0, 2, 1) so oglišča tetraedra.• Kolikšna je višina tetraedra iz vrha D na ploskev ABC?• Določi enačbo ravnine, ki gre skozi točko D in pravokotno seka ploskvi ABC in ACD.2. naloga: Reši matrično enačbo: XA = 3X + A, če je⎡A = ⎣ 4 2 0⎤0 4 1 ⎦ .3 6 43. naloga: Linearni preslikavi F, G : R 3 → R 3 sta podani s predpisoma:F(x, y, z) = (x − y, y − z, z − x),G(x, y, z) = (x + 2y + 3z, −x − 2y − 3z, 2x + 4y + 6z).• Zapiši matrike preslikav F, G in H = (F − G)F v standardni bazi prostora R 3 .• Poišči bazi podprostorov Ker F ∩ Ker G in Im F + Im G. Ali sta preslikavi F in G injektivni/surjektivni/bijektivni?4. naloga: Poišči lastne vrednosti in lastne vektorje matrike[ ]1 0M = .3 −1Utemelji, zakaj matriko M lahko diagonaliziramo, ter določi takšno obrnljivo matriko P , da bomatrika P −1 MP diagonalna. S pomočjo tega izračunaj še M 2000 .34/142

REŠITVE:1. naloga: Označimo z ⇀ a , ⇀ b , ⇀ c vektorje, ki napenjajo tetraeder.• Iskana višina je enaka:v =∣∣[ ⇀a ,⇀b ,⇀c]∣ ∣∣‖ ⇀ a × ⇀ b ‖= √ 3.• Normalo dobimo z vektorskim produktom:⇀n=( ⇀a ×⇀b)×in iskana ravnina ima enačbo: 5x + 3y − 6z = 0.( ⇀b )⇀× c = (−5, −3, 6),2. naloga:⎡X = A (A − 3I) −1 = ⎣−14 −6 69 4 −3−9 0 4⎤⎦ .3. naloga:•[F] =⎡⎣ 0 1 −11 −1 0−1 0 1⎤⎦ , [G] =⎡⎣ −1 −2 −31 2 32 4 6⎤⎦ in [H] =⎡⎣ −1 2 −13 −3 02 −1 −1⎤⎦ .• Ker F ∩ Ker G = {(0, 0, 0)} in Im F + Im G = R 3 (katerakoli baza je v redu, npr. standardna). Preslikavi Fin G nista ne injektivni ne surjektivni (in tako tudi ne bijektivni).4. naloga: Lastni vrednosti matrike sta λ 1 = 1 in λ 2 = −1, pripadajoča lastna vektorja pa v 1 = (2, 3) inv 2 = (0, 1). Matriko M lahko diagonaliziramo, ker ima dva linearno neodvisna lasna vektorja:[ ][ ]2 0za P =je D = P −1 1 0MP =in M 2000 = P D 2000 P −1 = I.3 10 −135/142

VPRAŠANJA IZ MATEMATIČNE ANALIZE 1MNOŽICE IN PRESLIKAVE1. Definicija injektivnosti, surjektivnosti in bijektivnosti preslikave f: A −→ B (primer) ?2. Za preslikavo f: A −→ B preverite ekvivalenci:a) f je injektivna ⇔ Obstaja preslikava g: B −→ A, da je g ◦ f = id Ab) f je surjektivna ⇔ Obstaja preslikava g: B −→ A, da je f ◦ g = id B !3. Če je preslikava f : A −→ B bijektivna, je bijektivna tudi inverzna preslikava f −1 : B −→ A ter veljajoenakosti: ¡ f −1¢ −1= f, f ◦ f −1 = id B in f −1 ◦ f = id A . Preverite to !4. Če sta preslikavi f: A −→ B in g: B −→ C bijekciji, je kompozitum g ◦ f tudi bijekcija in velja enakost(g ◦ f) −1 = f −1 ◦ g −1 . Preverite to !5. Natančna definicija funkcij arcsin in arctan, (ki jih imamo na kalkulatorju!) ?6. Skicirajte grafe funkcij arcsin in arctg !7. arctg(tg 4π 3)=?(Natančen odgovor podajte brez kalkulatorja!)8. arcsin(sin 9) =? (Natančen odgovor podajte brez kalkulatorja!)9. Dokažite,da je arctg x = π 2 − arctg ( 1 x ) za x>0 in arctg x = − π 2 − arctg ( 1 x) za x

sin x +sin(2x)+...+sin(nx) =cos x +cos(2x)+...+cos(nx) =nx sin 2sin x 2nx sin 2sin x 2sin(n+1)x2cos(n+1)x211. Za primer, da je sin x 26=0, s popolno indukcijo preverite enakostisin(x + δ)+sin(2x + δ)+...+sin(nx + δ) =cos(x + δ)+cos(2x + δ)+...+cos(nx + δ) =in!sin nx2sin nx2(n+1)xsin( 2 +δ)sin x 2(n+1)xcos( 2 +δ)sin x 2in!ŠTEVILA1. Razložite pojem natančne zgornje meje neprazne množice realnih števil (definicija in primer) !2. Ali obstaja natančna zgornja meja vsake neprazne množice realnih števil ? (Odgovor utemeljite!)3. Če je M neprazna in navzdol omejena množica realnih števil, je množica −M := {−x : x ∈ M} navzgoromejena, obstaja inf M in je inf M = − sup(−M). Preverite to !4. Za poljubno pozitivno realno število p je množica Q p := {q : q ∈ Q + ,q 2 0 ter enakost ¡ √ p¢ 2= p ! Preverite to, t.j. obstoj pozitivnega(aritmetičnega) korena pozitivnega realnega števila p !5. Za množico M = { ¡ 1+ 1 n¢ n: n ∈ N} določite inf M in sup M !6. Obseg kompleksnih števil C imenujemo množico R 2 , za katero sta definirani adicija „+” in multiplikacija „·”takole:(A) (x, y)+(x 0 ,y 0 ):=(x + x 0 ,y+ y 0 ) (M) (x, y) · (x 0 ,y 0 ):=(xx 0 − yy 0 ,xy 0 + x 0 y).Preverite naslednje lastnosti, t.j. prepričajte se, da velja za poljubna komplesna števila z =(x, y), z 0 =(x 0 ,y 0 ),z 00 =(x 00 ,y 00 ),...∈ C naslednje:(A1) (z + z 0 )+z 00 = z +(z 0 + z 00 ) (M1) (z · z 0 ) · z 00 = z · (z 0 · z 00 )(A2) z + z 0 = z 0 + z (M2) z · z 0 = z 0 · z(A3) z + 0 = z, 0 =(0, 0) (M3) z · 1 = z, 1 =e1 =(1, 0)(A4) z +(−z) =0, −z=(−x, −y) (M4) z · z −1 ³ = 1 za vsak z 6=0,z −1 =xx 2 +y 2 ,´−yx 2 +y 2(D) (z + z 0 ) · z 00 =(z · z 00 )+(z 0 z 00 ) oznaka= z · z 00 + z 0 z 00 .Prepričajte se, da velja za imaginarno enoto i :=(0, 1) enakost i 2 = −1.7. Realnemu številu x priredimo kompleksno število ex := (x, 0).Prepričajte se, da je preslikava x 7→ex obsega R vosegC injektivna z lastnostmi:(i) ]x + y = ex + ey za vsak x, y ∈ R(ii) gx · y = ex · ey za vsak x, y ∈ R(iii) e0 =0 in e1 =1 !8. Prepričajte se, da je konjugiranje z 7→ z ∗ := (Re z) − i(Im z) bijektivna preslikava obsega C vase zlastnostmi:(i) z 1 + z 2 = z 1 + z 2 za vsak z 1, z 2 ∈ C(ii) z 1 z 2 = z 1 z 2 za vsak z 1, z 2 ∈ C(iii) z = z za vsak z ∈ C(iv) z = z ⇐⇒ z ∈ R za vsak z ∈ C !9. Prepričajte se, da ima preslikava z 7→|z| := p (Re z) 2 +(Imz) 2 obsega C vase lastnosti:(i) |z| ≥ 0 za vsak ⎧ z ∈ C(ii) |±x| = √ ⎨ x, če je x ≥ 0x 2 =⎩−x, če je x ≤ 0(iii) |z| = |z| za vsak z ∈ C(iv) − |z| ≤ Re z ≤ |z| in − |z| ≤ Im z ≤ |z| za vsak z ∈ C(v) (a) Za vsak z ∈ C velja ekvivalenca: |z| =0⇐⇒ z =0.(b) Za poljubna z, z 0 ∈ C je |zz 0 | = |z||z 0 | .(c) Za poljubna z, z 0 ∈ C velja ocena ||z| − |z 0 || ≤ |z ± z 0 | ≤ |z| + |z 0 |(c’) Za poljubna z,z 0 ∈ C velja ekvivalenca:|z + z 0 | = |z| + |z 0 | ⇔ Obstaja t ∈ R + ∪ {0}, da je z = tz 0 ali z 0 = tz.237/142

10. Na osnovi predhodne ugotovitve raziščite ekvivalenco: „ ||z| − |z 0 || = |z − z 0 | ⇔ ? ”!11. Poiščite vse kompleksne rešitve enačbe z = z 3 !12. Poiščite vse kompleksne rešitve kubične enačbe z 3 + z 2 + az + b =0(a, b ∈ C), če je že znano, da sta števili1 in i njena korena !13. Poiščite vse kompleksne rešitve kubične enačbe z 3 + z 2 + az + b =0z realnimi koeficienti, če je že znano,da je en njen koren enak i ! (Upoštevajte, da nastopajo koreni polinomov z realnimi koeficienti v konjugiranokompleksnih parih!)14. Kdaj natanko velja enakost |x + y| = |x| + |y|, če sta:(a) x in y realni števili, (b) x in y kompleksni števili ?15. Kdaj natanko velja enakost |x − y| = |x| + |y|, če sta :(a) x in y realni števili, (b) x in y kompleksni števili ?16. Kdaj natanko velja enakost |x − y| = |x| − |y|, če sta :(a) x in y realni števili, (b) x in y kompleksni števili ?17. Kdaj natanko velja enakost |x − y| = |y| − |x|, če sta :(a) x in y realni števili, (b) x in y kompleksni števili ?18. Kdaj natanko velja enakost |x − y| = ||x| − |y||, če sta :(a) x in y realni števili, (b) x in y kompleksni števili ?19. Formulirajte binomski izrek o potenciranju kompleksnega binoma (razlaga koeficientov) !20. Moivre-ova formula za potenciranje kompleksnih števil ?21. S pomočjo Moivreove formule, upoštevaje enakost 1+q + ...+ q n−1 = 1−qn1−qza vsak x ∈ R\{2kπ : k ∈ Z} enakosticos( nx2 ) sin( n+12 x)1+cosx +cos(2x)+...+cos(nx) = insin( x 2 )nx sin( 2 ) sin(sin x +sin(2x)+...+sin(nx) = n+1 x) 2!sin( x 2 )22. Kako pri danem ζ ∈ C in n ∈ N poiščemo vse korene enačbe z n = ζ ?ZAPOREDJA IN VRSTE KOMPLEKSNIH ŠTEVILza q 6= 1, dokažite, da veljata1. Definicija in eksistenca (utemeljitev) Eulerjevega števila e ?2. Kako utemeljujete konvergenco (divergenco) zaporedja n 7→ z n za kompleksen z, ki ustreza pogoju|z| < 1 (pogoju |z| > 1) ?3. Prepričajte se, da je kompleksno zaporedje n 7→ zn nkonvergentno (divergentno), če je |x| ≤ 1 (če je |x| > 1) !4. Prepričajte se, da je zaporedje n 7→ znn!konvergentno za vsak z ∈ C !5. Prepričajte se, da je zaporedje n 7→ ¡ z nn¢konvergentno za vsak z ∈ C !6. Formulirajte Cauchy–jev kriterij konvergence številskega zaporedja7. Ali je konvergentno zaporedje nujno monotono in omejeno?8. Če ima zaporedje realnih števil eno samo stekališče, ali je potem nujno konvergentno?9. Če ima zaporedje realnih števil eno samo stekališče, ali je potem nujno omejeno?10. Ali je realno zaporedje, ki je konvergentno (in monotono naraščajoče), nujno navzgor omejeno ?11. Kakšno konvergenco zaporedja imenujemo kvadratno ? (Primer?)12. Prepričajte se, da je iterativno dano zaporedje (x n ) n∈N , kjer je x 1 =1 in x n+1 = √ 1+x n zavsak n ∈ N, monotono naraščajoče in navzgor omejeno s številom 2 ter izračunajte njegovo limito ! Ali je13.konvergenca tega zaporedja linearna ali kvadratna ?³ ´Prepričajte se, da iterativno dano zaporedje (x n ) n∈N , kjer je x 1 = a>0 in x n+1 = 1 2x n + ax nza vsak n ∈ N, kvadratno konvergira proti √ a !14. Dokažite implikacijo P ∞k=1 z k konvergira(Nasvet z n = s n − s n−1 )=⇒ lim n =0!n→∞338/142

15. Ali je vrsta∞Pk=1¡ k−1¢ kkkonvergentna? (Odgovor obvezno utemeljite!)16. Navedite primer divergentne vrste P ∞k=1 z k, za katero je lim n =0!n→∞17. Katero vrsto imenujemo harmonično?18. Ali ima lahko (neskončna) konvergentna vrsta neskončno členov med seboj enakih in hkrati različnihod0?(Odgovor utemeljite !)19. Ali ima lahko divergentna vrsta neskončno svojih členov enakih 0 ? (Odgovor obvezno utemeljite!)20. (a) Kakšne oblike je geometrijska vrsta (definicija geometrijske vrste) ?(b) Kdaj natanko je geometrijska vrsta konvergentna ?(c) Izpeljite formulo za n-to delno vsoto s n geometrijske vrste !21. Formulirajte Cauchy–jev kriterij konvergence številske vrste !22. Ali vrstazadošča Cauchyjevemu pogoju ? (Ogovor utemeljite!)P ∞k=1 1 √k23. Ali vrsta P ∞k=0 2k /k! izpolnjuje Cauchyjev konvergenčni pogoj ?P24. Ali je pravilna implikacija: (a n ∈ R za vsak n ∈ N, ∞n=1 a n?25. Ali je pravilna implikacija:Ã∞Xa n ∈ R + ∪ {0} za vsak n ∈ N, konvergira26. Ali je pravilna implikacija:"a n ∈ R + ∪ {0} za vsak n ∈ N,n=1∞Xn=1a na nkonvergira#!konvergira) =⇒ P ∞n=1 a2 n konvergira=⇒=⇒∞Xa 2 n konvergira ?n=1∞X √an konvergira ?27. Če je vrsta P ∞n=1 z n absolutno konvergentna, ali je potem tudi vrsta P ∞n=1 z2 n absolutno konvergentna?28. Definicija in primer absolutno in pogojno konvergentne vrste?29. Katera lastnost, absolutna ali pogojna konvergenca, je pri vrstah bolj zaželjena? Povejte zakaj!30. Formulirajte kvocientni (korenski, Leibnizov) kriterij konvergence številske vrste in ustrezno metodo numeričnesumacije vrste.!n=1LIMITA IN ZVEZNOST REALNE FUNKCIJE FUNKCIJE1. Kdaj imenujemo funkcijo f: I −→ R (I je interval) omejeno in kdaj monotono ?2. Natančna definicija realnih funkcij ln in exp (ki ju imamo na kalkulatorju!) ?3. Skicirajte grafa funkcij ln in exp !4. S pomočjo kalkulatorja izračunajte 1001 1002 /1002 1001 !5. Natančna definicija potence π x pri poljubnem realnem številu x ?6. Natančna definicija potence a b pri poljubnem pozitivnem realnem številu a in poljubnem realnem b ?7. Natančna definicija potence π x pri poljubnem realnem številu x ?8. Natančna definicija potence a b pri poljubnem pozitivnem realnem številu a in poljubnem realnem b ?9. Kaj pomeni zapis 4 1 2 , število 2 ali množico {−2, 2} ?10. Ali velja enakost ¡ a b¢ c=(a c ) b pri poljubnih a, b, c ∈ R + ?11. Ali velja enakost a bc =(a c ) b pri poljubnih a, b, c ∈ R + ?12. Ali velja enakost a 1 b = 1 pri poljubnih a, b ∈ R + ?a b13. Razložite pojem limite funkcije f vtočki x 0 in navedite primer!14. Navedite tri motive za uvedbo pojma limite funkcije; od teh naj bo eden iz geometrije in eden iz fizike!439/142

15. Definicija pravih limit lim f(x) =r ∈ R, lim f(x) =r − ∈ R in lim f(x) =r + ∈ R ter posplošenih limitx→x 0 x↑x0 x↓x0lim f(x)x→±∞ =r± ∈ R in lim f(x) =±∞ .x ↑↓ x 016. Določite limite lim e 1/x , lim e 1/x in lim e −1/x2 !x↑0 x↓0 x→017. Ali obstaja limita lim sin(x)?x→∞18. Formulirajte Cauchy-jev pogoj za prave in posplošene funkcijske limite in povejte, kakšen pomen ima ta pogoj(izrek?) !19. Kdaj imenujemo funkcijo f: [a, b] → R (a, b ∈ R, a < b) zvezno v točki b (definicija) ?20. Kdaj imenujemo funkcijo f: [a, b] → R (a, b ∈ R, a < b) zvezno (na intervalu - definicija) ?21. Kdaj imenujemo funkcijo f: [a, b] → R (a, b ∈ R, a < b) enakomerno zvezno (definicija) ?22. Kdaj imenujemo funkcijo f: D → R (∅ 6=D ⊂ R) zvezno (definicija) ?23. Formulirajte Cauchy-jev pogoj za prave in posplošene funkcijske limite in povejte, kakšen pomen ima ta pogoj(izrek?) !24. Kdaj imenujemo funkcijo f: [a, b] → R (a, b ∈ R, a < b) zvezno v točki b (definicija) ?25. Skicirajte graf funkcije f: R → R, kjer je½f(x) =0, če je x =0e −1/x2 , če je x 6= 0!26. Skicirajte graf funkcije f: R → R, kjer je½f(x) =27. Pri funkciji f a : R → R, kjer je0, če je x =01e 1/x +1 , če je x 6= 0 !½ ex, če je x ≤ 0f a (x) = sin(ax)x, če je x>0 ,določite konstanto a tako, da bo funkcija f a povsod zvezna !28. Pri funkciji f a : R → R, kjer je½ ex, če je x ≤ 0f a (x) = sin(ax)x, če je x>0 ,določite konstanto a tako, da bo funkcija f a povsod zvezna !29. Če je mogoče, določite pri funkciji f a : R → R, kjer je½ ex, če je x ≤ 1f a (x) = sin(ax)x, če je x>1 ,konstanto a tako, da bo funkcija f a povsod zvezna !30. Če je mogoče, določite pri funkciji f a : R → R,kjerje½ cos x , če je x ≤ 1f a (x) = sin(ax)x, če je x>1 ,konstanto a tako, da bo funkcija f a povsod zvezna !31. Za kateri razred funkcij f : I → R, kjer je območje I dan interval, je gotovo tudi f(I) interval ?32. Navedite primer zvezne funkcije f : D → R, katere zaklad f(D) ni interval !33. Navedite primer nekonstantne zvezne funkcije f : D → R, katere zaklad f(D) ni interval !34. Natančno formulirajte izrek o rešljivosti enačbe f(x) =0za zvezno funkcijo f !35. Razložite metodo bisekcije - na kaj se nanaša in pri katerih pogojih funkcionira ?36. Navedite zadostni pogoj za to, da bo zvezna funkcija f : D → R omejena !37. Navedite zadostni pogoj za to, da bo funkcija f : D → R zavzela svoje natančne meje !540/142

38. Navedite primer omejene in zvezne funkcije f :(0, 1) → R, ki ne zavzame svojih natančnih meja!39. Navedite primer neomejene funkcije f :[0, 1] → R, ki je zvezna na (0, 1) !ODVEDLJIVOST FUNKCIJE1. Navedite primer funkcije f: [0, 1] → R ,ki:(a) je odvedljiva na intervalu (0, 1) in ni zvezna na intervalu [0, 1],(b) je zvezna na [0, 1] in ni odvedljiva na (0, 1)2. Za funkcijo f: R → R je f(x) = p (x − 1) 2 za vsak x ∈ R.(a) Izračunajte levi in desni odvod f 0 − in f 0 + !(b) Ali je funkcija f odvedljiva v točki x =1?3. Za funkcijo f: (0, ∞) → R, kjer je f(x) ≡ √ x, izpeljite formulo za odvod f 0 (x)!4. Formulirajte verižno pravilo odvajanja !5. Formulirajte izrek o odvedljivosti inverzne funkcije in zapišite formulo za odvod inverzne funkcije !6. Po katerem izreku je funkcija arcsin odvedljiva na odprtem intervalu (−1, 1) in funkcija arctan odvedljiva navsej realni osi R ?7. Izpeljite formuli za odvoda funkcij arcsin in arctan !8. Za funkcijo f: R → R, kjer je f(x) ≡ cos x, izpeljite formulo za odvod f 0 (x)!9. Za funkcijo f: [a, b] → R formulirajte Rolleov teorem !10. Kako se glasi Lagrangeov teorem o končnem prirastku funkcije ?11. Če je I zaprt interval in je funkcija f: I → R odvedljiva, navedite zadosten pogoj za to, da je f strogomonotono padajoča na I !12. S pomočjo Lagrangevega izreka o končnem prirastku preverite implikacijo:{f zvezna na [a, b] in odvedljiva na (a, b), f 0 (x)>0 za x∈(a, b)} ⇒ f strogo raste na [a, b] .13. Dokažite, da je funkcija t 7−→t +sint strogo monotono rastoča na vsej realni osi R !14. Opišite postopek za določitev najmanjše in največje vrednosti odvedljive funkcijef :[a, b] → R , (a, b ∈ R,a0! (Prepričajte se, da je prvi odvod funkcijef(x) =e x − (1 + x + x 2 /2+x 3 /6) strogo rastoča funkcija na intervalu [0, ∞).)21. Dokažite, da je e x < 1+x + x 2 ≤ 1+ 3 2 |x| , če je 0 6=|x| ≤ 1 2! (Prepričajte se, da je prvi odvod funkcijeg(x) =1+x+x 2 −e x strogo rastoča funkcija, ker velja za vsak x ≤ 1/2 ocena x ≤ 1 2 = R 2 dt1 2 < R 2 dt1 t=ln2,t.j. e x < 2.)22. Dokažite, da je ln(1 − x) ≥−2x za vsak x ∈ [0, 3/4) ! (Študirajte monotonost funkcije f(x) =ln(1− x)+2xin brez kalkulatorja, npr. s pomočjo zgornje ocene e x > 1+x + x 2 /2+x 3 /6 za x>0 (ali s pomočjoTaylorjeve formule tretjega reda), preverite neenakost e 3/2 > 4.)23. ZLEPEK - konstrukcija gladke krivulje skozi predpisane točke. Tri točke T 0 (ξ 0 , η 0 ),T 1 (ξ 1 , η 1 ) in T 2 (ξ 2 , η 2 ) vravnini želimo povezati s krivuljo K, ki jo tvorita krivulji K 0 in K 1 izraženi v obliki x = x(t), y= y(t)(parametrična izražava), kjer sta x(t) in y(t) zožitvi kubičnih polinomov na interval [0, 1]. Natančneje,določiti želimo koeficiente a ij in b ij kubičnih polinomov x i (t) ≡ a i0 + a i1 t + a i2 t 2 + a i3 t 3 iny i (t) ≡ b i0 + b i1 t + b i2 t 2 + b i3 t 3 ,i∈ {0, 1}, da bo zadoščeno naslednjim petim pogojem:641/142

(i) x i (0) = ξ i in y i (0) = η i za i =0, 1(ii) x i (1) = x i+1 (0) in y i (1) = y i+1 (0) za i =0, 1(iii) x 0 i (1) = x0 i+1 (0) in y0 i (1) = y0 i+1 (0) za i =0, 1(iv) x 00i (1) = x00 i+1 (0) in y00 i (1) = y00 i+1 (0) za i =0, 1(v) x 000(0) = x 001(1) = 0 in y0 00 (0) = y1 00 (1) = 0 .Rešite to nalogo za primer točk T 0 (0, 0),T 1 (1, 4) in T 2 (2, 2) !(Rešitev: x 0 (t) ≡ t, y 0 (t) ≡ 11 2 t − 3 2 t3 ; x 1 (t) ≡ 1+t, y 1 (t) ≡ 4+t − 9 2 t2 + 3 2 t3 .)OPOMBA: Krivuljo skozi T 0 ,T 1 in T 2 smo zlepili iz krivulj K 0 = {(x 0 (t),y 0 (t)) : 0 ≤ t ≤ 1} inK 1 = {(x 1 (t),y 1 (t)) : 0 ≤ t ≤ 1} tako, da je prehod skozi točko T 1 gladek reda 2 (ujemanje odvodov 1. in 2.reda). Če tolmačimo parameter t kot čas, potem pomeni preslikava t 7→(x 0 (t),y 0 (t)) (gladko) gibanje od točkeT 0 do točke T 1 in preslikava t 7→(x 1 (t),y 1 (t)) (gladko) gibanje od točke T 1 do točke T 2 ,torej gladko gibanjeod točke T 0 do T 2 (preko T 1 )zzačetnim in končnim pospeškom enakim 0 (pogoj (v)). Zaradi navedenih dejstevimenujemo krivuljo K naravni zlepek reda 2 (angl. spline of order 2). Ker smo zlepek realizirali s pomočjokubičnih polinomov, ga imenujemo kubični zlepek.Zgornja naloga ima neposredno posplošitev. Danih je n točk T i (ξ i , η i )(i =0, 1,...,n− 1; n ≥ 3) vravnini, ki jih želimo povezati z gladko krivuljo (zlepkom) K = ∪ n−2i=0 K i,K i = {(x i (t),y i (t)) : 0 ≤ t ≤ 1},kjer so x i (t) in y i (t) kubični polinomi. Natančneje, določiti želimo koeficiente a ij in b ij kubičnih polinomovx i (t) ≡ a i0 + a i1 t + a i2 t 2 + a i3 t 3 in y i (t) ≡ b i0 + b i1 t + b i2 t 2 + b i3 t 3 ,i∈ {0,...,n− 2}, da bo zadoščenonaslednjim petim pogojem:(i) x i (0) = ξ i in y i (0) = η i za i ∈ {0,...,n− 2} ter x n−2 (1) = ξ n−1 in y n−2 (1) = η n−1(ii) x i (1) = x i+1 (0) in y i (1) = y i+1 (0) za i ∈ {0,...,n− 3}(iii) x 0 i (1) = x0 i+1 (0) in y0 i (1) = y0 i+1 (0) za i ∈ {0,...,n− 3}(iv) x 00i (1) = x00 i+1 (0) in y00 i (1) = y00 i+1 (0) za i ∈ {0,...,n− 3}(v) x 000(0) = x 00 n−2(1) = 0 in y0 00 (0) = yn−2(1) 00 = 0 .Pogoja (i) in (ii) zahtevata, da poteka zlepek K skozi dane točke v predpisanem vrstnem redu (urejenost), zzačetno točko T 0 in končno.točko T n−1 . Pogoj (iii) zahteva, da je stik krivulj K i in K i+1 vtočki T i+1 gladekza vsak i ∈ {0,...,n− 3}. Pogoj (iv) zahteva, da je stik krivulj K i in K i+1 vtočki T i+1 gladek reda 2 zavsak i ∈ {0,...,n− 3}. (Ta pogoj lahko tolmačimo fizikalno z ekvivalentno zahtevo, da je pospešek gibanjapo krivulji K zvezen.) Pogoj (v) zahteva, da je ukrivljenost krivulje K vnjenizačetni in končni točki enak 0.(Fizikalna interpretacija tega pogoja je zahteva, da je pospešek v obeh skrajnih točkah enak 0. Tudi v statikinajdemo motiv za ta pogoj - upogib elastične ravne palice, ki ni vpeta na konceh - upogibnico aproksimiramo zzlepkom.) Ta, zadnji pogoj imenujemo homogeni naravni pogoj.Reševanje zgornje naloge se prevede na reševanje sistema linearnih enačb za koeficiente a ij in b ij .Naloga. Za urejeni četverici točk T =((0, 0), (1, 4), (2, 2), (3, 1)) in T ∗ =((3, 1), (1, 4), (2, 2), (0, 0)) določitepolinome x i (t) in y i (t),i∈ {0, 1, 2}.(Rešitev. Tabela T določa polinome x 0 (t) ≡ t, y 0 (t) ≡ 17 3 t − 5 3 t3 ; x 1 (t) ≡ 1+t, y 1 (t) ≡ 4+ 2 3 t − 5t2 + 7 3 t3 ;x 2 (t) ≡ 2+t in y 2 (t) ≡ 2 − 7 3 t +2t2 − 2 3 t3 ter tabela T ∗ določa polinome x ∗ 0(t) ≡ 3 − 3t + t 3 ,y0 ∗(t) ≡ 1+ 13 3 t − 4 3 t3 ; x ∗ 1 (t) ≡ 1+3t2 − 2t 3 ,y1 ∗(t) ≡ 4+ 1 3 t − 4t2 + 5 3 t3 ; x ∗ 2 (t) ≡ 2 − 3t2 + t 3in y2(t) ∗ ≡ 2 − 8 3 t + t2 − 1 3 t3 .)Vračunalniškem programu Mathematica najdemo podprograma (Standard Package)

2. Navedite vsaj en zadostni pogoj za to, da je funkcija f :[a, b] → R integrabilna (v onovnem Riemannovemsmislu) !½ 2 , če je x =03. Ali je funkcija f: [0, 1] −→ R, kjer jef(x) = sin x, integrabilna (v onovnem Riemannovemx, če je x 6= 0smislu) ?½ 0 , če je x =04. Ali je funkcija f: [0, 1] −→ R, kjer jef(x) = 12 √ , če je x 6= 0, integrabilna (v onovnem Riemannovemxsmislu) ?5. Ali obstaja (delta) funkcija δ: [−1, 1] → R , da je δ(x) =0 za vsak x 6= 0 in da je (RiemannovR 1integral) δ(x)dx 6= 0?−1½ 18 − 12x, če je 0 ≤ x ≤ 16. Prepričajte se, da je funkcija f: [0, 2] −→ R, kjer jef(x) =0 , če je 1

17. Osnovni izrek integralskega računa (Newton-Leibniz) − primer ?18. Za funkcijo L: R + → R, kjer je L(x) ≡ ln x, izpeljite formulo za odvod L 0 (x)!19. Za funkcijo ER :→ R + , kjer je E(x) ≡ exp x, izpeljite formulo za odvod E 0 (x)!£20. Neposredno in s pomočjo integrala izračunajte limito lim 1P nn→∞ n k=1 (1 + k n )2¤ !21. Ali je funkcija F : R → R,kjerje F (x) = R x dt0 ln(2+t 2 )za vsak x ∈ R, odvedljiva v točki 0 in če je, kolikoje F 0 (0) ?22. Ali je funkcija f: R → R, kjer je f(x) = R x1je, izračunajte njen odvod f 0 (−1) !23. Pod kakšnim kotom seka krivulja z enačbo y = R x0dtln(e+t 2 )za vsak x ∈ R, odvedljiva v točki x = −1 in čedtln(e+t 2 ), (x ∈ R) abscisno os ?24. Za funkcijo f : R → R, kjer je f(x) = R 1x e− t2 2 dt za vsak x, določite odvod f 0 (0) !25. Ali je funkcija F : R → R, kjerje F (x) = R x 2x cos(t2 ) dt za vsak x ∈ R, odvedljiva v točkah x =0inx =1in če je, koliko je F 0 (0) in F 0 (1) ?26. Formulirajte osnovni in posplošeni izrek o srednji vrednosti funkcije f: [a, b] → R !27. S pomočjo odvoda (N-L teorem) funkcijey = F (x) (−2 ≤ x ≤ 2) !F : x 7→ R x−1 e−t2 dt skicirajte krivuljo28. S pomočjo odvoda (N-L teorem) funkcijey = y(x) (0≤ x ≤ 2π) !y : x 7→ R xsin(sin t) dt0skicirajte krivuljo29. S pomočjo odvoda (N-L teorem) funkcije y : x 7→ R x sin tdt0 1+t+sin ty = y(x) (0≤ x ≤ 9) !skicirajte krivuljo30. S pomočjo odvoda (N-L teorem) funkcijey = y(x) (0≤ x ≤ √ 2π) !y : x 7→ R x1 sin(t2 ) dt skicirajte krivuljo31. Formulirajte izrek o integraciji po delih, t. j. zapišite formulo in navedite pogoje pri katerih ta formula velja !32. Za poljuben n ∈ N in poljubna u, v ∈ C n [a, b] preverite posplošeno formulo integracije po delih (popolnaindukcija)Z "bn−1# bXZ bu(t) v (n) (t) dt = (−1) i u (i) (t) v (n−1−i) (t) +(−1) n v(t) u (n) (t) dtai=0aa!33. Pri kakšnih pogojih glede funkcij x 7−→f(x) in t 7−→x(t) gotovo velja enakostZ βαf(x(t)) ẋ(t) dt =Z x(β)x(α )f(x) dx ?34. (a) Formulirajte izrek√o uvedbi nove spremenljivke v določeniintegral!(b) Vintegral 1+4x2 dx uvedite novo spremenljivko t =2x !R 1035. S substitucijo x = cost neposredno v določeni integral izračunajte integralR 0 √−1 1 − x2 dx !36. Za zvezno bijektivno funkcijo f :[x 1 ,x 2 ] → [y 1 ,y 2 ], ki ima zvezno inverzno funkcijo f −1 :[y 1 ,y 2 ] → [x 1 ,x 2 ],izpeljite formuloZ y2y 1f −1 (y) dx = £ yf −1 (y) ¤ y 2y 1−(Uporabite substitucijo y = f(x) in integrirajte po delih !)37. Sistem enačb:Z ππ2Z x2x 1f(x) dx !pZ π pZ π1+sin(2x)dx = (sin x +cosx)2 dx = (sin x +cosx)dx =0je protisloven, saj je očitno prvi integral pozitiven (zakaj?). Kje je napaka ?π2π2944/142

38. Kje je napaka v naslednjih protislovjih:(a) 0 < R 20(b) 0 < R qπ 1+cos 2x0 2dx = R π0dx(x−1)= 2h− 12x−1i = −20√cos2 xdx = R π0 cos xdx =[sinx]π 02√ =0tdt =0(c) t = x 2 3 =⇒ 0 < R 1−1 x 2 3 dx = R 11 t · 3(d) t = tg x 2 =⇒ 0 < R 2π dx0 4−3cosx = R 00(e) 0 > R 1−1R 1−1³ddx´11+e 1/x39. Izračunajte integrala:Skicirajte grafa funkcij f : R → R in g : R → R, kjer je2dt(1+t 2 )(4−3 1−t21+t 2 ) =0³ ´− 11+xdx = £ arctg 1 1x¤ 2 −1 = π 2?dx in R 100π √0 1 − cos 2xdx !f(x) =½ ¡ ¢1/ 1+e1/x, če je x 6= 01 , če je x =0in g(x) =½ f 0 (x) , če je x 6= 00 , če je x =0.40. Prepričajte se, da je R x0 et2 dt < e x − 1 za vsak x ∈ (0, 1] !41. Za zaporedje n 7→ r n (x) := R x0t 2n1+t 2 dt dokažite, da je limn→∞ r n(x) =0, če je |x| ≤ 1 ter da jelim |r n(x)| = ∞, če je |x| > 1!n→∞42. Definirajte izlimitirani (nepravi) Riemannov integral neomejene funkcije po omejenem intervalu ter integralzvezne funkcije po neomejenem intervalu !43. Razložite pojem Cauchy-jeve glavne vrednosti !44. Formulirajte Cauchy-jeva pogoja za izlimitirana integrala R ba f(x) dx in R ∞g(x) dx, kjer sta funkcijiaf :[a, b) → R in g :[a, ∞) → R zvezni in je f neomejena !45. Kakšen je pomen Cauchy-jevega pogoja za izlimitirani integral ?46. Definirajte realni funkciji Γ in B !47. Opišite Stirlingovo formulo in povejte za kaj se uporablja !48. Kako bi izračunali ploščino med krivuljama K 1 = {(x, f(x)) : a ≤ x ≤ b} inK 2 = {(x, g(x)) : a ≤ x ≤ b} , če sta funkciji f in g zvezno odvedljivi in je f(x) ≤ g(x) za vsakx ∈ [a, b]?49. Kaj je to ploščinski element lika L = {(x, y) :a ≤ x ≤ b, f 1 (x) ≤ y ≤ f 2 (x)} pri zveznih funkcijahf 1 ,f 2 :[a, b] → R ?50. Izpeljite formulo za volumen rotacijskega telesa, ki ga pri rotaciji okrog osi x (osi y) popiše likL = {(x, y) :a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} , kjer je funkcija f :[a, b] → R zvezna !51. Kaj je to ločni element gladke krivulje?52. Izpeljite formulo za površino rotacijskega telesa, ki ga pri rotaciji okrog osi x (osi y) popiše krivuljaK = {(x, f(x)) : a ≤ x ≤ b} , kjer je funkcija f :[a, b] → R zvezno odvedljiva !53. Kaj je to površinski element rotacijskega telesa ?54. Izpeljite formulo za geometrijski vztrajnostni moment lika L = {(x, y) :a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} glede naos x (os y) , kjer je funkcija f :[a, b] → R zvezna !55. Izpeljite formulo za geometrijsko središče (težišče) lika L = {(x, y) :a ≤ x ≤ b, f 1 (x) ≤ y ≤ f 2 (x)} gledena os x (os y), kjer sta funkciji f 1 ,f 2 :[a, b] → R zvezni !1045/142

PRIIMEK IME VPISNA ŠTEVILKA SMER NALOGA TOČKE1.2.3.SKUPAJ2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIČNE ANALIZE I (9.1.2006)Navodilo: vsako nalogo rešuj na strani, kjer je napisana. Če bo naloga reševana kje drugje, mora biti to posebejoznačeno. Veliko sreče pri reševanju!1. naloga: Dokaži, da vrsta ∑ ∞n=1 (−1)n n+1konvergira. Najmanj koliko členov je treba sešteti,(n+2) 2da se bo seštevek od vsote vrste razlikoval za manj kot 0, 1?(40 točk)46/142

2. naloga: Določi parametra a in b tako, da bo funkcija f(x) zvezna na svojem naravnemdefinicijskem območju.⎧sin ax⎪⎨ ; x < 0sin xf(x) = bx + 2 ; 0 ≤ x ≤ 1⎪⎩e 11−x ; 1 < x(25 točk)47/142

3. naloga: Izračunaj maksimalno in minimalno vrednost funkcije f(x) = xe x−x2 na intervalu[−1, 0].(35 točk)48/142

49/142

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIČNE ANALIZE I9.1.20061. Dokaži, da vrsta ∑ ∞n=1 (−1)n n+1konvergira. Najmanj koliko členov je treba sešteti, da se(n+2) 2bo seštevek od vsote vrste razlikoval za manj kot 0, 1?(40 točk)2. Določi parametra a in b tako, da bo funkcija f(x) zvezna na svojem naravnem definicijskemobmočju.⎧sin ax⎪⎨ ; x < 0sin xf(x) = bx + 2 ; 0 ≤ x ≤ 1⎪⎩1−x ; 1 < xe 1(25 točk)3. Izračunaj maksimalno in minimalno vrednost funkcije f(x) = xe x−x2 na intervalu [−1, 0].(35 točk)50/142

: ),Qh9iej'&k(l-'Q.).8 T =m+2) : >?0

ó òb¡ä¥å°æ ãÀæ{çó ò¡Uä”å°æ “»Ò¥•‹è?=m- : = Ê &kCE)DQ.) ; 0

û½Ét#¤§!"#$¦©¤¡£¢¥¤§¦©¨¢¥¨§¤¢¥¨úT = V )%'&#(*),+2)D/10ANO+.-28£¢ÙZ¥¤§¦ þ¨¦©¤Ç%,=?+¦ þb§ þ¦.Y§¦ þ_q þ¨¦W?Yýüwþÿ¡T = V - ûo )'p4Q7= V =?34)4/DNO+.-285AQ{-NOF.>?0

ó ò£Éó ò§Ó ,i ¤ªÓ ,i ¤¦ÓªÉ½ e¡ ±©ió ò£ðIwñ"^ó ò§he ½?=EQ{-'+75{0

55/142

56/142

57/142

58/142

59/142

60/142

61/142

62/142

63/142

64/142

65/142

66/142

67/142

Tehnično projeciranje= postopek po katerem iz tridimenzionalnega predmeta dobimo njegovo dvodimenzionalno sliko.Perspektivna projekcija= vse daljice, ki so v naravi sicer vzporedne se sekajo v določeni točki.Bežičče= točka v kateri se sekajo vzporednice, ki ležijo sicer v kakčni drugi ravnini.Invarianta projekcije= ohranjanje neke lastnosti originala na projekciji.Rasterizacija= postopek, ki iz vektorske slike naredi rasterNekaj vpračanj iz opisne geometrije:• Tehnična pisava: od česa je odvisna velikost znakov?• Če je 'srednja' črta debela 0.5 mm, kako debela je najbolj 'debela' črta?• Pri kakšnih projekcijah je pravokotnost invarianta?• Definiraj razliko med bočnim in stranskim risom! Lahko skica.• Kaj so homogene koordinate, zakaj jih uvedemo?• Opiši vrste modelov za predstavitev teles, ki jih najdemo v CAD programih!• V čem je razlika med ločljivostjo in barvmno globino rasterske slike?• Naštej tri grafične izhodne naprave!• Tehnična pisava: kako sta povezani debelina pisala in velikost pisave; pojasni s pomočjo primera! Skica dobrodošla.• Če je 'tanka' črta debela 0.25 mm, kako debeli sta 'srednja' in 'debela' črta v gradbeniških risbah po DIN?• Pri kakšnih projekcijah je vzporednost invarianta?• Definiraj razliko med poševno in pravokotno projekcijo!• Kaj je koincidenčna premica?• Opiši vrste programov za risanje!• V čem je razlika med ukazi TRIM in CUT in ERASE v programu AutoCAD?• Naštej tri grafične vhodne naprave!• Kdaj se pri perspektivni projekciji ohranja merilo?• Definiraj ravnino koincidence in ravnino simetrije!• Kakšna je matrika premika za vektor (Dx, Dy, Dz) v homogenih koordinatah?• Koliko različnih barv lahko prikaemo na sliki, ki ima po 8 bitov za vsako osnovno barvo. Zadostuje izraz.• V čem je bistvena razlika med programi tipa draw in paint?• Kratko opiši žični, ploskovni in volumenski model; kako ti vplivajo na vernost slike?• Tehnična pisava: od česa je odvisna velikost znakov?• Kakšno je razmerje med višino in širino B formatov papirja?• Kaj je invarianta projekcije? Naštej dva primera!• Definiraj razliko med bočnim in stranskim risom. Lahko skica.• Računalniška grafika: kaj je raserizacija?• Kratko razloži razliko med draw, paint in CAD programi?• Kaj nardita v programu AutoCAD ukata TRIM in EXTEND?• Naštej tri grafične izhodne naprave!• Kako sta definirani oblika in velikost formata B0?• Rišemo v merilu 1:100; kako debela naj bo tanka črta?• Kdaj se pri perspektivni projekciji ohranja merilo?• Definiraj ravnino koincidence in ravnino simetrije!• Kaj so homogene koordinate; kakšna je matrika premika za vektor (Dx, Dy, Dz) v homogenih koordinatah?• Razloži razliko med barvno globino in ločljivostjo rasterske slike.• V čem je razlika med ukazi EXTEND in STRECH v programu AutoCAD?• Natej in kratko opiši vrste volumenskih koordinat!• Naštej tri primerne debeline pisala za tehnično risbo v gradbeništvu?• V kakšnem razmerju naj bi bili višini črt 'a' in 'H' v tehnični pisavi?• Pojasni, kaj je bežišče.• Kaj je princip dualnosti; en primer?• Zakaj eno od vrst volumskih modelov imenujemo 'model drobitve prostora'. Kako deluje?• V čem je podobnost med ploskovnimi in volumskimi modeli? Kje so razlike?• Kako so v računalniku predstavljene barve?• Opiši razliko med 'model space' in 'paper space'?68/142

MOŽNA IZPITNA VPRAŠANJA ZA OPISNO GEOMETRIJO Z ODGOVORI:1. Od česa je odvisna velikost znakov pri tehnični pisavi?Velikost znakov je odvisna od debeline pisave.2. Kakšno je razmerje med velikostjo in debelino pisave?- tanka 14d- debela 10d- zelo debela 7d3. Kakšno je razmerje med višino in širino B formatov papirja?- višina B1 X = √ Xa0 * Xa1Y = √ Ya0 * Ya14. V kakšnem razmerju naj bi bili višini črke a in H v tehnični pisavi?- a√2 = H5. Naštej tri debeline pisal v teh. risbah?- 0.25- 0.35- 0.56. Če je tanka črta debela 0.25 mm, kako debeli sta potem srednja in debela?- srednja 0.25 * √2 = 0.35- debela 0.25 * √2 *√2 = 0.57. Kakšno je razmerje med višino in širino pri teh. pisavi?Razmerje je 7 : 18. Kaj je invarjantna projekcija. Naštej 3 primere!Je ohranjanje neke lastnosti originala na projekciji.- centralna- splošno vzporedna- pravokotna9. Kdaj se pri perspektivni projekciji ohranja merilo?Merilo se ohranja v ravnini, ki je vzporedna projekcijski ravnini.10. Pri kakšnih projekcijah je vzporednost invarjantna?Vzporednost je invarjantna v splošni vzporedni projekciji, kjer je ravnina vzporedna sprojekcijsko ravnino in vzporednice ostanejo vzporednice.11. Pri kakšnih projekcijah je pravokotnost invarjantna?Pravokotnost je invarjantna pri pravokotni projekciji, kjer pravi kot ostane pravi, če jeeden od krakov vzporeden s projekcijsko ravnino.12. Definiraj razliko med poševno in pravokotno projekcijo?POŠEVNA: kraki padajo na projecirno ravnino pod kotomPRAVOKOTNA: vzporedni kraki padajo na projecirno ravnino pod pravim kotom13. Kaj naredita v programu AUTOCAD ukaza TRIM in EXTEND?TRIM: gradnike obrezujemo na druge gradnikeEXTEND: gradnike podaljšujemo do drugih gradnikov14. V čem je razlika med ukazoma STRECH in SCALE?STRECH: raztegujemo podatkeSCALE: povečujemo podatke15. Računalniška predstavitev teles:ŽIČNI model; 3D daljicePLOSKOVNI model; 3D ploskve, krive ploskve, daljice se usmerjajo tako, da skupajobkrožijo ploskevVOLUMENSKI model- MEJNI; zvari ploskve na skupni rob69/1421

- KONSTRUKTIVNI; zapletena telesa dobi z operacijami unija, presek,odštevanje- MODEL RAZDELITVE PROSTORA; razdeli prostor, ki ga modelira na dele, kiso popolnoma zapolnjeni s telesom, dele, ki so popolnoma prazni, in dele, ki sodeloma polni, deloma prazni. Slednji deli najprej zaželjene stopnje natančnosti.Delitev je lahko na oktante ali specializirane oblike, ki se prilagajajo obliki telesa.16. Kaj so homogene koordinate in zakaj jih uvedemo?Uvedemo jih, ko množica nepravih točk A tvori nepravo smer ravnine π, zatouvedemo koordinate, kjer velja X = X1 / X0 in Y = Y1 / X017. Kaj je PROJEKT?Je investicijska naloga za izvedbo vseh ali samo določenih del,kot se dogovorijo zmedsebojno pogodbo udeleženci v poslu.18. Kaj je NAČRT?Je skupni pojem za idejni načrt ali tehnično dokumentacijo, ki ga sestavljajo risbe,skice, detajli, izračuni, poročila, elaborati in druge tehnične specifikacije.19. Kaj je RISBA?Je grafično izraženi del načrta, ki mora biti narisana v skladu s standardom.20. Naštej vrste risb!- situacijska risba ( objekt in zemljišče … manjše merilo)- idejna risba ( komunikacija z naročnikom ali preko meja stroke )- glavna ali vložna risba ( 1:100 )- izvršilna risba ( 1:50 )- detajlna risba ( 1:25, 20, 10, 5, 1 )21. Naštej risarske elemente!- standardi- enote- papir- črte- pisava- kotiranje22. Kateri so osnovni elementi projekcije, naštej nekaj primerov?Elementi:- predmet- gorišče projekcije- projicirni žarki ( od gorišča )- projekcijska ravninaPrimeri:- sence v naravi- film, grafoskop- tehnično projeciranje23. Tehnično projeciranje!Je postopek po katerem iz 3D predmeta v prostoru dobimo njegovo 2D sliko naploskem mediju. Projekcija je slika predmeta.Splošne projekcije projecirajo napoljubno ploskev npr. na valj, stožec,…Ravninske projekcije pa projecirajo naravnino.70/1422

24. Naštej nekaj grafičnih vhodnih naprav!• 2D in 3D lokatorji ( miške, svetlobna peresa, zasloni občutljivi na dotik,grafične tablice,sledilne krogle, XY drsniki )• podatkovne rokavice, 3D kazalniki• čitalniki slik ( skenerji )• pretvorniki gibljivih slik v računalniško obliko25. Naštej nekaj grafičnih izhodnih naprav!Zaslon,risalniki, tiskalniki, druge naprave.26. Opiši računalniški zapis slik ( rasterski, vektorski )!Rasterski: množica pik, pixlov, elementov slike. Računalnik sliko razreže v raster in sizapomni barvo v vsaki točki rastra slike. Natančnost slike je odvisna od zrnatosti rastra( št. elementov ) in št. barv vsakega elementa.Vektorski zapis: vektorji, geometrijski liki, telesa, predmeti. Računalnik si zapomnielemente – primitive - iz katerih je sestavljena slika.Primeri primitivov so daljice,krogi, elipse,….27. Kakšno oznako imajo slovenski in kakšno mednarodni standardi in kajpomenijo?Mednarodni: ISOSlovenski: SIST, JUS, DIN, ASA, BSIKaj pomenijo:28. Kako določimo velikost formata A0, B0,C0?A0: 1m2 ( X*Y=1 )B0: YB1 = √(YA0*YA1)C0: geometrična sredina med A in B29. Skiciraj kocko v standardni dimetrični in standardni izometrični projekciji inoznači bistvene značilnosti!1230. Naštej vrste projekcij!Glede na osnovne elemente: ortogonalne; vzporedni žarki pravokotni na projekcijskoravnino, poševne: vzporedni žarki pod kotom na projekcijsko ravnino, perspektivneali centralne: gorišče blizu predmetaGlede na koordinatni sistem: aksonometrične: vse osi KS prebadajo projekcijskoravnino, smerne:ena os KS je vzporedna s proj. ravnino, čelne: dve osi KS vzporednis proj. ravninoGlede na merilo v projekciji: izometrične: eno merilo velja na vseh treh oseh, keržarki z vsemi osmi oklepajo enak kot, dimetrične: dve merili, isto za dve osi skaterimi žarki oklepajo enak kot, trimetrične: različno merilo velja za vse 3 osi71/1423

Prirojene projekcije: Mongeova – prirojeni ortogonalni proj., kotirana: tlorisi +vpisana koordinata z31. Naštej tehnične značilnosti rasterskih in vektorskih zaslonov!Rasterski: slika je sestavljena iz množice elementov ( element slike…pictureelement…pixel Vektorski: slika je sestavljena iz množice vektorjev.32. Kaj je značilno za ilustratorske programe?Urejajo sliko narejeno iz 2D primitivov, o primitivu poznajo obliko, položaj indodatne lastnosti ( barvo, način zapolnitve); praviloma 2D, risanje v merilu risbe, zaizdelavo shematičnih skic, diagramov enostavnih načtrov33. Kaj je značilno za slikarske programe?Urejajo raster, primerni za retuširanje fotografij, obdelavo skeniranega materiala, »primitiv » je pixel (slikovni element )34. Definiraj razliko med bočnim in stranskim risom. Skica!P in P ležita na prirednici; višina Z se ohranja35. Računalniška grafika. Kaj je rasterizacija?Osnovni postopki: rasterizacija, koordinatni sistem, geometrijske transformacije,gledanje v 3 dimenzijah, vizualni realizemRasterizacija: je postopek ko sliko spremenimo v raster ki ga zna naprava narisati.Rasteriziramo daljice, kroge, krivulje… važne lastnosti postopka: hitrost prenosljivost36. Definiraj ravnino koincidence in ravnino simetrije!Ravnina koincidence: točke P, katerih tloris in naris sovpadajo, ležijo v simetralniravnini 2. in 4 kvadranta.Ravnina simetrije: Točke P, katerih P in P sta simetrični na X 12 ležijo v simetralniravnini1 in 3 kvadranta.72/1424

Predmet:RokTočke:Ocena:OPISNA GEOMETRIJA4.5.2004/Priimek in ime: Letnik vaj Smer študija: Poskus:/1. (15) Nariši krožni lok z radijem r=5 cm od točke T do premice ptako, da bo lok pravokoten na premico p.2. (25) Poišči manjkajoči ris točke T, ki leži na ravnini, ki je podanas premicama p in r.3. (40) Izračunaj površino kroga, ki nastane kot presek ravnine inkrogle, ki ima središče v točki T in gre skozi točko A, ki leži naravnini.Pomagaj si z bočnim risom. Nariši (15) toloris in nariskrogle – prava velikost radia krogle?, (10) bočni ris krogle inravnine, (5) presek krogle in ravnine, (0) pravo velikost radijapreseka ter (10) presek v tlorisu in narisu.73/142

4. (10) Če je črka a velika 5 mm, kako velika naj bi bila črka H in kolikšen naj bi bil razmak med vrsticami. Skica! S kako debelimpisalom bi morala biti narisana v ISO-B pisavi.5. (10) Kaj veš o kotirnih mejah? Skice!6. (10) Skiciraj kocko v standardni izometrični projekciji in označi bistvene značilnosti te projekcije.7. (10) Kaj je druga padnica. Pojasni s skico.8. (10) Katere so tehnične značilnosti rasterskih zaslonov?9. (10) Naštej in pojasni dva glavna načina za računalniški zapis slik. Kako se ta dva na]ina odražata pri napravah za risanje velikihrisb?10. (10) Kaj je značilno za slikarske programe?11.(10) Kaj so v CAD programih plasti in zakaj jih uporabljmo?74/142

Predmet:OPISNA GEOMETRIJASkupina:ARok17.2.2004Priimek in ime: Vpisna številka: Letnik vaj Obkroži smer študija:Rezultati bodo objavljeni v petek zjutraj, dvig vaj in vpis ocen bo v ponedeljek, 20.3. 12:00-12:30, zagovori pa 12:30-13:00.1. (20) Nariši ločno prehodnico z r=3cm med premico in krožnico.Označi začetno in končno točko.Točke:/GRA GEO UNI VSŠ VKIOcena:Poskus:2. (20) Določi vidnost premic p in q tako, da del v prvem kvadrantunarišeš debelo in skrito premico prekineš./3. (40) Pokončen valj stoji na ravnini Π 1 , os gre skozi točko T,radij pa je 2cm. Odrežemo ga z ravnino ε. Nariši telo (tloris innaris), ki pri tem nastane.75/142

4. (10) Kaj veš o DIN formatih papirja.5. (10) Skiciraj odnos med informacijskimi in materialnimi procesi v tehniki?6. (10) Od česa je odvisna debelina najdebelejše črte v tehničnih risbah?7. (10) Naštej in s skico pojasni vrste projekcij glede na lego telesa glede na projekcijsko ravnino?8. (10) Definiraj in skico pojasni, kaj je soslednica?9. (10 ) V čem je bistvena razlika med programi za tehnično risanje in programi za načrtovanje?10. (10) Kaj naredi ukaz EXTEND v AutoCADu?11.(10) Kako so lahko v računalnikih predstavljena telesa? Skica vseh treh načinov!76/142

Predmet:RokTočke:Ocena:OPISNA GEOMETRIJA16.9.2003 (A) /Priimek in ime: Letnik vaj Smer študija: Poskus:/1. (20) Približno konstruiraj elipso, ki ima gorišči f 1 in f 2 in greskozi točko T.2. (20) Nariši tloris in naris pokončnega stožca, ki ima vrh v točkiA, točka T pa je ena od točk na plašču. Stožec stoji na tlorisniravnini.3. Na ravnini ε konstruiraj kvadrat, ki ima za stranico daljico AB.Kvadrat naj v celoti leži v prvem kvadrantu.77/142

4. (10) Kaj je zlati rez? Skica!5. (10) Kako je določena velikost formata A0.6. (10) Skiciraj kocko v poševni, dimetrični projekciji in označi bistvene značilnosti te projekcije.7. (10) Definiraj, kaj je padnica! Skica!8. (10) Pojasni razliko med risalniki in tiskaniki.9. (10) Kaj je »ločljivost« rasterske slike; kako vpliva na kvaliteto slike?10. (10) Naštej in opiši postopke za senčenje?11.(10) Kaj so v CAD programih bloki?78/142

Predmet:RokTočke:Ocena:OPISNA GEOMETRIJA18.3.2003 B /Priimek in ime, vpisna številka: Letnik vaj Smer študija: Poskus:/1. (15) Nariši pravilni osem-kotnik, ki ima za stranico daljico AB. 2. (25) Poišči manjkajoči ris točke T, ki leži na ravnini, ki je podanas premicama p in r.3. (40) Izračunaj, koliko je v resnici velik trikotnik ABC, ki leži naravnini ε.79/142

4. (10) Izračunaj dimenzije formata A2.5. (10) Kaj veš o zlatem rezu6. (10) Skiciraj kocko v standardni izometrični projekciji in označi bistvene značilnosti projekcije.7. (10) V čem je razlika med bočnim in stranskim risom. Pojasni s skico.8. (10) Čemu je namenjena podatkovna rokavica?9. (10) Naštej in pojasni dva glavna načina za računalniški zapis slik.10. (10) Kaj je značilno za slikarske programe?11.(10) Kaj so v CAD programih plasti?80/142

STATIKA (UNI) - ZIMSKI IZPITNI ROK (28. 01. 2009)RAČUNSKI DEL IZPITA:1. Janezek še vedno ne naredi izpita iz statike. Njegovi diagrami so polni napak. Pomagaj Janezku inoznači vse napake v njegovih diagramih! Napake oštevilči in utemelji vsako napako! Označite tudimesta ekstremnih momentov. (OBVEZNA NALOGA! 25%)[ ][ ][ ].............................................................................................. 2. Za konstrukcijo na sliki izračunajtestopnjo statične nedoločenosti, reakcije innotranje statične količine (N x ,N z ,M y )!/2Rezultate notranjih statičnih količinprikažite z diagrami!Podatki: a =2m, b =3m,q =16kN/m, F =8kN.(OBVEZNA NALOGA! 50% )/2..............................................................................................3. S principom virtualnega dela za konstrukcijona sliki izrazite reakcije v podporah innotranji moment v točki C! (25%)TEORETIČNI DEL IZPITA:Izmed treh zastavljenih vprašanj si izberete dve, na kateri boste odgovarjali. Izbrani vprašanji jasnooznačite! Pišite čitljivo.1. Opišite kinematicne enačbe sistema togih teles ter postopek računanja dejanskega števila prostostnihstopenj sistema togih teles! Opišite tudi razliko med dejanskim in računskim številom prostostnihstopenj! Vse izpeljave ilustrirajte z znacilnimi računskimi primeri (konstrukcija naj ima poleg podportudi vez)!2. Izpelji in opiši obe obliki nadomestnih ravnotežnih pogojev! Z njimi izračunaj reakcije ravninskegaobojestransko previsnega prostoležecega nosilca z različnima prečnima točkovnima silama na prostihrobovih in trikotno prečno linijsko obtežbo v polju!3. Opišite določanje reakcij in notranjih sil statično določenih linijskih konstrukcij z izrekom o virtualnihpomikih! Kot ilustracijo, izračunajte reakcije ter prečni sili ob eni podpri in upogibni moment v poljuravninskega obojestransko previsnega prostoležecega nosilca z razlicnima prečnima tockovnima silamana prostih robovih!81/142

1. Naloga: PRAVILNI DIAGRAMI[ ] [ ] [ ] 82/142

Vpisna številka: 2610____STATIKA (OG) - 1. IZPITNI ROK (19. 06. 2009)naloga12toèkRAČUNSKI DEL IZPITA:Izmed treh računskih nalog je potrebno rešiti samo ustrezne glede na manjkajoče obveznosti! Študenti zdodatno eno računsko nalogo rešujejo prvo nalogo. Študenti z dodatnima dvema nalogama pa rešujejoprvo in drugo nalogo.1. Za konstrukcijo na sliki izračunajtestopnjo statične nedoločenosti, reakcije innotranje statične količine (N x ,N z ,M y )!Rezultate notranjih statičnih količinprikažite z diagrami!Podatki: a =3m, q =8kN/m,F =10kN...............................................................................................3. Za konstrukcijo na sliki izračunajte stopnjostatične nedoločenosti, določite reakcije vpodporah in sile v vseh vezeh.Podatki: a =3m, b =2m,q =4kN/m...............................................................................................3. Za palično konstrukcijo na sliki izračunajtestopnjo statične nedoločenosti in osne sile voznačenih palicah!21/2Podatki: a =3m, F =10kN.43 TEORETIČNI DEL IZPITA:Izmed treh zastavljenih vprašanj si izberete dve, na kateri boste odgovarjali.1. Rezultanta sil in rezultanta momentov. Dokaži, da smernica rezultante sil poteka skozi točko, nakatero računamo rezultanto momentov! Kdaj sta dva sistema sil statično enakovredna?2. Izpeljite ravnotežne pogoje za linijski element z ravno osjo!3. Račun osnih sil v ravninskem paličju! (Opišite vse metode in jih ilustrirajte s primeri! Zapišite samoustrezne ravnotežne enačbe, brez računa!)83/142

Dejan ZupanIZPITNE NALOGE IN REŠITVE NALOG S POSTOPKOM IZ PREDMETA STATIKA NAVISOKOŠOLSKEM ŠTUDIJU GRADBENIŠTVAIgor PlanincVPRAŠANJA IZ TEORIJE PRI PREDMETU STATIKA NAUNIVERZITETNEM ŠTUDIJU GRADBENIŠTVAŠTUDIJSKO LETO: 2006/0784/142

STATIKA (UNI) - ZIMSKI IZPITNI ROK (24. 01. 2007)RAČUNSKI DEL IZPITA:1. Janezek je na izpitu iz statike padel. Njegovi diagrami so polni napak. Pomagaj Janezku in poišci(BREZ RAČUNANJA) vse napake v spodnjih diagramih! Namig: katere reakcije so enake nič?(OBVEZNA NALOGA! 20%)[ ][ ] [ ]..............................................................................................2. Za konstrukcijo na sliki izračunajtestopnjo statične nedoločenosti, reakcije innotranje statične količine (N x ,N z ,M y )!Rezultate notranjih statičnih količinprikažite z diagrami!Podatki: a =3m,F =12kN, q =4kN/m.(OBVEZNA NALOGA! 50% )..............................................................................................3. Za palično konstrukcijo na slikiizračunajte stopnjo statične nedoločenostiin osne sile v vseh palicah! Palici 1 in2 sta izvedeni tako, da se med sabo neovirata. Namig: najprej poišči palice, vkaterih so osne sile nič. (30%)Podatki: a =2m, h =4m, F =3kN.1 2 TEORETIČNI DEL IZPITA:Izmed treh zastavljenih vprašanj si izberete dve, na kateri boste odgovarjali. Izbrani vprašanji jasnooznačite! Pišite čitljivo.1. Računski modeli za opis medsebojnega vpliva med telesi!2. Ravnotežni pogoji za linijski element z ravno osjo (izpeljava diferencialnih enačb)! Ravnotežnepogoje izpeljite za raven ravninski nosilec, ki je obtežen samo z linijsko obtežbo prečno na os nosilca!Kaj so statični robni pogoji pri prostoležečem nosilcu, ki je obtežen samo z linijsko obtežbo?3. Izpeljite in opišite izraz za število odvzetih prostostnih stopenj, ki jih vez odvzame k nepovezanim telesom!Obravnavajte tudi primer, ko imajo vsa telesa na mestu vezi enake nekatere kinematične količine,preostale kinematične količine pa so možne za vsa telesa! (ilustracija s karakterističnimi primeri)85/142

1. Naloga: PRAVILNI DIAGRAMI[ ][ ] [ ] 86/142

87/142

LC1: Load case 1: Upogibni moment My1.00 Action 1368460Enote: kNmLC1: Load case 1: Osna sila Fx1.00 Action 1-33.9424-33.94-1024-2624 24-10-26Enote: kNLC1: Load case 1: Preèna sila Fz1.00 Action 1-12-1212-2-14-26342212Enote: kN88/142AMSES Frame2D - StandardRegistred to: FGG-KMLK

89/142

548.838.82.5214.30.00.0-4.6-0.06.50.02.5-3.43.00-10.5-6.0-6.00.0-10 1 2 3 4 5 6 7 890/142

STATIKA (UNI) - 1. IZREDNI IZPITNI ROK (13. 03. 2007)RAČUNSKI DEL IZPITA:1. Janezek je na izpitu iz statike padel. Njegovi diagrami so polni napak. Pomagaj Janezku in poišci(BREZ RAČUNANJA) vse napake v spodnjih diagramih! (OBVEZNA NALOGA! 25%)[ ] [ ][ ]..............................................................................................2. Za konstrukcijo na sliki izračunajtestopnjo statične nedoločenosti, reakcije innotranje statične količine (N x ,N z ,M y )!Rezultate notranjih statičnih količinprikažite z diagrami!Podatki: a =2m,h =2.5m, q =8kN/m.(OBVEZNA NALOGA! 50% ) ..............................................................................................3. S principom virtualnega dela zakonstrukcijo na sliki izrazite reakcije vpodporah! (25%)91/142

1. Naloga: PRAVILNI DIAGRAMI[ ] [ ][ ] 92/142

93/142

94/142

STATIKA (UNI) - 1. IZPITNI ROK (08. 06. 2007)RAČUNSKI DEL IZPITA:1. Janezek je na izpituiz statike padel. Njegovidiagrami so polni napak.Pomagaj Janezku in poišči(BREZ RAČUNANJA)vse napake v njegovih diagramih!Namig: katerereakcije so enake nič?(OBVEZNA NALOGA!25%)[ ] [ ][ ]..............................................................................................2. Za konstrukcijo na sliki izračunajtestopnjo statične nedoločenosti, reakcije innotranje statične količine (N x ,N z ,M y )!Rezultate notranjih statičnih količinprikažite z diagrami!Podatki: a =4m, b =3m,q =10kN/m.(OBVEZNA NALOGA! 50% )..............................................................................................3. S principom virtualnega dela zakonstrukcijo na sliki izrazite reakcije vpodporah! (25%)TEORETIČNI DEL IZPITA:Izmed treh zastavljenih vprašanj si izberete dve, na kateri boste odgovarjali. Izbrani vprašanji jasnooznačite! Pišite čitljivo.1. Izpeljite ravnotežne pogoje za sile, ki delujejo na sistemu delcev s togimi vezmi in togem telesu!2. Pomiki in zasuki togega telesa (izpeljava enačb za ravninsko gibanje togega telesa)!3. Opišite določanje reakcij in notranjih sil statično določenih linijskih konstrukcij z izrekom o virtualnihpomikih! Razumevanje ilustrirajte na obojestransko previsnem prostoležečem nosilcu s prečnimatočkovnima silama na prostih robovih! Izračunajte vse reakcije ter notranje sile na sredini razpona!95/142

1. Naloga: PRAVILNI DIAGRAMI[ ] [ ][ ] 96/142

97/142

98/142

99/142

100/142

STATIKA (UNI) - 2. IZPITNI ROK (26. 06. 2007)RAČUNSKI DEL IZPITA:1. Janezek je na izpitu iz statike padel. Njegovi diagrami so polni napak. Pomagaj Janezku in poišči(BREZ RAČUNANJA) vse napake v njegovih diagramih! Namig: katere reakcije so enake nič?(OBVEZNA NALOGA! 25%)[ ][ ] [ ]..............................................................................................2. Za konstrukcijo na sliki izračunajtestopnjo statične nedoločenosti, reakcije innotranje statične količine (N x ,N z ,M y )!Rezultate notranjih statičnih količinprikažite z diagrami!Podatki: a =2m, b =3m,q =3kN/m. (OBVEZNA NALOGA! 50% )..............................................................................................3. Za palično konstrukcijo na sliki izračunajtestopnjo statične nedoločenosti in osne sile vpalicah 1, 2 in 3! (25%)Podatki: a =3m, F =5kN.123 TEORETIČNI DEL IZPITA:Izmed treh zastavljenih vprašanj si izberete dve, na kateri boste odgovarjali. Izbrani vprašanji jasnooznačite! Pišite čitljivo.1. Računski modeli za opis medsebojnega vpliva med telesi! Kaj predstavlja obtežna pri linijskemnosilcu?2. Opišite kinematične enačbe sistema togih teles ter postopek računanja dejanskega števila prostostnihstopenj sistema togih teles! (Odgovor ilustrirajte s primerom!).3. Opišite določanje reakcij in notranjih sil statično določenih linijskih konstrukcij z izrekom o virtualnihpomikih (Razumevanje ilustrirajte na enostransko previsnem prostoležečem nosilcu s horizontalnotočkovno silo na previsnem robu. Izračunajte vse notranje sile v izbranem značilnem prečnem prerezunosilca in vse reakcije)!101/142

1. Naloga: PRAVILNI DIAGRAMI[ ] [ ][ ] 102/142

103/142

104/142

105/142

106/142

STATIKA (UNI) - 3. IZPITNI ROK (07. 09. 2007)RAČUNSKI DEL IZPITA:1. Janezek je na izpitu[ ] [ ][ ]iz statike padel. Njegovidiagrami so polni napak.Pomagaj Janezku in poišči(BREZ RAČUNANJA)vse napake v njegovih diagramih!(OBVEZNA NALOGA!25%) ..............................................................................................2. Za konstrukcijo na sliki izračunajtestopnjo statične nedoločenosti, reakcije innotranje statične količine (N x ,N z ,M y )!Rezultate notranjih statičnih količinprikažite z diagrami!Podatki: a =2m, b =3m, c =1.2m,q =5kN/m. (OBVEZNA NALOGA! 50% )..............................................................................................3. S principom virtualnega dela za konstrukcijona sliki izrazite reakcije v podporah innotranji moment v točki C – M C ! (25%) TEORETIČNI DEL IZPITA:Izmed treh zastavljenih vprašanj si izberete dve, na kateri boste odgovarjali. Izbrani vprašanji jasnooznačite! Pišite čitljivo.1. Opišite kinematične enačbe sistema togih teles ter postopek računanja dejanskega števila prostostnihstopenj sistema togih teles! Opišite tudi razliko med dejanskim in računskim številom prostostnihstopenj! Kdaj je konstrukcija statično določena in kdaj je statično nedoločena? Vse izpeljave ilustrirajtez značilnim računskim primerom!2. Izpeljite in opišite obe obliki nadomestnih ravnotežnih pogojev! Rezultate ilustrirajte na primerukontinuirnega nosilca!3. Opišite določanje reakcij in notranjih sil statično določenih linijskih konstrukcij z izrekom o virtualnihpomikih! Kot ilustracijo, izračunajte vse reakcije in notranje statične količine na konzoli s točkovnimmomentom na prostem robu!107/142

1. Naloga: PRAVILNI DIAGRAMI[ ] [ ] [ ] 108/142

109/142

110/142

111/142

112/142

STATIKA (UNI) - 4. IZPITNI ROK (20. 09. 2007)RAČUNSKI DEL IZPITA:1. Janezek še vedno ne naredi izpita iz statike. Njegovi diagrami so polni napak. Pomagaj Janezku inoznači vse napake v njegovih diagramih! Napake oštevilči in utemelji vsako napako! (OBVEZNANALOGA! 25%)[ ][ ] [ ]..............................................................................................2. Za konstrukcijo na sliki izračunajtestopnjo statične nedoločenosti, reakcije innotranje statične količine (N x ,N z ,M y )!Rezultate notranjih statičnih količinprikažite z diagrami!Podatki: a =2.4m, b =1m,q =4kN/m.(OBVEZNA NALOGA! 50% )..............................................................................................3. Za palično konstrukcijo na sliki izračunajtestopnjo statične nedoločenosti in osne sile vpalicah! (25%)/2Podatki: a =4m, h =6m, F =5kN./3/2 /2 TEORETIČNI DEL IZPITA:Izmed treh zastavljenih vprašanj si izberete dve, na kateri boste odgovarjali. Izbrani vprašanji jasnooznačite! Pišite čitljivo.1. Računski modeli za opis medsebojnega vpliva med telesi!2. Ravnotežni pogoji za linijski element z ravno osjo (izpeljava diferencialnih enačb)! Ravnotežnepogoje izpeljite za raven nosilec, ki je obtežen samo z linijsko obtežbo prečno na os nosilca! Kaj sostatični robni pogoji pri prostoležečem ravninskem nosilcu, ki je obtežen samo z linijsko obtežbo?3. Opišite določanje reakcij in notranjih sil statično določenih linijskih konstrukcij z izrekom o virtualnihpomikih (Razumevanje ilustrirajte na enostransko previsnem nosilcu s prečno in horizontalno točkovnosilo na previsnem robu. Izračunajte vse notranje sile v izbranih značilnih točkah nosilca in vse reakcije)!113/142

1. Naloga: PRAVILNI DIAGRAMI[ ][ ] [ ] 114/142

115/142

116/142

117/142

118/142

STATIKA (UNI) - 2. IZREDNI IZPITNI ROK (06. 12. 2007)RAČUNSKI DEL IZPITA:1. Janezek je na izpitu izstatike padel. Njegovi diagramiso polni napak. PomagajJanezku in poišči (BREZRAČUNANJA) vse napakev njegovih diagramih! Napakeoštevilči in utemeljivsako napako! (OBVEZNANALOGA! 25%)[ ] [ ][ ]..............................................................................................2. Za konstrukcijo na sliki izračunajtestopnjo statične nedoločenosti, reakcije innotranje statične količine (N x ,N z ,M y )!Rezultate notranjih statičnih količinprikažite z diagrami!Podatki: a =2m, b =1m,c =4m, q =5kN/m.(OBVEZNA NALOGA! 50% ) ..............................................................................................3. S principom virtualnega dela za konstrukcijona sliki izrazite reakcije v podporah! (25%) TEORETIČNI DEL IZPITA:Izmed treh zastavljenih vprašanj si izberete dve, na kateri boste odgovarjali. Izbrani vprašanji jasnooznačite! Pišite čitljivo.1. Izpeljite ravnotežne pogoje za sile, ki delujejo na sistemu delcev s togimi vezmi in togem telesu!2. Opišite kinematične enačbe sistema togih teles ter postopek računanja dejanskega števila prostostnihstopenj sistema togih teles (ilustracija z značilnim primerom)!3. Opišite določanje reakcij in notranjih sil statično določenih linijskih konstrukcij z izrekom o virtualnihpomikih (pomagajte si s primerom)!119/142

1. Naloga: PRAVILNI DIAGRAMI[ ] [ ][ ] 120/142

STATIKA (UNI) - ZIMSKI IZPITNI ROK (23. 01. 2008)RAČUNSKI DEL IZPITA:1. Janezek še vedno ne naredi izpita iz statike. Njegovi diagrami so polni napak. Pomagaj Janezku inoznači vse napake v njegovih diagramih! Napake oštevilči in utemelji vsako napako! Namig: določiosno silo v palici. (OBVEZNA NALOGA! 25%)[ ][ ] [ ]..............................................................................................2. Za konstrukcijo na sliki izračunajtestopnjo statične nedoločenosti, reakcije innotranje statične količine (N x ,N z ,M y )!Rezultate notranjih statičnih količinprikažite z diagrami!/2Podatki: a =5m, b =3m,q =8kN/m./2 /2(OBVEZNA NALOGA! 50% )..............................................................................................3. S principom virtualnega dela za konstrukcijona sliki izrazite reakcije v podporah in notranji moment v prijemališču sile F ! (25%) TEORETIČNI DEL IZPITA:Izmed treh zastavljenih vprašanj si izberete dve, na kateri boste odgovarjali. Izbrani vprašanji jasnooznačite! Pišite čitljivo.1. Izpeljite ravnotežne pogoje za sile, ki delujejo na sistemu delcev s togimi vezmi in togem telesu!2. Pomiki in zasuki togega telesa (izpeljava enačb za ravninsko gibanje togega telesa)!3. Opišite določanje reakcij in notranjih sil statično določenih linijskih konstrukcij z izrekom o virtualnihpomikih! Razumevanje ilustrirajte na enostransko previsnem prostoležečem nosilcu s prečno inhorizontalno silo na prostem robu! Izračunajte vse reakcije ter notranje sile na sredini razpona ter obpodporah!121/142

1. Naloga: PRAVILNI DIAGRAMI[ ][ ] [ ] 122/142

STATIKA (UNI) - 1. IZPITNI ROK (09. 06. 2008)RAČUNSKI DEL IZPITA:1. Janezek še vedno ne naredi izpita iz statike. Njegovi diagrami so polni napak. Pomagaj Janezku inoznači vse napake v njegovih diagramih! Napake oštevilči in utemelji vsako napako! (OBVEZNANALOGA! 25%)[ ][ ] [ ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Za konstrukcijo na sliki izračunajtestopnjo statične nedoločenosti, reakcije innotranje statične količine (N x , N z , M y )!Rezultate notranjih statičnih količinprikažite z diagrami!Podatki: a = 2 m, b = 3 m,q = 6 kN/m, F = 10 kN.(OBVEZNA NALOGA! 50% ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. S principom virtualnega dela za konstrukcijona sliki izrazite reakcije v podpori A innotranji moment v točki D – M D ! (25%)TEORETIČNI DEL IZPITA:Izmed treh zastavljenih vprašanj si izberete dve, na kateri boste odgovarjali. Izbrani vprašanji jasnooznačite! Pišite čitljivo.1. Računski modeli za opis medsebojnega vpliva med telesi! Kaj predstavlja obtežna pri linijskemnosilcu?2. Ravnotežni pogoji za linijski element z ravno osjo (izpeljava diferencialnih enačb)! Ravnotežnepogoje izpeljite za raven ravninski nosilec, ki je obtežen samo z linijsko obtežbo prečno na os nosilca!Kaj so statični robni pogoji pri prostoležečem nosilcu, ki je obtežen samo z linijsko obtežbo?3. Pojasnite razliko med računskim in dejanskim številom prostostnih stopenj sistema togih teles!(odgovor ilustrirajte s primeri!). V nadaljevanju pojasnite kaj je statično določen, nedoločen in predoločensistem togih teles!123/142

STATIKA (UNI) - 2. IZPITNI ROK (24. 06. 2008)RAČUNSKI DEL IZPITA:1. Za nosilec na sliki izračunajtereakcije v podporah, sile v vezi terizračunajte in prikažite diagrame notranjihstatičnih količin! (OBVEZNANALOGA! 20%). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Za konstrukcijo na sliki izračunajtestopnjo statične nedoločenosti, reakcije innotranje statične količine (N x , N z , M y )!Rezultate notranjih statičnih količinprikažite z diagrami!Podatki: a = 3 m, b = 2.5 m, c = 1 m,q = 10 kN/m, F = 5 kN.(OBVEZNA NALOGA! 50% ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. S principom virtualnega dela za konstrukcijona sliki izrazite reakcije v podporah innotranji moment v točki D – M D ! (30%) TEORETIČNI DEL IZPITA:Izmed treh zastavljenih vprašanj si izberete dve, na kateri boste odgovarjali. Izbrani vprašanji jasnooznačite! Pišite čitljivo.1. Opišite razliko med računskim in dejanskim številom prostostnih stopenj sistema togih teles. Kakoizračunamo računsko in kako dejansko število prostostnih stopenj? Kako na podlagi teh pojmov razvrstimogradbene linijske konstrukcije? Razumevanje podkrepite s preprostimi primeri!2. Izpeljite in opišite obe nadomestni obliki ravnotežnih pogojev (razumevanje podkrepite s preprostimprimerom)!3. Opišite določanje reakcij in notranjih sil statično določenih linijskih konstrukcij z izrekom o virtualnihpomikih (Razumevanje ilustrirajte na dvostransko previsnem prostoležečem nosilcu s prečno in horizontalnotočkovno silo na previsnem robu. Izračunajte vse notranje sile v izbranem značilnem prečnemprerezu nosilca in vse reakcije)!124/142

STATIKA (UNI) - 3. IZPITNI ROK (05. 09. 2008)RAČUNSKI DEL IZPITA:1. Za paličje na sliki določite osne silev označenih palicah. (25%)Podatki: a = 3 m, b = 2 m,F = 4 kN.3421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Za konstrukcijo na sliki izračunajtestopnjo statične nedoločenosti, reakcije innotranje statične količine (N x , N z , M y )!Rezultate notranjih statičnih količinprikažite z diagrami!Podatki: a = 2 m, b = 1.5 m,q = 5 kN/m, F = 10 kN.(OBVEZNA NALOGA! 50% ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. S principom virtualnega dela za konstrukcijona sliki izrazite reakcije v podporah innotranji moment v točki B – M B ! (25%)TEORETIČNI DEL IZPITA:Izmed treh zastavljenih vprašanj si izberete dve, na kateri boste odgovarjali. Izbrani vprašanji jasnooznačite! Pišite čitljivo.1. Izpeljite ravnotežne pogoje za sile, ki delujejo na sistemu delcev s togimi vezmi in togem telesu!2. Pomiki in zasuki togega telesa (izpeljava enačb za ravninsko gibanje togega telesa)!3. Opišite določanje reakcij in notranjih sil statično določenih linijskih konstrukcij z izrekom o virtualnihpomikih! Razumevanje ilustrirajte na obojestransko previsnem prostoležečem nosilcu. Ta je obtežen sprečno točkovno silo na enem prostem robu na drugem pa z vodoravno točkovno silo! Izračunajte vsereakcije ter notranje sile na sredini razpona ter prečni sili ob eni podpori!125/142

STATIKA (UNI) - IZREDNI IZPITNI ROK (04. 12. 2008)RAČUNSKI DEL IZPITA:1. Janezek še vedno ne naredi izpita iz statike. Njegovi diagrami so polni napak. Pomagaj Janezku inoznači vse napake v njegovih diagramih! Napake oštevilči in utemelji vsako napako! (OBVEZNANALOGA! 25%)[ ][ ] [ ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Za konstrukcijo na sliki izračunajte stopnjostatične nedoločenosti, reakcije in notranjestatične količine (N x , N z , M y )! Rezultate notranjihstatičnih količin prikažite z diagrami!Podatki: a = 4 m, b = 3 m,q = 8 kN/m.(OBVEZNA NALOGA! 50% ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Za paličje na sliki določite osne sile voznačenih palicah. (20%)Podatki: a = 2 m, F = 10 kN.1234126/142

TEORETIČNI DEL IZPITA:Izmed treh zastavljenih vprašanj si izberete dve, na kateri boste odgovarjali. Izbrani vprašanji jasnooznačite! Pišite čitljivo.1. Izpeljite ravnotežne pogoje za sile, ki delujejo na sistemu delcev s togimi vezmi in togem telesu!2. Pomiki in zasuki togega telesa (izpeljava enačb za ravninsko gibanje togega telesa)!3. Opišite določanje reakcij in notranjih sil statično določenih linijskih konstrukcij z izrekom o virtualnihpomikih! Razumevanje ilustrirajte na obojestransko previsnem prostoležečem nosilcu. Ta je obtežen sprečno točkovno silo na enem prostem robu na drugem pa z vodoravno točkovno silo! Izračunajte vsereakcije ter notranje sile na sredini razpona ter prečni sili ob eni podpori!127/142

1. Naloga: PRAVILNI DIAGRAMI[ ][ ] [ ] 128/142

1.- PLOSKOVNO GIBANJE – telo se giblje v dani ravnini- ⊥ koordinatni sistem- koordinatno izhodišče, smer osi izbrana, da je opis gibanja čim enostavnejši- med gibanjem spreminjanje koordinat s časom- KRAJEVNI VEKTOR – trenutna lega točkev v v v- od izhodišča do r = x i + yj + zkv v v v- VEKTOR HITROSTI - = vxi + vyj + vzkv v v v- VEKTOR POSPEŠKA - a = axi + ayj + azk- KRIVULJA GIBANJA – v parametrični obliki: x = x(t), y = y(t)- v eksplicitni obliki y = y(x)- POŠEVNI MET – telo se giblje pospešeno navzgor- začetna hitrost v 0 pod kotom φ- ravnina gibanja navpična- izhodišve v točki, kjer telo odleti- y navpično navzgor, x vodoravno- zanemarimo upor zraka: - gibanje v x enakomerno (brez a), v y deluje g (v smeri navzdol)- v x stalna, vymed dviganjem zmanjšuje, med padanjem povečuje;vx = const = v0cos φ , vy= v0sin φ − gt- telo se giblje po paraboli- enačba tirnice: - x = v0 cos φt2gt- y = v0 sin φ t −2- najvišja točka parabole v t 1 : - vy(t1)= 0 = v0sin φ − gt1v sin- 0 φt1g- čas dviganja enak času padanja: - t 2 = 2t12 2 2gt v sin-1h y(t ) v sin t0 φ= 1 = 0 φ 1 − =2 2g⎛ 2v- d v t 0x 2 sin 2φg ⎟ ⎟ ⎞= = ⎜⎜⎝ ⎠- ENAKOMERNO KROŽENJE – sestav dveh ⊥ gibanj- x = r cos( ωt)- v = r sin( ωt)2 2 2 222- x + y = r (sin ( ω t) + cos ( ωt))= r enačba kroga, polmer r stredišče v izhodiščudx- v x = = −rωsin( ωt)dtdy- v y = = rωcos( ωt)dt-2 2 2 2 2v = v x + v y = r ω2.S(T T )- ZAKON PREVAJANJA TOPLOTE2 − 1 λPL2= , enote: [ ][ m ][ K]W =[ m]PL ⎡ W ⎤- KOEFICIENT TOPLOTNE PREVODNOSTI - λ = ⎢ ⎥S∆T ⎣mK⎦- konstanta, karakteristična za dano snov- TOPLOTNI UPOR VEČPLASTNEGA ZIDU - P = α (N)(Z ) SdT- α (N)(Z)- notranji/zunanji prestopni koeficient- STACIONARNA PORAZDELITEV TEMPERATURE T Nα Nα Z T Z- TERMALNA PLAST−- K-FAKTOR VEČPLASTNEGA ZIDU - k 1 = RS- faktor zunanje stene = 0,4W/mK129/142

3.- VRTENJE TOGEGA TELESA okoli stalne osi – telo vpeto na vrtilno os- če telo osno simetrično simetrijska os = vrtilna os- vrtilna os fiksna, med vrtenjem se ne spreminja- VZTRAJNOSTNI MOMENT J – merilo za vztrajnost telesa proti spremembi kotne hitrosti vrtenja- odvisen od mase, razporeditve snovi glede na vrtilno os2- velik J masivno telo, snov čimbolj oddaljena od vrtilne osi ( J = ∫ r dm- STEINERJEV STAVEK - J = 2Jc + a m2 23dJ = r dm = r ρdv= 2ρΠhrdrJ =dJ = 2rΠh43 rΠhR∫ r dr =2- vztrajnostni moment valja s stalno osjo na plašču: -2m = rV = rΠhR- NAVOR SILE TEŽE - dM = rdF = xdmg-∫ dM = ∫ xgdm = g∫xdm1- M = mg( ∫ xdm) = mgx cm∫2mRJ =223mRJ =2)4.- LONGITUDINALNO VALOVANJE – delci nihajo v smeri valovanja- zgoščine, razredčine−1 3 −1- INTERZVOK – ZVOK ( 20s − 20 ⋅ 10 s ) - ULTRAZVOK- ZVOČNI TLAK – tlak zvočnega curka na telo- zvočno valovanje spremeni tlak v snovi: dp = p − p0, p 0 tlak v snovi brez zvoka, p zaradi zvoka spremenjen tlak, dp zvočni tlak- GLASNOST ZVOKA – v decibelihj- J = 10 log( ) , j – jakost zvoka, j* - slišna meja*j- količina, v zvezi z jakostjo, podaja izdatnost občutka v ušesihF(x) = S(p 0 + dp(x, t))F(x + dx) = −S(p0 + dp(x + dx, t))dma = F(x) − F(x + dx) = −S(Dp(x+ dx, t) − Dp(x, t)dm = ρSdxφSdxa= −S(Dp(X+dx, t)− Dp(x, t))− Dp(x + dx, t) − Dp(x, t) 1a == −rdxr- HITROST ZVOKA - ∂Dp(x,t)∂x2V sa = = −ωA cos( ωt− kx)2VtDVp Aωk cos( ωt− kx)=Vxcχ22− Aωcos( ωt− kx)− ω A cos( ωt− kx) =2crc- v kapljevini c 2 =- v trdnini1cr1 gχ = , PV = const,E- adiabatna stisljivostχ ad =gP gRT- v plinu c = = O( )r M1gPconstV =1 / gp−1 / g= constPneka izpeljava ??5.- PREMO GIBANJE – gibanje vzdolž premice- GRAFI za pojemajoče gibanjeavs0t-attdv- a = A-Bt a = v = At − Bt2dt2 v = dx A 2 Bx = t − t3dt 2 6130/142

6.- TRANSVERZALNO VALOVANJE na napeti vrvi – delci nihajo ⊥ na smer valovanja- hribi, doline- širi se lahko le vzdolž napete vrvi- hitrost c čim večja, tem večja sila napenja vrv in čim lažja je vrvm- HITROST ŠIRJENJA VALOVANJA – vrv, masa m, dolžina b, napeta s silo F, masa na enoto dolžine µ =b- na začetku vrvi povzročajo motnjo, delci vrvi se dvigajo s hitrostjo v- po času dt se motnja razširi vzdolž vrvi za cdt in del strune z maso dm = µcdt se po dt giblje gor s hitrostjo v- gibalna količina tega dela se poveča: dG = vdm- to spremembo povzroči sunek navpične komponente natezne F, tj. Fsindat- sunek sile enak spremembi gibalne količine: F sin dat = dG = vdm = vµcdtvdt- če se omejimo na majhne deformacije je a dovolj majhen da sin a ≅ tga = =cdt- vstavimo v zgornjo enačbo, okrajšamo z vdt, dobimo hitrost transverzalnega valovanja na napeti vrvi: c 2 =- STOJEČE VALOVANJE – rezultat interference potujočih valovanj z enakima amplitudama in nasprotnim širjenjem je stoječe valovanje- z interferenco prihajajočega in odbitega valovanja nastane valovanje, kjer vsak delec niha sočasno- zdi se, da valovanje miruje- y 1 (x, t) = A sin( ω t + kx)- valovanje v levo, y 2 (x, t) = −A sin( ω t − kx)- valovanje v desnoy(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t) = A sin( ω t + kx) − A sin(wt − kx) = 2A sin kx cos ωt= (2A sin kx) cos ωt= A(x) cos ωt- LASTNO NIHANJE - na obeh straneh vpeta vrv niha z osnovno lastno frekvencoν 1 =nc- celoštevilčni večkratniki so harmonične lastne frekvence: ν n = nν1 =2Lc2L, n = 2, 3 …vcFµ7.- 1. ZAKON TERMODINAMIKE – sprememba notranje energije je enaka vsoti dovedenega dela in dovedene toplote- dW n = dA + dQ- toplota je energija, ki jo telo dobi ali odda ob stiku s toplejšim ali hladnejšim teledom- delo snovi odvedemo ali odvedemo- krožna sprememba: dW n = 0 A + Q = 0- adiabatska sprememba: - Q = 0 dW n- spremembna v toplotno izolirani snovi, kjer se nič toplote ne izmenja z okolico- če toplotna izolacija ni popolna spremembo obravnavamo kot a., če je dovolj hitra, da izmenjavo toplote zanemarimo- dW n = dQ + dA, dQ = 0 adiabatno stiskanje ali rapenjanje plina- mc v T = −PdVmcvT+ PdV = 0, dV > 0, dT < 0mPV = RTMVV mR=T MPT MP=V RmR dVmcvdT+ m( )T( ) = 0M VR= cp− cvMdT cp− cvdV+ ⋅ = 0T cvvdT dV+ (g − 1) = 0TVln T + (g − 1)ln V = constg−1ln(TV ) = constg−1TV = constT gV = constVg MPV = constRmgPV = const8.- DELO SILE – skalarni produkt sile in premika njenega prijemališča- na kratki poti ds opravi sila F delo: dA = Fds- MOČ – pomemben časoven interval v katerem je delo opravljeno- moč P je delo opravljeno v časovni enotidA- delo dA opravljeno v kratki časovnem intervalu dt P =dtA = Fs-A = Mφ131/142

2mv- KINETIČNA ENERGIJA PRI KOTALJENJU: - translacijska kinetična energija: Wkt = 22Jω- rotacijska kinetična energija: Wkr=2- kinetična energija kotalečega telesa je vsota kinetične energije zaradi gibanja težišča in in zaradi2 2mc Jvrtenja telesa okrog osi skozi težišče: W c cωkk = +2 2- med kotaljenjem navzdol brez podrsavanja opravlja delo le teža (mg), sila podlage pa nes- težišče valja se spusti za h = , teža opravi delo A = mgh, ki poveča kinatično energijo valja z 0sin φmv2 Jna vrhu klanca do c ω 2+ na dnu do2 2- J =mR 2 ,22v- a = c2sv c = Rω,3mv 2 c223mvmgh c 2 2= , v c = v 0 + 2as49.- KROŽENJE – telo se giblje po krožnici s polmerom r, lega krožnice v prostoru je stalnaω- KOTNI POSPEŠEK α =tdφ- KOTNA HITROST ω = = 2Πνdt2v 2- RADIALNI POSPEŠEK ar= = ω rr- TANGENCIALNI POSPEŠEK a t = rαdωα = = constdtω − ω0α =tω = ω0+ atω − ω0t =adφω =dtdφ= ωt= ( ω0+ at)dtφ =∫tdφ= ∫ ( ω0+ at)dt0222 2at ω − ω0( ω − ω0)ω0− ωφ = ω0t+ = ω0+= ... =2 α 2a2a2 2ω0= ω + 2aφ10.- Delo sile in moč pri premem gibanju in rotaciji, kinetična energija kotalečega telesa glej vprašanje 82mv- KINETIČNA ENERGIJA – točkasot telo z maso m se giblje s hitrostjo v kinetična energija: Wk =2- izraz uporabimo tudi za večje telo, če se giblje translatorno tj če ima vsak del telesa enako hitrost- kinetična energija togega telesa se spremeni če sile opravljajo delo- IZREK O KINETIČNI ENERGIJI – sprememba kinetične energije je enaka delu vseh sil, ki delujejo na telo: dW k = A- KONSERVATIVNA SILA – neodvisne od oblike poti, odvisne od začetne in končne točke2- A 1−2= ∫ dA = ∫ Fds1- delo konservativne sile na zaključeni poti je enako 0: A = A 1 − 2 + A2−1- POTENCIALNA ENERGIJA - W p = mhg- lego telesa merimo z višinsko koordinato, tako da r = R + z;- TEŽNOSTNA POTENCIALNA ENERGIJA - z

11.- zvočno valovanje, glej vprašanje 4c- VALOVNA DOLŽINA - λ =ν- VALOVNA FRONTA – ploskev, kjer ima s(x, t = cosst) povsod enako vrednost- ZVOČNI ALI ENERGIJSKI TOK – energija, ki se spremeni z valovanjem skozi S v časovni enotidE- P =dt- DOPPLERJEV POJAV - c ' = c ± v0c' c v0 v0- n'= = (1 ± ) = n(1 ± ) zvočilo miruje, sprejemnik se gibljel l cc- l ' = ± lv s t 0c ccc n- n' = = === zvočilo se giblje, sprejemnik mirujel' ( ± lv s t0)lvsvs(l ± vs()) l(1 ± ) (1 )cc± cl- c =t 012.- NOTRANJA ENERGIJA – odvisna od notranje zgradbe in stanja snovi- snov zgrajena iz velikega št molekul/atomov, ki se gibljejo, medsebojno sodelujejo- notranja energija sestavljena iz različnih deležev; k njej prištevamo jedersko, kemično, potencialno zaradimedmolekularnih sil, kinetično zaradi neurejenega gibanja molekul- Wn( snovi) = Wk( termičer _ gibajočib _ se _ molekul) + Wp(molekul _ zaradi _ sil _ med _ njimi) + Wn( molekul)- SPECIFIČNA TOPLOTA IDEALNEGA PLINA – snov med segrevanjem ne oddaja dela , če toploto dovajamo pri stalnem volumnu c v dV = 0- v tem primeru dovedena toplota se porabi za povečanje notranje energije: dQ = dWn = mcvdT- običajno segrevamo pri stalnem tlaku, da se snov razteza, potrebna je toplota za segrevanje in za delozaradi raztezanja- specifična toplota pri stalnem tlaku c p večja od c v- dQ = mc v dT + pdT = mc p dTP dV pV- cp = cv+ ( ) = cv+ ( ) b , b – temperaturni koeficient prostorninskega raztezka snoviM dT m- razlika med cpin c v je odvisna od tega kako se snov med segrevanjem raztezam 1- za idealne pline: pV = nRT = RT , b = ,M Tcp − cv=RM13.- 1.N.Z – zakon o vztrajnosti: - telo miruje ali se giblje premo enakomerno, če je vsota zunanjih sil enaka 0 ali zunanjih sil ni- 2. N.Z – zakon dinamike: - pospešek telesa je premo sorazmeren s silo in obratnosorazmeren z maso- F = ma- 3.N.Z – zakon o medsebojnem delovanju: - če prvo telo deluje na drugo, deluje drugo telo na prvo z nasprotno enako silom- NEWTONOV GRAVITACIJSKI ZAKON -1m2F = G2r- izpeljava:2 2224Π r r m4Π 1 4Π mM mMF = mar= m ⋅ = ⋅ = ⋅ = G22 222t0rr t 0 r KM r r3r2var=r2tK = 03r- GIBANJE SATELITOV – pri gibanju satelitov blizu Zemlje privlačnost lune in sonca v primerjavi privlačnosti Zemlje zanemarimo upoštevamogravitacijsko silo t.j težo satelita2mMr mg0R- T(teža satelita) = mg (r) = −G=32r r- PRVA KOZMIČNA HITROST –T = mar22mv1mg0Rmg = =r2r22 g0Rv1(r)=rr = Rkm- v1 = g0R= 7,9s- DRUGA KOZMIČNA HITROST – da se raketa dvigne s površja na mg 0 R potrebna W p- povečanje priskrbi potisna reakcijska sila raketinih izpušnih plinov, ki opravi potrebno delo, ali pa damo raketi obstartu zalogo kinetične energije- če zanemarimo vpliv nekonservativnih sil je vsota kinetične in potencialne energije stalna; na površju je W p = 0 in2mv2Wk = , v neskončni oddaljenosti, ko se raketa ustavi pa Wp mgoR2= 133/142

2mv 2 + 0 = 0 mg0R2+2km- v2 = 2g0R= 11,2s14.- RAVNO VALOVANJE – valovne fronte ravne in vzporedne- ustvarja se velik ravninski izvor, če se različni deli valovnih front širijo enako hitro- idealen primer, v praksi ni mogoče dobiti velikega ravnega zvočnega izvora, da bi bile fronte po vsej širini ravne- KROGLASTO VALOVANJE – širi se radialno navzven iz izvora, v vse smeri enako- zvonček, kroglast izvor- oddajna ploskev valuje v radialni smeri- valovne ploskve so koncentrične kroglaste ploskve s središčem v izvoru- HEYGENSOVO NAČELO – s pomočjo tega načela konstruiramo nove valovne fronte- vsaka točka prvotne valovne fronte je izvor kroglastih elementarnih valov, ki se širijo s hitrostjo valovanja- ovojnica elementarnih valov da po enem nihajnem času naslednjo valovno fronto- VRSZE ZVOKA – fizikalni ton, glasbeni ton (zven), šum15.- PLINSKI ZAKON , PLINSKA ENAČBA – enačba stanja idealnega plina: pV = nRT-PV = nR = constT- p V in T se spreminjajo tako, da jePV pkonstanten:0V0p1V=TT0T11- ZMES PLINOV – plin iz več komponent- plin v mešanici se obnaša kot da sam zavzema celotno prostornino, kot da drugih plinov ni- mešanica v termičnem ravnovesju vsaka komponenta ima enako T- DELNI/PARCIALNI TLAK – tlak, ki ga plin povzroča, če pri enaki T plin sam zavzema celotno V- delni tlak ene komponente, neodvisen od drugih komponent v mešanici- CELOTEN TLAK – vsota delnih tlakov posameznih komponent- mešanico idelanih plinov obravnavamo kot en sam plin- izpeljava plinske enačbe: - v prostornini V je N molekul v termičnem ravnovesju pri temperaturi T3- vsaka molekula ima enako povprečno kinetično energijo: W k = kT in povzroča enako velik tlak2m- molekula z maso mmse giblje s povprečno hitrostjo v:m v2 3= kT2 2- če bi se vse molekule gibale z enako povprečno v ⊥ na ploskev s prečnim prerezom S, bi v dt vpadlo na ploskevNSvdt molekulV- toda molekule se gibljejo naključno v vseh treh koordinatnih smereh, zato na ploskev S vpade 1/6 molekul- vsaka molekula prinese gibalno količino m m v in se z njo odbije, takoda se g. k. z vsakim trkom spremeni za 2 m m vN 1 2 N N- ploskev S v dt spremeni g.k. za dG = 2 mm v Svdt = mmvSdt = kT Sdt6V 3 V V- kvocient spremembe je sila F s katero molekule odrivajo ploskev SF dG N- kvocient sile in loskve je iskani tlak plina: p = = = kTS Sdt V- REALNI PLINI – v realnem plinu imajo molekule končno velikost in se privlačijo- min V na katero lahko plin stisnemo z izredno velikom tlakom dana z lastno prostornino molekul bN- b je merilo za prostornino ene molekule, odvisno je od vrste plina- tlak realnega plina neskončno naraste, če se volumen zmanjša na bN- V nadomestimo z V – bN- druga korektura pri učinku medmolekularnih sil- plinske molekule se privlačijo, zato ne udarjajo ob stene tako močno kot pri idealnem plinuN- zmanjšanje tlaka zaradi medmolekularnih sil je premo sorazmerno z gostoto molekul ( N ' = ) , ki vpadajo k steni in premoVsorazmerno z gostoto molekul iz notranjosti plinaN 2- skupno je zmanjšanje tlaka premo sorazmerno s kvadratom gostote molekul (a ( ) )V- a odvisen od sil med molekulami, od vrste plinaN 2- p nadomestimo s p + a ( ) ; p je izmerjeni tlak realnega plinaVN 2- VAN DER WAALSOOVA ENAČBA p + a( ) (V − bN) = NkTV16.- glej vprašanje 1- enačba tirnice v parametrični obliki:xt = vstavimo vv0cos φ2x gy = xtgφ−in dobimo enačbo tirnice v eksplicitni obliki2 22v 0 cos φ134/142

17.- glej vprašanje 2- TOPLOTNI UPOR PARNE CEVI – dolžina a, notranji polmer R 1 , zunanji polmer R 2 , toplotna prevodnost l-P = −λS(r)- S (r) = 2ΠradTdrr2T1PdrP-∫ = ∫ dT = T2− T1λ2Πrarr1− T22 λ2Πaln()r1- P =T2− T1r2lnr1λ2Πar2lnr- R(a) =1λ2ΠaT T- P =2 − 1Rdr- dR =λ2Πrar2dr- R = ∫λ2Πrar118.2d x 2- ENAČBA HARMONIČNEGA NIHANJA - + ω x = 02dt2- A = −ω x2d x- a =2dt- x(t) = A sin( ω t + φ)- ( ω t + φ)- faza nihanja- izpeljava: - NIHALNO NA PROŽNO VZMET – ma = -kx a =-2 = ω2d s- MATEMATIČNO NIHALO - mat= =2dt- ds = ldφkmddtdsdtkx−m2Πt 0 = = ωd= dtldφdt2Πmk2ld φ1- at= = −mg sin φ , delimo z2dtml2d φ g- + sin φ = 02dt l2φdφ g- za majhne kote: φ ≅ + φ = 02dt lg- ω 2 = l- FIZIČNO ALI TEŽNO NIHALO - J α = M2d φ- α =2dt2Πt 0 = = ω2Π2d φ- J = −mgd sin φ2dtlg2d φ- za majhne kote: sin φ = φ : J + mgdφ= 02dt2d φ mgd- + φ = 02dt Jmgd- ω2 =J1 2 1 2- nihalo na prožno vzmet: VSOTA KINETIČNE IN PROŽNOSTNE ENERGIJE konstantna: E = Wk + Wpr= mv + kx = const2 2135/142

19.- glej vprašanje 133r- KEPPLERJEVA KONSTANTA: K =2t 0318 m= 3,36 ⋅ 102s4Π2- GRAVITACIJSKA KONSTANTA:Kr- TEŽNOSTNI POSPEŠEK – z višino se zmanjšujeMm- F = G = mg2r2GM GM R R 2- g (r) = = ⋅ = g2 2 2 0()r R r r20.- ELASTIČNA DEFORMACIJA – telo se deformira toliko, da z deformacijo nastala mehanska napetost v telesu uravnovesi zunanjo silo- atomi se povrnejo v izhodne položaje, vzpostavi se prvotna zgradba, mehanska napetost izgine- PLASTIČNA DEFORMACIJA – atomi se med deformacijo preveč pomaknejo iz prvotnih položajev- po razbremenitvi ostanejo na novih mestih ali se postavijo na druga ravnovesna mesta- snov ostane deformirana- HOOCKOV ZAKON ZA: - NATEG - σ = Eε- TLAK - V − dV = (a − da)(b − db)(c − dc)- STRIG -- dV = abc − dabc − dbac − dcabdV da db dc- = + + = pχV a b c- χ - stisljivost snoviGdxτ =hdx- tg φ = h φ- τ - strižna napetost- G strižni modul- TORZIJO - M = Dφ4GR Π- D =2L- D – sučna konstanta žice- POISSONOVO ŠT – telo s povdarjeno dimenzijo običajno raztegujemo v smeri povdarjene dimenzije- palica, dolžina a, premer b, raztegujemo v vzdolžni smeri za da, v prečni smeri skrči za –db- razmerje med relativnim skrčkom v prečni smeri in relativnim raztezkom v vzdolžni smeri odvisno od vrste snovi- to razmerje je Poissonovo štdb−- µ = bdaa21.- NASIČENI PARNI TLAK – delni tlak pare nad kapljevino v ravnovesnem stanju po končanem izhlapevanju- čim večji, čim višja je temperatura- kapljevine pri običajni temperaturi z velikim nasičenim parnim tlakom so zelo hlapljive- ABSOLUTNA VLAŽNOST – v ozračju zaradi hlapenja vedno nekaj vlage- absolutna vlažnost je množina vlage, izražena z delnim tlakom p v ali z gostoto vlage ρ v (maso vodne pare v m zraka)- RELATIVNA VLAŽNOST – čim bolj voda hlapi, boljs e delni trak p v razlikuje od nasičenega p np- vη =pn- za merjenje relativne vlažnosti izkoristimo kondenzacijo- ROSIŠČE – posrebreno stekleno bučko termometra počasi ohlajamo- temperatura rosišča – ko na bučki opazimo prve rosne kaplje- merjeni delni tlak takrat enak nasičenemu parnemu tlaku- TROJNA TOČKA – pove tlak in temperaturo pri kateri so vsa agregatna stanja snovi v medsebojnem ravnovesju22.- VSILJENO NIHANJE – lastno nihanje bolj ali manj dušeno- če želimo vzdrževati nihanje s stalno amplitudo moramo izgubljeno energijo sproti nadomeščati- energijo potrebno dovajati v pravih trenutkih, tako da nihanje pospešujemo, pospešimo ko gre skozi ravnovesno lego- nihalo niha z lastno frekvenco ω 0 , poganjamo ga s silo F(t), ki se spreminja s časom sinusno z amplitudo F0infrekvenco ω- F(t)= F0 sin ωt- RESONANCA – zunanja sila vsiljuje nihanje s frekvenco, ki je enaka lastni- resonančno vsiljeno nihanje- značilna velika amplituda, ki je odvisna od razmerja med vsiljeno in lastno frekvenco in od dušenja nihanja; če je vsiljena frekvencav primerjavi z lastno velika amplituda majhna; amplituda majhna tudi, ko je majhna vsiljena frekvenca136/142

23.- glej vprašanje 4, 11, 14- JAKOST ZVOKA – je gostota energijskega toka v zvokupA2 ω 2 c- j =2- INTERFERENCA – pogosto v zraku več izvorov zvoka, zračni delci nihajo pod vplivom različnih valovanj hkrati- pomik zračnega delca v dani točki prostora v danem trenutku je rezultanta pomikov to je interferenca- v nekaterih točkah se valovanja ojačujejo v drugih slabijo- dobimo interferenčno sliko tj prostorsko porazdelitev ojačitev in oslabitev- s(x, t) = s1(x,t) + s2(x, t) = A cos( ω t − kx) − A cos( ωt+ kx) = 2A cos kx cos ωt24.- glej 1, 525.- glej 6- INTERFERENCA – konstruktivna – vala se seštejeta; destruktivna – vala se odštejeta26.- glej 3.2 m 2- TANKA HOMOGENA PALICA - dJ = x dm = x dxlm- dm = dxlv1m 2 m- J = ∫ dJ = ∫ x dx =l lvv12- x dx =∫v221122ml27.- glej 1228., 29., 30- glej druga vprašanja31.- 2. ZAKON TERMODINAMIKE – ni mogoč toplotni stroj, ki bi črpal Q1pri T1in vso toploto pretvarjal v delo ( Q 2 ≠ 0)- TOPLOTNI STROJ – stroj, ki s krožnimi spremembami spremenijo notranjo energijo snovi v mehansko delo32.- glej137/142

138/142

139/142

140/142

141/142

142/142