PDF5.31 MB

wskiz.edu
  • No tags were found...

PDF5.31 MB

Jacek GruszkaLech KaczmarekElementy matematykiwyższejWydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i ZarządzaniaPoznań 2004


Autorzy:dr Jacek Gruszka, dr Lech KaczmarekRecenzent:prof. dr hab. Ryszard PłuciennikKorekta:Aleksandra SpringerOpracowanie redakcyjne:Robert LeśkówProjekt okładki:Jan ŚlusarskiKopiowanie i powielanie w jakiejkolwiek formiewymaga pisemnej zgody Wydawcy©Copyright by Wydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania – Poznań 2004ISBN 83-88018-24-8Wydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania61-577 Poznań, ul. Różana 17a, (061) 8345 914, fax 8345 912www.wskiz.poznan.ple-mail: wydawnictwo@wskiz.poznan.plPoznań 2004


4Elementy matematyki wyższej3. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej................................................ 913.1. Przypomnienie wiadomości o funkcjach................................................................. 913.2. Przegląd funkcji rzeczywistych................................................................................ 943.2.1. Funkcje wielomianowe...................................................................................... 943.2.2. Funkcja wykładnicza......................................................................................... 943.2.3. Funkcja logarytmiczna...................................................................................... 953.2.4. Funkcje trygonometryczne................................................................................ 963.2.5. Funkcje kołowe (cyklometryczne).................................................................... 1033.2.6. Uwagi o przekształcaniu wykresu funkcji......................................................... 1043.3. Granica i ciągłość funkcji.......................................................................................... 1083.4. Pochodna funkcji......................................................................................................... 1113.5. Pochodna jako funkcja............................................................................................... 1153.5.1. Pochodna funkcji złożonej................................................................................ 1183.5.2. Obliczanie pochodnych funkcji postaci ( x) g(x)f ............................................. 1213.6. Podstawowe twierdzenia dotyczące rachunku różniczkowego funkcjijednej zmiennej............................................................................................................ 1233.6.1. Twierdzenia o wartości średniej........................................................................ 1233.6.2. Reguła de l’Hospitala........................................................................................ 1263.7. Niektóre zastosowania pochodnej............................................................................ 1303.8. Asymptoty wykresu funkcji....................................................................................... 1313.9. Monotoniczność funkcji............................................................................................. 1333.10. Ekstremum funkcji...................................................................................................... 1373.11. Badanie funkcji............................................................................................................ 1423.12. Wartość największa i wartość najmniejsza funkcji ciągłej.................................. 1504. Całki........................................................................................................................................ 1554.1. Całka nieoznaczona..................................................................................................... 1554.1.1. Określenie i podstawowe własności całki nieoznaczonej................................. 1554.1.2. Podstawowe metody całkowania....................................................................... 1564.1.3. Całkowanie funkcji wymiernych. Rozkład na ułamki proste............................ 1624.1.4. Całkowanie funkcji niewymiernych. Podstawienia Eulera............................... 1644.1.5. Całkowanie funkcji zawierających wyrażenia trygonometryczne.................... 166


Spis treści 54.2. Całka oznaczona.......................................................................................................... 1684.3. Całka Riemanna........................................................................................................... 1705. Funkcje wielu zmiennych.............................................................................................. 1755.1. Pojęcia podstawowe.................................................................................................... 1755.2. Granica funkcji dwóch zmiennych........................................................................... 1765.3. Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych.................................................... 1775.4. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów.................................................................. 1805.5. Pochodne cząstkowe w punkcie................................................................................ 1835.6. Różniczka zupełna...................................................................................................... 1865.7. Zastosowanie różniczki zupełnej.............................................................................. 1885.8. Ekstremum funkcji dwóch zmiennych.................................................................... 2046. Szeregi.................................................................................................................................... 2136.1. Szeregi liczbowe......................................................................................................... 2136.1.1. Wiadomości podstawowe.................................................................................. 2136.1.2. Określenie szeregu liczbowego i jego sumy oraz zbieżnośći rozbieżność szeregu......................................................................................... 2166.1.3. Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich............................................................ 2186.1.4. Szeregi liczbowe naprzemienne........................................................................ 2256.2. Szeregi potęgowe........................................................................................................ 2306.3 Szereg Taylora............................................................................................................. 2336.4. Rozwijanie w szereg Maclaurina pewnych typów funkcji wymiernych........... 2396.5. Zastosowanie szeregów Taylora w aproksymacji.................................................. 247Bibliografia.................................................................................................................................. 253


6Elementy matematyki wyższej


WstępKsiążka „Elementy matematyki wyższej” jest podręcznikiem, a więc zawieramateriał, który należy opanować i (zazwyczaj) zdać z niego egzamin. Adresatamipodręcznika są przede wszystkim studenci wyższych szkół ekonomicznych i technicznych.Przedmiot, którym się zajmujemy, to matematyka, postrzegana przez większośćjako rzecz trudna i skomplikowana a przez mniejszość – jako prosta i łatwa.Autorzy nie mają zamiaru burzyć żadnego z tych mniemań, chociaż sami uważają,że matematyka bywa prosta i skomplikowana, łatwa i trudna, ale zawsze jestpiękna.Materiał wyłożony w tej książce nie jest bardzo obszerny, ale zawierazagadnienia, które studenci są zobowiązani opanować, aby świadomie uczestniczyćw dalszym procesie kształcenia. Z uwagi na praktyczny charakter wiedzy matematycznejużywanej w dalszym toku studiów wykład ma charakter zwięzły, jestzilustrowany wieloma przykładami i uzupełniony zestawami zadań do samodzielnegorozwiązania. Książkę podzielono na sześć rozdziałów o różnej objętości.W rozdziale 1. omówiono podstawy logiki i teorii mnogości. Obejmują oneznany części studentów (ze szkoły średniej) rachunek zdań, uzupełniony rachunkiemkwantyfikatorowym, oraz budowę prawidłowych reguł wnioskowania, a także elementyteorii mnogości – działania na zbiorach oraz elementy teorii relacji.Rozdział 2. poświęcony jest macierzom i pewnym aspektom ich zastosowania.Określono tam rodzaje macierzy i opisano działania na macierzach, metodę obliczaniamacierzy odwrotnych, obliczanie wyznaczników oraz układy równań liniowych.Całość kończy obszerny podrozdział dotyczący rachunku wektorowego.Rozdział 3. jest najdłuższy, a traktuje o rachunku różniczkowym funkcjijednej zmiennej. Niektóre zagadnienia są znane większości studentów ze szkołyśredniej, ale nie wszystkie. Omówiono zagadnienie funkcji odwrotnej, dokonanoprzeglądu funkcji elementarnych, określono pochodną i sposoby obliczania niektórychpochodnych, przytoczono ważne twierdzenia rachunku różniczkowego – międzyinnymi regułę de L’Hospitala. Poruszono (skutecznie) problemy monotonicznościi wartości ekstremalnych funkcji różniczkowalnych. Na końcu pokazano sposobybadania funkcji z zastosowaniami.


8Elementy matematyki wyższejTematem rozdziału 4. są całki. Większą część rozdziału poświęcono całcenieoznaczonej i metodom całkowania. Następnie omówiono całkę oznaczoną i całkęRiemanna, ich związek oraz wynikające z niego niektóre zastosowania.Rozdział 5. nosi tytuł „Funkcje wielu zmiennych”, ale w większości poświęconyjest funkcjom dwóch zmiennych. Zdefiniowano w nim pochodne cząstkowe, pokazanoprzykłady ich obliczania, a także zastosowanie. Dużą część tego rozdziałuzajmują zastosowania różniczki zupełnej, obejmujące obliczenia przybliżone wartościfunkcji, szacowanie błędu przybliżeń, a także – co nie jest często spotykane– zastosowanie różniczki zupełnej do przybliżonego rozwiązywania układów równańnieliniowych. Na zakończenie omówiono obliczanie ekstremum funkcji dwóchzmiennych.W rozdziale 6. omówiono szeregi nieskończone. Po krótkim wstępie, przypominającymwiadomości o ciągach liczbowych, określono szereg nieskończonyi sumę szeregu oraz podano podstawowe kryteria zbieżności szeregów liczbowycho wyrazach dodatnich i szeregu naprzemiennego. Następnie określono szereg funkcyjnyi jego promień zbieżności. Po przypomnieniu twierdzenia Taylora z rozdziału 3.omówiono rozwinięcie funkcji w nieskończony szereg Taylora i Maclaurina, poczym pokazano, jak pewne funkcje można rozwinąć w szereg Maclaurina bezobliczania pochodnych. Na zakończenie pokazano zastosowanie szeregu Tayloraw przybliżonych obliczeniach pewnych całek oznaczonych.Wyróżnionymi elementami w tekście są definicje, twierdzenia, uwagi, przykłady,zadania, rysunki i wzory. Są też one odpowiednio oznaczane, a nawet – możnapowiedzieć – kodowane. I tak – definicje, twierdzenia, uwagi, przykłady i zadaniasą oznaczane według reguły: „numer rozdziału – rodzaj elementu – numer elementuw tym rozdziale”. Środkowa część oznaczenia jest literą, pozostałe – cyframi. Otoprzykład:2.d.5. – piąta definicja w drugim rozdziale;6.t.2. – drugie twierdzenie w szóstym rozdziale;2.u.5. – piąta uwaga w drugim rozdziale;3.p.1. – pierwszy przykład w trzecim rozdziale;1.z.3. – trzecie zadanie w pierwszym rozdziale.Ważniejsze wzory są oznaczane dwiema cyframi (numer rozdziału, numerwzoru), na przykład (3.12) oznacza dwunasty wzór w trzecim rozdziale. Rysunki sąnumerowane podobnie, ale bez nawiasów.Dziękujemy Recenzentowi, Panu Profesorowi dr hab. Ryszardowi Płuciennikowi,którego krytyczne, wnikliwe i życzliwe uwagi spowodowały usunięciebłędów i usterek w manuskrypcie.


Wstęp 9Obaj autorzy wyrażają szczególne podziękowania swoim Żonom, którew dużym stopniu ponosiły trudy związane z powstaniem tej książki – zwłaszczaw weekendy i popołudnia – i bez których cierpliwości książka powstawałabyjeszcze dłużej.Jacek Gruszka, Lech Kaczmarek


10Elementy matematyki wyższej


1. Logika i teoria mnogościW rozdziale tym omówiono podstawy matematyki: logikę matematycznąi teorię zbiorów (teorię mnogości). W programie „minimum” szkoły średniej niema obecnie logiki matematycznej (kiedyś była), czego smutnych skutków doświadczamyw polityce, ekonomii, mass mediach oraz w życiu codziennym. O tym,jak niewiarygodnie daleko od logicznego myślenia może odejść człowiek, przekonujemysię, czytając opinie i komentarze „internautów” pod artykułami w witrynachinternetowych albo słuchając wystąpień niektórych uczestników życiapublicznego.1.1. Logika matematycznaLogika matematyczna jest nauką, której zadaniem jest badanie rozumowaństosowanych w matematyce i ustalanie kryteriów ich poprawności. Tak zwana logikaklasyczna dzieli się na rachunek zdań i rachunek funkcyjny (kwantyfikatorowy).1.1.1. Rachunek zdańPrzedmiotem rachunku zdań są związki między zdaniami.Definicja 1.d.1. Zdaniem nazywamy w logice wypowiedź oznajmującą i sensowną, toznaczy taką, której w ramach danej nauki możemy przypisać ocenę prawdziwościalbo fałszu i tylko jedną z tych ocen.Zdania nazywamy również formułami atomowymi.Pojawia się tu problem prawdziwości albo fałszu zdania. O ile z pojęciemfałszu można sobie poradzić łatwo, mówiąc: „to jest fałszem, co nie jest prawdą”,o tyle z prawdą poradzić sobie w ten sposób nie możemy, bo wpadniemy w błędnekoło. Istnieją różne definicje prawdy (nie musi to przeczyć obiegowemu stwierdzeniu,że „prawda jest tylko jedna”), ale są one dość długie i skomplikowane. Autorzysądzą, że zrozumiałe i wystarczające będzie stwierdzenie: prawdziwe jest to zdanie,które zgodnie z rzeczywistością orzeka o przedmiocie, do którego się odnosi.


12Elementy matematyki wyższejIstnieją zdania oznajmujące, bez wątpienia prawdziwe (albo fałszywe), którymnie możemy przypisać oceny prawdy lub fałszu. Zdanie: Archimedes urodził sięw styczniu jest albo prawdziwe, albo nieprawdziwe, ale nie możemy tego stwierdzić,gdyż nie znamy (i zapewne nigdy nie poznamy) dokładnej daty urodzin Archimedesa.Dlatego ważne w wyżej podanej definicji jest sformułowanie: ...w ramach danejnauki.... Innym rodzajem zdań oznajmujących, o których prawdziwości lub nieprawdziwościtrudno rozstrzygnąć, jest zdanie typu: Albert jest dość tęgi. Może tobyć bowiem prawdą w grupie skoczków narciarskich i nieprawdą w grupie zawodnikówsumo. A Albert – cały czas ten sam.Ustalmy, że w naszych rozważaniach zdanie będzie jednoznacznie prawdziwealbo jednoznacznie fałszywe. Istnieją systemy logik wielowartościowych, ale niebędziemy się tu nimi zajmować.Zdania, czyli formuły atomowe, łączymy w formuły zdaniowe za pomocąspójników logicznych, zwanych również funktorami zdaniotwórczymi. Prawdziwośćformuły zdaniowej zależy zarówno od prawdziwości formuł atomowych, jak i odjej „struktury”, to znaczy sposobu, w jaki została zbudowana. Czytelnik przekonasię wkrótce, że można zbudować formułę (wypowiedź) złożoną z samych zdańfałszywych, a mimo to prawdziwą. Można też zrobić odwrotnie.Spójniki, które zostaną teraz wymienione, to nie wszystkie funktory stosowanew logice, ale w zupełności (a nawet z nadwyżką) wystarczą do skonstruowaniawszystkich pozostałych. Będziemy więc stosować następujące spójniki logiczne:1. Jednoargumentowy funktor negacji (zaprzeczenia): „nieprawda, że...”; np.negacją zdania: Jerzy był wczoraj w kinie jest: Nieprawda, że Jerzy byłwczoraj w kinie (można też: Jerzy nie był wczoraj w kinie).2. Funktory dwuargumentowe (spójniki łączące dwie formuły):– Funktor koniunkcji (iloczynu logicznego): „... i ...”; np. koniunkcją dwóchzdań jest formuła: Zjadłem obiad i wyszedłem na spacer. Zauważmy, żez wypowiedzi tej nie wynika, która czynność nastąpiła wcześniej.– Funktor alternatywy (sumy logicznej): „... lub ...”; np. alternatywądwóch zdań jest formuła: Będę się dziś uczył lub pójdę do kina.Zauważmy, że możliwe są: pierwsza czynność, druga czynność lub obieczynności.– Funktor implikacji (wynikania): „Jeżeli ..., to ...” („Z tego, że ..., wynika...”); np. implikacją dwóch zdań jest formuła Jeżeli się dobrze nauczę, tozdam egzamin. W implikacji rola każdej z dwóch formuł jest innai kolejność tych formuł jest istotna (w alternatywie i koniunkcji kolejnośćformuł nie ma znaczenia). Jest to jasne nawet intuicyjnie, czyli na podstawiedoświadczeń z życia codziennego. Części składowe implikacji mająswoje nazwy. Pierwszą formułę implikacji nazywamy poprzednikiem,


Logika i teoria mnogości 13a drugą – następnikiem. Wiele sformułowań, zwłaszcza naukowych, maformę implikacji. Z tego względu pierwszą formułę implikacji nazywamyczęsto założeniem, a drugą – tezą. I wreszcie – jeżeli cała implikacja jestprawdziwa, to implikacja odwrotna prawdziwa być nie musi. Możemyuwierzyć, że prawdziwa jest powyższa formuła: Jeżeli się dobrzenauczyłem, to zdam egzamin, ale implikacja odwrotna: Jeżeli zdamegzamin, to się dobrze nauczyłem – nie musi być prawdą. Można sobiewyobrazić sytuację, że student, mając do opracowania 150 zagadnień,nauczył się tylko trzech i te właśnie były na egzaminie. Miał sporoszczęścia, egzamin zdał, ale z tego nie wynika, że się dobrze nauczył.Wróćmy zatem do prawdziwej (jak się zdaje) implikacji – Jeżeli się dobrzenauczyłem, to zdam egzamin. Tezę (następnik) nazywamy warunkiemkoniecznym założenia (poprzednika). Oznacza to, że fakt zdania egzaminujest konieczny, aby można było stwierdzić, że się dobrze nauczyłem(łatwiej to zrozumieć na przykładzie z zaprzeczeniami: Jeżeli nie zdałemegzaminu, to znaczy, że się dobrze nie nauczyłem). Z drugiej strony –założenie (poprzednik) nazywamy warunkiem dostatecznym lub wystarczającymtezy (następnika). Oznacza to, że w prawdziwej implikacjiwystarczy prawdziwość założenia, aby teza była prawdziwa. W naszejprzykładowej i – jak sądzimy – prawdziwej implikacji wystarczy siędobrze nauczyć, by zdać egzamin (należy, ma się rozumieć, do egzaminuprzystąpić, a nie „zachorować”).– Funktor równoważności (identyczności logicznej): „... wtedy i tylko wtedy,gdy ...”; np. równoważnością jest formuła: Liczba naturalna jestpodzielna przez dwa wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jedności jej przedstawieniaw systemie dziesiętnym jest parzysta (dodanie: ... w systemiedziesiętnym... jest istotne, bo na przykład liczba cztery w systemietrójkowym ma postać: 11). Kolejność formuł połączonych spójnikiemrównoważności nie ma znaczenia.Formuły zdaniowe będziemy zapisywali za pomocą schematów. Formułyatomowe będziemy oznaczać małymi literami alfabetu łacińskiego i nazywaćzmiennymi zdaniowymi, formuły złożone – literami alfabetu greckiego, a spójnikilogiczne następującymi symbolami:~ – symbol negacji (spotyka się też ¬ ),∧ – symbol koniunkcji (spotyka się też &),∨ – symbol alternatywy,⇒ – symbol implikacji (spotyka się też → ),⇔ – symbol równoważności (spotyka się też ↔ ).


14Elementy matematyki wyższejW świetle powyższych rozważań zrozumiała stanie się poniższa definicja.Definicja 1.d.2. Indukcyjna definicja zbioru formuł1. Alfabetp, q, r, s, a, b... – zmienne zdaniowe (formuły atomowe),~, ∨ , ∧ , ⇒ , ⇔ – funktory zdaniotwórcze (lub spójniki logiczne),(, ) ,[ ,], ; , : ,, itp. – znaki techniczne.2. Gramatyka (czyli reguły budowania formuł)Reguła I: Każda zmienna jest formułą.Reguła II: Jeśli φ i ψ są formułami, to: ~ ( φ), ( φ ∨ ψ), ( φ ∧ ψ), ( ψ)( φ ⇔ ψ)są też formułami.φ ⇒ ,Reguła III: Każda formuła jest zbudowana z formuł atomowych przez stosowanieskończoną liczbę razy operacji łączenia funktorami, tak jak to pokazano w regule II.Formuły są schematami wypowiedzi.Kolejność działania funktorów zdaniotwórczych:~ negacja, ∧ koniunkcja, ∨ alternatywa, ⇒ implikacja, ⇔ równoważność.Autorzy szczerze zachęcają jednak do stosowania nawiasów, aby uniknąćniejednoznaczności.Przykładem formuły zdaniowej jest:( ~ q ⇒ r) ] ∧ ( ~ r ⇒ q) } ⇒ ( p r){[ p ∨ ⇔~.Powyższe rozważania doprowadziły nas do umiejętności zapisywania formułzdaniowych i ich klasyfikacji ze względu na budowę. Osobnym i bardzo ważnymproblemem jest kwestia prawdziwości formuł zdaniowych. Logika nie wypowiadasię w sprawie prawdziwości formuł atomowych, natomiast rozstrzyga o prawdziwościformuł „złożonych” przy założonej (zadanej) prawdziwości (lub nieprawdziwości)formuł atomowych. Narzędziem do takich rozstrzygnięć jest wartościowanie logiczne.Zdaniu prawdziwemu przypisana zostanie wartość 1, a zdaniu fałszywemu – wartość0 (cyfry 0 i 1 nie pełnią tu funkcji zapisu liczb, lecz symboli fałszu i prawdy). Jest totak zwany zero-jedynkowy system wartościowania, ale w literaturze znane są przykładyinnych oznaczeń (np. system T – F, od słów true i false).Konsekwentnie, formule prawdziwej przypiszemy wartość 1, a formulefałszywej – wartość 0. Zależność prawdziwości formuł od prawdziwości ich „częściskładowych” przedstawiają poniższe tabelki.


Logika i teoria mnogości 15– Negacjap ~p0 11 0Jeżeli formuła jest fałszywa, to jej zaprzeczenie jest prawdziwe i odwrotnie.– Koniunkcjap q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1Koniunkcja dwóch formuł jest prawdziwa tylko wtedy, gdy obie formuły są prawdziwe.−Alternatywap q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1Alternatywa dwóch formuł jest prawdziwa, jeśli choć jedna z nich jest prawdziwa.– Implikacjap q p ⇒ q0 0 10 1 11 0 01 1 1Implikacja dwóch formuł jest fałszywa, jeśli poprzednik jest prawdziwy, a następnik –fałszywy. Jest to bardzo nieintuicyjne wartościowanie, gdyż możemy zaakceptowaćprawdziwość rozumowania, w którym z prawdy wynika prawda, a z fałszu wynikafałsz, oraz nieprawdziwość rozumowania, w którym z prawdy wynika fałsz. Natomiastz trudem akceptujemy poprawność wnioskowania, w którym z fałszu wynika prawda.


16Elementy matematyki wyższej– Równoważnośćp q p ⇔ q0 0 10 1 01 0 01 1 1Równoważność dwóch formuł jest prawdziwa, jeśli obie mają tę samą wartośćlogiczną; w przeciwnym razie równoważność jest fałszywa.Uwaga 1.u.1. Istnieje szesnaście sposobów łączenia dwóch formuł zdaniowychfunktorami (powyżej przedstawiono tylko cztery). Do częściej spotykanych należą:wyłączna alternatywa (exclusively „or”), dysjunkcja (kreska Sheffera) orazfunktor jednoczesnego zaprzeczenia. Nie będziemy ich używać w tej książce, choćwyłącznej alternatywy używa wiele języków programowania (czyta się: „...albo...”i jest prawdziwa, jeżeli dokładnie jedno z dwóch zdań jest prawdziwe).Istnieją różne „techniki” badania wartości logicznej formuł zdaniowych. Jednąz nich jest metoda „tabelkowa”, która polega na „rozłożeniu” formuły na formułyatomowe, a następnie na poszczególne formuły składowe, aż do postaci pierwotnej,i na pełnym przeglądzie prawdziwości formuły przy każdej konfiguracji wartościlogicznych formuł atomowych. Uwzględniamy oczywiście zasady zawarte w tabelkachzapisanych powyżejPrzykład 1.p.1. Zbadać wartość logiczną formuł:a) ~ ( p ∧ ~ q) ⇒ ( p ⇒~q); b) ( p q) ⇔ ~ ( ~ p∨~ q)∧ ;c) ( p ∨ q) ∧ ( ~ p∧~ q); d) ( p ∨ q) ∧ r]⇒ ( p ⇒ r)Rozwiązaniaa) ~ ( p∧ ~ q) ⇒ ( ~ p ⇒ q)p q ~q p ~ q∧ ( p ~ q)[ .~ ∧ p ~ q⇒ ~ ( p ∧ ~ q) ⇒ ( p ⇒~q)0 0 1 0 1 1 10 1 0 0 1 1 11 0 1 1 0 1 11 1 0 0 1 0 0Odpowiedź: Formuła ~ ( p ~ q) ⇒ ( p ⇒~q)∧ jest fałszywa tylko wtedy, gdy obie formułyatomowe są prawdziwe, w pozostałych przypadkach – formuła jest prawdziwa.


Logika i teoria mnogości 17b) ( p ∧ q) ⇔ ~ ( ~ p∨~ q)p q ~p ~q p ~ qOdpowiedź: Formuła ( p q) ⇔ ~ ( ~ p∨~ q)od wartościowania formuł atomowych.c) ( p ∨ q) ∧ ( ~ p∧~ q)∧ jest zawsze prawdziwa, niezależniep q ~p ~q p ∨ q p ~ q~ ∧ ( p ∨ q) ∧ ( ~ p∧~ q)0 0 1 1 0 1 00 1 1 0 1 0 01 0 0 1 1 0 01 1 0 0 1 0 0Odpowiedź: Formuła ( p q) ∧ ( ~ p∧~ q)wartościowania formuł atomowych.d) [( p ∧ q) ∨ r]⇒ ( p ⇒ r)~ ∨ ( ~ p ~ q)∨ jest zawsze fałszywa, niezależnie odp q r p ∧ q ( p ∧ q)∨ r rp ⇒ [( p ∧ q) ∨ r]⇒ ( p ⇒ r)1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 0 01 0 1 0 1 1 11 0 0 0 0 0 10 1 1 0 1 1 10 1 0 0 0 1 10 0 1 0 1 1 10 0 0 0 0 1 1Odpowiedź: Formuła ( p ∧ q) ∨ r]⇒ ( p ⇒ r)~ ∨ qp ∧ ( p ∧ q) ⇔ ~ ( ~ p∨~ q)0 0 1 1 1 0 0 10 1 1 0 1 0 0 11 0 0 1 1 0 0 11 1 0 0 0 1 1 1[ jest fałszywa tylko wtedy, gdy zdaniap i q są prawdziwe, a zdanie r jest fałszywe. W pozostałych przypadkach formułata jest prawdziwa.


18Elementy matematyki wyższejSzczególną rolę w logice odgrywają formuły zawsze prawdziwe.Definicja 1.d.3. Formuła zdaniowa, która niezależnie od wartościowania formułatomowych jest prawdziwa, nosi nazwę tautologii albo prawa logicznego.W przykładzie 1.p.1 tautologią jest formuła z punktu (b), a pozostałeformuły nie są tautologiami.Twierdzenie 1.t.1. Przegląd ważniejszych tautologii– Prawo wyłączonego środka(1.1) p ∨ ~ p(prawdziwe jest zdanie lub jego zaprzeczenie).– Prawo podwójnego przeczenia(1.2) ~ ( ~ p) ⇔ p(negacja negacji zdania ma taką samą wartość logiczną jak to zdanie).– Prawa De Morgana(1.3) ~ ( p ∧ q) ⇔ ( ~ p∨~ q)(zaprzeczenie koniunkcji jest alternatywą zaprzeczeń).(1.4) ~ ( p ∨ q) ⇔ ( ~ p∧~ q)(zaprzeczenie alternatywy jest koniunkcją zaprzeczeń).– Zasada dowodu „nie wprost”(1.5) ( p ⇒ q) ⇔~ ( p∧~ q)(implikacja jest równoważna zaprzeczeniu koniunkcji: założenia i negacji tezy).– Prawo transpozycji(1.6) ( p q) ⇔ ( ~ q ⇒~p)⇒ .– Prawa przemienności koniunkcji i alternatywy(1.7) ( p q) ⇔ ( q ∨ p)∨ ,(1.8) ( p q) ⇔ ( q ∧ p)∧ .


Logika i teoria mnogości 19– Prawa łączności koniunkcji i alternatywy(1.9) ( p ( q ∨ r)) ⇔ (( p ∨ q)∨ r)∨ ,(1.10) ( p ( q ∧ r)) ⇔ (( p ∧ q)∧ r)∧ .– Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy(1.11) ( p ( q ∨ r)) ⇔ (( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r))∧ .– Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji(1.12) ( p ( q ∧ r)) ⇔ (( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r))– Prawo sylogizmu warunkowego∨ .(1.13) ( p q) ⇒ [( q ⇒ r) ⇒ ( p ⇒ r)]– Prawo Claviusa⇒ .(1.14) ( p ⇒ ~ p) ⇒ ~ p(jeżeli w wyniku prawidłowo przeprowadzonego rozumowania z założenia otrzymamyjego negację, to właśnie ta negacja jest prawdziwa).– Prawo Dunsa Scotusa(1.15) p ⇒ ( ~ p ⇒ q)(jeżeli zdanie jest prawdziwe, to z jego negacji wynika każde zdanie);inna postać:– Prawo symplifikacji( p ∧ ~ p) ⇒ q(1.16) p ⇒ ( q ⇒ p)(zdanie prawdziwe może być wnioskiem w każdej implikacji).– Prawo Fregego(1.17) [ p ( q ⇒ r)] ⇒ [( p ⇒ q) ⇒ ( p ⇒ r)]⇒ .


20Elementy matematyki wyższej1.1.2. Formalne kryteria poprawności wnioskowań.Reguły wnioskowaniaDefinicja 1.d.4. Schematem wnioskowania nazywamy skończony ciąg formułφ , φ ,...,1 2φψn⎛⎜⎜⎜⎜⎜albo⎜⎜⎜⎜⎜⎝φ1⎞⎟φ2⎟... ⎟⎟φn⎟ ,ψ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠gdzie φ1, φ2,..., φnnazywamy przesłankami, a ψ wnioskiem lub konkluzją.Przykład 1.p.2. Schematami wnioskowania są:1. Jeżeli nie będę dobrze pracował, to stracę pracę.Jeżeli stracę pracę, to będę miał czas pójść do kina.Jeżeli będę dobrze pracował, to nie będę miał czasu pójść do kina.2. Jeżeli nie będę dobrze pracował, to stracę pracę.Jeżeli stracę pracę, to będę miał czas pójść do kina.Jeżeli nie będę dobrze pracował, to będę miał czas pójść do kina.Zauważmy, że te dwa schematy różnią się, choć niewiele (przesłanki tesame, wniosek inny). Jednak intuicja podpowiada, że pierwszy schemat chyba niejest prawdziwy, bo w przeciwnym wypadku do kina chodziliby tylko ludzie niepracujący dobrze (kto nie ma czasu chodzić do kina, ten nie chodzi do kina).W przypadku drugiego schematu możemy się zgodzić, że źle pracujący stracąpracę i będą mieli czas iść do kina (co nie znaczy, że pójdą), ale dobrze pracującyzapewne też będą mieli czas na kino.Intuicja podpowiada zatem, że pierwszy schemat raczej nie jest prawdziwy,a drugi jest. Logika pozwala tę kwestię jednoznacznie rozstrzygnąć.Definicja 1.d.5. Schemat wnioskowania nazywamy regułą dowodzenia (lub regułąwnioskowania) wtedy i tylko wtedy, gdy przy każdym wnioskowaniu według tegoschematu prawdziwy jest wniosek, o ile tylko prawdziwe są wszystkie przesłanki.


Logika i teoria mnogości 21Wnioskowanie logicznie poprawne jest to takie wnioskowanie, które odbywasię według pewnej reguły dowodzenia.Twierdzenie 1.t.2. Przegląd ważniejszych reguł wnioskowania:– reguła odrywania (modus ponens)(1.18)p,p ⇒ qq(najczęściej stosowana jako model rozumowania dedukcyjnego);– reguła odrywania dla równoważności(1.19)p,p ⇔ q;q– reguła sylogizmu warunkowego(1.20)p ⇒ q,q ⇒ r;p ⇒ r– reguła dowodu nie wprost (jedna z tzw. reguł apagogicznych)(1.21)– dylemat konstrukcyjny( p∧ ~ q)⇒ ~p ⇒ qp;(1.22)p ⇒ q,~qp ⇒ q;– dylemat destrukcyjny (Orygenesa)(1.23)p ⇒ q, p ⇒~ q~ poparty na dość makabrycznym rozumowaniu:(Jeżeli wiesz, że umarłeś) to (umarłeś).(Jeżeli wiesz, że umarłeś) to (nie umarłeś).Nie wiesz, że umarłeś.


22Elementy matematyki wyższejReguł wnioskowania jest nieskończenie wiele. Problem zasadniczy – rozstrzygnięcie,który schemat wnioskowania jest regułą wnioskowania, a który taką regułąnie jest – rozwiązuje poniższe twierdzenie.Twierdzenie 1.t.3. O rozstrzygalności poprawności wnioskowania. Schemat wnioskowaniaφ , φ ,...,1 2φψjest regułą wnioskowania wtedy i tylko wtedy, gdy formułajest tautologią.n( 1 2nφ ∧ φ ∧ ... ∧ φ ) ⇒ψPrzykład 1.p.3. Sprawdzimy teraz, który ze schematów wnioskowania przytoczonychw przykładzie 1.p.2 (o pracy i kinie) jest regułą wnioskowania (przypominamy –każdy sposób rozumowania jest schematem wnioskowania, ale tylko poprawnyschemat jest regułą wnioskowania, czyli regułą dowodzenia).Oznaczmy:p – Będę dobrze pracował.q – Stracę pracę.r – Będę miał czas pójść do kina.Pierwszy schemat wnioskowania jest zatem następujący:~p ⇒ q,q ⇒ r.p ⇒ ~ rZgodnie z twierdzeniem 1.t.3 sprawdzamy, czy formuła~ p ⇒ q ∧ q ⇒ r ⇒ p ⇒~r jest tautologią.[( ) ( )] ( )p q r ~ p ~ r ~p ⇒ q r( ~ p ⇒ q )q ⇒∧ ( q ⇒ r)∧p ⇒ ~r[( ~p ⇒ q) ∧( q ⇒ r)]⇒ ( p ⇒~ r)1 1 1 0 0 1 1 1 0 01 1 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 0 1 1 1 0 01 0 0 0 1 1 1 1 1 10 1 1 1 0 1 1 1 1 10 1 0 1 1 1 0 0 1 10 0 1 1 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 0 1 0 1 1


Logika i teoria mnogości 23Powyższa formuła nie jest zatem tautologią. Jest fałszywa, o ile tylko równocześnieprawdziwe są zdania p i r.Odpowiedź: Pierwszy z przytoczonych schematów wnioskowania nie jest regułąwnioskowania.Przy tych samych oznaczeniach drugi schemat wnioskowania jest następujący:~p ⇒ q,q ⇒ r,~ p ⇒ rmusimy zatem sprawdzić, czy tautologią jest formuła[( p ⇒ q) ∧ ( q ⇒ r)] ⇒ ( ~ p ⇒ r)~ .p q r ~ p ~ r ~p ⇒ q q ⇒ r( ~ p ⇒ q)∧ ( q ⇒ r)∧~p ⇒ r[( ~ p ⇒ q) ∧ ( q ⇒ r)]⇒ ( ~ p ⇒ r)1 1 1 0 0 1 1 1 1 11 1 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 0 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 1 1 10 1 1 1 0 1 1 1 1 10 1 0 1 1 1 0 0 0 10 0 1 1 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 0 1 0 0 1Odpowiedź: Powyższa formuła jest tautologią, a więc badany schemat wnioskowaniajest regułą wnioskowania.Przykład 1.p.4. Poniższy schemat można nazwać: „Fatalne skutki nieuctwa na egzaminiekomisyjnym”. Autorzy nie życzą nikomu takiego egzaminu, tym bardziej żeskutkiem niezdania egzaminu komisyjnego jest skreślenie z listy studentów. Schematjest następujący:Jeżeli nie ściągnę, to obleję egzamin.Jeżeli obleję egzamin, to wylecę ze szkoły.Jeżeli ściągnę, to będę oszustem.Wylecę ze szkoły lub będę oszustem.


24Elementy matematyki wyższejOznaczmy:p – „Ściągnę” (występuje tu podmiot domyślny),q – „Obleję egzamin”,r – „Wylecę ze szkoły”,s – „Będę oszustem”(autorzy używają kolokwializmów z premedytacją).Przy tak dobranych oznaczeniach schemat wnioskowania ma następującąpostać:~p ⇒ q,q ⇒ r,r ∨ sp ⇒ s.Sprawdzimy, czy ten schemat jest regułą wnioskowania. Jest tak wtedy, gdy~ p ⇒ q ∧ q ⇒ r ∧ p ⇒ s ⇒ r ∨ s jest tautologią. Właściwieformuła [( ) ( ) ( )] ( )należałoby zapisać ją w postaci [( p ⇒ q) ∧ (( q ⇒ r) ∧ ( p ⇒ s))] ⇒ ( r ∨ s)~ , ale namocy prawa łączności koniunkcji (twierdzenie 1.t.1 (1.10)) wnosimy, że koniunkcjatrzech formuł jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie trzy są prawdziwe.Mamy tu do czynienia z czterema formułami atomowymi (zdaniami). Gdybyśmysporządzili odpowiednią tabelę zero-jedynkową, to miałaby ona 2 4 = 16 wierszy.Mając jednak na uwadze specyficzną budowę sprawdzanej formuły zdaniowej,wykorzystamy inną metodę. Pokażemy, że formuła jest tautologią, stosując dowód„nie wprost” (reductio ad absurdum). Założymy mianowicie, że istnieje takiewartościowanie formuł atomowych, które powoduje fałszywość całej formuły.Jeżeli wykażemy, że jest to niemożliwe (za każdym razem otrzymamy sprzeczność), toformuła jest tautologią. Jeżeli jednak nam się to uda, to formuła nie jest tautologią.Mówiąc nieco przewrotnie – sukces jest porażką.Załóżmy zatem, że istnieje takie wartościowanie, iż formuła:[( ~ p ⇒ q) ∧ ( q ⇒ r) ∧ ( p ⇒ s)] ⇒ ( r ∨ s)jest fałszywa.Formuła ta jest implikacją, zatem jej poprzednik [( ~ p ⇒ q) ∧ ( q ⇒ r) ∧ ( p ⇒ s)]musi być prawdziwy, a następnik ( r ∨ s)musi być fałszywy (tylko wtedy implikacjajest fałszywa).Następnik jest alternatywą, zatem oba zdania r oraz s muszą być fałszywe(tylko wtedy alternatywa jest fałszywa). Wartości logiczne zdań r oraz s są równe 0.Poprzednik jest koniunkcją, zatem wszystkie trzy składniki muszą być prawdziwe.Składniki te są implikacjami: ~ p ⇒ q , q ⇒ r oraz p ⇒ s . Dwie ostatniez nich mają następniki fałszywe (wartości logiczne zdań r oraz s są przecież równe 0),więc – aby były prawdziwe – muszą mieć fałszywe również poprzedniki. Stąd


Logika i teoria mnogości 25zdania p i q są fałszywe; zatem zdanie ~ p jest prawdziwe. Pierwsza z implikacji:~ p ⇒ q jest zatem fałszywa (z prawdy wynika fałsz), a przed chwilą ustaliliśmy,że (podobnie jak dwie pozostałe) jest prawdziwa. Jest to sprzeczność. Założenieo istnieniu wartościowania formuł atomowych, przy którym nasza formuła jestnieprawdziwa, doprowadziło do sprzeczności (absurdu).Odpowiedź: Powyższa formuła jest tautologią, a przedstawiony wyżej schemat –regułą wnioskowania (dowodzenia). Co dajemy Czytelnikowi pod rozwagę.Twierdzenie 1.t.4. Twierdzenie o zamkniętości zbioru tautologii. Zbiór tautologiijest zamknięty ze względu na reguły dowodzenia, tzn. jeślijest regułą dowodzenia oraz gdytautologią.φ , φ ,...,1 2φψφ ,...,n1, φ2φnsą tautologiami, to ψ jest równieżTwierdzenie 1.t.5. Reguła podstawiania. Jeżeli za zmienne tautologii na każdymmiejscu, gdzie one występują, podstawimy, odpowiednio, ustalone formuły, to otrzymanaformuła też jest tautologią.Twierdzenie 1.t.6. Reguła odrywania dla tautologii. Jeżeli implikacja oraz poprzednikimplikacji są tautologiami, to następnik implikacji też jest tautologią.Kwadrat logicznyNiech będzie dana implikacja φ ⇒ ψ ; nazwijmy ją implikacją prostą.Implikacją odwrotną nazwiemy: ψ ⇒ φ , przeciwną: ~ φ ⇒ ~ ψ , a przeciwstawną:~ ψ ⇒ ~ φ . Związek między tymi implikacjami najlepiej przedstawić na diagramiew formie kwadratu (rys. 1.1). Aby wykazać prawdziwość wszystkich implikacji,wystarczy wykazać prawdziwość dwóch z nich – leżących na jednym, dowolnymboku kwadratu. Wynika stąd, że dwie implikacje znajdujące się na dowolnej,ustalonej przekątnej kwadratu są równoważne.


26Elementy matematyki wyższejRysunek 1.11.1.3. Rachunek funkcyjny (kwantyfikatorowy)Funkcje zdanioweRozważmy kilka zdań:1. 8 jest liczbą parzystą.2. 13 jest liczbą parzystą.3. 2,718 jest liczbą parzystą.Pierwsze z nich jest prawdziwe (oczywiście korzystamy z dziesiętnegoukładu liczbowego), drugie jest nieprawdziwe, a trzecie nie ma sensu 1 .Zauważmy, że każde z trzech zdań jest wypowiedzią o parzystości pewnejkonkretnej liczby. Możemy otrzymać więcej takich zdań, gdy za każdym razemw odpowiednie miejsce wstawimy pewną liczbę. Wszystkie te zdania będą miałyprawie identyczną postać, którą można uogólnić, przyjmując w miejsce liczbyniewiadomą (np. x). Formą dla takich zdań jest: „x jest liczbą parzystą”.1 W tym momencie część Czytelników zapewne zaprotestuje, twierdząc, że trzecie zdanie ma sens, alejest nieprawdziwe. Zadajmy sobie jednak pytanie o istotę parzystości i nieparzystości. Pojęcie parzystości łączysię z podzielnością liczby przez dwa w takim zbiorze liczbowym, w którym dzielenie nie zawsze jest wykonalne.Zatem liczba parzysta to taka, która przy dzieleniu przez dwa daje resztę zero, odpowiednio – liczba nieparzystaprzy dzieleniu przez dwa daje resztę jeden. Zatem 8 jest liczbą parzystą, a 13 – nieparzystą w zbiorze (lub pewnympodzbiorze) liczb całkowitych. Inaczej mają się sprawy w zbiorze liczb wymiernych lub rzeczywistych. Tudzielenie przez dwa (i każdą różną od zera liczbę) jest wykonalne i pojęcie dzielenia z resztą traci sens, zatempojęcie parzystości – również. Można (ewentualnie) wyznaczyć podział zbioru liczb rzeczywistych (lubwymiernych) na: parzyste, nieparzyste i ani parzyste, ani nieparzyste, ale jest to konstrukcja sztuczna i wieleeleganckich twierdzeń o liczbach przybrałoby wtedy dziwaczną i nieelegancką formę.


Logika i teoria mnogości 27Definicja 1.d.6. Wyrażenie φ ( x ), w którym występuje zmienna x i które staje sięzdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy w miejsce zmiennej x wstawimydowolny element niepustego zbioru A , nazywamy funkcją zdaniową zmiennej x;zbiór A nazywamy zakresem funkcji φ ( x ) . Często zapisujemy: φ ( x ),x ∈ A .Definicja 1.d.7. Zbiór zawierający wszystkie elementy zakresu A funkcji zdaniowejφ ( x ) , które po wstawieniu w miejsce zmiennej x tworzą zdanie prawdziwe,x ∈ A:φ x .nazywamy dziedziną funkcji zdaniowej i oznaczamy D φ . Zapis: D φ = { ( )}Przykład 1.p.5. Oznaczmy przez Z zbiór liczb całkowitych (to standardowe2oznaczenie, które będzie od tej chwili obowiązywać). Wyrażenie: x + 2x≤ 0 ,x ∈ Z , jest funkcją zdaniową zmiennej x, której zakresem jest zbiór wszystkich2liczb całkowitych Z ( φ ( x) : x + 2x ≤ 0treścią tej funkcji zdaniowej, wówczas okaże się, że D φ = { − 2,−1,0}dziedzina zawiera tylko trzy elementy.). Gdy jednak rozwiążemy nierówność będącą, a zatemAnalogicznie wprowadza się pojęcie funkcji zdaniowej dwóch zmiennychφ x, y . Nieco kłopotu może przysporzyć definiowanie zakresu i dziedziny, ale te( )trudności znikną po zdefiniowaniu iloczynu kartezjańskiego.Podobnie jak negacje, alternatywy, koniunkcje, implikacje oraz równoważnościformuł zdaniowych, istnieją negacje, alternatywy, koniunkcje, implikacjeoraz równoważności funkcji zdaniowych. Twierdzenie: Jeśli kwadrat liczby rzeczywistejjest równy 1, to liczbą tą jest 1 lub –1 można zapisać:2( x 1) ⇒ ( x = 1) ∨ ( x = −1)[ ] x∈R= ,.2 zapi-Natomiast sformułowanie: Liczba wymierna lub parzysta wielokrotnośćsujemy:(x∈Q) ∨ [(x = 2k2 ), k∈Z],gdzie przez Q oznaczamy zbiór liczb wymiernych.KwantyfikatoryWyrażenie: „dla każdego...” nazywamy kwantyfikatorem ogólnym (albodużym) i oznaczamy: ∀ albo ∧ (we współczesnej matematyce częściej stosujesię symbol ∀ ).Wyrażenie: „istnieje taki ..., że...” nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym(albo małym) i oznaczamy: ∃ albo∨ (we współczesnej matematyce częściejstosuje się symbol ∃ ).


28Elementy matematyki wyższejW tej książce używana będzie współczesna notacja kwantyfikatorów (∀ i ∃ ).Przykład 1.p.6. Zdanie: Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemnązapisujemy:( x 0)2 ≥∀x ∈ R : ,a zdanie: Istnieje liczba rzeczywista większa od 3,14 i mniejsza od 722zapisujemy:⎛ 22 ⎞∃ x ∈ R : ⎜3,14< x < ⎟ .⎝ 7 ⎠Jeżeli kwantyfikator odnosi się do funkcji zdaniowej φ ( x), której zakresemjest zbiór A , to zapisujemy odpowiednio: ∀ x ∈ A:φ( x)oraz ∃ x ∈ A:φ( x). Jeżelinatomiast z wcześniejszych rozważań wynika bez wątpliwości, jaki zbiór jestx : φ x ∃ x : φ x .zakresem zmiennej, to zapisujemy odpowiednio: ∀ ( ) oraz ( )Twierdzenie 1.t.7. Prawa rachunku kwantyfikatorowego– Rozdzielność względem alternatywy i koniunkcji:(1.24) x : ( φ( x) ∧ ψ( x)) ⇔ [ ∀x: φ( x) ∧ ∀x: ψ( x)]∃ x : ( φ( x) ∧ ψ( x)) ⇔ [ ∃x: φ( x) ∧ ∃x: ψ( x)];∀ ,(1.25) x : ( φ( x) ∨ ψ( x)) ⇔ [ ∀x: φ( x) ∨ ∀x: ψ( x)]∀ ,( φ( x) ∨ ψ( x)) ⇔ [ ∃x: φ( x) ∨ x ψ( x)]∃ x : ∃ : .– Negacja (prawa De Morgana dla rachunku kwantyfikatorowego). Zaprzeczeniezdania z kwantyfikatorem polega na zmianie kwantyfikatora (z ogólnego naszczegółowy albo odwrotnie) i zaprzeczeniu funkcji zdaniowej.(1.26) ~ ( ∀ x : φ ( x)) ⇔ ( ∃x: ~ φ( x)) oraz ~ ( x : φ( x)) ⇔ ( ∀x: ~ φ( x))∃ .Wnioskami z powyższego twierdzenia są następujące zależności:(1.27) ~ [ x : ( φ( x) ∧ ψ( x))] ⇔ ∃x: [( ~ φ( x)) ∨ ( ~ ψ( x))]∀ ,(1.28) ~ [ x : ( φ( x) ∨ ψ( x))] ⇔ ∃x: [( ~ φ( x)) ∧ ( ~ ψ( x))]∀ ,(1.29) ~ [ x : ( φ( x) ∧ ψ( x))] ⇔ ∀x: [( ~ φ( x)) ∨ ( ~ ψ( x))]∃ ,


Logika i teoria mnogości 29(1.30) ~ [ x : ( φ( x) ∨ ψ( x))] ⇔ ∀x: [( ~ φ( x)) ∧ ( ~ ψ( x))]∃ .– Prawa przestawiania kwantyfikatorów. Jeżeli w funkcji zdaniowej zawierającejco najmniej dwie zmienne są dwa kwantyfikatory, to przestawiając je, otrzymamyfunkcję równoważną, z wyjątkiem sytuacji, gdy kwantyfikator ogólnywystępuje przed kwantyfikatorem szczegółowym.Twierdzenie 1.t.8. Prawa przestawiania kwantyfikatorów(1.31) ( x ∀y: φ( x,y)) ⇔ ( ∀y∀x: φ( x,y))∀ ,(1.32) ( x ∃ y : φ( x,y)) ⇔ ( ∃ y∃x: φ( x,y))∃ ,(1.33) ( x ∀ y : φ( x,y)) ⇒ ( ∀y∃x: φ( x,y))∃ .Przykład 1.p.7. Zapis stwierdzenia Liczba całkowita n jest parzysta:( ∃k∈ Z : n = k)n ∈ Z ∧2 .Zapis twierdzenia Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny:2 ≥∀x ∈ R : x 0 .Zapis twierdzenia Nie ma największej liczby naturalnej:( m n)∀ n ∈ N ∃ m ∈ N : > .1.2. Elementy teorii mnogości1.2.1. Działania na zbiorachW teorii mnogości pojęciem pierwotnym (nie definiowanym) jest pojęciezbioru, natomiast pierwotnym symbolem predykatywnym jest symbol przynależnoścido zbioru (znany zapewne wszystkim Czytelnikom symbol ∈). Zbiory będziemyoznaczać zazwyczaj wielkimi literami alfabetu łacińskiego. Zbiory, których elementamisą zbiory, nazywać będziemy czasem klasami zbiorów i oznaczać małymi literamialfabetu greckiego (ale nie zawsze). Elementy zbioru nie powtarzają się. Zbiórpusty to zbiór nie zawierający żadnego elementu (oznaczamy go: ∅ ). Istnieje tylko


30Elementy matematyki wyższejjeden zbiór pusty. Jeżeli element nie należy do zbioru, to zamiast pisać: ~ ( x ∈ A),będziemy zapisywać:x ∉ A .– Równość zbiorów: A B ⇔ [ ∀xx ∈ A ⇔ x ∈ B]= : .– Inkluzja zbiorów (zawieranie): A B ⇔ ∀x( x ∈ A ⇒ x ∈ B)⊂ : (zbiór A nazywamypodzbiorem zbioru B, zbiór B nazywamy nadzbiorem zbioru A).– Suma zbiorów (suma mnogościowa): A B = { x x ∈ A ∨ x ∈ B}∪ : .– Iloczyn zbiorów (przekrój): A B = { x x ∈ A ∧ x ∈ B}∩ : .\ .– Różnica zbiorów: A B = { x : x ∈ A ∧ x ∉ B}Jeżeli wszystkie zbiory będziemy rozpatrywać w pewnej ustalonej przestrzeni(czyli nie jako zbiory „w ogóle”, ale jako zbiory np. na prostej, na płaszczyźnie,zbiory liczbowe, zbiór ludzi itp.), to możemy zdefiniować dopełnienie zbioru jakozbiór tych wszystkich elementów przestrzeni, które do danego zbioru nie należą.Oznaczmy przez X przestrzeń, w której są zawarte rozważane przez nas zbiory.′ : .Dopełnienie zbioru: A = { x x ∈ X ∧ x ∉ A}Korzystając z definicji różnicy zbiorów, stwierdzamy: A ′ = X \ A.Twierdzenie 1.t.9. Własności działań na zbiorach– Przemienność sumy i przemienność iloczynu:(1.34) A ∪ B = B ∪ A , A ∩ B = B ∩ A .– Łączność sumy i łączność iloczynu:(1.35) ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C), ( A B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C)∩ .– Rozdzielność iloczynu względem sumy i rozdzielność sumy względemiloczynu:(1.36) A ( B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C)– Prawa absorpcji:∩ ,( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∪ ∩( A ∪ C)A ∪ .(1.37) A ∩ ( A ∪ B) = A , A ( A ∩ B) = A∪ .– Związki między inkluzją i sumą zbiorów oraz inkluzją i iloczynem zbiorów:(1.38) A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B , A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A,


Logika i teoria mnogości 31(1.39) [( A B) ∧ ( C ⊂ D)] ⇒ [( A ∪ C) ⊂ ( B ∪ D)]⊂ ,[( A B) ∧ ( C ⊂ D)] ⇒ [( A ∩ C) ⊂ ( B ∩ D)]⊂ .– Związki między inkluzją i różnicą zbiorów:(1.40) [( A B) ∧ ( C ⊂ D)] ⇒ [( A \ D) ⊂ ( B \ C)]⊂ .– Prawa De Morgana dla różnicy zbiorów:(1.41) A \ ( B C) = ( A \ B) ∩ ( A \ C)∪ ,( B C) = ( A \ B) ( A C)A \ ∩ ∪ \ .– Związki między zbiorami i ich dopełnieniami:(1.42) X ′ = ∅ , ∅′ = X .(1.43) A ∪ A′= X , ∩ A′ = ∅– Prawa De Morgana dla dopełnień zbiorów:′A ′ ′A , ( A B) ⇒ ( B′⊂ A′)(1.44) ( ∪ B) = A ∩ B , ( B) = A ∪ B⊂ .′A ∩ ′ ′ .1.2.2. Iloczyn kartezjański zbiorów– Para nieuporządkowana. Parą nieuporządkowaną nazywamy zbiór dwuele-a, b . Zauważmy że elementy pary nieuporządkowanej muszą sięmentowy { }różnić, ponieważ { a , a} = { a}, zatem jeżeli się nie różnią, to mamy zbiór jednoelementowy.Należy zaznaczyć, że zbiór jednoelementowy { a } nie jest tożsamyz elementem a (czym innym jest „być zbiorem”, a czym innym „należeć dozbioru”).– Para uporządkowana. Istnieją różne sposoby zdefiniowania pary uporządkowanej.Oto jeden z nich: Parą uporządkowaną nazywamy zbiór dwuelementowy,w którym wyróżniony jest jeden z elementów, nazwany elementempierwszym (element, który nie jest elementem pierwszym, będziemy nazywaća, b . Dwie pary uporządkowanedrugim). Parę uporządkowaną oznaczamy ( )są równe, jeśli mają te same elementy w tej samej kolejności. Zatem:( a b) = ( c,d ) ⇔ ( a = c ∧ b = d ), .


32Elementy matematyki wyższejW odróżnieniu od pary nieuporządkowanej, para uporządkowana może zawieraćdwa identyczne elementy, zatem istnieją pary uporządkowane postacia, a . Odnotujmy, że jeśli b a , b ≠ b,a .( )a ≠ , to ( ) ( )Definicja 1.d.8. Niech będą dane dwa niepuste zbiory A i B. Iloczynem kartezjańskimA× B tych zbiorów nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych, którychpierwszy element należy do zbioru A, natomiast drugi do zbioru B.Jeśli{( a b)a ∈ A ∧ b ∈ B}A× B = , :.A = B , to A× A możemy oznaczyć22A i wówczas:{( a,b): a b ∈ A}A× A = A = ,Analogicznie możemy zdefiniować trójkę uporządkowaną, n-tkę uporządkowaną(w naukach informatycznych noszą one nazwę krotki)..1.2.3. Pojęcie relacjiJednym z najważniejszych pojęć matematyki jest pojęcie relacji. Definicjarelacji jest zadziwiająco prosta, a jednocześnie niezwykle głęboka. W tej książceograniczymy się do relacji dwuargumentowych, choć aparatura pojęciowa wprowadzonapowyżej upoważnia do wprowadzenia relacji trój- i więcej argumentowych.Definicja 1.d.9. Niech będą dane niepuste zbiory A i B. Relacją nazywamy każdypodzbiór iloczynu kartezjańskiego A× B .Przykład 1.p.8. Niech będzie dany zbiór A = { 2,3,5,9 }kartezjański:A× A = {Ze zbioru( 2,2) ,( 2,3 ),( 2,5) ,( 2,9) ,( 3,2) ,( 3,3 )( . 3,5) ,( 3,9),( 5,2) ,( 5,3 ),( 5,5) ,( 5,9) ,( 9,2) ,( 9,3 ),( 9,5) ,( 9,9)}.A× A wybierzmy pewien podzbiór (relację), np.:{( 2,3 ),( 2,5) ,( 2,9) ,( 3,5) ,( 3,9) ,( 5,9)}M =.Możemy to zapisać w innej formie:. Utwórzmy iloczyn( 2 ,3) ∈ M , ( 2 ,5) ∈ M , ( 2 ,9) ∈ M , ( 3 ,5) ∈ M , ( 3 ,9) ∈ M , ( ,9) ∈ M5 .


Logika i teoria mnogości 33Zauważmy, że ta forma zapisu jest dość pracochłonna; wymaga użycia zakażdym razem lewego nawiasu, prawego nawiasu, przecinka i symbolu przynależności.Zapis jest niczym więcej jak umową – pewną zrozumiałą dla wszystkich(oby!) konwencją. Aby rzecz całą uprościć, zapiszmy:2M3, 2M5, 2M9, 3M5, 3M9, 5M9.Zapis, np. 92M , będziemy czytali: para ( ,9)2 należy do relacji M. Wydajesię sensowne pytanie: Dlaczego tę relację nazwaliśmy właśnie M? No właśnie,może by ją nazwać inaczej? Relacja jest zbiorem; umówiliśmy się, że zbiorybędziemy oznaczać zazwyczaj wielkimi literami alfabetu łacińskiego. „Zazwyczaj”nie oznacza „zawsze”. Po oznaczeniu powyższej relacji znakiem < zapis wygląda tak:2 < 3, 2 < 5, 2 < 9, 3 < 5, 3 < 9, 5 < 9 .Od formy = {( 2,3 ),( 2,5) ,( 2,9) ,( 3,5) ,( 3,9) ,( 5,9)}M do postaci 2 < 3, 2


34Elementy matematyki wyższejkażda liczba naturalna jest podzielna (między innymi) przez samą siebie. Niemusimy się ograniczać do zbiorów liczbowych. W grupie ludzi ustanówmyrelację: Każdy element jest w relacji z tymi wszystkimi, których lubi. Możnaprzyjąć, że każdy lubi siebie (miejmy nadzieję, że oprócz tego jeszczekogoś), zatem tak określona relacja jest zwrotna.2. Relacja przechodnia. Relację R ⊂ X × X nazywamy przechodnią, jeśliR ∗ R ⊂ R ,to znaczy ∀ x,y,z ∈ X : [( x,y) ∈ R ∧ ( y,z)∈ R] ⇒ ( x,z) ∈ R(w skrócie: ( xRy yRz) ⇒ xRz∧ ).Taką relacją jest relacja „mniejszości” w zbiorze liczb rzeczywistych( ( a < b ∧ b < c) ⇒ a < c ), inną – relacja podzielności (jeśli a jest podzielneprzez b i b jest podzielne przez c, to a jest podzielne przez c) w zbiorze liczbnaturalnych. Oczywiście, nie wszystkie relacje są przechodnie. Jeśli pan Awybił ząb panu B, a pan B wybił ząb panu C, to przecież nie wynika stąd, żepan A wybił ząb panu C. A relacja określona wybijaniem zębów w tymtrójelementowym zbiorze została określona.3. Relacja symetryczna. Relację R ⊂ X × X nazywamy symetryczną, jeśli−1R ⊂ R ,to znaczy ∀ x,y ∈ X :( x,y) ∈ R ⇒ ( y,x) ∈ R(w skrócie: xRy ⇒ yRx ).Określmy na przykład relację R w zbiorze liczb całkowitych Z:xRy ⇔ x − y = 2kdla pewnego k ∈ Z . Jeśli warunek ten jest spełniony, to( − k)y − x = 2 ⋅ , a przecież: − k∈ Z , zatem yRx. W zbiorze ludzi symetrycznajest relacja bycia w związku małżeńskim z... Jeśli A jest w związku małżeńskimz B, to B jest w związku małżeńskim z A (relacja nie wyklucza poligamiii poliandrii). Podana relacja nie jest zwrotna ani przechodnia (na szczęście),ale w ogóle relacja symetryczna może być zwrotna lub przechodnia.4. Relacja słabo antysymetryczna. Relację R ⊂ X × X nazywamy słabo antysymetryczną,jeśli[( x , y) ∈ R ∧ ( y,x)∈ R] ⇒ x = y(w skrócie: ( xRy yRx) ⇒ x = y∧ ).W zbiorze liczb rzeczywistych taką relacją jest „ ≤ ”. Istotnie: jeśli x ≤ yi y ≤ x , to x = y . Podobnie w zbiorze liczb naturalnych – jeśli a jest


Logika i teoria mnogości 35podzielne przez b i b jest podzielne przez a, to a = b . W meczu piłki nożnej– jeśli drużyna A nie strzeliła więcej bramek niż drużyna B, a drużyna B niestrzeliła więcej bramek niż drużyna A, to obie drużyny strzeliły tyle samobramek (remis).5. Relacja antysymetryczna lub silnie antysymetryczna. Relację R ⊂ X × Xnazywamy silnie antysymetryczną, jeśli−1R ∩ R = ∅ ,czyli ∀ x,y ∈ X :( x,y) ∈ R ⇒ ( y,x) ∉ R(w skrócie: xRy ~ ( yRx)⇒ ).Taką relacją w zbiorze liczb rzeczywistych jest relacja „ < ” (jeśli a < b , to~ b < a ). W meczach tenisa lub siatkówki (nie ma remisów) relacja:( )drużyna A wygrała z drużyną B jest silnie antysymetryczna.6. Relacja spójna. Relację R ⊂ X × X nazywamy spójną, jeśli[( x,y) ∈ R ∨ ( y x)∈ R]∀ x,y ∈ X :,(w skrócie: ∀ x, y ∈ X : ( xRy ∨ yRx)).Przykładem relacji spójnej w zbiorze liczb rzeczywistych jest relacja „ ≤ ”,natomiast relacja „


36Elementy matematyki wyższejzajęć nie ma nazwiska żadnego studenta? (nazwisko wykładowcy zazwyczaj jest). Sątam pewne nazwy (np. Inf. I. sem.), ale co one oznaczają? Odpowiedź jest prosta –są to nazwy grup wykładowych. Zastanówmy się, jakie cechy świadczą o przynależnoścido grupy wykładowej (z danego przedmiotu). Pierwszą taką cechą jestzwrotność: „należę do tej właśnie grupy, do której należę” (a nie do innej) – istotnie,trudno się rozdwoić. Drugą cechą jest symetria: „jeśli ja należę do tej samej grupyco ty, to ty należysz do tej samej grupy co ja”. Wreszcie trzecią cechą jest przechodniość:„jeśli ja należę do tej samej grupy co ty, a ty należysz do tej samejgrupy co on, to ja należę do tej samej grupy co on”. I to wszystko – te trzy cechyrelacji międzyludzkich pozwalają na jednoznaczny podział na grupy wykładowe.R ⊂ A×A nazy-Definicja 1.d.12. Niech będzie dany niepusty zbiór A. Relacjęwamy relacją równoważności, jeśli jest:– zwrotna,– symetryczna,– przechodnia.Jeżeli elementy a i b należące do zbioru A są takie, że ( a b) ∈ Rto mówimy, że są one równoważne (w sensie relacji R).Czasami relację równoważności oznacza się symbolem „ ≈ ”., (czyli aRb),równoważności R ( ( )Twierdzenie 1.t.10. Zasada abstrakcji. Jeżeli w zbiorze A została określona relacjaR ⊂ A×A ), to dzieli ona zbiór A na klasy elementów równoważnychw ten sposób, że każdy element zbioru A należy do jednej i tylko jednejklasy. Klasy te nazywamy klasami abstrakcji.Zbiór klas abstrakcji nazywamy zbiorem ilorazowym i oznaczamyKlasę abstrakcji elementu x oznaczamy [ x ] R .A .RPrzykład 1.p.9. W zbiorze liczb całkowitych Z określamy relację „ ≈ ” w takisposób, że para liczb należy do relacji, jeśli mają taką samą resztę przy dzieleniuprzez 3. Resztą z dzielenia przez 3 może być tylko liczba nieujemna, np. 5 : 3 = 1 r2,10 : 3 = 3 r1, − 1:3 = −1r2, 15 : 3 = 5 r0. Łatwo zauważyć, że dwie liczby całkowitemają tę samą resztę dzielenia przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy różnica tych liczb jestpodzielna przez 3 (bez reszty).Zatem a ≈ b ⇔ ∃k∈ Z : ( a − b) = 3⋅k .Zdefiniowana powyżej relacja ma następujące własności:– zwrotność: a ≈ a , ponieważ a − a = 0 = 3⋅0 , zatem szukaną liczbą k jest 0;– symetria: jeśli a ≈ b , czyli istnieje liczba całkowita k, taka że a − b = 3 ⋅ k , tob − a = − ⋅ k = 3⋅− k − k jest oczywiście całkowita,przecież 3 ( ) , liczba ( )zatemb ≈ a ;


Logika i teoria mnogości 37– przechodniość: jeśli a ≈ b i b ≈ c , to istnieją takie liczby k i m, żea − b = 3 ⋅ k i b − c = 3 ⋅ m , zatem ( a − b) + ( b − c) = 3 ⋅ k + 3⋅m , stąd( k m)a − b + b − c = 3 ⋅ + , czyli a123c = ⋅ pp− 3 , więc ostatecznie a ≈ c .Pokazaliśmy, że relacja ta jest relacją równoważności. Ponieważ resztąz dzielenia przez 3 może być 0, 1 lub 2, to klasami abstrakcji będą:[ 0] = {...,−9,−6,−3,0,3,6,9,...}≈ ,[ 1] = {...,−8,−5,−2,1,4,7,...}≈ ,[ 2] = {...,−7,−4,−1,2,5,8,...}≈ .Łatwo zauważyć, że każda liczba całkowita należy do jednej i tylko jednejklasy abstrakcji.Zbiorem ilorazowym zbioru liczb całkowitych przez powyższą relację jest{0,1,2}; podobnie można określić dodawanie liczb z każdej pary klas (niekoniecznieróżnych), np. ( 3 ⋅ k + 2) + (3⋅m + 2) = 3⋅( k + m) + 4 = 3⋅( k + m + 1) + 1. W ten sposóbmożemy ułożyć tabelę działań w zbiorze ilorazowym+ 3 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1Określone powyżej działanie nazywamy dodawaniem modulo 3.Łatwo będzie też ułożyć tabelę mnożenia w zbiorze ilorazowym:.30 1 20 0 0 01 0 1 22 0 2 1Na przykład: ( 3 ⋅ k + 2) ⋅ (3 ⋅ m + 2) = 9km+ 6k+ 6m+ 4 = 3⋅( 3km+ 2k+ 2m+ 1) + 1(stąd 2 ⋅ 3 2 = 1).Relacja częściowego porządkuDefinicja 1.d.13. Niech będzie dany niepusty zbiór A. Relacjęrelacją częściowego porządku, jeśli jest:S A×⊂ A nazywamy


38Elementy matematyki wyższej– zwrotna,– słabo antysymetryczna,– przechodnia.Relację częściowo porządkującą oznaczamy często symbolem „ ≤ ”.Przykład 1.p.10. W zbiorze liczb naturalnych N określamy relację „ p ” ( ⊂ ( N × N )w następujący sposób: a b ⇔ ( ∃k∈ N : a ⋅ k = b)p )p (b jest podzielne przez a).Czytelnik z łatwością sam sprawdzi, że jest to relacja częściowego porządku.FunkcjeDefinicja 1.d.14. Niech będą dane niepuste zbiory X i Y. Relacjęspełniającą warunki:(a) ∀ x ∈ X ∃ y ∈Y( x,y) ∈ f: oraz(b) [ ∀ x ∈ X ∀ y , y ∈Y: ( x,y ) ∈ f ∧ ( x y ) ∈ f ] ⇒( y = y )nazywamy funkcją.Zbiór X nazywamy dziedziną albo zbiorem argumentów funkcji f.Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną albo zbiorem wartości funkcji f.O funkcji f mówimy, że jest odwzorowaniem zbioru X w zbiór Y i zapisuje-f : X →Y.my:1 21 ,Zamiast ( x, y) ∈ f stosujemy zapis f ( x)2y = .12f ⊂ X × YJeżeli oprócz warunków określonych w definicji 1.d.14 spełniony jest warunek:(c) ∀ y ∈Y∃x∈ X ( x,y) ∈ f: ,to f nazywamy funkcją „na” albo surjekcją.Jeżeli oprócz warunków określonych w definicji 1.d.14 spełniony jest warunek:(d) [ x , x ∈ X ∀y∈Y:( x , y) ∈ f ∧ ( x y)∈ f ] ⇒ ( x = x )∀ ,1 212,to f nazywamy funkcją różnowartościową lub iniekcją.Jeżeli spełnione są wszystkie warunki (a), (b), (c), (d), to funkcję fnazywamy wzajemnie jednoznaczną albo bijekcją.Jeśli dane są dwie funkcje:f o g nazywamy funkcję:1f : X →Yoraz g : Y → Z , to złożeniem funkcji[(( x,z)∈ f g) ⇔ ∃ y ∈Y:( x,y) ∈ f ∧( y z)∈ g]f o g : X → Z ∧ o, .2


Możemy zatem stwierdzić, że ( f g)( x) = g( f ( x))Logika i teoria mnogości 39o .Przykład 1.p.11. Jeżeli g( x)= log x , f ( x) = 2 + sin x , to( f o g)( x) = log ( 2 + sin x), natomiast ( g f )( x) = 2 + sin( log x)o .ZadaniaZadanie 1.z.1. Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami:a) [( p q)⇒ p] ⇒ p⇒ ;b) p ( p ∨ q)⇒ ;c) p [( ~ p)∨ q]⇒ ;d) [( p q)∧ ~ q] ⇒~p⇒ ;e) [( p q) ∧ ( p ⇒ q)] ⇒ ( q ⇒ p)∨ ;f) [( p q)∧ p] ⇒ q⇒ ;g) [( p q) ∧ ( q ⇒ p)] ⇒ ( p ∨ q)h) ( p ~ p)⇒ ;~ ∧ ;i) [ ( p ∨ q) ⇒ ( ~ p ∧ q)] ⇒ ( p ∨ q)~ ;j) [ ( p ∨ q)⇒ q] ⇔ ( p ∧ q)~ ;k) [( p q) ∧ ( p ∨ q)] ⇒ [ p ⇒ ( p ∨ q)]∨ ;l) { p [ ~ ( p ∧ q) ⇒ ( p ∨ q)]} ⇒ ( ~ p)⇒ ;m) {( p ∧ q) ⇒ [ q ⇔ ( ~ p ∨ q)]} ⇒ [ p ∧ ( ~ p ∨ q)]~ ;n) [ p ∧ ( ~ q ∨ p)] ⇒ { ~ q ∧ [( p ∧ q)⇔ q]}~ .


40Elementy matematyki wyższejZadanie 1.z.2. Sprawdzić, czy następujące schematy wnioskowania są regułamidowodzenia:a)b)Jeśli wydałem dużo pieniędzy, to jestem zamożny.Jeśli wydałem dużo pieniędzy, to nie jestem zamożny.Nie jestem zamożny.Jeśli wydałem dużo pieniędzy, to jestem zamożny.Jeśli nie wydałem dużo pieniędzy, to jestem zamożny.Jestem zamożny.Zadanie 1.z.3. Sprawdzić, która z poniższych relacji jest relacją równoważności:⊂ , ( , b) ∈ R ⇔ ∈ ( N ∪ { 0})a) R N × N| a − b |a ;4⊂ , ( , b) ∈ S ⇔ ∈ ( N ∪ { 0})b) S N × NOdpowiedzi| a ⋅ b −1|a .21.z.1. a) tak; b) tak; c) nie; d) tak; e) nie; f) tak; g) nie; h) tak; i) tak; j) nie; k) tak;l) nie; m) nie; n) tak.1.z.2. a) nie; b) tak.1.z.3. a) tak; b) nie.


2. Rachunek macierzowy2.1. Macierze2.1.1. Określenie macierzy. Działania na macierzachWprowadzenieOznaczmy przez M skończony zbiór kolejnych początkowych liczb naturalnych:M ={1,2,...,m}, a przez N zbiór: N = {1,2,...,n}. Iloczynem kartezjańskimM × N jest zbiór wszystkich par uporządkowanych, których pierwszy elementnależy do zbioru M, a drugi do zbioru N.Definicja 2.d.1. Macierzą prostokątną A o m wierszach i n kolumnach orazelementach z niepustego zbioru P nazywamy każdą funkcję A : ( M × N)→ P .Najczęściej zbiór P jest zbiorem liczbowym i tylko takie macierze będąprzedmiotem naszych rozważań.A =lub A = [ ] .Zamiast A(i, j) będziemy pisali a . Zatem [ a ] ij ij i=1 ,..., m;j=1,..., na ij m×nNajwygodniejszą postacią zapisu macierzy jest tablica prostokątna z wypisanymiwszystkimi wartościami, np.:M = {1,2,3}, N = {1,2,3,4}, P = Z – zbiór liczb całkowitych.⎡21 1 −1⎤A =⎢⎥⎢3 2 5 − 4⎥, tutaj np. a 12 = 1,a23= 5 .⎢⎣0 1 − 3 7⎥⎦W każdej macierzy wyróżniamy wiersze i kolumny.1Liczby: 3 2 5 −4 tworzą drugi wiersz, a liczby 5− 3trzecią kolumnę.Liczby, z których zbudowana jest macierz, nazywamy jej elementami.Element a ij znajduje się w i-tym wierszu i j-tej kolumnie macierzy. W powyższej


42Elementy matematyki wyższejmacierzy A element –3 znajduje się w trzecim wierszu i trzeciej kolumnie, zatema = .33 −3Wymiarem macierzy nazywamy iloczyn liczby jej wierszy i kolumn, przyczym mnożenia się nie wykonuje. Macierz A jest więc wymiaru 3 × 4 (czyta się:trzy na cztery, a nie: 12), a macierz podana w definicji jest wymiaru m × n.Macierze będziemy zazwyczaj oznaczali dużymi literami alfabetu łacińskiego:A, B, C,...Z powyższych rozważań wynika, że sposób ogólny zapisywania macierzy:można zastąpić postacią:Będziemy używać obu tych postaci.A = [ a ij]i=1 ,..., m;j = 1,...,n (lub A = [ a ij]m×n )⎡a11a12... a1n⎤⎢⎥= ⎢a21a22... a2nA ⎥ .⎢ ... ... ... ... ⎥⎢⎥⎣ amam2... amn⎦Dwie macierze są równe, jeśli mają równe wszystkie odpowiednie elementy:[ a ij]i ,..., m;j 1,..., n[ bij]i 1,..., m;j 1,..., n⇔ ∀ i = 1,..., m;j = 1,..., n aij= bij= 1 = = = =: .Klasyfikacja macierzy1. Macierzą wierszową lub wektorem wierszowym nazywamy macierz składającąsię tylko z jednego wiersza. Macierzą kolumnową lub wektorem kolumnowymnazywamy macierz składającą się tylko z jednej kolumny.A =nazywamy kwadratową, gdy n = m, np.a =1 = ,...,2. Macierz [ij]i ,..., m;j 1 n⎡2⎢⎢3⎢⎣4−1531⎤−1⎥⎥.− 2⎥⎦Przekątną główną macierzy kwadratowej nazywamy ciąg kolejnych elementówpostaci a ii , i = 1,2,...,n. W powyższej macierzy przekątną główną tworząelementy: 2 5 −2.


Rachunek macierzowy 433. Macierz kwadratową = [ a ij]i, j =1,...,nA nazywamy symetryczną, gdy a ij = a ji , np.:⎡1⎢⎢1⎢⎣31−123⎤2⎥⎥.0⎥⎦W macierzy symetrycznej główna przekątna jest osią symetrii elementówmacierzy.4. Macierz kwadratową = [ij]i j nAa , =1,...,symetryczną, gdy a ij = – a ji , np.:nazywamy antysymetryczną lub ukośnie⎡ 0⎢⎢−1⎢⎣310− 2− 3⎤2⎥⎥.0⎥⎦Uwaga 2.u.1. W macierzy antysymetrycznej główna przekątna składa się z samych zer.a , =1,...,5. Macierz kwadratową = [ij]i j nA nazywamy górnotrójkątną, gdy a ij = 0dla i > j (pod główną przekątną znajdują się same zera) oraz dolnotrójkątną,gdy a ij = 0 dla i < j (nad główną przekątną znajdują się same zera).Macierz kwadratową = [ij]i j nA nazywamy diagonalną, gdy a ij = 0 dlaa , =1,...,i ≠ j (elementy różne od zera mogą występować tylko na głównej przekątnej).A =nazywamy jednostkową, gdyMacierz diagonalną [ij]i j na , =1,...,∀i=1 ,2,..., n:a = 1. Macierz jednostkową oznacza się przez E lub I (w tejiiksiążce będziemy używać oznaczenia E), lub – by zaznaczyć wymiar – E n ,= 1 ,np. E 1 [ ]⎡10 0⎤⎡10⎤E 2 = ⎢ ⎥ , E⎢ ⎥3 =⎣01 ⎢0 1 0⎥.⎦⎢⎣0 0 1⎥⎦6. Macierzą transponowaną macierzy prostokątnej = [ij]i m j nA nazywamymacierz prostokątną = [ji]i m j nATa =1 ,..., ; = 1,...,a =1 ,..., ; = 1,...,, w której pierwszą kolumnąjest pierwszy wiersz macierzy A, drugą kolumną – drugi wiersz macierzy A itd.


44Elementy matematyki wyższejIstnieje bardzo wiele zastosowań opisu rzeczywistości za pomocą macierzy.Oto kilka wybranych najprostszych przykładów.– Elementy macierzy określają dochód firmy (wiersze oznaczają działyzakładu – dział I, II,..., a kolumny kolejne miesiące).– Elementy macierzy określają obroty sieci sklepów „Prot i Gaweł” (wierszeokreślają konkretny sklep – przy ul. Płomienistej, Gruntowej, Głogowskiej,Półwiejskiej itd., a kolumny – poszczególne działy tych sklepów – ogólnospożywczy,mięsno-wędliniarski, nabiałowy czy (o zgrozo!) alkoholowy.– Każdy arkusz kalkulacyjny (np. Excel) jest macierzą.– Gra w okręty polega na rozszyfrowaniu macierzy przeciwnika (nie jest tomacierz liczbowa).– Sala kinowa przed seansem jest macierzą, której elementami są fotele,numerami wierszy – numery rzędów, a numerami kolumn – numery foteliw rzędzie (ewentualną różnicę w liczbie foteli w różnych rzędach możnauzupełnić o zera); w czasie seansu elementami macierzy mogą być widzowie(jeśli film jest kiepski, to część elementów macierzy stanowią widzowie,a część – przeważnie większą – puste fotele).– Tabela odległości między ważniejszymi miastami jest macierzą kwadratową,w której numery wierszy i kolumn odpowiadają nazwom miast (ten samnumer wiersza i kolumny odpowiada temu samemu miastu i – jeśli i < j , toa ij jest długością połączenia kolejowego, a jeśli i > j – długością połączeniadrogowego.Działania na macierzach1. Mnożenie macierzy przez liczbę polega na mnożeniu wszystkich elementówtej macierzy przez tę liczbę i odbywa się według wzoru:[ aij]i= 1 ,..., m;j = 1,..., n = [ p ⋅ aij]i=1,..., m;j = 1 np ,...,⋅ ,np.⎡31 1 2⎤⎡62 2 4⎤2 ⋅ ⎢⎥ = ⎢⎥ .⎣2−11 0⎦⎣4− 2 2 0 ⎦Mnożenie to można interpretować jako np. pomnożenie przez współczynnikliczby zatrudnionych w danej placówce w celu obliczenia wydajności całejsieci (tzw. waga).


Rachunek macierzowy 452. Dodawanie macierzy. Aby dodać dwie macierze, muszą one mieć ten samwymiar. Dodawanie macierzy polega na dodawaniu odpowiednich elementówtych macierzy wg wzoru:[ aij] i= [ ] [ ij ij ] 1 ,..., m;j = 1,..., n bij= a + bi=1,..., m;j = 1,..., ni=1,..., m;j = 1,..., nnp.+ ,⎡ 2⎢⎢3⎢⎣− 2−1⎤⎡−11⎥+⎢⎥ ⎢13⎥⎦⎢⎣43⎤⎡12⎥=⎢⎥ ⎢41⎥⎦⎢⎣22⎤3⎥⎥.4⎥⎦Dodawanie można interpretować jako dodawanie dochodów przedsiębiorstwa(z uwzględnieniem działów i miesięcy) z dwóch filii albo sumę obrotówsieci sklepów „Prot i Gaweł” w dwóch kolejnych miesiącach.3. Mnożenie macierzy przez macierz (w sensie Cauchy’ego). Warunek wykonalnościmnożenia macierzy: Niech będą dane dwie macierze prostokątne A i B.Mnożenie A . B jest wykonalne, jeśli liczba kolumn macierzy po lewejstronie znaku mnożenia (macierz A) jest równa liczbie wierszy macierzy poprawej stronie znaku mnożenia (macierz B). Mnożenie macierzy wykonujesię według następującej reguły:[ a ] , [ b ] ij i=1,..., m;j=1,..., njk j=1,..., n;k=1,..., rA = B =,gdziecik[ c ik ]i=1 ,..., m;k=1,...,rA ⋅ B = C =,∑= ai1 b1k + ai2b2k+ ... + ainbnk= aijbjk .nj=1Inaczej – element c ik jest wynikiem odpowiedniego pomnożenia i-tego wierszamacierzy A przez k-tą kolumnę macierzy B, a „odpowiedniość” polega natym, że mnoży się pierwszy element wiersza przez pierwszy element kolumny,dodaje się iloczyn drugiego elementu wiersza i drugiego elementu kolumny itd.Uwaga 2.u.2. Znak ∑ jest symbolem sumowania, pozwalającym na skrócony zapisdodawania wielu elementów w następujący sposób:4∑i=26∑22( i + 2) = (2 + 2) + (3 + 2) + (4 + 2) ,p=3+p= 3 p −13 −14 −15 −1−14+25+256,


46Elementy matematyki wyższej5k∑( j + p) = ( 1+p) k + ( 2 + p) k + ( 3 + p) k + ( 4 + p) k + ( 5 + p) kj=1Z powyższych przykładów wynika, że pod symbolem sumy podany jestwskaźnik, według którego sumujemy, i liczba początkowa sumowania, a nad symbolemsumy podana jest liczba końcowa sumowania. Za znakiem sumy znajduje sięwyrażenie, do którego podstawiamy w miejsce wskaźnika, według któregosumujemy, kolejne liczby sumowania – od początkowej do końcowej. Po każdympodstawieniu (z wyjątkiem ostatniego) stawiamy znak „+”. W trzecim z podanychpowyżej przykładów w wyrażeniu za znakiem sumy znajduje się kilka liter, alepodstawianie stosuje się tylko do tej litery, która jest wskazana pod znakiem sumy(tu jest to litera j); nazywamy ją bieżącym indeksem sumowania.Przykład 2.p.1. Wykonać mnożenie macierzy:⎡2⎢⎢1⎢⎣1121−120⎡ 10⎤⎢⎥⋅ ⎢2−1⎥ ⎢ 03⎥⎦⎢⎣−13⎤⎥ ⎡2+ 2 − 0 − 0−1⎥ =⎢5⎥⎢1+4 + 0 + 1⎥ ⎢2⎣ 1+2 + 0 − 3⎦6 −1−5 + 0⎤⎡43 − 2 + 10 − 2⎥=⎢⎥ ⎢63 −1+0 + 6⎥⎦⎢⎣0.0⎤9⎥⎥.8⎥⎦Własności mnożenia macierzy1. Łączność (A . B)C = A(B . C) – oczywiście tylko wtedy, gdy można mnożyćsąsiednie macierze.2. Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne; A . B ≠ B . A.Przykład 2.p.2A . B =B . A =⎡ 1 2 0⎤⎡21 −1⎤⎡25 1⎤⎢ ⎥⋅⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢3 1 1⎥ ⎢0 2 1⎥ ⎢9 6 −1⎥,⎢⎣−10 2⎥⎦⎢⎣3 1 1⎥⎦⎢⎣4 1 3⎥⎦⎡2⎢⎢0⎢⎣3121−1⎤⎡ 11⎥⋅⎢⎥ ⎢31⎥⎦⎢⎣−1A . B ≠ B . A, ponieważ⎡2⎢⎢9⎢⎣42105610⎤⎡61⎥=⎢⎥ ⎢52⎥⎦⎢⎣55271⎤⎡6−1⎥≠⎢⎥ ⎢53⎥⎦⎢⎣5−1⎤4⎥⎥,3⎥⎦527−1⎤4⎥⎥.3⎥⎦


2.1.2. Macierz odwrotnaRachunek macierzowy 47że5 11 55Załóżmy, że dana jest macierz kwadratowa A; zgodnie z powyższymi rozważaniamiwykonalne jest mnożenie tej macierzy przez dowolną macierz kwadratowąB tego samego wymiaru. Postawmy następujący problem: Czy istnieje takamacierz B, aby po wykonaniu tego mnożenia otrzymać pewną, z góry określonąmacierz, a jeśli istnieje, to w jaki sposób ją znaleźć?Problem rozpatrywany w zbiorach liczbowych jest Czytelnikowi doskonaleznany.Odpowiednikiem mnożenia macierzy jest mnożenie liczb. Jeśli mamy dwie3liczby, np. 5i 7 11, to znając regułę mnożenia ułamków, zastosujemy ją i stwierdzimy,3 7 21⋅ = . Nieco inaczej jest, gdy znamy jeden z czynników oraz wynik mnożenia,a nie znamy drugiego czynnika. Ale i tu radzimy sobie nieźle, gdyż, jeśli np.3 2⋅ x = , to drugi czynnik otrzymamy, mnożąc wynik działania przez odwrotność513znanego czynnika: 2 ⋅ 510x = , czyli x = . Jeśli uświadomimy sobie znane fakty,13 339a mianowicie:−1−− między liczbą a i jej odwrotnością a jest taki związek, że a ⋅ a1 = 1 ;− istnieje liczba, która nie ma odwrotności – jest to 0;− „jedynką” w mnożeniu macierzy jest macierz jednostkowa E, czyliE ⋅ A = A ⋅ E = A ,to zobaczymy, że problem sprowadza się przede wszystkim do znalezieniaodwrotności oraz że analogiczny problem możemy postawić w rachunku macierzy.Prowadzi to nas do ważnej definicji.Definicja 2.d.2. Macierz kwadratową B nazywamy macierzą odwrotną do macierzykwadratowej A, gdy A ⋅ B = B ⋅ A = E . Macierz odwrotną do macierzy Aoznaczamy: A -1 .Uwaga 2.u.31. Nie każda macierz kwadratowa ma macierz odwrotną. Macierz, która ma macierzodwrotną, nazywamy nieosobliwą, a macierz, która jej nie ma – osobliwą.2. Odwrotność macierzy jest inwolucją, tzn. (A -1 ) -1 = A (inwolucją nazywamyprzekształcenie, które dwukrotnie, kolejno wykonane na tym samym elemenciepowraca do punktu wyjścia; inwolucją jest np. przejście przez drzwi; autorzyserdecznie odradzają sprawdzenie, czy przejście przez okno jest inwolucją).


48Elementy matematyki wyższejWyznaczanie macierzy odwrotnejOmówimy prostą metodę wyznaczania macierzy odwrotnej, którą nazywamymetodą przekształceń elementarnych. Niektórzy autorzy nazywają ją metodąGaussa, jeszcze inni metodą Gaussa-Jordana. Ponieważ operacje będą wykonywanewyłącznie na wierszach, więc określimy przekształcenia elementarne wierszymacierzy. W dalszej części (nie dotyczącej obliczania macierzy odwrotnych) pojawiająsię również działania na kolumnach. Macierz odwrotną można (podwarunkiem odpowiedniego zapisu) obliczać, wykonując działania na kolumnach(ale tylko na kolumnach). Dlatego przy opisie działań w nawiasach pojawią sięodpowiednie zamienniki.Przekształceniem elementarnym macierzy nazywamy każde z następującychdziałań:1. Pomnożenie wszystkich elementów wiersza (kolumny) przez liczbę różną od zera.2. Zamiana wierszy (kolumn) miejscami (przestawienie wierszy (kolumn)).3. Dodanie do elementów dowolnego wiersza (kolumny), odpowiednio, elementówinnego wiersza (kolumny) pomnożonych przez dowolną ustaloną liczbę.Powyższe przekształcenia dokonane na wierszach są równoważne pomnożeniupewnej odpowiednio dobranej macierzy, zwanej macierzą przekształcenia, przez danąmacierz (a działania na kolumnach polegają na pomnożeniu danej macierzy przezmacierz przekształcenia). Objaśnimy to na przykładach (macierz przekształcenia jestpo lewej stronie znaku mnożenia).Przykład 2.p.3− Pomnożenie drugiego wiersza macierzy przez liczbę a:⎡1⎢⎢0⎢⎣0−0 0⎤⎡21 −1⎤⎡ 2 1 −1⎤⎡21 −1⎤a 0⎥ ⎢ ⎥=⎢⎥=⎢⎥⎥⋅⎢1 − 2 0⎥ ⎢1⋅a − 2 ⋅ a 0 ⋅ a⎥ ⎢a − 2a0⎥.0 1⎥⎦⎢⎣3 5 4⎥⎦⎢⎣3 5 4⎥⎦⎢⎣3 5 4⎥⎦Zamiana miejscami wierszy drugiego i trzeciego:⎡1⎢⎢0⎢⎣00010⎤⎡11⎥⋅⎢⎥ ⎢20⎥⎦⎢⎣0−1331⎤⎡15⎥=⎢⎥ ⎢0− 2⎥⎦⎢⎣2−1331⎤− 2⎥⎥.5⎥⎦−Dodanie do drugiego wiersza elementów trzeciego wiersza pomnożonych przezliczbę a:


Rachunek macierzowy 49⎡1⎢⎢0⎢⎣00100⎤⎡ 2 1 1⎤⎡ 2 1 1⎤a⎥ ⎢ ⎥=⎢⎥⎥⋅⎢0 3 1⎥ ⎢0 − a 3 + 3a1+2a⎥.1⎥⎦⎢⎣−13 2⎥⎦⎢⎣−13 2⎥⎦Metoda przekształceń elementarnych znajdowania macierzy odwrotnej jestkonsekwencją poniższego twierdzenia.Twierdzenie 2.t.1. Jeżeli macierz jednostkową E można otrzymać z macierzy Aprzez pewien ciąg operacji elementarnych na macierzy A, to macierz A jest nieosobliwa,zaś macierz odwrotna A -1 powstaje w wyniku zastosowania tego samegociągu operacji elementarnych na macierzy E.Opis metody1. Wpisujemy macierz złożoną z dwóch bloków – lewą częścią jest macierz A,prawą częścią macierz E, odpowiedniego wymiaru. Obie części oddzielamypionową kreską ([A|E]).2. Stosujemy przekształcenia elementarne opisane na stronie 48 w punktach 1-3.3. Celem przekształceń jest doprowadzenie macierzy do takiej postaci, aby polewej stronie kreski była macierz jednostkowa E. Wówczas po prawejstronie kreski będzie macierz A -1 ([E|A -1 ]).Uwaga 2.u.4.1. Jeśli po dokonaniu przekształceń po lewej stronie kreski pojawi się wiersz złożonyz samych zer, to macierz odwrotna nie istnieje – A jest macierzą osobliwą.2. Jeśli po dokonaniu przekształceń po prawej stronie kreski pojawi się kolumnazłożona z samych zer, to został popełniony poważny błąd (autorzy radzązacząć liczenie od nowa, bo dalej już nic nie będzie dobrze).Opisana metoda jest analogonem metody obliczania liczby odwrotnej dodanej liczby według zasady:(1) piszemy daną liczbę a, następnie kreskę pionową, a za kreską 1 (a|1);(2) mnożymy daną liczbę i 1 przez taką samą liczbę;(3) mnożenie wykonujemy tak długo, aż z lewej strony kreski pionowej pojawi się 1;(4) wówczas liczba z prawej strony kreski pionowej jest liczbą odwrotną do danej−1liczby ( 1| a ).14Wyliczmy np. liczbę odwrotną do : 15


50Elementy matematyki wyższej14Ad. (1) 1,151414Ad. (2) 1 / ⋅ 3 ⇒ 3,155(wykonano jedną operację, w następnym punkcie – pozostałe),Ad. (3)1453/115 1 15⋅ 5 ⇒ 14 15 / ⋅ ⇒ 2 / ⋅ ⇒ 1 ,77 2 1414 15Ad. (4) liczbą odwrotną do liczby jest liczba .1514′W poniższych przykładach zapis, np.: w2 = w2+ ( − 2) ⋅ w3, oznacza, że drugiwiersz „nowej” (czyli przekształconej) macierzy powstał przez dodanie do drugiegowiersza „starej” macierzy trzeciego wiersza „starej” macierzy, pomnożonego przez(–2). Zapis przekształcenia będzie umieszczony obok „starej” macierzy (lub pod nią).Przykład 2.p.4. Obliczyć macierz odwrotną do macierzy A.a)c)⎡ 1 2 −1⎤A =⎢ ⎥⎢2 5 0⎥; b)⎢⎣−10 6 ⎥⎦⎡ 1 2 1 1⎤⎢⎥⎢−11 3 2A =⎥ ; d)⎢ 1 2 −11⎥⎢⎥⎣ 1 0 2 1⎦⎡ 1 2 −11 ⎤⎢⎥⎢−1−12 − 2A =⎥ ;⎢ 2 6 1 2 ⎥⎢⎥⎣ 1 3 −1−1⎦⎡12 −1⎤A =⎢ ⎥⎢3 −14⎥.⎢⎣1 9 − 8⎥⎦Rozwiązania⎡ 1 2 −11 0⎢⎢⎢⎣−10 6 0 00⎤⎥⎥1⎥⎦′w1= w′a) 2 5 0 0 1 0 w = w + ( − 2)23231′w = w + w1⋅ w1


Rachunek macierzowy 51( )( ) 2332221122101012001520210121wwwwwwww⋅−+=′=′⋅−+=′⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−( )3332231125125012025100210501wwwwwwww=′⋅−+=′⋅+=′⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−125251251230100010001, zatem⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=−1252512512301A .Jeżeli pomnożymy wyliczoną macierz przez macierz A i w wyniku tegomnożenia otrzymamy macierz jednostkową E, to A -1 obliczyliśmy prawidłowo.Czytelnik bez trudu sprawdzi, że⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−100010001601052121125251251230.Odpowiedź: Macierzą odwrotną do⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−601052121jest⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−125251251230.b)( )( ) 144133122111210000100001000011131216222111121wwwwwwwwwww⋅−+=′⋅−+=′+=′=′⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−( )( )( ) 2442332221112210010102001100012010032011101121wwwwwwwwwww⋅−+=′⋅−+=′=′⋅−+=′⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−


Elementy matematyki wyższej52( )344333223111310120124001100211100210011103301wwwwwwwwwww+=′=′⋅−+=′⋅+=′⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−−( )( )44433422411239113601240135038131000210030109001wwwwwwwwwww=′⋅−+=′⋅+=′⋅−+=′⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−,11362148326139619411000010000100001⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−zatem⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−=−11362148326139619411A .Czytelnik bez trudu (prawie) sprawdzi, że iloczyn otrzymanej macierzyi macierzy A jest macierzą jednostkową.Odpowiedź:Macierzą odwrotną do⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−1131216222111121jest⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−1136214832613961941.c)( )( ) 144133122111110000100001000011201112123111121wwwwwwwwwww⋅−+=′⋅−+=′+=′=′⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−


Rachunek macierzowy 5344334221110010101001100010120020034301121wwwwwwwww=′=′+=′=′⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−( )24433222112210010101101000010120020035101121wwwwwwwwww⋅+=′=′=′⋅−+=′⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−3443322115302101011010202161100020035105901wwwwwwwww⋅+=′=′=′=′⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−3443221135260101101020216100020035105901wwwwwwww=′=′=′=′⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−( )3343332231125901013526101020210200610035105901wwwwwwwwwww⋅+=′=′⋅−+=′⋅+=′⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−( )( )412144213344922412491161141335261425930254516531200061002701049001wwwwwwwwwww⋅=′⋅−+=′⋅+=′⋅−+=′⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−,000100001000010000121121131121321212141432112131121⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−zatem⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−=−211211311213212121414321121311211000A .


54Elementy matematyki wyższejNie trzeba chyba zachęty, aby Czytelnik sprawdził (za pomocą mnożeniamacierzy) prawidłowość wyliczenia macierzy odwrotnej. Prawdziwym wyzwaniembędzie tu postanowienie dokonywania wszystkich obliczeń w pamięci.Odpowiedź:⎡ 1⎢Macierzą odwrotną do ⎢−1⎢ 1⎢⎣ 1212013−121⎤2⎥⎥1⎥⎥1⎦jest⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣−11234121312−00131311214121112−−1⎤21 ⎥−2 ⎥ .0 ⎥⎥12 ⎥⎦⎡1⎢2−1100⎤⎥′w1= w′d) ⎢3−14 0 1 0⎥w2= w2+ ( − 3)⋅⎢19 − 8 0 0 1⎥′w3= w3+ ( −1) ⋅ w1⎣⎦1w1⎡1⎢⎢0⎢⎣02− 77−171− 3− 7 −10100⎤⎥0⎥1⎥⎦′w1= w1′w2= w2+ w′w = w333⎡1⎢⎢0⎢⎣0207−110 − 41−10100⎤⎥1⎥.1⎥⎦Odpowiedź: Po lewej stronie pionowej kreski pojawił się wiersz złożony z samychzer. Zatem A jest macierzą osobliwą – macierz odwrotna nie istnieje.2.1.3. Rozwiązywanie elementarnych równań macierzowychNiech będą dane macierze: A wymiaru m × n , X wymiaru n × p i B wymiarum × p . Wykonalne jest wówczas mnożenie macierzy A ⋅ X , a po wykonaniu tegomnożenia możemy sprawdzić, czy prawdziwa jest zależność: A ⋅ X = B . Zadanie tostaje się problemem, gdy znane są wyłącznie macierze A i B. Macierz X jest wtedyniewiadomą, wyrażenie A ⋅ X = B równaniem macierzowym, a obliczenie takiejmacierzy X (być może niejednej), która spełnia to równanie – rozwiązaniemrównania macierzowego. W ogólności problem rozwiązania równania sprowadzasię do rozwiązania n ⋅ p równań liniowych z n ⋅ p niewiadomymi (będziemy siętym zajmować w rozdziale następnym). Jeżeli jednak narzucimy na macierze pewne


Rachunek macierzowy 55warunki, to zadanie stanie się możliwe (i nietrudne) do rozwiązania już teraz.Niech macierz A będzie kwadratowa i nieosobliwa (A -1 istnieje, A jest wymiarun × n , a wówczas X oraz B mają ten sam wymiar n × p ). Korzystając z własnościmacierzy (i pamiętając, że mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne), wykonujemynastępujące przekształcenia:−1A ⋅ X = B ⋅ A lewostronnie;A⋅−( A ⋅ X) = A ⋅ B−11−1−1( A ⋅ A) ⋅ X = A ⋅BE⋅X = A−1⋅Bzastosujemy łączność mnożenia macierzy;skorzystamy z definicji macierzy odwrotnej;skorzystamy z własności macierzy jednostkowej;X = A−1 ⋅B.Zatem rozwiązaniem równania macierzowego A ⋅ X = B jest macierz X = A−1 ⋅B.Wśród równań macierzowych powyższej postaci częściej niż inne spotykasię takie, w których macierz B (a więc również X) jest wymiaru n × n (macierzkwadratowa) albo n × 1 (macierz kolumnowa). Jeżeli wszystkie macierze równaniasą kwadratowe i macierz A jest nieosobliwa, to łatwo można znaleźć rozwiązanierównania X ⋅ A = B .−1X ⋅ A = B ⋅ A prawostronnie;1( ⋅ A) ⋅ A−1 = B ⋅ A−X zastosujemy łączność mnożenia macierzy;1( A ⋅ A ) −1 = B ⋅ A−X ⋅skorzystamy z definicji macierzy odwrotnej;−1X ⋅E= B ⋅ Askorzystamy z własności macierzy jednostkowej;−1X = B ⋅ A .Zatem rozwiązaniem równania macierzowego X ⋅ A = B jest macierzPrzykład 2.p.5. Rozwiązać równanie macierzowe:−1X = B ⋅ A .a)⎡ 1⎢⎢1⎢⎣−123− 3−1⎤⎡2−10⎤2⎥⋅ =⎢ ⎥⎥X⎢1 2 1⎥; b)−1⎥⎦⎢⎣1 0 0⎥⎦⎡ 1 2 −1⎤⎡2−10⎤X ⋅⎢⎥=⎢ ⎥⎢1 3 2⎥ ⎢1 2 1⎥.⎢⎣−1− 3 −1⎥⎦⎢⎣1 0 0⎥⎦


56Elementy matematyki wyższejRozwiązaniaa) Stosując metody opisane powyżej, musimy najpierw wyliczyć⎡ 1⎢⎢ 1⎢⎣−1⎡1⎢⎢0⎢⎣0⎡1⎢⎢0⎢⎣023− 321−1010−1120−10−13− 2− 7311−1301−1010010− 2110⎤⎥0⎥1⎥⎦0⎤⎥0⎥1⎥⎦0⎤⎥0⎥1⎥⎦′w1= w1′w2= w2+′w = w + w333( −1)31⋅ w′w1 = w1+ ( − 2)⋅ w′w2= w2′w = w + w′w1= w1+ 7 ⋅ w3′w2= w2+ ( − 3)⋅ w′w = w332123−1A .⎡1⎢⎢0⎢⎣00100 30 −11 05− 217 ⎤⎥− 3⎥; więc1 ⎥⎦⎡ 3 5 7 ⎤−1A =⎢⎥⎢−1− 2 − 3⎥.⎢⎣0 1 1 ⎥⎦Zatem⎡ 3 5 7 ⎤ ⎡2−10⎤⎡187 5 ⎤X = A−1 ⋅B=⎢⎥⋅⎢ ⎥=⎢⎥⎢−1− 2 − 3⎥ ⎢1 2 1⎥ ⎢− 7 − 3 − 2⎥.⎢⎣0 1 1 ⎥⎦⎢⎣1 0 0⎥⎦⎢⎣2 2 1 ⎥⎦Odpowiedź: Rozwiązaniem równania macierzowego jest macierz⎡187 5 ⎤X =⎢⎥⎢− 7 − 3 − 2⎥.⎢⎣2 2 1 ⎥⎦b) Równanie ma takie same współczynniki jak równanie (a), ale ze względu nanieprzemienność mnożenia macierzy rozwiązania obu równań mogą być−1−1różne. Jest to równanie typu X ⋅ A = B , zatem X = B ⋅ A . Macierz A jestwyliczona powyżej, więc⎡2−10⎤⎡ 3 5 7 ⎤ ⎡72 17⎤−1X = B ⋅ A =⎢ ⎥⋅⎢⎥=⎢ ⎥⎢1 2 1⎥ ⎢−1− 2 − 3⎥ ⎢1 2 2⎥.⎢⎣1 0 0⎥⎦⎢⎣0 1 1 ⎥⎦⎢⎣3 5 7 ⎥⎦


Rachunek macierzowy 57Odpowiedź: Rozwiązaniem równania macierzowego jest macierz⎡72 17⎤X =⎢ ⎥⎢1 2 2⎥.⎢⎣3 5 7 ⎥⎦2.1.4. Zastosowanie rachunku macierzowegoIstnieje wiele zastosowań rachunku macierzowego. Jest on szczególnie przydatnyw opisie procesów, które mają wiele zmiennych, a zatem procesów ekonomicznych,biometrycznych, biologicznych, technicznych, fizycznych i – oczywiście –matematycznych. Poniższy przykład jest tylko namiastką możliwości rachunkumacierzowego.Przykład 2.p.6. Przedsiębiorstwo Produkcji Spinek do Mankietów i Krawatów„Eurospinka” produkuje trzy rodzaje niezawodnych spinek do krawatów, wykonanychze srebra, miedzi i stali: model I, model II i lux. Zawartość metali (w gramach)w pojedynczej spince przedstawia poniższa tabela.model I model II luxmiedź 2 1 2stal 2 1 0srebro 2 2 2Zagadnienie 1. Jeżeli cena miedzi jest 0,05 € za 1 gram, cena stali 0,03 € za1 gram, a cena srebra 0,10 € za gram, to jaki jest jednostkowy koszt materiałuposzczególnych modeli?Na podstawie zamieszczonej tabeli tworzymy macierz⎡21 2⎤A =⎢ ⎥⎢2 1 0⎥.⎢⎣2 2 2⎥⎦Jeżeli utworzymy wektor wierszowy cen jednostkowych materiałówB =B ⋅ A =[ 0,05 0,03 0,10], to iloczyn macierzy⎡2⎢⎢⎢⎣212⎤⎥⎥2⎥⎦[ 0 ,05 0,03 0,10] ⋅ 2 1 0 = [ 0,36 0,28 0,30]2


58Elementy matematyki wyższejjest wektorem jednostkowych kosztów materiałowych poszczególnych modeli.Zagadnienie 2. Jaką ilość poszczególnych metali zużyje się na produkcję 500 sztukmodelu I, 600 sztuk modelu II i 150 sztuk modelu lux?Do rozwiązania tego zagadnienia wystarczy utworzyć wektor kolumnowy⎡500⎤C =⎢ ⎥⎢600⎥; iloczyn⎢⎣150⎥⎦⎡2A ⋅C=⎢⎢2⎢⎣21122⎤⎡500⎤⎡1900⎤0⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎥⋅⎢600⎥ ⎢1600⎥2⎥⎦⎢⎣150⎥⎦⎢⎣2500⎥⎦podaje ilości miedzi, stali i srebra (w tej właśnie kolejności) potrzebne do produkcjipodanych ilości asortymentu spinek.Zagadnienie 3. Jaki jest całkowity koszt materiału zużytego do produkcji spinekwedług podanego powyżej asortymentu?Aby obliczyć całkowity koszt materiału, wykonujemy iloczyn⎡21 2⎤⎡500⎤B ⋅ A ⋅C= [ 0 ,05 0,03 0,10] ⋅⎢2 1 0⎥ ⎢600⎥⎢ ⎥⋅⎢ ⎥= [ 393,00].⎢⎣2 2 2⎥⎦⎢⎣150⎥⎦Szanowny Czytelnik sprawdzi, że nie ma znaczenia dla wyniku ani dla wykonalnościdziałań, czy najpierw wykona się mnożenie B . A, czy też A . C. Koszt całegomateriału, przy żądanym asortymencie, wynosi 393 €.Zagadnienie 4. Firmy X i Y, których pracownicy są zobowiązani nosić krawatyfirmowe, zleciły wykonanie spinek do krawatów. Spinki te produkowane sąw kompletach.Komplet dla firmy X składa się z 6 spinek: 2 spinek model I, 1 spinki model II i 3spinek model lux.Komplet dla firmy Y składa się z 11 spinek: 5 spinek model II i 6 spinek model lux.Jakie jest zużycie materiału potrzebnego do wyprodukowania poszczególnychkompletów?Tworzymy macierz⎡20⎤D =⎢ ⎥⎢1 5⎥,⎢⎣3 6⎥⎦której wiersze odpowiadają poszczególnym modelom, a kolumny – kompletom dlafirm. Wystarczy teraz obliczyć iloczyn macierzy


Rachunek macierzowy 59⎡21 2⎤⎡20⎤⎡1117⎤A ⋅ D =⎢ ⎥⋅⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢2 1 0⎥ ⎢1 5⎥ ⎢5 5⎥,⎢⎣2 2 2⎥⎦⎢⎣3 6⎥⎦⎢⎣12 22⎥⎦aby odczytać, że na produkcję kompletu dla firmy X potrzeba 11 gramów miedzi,5 gramów stali i 12 gramów srebra (pierwsza kolumna), a na produkcję kompletudla firmy Y potrzeba 17 gramów miedzi, 5 gramów stali i 22 gramów srebra.Zagadnienie 5. W magazynie zostało 2000 gramów miedzi, 1800 gramów stalii 2100 gramów srebra. Czy jest możliwe wykonanie spinek w taki sposób, aby całymateriał został zużyty do produkcji, oczywiście – z zachowaniem normatywnegoskładu poszczególnych modeli?Jest to typowe zagadnienie odwrotne. Zauważmy, że problem ten podjętow zagadnieniu 2, tyle że na odwrót. Dlatego do rozwiązania użyjemy macierzyodwrotnej do macierzy A, o ile taka macierz istnieje. Metodą przekształceńelementarnych łatwo można wyliczyć1 1 1⎡ − ⎤2 2 2−1⎢⎥A = ⎢−10 1 ⎥ .⎢ 1 1 ⎥⎣ − 02 2 ⎦Jeśli oznaczymy⎡2000⎤G =⎢ ⎥⎢1800⎥,⎢⎣2100⎥⎦to rozwiązaniem zagadnienia będzie iloczyn macierzy1 1 1⎡ − ⎤ ⎡2000⎤⎡8502 2 2⎤− ⎢⎥A 1 ⋅G=⋅⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢−10 1 ⎥ ⎢1800⎥ ⎢100⎥,⎢ 1 1 ⎥⎣ − 0 ⎦⎢⎣2100⎥⎦⎢⎣100⎥2 2⎦zatem należy wykonać 850 sztuk modelu I, 100 sztuk modelu II i 100 sztuk modelu lux.Niestety, mnożenie macierzy nie da odpowiedzi na pytanie „Kto to wszystkokupi?”.


60Elementy matematyki wyższejZadaniaZadanie 2.z.1. Metodą przekształceń elementarnych obliczyć macierz odwrotną dodanej macierzy:a)⎡ 1⎢⎢−1⎢⎣22−133 ⎤− 4⎥⎥; b)8 ⎥⎦⎡1⎢⎢2⎢⎣4−1−1− 31⎤4⎥⎥; c)7⎥⎦⎡ 1⎢⎢3⎢⎣− 2−1− 212 ⎤7⎥⎥;− 4⎥⎦d)⎡ 2⎢⎢−1⎢⎣32121⎤−1⎥⎥; e)2⎥⎦⎡−1⎢⎢2⎢⎣−1− 41− 2− 2⎤1⎥⎥; f)−1⎥⎦⎡−1⎢⎢1⎢⎣−16130⎤2⎥⎥;−1⎥⎦g)⎡ 1⎢⎢1⎢−1⎢⎣ 223−15−10301⎤3⎥⎥ ; h)2⎥⎥4⎦⎡ 1⎢⎢1⎢−1⎢⎣ 01001− 210−13 ⎤− 3⎥⎥ .1 ⎥⎥1 ⎦Zadanie 2.z.2. Rozwiązać równanie macierzowe A . X = B dla:⎡1a) A =⎢⎢2⎢⎣1−1−1− 22⎤⎡3⎤⎡ 11⎥⎥, B =⎢ ⎥⎢0⎥; b) A =⎢⎢−16⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎢⎣11010⎤⎡−1⎤1⎥⎥, B =⎢ ⎥⎢2⎥;1⎥⎦⎢⎣1 ⎥⎦⎡ 1c) A =⎢⎢−1⎢⎣22−13−1⎤⎡11⎥⎥, B =⎢⎢2−1⎥⎦⎢⎣02 ⎤−1⎥⎥.3 ⎥⎦Zadanie 2.z.3. Rozwiązać równanie macierzowe X . A = B dla:a) A =⎡1⎢⎢2⎢⎣12−1− 2−1⎤⎡11⎥⎥, B =⎢⎢06 ⎥⎦⎢⎣10121⎤1⎥⎥;1⎥⎦b) A =⎡1⎢⎢2⎢⎣1−1−1− 22⎤⎡01⎥⎥, B =⎢⎢16⎥⎦⎢⎣1−1031 ⎤2⎥⎥;−1⎥⎦


Rachunek macierzowy 61c) A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−111101011, B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−020110101.OdpowiedziZadanie 2.z.1.a)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−111120574; b)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−112232345; c)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−111102321;d)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−425111324; e)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−723311201; f)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−7342111267;g)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−1103101112260359; h)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−1211253203211111.Zadanie 2.z.2.a) X =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−83011; b) X =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−210; c) X =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−011334.Zadanie 2.z.3.a) X =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−221120203; b) X =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−913343410238; c) X =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−224213212.


62Elementy matematyki wyższej2.2. Wyznaczniki2.2.1. Wyznacznik macierzy kwadratowej i jego własnościDefinicja 2.d.3. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [ a ij ]i, j =1,... nliczbęa=⎧11dla n 1det( A ) = ⎨inv ( p)∑(−1)a1p ⋅ a p ⋅...⋅ anpdla n ≥ 2 .1 2 2n⎩Suma jest brana po wszystkich !pn permutacjach p ( p p ,..., )1 , 2p nnazywamy= ciągu (1, 2,..., n),inv(p) jest liczbą inwersji w permutacji p, gdzie inwersja oznacza nieporządek, tzn.sytuację, w której liczba większa poprzedza liczbę mniejszą.Powyższa definicja jest bardzo niepraktyczna w zastosowaniach, to znaczyw obliczeniach wyznacznika macierzy.Jeśli macierz oznaczamy:to jej wyznacznik zapisujemy:⎡a11a12... a1n⎤⎢⎥= ⎢a21a22... a2nA ⎥ ,⎢ ... ... ... ... ⎥⎢⎥⎣an1an2... ann⎦aa11n1an2a1na21a22... a2ndet( A ) =.... ... ... ...Metody obliczania wyznaczników1. Wyznacznik stopnia drugiegoa12......annJeśli⎡a11a12⎤a11a12A = ⎢ ⎥ , to det( A ) = = a11⋅ a22− a12⋅ a21.⎣a21a22⎦ a21a22


Rachunek macierzowy 632. Wyznacznik stopnia trzeciego. Dopisujemy z prawej strony dwie pierwszekolumny lub poniżej – dwa pierwsze wiersze:aaa112131aaa122232aaa132333aaa112131aaa122232== a.11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32 − a13a22a31− a11a23a32− a12a21a33Ta metoda nazywa się metodą Sarrusa.Własności wyznaczników1. Wyznacznik macierzy diagonalnej jest iloczynem wyrazów głównej przekątnej.2. Wyznacznik macierzy, w której jeden wiersz lub jedna kolumna składa sięz samych zer, jest równy 0.3. Wyznacznik macierzy jest równy wyznacznikowi jej macierzy transponowanej.4. Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez zamianę miejscami dwóchwierszy lub dwóch kolumn, to det(B) = – det(A).5. Jeśli w macierzy dwa wiersze lub dwie kolumny są identyczne lub proporcjonalne,to jej wyznacznik jest równy 0.6. Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez pomnożenie wszystkich elementówdet B = c ⋅ det A .jednego wiersza lub jednej kolumny przez liczbę c, to ( ) ( )7. Wyznacznik nie zmienia wartości, gdy do wiersza (lub kolumny) dodamyodpowiednie elementy innego wiersza (lub kolumny) pomnożone przezdowolną stałą.2.2.2. Minor macierzy. Dopełnienie algebraiczneDefinicja 2.d.4. Niech będzie dana macierz A [ n × m ] i niech p ≤ min{m,n}. Jeżeliw macierzy A skreślimy m – p wierszy i n – p kolumn, to powstanie macierzkwadratowa, której wyznacznik nazywamy minorem stopnia p macierzy A.Definicja 2.d.5. Niech będzie dana macierz kwadratowa A stopnia n × n . Dladowolnego, ustalonego elementu aijtej macierzy skreślamy i-ty wiersz i j-tą kolumnęw macierzy A. NiechM ij będzie minorem macierzy A, czyli wyznacznikiem takwłaśnie utworzonej macierzy kwadratowej. Dopełnieniem algebraicznym elementui+jA = −1 ⋅ M .a macierzy A nazywamy liczbę ij( )ijij


64Elementy matematyki wyższej2.2.3. Rozwinięcie Laplace’aTwierdzenie 2.t.2 (Laplace’a). Niech będzie dana macierz kwadratowa A stopnian × n . Wyznacznik macierzy A jest równy sumie wszystkich iloczynów elementówdowolnego, ustalonego wiersza (kolumny) i odpowiadającego temu elementowidopełnienia algebraicznego, to znaczy:– det( A) = ai1 ⋅ Ai1 + ai2⋅ Ai2 + ... + ain⋅ Ain– rozwinięcie według i-tego wiersza;– det( A) = a1 j ⋅ A1j + a2j ⋅ A2j + ... + anj⋅ Anj– rozwinięcie według j-tej kolumny.Przykład 2.p.7. Wyliczyć wyznacznik:3 − 5a) = 3(–4) – (–5)(–1)= –17;−1− 4b)2 − 3 = 10 – (–12) = 22;4 5c)− 5 37 −1= 5 – 21 = –16.Przykład 2.p.8. Wyliczyć wyznacznik, stosując metodę Sarrusa:a)−13− 2−12− 4123 − 4b)0404 = ( −1)(−4)(−3)+ 310 + ( −2)24− 0( −4)(−2)− 41( −1)− ( −3)23= − 6;− 32− 3−111 22 −1− 3 1− 34 = − 4 + 18 − 4 − ( −3)−16− ( −6)= − 4 + 18−4 + 3−16+ 6 = 27 − 24 = 3.− 2− 34


Rachunek macierzowy 65Przykład 2.p.9. Wyliczyć wyznacznik, stosując rozwinięcie Laplace’a według czwartegowiersza2−112−133521− 301− 2= 2⋅(−1)214+1−1⋅ 3321− 31− 2 + 5⋅(−1)24+22⋅ −1121− 31− 2 +2+ 0 ⋅ ( −1)4+32⋅ −11−1331− 2 + 1⋅( −1)24+42⋅ −11−13321 =− 3( − 2 ) ⋅ ( − 32) + 5 ⋅ ( − 6) + 0 ⋅18+ 1⋅( − 34) = 64 − 30 − 34 = 0= .Wyznaczniki trzeciego stopnia otrzymane z rozwinięcia danego wyznacznikaobliczamy tak jak w przykładzie 2.p.8.W powyższym przykładzie można zauważyć, że rozwijanie wyznacznikawzględem wiersza lub kolumny zawierającej zero jest korzystne, ponieważ zmniejszaliczbę wyliczanych wyznaczników (gdyż pomnożenie zera przez dowolną liczbędaje w wyniku zero).Radzimy: Aby ułatwić obliczanie wyznaczników, należy w wybranym wierszulub kolumnie utworzyć maksymalnie dużo zer (najlepiej – same zera z wyjątkiemjednego elementu).Autorzy są przekonani, że Czytelnik, mając za sobą „trening” w postaciobliczania macierzy odwrotnych, łatwo sobie poradzi z „tworzeniem zer” (korzystającz własności wyznaczników).Przykład 2.p.10. Wyliczyć wyznacznik z uwzględnieniem własności wyznaczników:2−12−1−10124−12−1− 31− 321−10−112−1−102−1111− 43− 211− 2−1'2'5'1k = k2'3'45'61k = k +k = k( −3)3k = kk = k +k = k4( −4)6⋅ k⋅k66=


66Elementy matematyki wyższej2−11=−1−1− 8 1 −1−10330 − 3 1 7 − 2− 4 2 2 − 3 1=−11 −1− 3 15 −1−19 − 20 0 0 0 0 −1= ( −1)⋅(−1)122 − 8−130⋅ 1 − 4−1−1−151− 32−1121 −1−1−1−107− 3− 39( −1)'1=w1+'w2=w2+3'3=w3+'w4=w4'w5= w5+ww( −2)w⋅w44⋅ w4⋅w=4(przekształcony wyznacznik rozwinięto względem szóstego wiersza, a w otrzymanymwyznaczniku znowu „tworzymy zera” – otrzymujemy nowy wyznacznik, któryrozwijamy względem trzeciej kolumny)3− 4 27 0 − 2 − 2= − ⋅ 3 − 2 0 4 3 =−1−11 −1− 3− 2− 74000− 2− 71 ( −1) ⋅1⋅(−1)⋅=6(teraz przed wyznacznik wyłączamy 2, bo wszystkie elementy czwartego wierszasą liczbami parzystymi)73− 43− 2− 727− 240− 24− 2− 7− 2363− 4= 2 ⋅3−1− 727− 220− 24−1− 7− 2=33w'w1='2=w2+'w3= w3'w4=w( −2)41+ 4⋅ww⋅ w443− 2= 2 ⋅−1−1− 72362000−1− 7− 8=153(otrzymany wyznacznik rozwijamy względem trzeciej kolumny i otrzymujemy)3 − 7 − 7 w1= w1+ 3⋅w37 '= 2⋅(−1)⋅(−1)⋅ − 2 23 − 8 = w2=w2+( − 2)⋅ w'−16 15 w = w'3330= 2 ⋅ 0−11111638− 38 =15(otrzymany wyznacznik rozwijamy względem pierwszej kolumny; otrzymujemy)


Rachunek macierzowy 67= 2⋅(−1)⋅(−1)411⋅11381 1= − 2 ⋅11⋅38⋅= 1672.− 381 −1ZadaniaZadanie 2.z.4. Obliczyć wyznacznik:a)2 3 1− 2 − 2 1 ; b)2 3 21 3 1− 2 − 2 − 3 ; c)3 9 222− 2−1− 2112 ; d)2− 2− 2223− 233 ;− 2e)2−1211− 22120311−1; f)211− 2−12− 23− 5− 36− 61− 312− 2−130−12100 .1−1Odpowiedzi: a) 2; b) –2; c) –6; d) –2; e) –1; f) 2.2.2.4. Osobliwość i nieosobliwość macierzy. Rząd macierzyZwiązek wyznacznika macierzy z jej nieosobliwością:– macierz nieosobliwa to macierz, której wyznacznik jest różny od 0;– macierz osobliwa to macierz, której wyznacznik jest równy 0.Definicja 2.d.6. Mówimy, że macierz A ( m× n)ma rząd r, r = rg(A), jeśli istniejeminor M stopnia r macierzy A, który jest różny od 0 ( M ≠ 0 ), a każdy minorstopnia większego od r (jeśli istnieje) ma wyznacznik równy 0.Tak sformułowana definicja rzędu macierzy ma tylko jedną pozytywną cechę– jest prawidłowa; niestety, jest również bardzo nieefektywna w zastosowaniach.Istnieje bardziej efektywny sposób obliczania rzędu macierzy.Przykład 2.p.11. Niech będą dane trzy macierze kolumnowe:⎡ 1 ⎤a =⎢ ⎥⎢− 2⎥,⎢⎣2 ⎥⎦⎡− 3⎤⎡−2⎤b =⎢ ⎥⎢1⎥oraz c =⎢ ⎥⎢− 6⎥.⎢⎣4 ⎥⎦⎢⎣16 ⎥⎦


68Elementy matematyki wyższejZauważmy, że⎡ 1 ⎤ ⎡− 3⎤⎡ 4 ⎤ ⎡− 6⎤⎡−2⎤4 ⋅ a + 2 ⋅b= 4 ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢− 2⎥+ 2⋅⎢1⎥=⎢− 8⎥ ⎢2⎥ ⎢− 6⎥= c .⎢⎣2 ⎥⎦⎢⎣4 ⎥⎦⎢⎣8 ⎥⎦⎢⎣8 ⎥⎦⎢⎣16 ⎥⎦Zatem macierz (wektor kolumnowy) c można przedstawić za pomocą sumy macierzya oraz b, przy czym każda z nich została uprzednio pomnożona przez pewną(niekoniecznie tę samą) liczbę. O macierzy c mówimy, że jest kombinacją liniowąmacierzy a i b lub że jest liniowo zależna od macierzy a i b.Rozważmy teraz inną trójkę wektorów kolumnowych:⎡ 2 ⎤k =⎢ ⎥⎢−1⎥,⎢⎣0 ⎥⎦⎡3⎤l =⎢ ⎥⎢2⎥i⎢⎣0⎥⎦⎡5⎤m =⎢ ⎥⎢3⎥.⎢⎣2⎥⎦Zauważmy, że wektora m nie można przedstawić w postaci kombinacjiliniowej wektorów k i l (np. trzecia współrzędna (liczba 2) nie może być przedstawionaw postaci kombinacji liniowej zer). O wektorze m mówimy, że jestliniowo niezależny od wektorów k i l.Każdą macierz prostokątną możemy interpretować jako „zespół” kolumn lub„zespół” wierszy.Definicja 2.d.7. Rzędem macierzy prostokątnej A ( m× n)nazywamy maksymalnąliczbę jej liniowo niezależnych wierszy lub kolumn.Obliczanie rzędu macierzy1. Wykonujemy operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy.2. Celem operacji jest doprowadzenie macierzy do postaci macierzy jednostkowej.Liczba wierszy (albo kolumn) macierzy jednostkowej jest równa szukanemurzędowi macierzy.3. Jeśli w trakcie operacji pojawią się dwa jednakowe lub proporcjonalne wiersze(kolumny), to jeden z nich skreślamy. Jeżeli pojawi się wiersz (kolumna)złożony z samych zer, to go skreślamy.


Rachunek macierzowy 69Przykład 2.p.12. Obliczyć rząd macierzy⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=17433121421313126817A .Rozwiązanie:( )( )( )( )=⋅−+=⋅−=⋅+=⋅+=⋅−+⋅−+=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=35'54'443'342'2321'1113212)(17433121421313126817wwwwwwwwwwwwwwwRR A=4'4251'255503121555055500000wwwwR=⋅=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−(skreślamy 531 ,, www ) =( ) 14'413'312'23231211110kkkkkkkkkR⋅−+=+=⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−= =1'22'100011110wwwwR==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−= (skreślamy 43 ,kk ) = 21001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡R .ZadaniaZadanie 2.z.5. Wyliczyć rząd macierzy:a)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−2212122121211312; b)⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−−−−−1122213111121211121121423;


70Elementy matematyki wyższej⎡ 2⎢⎢−1c) ⎢ 1⎢⎢ 1⎢⎣ 3−31−22−21−31−1−22−41101 ⎤2⎥⎥−3⎥.⎥1 ⎥1 ⎥⎦Odpowiedzi: a) 3; b) 4; c) 4.2.3. Układy równań liniowych2.3.1. Układ Cramera. Wzory CrameraRównaniem liniowym z n niewiadomymi nazywamy równanie postacia1 x1+ a2x2+ L + an xn= b . Jeżeli b = 0, to równanie liniowe nazywamy równaniemjednorodnym. Ma ono zawsze co najmniej jedno rozwiązanie:x x = L = x 0 .1 = 2n =Układem n równań liniowych z n niewiadomymi nazywamy układ:( ∗)⎧ a11x1+ a12x2+ L + a1nxn= b1⎪a21x1+ a22x2+ L + a2nxn= b2⎨.⎪ LLLLLLLLLLLL⎪⎩an1x1+ an2x2+ L + annxn= bnMacierzą współczynników układu (*) n równań liniowych z n niewiadomymi(czasem: macierzą układu) nazywamy macierz:[ a jk]j, k=1,...,nA =;jest to macierz kwadratowa. Układ (*) nazywamy układem Cramera, jeśli wyznacznikdet (A) ≠ 0. Układ ten można zapisać w postaci równania macierzowegoA · X= Y, gdzie:⎡ x1⎤ ⎡b1⎤⎢ ⎥⎢x⎢ ⎥2X = ⎥ , ⎢b2Y = ⎥ .⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣x n ⎦ ⎣b n ⎦


Rachunek macierzowy 71Wzory CrameraMetoda Cramera – niech A i będzie macierzą ( n × n ) powstającą z macierzyA przez zastąpienie w niej i-tej kolumny wektorem kolumnowym Y.Twierdzenie 2.t.3. Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie:det Aix i = i = 1,2,...,n.det A2.3.2. Macierz uzupełniona układu równań. TwierdzenieKroneckera-Capellego. Liczba rozwiązań układurównań liniowychUkładem m równań liniowych z n niewiadomymi nazywamy układ:( ∗∗)⎧ a11x1+ a12x2+ L + a1nxn= b1⎪a21x1+ a22x2+ L + a2nxn= b2⎨⎪ LLLLLLLLLLLL⎪⎩amn1x1+ am2x2+ L + amnxn= bMacierzą uzupełnioną układu równań liniowych nazywamy macierzpowstałą z macierzy A (macierzy współczynników układu) przez dopisanie (n+1)-tejkolumny wyrazów wolnych.⎡a11a12L a1nb1⎤⎢⎥u= ⎢a21a22L a2nb2A ⎥ .⎢ L L L L L⎥⎢⎥⎣am1am2L amnbm⎦Twierdzenie 2.t.4. (Kroneckera-Capellego). Aby układ równań liniowych miałrozwiązanie, potrzeba i wystarcza, aby rząd macierzy A był równy rzędowi macierzyuuzupełnionej A :R(A ) = R(Au).m.uALiczba rozwiązań układu równań liniowychNiech układ (**) spełnia twierdzenie Kroneckera-Capellego i niechr = R(A ) = R(Au).


72Elementy matematyki wyższejJeśli r = n, to obliczając rząd macierzy A, wykreślono m – n (czyli m – r)wierszy, a każdy z nich reprezentował określone równanie układu. Po wykreśleniuodpowiadających tym (wykreślonym) wierszom równań otrzymujemy układCramera.Jeśli r < n, to licząc rząd macierzy A, wykreślono m – r wierszy i n – rkolumn. Każdy z wykreślonych wierszy reprezentował określone równanie układu,a każda z wykreślonych kolumn – określoną zmienną. Wykreślamy odpowiadającetym wierszom równania, natomiast zmienne odpowiadające wykreślonymkolumnom traktujemy jako parametry rozwiązania. Jeśli teraz w każdym (nieskreślonym)równaniu przeniesiemy owe zmienne na drugą stronę znaku równości(pamiętając o zmianie znaku na przeciwny), to otrzymamy układ Cramera (r × r).Stosowanie przy dwóch i więcej parametrach wzorów Cramera jest jednak bardzokłopotliwe i autorzy usilnie proponują stosowanie metody opisanej w następnympunkcie.Tabela 2.1.Nazwa układuRzędy macierzyrównańuR( A)= R(A ) = r układniezależnyoraz r = nLiczbarozwiązańjednoKomentarzObliczając rząd macierzy A, wykreślonom – n (czyli m – r) wierszy, a każdy z nichreprezentował określone równanie układu.Po wykreśleniu odpowiadających tym(wykreślonym) wierszom równań otrzymujemyukład Cramera.R( A)= R(A ) = roraz r < nuukład zależnynieskończeniewieleObliczając rząd macierzy A, wykreślonom – r wierszy i n – r kolumn. Każdy z wykreślonychwierszy reprezentował określonerównanie układu, a każda z wykreślonychkolumn – określoną zmienną. Wykreślamyodpowiadające tym wierszom równania,natomiast zmienne odpowiadające wykreślonymkolumnom traktujemy jako parametryrozwiązania. Jeśli teraz w każdym(nieskreślonym) równaniu przeniesiemy owezmienne na drugą stronę znaku równości(pamiętając o zmianie znaku na przeciwny),to otrzymamy układ Cramera (r × r).ur = R(A ) < R(A ) układsprzecznybrakNie są spełnione założenia twierdzeniaKroneckera-Capellego


Rachunek macierzowy 732.3.3. Rozwiązanie układu równań liniowych metodą eliminacjiGaussaMetoda eliminacji Gaussa jest metodą rachunku macierzy. W sposób oczywistyprzypomina metodę obliczania macierzy odwrotnej. Jednak uważny czytelnikbez trudu zrozumie, że w gruncie rzeczy wszystkie operacje odpowiadają znanymze szkoły średniej (podstawowej?) działaniom mnożenia równania przez liczbęi dodawania równań stronami.Opis metody– wypisujemy macierz uzupełnioną układu, oddzielając macierz wyrazów wolnychpionową kreską;– wykonując opisane poniżej operacje, doprowadzamy macierz układu do postaci,w której poniżej elementów postaci a ii są same zera, a elementy postaci a ii sąróżne od zera.Jeżeli w trakcie wykonywanych operacji pojawi się wiersz złożony z samychzer, to go wykreślamy.Jeżeli w trakcie wykonywanych operacji pojawi się wiersz złożony z samychzer z lewej strony kreski i z liczby różnej od zera po prawej stronie kreski, to układjest sprzeczny. To stwierdzenie kończy rozwiązywanie równania.Dozwolone operacje– działać można tylko na wierszach,– wiersze można zamieniać miejscami,– wiersz można pomnożyć lub podzielić przez dowolną liczbę różną od zera,– do danego wiersza można dodać inny wiersz pomnożony przez stałą.Jeżeli liczba kolumn po lewej stronie kreski jest większa od liczby wierszy,to różnica między tymi liczbami jest liczbą parametrów równania, a „nadliczbowe”kolumny są reprezentantami zmiennych, które staną się parametrami.Przykład 2.p.13. Rozwiązać układ równań:⎧ x1+ 2⋅x2+ 3⋅x3+ 4⋅x4= 5⎪2⋅x1+ x2+ 2⋅x3+ 3⋅x4= 1⎨.⎪ 3⋅x1+ 2⋅x2+ x3+ 2⋅x4= 1⎪⎩4⋅x1+ 3⋅x2+ 2⋅x3+ x4= −5


74Elementy matematyki wyższejWpisujemy macierz uzupełnioną układu i rozwiązujemy:⎡1⎢⎢2⎢3⎢⎢⎣4212332124 5 ⎤ w⎥ '3 1 ⎥ w2= w'2 1 ⎥ w3= w3+⎥'1 − 5⎥⎦w4= w'1= w12 + ( − 2)⋅ w1( −1) ⋅( w1+ w2)4 + ( − 2) ⋅ w2⎡1⎢⎢0⎢0⎢⎢⎣02− 3−113− 4− 4− 24 5 ⎤ w⎥− 5 − 9⎥− 5 − 5⎥⎥− 5 − 7⎥⎦w'1'w3'4= w + 2⋅ww1'2= w234= w + w43= w + 3⋅w4⎡1⎢⎢0⎢0⎢⎢⎣00100− 5− 2− 6−10− 6 − 5 ⎤ w⎥− 5 − 7 ⎥ w'−10−12⎥w3=⎥'− 20 − 30⎥⎦w4='1'2= w1( − ) ⋅ w10 41( − ) ⋅ w321= w2⎡1⎢⎢0⎢0⎢⎢⎣00100− 5− 213− 6 − 5⎤⎥− 5 − 7⎥2 3 ⎥⎥5 6 ⎥⎦w'4w'1'2'3w = w41= w2w = w= w +3( − 3) ⋅ w3⎡1⎢⎢0⎢0⎢⎢⎣00100− 5− 210− 6 − 5⎤w⎥− 5 − 7⎥w2 3 ⎥ w⎥'−1− 3⎥⎦w4='1'2'3= w1= w2= w3( −1) ⋅ w4⎡10 − 5 − 6 − 5⎤⎢⎥⎢01 − 2 − 5 − 7⎥.⎢00 1 2 3 ⎥⎢⎥⎢⎣0 0 0 1 3 ⎥⎦Rozwiązujemy układ „od dołu” macierzy. Ostatnie równanie układu zostałoprzekształcone do postaci: ⋅ x + 0⋅x + 0⋅x + 1⋅x 3; odczytujemy x 3 ;0 1 2 3 4 =3 + 2 ⋅ 3 = x 3 = −następnie x + ⋅ x 3 , czyli x 3 , więc 3 . Z drugiego wiersza3 2 4 =4 =


Rachunek macierzowy 75mamy: ⋅ − 2⋅x − 5⋅x = 7,1 2 3 4 −x czyli 1 2 − 2⋅( − 3) − 5⋅3= −7,⋅ x skąd łatwo wyliczamyx 2 = 2 . Wreszcie – z pierwszego wiersza macierzy odczytujemy:x + ⋅ x − 5⋅x − 6 ⋅ x = 5 ; po podstawieniu wyliczonych już wartości zmien-1 0 2 3 4 −nych mamy: − 5⋅( − 3) − 6⋅3= 5x , czyli x = 2 .1 −1 −Odpowiedź: Rozwiązaniem powyższego układu równań jest:⎧x1= −2⎪x2= 2⎨ .⎪x3= −3⎪⎩ x4= 3Przykład 2.p.14. Rozwiązać układ równań:⎧ 2⋅x1+ x2− x3+ x4= 1⎪3⋅x1− 2⋅x2+ 2⋅x3− 3⋅x4= 2⎨.⎪ 5⋅x1+ x2− x3+ 2⋅x4= −1⎪⎩ 2⋅x1− x2+ x3− 3⋅x4= 4Wpisujemy macierz uzupełnioną układu i rozwiązujemy:⎡2⎢⎢3⎢5⎢⎢⎣21− 21−1−12−111 1 ⎤ w⎥ '− 3 2 ⎥ w2= w'2 −1⎥w3= w3+⎥'− 3 4 ⎥⎦w4= w'1= w12 + ( −1)⋅ w1( −1) ⋅( w1+ w2)4 + ( −1) ⋅ w1⎡2⎢⎢1⎢0⎢⎢⎣01− 32− 2−13− 22'1 1 ⎤ w1= w2⎥ '− 4 1 ⎥ w2= w1+ ( − 2)⋅ w'4 − 4⎥w3= w3+ w4⎥'− 4 3 ⎥⎦w4= w42⎡1⎢⎢0⎢0⎢⎢⎣0− 3 3 − 4 1 ⎤⎥7 − 7 9 −1⎥.0 0 0 −1⎥⎥− 2 2 − 4 3 ⎥⎦Z postaci wiersza trzeciego wynika, że układ jest sprzeczny.


76Elementy matematyki wyższejOdpowiedź: Powyższy układ jest sprzeczny (rozwiązanie nie istnieje).Przykład 2.p.15. Rozwiązać układ równań:⎧⎪⎨⎪⎪⎩x − 2⋅x11x22x + 3⋅x− 7 ⋅ x22+ 3⋅x−x33+ 3⋅x− 4⋅x344+ x4= 4+ x4= −3.− 3⋅x = 1= −3Wpisujemy macierz uzupełnioną układu i rozwiązujemy:⎡1⎢⎢0⎢1⎢⎢⎣0− 213− 73−103− 4 4 ⎤⎥1 − 3⎥− 3 1 ⎥ w⎥1 − 3⎥⎦'3'w4w'1'2w = w= w +341= w2( −1)⋅ w= w + 7 ⋅ w21⎡1⎢⎢0⎢0⎢⎢⎣0− 21503−1− 3− 4'− 4 4 ⎤ w1= w⎥ '1 − 3 ⎥ w2= w'1 − 3 ⎥ w3= w3+⎥'8 − 24⎥⎦w4=412( − 5)⋅ w1( − ) ⋅ w42⎡1⎢⎢0⎢0⎢⎢⎣0− 21003−121− 4 4 ⎤ w⎥1 − 3⎥w− 4 12 ⎥⎥− 2 6 ⎥⎦w'1'2'4= w1= w2= w4(wiersze w3i w4są proporcjonalne, skreślamy w 3)⎡1⎢⎢0⎢⎣0− 2103−11− 4 4 ⎤⎥1 − 3⎥.− 2 6 ⎥⎦Układ równań po przekształceniach ma mniej równań niż niewiadomych.Niektóre zmienne zostaną potraktowane jako parametry, czyli będą przybierałydowolną wartość. Musimy te zmienne określić i podać rozwiązanie układu równań.Z postaci macierzy wynika, że wygodnie jest przyjąć zmienną x 4 jako parametr(gdybyśmy przyjęli zamiast x 4 zmienną x 3 , też byłoby dobrze).Niech więc x 4 = a (zaleca się, aby z chwilą podjęcia decyzji, które zmiennebędą parametrami, wprowadzić oznaczenie wyróżniające te zmienne).


Rachunek macierzowy 77Z ostatniego wiersza przekształconej macierzy wynika, że x − 2⋅a 6 ,3 =2 − x3+ a = −stąd x3 = 6 + 2⋅a . Z następnego wiersza mamy: x3 , czylix 2 − ( 6 + 2a) + a = −3, zatem x 2 = 3 + a . Wreszcie – z pierwszego wiersza wynika,że x − ⋅ x + 3⋅x − 4 ⋅ a 4 , a dalej: x − 2⋅( 3 + a) + 3⋅( 6 + 2a) − 4a4 ,1 2 2 3 =1 − 6 − 2⋅a + 18 + 6⋅a − 4a=x 4 , czyli x = 8 .1 −1 =Układ rozwiązań zawierający wszystkie zmienne i wszystkie parametry oznaczoneliterami nazywamy ogólnym układem rozwiązań. Jeżeli wszystkie parametryprzyrównamy do zera, to taki układ nosi nazwę fundamentalnego układu rozwiązań,natomiast jeśli w miejsce parametrów podstawimy dowolną ustaloną liczbę, tootrzymamy szczególny układ rozwiązań.Odpowiedź: W powyższym przykładzie możemy podać wszystkie postaci układówrozwiązań.układ ogólny: układ fundamentalny: układ szczególny, np. dla a = 3:⎧ x1= −8⎪x2= 3 + a⎨ ,⎪x3= 6 + 2⋅a⎪⎩ x4= a⎧x1= −8⎪x2= 3⎨ ,⎪ x3= 6⎪⎩ x4= 0⎧x1= −8⎪x2= 6⎨ .⎪x3= 12⎪⎩ x4= 3Przykład 2.p.16. Rozwiązać układ równań:⎧ 2⋅x1+ x2− x3− x4+ x5= 1⎪x1− x2+ x3+ x4− 2⋅x5= 0⎨⎪3⋅x1+ 3⋅x2− 3⋅x3− 3⋅x4+ 4 ⋅ x5⎪⎩4⋅x1+ 5⋅x2− 5⋅x3− 5⋅x4+ 7 ⋅ x5.= 2= 3Wpisujemy macierz uzupełnioną układu i rozwiązujemy:⎡21 −1−1⎢⎢1−11 1⎢33 − 3 − 3⎢⎢⎣4 5 − 5 − 51 1⎤w⎥ '− 2 0⎥w2= w'4 2⎥w3= w3+⎥'7 3⎥⎦w4= w'1= w21 + ( − 2)⋅ w2( −1) ⋅( w1+ w2)4 + ( − 2) ⋅ w1


78Elementy matematyki wyższej⎡1⎢⎢0⎢0⎢⎢⎣0−13331− 3− 3− 31− 3− 3− 3'− 2 0⎤w1= w +⎥ '5 1⎥w25 1⎥⎥5 1⎥⎦⋅ w11 31= ⋅ w3 22(skreślamy w3i w4)⎡1⎢⎢⎣0010−10−1−53131313⎤⎥ .⎥⎦Trzy zmienne: x 3 , x 4 oraz x5określamy jako parametry, wprowadzając ichnowe oznaczenia: x 3 = a , x 4 = b , x 5 = c.Otrzymamy wtedy z drugiego wiersza:50 ⋅ x + x − x − x + ⋅ x = , czylix21231+3⋅a + 3⋅b− 5⋅c= ,3435a z pierwszego wiersza przekształconej macierzy:1+cx1= .3Odpowiedź:13układ ogólny: układ fundamentalny: układ szczególny,np. dla a = 1, b = 7, c = 2:⎧⎪⎪⎪x⎨⎪⎪⎪⎩21+cx1=31+3⋅a + 3⋅b− 5⋅c=3 ,x = axx345= b= c⎧⎪x⎪⎪x⎨⎪ x⎪ x⎪⎩ x123451=31== 0 3 ,= 0= 0⎧ x1= 1⎪⎪x2= 5⎨ x3= 1 .⎪x= 7⎪4⎪⎩x5= 2ZadaniaZadanie 2.z.6. Rozwiązać układ równań metodą eliminacji Gaussa:⎧ x + 2y− z = 5⎪a) ⎨2x+ 5y+ 3z= 12 ; b)⎪⎩ x − 3y+ 4z= −5⎧ x + y + 2z= 0 ⎧ x + 3y+ z = 1⎪⎪⎨ x + 2y− z = 5 ; c) ⎨2x+ y + 3z= 4 ;⎪⎩2x− y + z = −3⎪⎩ x + y + 2z= 3


Rachunek macierzowy 79⎧ x − y + z = 2 ⎧ x − 2y− z = 2⎪⎪d) ⎨2x+ y − 3z= 2 ; e) ⎨x+ y − 2z= −6; f)⎪⎩ x + 2y+ z = 5 ⎪⎩ 2x+ y + z = 0⎧x+ y − 3z= 5⎪⎨2x− y + z = 0 ;⎪⎩x+ 3y+ z = 3g)⎧ x + 2y− z + t = 3 ⎧ x + 2y− z + t = 0 ⎧ x + 2y+ z − 2t= 1⎪− x − y + 2z− 2t= 0⎪3x+ 7y− z + 4t= 1⎪2x+ 5y+ z + t = 3⎨; h) ⎨; i) ⎨.⎪ 2x+ 6y+ z − t = 13 ⎪ x + 3y+ 2z+ 3t= 3 ⎪ x + y + 3z− t = 2⎪⎩ x + y + t = 4 ⎪⎩2x+ 6y+ 3z+ 5t= 4 ⎪⎩4x+ 8y+ 5z− 2t= 5Odpowiedzi:a) x = 1, y = 2, z = 0; b) x = 0, y = 2, z = –1; c) x = –1, y = 0, z = 2;d) x = 2, y = 1, z = 1; e) x = 0, y = –2, z = 2; f) x = 1, y = 1, z = –1;g) x = 0, y = 2, z = 3, t = 2; h) x = – 4a + 8, y = a –3, z = – a + 2, t = a;i) układ sprzeczny.2.4. Rachunek wektorowyW naukach technicznych stosuje się dwa rodzaje wielkości: skalarnei wektorowe.Skalarem jest liczba określająca ilość jednostek „czegoś” np. 13°C, 35 g,97 m itd.Definicja 2.d.8. Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów. Pierwszyz nich nazywamy początkiem, a drugi – końcem wektora.Powyższa definicja, mimo swojej ogólności (a może właśnie z tego powodu),nie całkiem oddaje intuicyjne pojęcie wektora. Na nasze potrzeby wygodnie będzieużyć określeń, z których powstało ogólne (choć bywają jeszcze bardziej ogólne)pojęcie wektora, a które wiążą się z jego wizualizacją.Mówimy zatem, że wektorem jest skierowany odcinek, który ma początek,zwany punktem zaczepienia, i koniec. To uporządkowanie nazywamy zwrotemi graficznie przedstawiamy w postaci strzałki umieszczonej na końcu wektora.Aby określić wektor, musimy znać jego:– kierunek (prosta, na której wektor leży – zbiór prostych równoległych);– długość (wartość);– zwrot (jeden z dwóch możliwych wskazany strzałką).


80Elementy matematyki wyższejW zbiorze wektorów określmy relację: dwa wektory należą do relacji (sąze sobą w relacji) wtedy i tylko wtedy, gdy mają tę samą długość, kierunek i zwrot.Łatwo zauważamy, że relacja ta jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Jest tozatem relacja równoważności. Z zasady abstrakcji (patrz rozdział 1) wynika, żerelacja ta wyznacza podział całego zbioru wektorów na klasy abstrakcji wektorówrównoważnych – niepuste i rozłączne. Każdą z takich klas abstrakcji nazywamywektorem swobodnym. Wektor swobodny ma długość, kierunek i zwrot (a nie mapoczątku ani końca). Jeżeli jednak wybierzemy punkt początkowy (według naszejwoli lub potrzeb), to dany wektor swobodny uzyska nie tylko początek, ale i konieci – jako reprezentant klasy abstrakcji – stanie się wektorem związanym,stosowanym np. w wytrzymałości materiałowej. Wektor, którego początek i koniecsię pokrywają, nazywamy wektorem zerowym.Przykładami wektorów są: wektor siły, wektor prędkości, wektor „ucieczki”ciepła z budynku itd.W tym rozdziale będą rozpatrywane przede wszystkim wektory swobodne.Do ich oznaczania użyjemy liter alfabetu łacińskiego ze strzałką (autorzy postarająsię używać liter z końca alfabetu) np.→ →vu, . Liczby (skalary) będą oznaczane literamialfabetu łacińskiego (z początku alfabetu) bez strzałki, np. a, b; miary kątówmiędzy wektorami – literami alfabetu greckiego, np. α, β .Działania na wektorach– mnożenie wektora przez liczbę,– dodawanie wektorów,– iloczyn skalarny (skalarowy) wektorów,– iloczyn wektorowy wektorów,– iloczyn mieszany wektorów.Mnożenie wektora przez liczbę (skalar) polega na tym, że wynikiemdziałania jest wektor określony następująco:– kierunek wyniku nie ulega zmianie,– długość otrzymamy przez mnożenie długości wektora przez bezwzględnąwartość tej liczby (skalara),– zwrot wyniku nie zmieni się, gdy liczba, przez którą mnożymy, jest dodatnia,natomiast zmieni się na przeciwny (zmiana grotu strzałki), gdy wymienionapoprzednio liczba jest ujemna.W taki sam sposób wykonuje się mnożenie liczby przez wektor.


Rachunek macierzowy 81Dodawanie wektorów przedstawimy graficznie (rys. 2.1).Metoda IMetoda IIv rr ru + vu r u r r ru + vv r Rysunek 2.1Iloczyn skalarny (skalarowy) wektorów:→→→→u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α ,gdzie→p oznacza długość wektora→p , α – kąt między wektorami→u i→v .Iloczyn wektorowy wektorów. Niechiloczynu wektorowego wektorów. Aby wyznaczyć wektor→ →u × v ), określamy jego kierunek, długość i zwrot.→→→u × v = w , gdzie × jest znakiem→w (wynik iloczynuKierunkiem wektora → w jest prosta prostopadła do płaszczyzny wyznaczonejprzez wektory → u i → v .Długością wektora jest liczba określona wzorem→→→w = u ⋅ v ⋅ sin α .Zwrot wektora jest tak dobrany, aby przy obrocie śrubą prawoskrętną odwektora → u do wektora → v (obrót nie większy od 180°) wektor → w wskazał kierunekjej wkręcania (rys. 2.2).


82Elementy matematyki wyższejwvuRysunek 2.2Iloczyn mieszany wektorów:→ → →u v wdef→→→→→→= ( u×v ) ⋅ w = u ⋅(v × w).→ → →, u2,u3Twierdzenie 2.t.5. Jeżeli dane są wektory swobodne u 1 ,...,(niekoniecznieleżące na jednej płaszczyźnie), to aby uzyskać wektor, który będzie ich sumą,postępujemy w następujący sposób: wybieramy dowolny, ustalony punkt, oznaczamygo A i zaczepiamy w nim wektor u → 1 (który staje się w tym momenciewektorem związanym), następnie w końcu tego wektora zaczepiamy wektor(który, oczywiście, również staje się wektorem związanym), w jego końcu zaczepiamywektor→u i tak dalej, aż do wektora3→n→u nu . Oznaczmy przez B koniec wektorazwiązanego, który w opisany wyżej sposób powstał z u → n. Wektor→ → →, u2,u3→u n→u2→AB jest sumąwektorów u 1 ,...,. Twierdzenie wynika z zastosowania drugiej metodydodawania wektorów.Uwaga 2.u.5. Jeżeli jeden z wektorów, które występują w mnożeniu skalarnym lubwektorowym, jest wektorem zerowym, to wynik mnożenia wyliczamy wedługpodanych wyżej wzorców. Wiadomo bowiem, że wektor zerowy jest wektorem,którego długość jest równa zeru, a jego kierunek jest dowolny (w odpowiednich


Rachunek macierzowy 83wzorach α jest dowolnym kątem). Wynika stąd, że iloczyn skalarny dowolnegowektora z wektorem zerowym jest liczbą 0, natomiast iloczyn wektorowy dowolnegowektora z wektorem zerowym jest wektorem zerowym.Własności działań na wektorach1. Symetria (przemienność) dodawania:→→→→u + v = v + u .Symetria iloczynu skalarnego:→ →→ →u ⋅ v = v⋅u .Antysymetria iloczynu wektorowego:2. Łączność:→→→→u × v = − v × u .→ → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞u + ⎜ v + w⎟= ⎜ u+v ⎟ + w ,⎝ ⎠ ⎝ ⎠→ → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜a ⋅ u ⎟ ⋅ v = a ⋅ ⎜ u ⋅ v ⎟ = u ⋅ ⎜a⋅ v ⎟ ,⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠→→⎛ ⎞( ⋅ b) ⋅ u = a ⋅ ⎜b⋅ u⎟ ⎠a ,⎝→ → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞a ⋅ ⎜ u × v ⎟ = ⎜a⋅ u⎟×v = u×⎜a⋅ v ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(tym samym znakiem „·” oznaczono iloczyn wektora przez liczbę oraz iloczynskalarny wektorów, ale nie powinno to doprowadzić do nieporozumień).O s t r z e ż e n i e. Działania na wektorach wydają się analogiczne doznanych Czytelnikowi działań na liczbach, jednakże nie zawsze tak jest. Jednymz często spotykanych błędów jest „przenoszenie” łączności działania na iloczynskalarny, w którym „biorą udział” trzy wektory. Nie jest prawdą, że można→ → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞postawić znak równości między wyrażeniami: u ⋅ ⎜ v ⋅ w⎟ i ⎜ u ⋅ v ⎟ ⋅ w , czy też⎝ ⎠ ⎝ ⎠→ → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞między u × ⎜ v × w⎟ i ⎜ u × v ⎟× w (jednak autorzy znają kilka szczególnych⎝ ⎠ ⎝ ⎠przypadków równości tych wyrażeń).


84Elementy matematyki wyższej3. Rozdzielność iloczynu względem sumy.→ → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞a ⋅⎜u+v ⎟ = ⎜a⋅ u⎟ + ⎜a⋅ v ⎟ ,⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠→ → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞( + b) ⋅ u = ⎜a⋅ u ⎟ + ⎜b⋅ u⎟ ⎠ ⎠a ,⎝ ⎝→ → → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞u ⋅ ⎜ v + w⎟= ⎜ u ⋅ v ⎟ + ⎜ u⋅w⎟,⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠→ → → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞u × ⎜ v + w⎟= ⎜ u × v ⎟ + ⎜ u × w⎟.⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Warunek równoległości wektorów. Dwa wektory → u i → v są równoległe wtedyi tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista a lub liczba rzeczywista b , taka że→→→→zachodzi równość u = a ⋅ v lub v = b ⋅ u . Wynika stąd, że wektor zerowy jestrównoległy do każdego wektora – warunek równoległości zachodzi dla a = 0 (lubb = 0 ); wynika stąd również, że każdy wektor jest równoległy do siebie ( a = b = 1).Warunek prostopadłości wektorów. Dwa wektory → u i → v są prostopadłewtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru, tzn. u ⋅ v→ = 0 .Wynika stąd, że wektor zerowy jest prostopadły do każdego wektora.Postać analityczna wektoraWektor w przestrzeni jednowymiarowej (wektor na prostej)Niech będzie dana prosta, a na niej wyróżniony punkt. Z prostej tworzymyoś liczbową, a wyróżniony punkt oznaczamy przez O, przypisując mu liczbę(cechę) 0. Z możliwych dwóch zwrotów (prawo – lewo) wybieramy jeden w takisposób, że na prostej wyróżniamy drugi punkt, różny od punktu O, i oznaczamy goE. Punktowi E przypisujemy liczbę (cechę) 1.Zwrot osi liczbowej określamy jako zwrot wektora→→→→OE , wektor→OEnazywamy wersorem osi i oznaczamy: OE = e . Na tak utworzonej osi liczbowej→obieramy dowolny punkt A i tworzymy wektor OA . Wektor ten jest równoległy do


Rachunek macierzowy 85wektora → e , zatem istnieje liczba a, taka że→→OA = a ⋅ e , przy czym jeśli punkt Aznajduje się z tej samej strony punktu O co punkt E, to a > 0 , a jeśli z przeciwnej,to a < 0 (wynika to z określonego wyżej mnożenia wektora przez liczbę).Punktowi A przypisujemy liczbę (cechę) a. W ten sposób każdemu punktowi osijest przypisana dokładnie jedna liczba (cecha), a każdej liczbie jest przypisanydokładnie jeden punkt osi. Taki sposób określania osi liczbowej jest tożsamy zeznanym Czytelnikowi (ze szkoły podstawowej i średniej) pojęciem osi liczbowej.Wektor→→OA zapiszemy OA = [ a], gdzie a – współrzędna wektora.Wektor w przestrzeni dwuwymiarowej (wektor na płaszczyźnie)Niech będzie dany układ współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie,gdzie na osiach Ox i Oy wprowadzamy wersory analogicznie jak w przestrzenijednowymiarowej; oznaczamy je: na osi Ox przez e → x , na osi Oy przez e→ y . Napłaszczyźnie tej obieramy dowolny punkt A o współrzędnych A = a x,a ). Naosi Ox zaznaczamy punktax, natomiast na osi Oy zaznaczamypunkt→OA i OA . Wektorx→yyA x o współrzędnejA o współrzędnej a . Rozpatrzymy teraz wektorskładowych), co zapisujemy:y→OA jest sumą wektorówwektora w przestrzeni jednowymiarowej mamy:stąd→ → → → →= OAx+ OAy= a x⋅ex+ ay⋅eyOA→→→( y→OA ix→y→OA oraz wektoryOA (tzw. wektorówOA = OA x + OA y . Analogicznie do sposobu zapisu→OAxx→→= a ⋅ exoraz OAy→= a y ⋅ e y ,. Jeżeli zatem przyjmiemy, że wektorybędziemy zawsze przedstawiać jako sumę wektorów składowych w takiej właśnie→kolejności, to każdy wektor OA będzie jednoznacznie przedstawiony w postaciuporządkowanej pary liczb [x a y]→Zapisujemy to: = [ a , ]OA (rys. 2.3).x a ya , zwanych współrzędnymi wektora.Z konstrukcji tej wynika, że współrzędne każdego wektora zaczepionegow początku układu współrzędnych są liczbowo równe współrzędnym punktubędącego jego końcem.


86Elementy matematyki wyższejya yAOa xxzRysunek 2.3Współrzędne punktu w przestrzeni trójwymiarowejOmówimy kolejno czynności prowadzące do wyznaczenia współrzędnychpunktu w przestrzeni trójwymiarowej. Obierzmy prawoskrętny układ współrzędnychxyz (zgodny z regułą śruby prawoskrętnej: Jeśli wkręcamy śrubę prawoskrętnąw kierunku „od dodatniego zwrotu osi Ox do dodatniego zwrotu osi Oy” pomniejszym kącie, to zwrot ruchu „postępowego” śruby będzie zgodny z dodatnimzwrotem osi Oz).Przykład układu prawoskrętnego przedstawiono na rysunku 2.4.OyxRysunek 2.4


Rachunek macierzowy 87Niech będzie dany punkt A. Przez punkt A prowadzimy prostą prostopadłądo płaszczyzny xOy (równoległą do osi Oz). Przez A′ oznaczmy punkt przebicia tąprostą płaszczyzny xOy (rys. 2.5).zAOyxRysunek 2.5Przez punkt A′ poprowadzimy prostopadłe do osi Ox i Oy. Na osiach tychotrzymamy odpowiednio współrzędne xAi yA, czyli pierwszą i drugą współrzędnąpunktu A (rys. 2.6). Wyznaczamy odcinek O A′ (rys. 2.7)zAOy Ayx AxRysunek 2.6


88Elementy matematyki wyższejzAOy Ayx AxRysunek 2.7Przez punkt A prowadzimy prostą prostopadłą do osi Oz i przecinającą tę oś(równoległą do O A′ ). Punkt przecięcia odpowiada liczbie (Oz to też oś liczbowa),którą oznaczamy zA. Jest to trzecia współrzędna punktu A, a jej wartość bezwzględnajest równa długości odcinka A A′ . Zatem A = x , y , z ) (rys. 2.8).z( A A Az AOAy Ayx AxRysunek 2.8Podstawowe własności wektorów i działań na wektorach przedstawionow tabeli 2.2.


Rachunek macierzowy 89Tabela 2.2.


90Elementy matematyki wyższejTabela 2.2.


3. Rachunek różniczkowy funkcjijednej zmiennej3.1. Przypomnienie wiadomości o funkcjachPojęcie funkcjiW rozdziale 1 przytoczono ścisłą definicję funkcji jako relacji (definicja tazostała podana przez G. Peano w roku 1911). Przypomnijmy: dane są niepustezbiory X i Y; utwórzmy iloczyn kartezjański, wówczas każdą relację f ⊂ X × Ymającą tę własność, że dla każdego x ∈ X istnieje dokładnie jeden y ∈ Y , taki że( x,y)∈ f , co można inaczej zapisać: f ( x)= y , nazywamy funkcją. Ta definicjajest zgodna z intuicyjną definicją, którą Czytelnik poznał jeszcze w szkole podstawowej:ma ona tę zaletę, że nie posługuje się nieokreślonym wcześniej słowem„przyporządkowanie”. Teraz jednak możemy się już tym słowem posługiwać (elementprzyporządkowany innemu elementowi – to znaczy będący z nim w określonejrelacji) i będziemy mówić, że argumentowi x jest przyporządkowana wartość y(dokładnie jedna), jeżeli f ( x)= y .Monotoniczność funkcjiPoznane w szkole podstawowej i ugruntowane w szkole średniej pojęciefunkcji wytworzyło zapewne w Czytelniku przeświadczenie, że funkcja opisujezmiany, a więc proces dynamiczny. Podana już dwukrotnie definicja funkcji jakorelacji może wywołać wrażenie, że funkcja to po prostu pewne elementy połączonew pary i... tyle. W zasadzie wrażenie to jest słuszne, jeżeli tylko zbiory argumentów(X) i wartości (Y) są zbiorami i... tyle. Jeżeli jednak każdy z tych zbiorówbędzie miał jakąś strukturę, to sytuacja zmieni się radykalnie. W opisywanychprzez nas funkcjach zbiory argumentów i wartości mają strukturę porządkuliniowego, to znaczy dla każdej pary dwóch różnych elementów zbioru możnaokreślić, który z nich jest większy (albo mniejszy). Przy takim dodatkowymwarunku można określić monotoniczność funkcji w całej dziedzinie albo w jej części.


92Elementy matematyki wyższejy = jest monotonicznie rosnąca w prze-Definicja 3.d.1. Mówimy, że funkcja f ( x)dziale ( a, b), jeżeli dla każdej pary argumentów x x ( a,b)( x ) f ( )x < < .1 x2⇒ f 1 x21, 2 ∈ :Mówimy, że funkcja y = f ( x)jest monotonicznie malejąca w przedziale ( b)jeżeli dla każdej pary argumentów x x ( a,b)1, 2 ∈ :( x ) f ( )x < > .1 x2⇒ f 1 x2a, ,Mówimy, że funkcja y = f ( x)jest monotonicznie niemalejąca w przedziale ( b)jeżeli dla każdej pary argumentów x x ( a,b)x1, 2 ∈ :( x ) ≤ f ( )1 x2⇒ f 1 x2< .a, ,Mówimy, że funkcja y = f ( x)jest monotonicznie nierosnąca w przedziale ( b)jeżeli dla każdej pary argumentów x x ( a,b)x1, 2 ∈ :( x ) ≥ f ( )1 x2⇒ f 1 x2< .Funkcje rosnącą i malejącą nazywamy ściśle monotonicznymi.Funkcja odwrotnaa, ,Przykład 3.p.1. Niech będzie dana funkcja y = 2x− 5 . Wzór ten wyraża związekmiędzy zmienną niezależną x i zmienną zależną y. Innymi słowy – zmienna y jest„wyliczona” za pomocą zmiennej x. Z tej samej zależności można wyliczyć zmienną x:y = 2x− 5,y + 5 = 2xy 5+ = x,2 21x = ⋅ y +2: 2,5.2Powyższe przekształcenia mogliśmy wykonać bez dodatkowych założeń.Przykład 3.p.2. Niech będzie dana funkcja:x + 3y = . x − 2Wyrażenie po prawej stronie znaku równości jest ułamkiem, którego mianownikD = R \ 2 (czyli x ≠ 2 ). Łatwo można obliczyć, że:musi być różny od 0, stąd { }


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 932y + 3x = , y −1a wyrażenie to ma sens dla y ≠ 1.Przykład 3.p.3. Rozważmy zależność funkcyjną y = x − 2x+ 6 ; jest to doskonaleznana postać funkcji kwadratowej. Jeśli sprowadzimy ją do postaci kanonicznej,otrzymamy y = ( x −1) 2 − 2 , stąd y + 2 = ( x −1) 2 . Jest to równanie, którego prawastrona jest nieujemna (bo jest kwadratem liczby x −1), zatem lewa strona musispełniać warunek nieujemności: y + 2 ≥ 0 , czyli y ≥ −2. Gdybyśmy chcieli wyliczyćza pomocą pierwiastkowania postać zmiennej x, bylibyśmy w pewnym kłopocie,ponieważ np. zależność ( x −1) 2 = 4 spełniają dwie liczby: x = 3 oraz x = −1, zatemobliczona w ten sposób zależność między zmienną y jako argumentem i zmienną xjako wartością nie spełnia warunków definicji funkcji (np. argumentowi y = 2„odpowiadają” dwie wartości: x = 3 i x = −1).„Kłopotowi” temu można jednak zaradzić, ograniczając dziedzinę funkcji2y = x − 2x+ 6 w taki sposób, aby stała się ona funkcją różnowartościową.W powyższym przykładzie sposób właściwie narzuca się sam, gdy przypomnimysobie, że wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym musi być w dziedzinie liczb2rzeczywistych nieujemne. Stąd x −1≥ 0 , czyli x ≥1. Funkcję y = x − 2x+ 6będziemy rozpatrywać dla x ∈ 1,∞).Dla takich wartości x zależność będzie miała postać: x −1 = y + 2 , czyliostatecznie x = 1 + y + 2 z założeniem y ≥ −2.Po przeanalizowaniu powyższych przykładów Czytelnikowi nietrudno będziezrozumieć pojęcie funkcji odwrotnej.Definicja 3.d.2. Niech będzie dana funkcja( x)y = f . Funkcję g Y → Xodwrotną do funkcji f i oznaczamy: , taką że x g( y) ⇔ y = f ( x)−1f .−1Funkcje y = f ( x)i x f ( y)2f : X → Y różnowartościowa, taka że= nazywamy funkcją= mają te same wykresy. Jednak często żądamy,aby zbiorem argumentów była pozioma oś odciętych (Ox). Wówczas w formule−1x = f y zamieniamy zmienne x na y i odwrotnie w każdym miejscu, gdzie( )występują, otrzymując−1y = f ( x). Wykresy funkcji y = f ( x)i y−1f ( x)wzajemnie symetryczne względem prostej o równaniu y = x .= są


94Elementy matematyki wyższej3.2. Przegląd funkcji rzeczywistychFunkcją rzeczywistą nazywamy taką funkcję, której dziedziną i przeciwdziedziną(zbiorem wartości) jest zbiór liczb rzeczywistych albo podzbiór zbioru liczby = f x , chociaż nierzeczywistych. Najwygodniejszą postacią zapisu funkcji jest ( )wszystkie funkcje można zapisać w ten sposób.Zmienną x nazywamy zmienną niezależną, a zmienną y zmienną zależną.Niniejszy paragraf jest próbą opisu „najpopularniejszych” funkcji rzeczywistych.3.2.1. Funkcje wielomianoweDefinicja 3.d.3. Funkcją wielomianową stopnia n jest:gdzie2n0 + a1⋅ x + a2⋅ x + + a n ⋅ x ,y = a...a i ∈ R dla i = 0,1, 2, ..., n oraz a ≠ 0 .nCzytelnikowi znane są postaci szczególne funkcji wielomianowej.Dla n = 0 zapisaną powyżej funkcję nazywamy funkcją stałą, np. y = 5 ; jejwykresem jest prosta pozioma.Dla n = 1 zapisaną powyżej funkcję nazywamy funkcją liniową (zapisywanązwykle w postaci: y = ax + b ), np. y = 3x− 2 ; jej wykresem jest prosta nachylona doosi Ox pod kątem, który zależy od współczynnika a (o czym Czytelnik zapewne wie).Dla n = 2 funkcję nazywamy funkcją kwadratową (zapisywaną zwykle2w postaci: y = ax + bx + c ), np. y = 2x2 − 3x+ 5 ; jej wykresem jest parabola o„ramionach” skierowanych w górę – jeśli a > 0 , natomiast w dół – jeśli a < 0 .3.2.2. Funkcja wykładniczaPoniżej zamieszczono podstawowe wzory dotyczące potęgowania.aa( aappa: ap)− pqq= aq1=app+q= a= apq,p−q,= ( a⎛ 1 ⎞= ⎜ ⎟⎝ a ⎠qp),p,( ab)( a : b)a0a= 1 dla a ≠ 0,nmp== apmap= anbp.p,: bp,


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 95Definicja 3.d.4. Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję postacixay = , gdzie a > 0 .Wykres funkcji wykładniczej przedstawiono na rysunku 3.1.0


96Elementy matematyki wyższejUwaga 3.u.1. Przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych korzystamy z zależności⎧A< B dla 0 < a < 1loga A > logaB ⇔ ⎨,⎩ A > B dla a > 1wynikających z monotoniczności funkcji logarytmicznej (patrz: wykres funkcjilogarytmicznej na rysunku 3.2).Definicja 3.d.6. Funkcję postaciy = log a x dla a ∈ ( 0,1) ∪ (1, ∞),x ∈( 0,∞)nazywamyfunkcją logarytmiczną.Wykres funkcjiy = logax przedstawiono na rysunku 3.2.ya>101x0


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 97Wszystkie te miary kątów mają wspólną wadę. Otóż długości odcinkówi wielkości kątów mają różne jednostki, co więcej, bywają zapisywane w systemachniedziesiętnych, a przede wszystkim miara kąta nie ma powiązania z miarądługości.Udanym sposobem rozwiązania tego problemu jest miara łukowa kąta.Opiera się ona na obserwacji, że przy ustalonym promieniu wycinka kołowegojego kąt środkowy α jest wprost proporcjonalny do długości łuku l (patrz: rys. 3.3).rlRysunek 3.3Miarą kąta α zawartego między promieniami wycinka kołowego o długości li promieniu r nazywamy liczbę l/r. Jednostkę tak zdefiniowanej miary nazywamyradianem. Czytelnikowi łatwo zatem sprawdzić, stosując znany ze szkoły wzór nadługość łuku okręgu, że kąt prosty ma π/2 radianów, a kąt pełny 2 π radianów.Aby zamienić miarę kąta w stopniach na miarę w radianach, stosujemy wzór:oα [ rad ] = π ⋅α[ ] .o180Aby zamienić miarę kąta w radianach na miarę w stopniach, stosujemy wzór:o 180α [ ] = ⋅α [ rad].πPowyższe wzory podano Czytelnikowi, ponieważ (ze względów praktycznych)kąty mierzy się najczęściej w stopniach.o


98Elementy matematyki wyższejDefinicja 3.d.7. Definicje funkcji trygonometrycznychyα(x,y)0 xxcosα = , gdzierysin α = ,rxctg α = ,yytg α = .xx2+ y2= r2,Rysunek 3.4Wykresy funkcji trygonometrycznych1. y = A⋅sin(ω x + ϕ), A > 0 , ω > 0,okres2πT = , przesunięcie:ωϕx 0 = − (rys. 3.5).ωA0 x x +T0 0-ARysunek 3.52π2. y = A⋅cos(ωx + ϕ),A > 0, ω > 0, okres : T = , przesunięcie:ωϕx0 = − (rys. 3.6).ωA0 0-ARysunek 3.6


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 99π3. y = A⋅tg( ω x + ϕ), A > 0 , ω > 0 , okres: T = , przesunięcieωϕx 0 = − (rys. 3.7).ωx 0x +T0xRysunek 3.7π4. y = A⋅ctg( ω x + ϕ), A > 0 , ω > 0,okres: T = , przesunięcie:ωϕx 0 = − (rys. 3.8).ωx x +T0Rysunek 3.8Podstawowe wzory trygonometryczne(3.1)2 2sinαcosαsin α + cos α = 1; tgα⋅ctgα= 1; tgα= ; ctgα= .cosαsinαWzory redukcyjnePrzy stosowaniu wzorów redukcyjnych posługujemy się dwiema zasadami:zasadą funkcji i zasadą znaku.


100Elementy matematyki wyższej1. Zasada funkcjifunkcja tryg. ( k ⋅π2⎧z.± α)= ⎨⎩z.funkcja tryg. α,gdy k jest parzystac.funkcja tryg. α,gdy kjestnieparzystagdzie: z – znak wyniku, c. funkcja tryg. – kofunkcja trygonometryczna.Na przykład:31π π π πcos( π)= cos(8π− ) = cos(16 ⋅ − ) = z.cos,44 2 4 43πtg( π − α) = tg(3⋅− α) = z.ctg α.222. Zasada znaku. Znak wyniku jest znakiem wyjściowej funkcji dla wyjściowego7πkąta (odpowiednia ćwiartka), np. sin( π + α)= sin(7 ⋅ + α)= −cosα.22Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach wynikająz definicji tych funkcji i są przedstawione w tabeli 3.1. Najczęściej stosowanewzory redukcyjne zestawiono w tabeli 3.2.Tabela 3.1α I II III IVsin α + + - -cos α + - - +tg α + - + -ctg α + - + -α− ϕ π−ϕ2π+ ϕ2Tabela 3.2π −ϕπ + ϕ3π − ϕ23π + ϕ22 π − ϕsin α –sinϕ cosϕ cosϕ sinϕ –sinϕ –cosϕ –cosϕ –sinϕcos α cosϕ sinϕ –sinϕ –cosϕ –cosϕ –sinϕ sinϕ cosϕtg α –tgϕ ctgϕ –ctgϕ –tgϕ tgϕ ctgϕ –ctgϕ –tgϕctg α –ctgϕ tgϕ –tgϕ –ctgϕ ctgϕ tgϕ –tgϕ –ctgϕ


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 101Wzory trygonometryczne dotyczące sumy i różnicy kątówsin( α + β ) = sinαcos β + cosαsin β ,sin( α − β ) = sinαcos β − cosαsin β ,cos( α + β ) = cosαcos β − sinαsin β,(3.2) cos( α − β ) = cosαcos β + sinαsin β ,tgα+ tg βtg( α + β ) =,1−tgαtg βtgα− tg βtg( α − β ) =.1+tgαtg βZe wzorów (3.2) wynikają następujące wzory dla kąta podwojonego:sin 2α= 2sinαcosα,2 2(3.3) cos 2α= cos α − sin α ,tg22tgα= .1−tg αα2Poniżej podano wzory wyrażające wartości funkcji trygonometrycznych zapomocą wartości funkcji trygonometrycznej(3.4)Wzory sumy i różnicy funkcji:tg α :2α2⋅tgsinα= 2 ,2 α1+tg22 α1−tgcosα= 2 .2 α1+tg2α + β α − βsinα+ sin β = 2sin cos ,2 2


102(3.5)Elementy matematyki wyższejα + β α − βsinα− sin β = 2cos sin ,2 2α + β α − βcosα+ cos β = 2cos cos ,2 2α + β α − βcosα− cos β = −2sinsin .2 2sin( α + β )tgα+ tgβ= ,cosαcos βsin( α − β )tgα− tgβ= ,cosαcos β2 α1+ cosα = 2cos ,22 α1− cosα = 2sin .2W tabeli 3.3 zestawiono wartości funkcji trygonometrycznych dla częstowystępujących kątów.Tabela 3.3α 0π6π4π3π2sin α 01222321cos α 13222120tg α 0331 3 –ctg α – 3 1330


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 1033.2.5. Funkcje kołowe (cyklometrczne)Funkcjami kołowymi (cyklometrycznymi, arcusowymi) nazywamy funkcjeodwrotne do funkcji trygonometrycznych. Ich nazwy powstały z nazw funkcji trygonometrycznychprzez dodanie słowa arcus (czytaj: arkus). Będziemy zatem mówilio funkcjach: „arcus sinus”, „arcus kosinus”, „arcus tangens” i „arcus kotangens”.Wiemy, że funkcje odwrotne mają tylko funkcje ściśle monotoniczne, czyli rosnącealbo malejące, a funkcje trygonometryczne takie nie są. Funkcje kołowe są zatemodwrotne (każda z osobna) do ściśle monotonicznej części odpowiedniej funkcjitrygonometrycznej. I tak:−1 π π1) x = sin y ⇒ y = arcsin x,D : x∈ −1, 1 ; D : y ∈ − , ,2 2gdzie−1D oznacza zbiór wartości funkcji.2) x = cos y ⇒ y = arc cos x,D : x ∈ −1, 1 ; D : y ∈ 0, π .−1⎛ π π ⎞3) x = tg y ⇒ y = arc tg x , D : x ∈ R ; D : y ∈⎜−, ⎟ .⎝ 2 2 ⎠4) x = ctg y ⇒ y = arcctgx , D x ∈ R−1−1: ; : y ∈( 0, π)D .Uwaga 3.u.2. Przy wyliczaniu wartości poszczególnych funkcji cyklometrycznychzgodnie z ich definicją argument ( x ∈ D ) oznacza wartość odpowiedniej funkcji−1trygonometrycznej, a wartość funkcji (y∈ D ) jest dobranym kątem.Aby ułatwić wyliczanie wartości funkcji cyklometrycznych (odczytywaniekąta z pierwszej ćwiartki), podajemy Czytelnikowi następujące własności funkcjicyklometrycznych:arcsinarccos( − x) = −arcsinx,arctg( x) = −arctgx− ,( − x) = π − arccos x , arc ctg( x) = π − arc ctg x− .Przykłady obliczania wartości funkcji cyklometrycznych⎛ 1 ⎞ πarcsin⎜⎟ = ,⎝ 2 ⎠ 6⎛arcsin⎜⎝3 ⎞⎟π=2,⎠ 3


104Elementy matematyki wyższej⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ πarcsin⎜⎟ arcsin⎜⎟− = −= −22,⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4πarcsin( − 1) = −arcsin1= − ,2πarccos 0 = ,2⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ πarcsin⎜− ⎟ = −arcsin⎜⎟ = − ,⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 6⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ πarcsin⎜⎟ arcsin⎜⎟⎛ 1 ⎞ π− = −= −22, arccos⎜⎟ =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 ⎝ 2 ⎠ 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜3⎟ ⎜3⎟π 5arccos − = π − arccos= π − = ⋅ π ,⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 6 6arcsin 0 = 0 ,⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜2⎟ ⎜2⎟π 3arccos − = π − arccos= π − = ⋅ π ,⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 4 4πarc tg 3 = ,3arctg⎜⎝3 ⎞ ⎛⎟ = −arctg⎜3⎠ ⎝3 ⎞⎟π= −3⎠ 6⎛ − , arctg( 3)πarc ctg0 = ,2⎛ ⎞ ⎛ ⎞arc ⎜3⎟ π arc ⎜3⎟2ctg − = − ctg= ⋅ π ,⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3π 5arcctg ( − 3) = π − arcctg3 = π − = ⋅ π .6 6, arccos 1 = 0 ,⎛arccos⎜⎝πarc tg 1 = ,42 ⎞⎟π=2,⎠ 4π− = −arctg3 = − ,33.2.6. Uwagi o przekształcaniu wykresu funkcji1. Jeśli znamy wykres funkcji y = f (x), to wykres funkcji y = f ( x)+ b otrzymamy,przesuwając wykres funkcji y = f (x)o wielkość b w górę, gdy b > 0, alboo −b w dół, gdy b < 0 (rys. 3.9).


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 105( x) by = f +y =f( x)bxRysunek 3.92. Jeśli znamy wykres funkcji y = f (x), to wykres funkcji y = f ( x − a)otrzymamy,przesuwając wykres funkcji y = f (x)o wielkość a w prawo, gdy a > 0,albo o −a w lewo, gdy a < 0 (rys. 3.10).a>0y = f(x)y = f(x - a)axRysunek 3.103. Jeśli znamy wykres funkcji y = f (x), to wykres funkcji y = f (x)otrzymamy,„odbijając” względem osi Ox część wykresu znajdującą się pod tą osią i pozostawiającbez zmian część wykresu znajdującą się nad tą osią (rys. 3.11).xRysunek 3.11 ( y = f ( x)– linia przerywana, y = f ( x)– linia ciągła)


106Elementy matematyki wyższej4. Jeśli znamy wykres funkcji y = f (x), to wykres funkcji y = f ( x ) otrzymamyprzez odbicie względem osi Oy części wykresu znajdującego się z prawej stronyosi Oy i zastąpienie tym odbiciem części wykresu po lewej stronie osi Oy orazpozostawienie bez zmian części po prawej stronie osi Oy (rys. 3.12).yxRysunek 3.12 ( f ( x)y = – linia przerywana, f ( x )y = – linia ciągła)5. Jeśli znamy wykres funkcji y = f (x), to wykres krzywej (na ogół – nie funkcji)y = f (x) otrzymamy przez wymazanie części wykresu znajdującego się podosią Ox, odbicie względem osi Ox części wykresu znajdującego się nad osią Oxi pozostawieniu bez zmian części wykresu nad tą osią (rys. 3.13).xRysunek 3.13 ( y = f ( x)– linia przerywana, f ( x)y = – linia ciągła)


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 107Przykład 3.p.4. Narysować wykres funkcji y = log 2 x − 2 .Zadanie wykonujemy w następujących etapach1. Rysujemy wykres funkcji = log x (rys. 3.14).y 2y101 2 3xRysunek 3.142. Wykonujemy „odbicie” powyższego wykresu funkcji względem osi Oy, otrzymującfunkcję y = log( x ) (rys. 3.15).y1-3 -2 -101 2 3xRysunek 3.15


108Elementy matematyki wyższej3. Sporządzamy wykres funkcji y = log( x − 2 ) , przesuwając powyższy wykres o 2w prawo (rys. 3.16).y10 1 2 3 4 5xRysunek 3.16Zadanie 3.z.1. Narysować wykres funkcji y = x 2 − 9 .3.3. Granica i ciągłość funkcjiW analizie matematycznej pojęciem podstawowym i najważniejszym jestpojęcie granicy. Do określenia granic używa się „języka” otoczeń. Przez otoczeniepunktu x 0 na osi liczbowej rozumiemy taki przedział otwarty, którego punkt x 0 jestśrodkiem. Jeśli więc końce tego przedziału są oddalone o ε > 0 od punktu x 0 , tomówimy o „epsilonowym otoczeniu” punktu x 0 .Stwierdzenie: „Punkt x należy do epsilonowego otoczenia punktu x 0 ” możnazapisać w formie: x x < ε .− 0Definicja 3.d.8.1. Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f ( x)jeślii zapisujemy to: f ( x) = g( x) − g ε∀ε > 0 ∃δ> 0 ∀ : x − x < δ ⇒ f < ,lim .x→x0x 0y = w punkcie x 0 ,Definicja 3.d.8.2. Mówimy, że liczba g jest granicą lewostronną funkcji y = f ( x)w punkcie x 0 , jeśli


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 109i zapisujemy to: f ( x) = g( x) − g ε∀ε > 0 ∃δ> 0 ∀ : 0 < x − x < δ ⇒ f < ,lim .−x→x0x 0Definicja 3.d.8.3. Mówimy, że liczba g jest granicą prawostronną funkcji y = f ( x)w punkcie x 0 , jeślii zapisujemy to: f ( x) = g( x) − g ε∀ε > 0 ∃δ> 0 ∀ : 0 < x − x < δ ⇒ f < ,lim .+x→x0x 0Definicja 3.d.8.4. Mówimy, że liczba g jest granicą niewłaściwą w nieskończo-y = f x w punkcie x 0 , jeśliności funkcji ( )i zapisujemy to: f ( x) = ∞x→x0( x) A∀A > 0 ∃ > 0 ∀x: x − x < δ ⇒ f > ,lim .δ 0Podobnie definiuje się granicę niewłaściwą w minus nieskończoności.Czytelnik zapewne sam będzie potrafił zdefiniować granice niewłaściwe prawoilewostronne. „Niewłaściwość” powyższa dotyczy wartości funkcji. Poniżej podajemydefinicję granicy niewłaściwej ze względu na argument funkcji.Definicja 3.d.8.5. Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f ( x)y = w nieskończoności,jeślii zapisujemy to: f ( x) = gx→∞( x) − g ε∀ε > 0 ∃B > 0 ∀x: x > B ⇒ f < ,lim .Podobnie definiujemy granicę w minus nieskończoności, a z połączeniapowyższych definicji można łatwo określić granicę niewłaściwą funkcji w nieskończoności.Definicja 3.d.8.6. Mówimy, że funkcja y = f (x)jest ciągła w punkcie x 0 , jeśligranice lewostronna i prawostronna są skończone i obie równe wartości funkcjiw x 0 , to znaczy:lim f ( x)= lim f ( x)= f ( x0).+0x→x−0x→xFunkcja y = f (x)jest ciągła w pewnym przedziale, jeśli jest ciągła w każdympunkcie tego przedziału.


110Elementy matematyki wyższejZ definicji ciągłości nie wynika, że funkcja ciągła to taka, której wykresmożna narysować, nie odrywając ołówka od kartki, jednakże dla większościfunkcji tak właśnie jest.Jeżeli funkcja nie jest ciągła, to ma punkty nieciągłości.Klasyfikacja punktów nieciągłościPunkty nieciągłości I rodzaju. Mówimy, że funkcja f ( x)y = ma w punkciex 0 punkt nieciągłości I rodzaju, jeżeli granice: prawostronna i lewostronna funkcjiw x0są właściwe. Jeżeli dodatkowo granice te są sobie równe, to nieciągłośćnazywamy usuwalną, a jeśli są różne – nieusuwalną (rys. 3.17).yf(x )oybf(x )ogy=f(x)y=f(x)a0x ox0x oxRysunek 3.17Punkty nieciągłości II rodzaju. Mówimy, że funkcja f ( x)y = ma w punkciex 0 punkt nieciągłości II rodzaju, jeżeli chociaż jedna z granic (prawostronna lublewostronna) jest niewłaściwa (rys. 3.18).


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 111yyy = f(x)f(x ) oy=f(x)0x ox0x oxRysunek 3.18Czytelnik zetknął się z granicami funkcji w szkole średniej. Omawiano tamrównież granice ciągów. Jeśli jednak uświadomimy sobie, że ciąg jest funkcjąo argumencie naturalnym, to granica ciągu okaże się szczególnym przypadkiemdefinicji 3.d.8.4.Wreszcie pewna granica, która jest jedną z ważniejszych granic.lim 1x→0+1xx→∞n→∞⎛ 1 ⎞⎜ + ⎟⎝ x ⎠⎛ 1 ⎞⎜ + ⎟⎝ n ⎠( x ) x = lim 1 = lim 1 = e ≈ 2,718...Z liczbą e będziemy spotykać się często.n3.4. Pochodna funkcjiDefinicja 3.d.9. Niech będzie dana funkcja y = f ( x), ciągła w pewnym przedzialeotwartym, do którego należy x 0 ; niech x 1 = x 0 + h również należy do tego przedziału.Przez punkty o współrzędnych ( x 0 , f ( x 0 ))oraz ( x + h f ( x + h))0 , 0 prowadzimyprostą, która jest sieczną wykresu powyższej funkcji (rys. 3.19).


112Elementy matematyki wyższejyf(x +h)0f(x)00ϕxϕx +h xRysunek 3.19Współczynnik kierunkowy siecznej jest równy tangensowi jej kąta nachyleniado dodatniego zwrotu osi Ox. Obliczamy go według wzoru:f ( x0 + h)− f ( x0)tgϕ=hi nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 dla przyrostu h.Uwaga 3.u.3. Nazwa iloraz różnicowy jest uzasadniona, ponieważ napisany ułamekjest ilorazem dwóch różnic – w liczniku (oczywiste) i w mianowniku ( h = x 1 − x0).Definicja 3.d.10. Pochodną funkcji f ( x)y = w punkcie x 0 , ciągłej w pewnymotoczeniu tego punktu, nazywamy granicę ilorazu różnicowego (jeśli ta granicaistnieje) i oznaczamy f ′ x ) :(3.6)( 0f ( xf ′ x ) = limUwaga 3.u.4. Granica istnieje, gdy+ h)− f ( x ).h00( 0h→0f ( x0+ h)− f ( x0) f ( x0+ h)− f ( x0)lim = lim+−h→0hh→0h.


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 113y = f(x)αRysunek 3.20xoxInterpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkciePochodna funkcji w punkcie jest współczynnikiem kierunkowym stycznejdo wykresu funkcji (rys. 3.20).f ′( x 0 ) = tgα .Z interpretacji geometrycznej pochodnej wynika, że równanie stycznej do wykresufunkcji y = f (x)w punkcie x 0 jest postaci(3.7) y − f x ) = f ′(x )( x − ) .( 0 0 x0Uwaga 3.u.5. (1) Warunkiem koniecznym istnienia pochodnej w określonym punkciejest jej ciągłość w tym punkcie. (2) Funkcja ciągła nie musi mieć pochodnej.Przykłady wyliczenia pochodnej z wykorzystaniem jej definicjiPrzykład 3.p.5. Wyliczyć, korzystając z definicji, pochodną funkcji:a) y = x 2 + 8 w punkcie x 1 , b) y = x 2 − 4 w punkcie x 0 = 2 .Rozwiązania0 =a) y = x 2 + 8 w punkcie x 1 .Wyliczymy najpierwy ( 1 ) = f (1) = 1 + 8 = 3 oraz20 =


114Elementy matematyki wyższejy h( 1 + ) = f (1 + h)= (1 + h)+ 8 = h + 2h+ 922i podstawimy do wzoru na obliczanie pochodnej w punkcie (3.6); wówczas otrzymamy22h + 2h+ 9 − 3 h + 2h+ 9 + 3 h + 2h+ 9 − 9y( ′1)= lim⋅= lim=h→0h2h→02h + 2h+ 9 + 3 h ⋅⎜⎛ h + 2h+ 9 3⎟⎞⎝+ ⎠h ⋅( h + 2)h + 2 2 1= lim= lim= = .h→020 2⋅⎜⎛ + 2 + 9 3⎟⎞+ 2 + 9 + 3 9 + 3 3⎝+ h→h h hh h⎠Odpowiedź: Pochodna podanej funkcji w punkcie x 0 = 1 jest równa 1 .3b) y = x 2 − 4 w punkcie x 0 = 2 .Z definicji wartości bezwzględnej mamy2⎧ xf ( x)= ⎨⎩−x22− 4+ 4dladlax ∈(−∞,−2> ∪ < 2, ∞),x ∈(−2,2).Ze wzoru (3.6)f ′(2)= limh→0f (2 + h)−h⎧f (2) ⎪ lim−h→0= ⎨⎪ lim+⎩h→0f (2 + h)− f (2)hf (2 + h)− f (2)h(1)(2)Obliczamy (1) i (2) oddzielnie. Najpierw jednak wyliczymyf (2 + h)= −(2+ h)f (2 + h)= (2 + h)f (2) = 22− 4 = 0;22+ 4 = −4h− h− 4 = 4h+ h22= −h(4+ h)dla h < 0,= h(4+ h)dla h > 0,f (2 + h)− f (2) − h(4+ h)− 0(1) lim= lim= lim − (4 + h)= −4,−−−h→0hh→0hh→0f (2 + h)− f (2) h(4+ h)− 0(2) lim= lim= lim (4 + h)= 4.+++h→0hh→0h h→0Otrzymaliśmy różne wyniki, co oznacza, że granica nie istnieje, więc pochodnadanej funkcji w tym punkcie też nie istnieje.Odpowiedź: Pochodna podanej funkcji w podanym punkcie nie istnieje.


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 115ZadaniaZadanie 3.z.2. Korzystając z definicji, obliczyć pochodną funkcji w podanym punkcie:12a) f ( x)= , x0 = −1;b) g ( x)= 2x+ 7, x0= 1.x + 2Odpowiedzi:a) f ′( −1)= −1, b)2g ′( 1) = .33.5. Pochodna jako funkcjaDefinicja 3.d.11. Niech będzie dana funkcja y = f(x), ciągła w przedziale (a,b). Dlax ∈(a,b) określamy:(3.8)f ′(x)= limh→0f ( x + h)− f ( x).hJeśli granica istnieje, to funkcję f ′( x)określoną w (3.8) nazywamy pochodną funkcji.Przykład 3.p.6. Korzystając z definicji, wyliczyć pochodną funkcjif ( x)= x + 3 .Aby wykorzystać definicję pochodnej, musimy wyliczyćf ( x + h)= ( x + h)+ 3 = x + h + 3 ,f ( x + h)− f ( x)x + h + 3 − x + 3f ′(x)= lim= lim⋅h hh→0h( x + h + 3) − ( x + 3)h= lim= limh 0 h(x + h + 3 + x + 3) h→0h(x + h + 3 + x + 3111= lim == .h →0 x + h + 3 + x + 3 x + 3 + x + 3 2 x + 3x + h + 3 +x + h + 3 +x + 3=+→ 0 x 3→ )1Odpowiedź: Pochodna funkcji jest równa: .2 x + 3df dySposoby zapisywania pochodnej: f ′(x);y′; ; .dx dx=


116Elementy matematyki wyższejZadaniaZadanie 3.z.3. Korzystając z definicji, obliczyć pochodną funkcji:32a) y = x + 2 , b) y = , c) y = x + 2x− 5.x + 413Odpowiedzi: a) , b) − , c) 2 x + 2 .22 x + 2 ( x + 4)Podstawowe wzory dotyczące pochodnych[ k ⋅ u(x)]′ = k ⋅u′( x),gdzie k – stała;[ u ( x)± v(x)]′ = u′( x)± v′( x);[ u ( x)⋅ v(x)]′ = u′( x)⋅ v(x)+ u(x)⋅ v′( x);′⎡u ( x)⎤ u′( x)v(x)− v′( x)u(x)⎢ ⎥ =.2⎣ v(x)⎦ [ v(x)]W tabeli 3.4 zestawiono pochodne funkcji elementarnych.Tabela 3.4f ( x)f ′( x)f ( x)f ′( x)a 0 arcsin x 211−x−1x 1 arccos x 21−xx α α·x α–1 1arctg x x 2 + 11xx1−12 x arcctg x x2 + 1− 11log a x x⋅ln a2x1sinx cosx ln x xcosx – sinx a x a x·ln atgx12cos xe xe xctgx−2 e f (x) e f (x) f'(x)sin1x


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 117Przykład 3.p.7. Obliczyć pochodną z funkcji:32a) y = 2x− 5x+ 7x+ 4 ; b) y = ( x2 − 3x)sin x ;c)x −1y = ; d) j = ( t + lnt)⋅arctgt.x + 1RozwiązaniaPrzy obliczaniu pochodnej korzystamy ze wzorów podanych na s. 116.3a) y = 2x− 5x+ 7x+ 4 ,23 222y ′ = 2( x )′− 5( x )′+ 7( x)′ + (4)′= 6x−10x+ 7 + 0 = 6x−10x+ 7 .2Odpowiedź: y ' = 6x−10x+ 7 .b) y = ( x2 − 3x)sin x ,y′ = (2x− 3)sin x + ( x2 − 3x)cos x .2Odpowiedź: y′= (2x− 3)sin x + ( x − 3x)cosx.c)x −1y = ,x + 1111 1 1 1( x + 1) − ( x −1)+ − +2 2y ' =2 x 2 x=2 x 2 x22( x + 1)( x + 1)11=x x⋅ =.22( x + 1) x x(x + 1)1x 1Odpowiedź: y ′ =x⋅ =.22( x + 1) x x(x + 1)=d) j = ( t + ln t)⋅ arc tgt,⎛ 1⎞t + ln tj ′ = ⎜1+ ⎟⋅arc tg x +2 .⎝ t ⎠ 1+t⎛ 1⎞t + ln tOdpowiedź: j ′ = ⎜1+ ⎟⋅arc tg x +2 .⎝ t ⎠ 1+t


118Elementy matematyki wyższejZadaniaZadanie 3.z.4. Obliczyć pochodną funkcji:a) y = 2x3 − 5x+ 4 ; b)2x − 4 1+ln xy = ; c) u = ;x 2 2+ 2 1+xd)f)2tp = (3 + 2t) ⋅e; e) K = (sin x − 2cos x)⋅lnx ;sin x − 3cos x t + tq = ; g) T = + t ;3sin x + cos x 1 + th) L = ( x + 9)⋅arctgx ; i)Odpowiedzi:sin xQ = arc ; j)x 2 + 1x − arcsinxA =.21−xa) = 6 2 − 2x+ 8x+ 4y ′ x − 5 ; b) y ′ =;2 2( x + 2)221−x (1 + 2ln x)c) u′ =; d)2 2x(1+ x )2 tp′ = (3 + 4t+ 2t) ⋅e;e)g)sin x − 2cos x10K′ = (cos x + 2sin x)⋅lnx +; f) q′ =;2x(3sin x + cos x)1+ 2 tx + 9T′ = ; h) L′ = arc tg x + ;22 t1+xi)2x + 1−2x1−x ⋅arcsinxQ′ =; j)2 2 2(1 + x ) ⋅ 1−x221−1−x − xarcsinxA′ =.22(1 − x ) ⋅ 1−x3.5.1. Pochodna funkcji złożonejDefinicja 3.d.12. Niech będą dane dwie funkcje: y = f ( x)i y = g( x). Funkcją złożoną,czyli złożeniem funkcji f ( x)z funkcją g ( x), nazywamy funkcję y = f ( g( x)), którapowstaje z funkcji y = f ( x)w ten sposób, że w wyrażeniu f ( x)zamiast zmiennej xwstawia się wyrażenie g ( x)(w złożeniu funkcji ważna jest kolejność składania).Funkcję f ( x)nazywamy zewnętrzną, a funkcję g ( x)– wewnętrzną.


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 119Przykład 3.p.8. Wyznaczyć złożenie funkcji: f ( g( x)) i g ( f ( x)), gdzie f ( x) sin xg ( x) = x .RozwiązaniefgZapis f ( g( x)) i ( f ( x))( g( x)) sin ( x ) = sin x= ;( f ( x)) ( sin x) = sin x= .g określa kolejność składania funkcji.Odpowiedź: f ( g( x)) = sin x , g( f ( x)) sin x= .= ,Na podstawie powyższego przykładu wprowadzimy inny sposób rozu-f xy = f t ,mienia i zapisu złożenia funkcji. Funkcję y = ( ) zapiszemy jako ( )a funkcję y = g( x)jako t = g( x)w miejsce zmiennej niezależnej t, występującej w formule f ( t)nej t = g( x). Oznacza to, że gdy chcemy wyliczyć f ( g( x))y = f ( t) = sin t oraz t = g( x)= x i dalej y sin t = sin xwyliczyć g ( f ( x)), wówczas zapisujemy y = g( t)= t oraz t f ( x)= sin xy = g( t)= t = sin x .. Złożenie funkcji polega na podstawieniuPochodną funkcji złożonej oblicza się według schematu:′[ f ( g( x))] = f ′( g( x)) ⋅ g′( x)lub w przypadku zapisu y = f ( t), g( x)dydxdy= ⋅dtdtdx.t = :, zmiennej zależ-, wówczas zapisujemy= , natomiast gdy chcemyPrzykład 3.p.9. Obliczyć pochodne następujących funkcji złożonych:a) y = sin3x; b) y sin 21= 4x; c) y = .2x + 5x− 6Rozwiązaniaa) y = sin3x.Dla lepszego zrozumienia najpierw zapiszemy y = sin 3x= t ,gdzie t = sin 3x= sin p,a p = 3x.= i dalej


120Elementy matematyki wyższejdy dy dt dp 13cos3x= ⋅ ⋅ = ⋅cosp ⋅3= ,dx dt dp dx 2 t 2 sin 3xbodydt1 1 dtdp= = , = cos p = cos3 x , = 3 .2 t 2 sin 3xdpdxOdpowiedź:3cos3xy′ = .2 sin 3xb) y = sin 2 4x.dydx=Zapisujemy y ( sin 4x) = t ,dydt⋅dtdu22= gdzie t = sin 4x= sin u,a u = 4x.du⋅ = 2 t ⋅cosu⋅ 4 = 2sin 4x⋅ cos 4x⋅ 4 = sin8x⋅ 4 = 4sin8xdx(skorzystano ze znanego wzoruOdpowiedź: 4sin 8x.2 sinα ⋅ cosα= sin 2α).1c) y = .2x + 5x− 612Zapisujemy y = , gdzie k = x + 5x− 6 .kdy dy dk 12x+ 5= ⋅ = − ⋅ (2x+ 5) = −.222dx dk dx k( x + 5x− 6)2x+ 5Odpowiedź: y ′ = −.22( x + 5x− 6)ZadaniaZadanie 3.z.5. Wyliczyć pochodne następujących funkcji złożonych:a) y = ln ( x 2 + 1); b) y = arc tg ( x + 3); c) b = ln ( x + 3⋅e) ;3xd) L = 1+arcsin 5x; e) u = p − 1+ sin 3p; f) V = arc sin 1−x ;2g) C = ln x 2 + 9 ; h) z = 9 + sin 2x.


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 121Odpowiedzia)( x2x+ 1) ln ( x2+ 1)3x1 1+9⋅e; b) ; c)23x1+ ( x + 3) x + 3⋅e;d)251+ arcsin 5x 1+25x23⋅cos3p; e) 1− ; f)1+sin 3p1± ;21− xg)x; h)x 2 + 9cos 2x9 + sin 2x.3.5.2. Obliczanie pochodnych funkcji postaciy =f ( x)g(x)Niech będzie dana funkcja postacig ( x)y = f ( x), gdzie f (x)>0.Aby obliczyć jej pochodną, najpierw, korzystając ze wzoru(3.9)abb ln a= e ,przekształcamy daną funkcję do postacig ( x) ln f ( x)ey = ,a następnie wyliczamy pochodną według wzorca′=u( x)u(x)′(3.10) [ e ] e [ u(x)]Przykład 3.p.10. Obliczyć pochodną funkcji typua)tgxy = x ; b)Rozwiązanialn xy = ( 1+sin x); c)⋅2xy = (tg x)..g(x)y = f ( x):a)tgxy = x .Najpierw, korzystając ze wzoru (3.9), daną funkcję zapisujemy w postaciy = xtgx= etgx⋅lnx,następnie w celu wyliczenia pochodnej stosujemy wzór (3.10)


122Elementy matematyki wyższejy′= etg x ln x⎛ 1⋅⎜⎝ cos21 ⎞⋅lnx + tg x ⋅ ⎟ = xxx ⎠tg x⎛ ln x tg x ⎞⋅⎜+ ⎟ .2⎝ cos x x ⎠Odpowiedź: Pochodna danej funkcji jest równatgx x⎛ ln x tg x ⎞⋅⎜+ ⎟ .2⎝ cos x x ⎠b)ln xy = ( 1+sin x).Jak w zadaniu poprzednim, najpierw przekształcamy funkcję według wzoru(3.9), a następnie wyliczamy z tej przekształconej funkcji pochodną według wzoru(3.10) i otrzymujemyln x⋅ln (1+sin x)′y = e=⎛ 1cos x ⎞⋅⎜ ⋅ln (1 + sin x)+ ln x⋅⎟ =⎝ x1+sin x ⎠⎛ ln (1 + sin x)ln x ⋅cosx ⎞.ln x( 1+sin x) ⋅⎜+ ⎟ ⎝ x 1+sin x ⎠Odpowiedź: Pochodna danej funkcji jest równa⎛ ln (1 + sin x)ln x ⋅cosx ⎞.ln x( 1+sin x) ⋅⎜+ ⎟ ⎝ x 1+sin x ⎠c)2xy = ( tgx).Pochodną liczymy tak jak w poprzednim zadaniux ⋅lntg x′y = e=2⎛⋅⎜ 2x⋅lntg x + x⎝⎛⎜⎝21 1⋅ ⋅tg x coscos xsin x21cos⎞⎟ =x ⎠⎞x ⎟⎠22( tg ) ⋅⎜2x⋅lntg x + x ⋅ ⋅ ⎟ =x x 22⎛x ⎞= tg .( x) x 2⋅⎜2xlntg x +⎟ ⎝ sin xcosx ⎠⎛x ⎞x x22tg ⎜ x x.Odpowiedź: Pochodna danej funkcji jest równa ( ) ⋅⎜2 ln tg +⎟ ⎝ sin x cos x ⎠


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 123ZadaniaZadanie 3.z.6. Obliczyć pochodne następujących funkcjia) ( x + 1); b)xtgx2(sin x + cos x); c) ( ) ln xarc tg xcos xd) ( 5 + ln x) ; e) ( x tg x) + .1+ x ;Odpowiedzi:x ⎡ x ⎤a) ( x + 1) ⎢ln(x + 1) + ⎥ ;⎣ x + 1 ⎦tg x ⎡ln(sinx + cos x)tg x ⋅(cosx − sin x)⎤b) ( ) ⎥ ⎦sin x + cos x ⎢2⎣ cos x+sin x + cos x22 ln x⎡ln(1+ x ) 2xln x ⎤c) (1 + x ) ⎢ +2 ⎥ ;⎣ x 1+x ⎦arc tg x ⎡ln(5+ ln x)arctgx ⎤d) ( 5 + ln x)⎢ +2⎥ ;⎣ 1+x x ln(5 + ln x)⎦cos x ⎡cos x ⎛ 1 ⎞⎤e) ( x + tg x)⎢−sin x ⋅ln(x + tg x)+ ⋅ ⎜1+2⎟⎥ .⎣x + tg x ⎝ cos x ⎠ ⎦;3.6. Podstawowe twierdzenia dotyczące rachunkuróżniczkowego funkcji jednej zmiennej3.6.1. Twierdzenia o wartości średniejTwierdzenie 3.t.1 (Rolle’a). Jeżeli funkcja y = f (x)jest ciągła w przedziale 〈 a, b〉oraz ma pochodną w przedziale (a,b) i f ( a)= f ( b), to istnieje takie c ∈ ( a,b), żef ′( c)= 0 .


124Elementy matematyki wyższejW interpretacji geometrycznej oznacza to, że w przedziale ( a , b)istniejetakie c, że styczna do wykresu funkcji f (x)do osi Ox (rys. 3.21).y = w punkcie ( f ( c))c, jest równoległayy=f(x)f(a) = f(b)a c 0c b1 2xf’(c ) = f’(c ) = 01 2Rysunek 3.21Twierdzenie 3.t.2 (Lagrange’a). Jeżeli funkcja y = f (x)jest ciągła w przedziale〈 a, b〉 oraz ma pochodną w przedziale ( a , b), to istnieje takie c∈ ( a,b), żef ( b)− f ( a)f ′(c)=.b − aW interpretacji geometrycznej oznacza to, że w przedziale (a,b) istnieje takie c,w którym styczna do wykresu funkcji y = f (x)w punkcie c jest równoległa dosiecznej, która przecina wykres danej funkcji odpowiednio w punktach: x = ai x = b (rys. 3.22).


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 125yf(b)y=f(x)f(a)a c 0c b1 2f’(c ) = f’(c ) =1 2f(b) - f(a)b - axRysunek 3.22Uwaga 3.u.6. Twierdzenie Rolle’a jest szczególnym przypadkiem twierdzeniaLagrange’a.()Niech f k ( p)oznacza pochodną rzędu k wyliczoną dla x = p , tzn. żez funkcji y = f (x)wyliczamy pochodną, którą nazywamy pochodną pierwszegorzędu i zapisujemy f ′( x), z tej pochodnej wyliczamy pochodną, którą nazywamypochodną drugiego rzędu i zapisujemy f ′ ( x), z tej pochodnej wyliczamy następnąpochodną itd.; gdy powtórzymy tę czynność k razy, wówczas otrzymaną pochodną( )nazywamy pochodną rzędu k i zapisujemy f k ( x), jeśli za x do wyliczonej pochodnejpodstawimy p, to otrzymamy f k ( p).(Twierdzenie 3.t.3 (Taylora). Jeżeli funkcja y = f (x)jest ciągła i ma ciągłe pochodnedo rzędu n – 1 w przedziale 〈 a, b〉oraz ma pochodną rzędu n w przedziale (a,b),to istnieje takie c∈(a,b), że zachodzi równanie:)


126Elementy matematyki wyższejf ( b)=+f( n)f ( a)+( c)( b − a)n!Wyrażenief ′(a)( b − a)+1!n.f ′′ ( a)( b − a)2!2+ ... +( n−1)f ( a)( b − a)( n −1)!n−1+f( n)( c)( b − a)n!nazywamy resztą Lagrange’a. Istnieje kilka wersji twierdzenia Taylora, różniącychsię resztami. Do tego twierdzenia wrócimy w rozdziale o szeregach (w częścio szeregach potęgowych). Czytelnik bez trudu zauważy, że twierdzenie Lagrange’ajest szczególnym przypadkiem twierdzenia Taylora dla n = 1.n3.6.2. Reguła de l’HospitalaTwierdzenie 3.t.4. Reguła de l’Hospitala. Jeżeli zachodzi:a) lim f ( x)= 0 i lim g(x)= 0 albox→x0x→x0b) lim f ( x ) = ±∞ i lim g() = ±∞x→x00 xx→x0oraz istnieje granica:f ′(x)limx → x0 g′( x)skończona lub niewłaściwa, to istnieje też granicaf ( x)limx→ x0 g(x)f ( x)f ′(x), co więcej: lim = lim .x → x0 g(x)x → x0g′( x)Uwaga 3.u.7. Jeżeli funkcja, której granicę mamy obliczyć, jest ilorazem (iloczynem,sumą, różnicą albo potęgą) dwóch funkcji, których granice (właściwe lub niewłaściwe)znamy, to w wymienionych poniżej przypadkach granicę tę (istniejącąlub nie) nazywamy nieoznaczonością lub symbolem nieoznaczonym. Istnieją następującesymbole nieoznaczone:⎡ ⎤ ⎡∞⎤⎢ , ,0⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣∞⎦0 00 ∞[ 0⋅∞] , [ ∞ − ∞] , [ 0 ],[ ∞ ],[ 1 ].


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 127Uwaga 3.u.8. Wypisane wyżej wyrażenia jako wartości graniczne są symbolaminieoznaczonymi, bo w tych przypadkach wyniki końcowe odpowiednich granicdają różne wyniki, zależne od funkcji, z których granice liczymy.1−cos2xPrzykład 3.p.11. Obliczyć granicę lim .x→0xsinxRozwiązanie1−cos2x0H⎡ ⎤ 2sin 2x0H⎡ ⎤4cos2xlim = = lim= = lim=x→0xsinx ⎢0⎥0 sin cos ⎢0⎥⎣ ⎦x→x + x x ⎣ ⎦x→0cos x + cos x + x(−sinx)4⋅1= = 2.1+1+0Odpowiedź: Szukana granica jest równa 2.Uwaga 3.u.9. W podanym przykładzie stosowano dwa razy regułę de l’Hospital’a,co zaznaczono każdorazowo symbolem H = .Uwaga 3.u.10. Jeżeli podczas wyliczania granic otrzymamy niżej dane symbole,które nie są symbolami nieoznaczonymi, to dają one zawsze podane wyniki⎡ 0 ⎤⎢ ⎥⎣∞⎦∞[ 0 ⋅0] = 0, = 0 ,[ 0 ] = 0.Regułę de l’Hospitala można stosować wyłącznie do symboli nieoznaczonych.Przykład 3.p.12. Obliczyć następujące granice:a)x − sin xlimx x 2; b)+→0sin xx ⋅ tgxlim ; c) lim sin x ⋅ ln x ;++x→0 x ⋅ln(x + 1) x→0d) lim (1 − cos x)ctgx; e) lim (1 − sin )x; f)+x→0+x→0x sin 1lim (1 − cos+x→0xx tg).Rozwiązaniaa)lim x − sin xHxH⎡0⎤−⎡ ⎤x x⎥ = 1 cos 0= ⎢ lim=sinx x + x x⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 sin cos ⎣ ⎦=2++x→020 x→00


128Elementy matematyki wyższejsin x= lim =+2x→02sin x + 2xcos x + 2xcosx − x sin x0coslim0⎥ =H⎡ ⎤x= ⎢+⎣ ⎦ x→02cos x + 4cos x − 4xsinx − 2xsinx − x2=cos x16.Odpowiedź: Granica jest równa 61 .1sin x cos x + xx + xx x ⎤b) ⎢ ⎥ =H1tgtg ⎡022lim = lim cos x = lim cos x =+++x→0x ln( x + 1) ⎣0⎦x→01 x→0(1 + x) ln(1 + x)+ xln(1 + x)+ x1+x1+x(1 + x)(sinx cos x + x)lim2x cos x[(1+ x) ln(1 + x)+=+→ 0 x]⎡0⎤= ⎢ ⎥ =H⎣0⎦1(sin xcosx + x)+ (1 + x)(cosxcosx − sin xsinx + 1)= lim+x→021+2cos x(−sinx)[(1+ x)ln(1+ x)+ x]+ cos x[1ln(1+ x)+1+Odpowiedź: Granica jest równa 21 .c) lim sin ln x = [ 0 ⋅(−∞)] = [ 0⋅∞]x→0=ln xH⎡∞⎤x ⋅ = lim = =++x→01 ⎢ ⎥⎣∞⎦sin x12Hx sin x ⎡0⎤lim = − lim = =− cos x+x x x ⎢ ⎥→0cos ⎣ ⎦2sin x+x→00H2sin xcosx 0=− lim= = 0.+x→01cos x − xsinx 1Odpowiedź: Granica jest równa 0.1−cos x ⎡0⎤=x ⎢0⎥ ⎣ ⎦=Htgsin x12cos xd) lim (1 cos x)ctg x [ 0 ] limlim = = 0.+x→0−=⋅∞ =+x→0Odpowiedź: Granica jest równa 0.+x→0xx01=+ 1]1.2


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 129ln(1−sinx)∞ge) lim (1 − sin x)x= [ 1 ] = lim ex= e =+x→01sing wyliczamy oddzielnie:+x→01sin− cos xln(1 − sin x)0g = lim= lim 1−sin+x→0sin x 0⎥ =H⎡ ⎤x⎢+⎣ ⎦ x→0cos x−1= = −1.1i otrzymany rezultat podstawiamy w miejsce g do wyrażenia przed podkreśleniem= e− 1 = 1 .eOdpowiedź: Granica jest równa e1 .tgxln(1−cosx)f) lim (1 − cos x)= [ 0 ] = lim e = e =+x→0wyliczamy gtgz0+x→0g = lim tg x ln(1 − cos x)=++x→0sin xH⎡∞⎤=− x⎢ ⎥ = lim 1 cos = − lim⎣∞⎦ −1sin x[ 0 ⋅ ∞] = lim=sinx→0gln(1 − cos x)ctg x++x→0x→01−cos x ⎣022H3xH⎡0⎤= ⎢ ⎥⎦=3sin xcosx= − lim= − lim 3sin x cos x = 0++x→0sin xx→0i wyliczone g podstawiamy jak w poprzednim zadaniu= e0 =1.Odpowiedź: Granica jest równa 1.ZadaniaZadanie 3.z.7. Wyliczyć granicę funkcji:x − sin xa) lim ; b)x2x→0tg xlim ; c)x → 0 xcosxx(1− cos x)lim ; d)x→0 sin x tg xx tg xlim ;x→0 1−cos x


130Elementy matematyki wyższej1−cos xe) lim ; f)x2x→0x + sin xlimx x 2; g)→0 − 3xsin xlim ; h) lim xctgxx→0x cos x x 0→;i) limsin 2x⋅lnx ; j)x→0lim(1− sinx→0xx)ctg; k)x0xx)tglim(sin; l) lim (1 + )x;→x→0x sin 1m)lim(1−x→0xx)ctg; n)lim(1− cos2x→0xx)tg; o)xx)tglim(ctg; p) lim tgx⋅lnx ;x → 0x→0r) limsinx ⋅ctg2x; s) lim(1− sin )x.x→0→0xx sin 1Odpowiedzi1 1 1a) 0; b) 1; c) 0; d) 2; e) ; f) –2/3; g) 1; h) 1; i) 0; j) ; k) 1; l) e; m) ;2 e e1 1n) 1; o) 1; p) 0; r) ; s) . 2 e3.7. Niektóre zastosowania pochodnejZ definicji pochodnej wynika, że f ′( x 0 ) = tgα, gdzie zapisany kąt jestkątem między styczną do wykresu funkcji i dodatnim kierunkiem osi Ox. Z tejdefinicji wynika, że f ′( x 0 ) w przybliżeniu równa się przyrostowi funkcji, gdy x 0zwiększymy o 1.Na przykład, gdy w danej funkcji y = f (x)x 0oznacza wpłaconą kwotę, a wyliczoneodpowiednie y zysk, wówczas f ′ x ) oznacza, o ile w przybliżeniu wzrośnie( 0lub zmaleje zysk, jeżeli wpłacimy o 1 więcej (np. o 1 zł, gdy x wyrażamy w złotych).Jeśli w danej funkcji x 0 oznacza dzień, a odpowiednio wyliczone y stanw kasie w dniu x 0 , to f ′( x 0 ) oznacza, o ile w przybliżeniu wzrośnie lub zmalejestan kasy do następnego dnia.Elastyczność funkcjiElastyczność funkcji określa wzórf ′(x0)x0⋅ ,f ( x )0


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 131który mówi nam, o ile procent w przybliżeniu wzrośnie wartość funkcji, gdy x 0powiększymyo jeden procent. Wynika to z powyższego opisu zastosowania pochodnej.Interpretacja elastyczności funkcji. Okazuje się, że gdy x0oznacza zainwestowanąkwotę, a odpowiednio wyliczone y jako wartość funkcji jest otrzymanymf ′(x0)zyskiem, to wyrażenie x0⋅ mówi, o ile procent wzrośnie zysk, gdy kwota x 0f ( x )0wzrośnie o 1%.Następne podrozdziały będą traktować o badaniu „zachowania się” funkcji.3.8. Asymptoty wykresu funkcjiDefinicja 3.d.13. Prostą p nazywamy asymptotą funkcji y = f (x), jeśli wykresy = f (x) dąży do prostej p, to znaczy jeśli dla dowolnego ε > 0 istnieje taki punktprostej, że począwszy od niego, odległość każdego punktu prostej p od wykresufunkcji y = f (x)jest mniejsza od ε.Asymptoty dzielimy na: pionowe, poziome i ukośne.Uwaga 3.u.11. Jeśli funkcja ma asymptotę poziomą obustronną, to nie maasymptoty ukośnej.Definicja 3.d.14. Asymptota pionowa. Prosta x = a jest asymptotą pionową funkcjiy = f (x) , jeśli lim f ( x)= ±∞ lub lim f ( x)= ±∞.−x→a+x→aDefinicja 3.d.15. Asymptota pozioma.Prosta x = b jest asymptotą poziomą lewostronną, gdy lim f ( x)= b.ProstaProstax→−∞x = b jest asymptotą poziomą prawostronną, gdy lim f ( x)= b.x→+∞x = b jest asymptotą poziomą obustronną, gdy lim f ( x)= b.x→±∞Gdy prosta x = b jest asymptotą obustronną, wówczas mówimy, że x = b jestasymptotą poziomą.Asymptoty pionową i poziomą wylicza się według schematu:(1) dziedzina funkcji,(2) granice na końcach dziedziny,(3) odczytanie asymptot.


132Elementy matematyki wyższejx + 5Przykład 3.p.13. Wyznacz asymptoty wykresu funkcji y = .x 2 − 42Ad. (1) x − 4 ≠ 0 x ≠ ± 2 x∈(−∞,−2)∪ ( −2,2)∪ (2, ∞).1 5+x + 52 0Ad. (2) lim = limx x = = 0 ;x→±∞2x − 4 x→±∞41−12xgranica ta jest wyliczana w analogiczny sposób jak granica ciągu (patrz granica ciągu)xlim x + 5 3x + 5= = +∞,lim =++→− 2 2x − 4 0x→−2x 2 − 4− 0lim x + 5 7x + 5 7= = −∞,lim =− 2 −+2 − 4 022 +x→xx→x − 4 03= −∞ ,−= +∞.W przypadku czterech ostatnich granic do licznika i mianownika w miejscezmiennej x podstawiamy liczbę, do której x zmierza; otrzymujemy w liczniku odpowiednio:3 lub 7, a w mianowniku 0; są to granice odpowiednio: licznika i mianownika.Wynikiem ilorazu tych granic będzie ∞ , ponieważ mianownik jest liczbąnieskończenie małą. Aby ustalić znak nieskończoności, należy ustalić znak liczbynieskończenie małej w mianowniku, podstawiając za x liczbę bliską –2 z lewejstrony, gdy granica jest lewostronna, lub z prawej, gdy granica jest prawostronna.Ad. (3) Odpowiedź: y = 0 jest asymptotą poziomą (obustronną), natomiast x = –2i x = 2 to asymptoty pionowe.Definicja 3.d.16. Asymptota ukośna. Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośnąfunkcji y = f (x), jeśli liczby a i b wyliczone według wzorówa = limx→±∞f ( x)=x1lim f ( x)⋅ ; b = lim [ f ( x)− ax]xx→±∞x→±∞są liczbami skończonymi.Uwaga 3.u.12. Gdy a = 0 i b jest liczbą skończoną, asymptota ukośna staje sięasymptotą poziomą.xPrzykład 3.p.14. Obliczyć asymptotę ukośną dla funkcji y = . x + 5RozwiązanieWyliczamy najpierw a:2


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 13312x 1 x1 1a = lim ⋅ = lim ⋅ x = lim = = 1,x→±∞x + 5 x x→±∞x + 5 1 x→±∞51+1+0x xa następnie b:122 2xx − x − 5x− 5xb = lim [ − 1x] = lim= lim ⋅ x =x→±∞x + 5x→±∞x + 5 x→±∞x + 5 1x− 5lim = − 5.→±∞ 51+xOdpowiedź: Powyższa funkcja ma asymptotę ukośną o równaniu y = x − 5 .xZadaniaZadanie 3.z.8. Wyliczyć asymptoty funkcji:a)x + 3y = ; b)x 2 − 42xy = ; c) x + 5ax(x − c)y = ; d)x + bxey = .xOdpowiedzi:a) y = 0 , x = −2,x = 2 ; b) x = −5,y = x − 5;c) x = −b, y = ax − a(b + c);d) x = 0 , y = 0 (asymptota lewostronna).3.9. Monotoniczność funkcjiWśród znanych Czytelnikowi funkcji są funkcje rosnące i malejące, czylimonotoniczne, oraz wiele klas funkcji „ani rosnących, ani malejących”. Nie znaczyto, że problem monotoniczności dla tych funkcji nie istnieje. Funkcje, które są „anirosnące, ani malejące”, mają obszary, w których są monotoniczne, a które nazywamyprzedziałami monotoniczności. Wyszukiwanie przedziałów monotonicznościnazywamy badaniem monotoniczności funkcji.Bardzo użytecznym narzędziem badania monotoniczności funkcji jestpochodna. Gdy funkcja y = f (x)ma pochodną (jest różniczkowalna) w podanymprzedziale, wówczas:


134Elementy matematyki wyższej– Jeżeli dla każdego x ∈ ( a,b)f ′(x)> 0 , to y = f (x)jest w tym przedzialemonotonicznie rosnąca.– Jeżeli dla każdego x ∈ ( a,b)f ′( x)< 0 , to y = f (x)jest w tym przedzialemonotonicznie malejąca.W badaniu monotoniczności zazwyczaj stosowany jest następujący schemat:(1) określenie dziedziny funkcji,(2) wyliczenie pochodnej i sporządzenie wykresu takiej jej części, aby z tegowykresu odczytać znak pochodnej,(3) odpowiedź.Przykład 3.p.15. Zbadać monotoniczność funkcji:a)1y = x + ; b)x2xy = ; c)3 − xy = ( x + 14) 16 − x ; d)21xy xe3= .Rozwiązaniaa)1y = x + .xAd. (1) Najpierw wyliczamy dziedzinę funkcji x ≠ 0 , czyli x ∈( −∞,0)∪ (0, +∞).Ad. (2) Wyliczamy pochodną1 x −1y′ = 1−= .2 2x x2Pochodna jest ułamkiem, którego mianownik jest dodatni dla każdego xz dziedziny, więc znak licznika pochodnej jest znakiem pochodnej. Sporządzamywięc wykres licznika w = x 2 −1; miejsca zerowe: x = − , x 1 . Wykres znakupochodnej przedstawiono na rysunku 3.23.1 1 2 =y+_ _+-1 0 1 xRysunek 3.23


++Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 135Ad. (3). Odpowiedź: Funkcja rośnie dla x ∈ ( −∞ , −1), (1 , + ∞), natomiast malejedla x ∈ (−1,0),(0,1 ) .2xb) y = . 3 − xAd. (1) Dziedzina: 3 − x ≠ 0 , x ≠ 3.Ad. (2) Pochodna:6x− xy'=(3 − x)22jest ułamkiem, którego mianownik jest dodatni dla każdego x z dziedziny, więc2z wykresu licznika w = 6x− x , jak w zadaniu poprzednim, odczytamy znak pochodnej,czyli również monotoniczność (rys. 3.24).y0 3 6 x_ _Rysunek 3.24Ad. (3) Odpowiedź: Funkcja rośnie w przedziałach (0,3); (3,6), natomiast malejew przedziałach (–∞,0); (6,∞).c)y = ( x + 14) 16 − x .22 ≥Ad. (1) Dziedzina: 16 − x 0 , więc x ∈< −4 , 4 > .Ad. (2) Pochodna:2− 2xy'= 16 − x + ( x + 14) ⋅2 16 − x2−=2x2−14x+ 1616 − x2


_+136Elementy matematyki wyższejjest ułamkiem, którego mianownik jest dodatni prawie dla każdego x z dziedziny(poza – 4 i 4), więc z wykresu licznika pochodnej w = − 2x2 −14x+ 16 (rys. 3.25),jak w zadaniach poprzednich, odczytamy znak pochodnej, czyli otrzymamy odpowiedź.y+_-8 -4 0 1 4 xRysunek 3.25Ad. (3) Odpowiedź: Funkcja rośnie w przedziale − 4,1), natomiast maleje w przedziale( 1 , 4 .d)1xy xe3= .Ad. (1) Dziedzina:x ∈ R .1 11x xxy e3x e31 1' 1⋅+ ⋅ ⋅ = (1 + x ) ⋅e3Ad. (2) Pochodna = jest iloczynem dwóch czynników,z których drugi jest dodatni dla każdego x z dziedziny, więc z wykresu3 31pierwszego czynnika w = x + 1 (rys. 3.26) odczytamy znak pochodnej, czyli monotoniczność.3-3 xRysunek 3.26Ad. (3) Odpowiedź: Funkcja rośnie w przedziale (–3, ∞ ), natomiast maleje w przedziale(– ∞ ,–3).


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 137ZadaniaZadanie 3.z.9. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:a)2xy = ; b) 1 − x1y = x + ; c)xxy = ; d)x 2 +12xy = ;x2−1e)2xy = ; f) x + 3y = x 4 − x ; g)2y = x 4 + x ; h)22y = x 8 − x ;i)y = x 5 − x ; j)2−2xy = ( x + 3) e ; k)2 3xy = x e ; l)xy = xe ; m)22−xy = xe .Odpowiedzi:a) ↑ ( 0,1);(1,2) ↓ ( −∞,0);(2,∞);b) ↑ ( −∞,−1);(1,∞)↓ ( −1,0);(0,1);c) ↑ x ∈ R;d) ↑ ( −∞,−1);(−1,0)↓ (0,1);(1, ∞);e) ↑ ( −∞,−6);(0,∞)↓ ( −6,−3);(−3,0);f) ↑ ( − 2, 2) ↓< −2,− 2);( 2,2 > ;g) ↑ x ∈ R;h) ↑ ( −2,2)↓< −22, −2);(2,22 > ;⎛ 5 5 ⎞5 ⎛ 5i) ⎜ , ⎟ 5, );⎜⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞↑ − ↓ − − , 5 ;2 2j) ↓, ;2 ⎜⎜− ∞, − ⎟ ↑ ⎜−∞⎟ ⎝ ⎠⎝2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠k) ↑ ( −∞,−3/2);(0, ∞)↓ ( −3/2,0);l) ↑ x∈ R;⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞m) ⎜2 2⎟ ⎜2⎟ ⎜2↑ − , ↓⎟− ∞,−;, ∞.⎝2 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠3.10. Ekstremum funkcjiDefinicja 3.d.17. Mówimy, że funkcja y = f (x)ma w punkcie x 0 maksimumlokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu x 0 , że dla każdego x z tego otoczeniaf x)< f ( x ).( 0


138Elementy matematyki wyższejDefinicja 3.d.18. Mówimy, że funkcja y = f (x)ma w punkcie x 0 minimum lokalne,jeżeli istnieje takie otoczenie punktu x0, że dla każdego x z tego otoczeniaf x)> f ( x ) .( 0Definicja 3.d.19. Mówimy, że funkcja y = f (x)ma w punkcie x 0 ekstremum lokalne,jeśli w punkcie tym ma maksimum lub minimum lokalne (patrz rys. 3.27).max.y = f(x).xmin.Rysunek 3.27Warunek konieczny istnienia ekstremum. Jeżeli funkcja y = f (x)ma pochodnąw pewnym przedziale zawierającym x0, to warunkiem koniecznym istnieniaekstremum w punkcie x 0 jestf ′( x 0 ) = 0 .Warunki wystarczające istnienia ekstremum (podamy dwa warunki):1. Jeżeli funkcja y = f (x)ma pochodną w pewnym otoczeniu punktu x0orazzachodzi warunek konieczny istnienia ekstremum w tym punkcie, to warunkiemwystarczającym istnienia ekstremum w x0jest zmiana znaku pochodnejfunkcji y = f (x)z lewej i prawej strony punktu x0; gdy z lewej stronypunktu pochodna jest dodatnia, a z prawej ujemna, to w punkcie x0istniejemaksimum, a w wypadku przeciwnym – minimum.2. Jeżeli funkcja ma również pochodną drugiego rzędu (pochodna z pochodnej)oraz w punkcie x0zachodzi warunek konieczny istnienia ekstremum, to warunkiemwystarczającym istnienia ekstremum funkcji y = f (x)w punkcie x 0 jest:f ′′ ( x 0 ) ≠ 0 ;


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 139jeślif ′′ ( x0f ′′ ( x0) < 0,) > 0,to funkcja ma maksimum,to funkcja ma minimum.Uwaga 3.u.13. Zmiana znaku pierwszej pochodnej w otoczeniu punktu x 0 jest kryteriumrozstrzygającym, choć czasem trudnym „obliczeniowo”. Kryterium „drugiejpochodnej” nie zawsze rozstrzyga kwestię istnienia ekstremum. Istnieje ogólniejszekryterium:Jeśli funkcja y = f (x)ma pochodną rzędu n (co oznacza istnieniewszystkich pochodnych niższych rzędów) w pewnym otoczeniu punktu x 0( n−1i ′( ) ( ) .... )0′′(f x = f x0= = f ( x0) = 0 , ale f n )( x 0 ) ≠ 0 , to – jeśli n jest liczbą( )parzystą – funkcja y = f (x)ma w punkcie x0ekstremum lokalne; jeśli f n ( x 0 ) < 0,( )to funkcja ma maksimum lokalne, jeśli f n (x0)> 0 – funkcja ma minimum lokalne.Uwaga 3.u.14. Ekstremum funkcji będziemy wyliczać analogicznie jak monotonicznośćfunkcji.Uwaga 3.u.15. Z wykresu części określającej znak pochodnej i jej miejsca zeroweodczytujemy, co następuje:+ 0 − funkcja osiąga maksimum lokalne,− 0 + funkcja osiąga minimum lokalne,+ 0 + brak ekstremum, funkcja rośnie,− 0 − brak ekstremum, funkcja maleje.Przykład 3.p.16. Znaleźć wartości ekstremalne funkcji3 3 2 +a) y = x − x − 9x2 ; b)2 −d) y = ( x −1)x 1 ; e)2y = x2 + ; c)x21x2y = ( x − 3) e .22x − 5y = ; 3 − xRozwiązania3 3 2 +a) y = x − x − 9x2 .Ad. (1) Dziedzina:x∈ R .2Ad. (2) Wyliczamy pochodną: y ' = 3x− 6x− 9 oraz sporządzamy jej wykres (miejscazerowe x = − x 3 ), na wykresie nanosimy znaki pochodnej i jej miejsca zerowe(rys. 3.28).1 1 2 =


+__140Elementy matematyki wyższej+ 0 0_+-1 3Rysunek 3.28Ad. (3) Odczytujemy punkty ekstremalne.Odpowiedź:Dla x = 1 maksimum f ( − 1) max = 7 .1 −2 =Dla x 3 minimum f ( 3) min = −25.Uwaga 3.u.16. Wartość ekstremalna funkcji jest jej wartością w punkcie ekstremalnym.b)2y = x2 + .xAd. (1) Dziedzina: x ≠ 0 , czyli x∈(−∞,0)∪ (0, +∞).32 2x− 2 2( x −1)Ad. (2) Pochodna: y'= 2x− = = ; wyliczona pochodna jest ułamkiem,którego mianownik jest dla każdego x z dziedziny dodatni, więc znak licznika2 22x x xpochodnej jest znakiem pochodnej. Sporządzamy więc wykres licznika pochodnej32w = 2( x −1)= 2( x −1)(x + x + 1) (rys. 3.29) i nanosimy dziedzinę. Miejsca zerowe:x = 1.y31 xRysunek 3.29


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 141Ad. (3) Odczytujemy punkty ekstremalne.Odpowiedź: Dla x = 1 funkcja osiąga minimum, którego wartość jest równa 3,czyli y ( 1) min = 3.2x − 5c) y = .3 − xAd. (1) Dziedzina: 3 − x ≠ 0, x ≠ 3 .Ad. (2) Pochodna:2− x + 6x− 5y'=2(3 − x)jest ułamkiem, którego mianownik jest dodatni dla każdego x z dziedziny, więc2z wykresu funkcji licznika w = −x+ 6x− 5 odczytamy ekstremum danej funkcji.Ad. (3) Dla x = 1 zachodzi minimum równe –2, a dla x = 5 zachodzi maksimumrówne –10.Odpowiedź: Dla x = 1 zachodzi minimum, którego wartość jest równa –2, czyliy( 1) min = −2,a dla x=5 zachodzi maksimum y ( 5) max = −10.2 −d) y = ( x −1)x 1 .2Ad. (1) Dziedzina: x −1≥ 0 , czyli x ∈( −∞,−1〉∪ 〈 1, ∞).22x− x −1Ad. (2) Pochodna: y ′ = jest ułamkiem, którego mianownik jest dodatni2x −1dla prawie wszystkich x z dziedziny (z wyjątkiem –1 i 1), więc z wykresu funkcjilicznika w = 2x2 − x −1i z uwzględnieniem dziedziny otrzymamy rozwiązanie.Ad. (3) Odpowiedź: Funkcja nie ma ekstremum.21xe) y = ( x − 3) e2.Ad. (1) Dziedzina: x ∈ R.Ad. (2) Pochodna2y1 2x3′ = ( x − x)e2jest iloczynem dwóch czynników, z których drugiprzybiera wartości dodatnie dla każdego x z dziedziny, więc z wykresu funkcji3w = x − x = x(x −1)(x + 1) odczytamy punkty, w których dana funkcja osiąga ekstremum.


142Elementy matematyki wyższejAd. (3) Odpowiedź: Dla x = −1funkcja osiąga minimum równe − e = −2e,dla x = 0 funkcja osiąga maksimum równe 0, dla x = 1 funkcja osiąga minimumrówne − 2 e .2 2 1ZadaniaZadanie 3.z.10. Znaleźć wartości ekstremalne funkcji:a)2xy = ; b) x −12x + 1 xy = ; c) y = ; d)x22−13 − x22y = x 8 − x ;e) y = x x 2 − 2 ; f)− xy = x2 e ; g)xy = xe ; h)1− x2y = xe .2Odpowiedzi:a) y 0) = 0, y(2)4 ; b) y ( 0) max = −1; c) y ( 0) min = 0 ;( max min =d) y −2)= −4,y(2)4 ; e) brak ekstremum;( min max =4f) y (0) min = 0, y(2)max = ; g)2e1y( − 1) min = − ;eh)11y( − 1) min = − , y(1)max = .ee3.11. Badanie funkcjiSchemat badania funkcji jest następujący:(1.1) dziedzina i granice na końcach przedziałów dziedziny,(1.2) asymptoty i punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych (parzystość,nieparzystość, okresowość),(2) pochodna oraz monotoniczność i ekstremum (warunek konieczny),(3) tabelka,(4) wykres.


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 143Przykład 3.p.17. Zbadać przebieg zmienności i naszkicować wykres funkcjia)2x + 1f ( x)= ; b)x2− 4f ( x)=x2+ 2x+ 1.2 − xRozwiązaniaa)2x + 1f ( x)= .x2− 42Ad. (1.1) Dziedzina: x − 4 ≠ 0, x ≠ ± 2, x∈(−∞,−2)∪ ( −2,2)∪ (2, ∞).Granice na końcach przedziałów dziedziny:limx→±∞2x + 1=2x − 40↑11+2lim x→±∞ 41−2x↓x0= 1,lim−x→−2lim+x→−2xx22xx22+ 1 5=+− 4 0+ 1 5=−− 4 0= +∞,= −∞,lim−x→2lim+x→2Ad. (1.2) Asymptoty: y = 1 (pozioma); x = −2, x = 2 (pionowe).Punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych:xx22xx22+ 1 5=−− 4 0+ 1 5=+− 4 0= −∞,= +∞.2x +Ox y = 0 ⇒1 = 0⇒x2 + 1 = 02x − 4(brak rozwiązań – funkcja nie przecina osi Ox);20 + 1 1Oy x = 0 ⇒ y = = − ,20 − 4 41A = ( 0, − ) jest punktem przecięcia danej funkcji z osią Oy.4Ad. (2) Pochodna:2x(xf ′(x)=2− 4) − 2x(x2 2( x − 4)2+ 1) −10x=2( x − 4)2jest ułamkiem, którego mianownik jest dla każdego x z dziedziny dodatni, więcznakiem pochodnej jest znak jej licznika. Sporządzamy więc wykres licznika pochodnej(rys. 3.30) i z tego wykresu, po uwzględnieniu dziedziny, odczytujemy


__++144Elementy matematyki wyższejmonotoniczność i warunek konieczny oraz wystarczający istnienia ekstremum.Funkcja rośnie dla x ∈ ( −∞,−2)∪ ( −2,0), a maleje dla x ∈ ( 0,2) ∪ (2, ∞). Dla x = 01zachodzi warunek konieczny istnienia ekstremum f ( 0) = − .4y-2 2xRysunek 3.30Ad. (3) Tabelkax –∞ (–∞,–2) –2 (–2,0) 0 (0,2) 2 (2,∞) ∞f ′( x)+ + r r + 0 - r r - -f(x) 1 ∞ –∞ − 1 4 –∞ ∞ 1Asymptoty: y = 1, x = –2, x = 2Ad. (4) Wykresmax.y4321-4 -3 -2 -101 2 3 4xRysunek 3.31


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 145x + 2x+ 1b) f ( x)= .2 − x2Ad. (1.1) Dziedzina: 2 − x ≠ 0, x ≠ 2, x∈(−∞,2)∪ (2, ∞).Granica na końcach przedziałów dziedziny:limx2+ 2x+ 1=2 − x1x + 2 +lim x2−1x− ∞ + 2 + 0= = ∞ ,0 −x→−∞x→−∞1lim2x + 2x+ 1 9=2 −+x→2 − x 0= ∞ ,limx2+ 2x+ 1 9=−2 − x 0x= −∞ lim21x + 2 ++ 2x+ 1= lim x2 − x x→∞2−1x∞ + 2 + 0= = −∞ .0 −x→ 2+ x→∞1Ad. (1.2) Asymptota pionowa: x = 2. Asymptoty poziomej brak. Wyliczamy asymptotęukośną y = ax + b, gdzie a i b wyliczamy według wzorówa =a =b =limx→±∞limx→±∞f ( x)lub a =xx2xlim [21lim f ( x)⋅ b =→±∞ xx+ 2x+ 1 1⋅ =2 − x x+ 2x+ 1+ x]= lim2 − x2lim [ f ( x)− ax],x→±∞x + 2x+ 1lim =→±∞22x− xxx+ 2x+ 1+2x− x2 − x2 11++2limx x→±∞ 2−1xx→±∞x→±∞x→±∞2Asymptota ukośna: y = –x – 4.Punkty przecięcia z osiami:22x2=1+0 + 0= = −1,0 −114 +4x+ 1lim = x = −4.− x 2−1xx + 2x+ 1 2Ox y = 0, = 0, x + 2x+ 1 = 0 x = −1, A = (–1,0).2 − x0 2 + 2 ⋅ 0 + 1 1 1Oy x = 0, y = = , B = (0, ).2 − 0 2 2


146Elementy matematyki wyższejAd. (2) Pochodna:(2x+ 2)(2 − x)+ ( xf ′(x)=2(2 − x)2+ 2x+ 1) − x + 4x+ 5=2(2 − x)jest ułamkiem, którego licznik dla każdego x z dziedziny jest dodatni, więc z wykresulicznika pochodnej (rys. 3.32) odczytamy monotoniczność oraz warunki koniecznyi wystarczający istnienia ekstremum.2_++-1 2 5_Rysunek 3.322w = −x+ x + 5, x = −1,x = 5 ,4 1 2y ′ > 0 dla x ∈( −1,2)∪ (2,5),y ′ < 0 dla x ∈( −∞,−1)∪ (5, ∞),y ′ = 0 dla x = −1,x = 5, f ( −1)= 0, f (5) = −12.Ad. (3) TabelkaX −∞ (–∞,–1) −1 (–1,0) 0 (0,2) 2 (2,5) 5 (5,∞) ∞f ′( x)− − 0 + + + r r + 0 − −f(x) ∞ 0 0,5 ∞ −∞ –12 −∞Asymptoty: pionowa x = 2, ukośna y = –x –4.


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 147Ad. (4) Wykresy4321-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18Rysunek 3.33Przykład 3.p.18. Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji:22xf ( x)= .2( x − 3)Ustal liczbę rozwiązań równania f(x) = k w zależności od parametru k.


148Elementy matematyki wyższej2Ad. (1.1) Dziedzina: ( x − 3) ≠ 0, x ≠ 3, x ∈ ( −∞,3)∪ (3, ∞).Granice na krańcach przedziałów dziedziny22x2lim = lim→±∞2( x − 3) x→±∞3 2(1 − )xx= 2,22xlim−x→3( x − 3)22xlim+x→3( x − 3)Ad. (1.2) Asymptoty: pionowa x = 3, pozioma y = 2.Punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych:2218= = ∞,+018= = ∞.+022x2Ox y = 0 = 0, 2x= 0, x = 0,2( x − 3)A = (0,0),22⋅0Oy x = 0 y = = 0,B = (0,0) .2(0 − 3)Ad. (2) Pochodna:4x(x − 3) − 2( x − 3)2xf ′(x)=4( x − 3)22−12x+ 36x=4( x − 3)2jest ułamkiem, którego mianownik jest dodatni dla każdegox ∈ D f, więc z wykresulicznika pochodnej (rys. 3.34) odczytamy monotoniczność oraz warunki koniecznyi wystarczający istnienia ekstremum.w = −12x(x − 3), x = 0, x21 =3._+0 3_3∉D fRysunek 3.34Funkcja rośnie dla x ∈ (0,3), a maleje dla x ∈ ( −∞,0),(3, ∞).Dla x = 0 ∈ D i dla x = 3 ∉ D licznik pochodnej jest równy zeru f(0) = 0 .


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 149Ad. (3) Tabelkax −∞ (–∞,0) 0 (0,3) 3 (3,∞) ∞f’(x) − − 0 + r r − −f(x) 2 0 ∞ ∞ 2Asymptoty: x = 3, y = 2.Ad. (4) WykresRysunek 3.35Aby ustalić liczbę rozwiązań równania f(x) = k, zapisujemy je jako układrównań:⎧y = f ( x)⎨ ,⎩y= kktóry rozwiązujemy graficznie. Wykres pierwszego równania znamy, a wykresemdrugiego równania jest prosta równoległa do osi Ox i przecinająca oś Oy na


150Elementy matematyki wyższejwysokości k. Liczbą rozwiązań jest liczba punktów przecięcia wykresówpierwszego i drugiego równania (rys. 3.36).y = ky = 2y = 0y = ky = kOdpowiedź:0 rozwiązań dla k ∈ (−∞,0),1 rozwiązanie dla k = 0 lub k = 1,2 rozwiązania dla k ∈ ( 0,2) ∪ (2, ∞).Rysunek 3.36ZadaniaZadanie 3.z.11. Zbadać funkcję:3 +a) f ( x) = x 12x; b) f ( x) = ( 8 − x) ⋅3 x ; c) f ( x) 222x= .9 − x3.12. Wartość największa i wartość najmniejszafunkcji ciągłej1. W przedziale domkniętym. Wartością największą funkcji ciągłej w przedzialedomkniętym jest największa z wartości funkcji na lewym i prawym brzeguprzedziału, wartości maksymalnych funkcji wewnątrz tego przedziału.Wartością najmniejszą funkcji ciągłej w przedziale domkniętym jest najmniejszaz wartości funkcji na lewym i prawym brzegu przedziału, wartości minimalnychfunkcji wewnątrz tego przedziału.


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 1512. W przedziale otwartym. Wartość największą w przedziale otwartym (jeślitaka istnieje) funkcja osiąga tylko wewnątrz przedziału, czyli jest to największaz wartości maksymalnych wewnątrz tego przedziału. Gdy chociaż jedna z granicdanej funkcji na brzegach przedziału (na lewym brzegu przedziału granica prawostronna,na prawym brzegu przedziału granica lewostronna) jest liczbą większą odwyliczonej wcześniej wartości największej, wówczas mówimy, że dana funkcjaciągła nie osiąga wartości największej w tym przedziale.Podobnie w przypadku wartości najmniejszej w przedziale otwartym, ponieważmusi być ona osiągnięta wewnątrz przedziału, więc jest to najmniejsza z wartościminimalnych wewnątrz danego przedziału. Gdy chociaż jedna z granic danej funkcjina brzegach przedziału jest mniejsza od wartości najmniejszej wyliczonej wewnątrzprzedziału, wówczas mówimy, że dana funkcja ciągła w danym przedziale wartościnajmniejszej nie osiąga.Uwaga 3.u.17. Jeżeli dana funkcja ciągła w przedziale domkniętym lub otwartymma w danym przedziale tylko maksimum oraz z lewej strony maksimum funkcja tastale rośnie, a z prawej strony zawsze maleje, to wartość maksymalna tej funkcjijest jednocześnie jej wartością największą.Uwaga 3.u.18. Podobnie, gdy dana funkcja ciągła w zadanym przedziale domkniętymlub otwartym ma tylko minimum oraz gdy z lewej strony minimum funkcja tazawsze maleje, a z prawej tylko rośnie, wówczas wartość minimalna tej funkcji jestjednocześnie jej wartością najmniejsząPrzykład 3.p.19. Wyliczyć wartości największą i najmniejszą funkcji ciągłej2y = x 50 − x w przedziale − 1, 7 .Ad. (1) Dziedzina: podana w zadaniu.Ad. (2) Pochodna:y'= 1⋅50 − x2+ x2− 2x50 − x2250 − x − x=250 − x222(25 − x )=250 − xjest ułamkiem, którego mianownik jest dodatni dla każdego x z podanej dziedziny,więc z wykresu funkcji licznika pochodnej odczytamy monotoniczność i ekstremum2danej funkcji w zadanym przedziale w = 2(25 − x ) .Ad. (3) Dla x = 5 funkcja osiąga maksimum równe y = 5 50 − 25 25 ; z lewejmax =strony maksimum funkcja stale rośnie, a z prawej strony zawsze maleje, więc 25jest wartością największą danej funkcji w danym przedziale.


152Elementy matematyki wyższejWyliczamy teraz wartość najmniejszą. Funkcja w zadanym przedziale niema minimum, więc jej wartość najmniejsza jest najmniejszą z liczb, jakie osiągafunkcja na brzegach podanej dziedziny:y ( −1)= −150 −1= − 7, y(7)= 7 50 − 49 = 7,liczbą tą jest więc –7.Odpowiedź: Zadana funkcja w danym przedziale osiąga wartość największą równą25 oraz wartość najmniejszą równą –7.Przykład 3.p.20. Znaleźć wymiary zbiornika w kształcie prostopadłościanu, któregodługość jest cztery razy większa od szerokości, tak aby koszt jego budowy byłnajmniejszy, jeśli jego dno jest droższe od ścian bocznych o 20% (zakładamy, żezbiornik nie jest przykryty), a objętość jest równa 480 m 3 .Schemat rozwiązania:(1) Wyliczamy funkcję jednej zmiennej, która określi koszt budowy.(2) Wyznaczamy przedział zmienności zmiennej występującej w (1).(3) Wyliczamy wartość najmniejszą wyliczonej funkcji w wyznaczonym przedziale.Ad. (1) Z tekstu zadania wynika, że koszt budowyK = (4a⋅ a ⋅1,20+ 2⋅4a⋅ h + 2⋅a ⋅ h)⋅ k = (4,8a10ah)k ,gdzie a – szerokość, h – wysokość, k – koszt budowy 1 m 2 ściany bocznej.Objętość V = 4a⋅ a ⋅ h = 4a 2 h,a z tekstu zadania wynika, że V = 480 m 2 ,2 480 120więc 4a h = 480 ⇒ h = = , czyli po podstawieniu do funkcji określającej2 24aakoszt budowy otrzymamy:1200K = (4,8a 2 + ) k .aAd. (2) Wyliczamy teraz przedział zmienności a. Zmienna a jako szerokość musibyć dodatnia i spełniać warunek z zadania V = 480, czyli a ∈ ( 0, ∞).Ad. (3) Obliczamy najmniejszą wartość funkcjiK =4,8a2 +1200aw przedziale a ∈( 0, ∞).2 +


Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 153Wyliczona funkcja w wyznaczonym przedziale jest ciągła, więc stosujemyodpowiedni schemat:(3.1) Dziedzina: a ∈( 0, ∞).(3.2) Pochodna:31200 9,6a−1200K′ = 9,6a− =,22a adla a z dziedziny mianownik pochodnej jest dodatni, więc z wykresu licznikapochodnej odczytamy jej miejsca zerowe i znak.33w = 9,6a−1200= 9,6( a − 5 ) = 9,6( a − 5)( a + 5a+ 25) .Z zapisanej w tej postaci funkcji licznika wynika, że dla( 0,5)a ∈ w 〈 0 , dla a = 5 = 03w , a dla ∈( , ∞) w 02a 5 〉 .(3.3) Oznacza to, że funkcja kosztów osiąga minimum dla a = 5, z lewej stronyminimum w swej dziedzinie funkcja ta stale maleje, a z prawej stale rośnie, więcdla a = 5 m funkcja kosztów osiąga wartość najmniejszą.Odpowiedź: Prostopadłościan, którego koszt budowy będzie najmniejszy, ma wymiary:a = 5 m, 4a = 20 m, h = 4,8 m.


154Elementy matematyki wyższej


4. Całki4.1. Całka nieoznaczona4.1.1. Określenie i podstawowe własności całki nieoznaczonejDefinicja 4.d.1 Funkcją pierwotną funkcji ciągłej f ( x)nazywamy taką funkcję y = F( x), dla której zachodzi równość:( x) f ( x)F ′ = , a ≤ x ≤ b .Twierdzenie 4.t.1. O funkcjach pierwotnychxy = w przedziale a, b1. Jeśli F( ) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji ciągłej f ( x)w przedzialea ,b , to G ( x)= F(x)+ C jest również funkcją pierwotną funkcji f ( x)w przedziale2. Jeśli ( x)a , bF i ( x), gdzie C jest dowolną stałą (C = const).G są funkcjami pierwotnymi funkcji ciągłej f(x) w przedzialea ,b , to F ( x)− G(x)= C , w przedziale a, b , gdzie C jest pewną stałą.Uwaga 4.u.1. Jeżeli F(x) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji ciągłej f(x)w przedziale a , b , to F(x) + C przebiega zbiór wszystkich funkcji pierwotnychfunkcji ciągłej f(x) w przedzialeliczb rzeczywistych.a, b , gdzie C przybiera wszystkie wartości ze zbioruDefinicja 4.d.2. Całka nieoznaczona. Niech będzie dana funkcja f(x), ciągła w przedzialea, b . Całką nieoznaczoną tej funkcji nazywamy zbiór jej wszystkich funkcjipierwotnych i zapisujemy ją:Całki funkcji elementarnych( x) dx F( x)∫ f = + C .αα + 1∫ 1 dx = x + C , ∫ x dx =α 1x + C,α ≠ −1+1,


156Elementy matematyki wyższejxxax x∫ a dx = + C ,ln a∫ e = e + C ,∫ sin( x ) dx = −cos(x)+ C , ∫ cos( x ) = sin( x)+ C ,∫ dx = − x )2ctg ( + C ,sin x∫ dx = x )2tg ( + C ,cos x∫ dx = arc sin( x ) + C ,2∫ dx = x )2arc tg( + C ,1+x1−xf ′( x)∫ dx = ln f ( x) + C ,f ( x)∫ dx x ) +xWłasności całek= ln( C C = const .∫a ⋅f( x ) dx = a ⋅ ∫f( x ) dx ,∫ ( x)g(x)) dx = ∫ f ( x)dx ± ∫Jeśli f x)dx F( x)f ( ± g(x)dx .∫ ( = + C , to ( )1∫ f ax + b dx =aF(ax + b)+ C.4.1.2. Podstawowe metody całkowania1) całkowanie wprost,2) całkowanie przez podstawienie,3) całkowanie przez części,4) całkowanie przez zastosowanie wzorów rekurencyjnych.Całkowanie wprostPolega ono na przekształceniach wyrażenia podcałkowego z zastosowaniemogólnie znanych praw i własności całek oraz tabeli całek funkcji elementarnych.Przykład 4.p.1. Obliczyć całki:2x − 3x+ 6xa) ∫ dx ; b) ∫ ( x + cos x − e − 4sin x)dx ;x2c) ∫ xdx∫ − dx .tg ; d) ( x x)2


Całki 157Rozwiązaniax2− 3x+ 6 x − 3x+ 62−1−1−2a) ∫ dx = ∫ dx = ∫ ( x2− 3x2+ 6x) dx =xx232x1212= − + ∫−∫ x dx 3 ∫ x dx 6 x2 dx =52322 2= x − 3 x + 6⋅2x2+ C =5 32 = x 2 x − 2 x x + 12 x + C .5b) ∫ ( x + cos x − e − 4sin x)dx = ∫ xdx + ∫ cos xdx − ∫ e dx − 4∫ sin xdx =1111x1221 x 2 sin x ex= + − + cos x + C .22xdx sin x 1−cos x ⎛ 1 ⎞ 122⎜2⎟cos x cos x ⎝ cos x ⎠ cos2 xc) ∫ tg = ∫ dx = ∫ dx = ∫ −1dx = ∫ dx − ∫ dx =d) ( x − x)= tg x − x + C.22∫ dx = ∫ ( x − 2xx + x ) dx = ∫ xdx − 2 x xdx + ∫32122∫ x dx =1 21 3 1 2 2 1 3= x − 2∫ x dx + x = x − 2 x + x + C =23 2 5 311 4 2+2 1 3 1 3 4 2 1 3= x − x2+ x + C = x − x x + x + C.2 5 3 2 5 3Całkowanie przez podstawieniePodstawą tej metody jest zależność:gdzie: t = w( x), dt = w′( x) dx,a ( x)∫ =g ( w(x))⋅ w′( x)dx ∫ g52( t) dt,w jest różniczkowalna.


158Elementy matematyki wyższejPrzykład 4.p.2. Wyliczyć całki:∫a) xe x dx2ln x; b) ∫ dxx; c) ∫ sin 5 x cos x dx ;12x− 4d) ∫ dx ; e)2tg( x + 4) cos ( x + 4)∫ dxx − 4x+ 9Rozwiązania2.2 dt2x x = t xdx=2t txa) ∫xedx= 2 = ∫1 e dt=1 e + C =1 e + C;2 2 22xdx=dtln x1=1 1= 1 ln x t.=2 Cxx dx dt 2 2x2b) ∫ dx ∫ ( ln x)⋅ dx = = ∫ t dt = t + C = ln x +5sin x = t5 1 6 1 6= C;cos x dx = dt 6 6c) ∫ sin x cos x dx= ∫ t dt = t + C = sin t +tg( x + 4) = p1d) ∫ dx = 1=2tg( x + 4)cos ( x + 4)dx = dp2cos ( x + 4)1= ∫ dp = ln p + C = ln tg ( x + 4) + C;p2x− 42e) ∫ dx = ln( x − 4x+ 9) +x − 4x+ 92C.Uwaga 4.u.2. W przykładzie (d) skorzystano z ostatniej (z wymienionych) własnościcałki nieoznaczonej, a w przykładzie (e) wykorzystano ostatni wzór całki z funkcjielementarnych.Całkowanie przez częściCałkowanie przez części stosujemy, gdy funkcja podcałkowa jest iloczynemdwóch funkcji, takich że z jedna z nich jest pochodną pewnej znanej funkcji. Wzórna całkowanie przez części jest prostą konsekwencją definicji funkcji pierwotneji wzoru na pochodną iloczynu dwóch funkcji:∫ ( x) ⋅ g′( x) dx = f ( x) ⋅ g( x) − ∫ f ′( x) ⋅ g( x)f dx .


Całki 159Można również przedstawić tę samą zależność w postaci skróconej:∫ udv = uv − ∫ vdu .Przykład 4.p.3. Wyliczyć całkia) ∫ x ⋅ cos xdx ; b) ∫ ( x2 − 3x− 2) ⋅ ln x dx ;xc) ∫ ( x2 − x + 1) ⋅ e dx ; d) ∫ x ⋅sin 3x dx ; e) ∫ ln xdx .Rozwiązania( ) ( )f x = x g′x = cos xa) ∫ x ⋅ cos xdx == x ⋅sinx −( ) ( ) ∫ sin xdx = xsinx + cos x + C ;f ′ x = 1 g x = sin x2f ( x) = ln x g′( x)= ( x − 3x− 2)2b) ∫ ( x − 3x− 2) ⋅ ln x dx = 11 3 3 2=f ′( x) = dx g( x)= x − x − 2xx3 21 3 3 21 3 3 2 1 1 3 3 2= ( x − x − 2x)lnx −∫ ( x − x − 2x)dx = ( x − x − 2x)ln x −3 23 2 x 3 21 2 31 3 3 2 1 3 3 2−∫x dx +∫x dx + 2∫ dx = ( x − x − 2x)lnx − x + x + 2x+ C .3 23 29 4c)∫( x2− x + 1) ⋅exdx =f2( x) = x − x + 1 g′( x)f ′( x) = (2x−1)g( x)= e= exx=x= x − x + 1) e − ∫ (2x−1)e dx =x( 2 xu = 2x−1du = 2dxx x= x − x + 1) e −− [xx(2x−1)e − 2∫ e dx]=dv = e dx v = e( 2 .d)= ( x2− x + 1) ex− (2x−1)ex+ 2e( x) = x g′( x)( x) = 1 g( x)x+ C = ( x2− 3x+ 4) ex+ Cf= sin3x1 1∫ x ⋅sin3x dx =1 = − x⋅cos3x+ ∫ cos3xdx =f ′= − cos3x3 331 1= − x cos3x+ sin 3x+ C.3 9


160Elementy matematyki wyższeje) Wydaje się, że wyliczając tę całkę, nie możemy zastosować metody całkowaniaprzez części, gdyż funkcja podcałkowa nie jest iloczynem dwóch funkcji. Jednakkażdą funkcję można (nie zmieniając jej) pomnożyć przez jeden, a funkcja y = 1jest całkowalna. Mamy zatem( x) = ln x g′( x)f= 11∫ln xdx = 1 = xlnx −( ) ( ) ∫⋅ xdx = xlnx −∫dx =f ′ x = g x = x xx= x ln x − x + C .Całkowanie z zastosowaniem wzorów rekurencyjnychWzorem rekurencyjnym nazywamy wzór określający n-ty wyraz ciągu (tu:ciągu całek) w taki sposób, że określony jest początkowy wyraz ciągu (lub skończonaliczba wyrazów początkowych), a każdy wyraz ciągu jest określony za pomocąwyrazów poprzednich. Zatem sposób określenia n-tego wyrazu ciągu: a = n 2 n + 1 niejest rekurencyjny, natomiast sposób: a1 = 2,an = an−1+ 2n−1,n ≥ 2 jest rekurencyjny.Istnieje dużo wzorów rekurencyjnych dla całek. Oto jeden z nich:dx(1 + x )x(2n− 2)(1 + x )2n− 32n− 2dx(1 + x )∫ =+2 n2 n−1∫ 2 n−Przykład 4.p.4. Wyliczyć całki:dxa) ∫( 1+x2 ) 3Rozwiązaniax + 3; b) ∫ 2( x + 4x+ 13)2dx .1.dx x 3 dx x2 3( 1+x )2 24(1 + x ) 42 2(1 + x )24(1 + x )a) ∫ = + ∫ = +3 ⎡ x 1 dx+ ⎢ +4 ⎣2(1+ x ) 2∫1+x⎤ x⎥ =⎦ 4(1 + x)3x+8(1 + x23+ arc tg x +) 8C2 22 22Przy obliczaniu powyższej całki zastosowano dwukrotnie wzór rekurencyjny..


Całki 161x + 3b) ∫ 2( x + 4x+ 13)2dx =(przedstawiamy trójmian kwadratowy z mianownika w postaci kanonicznejx 2 + 4x + 13 = (x + 2) 2 + 9x + 3 x + 2 = 3t3t+ 1= dt[( x + 2) + 9] dx = 3dt(9t+ 9)∫ dx = = ∫ 3 =2 22 29tdt9 (1 + t )3dt9 (1 + t )tdt(1 + t )127dt(1 + t )∫ + ∫ = ∫ + ∫ =2 2 2 2 2 22 22= 2wyliczymy teraz oddzielnie∫1⋅2tdt2tdt 2 1+t = p 1 dp=2 2( 1+t ) (1 + t ) 2tdt= dp 2 p19∫ = = ∫ =2 221 −21−111= ( 1).22∫ p dp = ⋅ − ⋅ p + C = − + C = − + C22 p 2(1 + t )dt(1 + t )t12dt1+tt2(1 + t )∫ = + ∫ = + arc tgt+2 22222(1 + t )(obliczając pierwszą całkę, zastosowano podstawienie, a do obliczania drugiejzastosowano wzór rekurencyjny).1 1 1 ⎡ t 1 ⎤ − 3 + t 1= − ⋅ + ⎢ + arctgt⎥+ C = + arctgt+ C =2229 2(1 + t ) 27 ⎣2(1+ t ) 2 ⎦ 54(1 + t ) 54(podstawimy teraz za12t = x + 2 i otrzymamy po wyliczeniu)3C2⎡ x + 4x+ 4⎤254⎢1+ ⎥ = 6( x + 4x+ 13)⎣ 9 ⎦orazx + 2− 3 + =3x − 73x − 7 1 x + 2= + arc tg + C.218( x + 4x+ 13) 54 3


162Elementy matematyki wyższejUwaga 4.u.3. Nie da się obliczyć całek:sin x2∫ dx, e x dx,x∫ −∫sin( x 2 ) dx,dx,2x∫e xcos xdx∫ dx,,x∫log xponieważ nie istnieją funkcje elementarne, których pochodne są równe powyższymfunkcjom podcałkowym.4.1.3. Całkowanie funkcji wymiernych. Rozkład na ułamkiprosteWyrażenia postaciA,x aA− ( ) kx − aorazAx + B,2x + px + qAx + B( ) ,x2 + px + qk∆ < 0nazywamy ułamkami prostymi.Rozkładem na ułamki proste nazywamy przedstawienie funkcji wymiernejwłaściwej (funkcja ułamkowa, której licznikiem i mianownikiem są wielomiany –stopień wielomianu licznika jest mniejszy od stopnia wielomianu mianownika) zapomocą sumy ułamków prostych. Poniżej przedstawiono sposoby rozpisywania naułamki proste:25x− 2x+ 32( x −1)( x + 2)3A=( x −1)2B C+ +x −1( x + 2)3D+( x + 2)2E+ ,x + 233x− 9 A Bx + C= + ,22( x + 1)( x + 1) x + 1 x + 1x2 22( x − 3) ( x + 2x+ 2)4A=( x − 3)2B+ +x − 3 ( x2Cx + D+ 2x+ 2)2Ex + F+ .2x + 2x+ 2


Całki 163Przykład 4.p.5. Obliczyć całkę∫2x2+ 2x+ 13( ) ( ) dx2 2x − 2 ⋅ x + 1.Rozkładamy najpierw funkcję podcałkową na ułamki proste:22x+ 2x+ 132( x − 2)( x + 1)2A Bx + C Dx + E= + + .22 2x − 2 x + 1 ( x + 1)Aby wyliczyć A, B, C, D, E, najpierw przyrównujemy lewą i prawą stronęrównania (właściwie – tożsamości), następnie prawą stronę równania sprowadzamydo wspólnego mianownika22x+ 2x+ 132( x − 2)( x + 1)2A⋅(x=2+ 1)2+2( Bx + C) ⋅( x − 2) ⋅ ( x + 1) + ( Dx + E) ⋅( x − 2)( x − 2)( x2+ 1)Mianowniki z lewej i prawej strony równości są sobie równe, więc przyrównujemyliczniki; otrzymamy2222x + 2x+ 13 = A(x + 1) + ( Bx + C)(x − 2)( x + 1) + ( Dx + E)(x − 2) .Z prawej strony równania wykonujemy działanie i grupujemy wyrażenia z tymisamymi potęgami zmiennej x, a następnie przyrównujemy współczynniki przy tychsamych potęgach zmiennej x (wielomiany są identyczne – jeśli po prawej stronienie ma pewnej potęgi zmiennej x, a po prawej jest – przyjmujemy, że po lewejstronie występuje ona ze współczynnikiem 0):2422x + 2x+ 13 = A(x + 2x+ 1) + ( Bx + C)(x − 2x+ x − 2) + ( Dx + E)(x − 2) ,2432( A + B) ⋅ x + ( − 2B+ C) ⋅ x + ( A + B − 2D+ E) ⋅ +2x+ 2x+ 13 =x( − 2B + C − 2D+ E) ⋅ x + ( A − 2C− 2E)+ .3222.Współczynniki przywspółczynniki przy4x A + B = 0,3x –2B + C = 0,współczynniki przy2x A + B – 2C + D = 2,współczynniki przy x –2B + C –2D + E = 2,wyrazy wolne A – 2C – 2E = 13.


164Elementy matematyki wyższejPo rozwiązaniu zapisanego układu równań otrzymujemy: A = 1, B = –1, C = –2,D = –3, E = –4, więc22x+ 2x+ 132( x − 2)( x + 1)21 − x − 2= +2x − 2 ( x + 1)2− 3x− 4+ ,2x + 1czyli całkę możemy zapisać w postaci22x+ 2x+ 13 dx x + 2 3x+ 4∫ dx =dx dxx x∫ −x∫ −( − 2)( + 1) − 2∫ ,2 222x + 1dx∫ = ln x − 2 + C ,x − 2∫12x + 2dx =12⋅∫2xdx + 2 ⋅2( x + 1)2 22 22( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)⋅2xx2+ 1 = t1∫12dx ,∫ ∫+−2dx = = ⋅ t dt = − = −2 22( x + 1) 2xdx= dt 2 2t2 ⋅ ( x + 1)12 dx = (wzór rekurencyjny)∫⋅∫2( x + 1)2x + 4 3dx = ⋅x + 1 2∫2xdx + 42x + 1∫11C ,⎡ x 1 ⎤= 2 ⋅ ⎢ + ⋅ arc tg x⎥+ C ,2⎣2⋅ ( x + 1)2 ⎦1 3dx = ⋅ ln2x + 1 2( x + 1) + 4 ⋅ arctg x + C3 2.2Po dodaniu wszystkich składowych całki i po redukcji wyrazów podobnych mamy:22( x + 1)2x+ 2x+ 1331−2x∫dx = ln x − 2 − ⋅ln− 5⋅arctgx +2 2( x − 2)( x + 1)22⋅12( x + )+ C .4.1.4. Całkowanie funkcji niewymiernych. Podstawienia EuleraPrzykład 4.p.6t = x + 1x + 1 + 22 t + 2 t + 2∫ dx = t = x + 1 = ∫ 2tdt= 2∫dt =243( x + 1)− x + 1t − t t −12tdt= dx


Całki 165t + 21 t + 1= 2 ⋅ ∫ dt = 2 2.22( 1)( 1)∫ dt −− + + + 1∫ dtt t t t t + t + 1Autorzy szczerze wierzą, że uważny Czytelnik potrafi dokończyć wyliczenietej całki.Podstawienia Eulera stosuje się do całkowania funkcji ⎜ ⎛ 2R x, ax + bx ⎟⎞⎝+ c . ⎠I podstawienie EuleraPrzykład 4.p.7.2ax + bx + c = t ±a x , a > 0.∫xdx2+ a2=x2x2+ a2+ a= t222= t − x− 2tx+ x22tx= t − a2 2t − ax =2t2 2t + adx = dt22t2=22t + adt2t =2 2t + a2tdt= ln t + C = ln x +t2 2 2=∫ ∫x+ a+ C.II podstawienie Eulera2ax + bx + c = xt ±c , c > 0.Przykład 4.p.8.∫2x2− x + 1 = tx −1x − x + 1 = t xdxx −1= t x − 2t= 2= −22+ − + t x − x = t − ∫x x x 12 12t−1x =dx = −22222t −12t −t+ 12 2( t −1)− 2tx+ 1dt2t −t+ 12 2( t −1)tt −1dt =


166Elementy matematyki wyższej=∫2− 2t+ 2t− 2 3dt = + 2ln t −2t(t −1)(t + 1) t + 12212ln t −1− 3 ln t + 1 + C =2x23x+− x + 1 + x + 1x − x + 1 + 1 1 x − x + 1 + 1−x 3 x − x + 1 + 1+x+2 ln − ln− ln+ Cx 2 x 2 x2III podstawienie EuleraJeśli trójmian kwadratowy ma pierwiastki, np. niech jednym z nich jest λ, toPrzykład 4.p.9.∫adx24at− x2=a2a− x− xa + x = ta + x = tx = adx = a= tax( a − x)(a + x)= t22222= t(a − x)222( a − x)( a − x)2t x + x = t22t −12t + 14t2 2( t + 1)a − a+ bx + c = t(x − λ).( a − x)2a − t xdt22a2= a −− x2= t(a − a2 2t + 1−t+ 12t + 1= a −2t −12t + 12at2t + 12 2( t + 1) dta + xdt = 2 ⋅ = 2 ⋅arctgt+ C = 2 ⋅ arctg + C.= ∫ 2at∫t2t + 12+ 1a − x) ==4.1.5. Całkowanie funkcji zawierających wyrażeniatrygonometryczneFunkcje postaci R(sin x,cos x)Przykład 4.p.10. Zaczniemy od wprowadzenia tzw. „podstawienia uniwersalnego”:tg 1 x = t2,2tsin x =1+t21−t, cos x22= ,1+t


Całki 1672dtx = 2arctgt, dx = .21+tObliczymy całkę( t)dx x = sin t cos dt cost∫= == dt dt t C sin( x) C.21 dx cost2x1 sin t cos t = = + = +− = ∫ ∫ ∫arc−Zadanie 4.z.1. Wylicz następujące całki nieoznaczone( x − 2x)a)∫xx( x − x )e)∫x2− +i) ∫ xe x 23 dx2dxdx2; b) ∫ x ln x dx; f) ∫ x 4x dx2; j) ( ); c) ∫ x 2x dxcos ; g) ( x ln x)∫ − cos dx ;sin ; d) ( x 3x)∫ + dx∫ 3 − xdx ; k) ∫ ( x + 2)sin 3x dx ;x 52l) (2x 5)cos( x + 5x7)2 ; h) ∫ ( x 3)−x2 + e dx ;2x + 3x−1∫ + + dx ; m) ∫ ( 2x −1)ln x dx ; n) ∫ ( 2x+ 3) e dx ;( x −1)( x + x)o)∫xdxp) ∫ (2x+ 5) e 2 dx;x2x + 2x+ 4r) ∫ dx ; s) dx2x + 1∫ x − 3x +;212∫ ⋅ ln ; u) ( x 1)t) x xdx∫ ln − dx ; w)3x−1∫+( x − 3) ⋅ ( x 5) dx; y) ∫ 4x+ 19dxx + 5x+ 42.Odpowiedzi8a) 2 x − 4x+ x x + C ; b) 1 ⎛ 1x 3 ⎞⎜lnx − ⎟ + C ;33 ⎝ 3 ⎠1 12 1c) − x cos 2x+ sin 2x+ C ; d) x x − sin 3x+ C ;2 43 3e) 2 2x x − x2 21 1+ x x + C ; f) x sin 4x+ cos4x+ C ;534 163−g) x x + 2xln x − 2x+ C ; h) x ex 1− ( 2 + 5) + C ; i) e x 2− + 3− + C ;223 − x122 6( )j) − + C( x + 2)cos3x1; k) − + sin3x+ C3 9; l) ( x + 5x+ 7) + Csin 2 ;


168Elementy matematyki wyższej2 122x + 3x−12m) ( x − x) ln x − x + x + C ; n) e + C ; o) x x − 2 x + C ;232x+ 5 2x1 2xp) e − e + C;r) x + ln( x ) 2 + 1 + 3⋅arctg x + C ; s) x − 4 ⋅ arctg xC ;2 22 ⎛ 2 ⎞t) ⋅ x ⋅ x ⋅⎜lnx − ⎟ + C ; u) x ⋅ ln( x −1) − x − ln( x −1) + C;3 ⎝ 3 ⎠w) ln x − 3 + 2 ⋅lnx + 5 + C ; y) 5 ⋅lnx + 1 − ln x + 4 + C .4.2. Całka oznaczonaDefinicja 4.d.3. Niech będzie dana funkcja y = f ( x), ciągła w przedziale domkniętyma, b , i jej funkcja pierwotna y = F( x). Całką oznaczoną funkcji f ( x)w przedzialea, b nazywamy różnicę ( b) F( a)b∫aF − i oznaczamy ją: ( x)f dx .Liczbę a nazywamy dolną granicą całkowania, a liczbę b – górną granicącałkowania. Można zatem zapisać:b∫ a.ab(4.1) f ( x)dx = [ F( x)] = F(b)− F(a)Własności całek oznaczonychbb∫aa ≤ x ≤ b ,α ⋅ f ( x)dx = α ⋅ f ( x)dx ,( x)± g(x)) dx = ∫ f ( x)dx ∫b∫ f ( ± g(x)dx ,aba∫ f x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫a < c < b ⇒ ( f ( x)dx .acab∫ababc


Całki 16932Przykład 4.p.11. Wyliczyć całkę oznaczoną ( − 4x+ 7)Rozwiązanie3I sposób:2( 3 − 4x+ 7) dx =⎡ 1 3 1 2 ⎤∫ x ⎢3⋅x − 4⋅x + 7x⎥=−2⎣ 3 2 ⎦ −23 2321⋅ 3 − 2 ⋅ 3 + 7 ⋅ 3 − ( 1⋅− 2 − 2 ⋅ − 2 + 7 ⋅ − 2 )=∫−2= ( ) ( ) ( ) ( )= ( 27 − 18 + 21) − ( − 8 − 8 −14) = 30 − ( − 30) = 60.3∫−23x dx .II sposób (korzystamy z własności całek oznaczonych):2( 3 − 4x+ 7) dx =3∫x 3⋅x dx − 4 ⋅ x dx + 7 ⋅ 1⋅dx=3−23−2−223∫−2⎡13⎤⎡12⎤⎡ 1 ⎤= 3⋅⎢ x 4 + 7 ⋅3 ⎥ − ⋅ ⎢ x2 ⎥ ⎢ x1 ⎥ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦3−23 3 1 2 33[ x ] − 4⋅⋅[ x ] + 7 ⋅1⋅[ ] =1= 3⋅⋅−2−2x−322( 3 ( ) ) ( ( ) ) 3 3 2 2− − 2 − 2⋅3 − − 2 + 7 ⋅( 3 − ( − )) = ( 27 + 8 ) − 2⋅( 9 − 4 ) + 7 ⋅ ( 3 + 2 ) == 2= 35 −10+ 35 = 60 .Odpowiedź: Powyższa całka oznaczona jest równa 60.Autorzy uważają, że drugi sposób jest zdecydowanie korzystniejszy z obliczeniowegopunktu widzenia.Zadanie 4.z.2. Wyliczyć całki oznaczone:e1a) ∫x −21dxOdpowiedzi22; b) ( − ) ⋅ ( x − 2)∫−28a) ln( e −1); b) ; c) 0. 333∫−2x 1 dx ; c) ∫ 2 cos 2xdx .0π


170Elementy matematyki wyższej4.3. Całka RiemannaNiech będzie dana funkcja f ( x)y = określona w przedziale a, b . Określimypodział Π odcinkaa, b na k części, : a = x < x < x < ... < xk = bΠ 0 1 2.Długość największego odcinka tego podziału nazwiemy jego średnicą δ ( Π)δ( Π) = max ( x − x ).i=1,..., kii−1W każdym z przedziałówx , xi nazywamy go punktem pośrednim.Definicja 4.d.4. Sumą Riemanna funkcji f ( x)i− 1 i wybieramy jeden punktic ( x, zatemi−1 ≤ ci≤ xi)y = w przedziale a , b dla podziałuΠ , przy ustalonym wyborze punktów pośrednich c i , nazywamy liczbęk( ) = f ( c ) ⋅( x − x )R Π ∑ i i i−1.i=1Jeśli oznaczymy różnicę x i − x i− 1 przez ∆ xi, to średnicę podziału Πδ Π = max ∆x , a suma Riemanna przybierze postaćmożemy zdefiniować: ( ) ii= 1,...,kRk( Π) = ∑ f ( c i) ⋅ ∆xii=1.Yf(c n)f(c..) 3f(c 4)f(c 2)f(c 1)0a=x c x c x c x c x x c x = b X0 1 1 2 2 3 3 4 4 n-1 n nRysunek 4.1


Całki 171Oczywiście, w przedzialea, b możemy określić dowolną liczbę podziałów,mających na przykład coraz większą liczbę punktów i różne średnice. Zatemmożemy określić nieskończony ciąg podziałów (tego samego odcinka a , b ).( n)Definicja 4.d.5. Nieskończony ciąg podziałów ( Π )n∈Nprzedziału a , b nazywamynormalnym, jeśli lim δ Π =( n).n→∞( ) 0( n)Z definicji ciągu normalnego podziałów wynika, że liczba k odcinków,na które podzielony jest przedział a, b , rośnie (niekoniecznie monotonicznie) donieskończoności, co więcej, długości wszystkich tych odcinków zmniejszają się„mniej więcej” równomiernie.Za pomocą powyższych pojęć zdefiniujemy całkę Riemanna.Definicja 4.d.6. Niech będzie dana funkcja f ( x)y = określona w przedziale a , b .( n)Jeżeli dla każdego ciągu podziałów normalnych ( Π )n∈Nprzy dowolnie obranych( nk)( n)( n)( n)punktach pośrednich c istnieje granica właściwa lim f ( c ) ⋅ ∆x, to granicęitę nazywamy całką Riemanna funkcji ( x)∫ f ( x)dxx∈a,bn→∞∑i=1if w przedziale a, b i oznaczamy(jest to oznaczenie tymczasowe, poniżej opisano, dlaczego).Możemy zatem zapisać:∫f( nk)( )( n)( x) dx f cn→∞x∈ a,bi=1( n)= lim ∑ i ⋅ ∆xi,o ile granica po lewej stronie znaku równości istnieje.Pozostaje wskazać związek między opisaną wcześniej całką oznaczonąfunkcji ciągłej a całką Riemanna. Związek ten opisuje następujące twierdzenie:Twierdzenie 4.t.2 (Newtona-Leibniza). Jeżeli funkcja f ( x)a ,b, to jej całka Riemanna istnieje i jest równa całce oznaczonej:∫fx∈a,bb( x) dx = ∫ f ( x)ay = jest ciągła w przedzialedx .Z powyższego twierdzenia wynika, że dla funkcji ciągłej całka oznaczona i całkaRiemanna są identyczne. Zapis całki oznaczonej jest wygodniejszy, będziemyi


172Elementy matematyki wyższejb∫awięc stosować symbol ( x)f dx do zapisywania całki Riemanna dowolnej funkcji,dla której ta całka istnieje (przy czym dla funkcji ciągłej będzie to oczywiścieF b − F a ).( ) ( )Istnieją funkcje, dla których nie istnieje całka oznaczona, a istnieje całkaRiemanna. Są to na przykład funkcje, które mają punkty nieciągłości. Zarównocałka oznaczona, jak i całka Riemanna istnieją tylko dla funkcji ograniczonych.Istnieje bardzo wiele zastosowań całek Riemanna w naukach stosowanych, zwłaszczaw ekonomii i naukach technicznych, gdzie są wręcz niezbędnym narzędziemopisu rzeczywistości.Aby zastosować całkę Riemanna (czyli całkę oznaczoną), należy we wzorzeb∫af( nk)( )( n)( x) dx lim f c= ∑n→∞ i=1i⋅ ∆x( n)( n)odpowiednio zinterpretować istotę wyrażenia: f ( c i) ⋅ ∆xi. Jest to wartość funkcjina „niewielkim” przedziale (niewielkim w stosunku do całego przedziału sumowania)pomnożona przez długość tego przedziału. Na rysunku 4.1 jest to poleprostokąta o „niewielkiej” szerokości. Suma tych pól przybliża pole obszaru międzywykresem funkcji a osią Ox. Ale interpretacja całki oznaczonej wynikająca z całkiRiemanna pozwala obliczać wielkości, które są efektem procesu sumowaniawystarczająco małych elementów. Jeśli zimą dozorca odśnieża za pomocą łopatyalejkę parkową długości 100 metrów, odkładając odgarnięty śnieg na brzeg alejki,a równoległą alejkę odśnieża inny dozorca za pomocą pługa doczepionego do minitraktorka,to ten pierwszy działa za pomocą sumy Riemanna, a ten drugi – całkujew sensie Riemanna. Czytelnik sam zdecyduje, co by wolał robić.Przykład 4.p.12. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi: y = 2x2 + x −15oraz y = −x− 5x+ 9 .2RozwiązanieCałka oznaczona jest równa polu obszaru między krzywą wyrażoną funkcjąpodcałkową, osią Ox oraz prostymi pionowymi przechodzącymi przez graniceprzedziału całkowania. Zatem pole obszaru ograniczonego krzywymi jest równecałce oznaczonej różnicy równań krzywych („wyższa” minus „niższa”), a granicamicałkowania są punkty przecięcia krzywych.22x + x −15= −x− 5x+ 9 ,2( n)i


Całki 1733x 2 + 6x − 24 = 0 ,x 1 = −4,x2= 2.22222P = ∫ [ − x − 5x+ 9 − ( 2x+ x + 9)] dx = ∫ ( − x − 6x+ 24)−4−43 dx =222= − ⋅ ∫ − ⋅ ∫ + ⋅ ∫322⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤3 dx 6 xdx 24 dx = − 3⋅⎢ ⎥ − 6 ⋅ ⎢ ⎥ + 24 ⋅ x−4−4−4⎣ 3 ⎦ ⎣ 2 ⎦x [ ] =3 2( 2 − ( − 4)) − 3⋅2 − ( − 4)( ) 3 2+ 24 ⋅ ( 2 − ( − )) =[ ] 272 + 36 + 144 = 108 j= −42−42−42−4− .Odpowiedź: Pole obszaru ograniczonego wykresami powyższych funkcji jestrówne 108 [j 2 ].Przykład 4.p.13. Zysk z pracy urządzenia liczony w tysiącach euro w skali roku41wyraża się wzorem , a koszt eksploatacji wzorem2t2 , gdzie t – czas1+ t2525eksploatacji urządzenia liczony w latach. Jaki jest okres efektywnej eksploatacjiurządzenia? Jaki zysk całkowity wypracuje urządzenie w całym okresie eksploatacji?Urządzenie przestanie „zarabiać na siebie”, gdy zysk zrówna się z kosztemeksploatacji (t > 0)41+tt42=12525⋅t+ t −10100= 0,t =10.2,Aby obliczyć zysk całkowity, liczymy całkę:10∫03⎛ 4 1 2 ⎞1 ⎡t⎤⎜ − t ⎟dt= 4⋅20 ⎢ ⎥⎝1+t 2525 ⎠2525 ⎣ 3 ⎦≈ 5 ,8845 − 0,132 = 5,7525.1010[ arctgt] − ⋅ ≈Odpowiedź: Zysk całkowity z okresu eksploatacji jest równy 5,7525 tys. euro.0


174Elementy matematyki wyższejZadanie 4.z.3. Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji:2a) y = x + 3x+ 1, y = x + 4 ; b) y = x − x − 2, y = x + 1;22c) y = x + x + 3, y = −x− 3x+ 9 ; d) y = −x+ 3x− 2 , y = −x+ 1;22e) y = −x+ x + 6 , y = x + x − 2 ; f) y = x + 5x− 2 , y = x − 2 ;2222g) y = −x− 2x+ 1, y = x − 2x−1; h) y = 4x+ x + 1, y = x + x + 4 ;i) y = x + 3, y = x − 2x+ 3 .Odpowiedzi232 32 64 4 32 32 8 9a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) 4; i) .3 3 3 3 3 3 3 2222


5. Funkcje wielu zmiennych5.1. Pojęcia podstawoweOkreślenie zbioru n-wymiarowegoDefinicja 5.d.1. Zbiór X nazywamy zbiorem n-wymiarowym, jeżeli każdemu elementowitego zbioru możemy przyporządkować dokładnie jedną n-tkę liczb rzeczywistych,tzn. P ∈ X, gdy P = ( x x ,..., ), gdzie x i ∈ R dla i = 1, 2, ..., n.1 , 2x nOkreślenie funkcji n zmiennychDefinicja 5.d.2. Niech X będzie zbiorem n-wymiarowym, a Z podzbiorem zbioruliczb rzeczywistych R; wówczas odwzorowanie, które każdemu elementowi zezbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element ze zbioru Z, nazywamyfunkcją n zmiennych i zapisujemy: z = f x , x ,..., x ) lub krócej z = f (P). X( 1 2 nnazywamy dziedziną funkcji, a Z zbiorem wartości funkcji.W naszym opracowaniu będziemy w zasadzie mówili o funkcjach dwóchzmiennych, które można zapisać z = f ( x,y).Interpretacja geometryczna funkcji dwóch zmiennychNiech X będzie dziedziną funkcji z = f ( x,y), a Z jej zbiorem wartości;wówczas dlaP = x , y ) ∈ X1 ( 1 1 f x 1 , y 1 ) = z 1 ∈ Z( . Otrzymujemy więc punktP 1' = ( x1,y1,z1), który możemy nanieść w przestrzeni trójwymiarowej; podobnie dlaP2 = ( x2,y2)∈ X otrzymujemy odpowiedni punkt P 2'itd., dla P n ∈ X otrzymamyodpowiedni punkt P ; gdy punkty P , P2 , ..., P ... wyczerpią cały zbiór X, wtedy ichodpowiedniki' n1 nP , P ', ..., P '... utworzą powierzchnię znajdującą się w przestrzeni1' 2ntrójwymiarowej, więc w interpretacji geometrycznej funkcja dwóch zmiennych jestpowierzchnią.


176Elementy matematyki wyższejRysunek 5.15.2. Granica funkcji dwóch zmiennychZagadnienia związane z pojęciem i obliczeniami granicy funkcji dwóch(i więcej) zmiennych są bardziej złożone niż w przypadku funkcji jednej zmiennej.Dziedziną funkcji dwóch zmiennych jest bowiem pewien obszar, a nie przedział.Definicja 5.d.3. Ciągiem punktów w obszarze D płaszczyzny kartezjańskiej xOyx ) i ( ) sąnazywamy funkcję a(n) = (x(n), y(n)), gdzie x(n) i y(n) (lub ( )ny nciągami liczbowymi, a wszystkie punkty P n = (x(n), y(n)) należą do obszaru D.A zatem ciąg punktów możemy określić jako ciąg uporządkowanych par liczb.Odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie kartezjańskiej określićmożna wzorem:gdzie A = (x a , y a ), B = (x b , y b ).d(A, B) = ( x − x ) + ( y − y ) ,ab2ab2


Funkcje wielu zmiennych 177Teraz już łatwo możemy zdefiniować granicę ciągu punktów, którą –oczywiście – będzie punkt.Definicja 5.d.4. Niech będzie dany ciąg punktów P n = (x n , y n ) w obszarze D.lim d P , P0 = .Mówimy, że ciąg (P n ) jest zbieżny do punktu P 0 = (x 0 , y 0 ), jeśli ( ) 0n→∞Definicja granicy funkcji dwóch zmiennych w punkcie, którą teraz podamy,będzie analogonem znanej Czytelnikowi jeszcze ze szkoły średniej (taką nadziejęmają autorzy) definicji granicy funkcji w sensie Heinego.Definicja 5.d.5. Niech będzie dana funkcja z = f(x,y), określona w każdym punkcieobszaru D, oraz punkt P 0 = (x 0 , y 0 ). Mówimy, że granicą funkcji f(x,y) w punkcie P 0jest liczba g, jeśli dla każdego ciągu punktów (x n , y n ) z obszaru D, zbieżnego do P 0 ,z = f x , y ma granicę lim = g .odpowiedni ciąg liczbowy wartości funkcji: ( )Możemy to zapisać:nnnnz nn→∞lim f( x,y) →( x y )0 ,0( x,y) = glub lim f ( x,y) = g , czy wreszcie f ( P) = gx→xy→y00Plim .→P0Należy nadmienić, że w powyższej definicji nie wymaga się, aby punkt P 0należał do obszaru D. Jednak jeśli „powiększymy wymagania” w stosunku do punktuP 0 , to otrzymamy inną ważną własność funkcji, a mianowicie ciągłość w punkcie.Definicja 5.d.6. Niech będzie dana funkcja z = f(x,y), określona w każdym punkcieobszaru D, oraz punkt P 0 = (x 0 , y 0 ) z tego obszaru. Mówimy, że funkcja f(x,y) jestlim f x,y = f x , y .ciągła w punkcie P 0 , jeśli ( ) ( )( ) ( )x,y → x0, y0Uwaga 5.u.1. Mówimy, że funkcja z = f(x,y) jest ciągła w obszarze D, jeśli jestciągła w każdym punkcie tego obszaru.005.3. Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennychPojęcie pochodnej funkcji wielu zmiennych nie istnieje. Istnieje natomiastpojęcie różniczkowalności funkcji wielu zmiennych. Nie ma pochodnej „w ogóle”,ale pochodna „względem ustalonej zmiennej” lub (o tym w tej książce nie piszemy)„w ustalonym kierunku”.Definicja 5.d.7. Jeśli istnieje granicaf ( x + h,y)− f ( x,y)lim,hh→0


178Elementy matematyki wyższejto nazywamy ją pochodną cząstkową funkcji z = f ( x,y)względem zmiennej xi zapisujemy ją w jeden z następujących sposobów:Definicja 5.d.8. Jeżeli istnieje granica∂ z ∂ z , , ∂ x f , ∂ x z , f x,z x.∂x∂xf ( x,y + k)− f ( x,y)lim,k→0kto nazywamy ją pochodną cząstkową funkcji z = f ( x,y)względem zmiennej yi zapisujemy ją w jeden z następujących sposobów:∂f∂z, , ∂ y f , ∂ yz,f y,z y.∂y∂yZ definicji 5.d.7 i 5.d.8 wynika, że gdy obliczamy pochodną cząstkowąfunkcji względem zmiennej x, wówczas y się nie zmienia, więc należy ją traktowaćjako stałą. Analogicznie – przy obliczaniu pochodnej cząstkowej względem zmiennejy – x traktujemy jako stałą, a wyliczenie pochodnej cząstkowej odbywa się tak jakobliczanie pochodnej dla funkcji jednej zmiennej.Przykład 5.p.1. Wyliczyć pochodne cząstkowe następujących funkcji:23x + 3ya) z = 3x− 2xy+ 4y+ 6x− 7y+ 8 ; b) z = ;2 2x + y4 4 2 +2 2x + 2 yc) z = x + y 7 ; d) z = ( x + y)e .RozwiązaniaDziedziną wszystkich wymienionych wyżej funkcji jest R 2 = R × R, czylizbiór wszystkich par liczb rzeczywistych.∂z∂za) = 6 x − 2y+ 6 ; = −2x+ 12y2 − 7 ;∂x∂yb)221⋅( x + y ) − ( x + 3y)⋅ 2x− x + y − 6xy∂ ==,x z2 2 22 2( x + y ) ( x + y ) 222223x+ 3y− 2xy− 6y3x− 3y− 2xy∂ ==;y z22 2 22 2( x + y ) ( x + y ) 222


Funkcje wielu zmiennych 179c)13 2xz x =⋅ 4x=,4 24 22 x + 4y+ 7 x + 4y+ 7314yz y =⋅8y=;4 24 22 x + 4y+ 7 x + 4y+ 72 22 2x + 2 yx + 2 y2d) z 1⋅e + ( x + y)e ⋅ 2x= ( 1+2x+ 2xy)zxy2 2x + 2 y= e ,= 1⋅e22+ ( x + y)e22⋅ 4y=2 22 x + 2( 1+4xy+ 4y) e .x + 2 yx + 2 yyUwaga 5.u.2. Wyliczane w podanych przykładach pochodne nazywamy częstopochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu.ZadaniaZadanie 5.z.1. Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu dla następującychfunkcji:221 3 2 2 2;321a) z = 4x− 7xy+ 3y+ 7x− 9y+ 8 ; b) z = x + 4xy − y + 3xy− 3x− yc)g)k)22x + y u − v2 2z = ; d) p = ; e) r = x + y ; f)2 2x − y u + v2L = t + 3teu + tr + qP = .r − q2 2u −ve; h) R = ; i) N2 2u + vp+qT = ( p − q)⋅e;2 2r + s2 2= r ⋅e; j) M ln( 9 + u + p )= ;Odpowiedzia) z x = 8 x − 7y+ 7 , z y = −7x+ 6y− 9 ;22b) z x = x + 8xy+ 3y− 3 , z 4 2 y = x − y + 6xy−1;c)z x− 2y= ,( x − y) 2z y2x= ;( x − y) 2


180Elementy matematyki wyższej4uvd) p u = ,2 2( u + v ) 2xe) r x = ,2 2x + y2− 4uvp v = ;+22 2( u v ) 2y= ;2yr y2x +p+qp+qf) T = ( 1 + p − q) ⋅e, T ( p − q − ) ⋅epu + tg) L = t + ( 3 + 3t) ⋅et2 ,qL= 1 ;uu + t= 3 t ⋅e;2 22 22u⋅( u + v −1)2 2u + v − v ⋅( u + v + 1)h) Ru= ⋅e, R2 2 2v2 2 2( u + v )( u + v )i)Nr⎛2r ⎞ 2 2r + s= ⎜1+⎟ ⋅e,2 2⎝ r + s ⎠j) M = 2uu 2 29 + u + p, M 2 p= p 29 u +;+ p2Ns2 2 2u + v= ⋅e;rs2 2r + s= ⋅e;2 2r + sk)q r − qP r = − ⋅ ,2+( r − q) r qr r − qP q = ⋅ .2+( r − q) r q5.4. Pochodne cząstkowe wyższych rzędówW przykładowych rozwiązaniach można zauważyć, że wyliczone pochodnecząstkowe są również funkcjami dwóch zmiennych, więc z tych funkcji możnawyliczyć ich pochodne cząstkowe, które nazywamy pochodnymi cząstkowymi drugiegorzędu.Definicja 5.d.9. Wprowadzimy oznaczenia:∂z∂zg( x,y)= , h(x,y)= ;∂x∂yjeśli powyższe pochodne cząstkowe istnieją, to pochodne cząstkowe drugiegorzędu określamy poniższymi wzorami:


Funkcje wielu zmiennych 181– pochodna cząstkowa drugiego rzędu liczona względem zmiennej x:∂g∂ ⎛ ∂z⎞ ∂ z= ⎜ ⎟ = =2∂x∂x⎝ ∂x⎠ ∂x– pochodna cząstkowa drugiego rzędu liczona najpierw względem zmiennej x,a następnie względem zmiennej y:∂g∂ ⎛ ∂z⎞ ∂ z= ⎜ ⎟ = =∂y∂y⎝ ∂x⎠ ∂y∂x– pochodna cząstkowa drugiego rzędu liczona najpierw względem zmiennej y,a następnie względem zmiennej x:2∂h∂ ⎛ ∂z⎞ ∂ z= ⎜ ⎟ = =∂x∂x⎝ ∂y⎠ ∂x∂y– pochodna cząstkowa drugiego rzędu liczona względem zmiennej y:2∂h∂ ⎛ ∂z⎞ ∂ z= ⎜ ⎟ = =2∂y∂y⎝ ∂y⎠ ∂yUwaga 5.u.3. Pochodne cząstkowe drugiego rzędu liczone względem zmiennych x i yniezależnie od kolejności ich liczenia nazywamy pochodnymi cząstkowymi mieszanymi.Twierdzenie 5.t.1 (Schwarza o pochodnych mieszanych). Jeżeli pochodne cząstkowemieszane z xy oraz z yx są funkcjami ciągłymi, to są one sobie równe, czyli zachodzirówność22z xy = z yx .Definicja 5.d.10. Przez analogię pochodne cząstkowe rzędów wyższych niż drugi wyliczamyjako pochodną cząstkową z pochodnej cząstkowej rzędu o jeden niższego.Uwaga 5.u.4. Z twierdzenia o pochodnych mieszanych wynika, że przy obliczaniupochodnych mieszanych wyższych rzędów kolejność liczenia pochodnych nieodgrywa roli, gdy odpowiednie wyliczane pochodne są funkcjami ciągłymi.3∂ zNa przykład, aby wyliczyć pochodną , musimy liczyć pochodną kolejno trzy2∂x∂yrazy – w tym dwa razy względem zmiennej x i raz względem zmiennej y,a kolejność liczenia tych pochodnych jest dowolna. Oznacza to, że możemy liczyćnajpierw pochodną cząstkową względem zmiennej x, z tego wyniku pochodnącząstkową względem zmiennej x, a następnie z otrzymanej funkcji – pochodnąz xxz yxz xyz yy;.;;


182Elementy matematyki wyższejcząstkową względem zmiennej y; możemy jednak postąpić inaczej, mianowicie:wyliczyć najpierw pochodną względem x, potem kolejno względem y i względem xalbo: najpierw względem y, a następnie dwa razy względem x.Przykład 5.p.2. Obliczyć pochodną cząstkową3∂ z2∂x∂yx+2 ydla funkcji z = cos xe .RozwiązanieDziedziną jest zbiór wszystkich par liczb rzeczywistych, czyli R 2 = R×R.3∂ zPochodną wyliczymy, stosując różne kolejności liczenia pochodnych:2∂x∂yx+2 yx+2 yx+2 y1) z −sinx e + cos xe ⋅1= ( − sin x + cos x) ezzxyxyyx= ,x+2 yx+2 y( − sin x + cos x) e ⋅ 2 = ( − 2sin x + 2cos x) e= ,x+2 yx+2 y( − 2sin x + 2cos x) e ⋅ 2 = ( − 4sin x + 4cos x) e= .2)zyx+2 yx+2 y= cos xe ⋅ 2 = 2cos xe,zzxyyxyx+2 yx+2 yx+2 y( − 2sin x + 2cos x) e= −2sinxe + 2cos xe =,x+2 yx+2 y( − 2sin x + 2cos x) e ⋅ 2 = ( − 4sin x + 4cos x) e= .3)zyx+2 yx+2 y= cos xe ⋅ 2 = 2cos xe,zzyyxyyxyyx+2 yx+2 y= 2cos x e ⋅ 2 = 4cos xe,x+2 yx+2 yx+2 y( − 4sin x + 4cos x) e= −4sinxe + 4cos xe ⋅1=.Wyniki uzyskane w każdym z tych przypadków są identyczne:z = z = zyxyxyy .P r z y p o m n i e n i e:z yyx oznacza, że liczyliśmy kolejne pochodne w następującej kolejności – najpierwwzględem x, następnie względem y oraz względem y.z oznacza, że najpierw liczymy względem y, następnie względem x i jeszcze razyxywzględem y;z oznacza, że liczono kolejno względem y, względem y, względem x.xyy


Funkcje wielu zmiennych 183ZadaniaZadanie 5.z.2. Wyliczyć zadane pochodne cząstkowe wyższych rzędów dla następującychfunkcji:2 2 −xz dla funkcji z = ( x + y ) ⋅ ea) xxy, dla funkcji 1 3z = x + 1 y 3 4 73 22 − xy + x − y + ;b) z xx zxy,z yyc) xyyxz dla funkcji z ( x − y) ⋅ed) T ppq i pqq= ;−qT dla funkcji T = ( p − q) ⋅e;22 ;e) R xy i R xx dla funkcji22R = x + y ;f) P rr Prs, Pss, Psss, Pssr, Psrr, Prrr, dla funkcji P = r − 5rs+ 4s.324Odpowiedzia)zxxy−x= 2 y ⋅e;b) z 2 x,z = −1,z = 1 ;xx = xyyyc) z = 0 ;xyyd) T ppq − ee)−q−q= 8 , Tpqq= ( − 4q+ 8p) ⋅exyR xy = − ,+32 2( x y ) 28 ;yR xx = ;+232 2( x y ) 22rr = rssssssssrsrr rrrf) P 6r,P = −10s,P = −10r+ 48s, P = 96s,P = −10,P = 0, P = 6 .5.5. Pochodne cząstkowe w punkcieW podrozdziałach 5.3 i 5.4 opisano, jak wyliczamy pochodne cząstkowejako funkcje. Przez analogię do pochodnych funkcji jednej zmiennej możemyrównież wyliczać pochodne cząstkowe w punkcie, podstawiając do wyliczonychfunkcji współrzędne danego punktu.


184Elementy matematyki wyższejDefinicja 5.d.11. Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie zapisujemy:∂z∂xP=P o,∂z∂x( ), P oz x P=P oitd.,a wyliczamy je, podstawiając do wyliczonych pochodnych cząstkowych współrzędnedanego punktu.Podobnie zapisujemy pochodne cząstkowe wyższych rzędów w punkcie, np.z∂3z∂x∂y2( P 0 ) .Jak zapewne Czytelnik pamięta, wartość pochodnej funkcji jednej zmiennejw punkcie x 0 była równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcjiw punkcie ( x 0 , y 0 ) do dodatniego zwrotu osi Ox. Podobnie wartości pochodnychcząstkowych w punkcie P 0 = ( x0, y0) są równe, odpowiednio, tangensom kątówmiędzy prostymi równoległymi do osi Ox i Oy a stycznymi do powierzchniz = f(x,y) w płaszczyznach równoległych do xOz oraz yOz.0 00xf (x ,y ) = tg αx 0 0αP = (x ,y )0 0 0f (x ,y ) = tg βy 0 0βyRysunek 5.2


Funkcje wielu zmiennych 185Przykład 5.p.3. Wyliczyćz xxP 0, gdyx+yz = xe dla P 0 = (1,–1).Rozwiązaniezxx+yx+yx+yx+yx+ y+= 1 ⋅ e + xe = (1 + x)e , z = 1⋅e+ (1 + x)e = (2 x)e ,xxx+yz = (2 + 1) e = 3.xxP 01−1Przykład 5.p.4. Wyliczyćz xx P , z yy P , zxyP dla funkcji000z = ( x2 + y)e i P 0 = (3,0).yRozwiązaniez 2xexyy2 y2 yz e x y e x + y= , = 1⋅+ ( + ) ⋅1= ( 1+) ,yexxyz = 2e, z = 2x e ⋅1= 2xe ,xyyyy2 y2 yz = 1⋅e+ (1 + x + y)e ⋅1=(2 + x + y)ezyyxx( 3,0)= 2, zxy(3,0)= 6, zyy (3,0)= 11.Dla funkcji więcej niż dwóch zmiennych pochodne cząstkowe definiujemyanalogicznie.∂zDefinicja 5.d.12. Pochodna jest równa∂x i,∂z∂xif ( x1,...,xi+ p,...,xn) − f ( x1,..., xi,..., xn)= lim ,p→0pa wyliczamy ją tak jak pochodną cząstkową dwóch zmiennych, czyli przy wyliczaniujedyną zmienną jest xi, a pozostałe zmienne traktujemy jako stałe.Podobnie wyliczamy pochodne cząstkowe dla funkcji więcej niż dwóchzmiennych w punkcie.


186Elementy matematyki wyższej5.6. Różniczka zupełnaDefinicja 5.d.13. Wyrażenie∂z∂zdz = dx + dy∂x∂ynazywamy różniczką zupełną funkcji dwóch zmiennych.Definicja 5.d.14. Wyrażeniez zdz ( ∂ ∂P ) = dx +0 0∂x∂ yP P0nazywamy różniczką zupełną funkcji dwóch zmiennych w punkcie P 0 .Uwaga 5.u.5. Analogicznie obliczamy różniczki zupełne oraz różniczki zupełnew punkcie dla funkcji więcej niż dwóch zmiennych.Przykład 5.p.5. Wyliczyć różniczkę zupełną dla następujących funkcji:a)2 2x + y u − vz = ye ; b) k = ; c)2 2u + vRozwiązania24s = p + r .W podanych przykładach dziedziną jest zbiór wszystkich par liczb rzeczywistych.Wyliczymy najpierw pochodne cząstkowe:dya)zx2 2x + y2 2x + yx + y x + yy 2= y e 2x= 2xye , z = 1⋅e + y e ⋅ y =2222= (1 + 2ydz = 2xy e2 22 x + y) e,2 22 2x + y2 x + ydx + (1 + 2y) edy.b)221( u + v ) − ( u − v)2uv − u + 2uvk u = =,+22 2 22 2( u + v ) ( u v ) 22− u − v − 2uv+ 2vv − u − 2uvk v = =,+22 2 22 2( u + v ) ( u v ) 22222


Funkcje wielu zmiennych 187c)vdk =2− u2+ 2uvvdu +− u2 2 22 2( u + v ) ( u + v )2 p p= ,4rs p =2 4 22 p + r p +22− 2uvdv .234r2r= = ,42 p r p rs r2 4 2+ +33 p dp + 2r( p dp + 2rdr) =2 41drds = ( p ≠ 0 ∧ q ≠ 0).2 4p + rp + r3Przykład 5.p.6. Wyliczyć różniczkę zupełną dla podanej funkcji w podanym punkcie:a) S = 1 π r2 ,3h P 0 = (2,3), r = 2, h = 3;22, 0b) r = x + y P = (1, −2);1 2x( 02c) u = x + y)e , P = (0,4).RozwiązaniaDla podanych przykładów dziedziną jest R × R.a) 2 1,24Sr= πrhSh= πr, Sr( P0 ) = 4π,Sh(P0) = π,3334dS = 4 πdr+ πdh.3b)x 1r x(P 0 ) == ,2 2x + y x=1 5y=−21 2 dx − 2dydr( P 0 ) = dx − dy = .5 5 51 2x1 2xy2r y == − ,2 2x + y x=1 5y=−2222c) u (0,4) = 1⋅e + ( x + y)e ⋅ x = 1, u = 1⋅e = 1,xdu ( 0,4) = dx + dy .x=0y=4W geometrycznej, technicznej, czy też ekonomicznej interpretacji wyrażenia:∆x, ∆y, ∆t itd. określają przyrosty odpowiednio zmiennych x, y, t, natomiastwyrażenia: dx, dy, dt oznaczają nieskończenie małe przyrosty zmiennych x, y, t.Uwzględniając wyżej podane określenia, widzimy, że różniczka zupełna określay1 2xx=0y=4


188Elementy matematyki wyższejnieskończenie mały przyrost zmiennej z, jeśli zmienne x i y zmienią się o nieskończeniemałą wartość. Oznacza to, że geometrycznie różniczka zupełna określa nieskończeniemały przyrost wartości funkcji przy nieskończenie małych zmianachzmiennych x, y. Wyrażenie np. „nieskończenie mały dodatni” należy rozumieć,jako: „większy od zera, ale mniejszy od każdej liczby dodatniej”. Takiej liczby nie ma,chyba... że będziemy rozumieć ją jako wielkość zmienną, coraz mniejszą.W rozumieniu różniczki widać przydatność pochodnej do opisu procesów dynamicznych.5.7. Zastosowanie różniczki zupełnejUwaga 5.u.6. Gdy nieskończenie małe przyrosty zmiennych dx i dy zastąpimyprzez przyrosty odpowiednio ∆ x,∆y, a odpowiednio otrzymany przyrost wartościfunkcji przez ∆z, wówczas ∆z będzie równy w przybliżeniu(5.1) ∆ z ≈ f P ) ∆x+ f ( P ) ∆yx(0 y 0.Wymienimy teraz niektóre zastosowania różniczki zupełnej, a następnie jeomówimy:1) do przybliżonego wyliczania wartości funkcji,2) do szacowania błędu,3) do wyliczania kolejnych przybliżeń rozwiązania układu równań nieliniowych.Zastosowanie różniczki zupełnej do przybliżonego wyliczania wartości funkcjiZakładamy, że umiemy wyliczyć wartość danej funkcji w punkcieP 0 = ( x0,y0), a chcemy wyliczyć wartość tej funkcji w punkcie P 1 = ( x1,y1), któryznajduje się „blisko” punktu P0; wówczas możemy zapisać:a po podstawieniu (5.1) otrzymamy:f( p1 ) = f ( P0) + ∆z,(5.2) f P ) ≈ f ( P ) + f ( P ) ∆x+ f ( P ) ∆ ,( 1 0 x 0 y 0 ygdzie ∆ x = x 1 − x0, a ∆ y = y 1 − y0.Dokładność otrzymanego w ten sposób wyniku będzie zależała od wypisanychróżnic, które określają przyrosty (zmiany) zmiennych x i y. Większą dokładnośćotrzymamy, gdy wymienione przyrosty będą mniejsze.


Funkcje wielu zmiennych 189Przykład 5.p.7. Wyliczyć przybliżoną wartość następujących wyrażeń:a) 4, 080,97 3 − ; b) [ 0,02 0,91]2ln + ; c) ( 4,11 1,97 )sin − .Uwaga 5.u.7. W podanych przykładach można łatwo wyliczyć wskazane wartości,korzystając np. z kalkulatora, ale my będziemy je wyliczali za pomocą różniczkizupełnej, aby w innych przypadkach widzieć sens jej zastosowania.Rozwiązaniaa) Najpierw wprowadzimy funkcję f ( x,y)x − y orazP 1 = ( 0,97, 4,08), P0=(1, 4),= 3∆x= 0 ,97 −1= −0,03,∆y= 4,08 − 4 = 0,08;wyliczamy teraz kolejno:f (1,4) = −1,x2f (1,4) = 3xx=1y = 4= 3,1f y (1,4) = −2 yx=1y=4= −0,25.Otrzymane rezultaty podstawiamy do wzoru (5.2) i otrzymujemy30,97−4,08 ≈ −1+3⋅(−0,03)− 0,25⋅0,08 = −1,11.Wartość wyliczona za pomocą kalkulatora jest po zaokrągleniu równa –1,107.Odpowiedź: Przybliżona wartość podanego wyrażenia jest równa –1,11.b) Nasza funkcja to z = ln( x + y ) ;P 1 = ( 0,02,0,91), P0= (0,1),∆x= 0,02− 0 = 0,02, ∆y= 0,91−1= −0,09;i jak w poprzednim zadaniu1z (0,1) = ln1 = 0, zx(0,1)=x + yx=1 10 = 1, z y (0,1) = ⋅ x=0 = 0,5,x + y 2 yy=1więc uwzględniając wzór (5.2), otrzymamyln( 0,02 0,91) ≈ 0 + 1⋅0,02+ 0,5 ⋅(−0,09)= −0,025+ .y=1


190Elementy matematyki wyższejWartość wyliczona za pomocą kalkulatora jest po zaokrągleniu równa –0,026.Odpowiedź: Przybliżona wartość jest równa –0,025.c) Funkcję można zapisać następująco:2z = sin( x − y ), P1= (4,11,1,97), P0= (4,2), ∆x= 0,11, ∆y= −0,03,z ( 4,2) = sin 0 = 0,2zx( 4,2) = cos( x − y ) (4,2) = 1, z y (4,2) = cos( x − y )( −2y)(4,2)= −4,2sin(4,11 − 1,97 ) ≈ 0 + 1⋅0,11− 4⋅(−0,03)= 0,23.Wartość wyliczona za pomocą kalkulatora jest po zaokrągleniu równa 0,227.Odpowiedź: Przybliżona wartość jest równa 0,23.2Zastosowanie różniczki zupełnej do szacowania błęduRozpatrzymy przypadek: dana jest funkcja wielu zmiennych, np. dwóchzmiennych z = f ( x,y). Chcemy wyliczyć jej wartość dla wielkości x = x 0 , y = y 0 ,które są obarczone błędem odpowiednio ∆ x, ∆y; wtedy wyliczona wartość z 0będzie również obarczona błędem. My chcemy wyliczyć taką wielkość ∆ z , którejnie przekroczy błąd wartości funkcji wyliczony z podstawienia błędnych danych.Wymieniona czynność nazywa się szacowaniem błędu. W celu oszacowania błęduwykorzystamy różniczkę zupełną, w której do sumowania błędów będziemyużywali bezwzględnych wartości ( ∆x≥ 0 ∧ ∆y≥ 0 ), czyli(5.3) ∆ z = z P ) ∆x+ z ( P ) ∆yx ( 0y 0 .Gdy wielkości x 0 , y 0 odczytujemy jako wynik pomiaru, wówczas ∆ x czy∆yodczytujemy jako maksymalny błąd, nazywany błędem pomiaru. Błąd ten jestzawsze najmniejszą podziałką, np. liniału, gdy mierzymy długość (1 mm). Przywyliczaniu szacowanego błędu otrzymany wynik zaokrąglamy zazwyczaj do jednegomiejsca znaczącego.Przykład 5.p.8. Oszacować błąd, jeśli wynik odczytujemy ze wzorudla wyników x = 3 ± 0,1 y = 4 ± 0, 05 .2z = x + y2


Funkcje wielu zmiennych 191W podanym przykładzie odczytujemy ∆x= 0 ,1, ∆y= 0,05.2 2xz 0 = 3 + 4 = 5, z x (3,4) = (3,4) = 0,6,2 2x + yyz y (3,4) = (3,4) = 0,8 .2 2x + yWyliczone wartości podstawiamy do (5.3) i otrzymujemy:∆z = 0 ,6 ⋅0,1+ 0,8 ⋅0,05= 0,06 + 0,04 = 0,1 .Wyliczyliśmy, że szacowany błąd wynosi 0,1, co oznacza, że otrzymany wynikmożemy zapisać: z = 5 0,1.0 ±Oprócz szacowanego błędu wylicza się czasem błąd względny, który jest równy∆ z∆zlub błąd procentowy ⋅ 100 % .zz 00Odpowiedź: Błąd względny jest równy 0,02, a błąd procentowy 2%.Przykład 5.p.9. Funkcja zysku jest określona wzorem22z = x + 2y , gdzie x, y tokwoty zainwestowane w dwie różne inwestycje. Oszacować błąd otrzymany przywyliczaniu zysku, gdy kwoty zainwestowane zaokrąglono do pełnych setek euro.x 0 = 1300 €, y 0 = 2000 €.z(1300,2000) = 1 690 000 + 4 000 000 = 5 690 000, ∆x = 100, ∆y = 100; wyliczamy:z x (1300,2000) = 2x| (1300,2000) = 2600,z y (1300,2000) = 4y| (1300,2000) = 8000,∆z = |2600| · 100 + |8000| · 100 = 106 000.Gdy zaokrąglimy do jednego miejsca „znaczącego”, otrzymamy ∆z = 100 000,wówczas wynik również musimy zaokrąglić do tego samego rzędu wielkości,czyli z = 5 700 000. Otrzymamy z = (5 700 000 ± 100 000) €. Oznacza to, żeotrzymany wynik mieści się między kwotami 5 600 000 € a 5 800 000 €.Przykład 5.p.10. Wyliczamy przyspieszenie ziemskie za pomocą wahadła matematycznegoi szacujemy błąd otrzymanego wyniku. Wykonaliśmy trzy pomiary – przyjednym, dziesięciu i stu wahnięciach dla wahadła o długości 0,850 m mierzonegomiarą z dokładnością do milimetra. Otrzymaliśmy doświadczalnie następującewyniki:


192Elementy matematyki wyższejt = 1,9 s dla n = 1,t = 18,4 s dla n = 10,t = 184,8 s dla n = 100.RozwiązanieZe wzoru na obliczanie okresu wahadłal4πlT = 2 π wyliczamy g = .2gTOkres T =tn, gdzie t jest czasem n wahnięć.2Do wzoru, z którego wyliczamy g, podstawimy poprzednio zapisane T;wówczas otrzymamy ostateczny wzór, który pozwala wyliczyć przyspieszenie224nπ lg = .2tDla wypisanej formuły wyliczymy teraz wzór, za pomocą którego oszacujemy błądwyniku:g =g∆l+g∆t=4nπ 8nπ l∆l+ −2tt∆ lt32222∆t.∆l = 0 ,001 m ∆t= 0,1 s .Wyliczamy teraz przyspieszenie ziemskie oraz oszacowanie otrzymanego wyniku dla:n = 1, g = 9,296 m/s 2 ; ∆g = 0,989, g = (9±1) m/s 2 ;n = 10, g = 9,912 m/s 2 ; ∆g = 0,119 m/s 2 , g = (9,9 ± 0,1) m/s 2 ;n = 100, g = 9,826 m/s 2 ; ∆g = 0,022 m/s 2 , g = (9,83 ± 0,02) m/s 2 .Uwaga 5.u.8. Wyliczone błędy zaokrągla się zazwyczaj do jednego miejsca znaczącego,co w naszym przypadku zrobiliśmy. Wynik również zaokrąglamy do odpowiednichzaokrągleń błędu.Na podstawie otrzymanych wyników łatwo zauważyć, że wraz z dokładniejszymwyliczeniem okresu (zwiększanie wartości n) zwiększa się dokładnośći zmniejsza się błąd. Informujemy, że dla Poznania, gdzie dokonano doświadczenia,przyspieszenie ziemskie odczytane z tablic wynosi 9,8126 m/s 2 .


Funkcje wielu zmiennych 193Zastosowanie różniczki zupełnej do wyliczania kolejnych przybliżeńrozwiązania układu równań(5.4)Niech będzie dany układ równań⎧ f ( x,y)= 0⎨⎩g(x,y)= 0oraz liczby x 0 i y 0 , które są zerowymi rozwiązaniami układu równań (5.4). Paręliczb x 0 , y 0 nazywamy zerowym rozwiązaniem układu (5.4), gdy podstawione dolewych stron tego układu dają wyniki zbliżone do zer (prawe strony równań). Abyuzyskać pierwsze przybliżenie, czyli(5.5) x = x + ∆xy = y + ∆ ,rozwiązujemy układ równań(5.6)⎧ f⎨⎩gz którego wyliczamyxx1 01 0 y( x , y0( x , y0∆xi00) ⋅ ∆x+ fy) ⋅ ∆x+ gwynika stąd, że chcemy wyliczyć taki punkt⎧ f ( P1) = 0P 1 = ( x1,y1), dla którego ⎨ ,⎩g(P1) = 0( x0,y0)⋅ ∆y= − f ( x0,y0),( x , y ) ⋅ ∆y= −g(x , y )y00∆ y ; następnie podstawiamy je do (5.5). Układ (5.6)( 1( 1a f P ) i g P ) przybliżamy według wzoru (5.2). Pierwsze przybliżenie lepiej przybliżarzeczywiste rozwiązanie układu (5.4). Jeśli rozwiązanie uzyskane jako pierwszeprzybliżenie jest mało dokładne, to stosujemy ponownie wzory (5.6) i (5.5), abyuzyskać drugie przybliżenie, a przybliżenie pierwsze traktujemy jako zerowe. Czynnośćtę można powtarzać tak długo, aż uzyskamy rozwiązanie wystarczająco dokładne.Przykład 5.p.11. Wyliczyć drugie przybliżenie dla następujących układów równań,gdy dane są zerowe przybliżenia3 2⎧ 3x+ 4y= 6a) ⎨,2 3⎩2x− 5y= −42x0= 1 ⎧ 4ln x + y = 5; b) ⎨,3y0= 1 ⎩2x − 2y= −15000x0= 1.y = 2Uwaga 5.u.9. Obliczenia zazwyczaj muszą być wykonywane z pewnym przybliżeniem.W niniejszej książce autorzy przyjęli dokładność do czterech miejsc po przecinku.Kierując się głównie względami przejrzystości zapisu, zrezygnowano z używaniaznaku przybliżenia „ ≈ ”, zastępując go zwykłym znakiem równości.


194Elementy matematyki wyższejRozwiązaniaa) Najpierw równania zapisujemy jako funkcje dwóch zmiennych (5.4):⎧ f ( x,y)= 3x⎨⎩g(x,y)= 2x32+ 4y− 5y23− 6,+ 4układ równań ma więc postać:⎧ f ( x,y)= 0⎨ , czyli⎩g(x,y)= 03⎧3x+ 4y⎨ 2⎩2x− 5y23− 6 = 0.+ 4 = 0Dla wypisanych funkcji tworzymy układ równań (5.6), więc musimy najpierw wyliczyćich składniki.x2f , ( x,y)8y,f ( 1,1 ) = 8( x,y)= 9x, f x(1,1)= 9f , f ( 1,1) = 1 ;y= y2g ( x,y)4x,g ( 1,1 ) = 4 , ( x,y)−15y, g ( 1,1 ) = −15x= xZapisujemy układ (5.6):⎧ 9⋅∆x+ 8⋅∆y= −1⎨⎩4⋅∆x−15⋅∆y= −1i wyliczamy ∆ x i ∆y:⎧ 23⎪∆x= − = −0,1377167⎨.5⎪ ∆y= = 0,0299⎩ 167Wyliczone wartości podstawiamy do (5.5):⎧x⎨⎩y11= 1−0,1377 = 0,8623.= 1+0,0299 = 1,0299g , g ( 1,1) = 1.y= yJest to pierwsze przybliżenie danego układu równań. Zatem ( 0,8623, 1,0299)P .Podstawiamy liczby x 1 i y 1 w miejsce zmiennych x i y we wzorach funkcji f i g.Otrzymujemy: f ( P ) = f ( x y ) 0, 1663, g ( P ) = g( x y ) 0, 0251.1 1 , 1 =1 1 , 1 =1 =


Funkcje wielu zmiennych 195Liczymy teraz drugie przybliżenie, analogicznie jak pierwsze, traktując ( x 1 , y 1 )jako zerowe przybliżenie21 1 =f x ( P ) = 9x6,6921 , f y P ) = 8y8, 2392 , f ( P 1 ) = 0, 1663,( 1 1 =g x P ) = 4x3,4492 , g y ( P ) = −15y= 15, 9104 , g ( P 1 ) = 0, 0251.( 1 1 =21 1 −Po wpisaniu otrzymanych wyników do (5.6) otrzymamy:⎧ 6,6921⋅∆x+ 8,2392 ⋅ ∆y= −0,1663⎨,⎩3,4492⋅ ∆x−15,9104⋅ ∆y= −0,0251⎧∆x= −0,0211⎨.⎩∆y= −0,0030Po podstawieniu do (5.5) otrzymamy równania:⎧x⎨⎩ y22= 0,8623 − 0,0211 = 0,8412,= 1,0299 − 0,0030 = 1,0269które tworzą drugie przybliżenie danego układu równań. Zatem ( 0,8412;1,0269 )P .Podstawiamy liczby x 2 i y 2 w miejsce zmiennych x i y we wzorach funkcji f i g.Otrzymujemy: f ( P ) = f ( x y ) 0, 0038 , g ( P ) = g( x y ) 0, 0008 .2 2 , 2 =Uwaga 5.u.10. Rozwiązywaliśmy układ równań⎧ f ( x,y)= 0⎨ ;⎩g(x,y)= 0„zerowym” przybliżeniem było:⎧ f (1,1) = 1⎨ ,⎩g(1,1)= 1pierwszym przybliżeniem:⎧ f ( P1) = 0,1663⎨,⎩g(P1) = 0,0251a drugim przybliżeniem:⎧ f⎨⎩g( P2)( P )2= 0,0038.= 0,00082 2 , 2 =2 =


196Elementy matematyki wyższejWidać, że prawe strony układów równań dla kolejnych przybliżeń bardzo szybkodążą do 0, stąd wniosek, że kolejne przybliżenia zmiennych x i y są coraz bliższerozwiązaniom dokładnym. Oczywiście proces przybliżonego rozwiązywania układurównań nie musi kończyć się na drugim przybliżeniu. Można dokonywać trzeciegoi dalszych przybliżeń. Zadanie kończymy, gdy poziom dokładności(prawe strony układu⎧ f⎨⎩g( Pi)( P )i= ...)= ...osiągnie żądaną (przez wyliczającego) wielkość.Odpowiedź: Drugie przybliżenie danego układu równań jest następujące: x = 0,8412,y = 1,0269.b) Podobnie jak w zadaniu poprzednim, najpierw dany układ równań zapisujemyza pomocą funkcji w postaci (5.5)2⎧ f ( x,y)= 4ln x + y − 5⎨3⎩g(x,y)= 2 x − 2y+ 15, gdzie = , y 2x , ( 1,2 )0 1 0 =P .0 =Wyliczamy odpowiednio:f ( P 0 ) = −1, g ( P 0 ) = 1,4f x = , f y = 2y, f x ( P 0 ) = 4 , g x ( P 0 ) = 1 ,x1g x = ,x2g y = −6y , f y ( P 0 ) = 4 , ( P 0 ) = −24i podstawiamy do (5.6); otrzymujemy:⎧4⋅∆x+ 4⋅∆y= 1⎨,⎩∆x− 24⋅∆y= −1g ya po rozwiązaniu ∆x= 0 ,2, ∆y= 0, 05 , więc po podstawieniu do (5.5) mamy pierwszeprzybliżenie: x = ,20 y 2, 05 . Liczymy teraz drugie przybliżenie:1 1 1 =f ( P 1 ) = −0,0682,f x ( P 1 ) = 3,3333,( P 1 ) = 4,1,g ( P 1 ) = −0,0394,g x ( P 1 ) = 0,9129,( P 1 ) = −25,215f yg y


Funkcje wielu zmiennych 197i dalej:⎧3,3333⋅∆x+ 4,1⋅∆y= 0,0682⎨,⎩0,9129⋅ ∆x− 25,215⋅∆y= 0,0394x = 1,200 + 0,0214 1,2214 ,2 =y = 2,050 − 0,0008 2,0492 .2 =∆x= 0,0214;∆y= −0,0008W celu sprawdzenia dokładności przybliżenia wyliczamy:( x y ) = −0,0008;g( x , y ) 0, 0003f .2 , 22 2 =Odpowiedź: Drugie przybliżenie: x = ,2214, y 2,0492.2 1 2 =ZadaniaZadanie 5.z.3. Znaleźć drugie przybliżenie dla danych układów równań i zadanychzerowych przybliżeń.a)⎧3x⎨⎩2x23+ 4y− 3y32− 2x= 11,+ 2y= 18xy00= 2; b)= 12⎧2x− 3xy+ y⎨⎩3x+ 5xy+ 6y32= 5,= 3x0= 1.y = −10Odpowiedzi: a) x 2 = 2,018, y 2 = 0,915; b) x 2 =1,176, y 2 = –0,881.Przykład 5.p.12. Znaleźć pierwsze przybliżenie dla danych układów równań i zadanychzerowych przybliżeń2 3⎧ x + 2y+ 2 7⎪= −2⎨ 1−2x+ y 2 ,⎪ 24⎩2⋅x − 3 + 3y= 4⎧x0= 2⎨⎩ y0= 1, zatem ( 2,1)P .0 =Przyjmiemy definicje dwóch funkcji dwóch zmiennych⎧⎪ f⎨⎪⎩g( x,y)( x,y)x + 2y+ 2=+21−2x+ y= 2⋅2x23− 3 + 3y472− 4wówczas układ równań będzie miał postać:⎧ f⎨⎩g( x,y)( x,y)= 0.= 0;


198Elementy matematyki wyższejWyliczmy wartość funkcji f i g w punkcie P 0 .8 7f ( P0 ) = + = −0,5 ,1−4 + 1 2( P ) = 2⋅4 − 3 + 3 − 4 1g ,0 =a następnie pochodne cząstkowe2 2 32x⋅( )( 1−2x+ y ) + 2⋅( x + 2y+ 2)x, y =,2 2( 1−2xy )222 36y⋅( )( 1−2x+ y ) − 2y⋅ ( x + 2y+ 2)x,y2( 1−2xy ) 2f x+f y = ,+2xg x( x,y)= ,x2 − 33( x, y) 12yg y = .Pochodne cząstkowe w punkcie P 0 mają następujące wartości:4⋅( )( − 2)+ 2⋅8f x P =2 , ( P )0 =414g x( P ) = 4 , ( P 0) = 120 =( − 2)6⋅− 2⋅8f y 0 == −7,4g y .Rozwiążemy zatem układ równań liniowych⎧ 2⋅∆x− 7 ⋅ ∆y= 0,5⎨.⎩4⋅∆x+ 12⋅∆y= −1Rozwiązaniami są liczby:⎧ 1⎪∆x= −52⎨4⎪ ∆y= − = −⎩ 52113,a po przybliżeniu z dokładnością do czterech miejsc po przecinku⎧∆x= −0,0192⎨.⎩∆y= −0,0769


Funkcje wielu zmiennych 199Pierwszym przybliżeniem rozwiązania układu równań nieliniowych jest więc⎧ x1= 1,9801⎨ ,⎩x2= 0,9231czyli P ( 1,9801, 0,9231)f1 =( P ) = − ,0549, g( P ) 0,0975.1 0 1 =, a funkcje f i g osiągają w tym punkcie wartościOdpowiedź: Pierwszym przybliżeniem powyższego układu równań jest: x 1 = 1,9801,y 1 = 0,9231.ZadaniaZadanie 5.z.4. Wyliczyć pierwsze przybliżenie dla danych układów równań i zadanychzerowych przybliżeń.a)⎧ x 3y⎪ − = −12 2⎨ y + 2 x + 3 ,⎪⎩ 2ln x + 3 y + 2 = 5⎧ x0= 1⎨ ;⎩y0= 2b)⎧3e x + 4 y = 10⎪⎨ 4 ,⎪4 x + 1 − = 3⎩ y⎧x⎨⎩y00= 0;= 4c)2⎧ 2x+ 4y⎨ 3 2⎩ x − 3y3= 13,= 4⎧x⎨⎩ y00= 2;= 1d)⎧3x⎨⎩4x32− 4y+ 5y23= 0,= −1⎧x⎨⎩y00= 1;= −1e)⎧2x⎨⎩3x32+ 3y− 2y23= 13= −12,⎧ x0= 1⎨ ;⎩y0= 2f)⎧4x⎨⎩3x32− 5y2− 2y3= 28,= 13⎧ x0= 2⎨ ;⎩y0= −1


200Elementy matematyki wyższejg)h)i)3 2⎧3x− 4y= −18⎨,2 3⎩2x+ 3y= 2722⎧ln(x − 3) + 2y= 1⎨,2⎩3x− ln(2y+ 3) = 252 2⎧ x − y 1⎪ =2 2⎨ 1+x + y 2 ,⎪⎩8x + 2 − 9ln y = 15⎧x0= −1⎨ ;⎩ y0= 2⎧x⎨⎩y00⎧x⎨⎩ y00= 2;= −1= 2.= 1Odpowiedzia) x 1 = 0,7464, y 1 = 1,3429;b) x 1 = 1,9801, y 1 = 0,9231;c)d)e)f)g)h)x1= 1,969,y = 1,1041x1= 1,211,y = −1,1131x1= 0,944,y = 1,94411x1= 1,990,y = −0,853x1= −0,800,y = 2,0501x1= 2,044,y = −0,7061f ( P1) = 0,136;g(P ) = −0,0231f ( P1) = 0,373;g(P ) = −0,0281f ( P1) = 0,020;g(P ) = −0,0201f ( P1) = 0,116;g(P ) = −0,1221f ( P1) = −0,346;g(P ) = −0,1251f ( P1) = 0,161.g(P ) = −0,1571Przykład, który zostanie teraz przytoczony, powinien przekonać Czytelnikao skuteczności metody przybliżonego rozwiązywania układu równań nieliniowych.Autorzy znają bowiem dokładne rozwiązanie poniższego układu równań – są to


Funkcje wielu zmiennych 201liczby: x = 1, y = 2. Jednak jako rozwiązanie „zerowe” przyjęty zostanie inny punkt.Obliczenia będą prowadzone z dokładnością do czwartego miejsca po przecinku.Czytelnik przekona się, że mimo bardzo „grubych” błędów w pierwszym oszacowaniu,w kolejnych przybliżeniach odpowiednie układy równań liniowych „stabilizująsię” i dość szybko doprowadzają do rozwiązania dokładnego.Przykład 5.p.13. Rozwiązać układ równań:23⎧2x− 5xy+ 3y= 16⎨,32⎩ x + 3xy− 4y= −9⎧ f⎨⎩ g⎧x⎨⎩y00= 0,= 3Definiujemy funkcje dwóch zmiennych:( x,y)( x,y)= 2x= x23− 5xy+ 3y+ 3xy− 4y32−16;+ 9wówczas układ równań przybierze postać:⎧ f⎨⎩g( x,y)( x,y)= 0,= 0P0=( 0,3).a po podstawieniu w miejsce zmiennych x i y liczb x0i y0otrzymujemy:⎧⎨⎩gf ( P0)( P )0= 65.= −27Obliczymy pochodne cząstkowe obu funkcji2( x, y) = 4x− y , f y( x, y) −5x+ 9yf x 5= ,( x,y) = 3x2 + y , g y( x, y) = 3x− 8yg x 3oraz ich wartości w punkcie P0:f x ( P ) = 15 , ( P 0) = 810 −f y ,g x ( P 0 ) = 9 , ( P ) = 24g y .0 −Odpowiedni układ równań liniowych ma postać:⎧−15⋅∆x+ 81⋅∆y= −65⎨,⎩ 9⋅∆x− 24⋅∆y= 27


202Elementy matematyki wyższeja jego rozwiązaniem jest⎧∆x= 1,6992 ⎧ x1= x⎨, zatem ⎨⎩∆y= −0,4878⎩y1= y+ ∆x⎧ x1= 1,6992, czyli ⎨ .+ ∆y⎩y1= 2,512200Pierwszym przybliżeniem jest P ( 1,6992; 2,5122)funkcji oraz pochodnych cząstkowych w punkcie P1mamy:1 =f ( P 1 ) =15, 9955 , f ( P ) = 7642x , ( P 1) = 48, 30431 −5,f y ,g ( P 1 ) =1, 5677 , g ( P ) x 1 = 16, 1984 , ( P ) = 0000zatem układ równań liniowych ma postać:⎧−5,7642 ⋅ ∆x+ 48,3043 ⋅ ∆y= −15,9955⎨.⎩ 16,1984 ⋅ ∆x−15,0000⋅ ∆y= −1,4677Jego rozwiązaniem jest:⎧∆x= −0,4466⎧ x⎨, zatem ⎨⎩∆y= −0,3844⎩y22= x1= y1g y 1 −15, ,+ ∆x⎧x, czyli ⎨+ ∆y⎩y22= 1,2526.= 2,1278Drugim przybliżeniem jest P ( 1,2526; 2,1278)funkcji oraz pochodnych cząstkowych w punkcie P 2 mamy:2 =f ( P 2 ) = 2,7127 , f ( P ) = ,x( P 2) = 34,4848 ,2 −5,6286g ( P 2 ) = 0,8511 , g ( P ) x 2 = 11,0904,( P ) = ,f yg yzatem układ równań liniowych ma postać:⎧−5,6286 ⋅ ∆x+ 34,4848⋅∆y= −2,7127⎨.⎩ 11,0904 ⋅ ∆x−13,2646⋅ ∆y= −0,85112 −13,2646. Po obliczeniu wartości. Po obliczeniu wartości


Funkcje wielu zmiennych 203Jego rozwiązaniem jest:⎧∆x= −0,2123⎨, zatem⎩∆y= −0,1133⎧ x⎨⎩y33= x= y22+ ∆x, czyli+ ∆y⎧ x3= 1,0403⎨ .⎩y3= 2,0145Trzecim przybliżeniem jest ( 1,0403; 2,0145)P .3 =Jeśli uważny Czytelnik sprawdza obliczenia z kalkulatorem w ręku, to autorzyszczerze doradzają wyjście w tej chwili na spacer (kwadrans powinien wystarczyć)i kontynuowanie obliczeń po powrocie.mamy:Po obliczeniu wartości funkcji oraz pochodnych cząstkowych w punkcie P3f ( P 3 ) = 0, 2118 , f ( P ) = 9113x , ( P 3) = 31, 32243 −5,f y ,g ( P 3 ) = 0, 1800 , g ( P ) x 3 = 9, 2902 , ( P ) = 9951zatem układ równań liniowych ma postać:⎧−5,9113⋅∆x+ 31,3224 ⋅ ∆y= −0,2118⎨.⎩ 9,2902⋅∆x−12,9951⋅∆y= −0,1800Jego rozwiązaniem jest:⎧∆x= −0,0392⎧ x⎨, zatem ⎨⎩∆y= −0,0142⎩y44g y 3 −12, ,= x3+ ∆x⎧ x4= 1,0011, czyli ⎨ .= y3+ ∆y⎩y3= 2,0003Czwartym przybliżeniem jest ( 1,0011; 2,0003)I jeszcze raz tak samo...mamy:P .4 =Po obliczeniu wartości funkcji oraz pochodnych cząstkowych w punkcie P4f ( P 4 ) = 0, 0027 , f ( P ) = 9971x , ( P 4) = 31, 00534 −5,f y ,g ( P 4 ) = 0, 0060 , g ( P ) x 4 = 9, 0075 , ( P ) = 9991zatem układ równań liniowych ma postać:⎧−5,9971⋅∆x+ 31,0053 ⋅ ∆y= −0,0027⎨.⎩ 9,0075⋅∆x−12,9991⋅∆y= −0,0060g y 4 −12, ,


204Elementy matematyki wyższejJego rozwiązaniem jest:⎧∆x= −0,0011⎧ x⎨, zatem ⎨⎩∆y= −0,0003⎩y555= x4= y4+ ∆x+ ∆yPiątym przybliżeniem jest P ( 1; 2)5 =5 0 5 =P otrzymujemy ( P ) = , g( P ) 0f , zatem punkt P 5 jest dokładnym rozwiązaniemukładu równań nieliniowych.⎧ x5= 1czyli ⎨ .⎩y5= 2. Po obliczeniu wartości funkcji w punkcieIstnieje problem podstawowy – jak wyznaczyć „zerowe” przybliżenie, czylipunkt, od którego rozpoczynamy obliczenia. W powyższych zadaniach punkt tenbył po prostu dany. Jeśli Czytelnikowi zdarzy się rozwiązywać podobne zagadnieniew praktyce, to punkt P0będzie musiał określić sam. Skąd ma zatem wiedzieć, odczego zacząć? Najprostszym wyjściem jest sporządzenie (np. za pomocą komputerowychprogramów matematycznych) wykresów obu funkcji i znalezieniepunktów ich przecięcia, a następnie odczytanie ich przybliżonych współrzędnych.Jednak ten sposób często bywa niedostępny. Pozostaje odwołanie się do praktyki.Najczęściej układ równań opisuje pewien proces (np. ekonomiczny), o którymmamy pewną (wynikającą z intuicji albo doświadczenia) wiedzę. Tak więc spodziewamysię pewnych wyników tego procesu. Te – spodziewane – wynikipowinny być wystarczająco dokładne, aby na ich podstawie wyznaczyć rozwiązanieproblemu z żądaną dokładnością. Należy jednocześnie wspomnieć, żejeśli punkt P0obierzemy daleko od rzeczywistego rozwiązania, to kolejne obliczeniamogą nas od rozwiązania oddalić.5.8. Ekstremum funkcji dwóch zmiennychDefinicja 5.d.15. Mówimy, że funkcja z = f ( x,y)ma w punkcie P = x , )maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu P 0P ∈ zachodzi nierówność f P)< f ( P ) .U P0( 0U P 00 ( 0 y0, że dla każdegoDefinicja 5.d.16. Mówimy, że funkcja z = f ( x,y)ma w punkcie P 0 minimumlokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie tego punktu , że dla każdego punktu Pz tego otoczenia zachodzi nierówność f P)> f ( P ) .( 0Definicja 5.d.17. Mówimy, że funkcja z = f ( x,y)ma w punkcie P0ekstremumlokalne, gdy ma w punkcie tym minimum lub maksimum lokalne.U P 0


Funkcje wielu zmiennych 205Warunek konieczny istnienia ekstremum. Jeżeli funkcja z = f ( x,y)ma pochodnąw pewnym otoczeniu punktu P 0 , to warunkiem koniecznym istnienia ekstremumw punkcie P 0 jestf x (P 0 ) = 0,f y (P 0 ) = 0.Punkt P 0 , którego współrzędne spełniają oba powyższe równania, nazywamy punktemstacjonarnym.Warunek wystarczający istnienia ekstremum. Jeżeli funkcja z = f(x,y) madrugie pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu punktu P 0 oraz w punkcie tymzachodzi warunek konieczny istnienia ekstremum, to warunkiem wystarczającymistnienia ekstremum w punkcie P 0 jestffxxxy( P )0( P )0ffxyyy( P )0( P )0> 0 ;gdy f xx (P 0 ) < 0, wówczas w punkcie P 0 istnieje maksimum lokalne,gdy f xx (P 0 ) > 0, wówczas w punkcie P 0 istnieje minimum lokalne.Uwaga 5.u.11. Jeśli wyznacznik podany w warunku wystarczającym jest mniejszyod zera, to dana funkcja w punkcie P 0 nie ma ekstremum, natomiast gdy podanywyznacznik w podanym punkcie jest równy zeru, wówczas w punkcie tym może,a nie musi być ekstremum.Uwaga 5.u.12. Wartość funkcji w punkcie, w którym zachodzi ekstremum, nazywamywartością ekstremalną, a więc maksymalną lub minimalną.Przykład 5.p.14. Znaleźć wartości ekstremalne dla następujących funkcji:2 2 2+a) z = x + y + xy − 5x− 6y7 ;b) 1 3 1z = x + y2 + xy − 7x− y + 3;3 2c)2 2−x− yz = ( x + y)e ;d)L = 1−t − u .22Schemat rozwiązywania(1) określenie dziedziny funkcji (obszaru określoności),(2) wyliczenie pochodnych cząstkowych,


206Elementy matematyki wyższej(3) wykorzystanie warunku koniecznego – utworzenie układu równań i rozwiązaniego (ustalenie punktów stacjonarnych),(4) warunek wystarczający – sprawdzenie znaku wyznacznika dla punktów stacjonarnych(określenie rodzaju ekstremum),(5) wyliczenie wartości ekstremalnych.Rozwiązania2 2 2+a) z = x + y + xy − 5x− 6y7 .Ad. (1) Dziedzina: R × R.Ad. (2)Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:z= 2x+ y − 5, z = 4y+ x − 6x y;Pochodne cząstkowe drugiego rzędu:zxx = xyyxyy2 , z = 1, z = 1, z = 4.⎧2x+ y −5= 0Ad. (3) ⎨, x 0 = 2, y 0 = 1; punkt stacjonarny ma współrzędne P 0 = (2,1).⎩4y+ x − 6 = 0Ad. (4) Pochodne cząstkowe w punkcie stacjonarnym są wyliczonymi wcześniejliczbami (pochodne cząstkowe drugiego rzędu są funkcjami stałymi), więc2114= 8 −1〉 0 , a z 〉 0 ,xxczyli dana funkcja ma minimum lokalne.2 2min =Ad. (5) z (2,1) = 2 + 2 ⋅1+ 2 ⋅1−5 ⋅ 2 − 6 ⋅1+7 3.Odpowiedź: Funkcja osiąga wartość minimalną równą 3.b) 1 3 1z = x + y2 + xy = 7x− y + 3 .3 2Ad. (1) Dziedzina: R × R.Ad. (2) z x = x 2 + y –7, z y = y + x – 1.Ad. (3)⎧⎨⎩2x + y − 7 = 0,y + x −1= 0


Funkcje wielu zmiennych 207z drugiego równania wyliczamy y i podstawiamy do pierwszego; wówczas otrzymamyx = − , x 3,a następnie wyliczamy y = , y = 2,co w efekcie daje1 2 2 =dwa punkty stacjonarne: P = −2,3),P = (3, 2).1 ( 2 −1 3 2 −Ad. (4) Warunek wystarczający: z 2 x,z = 1, z = 1.Dla punktu P 1 : z −4 , z = 1, z = 1xx = xy yyxx = xy yy− 4111〈 0(brak ekstremum).Dla punktu P 2 : z 6 〉 0, z = 1, z = 1xx = xy yy6111〉 0 zachodzi przypadek minimum.Ad. (5) Odpowiedź: Wartość minimalna z ( 3, −2)min = −11.c) z ( x + y)2 2−x− y= e .Ad. (1) Dziedzina: R × R.2 22 2−x− y−x− yAd. (2) z = [ 1−2x(x + y)] e , z = [ 1−2y(x + y)] e .xAd. (3) Ze względu na to, że e⎧1−2x(x + y)= 0 | ⋅ y⎨;⎩1− 2y(x + y)= 0 | ⋅(−x)22−x− yyjest zawsze dodatnie, otrzymamy układ równań:gdy dodamy je stronami, wówczas otrzymamy w efekcie y = x , co po podstawieniudo pierwszego równania i rozwiązaniu daje wyniki:1 11 1x 1 = − , x2= i odpowiednio wyliczone y 1 = − , y2= .2 22 2Mamy więc dwa punkty stacjonarne:Ad. (4)zxx⎛ ⎞⎜1 1A = ⎟− , −oraz⎝ 2 2 ⎠⎛ ⎞⎜1 1B = ⎟,.⎝ 2 2 ⎠= { −4x− 2y− 2x[1− 2x(x + y)]}e22−x− y,


208Elementy matematyki wyższejzzxyyy= { −2x− 2y[1−2x(x + y)]}e22−x− y= { −2x− 4y− 2y[1−2y(x + y)]}eDla punktu A otrzymamy,22−x− y.3ee−1/2−1/2e3e−1/2−1/2〉 0oraz z 0 ,xx 〉 Awięc zachodzi przypadek minimum.Dla punktu B otrzymamy− 3e− e−1/2−1/2− e− 3e−1/2−1/2〉 0oraz z 〈 0 ,xx Bwięc zachodzi przypadek maksimum.−1/2−1/2Ad. (5) Odpowiedź: z ( A)= −e, z(B)= e .d) L = 1−t − u .22minAd. (1) Dziedzina funkcji: 1−t − u ≥ 0.22maxAd. (2)L t− t= ,2 21−t − uL u− u2 2= , 1−t − u ≠ 0 .2 21−t − uAd. (3) Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero, więc z warunkukoniecznego otrzymamy układ równań⎧−t = 0⎨ , a zatem punktem stacjonarnym jest 0 )⎩−u = 0P = (0,0 .Ad. (4)2 2 − t−1⋅1−t − u + t ⋅2 2L =1−t − utt P= −10 2 2P ,01−t − u


Funkcje wielu zmiennych 209− ut ⋅2 2L =1−t − utu P= 00 2 2 P ,01−t − u2 2 − u−1⋅1−t − u + u ⋅2 2L =1−t − uuu P= −10 2 2P ,01−t − u−100−1〉0i L < 0 (funkcja osiąga maksimum lokalne).tt P0Ad. (5) Odpowiedź: L(P 0 ) max =21− 0 − 0 = 1.2Przykład 5.p.15. Niech x, y oznaczają kwoty zainwestowane, odpowiednio, w dwaprzedsięwzięcia, a Z – zysk otrzymany z tych kwot. Oznaczmy:Zz = ,x + ygdzie z – zysk względny ( z ⋅100%– zysk względny procentowy), który wyraża się−2x−1 2y2wzorem: z = ( x + 2y− 2) e . Wyliczyć maksimum funkcji zysku względnego.RozwiązanieAd. (1) Dziedzina funkcji: R × R. Jest to dziedzina, która wyraża się podanymwyżej wzorem. Jednak zmienne x i y oznaczają zainwestowane kwoty, które niemogą być ujemne, zatem: x ≥ 0 oraz y ≥ 0 .Ad. (2) Wyliczamy obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:zzxy==2 2−2[ 1 ( 2 2)] 1 x −− x ⋅ x + y − ⋅ey,2 2−2[ 2 2 ( 2 2)] 1 x −− y ⋅ x + y − ⋅ey.Ad. (3) Znajdujemy punkty stacjonarne:⎧z⎨⎩zxy= 0;= 0w obu pochodnych cząstkowych występuje wyrażenie


210Elementy matematyki wyższeje1 2 2− x − y2> 0 , zatem układem równoważnym jest:⎧ 1−x ⋅⎨⎩2− 2y( x + 2y− 2)⋅( x + 2y− 2)= 0,= 0a po wymnożeniu i uporządkowaniu:⎧ x ⋅⎨⎩2y( x + 2y− 2)⋅( x + 2y− 2)= 1;= 2ponieważ wyrażenie w nawiasie nie może być równe zero (dlaczego?), możemy obarównania podzielić stronami przez siebie, otrzymując rozwiązanie: x = y. Otrzymanywynik podstawiamy do jednego z równań układu, np. pierwszego, i wówczas:3 2 1y − 2y−1= 0 i dalej y 1 = − y2= 13oraz odpowiednio1x 1 = − x2= 1 .3Mamy więc dwa punkty stacjonarne P1 ( − 1/3, −1/3),P2(1,1 ) . Uwzględniając uwagęz punktu (1), odrzucamy punkt P1.Ad. (4) Wyliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:zxxP2=1 2 21 2 2− x − y− x − y22{[ −1⋅( x + 2y− 2)− x ⋅1] ⋅e+ [ 1−x ⋅( x + 2y− 2)] ⋅e⋅( − x)}P =−323232= −2⋅ e + 0 ⋅ e = −2⋅ e ,−−2zyy P2=1 2 21 2 2− x −y− x −y22{[ − 2⋅( x + 2y− 2)− 2y⋅ 2] ⋅e+ [ 2 − 2y⋅( x + 2y− 2)] ⋅e⋅( − 2y)}P =3 − 23 − 23 − 2= −6⋅e + 0⋅e= −6⋅e,2zyxP2=1 2 21 2 2− x − y− x − y22{[ − x ⋅ 2] ⋅e+ [ 1−x ⋅( x + 2y− 2)] ⋅e⋅( − 2y)}P =23 − 23 − 23 − 2= −2⋅ e + 0 ⋅ e = −2⋅ e .


Funkcje wielu zmiennych 211Teraz obliczamy wyznacznik:−3223− 2⋅e− 2⋅e−233= 8⋅e−−22− 2⋅e− 6⋅e−3> 0 .Zatem funkcja osiąga ekstremum w punkcie P 2 ; ponieważ z xx < 0, jest to maksimum.P 2Ad. (5) Odpowiedź: Wartość maksymalna funkcji jest równa3− 12z ( 1,1) = 1⋅e = ≈ 0, 223 .3eMaksymalny zysk względny jest równy 0,223, co oznacza, że maksymalny zyskwzględny procentowy jest równy 22,3%.ZadaniaZadanie 5.z.5. Znaleźć wartości ekstremalne funkcji z = f(x,y):a) z = 2x 2 + y 2 – xy – 3x – y ; b) z = x 2 + 2y 2 + xy – 3x – 5y ;c) z = x 2 + 2y 2 – xy – x – 3y ; d) z = – x 2 – 3y 2 + 2xy + 4y ;e) z = x 2 + y 2 – 5xy + 4x + 4y ; f) z = 31 ·x 3 + 21 ·y 2 + xy – 2x – 2y ;g) z = 31 x 3 + 31 y 3 – xy ; h) z = x 2 + y 3 – xy – x – 2y + 1 ;i) z = x 3 + y 2 – 4xy + x +2y +1; j) z = ln (9 – x 2 – y 2 ) ;k) z = x·e x + y² 2 4; l) z = x ⋅ y − − + 8 ; m) z = e x² + 2y² .x yOdpowiedzia) z(1,1) min = –2; b) z(1,1) min = –4; c) z(1,1) min = –2; d) z(1,1) max = 2;


212Elementy matematyki wyższeje) brak ekstremów; f) z(1,1) min =⎛ 5 7 ⎞i) z ⎜ , ⎟⎝ 3 3 ⎠min =m) z(0,0) min = 1.131− ; g) z(1,1) min = – ; h) z(1,1)min = –1;638− ; j) z(0,0) max = ln 9; k) brak ekstremów; l) z(–1,–2) min = 14;9


6. Szeregi6.1. Szeregi liczbowe6.1.1. Wiadomości podstawowePrzypomnienie wiadomości dotyczących ciągów liczbowychFunkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych, nazywamy ciągiemliczbowym i zapisujemy a n = f (n). Na przykład:1 2n!a n = , bn= n + n − n , cn= .nn2a1= , b3= 12 − 3 = 2 3 − 3, c44 2 = = =2Uwaga 6.u.1. Wyraz 4, a odpowiedniob3oraz2Granica właściwa ciągu2!2a oznacza czwarty wyraz (czwartą liczbę) ciągu ( a n )c oznaczają odpowiednio trzeci i drugi wyraz ciągu ( b ) oraz ( )Definicja 6.d.1. Liczbę g nazywamy granicą ciągu ( ) nistnieje liczba K zależna od ε i taka, że dla każdegoa n − g < ε .Granica niewłaściwa ciąguDefinicja 6.d.2.a) Liczbę + ∞ nazywamy granicą ciągu ( a n )241.2nc .a , jeżeli dla każdego ε > 0n > K zachodzi nierówność, jeżeli dla każdego A > 0 istniejeliczba skończona K ∈ N zależna od A i taka, że dla każdego n > K zachodzinierówność a n> A.b) Liczbę − ∞ nazywamy granicą ciągu ( a n ), jeżeli dla każdego B < 0 istnieje liczbaskończona K ∈ N zależna od B i taka, że dla każdego n > K zachodzinierówność a n < B .n


214Elementy matematyki wyższejGranicę ciągu zapisujemy: lim = g .a nn→∞Uwaga 6.u.2. Gdy granicą ciągu jest − ∞ lub + ∞ , wówczas mówimy, że ma ongranicę niewłaściwą, a o ciągu mówimy, że jest rozbieżny.Własności granic właściwychlim ( a ± b ) = lim a ± lim b ,n→∞n→∞nnnnn→∞n→∞nnn→∞lim ( a ⋅b) = lim a ⋅ lim b ,n→∞nnalimbn→∞nnlim an→∞= lim bn→∞nnprzy warunku, że lewa i prawa strona istnieje (mianownik różny od 0).Przy wyliczaniu granic pewnego typu ciągów stosuje się wzór⎛ k ⎞ k(6.1) lim⎜1+ ⎟ = e .n→∞⎝n ⎠Przykład 6.p.1. Obliczyć granicę ciągua)2n − 3n+ 5a n = ; b) b2n + nRozwiązaniaa)2n − 3n+ 5a n = .2n + nn5nn⎛ 2n+ 3⎞n!+ ( n + 1)!= ⎜ ⎟ ; c) c n = .⎝ 2n−1⎠( n + 1)! −n!Aby wyliczyć granicę, dzielimy licznik i mianownik (wszystkie wyrażeniasumy lub różnicy licznika i mianownika) ułamka, który określa ciąg, przez zmienną2n podniesioną do najwyższej potęgi mianownika – w naszym przypadku przez n :3 521−+n − 3n+ 52lim a = lim = limn nnn→∞n→∞2n + n n→∞11+n3 5 1→ 0, → 0, → 0.2n n nOdpowiedź: Granica ciągu jest równa 1.= 1, bo


Szeregi 215b) bn5n⎛ 2n+ 3⎞= ⎜ ⎟ .⎝ 2n−1⎠W ułamku w nawiasie dzielimy licznik i mianownik przez 2n oraz stosujemywzór (6.1)⎛ 2n+ 3⎞lim⎜⎟n→∞⎝2n−1⎠5n⎛ 3 ⎞⎜1+⎟= lim⎜2n⎟n→∞⎜−1⎟1+⎝ 2n⎠5nOdpowiedź: Granicą ciągu jest e 10 .n!+ ( n + 1)!c) c n = .( n + 1)! − n!n⎡ ⎛ 3 ⎞ ⎤⎢ ⎜ ⎟⎢ ⎜ 1+2 ⎟= ⎢lim⎜n ⎟⎢n→∞⎜−1⎟⎢ ⎜ ⎟⎢ ⎜1+2⎟⎣ ⎝ n ⎠5⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎛⎜ e= ⎜⎜⎝ e321−2⎞5⎟⎟⎟⎠= e2⋅5= e10.Uwaga 6.u.3.n! = 1⋅2⋅...⋅ n oraz ( n + 1)! = 1⋅2⋅...⋅ n ⋅(n + 1) = n!(n + 1).Najpierw przekształcimy c n , uwzględniając uwagę 6.u.3:n!+ ( n + 1) ⋅ n!n!(1+ n + 1) n + 2 2c n === = 1+.( n + 1) ⋅ n!−n!n!(n + 1−1)n n2lim cn= lim 1 + = 1+0 = 1,n→∞n→∞n2bo → 0 .nOdpowiedź: Granica ciągu jest równa 1.ZadaniaZadanie 6.z.1. Obliczyć granice następujących ciągów liczbowych.a)2n + 5n− 2a n =; b)23n− 2n+ 6n − 4nb n = ; c)n3+ 22c 2( n + 1)!= n ( n 1)! + ;+ 3n!


216Elementy matematyki wyższejd)2 − ( n + 2)!d n =; e)3n!+ 4( n + 1)!en2n⎛ 3n−1⎞= ⎜ ⎟ ; f)⎝ 3n+ 2 ⎠fn9n⎛ 4n+ 3 ⎞= ⎜ ⎟ .⎝ 4n− 7 ⎠Odpowiedzi:1 1a) ; b) 0; c) 2; d) ∞ ; e) 32e ; f) e2.456.1.2. Określenie szeregu liczbowego i jego sumyoraz zbieżność i rozbieżność szereguDefinicja 6.d.3. Niech będzie dany ciąg liczbowy ( an) ; wówczas wyrażeniepostaci: a 1 + a2+ ... + an+ ... nazywamy szeregiem liczbowym i zapisujemy ∑ ∞ a n .=1Definicja 6.d.4. LiczbęSn= a1 + a2+ ... + anazywamy sumą częściową szeregu liczbowego, a granicę ciągu liczbowego ( S n )– ciągu sum częściowych, nazywamy sumą szeregu liczbowego i oznaczamy S;jeżeli suma istnieje i jest liczbą skończoną, to wyjściowy szereg nazywamyzbieżnym, natomiast w pozostałych przypadkach (granica nie istnieje, granica jestliczbą nieskończoną) szereg nazywamy rozbieżnym.Uwaga. 6.u.4. Na ogół wyliczenie sumy szeregu liczbowego zbieżnego jestniezmiernie trudne, jednakże można wyliczyć jej wartość przybliżoną, wyliczającsumę częściową, np. S4, S14itd. W związku z tym należy wiedzieć, czy szereg jestzbieżny, czy rozbieżny, co oznacza, że wiemy, czy można przybliżyć sumę szereguprzez sumę częściową czy nie. Szeregi liczbowe rozbieżne mają zastosowaniew szczególnych przypadkach (np. do oszacowań pewnych funkcji rozbieżnych).Warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowegon=n∑i=1ainTwierdzenie 6.t.1. Jeżeli nieskończony szereg liczbowy ∑ ∞ a n jest zbieżny, ton=1lim a = 0.n→∞n


Szeregi 217Uwaga 6.u.5. Nawet jeśli wyraz ogólny szeregu ∑ ∞ a n spełnia warunek koniecznyn=1zbieżności (tzn. lim a = 0 ), nie oznacza to, że szereg jest zbieżny.n→∞nPrzykładem szeregu rozbieżnego spełniającego warunek konieczny zbieżnościjest szereg harmoniczny ∑ ∞ 1(suma odwrotności kolejnych liczb naturalnych).n=1nS szeregu harmonicznego jestDo wykazania, że ciąg sum częściowych ( )nrozbieżny, wykorzystamy fakt: jeśli nieskończony podciąg ciągu nieskończonego jest, który jest podciągiemrozbieżny, to ciąg jest rozbieżny. Pokażemy, że ciąg ( n )(częścią) ciągu ( Sn), jest rozbieżny1S 1 = 1+,221 1 1S 2 = 1++ + ,22 3 4S 21 1 1 1 1 1 1S 3 = 1++ + + + + + ,...,22 3 4 5 6 7 81 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1S n = 1++ + + + + + + + ... + + + ... + + ... + =2n−1n2 3 4 5 6 7 8 9 15 16 2 + 1 21 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞= 1++ ⎜ + ⎟ + ⎜ + + + ⎟ + ⎜ + ... + + ⎟ + ... + ⎜ + ... + ⎟ =n−1n2 ⎝ 3 4 ⎠ ⎝ 5 6 7 8 ⎠ ⎝ 9 15 16 ⎠ ⎝ 2 + 1 2 ⎠⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 1 ⎞= 1 + ⎜ ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + + + ⎟ +1 1 2 2 2 2 3⎝ 2 ⎠ ⎝14 2 +241 243⎠ ⎝14 2 +44441 2 +2424444+ 3 23⎠1> 2⋅222 1> 2 ⋅32⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞+ ⎜ + ... + + ...... .33 4⎟ + + ⎜ + +n−1n⎟⎝14 2 +444124+4447 23⎠⎝14 244+ 1244423⎠3 1> 2 ⋅42Zauważmy, że wyrażenien−11> 2 ⋅n2S 2n zostało podzielone na sumę n nawiasów;w pierwszym znajduje się jeden (2 0 ) wyraz, w drugim dwa (2 1 ), w trzecim cztery(2 2 ), a w n-tym 2 n-1 składników sumy. Co więcej – ostatnim wyrażeniem w każdej1parze nawiasów jest ułamek postacik , który jest składnikiem najmniejszym2z wszystkich znajdujących się w nawiasie. Zatem liczba w każdej parze nawiasów(począwszy od drugiej) jest większa od 21 . Stąd:S1 1 1> 1++ + ... , czyli1244 224432n+2n razy


218Elementy matematyki wyższej⎞⎜⎛ n > 1 + ⎟ → ∞,gdy n → ∞ , więc S n → ∞2⎝ 22;⎠S noznacza to, żeS n → ∞ , a zatem szereg harmoniczny jest rozbieżny.6.1.3. Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnichDefinicja 6.d.5. Szereg liczbowy ∑ ∞ a n , dla którego a n > 0 dla każdego n naturalnego,nazywamy szeregiem o wyrazachn=1dodatnich.Uwaga 6.u.6. Dla szeregów o wyrazach dodatnich w celu skrócenia zapisu wprowadzasię następujące oznaczenia:∑ ∞=1 n∑ ∞=1 nc < ∞ oznacza, że szereg jest zbieżny,nd = ∞ oznacza, że szereg jest rozbieżny.nKryteria zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich1. Kryterium porównawczeJeżeli istnieje taka liczba skończona K, że dla każdego n > K(a)∞an≤ bnoraz ∑ bn< ∞,to ∑ an< ∞ .∞n= 1n=1Jeżeli istnieje taka liczba skończona K, że dla każdego n > K(b)∞an≥ bnoraz ∑ bn= ∞ , to ∑ an= ∞.∞n= 1n=12. Kryterium ilorazowe, zwane również kryterium d’Alamberta. Gdy dany jest szerego wyrazach dodatnich∑ ∞=1 na 1na n oraz g lim+= , wówczasn→∞anjeżeli g < 1, to dany szereg jest zbieżny,


Szeregi 219jeżeli g > 1, to dany szereg jest rozbieżny,jeżeli g = 1, to szereg może być zbieżny lub rozbieżny.3. Kryterium pierwiastkowe, zwane również kryterium Cauchy’ego. Gdy dany jestszereg o wyrazach dodatnich∑ ∞=1 na n orazg = lim a , wówczas:nn→∞njeżeli g < 1, to dany szereg jest zbieżny,jeżeli g > 1, to dany szereg jest rozbieżny,jeżeli g = 1, to szereg może być zbieżny lub rozbieżny.Uwaga 6.u.7. Szereg ∑ ∞ 1jest zbieżny dla α > 1 oraz rozbieżny w pozostałychα=1przypadkach.n nPrzykład 6.p.2. Zbadać zbieżność szeregu:a) ∑ ∞ 2=1 n !; b) ∑ ∞ (2n+ 1)!; c)2n∑ ∞ 3 + nn ; d) ∑ ∞ n + n4= ( n + 3)= n!+ 5= 2n+ 3nnnn 1n 1n3n 122;e) ∑ ∞ n + n2; f)n ∑ ∞ + n.3 2= 5 + n!= n + 2n+ 4nn 13Rozwiązaniannn 1a) ∑ ∞ 2n=1 n !.Zastosujemy kryterium ilorazowe, wypiszemy więc:nn+2 12an = n!oraz 2 ⋅ 2n+an + 1 = = , gdzie: 2 1 n= 2 ⋅ 2 ;( n + 1)! n!(⋅ n + 1)(n+1)! = 1 · 2 · 3·...· n· (n + 1) = n! ·(n + 1).Wyliczymy teraz:nan+2 2 ! 2lim 1 ⋅ ng = = lim ⋅ = lim = 0 < 1 .n→∞a n→∞nn!(⋅ n + 1) 2 n→∞n + 1nn2n


220Elementy matematyki wyższejOznacza to, że dany szereg jest zbieżny, co zapisujemy:∑ ∞ 2=1 n!nn< ∞ .Odpowiedź: Powyższy szereg jest zbieżny.b) ∑ ∞ (2n+ 1)!.2n= ( n + 3)n 1Stosujemy kryterium ilorazowe(2n+ 1)![2( n + 1) + 1]!= oraz a n+ 1 = =2( n+1)( n + 3)( n + 1+3)an2nz definicji n! mamy:(2n + 3)! = 1 · 2 ·...· (2n + 1) · (2n + 2) ·(2n + 3) = (2n + 1)! · (2n + 2) · (2n +3),więc w konsekwencji otrzymamy(2n+ 3)!( n + 4)(2n+ 1)!(2n+ 2)(2n+ 3)=2n( n + 4) ( n + 4)( n + 4)= ;2n + 2wyliczymy teraz g; stosując wzór (6.1):an+1 (2n+ 1)!(2n+ 2)(2n+ 3) ( n + 3)g = lim = lim⋅ =n → ∞ →∞2a nn( n + 4) ( n + 4)( n + 4) (2n+ 1 )!n2n( n + 3)= limn ∞2( n + 4)2n+ 2⋅ lim ⋅ limn→∞n + 4 n→∞2n+ 3=n +→n42nn⎛ 3 ⎞⎜ ⎛ ⎞⎜1+⎟ ⎟=⎜lim⎜n ⎟ ⎟⎜ n→∞⎜4 ⎟⎜ 1⎟+⎟⎝ ⎝ n ⎠ ⎠2⎛ e⋅ 2⋅2=⎜⎝ e342⎞2⎟⋅2⎠⎛ 2 ⎞= ⎜ ⎟⎝ e ⎠2< 1 .


Szeregi 221Wykorzystujemy znany fakt, że jeśli a ∈(0,1), to a ∈(0,1)dla każdego k ∈ N ,szereg jest więc zbieżny, czyli∑ ∞n=1(2n+ 1)!< ∞ .2n( n + 3)Odpowiedź: Dany szereg jest zbieżny.c) ∑ ∞ 3 + nn .= n!+ 5n 1n3Stosujemy kryterium porównawcze (a), więc musimy znaleźć odpowiednie b n.n3n3 + n 3 + 3 3a n = ≤ = 2⋅=nn!+ 5 n!n!nn2b.Przy powiększaniu ułamka stosujemy poniższą uwagę 6.u.8.nUwaga 6.u.8. Przy powiększaniu ułamka, którego zarówno licznik, jak i mianownik sąsumami pewnych wyrażeń, stosujemy zasadę: w liczniku spośród wyrażeń, któredodajemy, wybieramy wyrażenie „największego rzędu” i wstawiamy je w miejscekażdego wyrazu sumy, a w mianowniku wybieramy wyrażenie, które jest „największegorzędu” i tylko to wyrażenie zostawiamy.Przy wyborze wyrażenia „największego rzędu” kierujemy się zasadą:knna ⋅ n ≤ b ⋅c≤ d ⋅ n! ≤ f ⋅ n , gdzie a > 0 , b > 0, d > 0, f > 0, c > 1,zachodzi dla każdegon > K , gdzie K jest pewną liczbą skończoną.Teraz do badania zbieżności szeregu, którego ogólnym wyrazem jest(współczynnik 2 występujący przed b n nie wpływa na zbieżność badanego szeregu,więc możemy go pominąć), stosujemy kryterium ilorazowe. W związku z tymbnn+1nn bn+ 1,3= ,n!3 3⋅3= =( n + 1)! n!(⋅ n + 1)gdzie jak w jednym z poprzednio rozwiązywanych zadań(n + 1)! = n! (n + 1), oraz 3 n+1 = 3 n·3.kb n


222Elementy matematyki wyższejnbn+3 3 ! 3lim 1 ⋅ ng = = lim ⋅ = lim = 0


Szeregi 223Teraz badamy zbieżność szeregu∑ ∞ n=1 n!nn(współczynnik 2 występujący przed b n nie wpływa na zbieżność badanego szeregu,więc możemy go pominąć), stosując kryterium ilorazowe (patrz przykłady (a) i (b)).Wyliczamy:n+1( n + 1) ( n + 1)( n + 1) ( n + 1)bn+ 1 = == , więc( n + 1)! ( n + 1) ⋅ n!n!nnbn+ ( 1) ! 11g lim 1 n + n ⎛ n + ⎞ ⎛ ⎞= = lim ⋅ = lim ⎜ ⎟ = lim ⎜1+ ⎟ = e > 1.n→∞b n→∞nn!n n←∞⎝n ⎠n→∞⎝n ⎠nPrzy wyliczaniu granicy stosujemy wzór (6.1), mamy więc szeregnnn∑ ∞=1 nb = ∞ ,tzn. że jest rozbieżny, zatem kryterium porównawcze (a) nie wyjaśnia problemuzbieżności wyjściowego szeregu. Zastosujemy więc kryterium porównawcze (b),wykorzystując przy zmniejszaniu podaną niżej uwagę 6.u.9.Uwaga 6.u.9. Przy zmniejszaniu ułamka, którego zarówno licznik, jak i mianowniksą sumami pewnych wyrażeń, stosujemy zasadę: w liczniku wybieramy wyrażenie,które jest „największego rzędu”, i tylko to wyrażenie zostawiamy, a w mianownikuspośród wyrażeń, które dodajemy, wybieramy wyrażenie „największego rzędu”i wstawiamy je w miejsce każdego wyrazu sumy.3nnn + n n 1 n 1an= ≥ = ⋅ = bnn .5 + n!n!+ n!2 n!2Teraz badamy zbieżność szeregu∑ ∞ nn=1 n!nn(współczynnik 21 występujący przed bn nie wpływa na zbieżność zapisanego szeregu,więc jak w powyższym przypadku, można go pominąć). O badanym szeregu wiemy,że jest rozbieżny (patrz: pierwsza część zadania, gdzie stosowaliśmy kryteriumporównawcze (a)). Oznacza to, że na podstawie kryterium porównawczego (b)dany szereg jest rozbieżny.Odpowiedź: Dany szereg jest rozbieżny.n


224Elementy matematyki wyższej2f) ∑ ∞ + n.3 2= n + 2n+ 4nn 1n2Stosujemy najpierw kryterium porównawcze (a)n22 + n 2 + 2 2a n =≤ = 2 =3 233n + 2n+ 4nn nnnn2 bn.Przy zwiększaniu ułamka wykorzystujemy uwagę 6.u.8. Badamy teraz zbieżnośćszeregu ∑ ∞ n2(współczynnik 2 jak w zadaniu (e) nie wpływa na zbieżność badanegoszeregu, więc może być pominięty przy jego badaniu) przez zastosowanie3n=1nkryterium ilorazowego; wyliczamy więcbn + 1n2 ⋅ 2=( n + 1)3oraz granicęnbn+ 2 2lim1 ⋅ n ⎛ n ⎞g = = lim ⋅ = lim 2 = 2 13⎜ ⎟( + 1) 2 ⎝ + 1⎠> ,n→∞b n→∞nnn←∞nn3czyli szereg utworzony z b n jest rozbieżny. Oznacza to, że kryterium porównawcze(a) nie określa zbieżności ani rozbieżności szeregu wyjściowego; zastosujemy więckryterium porównawcze (b).an=n3n22 + n≥2+ 2n+ 4nn32+ nn3+ n3=n1 2⋅33 n=31⋅bn3Przy zmniejszaniu ułamka wykorzystujemy uwagę 6.u.9. Badamy teraz zbieżnośćszeregu∑ ∞n=1nnn3.(podobnie wartość 31 jak poprzednio 2 czy 21 nie wpływa na zbieżność zapisanegoszeregu, więc może być pominięta), który, jak już zbadaliśmy, jest rozbieżny. Oznaczato, że dany szereg na podstawie kryterium porównawczego (b) jest rozbieżny.Odpowiedź: Powyższy szereg jest rozbieżny.


Szeregi 225ZadaniaZadanie 6.z.2. Zbadać zbieżność następujących szeregów:a) ∑ ∞ 3 + nn n ; b) ∑ ∞ n + 2n+ 5; c)4 ∑ ∞ n + nn= 5 + 4= 3n+ 7= 2 + (2nn 1n2n 12nn 1 )2n; d) ∑ ∞ n;n=1(2n)!e) ∑ ∞ 4 + nn ; f) ∑ ∞ 2 + n !n n ; g) ∑ ∞ n + n; h)n ∑ ∞ n!+ 2n= n!+ 3= + n= 3 + n!= 5 + nn 1n3n 1 3nn 123n 1n4;ni) ∑ ∞ 2 + nn ; j) ∑ ∞ 3 + n !4 n ; k) ∑ ∞ 2n+ 3n= n!+= n + n= 5 + nn 1 4n 1nn 1n5; l) ∑ ∞ n + 4n n= 5 +n 1 8n.Odpowiedzi:a) zbieżny, b) zbieżny, c) zbieżny, d) rozbieżny, e) zbieżny, f) zbieżny,g) zbieżny, h) rozbieżny, i) zbieżny, j) zbieżny, k) zbieżny, l) zbieżny.6.1.4. Szeregi liczbowe naprzemienneDefinicja 6.d.6. Szereg liczbowy postaci∑ ∞n=1( −1)n a , gdy dla każdego n ∈ N : a > 0nazywamy szeregiem naprzemiennym. Na przykład:1 −∞12+13− ... ( −1)n+( ∑ ( −1)⋅ = ( −1)⋅∑n=1 n=1nn+1 1∑ ∞ n+1 1⋅ ± ... = ( −1)⋅n n=1 n∞1 1n 1n( −1)⋅ ).nZapisany w przykładzie szereg nazywa się anharmonicznym.Dla szeregów naprzemiennych kryterium zbieżności, zwane kryterium Leibniza,jest następujące..n


226Elementy matematyki wyższejTwierdzenie 6.t.2 (kryterium Leibniza). Jeżeli ciąg ( a n ) jest ciągiem wyrazówdodatnich monotonicznie malejących (każda liczba następna ciągu jest mniejsza odpoprzedniej) oraz jego granica jest równa zero, to szeregjest zbieżny, a suma częściowa∑ ∞n=1( −1)n a n(6.2) S n − S < an+1 ,Sntego szeregu spełnia nierówność:gdzie S jest sumą danego szeregu naprzemiennego.Ze względu na to, że wyrażenie S n − S określa błąd, jaki popełniamy,zastępując sumę szeregu S sumą częściową S n , mówimy, że (6.2) „szacuje” błądprzy wyliczaniu sumy częściowej.Przykład 6.p.3.a) Zbadać zbieżność oraz w przypadku zbieżności wyliczyć S4i błąd, jaki popełniamy,zastępując otrzymanym wynikiem sumę szeregu S dla∑ ∞n=1( −1)n+1n.3n + 1b) Obliczyć, ile należy dodać wyrazów szeregu∑ ∞n=1+ 1n n( −1)n ,10aby otrzymany wynik przybliżał jego sumę z dokładnością, która jest liczbąmniejszą od 0,0001.c) Zbadać zbieżność i wyliczyć, jaka suma częściowa szeregun−1n( −1)( n + 1)!∑ ∞n=1różni się od jego sumy mniej niż oRozwiązania410 − .a) Zbadać zbieżność oraz w przypadku zbieżności wyliczyć S4i błąd, jaki popełniamy,zastępując otrzymanym wynikiem sumę szeregu S dla∑ ∞n=1( −1)n+1n.3n + 1


Szeregi 227n(1) Sprawdzamy, czy ciąg a n = jest malejący.n 3 +1n(2) Wyliczamy lim→∞n 3.n +1Ad. (1) Sprawdzamy, czy zachodzi a − a 0 (bo ciąg ma być malejący) dlakażdego n naturalnego, więc wyliczamya n + 1n + 1= =3( n + 1) + 1 ni po podstawieniu liczymy:a=n3n+ 1 n 0n+ 110 10nn dla każdego n ∈ N ,więc aby zbadać, czy ciąg jest malejący, wystarczy sprawdzić, czy zachodziaan +1


228Elementy matematyki wyższejn + 110 ⋅10nn10⋅nn + 1= < 110nzachodzi dla każdego n naturalnego, czyli ciąg jest malejący.nH12. lim a n = lim = lim = 0n→∞n→∞n10 n→∞n10 ln10(przy wyliczaniu granicy zastosowano regułę de l’Hospitala).3. Aby wyliczyć, ile wyrazów należy dodać, musimy najpierw wyliczyć, dla jakiego na będzie nie mniejsze od 0,0001.n+1n + 1a n+ 1 = ≥ 0,0001 (nierówność zachodzi dla n = 4, 5, 6, ...).n+110Odpowiedź: Należy dodać przynajmniej cztery wyrazy tego szeregu.c) Zbadać zbieżność i wyliczyć, jaka suma częściowa szeregu∑ ∞n=1( −1)n−1n( n + 1)!4różni się od jego sumy o mniej niż 10 − .Zaczynamy od badania zbieżności.1. Monotonicznośćna n = ,( n +1)!więc ciąg jest malejący.n + 1 n + 1 a + 1 n + 1a n + 1 = =, = < 1( n + 2)! ( n + 2)( n + 1)! a n(n + 2)n2. lim = 0 , szereg jest więc zbieżny.n→∞( n + 1)!n,−3. S − S < a + 1, wyliczamy zatem, dla jakiego n a ≥ 10 4 0, 0001.nnnn+ 1 =n + 1a n + 1 = ≥ 0,0001 (nierówność zachodzi dla n = 6, 7, 8, ....).( n + 2)!Odpowiedź: S 6 , S 7 , S 8 , ... spełnia podany w zadaniu warunek.


Szeregi 229ZadaniaZadanie 6.z.3.i błąd, jaki popełnia-a) Zbadać zbieżność oraz w przypadku zbieżności wyliczyć S 4my, zastępując otrzymanym wynikiem sumę szeregu S dla∑ ∞n=1( −1)34n+1 nn .b) Zbadać zbieżność oraz w przypadku zbieżności wyliczyć S 5 i błąd, jaki popełniamy,zastępując otrzymanym wynikiem sumę szeregu S dla∑ ∞n=1( −1)n+13n+ 2.2n + 1c) Zbadać zbieżność oraz w przypadku zbieżności wyliczyć S6i błąd, jaki popełniamy,zastępując otrzymanym wynikiem sumę szeregu S dla∑ ∞ nn 2( −1)n=1 !n .d) Obliczyć, ile należy dodać wyrazów szeregu∑ ∞n=1+ 12n n( −1)n ,5aby otrzymany wynik przybliżał jego sumę z dokładnością, która jest liczbąmniejszą od 0,001.e) Zbadać zbieżność i wyliczyć, jaka suma częściowa szeregu∑ ∞n=1( −1)n− 1 n +3n!różni się od jego sumy o mniej niżOdpowiedzi:310 − .a) Szereg zbieżny, S 4 ≈ 0, 4688, błąd jest mniejszy od 0,0146.b) Szereg zbieżny, S 5 ≈ 1, 83 , błąd jest mniejszy od 0,54.c) Szereg zbieżny, S 6 ≈ −0, 8444 , błąd jest mniejszy od 0,0254.d) Szereg zbieżny, należy dodać przynajmniej siedem wyrazów.e) Szereg zbieżny, należy dodać przynajmniej osiem wyrazów.


230Elementy matematyki wyższej6.2. Szeregi potęgoweDefinicja 6.d.7. Szereg postaci ∑ ∞ a n ( x − p)nazywamy szeregiem potęgowymn=1uogólnionym o środku p, a gdy p = 0 , wówczas szereg ten przybiera postać∑ ∞=0 nnn xa i nazywamy go szeregiem potęgowym, gdzie ( )x – zmienną, p – stałą. Na przykład:∞∑xn,n∞( x − 4)∑n=0 n!n= 0 n(n + 1)n.a jest ciągiem liczbowym,nPromień zbieżności szeregu potęgowegoDefinicja 6.d.8. Liczbę r nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego,jeżeli dla każdego k ∈ ( −r,r)szereg liczbowy ∑ ∞ a n k o wyrazach dodatnich jestn=0nzbieżny, a dla każdego q ∈ ( −∞,−r)∪ ( r,∞)szereg liczbowy ∑ ∞ a nn q o wyrazachn=0dodatnich jest rozbieżny.Definicja 6.d.9. Liczbę r nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowegouogólnionego, jeżeli dla każdego k ∈ ( p − r,p + r)szereg liczbowy ∑ ∞ a n ( k − p)n=0o wyrazach dodatnich jest zbieżny, a dla każdego q ∈( −∞,p − r)∪ ( p + r,∞)szereg liczbowy ∑ ∞n=0na ( q − p)o wyrazach dodatnich jest rozbieżny.nnSposoby wyliczania promienia zbieżności szeregu potęgowegoi promienia zbieżności szeregu potęgowego uogólnionegoDo wyliczania promienia zbieżności szeregów potęgowych stosuje się następującewzory:(6.3)anr = lim (wzór wynika z kryterium d’Alamberta),n→∞an+1


Szeregi 2311(6.4) r = lim n (wzór wynika z kryterium Cauchy’ego).→∞n a nUwaga 6.u.10. Jeśli wyliczony promień r = 0 , to szereg potęgowy i odpowiedniszereg potęgowy uogólniony są zawsze rozbieżne, a do szeregu potęgowegomożemy podstawić tylko x = 0 i odpowiednio do szeregu uogólnionego x = p ,aby otrzymać liczbę a 0 .Uwaga 6.u.11. Jeżeli wyliczony promień r = ∞ , to szereg potęgowy i odpowiedniszereg potęgowy uogólniony są zbieżne dla każdego x rzeczywistego.Przykład.6.p.4. Wyliczyć promień zbieżności szeregu:a) ∑ ∞ x ; b) ∑ ∞ x=0 n!= n(n + 1nnRozwiązaniaa) ∑ ∞ x .=0 n!annnn 0 ); c) ∑ ∞=0 2 nnx; d)n ∑ ∞ x; e)2 ∑ ∞ xn = n + 1 = n!+n 0Promień zbieżności wyliczymy, stosując wzór (6.3)1,n!n = an+11 1= = ,( n + 1)! n!(n + 1)nnn 0 1.r = limn→∞1n!⋅n!(n + 1)1= lim ( n + 1)n→∞=∞ .Odpowiedź: Szereg jest zbieżny dla każdego x.b) ∑ ∞ x.= n ⋅ ( n + 1ann 0 )Promień zbieżności wyliczamy jak w zadaniu poprzednim1,n ⋅ ( n + 1)1=( n + 1) ⋅ ( n + 2)n = an+ 1,1 ( n + 1) ⋅ ( n + 2) n + 2 2r = lim ⋅= lim = lim 1+= 1.n→∞n ⋅ ( n + 1) 1n→∞n n→∞nOdpowiedź: Promień zbieżności r =1.


232Elementy matematyki wyższejc) ∑ ∞ x.n= ⋅ nann 0 2nPromień zbieżności wyliczamy, stosując wzór (6.4)1= , = lim n nr n ⋅ 2 = lim 2⋅nn = 2 .nn ⋅ 2n→∞n→∞Uwaga 6.u.12. limnn =1.n→∞Odpowiedź: Promień zbieżności r = 2 .nd) ∑ ∞ x.2n= 0 n + 1Stosujemy wzór (6.3)a1,2n + 11=( n + 1)n = an+ 1,2 21 nr = lim ⋅n→∞n + 12+ 2n+ 21=+ 1 n= lim1+ 2n+ 22 221++n + 2n+ 22= limn n2n + 1 n→∞11+2n=2n→∞Odpowiedź: Promień zbieżności r =1.e) ∑ ∞ x= n!+nn0 1.Stosujemy również wzór (6.3)1 .a1,n!+ 1n = an+11= ,( n + 1)! + 1r = limn→∞1 ( n + 1)! + 1⋅n!+ 1 1= limn→∞( n + 1)! + 1⋅n!+ 11n!1n!= limn←∞1n + 1+n!11+n!= ∞,bo (n + 1)! = (n + 1)·n!Odpowiedź: r = ∞ .


Szeregi 233ZadaniaZadanie 6.z.4. Wyliczyć promień zbieżności szeregu potęgowego:na) ∑ ∞ x= n!+n 0 8; b) ∑ ∞ xn= 3 ( n + 5nn 0 )n; c) ∑ ∞ xn= 2 +n 0 4; d) ∑ ∞ x;2= n + 2n+ 1n 0nnne) ∑ ∞ x; f) ∑ ∞ x; g)n ∑ ∞ x; h) ∑ ∞ xnn= 0 3n!+ n n= 0 2 + n!n= 0 (2n+ 3)!n= 2 +nnn0 3;i) ∑ ∞ x2= n + 4n 0nn; j) ∑ ∞ x= n +n 0 !n.nOdpowiedzia) r = ∞ ; b) r = 3 ; c) r = 2 ; d) r = 1; e) r = ∞ ; f) r = ∞ ; g) r = ∞ ;h) r = 3 ; i) r = 4 ; j) r = ∞ .W s k a z ó w k a: Przy wyliczaniu promienia zbieżności szeregu potęgowegow zadaniach (a), (c), (e), (f), (h), (i), (j), obliczając granicę, dzielimy licznik i mianownikpowstałych ułamków przez wyrażenie „najwyższego rzędu” mianownika(uwaga 6.u.8).6.3. Szereg TayloraDefinicja 6.d.10. Z każdą funkcją y = f (x), która ma pochodne dowolnego rzędu,można związać szereg potęgowy uogólniony, który zapisujemy następująco:∑ ∞n=0f( n)( p)n!⋅ ( x − p)n==f ( p)+0!f ′(p)1!⋅ ( x − p)+f ′′ ( p)2!⋅ ( x − p)2+ ... +f( n)( p)n!⋅ ( x − p)n+ ...( )f nJest on nazywany szeregiem Taylora tej funkcji. ( ( p)oznacza pochodną rzędun funkcji f (x)w punkcie x = p; dla n = 0 pochodna jest rzędu 0, czyli jest funkcjąwyjściową, 0! = 1).


′′′234Elementy matematyki wyższejUwaga 6.u.13. Równość między daną funkcją a związanym z nią szeregiem zachodzidla x ∈ ( p − r,p + r), gdzie r jest promieniem zbieżności wyliczonego szeregu.Mamy więcf ( p)nf ( x)=⋅(x − p)dla x ∈ ( p − r,p + r).n!∑ ∞n=0( n)Proces wyliczania dla danej funkcji szeregu Taylora często nazywamyrozwijaniem funkcji w szereg Taylora (dla p = 0 wyliczony szereg nazywamyszeregiem Maclaurina).Przykład 6.p.5. Rozwinąć w szereg Taylora lub – odpowiednio – Maclaurinanastępujące funkcje:xa) y = ln x dla p =1;b) y = e dla p = 0;c) y = sin x dla p = 0;d) y = cos x dla p = 0;e)2xy = xe dla p = 0;f) y = sin x + cos x dla p = 0oraz wyliczyć odpowiednie promienie zbieżności dla wyliczonych szeregów.Rozwiązaniaa) y = ln x dla p = 1.Wyliczamy kolejne pochodne danej funkcji, a potem te pochodne dla p = 1:f ( x)= ln x , f ( 1) = ln1 = 0 ,1 −1f ′(x)= = x , f ′( 1) = 1 = 0!,x−2f ′′ ( x)= −1x, f ′′( 1) = −1= −1!,−3f ′′′( x)= −1(−2)x , f ( 1) = 2!,()−4( IV )f IV ( x)= −1(−2)(−3)x , f (1) = −3!,f( n)n−1( x)= ( −1)( n −1)!x−n( n)n − 1, f (1) = ( −1)( n −1)!.Otrzymujemy szereg:0! −1!2 2! 3 − 3!+ ( x −1)+ ( x −1)+ ( x −1)+ ( x −1)0! 1! 2! 3! 4!0 4+ ...


Szeregi 235( −1)+n−1( n −1)!( x −1)n!n+ ... =1 −12 13 −1= 0 + ⋅ ( x −1)+ ⋅ ( x −1)+ ⋅ ( x −1)+ ⋅ ( x −1)1 2 3 4( −1)... +nn−1⋅ ( x −1)n+ ... =∑ ∞n=1( −1)nn−1n⋅ ( x −1).Wyliczamy teraz promień zbieżności otrzymanego szeregu, stosując wzór (6.3)ann−1( −1)= , an+n1n( −1)= , więcn + 14+r = limn→∞( −1)nn−1n + 1⋅n( −1)= limn→∞n + 1 1+= limn n→∞11n= 1.Odpowiedź: Mamy ∑ ∞ ( −1)nln x = ⋅ ( x −1)n=1 ndla x ∈ (0,2).xb) y = e dla p = 0.Z własności pochodnej funkcjiOtrzymujemy więc szereg:∞∞ n1 n x∑ ⋅ x = ∑n=0 n!n=0 n!.n−1xe wiemy, że( n)f ( x)= ex( n), czyli f (0) = 1.Promieniem zbieżności otrzymanego szeregu jest r = ∞ (patrz przykład 6.p.4adotyczący wyliczania promienia zbieżności szeregów potęgowych).Odpowiedź: Oznacza to, że ∑ ∞ nx xe = dla każdego x rzeczywistego.n=0 n!c) y = sin x dla p = 0.f ( x)= sin x , f ( 0) = 0 ,f ′( x)= cos x , f ( 0) = 1,f ′′ ( x)= −sinx , f ′′( 0) = 0 ,f ′′ ′( x)= −cosx , f ′′′ ( 0) = −1,f IVIV( x)= sin x , f ( 0) = 0 .Z otrzymanych rezultatów wnioskujemy, że następne pochodne będą dawaływyniki powtarzające się cyklicznie, otrzymujemy więc szereg


236Elementy matematyki wyższej1 0 2 −13 0 4 1 5 x x x x10...... ∑ ∞ n−x+ x + x + x + x + x + = − + − + = ( −1).1! 2! 3! 4! 5! 1! 3! 5! 7! n=1 (2n−1)!Promieniem zbieżności otrzymanego szeregu jest r = ∞ (wyjaśnienie w przykładzie6.p.5f).2n−1Odpowiedź: ∑ ∞ n−1xsin x = ( −1)dla każdego x rzeczywistego.n=1 (2n−1)!d) y = cos x dla p = 0.′′′f ( x)= cos x , f ( 0) = 1,f ′( x)= −sinx , f ′( 0) = 0 ,f ′′ ( x)= −cosx , f ′′ ( 0) = −1,f ( x)= sin x , f ′′′( 0) = 0 ,f IVIV( x)= cos x , f ( 0) = 1.Podobnie jak w zadaniu poprzednim, otrzymywane wyniki pochodnych kolejnychrzędów będą się powtarzać cyklicznie; otrzymujemy więc szereg21 0 −12 0 3 1 4 x x x x... 1... ∑ ∞ n x+ x + x + x + x + = − + − + − = ( −1).0! 1! 2! 3! 4!2! 4! 6! 8! n=0 (2n)!Promieniem zbieżności otrzymanego szeregu jest, jak w poprzednim zadaniu,r = ∞ (wyjaśnienie w przykładzie 6.p.5f).2nOdpowiedź: ∑ ∞ n xcos x = ( −1)dla każdego x rzeczywistego.n=0 (2n)!e)2xy = xe dla p = 0.2xf ( x)= xe , f ( 0) = 0 ,fffff2x2x2x′( x)= 1e+ xe ⋅ 2 = (1 + 2x)e , ′( 0) = 1435678f ,2x2x2x′′ ( x)= 2e+ (1 + 2x)e ⋅ 2 = 2⋅(2+ 2x)e , ′′( 0) = 42x( 3 + 2x) e32x⋅ ( 4 + 2x) ef ,2x2′′′( x)= (12 + 8x)e = 2 ⋅ ⋅ , ′′′( 0) = 12IVf ,2xIV( x)= (32 + 16x)e = 2 ⋅ , f ( 0) = 32 ,( n) n−12x( )= 2 ⋅ n + 2x⋅e,f( n ) n−1( ) = 2 ⋅ n0 .2n2n−1


Szeregi 237Zapisujemy odpowiedni szereg01 4 2 12 3 32 4 2 2 2 2 3 2 4∑ ∞ 2 n0 + x + x + x + x + ... = x + x + x + x + ... = x .1! 2! 3! 4! 0! 1! 2! 3!n=1 ( n −1)!i wyliczamy promień zbieżności otrzymanego szeregu, stosując wzór (6.3)an−1n = an+1 =r = lim2,( n −1)!n−12 n!⋅n( n −1)!2n2,n!n= lim = ∞ .n→∞n→∞2Promień zbieżności jest równyn−1r = ∞ .2xOdpowiedź: ∑ ∞ 2 nxe = x zachodzi dla każdego x rzeczywistego.n=1 ( n −1)!f) y = sin x + cos x dla p = 0 .f ( x)= sin x + cos x , f ( 0) = 1,f ′( x)= cos x − sin x , f ′( 0) = 1,f ′′ ( x)= −sinx − cos x , f ′′ ( 0) = −1,f ′′ ′( x)= −cosx + sin x , f ′′′ ( 0) = −1,f IV( x)= sin x + cos x , f ( 0) = 1.Wyliczone wartości kolejnych pochodnych powtarzają się cyklicznie, więcotrzymujemy szereg1 −12 −13 11+ x + x + x + x1! 2! 3! 4!4+ ...−12 1 4 −16 1 −13 1 5 −17= 1+x + x + x + ... + x + x + x + x + ... =2! 4! 6! 1! 3! 5! 7!=∞∑( −1)n2nx+(2n)!∞∑n=0 n=1( −1)n−12n−1x.(2n−1)!Wyliczony szereg dla ułatwienia zapisano jako sumę dwóch szeregów wyliczonychwyżej, jednakże można go zapisać jednym wzorem:11!−1−11( ) [ n−1]2 3 4∑ ∞ 21+x + x + x + x + ... =2! 3! 4!n=01nx,n!gdzie symbol [a] użyty w wykładniku potęgi oznacza cechę liczby a, czylinajwiększą liczbę całkowitą nie większą od a (np. [2] = 2; [2,1] = 2; [1,9] = 1;23n−1


238Elementy matematyki wyższej[–1] = –1; [–1,7] = –2; [3,141] = 3). Promień zbieżności wyliczymy dla tak1właśnie zapisanego szeregu, a n = , więc przy wyliczaniu promienia zbieżnościn!wykorzystamy wynik zadania 6.p.4a)anr = lim = ∞ .x→∞an+1Oznacza to, że również obydwa szeregi (występujące w przykładach 6.p.5.ci d), z których nasz szereg się składa, muszą mieć promień zbieżności równynieskończoności.∞2n∞2n−1n xn−1xOdpowiedź: sin x + cos x = ∑(−1)+ ∑ ( −1)dla każdego x lub(2n)!(2n−1)!sin ( ) [ n−]x + cos x =∑ ∞ nx1 2n=0 n!n=0 n=1dla każdego x rzeczywistego.ZadaniaZadanie 6.z.5. Rozwinąć w szereg Maclaurina następujące funkcje:a) y = x ⋅ sin x dla p = 0 ; b)c)e)2xy = −3x⋅ e dla p = 0 ; d)−xy = −2 x ⋅ e dla p = 0 ; f)xy = 3 x ⋅ e dla p = 0 ;−3xy = x ⋅edla p = 0 ;xy = dla p = 0x 2 +1oraz wyliczyć promienie zbieżności wyznaczonych szeregów.Odpowiedzi:2n+1a) ∑ ∞ n xx ⋅ ( −1)⋅ , r = ∞ ; b) ∑ ∞ x3x ⋅ , r = ∞ ;n=0 (2n+ 1)!n=0 n!2 n( −3)nc) − 3x ⋅ ⋅ x ,r = ∞ ; d) x ⋅ ⋅ x , r = ∞ ;n!n!∑ ∞n=0n( −1)ne) − 2x ⋅ ⋅ x , = ∞n!∑ ∞n=0n∑ ∞n=0∑ ∞n=0r ; f) ⋅ ( − x ) ,nn2 nx r = 1.


Szeregi 2396.4. Rozwijanie w szereg Maclaurina pewnych typówfunkcji wymiernychDla przypomnienia (patrz całki) funkcję, którą zapisujemy w postaci ułamkao liczniku i mianowniku wielomianowym, nazywamy funkcją wymierną.Rozróżniamy dwa rodzaje funkcji wymiernych: właściwą i niewłaściwą, podobniejak ułamki liczbowe. Funkcję wymierną nazywamy właściwą, jeżeli stopieńwielomianu licznika jest mniejszy od stopnia wielomianu z mianownika, podobniefunkcję wymierną nazywamy niewłaściwą, jeżeli stopień wielomianu licznika jestwiększy od stopnia wielomianu mianownika lub mu równy. Na przykład:3xx23+ 2x−10,− 5x− 77,25x+ 6x− 2x+ 34+ 3x3− 9to funkcje wymierne właściwe;x25x,− 3x+ 52x32− 2x+ x − 3,5x+ 8xx33− 5x+ 3to funkcje wymierne niewłaściwe.+ 3x− 4Każdą funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić jako sumę częścicałkowitej i funkcji wymiernej właściwej, tzn.(6.5)Wn ( x)R(x)= P(x)+ ,V ( x)V ( x)mgdzie: W n (x) − wielomian stopnia n, V m (x) − wielomian stopnia m ( n≥ m),P (x) − wynik dzielenia licznika wyjściowej funkcji wymiernej przez jejmianownik, R (x) − reszta z opisanego wyżej dzielenia stopnia mniejszego od m,P (x) − część całkowita wyjściowej funkcji,mR(x)− funkcja wymierna właściwa.V ( x)Każdą funkcję wymierną właściwą można w sposób jednoznaczny przedstawićjako sumę ułamków prostych. Sposób wyliczania podano w rozdziale 4 (patrzcałka nieoznaczona). Nas będą interesowały tylko pewne ułamki proste, postaci:Ax + B(6.6) ,2a + bxmC,d + exgdzie a ⋅b > 0 oraz d ⋅e ≠ 0 .Wymienione wyżej ułamki proste po wykorzystaniu wzoru dobrze znanegoze szkoły średniej, dotyczącego sumy nieskończonego ciągu geometrycznego


240Elementy matematyki wyższeja= a + aq + aq1−q2+ aq3+ ... ,który zachodzi dla –1 < q


Szeregi 241edla x spełniającego warunek −1 < − ⋅ x < 1.dSchemat rozwijania niektórych funkcji wymiernych w szereg Maclaurina:(1) stosując wzór (6.5), daną funkcję dzielimy na sumę części całkowitej (wielomian)i funkcji wymiernej właściwej;(2) funkcję wymierną właściwą rozkładamy na ułamki proste (patrz całki);(3) ułamki proste rozpisujemy według wzoru (6.7) lub (6.8).Aby można było funkcję wymierną rozwinąć w szereg Maclaurina, musi onabyć takiej postaci, by ułamki proste otrzymane z rozkładu funkcji wymiernejwłaściwej otrzymanej z zastosowaniem wzoru (6.5) miały postać podaną w (6.6).Przykład 6.p.6. Rozwinąć w szereg Maclaurina następujące funkcje:a)322x+ x −16x− 35; b)( x + 2)( x − 3)x433+ 2x− 3x+ 5x+ 3;( x −1)(x + 3)c)24x−13; d)2( x + 4)( x − 5)323x+ 3x+ x −1.2( x + 1)( x −1)(x + 2)Rozwiązaniaa)322x+ x −16x− 35.( x + 2)( x − 3)Najpierw dzielimy licznik przez mianownik. Aby ułatwić dzielenie, pomnożymywyrażenia w mianowniku.( x + 2)( x − 3) = x − x − 623 22( 2x + x −16x− 35) : ( x − x − 6)− 2x3+ 2x3x2− 3x22+ 12x− 4x− 35+ 3x+ 18 .− x −17Zatem, zgodnie ze wzorem (6.5),32= 2x+ 32x+ x −16x− 35− x −17= 2x+ 3 +.( x + 2)( x − 3)( x + 2)( x − 3)


242Elementy matematyki wyższejRozkładamy funkcję wymierną właściwą− x −17( x + 2)( x − 3)na ułamki proste:− x −17A B= +( x + 2)( x − 3) x + 2 x − 3− x −17=− x −17=⎧ A + B = −1⎨,⎩−3A+ 2B= −17Obliczyliśmy:A⋅( x − 3) + B ⋅( x + 2)( A + B) ⋅ x + ( − 3A+ 2B)⎧ A = 3zatem ⎨ .⎩B= −4− x −173 − 4= + ,( x + 2)( x − 3) x + 2 x − 3⋅(x + 2)( x − 3)więc zgodnie ze wzorem (6.8) otrzymane ułamki proste, dla lepszego zilustrowania,rozwiniemy w szereg w taki sposób, jak został wyprowadzony wzór (6.8).W kolejnych przykładach wzory (6.7) i (6.8) będą stosowane bezpośrednio.3x31∞∞1(1 n= = 3⋅2⋅ = ⋅ − x)= ⋅+ + x − (1− x)∑ 2 ∑2 2 122 n= 0 2 n=033n( −1) n1dla − < − x < 1 , a po pomnożeniu przez (–2) otrzymamy: − 2 < x < 2 , czyli12( − 2,2)x ∈ .− 4=x − 3( − 4) ⋅ ( −1)31⋅1−(1⋅ x)34= ⋅3∞43(1 nn∑ 3x) = ⋅∑⋅ xn∞n= 0n=01dla −1 < 3x < 1 , a po pomnożeniu przez 3 otrzymamy: 3 < < 3132n⋅ x− x , czyli ∈( − 3,3)x .Przedziały zbieżności obu szeregów nie są identyczne, a ponieważ rozwinięciefunkcji w szereg składa się w istocie z dwóch szeregów, to przedział,w którym istnieje rozwinięcie funkcji, jest wspólną częścią obu przedziałów.Odpowiedź:322x+ x −16x− 35 3 ∞= 2x+ 3 + ⋅ ∑( x + 2)( x − 3)2n( −1) ∞n 4 1 n⋅ x+ ⋅ ∑3 3nnn= 0n=02⋅ x


Szeregi 243dla ∈( − 2,2)b)xx .433+ 2x− 3x+ 5x+ 3.( x −1)(x + 3)Najpierw dzielimy licznik przez mianownik. Aby ułatwić dzielenie, pomnożymywyrażenia w mianowniku.( x −1)(x + 3) = x2+ 2x− 34 3 22( x + 2x− 3x+ 5x+ 3) : ( x + 2x− 3)− x4− 2x3+ 3x" " " 5x+ 3.2=x2Zatem, zgodnie ze wzorem (6.5)x43 32 2+ x − 3x+ 5x+ 3= x( x −1)(x + 3)5x+ 3+.( x −1)(x + 3)Rozkładamy funkcję wymierną właściwą5x+ 3( x − 2)( x + 3)na ułamki proste.5x+ 3 A B= +( x −1)(x + 3) x −1x + 3⋅(x −1)(x + 3)( x + 3) + B ⋅( 1)5x+ 3 = A⋅x −( A + B) ⋅ x + ( A − B)5 x + 3 =3⎧ A + B = 5⎨ ,⎩3A− B = 3zatem⎧A= 2⎨ .⎩B= 3Obliczyliśmy więc:5x+ 3 2 3= + , zatem( x −1)(x + 3) x −1x + 3x43 32 2+ x − 3x+ 5x+ 3= x( x −1)(x + 3)2 3+ + .x −1x − 3


244Elementy matematyki wyższejOtrzymane ułamki proste rozwijamy w szereg potęgowy, stosując dwukrotnie wzór(6.8)2x− 2∑ ∞ = = −2⋅−11−x n=0xn, dla −1 < x < 1,3x33∞∑( 1 n= = ⋅ −3x)=+ 3 3 + x 3 n=0n=0∞( −1)∑ n3n⋅ xndla 1


Szeregi 245⎧ A + C = 4⎪⎨−5A+ B = 0 , zatem⎪⎩−5B+ 4C= −13i po podstawieniu⎧ A=1⎪⎨ B = 5⎪⎩ C = 324x−13=2( x + 4)( x − 5)x + 5 3+ .2x + 4 x − 5Zastosujemy teraz wzory (6.7) do pierwszego ułamka oraz (6.8) do drugiego. Zewzoru (6.7) mamy:x + 5=2x + 4x + 5=24 + xx + 54⋅∑ ∞n=02⎛ x ⎞⎜ ⎟−⎝ 4 ⎠n2xdla −1< − < 1 ⋅( − 4),4czyli ∈ ( − 2, 2 )x .Ze wzoru (6.8) otrzymamy3 3 3 ⎛ x ⎞= = − ⋅ ⎜ ⎟x − 5 − 5 + x 5 0 ⎝ 5 ⎠∑ ∞n=nxdla −1 < < 1 ⋅5, czyli x ∈(− 5 , 5 ) .5Ostatecznie po zsumowaniu i uwzględnieniu części wspólnej przedziałów,jak w poprzednich przykładach, otrzymamy rozwiązanie.Odpowiedź:24x−13=2( x + 4)( x − 5)x + 5 ⋅4∞∑n=02⎛ x ⎞⎜ ⎟−⎝ 4 ⎠n3−5∞∑n=0⎛ x ⎞⎜ ⎟⎝ 5 ⎠ndla x ∈( − 2 , 2 ).d)323x+ 3x+ x −1.2( x + 1)( x −1)(x + 2)Również w tym przypadku stopień wielomianu licznika jest mniejszy odstopnia wielomianu z mianownika (po wymnożeniu występujących w mianownikuczynników), więc rozkładamy podaną funkcję na ułamki proste (podobnie jakw zadaniach poprzednich).


246Elementy matematyki wyższej323x+ 3x+ x −1x + 1 1 1= + + ,22( x + 1)( x −1)(x + 2) x + 1 x −1x + 2x + 1 x + 1= = ( x + 1)⋅2 2x + 1 1+x∑ ∞n=02( − x )n− x 2 < , czyli ∈( −1,1)dla 1


Szeregi 247Odpowiedzi:∞∞3 ⎛ x ⎞ 4 ⎛ x ⎞a) ⋅ ∑ ⎜ − ⎟ + ⋅∑⎜ ⎟ ,2 ⎝ 2 ⎠ 3 ⎝ 3 ⎠n=0nn=0n( − 2,2)x ∈ ;nnx ∈( − 3 , 3)∞ 2⎛∞x ⎞ 5 ⎛ x ⎞b) 2 ⋅ ∑ ⎜ ⎟− + ⋅∑⎜ ⎟ ,= 0 3n ⎝ ⎠ 2 n=0 ⎝ 2 ⎠1∞n=0 3∞n=0+⎛ x ⎞ −⎝ 3 ⎠x ;nc) 3x 2 ⋅ ∑ ( − x ) − ⋅ ∑ ⎜ ⎟ , ∈( −1,1)nx ;∞ 2 ∞x −1⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞d) 2x + 1+⋅ ∑ ⎜ ⎟−+ ∑ ⎜ − ⎟ , x ∈( − 2,2);5 n=0 ⎝ 5 ⎠ n=0 ⎝ 2 ⎠∞ 2∞2x− 5 ⎛ x ⎞ 3 ⎛e) − 3 + ⋅ ∑ ⎜ ⎟−+ ⋅∑⎜2 n=0 ⎝ 2 ⎠ 5 n=0 ⎝nnnx ∈( − 2 , 2)nx ⎞⎟ ,5 ⎠∞ 2∞x − 2 ⎛ x ⎞ 3 ⎛ x ⎞f) 3 −1+⋅ ∑ ⎜ ⎟−− ⋅ ∑ ⎜ − ⎟ ,4 n=0 ⎝ 4 ⎠ 2 n=0 ⎝ 2 ⎠nnx ;x ∈( − 2,2)x ;∞ 2∞2 x + 2 ⎛ x ⎞ 1 ⎛ x ⎞g) x + 4 + ⋅ ∑ ⎜ ⎟−− ⋅∑⎜ ⎟ , x ∈( − 3,3).9 n=0 ⎝ 9 ⎠ 2 n=0 ⎝ 4 ⎠nn6.5. Zastosowanie szeregów Taylora w aproksymacjiWcześniej podano, że obliczenia sum szeregów liczbowych (patrz uwagax ∈ p − r, p + r z praktycznego punktu6.u.4), a więc i szeregów Taylora, dla ( )widzenia są trudne, a w wielu przypadkach niemożliwe. Podano wówczas, żemożna jednak przybliżyć sumę odpowiedniego szeregu liczbowego (a więc i szere-x ∈ p − r, p + r ) przez sumę częściową.gów Taylora dla ( )Uwzględniając powyższe, łatwo zauważyć, że funkcję, którą rozwija sięx ∈ p − r, p + r aproksymować (przybliżać) przezw szereg Taylora, można dla ( )odpowiednią sumę częściową (wielomian). Na przykład:


248Elementy matematyki wyższej35x x xsin x ≈ − +(przykład 6.p.5c)1! 3! 5!234x x x x xe x ≈ 1++ + + + (przykład 6.p.5b).1! 2! 3! 4! 5!A teraz kilka zastosowań.Przykład 6.p.7. Wyliczyć przybliżone wartości całki:πa) ∫ 2 π4sin xdxx2; b) ∫15e x dx .2xRozwiązaniePodanych całek nie można rozwiązać za pomocą funkcji elementarnych(patrz podrozdział 4.1), więc wyliczymy je w sposób przybliżony; w związkuz tym wykorzystamy napisane wyżej przybliżenia funkcji sin x czy e x .π2x x x− +1! 3! 5!x3 5a) ∫ dx ≈ ∫ dx = ∫( 1−+ ) dx = ⎢x− x + x ⎥ =π4sin xxπ2π435π2π42x64x120⎡⎣1183 35 5⎛ π π ⎞ 1 ⎡⎛π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎤ 1 ⎡⎛π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎤= ⎜ − ⎟ − ⎢⎜⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ + ⎢⎜⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ ≈ 0,6124 .⎝ 2 4 ⎠ 18 ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎥⎦600 ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎥⎦Odpowiedź: Podana całka jest w przybliżeniu równa 0,6124.x x x x x2e x 2 1++ + + +b) ∫ dx ≈ 1! 2! 3! 4! 5! dx2x∫=2x1=21234−223∫ x dx + ∫ dx + ∫ dx + ∫ x dx + + ∫ x dx + ∫ x =121x1221625124111112211⎡ ⎤ 1 1 1 1= −⎢⎥ + 1 111 x⎣ x ⎦ 2 12 72 480211202 2 2 2 3 24[ ln x] + [ x] + [ x ] + [ x ] + [ ] ≈ 2, 0716Odpowiedź: Podana całka jest w przybliżeniu równa 2,0716.211600.⎤⎦π2π4


Szeregi 249Można zauważyć, że dokładność wyliczonych całek zależy od liczby wyrazówxsum częściowych, które przybliżają nam funkcje sin x czy e (im więcej wyrazówweźmiemy, tym dokładniejszy będzie wynik). Aby to zauważyć, wyliczymy jeszczeraz przybliżenia całki z przykładu (a) dla pięciu różnych przybliżeń funkcji sin x .Dladladladlaπ2xsin x xsin x ≈ = x≈ = ≈ 0, 7853981!∫ dxx∫xdx ∫ dx ,sin x3π4x x 1− = x − x1! 3! 63π2≈ ∫ ≈ ∫ dx ≈35π4π2π4sin xdxxπ2π4π2π4x −16xx30,596992 ,x x x 1 3 1 5 sin xsin x ≈ − + = x − x + x≈ 0, 6124321! 3! 5! 6 120∫ dx ,x357x x x x sin xsin x ≈ − + −≈ 0, 6117691! 3! 5! 7!∫ dx ,xπ2π4π2π4357x x x x x sin xdla sin x ≈ − + − +≈ 0,611787 .1! 3! 5! 7! 9!∫ dxx9π2π4Otrzymane rezultaty świadczą o tym, że wyniki danej całki różnią się odsiebie o tym mniejsze wartości, im „dłuższą” bierzemy sumę częściową. Możemyzauważyć, że podana całka wyliczona z dokładnością do czterech miejsc po przecinkujest równa 0,6118.Podobnie postąpimy, wyliczając kolejne przybliżenia często używanej w statystycematematycznej całki ∫całka1πa−⋅ ∫ e 2−∞1−e x−12dx (w rozkładzie normalnym dystrybuantą jestx 1dx , ale najczęściej używa się przybliżeń ⋅ ∫πa−e 2−ax dx ).


250Elementy matematyki wyższejPodobnie jak w przykładzie poprzednim, o dokładności przybliżenia decydujeliczba wyrazów szeregu Maclaurina (w ogólniejszym przypadku – szeregu Taylora),które zostaną scałkowane. Po obliczeniu pochodnych kolejnych rzędów (od pierwszegodo dziesiątego) funkcji f ( x)2−x= e w punkcie x 0 uważny Czytelnik bez truduzauważy, że wszystkie pochodne rzędu nieparzystego (1, 3, 5, 7, 9) w tym punkciesą równe 0. Autorzy podadzą zatem wyniki obliczeń tylko dla pochodnych rzęduparzystego:ffIVVI( 0) = 1, f ′′( 0) = −2,f ( 0) = 12, f ( 0)VIIIX( 0) = 1680, f ( 0) = −30 240.0 == −120,Kolejne sumy częściowe szeregu Maclaurina funkcji podcałkowej są, odpowiednio,postaci:n = 2 :21− x ,n = 4 :n = 6 :n = 8 :42 x1− x + ,22 x x1− x + − ,2 6442 x x x1− x + − + ,2 6 24668n =10:4102 x x x x1− x + − + − .2 6 24 12068a odpowiadające tym sumom częściowym przybliżone wartości całek są równe12 4n = 2 : ∫ (1 − x ) dx = ≈ 1, 33333 ,3−112 x 23n = 4 : ∫ (1 − x + ) dx = ≈ 1, 53333 ,2 15−11442 x x 52n = 6 : ∫ (1 − x + − ) dx = ≈ 1, 48571 ,2 6 35−16


Szeregi 251142 x x x 5651n = 8 : ∫ (1 − x + − + ) dx = ≈ 1, 49497 ,2 6 24 3780−114662 x x x x 31049n =10: ∫ ( 1−x + − + − ) dx = ≈1,49345 .2 6 24 120 20 790−18810Analizując otrzymane przybliżenia, zauważamy, że są one, jak w poprzednimprzykładzie, liczbami na przemian większymi i mniejszymi, ale mimo tej „oscylacji”stabilizują się wokół pewnej liczby. W naszym przypadku znamy tę liczbęz dokładnością do drugiego miejsca po przecinku – jest to 1,49.Aproksymowanie funkcji sumą częściową jej odpowiedniego szeregu Taylorastosuje się nie tylko w celu wyliczania całek; można tak czynić i w innych przypadkach,gdy przekształcenia danej funkcji są wyjątkowo trudne, lub wręcz niemożliwedo wykonania.


252Elementy matematyki wyższej


Bibliografia1. Fichtenholz G.M., Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN 1972.2. Foltyńska I., Ratajczak Z., Szafrański Z., Matematyka dla studentów uczelni technicznych,Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej 1999.3. Gruszka J., Kaczmarek L., Matematyka. Praktyczny kurs przygotowawczy do egzaminumaturalnego, Wydawnictwo Wyższej Szkoły Komunikacji i Zarządzania 1999.4. Matłoka M., Wojcieszyn B., Matematyka z elementami zastosowań w ekonomii, WydawnictwoWyższej Szkoły Bankowej 1998.5. Kuratowski K., Rachunek różniczkowy i całkowy, funkcje jednej zmiennej, PWN 1973.6. Musielak H., Musielak J., Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe UAM 1993.7. Rasiowa H., Wstęp do matematyki współczesnej, PWN 1973.8. Stankiewicz W., Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych, WydawnictwoNaukowe PWN 2003.9. Wiitala S.A., Discrete mathematics, a unified approach, McGraw-Hill Book Company1987.10. Zill D.G., Calculus with analytic geometry, Prindle, Weber & Schmidt 1985.

More magazines by this user
Similar magazines