PDF5.31 MB

132Elementy matematyki wyższejx + 5Przykład 3.p.13. Wyznacz asymptoty wykresu funkcji y = .x 2 − 42Ad. (1) x − 4 ≠ 0 x ≠ ± 2 x∈(−∞,−2)∪ ( −2,2)∪ (2, ∞).1 5+x + 52 0Ad. (2) lim = limx x = = 0 ;x→±∞2x − 4 x→±∞41−12xgranica ta jest wyliczana w analogiczny sposób jak granica ciągu (patrz granica ciągu)xlim x + 5 3x + 5= = +∞,lim =++→− 2 2x − 4 0x→−2x 2 − 4− 0lim x + 5 7x + 5 7= = −∞,lim =− 2 −+2 − 4 022 +x→xx→x − 4 03= −∞ ,−= +∞.W przypadku czterech ostatnich granic do licznika i mianownika w miejscezmiennej x podstawiamy liczbę, do której x zmierza; otrzymujemy w liczniku odpowiednio:3 lub 7, a w mianowniku 0; są to granice odpowiednio: licznika i mianownika.Wynikiem ilorazu tych granic będzie ∞ , ponieważ mianownik jest liczbąnieskończenie małą. Aby ustalić znak nieskończoności, należy ustalić znak liczbynieskończenie małej w mianowniku, podstawiając za x liczbę bliską –2 z lewejstrony, gdy granica jest lewostronna, lub z prawej, gdy granica jest prawostronna.Ad. (3) Odpowiedź: y = 0 jest asymptotą poziomą (obustronną), natomiast x = –2i x = 2 to asymptoty pionowe.Definicja 3.d.16. Asymptota ukośna. Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośnąfunkcji y = f (x), jeśli liczby a i b wyliczone według wzorówa = limx→±∞f ( x)=x1lim f ( x)⋅ ; b = lim [ f ( x)− ax]xx→±∞x→±∞są liczbami skończonymi.Uwaga 3.u.12. Gdy a = 0 i b jest liczbą skończoną, asymptota ukośna staje sięasymptotą poziomą.xPrzykład 3.p.14. Obliczyć asymptotę ukośną dla funkcji y = . x + 5RozwiązanieWyliczamy najpierw a:2