PDF5.31 MB

4. Całki4.1. Całka nieoznaczona4.1.1. Określenie i podstawowe własności całki nieoznaczonejDefinicja 4.d.1 Funkcją pierwotną funkcji ciągłej f ( x)nazywamy taką funkcję y = F( x), dla której zachodzi równość:( x) f ( x)F ′ = , a ≤ x ≤ b .Twierdzenie 4.t.1. O funkcjach pierwotnychxy = w przedziale a, b1. Jeśli F( ) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji ciągłej f ( x)w przedzialea ,b , to G ( x)= F(x)+ C jest również funkcją pierwotną funkcji f ( x)w przedziale2. Jeśli ( x)a , bF i ( x), gdzie C jest dowolną stałą (C = const).G są funkcjami pierwotnymi funkcji ciągłej f(x) w przedzialea ,b , to F ( x)− G(x)= C , w przedziale a, b , gdzie C jest pewną stałą.Uwaga 4.u.1. Jeżeli F(x) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji ciągłej f(x)w przedziale a , b , to F(x) + C przebiega zbiór wszystkich funkcji pierwotnychfunkcji ciągłej f(x) w przedzialeliczb rzeczywistych.a, b , gdzie C przybiera wszystkie wartości ze zbioruDefinicja 4.d.2. Całka nieoznaczona. Niech będzie dana funkcja f(x), ciągła w przedzialea, b . Całką nieoznaczoną tej funkcji nazywamy zbiór jej wszystkich funkcjipierwotnych i zapisujemy ją:Całki funkcji elementarnych( x) dx F( x)∫ f = + C .αα + 1∫ 1 dx = x + C , ∫ x dx =α 1x + C,α ≠ −1+1,