PDF5.31 MB

Całki 163Przykład 4.p.5. Obliczyć całkę∫2x2+ 2x+ 13( ) ( ) dx2 2x − 2 ⋅ x + 1.Rozkładamy najpierw funkcję podcałkową na ułamki proste:22x+ 2x+ 132( x − 2)( x + 1)2A Bx + C Dx + E= + + .22 2x − 2 x + 1 ( x + 1)Aby wyliczyć A, B, C, D, E, najpierw przyrównujemy lewą i prawą stronęrównania (właściwie – tożsamości), następnie prawą stronę równania sprowadzamydo wspólnego mianownika22x+ 2x+ 132( x − 2)( x + 1)2A⋅(x=2+ 1)2+2( Bx + C) ⋅( x − 2) ⋅ ( x + 1) + ( Dx + E) ⋅( x − 2)( x − 2)( x2+ 1)Mianowniki z lewej i prawej strony równości są sobie równe, więc przyrównujemyliczniki; otrzymamy2222x + 2x+ 13 = A(x + 1) + ( Bx + C)(x − 2)( x + 1) + ( Dx + E)(x − 2) .Z prawej strony równania wykonujemy działanie i grupujemy wyrażenia z tymisamymi potęgami zmiennej x, a następnie przyrównujemy współczynniki przy tychsamych potęgach zmiennej x (wielomiany są identyczne – jeśli po prawej stronienie ma pewnej potęgi zmiennej x, a po prawej jest – przyjmujemy, że po lewejstronie występuje ona ze współczynnikiem 0):2422x + 2x+ 13 = A(x + 2x+ 1) + ( Bx + C)(x − 2x+ x − 2) + ( Dx + E)(x − 2) ,2432( A + B) ⋅ x + ( − 2B+ C) ⋅ x + ( A + B − 2D+ E) ⋅ +2x+ 2x+ 13 =x( − 2B + C − 2D+ E) ⋅ x + ( A − 2C− 2E)+ .3222.Współczynniki przywspółczynniki przy4x A + B = 0,3x –2B + C = 0,współczynniki przy2x A + B – 2C + D = 2,współczynniki przy x –2B + C –2D + E = 2,wyrazy wolne A – 2C – 2E = 13.