PDF5.31 MB

236Elementy matematyki wyższej1 0 2 −13 0 4 1 5 x x x x10...... ∑ ∞ n−x+ x + x + x + x + x + = − + − + = ( −1).1! 2! 3! 4! 5! 1! 3! 5! 7! n=1 (2n−1)!Promieniem zbieżności otrzymanego szeregu jest r = ∞ (wyjaśnienie w przykładzie6.p.5f).2n−1Odpowiedź: ∑ ∞ n−1xsin x = ( −1)dla każdego x rzeczywistego.n=1 (2n−1)!d) y = cos x dla p = 0.′′′f ( x)= cos x , f ( 0) = 1,f ′( x)= −sinx , f ′( 0) = 0 ,f ′′ ( x)= −cosx , f ′′ ( 0) = −1,f ( x)= sin x , f ′′′( 0) = 0 ,f IVIV( x)= cos x , f ( 0) = 1.Podobnie jak w zadaniu poprzednim, otrzymywane wyniki pochodnych kolejnychrzędów będą się powtarzać cyklicznie; otrzymujemy więc szereg21 0 −12 0 3 1 4 x x x x... 1... ∑ ∞ n x+ x + x + x + x + = − + − + − = ( −1).0! 1! 2! 3! 4!2! 4! 6! 8! n=0 (2n)!Promieniem zbieżności otrzymanego szeregu jest, jak w poprzednim zadaniu,r = ∞ (wyjaśnienie w przykładzie 6.p.5f).2nOdpowiedź: ∑ ∞ n xcos x = ( −1)dla każdego x rzeczywistego.n=0 (2n)!e)2xy = xe dla p = 0.2xf ( x)= xe , f ( 0) = 0 ,fffff2x2x2x′( x)= 1e+ xe ⋅ 2 = (1 + 2x)e , ′( 0) = 1435678f ,2x2x2x′′ ( x)= 2e+ (1 + 2x)e ⋅ 2 = 2⋅(2+ 2x)e , ′′( 0) = 42x( 3 + 2x) e32x⋅ ( 4 + 2x) ef ,2x2′′′( x)= (12 + 8x)e = 2 ⋅ ⋅ , ′′′( 0) = 12IVf ,2xIV( x)= (32 + 16x)e = 2 ⋅ , f ( 0) = 32 ,( n) n−12x( )= 2 ⋅ n + 2x⋅e,f( n ) n−1( ) = 2 ⋅ n0 .2n2n−1