PDF5.31 MB

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 932y + 3x = , y −1a wyrażenie to ma sens dla y ≠ 1.Przykład 3.p.3. Rozważmy zależność funkcyjną y = x − 2x+ 6 ; jest to doskonaleznana postać funkcji kwadratowej. Jeśli sprowadzimy ją do postaci kanonicznej,otrzymamy y = ( x −1) 2 − 2 , stąd y + 2 = ( x −1) 2 . Jest to równanie, którego prawastrona jest nieujemna (bo jest kwadratem liczby x −1), zatem lewa strona musispełniać warunek nieujemności: y + 2 ≥ 0 , czyli y ≥ −2. Gdybyśmy chcieli wyliczyćza pomocą pierwiastkowania postać zmiennej x, bylibyśmy w pewnym kłopocie,ponieważ np. zależność ( x −1) 2 = 4 spełniają dwie liczby: x = 3 oraz x = −1, zatemobliczona w ten sposób zależność między zmienną y jako argumentem i zmienną xjako wartością nie spełnia warunków definicji funkcji (np. argumentowi y = 2„odpowiadają” dwie wartości: x = 3 i x = −1).„Kłopotowi” temu można jednak zaradzić, ograniczając dziedzinę funkcji2y = x − 2x+ 6 w taki sposób, aby stała się ona funkcją różnowartościową.W powyższym przykładzie sposób właściwie narzuca się sam, gdy przypomnimysobie, że wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym musi być w dziedzinie liczb2rzeczywistych nieujemne. Stąd x −1≥ 0 , czyli x ≥1. Funkcję y = x − 2x+ 6będziemy rozpatrywać dla x ∈ 1,∞).Dla takich wartości x zależność będzie miała postać: x −1 = y + 2 , czyliostatecznie x = 1 + y + 2 z założeniem y ≥ −2.Po przeanalizowaniu powyższych przykładów Czytelnikowi nietrudno będziezrozumieć pojęcie funkcji odwrotnej.Definicja 3.d.2. Niech będzie dana funkcja( x)y = f . Funkcję g Y → Xodwrotną do funkcji f i oznaczamy: , taką że x g( y) ⇔ y = f ( x)−1f .−1Funkcje y = f ( x)i x f ( y)2f : X → Y różnowartościowa, taka że= nazywamy funkcją= mają te same wykresy. Jednak często żądamy,aby zbiorem argumentów była pozioma oś odciętych (Ox). Wówczas w formule−1x = f y zamieniamy zmienne x na y i odwrotnie w każdym miejscu, gdzie( )występują, otrzymując−1y = f ( x). Wykresy funkcji y = f ( x)i y−1f ( x)wzajemnie symetryczne względem prostej o równaniu y = x .= są