stiahnuť - Stavebná fakulta TUKE

svf.tuke.sk

stiahnuť - Stavebná fakulta TUKE

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACHSTAVEBNÁ FAKULTAÚSTAV TECHNOLÓGIÍ, EKONOMIKY A MANAŽMENTU VSTAVEBNÍCTVEKATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKYRNDr. Pavol PURCZ, PhD.Mgr. Adriana ŠUGÁROVÁMATEMATIKA IZBIERKA ÚLOHKOŠICE 2008


Copyright c○ 2008, RNDr. Pavol Purcz, PhD. - Mgr. Adriana ŠugárováŽiadna časť tejto publikácie nesmie byť reprodukovaná tlačenou, elektronickou alebo inouformou bez písomného súhlasu autora a vydavateľa.Neprešlo jazykovou úpravou.Recenzenti:Doc.RNDr. František Olejník, CSc.,Doc.RNDr. Csaba Török, CSc.Vydala Technická univerzita v Košiciach, Stavebná fakultaISBN 978-80-553-0078-8


ÚvodTieto skriptá sú napísané pre študentov 1.ročníka bakalárskeho štúdia TU Stavebnejfakulty a Fakulty umení v Košiciach. Skriptá obsahujú tieto kapitoly: Lineárna algebra,Reálna funkcia jednej reálnej premennej, Diferenciálny počet funkcie jednej premennej aAnalytická geometria. Posledná kapitola pozostáva z výsledkov riešenia daných úloh.Na začiatku každej kapitoly sú uvedené definície niektorých pojmov a ich vlastnosti,potrebné na riešenie príslušných úloh. Skriptá ďalej obsahujú riešené príklady a príkladyna samostatné riešenie s výsledkami. Nakoľko tieto skriptá sú koncipované ako zbierkaúloh, neobsahujú definície všetkých pojmov a ani dôkazy matematických viet.Na záver si dovoľujeme poďakovať doc.RNDr. Františkovi Olejníkovi, CSc. a doc.RNDr.Csabovi Törökovi, CSc. za starostlivé prečítanie celého textu a pripomienky, ktorými prispelik zlepšeniu tejto učebnej pomôcky.Autori3


1 Lineárna algebra1.1 Matice. Operácie s maticami.Maticou typu m × n nazývame tabuľku čísel pozostávajúcu z m riadkov a n stĺpcov⎛⎞a 11 a 12 . . . a 1na 21 a 22 . . . a 2nA = (a ij ) = ⎜⎟⎝ . . . . ⎠ .a m1 a m2 . . . a mnČísla a ij (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) nazývame prvky matice A.Ak všetky prvky matice sú rovné nule, maticu nazývame nulovou maticou. Ak m =n, matica A sa volá štvorcová matica. Prvky a ii , i = 1, 2, . . . , n štvorcovej matice tvoriajej hlavnú diagonálu. Ak všetky prvky hlavnej diagonály štvorcovej matice sú rôzne odnuly a všetky prvky pod hlavnou diagonálou sú rovné nule, hovoríme o trojuholníkovejmatici. Štvorcová matica, ktorej všetky prvky hlavnej diagonály sú rovné číslu 1 a všetkyjej ostatné prvky sú rovné nule, sa nazýva jednotková matica. Budeme ju označovaťE.Rovnosť dvoch matícDve matice A = (a ij ) a B = (B ij ) považujeme za rovnaké a píšeme A = B, ak sú tohoistého typu m × n a ak všetky prvky obidvoch matíc na rovnakých miestach sú rovnaké,t.j. a ij = b ij (i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n).Súčet dvoch matícSúčtom dvoch matíc A = (a ij ) a B = (b ij ) toho istého typu m × n rozumieme maticuC = (c ij ) typu m × n, pre ktorej prvky platí c ij = a ij + b ij (i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n).Násobenie matice reálnym číslomMaticu násobíme reálnym číslom tak, že každý jej prvok násobíme týmto číslom.Súčin dvoch matícNech A = (a ij ) je matica typu m × n a B = (b ij ) je matica typu n × p. MaticuC = (c ij ) typu m × p, pre prvky ktorej platíc ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + . . . + a in b nj (i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , p)nazývame súčinom matíc A a B a píšeme C = A ∗ B.Súčin dvoch matíc je definovaný práve vtedy, ak počet stĺpcov prvej matice sa rovnápočtu riadkov druhej matice, t.j. i-tý riadok matice A násobíme j-tým stĺpcom maticeB.Maticu⎛⎞a 11 a 21 . . . a n1a 12 a 22 . . . a n2⎜⎟⎝ . . . . ⎠a 1n a 2n . . . a nmoznačujeme A T a nazývame transponovanou maticou k matici A.Príklad 1.Nájdime maticu X, pre ktorú platí 3A + 2X = B, kde( ) ( )5 23 4A = , B = .−8 12 74


( )x11 xRiešenie. Matica X musí byť typu 2 × 2, X =12. Po dosadení dostanemex 21 x 22X = 1 [( ) ( )]3 4 5 2− 3= 1 [( ) ( )]3 4 15 6−= 1 ( ) ( )−12 −2 −6 −1=. □2 2 7 −8 1 2 2 7 −24 3 2 26 4 13 2Príklad 2. Určme súčin matíc A ∗ B a B ∗ A, kde A =⎛ ⎞2 3⎜−3 0⎟⎝ 1 5⎠ .3 1⎛4 2 −1⎞2⎝3 −7 1 −8⎠ , B =2 4 −3 1Riešenie. Súčin A∗B má zmysel, pretože počet ⎛stĺpcov matice ⎞ A sa rovná počtu riadkovc 11 c 12matice B. Matica C = A ∗ B je typu 3 × 2, C = ⎝c 21 c 22⎠ . Prvok c ij je súčinom i-tehoc 31 c 32riadku matice A a j-teho stĺpca matice B. Tedac 11 = 4.2 + 2.(−3) + (−1).1 + 2.3 = 7c 12 = 4.3 + 2.0 + (−1).5 + 2.1 = 9c 21 = 3.2 + (−7).(−3) + 1.1 + (−8).3 = 4, atď.Dostaneme⎛7⎞9C = ⎝ 4 6 ⎠ . □−8 −8Súčin B ∗ A nemá zmysel, pretože počet stĺpcov matice B je rôzny od počtu riadkovmatice A.Úlohy1. Pre aké čísla x, y, z, u platí rovnosť medzi nasledujúcimi dvojicami matíc?a) ( ) ( )2y + 1 9 3 9=4 2x + 5y 4 12x + 9b) ( )4 6 8 4=2x + 3 12 6z + 2 8c) ( )4 6 8 4=2x + 3 12 6 8( 2y + 3 6 8) 410x + 1 3u 8 + 5z 8( )2y + 3 6 8 4.10x + 1 6z + 2 3u 82. Vypočítajte A + B, A − B, 2A − 3B, ak: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞( ) ( )5 4 21 1 11 −27 0a) A = , B = ; b) A = ⎝3 1 −1⎠ , B = ⎝2 0 1⎠ .3 4−3 22 −3 01 2 35


3. ⎛ Vypočítajte: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛⎞1 3 2 2 1 22 1 −3 1 0 1 −1 3a) ⎝3 4 −1⎠ + ⎝1 0 −1⎠ ; b) ⎝−1 2 −3 1⎠ − 2 ⎝1 2 −1 1 ⎠ ;2 1 1 2 3 01 1 −1 2 1 3 2 −1[( ) ( )]2 −1 0 1 −5 4c) 2+ 3.3 2 1 2 1 24. ( Vypočítajte ) ( ) súčin matíc: ( ) ( ) ( ) ( )3 −2 3 4 1 5 2 −1 −1 0 1 −4a) ∗ ; b) ∗ ; c)∗ ;5 −4 2 5 7 0 3 20 −1 2 −2⎛ ⎞ ⎛ ⎞( ) 3 1 −2 3 ( )2 3 5d)∗ ⎝−2 4⎠ ; e) ⎝ 1 4 ⎠ 1 8 2∗;−1 2 4−5 0 11 30 −5⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 0 −1 2 0 −1 2 3 −1 −1 0 −1f) ⎝−1 1 1 ⎠ ∗ ⎝0 −3 1 ⎠ ; g) ⎝8 7 6 ⎠ ∗ ⎝ 2 1 0 ⎠ .2 0 1 4 1 −1 2 1 5 0 1 15. Pre dané matice A a B vypočítajte súčiny A ∗ B a B ∗ A ⎛(ak existujú). ⎞⎛ ⎞3a) A = ( 2 1 −1 ) 1, B = ⎝2⎠ ; b) A = ( 1 2 3 4 ) , B = ⎜ 4⎟⎝ 0 ⎠ ;3−1⎛⎞( ) 2 4 −2 12 −1 0c) A =, B = ⎝−3 0 4 7⎠ ;3 7 −51 4 −5 2⎛ ⎞1 3 ( )d) A = ⎝−2 1⎠ 3 0 −4, B =;−2 1 30 2⎛ ⎞ ⎛⎞1 2 3−1 −2 −4e) A = ⎝2 4 6⎠ , B = ⎝−1 −2 −4⎠ ;3 6 91 2 4⎛ ⎞ ⎛⎞2 −1 3−2 5 6f) A = ⎝1 2 0⎠ , B = ⎝ 1 7 −3⎠ ;3 −2 18 −1 −5⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 −2 32 0 1g) A = ⎝2 3 −4⎠ , B = ⎝2 1 4⎠ ;3 −4 10 −1 0⎛ ⎞( )2 0−2 3 0 1h) A =, B = ⎜ 1 −1⎟1 1 2 −1 ⎝−1 2 ⎠ ;1 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞4 12 8 0i) A = ⎝5 0⎠ , B = ⎝1 1 1⎠ ;7 80 1 0( ) ( )−6 2−3 2 −1 0j) A = , B =.−1 3−1 −2 3 46


6. ( Vypočítajte ) ( ) súčin( matíc: )4 3 −1 0 7 3a) ∗ ∗ ;7 5 2 1 2 1( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1b) ∗ ∗ ;1 3 1 3 1 3( ) ( ) ( −5 4 1 −2 7c) ∗ ∗ ;3 1 0 1 2)⎛ ⎞( ) 1 41 2 2d)∗ ⎝ ⎠ ∗2 −3 20 2−1 1( ) 3 4.5 −17. Vypočítajte x, ⎛y, z, t, u, v ⎞tak, aby platilo:( )1 1 1( )x 3 y 0∗ ⎜x −t u⎟ 8 5 −1z 1 x + 1 −2 ⎝0 0 3⎠ = .7 0 12v z t8. Vypočítajte A 2 , B 2 − 3A, (A − B) ∗ (A + B) a A 2 − B 2 , ak:( ) ( )2 −51 −2A = ; B = .1 32 −3( ) 2 −19. Vypočítajte hodnotu f(A), keď: A =;−3 3a) f(x) = x 2 − 5x + 3 b) f(x) = x 2 − x − 1( ) 3 −110. Je daná matica A = . Nájdite maticu X, ktorá spĺňa podmienku:0 −2a) X + 4A = O b) 5A − 3X = O( ) 2 1211. Je daná matica A = . Nájdite maticu X, ktorá spĺňa podmienku:3 8a) A + X = E b) 2A + 3X = E12. Riešte maticové rovnice ( s neznámou ) maticou ( X: )1 2−1 4a) 2A − 3X = B, kde A = , B = ;−3 0−12 9( ) ( )1 21 −1b) 3A + 2X = 2B, kde A = , B = ;3 40 −1( ) ( )3 −40 0c) 6X − 3A = 2B, kde A = , B = ;5 01 0d) 2 ( ( ) ( )11 2−1 −7X + 2A) = X − B, kde A = , B =;3 −2 06 2⎛ ⎞2 1 ( )e) 2A T − 3X = B, kde A = ⎝−3 0⎠ 1 2 −4, B =;0 5 11 27


⎛1 2⎞0f) 5X − 2A = E, kde A = ⎝−1 0 2⎠ .3 1 113. ⎛ Určte ⎞ rozmery ⎛ matice ⎞ A a jej prvky: ⎛ ⎞1 101a) ⎝2 −1⎠ ∗ A = ⎝3⎠ ;b) A ∗ ⎝−1⎠ = ( 0 ) ;3 031c) A ∗ ( 3 1 ) ( )( ) ( 6 −22 −1 1 5= ; d)∗ A = .3 −11 −3 2 7)1.2 DeterminantyKaždej štvorcovej matici A typu n × n⎛⎞a 11 a 12 . . . a 1na 21 a 22 . . . a 2nA = ⎜⎟⎝ . . . . ⎠a n1 a n2 . . . a nnmôzeme priradiť číslo, ktoré nazývame determinantom matice A a označujeme D, det Aalebo ∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ a 11 a 12 . . . a 1n∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣a 21 a 22 . . . a 2n.. . . .a n1 a n2 . . . a nnV determinante D si zvolíme ľubovoľný prvok a ij a symbolom S ij označíme determinant,ktorý vznikne z determinantu D vynechaním i-tého riadku a j-tého stĺpca. S ijnazývame subdeterminantom (minorom) determinantu D patriacim prvku a ij . Algebraickýmkomplementom A ij patriacim prvku a ij nazývame subdeterminant S ij soznamienkom, t.j.A ij = (−1) i+j S ij .Hodnota determinantu D matice A je definovaná takto1. Ak n = 1, tak D = a 11 .2. Ak n ≥ 2, tak hodnotou determinantu D matice A nazývame číslo, ktoré dostanemetak, že prvky ľubovoľného riadku (stĺpca) determinantu vynásobíme príslušnými algebraickýmikomplementami a všetko spolu spočítame (rozvoj determinantu podľariadku (stĺpca)).Z definície hodnoty determinantu D vyplývaD =∣ a ∣11 a 12∣∣∣= aa 21 a 11 a 22 − a 12 a 21 ,22 ∣ a 11 a 12 a 13∣∣∣∣∣∣ ∣ ∣∣∣D =a a 21 a 22 a 23 = a 11 A 11 + a 21 A 21 + a 31 A 31 = a 22 a 23∣∣∣11 +∣aa 31 a 32 a 32 a 3333 +a 21(−∣ a ∣)∣ ∣12 a 13∣∣∣∣∣∣ a+ a 12 a 13∣∣∣a 32 a 3133 a 22 a 238


Poznámka. Pre n = 3 je možné použiť Sarusovo pravidlo:∣ a 11 a 12 a 13∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.. . = a a 21 a 22 a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 − a 13 a 22 a 3123. .. .−a 23 a 32 a 11 − a 33 a 12 a 21 ...∣a 31 a 32 a 33. .. . ..a 11 a 12 a 13.. .a 21 a 22 a 23Vlastnosti determinantov1. Determinant matice sa rovná determinantu matice k nej transponovanej.2. Ak determinant D má dva riadky rovnaké, tak D = 0.3. Ak niektorý riadok determinantu D je nulový, tak D = 0.4. Ak v determinante D vymeníme navzájom dva riadky, tak sa zmení znamienkodeterminantu.5. Determinant násobíme číslom tak, že týmto číslom násobíme jeden ľubovoľný riadok.6. Hodnota determinantu sa nezmení, ak k ľubovoľnému riadku pripočítame číselnýnásobok iného riadku.Poznámka. Z vlastnosti 1 vyplýva, že vlastnosti 2-6 platia aj pre stĺpce.Príklad 3. Vypočítajme determinant∣ 7 −2−5 3 ∣ .Riešenie.∣ 7 −2−5 3 ∣ = 7.3 − (−2).(−5) = 21 − 10 = 11. □−5 6 1Príklad 4. Vypočítajme determinant D =3 4 2∣ 1 −1 −3∣Riešenie.−5 6 13 4 2= (−5).4.3 + 3.1.1 + 1.6.2 − [1.4.1 + (−5).1.2 + 3.6.3] = −45 − 48 = −93.∣ 1 1 3∣ −5 6 13 4 2Príklad 5.Vypočítajme determinant1 1 −1 −1D =−1 −1 −1 11 2 3 4.∣ 8 7 6 5 ∣9


Riešenie. Determinant môžme rozvinúť podľa ľubovoľného riadku (stĺpca) a počítať podobnýmspôsobom ako v predchádzajúcom príklade. Ukážme teraz inú modifikáciu tohtospôsobu. Najprv determinant upravíme tak, aby v niektorom riadku (stĺpci) boli všetkyprvky okrem jedného rovné nule. Pripočítaním prvého riadku k druhému a následnýmrozvojom podľa druhého riadku dostaneme1 1 −1 −1∣ ∣∣∣∣∣ D =0 0 −2 01 1 −11 2 3 4= 0.A 21 +0.A 22 +(−2).A 23 +0.A 24 = (−2).(−1) 2+3 1 2 4= 2.18 = 36.∣8 7 6 5 ∣8 7 5 ∣ □Úlohy14. Vyčíslite determinanty:a)∣ 3 −2∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣∣ 4 6 ∣ ; b) 1 −5∣∣∣ 6 7 ∣ ; c) −1 4∣∣∣ 6 −3∣ ; d) 4 −1∣∣∣ 2 3 ∣ ; e) sin α cos α− cos α sin α∣ .15. Riešte rovnice:a)∣ 2 x − 4∣ ∣ ∣∣∣ 1 4 ∣ = 0; b) 3x −1∣∣∣ x 2x − 3∣ = 3; c) x 2 6x2 3 2x∣ = 0.16. Vyčíslite determinanty: ∣ ∣ ∣ 3 2 0∣∣∣∣∣ 1 2 3∣∣∣∣∣a)−1 4 1∣ 5 3 −2∣ ; b) 2 1 3∣∣∣∣∣4 5 67 8 9∣ ; c) 2 1 35 3 21 4 3∣ ; d) 4 5 1−2 −1 6∣ ;∣ ∣ ∣ 2 1 1∣∣∣∣∣ 2 1 −5∣∣∣∣∣e)1 1 2∣1 2 1∣ ; f) 2 0 0∣∣∣∣∣1 3 41 2 3 ∣ ; g) −x 1 x3 2 04 3 2∣ ; h) 0 −x −1x 1 −x∣ ;∣ 1 a 1∣∣∣∣∣ a −a ai)0 a 0∣a 0 −a∣ ; j) a a a −a −a∣ .17. Vypočítajte x z∣rovníc:∣ x 2 4 9∣∣∣∣∣ 1 7 3∣∣∣∣∣a)x 2 3∣ 1 1 1∣ = 0; b) x 2 3 28 x 8x 2 x∣ = 0; c) x −1 10 1 4∣ = 0.18. Nasledujúce determinanty vypočítajte rozvinutím podľa niektorého riadku (stĺpca).1 0 −1 −12 1 1 xa 1 1 1a)0 −1 −1 1a b c d; b)1 2 1 y1 1 2 z; c)b 0 1 1c 1 0 1.∣−1 −1 1 0 ∣ ∣1 1 1 t∣∣d 1 1 0∣19. Vyčíslite determinanty:1 1 1 11 2 −1 31 3 4 5a)1 2 3 41 3 6 10; b)2 5 2 13 4 2 −1; c)3 0 0 25 1 2 7;∣1 4 10 20∣∣−5 −4 1 3 ∣ ∣2 0 0 3∣10


0 5 0 21 2 3 42 1 0 3d)8 3 4 57 2 1 4; e)2 3 4 13 4 1 2; f)0 −1 −2 00 3 −3 1;∣0 4 0 1∣∣4 1 2 3∣∣1 2 0 −1∣−2 −1 0 13 6 5 42 −1 1 0g)2 1 −2 −10 1 2 −2; h)1 2 3 33 3 2 2; i)0 1 2 −13 −1 2 3;∣−1 0 1 2 ∣ ∣2 1 1 1∣∣3 1 6 1 ∣2 3 −3 48 7 2 05 4 0 0j)2 1 −1 26 2 1 0; k)−8 2 7 104 4 4 5; l)2 1 0 03 8 −1 1.∣2 3 0 −5∣∣ 0 4 −3 2 ∣ ∣−10 9 3 7∣1.3 Inverzná maticaMajme štvorcovú maticu A. Maticu A −1 , pre ktorú platíA ∗ A −1 = A −1 ∗ A = Enazývame inverznou maticou k matici A. Matica A má inverznú maticu A −1 právevtedy, ak determinant D matice A je rôzny od nuly a vypočítame ju podľa vzorcakde A ∗ je adjungovaná matica k matici A,⎛⎞A 11 A 21 . . . A n1A ∗ A 12 A 22 . . . A n2= ⎜⎟⎝ . . . ⎠ ,A 1n A 2n . . . A nnkde A ij sú algebraické komplementy k prvkom a ij matice A.Príklad 6.Nájdime inverznú maticu (ak existuje) k maticiA −1 = 1 D A∗ , (1)⎛ ⎞⎛ ⎞1 1 13 2 4( )a) A = ⎝1 2 3⎠ , b) B = ⎝2 0 4⎠ cos x − sin x, c) C =.sin x cos x1 3 41 1 1Riešenie.1 1 1a) D =1 2 3∣1 3 4∣ = −1. Preto matica A má inverznú maticu A−1 . Vypočítame prvky A ijadjungovanej matice⎛⎞A 11 A 21 A 31A ∗ = ⎝A 12 A 22 A 32⎠ ,A 13 A 23 A 33kde A ij sú algebraické komplementy k prvkom a ij matice A.11


A 11 =∣ 2 33 4∣ = −1, A 12 = −∣ 1 31 4∣ = −1, A 13 =∣ 1 21 3∣ = 1,A 21 = −∣ 1 13 4∣ = −1, A 22 =∣ 1 11 4∣ = 3, A 23 = −∣ 1 11 3∣ = −2,A 31 =∣ 1 12 3∣ = 1, A 32 = −∣ 1 11 3∣ = −2, A 33 =∣ 1 11 2∣ = 1.Podľa vzorca (1) dostaneme⎛⎞ ⎛⎞A −1 =1 −1 −1 1 1 1 −1⎝−1 3 −2⎠ = ⎝ 1 −3 2 ⎠ .−11 −2 1 −1 2 −1b)3 2 4D =2 0 4∣1 1 1∣ = 0.Z toho vyplýva, že matica B nemá inverznú maticu.c)D =∣ cos x − sin xsin x cos x ∣ = cos2 x + sin 2 x = 1 ≠ 0.Preto matica C má inverznú maticu C −1 . Vypočítame prvky C ij adjungovanej matice( )C ∗ C11 C=21.C 12 C 22Postupne zisťujeme, že C 11 = cos x, C 12 = − sin x, C 21 = sin x, C 22 = cos x. Podľavzorca (1) dostanemeC −1 = 1 ( ) ( )cos x sin x cos x sin x=.1 − sin x cos x − sin x cos x□ÚlohyV úlohách 20. a 21. vypočítajte inverznú maticu A −1 pre danú maticu A.20. ( )( ) ( )( )1 23 41 23 7a) A = ; b) A = ; c) A = ; d) A = .3 45 72 52 521. ⎛1 1⎞−1⎛3 −4⎞5a) A = ⎝−4 −5 6 ⎠ ; b) A = ⎝2 −3 1 ⎠ ;−3 −3 43 −5 −1⎛ ⎞⎛ ⎞1 2 22 5 7c) A = ⎝2 1 −2⎠ ; d) A = ⎝6 3 4 ⎠ ;2 −2 15 −2 −3⎛ ⎞ ⎛ ⎞4 2 12 2 3e) A = ⎝2 2 1⎠ ; f) A = ⎝ 1 −1 0⎠ ;5 1 2−1 2 112


⎛1 0⎞0⎛1 2⎞−3g) A = ⎝3 1 0⎠ ; h) A = ⎝0 1 2 ⎠ .0 3 10 0 122. Riešte maticové rovnice s neznámou maticou X.( ) ( )( ) ( )1 2 3 01 2 3 5a) ∗ X = ; b) ∗ X = ;3 4 7 23 4 5 9( ) ( )( ) ( )2 1 3 23 2 −1 2c) ∗ X = ; d) X ∗= ;1 0 1 1−2 −1 −1 1( ) ( )3 −2 −1 2e) X ∗ = ;5 −4 −5 6( ) ( ) ( )3 −1 5 6 14 16f) ∗ X ∗ = ;5 −2 7 8 9 10( ) ( ) ( )2 5 2 1 −3 3g) ∗ X ∗ = ;1 4 1 2 −3 3( ) ( ) ( )2 −10 1 2 −1h) ∗ X = − ;0 3−1 4 0 3⎛⎞ ⎛ ⎞5 3 1 −8 3 0i) X ∗ ⎝ 1 −3 −2⎠ = ⎝−5 9 0⎠ ;−5 2 1 −2 15 0⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 2 −31 −3 0j) ⎝3 2 −4⎠ ∗ X = ⎝10 2 7⎠.2 −1 010 7 81.4 Sústavy lineárnych rovnícSústava m lineárnych rovníc s n neznámymi má tvara 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n = b 2.. .a m1 x 1 + a m2 x 2 + . . . + a mn x n = b m .(1)Čísla a ij sa nazývajú koeficienty a čísla b i (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) sa nazývajúabsolútne členy sústavy (1); x 1 , x 2 , . . . , x n sa nazývajú neznáme. Ak všetkyabsolútne členy sú rovné nule, sústava sa nazýva homogénna. Maticu⎛⎞a 11 a 12 . . . a 1na 21 a 22 . . . a 2nA = ⎜⎟⎝ .⎠a m1 a m2 . . . a mn13


nazývame maticou sústavy (1). Maticu⎛∣a 11 a 12 . . . a 1n ∣∣∣∣∣∣∣ b 1A ′ a 21 a 22 . . . a 2n b=2⎜⎝ .a m1 a m2 . . . a mnb m⎞⎟⎠nazývame rozšírenou maticou sústavy (1).A. Gaussova eliminačná metódaDve sústavy lineárnych rovníc sa nazývajú ekvivalentné, ak majú tie isté neznáme a akkaždé riešenie jednej sústavy je riešením aj druhej sústavy a obrátene. Úpravy sústavy,ktorými z danej sústavy dostaneme sústavu s ňou ekvivalentnú, nazývame ekvivalentnéúpravy. Budeme používať tieto ekvivalentné úpravy:1. zmena poradia rovníc (neznámych),2. násobenie ľubovoľnej rovnice sústavy ľubovoľným číslom rôznym od nuly,3. pripočítanie číselného násobku ľubovoľnej rovnice sústavy k inej rovnici sústavy.Ekvivalentnými úpravami sa menia len koeficienty a absolútne členy sústavy. Pretonamiesto sústavy môžeme pracovať s rozšírenou maticou sústavy. Každej ekvivalentnejúprave sústavy odpovedá úprava rozšírenej matice sústavy:1’. zmena poradia riadkov (stĺpcov),2’. násobenie ľubovoľného riadku rozšírenej matice ľubovoľným číslom rôznym od nuly,3’. pripočítanie číselného násobku ľubovoľného riadku rozšírenej matice k inému riadkutejto matice.Úpravami 1’-3’ sa snažíme docieliť, aby na hlavnej diagonále matice sústavy bolivšetky prvky rôzne od nuly a pod hlavnou diagonálou všetky prvky rovné nule.Môže sa stať, že používaním týchto úprav dostaneme nulový riadok: 0 0 . . . 0|0.Tomuto riadku odpovedá rovnica sústavy 0.x 1 + 0.x 2 + · · · + 0.x n = 0. Tejto rovnicivyhovujú ľubovoľné čísla x 1 , x 2 , . . . , x n . Preto táto rovnica pre výpočet nemá význama zo sústavy ju môžeme vynechať. Z toho vyplýva, že nulový riadok rozšírenej maticemôžeme vynechať.Po konečnom počte použití úprav 1’-3’ a vynechaní nulových riadkov nastane jednaz týchto troch možností:1. Dostaneme riadok tvaru 0 0 . . . 0|b i , kde b i ≠ 0. Tomuto riadku odpovedá rovnica0.x 1 + 0.x 2 + · · · + 0.x n = b i , ktorá nemá riešenie (je sporná). Z toho vyplýva, žesústava (1) nemá riešenie.2. Matica sústavy má trojuholníkový tvar (t.j. m = n, teda počet riadkov maticesústavy je rovnaký ako počet jej stĺpcov, alebo inak povedané, počet rovníc sarovná počtu neznámych). V tomto prípade má sústava jediné riešenie.3. Počet riadkov matice sústavy je menší ako počet jej stĺpcov, (t.j. m < n), tedapočet rovníc sa rovná počtu neznámych. V tomto prípade má sústava nekonečnemnoho riešení.14


V prípadoch 2 a 3 napíšeme sústavu rovníc odpovedajúcu výslednej rozšírenej maticia obdržanú sústavu riešime.Príklad 7.Riešme sústavu2x + y + 3z = 34x + 2y + 5z = 53x + 4y + 7z = 2.Riešenie. Napíšeme rozšírenú maticu sústavy a upravujeme ju⎛⎞ ⎛⎞ ⎛2 1 33 1 2 33 1 2 3⎝ 4 2 55 ⎠ ∼ 1⎝ 2 4 55 ⎠ ∼ 2⎝ 0 0 −13 4 7 ∣ 2 4 3 7 ∣ 2 0 −5 −5 ∣3−1−10⎞ ⎛⎠ ∼ 3⎝1 2 30 1 10 0 1∣321⎞⎠ .∼ 1 : Vymenili sme navzájom druhý a tretí stĺpec (aby prvok a 11 na hlavnej diagonálebol rovný jednej).∼ 1 : Prvý riadok sme násobili postupne číslami -2 a -4 a pripočítali k druhému a tretiemuriadku.∼ 2 : Vymenili sme navzájom druhý a tretí riadok (aby prvok a 22 na hlavnej diagonálebol rôzny od nuly) a zároveň vydelili druhý riadok číslom −1 a tretí riadok číslom−5.Výsledná matica sústavy má trojuholníkový tvar a teda riešenie je jediné. Napíšeme sústavuodpovedajúcu výslednej rozšírenej maticiy + 2x + 3z = 3x + z = 2z = 1.Pri jej riešení postupujeme zdola nahor. Z tretej rovnice vypočítame z = 1, dosadíme dodruhej rovnice a vypočítame x = 1. Napokon, dosadíme do prvej rovnice a vypočítamey = −2. □Príklad 8.Riešme sústavu−x + 2y + z − u = −1− y − z + 3u = 3x + 3y + 2z − 4u = −45x + 2y + + 4u = 4.Riešenie.⎛ −1 2 1 −1⎜ ⎜⎝ 0 −1 −1 31 3 2 −45 2 0 4 ∣⎛−1 2 1 −1∼ 2⎜ 0 −1 −1 3⎝ 0 0 −2 100 0 −7 35−13−44∣−131035⎞⎟⎠ ∼ 1⎞⎛⎜⎝⎟⎠ ∼ ⎜3 ⎝15−1 2 1 −10 −1 −1 30 5 3 −50 12 5 −1⎛−1 2 1 −10 −1 −1 30 0 1 −50 0 0 0∣∣−13−5−1−13−50⎞⎟⎠ ∼ 2⎞⎟⎠ ∼ 4


⎛∼ 4⎝−1 2 1 −10 −1 −1 30 0 1 −5∼ 1 : Prvý riadok sme postupne násobili číslami 1 a 5 a pripočítali k tretiemu a štvrtémuriadku.∼ 2 : Druhý riadok sme postupne násobili číslami 5 a 12 a pripočítali k tretiemu a štvrtémuriadku.∼ 3 : Tretí riadok sme najprv vydelili číslom −2 a potom násobili číslom 7 a pripočítalik štvrtému riadku.∼ 4 : Vynecháme nulový riadok.Výsledná matica sústavy má lichobežníkový tvar. Preto sústava má nekonečne mnohoriešení. Napíšeme sústavu odpovedajúcu výslednej rozšírenej matici∣−13−5⎞⎠ .−x + 2y + z − u = −1− y − z + 3u = 3z − 5u = −5.Za jednu z neznámych, napr. za neznámu u si zvolíme ľubovoľné číslo a potom z tretej ,druhej a prvej rovnice vypočítame z = −5 + 5u, y = 2 − 2u, x = 0. □Príklad 9.Riešme sústavux + y − 3z − u = 73x − 2y + z + u = 411x − 4y − 3z + u = 10.Riešenie.⎛1 1 −3 −1⎝ 3 −2 1 111 −4 −3 1∣7410⎞ ⎛⎠ ∼ 1⎝1 1 −3 −10 −5 10 40 −15 30 12∣7−17−67⎞ ⎛⎠ ∼ 2⎝1 1 −3 −10 −5 10 40 0 0 0∣7−17−16⎞⎠∼ 1 : Prvý riadok sme postupne vynásobili číslami −3 a −11 a pripočítali k druhému atretiemu riadku.∼ 2 : Druhý riadok sme vynásobili číslom −3pripočítali k tretiemu riadku.Poslednému riadku odpovedá sporná rovnica 0.x + 0.y + 0.z + 0.u = −16. Preto sústavanemá riešenie. □Príklad 10.riešenie?Pre aké hodnoty a má systém2x 1 − x 2 + x 3 + x 4 = 1x 1 + 2x 2 − x 3 + 4x 4 = 2x 1 + 7x 2 − 4x 3 + 11x 4 = tRiešenie.⎛⎝2 −1 1 11 2 −1 41 7 −4 11∣12t⎞ ⎛⎠ ∼ 1⎝1 2 −1 40 −5 3 −70 5 −3 7∣2−3t − 2⎞⎠ ∼ 216


⎛∼ 2⎝1 2 −1 40 −5 3 −70 0 0 0∣2−3t − 5⎞⎠∼ 1 : Vymeníme prvú a druhú rovnicu. Potom prvú rovnicu postupne násobíme číslami−2, −1 a pripočítame k druhej a tretej rovnici.∼ 2 : Druhú rovnicu pripočítame k tretej rovnici.Keďže sústava odpovedajúca výslednej rozšírenej matici má mať riešenie, nesmie obsahovaťspornú rovnicu. Z toho vyplýva t − 5 = 0 a t = 5. □B. Cramerovo pravidloAk počet rovníc sústavy (1) sa rovná počtu neznámych a ak determinant D maticesústavy (1) je rôzny od nuly, táto sústava má jediné riešenie, ktoré nájdeme Cramerovýmpravidlomx 1 = D 1D , x 2 = D 2D , . . . , x n = D nD .D i je determinant, ktorý dostaneme z determinantu D tak, že v D i-ty stĺpec nahradímestĺpcom absolútnych členov sústavy (1), i = 1, 2, . . . , n.Príklad 11.Riešme sústavux 1 + x 2 + 2x 3 = −12x 1 − x 2 + 2x 3 = −44x 1 + x 2 + 4x 3 = −2.Riešenie. Najskôr vypočítame determinant D danej sústavy.1 1 2D =2 −1 2∣4 1 4∣ = 6 ≠ 0.Z toho vyplýva, že sústava má jediné riešenie a nájdeme ho Cramerovým pravidlomx 1 = D 1D , x 2 = D 2D , x 3 = D 3D .−1 1 2D 1 =−4 −1 2∣−2 1 4∣ = 6, D 1 −1 22 =2 −4 2∣4 −2 4∣ = 12, D 1 1 −13 =2 −1 −4∣4 1 −2∣ = −12.Po dosadení dostanemex 1 = 6 6 = 1, x 2 = 126 = 2, x 3 = −126= −2. □17


Príklad 12.Vypočítajme t tak, aby homogénna sústavamala aj nenulové riešenie.ax 1 + x 2 + x 3 = 0x 1 + ax 2 + x 3 = 0x 1 + x 2 + ax 3 = 0Riešenie. Pre determinant D sústavy musí platiť D = 0 (keby platilo D ≠ 0, tak sústavaby mala jediné riešenie, teda nulové). Tedaa 1 11 a 1∣1 1 a∣ = 0.Po výpočte determinantu dostaneme rovnicu a 3 − 3a + 2 = 0, čo môžme upraviť najprvtakto a 3 − a − 2a + 2 = 0 a ďalej a(a 2 − 1) − 2(a − 1) = (a − 1)[a(a − 1) − 2] =(a − 1)(a 2 − a − 2) = (a − 1) 2 (a + 2), ktorej korene sú a 1 = 1, a 2 = −2. □C. Riešenie sústavy pomocou inverznej maticePredpokladajme, že počet rovníc sústavy (1) sa rovná počtu n neznámych. Pre sústavu(1) uvažujme tieto matice⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞a 11 a 12 . . . a 1nx 1b 1a 21 a 22 . . . a 2nA = ⎜⎟⎝ . . . . ⎠ , X = x 2⎜ ⎟⎝ . ⎠ , B = b 2⎜ ⎟⎝ . ⎠ .a n1 a n2 . . . a nn x n b nPotom sústavu (1) môžeme zapísať jednou maticovou rovnicouA ∗ X = B.Túto rovnosť nazývame maticový zápis sústavy (1). Ak matica A má inverznú maticuA −1 , rovnicu násobíme zľava maticou A −1 a dostanemeX = A −1 ∗ B.Príklad 13.Riešme sústavux 1 + 2x 2 − x 3 = 2x 1 − x 3 = −22x 1 + x 2 + x 3 = 7.Riešenie. Najskôr prejdeme k maticovému zápisu sústavy A ∗ X = B. Zostavíme maticuA sústavy, maticu X neznámych a maticu B absolútnych členov sústavy⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 2 −1x 12A = ⎝1 0 −1⎠ , X = ⎝x 2⎠ , B = ⎝−2⎠ .2 1 1x 3 718


K matici A existuje inverzná matica⎛⎞A −1 = − 1 1 −3 −2⎝−3 3 0 ⎠ .61 3 −2Potom z maticového zápisu A ∗ X = B môžeme vyjadriť X = A −1 ∗ B a dosadiť⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞x 1⎝x 2⎠ = − 1 1 −3 −2 2⎝−3 3 0 ⎠ ⎝−2⎠ = − 1 −6 1⎝−12⎠ = ⎝2⎠ ,66x 3 1 3 −2 7−18 3čo znamená, že x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3. □ÚlohyRiešte sústavy lineárnych rovníc:23. x + y − 2z = 3−3x − 3y + 5z = −82x + 4y − 3z = 524. x + y − z = 1− 4x − 5y + 6z = 2− 3x − 3y + 4z = 325. 2x + y + z = 2x + 3y + z = 5x + y + 5z = −726. 2x − y + z = 23x + 2y + 2z = −2x − 2y + z = 127. 2x + 2y + 3z = 1x − y = 3− x + 2y + z = −228. 2x − 3y + z = 0x + 2y − z = 32x + y + z = 1229. 2x 1 − x 2 − x 3 = 43x 1 + 4x 2 − 2x 3 = 113x 1 − 2x 2 + 4x 3 = 1130. x + 2y + z = 43x − 5y + 3z = 12x + 7y − z = 831. 2x + y = 5x + 3z = 165y − z = 1019


32. x + 2y − 4z = 12x + y − 5z = −1x − y − z = −233. 2x − y + z = −2x + 2y + 3z = −1x − 3y − 2z = 334. 3x − y + 2z = 52x − y − z = 24x − 2y − 2z = −335. 2x + y − z = 0x + 2y + z = 02x − y + 3z = 036. x − y − z = 0x + 4y + 2z = 03x + 7y + 3z = 037. x + y = 1x − 2y − 6z = 1x − 2z = 238. 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 − 8 = 0x 1 + 5x 2 + 2x 3 − 5 = 02x 1 + 3x 2 + 4x 3 − 3 = 039. x 1 + 3x 2 + 2x 3 − 4 = 02x 1 + 6x 2 + x 3 − 2 = 04x 1 + 8x 2 − x 3 − 2 = 040. 2x + y + z = 2x + 3y + z = 5x + y + 5z = −72x + 3y − 3z = 1541. x + y − 3z = −12x + y − 2z = 1x + y + z = 3x + 2y − 3z = 142. x + 3y + 2z = 02x − y + 3z = 03x − 5y + 4z = 0x + 17y + 4z = 043. 2x − y + z = 4x + y − z = −13x − 7y − 2z = −1− 2x + 5y + z = 144. x + 2y − z = 23x − y + 2z = 7x − z = −22x + y + z = 720


45. x − 2y + 3z − 4u = 4y − z + u = −3x + 3y − 3u = 1− 7y + 3z + u = −346. x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 112x 1 + 3x 2 + 4x 3 + x 4 = 123x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 = 134x 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 1447. 2x 1 + 3x 2 + 11x 3 + 5x 4 = 2x 1 + x 2 + 5x 3 + 2x 4 = 12x 1 + x 2 + 3x 3 + 2x 4 = −3x 1 + x 2 + 3x 3 + 4x 4 = −348. 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 + x 4 = 20x 1 + 3x 2 + 2x 3 + x 4 = 112x 1 + 10x 2 + 9x 3 + 7x 4 = 403x 1 + 8x 2 + 9x 3 + 2x 4 = 3749. 2x 1 + 2x 2 − x 3 + x 4 = 44x 1 + 3x 2 − x 3 + 2x 4 = 68x 1 + 5x 2 − 3x 3 + 4x 4 = 123x 1 + 3x 2 − 2x 3 + 2x 4 = 650. 3x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 = −33x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 5x 4 = −66x 1 + 8x 2 + x 3 + 5x 4 = −83x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 7x 4 = −851. 3x 1 − 2x 2 + x 3 + x 4 = 4x 1 + x 2 − 3x 3 − x 4 = 711x 1 − 4x 2 − 3x 3 + x 4 = 1052. x 1 + x 2 − x 3 − x 4 = 02x 1 − x 2 + x 3 + 2x 4 = 1x 1 + 2x 2 − x 3 + x 4 = 5− x 1 + x 2 + x 3 − x 4 = 453. 2x 2 + 4x 3 − 3x 4 − 6 = 02x 1 + x 2 + 3x 3 + x 4 = 06x 1 + 5x 2 + 13x 3 − 8 = 02x 1 + 3x 2 + 7x 3 − 2x 4 + 5 = 054. x 1 + 2x 2 + 3x 3 − x 4 = 13x 1 + 2x 2 + x 3 − x 4 = 12x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4 = 12x 1 + 2x 2 + 2x 3 − x 4 = 15x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 221


V úlohách 55.-58. určte hodnotu parametra a tak, aby sústava malaa) jediné riešenie b) žiadne riešenie c) nekonečne mnoho riešení.55. 3x 1 + 2x 2 + x 3 = −17x 1 + 6x 2 + 5x 3 = a5x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 256. ax + y + z = 05x + y − 2z = 2− 2x − 2y + z = −357. x + y + az = 2x + ay + z = −1ax + y + z = −158. x 1 + x 2 + x 3 = 22x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 33x 1 + 2x 2 + ax 3 = 659. Určte parameter a tak, aby sústava rovníc2x 1 − x 2 + x 3 + x 4 = 1x 1 + 2x 2 − x 3 + 4x 4 = 2x 1 + 7x 2 − 4x 3 + 11x 4 = amala riešenie.60. Určte parameter a tak, aby sústava rovníc3x − 2y + z = 0ax − 14y + 15z = 0x + 2y − 3z = 0mala nenulové riešenie a nájdite ho.61. Stavebná firma zaplatila za 1 balík stavebných zmesí, 3 balíky cementu a 7 balíkovkameniva 3.530,-Sk. Pri objednávke 1 balíka stavebných zmesí, 4 balíkov cementu a 10balíkov kameniva uhradila 4.310,-Sk. Koľko zaplatí stavebná firma za 2 balíky stavebnýchzmesí, 3 balíky cementu a 5 balíkov kameniva?22


2 Funkcie jednej reálnej premennej2.1 Definičný obor a základné vlastnosti funkciíMnožinu všetkých reálnych čísel označme R.Definičným oborom D(f) (ak D(f) nie je daný) funkcie danej rovnicou y = f(x)rozumieme množinu všetkých x ∈ R, pre ktoré f(x) ∈ R.Oborom hodnôt H(f) funkcie danej rovnicou y = f(x) rozumieme množinu všetkýchy ∈ R, pre ktoré existuje x ∈ R tak, že y = f(x).Grafom funkcie danej rovnicou y = f(x) rozumieme množinu všetkých usporiadanýchdvojíc [x, y] ∈ RxR takých, že x ∈ D(f) a y ∈ H(f).Funkcia y = f(x) je párna, ak f(−x) = f()x pre každé x ∈ D(f).Funkcia y = f(x) je nepárna, ak f(−x) = −f()x pre každé x ∈ D(f).Funkciu f(x) nazývame ohraničenou, ak jej obor hodnôt H(f) je ohraničená množina.Podobne definujeme pojem funkcie ohraničenej zhora (zdola).Nech pre funkciu y = f(x) platí: ak x 1 ≠ x 2 (pre všetky x 1 , x 2 ∈ D(f)), tak aj f(x 1 ) ≠f(x 2 ). Potom k funkcii y = f(x) existuje inverzná funkcia x = g(y), pre ktorú platí, žeD(g) = H(f) a ku každej hodnote y ∈ D(g) existuje také x ∈ D(f), pre ktoré y = f(x).Rovnice y = f(x) a x = g(y) vyjadrujú tú istú krivku. Grafy funkcií y = f(x) a y = g(x)sú symetrické podľa priamky y = x. Inverznú funkciu k funkcii f označujeme aj ako f −1 .ÚlohyV úlohách 1 - 60 načrtnite grafy daných funkcií, určte definčný obor D(f) a obor hodnôtH(f). Zistite vlastnosti ako párnosť, nepárnosť, ohraničenosť zhora a zdola. Ak funkciamá inverznú funkciu f −1 (x), určte ju spolu s grafom, D(f −1 ) a H(f −1 ).1. y = |x|. 2. y = |x| − 3.3. y = −|x| − 3. 4. y = |x − 3|.5. y = −|x − 3|. 6. y = x 2 + 8; x ∈< 0, ∞).7. y = x 2 − 4. 8. y = 4 − x 2 ; x ∈< 0, ∞).9. y = (x + 1) 2 ; x ∈< −1, ∞). 10. y = (x − 1) 2 + 4; x ∈< 1, ∞).11. y = (x − 1) 2 − 4. 12. y = x|x|.13. y = (x − 1)|x|. 14. y = x|x − 1|.15. y = x 2 − 2|x| + 1. 16. y = |x 2 − 9|.17. y = |9 − x 2 |. 18. y = 1 + 3 x−219. y = 1 − 3 x−2 x−121. y = 2 − 3 x+1 22. y = | 1|.x23. y = 2 + 1 . 24. y = 2 + 1 .(x−1) 2 (x+1) 225. y = √ x. 26. y = √ x − 1.27. y = √ 3 − x − 4. 28. y = √ x + 5.29. y = sin x + 1; x ∈< − π, π > .2 230. y = 5 sin 2x.31. y = sin(x − π) − 1. 32. y = 2 sin(x + π).233. y = 2 sin(−x) + 1. 34. y = 5 sin 2x + 3.35. y = − cos x. 36. y = 3 cos x + 1.2 237. y = 2 cos(x − π ).238. y = −2 cos 2x + 1.39. y = sin |x|. 40. y = | sin x| − 1.41. y = tg 4x + 1; x ∈ (− π, π). 42. y = − tg x ; x ∈ (−2π, 2π).8 8 443. y = 3 tg(x + π ).244. y = tg(2x − π).23


45. y = cotg x ; x ∈ (0, 4π).446. y = cotg(x − π); x ∈ (π, 2π).47. y = −3 x+1 . 48. y = ( 1 3 )x+1 .49. y = 2 x+3 . 50. y = 2 x + 3.51. y = 2 |x| . 52. y = log 3 (x + 1).53. y = log 1 (x + 1). 54. y = − log3 3 (x − 2).55. y = − log 3 (x + 2). 56. y = log 2 |x| + 5.57. y = arcsin x − π. 58. y = arccos(x + 1).59. y = 2 arctg x. 60. y = 2| arctg x| + 3.2.2 Limita a spojitosť funkcieLimita funkcie v bode x 0 nezávisí od toho či je funkcia definovaná v bode x 0 alebo nie.Napriek tomu tento fakt má pri výpočte limít dôležitú úlohu.1. Ak funkcia f je spojitá v bode x 0 , tak jej limitu v bode x 0 počítame dosadením x 0 za x.lim f(x) = f(x 0 ). (1)x→x 0Príklad 1..Vypočítajmelimx→2√x2 + 52x − 3Riešenie. Funkcia je definovaná v bode x 0 = 2. Preto môžeme použiť (1) a dostanemelimx→2√x2 + 52x − 3 = √22 + 52.2 − 3 = 3. □2. Ak funkcia nie je spojitá v bode x 0 (alebo ak x 0 = ±∞), je situácia zložitejšia. Osobitnúpozornosť treba venovať limitám typu00 , ∞∞ , ∞ − ∞, 0 · ∞, (+0)0 , ∞ 0 , 1 ∞ . (2)Pre hodnotu limity typov (2) môžu byť všetky možnosti: limita je vlastná, nevlastnáalebo neexistuje vlastná ani nevlastná limita.Výpočet limity funkcie začíname tak, že do tejto funkcie dosadíme bod, v ktoromlimitu počítame. Ak dostaneme limitu niektorého z typov (2), použijeme úpravy ktorýmiodstránime takéto typy. Používame pritom vety a výsledky o limitách funkcie.Príklad 2.Vypočítajme limitu8x 3 − 5x + 6limx→−∞ 3x 2 + x − 1 .Riešenie. Najskôr vypočítame limitu čitateľa a menovateľa.limx→−∞ (8x3 − 5x + 6) = limx→−∞ x3 (8 − 5 x + 6 2 x ) = −∞,3limx→−∞ (3x2 + x − 1) = ∞.24


Čitateľa aj menovateľa delíme najvyššou mocninou premennej x v menovateli a dostaneme8x 3 − 5x + 6limx→−∞ 3x 2 + x − 1 = lim 8x − 5 + 6 x x 2x→−∞ 3 + 1 − 1 = 8 3 lim x = −∞. □x x 2 x→−∞Príklad 3.Vypočítajme limitya) lim (tg x − 1x→ π − cos x ),2b) lim x sin 2x→∞ x .Riešenie. Ľahko sa presvedčíme, že ide o limity typu ∞ − ∞ a ∞.0 a ďalej urobímevýpočet.a)b)lim (tg x − 1x→ π −2(sin x − 1)(sin x + 1)= limx→ π − cos x(sin x + 1)2cos x ) = lim ( sin x− cos x − 1cos x ) = limx→ π 2= limx→ π −2x→ π −2sin 2 x − 1cos x(sin x + 1) = limx→ π −2− cos x= limx→ π − sin x + 1 = − cos π 2sin π + 1 = 0 2 = 0.22lim x sin 2x→∞ x = lim sin 2 xx→∞1x= limsin 2 xx→∞2. 1 x 2= 2 limsin 2 xx→∞2xsin x − 1cos x=− cos 2 xcos x(sin x + 1) == 2. □Úlohy61. Načrtnite grafy nasledujúcich funkcií a určte body nespojitosti.{ { x + 3, x ∈< 1, ∞)2x + 3, x ∈ (−∞, −2 >a) y =5x − 1, x ∈ (−∞, 1) ; b) y = −3x − 2, x ∈ (−2, ∞)⎧⎨c) =⎩2, x = 0, x = ±24 − x 2 , |x| < 24, |x| > 262. Funkcia je definovaná nasledujúcim spôsobom⎧0 pre x < 0⎪⎨ax pre 0 ≤ x < 1y =−x ⎪⎩2 .+ 4x − 2 pre 1 ≤ x < 3b − x pre x ≥ 3.Určte a, b tak, aby funkcia bola spojitá na celom D(f). Načrtnite graf funkcie.;25


63. Funkcia je definovaná nasledujúcim spôsobom:{ x + 1 pre x ≦ 1y =3 − ax 2 pre x > 1 .Pri akej hodnote čísla a bude funkcia spojitá? Načrtnite jej graf.64. Vypočítajte nasledujúce limity funkcií.a) limx→∞(x 2 + 8);b) limx→∞(4 − x 2 );c) limx→−∞ [(x − 1)2 + 4];d) limx→3|9 − x 2 |;g) limx→2 −(1 + 3x − 2 );j) limx→2 −(1 − 3x − 2 );m) limx→−∞ (2 − 3x − 1 );e) limx→0|x 2 − 9|;h) lim (1 + 3x→3 x − 2 );k) lim (1 − 3x→5 x − 2 );f) limx→2 +(1 + 3x − 2 );i) limx→2 +(1 − 3x − 2 );l) lim (2 − 3x→∞ x − 1 );n) lim (2 + 1); o) limx→−∞ (x − 1)2x→1 +(2 + 1(x − 1) ); 21p) lim(2 + ); q) limx→0 (x − 1) (√ 3 − x − 4);2 x→2r) limx→−1 (√ x + 5);s) limx→∞( 1 3 )x+1 ;t) limx→−∞ (1 3 )x+1 ;u) limx→1( 1 3 )x+1 ;v) limx→∞[log 3 (x + 1)];w) limx→0[log 3 (x + 1)];x) limx→−1 +[log 3(x + 1)];y) limx→∞(2 arctg x);z) limx→0(2| arctg x| + 3);65. Vypočítajte nasledujúce jednostranné limity:a) limx→1 + 3x + 1x − 1 ;3x + 1b) limx→1 − x − 1 ;x + 2c) limx→2 + 2x − 4 ;x + 2d) limx→2 − 2x − 4 ;e) limx→3 + x + 32x − 6 ;x + 3f) limx→3 − 2x − 6 .26


3 Diferenciálny počet funkcie jednej reálnej premennej3.1 Derivácia funkcieA. Derivácie základných elementárnych funkcií(c) ′ = 0(sin x) ′ = cos x(cos x) ′ = − sin x(tg x) ′ =1cos 2 x(cotg x) ′ = − 1sin 2 x(log a x) ′ =1x ln a(ln x) ′ =1xB. Pravidlá derivovania(a x ) ′ = a x ln a(e x ) ′ = e x(x α ) ′ = αx α−1(arcsin x) ′ = √ 11−x 2(arccos x) ′ = − 1 √1−x 2(arctg x) ′ =11+x 2(arccotg x) ′ = − 11+x 2 .Majme funkcie f(x), g(x) a konštantu c. Potom platí(cf) ′ = cf ′(f + g) ′ = f ′ + g ′(fg) ′ = f ′ g + fg ′( f g )′ = f ′ g−fg ′g 2 .Z funkcií y = f(u) a u = g(x) utvorme zloženú funkciu y = f(g(x)). Pre deriváciuzloženej funkcie platí:[f(g(x))] ′ = f ′ (g(x))g ′ (x),čo môžme zapísať aj takto:kde[f(u)] ′ = f ′ (u)u ′ ,u = g(x);u ′ = g ′ (x).Potom pre derivácie zložených základných elementárnych funkcií môžme predchádzajúcevzorce používať aj v tomto tvare:Príklad 1.(a u ) ′ = a u ln a.u ′(c) ′ = 0(cotg(u)) ′ = − 1(arccos(u)) ′ = −sin 2 (u) .u′√ 11−u 2.u ′(log a (u)) ′ 1= (arctg(u)) ′ 1= .u ′(u) ln a .u′1+u 2(ln(u)) ′ 1= (arccotg(u)) ′ = − 1 .u ′ .(u) .u′ 1+u 2(sin(u)) ′ = cos(u).u ′(e u ) ′ = e u .u ′(cos(u)) ′ = − sin(u).u ′(u α ) ′ = αu α−1 .u ′(tg(u)) ′ =1cos 2 (u) .u′(arcsin((u))) ′ 1= √1−u 2.u ′Vypočítajme deriváciu funkciía) y = 2 3√ x 2 + 5 tg x − 3 arcsin x, b) y = x 3 ln x, c) y = xcos x .27


Riešenie.a)y ′ = (2 3√ x 2 ) ′ + (5 tg x) ′ − (3 arcsin x) ′ = 2(x 2 3 ) ′ + 5(tg x) ′ − 3(arcsin x) ′ =b)c)= 2. 2 3 x− 1 3 + 51cos 2 x − 3 1√1 − x2 = 4 313√ x+ 5cos 2 x − 3√1 − x2 .y ′ = (x 3 ln x) ′ = (x 3 ) ′ ln x + x 3 (ln x) ′ = 3x 2 ln x + x 3 . 1 x = x2 (3 ln x + 1).y ′ x= (cos x )′ = x′ cos x − x(cos x) ′cos 2 x=1. cos x − x(− sin x)cos 2 x=cos x + x sin x. □cos 2 xPríklad 2.Vypočítajme deriváciu zložených funkciía) y = sin(3x + 1), b) y = e arctg 2x , c) y = ln 2 (x + √ x 2 − 4).Riešenie.a) Funkcia je zložená z týchto funkcií y = sin z, z = 3x + 1. Podľa vzorca (1) je deriváciazloženej funkcie rovná súčinu derivácii funkcií, z ktorých je zložená. Použijeme vzorec (1)a dostaneme[sin(3x + 1)] ′ = (sin z) ′ (3x + 1) ′ = cos z · 3 = 3 cos(3x + 1).b) Funkcia je zložená z týchto dvoch funkcií y = e z , z = arctg 2x. Podľa vzorca (1)dostaneme(e arctg 2x ) ′ = (e z ) ′ (arctg 2x) ′ = e z (arctg 2x) ′ .Funkcia z = arctg 2x je opäť zložená funkcia, a to z funkcií z = arctg u, u = 2x. Znovupoužijeme vzorec (1) a mámee z (arctg 2x) ′ = e z (arctg u) ′ (2x) ′ = e z 11 + u 2 · 2 = 2earctg x1 + 4x 2 .Môžme počítať aj priamo, bez zavádzania pomocných premenných.c)[ln 2 (x + √ x 2 − 4)] ′ = 2 ln(x + √ x 2 − 4) ·1x + √ x 2 − 4 [1 + 1 2 (x2 − 4) − 1 2 · 2x] == 2 ln(x + √ 1x 2 − 4) ·x + √ x 2 − 4√x2 − 4 + x√x2 − 4=2√x2 − 4 ln(x + √ x 2 − 4).□Príklad 3. Vypočítajme deriváciu funkcie y = (1 + x 2 ) x .Riešenie. Funkciu nemôžeme hneď derivovať podľa žiadneho z uvedených vzorcov, pretožefunkcia nemá konštantný základ, ani exponent.28


Najskôr funkciu upravíme tak, aby mala konštantný základ. Použijeme pritom rovnosťz = e ln z , platnú pre každé z > 0. Za z dosadíme z = (1 + x 2 ) x , funkciu upravíme a ažpotom derivujeme.y = (1 + x 2 ) x = e ln(1+x2 ) x = e x ln(1+x2) .y ′ = [e x ln(1+x2) ] ′ = e x ln(1+x2) ·[ln(1+x 2 1)+x1 + x 2x] = 2 (1+x2 ) x [ln(1+x 2 )+ 2x21 + x ]. □ 2Takýto postup používame vždy pri derivovaní funkcie tvaru [f(x)] g(x) .Úlohy1. Vypočítajte derivácie nasledujúcich funkciía) y = x √ x, b) y = 3√ x 5 , c) y = 1 √x3 ,√√d) y = x x √ x,e) y = 3 √x 3 √x 3√ x, f) y = 4 x − x 4 .2. Vypočítajte derivácie nasledujúcich funkciía) y = (x 3 + 1)(x − 4), b) y = (x 3 − 3x + 2)(x 4 + x 2 − 1), c) y = x arcsin(x) + √ 1 − x 2 ,d) y = x. ln x − x, e) y = x 2 e x , f) y = √ x arccos(x),g) y = −x cotg x + x22 , h) y = x2 log 3 (x), i) y = x √ 1 + x 2 .3. Vypočítajte derivácie nasledujúcich funkciía) y = x + 1x − 1 , b) y = 3t2 + 1t − 1 , c) y = 11 + t + t 2 ,d) y = 2x4b 2 − x 2 ,1 + ln xe) y = , f) y = 3 − ln x ,xxg) y = 1 − ln(x)1 + ln(x) , h) y = xcos x, i) y =1 − cos(x) 1 − sin x ,j) y = cotg xe x , k) y = x2 + 13(x 2 − 1) + (x2 − 1)(1 − x).4. Vypočítajte derivácie nasledujúcich zložených funkciía)y = sin 2 (x) + sin(2x 2 ) + 2 sin(x),b) y = cos(x 2 ) + 3 sin 2 (x) − sin 3 (x),c) y = y = tg(4x + 3), d) y = arctg √ x, e) y = arctg x + 1x − 1 ,f) y = arccotg√11 + x1 + x , g) y = arccos sin x, h) y = 2 1 − x ,29


i) y = 3 x3 , j) y = 10 √ sin x , k) y = 2 1cos(x) ,l) y = e −x , m) y = e x5 , n) y = e −x2 ln(x),o) y = ln(x 2 + 3x + 5), p) y = ln arcsin x, q) y = e x2 . ln x ,r)y = log 3 (x 2 − 1), s) y = log 3 (x 2 − sin(x)), t) y = ln(x + √ 1 + x 2 ).5. Vypočítajte derivácie nasledujúcich zložených funkcií√a)y = (1 + sin 2 (x)) 4 , b) y = tg x √12 , c) y = cos 1 + x ,√1x − 1d) y = sin , e) y = arcsin3 , f) y = arcsin cos 1 x − 1 2x ,g)y = e arcsin(2x) 1, h)y = ln √x2 − 1 , i) y = log2 2(x 2 ),j) y = 5 sin 2 x − 2 cos x 3 , k)y = 1 2 ln 1 + x1 − x , l) y = e− cos2 x + 2 −x2 .6. Vypočítajte derivácie zložených funkciía) y = ln cos arctg ex − e −x, b) y = 2( √ e2x − 1 − arctg √ e x − 1),c) y = sin x4 cos 4 x + 3 sin x8 cos 2 x + 3 8 ln 1 + tg x 21 − tg x , d) y = ln tg x − cotg x · ln(1 + sin x) − x,22e) y = 1 24 (6x3 + 2x 2 + x − 11) √ x 2 + 2x + 2 + 9 24 ln(x + 1 + √ x 2 + 2x + 2),f) y = 1 6h) y =(x + 1)2lnx 2 − x + 1 + √ 1 arctg 2x √ − 1 , g) y = 1 3 3 4 ln x − 1x + 1 − 1 arctg x,2x√1 − x2 arcsin x + 1 2 ln(1 − x2 ), i) y = √ 1 + 2x − x 2 − arcsin 2x + 1 √3,j)y = ln arctg √ 1 + x 2 , k) y = ln cos √ e x + 1,l) y = x(arcsin(x)) 2 −2x+2 √ 1 − x 2 arcsin(x), m)y = 1 2 (3−x)√ 1 − 2x − x 2 +2 arcsin x + 1 √2.7. Vypočítajte deriváciu funkcií tvaru y = [f(x)] g(x)a) y = 4x −2x , b) y = x cos x , c) y = (x 2 + 1) arctg x ,d) y =( ) 1−x1 + x1+x, e) y = x 1/x , f) y = x x ,1 − xg) y = (tg x) 1cos x , h) y = xln x , i) y = (arctg x) ln x ,j) y = (sin x) cos x , k) y = x ex , l) y = (tg(2x)) cotg x 2 .30


8. Určte f (n) (x), aka) f(x) = x 8 − 3x 6 + 5x 4 − 7x 2 + 9, n = 4; b) f(x) = 11 + 3x , n = 6;c) f(x) = arccotg x, n = 3; d) f(x) = cos 2 x, n = 3;e) f(x) = x 3 · ln x, n = 4; f) f(x) = 10 , n = 10;x10 g) f(x) = log 2 x, n = 4; h) f(x) = cos(2x), n = 5.9. Vypočítajte y ′′ (x), aka) y = (x 2 + 1) 3 , b) y = ln(x + √ 1 + x 2 ), c) y = x2 + xx − 1 .3.2 Geometrický a fyzikálny význam derivácieAk priamka má smernicu k a prechádza bodom P 0 (x 0 , y 0 ), tak jej rovnica jey − y 0 = k(x − x 0 ). (1)Majme priamky p 1 a p 2 so smernicami k 1 a k 2 . Ak priamky p 1 a p 2 sú rovnobežné, takk 1 = k 2 , ak sú kolmé, takk 1 .k 2 = −1 (2)a ak nie sú kolmé, tak pre ich uhol ϕ platíA. Geometrický význam derivácie f v bode x 0tg ϕ = | k 1 − k 21 + k 1 k 2|. (3)Geometrický význam derivácie funkcie f v bode x 0 je smernica k t dotyčnice t ku grafufunkcie f v bode P 0 (x 0 , f(x 0 )), t.j.f ′ (x 0 ) = k t .Z (1) vyplýva, že rovnica dotyčnice v bode P 0 jey − f(x 0 ) = f ′ (x 0 )(x − x 0 ). (4)Príklad 4. Nájdime rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie f(x) = x 2 − 2x + 3,ak dotyčnica je kolmá na priamku x + 2y + 1 = 0.Riešenie. Smernica danej priamky p je k p = − 1 2 . Chceme vypočítať smernicu k t dotyčnice.Pretože dotyčnica je kolmá na priamku p, podľa (2) platík t k p = −1,k t = − 1 k p= − 1− 1 231= 2.


Teraz vypočítame x-ovú súradnicu x 0 dotykového bodu. Pretože f ′ (x) = 2x − 2, mámef ′ (x 0 ) = 2x 0 − 2. Použijeme geometrický význam derivácie a dosadímeDosadíme do (4) a máme rovnicu dotyčnicef ′ (x 0 ) = k t2x 0 − 2 = 2x 0 = 2, f(x 0 ) = 3.y − 3 = 2(x − 2), 2x − y − 1 = 0.Normála je rovnobežná s priamkou p. Preto pre jej smernicu k n platí k n = k p = − 1 2 .Dosadíme do (1) a máme rovnicu normályy − 3 = − 1 (x − 2), x + 2y − 8 = 0. □2Príklad 5. Nájdime uhol kriviek f 1 (x) = e 2x , f 2 (x) = e 3x .Riešenie. Uhol dvoch kriviek v ich spoločnom bode je uhol ich dotyčníc v tomto bode.Nájdime body, v ktorých sa pretínajú dané krivky. Postupne dostanemee 2x = e 3x , e 2x − e 3x = 0, e 2x (1 − e x ) = 0, e x = 1,x = 0, y = e 0 = 1.Krivky sa pretínajú v jednom bode P (0, 1). Nájdeme smernice k 1 , k 2 dotyčníc v tomtobode ku daným krivkám a použijeme vzorec (3).f ′ 1(x) = 2e 2xk 1 = f ′ 1(0) = 2B. Fyzikálny význam derivácief ′ 2(x) = 3e 3xk 2 = f ′ 2(0) = 3tg ϕ =2 − 3∣1 + 2 · 3∣ = 1 7 , ϕ = arctg 1 7 . □Ak hmotný bod sa pohybuje po priamke a jeho dráha s je funkciou času s = s(t), takderivácia dráhy s v čase t 0 je rovná jeho rýchlosti v čase t 0 , t.j.s ′ (t 0 ) = v(t 0 ).Druhá derivácia dráhy s v čase t 0 je rovná jeho zrýchleniu a v čase t 0 , t.j.s ′′ (t 0 ) = a(t 0 ).Príklad 6. Hmotný bod sa pohybuje po priamke tak, že jeho vzdialenosť s od začiatočnéhobodu sa za t sekúnd rovnás = 1 4 t4 − 4t 3 + 16t 2 .32


a) Určme čas, v ktorom sa pohybujúci hmotný bod nachádza v začiatočnom bode.b) V akom čase sa jeho rýchlosť rovná nule?Riešenie.a) Položíme s = 0 a postupne dostaneme14 t4 − 4t 3 + 16t 2 = 0, t 2 (t 2 − 16t + 64) = 0, t 2 (t − 8) 2 = 0,t 1 = 0, a t 2 = 8.Hmotný bod sa nachádza v začiatočnom bode v čase t 1 = 0 a t 2 = 8 sekúnd.b) Rýchlosť v = s ′ = t 3 − 12t 2 + 32t. Položíme v = 0 a mámet 3 − 12t 2 + 32t = 0, t(t 2 − 12t + 32) = 0, t 1 = 0, t 2 = 4, t 3 = 8.Hmotný bod má rýchlosť rovnú nule v čase t 1 = 0, t 2 = 4 a t 3 = 8 sekúnd.□Úlohy10. Napíšte rovnice dotyčnice a normály ku grafu funkciea) y = x 2 − 4x v bode T (1, ?); b) y = 51 + x 2 v bode T (2, ?);c) y = ln x v bode T (?, 1); d) y = 3x − 42x − 3v bode T (2, ?);e) y = √ x v bode T (4, ?); f) y = e −x cos(2x) v bode T (0, ?).11. V ktorom bode je dotyčnica k parabole y = x 2a) rovnobežná s priamkou y = 4x − 5,b) kolmá na priamku 2x − 6y + 5 = 0,c) taká, že zviera s priamkou 3x − y + 1 = 0 uhol ϕ = π 4 ?Napíšte rovnice týchto dotyčníc.12. Napíšte rovnice dotyčnice a normály ku grafu funkciea) y = x 3 − 3x tak, aby t‖o x ; b) y = ln xxc) y = ln x tak, aby t‖p : 2x − y − 3 = 0;d) y = e x/2 + 1 tak, aby t‖p : x − 2y + 1 = 0;e) y = ex+ 12tak, aby t‖p : x − 2y + 1 = 0;f) y = 2x ln x tak, aby t‖p : 2x − y + 5 = 0;tak, aby t‖0 x ;g) y = x 2 − 2x + 3 tak, aby t‖p : 3x − y + 5 = 0.33


13. Napíšte rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkciea) y = x 2 − 2x + 3 tak, aby t⊥p : x + y − 1 = 0;b) y = x ln x tak, aby t⊥p : 2x − 2y + 3 = 0;c) y = x 3 − 11x − 15 tak, aby t⊥p : 2x + 2y − 7 = 0;d) y = − √ 2x 3 tak, aby t⊥p : 4x − 3y + 2 = 0.14. Zistite, v ktorom bode je dotyčnica ku grafu funkcie y = f(x) rovnobežná s osouO x , ak:a) y = ln xx ; b) y = x2 (x − 2) 2 ; c) y = 3x 4 + 4x 3 − 12x 2 + 20.15. Zistite, v ktorom bode dotyčnica ku kubickej parabole y = x33 zviera s osou O xuhol π 4 .16. Vypočítajte uhol, pod ktorým pretína graf funkcie y = f(x) os O x , ak:a) y = ln(x + 1); b) y = e x − 1; c) y = sin x; d) y = tg(2x).17. Určte také číslo b, aby graf funkcie y = bx−x34pretínal os x pod uhlom π 4 .18. Vypočítajte uhol, pod ktorým pretínajú grafy funkcií:a) y = x 2 , y = x 3 ; b) y = (x − 2) 2 , y = 4x − x 2 + 4.19. Raketa odpálená zo Zeme sa pohybuje kolmo nahor tak, že pre jej vzdialenosťx v km od Zeme platí x = 20 + 110t − 18t 2 , kde t je čas v minútach od okamihu kedyprestali motory rakety pôsobiť. Určte rýchlosť rakety v čase t = 3 minúty, čas, v ktoromsa pohyb rakety nahor skončí a najväčšiu výšku, ktorú raketa dosiahne.20. Priamočiary pohyb telesa je určený rovnicou s = 2t 3 − 15t 2 + 36t + 2, kde s jedráha v m a t je čas v sekundách. Zistite, v ktorom čase je rýchlosť telesa nulová.21. Keď teleso vyhodíme zvisle nahor, výška telesa nad povrchom počítaná v metrochje daná rovnicou s = 100t − 4, 9t 2 , kde t je čas v sekundách. Nájdite:a) rýchlosť v čase t = 2;b) za aký čas dosiahne teleso najväčšiu výšku;c) akú najväčšiu výšku teleso dosiahne.22. Rýchlosť telesa pohybujúceho sa priamočiaro je daná rovnicou v = 3t + t 2 . Akézrýchlenie bude mať teleso o štyri sekunky po začiatku pohubu?23. Priamočiary pohyb telesa je určený rovnicou s = 1 + 2t + t 2 , kde s je dráha vmetroch a t je čas v sekundách. Určte jeho rýchlosť v čase t = 2.24. Priamočiary pohyb telesa je určený rovnicou s = 1 4 t4 − 4t 3 + 16t 2 , kde s je dráhav metroch a t je čas v sekundách. Zistite, v ktorom čase je:a) teleso na začiatku dráhy; b) rýchlosť telesa nulová.34


3.3 L’Hospitalovo pravidloPredpokladajme, želimx→x 0f(x) = limx→x0g(x) = 0 alebo limx→x0|f(x)| = limx→x0|g(x)| = ∞a nech existujePotom existuje aja platí rovnosťlimx→x 0limx→x 0limx→x 0f ′ (x)g ′ (x) .f(x)g(x)f(x)g(x) = limx→x 0f ′ (x)g ′ (x) .Toto pravidlo platí aj pre x 0 = ∞ alebo x 0 = −∞.L’Hospitalovo pravidlo sa teda prakticky používa na počítanie limít podielu dvoch funkciíf(x)typu 0 a ∞ . Po istých úpravách môžeme L’Hospitalovo pravidlo použiť aj na limityg(x) 0 ∞typu ∞ − ∞, 0 · ∞, a iné.Príklad 7.Vypočítajme limitulimx→∞2x 2 − 3x + 25x 3 − 2x 2 + 1 .Riešenie.Limita je typu ∞ . Úlohu môžme riešiť dvoma spôsobmi.∞a) Vyberieme najvyššiu mocninu premennej x pred zátvorku a vykrátime. Použitímviet o počítaní limít je možné ľahko určiť limity dielčich výrazov ako aj následne vypočítaťcelkovú hodnotu hľadanej limity.limx→∞2x 2 − 3x + 25x 3 − 2x 2 + 1 = lim x 2 (2 − 3 + 2 )x x 2x→∞ x 3 (5 − 2 + 1 ) = limx x 3 x→∞b) Na výpočet použijeme L’Hospitalovo pravidlo.limx→∞2x 2 − 3x + 25x 3 − 2x 2 + 1 = limx→∞4x − 315x 2 − 4x = limx→∞2 − 3 x + 2 x 2x(5 − 2 x + 1 x 3 ) = 0.430x − 4 = limx→∞030 = 0. □Príklad 8.Vypočítajme limitya) limx→π21 − sin xπ − 2x ,b) limx→0(cotg x − 1 )2xc) limx→∞x 2 e −x .35


Riešenie.a) Dosadením x = π zistíme, že limita je typu 0 . Môžeme použiť L’Hospitalovo pravidlo.2 0limx→ π 21 − sin xπ − 2x= limx→ π 2− cos x−2= 1 2 lim · cos x = 1x→ π 22 cos π 2 = 1 2 · 0 = 0.b) Limita je typu ∞ − ∞ (pre x → 0+ je to typ +∞ − (+∞), pre x → 0− je to typ−∞ − (−∞)). Upravíme na typ 0.0(lim cotg x − 1 )2x − tg x= limx→02x x→0 2x tg x= lim 2 − 1cos 2 xx→0 2 ( ) =tg x + x 1cos 2 x= limx→02 cos 2 x − 12(sin x cos x + x) = limx→02 cos 2 x − 1sin 2x + 2x = limx→0−4 cos x sin x2 cos 2x + 2 = −4 · 1 · 02 · 1 + 2 = 0.c) Máme počítať limitu súčinu f(x)g(x). Súčin fg prepíšeme na podiel alebo g 1 afmáme typ 0 alebo ∞ . Ak sa výpočet limity skomplikuje po úprave na jeden z týchto0 ∞typov, použijeme úpravu na druhý typ. V našom príklade je limita typu ∞ · 0. Upravímef1gju na typ ∞. ∞lim x 2 e −x x 2= limx→∞ x→∞ e = limx x→∞2xe x = 2 limx→∞1e x = 2 · 0 = 0.□ÚlohyVypočítajte nasledujúce limity.Typ ∞ ∞25.a) limx→∞3x 4 + 5x − 12x 4 − 3x 3 + 2x ,d) limx→∞2x 3 − 4x − 16x + 3x 2 − x 3 ,b) limx→∞e) limx→∞2x 3 + x 2 − x + 15x 2 − 6x + 3(x + 1) 2(x − 1)(x + 3)g) lim , h) limx→∞ 2x 2 x→∞ 3x 2 + 5x 3 − 100x 2 + 1100x 2 + 15x7x 2 − 2x + 6c) limx→∞ 4x 3 + 5x − 2 ,f) limx→∞x 2 − 13 − x 3 ,i) limx→∞(2x − 1) 2(4x − 1)(3x + 2) .26.ln sin xln sin 2xa) lim , b) limx→0 + ln sin 5x x→0 + ln sin x ,ln xd) limx→0 + cotg x ,ln xg) limx→∞ x ,ln xe) limx→∞ x , 2h) limx→ π 2c) limx→ π 2tg 5xtg 3x ,xf) limx→∞ ln(1 + x) ,ln( π − x) 2e x, i) limtg xx→∞ x . 2Typ 0 027.a) limx→2x 2 − 4x 2 − 3x + 2 ,b) limx→1x 4 + 2x 2 − 3x 2 − 3x + 2x 3 − 4x 2 + 5x − 2c) lim,x→1 x 5 − 3x + 236


Typ (∞ − ∞)28.Typ 0 · ∞29.x 2 − 2x + 1d) lim, e) limx→1 x 3 − xx→ 1 2g) limx→0j) limx→π2sin 3x, h) limx x→0cos 3xcos x ,x − sin xm) limx→0 1 − cos xa) limx→0( 1x − 1p) limx→1x − 1ln x ,s) limx→eln x − 1x − e ,e x − 1d) limx→0( 1sin x − 1tg xa) lim x ln x,x→0 +k) limx→0, n) limx→08x 3 − 16x 2 − 5x + 1f) limx→−1x 3 + 1sin(x + 1) ,sin 8x sin 4x + sin 7xi) lim,sin 9x x→0 sin 3x1 − cos x x − sin x, l) lim ,x 2 x→0 x 3ln cos x sin(1 − x), o) lim √ ,xx→1 x − 1e 2x − 1q) limx→0 sin x ,t) limx→0) ( 1, b) limx→1 ln x −xln x), e) lim(cotg x − 1x→0 xe x − er) limx→1 x − 1 ,e 2x − 1 e x − e −x, u) lim3x x→0 sin x .b) lim x ln(1 + 1x→∞ x ),d) limx→0 + x · e1/x , e) limx→0 − x · e1/x ,g) limx→∞(π − 2 arctg x) ln x,h) limx→2x 2 − 4x 2) ( 1, c) limx→1),ln x − 1x − 1) ( 1, f) limx→1 2 ln x − 1x 2 − 1c) lim x cotg xx→0 4 ,f) limx→∞[x(e 1/x − 1)],).tg πx , i) lim sin(2x − 1) tg(πx).4 x→ 1 23.4 Rastúce a klesajúce funkcie. Lokálne extrémy.A. Majme funkciu f, ktorá je spojitá na intervale I a má deriváciu v každom vnútornombode intervalu I. Ak f ′ (x) > 0 (f ′ (x) < 0) v každom vnútornom bode x intervalu I, takf je rastúca (klesajúca) na intervale J.Príklad 9.Nájdime intervaly, na ktorých je funkciarastúca a na ktorých je klesajúca.f(x) = ln(1 − x 2 )Riešenie. Najskôr určíme definičný obor D(f). Vyjde nám D(f) = (−1, 1). Vypočítamederiváciu funkcie f. Dostanemef ′ (x) = −2x1 − x . 237


a) Zaujíma nás, kde je funkcia f rastúca, teda pre ktoré x platí, že f ′ (x) > 0. Pretopoložíme f ′ (x) > 0 a dosadíme. Máme−2x1 − x 2 > 0.Riešením nerovnice je x ∈ (−1, 0) ∪ (1, ∞). Nemôžeme povedať, že funkcia f je rastúcana týchto dvoch intervaloch. Môže byť rastúca len tam, kde je definovaná. Preto nájdemespoločnú časť tejto množiny a D(f).Dostaneme[(−1, 0) ∪ (1, ∞)] ∩ (−1, 1) = (−1, 0).Funkcia f je rastúca na intervale (−1, 0).b) Skúmame, kde je funkcia klesajúca. Položíme f ′ (x) < 0 a podobným postupom zistíme,že funkcia f je klesajúca na intervale (0, 1). □B. Body, v ktorých má funkcia f lokálne extrémy hľadáme týmto postupom1. Nájdime stacionárne body funkcie f, t.j. body, pre ktoré platí f ′ (x) = 0 a body, vktorých funkcia f nemá deriváciu.2. Funkcia f môže mať lokálny extrém len v týchto bodoch. O tom, či funkcia f má vtýchto bodoch lokálny extrém, rozhodneme podľa niektorého z nasledujúcich dvoch pravidiel:pravidlo 1. Ak f ′ (x 0 ) = 0 a f ′′ (x 0) ≠ 0, tak funkcia má v bode x 0 lokálny extrém,a toa) lokálne minimum, ak f ′′ (x 0 ) > 0,b) lokálne maximum, ak f ′′ (x 0 ) < 0.Nech x 0 je stacionárny bod funkcie f alebo bod v ktorom funkcia f nemá deriváciu.Potom platípravidlo 2. Ak funkcia f je spojitá v bode x 0 a ak existuje také okolie bodu x 0 , žev tomto okolí naľavo od bodu x 0 je funkcia rastúca (klesajúca) a napravo je klesajúca(rastúca), tak funkcia f má v bode x 0 lokálne maximum (minimum).Príklad 10.Nájdime lokálne extrémy funkcief(x) = x33 − x2 − 3x.Riešenie. Definičný obor funkcie f je D(f) = (−∞, ∞).Upravíme a dostanemef ′ (x) = x 2 − 2x − 3.f ′ (x) = (x − 3)(x + 1).Funkcia f má deriváciu v každom bode definičného oboru D(f). Nájdeme stacionárnebody. Položíme f ′ (x) = 0 a získame stacionárne body x 1 = −1 a x 2 = 3. Lokálne extrémymôže funkcia mať len v týchto dvoch bodoch. Či skutočne má, rozhodneme teraz napr.podľa pravidla 1.f ′′ (x) = 2x − 238


f ′′ (−1) = −4 < 0, f ′′ (3) = 4 > 0.Funkcia nadobúda v bode x 1 = −1 lokálne maximum f(−1) = 5 a v bode x 3 2 = 3 málokálne minimum f(3) = −9. □Príklad 11.Nájdime lokálne extrémy funkcief(x) = (10 − x) 3√ x 2 .Riešenie. Definičný obor je D(f) = (−∞, ∞).f ′ (x) = − 3√ x 2 + (10 − x) 2 3 x− 1 3 = −3 √ x 2 +2(10 − x)3 3√ .xDerivácia neexistuje v bode x = 0. Hľadáme stacionárne body, teda postupne riešimerovnicu f ′ (x) = 0− 3√ x 2 +2(10 − x)3 3√ x= 0, −3x + 20 − 2x = 0, x = 4.Funkcia f má stacionárny bod x = 4. Teda lokálny extrém môže byť len v bodoch x = 0a x = 4. (Lokálne extrémy teraz vyšetrujeme podľa pravidla 2.) Tieto body rozdeliadefiničný obor D(f) na intervaly (−∞, 0), (0, 4), (4, ∞). V každom z týchto intervalovderivácia f ′ (x) nemení znamienko. Sú to intervaly, v ktorých funkcia f(x) je rastúca (akf ′ (x) > 0), prípadne klesajúca (ak f ′ (x) < 0). Pretože f ′ (x) má rovnaké znamienko v celomintervale, znamienko f ′ (x) v každom intervale stanovíme tak, že nájdeme znamienkof ′ (x) v ľubovoľnom jednom bode tohoto intervalu. V jednotlivých intervaloch si zvoľmenapr. tieto body−1 ∈ (−∞, 0), 1 ∈ (0, 4), 8 ∈ (4, ∞)a vypočítajme deriváciu f ′ (x) v zvolených bodoch.f ′ (−1) = − 3√ (−1) 2 + 2(10+1)3 3√ −1f ′ (1) = − 3√ 1 + 2(10−1)3 3√ 1f ′ (8) = − 3√ 64 + 2(10−8)3 3√ 8= −1 − 22 3 < 0,= 5 > 0,= −4 + 2 3 < 0.Získané výsledky zapíšeme do tabuľky. Ak funkcia rastie (klesá) použijeme šípku ↗ (↘)x (−∞, 0) (0, 4) (4, ∞)f ′ (x) − + −f(x) ↘ ↗ ↘Funkcia f je spojitá na D(f) (pretože je elementárna), a teda aj v bodoch x = 0 a x = 4.Podľa pravidla 2 má funkcia f v bode x = 0 lokálne minimum f(0) = (10 − 0) · 0 = 0 av bode x = 4 má lokálne maximum f(x) = (10 − 4) 3√ 16 = 12 3√ 2. Stacionárny bod x = 4(ale nie bod x = 0) by sme mohli vyšetriť aj podľa pravidla 1. □39


Úlohy30. Určte intervaly, na ktorých sú funkcie rastúce a klesajúce:a) f(x) = x 3 + 4x 2 − 3x + 6, b) f(x) = x33 − x2− 2x + 1,231. Určte lokálne extrémy funkciíc) f(x) = x 4 − 4x 2 + 5, d) f(x) = x 3 e −x ,e) f(x) = x2, f) f(x) = arctg(x) − x.ln xa) y = x 5 − 5x 4 + 5x 3 + 4, b) y = x 3 + 3x 2 − 4,c) y = 3x2 − 1x 2 , d) y = y =(x + 2)2,xe) y = x2 − 2x + 2, f) y = x3x − 1x − 1 ,g) y = x − arctg x, h) y = ln(x) + 1 x .3.5 Najväčšia a najmenšia hodnota funkcieA. Medzi časté aplikácie matematiky patrí úloha nájsť najväčšiu hodnotu (maximum) anajmenšiu hodnotu (minimum) funkcie f na danom intervale I.Nech I je uzavretý interval, I =< a, b > a funkcia f je spojitá na I. Potom podľaWeierstrassovej vety má funkcia f na I maximum aj minimum. Maximum a minimumfunkcie f hľadáme takto1. Nájdeme body z intervalu (a, b) v ktorých je f ′ (x) = 0 a body z tohoto intervalu,v ktorých f ′ (x) neexistuje.2. Zistíme, v ktorých z týchto bodov má funkcia f lokálny extrém.3. Vypočítajme hodnoty f(a), f(b) a hodnoty funkcie f v bodoch, v ktorých málokálny extrém. Najväčšie z týchto čísel je maximum a najmenšie je minimum funkcie fna intervale < a, b >.Ak I nie je uzavretý interval, nemôžeme použiť Weierstrassovu vetu. Môžeme si pomôcťskúmaním jednostranných limít v koncových bodoch. Môže sa stať, že funkcia naI nemá maximum ani minimum.Môžme použiť aj nasledujúcu vlastnosť (v) spojitých funkcií: ak f je spojitá funkciana intervale I a má práve v jednom bode x 0 ∈ I lokálne maximum (lokálne minimum),tak f(x 0 ) je najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie f na intervale I.Príklad 12.Nájdime najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkciea) f(x) = x 3 + 3x 2 − 9x − 3 na intervale < −4, 4 >,b) f(x) = 2 tg x − tg 2 x na intervale < 0, π 2 ).40


Riešenie.a) 1. Najskôr vypočítame deriváciu f ′ (x).f ′ (x) = 3x 2 + 6x − 9.Nájdeme stacionárne body funkcie f. Položíme f ′ (x) = 0, teda 3x 2 +6x−9 = 0. Riešeniarovnice x 1 = 1, x 2 = −3 sú stacionárne body, 1 ∈ (−4, 4), −3 ∈ (−4, 4). Body, v ktorýchf nemá deriváciu neexistujú.2. Funkcia môže mať lokálny extrém len v bodoch x 1 = 1 a x 2 = −3. Či skutočne má,rozhodneme použitím druhej derivácie.f ′′ (x) = 6x + 6, f ′′ (1) = 12 > 0, f ′′ (−3) = −12 < 0.Funkcia f má v bode x 1 = 1 má lokálne minimum a v bode x 2 = −3 lokálne maximum.3. Počítame hodnoty funkcie f v bodoch x 1 = 1, x 2 = −3 a v koncových bodoch x 3 = −4a x 4 = 4.f(1) = −8, f(−3) = 24, f(−4) = 17, f(4) = 73.Funkcia f má najväčšiu hodnotu v bode x 4 = 4, pričom f(4) = 73 a najmenšiu hodnotumá v bode x 1 = 1, pričom f(1) = −8.b) 1. Vypočítame f ′ (x).Položíme f ′ (x) = 0.f ′ 1(x) = 2cos 2 x − 2 tg x · 1cos 2 x= 21− tg xcos 2 x .2 1 − tg xcos 2 x = 0, tg x = 1, x = π (0,4 ∈ π ).2Máme jeden stacionárny bod x = π ležiací v intervale ( )0, π 4 2 . Funkcia f má deriváciu vkaždom bode daného intervalu.2. Funkcia f môže mať lokálny extrém len v bode x = π . Použijeme druhú deriváciu.4f ′′ (x) = 2 − 1 · cos 2 x cos2 x − (1 − tg x)2 cos x(− sin x)=cos 4 x−1 + (1 − tg x) sin 2x( π)= 2 , f ′′ = 2cos 4 ( −1x4√2 ) 4< 0.Funkcia f má v bode x = π lokálne maximum. Podľa vlastnosti (v) má v tomto bode4najväčšiu hodnotu, a to f( π) = 1. 43. Pri hľadaní najmenšej hodnoty si všímame len koncové body. Platí f(0) = 0. Funkciaf nie je definovaná v bode x = π, preto nemôžeme počítať 2 f(π ). Skúmame limitu zľava2v bode x = π.2limx→ π −2(2 tg x − tg 2 x ) (= lim 2 sin x )x→ π − cos x − sin2 xcos 2 x222 sin x cos x − sin 2 x= limx→ π − cos 2 x2= −∞.Funkcia f najmenšiu hodnotu nemá.□41


B. Pomocou predchádzajúcich úvah o najmenšej a najväčšej hodnote funkcie na danomintervale je možné riešiť aj rôzne slovné úlohy. Postupujeme takto:1. Veličinu V , ktorá má mať najväčšiu (najmenšiu) hodnotu vyjadríme pomocou inýchpremenných.2. V tomto vyjadrení, (ak je to nutné) vylúčime všetky premenné okrem jednej, napr. x.Potom V je funkcia tejto jednej premennej x.3. Určíme interval I pre túto premennú x.4. Hľadáme najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie V (x) na intervale I (ako v odsekuA).Príklad 13. Cisterna tvaru valca má objem 32m 3 . Vypočítajme rozmery cisterny tak,aby na jej zhotovenie sa spotrebovalo najmenej plechu.Riešenie.1. Veličina, ktorá má mať minimum je povrch S valca daného objemom V = 32. Mámevypočítať výšku v a polomer r podstavy valca. Vyjadríme teda veličinu S pomocoupremenných v a r na základe známych vzorcov:S = 2πr 2 + 2πrv.2. Vieme, že V = πr 2 v. Potom v = Vπr 2 = 32πr 2 . Dosadíme do vyjadrenia veličiny S.S = 2πr 2 + 2πr 32πr 2 = 2πr2 + 64r .S je teraz už funkciou len jednej premennej r.3. r ∈ (0, ∞).4. S ′ = 4πr − 64r 2 . Položíme S ′ = 0 a vypočítame r.4πr − 64√16r = 0, r = 3 2 π∈ (0, ∞).Funkcia S má v intervale (0, ∞) jeden stacionárny bod x = 3 √16π . Derivácia S′ existuje vkaždom bode intervalu (0, ∞).Zistíme, či S má v bode r = 3 √16πlokálny extrém. Použijeme druhú deriváciu.(S ′′ = 4π + 128√ )r , 3 S′′ 3 16= 12π > 0.π√Teda S má v bode r = 3 16lokálne minimum. Podľa vlastnosti (v) z toho vyplýva, že vπtomto bode má S najmenšiu hodnotu. Ešte vypočítame v.v = 32r = 322 ( √3π16π) 2= 2 3 √16πm, teda v = 2r.Na cisternu sa spotrebuje najmenej plechu, ak r = 3 √16π a v = 2r. □42


Úlohy32. Určte najmenšiu a najväčšiu hodnotu nasledujúcich funkcií na daných intervalocha) f(x) = x 3 − 9x 2 + 24x − 10, x ∈< 0, 5 >; b) f(x) = x 4 − 2x 2 + 5, x ∈< −2, 2 >;c) f(x) = x + 2 √ x, x ∈< 0, 4 >; d) f(x) = x 3 − 3x 2 + 6x − 2, x ∈< −1, 1 >;e) f(x) = x 3 + 3x − 5, x ∈< −2, 2 >; f) f(x) = x 2 − 6x + 10, x ∈< −1, 5 >;g) f(x) = x 5 − 5x 4 + 5x 3 + 1, x ∈< −1, 1 >; h) f(x) = x − 2 ln x, x ∈< 1, e > .33. Určte dve kladné čísla so súčtom 8 tak, aby súčet ich tretích mocnín bol najmenší.34. Číslo 28 rozložte na dva kladné sčítance tak, aby ich súčin bol najväčší.35. Určte také kladné číslo x, ktoré má tú vlastnosť, že súčet tohto čísla a jehoprevrátenej hodnoty je najmenší.36. Určte také číslo x, aby súčet tohto čísla a jeho druhej mocniny bol najmenší.37. Rozložte číslo 36 na dva sčítance tak, aby ich súčin bol najväčší.38. Určte také kladné číslo x, aby rozdiel tohto čísla a jeho tretej mocniny bol najväčší.39. Rozložte číslo 36 na súčin dvoch kladných čísel, ktoré majú najmenší súčet štvorcov.40. Určte rozmery pravouhlého rovnobežníka daného obsahu P , ktorý má najmenšíobvod.41. Zo všetkých obdĺžnikov, ktoré majú obvod o = 10 cm určte ten, ktorý má najväčšíplošný obsah.42. Aké rozmery musí mať pravouhlý rovnobežník daného obvodu o = 42 cm, abyjeho uhlopriečka bola najmenšia?43. Kartón tvaru obdĺžnika má rozmery 60 × 28 cm. V rohoch sa nastrihnú štvorce azvyšok sa zahne do otvorenej škatule. Aká veľká musí byť strana nastrihnutých štvorcov,aby objem škatule bol najväčší?44. Okno, ktoré má tvar rovinného obrazca pozostávajúceho z obdĺžnika a polkruhunad jeho kratšou stranou, má obvod a. Aké musia byť rozmery obdĺžnika, aby okno malonajväčší plošný obsah?45. Jama slúžiaca na hospodárske účely má mať tvar kvádra s objemom 200 m 3 . Dĺžkamá byť štvornásobok šírky. Vnútorný obklad základne je dvakrát lacnejší ako stien. Akémusia byť rozmery danej jamy, aby jej vnútorné obloženie vyšlo čo najlacnejšie?46. Kus drôtu s dĺžkou a máme rozdeliť na dve časti, z ktorých prvá sa zohne dotvaru štvorca a druhá do tvaru kruhu. Na ktorom mieste treba zvoliť rez, aby súčetobsahu štvorca a obsahu kruhu bol najmenší?47. Do kružnice s polomerom r = 4 cm vpíšte rovnoramenný trojuholník najväčšiehoobsahu.48. Kruhový valec má daný objem 16π. Aké musia byť jeho rozmery, aby povrch bolnajmenší?49. Do gule s polomerom R vpíšte rotačný kužeľ najväčšieho objemu.50. Určte rozmery otvoreného bazéna so štvorcovým dnom daného objemu 32 m 3tak, aby sa na obloženie jeho dna a stien spotrebovalo čo najmenej materiálu.43


3.6 Konvexnosť a konkávnosť funkcie. Inflexný bod funkcie.A. Nech funkcia f je spojitá na intervale I a nech v každom vnútornom bode tohotointervalu má deriáciu. Funkciu f nazývame konvexnou (konkávnou) na intervale I, akvšetky body jej grafu ležia nad (pod) dotyčnicou zostrojenou v ľubovoľnom bode grafu(okrem dotykových bodov).Na zisťovanie konvexnosti a konkávnosti funkcie používame nasledujúce tvrdenie:majme funkciu f spojitú na intervale I. Ak v každom vnútornom bode x tohoto intervaluplatí f ′′ (x) > 0 (f ′′ (x) < 0), tak funkcia f je konvexná (konkávna) na intervaleJ.Príklad 14.Nájdime intervaly, v ktorých je konvexná, resp. konkávna funkciaf(x) = ln(1 + x 2 ).Riešenie. Definičný obor D(f) = (−∞, ∞). Vypočítame f ′′ (x) a vyriešime nerovnicef ′′ (x) > 0 a f ′′ (x) < 0.f ′ (x) =2x1 + x , x ∈ D(f),2a) Položíme f ′′ (x) > 0f ′′ (x) = 2(1 + x2 ) − 2x2x(1 + x 2 ) 2 = 2 1 − x2(1 + x 2 ) 2 , x ∈ D(f).2 1 − x2(1 + x 2 ) 2 > 0, 1 − x2 > 0, x 2 < 1, x ∈ (−1, 1).b) Položíme f ′′ (x) < 0 a dostaneme2 1 − x2(1 + x 2 ) 2 < 0, 1 − x2 < 0, x 2 > 1, x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞).Funkcia f je konvexná na intervale (−1, 1). Funkcia f je konkávna na intervale (−∞, −1)a na intervale (1, ∞). □B. Nech funkcia f má deriváciu v bode x 0 . Bod x 0 nazývame inflexným bodom funkcief, ak existuje také okolie bodu x 0 , že v tomto okolí naľavo od bodu x 0 je funkciakonvexná (konkávna) a napravo od bodu x 0 je konkávna (konvexná). Názov ”inflexnýbod” používame aj pre bod P (x 0 , f(x 0 )) grafu funkcie f. Graf funkcie f v inflexnombode prechádza z jednej strany dotyčnice na jej druhú stranu. Inflexné body funkcie fhľadáme týmto postupom:1. Nájdeme body, v ktorých f ′′ (x) = 0 a body, v ktorých neexistuje f ′′ (x) (existuje všakf ′ (x)).2. Inflexnými bodmi funkcie f môžu byť len tieto body. Či skutočne sú, rozhodnemepodľa definície alebo použitím tretej derivácie (ak existuje) nasledujúcim pravidlom:ak f ′′ (x 0 ) = 0 a f ′′′ (x 0 ) ≠ 0, tak x 0 je inflexný bod funkcie f.Príklad 15.Nájdime inflexné body funkcie f(x) = ln xx .44


Riešenie. Definičný obor D(f) = (0, ∞).f ′ (x) =1x − ln xxx 2= 1 − ln xx 2 , x ∈ D(f)f ′′ (x) = − 1 x x2 − (1 − ln x)2x(x 2 ) 2 = 2 ln(x) − 3x 3 , x ∈ D(f).Položíme f ′′ (x) = 0, teda 2 ln(x)−3 = 0, odkiaľ dostaneme ln x = 3 a x = e 3 x 32 . Inflexným2bodom môže byť len bod x = e 3 2 . Bod x = e 3 2 rozdelí definičný obor D(f) na intervaly(0, e 3 2 ) a (e 3 2 , ∞). V každom intervale určíme znamienko druhej derivácie, a to určenímjej znamienka v jednom ľubovoľnom bode príslušného intervalu. Zvoľme napríklad body1 ∈ (0, e 3 2 ) a e 2 ∈ (e 3 2 , ∞) a dostanemef ′′ (1) = 2 ln(1) − 31= −3 < 0, f ′′ (e 2 ) = 2 ln(e2 ) − 3(e 2 ) 3 = 4 ln(e) − 3e 6 = 1 e 6 > 0.Zistené výsledky zaznačíme do tabuľky.x (0, e 3 2 ) (e 3 2 , ∞)f ′′ (x) − +f(x) konkávna konvexnáPotom x = e 3 2 je inflexný body funkcie f. To, či je bod x = e 3 2 inflexným bodom funkcief, môžeme zistiť aj použitím tretej derivácie:f ′′′ (x) =2x x3 − (2 ln(x) − 3)3x 2(x 3 ) 2 =11 − 6 ln xx 4 , x ∈ D(f).Keďžef ′′′ (e 3 11 − 6 ln e 3 22 ) =4= 11 − 6 3 ln e 2tak x = e 3 2 je inflexným bodom danej funkcie f. □e 3 2e 12 2= 2 e 6 ≠ 0,Úlohy51. Určte intervaly, na ktorých je funkcia y = f(x) konvexná, konkávna a určteinflexné body.a) f(x) = x 4 −2x 3 −12x 2 +7x−3; b) f(x) = x 4 −6x 2 +5; c) f(x) = x 3 −6x 2 +12x+4;d) f(x) = x + 1 x 2 ; e) f(x) = x − ln(x2 − 9); f) f(x) = x 2 ln x.3.7 Asymptoty grafu funkcieA. Priamku x = x 0 nazývame asymptotou bez smernice grafu funkcie f, ak platíniektorá z týchto štyroch možnostílim f(x) = ±∞,x→x 0 +lim f(x) = ±∞x→x 0 −45


Z definície vyplýva, že asymptoty bez smernice môžu byť len v bodoch nespojitosti.Príklad 16. Nájdime asymptoty bez smernice grafu funkcie f(x) = x34−x 2 .Riešenie. Funkcia f je elementárna, a teda jej body nespojitosti sú body v ktorých nieje definovaná. Sú to body x = −2 a x = 2. Vypočítame jednostranné limity v týchtobodoch.x 3limx→−2 − 4 − x = −8x 3= ∞, lim2 0− x→−2 + 4 − x = −82 0 = −∞,+x 3limx→2 − 4 − x = 8x 3= ∞, lim2 0+x→2 + 4 − x = 82 0 = −∞.−Priamky x = 2 a x = −2 sú asymptoty bez smernice. □B. Priamka y = kx + q je asymptotou so smernicou grafu funkcie f pre x → ∞práve vtedy, ak platia rovnostif(x)k = limx→∞ x , q = lim (f(x) − kx).x→∞Z toho vyplýva, že ak niektorá z uvedených limít neexistuje, tak nexistuje ani asymptotaso smernicou pre x → ∞. Podobné tvrdenia platia pre asymptotu so smernicou prex → −∞.Príklad 17.Riešenie. PočítajmeNájdime asymptotu so smernicou grafu funkcie f(x) = 3x2 −2x+5x+3.k = limx→∞f(x)x= lim 3x 2 − 2x + 5x→∞ x 2 + 3x)( 3x 2 − 2x + 5q = lim (f(x) − kx) = lim− 3xx→∞ x→∞ x + 3= 3,= limx→∞−11x + 5x + 3= −11.Priamka y = 3x − 11 je asymptotou so smernicou pre x → ∞. Podobne vypočítame, žetáto priamka je asymptotou so smernicou aj pre x → −∞. □Príklad 18. Nájdime asymptoty bez smernice aj so smernicou grafu funkcie f(x) = ex x .Riešenie.a) Asymptota bez smernice. Asymptota bez smernice môže byť len v bode x = 0.e xlimx→0 + x = e00 = 1 = ∞, lim+ 0+Priamka x = 0 je asymptotou bez smernice.b) Asymptota so smernicou.k = limx→∞f(x)xx→0 −e xAsymptota so smernicou pre x → ∞ neexistuje.k =x = limx→0 −e 00 = 1− 0 = −∞.−= lim e xx→∞ x = lim e x2 x→∞ 2x = lim e xx→∞ 2 = ∞.f(x)limx→−∞ x = lim e xx→−∞ x = 2e xx→−∞limx→−∞1= 0,x 2 e−x q = lim (f(x) − kx) = limx→−∞ x = lim = 0.x→−∞ xe−x Priamka y = 0.x + 0, teda y = 0 je asymptotou so smernicou pre x → −∞.461□


Úlohy52. Napíšte rovnice asymptot ku grafu funkcie y = f(x).a) y = x1 + x 2 ; b) y = xx − 1 ; c) y = 1e x − 1 ; d) y = 3x2 − 1x 3 ;e) y = 1 − x3; f) y = 1x 2 1 − x ; g) y = 1 2 x + 4x2 ; h) y = x2 − 2x + 2;x − 1i) y = ln(x 2 + 1); j) y = x22+ ln x.3.8 Priebeh funkciePri zisťovaní priebehu funkcie obvykle určujeme1. definičný obor a body nespojitosti,2. intervaly, v ktorých je funkcia rastúca, resp. klesajúca a lokálne extrémy,3. intervaly, v ktorých je funkcia konvexná, resp. konkávna a inflexné body,4. asymptotya) bez smernice,b) so smernicou,5. graf.Príklad 19. Vyšetrime priebeh funkcie f(x) = x + 32x 2 .Riešenie.1. D(f) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞).2. Funkcia f je elementárna, a preto je spojitá na D(f). Body nespojitosti sú teda body,v ktorých f nie je definovaná. To je len jeden bod x = 0.3. f ′ (x) = 1 − 64 , x ∈ D(f).x 3f ′ (x) = 0, 1 − 64x 3 = 0, x3 = 64, x = 4.Stacionárny bod x = 4 rozdelí D(f) na intervaly (−∞, 0), (0, 4), (4, ∞). Nájdeme znamienkoprvej derivácie v týchto intervaloch a zostavíme tabuľku.x (−∞, 0) (0, 4) (4, ∞)f ′ (x) + − +f(x) ↗ ↘ ↗Funkcia f je rastúca na intervale (−∞, 0) a na intervale (4, ∞). Klesajúca je na intervale(0, 4). V bode x = 4 má lokálne minimum, f(4) = 4 + 32 = 6. 164. f ′′ (x) = −64(−3)x −4 = 192 , x ∈ D(f)x 4f ′′ 192(x) = 0,x = 0. 4Rovnica nemá riešenie. Preto f nemá inflexný bod. Zistíme znamienko druhej deriváciena intervaloch (−∞, 0), (0, ∞) a zostavíme tabuľku.47


x (−∞, 0) (0, ∞)f ′′ (x) + +f(x) konvexná ∪ konvexná ∪Funkcia je konvexná na intervale (−∞, 0) aj na intervale (0, ∞).5. a) Asymptoty bez smernice môžu byť len v bodoch nespojitosti, teda len v bode x = 0.Počítame jednostranné limity.(lim f(x) = lim x + 32 )= 0 + 32 = ∞,x→0 + x→0 + x 2 0 +(lim f(x) = lim x + 32 )= 0 + 32 = ∞.x→0 − x→0 − x 2 0 +Priamka x = 0 je asymptota bez smernice.b) Asymptota so smernicou y = kx + q.k = limx→∞f(x)x= lim x + 32x 2x→∞ x(= lim 1 + 32 )= 1,x→∞ x 2(q = lim (f(x) − kx) = lim x + 32 )x→∞ x→∞ x − x 32= lim2 x→∞ x = 0. 2Priamka y = x je asymptota so smernicou pre x → ∞. Podobne zistíme, že táto priamkaje asymptota so smernicou aj pre x → −∞.6. Graf.1086y42–10 –8 –6 –4 –2 0–22 4 x 6 8 10–4–6–8–10□Príklad 20. Vyšetrime priebeh funkcie f(x) = x − 2 arctg x.Riešenie.1. D(f) = (−∞, ∞).2. Funkcia je elementárna, a teda je spojitá všade, kde je definovaná. Preto body nespojitostinemá.3.f ′ (x) = 1 − 21 + x = x2 − 12 x 2 + 1 , x ∈ D(f),f ′ x 2 − 1(x) = 0,x 2 + 1 = 0, x2 − 1 = 0, x 1 = 1, x 2 = −1.Stacionárne body x 1 = −1, x 2 = 1 rozdelia D(f) na intervaly (−∞, −1), (−1, 1), (1, ∞).Určíme znamienko f ′ (x) v každom z týchto intervalov a zostavíme tabuľku.x (−∞, −1) (−1, 1) (1, ∞)f ′ (x) + − +f(x) ↗ ↘ ↗48


Funkcia f je rastúca na intervale (−∞, −1) a na intervale (1, ∞). Na intervale (−1, 1)je klesajúca. V bode x 1 = −1 má lokálne maximum, f(−1) = −1 − 2 arctg(−1) =−1 + 2 arctg 1 = −1 + 2 · π = −1 + π. V bode x 4 2 2 = 1 má lokálne minimum, f(1) =1 − 2 arctg 1 = 1 − 2 · π = 1 − π.4 24.f ′′ (x) = 2x(x2 + 1) − 2x(x 2 − 1)(x 2 + 1) 2 =f ′′ (x) = 0,4x(x 2 + 1)4x(x 2 + 1) 2 , x ∈ D(f),= 0, 4x = 0, x = 0.Bod x = 0 rozdelí D(f) na intervaly (−∞, 0), (0, ∞). Určíme znamienko druhej derivácief ′′ (x) v týchto intervaloch a zostavíme tabuľku.x (−∞, 0) (0, ∞)f ′′ (x) − +f(x) konkávna ∩ konvexná ∪Bod x = 0 je inflexný bod, f(0) = 0.5. a) Asymptoty bez smernice funkcia f nemá, lebo nemá body nespojitosti.b) Asymtota so smernicou y = kx + q.k = limx→∞f(x)x= lim x − 2 arctg xx→∞ x(= lim 1 − 2 arctg x )= 1,x→∞ xq = lim (f(x) − kx) = lim (x − 2 arctg x − x) = −2 lim arctg x = −2 · πx→∞ x→∞ x→∞ 2 = −π.Priamka y = x − π je asymptota so smernicou pre x → ∞. Podobne zistíme, že k = 1aj pre x → −∞, ale q = π pre x → −∞ (pretože lim x→−∞ arctg x = − π ). Priamka2y = x + π je asymptota so smernicou pre x → −∞.6. Graf.86y42–8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8x–2–4–6–8□ÚlohyVyšetrite priebeh funkcií.53. y = 2x 3 − 3x 2 . 54. y = x 3 − 3x + 2.55. y = 2x 3 + 3x 2 − 12x + 7. 56. y = 4x3 −x 4.5.(x−1) 2 . x 2 −157. y = (x+1)2x−2 . 58. y = 2x−159. y = x3x−1 . 60. y = x61. y = x33−x 2 . 62. y = 11−x 2 .63. y = x 2 + 1 x 2 . 64. y = x2x 2 −4 .49


65. y = x3 +2x 2 +7x−3. 66. y = x3 .2x 2 2(x+1) 267. y = x4 .(1+x)68. y = 3 3x4 +1.x 369. y = x + 2 arccotg x. 70. y = arctg 1.x71. y = x .e 72. y = x ex . x73. y = e 1 x . 74. y = x 2 e −x .75. y = x 3 · e −x . 76. y = 1 e x −177. y = x + e −x . 78. y = ln(x 2 + 1).79. y = ln(4 − x 2 ). 80. y = x − ln(x + 1).81. y = x ln x. 82. y = x ln x3.9 Taylorova veta a diferenciál funkcieV inžinierskych disciplínach je niekedy potrebné nahradiť (aproximovať) danú funkciu vokolí nejakého bodu jednoduchšími funkciami. Jedna z možností je aproximácia polynómom.Voľbu aproximujúceho polynómu spolu s udaním chyby, akej sa pritom dopustímerieši nasledujúca veta:Taylorova veta. Nech f je funkcia definovaná na intervale < a, b >. Predpokladajme,že funkcia f má na intervale < a, b > spojitú deriváciu (n)-vého rádu a vnútri tohotointervalu má deriváciu rádu n + 1. Nech x 0 a x sú dva rôzne body intervalu < a, b >.Potom existuje bod x 1 ležiaci medzi bodmi x 0 a x taký, že platíf(x) = f(x 0 ) + f ′ (x 0 )1!(x − x 0 ) + f ′′ (x 0 )2!+ f (n+1) (x 1 )(x − x 0 ) n+1 .(n + 1)!(x − x 0 ) 2 + · · · + f (n) (x 0 )(x − x 0 ) (n) +n!Táto rovnosť sa nazýva Taylorov vzorec. Polynóm n-tého stupňaT n (x) = f(x 0 ) + f ′ (x 0 )1!(x − x 0 ) + · · · + f (n) (x 0 )(x − x 0 ) nn!nazývame Taylorov polynóm funkcie f(x) v bode x 0 aR n+1 (x) = f (n+1) (x 1 )(x − x 0 ) n+1(n + 1)!nazývame zvyšok v Taylorovom vzorci po n-tom člene. Potom Taylorov vzorecmôžeme zapísať v tvaref(x) = T n (x) + R n+1 (x). (1)Ak v Taylorovom vzorci zvolíme x 0 = 0, dostaneme Mac Laurinov vzorecf(x) = f(0) + f ′ (0)1!x + f ′′ (0)2!x 2 + · · · + f (n) (0)n!x n + f (n+1) (x 1 )x n+1 ,(n + 1)!x 1 leží medzi 0 a x.Ak v (1) funkciu f nahradíme Taylorovým polynómom, dostaneme približný vzorecf(x) . = T n (x).50


Dopustíme sa pritom chyby, ktorá sa rovná tomu, čo sme v (1) vynechali, t.j.chyba = R n+1 (x).Obyčajne počítame absolútnu hodnotu chyby. Presnú hodnotu chyby nepoznáme. Chybuiba odhadujeme, a to tak, že ju zhora ohraničíme nejakým číslom.Diferenciál funkcie. Ak uvažujeme n = 1 v Taylorovom polynóme T n (x) pre bodx 0 , potom výrazdy = f ′ (x 0 )(x − x 0 )nazývame diferenciálom funkcie y = f(x) v bode x 0 a výraz△y = f(x) − f(x 0 )nazývame prírastok funkcie f. Ak bod x sa nachádza v dostatočne malom okolí bodux 0 , potom platí približná rovnosť△y . = dy.Po dosadení za △y a dy dostaneme f(x) − f(x 0 ) . = f ′ (x 0 )(x − x 0 ), alebof(x) . = f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + f(x 0 ).Pri riešení príkladov za x 0 volíme bod blízky bodu x, v ktorom vieme pomerne hladkovypočítať hodnoty f(x 0 ) a f ′ (x 0 ).Príklad 21. Vypočítajme približne arccos 0, 2.Riešenie. Číslo arccos 0, 2 je hodnotou funkcie f(x) = arccos x v bode x = 0, 2. Tedaf(x) = f(0, 2) = arctg 0, 2. Zvoľme x 0 = 0. Potom x − x 0 = 0, 2, f(x 0 ) = f(0) =arccos 0 = π. Ďalej máme 2f ′ (x) = −1f ′ (x 0 ) = f ′ (0) =√1 − x2−1 √ 1 − 0= −1.Dosadením do posledne uvedeného vzorca dostanemearccos 0, 2 . = (−1)0, 2 + π 2.= 1, 37. □Príklad 22.(x + 1).Vyjadrime funkciu f(x) = x 5 − 2x 4 + x 3 − x 2 − x + 5 pomocou mocnínRiešenie. Napíšeme Taylorov vzorec funkcie f v bode x 0 = −1. Platí:f(x) = x 5 − 2x 4 + x 3 − x 2 − x + 5 f(−1) = 1f ′ (x) = 5x 4 − 8x 3 + 3x 2 − 2x − 1 f ′ (−1) = 17f ′′ (x) = 20x 3 − 24x 2 + 6x − 2 f ′′ (−1) = −52f ′′′ (x) = 60x 2 − 48x + 6 f ′′′ (−1) = 114f (4) (x) = 120x − 48f (4) (−1) = −168f (5) (x) = 120 f (5) (−1) = 120f (6) (x) = f (7) (x) = · · · = 0. f (6) (−1) = · · · = 0.51


Dosadením do Taylorovho vzorca dostanemef(x) = 1 + 17 −52(x + 1) + (x + 1) 2 + 1141! 2!3! (x + 1)3 + −168 (x + 1) 4 + 1204!5! (x + 1)5 == 1 + 17(x + 1) − 26(x + 1) 2 + 19(x + 1) 3 − 7(x + 1) 4 + (x + 1) 5 . □Úlohy83. Použitím diferenciálu vypočítajte približne:a) 4√ 17; b) e 0,2 ; c) y = 3 1,003 ; d) (1, 03) 4 ;e) y = ln 1, 01; f) log 9999; g) y = arctg 1, 1; h) y = arctg 0, 96.84. Vypočítajte diferenciál funkcie f(x) v bode x 0 pre prírastok h, aka) f(x) = 3x 5 , x 0 = 2, x = 2, 1;b) f(x) = x 4 − 3x 3 + 2x 2 − 8x + 3, x 0 = 0, x = −0, 3;c) f(x) = √ x, x 0 = 100, x = 99;d) f(x) = arctg x, x 0 = 1, h = 0, 9.85. O koľko sa približne zväčší (zmenší) obsah kruhu s polomerom r = 12cm, ak sazväčší (zmenší) polomer o 0, 5cm?86. O čo sa približne zväčší (zmenší) objem gule s polomerom r = 10cm, ak sa zväčší(zmenší) polomer o 0, 5cm?Napíšte Taylorov polynóm pre funkciu f(x) v danom bode x 0 .87. f(x) = x 3 + 3x 2 − 2x + 4, x 0 = −1. 88. f(x) = x 3 − 2x 2 + 3x + 5, x 0 = 2.89. f(x) = x 3 − 2x + 5, x 0 = 3. 90. f(x) = x 4 − 3x 2 − 10x + 11, x 0 = 2.Určte Taylorov polynóm pre funkciu f(x) v bode x 0 a pre dané n.91. f(x) = ln cos x, x 0 = 0, n = 4. 92. f(x) = arctg x, x 0 = 0, n = 3.93. f(x) = ln x, x 0 = 3, n = 4. 94. f(x) = 1 x , x 0 = 2, n = 4.95. f(x) = e x , x 0 = −1, n = 3. 96. f(x) = xx−1 , x 0 = 2, n = 3.3.10 Funkcia určená parametricky a jej deriváciaA. Uvažujme o systéme dvoch spojitých funkcií na intervale I.x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ M. (1)Rovnice (1) vyjadrujú v rovine nejakú krivku k a nazývame ich parametrickýmirovnicami krivky k. Sústava rovníc (1) môže, ale nemusí definovať y ako funkciu x.Ak funkcia x = ϕ(t) má inverznú funkciu t = g(x), tak môžeme zostrojiť zloženú funkciupremennej x :y = ψ(ϕ(x)) = f(x),52


ktorej definičný obor je obor funkčných hodnôt funkcie ϕ(t). O funkcii f hovoríme, žeje určená parametricky rovnicami (1). Prechod od rovníc (1) k funkcii f(x) sa nazývaeliminácia parametra.B. Nech funkcia x = ϕ(t) je rastúca, prípadne klesajúca na intervale I. Potom máinverznú funkciu x = g(t), a teda rovnice (1) vyjadrujú funkciu f(x). Jej deriváciu f ′ (x)môžeme vypočítať aj bez hľadania inverznej funkcie g.Nech existujú derivácie ϕ ′ (t), ψ ′ (t) podľa t v bode t ∈ I, pričom ϕ ′ (t) ≠ 0. Potom funkciaf(x) má deriváciu v odpovedajúcom bode x = ϕ(t). Deriváciu f ′ (x) vypočítame podľavzorcaf ′ (x) = ψ′ (t)ϕ ′ (t) . (2)Funkcia f ′ (x) je určená parametricky rovnicamix = ϕ(t),y = ψ′ (t)ϕ ′ (t) . (3)Príklad 23. Vypočítajme prvú deriváciu funkcie f(x) danú parametrickými rovnicamix = 1 − t 2 , y = t − t 3 , t ∈ (−∞, ∞).Riešenie. Označme ϕ(t) = 1−t 2 , ψ(t) = t−t 3 . Funkcie ϕ a ψ majú na intervale (−∞, ∞)derivácie ľubovoľného rádu. Dané rovnice definujú funkciu f(x). Jej derivácia podľa (2)jef ′ (x) = ψ′ (t)ϕ ′ (t) = 1 − 3t2−2t= 3t2 − 1, t ∈ (−∞, ∞). □2tPríklad 24. Napíšeme rovnicu dotyčnice ku cykloide x = t − sin t, y = 1 − cos t,t ∈ (0, 2π) v bode, kde t = π 2 .Riešenie. Označme f 1 (t) = t − sin t, f 2 (t) = 1 − cos t. Platí f 1(t) ′ = 1 − cos t > 0 prekaždé t ∈ (0, 2π). Z toho vyplýva, že daný systém rovníc určuje parametricky funkciuf(x). Rovnica dotyčnice jey − y 0 = f ′ (x 0 )(x − x 0 ).Nájdeme súradnice x 0 a y 0 dotykového bodu.Podľa vzorca (2) vypočítame f ′ (x).x 0 = π 2 − sin π 2 = π 2 − 1, y 0 = 1 − cos π 2 = 1.f ′ (x) = f ′ 2(t)f ′ 1(t)=(1 − cos t)′(t − sin t) ′ = sin t1 − cos t ,Dosadením do rovnice dotyčnice mámef ′ (x 0 ) = sin π 21 − cos π 2= 1 1 = 1.y − 1 = 1 · (x − π 2+ 1), 2x − 2y + 4 − π = 0. □53


Úlohy97. Určte f ′ (x) funkcie f(x) určenej parametricky:a) x = t 3 + t, y = t 2 + 4t; b) x = ln(1 + t 2 ), y = t − arctg t; c) x = arctg t, y = 1 2 t2 ;d) x = a sin t, y = a · cos t, a > 0; e) x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), a > 0;f) x = 3 cos 3 t, y = 3 · sin 3 t; g) x = 2 cos 3 t, y = 4 · sin 3 t; h) x = ln t, y = 11 − t .98. Funkcia f(x) je určená parametricky x = k sin t + sin kt, y = k cos t + cos kt.Vypočítajte f ′ (x) v bode kde t = 0.99. V ktorých bodoch krivky x = t − 1, y = t 3 − 12t + 1 je dotyčnica rovnobežnáa) s osou x, b) s priamkou 9x + y + 3 = 0.Napíšte rovnice dotyčnice a normály v obidvoch prípadoch.100. Na krivke x = t 2 + 1, y = 3 − t 2 určte body, v ktorých je dotyčnica rovnobežná sosou x.101. Napíšte rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie určenej parametricky:a) x = 2e t , y = e −t , v bode t 0 = 0;b) x = sin t, y = cos(2t), v bode t 0 = π 6 ;c) x = 2 √ 3 cos t, y = 2 sin t, v bode t 0 = π 6 ;d) x = cos 3 (t), y = sin 3 (t), v bode t) = π 4 ;a) x = (t − sin t), y = (1 − cos t), v bode t 0 = 3 2 π.102. Napíšte rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie určenej parametrickýmirovnicami x = t 2 − 4t + 4, y = t 2 − 3t + 2 v bode A(1; 0).54


4 Vektorová algebra. Analytická geometria v rovinea v priestore.4.1 Pravouhlé súradnice bodu v rovine a vektory v rovine.Zvoľme pravouhlú súradnicovú sústavu so súradnicovými osami o x a o y , začiatkom Oa jednotkou dľžky. Obrazom každej usporiadanej dvojice reálnych čísel [x, y] v súradnicivejrovine je jediný bod P a naopak. Čísla x, y, ktoré udávajú v súradnicovej rovinevzdialenosť bodu P od osí o x a o y sú súradnice bodu P . Píšeme P = [x, y].Vzdialenosť dvoch bodov v rovine definujeme ako veľkosť úsečky ohraničenej danýmibodmi. Nech A = [x 1 , y 1 ] a B = [x 2 , y 2 ] sú dané body v rovine. Potom vzdialenosť v(A, B)určíme podľa vzťahu:v(A, B) = √ (x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2 .Vektor a = (a 1 , a 2 ), ktorého umiestnenie je také, že jeho začiatok je v bode A = [x 1 , y 1 ]a koniec v bode B = [x 2 , y 2 ], značíme tiež B − A, pričom a 1 = x 2 − x 1 a a 2 = y 2 − y 1 .Veľkosť vektora a = (a 1 , a 2 ) je:√|a| = a 2 1 + a 2 2.Skalárny súčin dvoch vektorov a = (a 1 , a 2 ) a b = (b 1 , b 2 ) v rovine definujeme akočíslo:ab = |a||b| cos ϕ,kde ϕ je uhol, ktorý zvierajú vektory a a b. Potom platí aj ab = a 1 b 1 + a 2 b 2 .Nech a a b sú dva nenulové vektory. Potom ab = 0 práve vtedy, ak a a b sú naczájomna seba kolmé (a⊥b).4.2 Rovnica priamky v rovine.A) Rovnica priamky v parametrickom tvare .Nech A = [x 1 , y 1 ] a B = [x 2 , y 2 ] sú dva rôzne body priamky m v rovine. Nech P = [x, y]je ľubovoľný bod priamky m. Potom vektorová rovnica tejto priamky m je tvaru:P = A + t(B − A) = A + ts,pričom s = (s 1 , s 2 ) nazývame smerový vektor priamky m, s = B−A, kde s 1 = x 2 −x 1 as 2 = y 2 −y 1 a t je parameter (ľubovoľné reálne číslo). V systéme súradníc môžme vektorovúrovnicu priamky rozpísať pomocou dvoch vzťahov, ktoré nazývame parametrickýmirovnicami priamky m v rovine takto:alebo:x = x 1 + t(x 2 − x 1 ), y = y 1 + t(y 2 − y 1 ),x = x 1 + ts 1 , y = y 1 + ts 2 .55


Poznámka. Ak v rovnici P = A + t(B − A) uvažujeme t ∈< 0, 1 >, dostanemeparametrické vyjadrenie úsečky AB.B) Všeobecný tvar rovnice priamky.Vylúčením parametra t z parametrických rovníc priamky m dostaneme jednu lineárnurovnicu s dvoma neznámymi x a y tvaru:ax + by + c = 0,kde aspoň jedno z čísel a a b je rôzne od nuly. Túto rovnicu nazývame všeobecnourovnicou priamky. Vektor n = (a, b) nazývame normálovým vektorom, pričomnormálový vektor znamená vektor kolmý (v tomto prípade na danú priamku m alebo jejsmerový vektor s.Všeobecnú rovnicu priamky môžme vyjadriť pomocou vlastnosti skalárneho súčinu (prekolmé vektory) aj vo vektorom tvare takto:alebo(P − A).n = 0,a(x − x 1 ) + b(y − y 1 ) = 0,kde P = [x, y] je ľubovoľný bod priamky m a A = [x 1 , y 1 ] je jeden konkrétne zadanýbod priamky m.C) Rovnica priamky v smernicovom tvare.Priamka m určená dvomi rôznymi bodmi A = [x 1 , y 1 ] a B = [x 2 , y 2 ] zviera s osou o xuhol ϕ (kladne orientovaný uhol s počiatkom na kladnej časti osi o x ), ktorý nazývame /bfsmerový uhol priamky m. Tangens tohto smerového uhla nazývame smernicou priamkya označujeme ju k = tg α. Platí:tg α = y 2 − y 1x 2 − x 1= k.Smernica k nie je definovaná, ak x 2 = x 1 (priamka m je kolmá na os o x ). Ak y 2 = y 1 ,(x 2 ≠ x 1 ), potom k = 0 (priamka m je rovnobežná s osou o x ).Nech k je smernica priamky m a q je úsek, ktorý priamka m vytína na osi o y . Potomjej smernicová rovnica má tvar:y = kx + q.D) Rovnica priamky určená dvoma bodmi.Nech A = [x 1 , y 1 ] a B = [x 2 , y 2 ] sú dva rôzne body, potom rovnica priamky m určenátýmito bodmi má tvar:y − y 1 = y 2 − y 1x 2 − x 1(x − x 1 ),kde x a y sú súradnice ľubovoľného bodu priamky m. Pretože y 2−y 1x 2 −x 1y − y 1 = k(x − x 1 )je rovnica priamky m určenej bodom A = [x 1 , y 1 ] a smernicou k.= k, potom56


E) Rovnica priamky v úsekovom tvare.Nech priamka m vytína na súradnicových osiach úseky p ≠ 0 a q ≠ 0. Potom jejrovnica má tvar:xp + y q = 1.Príklad 1. Priamka m prechádza bodmi A = [2, −3] a B = [1, 2]. Vyjadrime priamkuma) vo všeobecnom tvare;b) v parametrickom tvare;c) v smernicovom tvare;d) v úsekovom tvare.Riešenie.Vektor s = B − A má súradnice s = (−1, 5).a) Jedným z vektorov kolmých na vektor s je napr. vektor n = (5, 1), pretože z vlastnostiskalárneho súčinu pre kolmé vektory platí: ns = 5.(−1)+1.5 = 0. Z rovnice (P −A).n = 0potom dostaneme:alebo5(x − 2) + 1(y + 3) = 0,5x + y − 7 = 0b) Rovnicu P = A + ts rozpíšememe do dvoch rovníc pomocou súradníc, čím rovnoobdržíme hľadané parametrické rovnice:kde t ∈ R.x = 2 − ty = −3 + 5t,c) Smernicový tvar rovnice priamky m môžme získať napr. vyjadrením y z jej všeobecnejrovnice, teda:y = −5x + 7,pričom smernica k = −5 a ďalší parameter q = 7;d) Úsekový tvar priamky môžme tiež získať napr. zo všeobecnej rovnice určitými algebraickýmiúpravami:kde parameter p = 7 55x + y = 75x7 + y 7 = 1x75a parameter q = 7. □+ y 7 = 1,57


Príklad 2. Napíšte všeobecnú rovnicu priamky q, ktorá je kolmá na priamkuxp : + y = 1 a prechádza bodom A = [2, −5].3 4Riešenie.Priamku p prepíšeme na všeobecný tvar 4x+3y−12 = 0, z ktorého vidíme, že n p = (4, 3).Keďže priamka q má byť kolmá na priamku p, z vlastnosti skalárneho súčinu pre kolmévektory dostaneme napr. n q = (3, −4). Teda všeobecná rovnica má zatiaľ neúplný tvar3x − 4y + c = 0.Po dosadení súradníc bodu A = [2, −5] do tohto neúplného tvaru dostaneme, žec = −26 a teda výsledná všeobecná rovnica priamky q je 3x − 4y − 26 = 0. □Úlohy.1. Priamka m prechádza bodmi A = [3, −1] a B = [−2, 4]. Vyjadrite priamku ma) vo všeobecnom tvare;b) v parametrickom tvare;c) v smernicovom tvare;d) v úsekovom tvare.2. Sú dané body A = [3, −4] a B = [2, 1]. Napíštea) parametrické vyjadrenie priamky AB;b) všeobecnú rovnicu priamky AB;c) smernicový tvar rovnice priamky AB;d) úsekový tvar rovnice priamky AB.3. Napíšte všeobecný, parametrický, smernicový a úsekový tvar priamky prechádzajúcejbodmi A = [0, 2] a B = [3, 0].4. V rovnici 2x + by − 13 = 0 vypočítajte koeficient b tak, aby priamka prechádzalabodom A = [4, −5]. Napíšte aj smernicový a úsekový tvar rovnice danej priamky.5. Napíšte všeobecnú rovnicu, parametrické vyjadrenie a smernicový tvar priamkyAB, ak je dané A = [5, 4] a B = [−1, 8].6. Nájdite všeobecnú rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom A = [1, −2] a zvieras osou o x uhol 2 3 π.7. Vypočítajte číslo a tak, aby bod A = [3, a] ležal na priamke, ktorá má smernicuk = 4 a prechádza bodom B = [1, 4].8. Vypočítajte číslo b tak, aby bod A = [b, 3] ležal na priamke, ktorá má smernicuk = −2 a prechádza bodom B = [−1, 3].9. Zistite, či na priamke AB, ak je dané A = [1, 3] a B = [0, 2] leží bod C = [−1, 8].10. Napíšte všeobecnú rovnicu priamky, ktorá má smernicu k = −2 a prechádza bodomD = [3, 1].58


11. Určte smernicu priamky, ktorá prechádza bodmi A = [8, 1] a B = [6, 5].12. Napíšte všeobecnú rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom A = [2, −3] rovnobežnea) s osou o x ;b) s osou o y ;c) s priamkou x − 3y − 7 = 0.13. Napíšte parametrické rovnice priamky, ktorá prechádza bodom A = [3, −1] rovnobežnea) s osou o x ;b) s osou o y ;c) s osou I. a III. kvadrantu.14. Napíšte všeobecnú rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom A = [−3, 5] a jerovnobežná s priamkoua) 5x + 2y − 42 = 0;b) x = 3 − 2t, y = t, t ∈ R.15. Napíšte všeobecnú rovnicu priamky q, ktorá je kolmá na priamku p a prechádzabodom A, aka) p: 2x − y − 1 = 0, A = [−3, 3];b) p: x = 3 + 2t, y = −4 + 5t, t ∈ R, A = [1, 4];c) p: x + y = 1, A = [3, 1].2 316. Daná je priamka p: x = 1 + 3t, y = −2 − 2t, t ∈ R. Napíšte rovnicu priamky,ktorá prechádza bodom A = [2, 1]a) rovnobežne s priamkou p;b) kolmo na priamku p.17. Napíšte všeobecnú rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom A = [−4, −5] a priesečníkompriamok 5x − 8y + 34 = 0 a 4x + 9y − 19 = 0.18. Napíšte všeobecnú rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom M = [15, −3] a priesečníkompriamok 3x − 5y + 12 = 0 a 5x + 2y − 42 = 0.19. Dané sú priamkyp 1 : 2x − 3y + 6 = 0,p 2 : 3x + 4y − 25 = 0,p 3 : 7x − 2y + 14 = 0.Napíšte všeobecnú rovnicu priamky, ktorá prechádza priesečníkom priamok p 1 a p 2 a jea) rovnobežná s priamkou p 3 ;b) kolmá na priamku p 3 .20. Nájdite hodnoty koeficientov a a b, pri ktorých sústava rovníc x = a+3t, y = 4−bt,t ∈ R vyjadruje priamku určenú bodmi A = [1, 0] a B = [3, −1].21. Zistite, či bod M = [−1, 2] leží na osi úsečky AB, ak A = [2, 4] a B = [4, 2].59


4.3 Vektory v priestore.Nech i, j, k sú jednotkové vektory súradnicových osí o x , o y a o z . Vektor a sa dá jednoznačnevyjadriť v tvarea = a 1 i + a 2 j + a 3 k,kde a 1 , a 2 , a 3 , sú čísla nazývané súradnice vektora a. Vektory a 1 i, a 2 j, a 3 k nazývame zložkamivektora a. Vektor a často stotožňujeme s jeho súradnicami a píšeme a = (a 1 , a 2 , a 3 ).Veľkosť (dĺžku) vektora a budeme označovať |a| alebo a. Platí√|a| = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3.Jednotkový vektor nenulového vektora a je a ◦ = a|a| .Smerovými kosínusmi vektora a nazývame kosínusy uhlov α, β, γ, ktoré vektor a tvorí sosami o x , o y a o z . Platícos α = a 1|a| , cos β = a 2|a| , cos γ = a 3|a| ,cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1.Operácie s vektormia + b = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 ),a − b = (a 1 − b 1 , a 2 − b 2 , a 3 − b 3 ),λa = (λa 1 , λa 2 , λa 3 ), kde λ ∈ R.Dva vektory a, b sú navzájom rovnobežné práve vtedy, ak jeden z nich je číselnýmnásobkom druhého b = λa.Príklad 3. Sily F 1 a F 2 pôsobia v tom istom bode a majú veľkosti |F 1 | = 6N, |F 2 | = 35N.Sila F 1 má smer aj orientáciu ako v 1 = i + 2j − 2k. Sila F 2 má smer ako v 2 = 6i + 3j − 2ka opačnú orientáciu. Vypočítajme výslednicu týchto dvoch síl.Riešenie.Najskôr nájdeme zložky síl F 1 a F 2 . F 1 je rovnobežný s v 1 a rovnako orientovaný. PotomF 1 je číselným násobkom v 1 .F 1 = λ 1 v 1 = λ 1 i + 2λ 1 j − 2λ 1 k, λ 1 > 0.|F 1 | = √ λ 2 1 + (2λ 1 ) 2 + (−2λ 1 ) 2 = √ 9λ 2 1 = 3|λ 1 |.Keďže |F 1 | = 6, z toho dostávame, že |λ 1 | = 2. Pretože λ 1 > 0, platí λ 1 = 2. Po dosadeníza λ 1 dostaneme, že F 1 = 2i + 4j − 4k. Podobne ako sme vypočítali F 1 , vypočítameaj vektor F 2 . F 2 je číselným násobkom v 2 . Keďže F 2 je opačne orientovaný λ 2 < 0.Dostaneme, že λ 2 = −5 a teda F 2 = −30i − 15j + 10k. Pre výslednicu F platíF = F 1 + F 2 = (2i + 4j − 4k) + (−30i − 15j + 10k) = −28i − 11j + 6k.□Príklad 4. Nájdime vektory a a b, ktoré majú smer a orientáciu ako vektor v =−i − 2j + 2k. Vektor a je jednotkový vektor a vektor b má dĺžku 9.Riešenie.Vypočítame najskôr dĺžku vektora v.60


|v| = √ (−1) 2 + (−2) 2 + 2 2 = √ 9 = 3.Potoma = v = 1(−i − 2j + 2k) = − 1i − 2j + 2k,|v| 3 3 3 3b = 9a = 9(− 1i − 2j + 2 k) = −3i − 6j + 6k. □3 3 3Úlohy.22. Vypočítajte dĺžku vektora a = (6, 3, −2).23. Daný je bod M[5, −3, 4]. Určte dĺžku vektora OM.24. Daný je vektor a = (4, −12, a z ). Vypočítajte súradnicu a z , ak dĺžka vektora je13.25. Dané sú body A[3, −1, 2] a B[−1, 2, 1]. Určte súradnice vektora AB a BA.26. Určte súradnice bodu N, ktorý je koncovým bodom vektora a = (3, −1, 4), akzačiatočný bod je v bode M[1, 2, −3].27. Určte súradnice bodu M, ktorý je začiatočným bodom vektora a = (2, −3, −1),ak koncový bod je v bode N[1, −1, 2].28. Daná je dĺžka vektora |a| = 2 a uhly α = 45 ◦ , β = 60 ◦ , γ = 120 ◦ so súradnicovýmiosami. Vypočítajte súradnice vektora a.29. Vypočítajte smerové kosínusy vektora a:a) a = (12, −15, −16) b) a = ( 3 , 4 , 12).13 13 1330. Môže vektor tvoriť so súradnicovými osami nasledujúce uhly:a) α = 45 ◦ , β = 60 ◦ , γ = 120 ◦b) α = 45 ◦ , β = 135 ◦ , γ = 60 ◦c) α = 90 ◦ , β = 150 ◦ , γ = 60 ◦ ?31. Môže vektor tvoriť s dvoma súradnicovými osami nasledujúce uhly:a) α = 30 ◦ , β = 45 ◦b) β = 60 ◦ , γ = 60 ◦c) α = 150 ◦ , γ = 30 ◦ ?32. Vektor tvorí s osami o x a o z uhly α = 120 ◦ , γ = 45 ◦ . Aký uhol tvorí s osou o y ?33. Vektor a tvorí so súradnicovými osami o x a o y uhly α = 60 ◦ , β = 120 ◦ . Vypočítajtejeho súradnice, ak |a| = 2.34. Určte súradnice bodu M, ak vektor OM tvorí so súradnicovými osami rovnakéuhly a |OM| = 3.35. Vektor OM zviera so súradnicovými osami ostré uhly rovnakej veľkosti. Určtetieto uhly, ak |OM| = 2 √ 3.36. Vektor zviera so súradnicovymi osami o y a o z uhly β = π, γ = 2π . Aký uhol zviera3 3s osou o x ?37. Dané sú 3 za sebou nasledujúce vrcholy rovnobežníka A[1, −2, 3], B[3, 2, 1], C[6, 4, 4].Určte súradnice vrcholu D.38. Určte dĺžku vektora, ktorý je súčtom a rozdielom vektorov a = (3, −5, 8) ab = (−1, 1, −4).39. Je daný vektor c = 16i − 15j + 12k. Vyjadrite vektor d, ktorý je rovnobežný svektorom c, opačne orientovaný a jeho veľkosť je 75.40. Vektory AB = (2, 6, −4), AC = (4, 2, −2) sú vektormi na stranách △ABC. Určtesúradnice vektorov, ktoré ležia na ťažniciach AM, BN, CP v △ABC.61


4.4 Skalárny súčin dvoch vektorov.Skalárnym súčinom dvoch vektorov a a b nazývame číslo (skalár), ktoré označujeme a.ba definujeme ho takto1. Ak a a b sú nenulové vektory a ϕ je ich uhol, tak a.b = |a||b| cos ϕ.2. Ak niektorý z vektorov a, b je nulový vektor, tak a.b = 0.Ak a = (a 1 , a 2 , a 3 ), b = (b 1 , b 2 , b 3 ), tak a.b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 .Príklad 5. Dané sú vektory u = a − 3b a v = 2a − b, pričom veľkosti vektorov a a bsú |a| = 4, |b| = 1 a zvierajú uhol 60 ◦ . Vypočítajme cos ϕ, kde ϕ je uhol medzi vektormiu a v.Riešenie.Zo vzťahu pre skalárny súčin dostaneme, žeNajprv vypočítame skalárny súčin u.vcos ϕ = u.v|u||v| .u.v = (a − 3b)(2a − b) = 2a.a − 7a.b + 3b.bVyjadrime si skalárny súčin a.a (uhol, ktorý zviera vektor a so sebou samým je 0 ◦ )a tieža.a = |a||a| cos 0 ◦ = 16,a.b = |a||b| cos 60 ◦ = 2,b.b = |b||b| cos 0 ◦ = 1.Z toho dostaneme, že u.v = 2.16 − 7.2 + 3.1 = 21.Keďže u.u = |u||u| cos 0 ◦ = |u| 2 , môžme si vyjadriť |u| takto|u| = √ u.u = √ (a − 3b)(a − 3b) = √ a.a − 6a.b + 9b.b = √ 13,|v| = √ v.v = √ (2a − b)(2a − b) = √ 4a.a − 4a.b + b.b = √ 57.A teda cos ϕ = 21 √13√57.□Úlohy.41. Vypočítajte skalárny súčin a.b, aka) |a| = 8, |b| = 5, ∠(a, b) = 60 ◦b) |a| = |b| = 1, ∠(a, b) = 135 ◦c) |a| = 3, |b| = 1, a ‖ b je rovnobežný a súhlasne orientovanýd) |a| = 3, |b| = 1, a ‖ b je rovnobežný a nesúhlasne orientovanýe) a = (1, 3, −5), b = (5, 0, 1)f) a = ( 1, 1, 2 ), b = (0, 2; 0, 15; 0, 1)2 3 3g) a = 3p − 2q a b = p + 4q, kde vektory p a q sú jednotkové a navzájom kolmé.42. Určte uhol medzi vektormi a = −i + j a b = i − 2j + 2k.43. Nech |a| = 2, |b| = 1, ∠(a, b) = π.3Vypočítajte kosínus uhla medzi vektormi:a) a, a + b, b) b, a − b, c) a + b a a − b.62


44. Určte vnútorné uhly △ABC s vrcholmi A[2, −1, 3], B[1, 1, 1] a C[0, 0, 5].45. Určte dĺžky uhlopriečok rovnobežníka zostrojeného nad vektormi a = 2m + n ab = m − 2n, kde m a n sú jednotkové vektory zvierajúce uhol π.346. Dané sú tri za sebou nasledujúce vrcholy rovnobežníka ABCD. A[−3, −2, 0],B[3, −3, 1] a C[5, 0, 2]. Určte súradnice vrchola D a uhol medzi vektormi AC a BD.47. Určte uhol medzi vektormi a = 2m + 4n a b = m − n, kde m a n sú jednotkovévektory zvierajúce uhol 2π.348. Daný je vektor a = 2m − n, kde m a n sú jednotkové vektory zvierajúce uhol120 ◦ . Vypočítajte cos ∠(a, m) a cos ∠(a, n).49. Určte číslo c, aby vektory a = i + 5j − 6k a b = 2i − j + ck boli navzájom kolmé.50. Vypočítajte vektor x, ktorý spĺňa podmienky x.k = 0, x.a = 1, x.b = 4, kdea = (2, −1, 5), b = (3, 1, 1).51. Určte vektor x, ktorý spĺňa podmienky ax = −4, bx = 5, cx = 2, kde a = (1, 2, −3),b = (5, 1, 2), c = (−3, 0, 1).52. Vypočítajte súradnice vektora, ktorý zviera s vektorom i uhol π, s vektorom k4uhol π , s vektorom j ostrý uhol a jeho dĺžka je 8.34.5 Vektorový a zmiešaný súčin.A. Vektorový súčin. Vektorovým súčinom nenulových vektorov a a b sa nazýva vektorc, pre ktorý platí1. |c| = |a||b| sin ϕ, kde ϕ je uhol medzi vektormi a a b,2. c ⊥ a, c ⊥ b,3. orientovaný je tak, že vektory a, b, c tvoria pravotočivý systém.Označujeme ho c = a × b. Pre vektorový súčin platía × a = 0,a × b = −b × a,|λ(a × b)| = |λ||a × b|, kde λ ∈ R.Plošný obsah rovnobežníka zostrojeného na vektoroch a a b vypočítameP = |a × b|.Plošný obsah trojuholníka zostrojeného na vektoroch a a b vypočítameP = 1 |a × b|.2Ak a = (a 1 , a 2 , a 3 ), b = (b 1 , b 2 , b 3 ), tak platí∣ i j k ∣∣∣∣∣a × b =a 1 a 2 a 3 .∣ b 1 b 2 b 3B. Zmiešaný súčin. Zmiešaným súčinom vektorov a, b, c nazývame číslo a.(b × c).Ak a = (a 1 , a 2 , a 3 ), b = (b 1 , b 2 , b 3 ), c = (c 1 , c 2 , c 3 ), tak∣ a 1 a 2 a 3 ∣∣∣∣∣a.(b × c) =b 1 b 2 b 3 .∣ c 1 c 2 c 3Ak tri lineárne nezávislé vektory a, b, c majú spoločný začiatočný bod, tak určujú63


ovnobežnosten, ktorého objem V = |a.(b × c)|,štvorsten, ktorého objem V = 1 |a.(b × c)|.6Príklad 6. Uhol vektorov a a b je 30 ◦ , |a| = |b| = 5. Vypočítajme plošný obsahrovnobežníka zostrojeného z vektorov u = a − 2b a v = 3a + 2b.Riešenie.Veľkosť vektorového súčinu vektorov u a v je rovná plošnému obsahu P obdĺžnika.P = |u×v| = |(a−2b)×(3a+2b)| = |a×(3a)+a×(2b)+(−2b)×(3a)+(−2b×(2b)| == |3a × a + 2a × b − 6b × a − 4b × b| = |0 + 2a × b + 6a × b − 0| = |8a × b| == 8|a × b| = 8|a||b| sin 30 ◦ = 8.5.5. 1 2 = 100. □Príklad 7. Určme objem V štvorstena A, B, C, D ak A[1, 0, −2], B[2, 1, 1], C[3, −2, 0],D[−1, 4, 2].Riešenie.Hrany vychádzajúce z vrchola A sú a = AB = (1, 1, 3), b = AC = (2, −2, 2), c = AD =(−2, 4, 4). PotomÚlohy.a.(b × c) =∣1 1 32 −2 2−2 4 4∣ = −16,V = 1 6 |a.(b × c)| = 1 6 | − 16| = 8 3 .53. Vypočítajte vektorový súčin a × b a obsah rovnobežníka nad vektormi a, b, ak:a) a = 3i, b = 2kb) a = i + j, b = i − jc) a = 2i + 3j, b = 3j + 2k.54. Vypočítajte a × b, ak:a) a = i + 2j, b = 3kb) a = i + 2j − 2k, b = 7i + 4j + 6k.55. Nech |a| = |b| = 3, ∠(a, b) = 60 ◦ . Vypočítajte:a) |a × b|b) |(a + b) × (a − b)|c) |(3a + b) × (a − 3b)|.56. Vypočítajte |a × b|, ak |a| = 3, |b| = 4, a.b = −6.57. Vypočítajte obsah trojuholníka s vrcholmi A[7, 3, 4], B[1, 0, 6], C[4, 5, −2].58. Vektory a, b zvierajú uhol π . Určte obsah trojuholníka zostrojeného nad vektormi4a − 2b, 3a + 2b, ak |a| = |b| = 5.59. Určte obsah rovnobežníka, ktorého uhlopriečky sú vektory 2m − n, 4m − 5n, kdem a n sú jednotkové vektory zvierajúce uhol π.460. Vypočítajte obsah trojuholníka s vrcholmi A[1, −2, 8], B[0, 0, 4], C[6, 2, 0] a dĺžkuvýšky BD spustenej z bodu B na stranu AC.61. Určte obsah trojuholníka zostrojeného na vektoroch a = m − 2n a b = 3m + 2n,kde |m| = |n| = 6 a zvierajú uhol π.462. Určte obsah rovnobežníka zostrojeného na vektoroch a = m + 2n a b = 2m + n,kde m, n sú jednotkové vektory zvierajúce uhol π.664□


63. Určte obsah rovnobežníka zostrojeného na vektoroch AB = 6m − 3n a AD =3m + 2n, kde |m| = 4, |n| = 5 a zvierajú uhol π.664. Vypočítajte súradnice vektora x, ktorý je kolmý na vektory a = (2, 3, −1), b =(1, −1, 3), zviera s vektorom i tupý uhol a |x| = √ 138.65. Vypočítajte dĺžku výšky v a v trojuholníku ABC, ak AB = (−3, −2, 6) a BC =(−2, 4, 4).66. Vypočítajte vzdialenosť medzi rovnobežnými stranami rovnobežníka ABCD,ktorý je zostrojený na vektoroch AB = (6, 0, 2) a AD = ( 3 , 2, 1).267. Vypočítajte obsah rovnobežníka, ktorého uhlopriečkami sú vektory p = 3m + na q = m − 5n, ak m a n sú jednotkové vektory a zvierajú uhol 45 ◦ .68. Je dané |a| = 8, |b| = 15, |a × b| = 72. Vypočítajte skalárny súčin a.b.69. Vypočítajte sínus uhla medzi vektormi:a) a = (11, 10, 2) a b = (2, 2, 1)b) a = (−2, 2, 1) a b = (2, 3, −2)c) a = 6j + k a b = i + 3jd) a = i + 2j − 3k a b = 2k.70. Vypočítajte zmiešaný súčin vektorov:a) a = i + 2j + k, b = i + 2j − k, c = 8i + 6j + 4kb) a = (1, 3, 5), b = (2, 4, 6), c = (8, 9, 7).71. Vypočítajte objem rovnobežnostena zostrojeného nad vektormi a = 3i + 4j,b = −3j + k, c = 2j + 5k.72. Vypočítajte objem štvorstena OABC, obsah steny ABC a výšku štvorstena spustenúna stenu ABC, keď O[0, 0, 0], A[5, 2, 0], B[2, 5, 0], C[1, 2, 4].73. Načrtnite štvorsten s vrcholmi A[2, 0, 0], B[0, 3, 0], C[0, 0, 6], D[2, 3, 8]. Vypočítajtejeho objem a výšku spustenú na stenu ABC.74. Ukážte, že body A[2, −1, −2], B[1, 2, 1], C[2, 3, 0], D[5, 0, −6] ležia v jednej rovine.75. Ukážte, že vektory a = −i + 3j + 2k, b = 2i − 3j − 4k, c = −3i + 12j + 6k ležia vjednej rovine (sú komplanárne) a vyjadrite vektor c pomocou a a b.76. Ukážte, že vektory ležia v jednej rovine (sú komplanárne):a) a = i + 2j − k, b = 9i − 11j + 13k, c = 2i + 4j − 2kb)a = (−2, −1, 1), b = (4, −4, 1), c = (4, −6, 2).77. Ukážte, že vektory a = i + j + 4k, b = i − 2j, c = 3i − 3j + 4k sú komplanárne aurčte lineárnu závislosť medzi nimi.78. Vypočítajte objem rovnobežnostena ABCDA ′ B ′ C ′ D ′ , v ktorom sú dané 3 vrcholydolnej podstavy A[0, 0, 0], B[2, −3, 0], D[3, 2, 0] a vrchol hornej podstavy C ′ [3, 0, 4] ležiacina bočnej hrane CC ′ , ktorá je protiľahlá k hrane AA ′ .79. Zistite, či sú vektory komplanárne:a) a = (2, 3, −1), b = (1, −1, 3), c = (1, 9, −11)b) a = (3, −2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, −1, −2)c) a = (2, −1, 2), b = (1, 2, −3), c = (3, −4, 7).80. Dokážte, že štyri body A[1, 2, −1], B[0, 1, 5], C[−1, 2, 1], D[2, 1, 3] ležia v jednejrovine.4.6 Rovina v priestore.Rovnica roviny ϱ prechádzajúcej bodom P [x 0 , y 0 , z 0 ], ktorá má normálový vektor n =(a, b, c) jeϱ : a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) + c(z − z 0 ) = 0.65


Po úprave dostanemeϱ : ax + by + cz + d = 0.Táto rovnica roviny sa volá všeobecná rovnica roviny.Ak rovina ϱ vytína nenulové úseky p, q, r na súradnicových osiach, rovnicu roviny môžemevyjadriť v úsekovom tvareϱ : x p + y q + z r = 1.Príklad 8. Napíšme rovnicu roviny ϱ prechádzajúcej bodmi M[1, −1, −2], N[3, 1, 1]kolmo na rovinu σ : x − 2y + 3z − 5 = 0.Riešenie.Normálový vektor roviny σ je n σ = (1, −2, 3), u = MN = (2, 2, 3). Potomi j kn ϱ = n σ × u =1 −2 3= −12i + 3j + 6k,∣ 2 2 3 ∣a rovina ϱ má rovnicuϱ : −12(x − 1) + 3(y + 1) + 6(z + 2) = 0.Po úprave dostaneme rovnicu roviny ϱ vo všeobecnom tvareϱ : 4x − y − 2z − 9 = 0.□66


Úlohy.81. Dané sú body A[0, −1, 3], B[1, 3, 5]. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodomA a je kolmá na vektor n = AB.82. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza:a) bodom A[−1, 2, 3] a je rovnobežná s rovinou O xy , O xz , O yz .b) bodom A[3, −1, 2] a osou o x , o y , o z .c) bodom A[2, −3, 3] rovnobežne s rovinou O xy .d) bodom A[1, −2, 4] rovnobežne s rovinou O xz .e) bodom A[−5, 2, −1] rovnobežne s rovinou O yz .f) bodom A[4, −1, 2] a osou o x .g) bodom A[1, 4, −3] a osou o y .h) bodom A[3, −4, 7] a osou o z .i) bodom A[0, −2, 3] a osou o x .j) bodom A[2, −4, 3] a osou o z .k) bodom A[4, 0, 3] a osou o y .l) bodom A[2, 0, 3] rovnobežne s vektormi a = (1, 0, 1), b = (2, 1, 3).m) bodom A[0, 0, 1] rovnobežne s vektormi a = (2, 1, 5), b = (1, 0, 1).83. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodmi:a) A[1, 2, 3], B[2, −1, 3] rovnobežne s vektorom a = (1, 2, 2).b) A[−1, 0, 0], B[0, 0, 1] rovnobežne s vektorom a = (2, 1, 2).c) A[7, 2, −3], B[5, 6, −4] rovnobežne s osou o x .d) A[2, −1, 1], B[3, 1, 2] rovnobežne s osou o y .e) A[3, −2, 5], B[2, 3, 1] rovnobežne s osou o z .f) A[0, 1, 3], B[2, 4, 5] rovnobežne s osou o x84. Určte priesečníky roviny ϱ so súradnicovými osami:a) ϱ : 2x − 3y − 4z − 24 = 0b) ϱ : 2x − y + 3z − 6 = 0c) ϱ : x − 2y + 4z + 4 = 0d) ϱ : 5x + 2y + 5z − 10 = 0e) ϱ : x + y + z + 2 = 0.85. Napíšte rovnicu roviny ϱ v úsekovom tvare:a) 2x − y + 3z + 2 = 0b) 12x − 3y + z + 1 = 0c) ktorá prechádza bodmi A[1, 1, 1], B[3, 1, 5], C[1, 2, 2]d) x + 2y − 3z − 6 = 086. Napíšte rovnicu roviny, ktorá je rovnobežná s osou o y a na osiach o x a o z vytínaúseky a a c.87. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodom A[2, −1, 3] a na súradnicovýchosiach vytína rovnaké úseky.88. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodom A[−4, 0, 4] a na súradnicovýchosiach o x , o y vytína úseky a = 4, b = 3.89. Určte úseky, ktoré rovina 3x − 4y − 24z + 12 = 0 vytína na súradnicových osiach.90. Vypočítajte objem štvorstena, ktorého tvorí rovina 2x − 3y + 6z − 12 = 0 sosúradnicovými rovinami.91. Rovina prechádza bodom A[6, −10, 1] a vytína na osi o x úsek a = −3 a na osi o zúsek c = 2. Napíšte rovnicu roviny v úsekovom tvare.92. Rovina prechádza bodmi A[1, 2, −1], B[−3, 2, 1] a na osi o y vytína úsek b = 3.Napíšte rovnicu roviny v úsekovom tvare.67


93. Napíšte rovnicu roviny, ktorá je:a) rovnobežná s osou o z a vytína na osi o x úsek dĺžky a = 3 a na osi o y úsek b = −4.b) rovnobežná s osou o x a vytína na osiach o y , o z rovnaké úseky dĺžky b = c = 4.94. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodom A a vytína na súradnicovýchosiach nenulové úseky rovnakej dĺžky:a) A[3, 2, 4]b) A[2, −3, −4]95. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodmi A[−1, 4, −1], B[−13, 2 − 10] a naosiach o x a o z vytína nenulové úseky rovnakej dĺžky.96. Napíšte rovnice rovín, ktoré prechádzajú bodom A[4, 3, 2] a vytínajú na súradnicovýchosiach nenulové úseky rovnakej dĺžky.97. Napíšte rovnicu roviny, ktorá je kolmá k rovine 2x − 2y + 4z − 5 = 0 a vytína nasúradnicových osiach o x a o y úseky a = −2, b = 2 3 .98. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodom A[0, 0, a], je kolmá k rovinámx − y − z = 0 a 2y = x.99. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodom A[2, 2, −2] a je rovnobežná srovinou x − 2y + 3z = 0.100. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodmi A[−1, −2, 0] a B[1, 1, 2] a je kolmána rovinu x + 2y + 2z − 4 = 0.101. Bodom A[−5, 6, 12] veďte dve roviny, z ktorých jedna prechádza osou o x , druháosou o y . Vypočítajte uhol týchto dvoch rovín.102. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodmi A[1, −1, 2], B[2, 1, 2], C[1, 1, 4].103. Určte vzdialenosť bodu M[4, 3, 0] od roviny, ktorá prechádza bodmi A[1, 3, 0],B[4, −1, 2], C[3, 0, 1].104. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodom A[1, −2, 3] a rovnobežne s rovinouurčenou bodmi M[1, 1, 1], N[2, 0, −1], P [3, 4, 5].105. Vypočítajte vzdialenosť bodu A od roviny ϱ, aka) A[4, 3, −2], ϱ : 3x − y + 5z + 1 = 0b) A[1, −2, 2], ϱ : 2x + y + 2z − 7 = 0.106. Vypočítajte vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín ϱ a σ:a) ϱ : x − 2y + 2z − 6 = 0, σ : x − 2y + 2z + 18 = 0b) ϱ : x − y + 5z + 27 = 0, σ : x − y + 5z − 54 = 0.107. Určte vzdialenosť bodu M[5, 1, −1] od roviny x − 2y − 2z + 4 = 0.108. Určte vzdialenosť medzi rovnobežnými rovinami: 4x + 3y − 5z − 8 = 0 a 4x +3y − 5z + 12 = 0.109. Napíšte rovnice rovín, ktoré sú rovnobežné s rovinou ϱ a vzdialených od nej ovzdialenosť d:a) ϱ : x − 2y + 2z − 5 = 0 d = 2b) ϱ : 2x + 2y + z − 8 = 0 d = 4.110. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza priesečnicou rovín 4x − y + 3z − 6 = 0 ax + 5y − z + 10 = 0 a je kolmá k rovine 2x − y + 5z − 5 = 0.111. Zistite, ktoré z uvedených rovín sa pretínajú, sú rovnobežné alebo splývajú:a) x − y + 3z + 1 = 0, 2x − y + 5z − 2 = 0b) 2x + y + 2z + 4 = 0, 4x + 2y + 4z + 8 = 0.112. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza priesečnicou rovín 4x − y + 3z − 1 = 0,x + 5y − z + 2 = 0 aa) je rovnobežná s osou o yb) je kolmá na rovinu 2x − y + 5z − 3 = 0.68


4.7 Priamka v priestore.Priamka p prechádzajúca bodom P [x 0 , y 0 , z 0 ], ktorej smerový vektor je s = (a, b, c), máparametrické rovnicep : x = x 0 + at,y = y 0 + bt,z = z 0 + ct, t ∈ (−∞, ∞).Kanonický tvar priamky pp : x − x 0a= y − y 0b= z − z 0.cPriamku p v priestore môžeme určiť ako priesečnicu dvoch rôznobežných rovín ϱ 1 a ϱ 2{ϱ1 : ap1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0,ϱ 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0.Tieto rovnice nazývame všeobecnými rovnicami priamky p.Príklad 9. Dané sú body A[1, 1, 1], B[2, 3, 3], C[3, 3, 2]. Napíšme parametrické rovnicepriamky prechádzajúcej bodom A kolmo na vektory AB a AC.Riešenie.Máme AB = (1, 2, 2), AC = (1, 0, −1). Vektori j ks = AB × AC =1 2 2= −2i + 3j − 2k∣ 1 0 −1 ∣je smerový vektor hľadanej priamky p. Priamka p má parametrické rovnicep : x = 1 − 2t,y = 1 + 3t,z = 1 − 2t, t ∈ (−∞, ∞).Z každej rovnice vyjadríme t a dostaneme t = x−1,t = y−1 , t = z−1 . Potom kanonické−2 3 −2rovnice priamky p súp : x−1−2= y−13= z−1−2 .□69


Príklad 10. Priamku p danú všeobecnými rovnicami ϱ 1 : 2x − y + z − 3 = 0, ϱ 2 :x + 2y − z − 5 = 0 vyjadrime v parametrickom tvare.Riešenie.Treba nájsť bod P na priamke p a smerový vektor s priamky p. Súradnice bodu P musiavyhovovať sústave rovníc priamky p. To je sústava dvoch rovníc s tromi neznámymi. Zajednu neznámu zvolíme nejaké číslo a dalšie dve neznáme potom vypočítame. Zvoľme,napr. x = 0. Po dosadení do sústavy dostaneme−y + z − 3 = 02y − z − 5 = 0.Riešením tejto sústavy je y = 8, z = 11, teda P [0, 8, 11]. Normálové vektory rovín ϱ 1 aϱ 2 sú n 1 = (2, −1, 1), n 2 = (1, 2, −1). Potom smerový vektor s priamky p jei j ks = n 1 × n 2 =2 −1 1= −i + 3j + 5k.∣ 1 2 −1 ∣Parametrické rovnice priamky p súp : x = −t,y = 8 + 3t,z = 11 + 5t, t ∈ R. □Príklad 11. Nájdime vzájomnú polohu priamok p 1 : x = 1+t 1 , y = 15+2t 1 , z = 14−t 1a p 2 : x = −t 2 , y = 8 + 3t 2 , z = 11 + 5t 2 .Riešenie.Smerové vektory priamok p 1 a p 2 sú s 1 = (1, 2, −1), s 2 = (−1, 3, 5). Vidíme, že ani jeden znich nie je číselným násobkom druhého, a preto priamky p 1 a p 2 nie sú rovnobežné. Môžubyť rôznobežné alebo mimobežné. Budeme zisťovať, či sa pretínajú. Za x, y, z dosadímez rovníc priamky p 1 do rovníc priamky p 2 a dostaneme sústavuPo úprave máme sústavu1 + t 1 = −t 215 + 2t 1 = 8 + 3t 214 − t 1 = 11 + 5t 2 .t 1 + t 2 = −12t 1 − 3t 2 = −7−t 1 − 5t 2 = −3ktorú, ak vyriešime, napr. Gaussovou eliminačnou metódou, dostaneme riešenia t 1 = −2,t 2 = 1. Z toho vyplýva, že priamky p 1 a p 2 sa pretínajú. Dosadíme t 1 = −2 do rovnícpriamky p 1 alebo (t 2 = 1 do rovníc priamky p 2 ) a dostaneme x = −1, y = 11, z = 16.Tento bod P [−1, 11, 16] je priesečník priamok p 1 a p 2 . □70


Úlohy.113. Napíšte parametrické rovnice priamky, ktorá prechádza:a) bodom A[2, 0, 3] rovnobežne s vektorom a = (3, −2, −2)b) bodom A[1, 2, 3] rovnobežne s osou o x .114. Napíšte parametrické rovnice priamky, ktorá prechádza bodom A[1, −1, −3] rovnobežnes priamkou p:a) p : x−1 = y+2 , z = 12 5b) p : x = 3t − 1, y = −2t + 3, z = 5t + 2.115. Napíšte parametrické rovnice priamky, ktorá prechádza dvoma bodmi:a) A[3, −1, 2], B[2, 1, 1]b) A[1, 1, −2], B[3, −1, 0]c) A[0, 0, 1], B[0, 1, −2]116. Napíšte kanonický tvar rovnice priamky p prechádzajúcej:a) bodmi A[2, −3, 1], B[3, 5, 3]2 2b) bodom A[2, 1, −3] a rovnobežnej s vektorom a = (1, −3, 1).117. Zistite, či body A[3, 0, 1], B[0, 2, 4], C[1, 4 , 3] ležia na jednej priamke.3118. Bodmi M[−6, −6, −5] a N[12, −6, 1] prechádza priamka. Určte priesečníky tejtopriamky so súradnicovými rovinami.119. Dané sú vrcholy trojuholníka A[3, 6, −7], B[−5, 2, 3] a C[4, −7, −2]. Napíšte parametrickérovnice ťažnice spustenej z vrcholu C.120. Napíšte parametrické rovnice priamky, ktorá je daná ako priesečnica rovín ϱ a σ:a) ϱ : 5x + y + z = 0, σ : 2x + 3y − 2z + 5 = 0b) ϱ : 3x − 2y + z − 2 = 0, σ : 4x + y − 3z − 2 = 0c) ϱ : 2x − 3y − 3z − 9 = 0, σ : x − 2y + z + 3 = 0121. Priamka je daná ako priesečnica rovín 2x + y + 8z − 16 = 0, x − 2y − z + 2 = 0.Napíšte jej rovnicu v kanonickom tvare. Určte priesečníky priamky so súradnicovýmirovinami.122. Napíšte parametrické rovnice priamky, ktorá prechádza bodom M[−1, 2, −2] a jerovnobežná s priamkou, ktorá je daná ako priesečnica rovín x = y + 2, y = 2z + 1.123. Napíšte kanonický tvar rovnice priamky, ktorá je daná ako priesečnica 2 rovín:a) x − 2y + 3z − 4 = 0, 3x + 2y − 5z − 4 = 0b) 5x + y + z = 0, 2x + 3y − 2z + 5 = 0c) x − 2y + 3z + 1 = 0, 2x + y − 4z − 8 = 0.124. Zistite, či sa priamky x−1 = y−8 = z−6 a x+1 = y−3 = z−2 pretínajú, alebo nie.1 3 −2 2 5 4Určte súradnice priesečníka.125. Ukážte, že priamky p : x+3 = y+1 = z+1 a q : x = 3z − 4, y = z + 2 sa pretínajú.1 2 1Určte ich priesečník.126. Presvedčte sa, že priamky p : 2x + 2y − z − 10 = 0, x − y − z − 22 = 0 aq : x+7 = y−5 = z−9 sú rovnobežné a vypočítajte ich vzdialenosť.3 −1 4127. Dokážte, že priamky p : x−1 = y+2 = z−5 a q : x = 3t + 7, y = 2t + 2, z = −2t + 12 −3 4ležia v jednej rovine a napíšte rovnicu tejto roviny.128. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza dvoma rovnobežnými priamkami p :x−2= y+1 = z−3 a q : x−1 = y−2 = z+3.3 2 −2 3 2 −2129. Ukážte, že priamky sú mimobežky a vypočítajte najkratšiu vzdialenosť medzinimi:a) p : x+7 = y+4 = z+3 a q : x−21 = y+5 = z−23 4 −26 −4 −1b) p : x = 2t − 4, y = −t + 4, z = −2t − 1 a q : x = 4t − 5, y = −3t + 5, z = −5t + 571


130. Dokážte, že nasledujúce priamky sú mimobežné a vypočítajte najkratšiu vzdialenosťmedzi nimi:a) p : x + 2y − z + 1 = 0, x + y + z − 9 = 0 a q : x + y + z − 9 = 0, 2x − y − z = 0= y−1 = z−21 −1b) p : x−3xa q :2131. Určte najkratšiu vzdialenosť medzi priamkami p : x = −2y, z = −2y a q : x = 2,y = 2.132. Dokážte, že nasledujúce priamky sú rovnobežné a vypočítajte vzdialenosť medzinimi:= y−2 = z −1 3 3= y−54 −6= z−4−2a) p : x−1 = y = z+2 a q : x−7−2 3 b) p : x + y − 3z + 1 = 0, x − y + z + 3 = 0 a q : x + 2y − 5z − 1 = 0, x − 2y + 3z − 9 = 0c) p : x = 2t, y = 0, z = −2t a q : x + y + z − 3 = 0, x − y + z − 1 = 0.4.8 Vzdialenosť bodu od priamky a od roviny.A. Vzdialenosť bodu P [x 0 , y 0 , z 0 ] od roviny ϱ : ax + by + cz + d = 0 jev = |ax 0 + by 0 + cz 0 + d|√a2 + b 2 + c 2 .B. Vzdialenosť bodu P [x 0 , y 0 , z 0 ] od priamky p môžme vypočítať buď podľa vzorca:v = |PX × s p|, kde X je ľubovoľný bod priamky p, s p je smerový vektor priamky p,|s p |alebo môžme použiť tento postup:1. Bodom P vedieme rovinu ϱ kolmú na priamku p.2. Nájdeme priesečník Q priamky p a roviny ϱ.3. v = |P Q|.Príklad 12. Dve steny kocky ležia v rovinách ϱ 1 : 2x − 2y + z − 1 = 0, ϱ 2 : 4x − 4y +2z + 7 = 0. Vypočítajme objem kocky.Riešenie.Normálové vektory daných rovín ϱ 1 a ϱ 2 sú n 1 = (2, −2, 1), n 2 = (4, −4, 2). Pretožen 2 = 2n 1 , roviny ϱ 1 a ϱ 2 sú rovnobežné. Dĺžka hrany kocky sa rovná vzdialenosti v rovínϱ 1 a ϱ 2 , ktorú určíme tak, že v jednej z rovín, napr. v rovine ϱ 1 si zvolíme ľubovoľný bodM. V rovnici roviny ϱ 1 položíme napr. x = 0, y = 0 a vypočítame z = 1, teda M[0, 0, 1].Potom v je vzdialenosť bodu M od roviny ϱ 2 .Dosadením do vzorca pre vzdialenosť bodu od roviny dostaneme72


v = |4.0+(−4).0+2.1+7|√4 2 +(−4) 2 +2 2 = |9| √36= 9 6 = 3 2 .Potom objem V kocky jeV = v 3 = 27 8 .□Príklad 13. Presvedčte sa, že priamky p 1 : x = −3t 1 , y = −4 + t 1 , z = −18 − 4t 1 ap 2 : x = −7 + 3t 2 , y = 5 − t 2 , z = 9 + 4t 2 sú rovnobežné a vypočítajte ich vzdialenosť.Riešenie.Smerové vektory s 1 a s 2 priamok p 1 a p 2 sú s 1 = (−3, 1, −4), s 2 = (3, −1, 4). Platís 1 = (−1)s 2 . Z toho vyplýva, že priamky p 1 a p 2 sú rovnobežné.Na jednej z nich, napr. na p 1 zvolíme ľubovoľný bod P . V rovniciach priamky p 1 položímenapr. t = 0 a dostaneme x = 0, y = −4, z = −18, teda P [0, −4, −18]. Vzdialenosť vpriamok p 1 a p 2 je vzdialenosť bodu P od priamky p 2 . Bodom P vedieme rovinu ϱ kolmúna priamku p 2 . Za normálový vektor n roviny ϱ môžeme zobrať smerový vektor s 2 priamkyp 2 , n = s 2 = (3, −1, 4). Potom rovnica roviny ϱ jePo úprave mámeϱ : 3(x − 0) − (y + 4) + 4(z + 18) = 0.ϱ : 3x − y + 4z + 68 = 0.Priesečník Q roviny ϱ a priamky p 2 nájdeme tak, že rovnice priamky p 2 dosadíme za x,y, z do rovnice roviny ϱ a dostaneme3(−7 + 3t 2 ) − (5 − t 2 ) + 4(9 + 4t 2 ) + 68 = 0.Z tejto rovnice vypočítame t = −3. Dosadením do rovníc priamky p 2 dostaneme x = −16,y = 8, z = −3, teda Q[−16, 8, −3].v = |P Q| = √ (−16 − 0) 2 + (8 + 4) 2 + (−3 + 18) 2 = √ 625 = 25.□Príklad 14. Preverme, že priamky p 1 : x+5 = z−1 a p 2 −2 2 : x = 9 + 6t 2 , y = −2t 2 ,z = 2 − t 2 sú mimobežné a vypočítajte vzdialenosť medzi nimi.3= y+5Riešenie.Smerové vektory priamok p 1 a p 2 sú s 1 = (3, 2, −2) a s 2 = (6, −2, −1). Pretože ani jedenz nich nie je číselným násobkom druhého, priamky p 1 a p 2 nie sú rovnobežné. Môžu73


yť mimobežné alebo rôznobežné. Budeme hľadať ich priesečník. Najskôr priamku p 1vyjadríme parametricky, a potom dosadíme za x, y, z do rovníc priamky p 2 .−5 + 3t 1 = 9 + 6t 2−5 + 2t 1 = −2t 21 − 2t 1 = 2 − t 2 .Najskôr vyriešime sústavu posledných dvoch rovníc a dostaneme, že t 1 = 1 2 , t 2 = 2. Tietočísla nevyhovujú prvej rovnici sústavy. Teda sústava nemá riešenie. Z toho vyplýva, žepriamky p 1 a p 2 sa nepretínajú, a teda sú mimobežné.Priamkou p 1 vedieme rovinu ϱ rovnobežne s priamkou p 2 . Normálový vektor roviny ϱ jei j kn = s 1 × s 2 =3 2 −2= −6i − 9j − 18k.∣ 6 −2 −1 ∣Rovnica roviny ϱ jeϱ : −6(x + 5) − 9(y + 5) − 18(z − 1) = 0ϱ : 2x + 3y + 6z + 19 = 0.Na priamke p 2 zvolíme ľubovoľný bod P 2 . Položme, napr. t 2 = 0 a dostaneme P 2 [9, 0, 2].Vzdialenosť v priamok p 1 a p 2 je vzdialenosť bodu P 2 od roviny ϱ. Dosadením do vzorcapre vzdialenosť bodu od roviny dostanemev = |2.9+3.0+6.2+19|√ 4+9+36= 7. □Úlohy.133. Vypočítajte vzdialenosť d bodu A od priamky p ak:a) A[7, 9, 7], p : x−24= y−13= z 2b) A[1, −1, −2], p : x+3 = y+2 = z−83 2 −2c) A[2, −1, 3], p : x+1 = y+2 = z−1.3 4 5134. Vypočítajte vzdialenosť d bodu A[2, 3, −1] od priamky p:a) p : x−5 = y = z+253 2 −2b) p : x = t + 1, y = t + 2, z = 4t + 13c) p : 2x − 2y + z + 3 = 0, 3x − 2y + 2z + 17 = 0.135. Vypočítajte vzdialenosť d bodu A[3, 0, 4] od priamky p : y = 2x + 1, z = 2x.136. Vypočítajte vzdialenosti bodov M, N od roviny ϱ:a) M[4, 2, −1], N[−3, 5, −7], ϱ : x − 2y + 2z − 3 = 074


) M[−2, 5, 1], N[9, 1, 2], ϱ : 2x + 3y − 6z − 7 = 0c) M[0, 1, −2], N[6, −1, 2], ϱ : 10x − 11y + 2z − 45 = 0137. Určte smerové kosínusy a dĺžku kolmice vedenej z počiatku súradnicovej sústavyk rovine 2x + 10y − 11z − 60 = 0.138. Daný je štvorsten s vrcholmi A[1, 1, 1], B[−11, 3, −3], C[5, 2, 4], D[2, 2, −5]. Vypočítajtedĺžku výšky spustenej z vrcholu D na stenu ABC.139. Vypočítajte vzdialenosť medzi rovnobežnými rovinami ϱ, σ:a) ϱ : 2x + y − 2z − 6 = 0, σ : 2x + y − 2z − 15 = 0b) ϱ : 3x − 2y + 6z − 7 = 0, σ : 3x − 2y + 6z − 35 = 0c) ϱ : x + 2y + 2z − 9 = 0, σ : 2x + 4y + 4z + 15 = 0d) ϱ : 2x − 10y + 11z + 30 = 0, σ : 2x − 10y + 11z − 45 = 0.140. Na osi o x určte bod, ktorý má od roviny 6x + 2y + 3z − 12 = 0 vzdialenosť d = 6.141. Na osi o y určte bod, ktorý má rovnakú vzdialenosť od rovín 3x + 2y − 6z − 1 = 0,16x + 12y − 15z − 7 = 0.142. Na osi o z určte bod, ktorý má rovnakú vzdialenosť od bodu M[2, −2, 6] a odroviny x + y + z − 2 = 0.143. Napíšte rovnice rovín, ktoré sú rovnobežné s rovinou 2x − 2y − z − 6 = 0 avzdialené od nej o vzdialenosť d = 7.4.9 Priamka a rovina.Príklad 15. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza dvoma rovnobežnými priamkamip : x−4 = y+1 = z−2 a q : x−2 = y+5 = z−5.4 1 1 4 1 1Riešenie.Priamka p prechádza bodom P [4, −1, 2] so smerovým vektorom s p = (4, 1, 1) a priamkaq prechádza bodom Q[2, −5, 5] so smerovým vektorom s q = (4, 1, 1). Keďže s p = s qpriamky p a q sú rovnobežné. Vektor PQ = (−2, −4, 3) a vektor s p (al. s q ) ležia vhľadanej rovine, preto normálový vektor hľadanej roviny ϱ buden = PQ × s p =∣i j k−2 −4 34 1 1= −7i + 14j + 14k = (−7, 14, 14).∣Pretože poznáme normálový vektor roviny n a bod P (al. Q), ktorým rovina prechádza,môžeme napísať rovnicu hľadanej rovinyϱ : −7(x − 4) + 14(y + 1) + 14(z − 2) = 0ϱ : x − 2y − 2z − 2 = 0. □Príklad 16. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza priamkou p : 2x + y − z + 1 = 0,y − 2 = 0 a je kolmá na rovinu ϱ : x + y + z − 1 = 0.Riešenie.Vypočítame smerový vektor priamky ps = (2, 1, −1) × (0, 1, 0) =∣i j k2 1 −10 1 0= i + 2k = (1, 0, 2).∣75


Potrebujeme ešte nájsť bod P , ktorý leží na priamke p. Súradnice bodu P musia vyhovovaťsústave rovníc priamky p. Za jednu neznámu zvolíme napr. x = 0 a ďalšie dveneznáme vypočítame zo sústavyy − z + 1 = 0y − 2 = 0.Riešením tejto sústavy je y = 2, z = 3, teda P [0, 2, 3].Normálový vektor roviny ϱ je n ϱ = (1, 1, 1). Označme normálový vektor hľadanej rovinyn. Pretože n ⊥ n ϱ a n ⊥ s, platín = n ϱ × s =∣i j k1 1 11 0 2= 2i − j − k = (2, −1, −1).∣Keďže hľadaná rovina prechádza priamkou p, a teda aj jej bodom P , môžeme napísaťrovnicu rovinyÚlohy.σ : 2(x − 0) − (y − 2) − (z − 3) = 0σ : 2x − y − z + 5 = 0. □144. Určte vzájomnú polohu priamky a roviny:a) x+12= y−34= z , 3x − 3y + 2z − 5 = 03b) x−13 = y−1 = z−4 , x + 2y − 4z + 1 = 08 2 3c) x−7 = y−4 = z−5 , 3x − y + 2z − 5 = 05 1 4d) x−11= y+1−2 = z , 2x + 3y + z − 1 = 06e) x+33= y−2−1 = z+1 , x − 2y + z − 15 = 0−5f) x+2 = z−3 , x + 2y − 2z + 6 = 0−2 3 2g) x+52= y−21= z−8 , x + 2y − 4z + 1 = 0−1145. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza priamkou x+5 = y−2 = z a je rovnobežná3 1 4s rovinou x + y − z + 15 = 0146. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza dvoma rovnobežnými priamkami x 7 =y+2= z−1 a x−1 = y−3 = z+23 5 7 3 5147. Napíšte rovnicu priamky, ktorá prechádza priesečníkmi roviny 2x+y −3z +1 = 0a priamkami x−3 = y−5 = z+1 a x−5 = y−3 = z+41 −5 2 2 4 −6148. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza priamkou x−2A = [3, 4, 0]76= y−3 = z+11 23a bodom


149. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza priamkou x−1 = z+2 a je kolmá2 2na rovinu 2x + 3y − z − 4 = 0150. Priesečníkom priamky x−1 = y−12 = z−9 a roviny x+3y −5z −2 = 0 veďte rovinu1 3 3kolmú k danej priamke151. Určte bod Q, ktorý je súmerne združený s bodom P = [1, 3, −4] podľa roviny3x + y − 2z = 0152. Určte bod B, ktorý je súmerne združený s bodom A = [6, −5, 5] podľa roviny2x − 3y + z − 4 = 0153. Určte bod Q, ktorý je súmerne združený s bodom P = [2, −5, 7] podľa priamkyprechádzajúcej bodmi M = [5, 4, 6] a N = [−2, −17, −8]1= y+177


5 Riešenia úloh5.1 Lineárna algebra1.a)x = −2/5, y = 1;b)x = 1/4, y = 1/2, z = 6, u = 4;c)x = 1/4, y = 1/2, z = 5/3, u = 2.2. ( ) ( ) ( )8 −2 −6 −2 −19 −4a) ,,;⎛0 −2⎞6⎛−6 15⎞ ⎛−14⎞6 5 3 4 3 1 7 5 1b) ⎝5 1 0⎠,⎝1 1 −2⎠,⎝0 2 −5⎠.3 −1 3 1 −5 −3 1 −12 −93. ⎛3 4⎞4⎛2 −1 −1⎞−5a) ⎝4 4 −2⎠; b) ⎝−3 −2 −1 −1⎠; c)4 4 1 −1 −5 −5 4( )10 −32 24.18 10 144. ( ) ( ) ( ) ( )5 2 17 9 −1 4 5 29a) ; b) ; c) ; d) ;⎛7 0 14⎞−7⎛−2 2⎞−3⎛19⎞−17 −16 −1 −2 −1 0 4 2 −3e) ⎝−19 8 6 ⎠; f) ⎝ 2 −2 1 ⎠; g) ⎝6 13 −2⎠.25 0 −5 8 1 −3 0 6 35.⎛⎞⎛ ⎞3 6 9 12a) ( 1 ) 2 1 −1, ⎝4 2 −2⎠ ; b) ( 7 ) , ⎜ 4 8 12 16⎟⎝ 0 0 0 0 ⎠ ;6 3 −3( )−1 −2 −3 −47 8 −8 −5c) AB =, súčin BA nie je definovaný;⎛−20⎞−8 47 42⎛ ⎞ ⎛⎞−3 3 5 ( ) 0 0 0 −1 −2 −3d) ⎝−8 1 11⎠ 3 1,; e) ⎝0 0 0⎠ , 17 ⎝−1 −2 −3⎠ ;−4 1⎛−4 2 6⎞0 0 0 1 2 319 0 0f) ⎝ 0 19 0 ⎠ , AB = BA;0 0 19⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞−2 −5 −7 5 −8 7 ( )−4 −6 0 2g) ⎝ 10 7 14 ⎠ , ⎝ 16 −17 6⎠ 0 0; h) , ⎜−3 2 −2 2⎟0 0 ⎝ 4 −1 4 −3⎠ ;−2 −5 −13 −2 −3 4⎛ ⎞1 6 6 −248 2i) súčin AB nie je definovaný, ⎝16 9⎠;( )5 016 −16 12 8j) AB =, súčin BA nie je definovaný.0 −8 10 1278


( ) 20 96. a) ; b)31 14( ) 15 20= 520 35( ) 3 4; c)4 77.x = 2, y = −1, z = 1, t = −1, u = 0 v = −2;( 8. ) −1 −25;5 4( ) −9 19;−7 −49. ( ) ( )0 01 −1a) ; b) 4.0 0 −3 2( ) −6 −7;15 7( ) 2 −29.9 −110. ( ) ( )−12 4 15 −5a) ; b)0 81 .3 0 −10( ) ( )−1 −12 −1 −811. a); b).−3 −7 −2 −5( ) ( ) ( 1 0−1 −84 −1212. a) ; b)2 −31 ; c)2 −9 −141 6⎛17⎞0( ) ( ) 3 4 09 3 3 −8 6d) ; e)−6 61 ; f)3 2 −5 31 ⎝ ⎠ .513.a) A =−2 1 46 2 3( ) −7; d)11);⎛( 1; b) A =−1)( b − c b c ) ( 2; c) A = ; d) A = ⎝1)14.a) 26; b) 37; c) −21; d) 14; e) 1.( ) 47 −14.20 −4(8 − c)/5(−9 + 3c)/5c15.a) x = 12; b) 6x 2 − 8x − 3 = 0, 2 x 1 = − 1, 6 x 2 = 3; 2 c) x 1 = 0, x 2 = 3, x 3 = −3.16.a) −27; b) 0; c) 40; d) 54; e) −4; f) 8; g) 8; h) −2x; g) −2a 2 ; h) −4a 3 .17.a) x 2 − 5x + 6 = 0, x 1 = 2, x 2 = 3; b) −2x 2 + 32 = 0, x 1 = 4, x 2 = −4;c) 5x 2 + 10x = 0, x 1 = 0, x 2 = −2.18.a) 3a − b + 2c + d; b) 4t − x − y − z; c) 2a − b − c − d.19. a) 1; b) 64; c) −10; d) −60; e) 160; f) −51;g) −10; h) −6; i) 0; j) 48; k) 180; l) 60.20. ( −2 1a)32− 1 2); b)( ) 7 −4; c)−5 3( ) 5 −2; d)−2 1( ) 5 −7.−2 3⎞⎠ ;79


21. ⎛2 1⎞−1⎛−8 29⎞−11⎛1 2⎞2a) ⎝2 −1 2 ⎠; b) ⎝−5 18 −7 ⎠; c) 1 ⎝2 1 −2⎠;9⎛3 0 1⎞1⎛−3 1⎞2⎛−2 1⎞1 −1 13 −3 0 1 −4 −3d) ⎝−38 41 −34⎠; e) 1 ⎝ 1 3 −2⎠; f) ⎝ 1 −5 −3⎠;6⎛27 −29⎞24⎛−8⎞6 4 −1 6 41 0 0 1 −2 7g) ⎝−3 1 0⎠; h) ⎝0 1 −2⎠.9 −3 1 0 0 122. ( ) ( ) ( )1 2 −1 −1 1 1a) ; b); c) ;(1 −1) (2)3(1)05 8 3 −2 1 2d) ; e) ; f) ;(3 5)5 −4( )1 −11 −1 −7 7g); h)−1 1;6⎛ ⎞ ⎛−2 2⎞1 2 3 6 4 5i) ⎝4 5 6⎠; j) ⎝2 1 2⎠ .7 8 9 3 3 323. (1, 0, −1).24. (1, 6, 6).25. (1, 2, −2).26. (2, −1, −3).27. (−5, −8, 9).28. (2, 3, 5).29. (3, 1, 1).30. (1, 1, 1).31. (1, 3, 5).32. (2z − 1, z + 1, z).33. nemá riešenie.34. nemá riešenie.35. (0, 0, 0).36. (2t, −3t, 5t).37. nemá riešenie.38. (2, 1, −1).39. (3, −1, 2).40. nemá riešenie.41. nemá riešenie.42. (− 11a, − a , a), a ∈ R.7 743. nemá riešenie.44. (1, 2, 3).45. (−8, 3 + u, 6 + 2u, u), u ∈ R.46. (2, 1, 1, 1).47. (−2, 0, 1, −1).48. (1, 2, 2, 0).49. (1, 1, −1, −1).50. (2, −2, 1, −1).80


51. nemá riešenie.52. (0, 3, 2, 1).53. nemá riešenie.54. ( 1+5a , 1−7a , 1+5a , a), a ∈ R.6 6 655.Ak a = 5 sústava má nekonečne veľa riešení (k, − 5 − 2k, k + 4), k ∈ R.2Ak a ≠ 5 sústava nemá riešenie.56.D = −3(a + 3), D x = 3, D y = −4a − 11, D z = a + 11;Pre a ≠ −3 sústava má jediné riešeniex = −1 , y = −4a−11 , z = a+11 .a+3 −3(a+3) −3(a+3)Pre a = −3 sústava nemá riešenie. Prípad c) nenastane.57.D = 3a − a 3 − 2, D x = a 2 + a − 2, D y = a 2 + a − 2, D z = −2(a 2 + a − 2);a ≠ 1, a ≠ −2 jediné riešeniex = y = −1 , z = 2a−1 a−1a = 1 žiadne riešeniea = −2 nek.veľa riešení (1 + z, 1 + z, z), z ∈ R.58.Ak a = 1 sústava nemá riešenie.Ak a ≠ 1 sústava má jediné riešenie.59. a = 5.60. a = 5, (m/2, 5/4m, m), m ∈ R.61. 4720, −Sk.5.2 Funkcie jednej reálnej premennej1. f −1 neexistuje 2. f −1 neexistuje 3. f −1 neexistuje4. f −1 neexistuje 5. f −1 neexistuje 6. f −1 : y = √ x − 87. f −1 neexistuje 8. f −1 : y = √ 4 − x 9. f −1 : y = √ x − 110. f −1 : y = √ x − 4 + 1 11. f −1 neexistuje 12. f −1 neexistuje13. f −1 neexistuje 14. f −1 neexistuje 15. f −1 neexistuje16. f −1 neexistuje 17. f −1 neexistuje 18. f −1 : y = 2 + 3x−119. f −1 : y = 2 − 3x−120. f −1 : y = 1 − 3x−221. f −1 : y = −1 − 3x−222. f −1 neexistuje 23. f −1 neexistuje 24. f −1 neexistuje25. f −1 : y = x 2 26. f −1 : y = x 2 + 1 27. f −1 : y = 3 − (x + 4) 228. f −1 : y = x 2 − 5 29. f −1 arcsin(x − 1) 30. f −1 neexistuje31. f −1 neexistuje 32. f −1 neexistuje 33. f −1 neexistuje34. f −1 neexistuje 35. f −1 neexistuje 36. f −1 neexistuje37. f −1 neexistuje 38. f −1 neexistuje 39. f −1 neexistuje40. f −1 neexistuje 41. f −1 : y = 1 4 arctg(x − 1) 42. f −1 : y = 4 arctg(−x)43. f −1 neexistuje 44. f −1 neexistuje 45. f −1 : y = 4 arccotg(x)0; 3.46. f −1 : y = arccotg(x) + π 47. f −1 : y = log 3 (−x) − 1 48. f −1 : y = log 1 349. f −1 : y = log 2 (x) − 3 50. f −1 : y = log 2 (x − 3) 51. f −1 neexistuje52. f −1 : y = 3 x − 1 53. f −1 : y = 1 x3 − 1 54. f −1 : y = 3 −x + 255. f −1 : y = 3 −x − 2 56. f −1 neexistuje 57. f −1 sin(x + π)58. f −1 : y = cos(x) − 1 59. f −1 : y = tg( x 2 ) 60. f −1 neexistuje61. a) nemá bod nesp.; b) x = −2; c) x 1 = −2, x 2 = 2, x 3 = 0.62. a = 1, b = 4.63. a = 1.64. a) ∞; b) −∞; c) ∞; d) 0; e) 9; f) ∞; g) −∞; h) 4; i) −∞;j) ∞; k) 0; l) 2; m) 2; n) 2; o) ∞; p) 3; q) −3; r) 2; s) 0; t) ∞;u) 1 9 ; v) ∞; w) x) −∞; y) π; z) 81


65. a) +∞; b) −∞; c) +∞; d) −∞; e) +∞; f) −∞.5.3 Diferenciálny počet funkcie jednej reálnej premennej1.a) 3 2√ x; b)53 x 2 3 ; c) − 3 2 x −52 ; d) 7 8 x− 1 8 ; e) 1327 x −1427 ; f) 4 x ln(4) − 4x 3 ;2.a) 4x 3 − 12x 2 + 1; b) 7x 6 − 10x 4 + 8x 3 − 12x 2 + 4x + 3; c) arcsin x;d) ln x; e) e x (x 2 1+ 2x); f)2 √ x arccos(x) − √ √x; 1−x 2g) x − cotg(x) + xsin 2 x ; h) x(2 log 3(x) + 11+2x3ln 3); i) √ . 1+x 23.a)−2(x−1) 2 ;g)−2x(1+ln x) 2 ;b) 3t2 −6t−1; c) − 1+2t ; d) 4x3 (2b 2 −x 2 ); e) − ln x(t−1) 2 (1+t+t 2 ) 2 (b 2 −x 2 ) 2 x; f) −4+ln x2h)1−cos(x)−x sin(x)(1−cos x) 2 ; i)− sin x(1−sin x) 2 ;x 2 ;j) −1−sin2 (x) cotg(x)sin 2 (x)e x ; k)−4x3(x 2 −1) 2 + 1 + 2x − 3x 2 .4.a) sin(2x) + 4x cos(2x 2 ) + 2 cos(x); b) −2x sin(x 2 ) + 3 sin(2x) − 3sin 2 (x) cos(x); c)4cos 2 (4x+3) ;1d)2 √ x(1+x) ; e) −12x1+x; f) 2 2+2x 2 +x; g) √− cos x; h) 1; i) 3 4 1−sin 2 (x) (1−x) 3 2 (1+x) 21 x3 +1 x 2 ln 3;j) 10 √ sin x ln 10 cos x2 √ ; k) 2 1cos x ln 2 sin xsin x cos 2 (x) ; l) −e−x ; m) 5x 4 e x5 ; n) e −x2 ( 1 x− 2x ln x);2x+3o)x 2 +3x+5 ; p) √ 1; q) ln x 2x1−x2x(2 ln(x) + 1); r)arcsin x ex2 (x 2 −1) ln 3 ; s) 2x−cos x(x 2 −sin x) ln 3 ; t) 15.√√a) 4(1 + sin 2 (x)) 3 1sin(2x); b) √ 4 tg x 2 cos2 ( x ); c) √1sin 12 2 (1+x) 3 1+x ; d) − 1 √12cos (x−1) 31e) √3+2x−x 2 3arcsin2 ( x−12 ); f) sin 1 xx 2√ ; g) 2earcsin(2x) √ ; h) x1−cos 2 1 x1−4x 2 1−x; 24i)x ln 2 log 2(x 2 ); j) 5 sin(2x) + 6x 2 sin(x 3 1); k)1−x; l) e −cos2 (x) sin(2x) + 2 −x2 (−2x) ln 2.21x−1 ;6.a) e−x −e xe −x +e; b) √ e x 1ln(1+sin x)− 1; c) x cos 5 x; d) ; e) x 2√ xsin 2 x 2 1+ 2x + 2; f)x 3 +1 ; g) 1x 4 −1 ;arcsin xh) ; i) − √ x(1−x 2 ) ; j) x3/2 1+2x+x 2 arctg √ 1+x 2 (2+x 2 ) √ ; k) −ex tg √ e x +11+x 2 2 √ ; l) (arcsin x) 2 x; m) 2e x +1√1+x 2 .√1−2x−x 2 .7.a) 4e −2x ln x (−2 ln(x) − 2); b) e ( cos x·ln x cos xx− sin x · ln x ) ;c) earctg x·ln(x2 +1) (x 2 +1 2x · arctg x + ln(x 2 + 1) ) 1−x ( )2e 1+x ·ln; d) 1+x1−x(1+x)1 − ln 1+x2 1−x;e) e x 1 ·ln xx(1 − ln x); f) e x·ln x (ln x + 1); g) e 1 ·ln tg x (cos x 2 cos 2 x sin x · ln tg x +1sin x);( )(h) 2eln2 xx· ln x; i) e ln x·ln arctg x ln arctg x ln xx+(1+x 2 )·arctg x; j) (sin x) cos x cos 2 (x)sin x);( )− sin x ln sin xk) e x x ex (ln(x) + 1 x ); l) x (tg(2x))cotg 2 4 cotg x2 ln tg(2x)sin(4x)− .2sin ( x 2 )8.a) 1680x 4 − 1080x 2 3+ 120; b) 6·6!(1+3x); c) 2(1−3x2 )7 (1+x 2 ); 3d) 4 sin 2x; e) 6 10·19!x; f)9! x; g) − 3!20 ln 2 x−4 ; h) −32 sin(2x).9.a) 6(5x 4 + 6x 2 + 1); b)−x√(1+x 2 ) 3 ; c) 4(x−1) 3 .10.a) t : 2x + y + 1 = 0, n : x − 2y − 7 = 0; b) t : 4x + 5y − 13 = 0, n : 5x − 4y − 6 = 0;c) t : x − ey = 0, n : xe + y − e 2 − 1 = 0; d) t : x + y − 4 = 0, n : x − y = 0;e) t : 4y − x − 4 = 0, n : y + 4x − 18 = 0; f) t : x + y − 1 = 0, n : x − y + 1 = 0.82


11.a) T (2; 4), 4x − y − 4 = 0; b) T ( −3( 2 ; 4) 9 , 12x + 4y + 9 = 0;c) T 1 (−1; 1), 2x + y + 1 = 0, T 1 2 4 ; 16) 1 , 8x − 16y = 1.12.a) t 1 : y = −2, n 1 : x = 1, t 2 : y = 2, n 2 : x = −1; b) t : y = 1 e , n : x = e;c) t : 2x − y − 1 − ln 2 = 0, n : 2x + 4y − 1 + 4 ln 2 = 0; d) t : x − 2y + 4 = 0, n : 2x + y − 2 = 0;e) t : x − 2y + 3 = 0, n : 4x + 2y − 3 = 0; f) t : 2x − y − 2 = 0, n : x + 2y − 1 = 0;g) t : 12x − 4y − 13 = 0, n : 4x + 12y − 61 = 0.13.a) t : 4x − 4y + 3 = 0, n : 4x + 4y − 15 = 0; b) t : x + y + e −2 = 0, n : x − y − 3e −2 = 0;c) t 1 : y − x + 31 = 0, n 1 : x + y + 27 = 0, t 2 : x − y + 1 = 0, n 2 : y + x + 3 = 0;d) t : 24x + 32y − 1 = 0, n : 64x − 48y − 11 = 0.14.a) (e, 1 e); b) (0, 0), (1, 1), (2, 0); c) (0, 20), (1, 15), (−2, −12).15.(1, 1 3 ) a (−1, − 1 3 ).16.a) π 4 ); b) π 4 ); c) π 4); d) arctg 2.17.b = 4.18.a) arctg 1 87; b) arctg15 .19.v = 33, 3 ms −1 , t 0 = 3, 05, x max = 188, 05 km.20.t 1 = 2s, t 2 = 3s.21.a)80, 4 ms −1 ; b) 10, 2 s; c) 510, 2 m.22.a(4) = 11 ms −2 .23.v(2) = 6 ms −1 .24.a) t 1 = 0, t 2 = 8; b) t 1 = 0, t 2 = 4, t 3 = 8.25.a) 3 2 ; b) ∞; c) 0; d) −2; e) ∞; f) 0; g) 1 2 ; h) 1 3 ; i) 1 3 .26.a) 1; b) 1; c) 3 5; d) 0; e) 0; f) ∞; g) 0; h) 0; i) ∞.27.a) 4; b) −8; c) 0; d) 0; e) 6; f) 3; g) 3; h) 8 9 ; i) 11 3 ; j) −3; k) 1 2 ;l) 1 6 ; m) 0; n) 0; o) −2; p) 1; q) 2; r) e; s) 1 e ; t) 2 3; u) 2.83


28.a) 1 2 ; b) −1; c) 1 2 ; d) 0; e) 0; f) 1 2 .29.a) 0; b) 1; c) 4; d) ∞; e) 0; f) 1; g) 0; h) − 4 π ; h) − 2 π .30.a) rastie na (−∞; −3) ∪ ( 13 ; ∞) , klesá na ( −3; 3) 1 ;b) rastie na (−∞; −1) ∪ (2; ∞), klesá na (−1; 2);c) rastie na ( − √ 2, 0 ) ∪ (√ 2, +∞ ) , klesá na ( −∞, − √ 2) ∪ (0, √ 2 ) ;d) rastie na (−∞; 3), klesá na (3; ∞);e) rastie na ( √ e, ∞), klesá na (0, 1) ∪ (1, √ e);f) klesá na R.31.a) A(3; −23) - lokálne minimum, B(1, 5) - lokálne maximum, C(0; 4) - inflexný bod;b) A(0; −4) - lokálne minimum, B(−2, 0) - lokálne maximum;c) nemá lokálne extrémy;d) A(2; 8) - lokálne minimum, B(−2, 0) - lokálne maximum;e) A(2; 2) - lokálne minimum, B(0, −2) - lokálne maximum;f) A ( 32 , ) 274 - lokálne minimum, C(0, 0) - inflexný bod;g) nemá lokálne extrémy, A(0, 0) - inflexný bod;h) A(1, 1) - lokálne minimum.32.a) min f(0) = −10, max f(2) = f(5) = 10; b) min f(−1) = f(1) = 4, max f(−2) = f(2) = 13;c) min f(0) = 0, max f(4) = 8; d) min f(−1) = −12, max f(1) = 2;e) min f(−2) = −19, max f(2) = 9; f) min f(3) = 1, max f(−1) = 17;g) min f(−1) = −10, max f(1) = 2; h) min f(2) = 2 − 2 ln 2, max f(1) = 1.33. 4, 4 34. 14, 14 35. 136. − 1 √37. 18, 182 38. 3339. 6, 6 40. a = b = √ P 41. x = y = 5 242. 6, 6 43. 6 cm 44. x = 2a4+π , y = a4+π45. a = 20m, b = 5m, c = 2m 46. x = 4aπ+4 47. 6 cm48. r = 2, v = 4 49. v = 4 3 R, r = 2√ 23R 50. 4x4x2 m51.a) konvexná na (−∞, −1) ∪ (2, +∞), konkávna na (−1, 2), A(−1, −19), B(2, −37) - inflexné body;b) konvexná na (−∞, −1) ∪ (1, +∞), konkávna na (−1, 1), A(1, 0), B(−1, 0) - inflexné body;c) konvexná na (2, +∞), konkávna na (−∞, 2), A(2, 12) - inflexný bod;d) konvexná na (−∞, 0) ∪ (0, +∞), nemá inflexný bod;e) konvexná na (−∞, −3) ∪ (3, +∞), nemá inflexný bod;f) konvexná na (e − 3 2 , +∞), konkávna na (−∞, e − 3 2 ), A(e − 3 2 , − 3 2 e−3 ) - inflexný bod.52.a) y = 0; b) x = 1, y = 1;c) x = 0, y = 0 pre x → +∞, y = −1 pre x → −∞;d) x = 0, y = 0; e) x = 0, y = −x; f) x = 1, x = −1, y = 0; g) x = 0;h) x = 1, y = x − 1; i) neex. asymptoty; j) x = 0.53.D(f) = (−∞, ∞), y ′ = 6x(x − 1), y ′′ = 6(2x − 1),(−∞, 0) ∪ (1, ∞) - rastie, (0, 1) - klesá,(−∞, 1 2 ) - konk., v ( 1 2, ∞) - konv.,[0, 0] - lok.max, [1, −1] - lok.min, [ 1 2 , − 1 2 ] - infl.bod.54.D(f) = (−∞, ∞), y ′ = 3(x 2 − 1), y ′′ = 6x,84


(−∞, −1) ∪ (1, ∞) - rastie, v (−1, 1) - klesá,(−∞, 0) - konk., v (0, ∞) - konv.,[−1, 4] - lok.max, [1, 0] - lok.min, [0, 2] - infl.bod.55.D(f) = (−∞, ∞), y ′ = 6(x 2 + x − 2), y ′′ = 6(2x + 1),(−∞, −2) ∪ (1, ∞) - rastie, v (−2, 1) - klesá,(−∞, − 1 2 ) - konk.,[−2, 27] - lok.max, v (− 1 2, ∞) - konv.,[1, 0] - lok.min, C ( − 1 2 , ) 272 - infl.bod.56.D(f) = (−∞, ∞), y ′ = 4 5 x2 (3 − x), y ′′ = 12 5x(2 − x),(−∞, 3) - rastie, v (3, ∞) - klesá,(0, 2) - konv, (−∞, 0) ∪ (2; ∞) - konk.,[3; 5, 4] - lok.max, [0, 0] a [2; 3, 2] - infl. body.57.D(f) = (−∞, 2) ∪ (2, ∞) , y ′ = x2 −4x−5(x−2), y ′′ = 182(−∞, −1) ∪ (5, ∞) - rastie, v (−1, 2) ∪ (2, 5) - klesá,(−∞, 2) - konk., v (2, ∞) - konv.,[−1, 0] - lok.max, [5, 12] - lok.min,x = 2 a y = x + 4 - asymptoty.(x−2) 3 ,58.D(f) = (−∞, 1) ∪ (1, ∞), y ′ = −2x(x−1), 3 y ′′ = 2(2x+1)(−∞, 0) ∪ (1, ∞) - klesá, v (0, 1) - rastie,(−∞, − 1 2 ) - konk., v (− 1 2, 1) ∪ (1, ∞) - konv.,[0, −1] - lok.min, [− 1 2 ; − 8 9 ) - infl.bod,x = 1 a y = 0 - asymptoty.59.D(f) = (−∞, 1) ∪ (1, ∞),(−∞, 1) ∪ (1, 3 2 ) - klesá, v ( 3 2[(0, 1) - konk., v (−∞, 0) ∪ (1, ∞) - konv.,32 , ] 274 - lok.min, [0, 0] - infl.bod,x = 1 - asymptota.(x−1) 4 ,y ′ = x2 (2x−3)(x−1), y ′′ = 2x(x2 −3x+3)2 (x−1), 3, ∞) - rastie,60.D(f) = (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞), y ′ = −(x2 +1)(x 2 −1), y ′′ = 2x(x2 +3)2 (x 2 −1), 3na celom D(f) klesá,(−∞, −1) ∪ (0, 1) - konk., v (−1, 0) ∪ (1, ∞) - konv.,[0, 0] - infl.bod,x = 1, x = −1 a y = 0 - asymptoty.61.D(f) = (−∞, − √ 3) ∪ (− √ 3, √ 3) ∪ ( √ 3, ∞), y ′ = x2 (9−x 2 )(3−x 2 ), y ′′ = 6x(9+x2 )2 (3−x 2 ), 3(−∞, −3) ∪ (3, ∞) - klesá, v (−3, − √ 3) ∪ (− √ 3, √ 3) ∪ ( √ 3, 3) - rastie,(− √ 3, 0) ∪ ( √ 3, ∞) - konk., v (−∞, − √ 3) ∪ (0, √ 3) - konv.,[−3; 4, 5] - lok.min, [3; −4, 5] lok.max, [0, 0] - infl.bod,x = √ 3, x = − √ 3 a y = −x - asymptoty.62.D(f) = (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞), y ′ = 2x(1−x 2 ), y ′′ = 2(1+3x2 )2 (1−x 2 ), 3(−∞, −1) ∪ (−1, 0) - klesá, v (0, 1) ∪ (1, ∞) - rastie,(−∞, −1) ∪ (1, ∞) - konk., v (−1, 1) - konv.,[0, 1] - lok.min,x = 1, x = −1 a y = 0 - asymptoty.85


63.D(f) = (−∞, 0) ∪ (0, +∞), y ′ = 2(x4 −1)x, y ′′ = 2(x4 +3)3(−∞, −1) ∪ (0, 1) - klesá, v (−1, 0) ∪ (1, ∞) - rastie,na celom D(f) - konv.,[1, 2] a [−1, 2] - lok.min,x = 0 - asymptota.x 4 ,64.D(f) = (−∞, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, ∞), y ′ = −8x(x 2 −4), y ′′ = 8(3x2 +4)2 (x 2 −4), 3(−∞, −2) ∪ (−2, 0) - rastie, v (0, 2) ∪ (2, ∞) - klesá,(−∞, −2) ∪ (2, ∞) - konv., v (−2, 2) - konk.,[0, 0] - lok.max,x = −2, x = 2, a y = 1 - asymptoty.65.D(f) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞), y ′ = x3 −7x+62x, y ′′ = 7x−93 x, 4(−∞, −3) ∪ (0, 1) ∪ (2, ∞) - rastie, v (−3, 0) ∪ (1, 2) - klesá,(−∞, [ ] 0) [ ∪ (0, 9 7 ) - ] konk., v ( 9 7,[ ∞) -] konv., [1,7 a −3, −11 - lok.max, 2,27 - lok.min, 97 , y( 9 7 )] - infl.bod,26x = 0 a y = 1 2 x + 1 - asymptoty.66.D(f) = (−∞, −1) ∪ (−1, ∞), y ′ = x2 (x+3)2(x+1), y ′′ = 3x3(−∞, −3) ∪ (−1, ∞) - rastie, v (−3, −1) - klesá,(−∞, −1) ∪ (−1, 0) - konk., v (0, ∞) - konv.,[−3, − 27 8 ] - lok.max, [0, 0] - infl.bod,x = −1 a y = 1 2 x − 1 - asymptoty.8(x+1) 4 ,67.D(f) = (−∞, −1) ∪ (−1, ∞), y ′ = x3 (x+4)(x+1), 4 y ′′ = 12x2(−∞, −4) ∪ (0, ∞) - rastie, v (−4, −1) ∪ (−1, 0) - klesá,(−∞, −1) - konk., v (−1, ∞) - konv.,[−4, − 6427] - lok.max, [0, 0] - lok.min,x = −1 a y = x − 3 - asymptoty.68.D(f) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞), y ′ = 3(x4 −1)x, y ′′ = 124 x, 5(−∞, −1) ∪ (1, ∞) - rastie, v (−1, 0) ∪ (0, 1) - klesá,(−∞, 0) - konk., v (0, ∞) - konv.,[−1, −4] - lok.max, [1, 4] - lok.min,x = 0 a y = 3x - asymptoty.(x+1) 5 ,69.D(f) = (−∞, +∞), y ′ = x2 −11+x, y ′′ = 4x2 (1+x 2 ), 2(−∞, −1) ∪ (1, ∞) - rastie, v (−1, 1) - klesá,[(−∞, 0) - konk., v (0, ∞) - konv.,−1,32 π − 1] - lok.max, [1, π/2 + 1] - lok. min, [0, π] infl.bod,y = x pre x → +∞ a y = x + 2π pre x → −∞ - asymptoty.70.D(f) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞), y ′ = −1x 2 +1 , y′′ = 2x ,(x 2 +1) 2na celom D(f) klesá,(−∞, 0) - konk., v (0, ∞) - konv.,y = 0 - asymptota.86


71. D(f) = (−∞, ∞), y ′ = 1−xe, y ′′ = x−2x(−∞, 1) - rastie, v (1, ∞) - klesá,[(−∞, ] 2) - konk., v (2, ∞) - konv.,1,1e - lok.max, [2,2e] - infl.bod,2y = 0 - asymptota pre x → +∞.e x ,72.D(f) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞), y ′ = ex (x−1)x, y ′′ = ex (x 2 −2x+2)2(−∞, 0) ∪ (0, 1) - klesá, v (1, ∞) - rastie,(−∞, 0) - konk., v (0, ∞) - konv.,[1, e] - lok.min,x = 0, y = 0 - asymptota pre x → −∞.x 3 ,73.D(f) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞), y ′ = −1xe 1 2 x , y ′′ = e 1 x ( 2x+1x), 4na celom D(f) klesá,(−∞, − 1 2 ) - konk., v (− 1 2, 0) ∪ (0, ∞) - konv.,[− 1 2 , e−2 ] - infl.bod,x = 0 + a y = 1 - asymptoty.74.D(f) = (−∞, ∞), y ′ = e −x (2x − x 2 ), y ′′ = e −x (x 2 − 4x + 2),(−∞, 0) ∪ (2, ∞) - klesá, v (0, 2) - rastie,(−∞, 2 − √ 2) ∪ (2 + √ 2, ∞) - konv., v (2 − √ 2, 2 + √ [ ] √ 2) - konk.,2,4e - lok.max, [0, 0] - lok.min, x = 2 ± 2 x-ové súradnice infl. bodov,2y = 0 - asymptota pre x → +∞.75.D(f) = (−∞, ∞), y ′ = e −x (3x 2 − x 3 ), y ′′ = e −x (x 3 − 6x 2 + 6x),(−∞, 0) ∪ (0, 3) - rastie, v (3, ∞) - klesá,(−∞, 0) ∪ (3 − √ 3, 3 + √ 3) - konk., v (0, 3 − √ 3) ∪ (3 + √ [ ] √ 3, ∞) - konv.,3,27e - lok.max, 0, 3 ± 3 x-ové súradnice infl. bodov,3y = 0 - asymptota pre x → +∞.76.D(f) = (−∞, 0) ∪ (0, +∞), y ′ = −ex , y ′′ = ex (e x +1),(e x −1) 2 (e x −1) 3na celom D(f) klesá,(−∞, 0) - konk., v (0, ∞) - konv.,x = 0, y = 0 pre x → +∞ a y = −1 pre x → −∞ - asymptoty.77.D(f) = (−∞, ∞), y ′ = 1 − e −x , y ′′ = e −x ,v (0, ∞) - rastie, v (−∞, 0) - klesá,na celom D(f) konv.,[0, 1] - lok.min,y = x - asymptota pre x → +∞.78.D(f) = (−∞, +∞), y ′ = 2xx 2 +1 , y′′ = 2(1−x2 )(x 2 +1), 2(0, ∞) - rastie, v (−∞, 0) - klesá,(−∞, −1) ∪ (1, ∞) - konk., v (−1, 1) - konv.,[0, 0] - lok.min, [−1, ln 2] a [1, ln 2] - infl. body.79.D(f) = (−2, 2), y ′ = −2x4−x, y ′′ = −2(4+x2 )2 (4−x 2 ), 2(0, 2) - klesá, v (−2, 0) - rastie,na celom D(f) konk.,[0, 2 ln 2] - lok.max.87


80.D(f) = (−1, ∞), y ′ = xx+1 , y′′ = 1(−1, 0) - klesá, v (0, ∞) - rastie,na celom D(f) konv.,[0, 0] - lok.min,x = −1 + - asymptota.(x+1) 2 ,81.D(f) = (0, ∞), y ′ = ln(x) + 1, y ′′ = 1 x ,(0, 1 e ) - klesá, v ( 1 e, ∞) - rastie,na celom D(f) konv.,[ 1 e , − 1 e ] - lok.min.82.D(f) = (0, 1) ∪ (1, ∞), y ′ ln x−1=ln 2 x , y′′ = 2−ln xx·ln 3 x ,(0, 1) ∪ (1, e) - klesá, v (e; ∞) - rastie,(0, 1) ∪ (e 2 , ∞) - konk, v (1, e 2 ) - konvex., [e, e] - lok.min,x = 1 asymptota.[ ]e 2 , e2 2- infl.bod,83.a) 2, 031; b) 1, 2; c) 3, 00989; d) 1, 12; e) 0, 01; f) 3, 999956571; g) 0, 835398; h) 0, 765.84.a) 24; b) 2, 4; c) −0, 05; d) −0, 05.85. 12π, −12π. 86. 200π, −200π.87. 8 − 5(x + 1) + (x + 1) 3 .88. 11 + 7(x − 2) + 4(x − 2) 2 + (x − 2) 3 .89. 26 + 25(x − 3) + 9(x − 3) 2 + (x − 3) 3 .90. −5 + 10(x − 2) + 21(x − 1) 2 + 8(x − 2) 3 + (x − 2) 4 .91. f(x) = − 1 2 x2 − 112 x4 .92. f(x) = x − 1 3 x3 .93. f(x) = ln 3 + 1 13(x − 3) −18 (x − 3)2 + 181 (x − 3)3 − 1324 (x − 3)4 .94. f(x) = 1 2 − 1 4 (x − 2) + 1 8 (x − 2)2 − 116 (x − 2)3 + 132 (x − 2)4 .95. f(x) = 1 e [1 + (x + 1) + 1 2 (x + 1)2 + 1 6 (x + 1)3 ].96. f(x) = 2 − (x − 2) + (x − 2) 2 − (x − 2) 3 .97.a) y ′ = 2t+43t 2 +1 ; b) y′ = t 2 ; c) y′ = (1 + t 2 )t; d) y ′ = − tg t;e) y ′ = sin t1−cos t ; f)y′ = − tg t; g) y ′ = −2 tg t; h) y ′ = t .(1−t) 298. f ′ sin t+sin kt(x) = −cos t+cos kt , f (t=0) ′ = 0.99. a) T 1 (1, −15), T 2 (−3, 17); y = −15, x = 1; y = 17, x = −3;b) T 1 (0, −10), T 2 (−2, 12), t 1 : 9x + y + 10 = 0, t 2 : 9x + y + 6 = 0, n 1 : x − 9y − 90 = 0,n 2 : x − 9y + 110 = 0.88


100. Takých bodov niet.101.a) t : x + 2y − 4 = 0, n : 2x − y − 3 = 0; b) t : 4x + 2y − 3 = 0, n : 2x − 4y + 1 = 0;c) t : x + y − 4 = 0, n : x − y − 2 = 0; d) t : 2x + 2y − √ 2 = 0, n : x − y = 0;e) t : x + y − ( 3π+42) = 0, n : x − y + 3 2 π = 0.102. t : y = 1 2 (x − 1), n : y = −2(x − 1), t 0 = 1.5.4 Vektorová algebra. Analytická geometria v rovine a v priestore.1. a) x + y − 2 = 0 b) x = 3 − 5t, y = −1 + 5t c) y = −x + 2 d) x 2 + y 2 = 1.2. a) x = 3 − t, y = −4 + 5t b) 5x + y − 11 = 0 c) y = −5x + 11 d) x 1153. 2x + 3y − 6 = 0; x = 3t, y = 2 − 2t; y = − 2 3 x + 2; x3 + y 2 = 1.+ y 11 = 1.4. b = −1; y = 2x − 13;x132+ y−13 = 1.5. 2x + 3y − 22 = 0; x = 5 − 6t, y = 4 + 4t; y = − 2 3 x + 22 3 .6.√3x + y + 2 −√3 = 0. 7. a = 12. 8. b = −1.9. neleží. 10. 2x + y − 7 = 0. 11. k = −2.12. a) y + 3 = 0 b) x − 2 = 0 c) x − 3y − 11 = 0.13. a) x = 3 + t, y = −1; b) x = 3, y = −1 + t; c) x = 3 + t, y = −1 + t.14. a) 5x + 2y + 5 = 0 b) x + 2y − 7 = 0.15. a) x + 2y − 3 = 0 b) 2x + 5y − 22 = 0 c) 2x − 3y − 3 = 0.16. a) 2x + 3y − 7 = 0 b) 3x − 2y − 4 = 0.17. 4x − y + 11 = 0. 18. x + y − 12 = 0.19. a) 7x − 2y − 13 = 0 b) 2x + 7y − 34 = 0.20. a = −7, b = 1, 5. 21. neleží.22. 7. 23. 5 √ 2. 24. ±3.25. (−4, 3, −1), (4, −3, 1). 26. N[4, 1, 1]. 27. M[−1, 2, 3].28. ( √ 2, 1, −1). 29. a)( 1225 , − 1525 , 1625), b)(313 , 413 , 1213 ).30. a)môže b)nemôže c)môže. 31. a)nemôže b)môže c)nemôže.32. 60 ◦ , 120 ◦ . 33. (1, −1, ± √ 2). 34. ±[ √ 3, √ 3, √ 3].35. ( 1 √3,1 √3 ,1 √3 ). 36. 45 ◦ , 135 ◦ . 37. D[4, 0, 6].38. 6, 14. 39. d = −48i + 45j − 36k.40. (3, 4, −3), (0, −5, 3), (−3, 1, 0).89


41. a) 20 b) − √ 22c) 3 d) − 3 e) 0 f) 1360g) − 5.42. 135 ◦ . 43. a) 5√ 714b)0 c) √ 37 . 44. β = γ = 45◦ .45.√7,√13. 46. D[−1, 1, 1], ϕ = 120 ◦ . 47. 120 ◦ .548. √ 714 , − 2√ 717 . 49. − 1 2. 50. (1, 1, 0).51. (0, 1, 2). 52. (4 √ 2, 4, 4).53. a) − 6j, S = 6; b) − 2k, S = 2; c)6i − 4j + 6k, S = 2 √ 22.54. a) (−6, 3, 0); b) (20, −20, −10).55. a) 9 2√3; b) 18√3; c) 45√3.56. 6 √ 3. 57. 24, 5. 58. 50 √ 2.√ √359.2 2. 60. S = 7 5 |BD| =23√21. 61. 72 √ 2.362.2. 63. 210. 64. x = (8, −7, −5).√865.3 5. 66.1320√10. 67. 4 √ 2.68. 96. 69. a) √ √ √8945 ; b)1; c) 23185 ; d) 514 .70. a) − 20; b)6. 71. 51. 72. V = 14, v = 7 3√3.73. V = 14, v = √ 14. 74. a) áno. 75. c = 5a + b.76. a) áno; b) nie. 77. c = a + 2b. 78. 52.79. a) áno; b) nie; c) áno. 80. a) áno. 81. x + 4y − 2z = 2.82. a) z = 3, y = 2, x = 1; b) z + 2y = 0, 2x − 3z = 0, x + 3y = 0; c) z = 3;d) y = −2; e) x = −5; f) z + 2y = 0; g) 3x + z = 0; h) 4x + 3y = 0; i) 3x + 2z = 0;j) 2x + y = 0; k) 3x − 4z = 0; l) x + y − z + 1 = 0; m) x + 3y − z = −1.83. a) 6x+2y −5z +5 = 0; b)x−z +1 = 0; c) y +4z +10 = 0; d)x−z −1 = 0; e)5x+y −13 = 0;f) 2y − 3z + 7 = 0.84. a) [12, 0, 0], [0, −8, 0], [0, 0, −6] b) [3, 0, 0], [0, −6, 0], [0, 0, 2] c) [−4, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, −1]d) [2, 0, 0], [0, 5, 0], [0, 0, 2] e) [−2, 0, 0], [0, −2, 0], [0, 0, −2]85. a) x −1 + y 2 + z− 2 3= 1 b) x −2 + y 13+ z −1 = 1 c) x 32+ y 32+ z −3 = 1 d) x 6 + y 3 + z −2 = 1.86.xa + z c = 1. 87. x + y + z = 4. 88. x4 + y 3 + z 2 = 1.89. −4, 3, 1 2 . 90. 8. 91.x−3 + y −4 + z 2 = 1.92.x−3 + y 3 + z 32= 1. 93. a) x 3 + y −4 = 1b) y 4 + z 4 = 1.94. a)x + y + z = 9, −x + y + z = 3, x − y + z = 5, x + y − z = 1 b)x+y+z=-5.95. 2x − 21y + 2z + 88 = 0, 2x − 3y − 2z + 12 = 0.96. x + y + z = 9, x − y − z = −1, x − y + z = 3, x + y − z = 5.90


97. x − 3y − 2z + 2 = 0. 98. 2x + y + z − 1 = 0. 99. x + 3z + 8 = 0.100. 2x − 2y + z − 2 = 0. 101. arccos 413. 102. 2x − y + z − 5 = 0.103.√6. 104. 2x − 8y + 5z − 33 = 0. 105. a)0, b)1.106. a)8, b) 1 2 . 107. 3. 108. 2√ 2.109. a)x − 2y + 2z = 11, x − 2y + 2z = −1; b)2x + 2y + z = 20, 2x + 2y + z = −4.110. 7x + 14y + 24 = 0. 111. a) pretínajú sa b) splývajú.112. a)21x + 14z − 3 = 0; b)7x + 14y + 5 = 0.113. a)x = 2 + 3t, y = −2t, z = 3 − 2t; b)x = 1 + t, y = 2, z = 3.114. a)x = 1 + 2t, y = −1 + 5t, z = −3; b)x = 1 + 3t, y = −1 − 2t, z = −3 + 5t.115. a)x = 2 + t, y = 1 − 2t, z = 1 + t; b)x = 3 + t, y = −1 − t, z = t; c)x = 0, y = t, z = 1 − 3t.116. a) x−21= y+38= z− 1 21, b)x−21= y−1−3 = z+31 .117. ležia. 118. (9, −4, 0), (3, 0, −2), (0, 2, −3).119. a)x = 5 + 4t, y = −7 − 11t, z = −2.120. a)x = −5t, y = −1 + 12t, z = 1 + 13t; b)x = 1 + 5t, y = 1 + 13t, z = 1 + 11tc)x = 9t, y = 5t, z = −3 + t.121.x−6−3= y−4−2 = z 1, (6, 4, 0), (0, 0, 2).122. x = −1 + 2t, y = 2 + 2t, z = −2 + t.123. a) napr. x−22= y+17= z 4 , b) napr. x −5 = y+112 = z−113124. áno, P (1, 8, 6). 125. (−1, 3, 1). 126. 25., c) napr.x−31= y−22= z 1 .127. 2x − 16y − 13z + 31 = 0. 128. 6x − 20y − 11z + 1 = 0. 129. a)13, b)3.√130. a) √ 16102, b) √ 186110. 131. √5 . 1277132. a)14 , b) √3√ 1 347, c) 3.133. a) √ 22, b)7, c) 310√38. 134. a)21, b)6, c)15. 135.√17.136. a)d M = 5 3 , d N = 10; b)d M = d N = 2 7 ; c)d M = 4, d N = 2.137. ( 215 , 2 3 , − 1115 ); d = 4. 138. 5. 139. a)3, b)4, c) 11 2 , d)9.140. M(9, 0, 0); N(−5, 0, 0). 141. M(0, 361267, 0); N(0,17, 0). 142. N(0, 0, 8).143. 2x − 2y − z − 27 = 0; 2x − 2y − z + 15 = 0.144. a)p ‖ ρ, b)p ⊂ ρ, c)P = [2, 3, 1], d)P = [2, 3, 6], e)p ‖ ρ, f)p ⊂ ρ, g)P = [3, 6, 4].x−3145. x + y − z + 3 = 0. 146. 17x − 13y − 16z = 0. 147.5= y+1−7= z−21 .148. x − 2y + z + 5 = 0. 149. 8x − 5y + z − 11 = 0. 150. x − 4y + 3z + 54 = 0.151. Q[−5, 1, 0]. 152. B[−2, 7, 1]. 153. Q[4, 1, −3].91


Obsah1 Lineárna algebra 41.1 Matice. Operácie s maticami. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Determinanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Inverzná matica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Sústavy lineárnych rovníc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Funkcie jednej reálnej premennej 232.1 Definičný obor a základné vlastnosti funkcií . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Limita a spojitosť funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Diferenciálny počet funkcie jednej reálnej premennej 273.1 Derivácia funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Geometrický a fyzikálny význam derivácie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 L’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Rastúce a klesajúce funkcie. Lokálne extrémy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5 Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.6 Konvexnosť a konkávnosť funkcie. Inflexný bod funkcie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.7 Asymptoty grafu funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.8 Priebeh funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.9 Taylorova veta a diferenciál funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.10 Funkcia určená parametricky a jej derivácia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 Vektorová algebra. Analytická geometria v rovine a v priestore. 554.1 Pravouhlé súradnice bodu v rovine a vektory v rovine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Rovnica priamky v rovine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3 Vektory v priestore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4 Skalárny súčin dvoch vektorov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5 Vektorový a zmiešaný súčin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.6 Rovina v priestore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.7 Priamka v priestore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.8 Vzdialenosť bodu od priamky a od roviny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.9 Priamka a rovina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755 Riešenia úloh 785.1 Lineárna algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2 Funkcie jednej reálnej premennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.3 Diferenciálny počet funkcie jednej reálnej premennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.4 Vektorová algebra. Analytická geometria v rovine a v priestore. . . . . . . . . . . . . . . . 8992


Literatúra[1] Berman, G.N.: Sbornik zadač po kursu matematičeskogo analiza, Moskva 1956.[2] Budinský, B. – Charvát, J.: Matematika I, Praha 1987.[3] Černáková, B. – Ducsaiová, M.: Matematika I (Zbierka úloh), Košice 1991.[4] Eliáš, J. – Horváth, J. – Kajan, J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky, časť I. (3.vyd.1971), časť II.(3.vyd.1972), Bratislava.[5] Charváth, J. – Hála, M. – Šibrava Z.: Příklady k matematice I, Praha 1997.[6] Ivan, J.: Matematika I, Bratislava 1983.[7] Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, New York 1993.[8] Minorskij, V.P.: Sbírka úloh z vyšší matematiky, Praha 1958.[9] Šoltés, V. – Juhásová, Z.: Zbierka úloh z vyššej matematiky I, Košice 1995.[10] Černák, Š. – Pavluš M.: MATEMATIKA I. (Stručný prehľad teórie a príklady), Košice 2006.93

More magazines by this user
Similar magazines