Diskrétní transformace - Matematika pro inženýry 21. století - Vysoká ...

PředmluvaTento dokument nechť čtenář bere jako pracovní verzi vznikajícího učebního textu,který je neustále doplňován a modifikován. Autor velice ocení připomínky, komentářea doporučení čtenářů. 1Těmi by měli především být studenti technických univerzit, kterým je tento textuzpůsoben a problematika je často popisována na inženýrských aplikacích, zejménafrekvenční, časově-frekvenční a kepstrální analýze seismických a zvukových signálů,digitálním zpracování obrazu, různých technikách filtrace signálů atd. I tento faktvedl autora k způsobu výkladu (od Fourierových řad přes diskrétní Fourierovu transformacik okenní Fourierově transformaci, waveletové transformaci a Z-transformaci).Tento modul by měl obsahovat i ukázkové implementace efektivních algoritmů- k tomuto účelu byl z důvodu přehlednosti použit Matlab. Ačkoliv má tento modulnázev „Disktrétní transformace“ (DT), tak pro svou ucelenost obsahuje mnohdyi zmínku či připomenutí spojité integrální transformace (IT), která není obsaženav jiných modulech. Spojení představení konkrétní spojité IT a její efektivní numerickérealizace - tedy DT - se jeví autorovi jako ideální a směřuje i k budoucímusloučení dvou předmětů IT a DT v předmět jeden.Tento i ostatní v rámci projektu Matematika pro inženýry 21 století připravovanévýukové materiály lze najít na stránkách http://mi21.vsb.cz/.Rád bych na tomto místě vzpomenul a velké díky vyjádřil paní doc. Ing. NiněČastové, CSc., mé učitelce, která mne již během mých raných studií s nadšeníma láskou zasvěcovala do tajů a krás integrálních a diskrétních transformací, a tytomateriály jsou tudíž i jejím dílem.Rovněž bych rád poděkoval mému kolegovi Ing. Martinu Čermákovi za pomocpři přepisování textů a cenné připomínky.Za motivaci, vytváření těch nejlepších podmínek a prostoru k tvorbě, starostlivosta péči děkuji své Ivance a celé své rodině.V Rychvaldě, 2011David Horák1 Komentáře, připomínky a doporučení, prosím, zasílejte na e-mailovou adresu:david.horak@vsb.cziii

4 Úvod, základní pojmy, obecný pohled na integrální transformaceŘešení. f n = e int náleží prostoru L 2 ([0, 2π]) :〈f n , f m 〉 = ∫ 2πe int e −imt dt = 0, n ≠ m.∫02π|e int | 2 dt = ∫ 2πe int e −int dt = 2π ⇒‖ e int ‖= √ 2π.0 0Systém { funkcí } je{v zadaném } prostoru { } ortogonální. Ortonormální systém funkcíebude:== √ int2π. f n‖f n‖n∈Ze int‖e int ‖n∈Zn∈ZPříklad 1.14. Dokažte, že systém funkcí {f n = e int , n ∈ Z} ∈ L 2 ([0, π]) není ortogonálnívzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu.Řešení. 〈f n , f m 〉 = ∫ π0 eint e −imt dt = (−1)n−m −1n−m≠ 0, n ≠ m. Příklad 1.15. Rozhodněte, zda funkce f(t) = 1+2i(t−1) 1/3na intervalu [1, 2] , tedy zda-li je prvkem L 2 ([1, 2]).je integrovatelná s kvadrátemŘešení. ∫ ∣21+2i ∣∣2 ∫ 21∣(t−1) dt = 5 limdt= 15. Funkce f(t) je na intervalu [1, 2]1/3 u→1 u (t−1) 2/3integrovatelná s kvadrátem, tj. f ∈ L 2 ([1, 2]).Příklad 1.16. Ověřte, že systém funkcí{1/2, cos(t), sin(t), cos(2t), sin(2t), cos(3t), sin(3t), . . .} ∈ L 2 ([−π, π])je ortogonální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu.Řešení. Výpočtem následujících integrálů se snadno přesvědčíme, že tato soustava(reálných)∫funkcí je ortogonální:π 1sin(nt)dt = 0, ∫ π 1cos(nt)dt = 0,∫−π2 −π 2 π sin(mt) cos(nt)dt = 0, ∫ πsin(nt) cos(nt)dt = 0,∫−π −π π sin(mt) sin(nt)dt = 0, ∫ πcos(mt) cos(nt)dt = 0 pro ∀m, n (m ≠ n).−π −πDaná soustava funkcí není však ortonormální, protože již pro první funkci f 1 = 1/2[ ∫ ] 1/2 π 1je ‖ f 1 ‖= dt −π 4 =12√2π ≠ 1. Příklad 1.17. Zjistěte, zda systém tvořený funkcemi {f n = e int , n ∈ Z} ∈ L 2 ([−π, π])je ortogonální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu.Řešení. Zde na rozdíl od předchozího příkladu při vytvoření skalárního součinu dvoufunkcí musíme vzít v úvahu druhou funkci komplexně sdruženou:〈f n , f m 〉 = ∫ π−π eint e −imt dt = 0, n ≠ m.Posloupnost funkcí {e int } n∈Z∈ L 2 ([−π, π]) tvoří ortogonální systém.[ ∫1π−π eint e dt] −int 2Protože ‖ e int ‖=tvoří systém ortonormální.= √ 2π, potom posloupnost funkcí{ }√e int2πn∈Z

2.2 Konvoluce posloupností 9Vlastnosti konvoluce:1. konvoluce dvou spojitých funkcí f(t) a g(t) na R je funkce h = f ⋆ g spojitána R,2. linearita (distributivita vzhledem ke sčítání a násobení konstantou): f ⋆ (g 1 ++ g 2 ) = f ⋆ g 1 + f ⋆ g 2 a f ⋆ (cg) = c(f ⋆ g),3. komutativita: f ⋆ g = g ⋆ f,4. asociativita: f ⋆ (g 1 ⋆ g 2 ) = (f ⋆ g 1 ) ⋆ g 2 = f ⋆ g 1 ⋆ g 2 ,5. |f ⋆ g| ≦ |f| ⋆ |g|,6. jsou-li funkce f(t), g(t) originály a existují-li jejich integrální obrazy (Laplaceův,Fourierův, apod.) F (s), G(s), pak i konvoluce h = f ⋆ g je originál, jejížintegrální obraz se rovná součinu jejich obrazů, tj. H(s) = F (s)G(s) - tzv.konvoluční teorém.Poznámka 2.3. Důležitou vlastností konvolučního integrálu při vhodné volbě jádrag(t) je redukce oscilací funkce f(t), výsledná konvoluce h(t) mění své znaménko naintervalu (−∞, +∞) resp. (0, +∞) nejvíce tolikrát, kolikrát mění své znaménkofunkce f(t). Konstrukce a vlastnosti jednotlivých jader jsou probírány v kapitole5.2.2.2 Konvoluce posloupnostíVycházejme ze dvou funkcí f(z) a g(z) regulárních (holomorfních) na množině Ω,které lze rozvinout na mezikruží M = {z ∈ C : r 1 < |z − z 0 | < r 2 } ⊂ Ω se středemv bodě z 0 v konvergentní mocninné Laurentovy řadyf(z) =+∞∑n=−∞{a n } +∞n=−∞ , {b n} +∞n=−∞a n (z − z 0 ) n = A(z), g(z) =+∞∑n=−∞b n (z − z 0 ) n = B(z).jsou posloupnosti tvořené koeficienty mocninných řad a nafunkce A(z), B(z) můžeme nahlížet jako na obrazy těchto posloupností při tzv. Laurentovětransformaci s jádrem (z − z 0 ) n . V oboru konvergence, tj. pro ∀z ∈ M lzevytvořit součin těchto řadh(z) = f(z)g(z) = A(z)B(z) ==+∞∑n=−∞+∞∑n=−∞a n (z − z 0 ) n .c n (z − z 0 ) n = C(z),+∞∑n=−∞b n (z − z 0 ) n =

10 Konvoluce jako ITkde koeficienty c n jsou porovnáním koeficientů u stejných mocnin (z − z 0 ) n dányvztahemc n =+∞∑k=−∞a n−k b k , n ∈ Z. (2.3)Definice 2.4. Nechť {a n } +∞n=−∞ , {b n} +∞n=−∞jsou posloupnosti. Posloupnost{c n } +∞n=−∞určenou vztahem (2.3) nazveme konvolucí dvou posloupností{a n } +∞n=−∞ , {b n} +∞n=−∞ a zapisujeme ji {c n} +∞n=−∞ = {(a ⋆ b) n} +∞n=−∞ .Poznámka 2.5. Posloupnost {c n } +∞n=−∞ , která je konvolucí posloupností {a n} +∞n=−∞ ,{b n } +∞n=−∞, má za obraz C(z), který se rovná součinu obrazů příslušných posloupnostíA(z), B(z), tj. C(z) = A(z)B(z).Poznámka 2.6. Redukuje-li se Laurentova řada na svou regulární část, tzv. Taylorovuřadu se středem v bodě z 0 = 0 a konvergentní na množině M = {z ∈ C : |z| < r 2 }f(z) =+∞∑n=0a n z n = A(z), g(z) =+∞∑n=0b n z n = B(z),pak součin těchto řad, obraz konvoluce posloupností {a n } +∞n=0 , {b n} +∞n=0 , budeh(z) = f(z)g(z) = A(z)B(z) =kde koeficienty c n jsou dány vztahem+∞∑n=0a n z n .+∞∑n=0b n z n =+∞∑n=0c n z n = C(z),c n =+∞∑k=0a n−k b k , n − k ≧ 0, n = 0, 1, 2, .... (2.4)Tentýž vztah určuje konvoluci posloupností {a n } +∞n=0 , {b n} +∞n=0, jejichž obrazy A(z), B(z)jsou bez absolutního členu hlavními částmi Laurentových rozvojů se středem v boděz 0 = 0 a konvergentní na množině M = {z ∈ C : r 1 < |z|} (viz. jednostranná Z--transformace)f(z) =+∞∑n=0h(z) =a n z −n = A(z), g(z) =+∞∑n=0+∞∑n=0b n z −n = B(z),c n z −n = A(z)B(z) = C(z).

2.3 Konvoluce vektorů 112.3 Konvoluce vektorůDefinice 2.7. Nechť vektor a má N 1 složek (a 0 , ..., a N1 −1) T , vektor b má N 2 složek(b 0 , ..., b N2 −1) T , pak vektor c mající N 1 + N 2 − 1 složek (c 0 , ..., c N1 +N 2 −1) T , kterévypočteme jakoc n =n∑a k b n−k =k=0n∑a n−k b k , n − k ≧ 0, n = 0, 1, ..., N 1 + N 2 − 1 (2.5)k=0nazveme konvolucí vektorů a a b.Poznámka 2.8. Nechť a, b, c jsou sloupcové vektory. Konvoluci vektorů a a b lzevyjádřit maticověc = a ⋆ b = M A b = M B a,kde matice M A řádu (N 1 + N 2 − 1, N 2 ) je tvořená komponentami vektoru a, maticeM B řádu (N 1 + N 2 − 1, N 1 ) je tvořená komponentami vektoru b:⎡M A =⎢⎣⎤ ⎡a 0 0 0 0 · · · 0a 1 a 0 0 0 · · · 0a 2 a 1 a 0 0 · · · 0. . . . . ., M B =a N1 −1 a N1 −2 · · · a 1 a 0 0⎥ ⎢0 a N1 −1 · · · a 2 a 1 a 0 ⎦ ⎣......⎤b 0 0 0 0 · · · 0b 1 b 0 0 0 · · · 0b 2 b 1 b 0 0 · · · 0. . . . . ..b N2 −1 b N2 −2 · · · b 1 b 0 0⎥0 b N2 −1 · · · b 2 b 1 b 0 ⎦Vektor a často reprezentuje vstupní signál, c výstupní signál a b diskrétní časovoucharakteristiku zvanou diskrétní filtr, ze kterého většinou sestavujeme matici M Bpro její výpočet c = M B a.Diskrétní dekonvoluci, tj. nalezení vstupu a při zadaném filtru b a výstupu -konvoluci c, nelze vyjádřit ve tvaru a = c ⋆ b, nýbrž v maticovém tvaru a = M −1B c.Příklad 2.9. Nechť vektor a má N 1 = 8 složek (1, 3, 6, 2, 7, 8, 4, 5) T a vektor bmá N 2 = 3 složky (6, 1, 3) T , pak konvoluce c bude mít 8 + 3 − 1 = 10 složek(6, 19, 42, 27, 62, 61, 53, 58, 17, 15) T .Poznámka 2.10. V případě výpočtu pomocí periodické (cyklické) konvoluce upravímeoba vektory na stejnou délku N ≧ N 1 + N 2 − 1 vložením nula n ={an , n = 0, 1, ..., N 1 − 10, n = N 1 , N 1 + 1, ..., N − 1 , b n ={bn , n = 0, 1, ..., N 2 − 10, n = N 2 , N 2 + 1, ..., N − 1 .......

12 Konvoluce jako ITObr. 2.1Princip dvourozměrné konvoluce [10]2.4 Konvoluce dvourozměrných vektorůDiskrétní 2D konvoluce c = a ⋆ b využívaná při zpracování dvourozměrného obrazuv počítačové grafice má tvarc m,n =k∑i=−k j=−kk∑a m−i,n−j b i,j .Jádro b lze chápat jako konvoluční masku, kterou pokládáme na příslušná místav obrazu. Každý pixel překrytý touto maskou vynásobíme koeficientem v příslušnébuňce a provedeme sečtení všech těchto hodnot, výsledek uložíme do jednoho novéhopixelu, který je jakýmsi váženým průměrem okolních pixelů, viz. obr. 2.1 [10].Speciální konvoluční masky mohou sloužit k rozostření obrazu (Gaussovskémuzašumění), jeho zaostření (filtraci) či detekci hran (maska aproximuje derivaci):⎡b filt1 = 1 ⎣91 1 11 1 11 1 1⎤b gauss = 1159⎡⎢⎣⎡⎦ , b filt2 = 1 ⎣162 4 5 4 24 9 12 9 45 12 15 12 54 9 12 9 42 4 5 4 21 2 12 4 21 2 1⎤⎤⎥⎦ ,⎦ , b filt3 = 1256⎡⎢⎣1 4 6 4 14 16 24 16 46 24 36 24 64 16 24 16 41 4 6 4 1⎤⎥⎦ ,

2.4 Konvoluce dvourozměrných vektorů 13abcdTab. 2.1Obrázek originální(a), zašuměný(c), odšuměný(d) a s detekovanými hranami(b)⎡b edge1 = ⎣0 1 01 −4 10 1 0⎤⎡⎦ , b edge2 = ⎣1 1 11 −8 11 1 1Příklad 2.11. Na obrázku 2.1-a závodní Tatry demonstrujte efekt výše uvedenýchkonvolučních masek.⎤⎦ .Řešení. Je na obrázku 2.1-b,c,d.Cvičení 2.12. Načtěte si do Matlabu svůj obrázek a proveďte jeho Gaussovskézašumění, filtraci a detekci hran pomocí výše uvedených masek a nahraďte Matlabovskoufunkci conv2() Vaší implementací 2D konvoluce.

14 Konvoluce jako ITAlgoritmus 2.1 konvoluce2d.m----------------------Gauss.zasumeni --------------------------a=imread(’Tatra.jpg’);b=[2 4 5 4 2; 4 9 12 9 4; 5 12 15 12 5; 4 9 12 9 4; 2 4 6 4 2]/159;c(:,:,1)=conv2(a(:,:,1),b);c(:,:,2)=conv2(a(:,:,2),b);c(:,:,3)=conv2(a(:,:,3),b);for k=1:size(c,3)for j=1:size(c,2)for i=1:size(c,1)c(i,j,k)=double(c(i,j,k))*195/255+120*(rand(1,1)-0.5);endendendimwrite(c,’TatraGauss.jpg’,’Quality’,100);------------------------Filtrace-------------------------------a=c;%b=[1 1 1; 1 1 1; 1 1 1]/9;%b=[1 2 1; 2 4 2; 1 2 1]/16;b=[1 4 6 4 1; 4 16 24 16 4; 6 24 36 24 6; 4 16 24 16 4; 1 4 6 4 1]/256;c(:,:,1)=conv2(a(:,:,1),b);c(:,:,2)=conv2(a(:,:,2),b);c(:,:,3)=conv2(a(:,:,3),b);imwrite(c,’TatraFilt.jpg’,’Quality’,100);-----------------------Detekce hran----------------------------a=imread(’Tatra.jpg’);b=[0 1 0; 1 -4 1; 0 1 0];%b=[1 1 1; 1 -8 1; 1 1 1];c(:,:,1)=conv2(a(:,:,1),b);c(:,:,2)=conv2(a(:,:,2),b);c(:,:,3)=conv2(a(:,:,3),b);imwrite(c,’TatraEdge.jpg’,’Quality’,100);

15Kapitola 3Diskrétní ortonormální systémy,zobecněná diskrétní Fourierovatransformace3.1 Rademacherův systémDefinice 3.1. Rademacherova ortogonální soustava je posloupnost funkcí{r n (x)} ∞ n=0 ∈ L2 (0, 1) definovaná na intervalu x ∈ [0, 1]:{+1 pro k−1 < x < k , k je liché2r n (x) =n 2 n−1 pro k−1 < x < k , k je sudé , k = 1, 2, . . . , 2n .2 n 2 nS vyjímkou bodů x = k2 n pro tuto soustavu platí vztah: r n (x) = sgn sin(2 n πx).Podělíme-li každou funkci r n (x) hodnotou ‖r n (x)‖, získáme soustavu ortonormální.Konstrukce: Rozdělíme interval x ∈ [0, 1] na N = 2 n stejných dílků, v příslušnýchdílčích intervalech položíme r n (x) střídavě rovno +1 a -1.Definice 3.2. Diskrétní Rademacherův ortogonální systém v l 2 (N), N = 2 m jetvořenr 0 = 1, {r n } m n=1 , r n = [−1] p m−n+1,kde p k jsou vektory tvořeny koeficienty p k z dvojkového rozkladu číslaz =m ∑k=1p k 2 k−1 , kde z = 0, 1, 2, . . . , N − 1. Podělíme-li každý vektor r n hodnotou√ N, získáme soustavu ortonormální.

16 Diskrétní ortonormální systémy, zobecněná diskrétní Fourierova transformacez p 3 p 2 p 1 r 0 r 1 r 2 r 30 0 0 0 1 1 1 11 0 0 1 1 1 1 -12 0 1 0 1 1 -1 13 0 1 1 1 1 -1 -14 1 0 0 1 -1 1 15 1 0 1 1 -1 1 -16 1 1 0 1 -1 -1 17 1 1 1 1 -1 -1 -1Mocn. 2 2 2 1 2 0Tab. 3.1Rademacherova bázeAlgoritmus 3.1 rad.mfunction [R,P]=rad(n)P=[];N=2^n;for i=0:N-1p=dec2bin(i,n);P(:,i+1)=bin2dec(p’);endP=[zeros(1,N);P];R=(-1).^P;Pro N = 8 pak získáme ortonormální bázi⎡M R = √ 1⎢N⎣r T 0r T 1r T 2r T 3⎤ ⎡⎥⎦ = √ 1⎢8 ⎣1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 −1 −1 −1 −11 1 −1 −1 1 1 −1 −11 −1 1 −1 1 −1 1 −1⎤⎥⎦ .Rademacherova soustava je tvořena stochasticky nezávislými funkcemi a v důsledkusvé jednoducosti je velice rozšířená a používá se v teorii pravděpodobnostipři analýze náhodných procesů. Velkou výhodou této báze je, že index řádku maticesouvisí s počtem nulových bodů v řádku, tj. 2 m − 1.

3.2 Walshův (Walsh-Paleyho) systém 17Obr. 3.1Grafická reprezentace ortogonální Rademacherovy báze3.2 Walshův (Walsh-Paleyho) systémDefinice 3.3. Diskrétní Walshův ortogonální systém v l 2 (N), N = 2 m je tvořensoučinem Rademacherových funkcí{W n } N−1n=0 , W n =m∏[r n ] pn ,∑kde p k jsou určeny z dvojkového rozkladu čísla z = m p k 2 k−1 , p 0 = 0, kdez = 0, 1, 2, . . . , N − 1. Podělíme-li každý vektor W n hodnotou √ N, získáme soustavuortonormální.Walshova báze M W je tvořena vektory W n , pro N = 8 tedy obdržíme ortonormálnímaticin=0k=1⎡M W = √ 1N ⎢⎣W T 0W T 1W T 2W T 3W T 4W T 5W T 6W T 7⎤ ⎡= √ 18 ⎥ ⎢⎦ ⎣1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 −1 −1 −1 −11 1 −1 −1 1 1 −1 −11 1 −1 −1 −1 −1 1 11 −1 1 −1 1 −1 1 −11 −1 1 −1 −1 1 −1 11 −1 −1 1 1 −1 −1 11 −1 −1 1 −1 1 1 −1⎤.⎥⎦

18 Diskrétní ortonormální systémy, zobecněná diskrétní Fourierova transformaceIndex bodu Dvojkový rozkladz p 3 p 2 p 1 r p 00 r p 11 r p 22 r p 33 W n (x)0 0 0 0 1 1 1 1 11 0 0 1 1 r 1 1 1 r 12 0 1 0 1 1 r 2 1 r 23 0 1 1 1 r 1 r 2 1 r 1 r 24 1 0 0 1 1 1 r 3 r 35 1 0 1 1 r 1 1 r 3 r 1 r 36 1 1 0 1 1 r 2 r 3 r 2 r 37 1 1 1 1 r 1 r 2 r 3 r 1 r 2 r 3Algoritmus 3.2 walsh.mfunction [W,P]=walsh(n)N=2^n;[R,P]=rad(n);P=flipud(P);P=[P(size(P,1),:)P(1:size(P,1)-1,:)];Tab. 3.2Walshova báze pro N = 2 m = 8W=ones(N,N);for i=1:Nfor j=1:size(P,1)W(i,:)=W(i,:).*(R(j,:).^P(j,i));endendVýhodou této báze je, že je úplná, nevýhodou však je, že index řádku nekorespondujes počtem nulových bodů, což ztěžuje její využití při analýze náhodných procesů.3.3 Walshův modifikovaný systémDefinice 3.4. Diskrétní Walshova modifikovaná báze vznikne rekurentně z diskrétníWalshovy báze přeuspořádáním podle vzorce˜W n = ˜W 2j+p = W j + (−1) j+p W j , p = 0, 1; j = 0, 1, . . . , k; N = 2 k .Pro N = 8 modifikovaný ortonormální Walshův systém vypadá následovně

3.4 Haarův systém 19Algoritmus 3.3 walshm.mfunction [Wm]=walshm(n)N=2^n;[W,P]=walsh(n);for i=1:size(W,2)-1S(:,i)=W(:,i)+W(:,i+1);endfor i=1:NZ(i)=N-nnz(S(i,:));endfor i=1:NWm(i,:)=W(Z==i,:);end⎡M˜W = √ 1N ⎢⎣˜W T 0˜W T 1˜W T 2˜W T 3˜W T 4˜W T 5˜W T 6˜W T 7⎤⎡= 1√ 8 ⎢⎥ ⎣⎦1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 −1 −1 −1 −11 1 −1 −1 −1 −1 1 11 1 −1 −1 1 1 −1 −11 −1 −1 1 1 −1 −1 11 −1 −1 1 −1 1 1 −11 −1 1 −1 −1 1 −1 11 −1 1 −1 1 −1 1 −1⎤.⎥⎦3.4 Haarův systémDefinice 3.5. Haarův ortonormální systém{h n (x)} ∞ n=0 ∈ L2 (0, 1) je definován naintervalu x ∈ [0, 1] :⎧√ 2k−2⎪⎨ 2m , < x < 2k−12 m+1 2 m+1h n (x) = h mk (x) = − √ 2⎪⎩m 2k−1, < x < 2k ,2 m+1 2 m+10 pro jiná x ∈ [0, 1]n = 2 m + k, m = 0, 1, 2, . . . , k = 1, 2, . . . , 2 m .

20 Diskrétní ortonormální systémy, zobecněná diskrétní Fourierova transformaceAlgoritmus 3.4 haar.mfunction [H]=haar(n)N=2^n;k=1/N;H=zeros(N);H(1,:)=1;x=k/2:k:(1-k/2);for m=0:n-1for k=1:2^mH(2^m+k,:)=sqrt(2^m)*(((2*k-2)/(2^(m+1))

3.5 Diskrétní zobecněná FŘ a zobecněná DFT 21Obr. 3.2Grafická reprezentace ortogonální Haarovy báze

22 Diskrétní ortonormální systémy, zobecněná diskrétní Fourierova transformaceDůkaz. Zřejmý, plyne z ortonormality {ϕ n } N−1n=0 ∥ :N−1 ∑ ∥∥∥2 〈 N−1〉∑∥ a n ϕ n = a n ϕ n , N−1 ∑a n ϕ n = N−1 ∑|a n | 2 < ∞.n=0n=0n=0n=0Věta 3.8. Nechť {ϕ n } N−1n=0 je ortonormální bází prostoru l2 (N), N ∈ N, pak každýprvek f ∈ l 2 (N) lze rozvinout v konvergentní konečnou řadu zvanou diskrétnízobecněná FŘf =N−1∑n=0c n ϕ n , kde c n = 〈f, ϕ n 〉, (3.1)vektor c koeficientů c n nazveme zobecněnou DFT vektoru f. Tento mnohočlens Fourierovskými koeficinety má ze všech mnohočlenů v bázi {ϕ n } N−1n=0nejmenšístřední kvadratickou odchylku od f, tj. je nejlepší aproximací funkce f v normě l 2∥ N−1∥ f − ∑ ∥∥∥∥c n ϕ n = min∀a nn=0∥ ∥∥∥∥f −N−1∑n=0a n ϕ n∥ ∥∥∥∥.Důkaz.− N−1 ∑n=0∥ ∥ f − N−1 ∑ ∥∥∥2 〈a n ϕ n = (f − N−1 ∑n=0n=0a n ϕ n ), (f − N−1 ∑n=0a n 〈ϕ n , f〉 + N−1 ∑|a n | 2 〈ϕ n , ϕ n 〉 = 〈f, f〉 − 2 N−1 ∑n=0= ‖f‖ 2 + N−1 ∑|c n | 2 − 2 N−1 ∑n=0n=0a n c n + N−1 ∑n=0= ‖f‖ 2 + N−1 ∑(a n − c n ) 2 − N−1 ∑|c n | 2 .n=0n=0|a n | 2 − N−1 ∑n=0n=0〉a n ϕ n )|c n | 2 =Minima je dosaženo pro a n = c n , tj. N−1 ∑(a n − c n ) 2 = 0, pakmin∀a n∥ ∥∥∥f − N−1 ∑n=0a n ϕ n∥ ∥∥∥2= ‖f‖ 2 − N−1 ∑n=0n=0= 〈f, f〉− N−1 ∑a n 〈f, ϕ n 〉 + N−1 ∑|c n | 2 ≧ 0 ⇒ ‖f‖ 2 ≧ N−1 ∑nerovnost přecházející při N → ∞ v Parsevalovu rovnost ‖f‖ 2 ∑= ∞ |c n | 2 .n=0n=0n=0n=0|a n | 2 =a n 〈f, ϕ n 〉|c n | 2 ...Besselova

3.5 Diskrétní zobecněná FŘ a zobecněná DFT 23n 0 1 2 3 4 5 6 7f = M −1 c 3 1 6 2 3 7 9 5c W alsh 36 -12 -8 0 6 6 -10 6c MW alsh 36 -12 0 -8 -10 6 6 6c Haar 36 -12 -4 √ 2 -4 √ 2 4 8 -8 8Tab. 3.3Zobecněné DFTDefinice 3.9. Nechť {ϕ n } N−1n=0 tvoří ortonormální bázi l2 (N), N ∈ N (Walshovu,modifikovanou Walshovu, Haarovu, Fourierovu) a f ∈ l 2 (N). Pak přímá zobecněnáDFT je definována maticově vztahema zpětná zobecněná DFTc = F = Mf (3.2)f = M −1 F = M −1 c, (3.3)kde n + 1. řádek (indexováno od 1) transformační matice M je tvořen hodnotamiϕ n . Navíc platí, že M −1 = M T .Poznámka 3.10. Spočtením součinu matice a vektoru se vyčíslí N skalárníchsoučinů - v případě diskrétního ortonormálního systému 〈f, ϕ n 〉 = N−1 ∑f k ϕ n,k vektorůf, ϕ n z l 2 (N) odpovídajících skalárním součinům 〈f(t), ϕ n (t)〉 = ∫ I f(t)ϕ n(t)dtfunkce f(t) a funkce úplného ortonormálního systému ϕ n (t) z L 2 (I).Příklad 3.11. Zvolme vektor o 8 složkách f = (3, 1, 6, 2, 3, 7, 9, 5) T . Najděte jehoWalshovu, modifikovanou Walshovu a Haarovu transformaci.Řešení. Postupně vytvoříme jednotlivé transformační matice M (Walshovu M = M W ,modifik. Walshovu M = M˜W , Haarovu M = M H) a provedeme transformaci c = Mfa inverzní transformaci f = M −1 c = M T c, viz. Tab. 3.3.Poznámka 3.12. Rademacherova soustava tvoří neúplný systém, pak výpočet koeficientůa rekonstrukce funkce je neúplná. V dalším textu budeme uvažovat jenúplné ortonormální báze.k=0Cvičení 3.13. Vygenerujte si signál, spočtěte jeho Walshovu, modifikovanou Walshovu,Haarovu a Fourierovu transformaci, koeficienty zašuměte a analyzujte filtračníúčinek Tichonovovy regularizace v závislosti na parametrech α a e. ZáklademVám budiž Algoritmus 3.5.

24 Diskrétní ortonormální systémy, zobecněná diskrétní Fourierova transformaceAlgoritmus 3.5 transform.mn=input(’Zadej n pro 2^n bodu:’);N=2^n;T=input(’Zadej transformaci: ’);if(T==’R’) M=rad(n); endif(T==’W’) M=walsh(n); endif(T==’Wm’) M=walshm(n); endif(T==’H’) M=haar(n); endif(T==’F’) M=four(n); end% Vygenerovani vektorux1=0*pi:2*pi/N:2*pi; x2=2*pi:2*pi/N:4*pi; x3=4*pi:2*pi/N:6*pi;f=sin([x1 x2 x3])’; f=f(1:N);% f=[sin(13*x1)+0.8*sin(23*x1)+0.6*sin(33*x1)% sin(13*x2)+0.8*sin(23*x2)+0.6*sin(33*x2)% sin(13*x3)+0.8*sin(23*x3)+0.6*sin(33*x3)]’;% f=[sin(13*x1) 0.8*sin(23*x2) 0.6*sin(33*x3)]’;figure; plot(f); title(’Signal’)% Transformacec=M*f;figure; plot(abs(c(1:N))); title(’Spektrum’)% Porovnani s fftcf=fft(f);figure; plot(abs(cf(1:N))); title(’Spektrum-fft’)% Zaneseni 10-procentni chybycerr=c+0.1*max(abs(c))*(rand(N,1)-0.5);figure; plot(abs(cerr(1:N))); title(’Spektrum zatiz. chybou’)% Zpetna transformace(rekonstrukce) chybou zatiz. koef.ferr=M’*cerr;figure; plot(real(ferr)); title(’Signal-chyb. koef.’)% Tichonovova regularizacee=2;for i=1:Nalfa=0.01; creg1(i,1)=(cerr(i,1))/(1+alfa*(i^e));alfa=0.001; creg2(i,1)=(cerr(i,1))/(1+alfa*(i^e));alfa=0.0001; creg3(i,1)=(cerr(i,1))/(1+alfa*(i^e));endfreg1=M’*creg1; freg2=M’*creg2; freg3=M’*creg3;figure; plot(real(freg1)); title(’Signal-freg1’);figure; plot(real(freg2)); title(’Signal-freg2’);figure; plot(real(freg3)); title(’Signal-freg3’);

25Kapitola 4Diskrétní Fourierova transformace(DFT) a její rychlá verze (FFT)4.1 Připomenutí spojité FTSpojitá přímá a zpětná FT F (ω) funkce f(t) , která byla publikována JosephemFourierem r. 1822 v Paříži, jsou dány formulemiF (ω) = ̂f(ω) = √ 1 ∫ +∞f(t)e −iωt dt, (4.1)2π−∞f(t) = √ 1 ∫ +∞F (ω)e iωt dω. (4.2)2π−∞Tyto vztahy lze odvodit z Fourierovy řady skrz limitní proces zvětšování periodyT → ∞, což umožní využít tuto metodu i pro neperiodické signály. Co se požadavkůkladených na funkci f(t) pro FT týče, stačí její absolutní integrovatelnostnebo její rozvinutelnost ve FŘ na každém intervalu [a, b] dána tzv. Dirichletovýmipodmínkami. Integrál pak vyjadřuje funkci f(t) ve všech bodech spojitosti. Obecněvšak FT může existovat k funkcím, které uvedené podmínky nesplňují, a dokoncei k distribucím (regulárním, temperovaným).4.2 DFTV sekci 1.2 byl zmíněn obecný pohled na IT a DT (jakožto konečnou diskretizaciIT). V této sekci probereme detailně nejrozšířenější a nejpoužívanější z nich a toDFT. Většina vlastností spojité FT platí po nahrazení integrálů sumami i pro DFT.

26 Diskrétní Fourierova transformace (DFT) a její rychlá verze (FFT)Definice 4.1. Nechť f = (f 0 , f 1 , ..., f N−1 ) T ∈ l 2 (N) a systém{ϕn = (ϕ n,0 , ϕ n,1 , ..., ϕ n,N−1 ) } T N−1, ϕ n=0 n,k = √ 1Ne i 2π N nk tvoří ortonormální báziprostoru l 2 (N). Přímá DFT (klasická, trigonometrická) vektoru f jedefinována jako vektor c =(c 0 , c 1 , ..., c N−1 ) T , jehož n-tá komponenta (koeficientn-té harmonické) je dána vztahemc n = 〈f, ϕ n 〉 =N−1∑k=0f k1√Ne −i 2π N nk = 1N−1∑√ f k e −i 2π N nk (4.3)Na zpětná DFT vektoru c je definována jako vektor f, jehož n-tá komponenta jedána vztahemN−1∑ 1f n = c k √ e i 2π N nk = 1N−1∑√ c k e i 2π N nk . (4.4)N Nk=0k=0k=0Poznámka 4.2. DFT je vlastně numerický výpočet koeficientů FŘ obdélníkovoumetodou při ekvidistantním vzorkování.Definice 4.3. Nechť c je DFT signálu f. Posloupnost |c n | nazveme Fourierovskýmamplitudovým spektrem a posloupnost arg c n , n = 0, 1, ..., N − 1 Fourierovskýmspektrem fázovým.Poznámka 4.4. Ze vztahu (4.3) můžeme určit pouze N hodnot spektra, neboť√1Ne i 2π N nk je periodická s periodou N. Pomocí DFT tedy získáme vektor o N složkáchnebo periodickou nekonečnou posloupnost.Navíc spektra vektoru f = (f 0 , f 1 , ..., f N−1 ) T a funkce f(t) ={fk , t = kT0, t ≠ kT jsourozdílná, to první obsahuje N členů, to druhé nekonečně mnoho, přičemž prvních Nse shoduje s N složkami spektra prvního.Označíme-li w = e −i 2π Npro různá n a k:⎡M F = √ 1N ⎢⎣a e −i 2π N nk = w nk , pak transformační matice M F má tvar⎤w 0 w 0 w 0 . . . w 0w 0 w 1 w 2 . . . w N−1w 0 w 2 w 4 . . . w 2(N−1)⎥. . . . . ⎦w 0 w N−1 w 2(N−1) . . . w (N−1)(N−1)M F je tvořená ortonormální soustavou funkcí na intervalu [0, (N − 1)△t], kde△t = t k+1 − t k . Přímá DFT je pak dána vztahem:F = M F f (4.5),

4.3 Vlastnosti matice M F 27Algorithm 4.1 four.mfunction [F]=four(n)N=2^n;w=exp(2i*pi/N);for i=1:Nfor j=1:NF(i,j)=w^((i-1)*(j-1));endendF=F/sqrt(N);a zpětná DFT:f = M F −1 F = M F T F. (4.6)Cvičení 4.5. Vyberte si spojitou funkci (např. obdélníkovou funkci), k níž snadnonaleznete spojitou FT. Analyzujte vliv diskretizace funkce v kombinaci s užitímspojité FT a vliv diskretizace funkce v kombinaci s užitím diskrétní FT (DFT) naFourierovské spektrum. Jaký vliv má volba vzorkovací frekvence 1 na jeho tvar?T4.3 Vlastnosti matice M F1. M F je regulární, symetrická, tj. ∃M F −1 : M F M F −1 = M F −1 M F = I, M F = M F T .2. M F −1 lze vyjádřit pomocí vztahu M F −1 = M F ∗ , w kn = w ∗ nk = w nk.3. M F je unitární tj. ( M FT ) ∗= MF −1 .4. k-tý řádek w k = 1 √N(w 0 , w k , w 2k , . . . , w (N−1)k) , k = 2, 3, ..., N−1 je 1 √Nnásobkemk-té mocniny vektoru √ Nw 1 = ( w 0 , w 1 , w 2 , . . . , w N−1) tvořícího druhýřádek M F .5. Prvky w k , k = 0, 1, 2, . . . , N − 1 jsou kořeny rovnice z N − 1 = 0. Číslaz = w k = e − 2π N{ki leží v komplexní rovině na kružnici o poloměru 1 a platíN−1 ∑w kn N pro n = 0=0 pro n ≠ 0 , a ∏ N−1k=0 wkn = −(−1) n = (−1) n+1 .k=06. Pro n = N 2 , k = 0, 1, ..., N −1 resp. k = N 2 , n = 0, 1, ..., N −1 platí, že nk = N 2 kresp. nk = n N 2 , pak wkn = e −i 2π N k N 2 = e −iπk = (−1) k resp. w kn = e −i 2π N n N 2 = e −iπn = (−1) n

28 Diskrétní Fourierova transformace (DFT) a její rychlá verze (FFT)Obr. 4.1Komponenty báze DFT7. Funkce w kn je periodická s periodou mN, m ∈ Z tzn., žew kn+mN = e −i 2π N (kn+mN) = e −i 2π N kn e −i 2π N mN = e −i 2π N kn .1 = w kn .8. M F je permutační periodická matice 4. stupně: M F 2 = P, M F 4 = I, kde Pje permutační matice řádu N a PP = I.Příklad 4.6. Nechť f = (1, 3, 6, 2, 7, 8, 4, 5) T . Nalezni DFT signálu f a ověř jednoznačnosttransformace zpětnou DFT.Řešení.w 0 = 1 = −w 4 ,√2w 1 =2 (1−i) = −w5 , w 2 = −i = −w 6 ,√2w 3 = − (1+i) = −w72(w 0 , w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 , w 7) = ( 1, w 1 , w 2 , w 3 , −1, −w 1 , −w 2 , −w 3)Ortonormální transformační matice pro N = 8 je⎡⎤1 1 1 1 1 1 1 11 w 1 w 2 w 3 −1 −w 1 −w 2 −w 3M F = √ 11 w 2 −1 −w 2 1 w 2 −1 −w 21 w 3 −w 2 w 1 −1 −w 3 w 2 −w 18 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1.⎢ 1 −w 1 w 2 −w 3 −1 w 1 −w 2 w 3⎥⎣ 1 −w 2 −1 w 2 1 −w 2 −1 w 2 ⎦1 −w 3 −w 2 −w 1 −1 w 3 w 2 w 1

4.4 Dvoustranná DFT 29f 1 (t) = sin(13t)f 2 (t) = 0.8sin(23t)f 3 (t) = 0.6sin(33t)f(t) = f 1 (t) + f 2 (t) + f 3 (t),t ∈ 〈0, 6π〉21.5f 1 (t) = sin(13t)f 2 (t) = 0.8sin(23t)f 3 ⎧(t) = 0.6sin(33t)⎨ f 1 (t), t ∈ 〈0, 2π〉f(t) = f 2 (t), t ∈ 〈2π, 4π〉⎩f 3 (t), t ∈ 〈4π, 6π〉10.80.6⎧⎨f(t) =⎩21.5f 1 (t) = sin(13t)f 2 (t) = 0.8sin(23t)f 3 (t) = 0.6sin(33t)f 1 (t), t ∈ 〈0, 2π〉f 1 (t) + f 2 (t), t ∈ 〈2π, 4π〉f 1 (t) + f 2 (t) + f 3 (t), t ∈ 〈4π, 6π〉10.410.50.20.5000−0.5−0.2−0.5−1−0.4−1−1.5−20 50 100 150 200 250 300−0.6−0.8−10 50 100 150 200 250 300−1.5−20 50 100 150 200 250 30014045140120401201003530100802580602060402015105402000 50 100 15000 50 100 15000 50 100 150Obr. 4.2Ukázka funkcí majících stejná amplitudová Fourierovská spektraPřímá DFT a zpětná DFT je⎡F = M F f = √ 18 ⎢⎣36−7, 4142 + 3, 6569i−2 − 4i−4, 5858 + 7, 6569i0−4, 5858 − 7, 6569i−2 + 4i−7, 4142 − 3, 6569i⎤⎡, f = M T FF =⎥⎢⎦⎣13627845⎤.⎥⎦Druhá polovina vektoru F je komplexně sdružená k té první.Příklad 4.7. DFT nám poskytuje informaci pouze o zastoupených harmonickýcha jejich amplitudách - tzn. pro tři odlišné funkce obsahující stejné frekvence, alerůzně lokalizované v čase, obdržíme identické amplitudové spektrum viz. obr. 4.2.Lokalizaci jak v časové, tak ve frekvenční oblasti pak umožnuje okenní FT (WFT)nebo waveletová transformace (WT) - viz. následující kapitoly.4.4 Dvoustranná DFTPoznámka 4.8. Někdy se můžeme setkat s dvoustrannou DFT definovanou

30 Diskrétní Fourierova transformace (DFT) a její rychlá verze (FFT)N2∑ 1ˆf n = c n = f k √ e −i 2π N nk resp. ˆfn = c n =Nk=− N 2 +1N−12∑k=− N−12f k1√Ne −i 2π N nkv závislosti na tom, zda celkový počet vstupních hodnot N funkce f je sudý (pakk = − N + 1, . . . , N , n = − N + 1, . . . , N N−1) resp. lichý (pak k = − , . . . , N−1,2 2 2 2 2 2n = − N−1,. . . , N−1).2 24.5 Dvourozměrná DFTDefinice 4.9. Nechť Ω ⊂ R D , D ∈ N, x ∈ Ω a nechť {ϕ n (x)} ∀n, ϕ n (x) ∈ L 2 (Ω)tvoří úplný ortonormální systém. Pak pro každou funkci f(x) ∈ L 2 (Ω) existujena množině Ω jednoznačný rozvoj v konvergentí řadu (v normě L 2 )f(x) =∞∑n=−∞∫c n ϕ n (x), kde c n = 〈f, ϕ n 〉 =∫... f(x)ϕ n (x)dx 1 ...dx D .x∈ΩTuto řadu nazveme D- rozměrnou zobecněnou FŘ. Numerický výpočet c n pakvede na D−rozměrnou zobecněnou DFT.Příklad 4.10. Např. pro D = 2, index n ∈ Z∫∫c n = 〈f, ϕ n 〉 = f(x 1 , x 2 )ϕ n (x 1 , x 2 )dx 1 dx 2 =∫∫f(x, y)ϕ n (x, y)dxdy.(x 1 ,x 2 )∈Ω(x,y)∈ΩPro funkce ϕ n (x, y) = ϕ uv (x, y) = 1‖Ω‖ ei(ux+vy) obdržíme klasickou dvourozměrnouFŘ.Definice 4.11. Nechť Ω je obdélník diskretizován v matici R M×N ,f, ϕ n = ϕ uv = √ 1kui2π(MNe M + lv N ) ∈ l 2 (M × N), kde k = 0, 1, ..., M − 1 je tzv.řádkový index charakterizující první proměnnou, l = 0, 1, ..., N − 1 je tzv. sloupcovýindex charakterizující druhou proměnnou a n = 0, 1, ..., (M − 1)(N − 1). Pakdvourozměrná DFT je definována jako matice c ∈ R M×N , jejíž prvky c n jsoudány vztahemc n = 〈f, ϕ n 〉 = ˆf uv =N−1∑l=0M−1∑k=01ku−2πi(f kl √ e M + lv N ) = 1MNN−1∑√MNl=0M−1∑kde řádkový index u = 0, 1, ..., M − 1 a sloupcový index v = 0, 1, ..., N − 1.k=0ku−2πi(f kl e M + lv N ) ,

4.6 Rychlá DFT - FFT 31Obr. 4.3Dvourozměrná DFT - amplitudové spektrum R složky obrazu 2.1aPoznámka 4.12. Výpočet dvourozměrné DFT lze provést ve dvou krocích:1. jednorozměrná DFT řádků matice f: fM T FN =(M FNf T ) T2. jednorozměrná DFT sloupců vzniklých po 1. kroku: M FM fM T FN ,nebo v opačném pořadí.Výslednou dvourozměrnou DFT můžeme tedy psát ve tvaruc = M FM fM T FN = M FM (fM T FN) = (M FM f)M T FN,nezávislost na pořadí transformací plyne z asociativity násobení matic.Příklad 4.13. Aplikujte dvourozměrnou DFT na R-složku obrazu 2.1a.Řešení. Amplitudové Fourierovské spektrum je vykresleno na obrázku 4.3.4.6 Rychlá DFT - FFTVýpočet DFT mající za vstup i výstup vektor hodnot dle vztahu (4.5) není propraktické úlohy příliš vhodný zejména pro svou značnou časovou náročnost rostoucíse čtvercem délky vektorů, tj. O(N 2 ). Výpočet n-té složky DFT vektoru délky Nje srovnatelný s vyčíslením hodnoty polynomu stupně N − 1 v bodě e −i 2π N n . I přespoužití optimálního Hornerova schématu je potřeba 2N(N − 1)∼ N 2 operací. Tentofakt vedl k vypracování algoritmu založeného na „pěkných“ vlastnostech diskrétníchexponenciálních funkcí a redukujícího výrazným způsobem výpočetní dobu skrz minimalizacipočtu násobení a to navíc komplexních čísel - tzv. FFT algoritmus (FastFourier Transform).

32 Diskrétní Fourierova transformace (DFT) a její rychlá verze (FFT)Algoritmus FFT byl publikován 1965 J. W. Cooleyem a J. W. Tukeyem podnázvem „Butterfly“ (motýlek) nebo též „Splitting method“ pro počet vstupníchhodnot N = 2 m , m ∈ N. Vyjděme z DFT dané vztahemF n = √ 1N−1∑f k e −i 2π N nk = 1N−1∑√ f k w nk , w = w N = e −i 2π N .N Nk=0Rozdělením vektoru f = (f 0 , f 1 , ..., f N−1 ) T majícího N složek na 2 vektory o N složkáchy = (f 0 , f 2 , ..., f N−2 ) T a z = (f 1 , f 3 , ..., f N−1 ) T a to tím způsobem že vezmeme2členy se sudým indexem y k = f 2k a členy s lichým indexem z k = f 2k+1 , pak lze F nobrazu F = (F 0 , F 1 , ..., F N−1 ) T rozepsatk=0F n = 1 √N(f0 w 0 + f 1 w n + ... + f N−1 w (N−1)n) == 1 √N[(f0 w 0 + f 2 w 2n + ... + f N−2 w (N−2)n) + w n ( f 1 w 0 + f 3 w 2n + ... + f N−1 w (N−2)n)] =N= √ 1 ∑2 −1[yk w 2nk + z k w (2k+1)n] , n = 0, 1, ..., N − 1.Nk=0V důsledku symetrie komplexních čísel (koeficientů na kružnici):w 2nk = w 2nkN= wN/2 nk = e −i 4π N nk 2π−i= eN/2 nk(obecně w pqN = wp N/q ) platíF n = 1N∑2 −1√Nk=0y k w nkN/2 + 1 √Nw n NN2 −1∑k=0z k w nkN/2 = Y n + w n NZ n , n = 0, 1, 2, . . . , N 2 − 1,(4.7)kde Y = DF T (y) a Z = DF T (z). První polovinu koeficientů F n tedy obdržímepomocí DFT vektorů poloviční velikosti. Druhou polovinu získámeF n+N2= Y n +w n+ N 2NZ n = Y n +wNw n N 2NZ n = Y n −wNZ n n , n = 0, 1, 2, . . . , N −1, (4.8)2neboť w N 2N= e −i 2π NN 2 = e −iπ = −1. Uvedené štěpení vektorů lze opakovat do doby,dokud nedostaneme dva vektory o jedné složceDF T (y 0 ) = Y 0 =0∑y 0 wN 0 = y 0 , DF T (z 0 ) = Z 0 =k=00∑z 0 wN 0 = z 0 .k=0

4.6 Rychlá DFT - FFT 33Časová náročnost vycházející ze sekvence výše popsaných štěpení (2 ( N2< N 2 ) je O(N ln N). Maticový zápis FFT daný vztahy (4.7), (4.8) bude[ ] [ ] [ ]I N D N22 Y YF = M F,N f = = BZ N ,ZI N2−D N2kde I N je jednotková matice, diagonální matice D N22obě řádu N × N . Další krok bude2 2Y =[I N4kde I N4I N4D N4−D N4] [ ] [ ]Y′ Y′Z ′ = B N2 Z ′, Z = [ I N 4je jednotková matice, diagonální matice D N4(= √ 1Ndiag2I N4D N4−D N4= √ 1Ndiag4) 2=N 22

34 Diskrétní Fourierova transformace (DFT) a její rychlá verze (FFT)Algoritmus 4.2 Implementace algoritmu přímé FFTfunction X=myfft(x);N=length(x); n=log2(N);% Vytvoreni permutacniho vektorupt=(1:N)’;i_odd=(1:N/2)*2-1; % liche koeficientyi_even=(1:N/2)*2; % sudefor i=1:n-1m=2^(i-1);K=N/(2*m);pt_odd=reshape(pt(i_odd),K,m)pt_even=reshape(pt(i_even),K,m)pt=reshape([pt_odd;pt_even],N,1)end;% Prenasobovani dilcimi maticemiX=x(pt);for i=1:nend;K=2^i; m=N/K; % m je pocet bloku B na diag., K je rad Bw=exp(2i*pi/K);D=sqrt(2/K)*diag(w.^(0:-1:-(K/2-1))); %Diag. matice s prvky wI=eye(K/2);% Jednotkova maticeB=[[I,D];[I,-D]];% Blok BV=diags(B,m);% Matice sestavena z m bloku BX=V*X;

4.6 Rychlá DFT - FFT 35Algoritmus 4.3 Implementace algoritmu zpětné FFTfunction x=myifft(X);N=length(X);n=log2(N);% n...pocet urovni% Vytvoreni permutacniho vektoru ptpt=(1:N)’;i_odd=(1:N/2)*2-1; % i_odd..liche indexyi_even=(1:N/2)*2; % i_even.. sude indexyfor i=1:n-1m=2^(i-1);K=N/(2*m);pt_odd=reshape(pt(i_odd),K,m); % preusporadani prvkupt_even=reshape(pt(i_even),K,m);pt=reshape([pt_odd;pt_even],N,1);end;% Prenasobovani dilcimi maticemix=X;for i=n:-1:1K=2^i;m=N/K; % m je pocet bloku B na diagonale, K je rad Bw=exp(2i*pi/K);D=sqrt(2/K)*diag(w.^(0:-1:-(K/2-1)));% Diag. matice s prvky wI=eye(K/2);% Jednotkova maticeB=[[I,D];[I,-D]];% Blok BV=diags(B,m);% Matice sestavena z m bloku Bx=V’*x;end;x=x(pt);

36 Diskrétní Fourierova transformace (DFT) a její rychlá verze (FFT)Poznámka 4.14. Existuje celá řada velmi rychlých a efektivních implementacíDFT jako je např. algoritmus s redukcí kmitočtu, sloučený algoritmus, modifikacealgoritmu FFT s prvočíselným rozkladem, algoritmus v konečných kruzích a jiné.Poznámka 4.15. DFT má obrovské využití v různých oborech, za zmínku stojíjejí použití ve fyzice při řešení přenosových soustav (charakterizace chování dynamickésoustavy pomocí přenosové funkce a převod konvoluce na násobení), úloháchdifrakce, v krystalografii při řešení reciproké mřížky, v optice při zobrazování čočkamiv tzv. Fraunhofferově aproximaci, v kvantové mechanice v relaci neurčitosti a digitálnímzpracování obrazu (restaurování, zkvalitňování, segmentace a komprese obrazu)a zvuku. U posledně zmíněné aplikace bych rád upozornil na zcela nový typ tzv.kepstrální analýzy spočívající v aplikaci FFT na upravené Fourierovské spektrummající hlavně využití v analýze řeči.

37Kapitola 5Okenní Fourierova transformace(WFT)5.1 MotivaceSvět je plný signálů - zvuků (hudba, řeč), obrazů (fotografie, televize), datovýchřetězců (čísel, znaků), zemětřesení, elektromagnetických vlnění atd., které musí býtanalyzovány, syntetizovány, komprimovány, přenášeny nebo vyhlazovány. Metodypoužívané k tomuto zpracování signálů jsou Fourierova řada, Fourierova, okennía waveletová transformace. Cílem této kapitoly je seznámit studenty s problematikouokenní Fourierovy transformace a jejího využití pro časově-frekvenční analýzusignálů a jejich filtraci.Uvažujme analýzu části skladby “Kočka leze dírou, pes oknem, nebude-li pršet,nezmoknem” (viz obr. 5.1). Skladba může být modelována funkcí f(t) , reprezentujícítlak vzduchu na ušní bubínek jako funkce času (viz. obr 5.2) - tato „klavírní skladba“trvá 17.63 sec a byla vzorkována 44600 Hz na 777492 bodů a převzorkována na 16384bodů.Jestliže se hudba skládá z jednotlivých tónù s frekvencí ω 1 , pak f(t) je periodickás periodou T = 1/ω 1 a jejím přirozeným popisem bude Fourierova řada - tzv.harmonická analýza funkce f(t) splňující Dirichletovy podmínky. Frekvenční charakteristiky,tj. Fourierovy koeficienty určují amplitudy jednotlivých harmonickýchω n = nω 1 v f(t) . Jestliže je hudba řadou takovýchto tónů a melodií, pak obecnětato řada není periodická a Fourierova řada nemůže být pro její analýzu použita.Teoreticky existuje možnost spočítat Fourierovu integrální transformaci F (ω)Obr. 5.1Část skladby reprezentovaná notami

38 Okenní Fourierova transformace (WFT)1000050000−50000 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000Obr. 5.2Část skladby reprezentovaná jako funkce času3.5x 10 632.521.510.500 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000Obr. 5.3Jednostranné amplitudové Fourierovské spektrum funkce f(t)funkce f(t) podle (4.1). Tento přístup má však z praktického hlediska jednu vadu.Abychom spočítali F (ω) , musíme integrovat f(t) na celé časové ose t ∈ (−∞, +∞).Potom F (ω) obsahuje celkové amplitudové spektrum (viz obr. 5.3) v celé skladběa nikoliv rozdělení harmonických v každém tónu - tzn. chybí časová lokalizace.Dalším příkladem je obr. 4.2, kde třem zcela odlišným funkcím odpovídá podobnéamplitudové spektrum.Jestliže skladba trvá určitou dobu, musíme před výpočtem F (ω) počkat až dozní.Tedy Fourierovou transformací jsme schopni analyzovat pouze frekvenční obsahsignálu, nikoli začátek či konec zkoumaného děje, tj. délku jeho trvání.Navíc informace o skocích a singularitách je rozložena do celého frekvenčníhospektra, tj. při libovolně malých změnách funkce f(t) v okolí libovolného bodu tdochází ke změně celého frekvenčního spektra, což vede k obtížím při rekonstrukci.Příčinou je periodicita bázových funkcí e iωt , které nejsou lokalizovány v ohraničenémintervalu proměnné t .Uvažujme nyní model slyšení, z něhož bere okenní transformace inspiraci. Lidskéucho může vnímat změny melodie aniž by rozkládalo signál na tóny. Poněvadž uchoanalyzuje rozdělení frekvencí daného signálu f(t) v reálném čase, musí současně

5.2 Definice okenní funkce a spojité WFT 39g(t)f (t)τf(t)−T/2 τT/2tObr. 5.4Princip okenní transformacepodat informaci o f(t) ve frekvenční i časové oblasti. Popišme tedy výstup funkcêf(ω, τ) v závislosti na frekvenci ω a posunutí τ .Poněvadž ucho nemůže analyzovat to, co uslyší později, mohou být pro výpočet̂f(ω, τ) použity pouze hodnoty f(t) , kde t < τ + T/2 . Ucho má také konečnoupaměť - existuje časový interval takový, že pouze hodnoty f(t) pro t ≧ τ − T/2 majívliv na výsledek v čase t . Tedy ̂f(ω, τ) může záviset jen na f(t) pro τ − T/2 ≦ t ≦≦ τ + T/2. Hodnoty signálu blízko konců intervalu mají menší vliv na anlýzu nežhodnoty uprostřed intervalu.5.2 Definice okenní funkce a spojité WFTJednou z možností, jak odstranit tento problém, je použití okenních (váhových)funkcí g(t − τ) , které jsou dobře lokalizovány kolem hodnoty τ.Spojitá funkce g(t) , která je finitní a nenulová na intervalu −T/2 ≦ t ≦ T/2a nulová vně tohoto intervalu, bude použita k lokalizaci signálu v čase. Pomocífunkce g(t) definujeme funkci f τ (t) = f(t)g(t − τ) , která má obecně stejný nosičjako funkce g(t) a nazývá se lokalizovaná část funkce f(t) - viz obr 5.4. Funkce g(t)je funkce komplexně sdružená k g(t) . Funkce g(t) "klouže" podél časové osy. Okennítransformaci lze interpretovat jako lokální Fourierovu transformaci s posunutím.

40 Okenní Fourierova transformace (WFT)Definice 5.1. Nechť f(t), g(t), tg(t) ∈ L 2 (R) , f τ (t) = f(t)g(t − τ) , pak pro∀τ ∈ R definujme okenní Fourierovu transformaci (Window Fourier transform -WFT) jako Fourierovu transformaci funkce f τ (t) :F (ω, τ) =∫1+∞√ f τ (t)e −iωt dt =2π ‖g(t)‖−∞∫1+∞√ f(t)g(t − τ)e −iωt dt.2π ‖g(t)‖(5.1)FT je prováděna pro každou polohu okna určenou parametrem τ .Zpětná (inverzní) okenní Fourierova transformace je dána formulí:∫F −1 1+∞(∫ +∞)(ω, τ) = f(t) = √ F (ω, τ)g(t − τ)e iωt dω dτ. (5.2)2π ‖g(t)‖−∞−∞Generování okenní funkce g(t) je založeno na:• filtračních vlastnostech jádra v konvoluci (f ⋆ g)(t) , g(t) je jádrem konvoluce,jestliže g(t) ∈ L 2 (R), ∫ +∞g(t)dt = 1 a g(t) lze psát ve tvaru−∞g(t) = 12πi∫ γ+i∞γ−i∞−∞E −1 (s)e st dss γ značícím vertikální přímku v oboru absolutní konvergence Fourier-Laplaceovaintegrálu a∏ ∞E(s) = e(1 bs − s )e sa ka kk=1s b ∈ R a reálnou posloupností {a k } ∞ k=1 vytvářející konvergentní řadu ∞ ∑• reprezentaci „δ− funkce” mající tvarg(t, λ) =λK(λt)2 ∫ +∞0K(τ)dτ ,přičemž λ → ∞ a K(t) je sudá funkce s K(0) ≠ 0 ,• lokálních FŘ - zobecněná kosinová okna mající tvarg(t) = Kn∑( ) 2πkt(−1) k A k cos , |t| ∈ 〈0, T/2〉 .Tk=0Přehled nejčastěji používaných okenních funkcí jak v časové, tak ve frekvenční oblasti(při šířce okna 20 bodů) je uveden na obr. 5.5 - každé z oken má své specifickévlastnosti dané jeho FT a propouští jen určité frekvence (více viz [1]).k=11a 2 k,

1.510.50−0.5−10 5 10 15 20 25 30 35 400.350.30.250.20.150.10.050.350.30.250.20.150.10.050.350.30.250.20.150.10.0500 5 10 15 20 25 30 35 4000 5 10 15 20 25 30 35 4000 5 10 15 20 25 30 35 400.40.350.30.250.20.150.10.050−0.050 5 10 15 20 25 30 35 400.30.250.20.150.10.05−0.050 5 10 15 20 25 30 35 400.350.30.250.20.150.10.050.350.30.250.20.150.10.050.350.30.250.20.150.10.050.350.30.250.20.150.10.050.240.220.20.180.160.140.120.10.080.06000 5 10 15 20 25 30 35 4005 10 15 20 25 30 35 4000 5 10 15 20 25 30 35 4000 5 10 15 20 25 30 35 400.045 10 15 20 25 30 35 400.350.30.250.20.150.10.0505 10 15 20 25 30 35 40765432100 5 10 15 20 25 30 35 404.543.532.521.510.565432100 5 10 15 20 25 30 35 4000 5 10 15 20 25 30 35 4065432100 5 10 15 20 25 30 35 403.532.521.510.54.53.52.51.50.565432100 5 10 15 20 25 30 35 405432100 5 10 15 20 25 30 35 4000 5 10 15 20 25 30 35 4065432100 5 10 15 20 25 30 35 4065432100 5 10 15 20 25 30 35 4065432100 5 10 15 20 25 30 35 4065432100 5 10 15 20 25 30 35 404.543.532.521.510.500 5 10 15 20 25 30 35 405.2 Definice okenní funkce a spojité WFT 41Název Vzorec Okenní fce v oblastičasové frekvenčníObdélník∑g(t) = K4 (−1) k A k cos 2kπtTk=0K = 1, A 0 = 1, A 1 = 0, A 2 = 0,A 3 = 0, A 4 = 0Blackmann-Harrison∑g(t) = K4 (−1) k A k cos 2kπtTk=0K = 1, A 0 = 1, A 1 = 1.361, A 2 = 0.394,A 3 = 0.033, A 4 = 0Hamming∑g(t) = K4 (−1) k A k cos 2kπtTk=0K = 1, A 0 = 1, A 1 = 0.84, A 2 = 0,A 3 = 0, A 4 = 0Hanning∑g(t) = K4 (−1) k A k cos 2kπtTk=0K = 1, A 0 = 1, A 1 = 1, A 2 = 0,A 3 = 0, A 4 = 0Flat-top∑g(t) = K4 (−1) k A k cos 2kπtTk=0K = 1, A 0 = 1, A 1 = 1.93, A 2 = 1.29,A 3 = 0.388, A 4 = 0.032Kaiser-Bessel∑g(t) = K4 (−1) k A k cos 2kπtTk=0K = 1, A 0 = 1, A 1 = 1.29, A 2 = 0.244,A 3 = 0.003, A 4 = 0Tukey∑g(t) = K4 (−1) k A k cos 2kπtTk=0K = 1, A 0 = 0.54, A 1 = 0.46, A 2 = 0,A 3 = 0, A 4 = 0Radar g(t) = 1 + cos πt, t ∈ (−1, 1)0{Bartlett 2t/T, t ∈ 〈0, T/2〉g(t) =2 − 2t/T, t ∈ 〈T/2, T 〉{Trojúhelník 2t/T, t ∈ 〈0, T/2〉g(t) =2 − 2t/T, t ∈ 〈T/2, T 〉Čebyšev Matlab. funkce chebwin-hyperbol.fce0Gauss g(t) = (2a) 1/4 e −πat2 , |t| ∈ 〈0, T/2〉0Obr. 5.5Přehled okenních funkcí v časové a frekvenční oblasti I

0.40.350.30.250.20.150.10.050−0.05−0.15 10 15 20 25 30 35 400.250.20.150.10.050.20.180.160.140.120.105 10 15 20 25 30 35 400.085 10 15 20 25 30 35 4032.521.510.565432100 5 10 15 20 25 30 35 4000 5 10 15 20 25 30 35 40765432100 5 10 15 20 25 30 35 4042 Okenní Fourierova transformace (WFT)Název Vzorec Okenní fce v oblastičasové frekvenčníSinuscardinalisg(t) =sin πtπt , |t| ∈ 〈0, T/2〉0Parsen1g(t) = 1 −( ) 2|t| qT , q ≧ 2 |t| ∈ 〈0, T/2〉0[ ( )Parsen2 2|t| q ] −1g(t) = 1 − T , q ≧ 2 |t| ∈ 〈0, T/2〉0Obr. 5.6Přehled okenních funkcí v časové a frekvenční oblasti IIPrůkopníkem okenní transformace byl Gabor se svou spojitou transformací (1946)založenou na rozkladu na časově-frekvenční atomy generované jako časové a frekvenčníposuny Gaussovské funkce.Interval T (šířka okna) a posuv τ jsou zde konstantní a nezávisí přímo na průběhufunkce ani na její frekvenci. Zvolená okenní funkce minimalizuje vztah (kritériumvyhodnocení) λ(τt) = ‖f − f τ ‖ L2, τ ∈ [0, T ] jak uvnitř zvoleného okna, tak i nacelé časové ose.5.3 Diskrétní WFT (DWFT)Jak již bylo zmíněno, principem WFT je napočítávání FT jednotlivých lokalizovanýchčástí f τ vstupního signálu f pomocí okenní funkce g. Při numerickém výpočtubudeme tedy vyčíslovat sekvenci DFT resp. FFT vektoru f τk = f.•g τk , kde nenulovéhodnoty okenní funkce doplníme nulami na stejnou délku jako má vektor f a mohlbýt vyčíslen součin element po elemetnu. Z maticového zápisu DFT : c τk = M F f τkobdržíme k-tý sloupec matice cc = [ c τ0 c τ1 · · · c τK]= MF[fτ0 f τ1 · · · f τK],kde K je celkový počet okenních lokalizací. Absolutní hodnoty jednotlivých sloupcůc τk tak budou tvořit „řezy“ časově-frekvenčního spektra jejichž „seskládáním“ resp.projekcí do jedné roviny dostaneme klasické amplitudové Fourierovské spektrum, tj.označíme-li F=DFT(f), pak pro n-tou komponentu platí:|F n | = max {|c n,τ0 | , |c n,τ1 | , ..., |c n,τK |} .Příklad 5.2. S využitím DWFT proveďte časově-frekvenční analýzu hudední skladby5.2.

5.3 Diskrétní WFT (DWFT) 43Řešení. Časově-frekvenční spektra hudední skladby 5.2 zpracovaná pomocí DWFTjsou vyobrazena na obr. 5.7 - grafy v sloupci představují vyhlazený signál, jednostrannéamplitudové spektrum, časově-frekvenční spektrum v 3D a při pohledushora (777492 bodů / 17.63 sec => 44600 bodů / 1 sec => max. frekvence 22300Hz, při použití oken délky 20 bodů => 10 frekvenčních hladin => 2230 Hz / 1frekv. hladinu).Příklad 5.3. S využitím DWFT proveďte časově-frekvenční analýzu třech signálůz obrázku 4.2.Řešení. Časově-frekvenční spektra při pohledu shora funkcí majících podobná amplitud.spektra získaná pomocí Hammingova okna jsou pro ilustraci vyobrazena naobr. 5.8. Ukázka programu v Matlabu generujícího vyhlazené signály, jejich amplitudováspektra, časově-frekvenční spektra a časově-frekvenční spektra při pohledushora funkce f(t) je uvedena v Algoritmu 5.2.Poznámka 5.4. WFT potlačuje vyšší frekvence - v závislosti na použitém okně,čehož se využívá při vyhlazování signálů. WFT může být také užita pro analýzunestacionárních signálů. Mezi nevýhody WFT lze řadit neadaptivitu okna - tj. konstantníšířku okna jak v časové, tak i ve frekvenční oblasti (tento nedostatek odstraňujeaž waveletová transformace) a podle Heissenbergova principu neurčitosti takénemožnost přesné lokalizace v časové a ve frekvenční oblasti současně.Implementace vzorového příkladu obsahuje tyto části• generování vstupního signálu f obsahujícího 3 frekvence - 13, 23, 33 Hz, kterénastupují postupně po násobcích 2π s diskretizačním krokem 2π/100 a vykreslenínamodelovaného signálu• FT namodelovaného signálu za použití matlab. funkce fft a vykreslení jednostrannéhoFourierovského amplitudového spektra• generování okenní funkce - podle výše uvedeného přehledu je možno vygenerovatkteroukoliv okenní funkci - pro ukázku byla zvolena funkce Hammingovaa Gaussova délky N = 20 a posun okna byl zvolen τ = 2• výpočet koeficientů DWFT - podle definice (integrace je nahrazena sumací)- koeficienty jsou ukládány do matice c po řádcích - pro do danou poziciokna jsou spočteny koeficienty DWFT na jednotlivých frekvenčních hladináchv zavislosti na délce okna určující rozsah propouštěných frekvencí (Neyquistovafrekvence - největší možná zachytitelná frekvence), výsledná matice je nakonectransponována tj. c T

44 Okenní Fourierova transformace (WFT)HammingGauss40003000400020002000100000−1000−2000−2000−4000−3000−4000−60000 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 160000 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000x 10 5 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000x 10 5815765104352100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000x 10 4x 10 4221.51.5amplitude1amplitude10.50.501001086level42200040006000800010000120001400016000time86level42200040006000800010000120001400016000time101099887766levellevel5544332212000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000time12000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000timeObr. 5.7Časově-frekvenční analýza hudební skladby prostřednictvím DWFT

5.3 Diskrétní WFT (DWFT) 45101010999888777666levellevellevel555444333222150 100 150 200 250 300time150 100 150 200 250 300time150 100 150 200 250 300timeObr. 5.8Časově-frekvenční spektra signálů majících podobná Fourier. spektra připohledu shora• vyhlazení signálu - pro ukázku je uvedena aplikace DWFT pro vyhlazení namodelovanéhosignálu - pro každou pozici okna je vypočten f vyhl (τ) = f T τ g,následuje výpočet DFT takto vyhlazeného signálu a zobrazení jeho spektra -v porovnání s původním amplitud. spektrem namodelovaného signálu je patrné,které frekvence byly oknem propuštěny a které naopak byly potlačeny• zobrazení amplitudového časově-frekvenčního spektra (CFS) - interpolace hodnota jejich vykreslení opět s použitím matlab. funkcíCvičení 5.5. 1. Namodelujte signál podobný tomu na obr. 4.2 např. s prvočíselnýmifrekvencemi.2. Vykreslete tento signál a jeho jednostranné amplitudové Fourierovské spektrum.3. Vyberte z přehledu okenních funkcí jednu, kterou vygenerujete podle příslušnéhovzorce.4. Vykreslete toto okno jak v časové, tak ve frekvenční oblasti (jednostr. amplit.Four. spektrum).5. Podle vzorového příkladu pak vypočtěte DWFT namodelovaného signálu a proveďtejeho vyhlazení s užitím tohoto okna.6. Analyzujte propuštěné a odfiltrované frekvence na základě Four. spektra.

46 Okenní Fourierova transformace (WFT)Algoritmus 5.1 Generátory okenních funkcífunction g=gcw(N,k,a0,a1,a2,a3,a4) % generalized cosine windowt=2*pi/(N-1);for i=1:Ng(i)=k*(a0-a1*cos(t*(i-1))+a2*cos(2*t*(i-1))...-a3*cos(3*t*(i-1))+a4*cos(4*t*(i-1)));end)function g=gauss(N,a)krok=pi/(N-1);for i=1:N+1t(i)=(i-N/2-1)*krok;g(i)=((2*a)^(1/4))*exp(-pi*a*t(i)*t(i));endfunction g=parsen1(N,q)t=(-N/2:N/2);for i=1:N+1g(i)=1-(abs(t(i))/(N/2))^q;endfunction g=parsen2(N,q)t=(-N/2:N/2);for i=1:N+1g(i)=1/(1+(abs(t(i))/(N/2))^q);endfunction g=radar(N)krok=2/(N-1);for i=1:N+1t(i)=(i-N/2-1)*krok;g(i)=1+cos(pi*t(i));endfunction g=sincard(N)t=(-3:(6/(N-1)):3);g=sinc(t);

5.3 Diskrétní WFT (DWFT) 47Algoritmus 5.2 Implementace WFT% Generovani vstupniho signalu --------------------------------x1=0:2*pi/100:2*pi;x2=2*pi:2*pi/100:4*pi;x3=4*pi:2*pi/100:6*pi;f=[sin(13*x1) 0.8*sin(23*x2) 0.6*sin(33*x3)]; n=length(f); plot(f);% Fourierova transformace vstupniho signalu -------------------F=fft(f); figure; plot(abs(F(1:n/2))); axis([0 n/2 0 max(F)]);% Generovani okenni funkce ------------------------------------N=20; tau=2;% delka okna a posunuti oknacg=input(’Zadejte poradove cislo okna pro okenni transformaci: ’);if (cg==1) g=gcw(N,1,1,0,0,0,0); nazev=’Obdelnikove okno’;endif (cg==2) g=gcw(N,1,1,1.36109,0.39381,0.03256,0); nazev=’Blackmann-Harrisovo okno’;endif (cg==3) g=gcw(N,1,1,0.84,0,0,0); nazev=’Hammingovo okno’;endif (cg==4) g=gcw(N,1,1,1,0,0,0); nazev=’Hanningovo okno’;endif (cg==5) g=gcw(N,1,1,1.93,1.29,0.388,0.0322); nazev=’Plochy vrch’;endif (cg==6) g=gcw(N,1,1,1.29,0.244,0.00305,0); nazev=’Kaiser-Besselovo okno’;endif (cg==7) g=gcw(N,1,0.54,0.46,0,0,0); nazev=’Tukyovo okno’;endif (cg==8) g=radar(N-1); nazev=’Radarove okno’;endif (cg==9) g=bartlett(N); nazev=’Bartlettovo okno’;endif (cg==10) g=triang(N); nazev=’Trojuhelnikove okno’;endif (cg==11) g=chebwin(N-1,30); nazev=’Chebyshovo okno’;endif (cg==12) g=gauss(N-1,1); nazev=’Gaussovske okno’;endif (cg==13) g=sincard(N); nazev=’Sinus-cardinalis okno’;endif (cg==14) g=parsen1(N-1,2); nazev=’Parsenovo1 okno’;endif (cg==15) g=parsen2(N-1,2); nazev=’Parsenovo2 okno’;endif (cg==16) g=transient(N); nazev=’Transient okno’;endif (cg==17) g=exponent(N); nazev=’Exponencialni okno’;endif (cg==18) g=radar(N); nazev=’Radarove okno’;endg=g/norm(g,2); figure; plot(g); % Normovani oknaG=fft(g); fwin=abs(G(1:N/2)); % Fourieruv obraz oknafw=[]; for i=1:N/2 fw=[fwin(i) fw fwin(i)]; end; figure; plot(1:N,fw);% Vypocet matice Four. koeficientu c --------------------------w1=2*pi/N; c=[];for l=1:n/taufor j=1:N/2c(l,j)=0;for k=1:Ntk=(l-1)*tau-N/2+k;if (tk > 0) & (tk < n)c(l,j)=c(l,j)+f(tk)*g(k)*exp(-i*w1*j*tk)/sqrt(N);endendendendc=c’;% Vyhlazeni signalu a jeho ampl. spektrum ---------------------fvyhl=[];for l=1:n/taufvyhl(l)=0;for k=1:Ntk=(l-1)*tau-N/2+k;if (tk > 0) & (tk < n)fvyhl(l)=fvyhl(l)+f(tk)*g(k);endendendfconv=interp(fvyhl,tau); figure; plot(fconv);Fconv=fft(fconv); figure; plot(abs(Fconv(1:n/2)));% Casove-frekvencni spektrum signalu ---------------------for i=1:n/tau ctemp(:,2*i-1)=c(:,i); ctemp(:,2*i)=c(:,i); end;[X,Y] = meshgrid(1:N:n,1:N/2); [x,y] = meshgrid(1:n, 1:N/2);Z=interp2(x,y,abs(ctemp),X,Y); figure; surf(X,Y,Z); shading interp;axis([1 n 1 N/2 0 max(max(Z))]);xlabel(’time’); ylabel(’level’); zlabel(’amplitude’);colorbar; view(0,90); % CFS pri pohledu shora

48Kapitola 6Waveletová (vlnková)transformace (WT)Zobecněné FT mají různé vlastnosti dané použitou bází a z toho plynoucí aplikace.Zatímco u řady těchto jednorozměrných zobecněných FT dochází k transformaciprostoru s určitým fyzikálním rozměrem (např. [r] u klasické FT) do prostoru s fyzikálnímrozměrem jiným (např. [r −1 ] u klasické FT), tak u waveletové neboli vlnkovétransformace (WT), využívající bázi odvozenou od základní funkce pomocí posunutía změny měřítka, dochází k transformaci jednorozměrného prostoru do dvourozměrnéhomajícího však tentýž rozměr fyzikální. Waveletová analýza je tudíž speciálnímpřípadem Fourierovy analýzy.K popisu WT potřebujeme složitější matematický aparát, jehož základem budetzv. víceúrovňová analýza (multirozklad L 2 (R) neboli multiresolution analysis -MRA).Pokusíme se vysvětlit základy tohoto procesu na jednoduchém příkladu. Představmesi, že v supermarketu máme regál (nazveme jej Hilbertovým prostoremL 2 (Ω)), označíme podlahu jako nulovou hladinu m = 0. Máme k dispozici zásilkuzboží (funkce f(t)), např. zásilka míčů různé velikosti, regál je sestaven z jednotlivýchpolic, každá police tvoří jednu hladinu (V m ). Na každé polici jsou kulatéotvory (jednotlivé bázové elementy φ mn , m je index police, n je počet otvorů na polici),průměry otvorů jsou stejné na jedné polici (na jedné hladině), ale při přechoduz jedné police na druhou se mění dle vztahu 2 m , m = 0, 1, 2, . . ., tj. otvory na nižšípolici tedy jsou 2x menší než o jednu výše. Úkolem bude najít optimální rozkladzboží na policích, tj. aby každý míč byl uložen na příslušné místo, odpovídající jehoprůměru. Řešení: Je-li míč měnší než otvor, pak tento míč spadne přes otvor napříslušnou polici (na příslušnou hladinu), kde otvor bude menší než průměr míče.Uložit tento míč na nižší polici je ekonomicky nevýhodné - tam může být umístěnmíč o menším diametru. Proceduru právě tohoto rozložení nazýváme víceúrovňovouanalýzou. Díváme-li se do dalekohledu, mikroskopu, fotoaparátu, snažíme se zachytitostré a zároveň dostatečně velké zobrazení našeho objektu, přitom automatickyprovádíme podobnou analýzu.

6.1 Multirozklad 496.1 MultirozkladDefinice 6.1. Multirozkladem L 2 (R n ) (víceúrovňovou analýzou) budeme nazývatneklesající posloupnost uzavřených škálovacích podprostorů V m ∈ L 2 (R n ), m ∈ Zpro něž platí následující podmínky:1.. . . ⊂ V −2 ⊂ V −1 ⊂ V 0 ⊂ V 1 ⊂ V 2 ⊂ . . . tj. V m ⊂ V m+1 , ∀m ∈ Z2. ⋂ m∈Z V m ={0}3. ⋃ m∈Z V mje hustý a předstajuje L 2 (R n ), tj. ⋃ m∈Z V m = L 2 (R n )4. f(t) ∈ V m ⇔ f(2t) ∈ V m+1 , t ∈ R n5. existuje funkce φ ∈ V 0 taková, že {φ(t − n)} n∈Zje ortonormální bází V 0 .Funkce φ ∈ V 0 se nazývá škálovací funkce nebo základní škálová funkce resp.otcovský wavelet.Poznámka 6.2. Formálně bychom mohli MRA interpretovat následujícím způsobem.Bod 1 představuje rozdělení regálu na police, někteří autoři zapisují V m+1 ⊂⊂ V m , ∀m ∈ Z , my této indexace využijeme u DWT. Bod 3 říká, že sjednocenímzískáme celý regál, tj. V ∞ = L 2 (R n ) a V −∞ = {0}, tzn. neexistuje žádné zobží, kteréby se udržovalo na horní polici. Bod 4 znamená, že funkce f ∈ V m+1 obsahuje 2xvíce bodů než f ∈ V m , což odpovídá proceduře přeložení míče na nejbližší nižšípolici za podmínky, že průměr otvoru je 2x menší než na předchozí polici. φ ∈ V 0v bodě 5 a slouží pro analýzu jednotlivých škálovaných podprostorů V m - policev horizontálním směru vyplní celý prostor bez překrývání a mezer, tedy bázi prostoruV 1 : {φ(2t − n)} n∈Zdostaneme z elementů báze prostoru V 0 : {φ(t − n)} n∈Zjednoduchým 2x zmenšením posledních.Existují další definice, které se vztahují k biortogonalizaci waveletů, k waveletůmv prostoru L p , k waveletům na distribucích apod. Základem pro vytvoření diskrétníwaveletové transformace (DWT) je dilatační rovnice tzv. rovnice soběpodobnosti- škálovací rovnice. Formální řešení této rovnice můžeme sestavit ve tvaru Four.integrálu, avšak analýza vznikajících funkcí není vůbec jednoduchá.

50 Waveletová (vlnková) transformace (WT)6.2 Definice spojité WTDefinice 6.3. Nechť f(t), ψ(t) ∈ L 2 (R). Waveletovou (vlnkovou) transformacifunkce f(t) pak definujemeW T (f) = F (a, b) = ˆf(a, b) = 1 √|a|∫ ∞−∞( t − bf(t)ψa)dt, (6.1)kde a ∈ R \ {0} je tzv. dilatační škálový parametr, b ∈ R je translační parametr,ψ(t) je mateřský wavelet nebo jen wavelet splňující∫ +∞−∞ψ(t)dt = 0.Zpětná (inverzní) waveletová transformace je pak dána vztahemW T −1 (F ) = f(t) = √ 1 ∫ ∞(∫ ∞( ) ) t − bF (a, b)ψ da db. (6.2)a −∞ −∞aPoznámka 6.4. Základní mateřský wavelet si můžeme představit jako “vlnku”nabývající kladných a záporných hodnot, která nemusí být vůbec symetrická a můžebýt vytvořena i pomocí nelineárních kombinací otcovského waveletu. Obraz F jeskalární součin funkce f s dilatacemi a translacemi okna ψ, tj.F (a, b) =6.3 Vlastnosti WT〈f(t),1√ aψ( t − ba)〉.Koeficienty WT obsahují informaci jak o analyzované funkci, tak i o waveletu použitémpři analýze. Nechť W T (f(t)) = F (a, b), pak některé vlastnosti WT jsounezávislé na typu waveletu:1. linearita W T (αf 1 + βf 2 ) = αW T (f 1 ) + βW T (f 2 ) = αF 1 (a, b) + βF 2 (a, b),2. invariance vzhledem k posunutí W T (f(t − b 0 )) = F (a, b − b 0 ),( ( )) ( )t3. invariance vzhledem k dilataci W T fa 0= 1 aa 0Fa 0, ba 0,4. derivování originálu W T ( ∂ mf ) = (−1) m ∫ +∞∂t m−∞f(t)∂m∂t m (ψab (t) ) dt,5. analogie Parsevalovy věty v případě ortogonální waveletovské báze∫ +∞−∞f 1 (t)f 2 (t)dt = C −1ψ∫ +∞ ∫ +∞−∞−∞F 1 (a, b)F 2 (a, b)a −2 da db ⇒

6.4 WT - Konstrukce ortonormálních waveletů 51enerigie signálu (funkce)∫ +∞−∞|f(t)| 2 dt = C −1ψ∫ +∞−∞|F (a, b)| 2 a −2 da db.6.4 WT - Konstrukce ortonormálních waveletůMatematická konstrukce ortonormálních waveletů s kompaktním nosičem byla provedenáI. Daubechies (1988) s použitím teorie MRA. Nástin tvorby báze pomocíMRA je následující:• Nechť P m znamená ortogonální projekci f do V m a D 2 m dilatační operátor, tj.f(.) ∈ D 2 mV n ⇔ f(2 m .) ∈ V m+n . S rostoucím m pak P m f lépe aproximuje f,až nakoneclim P mf = f.m→∞Prostor V m je tvořen škálovými funkcemi {φ mn } ∀n, ∀m ∈ Z.• Jelikož V m je obsažen ve V m+1 , můžeme definovat W m jako m-tý waveletovýprostor obsahující waveletové funkce {ψ mn } ∀n, ∀m ∈ Z tak, aby byl ortogonálnímdoplňkem V m do V m+1 , tj.V m+1 = V m ⊕ W m ,Q m je projekční operátor do W m - škálované verze W 0 , kde f(.) ∈ W m ⇔f(2 −m .) ∈ W 0 . Tedy obdobně W m je tvořen waveletovými funkcemi {ψ mn } ∀n, ∀m ∈ Z.PakP m+1 = P m ⊕ Q mje projekční operátor do V m+1 .• Základní vlastnost MRA je to, že umožňuje sestavit ortonormální waveletovskoubázi {ψ mn (t)} ∀n, ∀m ∈ Z, kde ψ mn (t) = 2 − m 2 ψ(2 −m t − n), m, n ∈ Z tak,že pro každou f(t) ∈ L 2 (R) platí:P m+1 f = P m f + Q m f = ∑ n∈Za mn φ mn + ∑ n∈Zd mn ψ mn == ∑ 〈f, φ mn 〉φ mn + ∑ ψ mn 〉ψ mn .n∈Zn∈Z〈f,Koeficienty a mn nazveme aproximačními, trendovými, škálovými nebo nízkofrekvenčními,koeficienty d mn pak detailními, doplňkovými, waveletovými nebovysokofrekvenčními.

52 Waveletová (vlnková) transformace (WT)• Hledáme funkci ψ ∈ W 0 tak, aby {ψ(t − n)} ntvořila ortonormální bázi W 0 ,W m+1 = D 2 W m a {D 2 mψ(t − n)} nbyla ortonormální bází W m . Jelikož W m ⊥V m ,V m+1 = V m ⊕ W m a L 2 = ⋃ m∈Z V m, W m+1 ⊥W m a L 2 = ⊕ m∈Z W m , pak{D 2 mψ(t − n)} nmje ortonormální bází L 2 . Ortonormalita je zde zaručena najednotlivých úrovních m:{1, k = l〈φ mk , φ ml 〉 = δ kl =0, k ≠ l .Pro skalární součin mezi sousedními úrovněmi platí∑〈φ mk , φ m+1,l 〉 = h l−2k , k, l ∈ Z, h 2 k = 1.• Konstrukce ψ je dána následující procedurou. Nechť l 2 je diskrétní analogprostoru L 2 (R). Je-li φ ∈ V 0 ⊂ V 1 a {φ(2t − n)} je ortonormální bází V 1 , pakposloupnost koeficientů h n ∈ l 2 splňuje dilatační rovnici∀kφ(t) = √ 2 ∑ n∈Zh n φ(2t − n).Vyřešení této rovnice odstartovalo konstrukci ortonormálních waveletů. Zdeh n jsou škálovací filtrační koeficienty zaručující ortonormalitu, má-li φ(t) kompaktnínosič, pak počet těchto nenulových koeficientů je nenulový.• Definujmeψ(t) = √ 2 ∑ n∈Zg n φ(2t − n),pak právě wavelety ψ mn = 2 − m 2 ψ(2 −m t−n), m, n ∈ Z tvoří ortonormální waveletovébáze prostorů W m , které nazýváme Daubechiesové (tyto wavelety nemajížádné osy symetrie, ortonormalita waveletů je zaručena i mezi různými úrovněmim). Pro ortogonální báze φ(t) = ∑ h n φ(2t − n), ψ(t) = ∑ g n φ(2t − n).n∈Zn∈ZNěkteré další podmínky pro sestavení waveletů (nejsou nutné):• ∫ +∞φ(t)dt = 1, zde φ lze chápat jako prostorovou hustotu rozdělení pravděpodobnostináhodné veličiny t za podmínky, že φ(t) ≧ 0, t ∈ R. Uvažujeme-li,−∞že střední hodnota náhodné veličiny t je 0 a její rozptyl 1, pak ∫ +∞tφ(t)dt = 0,∫−∞+∞−∞ t2 φ(t)dt = 1,• ∫ +∞−∞ tk ψ(t)dt = 0, k = 1, 2, ... nulovost momentů k-tého stupně,∫ +∞• pro ψ(t) ≧ 0 : ψ(t)dt = 1,−∞• podmínka na symetrii apod.Budeme se snažit nalézt škálovací funkci tvořící ortonormální multirozklad.

6.5 DWT 53Figure 6.1 Ukázka škálové a waveletové funkce neboli též otcovského a mateřskéhowaveletu pro Db2 a Meyerovskou bázi6.5 DWTOd této kapitoly dále budeme používat v multirozkladu indexaci V m ⊂ V m−1 .Nejdříve najdeme filtrační koeficienty, které prostřednictím dilatační rovnice budoudefinovat škálovací funkci s požadovanými vlastnostmi. Kromě ortogonality budemeještě požadovat kompaktní nosič. Číselné hodnoty filtračních koeficientů jako prvníspočítala Ingrid Daubechies (1988). Ortonormální wavelety s 2M = N nenulovýmifiltračními koeficienty se zančí DN(dbN) resp. D2M(db2M). Např. wavelet D1 jeortonormální wavelet 1. řádu tzv. Haarův wavelet.Škálovací filtrační koeficienty h n (koeficienty projekčního operátoru P do prostoruškálovacích funkcí) budeme značit: h = (h 0 , h 1 , . . . , h N−1 ) T . Waveletové filtračníkoeficienty g n (koeficienty projekčního operátoru Q do prostoru waveletovskýchfunkcí) g = (g 0 , g 1 , . . . , g N−1 ) T . V důsledku ortogonality vektoru h a g navšech hladinách i mezi hladinami rozkladu koeficienty g n vypočteme ze vztahug n = (−1) n h N−1−n .Příklad 6.5. Řešením dilatační rovnice určete hodnoty škálovacích a waveletovskýchfiltračních koeficientů nejjednoduššího Haarova waveletu.Řešení. Ortonormální báze L 2 (R) je tvořená translacemi a dilatacemi mateřskéhoHaarova waveletu⎧⎪⎨ 1 t ∈ [0, 1)2ψ(t) = −1 t ∈ [ 1 2 ⎪⎩, 1) .0 t /∈ [0, 1)Prvky této báze nejsou hladké křivky a mají rozptyl 1/ω frekvenčního rozsahu. Přit → 0 ⇔ ω → ∞, při t → ∞ ⇔ ω → 0. Škálovací filtrační koeficienty jsouh = (h 0 , h 1 ) T , waveletovské filtrační koeficienty g = (g 0 , g 1 ) T , jejich hodnoty jsouurčeny rovnicemih 2 0 + h 2 1 = 1, (6.3)g 0 + g 1 = 0. (6.4)

54 Waveletová (vlnková) transformace (WT)Rovnici (6.3) sestavíme na základě podmínky ortonormality na hladině s indexem m:‖h‖ 2 = 〈h, h〉 = 1, rovnici (6.4) sestavíme použitím požadavku ∫ ψ(t)dt = 0 v diskrétnímtvaru ∑ g k = 0. Jelikož má platit g n = (−1) n h N−1−n ⇒ g 0 = h 1 , g 1 = −h 0 ,R∀kpak dosazením za g 0 , g 1 a dořešením soustavy obdržímeh 0 = h 1 = 1 √2⇒ g 0 = 1 √2, g 1 = − 1 √2.Obecně pro výpočet škálovacích parametrů lze sestavit následující soustavu rovnic:{2M−1∑1, m = 0• v důsledku ortogonality: h n h n+2m = δ m =, m = 0, 1, ..., M−10, m ≠ 0• z hlediska normování:n=02M−1∑n=0h n = √ 2,• nulovost momentů k-tého stupně zajistíme:• rovnice2M−1∑(−1) n n k h n = 0, k = 0, 1, ..., M−1,2M−1n=0∑(−1) n h n = 0 je lineárních kombinací výše uvedených.n=0V důsledku ortogonality koeficientů pro výpočet doplňkové informace při danýchfiltračních parametrech vypočteme g n . Tyto koeficienty použijeme pro popis algoritmupřímé a zpětné DWT, při výpočtu časově-frekvenčního spektra, při odšumováníapod. Při výpočtu budeme přecházet na hladiny s vyšším indexem - čím menšíindex hladiny, tím větší frekvence charakterizuje.Nejčastěji používané škálové funkce (otcovské wavelety) jak v časové oblasti, takjejich obraz v oblasti frekvenční jsou vyobrazeny na obrázku 6.2.6.6 Mallatův algoritmus - rychlá DWT - FWTMallatův algoritmus (pyramidální, kaskádový) je sestaven pro případ ortonormálníchwaveletů a často je nazýván rychlá DWT (FWT - Fast Wavelet Transform).Algoritmus vyžaduje, aby vstupní vektor obsahoval počet vstupních hodnot N = 2 nnebo k2 n , k, n ∈ N.Nechť vstupní diskrétní data jsou f = f 0 = a 0 = (f 0 , f 1 , . . . , f N−1 ) T . Pomocíoperátorů ortogonálních projekcí do diskretizovaného škálového podprostoru V m

21.510.50−0.51 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 21.210.80.60.40.20−0.21 1.5 2 2.5 3 3.5 40.80.70.60.50.40.30.20.10−0.1−0.21 2 3 4 5 6 7 80.70.60.50.40.30.20.10−0.1−0.2−0.30 2 4 6 8 10 12 14 162.521.510.51.51.41.31.21.101 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 210.91 1.5 2 2.5 3 3.5 41.510.51.501 2 3 4 5 6 7 810.500 2 4 6 8 10 12 14 1610.80.60.40.20−0.2−0.40 5 10 15 20 25 30 350.60.50.40.30.20.10−0.1−0.2−0.30 10 20 30 40 50 60 700.80.70.60.50.40.30.20.10−0.1−0.20 2 4 6 8 10 12 14 160.90.80.70.60.50.40.30.20.10−0.10 2 4 6 8 10 12 14 16 181.510.51.50.500 5 10 15 20 25 30 3511.50.500 10 20 30 40 50 60 7011.50.500 2 4 6 8 10 12 14 16100 2 4 6 8 10 12 14 16 180.80.70.60.50.40.30.20.10−0.10 5 10 15 20 250.80.70.60.50.40.30.20.10−0.1−0.20 10 20 30 40 50 60 700.60.50.40.30.20.10−0.11 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60.150.10.050−0.05−0.11 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 61.510.51.50.500 5 10 15 20 2510.80.60.40.200 10 20 30 40 50 60 70101 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60.350.30.250.20.150.10.0501 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 66.6 Mallatův algoritmus - rychlá DWT - FWT 55Haar=Db1 Db16 Coif4Db2 Db32 DmeyDb4 Sym8 Complex Re částDb8 Bior6.8 Complex Im částObr. 6.2Přehled škálových funkcí (otcovských waveletů) v časové a frekvenční oblastia do diskretizovaného waveletovského podprostoru W m reprezentovaných maticemiP m , Q m lze prvek f m−1 = a m−1 ∈ V m−1 rozložit:[ ] [ ]PmamfQ m−1 = = cm d m ,ma m = f m ∈ V m , d m ∈ W m pro m = 1, 2, .... Řádky těchto projekčních matic budoutvořeny filtračními škálovými h T resp. waveletovskými koeficienty g T posouvanýmio dva body, tedy⎡P m = H m =⎢⎣⎡Q m = G m =⎢⎣⎤h 0 h 1 h 2 h 3 0 0 · · · 00 0 h 0 h 1 h 2 h 3 · · · 00 0 · · · . . .⎥0 0 · · · · · · h 0 h 1 h 2 h 3⎦h 2 h 3 0 · · · · · · 0 h 0 h 1⎤g 0 g 1 g 2 g 3 0 0 · · · 00 0 g 0 g 1 g 2 g 3 · · · 00 0 · · · . . .⎥0 0 · · · · · · g 0 g 1 g 2 g 3⎦g 2 g 3 0 · · · · · · 0 g 0 g 1m-tý krok přímé DWT je dán vztahem[ ] [ ]am Hmc m = = ad m G m−1 = M m f m−1 . (6.5)m.,

56 Waveletová (vlnková) transformace (WT)Výsledkem této procedury jsou vektory a m , d m , d m−1 , . . . , d 1 (listy stromu multirozkladu)tvořící waveletovské spektrum popisující časově-frekvenční lokalizaci vstupníhosignálu. Složky aproximačního vektoru a m = (a m,1 , a m,2 , ..., a m,M ) T jsou dányskalárním součinem a m,n = 〈f m−1 , φ mn 〉 a určují celkový trend vstupních dat (nižšífrekvence, komprimovaná část). Složky doplňkového vektoru d m = (d m,1 , d m,2 , ..., d m,M ) Tjsou dány skalárním součinem d m,n = 〈f m−1 , ψ mn 〉 a obsahují doplňující informacio jemnostech (vyšší frekvence).Z ortonormality plyne M −1m = M T m, pak odpovídající krok zpětné DWT je dánvztahem[ ] T [ ]Hm ama m−1 = f m−1 == M TG m d mmc m . (6.6)Příklad 6.6. Nechť vstupní vektor f = f 0 = a 0 = (1, 3, 6, 2, 7, 8, 4, 5) T . Spočtětejeho DWT s užitím Haarova waveletu.[ ]PkŘešení. Nejprve vytvoříme matice M k = , k = 1, 2, 3 pro DWT na k-touQ kúroveň, která bude tvořena pomocí škálovacích a waveletovských filtračních koeficientůposouvaných o 2 hodnoty a to tak, že matice P k+1 , Q k+1 vzniknou z P k , Q k„vyřezáním“ horního levého bloku (submatice) o polovičním počtu řádků i sloupců.⎡P 1 = √ 1⎢2 ⎣Přímá DWTc 1 = M 1 f 0 =1 1 0 0 0 0 0 00 0 1 1 0 0 0 00 0 0 0 1 1 0 00 0 0 0 0 0 1 1P 2 = 1 √2[ 1 1 0 00 0 1 1[P1⎤ ⎡⎥⎦ , Q 1 = √ 1⎢2 ⎣1 −1 0 0 0 0 0 00 0 1 −1 0 0 0 00 0 0 0 1 −1 0 00 0 0 0 0 0 1 −1], Q 2 = 1 √2[ 1 −1 0 00 0 1 −1P 3 = 1 √2[1 1], Q3 = 1 √2[1 −1].⎡]aQ 0 = √ 11 2 ⎢⎣1 1 0 0 0 0 0 00 0 1 1 0 0 0 00 0 0 0 1 1 0 00 0 0 0 0 0 1 11 −1 0 0 0 0 0 00 0 1 −1 0 0 0 00 0 0 0 1 −1 0 00 0 0 0 0 0 1 −1],⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣13627845⎤=⎥⎦⎤⎥⎦ ,

6.6 Mallatův algoritmus - rychlá DWT - FWT 57c 2 = M 2 f 1 =c 3 = M 3 f 2 =Zpětná DWT[P3[P2⎡= √ 12 ⎢⎣Q 2]a 1 = 1= 1 2⎡⎢⎣1224−46Q 3]a 2 = 148159−24−1−1⎡√ ⎢2⎤⎣⎡⎥⎦ = ⎢⎣⎤=⎥⎦[a1d 1],1 1 0 00 0 1 11 −1 0 00 0 1 −1612−23⎤⎤⎥⎦[ ]⎥⎦ = a2,d 2[ ] [ ]1 1 6√2 1 −1 12a 2 = f 2 = M T 3 c 3 = 1 √2[ 1 11 −1⎡a 1 = f 1 = M T 2 c 2 = √ 1⎢2 ⎣⎡a 0 = f 0 = M T 1 c 1 = √ 12 ⎢⎣1 0 1 01 0 −1 00 1 0 10 1 0 −1] 1 √2[ 18−6⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎡1√ ⎢2 ⎣= 1 √2[ 18−6612−231 0 0 0 1 0 0 01 0 0 0 −1 0 0 00 1 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 −1 0 00 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 0 0 −1 00 0 0 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 −1] [ 6=1248159]=⎤ ⎡⎥⎦ = √ 1⎢2 ⎣⎤ ⎡1√ 2 ⎥ ⎢⎦ ⎣],48159−24−1−1⎤⎥⎦ =48159[a3⎤d 3].⎤⎥⎦ ,⎡=⎥ ⎢⎦ ⎣Poznámka 6.7. Vedle uvedeného algoritmu (standardní DWT) existuje stacionárníDWT, kde nedochází ke kompresi. Při sestavení algoritmu v matici M senepoužívá posuv o 2 místa, ale posuv jen o 1 místo resp. vložení 0 mezi každé dvě13627845⎤.⎥⎦

58 Waveletová (vlnková) transformace (WT)ffa 1 d 1a 1 d 1aa3 32dd2a 2 d 2,1 d 2,2 d 2,3a 3 d 3,1 d d d d d d3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7Figure 6.3 3-úrovňový multirozklad a paketový rozkladsložky vektoru. Matici M rozložíme na 2 matice H, G, které sestavíme z filtračníchkoeficientů s posunem jen o 1 místo resp. při sestavení matic H, G za každý filtračníkoeficient vložíme 0, pak provedeme posun o 2 místa. Pak a 1 = Hf, d 1 = Gf budouvektory stejné délky jako vstupní signál f.6.7 Paketový rozkladNechť m značí index transformační hladiny (větší index charakterizuje menší frekvencea větší měřítko, tedy hladinu s menší rozlišovací schopností) a a m komprimovanýsignál (aproximace signálu, trendová část) na hladině m a d m ortogonálnídoplněk (zachycující odlišnosti, jemnosti) na hladině m. Podstata paketového rozkladuje v tom, že můžeme stejným způsobem jako s vektory a m pracovat s vektoryd m . Při multirozkladu provádíme sekvenci kroků[ ] [ ]am Hm= ad m G m−1 ,mu paketového rozkladu budeme navíc provádět v každém kroku pro k = 1, ..., K m−1 ,kde K m−1 je počet doplňků na hladině s indexem m − 1, následující operace[ ] [ ]dm,2k Hm= dd m,2k+1 G m−1,k ,mtj. budeme provádět DWT každého doplňku na hladině s indexem m − 1, čímžbudeme budovat strom paketového rozkladu symetricky do šířky, viz. obrázek 6.3.Poznámka 6.8. Výběr waveletové báze je velmi důležitý a ovlivňuje výsledky zpracování.Obvykle se waveletová báze volí tak, aby se co nejvíce podobala zpracovávanémusignálu - lépe zachycuje frekvence. Při okenní transformaci jsou odstraněnyvysoké frekvence (dochází k vyhlazení), zatímco u waveletové transformace jsou zachycenyvšechny frekvence. WT se hodí jak pro stacionární, tak pro nestacionárnísignály.Aproximační vlastnosti waveletů - dnes existuje celá řada různých hledisek, dlekterých lze wavelety dělit na spojité, diskrétní, lineární, harmonické, ortogonální,

6.8 Dvourozměrná WT 59biortogonální, s kompaktním nosičem a jiné. Lze však vyčlenit 3 základní parametry,podle nichž lze hodnotit aproximační vlastnosti waveletů: L - stupeň lokalizace, C- počet prvních nulových momentů, S - hladkost, tj. do které třídy funkcí příslušnáškálová funkce patří.Příklad 6.9. Proveďte DWT vzorkovaného reálného seismického signálu na 2 hladinypomocí Meyerovského waveletu a filtraci pomocí kvantilového prahování.Řešení. Výsledek je zobrazen na obr. 6.4.Obr. 6.4Reálný seismic.signál, jeho DWT a rekonstrukce po kvantil. prahováníPříklad 6.10. Pomocí DWT a multirozkladu nalezněte časově-frekvenční spektrumhudební skladby 5.2.Řešení. Při řešení byla provedena 3-úrovňová MRA analýza, čímž jsme obdrželi 4frekvenční hladiny odpovídající koeficientům a 3 , d 3 , d 2 , d 1 , 1. hladina (a 3 ) obsahujefrekvence 0-2756,25 Hz, 2. hladina (d 3 ) frekvence 2756,25-5512,5 Hz, 3. hladina (d 2) frekvence 5512,5-11025 Hz a 4. hladina (d 1 ) frekvence 11025-22050 Hz. Výslednémultirozklady, jejich Fourierovská amplitudová a časově-frekvenční spektra i při pohledushora získaná pomocí waveletu Db8 a Bior6.8 jsou vykreslena na obrázku 6.5.6.8 Dvourozměrná WTTriviální způsob vytvoření 2D ortonormální waveletovské báze z ortonormální 1Dwaveletovské báze ψ m,n (t) = m m/2 ψ(2 m t−n) je založen na jejich tenzorovém součinu:ψ m1 ,n 1 ,m 2 ,n 2(t 1 , t 2 ) = ψ m1 ,n 1 ,m 2 ,n 2(x, y) = ψ m1 ,n 1 ,(x)ψ m2 ,n 2(y).

60 Waveletová (vlnková) transformace (WT)Algoritmus 6.1 Implementace přímé, zpětné DWT (Haarův wavelet) a její použitípři filtracifunction [ca, cd]=mydwt(a)N=length(a);h(1)=1; h(2)=1; h=h/sqrt(2);g(1)=1; g(2)=-1; g=g/sqrt(2);for i=1:N/2H(i,(i-1)*2+1:(i-1)*2+length(h))=h;G(i,(i-1)*2+1:(i-1)*2+length(h))=g;endM=[H; G];b=M*a;ca=b(1:N/2,1);cd=b(N/2+1:N,1);_________________________________________________________function [a]=myidwt(ca, cd)c=[ca; cd]; N=length(a);h(1)=1; h(2)=1; h=h/sqrt(2);g(1)=1; g(2)=-1; g=g/sqrt(2);for i=1:N/2H(i,(i-1)*2+1:(i-1)*2+length(h))=h;G(i,(i-1)*2+1:(i-1)*2+length(h))=g;endM=[H; G];a=M’*c;___________________________________________________________function [C,R]=wavdemo(f,M)N=length(f); C=f;for i=1:Mfor j=1:2^(i-1)n=N/2^(i-1); %delka paketu na i-te hladine% Vypocet komprim.,dopln. koef. pomoci komplex. waveletu[ca, cd]=mydwt(C(i,(j-1)*n+1:j*n));C(i+1,(j-1)*n+1:j*n)=[ca(1:n/2), cd(1:n/2)];endend% VyhlazeniR=C;for i=1:Nif(abs(C(M+1,i))

6.8 Dvourozměrná WT 611.5Db81.5x 10 4Bior6.8x 10 4 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000110.50.500−0.5−0.5−1−1−1.5−1.50 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000x 10 6 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000x 10 62.52.5221.51.5110.50.500 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000Figure 6.5 Časově-frekvenční analýza hudební skladby pomocí DWT

62 Waveletová (vlnková) transformace (WT)V nové bázi proměnné x, y mají různé koeficienty dilatace.Jiná konstrucke je, že 2D wavelet je tvořen jakoψ m,n (x, y) = 2 m ψ(2 m x − n, 2 m y − k),kde proměnné x, y mají v nové bázi stejné koeficienty dilatace. Funkce ψ v tomtopřípadě je tvořena 3 elemetnárními wavelety2 m ψ 1 (2 m x−n)ψ 2 (2 m y−k), 2 m ψ 2 (2 m x−n)ψ 1 (2 m y−k), 2 m ψ 2 (2 m x−n)ψ 2 (2 m y−k).Analýza se provádí v horizontálním směru, ve vertikálním a po diagonále.Na obrázku 6.6 je znázorněno rozložení waveletovských koeficientů geometrickýchobjektů při různých úrovních rozkladu m = 1 a m = 2 ale při stejných dilatačníchkoeficientech. Při dekompozici f = f 0 mající M řádků a N sloupců na první úroveňpoužijeme 1D DWT nejdříve na řádky (sloupce) a pak na sloupce (řádky), 2D DWTna první hladinu rozkladu bude.[ ]TTHmM ff m =m−1 H mN H mM f m−1 G mNTT = MG mM f m−1 H mN G mM f m−1 G mM f m−1 M T mN, m = 1, 2, ...,mNpro m = 1f ∈ R M×N , M 1M ∈ R M×M , M 1N ∈ R N×N , H 1M , G 1M ∈ R M 2 ×M , H 1N , G 1N ∈ R N 2 ×N .

6.8 Dvourozměrná WT 63Obr. 6.6Dvourozměrná DWT - Matlabovský příklad

64Kapitola 7Z-transformace7.1 Definice přímé a zpětné Z-transformacePři studiu spojité Laplaceovy transformace jsme u originálu f(t) požadovali tzv.ohraničený (omezený) růst a po částech spojitost f(t) i f ′ (t), pak L-obrazem bylakomplexní funkce komplexní proměnné F (s). V případě Z-transformace bude originálemposloupnost komplexních resp. reálných čísel {f n } ∞ n=0a Z-obrazem komplexnífunkce komplexní proměnné F (z).∑Věta 7.1. Nechť pro řadu ∞ f n z −n ∃M ∈ R +n=0∃s ∈ R ∀n ∈ N ∪ {0} : |f n | ≦ Me sn , (7.1)pak je řada konvergentní na množině Ω = {z ∈ C : |z| > e s = R} (tj. vně kruhuo poloměru R).Definice 7.2. Nechť {f n } ∞ n=0je číselná posloupnost v C resp. R splňující (7.1).Jednostranná Z-transformace této posloupnosti je definována∞F (z) = Z ({f n } ∞ n=0 ) = ∑f n z −n . (7.2)n=0Poznámka 7.3. V celém textu budeme mít pod pojmem Z-transformace na myslivždy jednostrannou Z-transformaci.Důkaz. Pro případ jednostranné Z-transformace při platnosti (7.1) dokážeme absolutníkonvergenci řady z níž plyne její konvergence∞∑∞∑f n z −n ≦ ∣ fn z −n∣ ∑ ∞∣ = |f n | ∣ ∣ ∑ ∞z−n ≦ M (e s z −1 ) n M=1 − e s |z| −1 < ∞, |z| > es .n=0n=0n=0n=0

7.1 Definice přímé a zpětné Z-transformace 65Věta 7.4. Z-transformace posloupnosti {f n } ∞ n=0daná vztahem (7.2) je v oblasti Ωregulární (holomorfní) funkce F (z) komplexní proměnné z. Bod z = ∞ je bodemodstranitelné singularity, nebo v něm F (z) není singulární. Vždy ale platílim F (z) = f 0.z→∞Poznámka 7.5. Singulární body F (z) leží uvnitř nebo na hranici kruhu s poloměremR.Ke všem posloupnostem {f n } ∞ n=0vyhovujícím nerovnosti (7.1) podle věty 7.1existuje jejich Z-obraz F (z) na množině Ω. Naskýtá se otázka, zda naopak ke všemfunkcím F (z), holomorfním (regulárním) na množině Ω odpovídá právě jedna posloupnost{f n } ∞ n=0splňující uvedené podmínky a vztah (7.2). Na tuto otázku odpovídánásledující věta.Věta 7.6. Ke každé funkci regulární (holomorfní) F (z) na P (∞) a mající v ∞buď odstranitelnou singularitu, nebo žádnou, tzn. lim F (z) ≠ ∞ , existuje právěz→∞jedna posloupnost {f n } ∞ n=0splňující (7.1).Důkaz. Řada (7.2) reprezentuje regulární část Laurentova rozvoje funkce F (z) sestředem v bodě ∞, tedy existuje prstencové okolí P (∞), v němž je F (z) regulární.Z jednoznačnosti Laurentova rozvoje plynef n = 1 ∫F (z)z n−1 dz (7.3)2πi γpro ∀n ∈ N∪{0}, γ(t) = Re it , t ∈ [0, 2π] , R ∈ R + tak aby obraz křivky 〈γ〉 ⊂ P (∞).K důkazu ohraničenosti růstu|f n | = 1∫2π ∣ F (z)z n−1 dz∣ ≦ 2πR2π MRn−1 = MR n = Me n ln R = Me sn , M = max |F (z)| .z∈〈γ〉γDefinice 7.7. Vztah (7.3) definuje zpětnou (inverzní) Z-transformaci.

66 Z-transformacePoznámka 7.8. Při řešení konkrétních úloh je Z–obraz F (z) nejčastěji dán racionálnífunkcí, jejíž čitatel je nejvýše stejného stupně jako jmenovatel. Pak zpětnouZ-transformaci lze provést několika snadnějšími způsoby (obdobně jako v případěLaplaceovy transformace):1. F (z) rozložíme na funkce, k nimž známe vzory, využíváme vlastností Z-transformacea postupně budujeme „slovník“.2. má-li F (z) konečný počet singulárních bodů, pak při výpočtu integrálu vevztahu (7.3) lze použít základní větu o reziduíchf n = 1 ∫F (z)z n−1 dz =2πi γk∑Res [ F (z) z n−1] z=z i, (7.4)kde k je počet singulárních bodů.3. využití věty o obrazu konvoluce dvou posloupností v případě, že F (z) je součinemdvou funkcí.Příklad 7.9. Určete Z-transformaci posloupnosti {f n } ∞ n=0 , f 0 = a ∈ C, f n = 0 pro∀n ∈ N.Řešení. Z ({f n } ∞ n=0 ) = ∑ ∞ ∑f n z −n = a + ∞ 0z −n = a.z 0n=0n=1Příklad 7.10. Určete Z-transformaci posloupnosti {f n } ∞ n=0 , f n = a ∈ C pro ∀n ∈ N∪∪ {0}.Řešení. Z ({f n } ∞ n=0 ) = ∑ ∞ ∑f n z −n = ∞ ∑az −n = a ∞ z −n =n=0n=0i=1n=0a1−z −1= azz−1 , |z| > 1. Příklad 7.11. Určete Z-transformaci posloupnosti {f n } ∞ n=0 , f n = e cn , c ∈ C pro∀n ∈ N ∪ {0}.Řešení. Z ({f n } ∞ n=0 ) = ∑ ∞ ∑f n z −n = ∞ ∑e cn z −n = ∞ ( )z −n=e c 1, |z| >z−e cn=0n=0n=0=1−( zze c )−1> |e c | . Příklad 7.12. Dokažte, že originálem{Z-transformace k funkci F (z) = 1je posloupnost {f n } ∞ n=0 , f 0 k = nn = δ kn =1 k ≠ n .z k ,k ∈ NŘešení. Sestavíme Z-obraz δ knZ ({δ kn } ∞ n=0 ) = ∞∑n=0δ kn z −n = 0 + 0 z + . . . + 0z k−1 + 1 z k + 0z k+1 + . . . = 1 z k ,|z| > 0

7.2 Vlastnosti Z-transformace 67Příklad 7.13. Najděte zpětnou Z-transformaci funkce F (z) = z(z−1)(z−1) 3 .Řešení. Výpočet provedeme pomocí vztahu (7.4). F (z) má v čitateli polynom 2.stupně, v jmenovateli polynom 3.stupně. f n můžeme vypočítat jakof n = 1 ∫z(z − 1)2πi (z + 1) 3 zn−1 dz = 1 ∫z n (z − 1)2πi (z + 1) dz, 3γkde γ je kružnice se středem 0 + 0i a poloměrem R > 1. Integrovaná funkce máv bodě −1 + 0i pól třetího řádu. Podle věty o reziduích platíz n (z − 1)f n = Res z=−1 = 1 ∂ 2lim(z + 1) 3 2! z→−1 ∂z 2 (zn (z − 1)) == 1 2 lim((n + 1)nz n−1 − n(n − 1)z n−2) =z→−1= 1 ((n + 1)n(−1) n−1 − n(n − 1)(−1) n−2) =2γ= (−1)n−12(n 2 + n + n 2 − n ) = (−1) n−1 n 2 .7.2 Vlastnosti Z-transformaceVěta 7.14. (linearita Z-transformace) Nechť posloupnosti {f n } ∞ n=0 , {g n} ∞ n=0 splňujípodmínky pro sestavení Z-obrazů F (z), G(z). Nechť a, b jsou komplexní (reálné)konstanty, pakZ ({af n + bg n } ∞ n=0) = aF (z) + bG(z).Důkaz. Plyne přímo z definice:∞Z ({af n + bg n } ∞ n=0 ) = ∑∞∑∞∑(af n + bg n ) z −n = a f n z −n +b g n z −n = aF (z)+bG(z).n=0n=0n=0Příklad 7.15. Pomocí věty o linearitě určete Z-transformaci posloupnosti {f n } ∞ n=0dané vztahem f n = cos(cn) ∀n ∈ N ∪ {0}, kde c ∈ C.Řešení. Z příkladu 7.11 víme, žeZ ({ e icn} ∞ )n=0 = F1 (z) = zz − e , |z| > ic |ec |,Z ({ e −icn} ∞n=0)= F2 (z) =zz − e −ic , |z| > |e−c |.

68 Z-transformaceNyní využijeme větu o linearitě({ 1Z ({cos(cn)} ∞ n=0 ) = Z 2 eicn + 1 } ∞ )2 e−icn = 1n=02 F 1(z) + 1 2 F 2(z) ==z(z − cos(c))z 2 − 2z cos(c) + 1 ; |z| > max { |e c |, |e −c | } .Věta 7.16. (o podobnosti obrazů) Je dána posloupnost {f n } ∞ n=0, její obraz F (z)a C ∋ a ≠ 0. PakZ ({a n f n } ∞ n=0 ) = F (z a ).Důkaz. Plyne přímo z definice∞Z ({a n f n } ∞ n=0 ) = ∑a n f n z −n =n=0∞∑ ( z) −n ( zf n = F .a a)n=0Věta 7.17. (násobení originálu exponenciální funkcí - tlumení) Nechť F (z) je Z--obraz posloupnosti {f n } ∞ n=0, nechť a je komplexní konstanta, pak( z)Z ({e an f n } ∞ n=0 ) = F .e aDůkaz. Plyne přímo z definice:∞Z ({e an f n } ∞ n=0 ) = ∑e an f n z −n =n=0∞∑n=0f n( ze a ) −n= F( ze a ).Věta 7.18. (Z-obraz konvoluce originálů (vzorů), věta o součinu obrazů) Mějmeposloupnosti {f n } ∞ n=0 , {g n} ∞ n=0a jejich Z-obrazy F (z), G(z). PakZ ( ({{(f ⋆ g) n} ∞ ) n∑} ∞ ) ({ n∑} ∞ )n=0 = Z f i g n−i = Z f n−i g i = F (z)G(z).i=0n=0i=0n=0

7.2 Vlastnosti Z-transformace 69Důkaz. Mějme obrazy F (z), G(z) a jejich originály {f n } ∞ n=0 , {g n} ∞ n=0. Součin F (z)G(z)bude( ∞) (∑∞) )∑∞∑F (z)G(z) = f l z −l g k z −k = f i g n−i z −n == Zl=0({ n∑i=0k=0f i g n−i} ∞n=0)n=0( n∑i=0= Z ( {(f ⋆ g) n} ∞ n=0).Příklad 7.19. Pomocí věty o součinu obrazů určete Z-transformaci posloupnosti{f n } ∞ n=0 dané vztahem f n = 1 + e c + e 2c + . . . + e nc , ∀n ∈ N ∪ {0}.Řešení. Protože pro posloupnosti {a n } ∞ n=0 , {b n} ∞ n=0 dané vztahy a n = e cn , b n = 1,∀n ∈ N ∪ {0} platí {(a ⋆ b) n} ∞ n=0 = {f n} ∞ n=0a protože z předchozích příkladů známevýsledkyZ ({a n } ∞ n=0 ) = Z ({ecn } ∞ n=0 ) = zz − e , |z| > c |ec |,plyne z věty o konvoluci vzorůZ ({f n } ∞ n=0 ) = Z ( {(a ⋆ b) n} ∞ n=0Z ({b n } ∞ n=0 ) = Z ({1}∞ n=0 ) =z , |z| > 1,z − 1)= F (z)G(z) =z 2(z − 1)(z − e c ) , |z| > max {|ec |, 1} .Definice 7.20. Nechť {f n } ∞ n=0je posloupnost v C a nechť k ∈ N. Pod pojmem“posloupnost {f n } ∞ n=0 posunutá o k vpravo”, budeme značit {f n−k} ∞ n=0 , rozumímeposloupnost{f n−k } ∞ n=0 = {0, 0, . . . , 0, f 1, f 2 , f 3 , . . .}a pod pojmem “posloupnost {f n } ∞ n=0{f n+k } ∞ n=0, rozumíme posloupnost{f n+k } ∞ n=0 = {f k, f k+1 , f k+2 , . . .} .posunutá o k vlevo”, budeme značitVěta 7.21. (posunutí vzoru (originálu) vpravo) Nechť posloupnost {f n } ∞ n=0máobraz F (z) a k ∈ N. Pro posloupnost posunutou o k vpravo, tj. {f n−k } ∞ n=0pak platíZ ({f n−k } ∞ n=0 ) = z−k F (z).

70 Z-transformaceDůkaz. Posunutou posloupnost rozložíme na dvě posloupnosti, a provedeme přeindexováník−1Z ({f n−k } ∞ n=0 ) = ∑∞∑ ∑k−1f n−k z −n + f n−k z −n = 0z −n +n=0n=kn=0∞∑f i z −(i+k) =i=0∑ ∞= z −k f i z −i = z −k F (z).i=0Příklad 7.22. Pomocí věty o posunutí vzoru vpravo určete Z-transformaci posloupnosti{f n } ∞ n=0 dané vztahem f n = e c(n−k) , ∀n ∈ N ∪ {0}, k ∈ N a c ∈ C.Řešení. Posloupnost {f n } ∞ n=0 získáme z posloupnosti {g n} ∞ n=0 dané vztahem g n = e cn ,∀n ∈ N ∪ {0} posunutím o k vpravo. Z příkladu 7.11 víme, žeZ ({e cn } ∞ n=0 ) =Použitím věty o posunutí vpravo dostaneme:Z ({f n } ∞ n=0 ) = Z ( {ec(n−k) } ∞n=0)zz − e c = G(z), |z| > |ec |.= Z ({g n−k } ∞ n=0 ) = G(z)z k =zz k (z − e c ) , |z| > |ec |.Věta 7.23. (posunutí vzoru vlevo) Nechť posloupnost {f n } ∞ n=0má obraz F (z)a k ∈ N. Pro posloupnost posunutou o k vlevo, tj. {f n+k } ∞ n=0pak platí)Z ({f n+k } ∞ n=0(F ) = ∑k−1zk (z) − f n z −n .n−1Důkaz. Z tvaru posloupnosti posunuté o k vlevo dostáváme∞(Z ({f n+k } ∞ n=0 ) = ∑∞∑∞)∑ ∑k−1f n+k z −n = f i z −(i−k) = z k f i z −i − f i z −i =n−1i=ki=0i=0)∑k−1= z(F k (z) − f n z −n .n=0Příklad 7.24. Pomocí věty o posunutí vzoru vpravo určete Z-transformaci posloupnosti{f n } ∞ n=0 dané vztahem f n = e c(n+k) , ∀n ∈ N ∪ {0} , k ∈ N a c ∈ C.

7.2 Vlastnosti Z-transformace 71Řešení. Posloupnost {f n } ∞ n=0 získáme z posloupnosti {g n} ∞ n=0 dané vztahem g n = e cn ,∀n ∈ N ∪ {0} posunutím o k vlevo. Z příkladu 7.11 víme, žeZ ({g n } ∞ n=0 ) = Z ({ecn } ∞ n=0 ) =zz − e c = G(z).Použitím věty o posunutí vpravo dostaneme) ()k−1Z ({f n } ∞ n=0 ) = Z ({g n+k} ∞ n=0(G(z) ) = ∑k−1zk − g n z −n = z k zz − e − ∑e cn z −n .cDefinice 7.25. Nechť {f n } ∞ n=0posloupnost v C a k ∈ N. Dopřednou resp. zpětnoudiferencí posloupnosti {f n } ∞ n=0 , budeme označovat {△f n} ∞ n=0 resp. {∇f n} ∞ n=0 ,rozumíne posloupnost{△f n } ∞ n=0 = {f n+1 − f n } ∞ n=0resp. {∇f n } ∞ n=0 = {f n − f n−1 } ∞ n=0 .Dopřednou resp. zpětnou diferencí k-tého řádu posloupnosti {f n } ∞ n=0 , budemeoznačovat { }△ k ∞f n resp. { }∇ k ∞fn=0 n , definujeme rekurentně pomocí první dopřednéresp. zpětné diferencen=0{ }△ k ∞f n = { △ ( )}△ k−1 ∞ { }fn=0 n resp.n=0 ∇ k ∞f n = { ∇ ( )}∇ k−1 ∞fn=0 n . n=0n=0n=0Věta 7.26. (obraz dopředných diferencí 1. řádu) Nechť posloupnost {f n } ∞ n=0 máobraz F (z). Pro obraz její první dopředné diference pak platíZ ({△f n } ∞ n=0 ) = (z − 1)F (z) − f 0z.Důkaz. Z linearity Z-transformace a věty o posloupnosti posunuté o k vlevo dostávámeZ ({△f n } ∞ n=0 ) = Z ({f n+1 − f n } ∞ n=0 ) = Z ({f n+1} ∞ n=0 ) − Z ({f n} ∞ n=0 ) == z (F (z) − f 0 ) − F (z) = (z − 1)F (z) − f 0 z.Věta 7.27. (obraz dopředných diferencí k-tého řádu) Nechť posloupnost {f n } ∞ n=0má obraz F (z). Pro obraz její k-té dopředné diference pak platíZ ({ }△ k ∞∑k−1f n n=0)= (z − 1) k F (z) − (z − 1) k−i−1 △ i f 0 .i=0

72 Z-transformaceDůkaz. Matematickou indukcí: pro k = 1Z ({ }△ 1 ∞∑1−1f n n=0)= (z − 1)F (z) − f0 z = (z − 1) 1 F (z) − z (z − 1) 1−i−1 △ 0 f 0 ,předpokládáme platnost vztahu pro k a z předpokladu dokazujeme platnost pro k+1Z ({ }△ k+1 ∞ ({ }f n n=0)= (z − 1)Z △ k ∞f n n=0)− z△ k f 0 =[]∑k−1= (z − 1) (z − 1) k F (z) − z (z − 1) k−i−1 △ i f 0 − z△ k f 0 =i=0∑k−1= (z − 1) k+1 F (z) − z (z − 1) (k+1)−i−1 △ i f 0 − z△ k f 0 (z − 1) (k+1)−k−1 =i=0i=0k∑= (z − 1) k+1 F (z) − z (z − 1) (k+1)−i−1 △ i f 0 .i=0Věta 7.28. (obraz zpětných diferencí 1. řádu) Nechť posloupnost {f n } ∞ n=0má obrazF (z). Pro obraz její první zpětné diference pak platíZ ({∇f n } ∞ n=0 ) = z − 1 F (z).zDůkaz. Z linearity Z-transformace a věty o posloupnosti posunuté o k vpravo dostávámeZ ({∇f n } ∞ n=0 ) = Z ({f n − f n−1 } ∞ n=0 ) = Z ({f n} ∞ n=0 ) − Z ({f n−1} ∞ n=0 ) == F (z) − z −1 F (z) = z − 1 F (z).zVěta 7.29. (obraz zpětných diferencí k-tého řádu) Nechť posloupnost {f n } ∞ n=0 máobraz F (z). Pro obraz její k-té zpětné diference pak platíZ ({ ∇ k f n} ∞n=0( )) k z − 1 = F (z).z

7.2 Vlastnosti Z-transformace 73Důkaz. Matematickou indukcí: pro k = 1Z ({ ∇ 1 f n} ∞n=0( )) 1 z − 1 = F (z),zpředpokládáme platnost vztahu pro k a z předpokladu dokazujeme platnost pro k+1Z ({ ∇ k+1 f n} ∞n=0) z − 1 = Z ({ }∇ k ∞ ) z − 1f nzn=0 =z( ) k ( ) k+1 z − 1z − 1F (z) =F (z).zzVěta 7.30. (derivace obrazu) Nechť posloupnost {f n } ∞ n=0platíZ ({n f n } ∞ dF (z)n=0) = −zdz .má obraz F (z). PotomDůkaz. Podívejme se blíže na první derivaci F (z)ddz F (z) = d dz= − 1 z∞∑f n z −n =n=0∞∑n=0∞∑−nf n z −n−1 =n=0nf nz n = −1 z Z ({n f n} ∞ n=0 ) ⇒ d dz F (z) = −1 z Z ({n f n} ∞ n=0 ) .Vynásobíme-li obě strany posledního výrazu −z, z ≠ 0 dostaneme dokazovaný vztah.Příklad 7.31. Pomocí věty o derivaci obrazu určete Z-transformaci posloupnosti{f n } ∞ n=0 dané vztahem f n = n, ∀n ∈ N ∪ {0}.Řešení. Posloupnost {f n } ∞ n=0 získáme z posloupnosti {g n} ∞ n=0 dané vztahem g n = 1,∀n ∈ N ∪ {0} násobením každého n-tého členu posloupnosti číslem n. Z-obraz posloupnosti{g n } ∞ n=0(viz. příklad 7.10, a = 1) budeZ ({g n } ∞ n=0 ) = Z ({1}∞ n=0 ) =Použitím věty o derivaci obrazu dostávámezz − 1= G(z), |z| > 1.Z ({f n } ∞ n=0 ) = Z dG(z)({n1}∞ n=0) = −zdz= −z( )′z=z − 1z(z − 1) 2 , |z| > 1.

74 Z-transformaceVěta 7.32. (integrace obrazu) Nechť posloupnost {f n } ∞ n=0 , f 0 = 0 máobraz F (z). Jako posloupnost {g n } ∞ n=0označme posloupnost danou vztahemg 0 = 0, g n = fn , ∀n ∈ N. Pro tuto posloupnost platínZ ({g n } ∞ n=0 ) = ∫ ∞zF (w)wdw.Příklad 7.33. Pomocí věty o integraci obrazu určete Z-transformaci posloupnosti{f n } ∞ n=0 dané vztahem f n = 0, f n = (−1)n−1n, ∀n ∈ N.Řešení. Pro Z-obraz posloupnosti {c n } ∞ n=0 dané vztahem c n = (−1) n , ∀n ∈ N platíZ ({c n } ∞ n=0 ) = Z ({1, −1, 1, . . . , (−1)n , . . . , }) = C(z) ==∞∑( ) n −1=zn=011 − −1z∞∑(−1) n z −n =n=0= z , |z| > 1.z + 1Posloupnost {f n } ∞ n=0 vzniká z posloupnosti {c n} ∞ n=0posunutím o jeden člen dopravaa má Z-obrazZ ({f n } ∞ n=0 ) = Z ({ 0, 1, −1, . . . , (−1) n−1 , . . . , }) = F (z) = C(z)z= 1 , |z| > 1.z + 1Pro posloupnost {g n } ∞ n=0bude Z-obraz na základě věty 7.32({Z ({g n } ∞ n=0 ) = Z 0, 1 1 , −1})2 , . . . , (−1)n−1 , . . . , =n= G(z) =( ) w= lim ln − lnw→∞ w + 1∫ ∞z∫F (w)∞wdw = 1z w(w + 1) dw =)( ) z= ln(1) − lnz + 1( zz + 1( ) z= ln .z + 1Věta 7.34. (derivace podle parametru) Nechť posloupnost {f n } ∞ n=0Potom pro derivaci f n podle parametru w platí({ } ∞ ∂fn (w) ∂F (z, w)Z=∂wn=0)∂w .má obraz F (z).

7.2 Vlastnosti Z-transformace 75Věta 7.35. (integrace podle parametru) Nechť posloupnost {f n } ∞ n=0má obraz F (z).Potom pro integraci f n podle parametru w platí( {∫ b} ∞ ∫ bZ f n (w)dw = F (z, w)dw.n=0)aaVěta 7.36. (obraz částečných součtů) Nechť posloupnost {f n } ∞ n=0má obraz F (z).Potom pro posloupnost částečných součtů {g n } ∞ n=0 posloupnosti {f n} ∞ n=0 platí{ n∑} ∞ ({ n∑} ∞ )f i = {g n } ∞ n=0 ⇒ Z ({g n} ∞ n=0 ) = Z f i = z F (z) = G(z).z − 1i=0 n=0i=0 n=0Důkaz. Nechť částečné součty jsou∑n+1g n+1 = f i , g n =i=0n∑f i .i=0První dopředná diference a její Z-obraz (věta 7.26) bude△g n = f n+1 ⇒ Z ({△g n } ∞ n=0 ) = (z − 1)G(z) − zg 0 = z (F (z) − f 0 ) = Z ({f n+1 } ∞ n=0 ) .Použitím věty o posunutí doleva a z platnosti vztahu f 0 = g 0 dostaneme(z − 1)G(z) = zF (z).Cvičení 7.37.Výsledky některých příkladů jsou uvedeny v hranatých závorkách vždy za textemzadání.1. Najděte Z-obrazy daných posloupností f n , ∀n ∈ N ∪ {0}:(a) f n = (−2) n [F (z) =zz+2],(b) f n = ( − 1 3) n [F (z) =3z+2],(c) f n = (2e a ) n , a je konstanta[(d) f n = −3n F (z) =],−3z(z−1) 2(e) f 0 = 0, f n = (−2) n , n = 1, 2, . . .[F (z) =zz−2e an ],[F (z) =1z+2],

76 Z-transformaceOriginál Obraz funkce f(t) Poznámka{fn} ∞ n=0 = Z−1 {F (z)} F (z) = Z {fn} ∞ n=0 = ∞ ∑fnz −nz→∞Limitní věta: lim 01 {afn + bgn} ∞ n=0aF (z) + bG(z) Lineárnost, a, b jsou konstatny2 {a n fn} ∞ n=0F ( za)n=0Podobnost obrazů a je komplexní konstanta3 {e an fn} ∞ n=0F ( zNásobení vzoru exponenciální funkcí4 {(f ⋆ g)n} ∞ n=0F (z).G(z) Konvoluce vzorů5 {fn−k} ∞ n=0z −k F (z) Posunutí vzorů vpravo()6 {fn+k} ∞ n=0z k F (z) − k−1 ∑fnz −n Posunutí vzorů vlevoe a )n=07 {△fn} ∞ n=0(z − 1)F (z) − f0z Obraz dopředných diferencí 1. řádu89 {∇fn} ∞ n=0{10 ∇k f n{△k ∞f n}(z − 1) k F (z) − z k−1 ∑n=0} ∞n=0z−1z( z−111 {nfn} ∞ n=0−z12131415{ fn} ∞n{n=0} ∞ ∂fn(w)∂wn=0{ ∫ ∞ bf a n(w)dw}{n=0∑ ni=0fi} ∞n=0z∫ ∞16 f0 = 1, fn = 0, n > 0 1∫ bazi=0(z − 1) k−i−1 f0 Obraz dopředných diferencí k-tého řáduF (z) Obraz zpětných diferencí 1. řádu) kF (z) Obraz zpětných diferencí k-tého řádudF (z)Derivace obrazudzF (w)wdw Integrace obrazu∂F (z,w)Derivace obrazu podle parametru∂wF (z, w)dw Integrace obrazu podle parametruzz−1F (z) Obraz částečných součtůTab. 7.1Přehled vzorců Z-transformace

7.2 Vlastnosti Z-transformace 77(f) f 0 = f 1 = 0, f n = (−2) n , n = 2, 3, 4, . . .[]F (z) = 1 .z(z+2)2. Najděte originály daných Z-obrazů, stanovte příslušnou množinu proměnné z:(a) F (z) =(b) F (z) =(c) F (z) =(d) F (z) =(e) F (z) =z [|z| > 2, fz+2 n = (−2) n ],3z3z+2z[|z| >23 , f n = ( − 1 3) n ],, a je konstanta [|z| > 2|e an |, fz−2e an n = (−2e a ) n ],z [|z| > 1, f(z−1) 2 n = n],−3z [|z| > 1, f(z−1) 2 n = −3n],(f) F (z) = 1z+2[|z| > 2, f 0 = 0, f n = (−2) n , n = 1, 2, . . .],(g) F (z) = 1z(z+2)[|z| > 2, f 0 = f 1 = 0, f n = (−2) n , n = 2, 3, 4, . . .].3. Řešte následující diferenční rovnice ∀n ∈ N ∪ {0}:(a) △y n = 2 n , y 0 = 0,(b) △y n + 2y n = 2 n , y 0 = 1,(c) △ 2 y n − y n = (−1) n , y 0 = y 1 = 0,(d) △ 2 y n + 2△y n + 2y n = (−1) n , y 0 = 0, △y 0 = 1,(e) y n+2 + y n+1 − 2y n = 1 n , y 0 = 0, y 1 = 1,(f) 8y n+2 − 6y n+1 + y n = 9, y 0 = 1, y 1 = 1.5,(g) △ 2 f(n) − 2△f(n) + f(n) = 2, f(0) = 0, △f(0) = 1,(h) △ 2 f(n) − 8△f(n) + 16f(n) = −16n 2 + 16n + 6, f(0) = 0, f(1) = 4,(i) △ 2 f(n) + 3△f(n) + 3f(n) = 0, f(0) = 1, △f(0) = −2,(j) △ 3 f(n) + 6△ 2 f(n) + 8f(n) = cos nπ, f(0) = △f(0) = △ 2 f(0) = 0.4. Řešte diferenční systémy:(a)(b)(c)(d)f(n + 1) = −f(n) + g(n) + h(n)g(n + 1) = f(n) − g(n) + h(n)h(n + 1) = f(n) + g(n) − h(n)f(n + 1) = g(n) + h(n)g(n + 1) = f(n) + h(n)h(n + 1) = f(n) + g(n)f(n + 1) − 7f(n) − g(n) = 0g(n + 1) + f(n) + 5g(n) = 0f(n + 1) − 3f(n) − g(n) = 0g(n + 1) + 5f(n) + g(n) = 0, f(0) = 1, g(0) = h(0) = 0,, f(0) = −1, h(0) = 1, g(0) = 0,, f(0) = g(0) = 1,, f(0) = g(0) = 1.

78 Z-transformace7.3 Vztah mezi diskrétní Laplaceovou a Z-transformacíLaplaceova integrální transformace je zobrazení definované vztahemF (s) =∫ ∞0f(t)e −st dt,kde originál f(t) je komplexní funkce reálné proměnné: f : R → C, obraz F (s) jeholomorfní (analytická, regulární) funkce komplexní proměnné F : C → C a jádroLaplaceovy transformace e −st = K(s, t) je zobrazení K : [R × C] → C.∑Při pohledu na Z-transformaci definovanou vztahem (7.2), tj. F (z) = ∞ f n z −nse nabízí zavedení nové nezávislé proměnné substitucíPakF (z) = F (e s ) = ̂F (s) =n=0z = e s . (7.5)∞∑f n e −ns ,což je obraz posloupnosti {f n } ∞ n=0při diskrétní Laplaceově transformaci [9].Když budeme zcela analogicky∫postupovat při zpětné Z-transformaci dané vztahem(7.3), tj. f n = 1 F 2πi γ (z)zn−1 dz, kde γ(t) = Re it , t ∈ [0, 2π] a 〈γ〉 ⊂ P (∞),při substituci (7.5) se křivka γ transformuje na křivku ˜γ, kterou je úsečka spojujícíbody µ − πi a µ + πi, µ > ln R, tj. ˜γ(t) = µ + it, t ∈ [−π, π]. Pak po dosazenídostanemedz = e s ds,f n = 1 ∫ µ+πi2πi µ−πin=0̂F (s)e ns ds,což je vztah pro nalezení originálu definující zpětnou diskrétní Laplaceovu transformaci.7.4 Využití Z transformace při řešení (soustav)diferenčních rovnicLaplaceovu transformaci jsme použili při řešení lineárních diferenciálních rovnics konstantními koeficienty. Z-transformaci použijeme při řešení diferenčních rovnics konstantními koeficienty.

7.4 Využití Z transformace při řešení (soustav) diferenčních rovnic 79Definice 7.38. Lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty k-tého řáduje definována△ k y n + a 1 △ k−1 y n + . . . + a k−1 △y n + a k y n = f n , n ∈ N ∪ {0} , (7.6)kde a 1 , a 2 , . . . , a k jsou konstanty, f je pravá strana rovnice, {y n } ∞ n=0je hledanéřešení diferenční rovnice, f, y nazýváme mřížkové funkce, které jsou dány ve tvaruposloupnosti funkčních hodnot, △ k y n je dopředná diference k-tého řádu posloupnosti{y n } ∞ n=0 .Poznámka 7.39. Použijeme-li pro diference vztahy z definice 7.25 lze diferenčnírovnici přepsat ve tvaruy n+k + b 1 y n+k−1 + . . . + b k−1 y n+1 + b k y n = f n , n ∈ N ∪ {0}zde b 1 , b 2 , . . . , b k jsou konstanty. Oba vztahy jsou rovnocenné.Použití Z-transformace při řešení diferenčních rovnic je obdobné jako použitíLaplaceovy transformace při řešení diferenciálních rovnic:Na základě podmínek a předpokladů, že k dané diferenční rovnici lze sestavit jejíZ-obraz1. sestavíme Z–obraz diferenční rovnice s použitím věty o linearitě,2. vypočteme obraz řešení Y (z),3. pomocí zpětné Z-transformace nalezneme řešení {y n } ∞ n=0 .Příklad 7.40. S využitím Z-transformace určete partikulární řešení diferenční rovnice{△ 2 y n − y n = 1, ∀n ∈ N ∪ {0}.y 0 = 0, △y 0 = 1Řešení. Nejdříve ukážeme, že danou rovnici lze přepsat do ekvivalentního tvaru bezpoužití diferencí△ 2 y n − y n = △ (y n+1 − y n ) − y n = △y n+1 − △y n − y n == (y n+2 − y n+1 ) − (y n+1 − y n ) − y n = y n+2 − 2y n+1 .Diferenční rovnici teď obdržíme ve tvaru:{y n+2 − 2y n+1 = 1, ∀n ∈ N ∪ {0}y 0 = 0, △y 0 = 1.Jak již bylo řečeno oba tvary jsou rovnocenné, popisují stejný problém.

80 Z-transformace1. Předpokládáme, že existuje Z-obraz Y (z) = Z({y n } ∞ n=0) řešení této diferenčnírovnice, pak na základě vět o posunutí vlevo nebo vět o obrazech diferencí sestavímeZ–obraz diferenční rovnice, přičemž nezáleží na tom, jestli pracujeme s diferenčnírovnicí v prvním nebo druhém tvaru. Posloupnost {f n } ∞ n=0 = {1n } ∞ n=0je ohraničenáa její Z–obraz jeZ ({1} ∞ n=0 ) = ∞∑n=1Z–obraz levé strany diferenční rovnice bude1 z −1 = z , |z| > 1.z − 1Z ( △ 2 y n − y n)= Z (yn+2 − 2y n+1 ) = Z (y n+2 ) − Z (2y n+1 ) , n ∈ N ∪ {0} .Jelikož na základě vět o posunutí vlevoZ (y n+1 ) = z (Y (z) − y 0 ) = z (Y (z) − 0) = zY (z),Z (y n+2 ) = z (Z (y n+1 ) − y 1 ) = (Z (y n+1 ) − 1) = z 2 Y (z) − z, n ∈ N ∪ {0} ,potom Z-obraz diferenční rovnice budeZ (y n+2 ) − 2Z (y n+1 ) =2. Vyřešíme transformovanou rovnicizz − 1 , n ∈ N ∪ {0} ⇒ z2 Y (z) − 2zY (z) − z = zz − 1 .(z 2 − 2z ) Y (z) = zz+z ⇒ Y (z) =z − 1z(z − 1)(z − 2) + zz(z − 2)=z + z(z − 1)z(z − 1)(z − 2) ,Y (z) =z, |z| > 2.(z − 1)(z − 2)3. Hledáme originál - řešení diferenční rovnice {y n } ∞ n=0k nalezenému obrazuY (z):a) rozkladem obrazu na funkce, k nimž známe vzory (rozklad na parciální zlomky)zY (z) =(z − 1)(z − 2) = zz − 2 − zz − 1 ,( ) ( )zZ −1 = Z −1 z= { e n ln 2} ∞z − 2 z − e = ln 2 n=0 {2n } ∞ n=0 ,( ) ( )zzZ −1 = Z −1 = { e n 0} ∞z − 1 z − e = 0 n=0 {1}∞ n=0 ,( zZ −1 z − 2 − z ) ( ) ( )zz= Z −1 − Z −1 = {2 n − 1} ∞ n=0z − 1 z − 2 z − 1,{y n } ∞ n=0 = {2n − 1} ∞ n=0= (0, 1, 3, 7, . . .) .

82 Z-transformace7.5 Dvoustranná Z-transformaceVěta 7.41. Nechť pro řadu∞∑n=−∞f n z n ∃M ∈ R +∃s ∈ R ∀n ∈ N ∪ {0} : |f n | ≦ Me sn ∧∃t ∈ R ∀n ∈ N : |f −n | ≦ Me −tn , (7.7)pak je řada konvergentní na množině Ω = {z ∈ C : r = e −t > |z| > e s = R} (tj.v mezikruží o poloměrech R, r).Definice 7.42. Nechť {f n } ∞ n=0je číselná posloupnost v C resp. R. DvoustrannáZ-transformace této posloupnosti splňující (7.7) je definovánaF (z) = Z D ({f n } ∞ n=0 ) =∞∑∞∑∞∑f n z n = f n z −n + f −n z n . (7.8)n=−∞n=0n=1Důkaz. Pro případ dvoustranné Z-transformace při platnosti (7.7) dokážeme absolutníkonvergenci dvou řad, z níž plyne konvergence jejich součtu na mezikruží.Konvergence první řady byla dokázána výše. Pro druhou řadu dokážeme absolutníkonvergenci, z níž plyne její konvergence∞∑f −n z n ≦n=1∞∑|f −n z n | =n=1∞∑|f −n | |z n | ≦ Mn=1∞∑(e t z) n =n=0M1 − e t |z| < ∞, |z| < e−t .

83Literatura[1] N. Častová, D. Horák: Okenní transformace, Sborník z 7. semináře Modernímatematické metody v inženýrství, Ostrava, 1998.[2] N. Častová, E. Dršťáková, D. Horák: Časově-frekvenční analýza modelovanéhosignálu, Sborník z 8. semináře Moderní matematické metodyv inženýrství, Ostrava, 1999.[3] T. P. Kraus, L. Shure, J. N. Little: Signal Processing Toolbox,MathWorks, Inc.[4] B. Torrésani: An Overview of Wavelet Analysis and Time-FrequencyAnalysis, Universite de Provence, Marseille.[5] K. Rektorys: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995.[6] J. Bouchala: Funkce komplexní proměnné, učební text,www.am.vsb.cz/bouchala.[7] N. Častová, T. Kozubek: Integrální transformace,www.am.vsb.cz/studium.[8] D. Horák: Sylaby k předmětům Integrální transformace a Diskrétnítransformace, www.am.vsb.cz/horak/ITDT.[9] P. Galajda, Š. Schrötter: Funkcie komplexnej premennej a operátorovýpočet, Alfa, Bratislava, ISBN 80-05-00800-7, 1991.[10] wikipedie - konvoluce.[11] N. Častová, D. Horák, Z. Kaláb: Description of seismic events usingwavelet transform, International journal of wavelets multiresolution andinformation processing, Volume 4, Issue 3, 405-414, 2006.